数学六下基础训练25北师大

一年一度的思路，万国商贸大集即将开市，这是我们商队跨越千里、扬名立万的绝佳时机。 作为商队新任的掌柜，这次跨越茫茫大漠的所有物资筹备和路线调度全由我一人负责。大漠千变万化，我必须有一双能看破规律的慧眼。 哪怕这大漠里的情况再复杂，我也一定能理清头绪，把咱们商队安排的妥妥当当，准时抵达大吉。出发前的第一件大事就是采购整齐划一的商队木箱。这可是个精细活，我该怎么才能快速算清楚所有的账目呢？ 专门定制的这批正方形木箱，随着购买的数量不断增多，需要支付的通宝钱币也越来越多，购买的数量在变，总价也在变， 这数据也太庞大了，大家快帮帮我，这里面是不是藏着什么不变的规律，能让我一次性把总价算明白呀？ 货物装好了，接下来得准备掩盖货物的正方形防风帆布。帆布的边缘越长，整块布的面料就越大。 不对劲啊，帆布边长只多了一点，怎么整块布的大小却变大了这么多？这和刚才买木箱使的规律完全不一样，这是怎么回事？ 最后一步，核对行程，我们的骆驼队伍每天行进的步伐极其稳定，这羊皮网格图上记录着我们前三天的脚印轨迹， 奇怪，前几天的行走轨迹在网格上连成了一条笔直斜线。顺着这条线，你们说，我们能猜出十天后商队会到哪里吗？ 见证奇迹的时刻到了。当两个量成正比例时，他们在网格地图上描出的点，只要用尺子一连，竟然都在一条笔直的斜线上， 太完美了！货物毫发无损，形成分毫不差。历经千辛万苦，我们终于顺利抵达了万国大吉。面对变幻莫测的大漠与繁杂物资，能看破表象，直击本质，方可成为商队领袖。 这眉间骆驼徽章，我们当之无愧。我彻底明白了，纵世间万物变幻，只要找到其中不变的纽带，就能掌握一切规律。这次的大漠巡归之旅，真是一场酣畅淋漓的大丰收。 历经千辛万苦，看破变幻莫测的表象，我们终于找到了大漠中那条笔直一定的不变真理。这节课，你最大的收获是什么？

同学们大家好，我是开化县华埠镇中心小学的周荣老师。这节课我们一起来学习比例的认识。第一课时， 上学期我们学习了比的知识，研究了图片像与不像的问题，想一想怎样判断这些图片没有变形呢？ 当两张图片的高和长的比值相等时，这两张图片就像。 在淘气的这些图片中， a、 b、 d 三张图片的高与长的比分别是六比四、三比二、十二比八， 它们的比值相等，所以这三张图片没有变形。 在 c 和 e 这两张图片中，高与长的比分别是三比八、十二比二， 它们的比值不相等，所以这两张图片变形了。 仔细观察这三个比，我们发现像这样比值相等的两个比，我们可以用等号连接组成一组比例。同学们，你知道什么叫比例吗？ 表示两个比相等的式子叫做比例。比例还可以写成分数形式，如，六比四等于三比二，还可以写成四分之六等于二分之三， 读作六比四等于三比二。比例中有四个数组成，我们把这四个数叫做比例的项 在六比四等于三比二。中，六与二位于比例的两端，我们把两端的象叫做比例的外象。四与三位于比例的中间，我们把中间的两项叫做比例的内向。 在分数中，六和二是比例的内向，四和三是比例的内向。 观察这三张图片，你还能写出哪些比例呢？写好后，说说比例的内向和外向吧。 高和长组成的比例有，六比四等于十二比八，三比二等于十、二比八。 高和高、长和长组成的比例有，六比三等于四比二，六比十，二等于四比八，三比十，二等于二比八。 其实我们生活中很多问题也存在比例的现象，请你选择其中的一个或几个，说一说能否组成比例。把能组成比例的写下来吧！ 奇思和妙想购买的苹果总价和数量的比值相等，也就是苹果的单价相等，所以可以组成比例。十六比二等于四，十比五。 蜂蜜和水的比值都是一点五，所以二比十等于三比十五， 二比十和三比十五，它们的化简负的比都是一比五， 这两杯蜂蜜水一样甜。衣服和裤子现价和原价的比值相等，也就是折扣相等，所以可以组成比例。 人高一点五米影长二米，竖高三米影长四米。人高比影长等于竖高比竖影。 人高比竖高等于人影比竖影。也就是一点五比二等于三比四， 一点五比三等于二比四。你写对了吗？现在老师把数和人隐藏起来，抽象成了两个三角形，我们一起来看看吧！ 从图形中你发现了什么？两个三角形底和高的比值是相等的，底与底，高与高的比值也是相等的。 两个三角形的大小虽然不一样，但形状一样，角度一样。 通过本节课的学习，你找到了怎么样了呢？我们一起来通过练习试一试吧！判断哪节组的两个比能组成比例。把组成的比例写下来， 十五比八和三十比三十六，它们的比值都等于六分之五，所以可以组成比例。 三分之一比九分之一和六分之一比十八分之一，它们的比值也都相等，所以也可以组成比例。 四比八和五比二时，它们的比值不相等，所以不能组成比例。 四分之一比十，六分之一和零点五比二，它们的比值也不相等，不能组成比例， 这是根据比例的意义判断的。那你能写出和四比八、零点五比二分别组成比例的比吗？试着写一写吧！ 四比八的比值是二分之一，只要写出的比的比值是二分之一的都可以，比如五比十、零点一比零点二、六分之一比三分之一等等。 零点五比二的比值是四分之一，只要比值写出四分之一的比都可以，比如二比八、零点一比零点四、八分之一比二分之一等等。 同学们，你们都喜欢喝奶茶吗？奶茶是饮品的一种，深受很多年轻人的喜爱。 无论哪家奶茶店，都会有不同的口味供大家选择。下图是某奶茶店常见的糖度类别和部分消费者们选择糖度的统计图。你知道吗？ 以这家奶茶店一杯五百毫升的奶茶为例，全糖是指四十克，七分糖是指二十五克，五分糖是指十五克，三分糖是指十克。 二零一六中国居民膳食指南中建议每人每天糖的摄入量不要超过五十克，最好控制在二十五克以下。 但从消费者对糖度的选择来看，很多人不清楚奶茶中糖的占比。 小明点了这家奶茶店的外卖，买了一杯大杯六百毫升的奶茶，系统默认七分糖，这杯奶茶中糖有多少克呢？ 我们可以根据糖和奶茶的比写出比例。二十五比五百等于几比六百。 根据比例的内向基等于外向基，可以列出算式，二十五乘六百，除以五百，得出这杯奶茶的糖有三十克。 为了健康着想，你会建议小明和其他选择全糖或七分糖的消费者买几分糖的奶茶呢？ 请用数据说话，写出你的思考过程。我们可以结合二零一六中国居民膳食指南中对糖摄入量的要求， 可以从奶茶的口感、一杯的容量、每天喝的杯数等方面进行分析。 糖度中的无糖或不另外加糖，是真的完全无糖吗？请同学们做个课后小调查吧，今天这节课上你有哪些新收获？ 我们知道了比例的意义，会根据比例的意义判断两个比能否组成比例。 在生活中还隐藏着大量比例的知识，希望同学们用数学的眼光来看待世界。今天这节课我们就上到这，同学们再见！

同学们大家好，我是开化县华埠镇中心小学的周荣老师。上节课，我们借助淘气的照片认识的比例， 知道了当两张图片的高与长的比的比值相等时，它们可以组成比例。我们还认识了比例的内向和外向。 其实，在比例的两个内向和两个外向中还隐藏着一个秘密呢，接下来，就让我们一起开启一场探索之旅吧！ 请同学们观察比例，并思考比例的外向和内向有什么关系呢？ 我们发现，在六比四等于三比二中两个外项六乘二等于十二，两个内向三乘四也等于十二， 六乘二等于三乘四。在六比四等于十二比八中两个外项六乘八等于四十八， 两个内向四乘十二也等于四十八，六乘八等于四乘十二。在分数比例，十二比八等于三比二中 十二乘二等于三乘八。因此，我们猜想比例中的两个外向积等于两个内向积。 是否所有的比例都有这样的规律呢？让我们一起来验证吧！当比例的外向和内向是分数时， 如三分之一比六分之一等于二分之一比四分之一。 两个外向三分之一乘四分之一等于十二分之一乘 四分之一等于二分之一乘六分之一。 当比例的内向和外向都是小数时，如零点三比零点四等于一点二比一点六， 零点三乘一点六等于一点二乘零点四。 这样的例子还有很多很多，如果我们用字母来表示，该怎么表示呢？ a 比 b 等于 c 比 d， a、 b、 c、 d 均不为零， 那么两个外向的积 a 乘 d 就 等于两个内向的积 b 乘 c， 也就是 a d 等于 b c。 在 比例里，两个外向的积等于两个内向的积，这就是比例的基本性质。 同学们通过刚才猜想验证的过程，相信你全面分析问题的能力有了提升。 请你用比例的基本性质判断哪几组的两个比能组成比例。把能组成的比例写下来吧！ 根据比例的性质判断出第一、第三两组比可以组成比例。第二、第四两组不能组成比例。 上节课我们根据比例的意义也对这几组进行了判断。 看来判断两个比能否组成比例，既可以用比例的意义，也可以选择根据比例的基本性质进行判断。六年级上册我们学习了比这两节课，我们又认识了比例。 比和比例有哪些不同的地方呢？表示两个数相除，又叫做两个数的比。比 例表示的是两个比相等的式子，也就是它们的意义不同。比有前项和后项两个数组成。 比例由外向和内向四个数组成，也就是它们的形式不同。比的前向和后向同时乘或除以同一个不为零的数，比值不变。 两个外向的积等于两个内向的积，它们的基本性质也不同。 如果你能清晰的区分出比和比例，说明你已经掌握的很到位了，给自己点个赞吧！ 通过本节课的学习，你掌握的怎么样了呢？通过练习试一试吧！ 写出图 a、 图 b 两个正方形的边长和边长的比，周长和周长的比，并判断这两个比能否组成比例。 如果能组成比例，说一说比例的内向和外向 这两个正方形边长和边长的比是四比七，周长和周长的比是十六比二十八， 四比七等于七分之四十六比二十八等于二十八分之十六，化简后也等于七分之四。所以这样正方形的边长和周长可以组成比例。 这两只小蚂蚁分别围着两个正方形的周长爬行，第一只小蚂蚁用了四秒，第二只小蚂蚁用了七秒。 两只小蚂蚁爬行的路程和时间之比是否可以组成比例？ 两只小蚂蚁的行驶路程分别是，四乘四等于十六厘米，七乘四等于二十八厘米。 我们可以用比例的意义求出两个比的比值都等于七分之四，从而列出比例。 也可以用比例的基本性质计算出内销机和外销机，它们都等于一百一十二，可以组成比例。 通过刚才的计算，你发现了什么？小蚂蚁爬行的路程就是正方形的周长， 路程和时间的比就是速度，所以这两只小蚂蚁爬的一样快。 这两个正方形面积和面积的比与边长之间的比能组成比例吗？ 边长和边长的比是四比七，面积和面积的比是十六比四十九，四比七等于七分之四十六，比四十九等于四十九分之十六。 所以这两个正方形的边长和面积的比不能组成比例。 同学们，你敢接受挑战吗？已知九乘零点四等于一点二乘三，根据比例的基本性质，你能写出几个比例？ 当把九和零点四看作外向，一点二和三看作内向时，有四组比例。 当把九和零点四看作内向，一点二和三看作外向时，也有四组比例。你写对了吗？今天这节课上你有哪些新收获？ 我们在学习的比例的基本性质， 不仅会根据比例的意义判断比例，还可以根据比例的基本性质来判断能否组成比例。我们还对比了比和比例的区别， 相信同学们一定收获满满。请你对这两节课的表现做出评价吧！ 打上属于你自己的专属心，今天这节课我们就上到这，同学们再见！

