苏教版七下数学公式变形压轴题

我们期下的同学今天来看一道这个完全平方公式的变形题啊，你只要会做这一题，就说明你对这些公式运用的还是相当熟练的啊。 已知 a 加 a 分 之一等于负二，求下列代数式的值。哎，第一个，那我们就观察一下他是不是这两个东西的平方啊，所以他只有可能等于 a 加 a 分 之一的平方在变形而来，而 a 加 a 分 之一的平方是不是比这个里面要多一个中间项？ 那就等于负二的平方再减二，是不是等于二？好，第二个， a 减 a 分 之一的平方，我们先把它展开， 它是不是等于 a 方加 a 方分之一减去这个中间项，而 a 方加 a 方分之一，上一问刚算出来等于二，这里再减二是不是等于零？ 那接下来看最后一个啊，这个第三个，这个原式等于什么呢？如果让我们直接从这个做，我们可能不会做，但是我们发现这个东西是它的平方对不对？那它就可以写成这个东西的平方再减去中间项吧。 而这个东西我们前面算过了，这是二，那这二的平方，这是四四减二，哎，它也等于二。好，所以我们就成功把这三个都做出来，所以在这个题目里面，它的关键是啊，它的中间项因为倒数的原因，它都会成为一， 所以这些东西都是能算，大家听明白了吧！想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！

这次期中考试会重点考察前三个章节，针对于咱们所有江苏七年级的同学，对于前三个章节密的运算，整式乘法图形的变换，吴老师给大家整理了练习题，每章节五十道，并且这五十道题都是咱们江苏去年各地月考和期中考试的真题，给大家看一下。 密的运算，期中考大家重点复习构造思想求值类问题，比大小的问题，整式乘法数形结合的问题，还有一些整式乘法公式变形的问题。 那么图形的变换，这个章节他压轴题一定会去考。旋转问题，动脚问题，这个动脚问题也是七上的一个重点。这些资料呢，吴老师都有电子版，大家可以打印下来去练一下。

好的，各位同学，大家中午好，今天中午呢，新高老师给大家介绍一道旗下数学月考的重难点完全平方公式的变形，对吧？新高老师之前总结过完全平方公式的，呃，一共是 十二个公式，它的基本公式就两个，就是 a 加 b 的 平方是 a 方加 b 方加二 a b， a 减 b 的 平方是 a 方加 b 方减二 a b。 但是新高老师又根据这两个基本公式给大家推导出了 十个这个推论公式，如果大家需要的话呢，可以跟星哥老师联系，星哥老师可以把这个做好的这个发给大家，好不好？ 好，因为第一单元所有的难题加主体，他考察的范围都不会脱离那十二个 公式。好，咱们看题二说是，你看两个边长分别是 a 和 b 的 正方形，按照如图一所示的方式放置，对吧？把一个小正方形放到大正方形里面，然后呢，它是靠近， 呃，靠近这个右上角放着的，对吧？其位重叠部分的这个面积是 s 一， 也就阴影部分是 s 一。 然后呢，再再图一这个图一中的大正方形的左下角。对，他是先在右右上角摆了一个 边长 b 的 正方形，又在左下角摆了一个边长 b 的 正方形，对不对？好，那两个小正方形重叠部分的面积是 s 二，那问第一个小问，用含 a b 的 代数式表示 s 一 和 s 二， s 一 好表示啊，就是从大正里面减小正，对不对？就是从 a 方里面减 b 方嘛， 对吧？ a 方减 b 方， a 方减 b 方是个平方差公式啊， a 方减 b 方等于多少呢？等于这个 a 加 b 乘以 a 减 b， 对 吧？两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差，对吧？那 s 二呢？ s 二大家可能要花点功夫把它理一下。 s 二，你看那是一个 s 二的硬部分，也是个长方形，你只要把长方形的边长给它表示出来就行了。你看这个 长方形的话，这一块我们看这一块是多少呢？是不是从 a 里面减去一个 b 啊？那你这一块是不是就从 b 里面再把 a 减 b 减掉，那 b 再减去括号， a 减 b 是 多少呢？就是 b 减 a， 再加个 b 就 等于一个二 b 减 a， 对 不对？ 好，那我们再看这一块，这一块是不是从这个 a 里面还是减去 b， 那这一块是不是还是从 b 里面再减去 a 减 b？ 所以 说这个 s 二它是一个正方形，它的边长呢？就是二 b 二 b 减 a， 那 s 二的面积是不是就是一个二 b 减 a 的 平方，对吧？我们把它展开，是不是就是一个四 b 方 减去一个四 a b 再加个 a 方，我们把 a 方放在前面， a 方减四 a， b 加个四 b 方，对吧？这就是呃， s 二的这个表达式，对吧？ s 二实际上是一个完全平方公式， 对吧？因为二 b 减 a， 它二 b 减 a 的 平方就等于 a 减二 b 的 平方吗？因为平方可以抵消负号吗？对吧？二 b 减 a 和 a 减二 b 是 一个互为相反数的一个式子，那你互为相反数给他一平方以后，他得的值是相等的，就是负二的平方是四二的平方还是四吗？ 一个意思，对吧？好，那你看 a 加 b 等于十， a 乘 b 等于二十，求三倍的 s 一 加二倍的 s 二给它 加在一起展开后，我们合并同一项，看看能得到什么结果，对不对？那你看三倍的 s 一 就是三倍的这个 a 方减 b 方，加上一个二倍的 s 加上一个二倍的 a 方，减四 a b 加上一个四 b 方，对吧？它就等于一个三 a 方减三 b 方 加上一个二 a 方，减八 a b 方，好合并同一项了。你看 三 a 方和二 a 方一合并，是不是五 a 方，然后呢？这个八 a b 没人合并，那就是八 a b， 然后呢？这个负三 b 方加八 b 方，是不是还是一个正的五 b 方呀？我们把这个 a 方和 b 方给它写到一起，就是五倍的这个 a 方加 b 方减去一个八 a b， 那你看 ab 是 二十，知道了，八 ab 也知道了。那你看 a 方加 b 方，我们算出来就行。 a 方加 b 方，怎么算呢？根据条件，你看 a 方加 b 方，它等于多少呢？就等于一个 a 加 b 的 平方减去一个二 ab， 这就是公式的推论。你看完全平方公式本身是啥样的？就是 a 加 b， 它的平方就等于一个 a 方加 b 方加上一个二 a b。 一 般来讲是写成 a 方加二 a b 加 b 方的。邢老师为了呃这个好意向，就把 a 方和 b 方写在一起，加法转换率你用一下就行了吗？对不对？那你看 右边是 a 方加 b 方加二 a b， 我 们如果说只想得到 a 方加 b 方呢？是不是把这个 a b 给它移到 左边去？一向要变号，那是不是就变成了 a 方加 b 减二 a b 就 a a 方加 b 方了，那它等于多少呢？ a 加 b 是 个十十的平方，减去二乘以二十等于多少？一百减四十，是不是六十啊？好，那我们把这个 a 方加 b 方带进来，就是五乘以一个六十减 去一百六，它最终是多少？一百四呀，对不对？ 也就说三倍的 s 一 加二倍的 s 二的值是一百四，对吧？这个题其实难，难点在哪？难点就在这一块，你把 s 二的面积要正确的表示出来呢？后面你看后面其实就是让你去利用完全平方公式的基本公式，把这个 a 方加 b 方给他推出来。 新课老师之前哈，新课老师之前呢，是推过十二个公式给大家总结过，如果大家需要的话可以联系新课老师，新课老师一会在这个视频里面也给大家把那个展示一下，然后如果说你要需要打印出来的话，你可以新课找新课老师用文件，好不好？各位同学，那咱分享就到这。好，各位同学再见。

全班只有两个同学做对这道七下整式乘法压轴题，你会做吗？一起来看一下。已知七的 x 次密加七的 x 次密分之一等于二，让我们去求二零二六整体的负 x 次密加二的值是多少？那么这种形式的题我们是比较常见的，比如说他通常会给我们 a 加 a 分 之一等于三，然后让我们去求 a 方加上 a 方分之一等于多少。那么这种题型他典型用到的是什么？完全平方公式，但是这道题里面特殊，特殊在哪？ 他给我们右边的常数给到的是二，所以这个题我们运算起来，可以用一个换元法把七 x 换成一个字母，这样的话我们计算比较简单。那么如果我们设 七的 x 四密整体等于 t 的 话，那么这个式子是不是就变成了 t 加 t 分 之一等于二啊？它跟其他的式子有什么不同？通过观察七的 x 四密整体是不是不等于零，所以我们可以得到两边同时乘 t， 那 这边的话就变成了 t 方加一等于什么？二？ t， 那么这边是二梯，这边是梯方加一，所以我们如果移项的话，可以将它变成什么呢？把二梯移过来，就变成了梯方减二，梯加一等于零，那么这是一个典型的完全平方式， 所以它可以写成梯减一整体的平方等于零，那么梯减一整体的平方等于零，梯减一等于零， 所以我们 t 是 不是就等于一啊？那么 t 等于一的话，说明我们七 x 次密整体等于一。好，这里我们非零数的零次密是等于一，那么我们能截得 x 等于零， x 如果等于零的话，那么我们这个整体是不是二零二六的零次密就等于一，那么加二的值，所以这道题的答案应该等于三，所以大家一定要去记住，这种题型的一个右边是常数，是二的时候是可以凑成完全平方公式，你学会了吗？

期下的娃看一下，这种题在你的月考和期中啊，百分之九十概率会碰到，今天教你一招，直接两步拿下这种完全平方公式的数形，结合问题说给了两个正方形，边长是 a 和 b， 告诉你 a 加 b 和 ab 的 值，求阴影部分的面积。那第一步就是先想办法表示出阴影部分的面积， 那观察图形，两个三角，这上边这个都是正方形，边长是 a， 这段是不是用正方形的边长 a 减掉这个小 b， 所以 a 减 b 就 可以了。那上面的三角形就是二分之一的 a 乘 a 减 b， 下边这个呢？二分之一的 b 方，把它直接合并二分之，这是 a 方减 a， b 加 b 方，那表示好之后，剩下的就是往里代入了，这个 a b 我 们知道是二十二， 也就是说你代入之后呢，就剩一个， a 方加 b 方减 a， b 就是 减二十二，所以我们只要求出 a 方加 b 方就可以了。那各位到这哪个条件还没用呢？ 是不是 a 加 b 等于十呀？所以想出现平方，用我们学的完全平方公式，两边都平方搞定，左边 a 方加二 a， b 加 b 方，右边一百， 所以我们要的 a 方加 b 方就出来了，一百减去二 a b， 那 a b 呢？是二十二，两个 a， b 就是 四十四， 所以 a 方加 b 方就是五十六，那把它直接代入就搞定了。二分之五十六减二十二，三十四除以二十七，这样阴影面积直接搞定，你学会了吗？点赞收藏练起来吧！

咱们苏科七下，本次期中考试我认为就会有五个难点，把这五个重难点吃透，你期中考试的分数他一定不会低。这是我查阅了咱们江苏去年几十套试卷之后得出的结论啊，一共是八十六套试卷，我也给我的学生准备好了。 那么我告诉你，第一个难点就是整式乘法中的数形结合，即使他不考，在最后一道题，也非常有可能在倒数第二或者倒数第三，就是乘法公式的一个运用。 第二个呢，就是旋转，你期上的时候遇到的动点问题，在期下的时候他还会遇到旋转结合着这个平行，哎，他会出一个难题，压轴题。 第三个呢，就是最直类问题，折叠里面会产生最直，动点里面也会产生最直，里面往往也伴随着轴对称和折叠，这一类题是比较变态的。 那么第四类呢，就是耻归作图类问题。其实耻归作图类难题压轴题是南京地区特别爱考的，像苏北地区呢，很少有地区会把耻归作图作为压轴题来考，但是他一定会考， 但是他不是压轴题。那第五类呢，是洋灰三角，去年我查阅了一下，很多地区也把洋灰三角的综合题放到了最后一道压轴题中， 所以说就是这五道类压轴题。那么旭哥建议你呢，先把去年的真题卷拿来自己刷一下，咱不要上来就把这个解决，这五大压轴题，你要先确保会的题拿满分，有时间有能力的情况下再来解决旭哥刚刚说的这五大难题。 我这边呢，整理了去年咱们江苏各个地市的八十六套期中考试真题卷给你拿去练习，需要的啊，回复速克。

在讲这个题之前呢，我来说一下我们课本上五种基本的尺规作图啊，呃，我就不展开了，因为是属于基础内容，但是我们要知道的五种基本尺规作图有哪几个呢？第一个是做一条线段等于已知线段，这个方法呢，在这边了啊， 呃，哪一个你不懂的，你自己看好吧。第二个呢，就是做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角俩了。 第三个，做一个垂直平分线啊，做一条线上的垂直平分线在第三个，第四个呢，是做一个角的平行线，第五个呢，过一个点，做已知直线的垂线。 第五，第五个吧，我觉得可能是难度最大一点的啊，就过一个点啊，比如说有一个直线 l， 然后呢过点 p 做这个直线的垂线 啊，其实呢，就是在这条直线上选一条线段，然后呢做这个线段的垂直平分线，那他既然垂直平分这个线段了，那肯定垂直于这条直线。好吧，这就是初中五大基本，此归作图， 那么这是课本内容，我就不说了，在遇到题目的时候啊，咱们也相对比较快的给大家讲一下，因为很多时候啊，这种此归作图，你要分析出来它到底考一个什么内容，比如这个吧，一个直角三角形 abc 啊，三四五是它的三边之长，用无刻度的直尺和圆规啊，完成下列作图并完成填空。一、做 a b 的 中点，做 a b 的 中点的，那不就是做什么做线段 a b， 实质，实质上啊，我们分析出来 就是做线段 a b 垂直平分线。 ok， 那 线段 a、 b 的 垂直平分线，你会不会做？没有问题吧？好吧，这就是分别以 a、 b 两点为圆心，取大于二分之一 a、 b 的 长呢？为半径做两段相交的弧 啊， ok， 分 别以 a、 b 为圆心，大于二分之一 a、 b 长为半径做两段相交的弧，那么就做一下子吧。 呃，这个就是纯手工操作了啊。啊，这是以 b 为圆心做一个弧，好吧，我们再哎好大一点，以 a 为圆心，在相同长度为半径做一个弧，好吧，然后交于呢？交于 e f， 哎，不是交于貔貅吧，因为 f 的 话后面有啊，然后做直线貔貅， 好的，做这个直线貔貅， 这直线貔貅呢？它与 a b 交于点 o 啊，这就交于点 d 啊，交于点 d， 这个时候 到第二本，这就是纯纯的就是做角平分线了啊，这个属于此规则图里面第几个呢？这属于。呃，第四个，好吧，第四个我们也来说一下啊，我们以 b 为圆心，以任意长为半径，怎么做弧 ok？ 哎呀妈呀，好像这样画画的好看一点吧，对不对？ 那么这个弧呢，与角臂的两边分别交于我们 m n， 可以 吧？交于 m n， 再以 m n 分 别以 m n 为圆心，取大于二分之一 m n 为半径作弧啊，大于二分之一 m n 长为半径作弧啊。为什么大于二分之一 m n 呢？因为你不大的话，你不大于二分之一 m n 的 话，你就没有焦点了好吧，大于二分之一 m n 为焦点怎么做弧 这户啊？分别以 m 为圆心啊， n 为圆心，相同啊，长为半径， ok， 那 我们就都在这里吧。 嗯，感觉画的 ok， 这是以谁为圆心呢？哎哎，这样吧，可以吧，一个是以 m 为圆心画的啊，一个一个是以 n 为圆心画的，然后呢，咱们再连接， 交于什么呢？交于这个？交于呃， w 吧。啊，然后连接 b w 并延长啊，与这 a c 交于点 e， 这个 e 就 出来了。第二问就结束了。第三问，做点 c， 关于直线 b 的 对称点，点 c， 关于直线 b 的 对称点 f。 啊，那这个时候呢，这个就简单了啊，我们就是以 b 为圆心， b 为圆心啊， b c 为半径啊 b c 为半径做弧， 与 b a 交于焦点就是 f 啊， f 可以 吗？交于 f 好， 交于 f， 然后第三问说 d f 的 长， d f 的 长，我们怎么求呢？ d f 的 长，它就等于 b f 减掉 b d b f 等于什么呢？就是 b c b d 呢？啊，你要跟已知去挂钩啊， b d 啊，它就是二分之一 ab ok， 也就是四。呃，不是 b c 是 四。没错啊，减掉二分之一乘以五四，减二点五等于一点五。那咱们这个题目呢，就结束了。