同学们，我们已经认识了笔，知道了两个数相处，又叫两个数的笔，还了解到笔的应用非常广泛呢。 仔细观察，找一找，在这幅图里，哪几张图片比较像，哪几张不像呢？ 找到了吗？是呀，聪明的你肯定发现了，图片 a、 图片 b 和图片 d 这三张图比较像。想一想，为什么这三张图片比较像呢？ 你可以先写一写，算一算，再比一比，把你的思考过程写在纸上， 写好了吗？我们先来交流一下，为什么图 a 和图 b 比较像呢？ 有些同学想到了，图 a 和图 b 的 长的比是六比三，比值等于二。 图 a 和图 b 的 宽的比是四比二，比值也等于二，这两个比的比值是相等的。那我们就可以用等号把这两个比连在一起，组成一个等式， 六比三等于四比二。因为图 a 和图 b 的 长的比和图 a 和图 b 的 宽的比相等，所以图 a 和图 b 像。 还有其他的判断方法吗？没错，我们发现图 a 的 长和宽的比是六比四等于二分之三， 图 b 的 长和宽的比是三比二等于二分之三。因为两个比的比值相等，所以六比四等于三比二，也能判断出图 a 和图 b 相。 原来，当这两张图片的长与长的比等于宽与宽的比，或者图 a 的 长比宽等于图 b 的 长比宽时，我们就说图 a 和图 b 像。 有了前面的同学肯定能说出图 b 和图 d 为什么像了吧？ 没错，图 b 和图 d 的 长的比三比十，二等于图 b 和图 d 的 宽的比二比八。 图 b 的 长和宽的比是三比二等于图 d 的 长和宽的比是十，二比八。为什么能写成这样的形式呢？ 没错，因为他们的笔直相等，所以我们就说图 b 和图 d 像。 同学们真厉害，写出了这么多相等的笔，想一想，为什么都可以写成这样的形式呢？ 是呀，因为它们的比值相等都能用等号连接。像这样表示两个比相等的式子叫做比例。 想一想，那比和比例有什么区别呢？没错，比表示的是两个数相除，比如六比三，四比二。 而比例表示的是两个比相等的式子，比如，因为六比三等于二， 四比二等于二，比值相等，我们写出的比例就是六比三等于四比二。现在你们对这两个概念是否有清晰的认识了呢？ 比利还有哪些知识等着我们去学习呢？请你用两分钟时间自学数学书第十六页， 你还找到了关于比利的哪些知识呢？是呀，我们除了知道什么叫比利外，还了解到了内向和外向。 在六比三等于四比二这个比例中，找一找内向和外向在哪里？ 没错，中间的两项三和四我们称为内向，两端的两项六和二我们称为外向。 另外，这个比例还可以写成分数的形式，六比三等于四比二。 现在你还能找到内向和外向吗？是呀，六和二仍然是外向，三和四仍然是内向。 现在你对比例是不是有更加全面的认识了？那请你写一个比例，说说谁是内向，谁是外向，并改成分数的形式。 有些同学是这样想的，因为 a 比 b 和 c 比 d 的 比值相等，所以写出了这样一个比例， a 比 b 等于 c 比 d。 真了不起， 你能找到它的内向和外向吗？是呀，在这个比例中， b 和 c 是 内向， a 和 d 是 外向。 它的分数形式是， a 比 b 等于 c 比 d， a 和 d 仍然是外向， b 和 c 仍然是内向。同学们，刚才我们找到了图片 a、 b、 d 比较像， 并运用比例的知识进行了解释。那请你找一找，哪两张图片不像？你找到了图片 c 和图片 e 不 像，想一想，为什么不像呢？ 有了前面的学习经验，大家肯定想到了图片 c 长和宽的比是八比三，比值等于三分之八。 图片 e 长和宽的比是十二比二，比值等于六。两幅图长和宽的比值不相等，八比三不等于十二比二，所以图 c 和图 e 不 像。 是呀，我们要学会灵活的运用知识去解决问题。同学们，这是一张调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况表， 请你根据比例的意义，你能写出比例吗？请找一找，试着在纸上写一写。有同学写的是十比二等于十五比三， 判断一下他写的这个式子是比例吗？有些同学是通过求比值的方法， 十比二等于五，十五比三等于五，两个比的比值相等，所以十比二等于十五比三，这个比例成立。 有些还想到了化简比，因为十比二等于五比一， 十五比三等于五比一，两个比的最减整数比相同，所以十比二等于十五比三，这个比例乘以。 还有同学用到了比的基本性质，因为给十比二的前项和后项同时乘一点五，就得到了十五比三， 所以十比二等于十五比三，这个比例成立。 我们要判断一个比例是否成立，可以通过求比值看化简比之后的结果，也可以运用比的基本性质进行判断，你们学会了吗？ 因为两个比是相等的，所以调制的蜂蜜水 a 和蜂蜜水 b 是 一样甜的， 还有些同学是这样写的，请你根据比例的意义来判断一下，这些柿子是比例吗？想一想怎么判断的？ 我们可以用求比值的方法知道。在第一个式子中，二比三的比值等于三分之二十五比十的比值等于二分之三， 比值不相等，所以它不是比例。在第二个式子中，二比十和三比十五的比值都等于五分之一，所以它是比例。 第三个式子，通过化简比发现十比十五等于二比三，跟三比二不相等，所以它不是比例。 最后一个式子，我们可以用比的基本性质给三比二的前项和后项同时乘五，就得到了十五比十，这是一个比例。 是的，同学们，我们在写比例的时候，一定要保证两个比相等，可以通过求比值、化简比和利用比的基本性质准确的写出比例。 比例在生活中的应用非常广泛，我们一起来看一看下面各表中相对应的两个量的比能否组成比例，把能组成比例的写出来。 请同学们先看明白这四张表格，再试着找一找，写一写，现在让我们一起来交流一下吧。 第一张表格，因为二百一十比三等于七十， 三百五十比五等于七十，所以路程和时间的比能组成比例。二百一十比三等于三百五十比五。 第二张表格，因为五百比十等于五十，九百比二十等于四十五，所以打字总数和时间的比不能组成比例。 第三张表格中，因为零点五比四等于零点一、二五，六比四十八等于零点一二五，所以原汁和水的比能组成比例。 零点五比四等于六比四十八。在最后一张表格中，因为一点六比二等于零点八，三点五比五等于零点七， 所以总价和铅笔数量的比不能组成比例。同学们，首先我们可以先找到对应量的比，再计算比值，通过比值来判断它们是否能组成比例。 同学们，今天这节课我们一起认识了比例，你有什么收获吗？ 是呀，这节课我们认识了比例，知道了表示两个比相等的式子叫做比例。认识了内向和外向， 掌握了通过求比值、化简比和利用比的基本性质来判断两个比能否组成比例。 在平时的学习中，我们要多留心生活，多用数学的眼光去观察，去发现，去分析。今天这节课我们就上到这里，同学们，再见！