这个呢，堪称七下运算题的压轴王，同时也是一个高频的考点，百分之九十的孩子呢，都容易错。解决这类多字母的乘法公式巧算，关键在于你对于完全平方公式的巧用，你会多少？ 而很多孩子呀，把它跟三项完全平方公式完全混为一谈，今天呢，老师就用最简单的方式，帮你快速拿下这类题，搞懂完全平方公式如何巧用。好，我们来看题目， 首先这个题呢，给了我们两个式子，如果你只看到两个 sorry， 你 就漏了一个隐含条件了。来看第一个式子啊，它给了什么呢？给了 a 减 bb 减 c， 第二个式子给了 a 方 b 方 c 方的一个平方的和的关系，最后求乘积对不对？那看到它，首先我们能想到什么是这个题的核心关键点，对吧？我们能想到这个公式吗？ a 减 b 的 平方加上 b 减 c 的 平方，再加上 a 减 c 的 平方。然后呢，整体来一个二分之一，就等于啊，我们的 a 方加 b 方加 c 方，减去 ab 加 bc 加 ac， 那 这个式子呢，叫做缺二式，因为这里面没有二啊，叫做缺二式。 ok， 老师你是怎么想到的呢？来跟大家说一下啊！首先呢，你看一下这个式子当中，它这里面展开是一个 a 方加 b 方减二 a b， 大家说对不对？然后这边展开呢，是一个 b 方加 c 方减二 b c， 是不是？然后关键是这个展开又是 a 方加 c 方减二 a c， 大家看到了吗？然后你把三项加在一起，大家告诉我是什么？你看一个 a 方两个 a 方，是不是两个 a 方的二分之一是 a 方，对吧？一个 b 方两个 b 方，两个 b 方的二分之一又是 b 方， 一个 c 方，两个 c 方二分之一，对不对？然后最后呢？减二， ab 减二， bc 减二， ac 都有二，把二提出来是变成了减去括号 abbcac 没有二， 是不是好？那么知道了这个公式，我们就知道这种题应该怎么做呢？就是贴着公式走去构造 a 没有的 a 减 c 就 行了。那 a 减 c 怎么来呢？各位去想啊，因为 a 减 b 等于五分之三，好，然后呢？ b 减 c 等于五分之三。请问 a 减 c 怎么求？ 是不是这两个式子整体相加啊？左加左，右加右，所以说它俩一加，是不是 a 减 c 得到了五分之六都得到以后代入 把他们啊，三个都带入，那么圆是二分之一，括号倍的来，各位请看，他带进去是五分之三的平方，对吧？因为这里有个平方啊，再加上 b 减 c 是 五分之三的平方，对吧？ a 减 c 是 五分之六的平方， 好，括住。然后呢，就等于 a 方 b 方 c 方整体是一减去我们的 ab 加 bc 加 ac， 好，然后呢？最后你把它当成整体一算就行了，是吧？把它当成整体啊，它是整体，然后这里面呢？把平方平方平方算出来乘以二分之一，然后把它挪过去，把它挪过来就得到，所以我就不给他算了啊， a b 加 b， c 加上 a， c 等于是负的二除以二十五。 那这个题为什么很多人混淆呢？因为它比较相关的一混淆的点是这个啊，叫做三项 完全平方公式，俗称就是 a 减 b 减 c 扩周的平方展开。 好吧，它是一个完整的三项平方，那它展开是什么呢？大家可以这么去想啊，它就是一个 a 减 b， 对 吧？减去 c 扩周的平方，然后它的完全平方就变成了 a 方加 b 方减二 ab， 对吧？然后呢再去这里是不是它的平方展开，然后再加上一个它的平方，对吧？然后再减去二倍的，它是整体啊，就是 a 减 b， 对 吧？然后再乘以 c， ok， 最后的结果呢？你会发现它是什么呀？我来展开一下，就是我们的 a 方加 b 方加 c 方，然后呢， ab 相乘是减二 a c， bc 相乘，是因为负 b 负 c 吗？是加二 bc， 你发现刚才那个叫缺二式，没有二，那么你发现这个式在干嘛？是不是必须有二？ a 方 b 方 c 方是一个整体，然后这里是不是都有二倍，二倍，二倍，二倍中间项， 对不对？所以说三项完全平方和我们这个缺二式它是有严格的不同的，大家一定要把它区分清楚，记在自己的好题本上，各位听懂的请在评论区留言。

好，我们接下来家长啊，可以给你们的孩子看一看这个关于膝下的这个完全平方公式啊，这些变形到底是不是手链？那像今天这个题一测就知道啊，已知 a 加一分之一等于负二，求下列的值。对于第一个来说， 大家想想他和他什么关系啊？他是不是只有可能由他的平方得来？好，他的平方是平方加平方加中间项，那想要变成他是不是要减去中间项 啊？ a 乘以 a 分 之一， 而这个题目的特殊性就在于，这两个东西是倒数，所以它们的中间项相乘就是一啊，所以这里就是负二的平方，再减二就等于二。 好，接下来第二问，原式等于什么？第二问，如果我们在第一问的基础上，它是不是等于 a 方减去二乘以 a 乘以 a 分 之一，再加上一个 a 方分之一啊？ 而前一位已经算出来，这里就是二，这里也是减二，所以是不是等于零？ 来，接下来第三个，这个四次方，如果让我们直接从它一步到位，你可能不太会，但是我们刚刚已经处理过这个东西了， a 方加 a 方分之一，它是不是等于 a 方加 a 方分之 一？括号的平方再减去 a 方乘以 a 方分之一，再乘以二， 是不是？是吧？然后呢，我们把数据代入啊，第一位已经算出来了，这是二的平方，它们也是倒数啊。 好，所以这一问的结果就是二，听明白了吗？你自己都能做出来吗？想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！

家里有江苏七夏的娃，看一下，完全平方公式的变形是很多娃刚接触时容易出问题的，今天咱用四个不同的题型帮助你掌握它。有基础和升级的变形，数形结合还有最值。 那来吧，咱们先来第一个开始第一个之前呢，我们先把这个完全平方公式的变形，它这里边涉及到的几个量，我们来说一说，把这个加减分开来写，方便你去看。 所以常见的变形呢，就围绕这里的两数和两数差，两数积，还有两数的平方和。比如通过它我想得到两数的平方和，是不是把这个二 ab 移过去啊？也就是 a 加 b 方减二 ab 嘛。 那下边也是一样，我想要得到两数的平方和，把减二 ab 移过去，是不是 a 减 b 括号方加二 ab 啊？ 那用哪一个？就根据条件来喽。所以你看第一个给了两束盒，两束鸡，求两束平方盒。那你要熟练的话呢，可以直接套它。给了两束盒嘛，我就直接两束盒的平方，它加了二 a b， 我 再减二 a、 b， 然后代入就行了。 这是五方减去二乘 ab 是 一二十五，减二二十三，直接搞定。或者说呢，还可以，从条件里，我想要出现平方，那就把 a 加 b 给他平方吧，五这边也平方， 是不是能得到 a 方加二 ab 加 b 方等于二十五呀？然后把这 ab 代入，也可以得到 a 方加 b 方。 那接着来第二个常见的数形结合，说 c 是 线段， ab 上一个点，以 a、 c、 b， c 为边，往两边做个正方形， ab 是 六，那就是两个小正方形的边长加起来是六呗。说两个正方形的面积和三角形 afc 的 面积， 那像这种问题，我想求 afc 的 面积，显然和两个小正方形的边长有关，所以我们可以设未知数， 小正方形边长是 a， 大 的正方形是 b， 那 咱们的问题就变成了二分之一的这里的 a 乘 b 嘛。 所以关键就在这两数积怎么求？根据条件来， ab 是 六，那你看是不是两数和是六，面积的和是二十，那面积的话， 小的是不是 a 方，大的是 b 方，它等于二十。你看就是咱刚才说的，我知道了 a 加 b， 知道 a 方加 b 方，要去求两数积， 所以就直接用完全平方嘛，给这个 a 加 b 来个平方，那等号右边的六也来平方，这就 a 方加 b 方加二， a， b 等于三十六， a 方 b 方是二十，加上二， ab 是 三十六，所以 ab 就 出来了，十六除以二是八。我们要求的三角形面积就等于四，这个数形结合啊，只是多了一步。你要把这个条件呢，翻译成和我们完全平方公式有关的信息， 然后去变形就可以了。也就是上边说的这四个东西，两数和两数差，两数平方和两数积，知道两个就能求另外两个， 那接着第三个稍微升级了，不像刚才就一个字母给了个是字。那碰到这种呢，你别上来就把它都给拆开了。先观察一下，十减 x x 减六，这边呢？十减 x 方， x 减六方。那各位你看看和上边我们讲的有什么关系？ 是不是？如果把它看成整体，这玩意看成是个 a， 这玩意看成是个 b， 那 这个条件相当于告诉你， a 乘 b 等于一，让你求的是 a 方加 b 方等于几？那有爱思考的小同志说了说前面的条件都知道两个数， 这里只有一个，怎么求？那所以需要你去观察喽，看看他俩之间有什么关系，是不是能发现这个十减 x， 他 加上 x 减六，这 x 就 没了，剩一个四呀？ 所以用我们刚才说的整体思想来看，是不是这玩意是 a 他 加上这个东西，两个相加得四呀？ 那你如果发现了这层门道，这个题就变成了，告诉你 a 加 b 等于四， a 乘 b 等于一，然后让你求 a 方加 b 方等于几， 是不是非常简单了？所以通过我们已知的 a 加 b 得到，这就 a 加 b 方减二， ab 嘛，和第一题一样，代入 四方减二乘一，十六减二十四，直接搞定。所以你在实际写的时候呢，可以写一个换元， 也就是令十减 x 等于 a， x 减六等于 b， 剩下的一样去写就好了。这个小题相比上两个稍微难了一点，需要你自己发现这个隐含的关系， 观察两个式子的联系。比如举个例子，他给你改成六减 x， 那 你看这两个东西就不能相加了，就得相减，把 x 干没，这就行了。那接着我们看第四个这个最值。问题呢，不止你现在会用到，包括八九年级都会用到， 我们来看看如何用完全平方来搞定他，他问的是 x 等于几时，这个式子有最小值。那显然单独去看我不知道，但是我可以利用平方的非复性，什么意思呢？比如写在这说 a 方我们知道是大于等于零的， 那如果说 a 方加了二大于等于几，那显然是不是大于等于二呀？所以我就可以想办法把这个式子能不能变成一个平方的形式。 那自然需要咱对完全平方公式有一个了解，说这三个东西加一块等于 a 加 b 括号方，它能变成平方的形式。 那我们对照着来看， x 方减八， x 加十五，该怎么变呢？那首先 x 方和 a 方对上，那这中间的减八 x 是 不是要对上首尾二倍啊？所以我把它稍微改一下，这八 x 是 不是首尾二倍得有一个二倍， 得有一个手？那你说这个尾现在是八 x， 是 不是我已经有二 x 了，我这个就得是四了，所以这个是首尾二倍的二倍，这个是手 x， 那 这玩意就是尾， 我要想凑成完全平方，就得加上尾的平方，那这三个东西我们往下来就变成了 x 减四括号方，可以拆开验证，但是我们不能改变它的值，它原来是加十五，我现在给加十六了，怎么办？减一吗？ 和原来一样就行，所以这个原式就变成了这个东西，进而凑成了完全平方，同时不要漏掉这里的减一。那把它进行完全平方之后，我们知道这个东西平方向是大于等于零的， 现在给他减了一，怎么样？是不是大于等于负一了？所以这个式子最小值是负一，那这个时候是 x 等于几呢？ 你想想，他要想最小是不是这平方得为零的时候呀？所以 x 减四方为零，那 x 是 不是只能为四呀？ 这样就搞定了。所以最值问题呢？首先你要理解这个完全平方公式，他这中间的首尾二倍， 然后利用我们学过的竖平方尾平方，你凑出来这个尾是几？凑好之后保证式子整体的值不变就行了。那这四个小题你学会了吗？下回想听什么呢？先去点赞、收藏练起来吧！

平方差公式是整式运算的提分神器，课本讲的蜻蜓点水，老师讲的不痛不痒，但是很多学霸用的贼溜，就像这六道题，很多孩子拿到之后无从下手，但是别担心，今天老师会从公式的本质入手，带你彻底学透平方差公式以及它的各种变形应用， 老想遇到直接秒杀。那咱们来看平方差公式，也就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。首先先来看识别，那么也就是能观察到这是 a， 这是 a， 是 完全相同的，那么这是 b， 这是负 b， 是 互为相反数的，那也就说 a 和 a 是 符号相同， b 和负 b 是 符号相异。当我们看到异同一异的时候，就满足了平方差公式，它就等于是 a 方减 b 方，也就是我们的 同号方减去一号方。那么明白了这个平方差公式的本质之后，咱们看一下接下来这六道小题。首先第一个， x 加一，乘以 x 减一，那么还是先去找一同一异，那么这是 x， 这是 x， 是 相同的。然后这是一，这是减一，是 相异的。那么满足一同一异的话，它的结果就是我们的同号方 x 平方减去一号方减去一的平方就是一。 咱们再看第二个， a 加 b 乘以负 b 加 a， 那 么也是啊，先去找这是 a， 这是 a， 是 相同部分。然后这是 b， 这是负 b， 是 相异部分，那么它就满足了异同一异，结果就是我们的 同号方减异号方，也就是 a 方减 b 方。再看第三个，二 x 加三 y 乘以二 x 减三 y， 那 么还是去看二 x 二 x， 这是相同， 那么这是三 y， 这是减三 y， 是 符号相异，所以它的结果就是我们的同号方减一号方，二 x 的 平方减去 三 y 的 平方，结果就是四 x 方减去九 y 方，那么下一个涉及到带指数了。哎，咱们还是啊，先去找同号部分是 m 的 三次方， m 的 三次方，然后是 n 方和减 n 方是符号相异的，它的结果就是我们的同号方减异号方，是 m 的 三次方的平方减去 n 方的平方。整理一下，也就是 m 的 六次方减去 n 的 四次方。那再看下一个负 a 减 b， 乘以个 a 减 b， 那 还是先去找相同部分和相异部分，对于我们的减 b 减 b， 这个就是完全相同同号，然后这是负 a， 这是 a， 就是 符号相异的，那么它的结果就是我们的同号方减异号方，也就是负 b 的 平方减去 a 方，那么也就是 b 方减 a 方。那么再看最后一个啊，那括号里边虽然是多项是三项的，但是咱们也不害怕啊，还是一样的，抓住关键，先去找符号相同部分，这是 m， 这是 m， 那 同样还有吗？会发现这是 p， 这是 p， 哎，这都是我们的同号部分，那么剩下这个 n 和负 n 是 符号相异部分，它的结果就是我们的同号方减一号方，所以同号的是 m 加 p， 它的平方减去一号方减 n 方，那么这个就是我们的平方差公式啊，它的识别满足一同一异的话，结果就是同号方减一号方，以及它的各种变形，你学会了吗？还有什么想听的，关注我评论区留言吧！