同学们好，我是来自刘善娜名师网络工作室的郑老师，很高兴能和大家一起学习。 通过前面几节课的学习，相信同学们已经掌握了不少与援助相关的知识，今天这节课我们就要带着这些知识来解决问题。 这是一张长二十厘米，宽十二厘米的长方形纸，要将它卷成一个圆柱，可以怎么卷呢？可以用二十厘米的边做圆柱的底面周长，用十二厘米的边做圆柱的高，卷成一个圆柱形， 也可以换一个方向，用十二厘米的边做圆柱的高，用二十厘米的边做圆柱的高。 老师将你们的想法用动画演示一遍，像这样将这张长方形的纸横着卷，接口处不重合，就得到了一个细长型的圆柱， 也可以将它竖着卷，得到一个短粗型的圆柱。同学们，请你思考一下，哪种方案卷成的圆柱体积更大呢？ 我认为细长型的圆柱体积更大，因为它很高。我认为短粗型的圆柱体积更大，这样卷成的它的底面半径就长，求底面积时要求半径的平方，它的底面积就更大了， 所以我觉得它的体积肯定比另一种的体积大。我认为两种方法卷成的圆柱的体积是相等的，因为无论怎么卷，这张长方形纸的大小是不变的。 老师要为你们爱思考的好品质点赞！大家说的都有道理，那到底谁的想法才是正确的呢？我们可以怎么比较呢？ 把两个圆柱的体积都计算出来，不就可以比较了吗？下面我们就通过计算来验证谁的想法是对的。 请同学们拿出学习单，先画出草图，再运用所学的公式来计算数据，最后将结果记录在表格中。为了方便计算，我们可以用含 pi 的 字母式来表示每一步计算的结果。 好，开始探究吧！算好了吗？我们跟着笑笑来看一看探究的过程吧。 我先卷成一个细长的圆柱，它的底面周长是十二厘米，高是二十厘米。 因为圆的周长等于二乘半径乘派，所以半径等于周长。除以二派约分厚等于派分之六厘米，高等于二十厘米， 体积等于派乘半径的平方。再乘高约分厚等于派分之七百二十立方厘米。 我用同样的方法计算出短粗圆柱的半径是 pi 分 之十厘米，体积是 pi 分 之一千二百立方厘米。我发现短粗圆柱的体积更大。 你们的探求结果和笑笑一样吗？同学们，通过大家的计算，我们发现用二十厘米的边做圆柱的底面周长，用十二厘米的边做圆柱的高，卷成的短粗圆柱体积更大。 那么是不是所有的用这种方法去围一个圆柱都是这样的结论呢？ 不一定，我们可以再举几个例子试一试。是的，要想知道这个猜想成不成立，光有一组数据是不够的，我们还需要更多的长方形来验证。 大家可以将这张长方形纸横着对半裁开，并拼成一个长四十厘米，宽六厘米的长方形，或者竖着将它对半裁开，拼成一个长二十四厘米，宽十厘米的长方形。 下面，请大家从这两个新的长方形里任选一个，再像前面一样进行探求验证，观察结果。 好，我们一起看看淘气和笑笑他们探求的结果。 陶器选择的是长四十厘米、宽六厘米的长方形，先将它卷成一个细长圆柱，底面周长是六厘米，高是四十厘米，求出半径等于派分之三厘米，体积等于派分之三百六十立方厘米。 再将它卷成一个短粗圆柱，底面周长是四十厘米，高是六厘米，求出半径等于派分之二十厘米，体积等于派分之两千四百立方厘米。 笑笑选择的是长二十四厘米，宽十厘米的长方形，先将它卷成一个细长圆柱，地面周长是十厘米，高是二十四厘米，求出半径等于派分之五厘米，体积等于派分之六百立方厘米。 再将它卷成一个短粗圆柱，底面周长是二十四厘米，高是十厘米，求出半径等于派分之十二厘米，体积等于派分之一千四百四十立方厘米。 同学们通过再次探究，我们发现仍然是卷成的短粗圆柱的体积更大。 那我们将刚刚研究过的所有圆柱放在一起，并按照体积从小到大的顺序进行排列观察一下。你有什么发现吗？ 我发现这些圆柱的高越来越矮，但是体积越来越大，体积也越来越大， 同学们都很善于观察。那么在高底面积体积变化的过程中，什么是不变的呢？ 它们的侧面积没有发生变化，因为都是用原来的那张长方形纸卷成的。是啊，它们的侧面积都没变。那你能再试着将发现的规律说一说吗？ 当侧面积相等时，圆柱的高越大，它的体积越小，高越小，体积就越大。 当侧面积相等时，圆柱的底面积越大，它的体积越大。圆柱的底面积越小，它的体积也越小。 当侧面积相等时，圆柱的底面周长越大，它的体积越大。底面周长越小，体积也越小。还可以说，当侧面积相等时，圆柱的半径越大，它的体积越大。圆柱的半径越小，它的体积也越小。 同学们太会总结了，这节课，我们通过猜想、验证总结的过程，发现了当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面半径越大，它的体积就越大。底面半径越小，它的体积也越小。 回顾整节课的学习过程，你还有什么问题吗？ 是呀，我们刚才通过三组具体的数据来进行证明。那有没有更好的能够代替这些数据的方法呢？ 老师，能不能用字母来表示 a 表示长， b 表示宽，来试试看。 嗯，不错的想法，那我们一起来试试看吧！设长方形的长为 a， 宽为 b， 面积为 s， 那 么 a 乘 b 等于 s， 也就是圆柱的侧面积为 s。 假设以 a 作为圆柱的底面周长， b 为圆柱的高，那么圆柱的半径就等于 a。 除以二派 体积就等于 pi 乘半径的平方乘高，也就是 pi 乘二。 pi 分 之 a 的 平方乘 b 等于四 pi 分 之 a 的 平方乘 b。 我 们将其中的 a 乘 b 用 s 来表示，结果就可以写成四 pi 分 之 a 乘 s。 同学们，观察这个式子，现在你知道为什么侧面积相等时，短粗圆柱的体积更大了吗？ 我知道了，因为 a 代表底面周长，底面周长越大，也就是底面半径越大，那么圆柱的体积就越大。 如果把 b 当做底面周长呢？结果也是一样的。是啊，数学推理可太神奇了。好同学们，学到这儿，你有了哪些收获？ 我知道了，用同一张长方形纸为圆柱，以较长的边为底面，周长，围成一个短粗圆柱的体积最大。我知道了，当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越大，它的体积就越大。 我知道了，在猜想、验证、总结的方法去猜测。 看来大家的收获都不小呢。那今天的学习就到这了，同学们再见！

同学们，欢迎来到之江会教育广场名师金课栏目，我是来自靖云县书红小学的朱老师。 今天我们一起学习北师大版六年级下册第一页到第二页的面的旋转。 先请大家想一想，这三句话是什么意思呢？点动成线，线动成面，面动成体， 你能从生活中找出类似的例子吗？你一定想好了吧，我们一起来看看老师找到的例子点动呈现，我想到的是这个例子， 下雨天，水从屋檐上漏下来的样子，雨比较小时，雨滴一滴一滴从屋檐上漏下来，就像数学中的点，雨渐渐大起来，水滴就渐渐变成一条线， 线洞成面，你想到了什么例子呢？雨天雨刮器刮雨时的样子是吗？真棒！请看 雨刮器一刮就把这个原本布满水珠的玻璃清空了，雨刮器就相当于一根线，面在哪呢？对了，就是那块从模糊到清晰的玻璃面。我们再来看看面洞成体， 这是旋转门中间的长方形玻璃门，旋转后形成了一个圆柱体的空间，神奇吧！刚才我们已经通过生活中的例子理解了这三句话，接下来我们进一步学习吧。 先看点动呈线，这个线你想到了什么线？是呀，有直直的线和弯曲的线。请你先想一想， 点动成直直的线的样子，一个点向右直直的平移，它留下的痕迹就是一条直直的线。向上向下向左可以吗？是呀，不管点向哪个方向平移， 它都能形成一条直直的线。那点动成弯曲的线呢？又是什么样子？请你先想一想， 看到了吗？点在平面上，随意向各个方向移动，它留下的痕迹就是一条弯弯曲曲的线。我们再来看看线动成面，这里的面会是什么样子的呢？也请你先想一想， 看看我们想的一样吗？可能是规则图形，也可能是不规则图形。 先来看看线动成规则图形的样子。一根线段向右平移，留下的痕迹就形成了一个长方形，还可以向哪边平移，也能形成长方形， 如果要形成平行四边形，他要向哪边平移？对了，他要向右上方向平移。 不规则图形，你想到了什么？快一起来看看吧！一根线段平移时，经常变换方向，就形成了一个不规则的图形，有意思吧。 最后我们来看看面动成体，我们已经学过了哪些面了呢？ 是的，有长方形、三角形，先拍直角三角形为代表，平行四边形、梯形、圆，它们运动后能形成什么立体图形呢？ 旋转长方形和三角形会形成什么立体图形呢？请你先想一想。 先请你拿出课前制作的学具，花二十秒时间玩一玩，看看和你想的一样吗？开始 时间到，我们一起来看看这个长方形绕宽 o、 d 旋转会形成什么呢？果然形成了一个圆柱，那直角三角形呢？我们也来看看 一个直角三角形绕直角边 a、 b 旋转形成了一个圆锥，你做对了吗？ 如果把其他几个图形也绕某条边旋转，会形成什么图形呢？ 请同学们课后试一试，把发现告诉小伙伴。我们再来看面动成体的动字可以有哪些运动方式呢？是呀，平移和旋转。刚刚我们研究了几个图形旋转后形成的立体图形， 如果把它们进行平移运动，又会是什么样子呢？请大家想一想，课后再试着验证一下。 学到现在，老师来考考大家，下面的图形旋转后会得到什么图形？请你先想一想，你一定想好了，现在我给你一些图形，你能把对应的图连起来吗？赶快先试一试吧！ 长方形旋转后得到圆柱，半圆旋转后呢？对了，是球， 直角三角形已经知道了是圆锥，那直角梯形呢？哇， 你都连对了吗？同学们，这是这节课出现的三句话，请你把它读一读，脑子里想想相应的动画，从点到线，线到面，面到体， 你有什么新的发现？是不是发现了，他们都是从一维变成了二维，又继续变成三维？ 如果老师再给你第四句话，什么冻成什么，你会怎么填？ 你是不是想填体？冻成体，冻成什么呢？请你想一想，课后试着动手做一做吧！ 我们一起来看个动画，总结一下这节课的学习吧。面的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。 身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？ 对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？住嘴， 身为王国的贵族，如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话，点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂， 你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动呈现就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线。这条线可能是直线，也可能是曲线。 这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来，他的运动轨迹会形成灭。 比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是面。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们，也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高， 长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。 如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。 如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢！我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了。大家能认识到这一点真是太好了，不枉我把大家召集起来。 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。 今天的课就学到这里，同学们再见！

同学你好，欢迎来到知江会教育广场名师金课，我是来自刘善娜名师网络工作室的金老师，很高兴成为你的学习伙伴。 今天我们一起来学习北师大版六年级下册第一单元圆柱与圆锥中圆柱的体积。第一课时， 这段时间我们学习了两个新的立体图形，圆柱和圆锥。关于圆柱，你都有哪些了解呢？是的，我们知道了圆柱的特征和表面积的计算公式。 其实圆柱在我们生活中还有很多应用呢，你们瞧， 笑笑在参观古建筑物时，看到了一根又粗又高的圆柱形柱子，不由得惊叹到，这么粗的柱子需要多少木材呀？ 淘气和爸爸在喝水时好奇的问，一个杯子能装多少毫升水呢？ 要解决它们的问题，实际上都是要计算圆柱的体积。 那么什么是圆柱的体积呢？圆柱的体积啊，就是圆柱所占空间的大小， 我们又该如何来求圆柱的体积呢？今天这节课，我们就一起来学习和探讨这个问题。 请你回忆一下，我们已经研究过哪些立体图形的体积了。 是的，我们已经研究了长方体和正方体的体积。长方体的体积等于长乘宽再乘高。正方体的体积等于棱长乘棱长再乘棱长。 长方体和正方体统一的体积计算公式就是底面积乘高，用字母表示就是 v 等于 s 乘 h。 看来同学们以前的知识掌握的很到位。那么你能根据长方体和正方体的体积计算方法，猜想一下圆柱的体积该怎样计算吗？然后想一想你的理由， 圆柱的体积可能与底面积和高有关，因为它和长方体、正方体一样，也有底和高。 圆柱的体积等于底面积乘高，因为圆柱与长方体有相似性，都是直直的，上下一样粗。 那么他们的猜想是否正确呢？我们需要推导验证。你想到用什么方法来验证了吗？请你按下暂停键，静静地思考一下。 好，我们先来看小红的方法，我想到了叠硬币的方法，用几枚医院硬币叠成圆柱形，底面积不变高，不断的增加，体积也不断的变大， 所以我们要用底面积乘高来计算出圆柱的体积，你们想到了吗？那小兰又是怎么想的呢？ 他说，回忆一下，在学习圆的面积，我们是怎样把圆变成了已经学过的图形来计算面积的？圆的面积计算公式又是怎样推导出来的呢？ 是的，我们把一个圆平均分成了若干个扇形，拼成了一个近似的长方形， 分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半，宽相当于圆的半径， 我们就可以得出圆的面积计算公式 s 等于派乘二的平方。同学们，既然圆能转化成长方形，那圆柱能转化成长方形吗？ 请你利用手中的学具，将圆柱拼成一个近似的长方体。想一想，拼成的近似长方体和原来的圆柱有什么关系？ 对的，我们把圆柱的底面平均分成若干份，沿着高切开，就拼成了一个近似的长方体。平均分的份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。 长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的长等于圆柱底面周长的一半长方体的宽等于圆柱的底面半径长方体的高就等于圆柱的高。 因为我们知道长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高，你理解了吗？ 如果圆柱的体积用字母 v 来表示，底面积和高分别用 s 和 h 来表示，我们该如何用字母来表示圆柱体积的计算公式呢？ 是的，也和长方体的体积计算一样， v 等于 s 乘 h。 刚才我们推导出了圆柱的体积计算公式，如果想要求圆柱的体积，必须要知道什么条件呢？请你按下暂停键思考一下吧。 是的，当我们已知的是圆柱的底面积和高，我们就可以用公式 v 等于 s 乘 h 来计算。 当我们已知的是底面半径和高，我们就该用 v 等于 pi 乘二的平方再乘 h 来计算。 当已知的是底面直径和高，我们就该用 v 等于派乘二分之 d 的 平方乘 h 来进行计算。 如果已知的是底面周长和高，那我们当然要用 v 等于二，派分之 c 平方乘 h 来进行计算了。 同学们，我们学习了圆柱体积的推导过程，也总结出了计算公式，接下来我们就要学以制用了。让我们再回到刚开始的问题， 笑笑了解到，一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，你能算出它的体积吗？ 这道题已知什么？要求什么呢？是的，已知的是底面半径和高，求的是体积。 我们就可以根据圆柱的体积计算公式， v 等于派乘二的平方乘 h 直接进行计算，也就是三点一四乘零点四的平方再乘五， 结果等于二点五一二立方米，注意单位是立方米，最后不要忘记写上答。 接着来看第二个问题，从水杯里面量水杯的底面直径是六厘米，高是十六厘米，这个水杯能装多少毫升的水？这其实是求什么呢？ 是的，因为是从里面测量，求的是杯子的容积。请你按下暂停键，试着自己做一做吧。 已知直径和高可以根据公式， v 等于派乘二分之 d 的 平方乘 h 进行计算。三点一四乘六除以二的商的平方乘十六， 最后等于四百五十二点一六立方厘米。最后不要忘记把它转化成容积单位毫升。你做对了吗？ 同学们，通过刚才的学习，相信你已经掌握了圆柱的体积计算方法，也感受到了知识之间的相互联系，以及数学在生活中的广泛应用。 那么今天的名师进课我们就到这里，咱们下节课再见！