完全平方公式是不是总让你头大？明明公式已经背的滚瓜烂熟了，但是一碰到这种变形题啊，瞬间就卡壳了。今天这一道题呢，就是你们期中期末必考的拦路虎啊，学会了直接拿捏同类题，先给大家讲一个解析技巧啊！ 当我们看到题目中有 x 的 平方加 x 的 平方分之一这种形式的时候呢，咱们可以先凑出 x 加 x 分 之一，为什么呢？哎，因为完全平方公式里啊， x 平方加 x 平方分之一，它就等于 x 加 x 分 之一的平方减上一个二。 咱们可以来验证一下给这个式子完全平方展开之后呢，它就等于完全平方公式。回顾一下手，平方尾平方，首尾二倍放中央， 所以它就等于 x 平方加二乘以 x， 再乘 x 分 之一加 x 的 平方分之一。 中间这一项呢， x 和 x 分 之一约分约掉了，所以就只剩了一个二，咱们再把这个二移到另一边，就得到了刚才这一个变形式，对不对？那知道了这一点之后呢，来看题目 x 平方加 x 平方分之一减二的值是多少？里边出现了这个形式对不对？刚才我们说了，要先凑出 x 加 x 分 之一这个形式，怎么凑呢？题目条件就告诉我们了， 条件说 x 平方减三， x 加一等于零。这里首先要确定一点，这个式子中的 x 是 不可能等于零的， 因为一旦 x 等于零的话，我等号的左边就变成了一，右边的是零，这个等式不成立了，对不对？ 所以既然 x 不 能等于零，那就好办了。我们为了去凑出 x 加 x 分 之一，就可以给这个式子的两边同时除以 x， x 的 平方除以 x 就 等于 x 负三， x 除以 x 等于负三，再加上一个一除以 x， x 分 之一等于零，我们想要的形式出现了，对吧？那么再把这个负三呢？移到右边，得到 x 加 x 分 之一等于三， 哎，那现在是不是可以直接代入计算了？好，我们带进去， x 平方加 x 平方分之一就等于 x 加 x 分 之一的平方减上一个二，再把原本的减二挪下来，它就等于 三的平方，九直接写了哈，九减四，最后结果等于五，是不是非常方便。所以呢，关于完全平方公式的变形式呀，大家一定要记清楚，当你碰到这种类型的题的时候， 直接代入计算非常的方便。所以咱们总结一下，遇到二次方程加分式平方和的题呢？首先我们需要去判断一下这里的 x 是 否是等于零， 当它不等于零的情况下，再通过除以 x 来配凑出 x 加 x 分 之一，最后用完全平方公式变形进行求解。记住这个思路啊，以后遇到同类型的题就可以直接套用了，那这一道题呢，我们就讲到这里。

完全平方公式的变形一定是月考和期中考的重点和难点，今天我们来研究一种前后向乘积为一的这种题型的应用。已知 a 的 平方加上三， a 加一等于零，求下面 a 的 平方加上 a 的 平方分之一， 还有 i 的 三次方加上 i 的 三次方分之一， i 的 四次方呢，加上 i 的 四次方分之一，这种题型呢，就是前后两项呢，成绩都是为一的，实际上他研究的呢，仍然是完全平方公式的应用。我们来看一下第一种情况，第一种呢是 a 的 平方，那后面这个是 a 的 平方分之一，实际上它是什么呀？括号 a 分 之一的平方，这个呢，仍然是以完全平方公式变形而来。我们来看一下这个 a 方加上 a 方分之一，它可以呢？有 a 加上 a 分 之一的平方 变形而来的，把它展开等于 a 的 平方，加上啊，后面这项的平方就是 a 的 平方分之一， 然后再加上前后两项的成绩呢，恰好是一是吧？然后你再乘以二，那就是加上二，这是它的特点。下面我们来看一下，我们要求的是 a 方加上 a 方分之一，那这个 a 方加上 a 方分之一是吧？它就等于括号 a 加上 i 分 之一的平方。哎，这减去二行了，也就如果我们把 i 加上 i 分 之一求出来就可以了，那我们看一下原来的这个式子如何才能出现呢？ a 和 i 分 之一呢？那很明显，那这个一是我们除以 i 就 行了。 看到这一点以后呢，就在等式的两边同时给它除以 a， 因为 a 方加上三， a 加一等于零，两边同时除以 i 方除以 i， 剩 i 是 吧？三， i 除以 i 剩三，我们给他移到右边去一除以 i 就是 i 分 之一。 三移到右边以后呢，就变成了负三，因为他，所以我们接着往下写， i 加 i 分 之一，我们已经求出来了，实际上它等于负三， 那就是负三的平方，哎，减去二，结果就等于七。 a 的 平方加上 a 方分之一后呢？求了以后呢？后面这个字很容易进行解决的， 他就是在 a 的 二次方加上 a 的 二次方分之一，给他在完全平方的基础上变化而来的。我们接着先把这个给它解决掉，因为括号 a 方加上 i 方分之一的平方，就等于 i 的 四次方加上 i 的 四次方分之一，再加上呢，前后乘积的二百也是二，所以 i 的 四次方加上 i 的 四次方分之一，就等于括号 i 的 平方加上 i 的 平方分之一的 平方，哎，减去二，然后我给他代入，对吧？七的平方减去二七七四十九，减去二，哎，等于四十七。再往下呢，我们主要研究什么？艾特三次方和艾特三次方分之一， 我们看一下，那这个就不能再进行平方的一个形式了，对吧？我们可以在 a 的 二次方和 a 的 二次方分之一的基础上再给它进行变化。那你看这里面我们要出现 a 的 三次方，是不是要乘以一个 a 啊？ 我们要出现的 a 的 三次方分之一，还要再乘一个什么呀？ a 分 之一，对吧？我们在这个基础上给它进行变化一下，我们看一下，把它乘出来以后呢？ a 的 三次方 加上 a 的 平方乘以 a 分 之一，会出现 a 的 吧，这地方再加上一个 a 分 之一，再加上一个什么 a 的 三次方分之一 至中间。 a 加 a 分 之一，我们已经求着了，它等于负三，是吗？对它进行变形啊，所以 a 的 三次方啊，加上 a 的 三次方分之一呢？哎，它就等于这个 a 的 平方，哎，加上 a 的 平方分之一是吧？括号 a 加上 a 分 之一，然后再减去吧。括号 a 加 a 分 之一等于七啊。 a 加二分之一是负三，然后再减去负三，负二十一，加上三等于负十八。那最后呢，这一步呢？ a 的 三次方加上 a 的 三次方的 e 呢？也可以通过什么 a 加上 a 分 之一，括号，哎，你给它什么三次方变形也可以求的。 那这个呢，有的同学呢，我没学过，对吧？你可以呢，先给他什么呀？平方呀？ a 加二分之一括号的平方，然后再乘以 a 加二分之一，一样也可以解决。这个大家可以自己去试一下啊。好，今天的这个题目呢，就给大家分享到这里。

来挑战一下这道南京七年级月考的压轴题，非常难，百分之九十的孩子做不对，一起来看一下。设 n 为正整数，告诉我们六十四的 n 次密减掉七的 n 次密，它是能被五十七整除， 并且让我们去证明，八的二 n 加一次密，加上七的 n 加二次密是五十七的倍数，那么我们可以观察一下题干里面条件给了一个六十四的 n 加一次密，所以这个六十四我们肯定要进行变形。然后 问题里面给的是一个什么？七的 n 加二次密，已知条件里面给了一个是七的 n 次，所以这个七的 n 加二次密，我们也要对它进行变形。首先我们来处理一下条件，那么六十四的 n 次密，它是不是可以写成什么呀？ 它是不是可以写成八的平方整体的 n 次密啊？然后减去七的 n 次密，八的平方整体的 n 次密是不是等于 a 的 m 乘 n 次密，我们可以写成八的 二 n 次密，然后后面减掉一个七的 n 次密，对不对？所以你会发现问题里面它是不是也有一个八的二 n 次密啊？ 那它是一个五十七的倍数，我们先放在这啊。好，接下来八的二 n 加一次密，加上七的 n 加二次密，我们要对它稍作处理，它可以写成什么呢？我们叫 a 的 m 次幂乘 a 的 n 次幂，它是等于什么？ a 的 m 加 n 次幂，反之亦然，对不对？那这样的话，八的二 n 加一次幂可以写成我们八乘 八的二 n 次幂，然后那么七的 n 加二次幂是不可以写成七的平方乘七的 n 次幂啊？那也就是四十九 成七的 n 次幂，对不对？好，那么在这个里面，如果我们想要去构造一个五十七的因数出来，这里面是一个相减的形式，这里面是一个相加的形式，没办法去直接提供因式，对不对？ 所以在这个里面我们可以怎样进行变形？对，这个里面它如果能够被五十七整除的话，它是不是有一个因素一定是五十七？所以这个式子我们可不可以写成五十七 m 的 形式啊？这里面 m 是 一个整数，对不对？所以它如果等于整体等于五十七 m 的 话，我们这么来看， 我们是不是能得到一个八的二 n 次密，等于什么？五十七 m 加上七的 n 次密啊， 对不对？这里有一个四十九，这里有个八，他们俩相加是不是正好等于五十七？所以我们可以把这里面的八的二 n 次幂换掉。换成什么呢？换成我们前面得到的五十七 m 加七的 n 次幂，那这样的话，我们变成了八倍的五十七 m 加上七的 n 次幂， 加上后面四十九乘七的 n 次幂，这两项是不是可以写成八乘五十七 m， 那 么这边八乘七的 n 次幂加上一个四十九乘七的 n 次幂，是不是等于 五十七乘七的 n 次幂啊？所以把这个五十七提出来之后，第一项剩什么八 m， 第二项剩什么七的 n 次幂。好，那这里面 n 是 一个正整数， m 也是一个整数，我们这边的话，它整体是不是也是一个整数？所以我们这个式子就变成了什么？ 变成了这样一个形式，五十七乘八 m 加上七的 n 次幂，那么他就是谁五十七的倍数，你听懂了吗？

这道题给了两个方程， x 平方， y 平方，难道需要解方程吗？其实不用三十秒教会你代数变形。先看条件， x 方等于 y 加二， y 方等于 x 加二，那我们总得做些事情。没错，你说对了，它就是利用我们的平方差， 那么直接造 x 平方等于 y 方，所以它的一个公式展开应该等于 x 加 y 乘以 x 减 y， 那 么根据题目提供的一个条件等式，我们直接代入等于 y 加二， 减去 x 加化简，得到 y 减 x， 那 么根据这样一个式子，我们是可以得到 x 加 y 的 值是等于负一的， ok， 显而易见，我们是需要让结果的这个代数式产生出跟 x 加 y 的 整体相关，我们就可以直接用负一代入就可以了。 我们拆解一下原式，二 x 方加上三 x 加上 y 加上二 x y， 它将等于 x 乘以二 x 加上二 x， 再加上一个 x 加上 y 加上 y 乘以二 x， 有 什么意义呢？ 二 x 方变成 x 乘二 x， 它的含义就是 x 个二 x， 这里二 x 就是 一个， 这里呢就是 y 个。那么合并同类项就是 x 加一个，再加 y 个多少呢？ x 好 了，然后剩下 x 加 y， 那 么我们知道 x 加 y 是 有值的，被我们推出来负一，所以 x 加 y 加一，也就是这个括号的值，它是等于零的，这一项它不存在了。 ok， 那 么原式他将直接等于 x 加 y 等于负一变形的技巧你学会了吗？评论区扣一，关注我，数学解析快人一步！

将一副三角板按如图一的位置摆放，还有三十度的直角三角板的直角边和还有四十五度的直角三角板的斜边是重合的，这个角是四十五度，这个角是九十度。 含三十度的直角三角板的顶点和含四十五度的直角三角顶点缝合在 o 点这个位置。现在将三十度的这个直角三角板呢，去顺时针去旋转，旋转到图二的位置，所以说这边依然是一个九十度，然后三十度、六十度，这个还是四十五度， 此时角一等于二十度，问角二的大小，那么观察原来的这样的一个大角就是一百三十五度，然后原来的这个三角形是九十度，所以我们剩下这个小角，也就是中间这个虚线 和下方这个直线所呈现的杂角就应该是四十五度，所以我们根据这个来算角二就很轻松了，直接用九十度减去下方的二十度，再减去四十五度， 就等于二十五度，所以选择 b。

完全平衡公式是我们旗下考试的重点内容，也是考场丢分的重灾区，而我们学的都是两个数的拼方式，而今天啊，我们遇到的是三个数的拼方式。 考试的时候啊，经常以材料探究题的形式来考察孩子对于问题的转化能力。我们来看一看， 说， a 加 b 加 c 的 平方等于 a 方加 b 方加 c 方，再加上二 a， b 加上二 b， c 加上二倍的 c a。 这是给我的一个公式说已知 a 加 b 加 c 等于零， a 方加 b 方加 c 方等于四。第一个问，求 a， b 加 bc 加 c， a 的 值。好，第一个问我们不难求， 因为我通过观察 a 加 b 加 c 的 零，我们可以往这里代入，对吧？往这里代入，我们就能得到式子的左边就会出现零的平方，对吧？把零 a 加 b 加 c 整体换成零，零的平方 还是零？应该等于 a 方加 b 方加 c 方 a， 也就是等于四。加上二倍的 ab， 加上二倍的 bc， 再加上二倍的 c a， 这样我们就可以解得，二倍的 ab 加上二倍的 bc， 加上二倍的 c a 应该等于零减四，是负四 啊，零减四，负四。所以啊， a b 加上 bc， 再加上 c a， 两边同时除以二，应该等于负二。好，也就是第一个式子的结果，它的值应该是等于什么？负二？ 那主要是第二个问说，求 a 方， b 方加上 b 方， c 方加上 c 方， a 方去除以 a 方加 ab 加上 b 方。好，这里我们先观察一下它的分子， 它的分子部分，它的分子部分好像就是第一个问中，把 ab 平方， bc 平方 c a 平方，就会得到 a 方 b 方加上 b 方 c 方，再加上 c 方 a 方。那这个问我们肯定要结合这里材料 给我们的一个公式，三个数的平方式，对吧？好，那我们将这个 ab 加上 bc 加上 ca， 看成这里的三个数， ab 相当于这里的 bc， 相当于这里的 c， 我 们将这三个数平方的话，就可以得到 a 方 b 方加上 b 方， c 方加上 c 方 a 方，是吧？好，我们来把它进行平方，也就是 ab 加上 bc 加上 c 方 a， 我们将这三个数进行平方展开之后，就可以得到这里的。好，这下面 a a 方，也就是 a a 方 b 方加上 b 方 c 方加上 c 方 a 方，这也就是我们这里需要的式子。好，但是后面还有还要加上二倍的 ab 啊。两两组合， a 和 b 组合， c 和 a 组合分别乘以二，也就是加上 二倍的来，这两个组合 a 乘 b， 是 不是啊？这两个数相乘，也就是 a b 方 c 再加上二倍的，这两个数相乘 a b c 方， 再加上这两个数相乘二倍的 a 方 b c， 二倍的 a 方 bc。 好 了，到了这一步，我们观察 ab 加上 bc 加上 c， 我 们刚知道是等于负二的，所以啊，这个式子的左侧其实就是负二的，什么平方等于右侧，右侧的话，哎，它是保留不动的， 也就是我们现在要求的式子。但是后面这个式子该如何处理呢？好，我们可以提取二倍的，因为都有二，都有 abc， 我 们可以提取二倍的 abc， 那 么这里还剩一个 b 加上，这里还剩一个 c， 这里还剩一个 a。 好， 此时我们再来观察一下，出现了 a 加 b 加 c， 而 a 加 b 加 c 的 值为零，所以啊，就意味着这个数为零，那零乘这个数就消掉了，是不是就消失了？ 所以啊， a 方 b 方加上 b 方， c 方加上 c 方 a 方，他们的结果就应该等于负二的平方等于四。 好，也就是它的分子啊，其实就是四。那么再来看一下分子，分子的话，是 a 方加 ab 加 b 方，那这个该如何处理呢？我们观察一下这个式子里，发现 c 没有了， 是吧？所以我们想办法要让把 c 给什么去掉，那这里就有 a 加 b 加 c 等于零，我们不妨去表示一下来，由它我们可以得到， c 是 等于来负 a 减 b 的， 是吧？我们可以把 c 的 负 a 减 b 啊，带入到这个式子中，对吧？这样就出现了 a 方还有 b 方，只是把 c 替换成了负 a 减 b。 好， 我们往里带，那就是 a 方加上 b 方，再加上 c 的 平方， c 的 平方应该是负 a 减 b 的 什么平方 好，也就应该等于四。那这个式子该怎么弄？我们把它完全平方展开观察一下，也就出现 a 方加上 b 方加上。这里我们可以提个符号啊，我单独写在这，也就是负 a 减 b 的 平方，其实就等于提个符号之后还剩 a 加 b 整体的什么平方，而这个符号是可以去掉的，是吧？负数的偶次方符号是可以替去掉的，它其实就是 a 加 b 的 什么平方好？这里其实就是 a 加 b 的 平方 等于四，也就是 a 方加 b 方加上 a 方加上 b 方，再加上二倍的 ab 等于四。好朋友们，到这步，基本上我们的答案要出来了。 好， a 方加 a 方等于二倍的 a 方，加上二倍的 b 方，再加上二倍的 ab 等于四，两边同除以二，也就得到 a 方加 b 方加上 ab， 其实就等于二，是不是？所以啊，它的分母啊，其实就是二。所以啊，这个式子就相当于四除以二，所以最后的结果就应该等于二，你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路。