同学们好，欢迎来到今天的数学小课堂，今天我们将来学习变化的量。我们发现生活中变化无处不在， 比如一年四季，春夏秋冬更替变化，太阳总是东升西落。再比如，小汽车行驶的时间越长，路程也会越长，这里的时间和路程就是变化的量。 一本故事书，已看的页数越多，未看的页数就越少，这里已看的页数和未看的页数也都是变化的量。 那么变化的量我们可以怎样表示呢？量在变化的过程中又有怎样的规律呢？请看，这是妙想的成长情况记录表，从中你能找到变化的量吗？ 是的，体重就是一个变化的量，它从三点五千克长到了十四千克，再到十八千克，最后到二十一千克。 那么体重的增加可能跟什么有关呢？相信大家应该想到了，那就是年龄。请看这些就是妙想从出生到六岁时的体重。 观察这张记录表，我们发现妙想的年龄在变大，体重也在变重，也就是说他的体重随着年龄的增长而变重， 像这样一个量随着另一个量的变化而变化。数学上我们把这两个量叫做相关联的量， 其实这两个量除了用表格的形式来表示外，还可以用图像来表示。请看， 从图中你还能找到相关联的量吗？是的，依旧是年龄和体重， 而且从图中我们能够直观的看出，妙想的体重随着年龄的增长而增加。借助图像，同学们可以想一想，妙想的体重会一直随着年龄的增长而增加吗？ 八岁会增加，十岁也会增加，十五岁呢？二十五岁呢？到了五十岁甚至八十岁呢？ 是呀，生活经验告诉我们，人的体重不可能一直随着年龄的增长而增加，甚至有可能下降，所以在不同阶段， 相关联的量之间的变化规律可能是不一样的。同学们继续看，这是被称作沙漠之舟的骆驼的温度变化情况。 请你观察这幅图，并思考以下两个问题。思考时可以先按下暂停键。 从图中我们发现，骆驼的温度随着时间的变化而变化，所以在这里，时间和温度是两个相关联的量。 一天中，骆驼的温度最高出现在十六时和四时时， 其实四十时表示的是啊，第二天的十六时，所以这两个时间点都是十六时。 骆驼的温度最低出现在四时和二十八时。其实二十八时表示的是啊，第二天的四时，所以这两个时间点都是四时。 通过观察骆驼温度的变化情况，我们发现每天四时的温度最低，随着时间的变化，温度慢慢升高到了十六时最高， 然后慢慢下降到四时，降到最低，接着继续这样的变化。 如果从每天凌晨的临时观察，也存在这样的变化规律。数学上我们把这样的变化叫做周期性变化。 前面提到的春夏秋冬太阳东升西落，也都是在周期性变化。 数学上，我们还可以用怎样的方式来表示变化的量之间的关系呢？请看，这是一位小科学迷研究蟋蟀时的发现，你能从图中找出相关联的量吗？ 你能用一个是字表示这两个量之间的关系吗？请你按下暂停键，找一找，写一写。 我们发现蟋蟀一分钟叫的次数经过运算后能得到当时的气温。 所以在这里，蟋蟀一分钟叫的次数与气温是两个相关联的量。 因为蟋蟀一分钟叫的次数除以七再加三，所得的结果与当时的气温差不多，所以我们是不是可以用这样一个式子来表示它们之间的关系？ 一、分叫的次数除以七加三等于气温，跟你想的一样吗？如果一样，送给自己一个大大的赞！ 如果用 n 表示蟋蟀每分叫的次数，用 t 表示当时的气温，那么我们可以用这样一个含有字母的式子来表示它们之间的关系， n 除以七加三等于 t， 当 n 等于二百一十时， t 等于三十三。也就是说，蟋蟀一分钟叫二百一十下， 当时的气温差不多是三十三度。当 n 等于二百十七时， t 等于三十四。同学们想一想，这里的 n 可以 是任意的数吗？ 是呀，蟋蟀叫的次数不可能无限多，气温也不可能无限高。 当气温降到一定温度后，蟋蟀也不再发出叫声，自然也就不能判断当时的气温了。 所以在这里， n 和 t 也就是蟋蟀一分钟叫的次数和当时的气温的曲值是有一定范围的。 在一定范围内，蟋蟀一分钟叫的次数与气温存在这样的变化关系。 同学们，这节课我们学习了变化的量。通过本课的学习，我们知道一个量随着另一个量的变化而变化时，我们把这两个量叫做相关联的量。 我们也知道了可以用表格、图像、式子等方式来表示变化的量。 课后，请同学们完成这两小题的练一练，你能找到每题中相关联的量吗？请你试着用自己的话说一说两个相关联的量之间的变化关系。 好，今天的数学小课堂到这里就结束了，同学们再见！

同学们好，今天的学习内容是北师大版六年级下册第四单元第六课时正比例和反比例。先给你讲个故事吧， 名字叫财主做帽子。从前有一个财主拿了一匹上好的布料去做帽子， 到了裁缝店，觉得这样好的布料做一顶太可惜了，于是问裁缝，这匹布我可以做两顶帽子吗？裁缝看了裁缝一眼说，可以。 财主见他回答的这么爽快，心想这裁缝莫不是从中占了便宜，于是又问，那能坐四顶吗？哦不，五顶可以吗？裁缝依然很爽快的说，行。 财主看着这匹布迟迟不肯离开，又问我想坐石顶可以吗？裁缝迟疑了一会，然后从上往下打量了财主，慢慢的说可以。 这时财主才放下心来，心想这笔布料如果只做一顶帽子，那就太便宜裁缝了，瞧这不，我说做十顶，他就做十顶了吧。 过了几天，财主到裁缝店取帽子，结果一看顿时傻了眼，十顶帽子小的只能戴在手上，屏幕前的，你知道这是怎么回事吗？ 举些具体的数据来说明好方法。那我们就假设财主拿来的这批布料是二十平方分米。财主和裁缝心理各是怎么想的呢？请你把你们的想法写在表格里。 财主想，一顶帽子用二十平方分米的布料，二顶用四十平方分米，四顶八十平方分米，五顶一百平方分米， 十顶二百平方分米。裁缝这回可要倒贴上布料了，那我不是赚大发了吗？ 而裁缝想，你只给我二十平方分米的布料做一顶，我就全用上。做二顶嘛，每顶用十平方分米，四顶每顶用五平方分米， 五顶每顶用四平方分米，十顶，当然，每顶只能用二平方分米了。原来他们想的截然不同，真是贪婪的财主遇上了聪明的裁缝，吃了哑巴亏。 故事里藏着许多数学知识。仔细观察这两个表格，说说你的发现。当煤顶用料一定时，布料的总量比、顶数的比值一定都是二十成正比例。 而当布料的总量一定时，做的顶数越多，每顶用的布料越少。乘积一定成反比例。 那下面每组量中哪些成正比例，哪些成反比例呢？请仔细想一想，认真做一做，清楚地说一说。 你们最一致的是，这道题读的总页数比天数等于平均每天读的页数比值一定乘正比例。 这道题主要是方法的不同，又根据单价乘数量等于总价积一定，所以认为乘反比例。还有的想到举具体的数据来分析。 假设一共有十二元钱，如果苹果每千克一元可以买十二千克， 每千克二元可以买六千克，每千克四元买三千克，每千克十二元可以买一千克。单价越来越贵，买的数量越来越少，但它们的乘积都是十二，所以呈反比例。 同样的一道题，我们可以借助分析数量关系，也可以举些实际的数据来分析。妙！ 这道题我居然看到了二种不同的答案，有的说成反比例，有的说不成反比例。来各自说说想法。 你想代表乘反比例的同学来说，已读的页数越来越多，剩下的页数越来越少，他们加起来的总页数都是八十，何以定？所以乘反比例， 你不同意他的说法，反对他的核一定反比例应该是乘积一定。可把已读的页数乘剩下的页数不仅极不相同，这样的算式很难说清楚表示什么意思。 屏幕前的你同意谁的说法呢？是的，虽然都是一个量增加，另一个量减少，但是成反比例的两个量必须满足乘积一定。 你现在同意他不成反比例的说法了吗？相信下次遇到类似的题，你的印象肯定是最深的。 请举些正比例和反比例的例子，并想一想，正比例和反比例有什么相同和不同点？ 是的，相同点是都是一个量随另一个量的变化而变化。不同点是，比值一定时成正比例，乘积一定时成反比例。 接下去，请开动脑子，仔细分析下面个题中的两个量是否成反比例，并说明理由。 数学是讲道理的，来说说你的理由。看到这道题，我的脑海里总会浮现这样的画面，同样的路程，爸爸几脚一蹬就到了，而我却要拼命的踩着小小的自行车。 是呀，同样的一段路，车轮小，指的就是车轮的周长短，那车轮转动的圈数就要多大车轮，车轮的周长长，所以只需要转动几圈， 不管是大车轮还是小车轮，车轮的周长成转动的圈数都是它们的总路程。总路程一定时成反比例。 这道题呢，你觉得现在自己的体重增加了，所以跑步的速度慢下来了，你认为成反比例？ 你不同意他的想法，你现在的体重虽然增加了，但跑步的速度比原来快了，也有这种可能。 瞧，这位跑步王子还记得是谁吗？是的，苏炳天，相信他的体重肯定比小时候重了，他的速度呢？冲出亚洲，冲向了世界。 再说，如果乘反比例的话，我们就要用跑步的速度乘体重，得到的积要一定，可是这里并不一定，而且很难说清楚它表示的意思。 这道题没问题，有用底乘高等于平行四边形的面积， 底增加高减少，它们的成绩是一定的。乘反比例既可以借助面积公式，也可以举些具体的数据来分析。 笑笑，从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程是什么关系呢？ 这道题让你想到了前面已读的页数，加剩下的页数等于总页数，它们是合一定，而不是积一定，所以不成反比例。说得真好，把前后知识联系起来思考。 同学们，学到现在，说说你这堂课最大的收获是什么？ 能够清晰地分辨正比例和反比例。愿同学们讲道理，明辨正反比例，用数学解释现实生活。今天的课堂，我们就到这，再见！