好的，各位同学，大家下午好，今天下午呢，星光老师给大家介绍几道这个西夏数学的核心考点，考察的是完全平方公式的变形，主要是给大家讲一下换元法在这类题型里面的应用。咱们看题啊，第一题， 已知括号，二零二四减 a 的 平方加上 a 减二零二二的平方，它等于七，让我们求这二零二四减 a 和 a 减二零二二的乘积的值呢？ 这个题哈，最简单的方法其实就是我们换元法，我们把这个已知条件里面平方下面这两个底数给它换成一个字母，把二零二四减 a 给它换成一个 x， 把 a 减二零二给它换成一个 y， 那 已知条件就变成了 x 方加 y 方等于七了，让我们求的是 x 乘 y 的 值呢？这样一来的话，整个这个题就变得非常的清晰明了，对不对？就是知道的 x 方加 y 方求 x， y 其实还差的一个条件，但是我们看一下，就是 x 是 二零二四减 a， 然后 y 是 a 减二零二，我们把 x y 一 加或者一减，怎样才能把这个 a 给它消掉呢？你看 x 里面 x 是 个多项式，这个多项式里面，呃，含 a 的 这个项是不是负 a， 那 y 里面含 a 的 项是不是正 a， 这两个是互相关数的，那只能加嘛， 互相关数的两个数的和为零嘛，这就是这个思路对不对？好，我们看一下，我们怎么办呢？来，我先给大家设一下呦。 好，我们先这个设，这个 x 等于一个二零二四减 a， 然后呢， y 就 等于一个 a 减二零二二，那我们看一下，刚刚说了我们要 x 加 y 呢， x 加 y 等于多少？二零二四减个 a 对 不对？ 加上一个 a 减二零二二，然后呢？这个负 a 和 a 就 抵消了二零二四减二零二，是不是一个二？ 然后那现在我们就得到两个条件，是不是就是一个 x 加 y 就 等于一个二， x 方加 y 方就等于一个七，求的是 x y 的 值，是不是啊？就变成这样了。那 x y 怎么求呢？ 就考察我们完全平方公式的变形，你看完全平方公式里面是不是就是一个 x y 的 平方，是不是就是一个 x 方加 y 方加上一个二倍的 x y 啊？对不对？ 我们现在可以直接把这个 x 加 y 和 x 方加 y 方给它带进去。你看 x 加 y 是 一个二，那二的平方是不是就等于一个七加二倍的 x y， 那 我们解这一个， 把 x y 整体当做一个未知数，我们解这个未知数，二倍的 x y 是 不是等于一个多少呢？是不是二的平方减七就等于四减七等于一个负三，两个 x y 是 不是负的二分之三？ f， 那 x y 是 不是等于负的二分之三，对不对？ 这就是最简单的方法。呃，有没有这个其他方法呢？你看你把这个条件二零二四减 a， 你 给它展开，把这个 a 减二零二二，你也给它展开，对吧？展开以后你就得到一个式子， 然后你再把要求的这个两个括号的乘积给他展开，你把前面展开以后，得到的就是相同的那一部分，你给他带进去也行，就是那个算起来的话，你得算你，你得把第一个完全平方公式展开，把第二个完全平方公式也展开，把后面这个要求的结果，这个多项式乘法也展开，运错量是相对比较大的，对不对？ ok， 那 是常规吗？对吧？ 好，那我们再看第二题，跟第一题是不是一模一样？那好，那大家拿到这个题第一个该干嘛？换元嘛，对不对？我们可以让这个来，我们可以继续试这个试，我们把结写上， 对吧？解释，这个 x 等于二零二二减 a， 然后呢？ y 就 等于一个二零二零减 a， 那 我们这这时看，你看这个 x， 这个多项式里面含有负 a， y 里面也含有负 a， 哎，含有的是相同的项，如果我们想把这个负 a 全部给它去掉，怎么弄呢？是不是只能减法？相同的项你要去掉只能减呀？ 那 x 减 y 是 不是就等于二零二二减 a 减去一个整体二零二零减 a， 对 不对？那就等于二零二二减 a 加，减去一个二零二零加 a， 然后呢？负 a 加 a 没了，二零二减二零二零，是不是就是二？也就是说我们得到一个 x 减 y 就 等于二，对不对？然后呢？已知条件是不是还有一个 x 乘 y 等于一啊？ 那这样一来的话，要求谁呢？求 x 方加 y 方的值。那我们再把完全平方公式，你看这边有 x 减 y， 我 们给 x 减 y， 整体平方，那是不是 x 减 y 的 平方，就等于一个 x 方加 y 方减去一个二 x y， 对 不对？嗯， 我们可以把这个公式把，把这个呃 x 方加 y 方给它写到一边，那你看右边是不是多了一个负的二 x 加 y， 负的二 x 乘 y， 对 不对？那我们把它给它移向，移过来就是 x 减 y 的 平方，对吧？ 加上一个二 x y 就 等于一个 x 方加 y 方，也就是说这个 x 减 y 的 x 减 y 是 个二，那二的平方再加上一个二乘一，就等于一个 x 方加 y 方， 那 x 方加 y 方，它等于几呢？是不是二个平方是几啊？二个平方是一个四，四加二它就等于六，也就说 x 方加 y 方就等于一个六，对不对？ 这也就是说咱们要求的值，思考一下对不对？说你刚开始的时候是 x 减 y 等于二，那给他一平方，再把二 x y 一 加，对吧？ 好，那这就是前两个换算法，你看第，这是第三个题啊，就是一个填空题，说是 a 方减 a 减二等于零，那我们求的是 a 方加 a 方分之四等于多少？ 这个题啊，思路是啥呢？你要求 a 方加 a 方分之四，我把 a 方和 a 方分之四写成就是两个平方和的形式，是不是可以写成 a 的 平方加上一个 a 分 之二的平方，对不对？ a 方分之四是不是 a 分 之二的平方啊？那这样一来的话，我们只要把谁求出来，只要把 a 加 a 分 之二 或者 a 减一分之二求出来就行，那你看根据条件能不能得到呢？你看 a 方减 a 减二等于零这个题，这种题我们一般给左右同时除以 a， 有 的有的同学会说，老师你给等式两个同时除以一个数，你怎么保证这个数 不为零呢？我们除以 a， 你 看 a 能不能等于零？ a 等于零的时候，零的平方减零还是零？那零减负二等于零吗？不等于。所以说我们给这个 已知条件，左右两边同时除以 a， 就 变成了一个 a 减去一个一，再减 a 分 之二，就等于零，对吧？零除 a 还是零嘛？那这样以来，我们把这个左边这个减一移到右边去，是不是 a 减 a 分 之二就等于一啊？ 对吧？那这样以来的话，你看你给两边平方 a 减 a 分 之二的平方，是不等于一的平方，那 a 方对吧？加上一个 a 分 之二的平方， 再减去一个，中间两项乘积就是两个乘积的二倍，减去一个二乘以 a， 再乘以一个 a 分 之二， 就等于一。这一步大家一定要仔细啊。这一步，我昨昨天晚上我在算的时候，忽略了那个 a 分 之二里面那个分子二，因为一般的题他都是 a 乘 a 分 之一，是互为导数的，但这个题，哎，他不不是，对吧？好，那我们看一下这个， 那二乘以 a， 再乘以 a 分 之二， a 乘 a 分 之二是几？是个二，二乘二是四，也就说 a 方加上一个 a 方分之四，对吧？再减去一个四就等于一个一，那这一个 a 方加 a 方分之四就等于一个。把减四移到右边去，它是不是就等于一个五呀？对吧？ 是不是？好，那我们再看第三个，就是这个题，下面这个题 a 等于四加 a 分 之一，求的是 a 方加 a 方分之一的值，你要求 a 方，嗯，加 a 方分之一，我们得把这个 a 加一或者 a 减一这个数算出来就行了。那你看，根据条件，我们把 a 和 a 分 之一写到一起，是不是就是一个 这个 a 加上一个，不能加了？ a 减去一个 a 分 之一，就等于一个四呀？还是两边平方 a 减 a 分 之一的平方就等于十六，对不对？那 a 方加上一个 a 方分之一，再减去二乘以 a， 二乘以 a 乘以 a 乘以 a 分 之一，它就等于一个十六，对不对？那二乘以 a 乘以 a 分 之一， a 和 a 分 之一互为导数，一乘十个二，那 a 方加 a 方分之一，那就是十六加二，是不是十八呀？对不对？ 好，那再看第四题，第四题稍微有些变化，你看这个 a 的 四次方加 a 的 四次方分之一等于七，是我们求 a 方加 a 方分之一的值呢？哎，这个时候我们不能把 a 的 四次方再给它截平方，我们要把四方小的这个数，先把二二次方、一平方变成四次方，四次方、一平方变成八次方， 像这种，对吧？那我们现在给 a 方加上一个 a 方分之一，给他一平方。哎，我们展开，这是完全平方公式啊，是不是就是 a 的 平方的平方？是不是 a 的 四次方再加上一个 a 方分之一的平方？是不是 a 的 四次方分之一， 再加上一个二乘以 a 方乘以 a 方分之一，是互为导数的乘积，是一，对吧？好， 那我们看一下整体，这个平方是 a 四方加 a 的 四方分之一是七，七加上一个二乘以一，是不是一个加二等于九？也就 a 方加 a 方分之一的平方是个九，谁的平方是九啊？三，还有呢？负三，对不对？但是 a 方 和 a 方分之一能不能是一个负数？ a 方是一个平方，平方永远是非负数，对吧？那 a a 方分之一，它也是个非负数，两个非负数相加，绝无可能是负数。所以 a 方加 a 方分之一，它一定是一个什么呀？正数它一定是正数，对吧？ a 方不可能为零的，因为 a 方在分母上， a 方在分母上就不可能为零，所以说 a 方肯定是个，它大前提是非负数，但是它又不是零，那把非负数里面把零一排除，是不是就剩了正数？也就 a 方加 a 方分之，肯定是个正数，那正数的话，那我们就把这个负三就要舍去吧，只能是 三，对不对？这就是这个题的一个完整过程。这个题这几道题是昨天我一个学生啊，我一个旗下的学生，他发给我的 这个题就是咱们平时你在各大教府里面，你是可以看到一些同类的题，特别是前两道换元法，这在咸阳来说，像咸阳去年的彩虹啊，还有实验，还有二十二中跟成大福中，他的最后一道压，第一次月考的压轴题，考察的就是换元法，这个换元法这个思想大家一定要把它融会贯通的，好吧？ 还有个就是第三对，就是第三个题，就是 a 方减 a 减二等于零，这个题号就是易错点就在于这里，因为 a 乘以 a 分 之二，它不是一， a 和 a 分 之二，它不是互为导数， a 和 a 分 之一互为导数，这点也是一个易错点。这个我 昨天晚上给学生写的时候就写，就是因为也是太有点太着急了，想赶紧写完了，然后直接就把那二给丢了，二一丢算出来了这个值， a 方加 a 方分之四，它不是五，算出来一个三，对吧？ ok， 好， 那各位同学呢？这道题咱们今天就到这好不好？各位同学再见。