同学们，今天这节课我们一起来回顾和整理比例的知识， 我们一起学习了比例和比例尺，掌握了比例的两个内向之基等于两个外向之基的规律，还学习了图形的放大与缩小，让我们带着这些知识一起去解决问题吧！ 请看学习任务一，将一号三角形缩小，使缩小后的图形与圆图形对应线段长的比为几比几，每个方格的边长为一厘米。 想一想这个三角形是怎样的？请你在学习单上写一写，算一算或画一画， 都有自己的想法了吗？老师，这儿也有两位同学的作品，分别是二号和三号三角形， 请同学们判断一下这两个图形，它们都符合题目的要求吗？如果是，理由是什么？如果不是，可以怎么改呢？ 我们可以这样判断，比如一号三角形和二号三角形 用两个三角形的对应直角边组成比，一号三角形的 a、 b 边和它所对应的边的长度比是六比三， b、 c 边和它对应边的长度比是八比四，比值相等，能组成比例。 所以二号三角形是一号三角形按一比二的比缩小得到的。 我们也可以根据三角形的两条直角边的比来判断。一号三角形 a、 b 边与 b、 c 边的长度比是六比八。二号三角形对应两条直角边的比是三比四， 比值相等也能组成比例，符合题目的要求。 所以，缩小后的二号图形与原来的一号图形对应线段长的比为一比二，你做对了吗？ 那么三号三角形呢？不是按一定的比缩小的，我们可以用对应直角边的比来判断六比二 不等于八比二，那可以怎么调整呢？是的，我们可以想六比几等于八比二， 运用比例的基本性质计算，六乘二等于八乘几得到一点五， 把竖着的这条直角边的长度改为一点五，这样就是按照一比四的比缩小的。同样我们还可以改横边 六比二等于八比几，同样的可以计算出结果为三分之八。 缩小后的图形与圆图形对应线段长的比为一比三。 同学们，刚才我们将一号三角形按照一定的比缩小，得到了二号和三号三角形。 其实我们也可以把一号和二号三角形看成是把三号三角形按一定的比放大得到的。想一想这三个三角形有什么相同和不同的地方？ 是的，虽然三角形边的长短、面积、周长都发生了变化，但三角形的形状不变，这几个三角形的对应边都能组成比例， 相信同学们还能写出更多的比例。那么让我们再请出六比三等于八比四，想一想，这个比例关系还可能表示生活中的哪些情境呢？ 可能是树高和隐藏的比， 还可能是行程问题。比如让我们先一起来看看购物问题，买三米彩带花了六元，买四米花了八元， 我们知道彩带的单价不变，所以六比三等于八比四。同样这个比例也可能是购物问题中的鲜花， 也可能是我们买文具当中的数学问题，都可以用这样的比例来表示。 那么同一时间，竖高和隐藏的笔可以组成比例。如果我们想知道学校旗杆的高度并画在纸上，你有办法吗？ 对，我们可以借助小树高和隐藏的笔来解决这个问题。比如实验小学的旗杆， 我们可以选择在同一时间分别测量出小树的高度，隐藏旗杆的隐藏 以及关于比利时的知识来解决这样一个问题， 组成四十比一百等于六百四十比几这样的比例，可以得出旗杆的高约是一千六百厘米，也就是十六米。 你还有其他的测量旗杆高的方法吗？我们还可以借助等腰直角三角形和比利时的相关知识， 将等腰三角形垂直放在与眼睛的平行处，眼睛沿四十五度方向对着旗杆的最高点， 量出旗杆底部到人的距离，也就是旗杆的高度，这就是化高为长。同样我们可以得出旗杆的高是十六米， 知道了旗杆的实际高度，就可以画在纸上了。如果我们知道图上旗杆的高度是八厘米，那么这幅图的比例尺该是多少呢？ 我们可以根据这两个数据，用图上距离除以实际距离去进行计算。 当然，在计算的时候，别忘了要把十六米化成一千六百厘米，和八厘米的单位相同来进行计算， 得出这幅图的比例尺是一比二百，用数值比例尺的方式记录，还可以改写为线段比例尺的方式。 同样高度的旗杆选择不同的比利时，画在纸上的高度也不同。其实比利时和图形的缩放是相同的， 前向是一表示，图形缩小。比如刚才我们所研究的旗杆的高度，后向是一表示图形放大，一般用在精密文件的图纸。 让我们一起再来研究行程问题，你能从这个表格当中找到这个比例吗？ 猎豹，奔跑三分钟，路程六千米，奔跑四分钟，路程八千米，按照这样的速度，如果奔跑 六分钟呢？十分钟呢？是的，根据图和数据，我们可以推理出更多的比去组成比例，这就是今后我们还要继续学习的关于比例的知识。 同学们，这节课我们通过两个任务一起来回顾和整理了比例的有关知识。 任务一，我们在解决图形按笔缩小的过程中，灵活的运用了比例的知识。任务二，我们结合生活中的实际情境，进一步的理解了比例。 比例的有关知识是建立在比的学习的基础之上，也为后续进一步的学习正反比例和初中的相关知识做好了铺垫。 相信通过这节课的学习，同学们会有新的收获。同学们，再见！

同学你好，欢迎来到知江会教育广场名师金课，我是来自刘善娜名师网络工作室的金老师，很高兴成为你的学习伙伴。 今天我们一起来学习北师大版六年级下册第一单元圆柱和圆锥中圆柱的体积。第二课时， 同学们，上节课我们已经学习了圆柱的体积，请你先回忆一下圆柱的体积公式， 这节课我们将进一步的运用圆柱体积公式解决一些实际问题。你准备好了吗？我们一起看一看吧！ 瞧，孙悟空来了，他想知道金箍棒的体积是多少，你能帮帮他吗？要想求出金箍棒的体积，我们要知道什么呢？ 要先求出底面积和高半径和高已知半径，我们就能得到圆柱的底面积。直径和高直径除以二等于半径已知半径，我们就能得到圆柱的底面积。 再回过头去看看题目告诉了我们什么？嗯，金箍棒的底面周长是十二点五六厘米，长是二百厘米。那这根金箍棒的体积是多少？立方厘米，这个问题你想怎样解决呢？ 请你静静的思考一下。 先要算出底面的面积，再求体积。那么底面的面积又该怎么求呢？ 我们可以根据底面周长求出底面半径，再求出底面积。同学们，你们听懂淘气和笑笑的想法了吗？请你按下暂停键，拿出笔计算一下吧。 我们来看看这四位同学的作品，你们同意他们的算法吗？体积单位应该是立方厘米，他写成平方厘米了。 他把直径看作半径，没有除以二，直接用直径去算底面积了。他把底面周长看成底面积，直接用底面周长乘高了， 它的方法是正确的。第四种方法是正确的。那你们知道这里的每一步算式分别求的是什么吗？ 是的，十二点五六除以三点一四再除以二等于二厘米，求的就是底面半径。等于十二点五六平方厘米，求的是底面积。 十二点五六乘二百等于二千五百一十二立方厘米，求的就是体积。看来啊，我们知道了圆柱的底面周长和高，就可以先求出底面半径，再求它的体积，还要注意体积的单位是立方。 同学们真能干，成功的算出了金箍棒的体积，那如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米的铁重七点九克，这根金箍棒重多少千克呢？请你认真读题计算一下吧！ 这是小红的作品，你发现什么问题了？是呀，问题问我们的是这根金箍棒重多少千克，他计算出来的单位是克，所以最后还要进行单位的换算。 看来我们在解决问题时，一定要认真仔细，注意单位是否统一。刚才我们通过圆柱的底面周长和高求出了体积，现在老师要继续考一考，你能接受挑战吗？我们来看第一题， 从题目中你知道了哪些数学信息？数学问题又是什么呢？ 是的，他告诉我们，水井是圆柱形的，底面的周长是三点一四米，深是四米， 问题是挖出了多少平方米的土。你打算怎样解决这个问题呢？请你按下暂停键，试着来算一算吧！完成了吗？一起来看一看。 我们可以通过周长算出底面半径，三点一四除以三点一四再除以二等于零点五米，再用半径算出底面积是三点一四乘零点五的平方等于零点七八五平方米。 最后用底面积乘高算出圆柱的体积是零点七八五乘四等于三点一四平方米。还有其他的算法吗？ 是的，除了分布计算，我们还可以列综合算式进行计算。三点一四乘三点一四，除以三点一四再除以二的商再乘二乘四等于三点一四立方米，你算对了吗？ 下面我们来看第二题，一个装满稻谷的圆柱形量臀，底面面积为二平方米，高为八十厘米，每平方米稻谷约重六百千克，这个量臀存放的稻谷约重多少千克？ 从题目中你又发现了哪些数学信息要求的问题是什么呢？ 是的，圆柱的底面面积是二平方米，高是八十厘米，我们就可以用底面积乘高来计算圆柱的体积，而且要注意统一单位， 八十厘米等于零点八米，二乘零点八，再乘六百就等于九百六十千克。 接着来看第三题，这里的长方体和圆柱哪个体积大呢？想一想你会用怎样的比较方法， 分别计算长方体和圆柱体的体积，再进行比较， 因为它们的高相等，可以只比较两个图形底面积的大小，这两个图形高一样，圆柱刚好可以放在长方体里面，可以直接比较出体积大小。 同学们，你选的是哪种方法呢？看来不管用什么方法，得到的结果都是长方体的体积比较大。 让我们一起来看第四题，如图，求出小铁块的体积。在圆柱体容器中放铁块应该怎么解决呢？请你认真的思考一下， 有想法了吗？我们来看看小红和小明是怎样来解决的， 分别求出原来水的体积和后来水与石头的总体积再相减， 水面升高部分的体积就是石头的体积。 这两种方法你更喜欢哪一种呢？是的，方法二的计算看起来更加的简易。让我们来看最后一题， 请你设计一个方案，测量并计算出一枚一元硬币的体积。要测出一枚一元硬币的体积，你有什么好方法吗？ 找一个带有刻度的水杯，放入一定的水，记录水位的高度，再投入十枚硬币，记录水位上升的高度，水位上升部分的体积就是十枚硬币的体积，再除以十就是一枚硬币的体积。 把十枚硬币叠起来，看成一个圆柱体，计算出圆柱体的体积，在除以十就是一枚硬币的体积。你的方法和他们当中的谁是一样的呢？比较一下这两种方法他们有什么相同的地方吗？ 是呀，他们用到了一个重要的数学思想，那就是转化。 同学们，通过刚才的学习，我们再一次对圆柱的体积进行了练习和巩固，相信你已经能熟练的运用圆柱的体积计算公式解决实际问题了。 那今天的名师金课就到这里了，我们下节课再见！

同学们好，欢迎来到今天的数学课堂，我是王老师，很高兴能和大家一起来学习。 今天我们学习的是北师大版六年级下册比例的应用，关于比例，你了解多少？是的，像这样的表示两个比相等的式子就叫做比例。我们还知道了比例有四个项， 两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内向。比例的两个内向基等于两个外向基，这就是比例的基本性质。 分数形式的比例，我们就可以用对角相乘的方式来表示出它们的基相等。今天我们继续来探讨比例的应用问题， 请看图。人们有时使用物物交换的方式，按一定的比例交换自己所需要的物品， 那么物物交换你知道表示什么意思吗？这里呀有一个知识锦囊，让我们一起来看看吧。 人类使用货币的历史最早产生与物质交换的时代，在原始社会，人们使用以物易物的方式交换自己所需要的物质，比如用一头羊换一把石斧等等。 今天我们从数学的角度继续深入的进行探讨。 请看情境图。四个玩具汽车可以换十本小人书，你能看懂吗？还可以怎么换呢？说说你的想法。 比如说八个玩具汽车可以换二十本小人书， 十六个玩具汽车可以换四十本小人书，二十个可以换五十本等等。仔细地观察，你有什么发现吗？ 不论玩具汽车的个数和小人书的本数如何变化，它们之间的比值是不变的。也就是说，玩具汽车和小人书是按照一定的比例进行交换的。 那么你能尝试写出几个比例吗？看看你们都写对了吗？ 那么如果十四辆小汽车又可以换多少本小人书呢？你会算吗？赶紧拿出笔，把你自己的想法写下来吧！ 同学们，你们都算对了吗？现在让我们一起来看一看，交流交流。 我们可以用列句的方法，这里四个可以换十本，第二个四又可以换十本，第三个四又可以换十本 玩具车，还有两个可以换几本呢？又可以换五本， 也就是说十四个玩具车可以换三十五本小人书，我们可以用算式表示，这样的过程，先算出十四里面有几个四， 这里就代表了三点五个十有三十五本，用倍数的关系来解决。 我们还可以算出一个玩具车可以换二点五本，那么这里就有十四个这样的二点五本，也就是三十五本。用归一法来进行解决。 聪明的小朋友，你一定想到了，用刚才的经验，我们可以用比例的方法来进行解决。 假设十四个玩具汽车可以换 x 本小人书，那么你能列出哪些不同的比例式呢？请在本子上写一写吧，看看你能写出几个。 同学们，你们都写好了吗？你写出几个呢？我们一起来看一看， 你们都写对了吗？那么这些比例它都表示什么意思呢？比如四比十表示玩具车与小人书数量的比， 右边也表示玩具车与小人书数量的比。那么其他的三个比例你知道它表示什么意思吗？说说看， 你想对了吗？仔细的观察这些比例，你有什么发现呢？ 左边的这两个比例都可以表示你看左边玩具车与小人书数量的比，右边也是玩具车与小人书数量的比， 左边小人书与玩具车数量的比，右边也是小人书与玩具车数量的比。右边的两个比例， 左边都表示玩具车与玩具车数量的比，右边都是小人书与小人书数量的比。 也就是说，左右两边表示的意义是相同的，只有表示意义相同的两个比，我们才可以把它写成比例式。 那么这样的比例中未知项你会解吗？我们选择其中一个来试试看吧！同学们，你们都解出来了吗？看看这些步骤，你能看明白吗？ 这里的四 x 等于一百四十是怎么来的？是的，根据比例的基本性质，将比例转化为乘法比例的两个内向积等于两个外向积， 最后算出 x 等于三十五。像这样一个比例适中，如果已知其中的任何三项，求出这个比例中另外一个未知项，就叫做解比例。 同学们，仔细观察，这个解比例和我们以前的解方程是不是很像呢？那么这两者之间有联系吗？ 是的，如果你仔细观察就会发现，解比例实际上就是解方程， 都是含有未知数的等式，所以解比例与解方程的格式是一样的，要写上解 等号要对齐。当然，一般我们将带有未知数的项写在等号的左边。那么判断我们解出来的答案是否正确呢？我们需要将答案代入比例进行验算， 看一看左边是否等于右边相等，说明这个答案是正确的。那么同学们，这三个比例你会解吗？来，一起来试试看！ 来，我们一起来将对一下， 你们都算对了吗？仔细观察这些结比例的过程，你有什么发现呢？ 不同的比例，它们答案是一样的，它们都用到了比例的基本性质，同学们非常的棒， 下面我们要注意哦，在完成这道题的最后，我们要写上答句，好了，下面我们进行挑战吧， 赶快在本子里面试试看吧，完成了吗？我们一起来较对一下，这一步是怎么来的呢？是的，用到了比例的基本性质，内相基等于外相基。 最后啊，我们还进行了验算，看看左边是否等于右边， 这一步的依据你想到了吗？哎，对角相乘也是比例的基本性质， 你算对了吗？进行验算好了解比例的内容，在生活当中有哪些应用呢？我们来试试看吧！ 好，在你的本子上写下来吧，你想到了哪些方法呢？ 根据肛肠的经验，第一题我们可以算出十五个小心心，是六的几倍，那么二点五最后乘上二，就得到了五面，这里是用倍数关系解决的， 我们还可以先算出每面小红旗有三个小星星，手里面有五个三，得到了五面，用归一法解决。那么用解比例的方法，你们会吗？来看一看， 你们算对了吗？是的，它其实还有不同的比例式，列出方程。 好，下面我们来尝试解决。第二题，在本子上试试看吧。 第一步我们要写出解设未知数，然后呢，列出方程，根据比例基本性质解出方程。 那么再想想看，我们刚才是根据怎样的等量关系列出方程的呢？ 左右两边都可以表示淘气邮票数与笑笑邮票数之间的关系。好，下面我们来尝试第三题 都完成了吗？先设模型的高度是 x 米，列出方程。 同学们，其实呀，这里模型高度与实际高度的比就是我们下一节课要学习的比例尺，用图上的距离与实际的距离的比。 下面我们一起来回顾一下今天的内容。比例的应用我们是怎样来学习的呢？ 首先我们要设未知数，根据等量关系列出比例式进行解比例， 根据比例的基本性质转化成乘法进行解方程，再进行检验。最后不要忘记写答哦！ 好了，同学们，关于比例的应用，我们在后续的课堂当中还要进一步尝试解决。今天这节课我们就上到这里。好了，同学们，再见！

同学们，欢迎来到志江会教育广场名师金课栏目，我是来自晋源县书红小学的朱老师。 今天我们一起学习北师大版六年级下册第三页到第四页的试一试。 新课前先考考你下面的物体中，你能找到圆柱吗？准备好看屏幕哦！ 这是一个水杯，你看到圆柱了吗？真棒，水杯是一个圆柱，那透明胶呢？能找到圆柱吗？是呀，透明胶也是一个圆柱。 那这根不锈钢水管呢？你看到圆柱的影子了吗？是的，也有 这根日光灯管，一定拦不住大家吧，它也是一个圆柱，那这根大柱子呢？你看到圆柱了吗？ 同学们，你们有没有想过这个问题？这些立体图形的高矮粗细都不同，为什么都叫圆柱呢？是不是它们都有相同的秘密？ 我们一起来玩一玩圆柱先请看要求可以怎么玩呀？可以用眼睛看一看，用手摸一摸，用尺子量一量等等， 明白了吗？快拿出你的圆柱玩一玩吧！时间一分钟，边玩边想它有什么特点， 我们一起来看看。圆柱上有两个圆叫底面，这两个圆的大小一样吗？你是怎么发现的？ 对了，可以用尺子量发现它们的直径是一样长的，也可以把这两个圆描下来，发现它们一样大。剩下的这个面叫圆柱的侧面。 刚才玩的时候，把圆柱的侧面放在桌面上，轻轻一推，它会往前滚。 通过刚才的玩，我们发现圆柱有两个大小相等的底面和一个侧面。那圆柱有高吗？你有办法量出它的高吗？它的高在哪里？请你拿出尺子量一量， 把圆柱一个底面朝上平放在桌面上和底面垂直的这根线就是圆柱的高。图中显示的圆柱有多高呀？ 可以量这根线，还可以是这根，这根还可以量哪些呢？ 我们还可以连接两个底面圆心这条线也是它的高。你一定发现了圆柱两个底面之间的距离就是圆柱的高。通过量圆柱的高，你发现圆柱有多少条高呀？ 是的，我们发现了圆柱有无数条高。刚才我们认识了什么是圆柱？请你来判断一下，它们是圆柱吗？ 第一个股是圆柱吗？你答对了，它的中间肚子大大的，不是圆柱。那第二个呢？也不是，为什么？ 虽然它中间直直的，但上下底面是不一样大，所以它也不是圆柱，是圆台。 认识了圆柱，我们一起来学习圆锥。你能从下面的图中找出圆锥吗？ 我们一起来看舞台的灯光，台灯的支架、冰激凌的外壳都有圆锥，真厉害！根据刚才学习圆柱的经验，你觉得圆锥有什么特点？ 是的，圆锥有一个圆形的底面，它也有一个侧面，上面尖尖的，变成一个点，叫圆锥的顶点。太棒了，我们发现圆锥有一个底面，一个侧面，一个顶点。 要想知道圆锥有多高，你有办法测量吗？我们一起来看看。先把圆锥底面放平，再拿一块平板放在圆锥顶点，使它和底面一样平，两块板之间的距离就是圆锥的高。 什么是圆锥的高呢？从顶点到底面的距离就是圆锥的高，圆锥只有一条高。这节课我们认识了圆柱和圆锥，请你想一想，圆柱能变成圆锥吗？ 把圆柱的上底面渐渐缩小，直到它变成一个点，圆锥就出现了， 把圆锥的顶点渐渐变大，他现在还是圆锥吗？那是圆柱吗？到什么时候才是圆柱？对了，上下底面一样大时中间也一样大，圆柱又回来了，真神奇！ 我们来检查一下学习效果吧！请你先认真读题，再连一连，时间一分钟。 圆柱这样切得到圆沿直径竖切得到长方形，长方体这样切的得到长方形。 圆锥沿高切得到一个三角形。你做对了吗？刚才的题目没难倒你，再来试一道，先读懂题目再解答。时间两分钟。 题目让我们求长方体纸箱的长宽高是多少？给的条件却是一个圆柱。饮料的底面直径和高，它们之间有关系吗？ 我们先看长，六瓶饮料刚好摆满长，也就是说长有六个直径。这么多长就是六点五乘六。同样的道理，宽有四瓶饮料就是四个六点五 高，为什么不用算呀？哦，原来只摆了一层，就是与饮料瓶一样高，你做对了吗？今天的课就上到这里，同学们，再见！

同学们好，欢迎走进数学小课堂，今天我们一起来学习正比例。 课堂开始，我们先来做一个猜成语的游戏，相信同学们都很熟悉，肯定难不到大家。 风吹草动，水涨船高，大家看，在这两个简单的成语中，蕴涵着两种变化的量， 草随着风的变化而变化，船随着水的变化而变化，像这样一个量随着另一个量的变化，我们称它们为相关联的量。 生活中这样相关联的量有很多，你能举例说明吗？ 老师也收集了几组，请大家观察表格，完成以下任务。任务一，填表。任务二，思考 每张表中两种量是否相关联，这两种量有怎样的变化规律，在变化的过程中是否有什么不变，清楚了吗？请大家按下暂停键，试着完成这些任务。 好，我们先来进行校对答案，表一的结果， 表二的结果，最后是表三的结果，做对了吗？我们再来看看这三张表中两种量的变化情况。 表一中，乐乐的年龄变化了，爸爸的年龄也随着变化，所以这两种量是相关联的量。 而且从表中还可以发现，乐乐大一岁，爸爸也大一岁，乐乐大几岁，爸爸也大几岁。那么在变化的过程中，谁是不变的呢？是的，他们的差是不变的。 表二中的两个量，数量和总价是相关联的量，那又是什么不变呢？嗯，比值是不变的。表三中，长和宽是相关联的量，它们是乘积不变。 同学们，你们知道吗？在这三张表中，有一张表中的两种量，在数学上，我们说这两种量成正比例，请你来猜一猜哪张表中的两个量是成正比例， 要验证咱们的猜想是否正确，我们需要知道正比例的知识。接下来请大家自学课本第四十一页，并思考。 一、课本中路程和时间的关系跟前面哪张表中两个量的变化是相类似的？二、要成正比例，需要符合哪些条件？带着这些问题开始自学吧！ 自学好了，我们一起来检验自学的情况。题中的时间和路程与哪张表的两种量的变化情况相类似，相信大家不难发现，跟表二的数量和总价之间的变化情况是相类似的。 我们把这两张表填完后放在一起，你能发现什么？这两张表中的两个量都是一个量扩大几倍，另一个量也随着扩大相同的倍数， 我们来看看是不是这样。第一张表，时间乘四，路程也乘四，时间乘六，路程也乘六。 下面的表中数量乘三，总价也乘三，数量乘五，总价也乘五，看来确实有这个规律。 再想一想，为什么这两张表中都存在着一个量扩大几倍，另一个量也随着扩大相同的倍数，这背后的原因是什么呢？ 是的，因为这两张表中相对应的两个量的比值是不变的，我们看看是不是这样呢？ 我们找几组数来具体看一看。上面表中九十比一，一百八十二比二，二百七十比三，它们的比值都是九十。 下面的表中三点五比一，七比二，十点五比三，它们的比值都是三点五。 这里的九十和三点五分别表示什么呢？很显然，九十就是这辆汽车的速度，三点五就是文具店彩带的单价。 先看第一张表格，时间在变，路程也随着变化，但是汽车行驶的路程与时间的比值都是九十，那我们可以用这样的一个关系式来进行概括， 路程比时间等于速度，速度一定。同样，第二张表格中，我们可以用总价比，数量等于单价，单价一定。像这样的两种量，在数学上我们就说它们成正比例。 现在请你也来说一说怎样的两种量才能成正比例？老师也进行了整理，请看 两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化，而且这两种量的比值一定。我们就说这两种量是成正比例， 所以要成正比例必须符合哪些条件呢？我想第一就是有两种相关联的量。第二，那就是这两种量的比值是一定的。 现在我们来判断，一开始的表一和表三为什么不成正比例呢？因为表一的两个量是差不变，表三的两个量是乘积不变， 他们的比值是不一定的，所以不成正比例。看来我们要判断两个量是否成正比例，只要看这两个量的比值是否一定就可以了， 同学们会准确判断了吗？好，那我们来试一试吧。首先，我们来判断下面个体中的两种量是否成正比例，并说明理由。 第一，小学生的单价一定，订阅的费用和订阅的数量成正比例吗？ 是的，订阅的费用和订阅的数量是两个相关联的量，因为订阅的费用除以订阅的数量等于单价，单价一定，所以订阅的费用与订阅的数量成正比例。 第二，正方形的面积和边长成正比例吗？是的，正方形的面积除以边长等于边长， 这个边长不一定，所以正方形的面积和边长不成正比例。 接着我们来看看在生活中的实际应用。学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得主杆的长，测得主杆的高和杆引的长，如下表， 下面有三个问题。第一，说一说杆引的长和主杆的高的变化情况。 大家看我们主杆的高是一的时候，杆引的长是零点四， 当主杆的高是二米时，杆引的长是零点八米。同学们有没有发现，从一变成二，扩大了两倍，那么杆引的长从零点四到零点八也扩大了相同的倍数。 所以我们讲干引的长和主干的高，他们的变化是有关联的。第二，写出干引的长和主干的高的比，你有什么发现？ 老师也写出来了，零点四比一，零点八比二，一点二比三，一点六比四，二点四比六，三点二比八，大家有没有发现它们的比值都是零点四，比值一定。 第三，主杆的高和杆影的长是不是成正比例，并说明理由。 相信大家做到这里肯定有答案了。我们知道主干的高与干引的长的比值是一定的，反过来，干引的长与主干的高的比值也是一定的。所以我们讲主干的高和干引的长是成正比例。 其实在很久以前，古人已经在应用我们今天学习的知识，我们来看看，你知道吗？请同学们默默地读一读。 好了，同学们今天的数学小课堂正比例就是这样了，谢谢你的观看，同学们再见！

同学们好，欢迎大家继续走进圆锥体积的学习。 在上节课中，我们知道了等底等高的圆柱和圆锥它们之间体积的关系， 圆柱的体积是圆锥体积的三倍，也可以说圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的三分之一。等底等高的圆柱和圆锥它们之间还存在着怎样的关系呢？ 是的，聪明的你一定发现了，如果将圆柱削成一个最大的圆锥，那么削去部分的体积就是圆柱体积的三分之二。 你能用自己的方法说明为什么削去部分的体积等于圆柱体积的三分之二吗？ 我们可以把圆柱的体积看成一，那么这个与它等底等高的圆锥的体积就是它的三分之一，消去部分的体积就是一减三分之一等于三分之二。 当然，我们也可以通过假设数据的方法进行计算。请看，这是两位同学进行的假设的数据。 第一位同学他假设这个圆柱和圆锥的底面半径为一，高为三，分别求出它们的体积，然后用圆柱的体积减去圆锥的体积等于六点二八， 最后发现相去部分的体积是圆柱体积的三分之二。 另一位同学则是把圆柱和圆锥的底面半径设为四，高为六，同样也是用相同的方法求出圆柱和圆锥的体积， 再求出消去部分的体积，从而发现消去部分的体积等于圆柱体积的三分之二。 刚才通过寻找它们的数量关系和假设数据这两种方法进行了验证， 接下来我们今天这节课就继续来研究追逐之间的关系。 请你算一算这些图形的体积分别是多少？比一比，你有什么发现呢？把你的想法在本子上写一写， 相信同学们一定有了许多的发现，我们一起来看看和你的想法一样吗？ 在这四个图形中，体积相等的图形有一和四，是的，二和三的体积也是相等的。 那请你仔细观察一和四这个圆柱和圆锥，它们之间有什么相同和不同的地方？ 是的，它们的体积相等，高也相等，四号的底面积是一号的三倍。 通过一号和四号，我们发现，当圆柱和圆锥体积相等的时候，高相等的时候，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 那么，二号和三号这个圆柱和圆锥存在着怎样的关系呢？ 它们的体积相等，底面积也相等，圆锥的高是圆柱的三倍。 原来，圆柱和圆锥还存在着许多不同的三倍关系呢。当然，这两条只是我们刚刚通过这组圆柱和圆锥得到的一个猜想。 同学们，你能像前面一样借助数量关系或假设数据的方法进行验证吗？请你动手试一试。 我们可以用数量关系的方法进行验证。圆锥的底面积是它的体积乘三再除以它的高。 圆柱的底面积是体积除以高，因为它们的体积相等，高也相等，所以圆锥的底面积就是圆柱底面积的三倍。 当然，也可以用假设数据的方法进行验证。 下面这个关系同样也可以用这样的方法进行验证。体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的三倍。 用假设数据的方法进行计算，同样也可以得到体积相等，底面积相等时，圆锥的高是圆柱的三倍。 刚才我们通过一组图形的体积，发现了圆柱和圆锥之间一些关系， 接下来我们一起来梳理一下。第一种，当圆柱和圆锥底面积相等高相等时，圆锥的体积就是圆柱体积的三分之一。 当圆柱和圆锥体积相等高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍。 当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱的三倍。这就是我们今天这节课发现的锥柱之间的关系。 有了这样的发现，当我们在解决一些问题时，就省去了不少麻烦，接下来我们一起来看下面的练习， 你能解决下面的问题吗？一个圆柱形橡皮泥底面积是十二平方厘米，高是五厘米。 如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是多少？如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是多少？ 同学们把圆柱形橡皮泥捏成一个同样底面大小的圆锥，这就说明圆锥的体积和圆柱的体积是相等的，因为同是同一块橡皮泥， 而且它们的底面积也相等。根据我们今天发现的关系，当 圆锥的体积和圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的三倍。所以圆锥的高我们就可以用五乘三等于十五厘米。 可是如果我们不知道这个发现，就应该用以前的方法来解决。那该怎么计算呢？ 首先先算出圆锥的圆柱的体积，圆柱的体积也就是这个圆锥的体积，再根据体积先乘三，再除以底面积就得到圆锥的高，最后结果是一样的， 但是我们用今天发现的这个锥柱之间的关系，只要用一个算式就解决了，是不是更简单了呢？那么第二个问题你能解决了吗？ 这个圆柱和圆锥之间又是怎样的关系呢？它们是体积相等，高相等， 这个时候圆锥的底面积是圆柱底面积的三倍，所以用一个算式来解决就是十二乘三等于三十六平方厘米，是不是变得更简单了？ 课后请你利用今天发现的追逐之间的关系，找一找下面图形的体积，它们之间又有怎样的关系呢？哪些图形的体积是相等的？你能用今天学到的知识马上解决吗？ 请你自己试一试吧！ 这节课我们发现了追逐之间的关系， 并且利用数量之间的关系以及假设数据的方法进行验证。今天的课到这里就结束了，同学们再见！

同学们大家好，欢迎来到之江汇教育广场名师监课，我是来自宋玉阳网络名师工作室的朱老师。 今天我们一起学习的是北师大版小学数学六年级下册第三单元图形的运动，接下来就开始我们学习。 同学们，我们在三年级的时候已经认识了旋转现象在生活中你有见到过吗？ 是的，像摩天轮旋转木马桌面上的时针和分针都是在进行旋转运动。 看，这是我们常见的中面，请你仔细观察一下，分针和时针是怎么旋转的呢？按下暂停键和自己亲身的说一说你的发现。 好，我们来看，我们发现时针和分针都绕着一个点旋转， 并且分针一时旋转一周，时针一时旋转一大格， 真棒！我们还发现时针转动的方向是顺时针方向，那么和它相反的方向就是逆时针方向， 你们太厉害了，时针转动的方向是顺时针方向，请你伸出手指按顺时针方向转几圈 好了吗？那么相反的方向是逆时针方向，也请你伸出手指按逆时针方向转几圈。 好，我们继续来看。请看，这是收费站的横杆，请你仔细观察一下，当横杆抬起时，它是怎么旋转的呢？ 请按下暂停键，自己先轻声的说一说。 是的，横杆绕着红点按顺时针方向进行了旋转， 并且我们发现旋转的角度是九十度，所以我们就说横杆绕红点，顺时针方向旋转了九十度，你说对了吗？请你像老师这样也轻声的说一说。 那么当横杆落下时，它又是怎么旋转的呢？ 对呀，当横杆落下时，它是绕红点逆时针旋转了九十度，你说对了吗？ 现在请大家仔细观察横杆抬起和落下时的样子，它们有什么相同之处吗？ 对的，它们都是绕红点进行旋转的，并且向一定方向旋转了九十度。 所以我们在描述旋物体旋转运动的时候，一定要说清绕哪个点，即旋转中心向什么方向，即旋转方向和旋转了多少度，即旋转角度， 这三者缺一不可，我们称他们为旋转三要素， 你学会了吗？那么接下来请大家用刚刚所学的旋转知识来解决问题吧！请你按下暂停键，快速完成学习单练一练。 好，我们来看时针 a， 按顺时针方向旋转九十度，到了 b 点， 如果要从 a 到 c， 可以 按顺时针方向旋转一百八十度，也可以按逆时针方向旋转一百八十度。你做对了吗？请你在边上给自己打上一颗五角星。 同学们真厉害，我们刚才根据物体旋转用语言描述它的特征，如果你现在用语言描述，你还能画出物体旋转后的位置吗？ 请你按下暂停键，在练习单上试一试。开始 画好了吗？我们一起来看。要画出现段 a、 b 绕点 b 顺时针旋转九十度后的线段，要先找到旋转中心 b， 然后以 b 为中心，沿顺时针方向找到与线段 a、 b 垂直的线段， 最后根据线段 a、 b 长度写上 a 一 撇，那么线段 a、 b 就是 线段 a、 b。 绕点 b 顺时针旋转九十度后的线段。 画对了吗？你们太厉害了，现在继续提高难度。如果绕点 a 逆时针旋转九十度，又该怎么画了呢？ 是的，这次要找到旋转中心 a， 以 a 为中心， 沿逆时针方向找到与线段 a、 b 垂直的线段，最后根据线段长度写上 b 一 撇，那么线段 a b 一 撇就是线段 a b 绕点 a 逆时针旋转九十度后的线段。 我们来观察一下，刚才都是绕中心点旋转了九十度，为什么画出的线段位置却不一样呢？ 是的，这两次的旋转中心不同，第一次是点 a， 第二次是点 b， 我们还可以看到两次旋转的方向也不一样，第一次是顺时针旋转，第二次是逆时针旋转。 那么这两十字画出的图形又有什么相同的地方呢？对呀，旋转后的线段长度仍然是三个格子，也就是说线段的长度是相等的， 看来旋转后图形的形状不变，位子发生了变化。 通过上面的学习，相信同学们对旋转已经有一定了解了，接下来我们一起用旋转的知识来挑战一下吧！ 首先来看第一题，请按下暂停键，自己快速在练习纸上试一试。 好，我们先来看第一个图， 从九十到十二时，时针完，走完以后呈直角，所以就是九十度。 接下来来看第二个图，这里我们先要算出钟面上每个大格是多少度，每一个大格是三百六十度，除以十二等于三十度。 从十二时到十六时走了四大格，那么就是三十度乘四等于一百二十度，你做对了吗？请在边上画上一颗五角星， 相信厉害的同学们都已经完成了。那么第二题，你还能自己尝试着画一画吗？请按下暂停键，在练习纸上试一试吧！ 好，画完了吗？现在请大家看大屏幕和电脑老师画的来较对一下， 你画对了吗？相信同学们都画正确了，一点都难不倒你！还有最后一题哦，难度要继续升级了， 请拿出练习纸，自己先在练习纸上试一试吧。 看来同学们的速度非常快，都已经完成了，现在与电脑老师所画的进行校对，看看你画的正不正确。 好，同学们画的又快又正确。我们来看都是绕 p 点旋转，为什么旋转后的图形完全不同呢？ 是的，虽然旋转中心都是点 p， 但它们旋转的方向不同，线段 m p 与 pm 的 长度也不一样，所以最后图形的样子完全不相同。 你们真是太厉害了，不但会画，还会进行总结。同学们，通过这节课的学习，你一定有很多收获吧！那么今天这节课我们就上到这里，同学们再见！

各位同学大家好，之前我们已经学过长方题和正方题的表面积计算公式，今天这节课我们要来学习圆柱的表面积计算公式， 请大家看这道题目。这是一个圆柱形的纸盒，如果不算接口部分，至少需要多大面积的纸板。 求需要多大面积的纸板，就是求什么呢？对，就是求这个圆柱形的表面肌。那么一个圆柱形的表面肌应该包括哪几个部分呢？ 是的，圆柱形的表面肌包含三个部分，上面是一个圆， 下面也是一个圆，而侧面它是一个曲面。我们能不能把这个曲面转变成已经学过的图形呢？请你想一想， 如果我们把圆柱的侧面沿着这条虚线展开，你觉得应该会形成一个怎样的图形？是的，会形成一个长方形。 那如果是斜的剪开呢？又会形成一个怎样的图形？是的，会形成一个平行四边形，不同的剪法，圆柱的侧面展开会形成不同的图形，但是它们最终都能转化成长方形。 那现在你能画出圆柱的展开图了吗？请你在自己的本子上画一画草图， 画好了吗？老师这里也给大家提供了两个展开图，你觉得哪一幅是正确的呢？ 大家都认同第一幅正确的，第二幅不对。那为什么第二幅会不对呢？ 是的，如果第二幅图是圆柱的展开图，那么这个长方形的长就应该能够把底面圆围起来，而通过图我们会发现这是不可能的， 我们要使这个长方形的长能够围成这一个圆，那么长方形的这条长就应该是底面圆直径的三倍多一点， 这样画出来的草图才是比较规范和合理的，你画对了吗？如果有问题请你改正。 接下来我们就来研究圆柱的表面积计算公式。我们先来看圆柱的侧面记， 刚才我们已经知道，长方形的长就相当于圆柱的底面周长，长方形的宽就相当于圆柱的高， 所以圆柱的侧边积就等于底面周长乘高用字母表示就是 c h， 也可以用派 d h 或二派二 h 来表示。 那圆柱的两个底面呢？我们看到这是熟悉的圆形，圆形的面积计算公式就是 pi r 平方， 所以圆柱的表面积就等于一个侧面加两个底面，用字母表示就是二 pi r h 加二 pi r 平方。在公式中大家千万不要忘记这是两个底面， 那么根据这个公式和题目中提供给我们的信息，我们能计算出这个圆柱的表面积了吗？请大家试试看。 好，我们来看算式应该是这样的， 二派乘十乘三十，加二派乘十的平方等于八百派，等于二千五百十二平方厘米。 像这样的计算过程当中，老师也建议大家先可以用 pi 来表示圆周率，到最后再用三点一四进行计算，这样能够使整个过程比较简洁。 我们再回过头来看圆柱的这个表面积计算公式二， pi r 加二 pi r 平方。我们看到在加号的前面和后面都有二 pi r， 那如果把二派二提取出来，这个字母式就变成了二派二乘 h 加二的和。 我们都知道，二派二就是圆柱的底面周长也就相当于长方形的长， h 就是 圆柱的高也就相当于长方形的宽，那这个 r 又是什么呢？ 我们可以来回忆一下，当初推到圆面积计算公式的时候，我们是把一个圆平均分成若干份，然后通过拼接组合把它转变成一个近似的长方形。 所以这里我们也可以把上下两个底面的圆平均分成若干份，然后通过拼接组合转变成这样的一个近似长方形。 这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，而这个长方形的宽就相当于圆柱的底面半径，也就是 r， 所以 r 派 r 乘 h 加 r 的 和，就可以用这样的一个图来表示，你看懂了吗？ 好，我们已经掌握了圆柱的表面积计算公式，接下来我们就来算一算吧。这里有两个圆柱，在计算之前，你先想一想它们的表面积一样大吗？ 嗯，有的同学认为不一样大，因为这两个圆柱的形状方向都不一样 哦，也有的同学认为可能是一样大的，因为这两个圆柱都有两个数据，二十和五十，那到底一样大吗？我们就动手来算一算吧。 我们先看第一个圆柱算式是二十除以二的平方乘派乘二加二十乘派乘五十等于三千七百六十八平方厘米。 第二个圆柱五十除以二的平方乘派乘二加五十乘派乘二十等于七千零六十五平方厘米。看来表面积的大小差距还是挺大的。 在这两个算式当中，我们会发现，二十乘派乘五十和五十乘派乘二十都是一千派，它们是相等的，这是在求什么呢？ 对，这分别是在求两个圆柱的侧面积，也就告诉我们这两个圆柱的侧面积是一样的，而底面积是不一样的，这又是为什么呢？ 我们可以清楚的看到两个圆柱的底面直径分别是二十和五十，所以最终算出来的底面积是二百派和一千二百五十派，相差还是挺大的。 刚才我们已经会计算圆柱的表面积了，接下来我们来解决一个生活当中的实际问题， 油桶的表面要刷上防锈油漆，每平方米需用防锈油漆零点二千克。刷一个油桶大约需要多少防锈油漆要求需要多少防锈油漆，我们先要求什么呢？ 是的，我们先要求出这个油桶的表面积，那么表面积又应该怎么计算呢？请大家先试一试吧。 表面积的算式应该是零点六除以二的平方乘派乘二加零点六乘派乘一等于二点四四九二平方米， 然后再乘零点二，保留两位小数，约等于零点四九千克，你算对了吗？ 好，回顾整节课，你学会了什么？又是怎么学的呢？ 我们大家通过画一画，想一想的方法认识了圆柱的展开图，又通过大家的共同讨论，我们得到了圆柱表面质的计算方法是一个侧面加两个底面字母是等于二 pi r h 加二 pi r 平方， 你掌握了吗？好，今天这节课我们就上到这里，同学们再见！