好，我们初一的同学啊，今天一起跟我来看一道非常有意思的题目，这个题目也可以考察你对这个完全平方公式是否熟练掌握。 这个已知多项式四 x 平方减 x 加一，它说与某个单项式的和可以写成一个多项式的完全平方，则这个单项式是什么啊？当然要求我们把所有答案都写出来啊。 那某个单项式的和单项式，这个单项式是不是有可能是一个二次项，也有可能是一个一次项，是不是有可能是个常数项？所以我们是不是要去分类讨论好这第一种情况，如果这个单项式啊，它是一个二次项， 他是二次，那我们也就是说，我们此时把这一项和这一项已经是当做一个完全平方展开式的那个一部分，是不是？好，那么既然他们俩是对的，我们就是要根据他们俩去确定那个平方向， 对吧？好，那此时你甚至可以把它先遮掉，那负 x 加一给你，让你去补一项，这一项应该是什么呢？ 那你可以根据这个完全平方的规律啊，这一项是一的平方，对不对？这一项，那这个符号我们不看，一定是二，乘以这个 后面这一项，再乘以这个前面那一项才会变成负 x 吧。好，那前面那一项是不是应该是二分之 x 才对？ 大家想，是不是？你中间这一项是二 ab 嘛？对不对？二 ab 二，现在 b 是 一，那你 a 必须是二分之 x， 是 不是才会得到这样的一个二 ab？ 好， 那意味着前面第一第一项是二分之 x， 那 么它是不是就应该是四分之 x 的 平方？ 好，现在我们再回头来看，哎，你原来就是四 x 的 平方，你怎么才能变成四分之 x 的 平方呢？是不是要去减去一个四分之十五 x 的 平方， 对不对？好，这是第一个答案，来，接下来看第二个答案。 这个多项式啊，我们也可以认为这一项和这一项现在是定好的，缺的就是中间项，对吧？好，那也说明我们中间是缺一个一次， 那么四 x 的 平方加一，如果是定好的，他是二 x 括号的平方，他是一的平方，那这个中间项是不是应该是二 ab 就是 二乘以二 x， 乘以一就是四 x 啊？但有可能是正负，所以中间是不是可能会正负四 x？ 好，那由负 x 想变成正负四 x， 第一种情况是不是这个减三 x， 然后下一种情况是不是可以加上五 x， 对 不对？好，这就三个答案了， 接下来我们要贴的那一项，是不是有可能是一个长竖项？好，如果是一个长竖项啊，同样的方法啊，我们是不是认为前面两项已经是一个完全平方式展开的， 那么这是四 x 平方，这是减 x， 我 们再一次把它分解出来啊，这个 x 可以 变成二乘以二 x， 因为前面那一项是二 x 符号的平方，那你最后想变成减 x， 是 不得乘以一个 四分之一啊？嗯，大家想，是不是我这乘四分之一，这个结果就是负 x 吧，说明后面那一项肯定是四分之一的平方， 也就说是十六分之一。好，它是十六分之一，现在是一，你怎么变成十六分之一，是不是要减去一个 十六分之十五？好，所以这个单项式啊，可能是这四项， 这个题目还是有点难度的，想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦！