六下五四制鲁科版基本平面图形强化

下面就请大家和我一起踏上寒假的提分之旅，今天咱们来学习鲁教版五四至六下的第五张基本平面图形的第一节，线段射线直线。 这节课的学习目标呢，主要有三个，第一个在现实情景中理解线段射线直线的概念，以及他们的区别与联系，也是咱们本节课的重点。第二个会用不同的方法表示线段射线直线， 这个是咱们本节课的难点。第三个是了解两点，确定一条直线这个几何事实，并会用这个几何事实解释生活中的一些常见数学现象。 好，大家请看下面三张图，第一张，绷紧的琴弦，第二张，手电筒射出的光线，第三张，向两方无限延伸的笔直的切轨。 那么大家想象一下，他们可以分别抽象出哪些简单的平面图形呢？例如第一个，绷紧的琴弦，琴弦的两端是不是固定在琴的端部啊？然后中间是一条 b 值的什么 线段？哎，对，绷紧的琴弦是线段，手电筒射出的光线是射线， 向两边无限延伸的笔直的铁轨是直线。那么线段射线、直线这三个简单的几何图形呢，在咱们小学当中已经有所涉猎，下面咱们 一起来探究线段射线直线的概念以及表示方法。 那么问题来了，线段射线直线是如何定义的呢？ 像刚才咱们看到的绷紧的琴弦以及咱们教室当中黑板的边缘，都可以近视的看着线段，线段有两个端点，这是线段的定义，下面咱们来看射线， 有了线段的定义以后，咱们根据线段的定义可以延伸出来射线，将线段向一个方向 无限延长，就形成了射线，请大家注意啊，将线段向一个方向， 这指的是一个方向，不是两个方向哈，也不是三个方向。将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，例如手电筒、探照灯所射出的光线就可以近视的看出射线， 射线呢，有一个端点，大家可以想象到，手电筒和探照灯光源所在的位置就是端点。 如果将线段向两个方向无限延长，就形成了直线。哎，这个地方是向两个方向无限延长，就形成了直线，因为它是向两个方向无限延长，所以直线呢，没有端点。 那么大家看到线段、射线、直线这三个的定义以后，是不是感觉即像是又有区别呢？那么大家首先来看啊， 线段，它与直线的联系是什么？那是不是可以看成直线上的两点，以及这两点之间的部分就是线段呢？哎，是的，你非常聪明。 那么射线呢，是不是可以看成直线上的一点和它一旁的部分构成的几何图形啊？哎，是的， 课后呢，请同学们思考一下，生活中还有哪些物体可以近似的看着线段射线、直线呢？ 那么咱们来看第二个问题，咱们第一个问题知道了线段、射线、直线的定义，那么咱们在数学当中如何来表示线段射线直线呢？首先来看线段的表示， 咱们可以用线段的两个端点字母来表示，比如右图可以表示为线段 a b 或者线段 b a， 哎，另外呢，还可以用一个小写字母来表示，比如线段 a， 这就是线段的表示方法。 下面再来看射线的表示，可以用端点和射线上另外一个点来表示， 比如射线 o m， 其中 o 是 端点， m 是 另外一个点，那么 o m 的 方向就代表了射线的方向点， o 呢，表示是射线的端点。大家请注意，射线必须有端点，有方向，这两者缺一不可。 如果两条射线他端点相同，如果他们射线的方向呢，也是同一个方向，那么这两条射线呢，指的就是同一条射线。否则，如果说是端点或者是方向，这两个当中只要有一个不同，那么就不是同一条射线。 端点呢，必须写在前面。直线的表示， 咱们可以用直线上任意两点来表示。直线，例如直线 ef 或者直线 fe， 大家可以看到 ef 也好， fe 也好，是没有先后顺序的，也就是说是没有方向的。这一点呢，和线段一样，比如线段 ab， 也可以说成线段 b a， 他 们两个没有先后顺序，也就是没有方向。 在这里呢，只有射线是有方向的，必须端点写在前。另外呢，直线还可以用一个小写字母来表示，比如直线 l。 好， 那么大家来看一下问题三，如图所示，射线 o m 与射线 o n 表示同一条射线吗？ 射线 m n 与射线 n m 呢？首先咱们来看射线 o m 与射线 o n。 刚才老师讲到了，两条射线是不是同一条射线，必须满足两个条件，一，他们的端点 是不是同一个端点，或者是不是重合，首先 o m 和 o n， 他 们的端点都是 o， 然后是不是同一个方向呢？那么射线 o m 是 这个方向，那么射线 o a 呢？也是沿这个方向，所以呢，是同一个方向，而且是同一个端点，所以射线 o m 和射线 o n 表示一条射线， 那么射线 m n 与射线 a m 呢？首先，射线 m n 是 端点是 m， 而射线 a m 的 端点呢，是 n， 他 们两个的端点都不同，所以啊， 射线 m n 和射线 a m 表示的不是同条射线。下面咱们一起来做两道题，巩固刚才咱们所学的知识点。 第一题，下列图形中表示射线 ab 的是。首先呢，大家来看 a， a 表示的是固定的两个端点和它中间的部分，所以这是线段，所以 a 不是 b 呢？ 一个固定的端点 a， 然后向 b 的 方向延伸，所以指的是射线 ab， 所以 啊， b 是 正确的。那么 c 表示的是什么呢？端点是 b 向 a 的 方向这个延伸，它表示的是射线 b a 而不是 ab， 那 么 d 呢，是两个端点 ab 向两个方向无限延伸，所以它表示的是直线 ab， 所以正确的结果是 b。 第二题，如图所示，下列说法正确的是 a。 直线 a b 和直线 c、 d 是 不同的直线。大家来看啊， 直线 a b 和直线 c d 是 不是同一条直线？如何来判断呢？首先来看，直线是可以向两个方向无限延伸的，那么咱们把直线 a b 向两个方向无限延伸， 向左侧无限延伸，然后向右侧无限延伸，那么直线 ab 无限延伸以后，是不是就会碰到了 c 点和 d 点，如果继续延伸上去，就会超过 d 点，所以呢， c 点和 d 点也在直线 ab 上，所以直线 ab 和直线 cd 是 同一条直线，也就是说， 直线的表示方法可以用直线上任意两点来表示，那么直线 ab 也好，直线 bc 也好，直线 cd 也好，在这道题中指的都是同一条直线，所以 a 的 说法是不正确的。 再来看 b， 射线 a b 和射线 b a 是 同一条射线。这个老师刚刚讲过了，射线 a b 的 端点是 a， 射线 b a 的 端点是 b， 两个都不是同一个端点，所以啊，是错误的。 线段 a b 和线段 b a 是 同一条线段，哎，这个是正确的。对于线段来讲，端点的两个字母没有先后顺序，所以啊， c 是 正确的。所以呢，该题的答案是 c。 那 么咱们一起来归纳一下线段射线与直线的区别以及联系。首先呢， 线段是不是有两个固定的端点呢？哎，一个 a， 一个 b， 它有两个端点，那是否可以延伸呢？大家注意啊，线段是不可延伸的，既不可向 a 的 左侧延伸，也不可可以向 b 的 右侧延伸。 那么线段是否可以度量呢？度量的意思就是指线段的长度是否可以计算测量。那么线段 a b 的 两个端点是固定的，那么咱们拿指尺量一下，自然可以量出它的长度，所以线段 a b 也是可以度量的。 那么它的表示方法可以用线段 a b 或线段 b a， 以及用一个小写字母线段 a， 这三种方法都可以表示。 这个地方大家注意的是， ab 两点没有先后顺序，即可以说线段 ab， 也可以说线段 b a。 如果在作图的时候，咱们一般说线段 ab， 怎么来作图呢？它的几何语言是连接 ab， 连接 ab， 大家注意啊！ 好，咱们再来看射线，射线 a b， 它的端点个数呢？只有 a 一个，所以它是有一个端点，因为向 b 的 方向是无限延伸的，所以它只有 a 这一个端点， 是否可以延伸？刚才说到了可以向 b 的 方向无限延伸，哎！可以向 b 的 右侧无限延伸， 因为它可以无限延伸，所以它的长度是不可测量，也不可计算的，所以它是不可以度量的，大家一定要注意啊！射线，它的长度是不可以度量的。表示方法，可以用射线 ab。 大家注意， ab 两点有先后顺序，因为端点必须在前，另外一个点在后。测。 作图的时候，一般描述为以 a 为端点做射线 ab， 这里指的 a 是 端点，然后 b 是 另外一个点，那么就可以描述为以 a 为单点做射线 ab。 下面来看直线，直线因为可以向两个方向无限延伸，所以直线呢，是没有端点的，因为它可以在 a 的 左侧无限延伸，也可以在 b 的 右侧无限延伸，所以它是两端，是没有端点的， 因为它可以向两个方向无限延伸，所以它的长度也是不可计算，不可测量的，因为它的长度是无限的嘛。就像射线一样，虽然射线是向一个方向无限延伸，但是它的长度仍然是不可计算，不可测量。 表示方法，可以用两个大写字母，直线 a， b 或者直线 b， a 来表示，就是直线上的任意两个大写字母都可以表示直线，也可以用小写字母直线 a 来表示。 ab 两点呢，和线段一样，是没有先后顺序的。过 ab 两点 做直线，哎，这就是在做直线时候，他的作图描述的几何语言，大家注意一下，对于这张表来讲，大家要记住啊，非常重要，因为他是第一章节咱们做题的基础，有了这张表，大家理解 并记住并会应用，才能会做下面的一些经常见到的题目。好，咱们一起来看一下， 咱们来试一试这道题啊。如图，已知平面上三点， a、 b、 c 让来画线段 a、 b 画直线 bc， 画色线 c a。 大家思考一下怎么来画呢？首先 大家来看画线段 a、 b 是 不是就直接连接 ab 就 可以了，即不要向左侧延伸，也不要向右侧延伸，只能连接 ab， 这个时候就是线段 ab。 那 么画直线 bc 呢？ 那就是过点 b 和点 c 做直线，向两个方向无限延伸，即向左下侧延伸， 也向右上方无限延伸，一定要越过这两个点，哎，这才是直线 bc， 一定要越过啊！ b 要往上延伸， c 要往下延伸，一定要越过这两点，这才是直线 bc。 那 么大家来看一下射线 c a 呢？ 那就是以 c 为端点画射线 ca， 这时候大家一定要注意， c 是 端点，所以啊， c 点是不能往下延伸的， ca 是 另外一个点，因为它是射线，所以要在 a 点的左上方无限延伸，哎，这时候就表示的是射线 ca， 所以 在做线段直线射线，一定要理解他们的定义和区别， 谁有端点，谁没有端点，谁有几个端点，哎，这是最主要的。来看第四题，第四问啊，如何由线段 ab 得到色线 ab 和直线 ab 呢？ 有了线段 a、 b 以后，根据射线的定义，是不是向 a、 b 的 方向延伸就可以了呀？将线段 a、 b 向 b 方向延伸，是不是就能得到射线 a b 呀？哎， 那如何由线段 a b 得到直线 a b 呢？是不是将线段 a b 向两个方向无限延伸，就可以得到直线 a b 呀？ 哎，咱们来画一画啊，射线 ab 是 不是就是在这朝 b 的 方向延伸，这时候这条线就可以描述为射线 ab， 如果是想把它变成直线的话，那么左侧也需要继续延伸，这个时候就变成了直线 ab。 题目当中又问，直线 a b 与直线 b c 有 几个公共点啊？那大家来看， a、 b 与 b c 有 几个公共点啊？是不是仅有 b 这一个公共点啊？所以啊，只有一个公共点 b。 下面咱们一起来讨论一个问题啊，当直线 a 上有 n 个点时，可得到多少条射线，多少条线段？咱们先来解决第一个问题，比较简单，大家来看图啊，当直线 a 上有一个点时， 那么可以得到几条射线啊？大家知道啊，对一个点来说，他至于能有几条射线在直线上，是不是在以 a 点为例，是不是可以向 左侧一条，向右侧一条，这是不是两条射线啊？所以啊，一个点对应的就是两条射线， a 点也好， o 点也好，他们对应的是不是都是 两条射线啊？也就说，在直线上的每一个点，他们都各自对应两条射线，这两条射线 互不重合。为什么呢？因为他们每一个点都是对应的射线的端点，端点不同就是不同的射线，所以直线上的每一个点都对应两条射线。那么大家根据这条规律，是不是就可以得到，当直线上有一个点时， 是不是就能得到两条射线呀？哎，对，因为每一个点对应两条射线嘛，那么两个点时，自然就乘以二是四条，三个点是乘以二六条，四个点时乘以二八条，五个点时乘以二十条，同理，六个点时十二条。 哎，这就是射线的规律。那么当直线上有一个点时，可以得到几条线段呢？如果直线上仅有一个点，那大家可以想象啊，因为咱们线段的定义是有两个固定的端点，所以啊，他只有一个点时啊，他应该是零条线段。 如果当直线上有两个点时，那么可以得到几个线段呀？哎，咱们的定义也是线段有两个断点，所以当直线上有两个点时，比如 a 和 o， 是 不是可以得到一条线段啊？大家来看上图， 如果当直线上有三个点时，比如 a、 o、 b， 那 么已经有了线段 a、 o， 是 不是还可以有线段 o、 b 和线段 ab 啊？大家请看这两个绿色的。 刚才已经有了一条红色的，再加上这两个绿色的，是不是有三条线段啊？这三条线段是不是也可以表示成一个红色的，加上两个绿色的呀？哎，咱们继续往下看，当直线上有四个点时，比如这时候再把 c 点加进来， 那么大家可以看一下，是不是就多了蓝色的这些线段呀？ 与三个点相比时，就多了三条蓝色的线段，线段 oc、 线段 bc 和线段 ac。 刚才有了三条了，那么又多了三条蓝色的，是不是一共有六条啊？ 哎，六条是不是也可以按颜色来表示成一条红色的，两条绿色的，然后 三条蓝色的，对，所以是六条。如果当直线上有五个点时，怎么着像这样一直数下去，大家会觉得非常繁琐，是吧？根据咱们学的 上学期当中的整式规律来探索的话，咱们来探索一下他们具体是不是有什么样的规律来表现呢？大家来看啊，当直线上有三个点时，他有三条线段是一加二，哎，加到二是不是比三少一啊？当直线上 有四个点时，那么他有一加二加三条线段，哎，三是不是又比四少一啊？那么同理，咱们是不是就可以啊 推得。当直线上有五个点时，那么是不是可以应该写成一加二加三加四，哎，这么多条线段呢？ 一加二加三加四就是十条线段。同理，当直线 a 上有六个点时，那么应该有一加二加三加四加五，共十五条线段。 通过上面六个小问，那么大家是不是可以总结一下，如果当直线上有 n 个点时，那么是不是可以得到二 n 条射线啊？哎，对，因为每一个点对应的都是两条射线， 如果直线上有 n 个点，那么它能对应多少条线段呢？根据上面的规律，是不是可以对应一加二加三，一直加到 n 减一啊？是不是这个规律大家看一下，三个点的时候是一加二， 四个点的时候是一加二加三，五个点的时候是一加二加四，六个点的时候是一加二加三加四加五。大家请看最后一位是不是都是比点的个数少一啊？ 哎，四个点加到三，五个点加到四，六个点加到五，那么 n 个点是不是应该加到 n 减一啊？所以可以得到一加二加三，一直加到 n 减一条线段。至于这个 算式求出来结果是多少，这可以用倒数向加法求和，老师在这里就不享受了，结果就是二分之 n 倍的 n 减一条线段， 这个结果大家一定要记住，在后来的题目中会经常遇到这个结果，当直线上有 n 个点时，那么会产生二分之 n 倍的 n 减一条线段。 如果大家想具体了解倒数相加法求和是如何进行的，大家可以看我前面的视频。

同学们大家好，我们这节课继续学习平面图形，今天我们学习角，首先看一下老师提供的几幅图，你能在图中找到角吗？ 很明显这是一个角，是吧？角学我们学过，继续， 这也是一个角，这也是一个角，这是钟表，是针和分针所成的一个角。 好，那什么叫做角呢？由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这里的公共端点我们知道它就是角的顶点， 那自然这两条射线就叫做角的两条边，这是角的构成和它的定义。我们看一下能不能找到这些图形当中角的顶点。 两条射线 是两条边，然后公共端点，两条射线的公共端点是它的顶点，这是顶点。第二幅图 a、 c， 射线 a、 c 和射线 ab 是 角的两个边，公共端点 a 是 顶点。 第三个，这个射线 b、 a 和射线 bc， 公共端点是 b， b 是 它的顶点 b a， 射线 b、 a 和射线 bc 是 它的边。 好，那上节课我们学习的射线线段 直线如何表示？那对于角我们又怎样表示呢？我们这节课先学角的表示方法。 老师在这里画了一个角，它是由两条射线组成的，有一个公共端点，就是有顶点和两条边组成了这样一个角，那我怎样表示这个角？我们看到上面我标了一些字母，对不对？我标了一个 a， 标了个 b， 标了一个 c， 这三个字母，其中 b、 a 是 边， bc 是 边，那么这个公共顶点 b 很 重要，是不是？那我们在表示角的时候，我们就要把它重点看着好， 用三个字母以及符号，这个角的符号来表示。好，我们怎么表示？先写角的符号，然后再写字母。写字母的时候一定要明确一个中间的字母，我用这三个字母来表示，中间的字母一定是顶点， 角 a、 b、 c， 中间的字母一定是这个角的顶点， 中间的字母表示顶点，其他两个字母分别表示两个边上的点，所以我可以用角 a、 b、 c 来表示。有些同学说，老师呀，写这三个字母有点啰嗦，能不能只用一个字母表示？当然可以了， 我们可以把这一个端点上的这一个这个角直接写成角币，用一个字母来表示，或者是我们给它标上一个阿拉伯数字。一， 用一个字母用一个数字表示一个角，这个可以表示成角币，也可以表示成角一，还可以表示成希腊字母。阿尔法，这个读作阿尔法， 我们叫它叫角 r 法。我们总结一下角的表示方法。角的表示方法它有两种形式，第一种形式就是三个字母中间的字母表示顶点，可以表示成 a、 b、 c， 但是一定要加上角的符号。 第二种就是我们可以用单独的一个字母表示，这个字母一定是它的顶点。角 b 可以 用单独的一个数字表示，角一，可以用单独的一个希腊字母角二法表示，这些都是角的表示方式哈。继续 在角的表示方法当中，我们需要注意的，这个顶点中间的这个三个字母当中的这个中间字母一定是顶点，一定要写在中间上。然后第二个， 如果我们用一个字母来表示角的时候，那么这个顶点上这个顶点只有一，嗯，以以这个点为顶点的角只有一个时才能用一个带字母表示， 这句话是什么意思？比如说第一个图，角 a、 o、 b， 我 们正常可以表示成 a、 o、 b， 因为 o 是 顶点，在中间，角 a、 o、 b 在 这个 o， 这个顶点对应的这个角只有它这么一个角，所以我可以写成角 o， 这第二个就不行。为什么呢？因为角 o 这边有三个角，角一、角二，还有这个大角又好，有多余一个的角就不能再用一个字母表示了， 你不能用一个大写字母表示了，像这个可以表示成角 o， 但是这个就不行，因为这个地方有好几个，你到底是这个角是角 o 还是这个角是角 o， 就 混淆了。所以像这样的不能表示角 o， 这样的角 o 就 不行，只有这样的可以表示成角 o， 哈，这就是这个意思。以这个点为顶点的，只有一个角的时候才能用哈，好，然后第二个、第三个用小写的阿拉伯数字可以表示，比如说角一角二，这个我们以前也接触过，四五年级的时候，角一角二， 但是要画一个小短弧表示角一是这个，角二是这个哈，然后我们也可以用西。

同学们大家好，从今天开始我们进行六年级下册的学习，今天我们要学习基本的平面图形当中的第一部分，线段，射线和直线。 对于线段我们并不陌生，小学的时候我们学过，老师这里有一有一把琴，弦，上面的每一个弦 都是一个线段，这里有一条光线，从我们的手电筒发出来的光线，我们把它看成是射线， 并且在生活中我们还见过这样的，这是什么呀？铁轨对不对？我们也可以把铁轨 看成近似的直线，自行车车轮的腐条我们看成是线段，铅笔可以看成是线段，而霓虹灯射出来的光线，我们也可以叫它叫做射线。 那通过这些例子，我们能够回忆起以前我们学的线段，射线和直线都有哪些不一样的地方， 线段最突出的特点就是两个端点对不对啊？那射线呢？ 从发光点发出的一条线，所以它只有一个端点，那直线它是向两侧无限延伸的，所以它没有端点，这是我们小学阶段学习的内容， 我们在学习这三种线的时候，我们常把线段作为我们最基础的概念去研究，那为什么呢？通过老师接下来的一个操作，你就明白为什么线段是最基本的。 我在这里画出来了一条线段，现在我的端点是 a 点和 b 点，两个端点造就了一条线段。现在我经过一个小的变化， 把我的 a 点向右侧无限延伸，这就变成了一条射线。同样的道理，我把 b 点当做端点，向左侧无限延伸，也得到一条射线， 这是从线段我们可以得到射线。如果我向 a 的 左侧， b 的 右侧两侧无限延伸，我就得到了一条直线， 这就是为什么线段是最基础的。好，我们知道这三种线重要，也知道在生活中常用，那我们想一想，我们在做题的时候，我们如何去画出这三种线呢？首先第一种线段， 线段，因为它有两个端点，所以我们首先把两个端点标出来， a 点和 b 点用直角连接， a、 b 就是 线段。 一定要注意的是，我们在画线段的时候，直线直角描出来的线能不能 到达我们端点的两侧是不行的，必须到端点就终止，不能超出端点，这是我们的要求。好，第二个射线，射线是从一个端点无限往一个方向无限延伸，所以我们首先要确定一个端点， 如果我们把 o 点当做端点，那么无限延伸，向右侧无限延伸，就得到一条射线。 同样的道理，我们可以找到一个一点向左侧无限延伸，只要向一侧无限延伸就可以，就能画出一条射线。 要注意的是，画射线的时候，要画出一个端点，向一方延伸。射线的两个重要信息，第一个是一个端点向一侧无限延伸，好，继续看直线，直线， 我们平常在生在我们的做题的时候，很多同学就会这样想，老师我画出这个直线，我怎样表示它无限延伸呀？ 在数学上我们经常会找到两个点，比如说找到这两个点，把这两个点两侧也画上线，这样就可以表示出它的无限延伸了， 也可以找一个字母，小写的字母表示也可以。然后画一条直线，我们可以只画一条直直的线，但是在两侧要标上两个点， 标上两个点，这两个点一定要延伸，延伸出一段来表示无限延伸的感觉，也可以表示，也可以这样画，画一条直直的线，然后上面标一个小写字母，这样也可以表示一条直线。直线比较特殊， 线段和射线都比较好理解，因为他们有端点，把它限制住了，而我们的直线是无限延伸的，我们可以找到两个点放到两边，然后再向两侧无限延伸，给我们无限延伸的感觉和形象。这就是我们如何去画。 刚才老师说了，为什么我们的直线除了用这种表示方法以外，还可以用这样的表示方法，也就是说我们不光要会画这三种线，同时我们也要会表示它，因为在表示的过程中，就是我们对这个线更深刻的理解。 继续往下看，第一个线段老师是这样的，画的 a 点和 b 点连接之后得到一条线段，那这个 a 点和 b 点是非常重要的，因为他把这个线段给框住了是不是？所以我们就可以这样表示 线段 a b 或者线段 b a 都是可以的两种表示方法，无论这个这两个字母在前在后，无所谓啊。 我们说用大写字母的两个端点表示线段 a b 或线段 b a， 那 可不可以更简单一点，可以， 我们可以用一个小写字母表示端点，我们该画画上，然后上面有一个小的字母，我们叫线段 a， 线段 b 行不行？线段 c 行不行？线段 d 行不行？都可以随便找一个字母，只要是小写就行。加上线段这两个字，这是线段的表示，方法很简单，第一个是用端点上的字母大写字母表示，第二个就是用一个小写字母线段小写字母。 第二种就是射线了，射线在表示的时候，刚才老师也强调射线比较重要的一点是个端点。

我们继续学习一下啊，线段中点模型结论的第四个结论叫三中点模型，三中点模型呢，顾名思义就是有三个中点，那分别是谁的中点呢？我们来看一下已知点 c 是 线段啊，读读题的时候不要关键词啊，因为以后的时候会碰见直线了哈。点 c 是 线段， a b 上任意一点， 点 c 是 线段， a b 上任意一点，然后点 m 一 是 m 二 m 三分别是终点，那三个终点，是吧？那么首先看，一个个看，别着急啊， m 一 是 a c 的 终点，这样 m 一 是 a c 终点，这样去看哈，找找到。 m 一 是 a c 终点，那 m 一 是 a c 终点，我们画一条短弧， m 一 是 a c 终点，对吧？ m 二呢是 bc 终点， m 二是 bc 终点，那，那，那因为这个弧跟差不多，那我们可以那这个画弧，我们可以画画条这样，这样带棱的这种，是吧？那就能明显区分出来他们不一样，对吧？那这是 m 二呢是 bc 终点。 好，我们再继续看一下， m 三呢是 ab 终点， m 三呢是全部的终点，是吧？那我们读到这时候，我们看 m 一 和 m 的 关系，是不是就我们前面那个啊？ 结论一两线段无共部分的，那我们读到这儿的时候，我们就发现这个 m 一 m 二，它就等于谁啊？等于二分之一 ab， 是 吧？二分之 ab， 对 吧？啊，就是说我们的第一个结论， m 一 m 二等于二分之 ab 是 我们前面第一个结论中两线段无共部分的时候，这个 m 一 是左边部分的终点， m 二呢是右边部分终点，它们之间间隔呢，等于全部的一半。 那我们看一下，因为这个 m 三呢，又是 a b 终点，那么 m 三是 a b 终点 a m a m 三和 m b 就 正好等于全部一半，是吧？就正好等于二分之 a b， 所以 它得到第一个结论。 好，这第一个这个结论本质上就是那个我们前面讲过第一个结论，是吧？我们来看一下第二个结论。那么看一下，既然我们 m 三是 a b 终点，我们再画一下 m 三是 a b 终点 m 二 m 三等于什么？看一下 m 二 m 三，这个 m 二 m 三指的是谁？你看 m 三是全部终点， m 二呢？是右边部分终点，这时候是谁啊？ m 二和 m 三，它分别是 bc 和 ab， 终点 bc 和 ac ab， bc 和 ab， 它们是有公务部分的，是吧？有公务部分呢？就是我们说的那个我们前面的结论二 图形前面那个什么结论二啊？结论二、结论二和结论三里面的结论，是吧？ bc 和 bc 和 ab， 它们是有共部分的，那这时候那有共部分的时候，这个 m 二 m 三，它就是什么点？这两个中点之间间隔就等于非共部分的一半，那谁是非共部分？这时候 bc 和 ab 看一下啊， bc 和 ab 的 非共部分就是 ac， 是 吧？所以它就等于二分之 ac， 他 们可还可以正出来，是吧？好， 那二分之 a c 呢？因为 a c， 那 a c 看一下 a c， 它也是有终点的，是吧？是 m 一， 所以说二倍的二分之一的 a c 就 等于什么 am 一 和 m e c， 是 吧？就等于 am 一 和 m e c。 就 这么一小结论，这三种点模型，这三种点模型里面，它本质上是，那我们前面的结论一和结论二、结论三就相当于两现在无共部分和两现在有共部分的，它一种综合一起总组成了一个什么三种点模型。 好，那我们再看一个叫线段的多中点模型啊，这一个其实更简单哈，我们看一下条件，如图，点 m， 在 线段 a n 的 延长线上点看，虽然很多，一个去找点 m， 找点 m， 在 这是吧？ m 在 线段 a n 的 延长线上能看出来了，这就在线段 a n 的 延长线上，且 m n 等于二，它中间部分标一下，它长度等于二 a。 第一次操作，分别取线段 a m 和 a n 的 中点啊，取 a m 的 中点是 m e， 得到什么？ a m e 等于 m e m， 对 吧？ m 分 别取什么线段 a m 和 a n 的 中点 a 呢？啊，得到一个什么？这一段等于画一下啊，这一段等于这一段 分别取线段 a m， a m 和 an 的 中点 m 一 和 m 二，这第一次操作是吧？啊，我们再看一下第二次操作呢，分别取线段 a m 一， 再取 a m 一 啊，和 a n 一 的中点 a m 一， 是在一段 a m 一 的中点得到，得到什么 m 二，是吧？得到一个 m 二 m 二啊， a n 一 的终点呢？得到一个什么 a n 一 的终点得到一个啊，这一点和这点相同，是吧？ a n 一 的终点得到 a n 二，等于 a n a n 二 n 一， 是吧？看画的有点乱，我们一个个去看，经过第三次操作，又这样找了，连续这样操作 n 次，让我们去总结一下 m n a n 的 一个关系， 如果考试的时候，比如说问你什么 m 二零二六， n 二零二六，还是这种 m n n 的 时候，那对于这种底数比较大的时候，我们一般情况找规律的时候怎么去找嘞？ 那我们上学期的找规律题有没有讲过？就是先从最小的开始找，我们先找求一下 m 一 n 一 等多少，再求 m 二 n 二等多少，再求 m 三 n 三等多少，然后找出规律就可以提出来 m n a n 等于多少，是吧？我们看一下。先求 m 一 n 一 m 一 n 一， 就是我们前面说的什么 m 一 n 一， 看一下他们是 m 一 n 一 m 一 是全部的中点， n 一 呢，是左边部分的中点，那它俩之间距离呢？就应该等于非公部分的一半，那就得到它等于二分之一的谁啊？非公分是谁啊？是 m n 的 一半，是吧？等于二分之一的 m n， 求出来，等于二分之一，乘一个 二，乘一个二 x 等于个 a 啊，这是 m 一 n 一， 那么再求 m 二 n 二，是吧？ m 二 n 二是谁的终点？我们看 m 二 m 二在这是吧？是这个是这个 a m 一 的终点， a 二呢，是它的什么？是它的谁啊？ n 二是 a n 二 a n 一 的中点，是吧？相当于也是左边部分中点，那么这两个，那这两个什么 m 二 n 二之间的间隔，它应该等于什么？也是非共部分，是谁啊？但是我没把没用的都擦掉哈， 来看一下。那这是一个什么来？ m 二 m 二是 a n a m 一 的中点， a 二呢？ 重新画一下啊， n 二呢，是 a n 一 的中点，这时候我们看这两个中点之间间隔就应该等于非共部分一半，是不是等于他一半，所以就等于二分之一的，什么 m 一 n 一 就等于二分之一，乘一个乘以这个 a 啊，是吧？到一个二分之 a， 好， 我们继续再看 m 三 a 三，重新看一下 m 三是 a a m 二的中点，是吧？ a m 二的中点 n 三呢？是 a n 二的中点，所以说这两个 m 三 n 三的间隔就等于二分之一，非共部分是写 m 二 n 的 一半就等于二分之一，乘以什么？ m 二 n 上一个引求出来，乘以个二分之 a 等于二的二次方分之 a， 对 吧？ 那你看一下，这是二的二次方分之 a， 这是二的一次方之 a， 这，这是什么二的？嗯，我们就不讲了哈，二的零次方分之还没求到，是吧？好，我们继续看一下，这时候我们看一下求 m n n a， 它的时候应该等什么？我们看一下它是三的时候这二的二次方，这二的时候是一次方。那么说你看一下这是这是 n 的 时候，它应该等于什么？二的二的什么 n 减一次方的 a 啊？上面答案是写的二分之一的 n 减一次方，跟正常本质上是一样的啊，当你也可以把它写成什么，比如说这就写成二分之一乘以 a， 这呢写成二分之一的二次方乘以 a， 是 吧，所以它也可以写成二分之一的。 谁啊？ n 减一次方乘以 a， 这个选项也是可以的，一样的哈，写他写他都对。好，这是他的几个结论啊，找规律的是吧？都是等于前面那个一半啊，这一个多重点模型，相对来说大家好好理解的话也是不难啊，对吧？ 好，大家要把这几个模型记下来，因为我们，嗯，后面的话还要继续去学习他的一些题型啊，我们用这些结论去去学习。好，这个视频就讲到这。

同学们大家好，我们这节课继续往下学习，这节课我们学习比较角的大小。看到比较这两个字我们并不陌生，因为前面我们学过比较两条线段的长短，同学们还记得我们如何比较线段的长短吗？ 第一种方法我们用的是度量的方法，我们叫做度量法，用刻度尺去量它们的长度进行比较。比较大小的就是第二种方法叫做叠合的方法，把它们放在同一条直线上， 可以让它们的端点相同，看一看哪一个线段是更长的。叠合的方法，我们今天比较讲同样用的这两种方法，我们分别看一下，第一种 如何比较两个角的大小呢？比如说这里有很多的角，任意比较两个角，我们怎样比较这两个角的大小？这个地方首先我们要明确一个角的大小是什么，角的大小是角张开的，这一个角度 和这个边的长度无关，一定是它张开的角度，所以我们看一下第一种方法，我们可以测量使用我们以前学过的量角器。我在这个地方再强调一下我们怎样测量一个角，比如说有个角是这样的， 我们如何测量？第一个我们首先要把脚的顶点和我们两脚气的中心点对齐，这个中心这个点对齐。其次零刻度线和我们的一条边重合， 如果这条边是和我们的内侧刻度线重合，那我们的另一条边在读度数的时候，一定是读的内侧的刻度线。那看一下这个角是五十到六十之间是五十五度， 这就是我们测量的方法，我们把两个角分别测量一下，然后比较角的大小，测量出它们的角度，进行比较，叫做量测。呃，测量法或者是度量法。 好，我看那第二种方法，我们同样使用线段给我们的起式叠合的方法。叠合怎么叠呢？为线段的叠合法，是找相同的一个端点，那角呢？我们找相同的顶点， 像第一个 a o b a o b， 然后把 c o 撇 d 也放过来，发现两个完全重合，那么它们两个就相等。 第二个 a o b 和 c o 撇 d， 发现 c o 撇 d， 当它们的端点相同，一条边相同的时，哦，这个还要一同，一条边相同，不光是端点哈。这个地方老师补充一下，不光是顶点 和线段不一样的哈。我们我们线段是只有顶，我们的端点重合，这个是 不光我们的端点，我们的顶点要重合，并且一条边也要重合，一条边也要重合。重合完之后观察一下另一条边，另一条边如果和我们给出的这个角重合了，那说明就相等。如果另一条边在我们 已知角的内侧，这叫内侧，内侧是不是？ 然后我们叫它小，是不是我们这个角小，原来那个给我们的角是大的。如果我们的顶点和我们的边重合，另一条边在已知角的外侧，在这是不是？那 这个给我们的这个角 c o 撇 d 就 比我们原来的角 a o b 要大。 也就是说叠合的方法是顶点重合，一条边重合，看另一条边。 好，我们看一下这个题目，说比较一下 a o b， 比较一下 a o c， 比较一下 a o d， 比较一下 a o e。 好， 我们看一下怎样比较。我们可以用第一种方法度量的方法，第二种方法我们继续可以用叠合的方法。发现这个题用叠合的方法非常有优势，因为它们有一条边本来就是相同的， 是不是有一条共同的边是 o a， 对 不对啊？都有一条共同的边是 o a。 那 我们就看另一侧的边顶点 o 重合， o a， 这个边重合。我们看一下 另一侧的那个边，比如说这里的 o e 吧， a o e o e 在 这， o d 在 这， o c 在 这， o b 在 这。所以最大的角很显然就是角 a o e。 然后其次是角 a o d。 再一个就是角 a o c。 然后再一个就是角 a o b。

同学们大家好，我们这节课继续学习角，这节课我们学习尺规作角， 承接上节课的内容。你知道如何比较角的大小？第一种方法是用量角器进行测量，通过测量出度数来比较大小。第二种方法是采用叠合的方法， 比如说我这里有两个角，这是在世界上的两个角，如何比较大小呢？如果我现在没有两角器，我如何比较大小？ 我们的叠合的方法是希望他们的端点能够重合，并且一条边能够重合，看一下另一条边的位置，但是我现在无法移动。 带着这样的思考，我们进行今天的学习，在这种无法移动的前提下，我们怎样去比较角。 比如说在这里有一个角叫 a、 o b， 我 想把这个角 做一个和它完全一样的，已经知道一个角 a、 o b， 我 现在做一个角要和它完全一样。那首先我们明确角的几个部分，第一个端点好端点我已经确定了， o 和 o 撇对应 边，一条边也确定了 o b 和 o 撇 b 也确定，剩下的就是另一条边了。我现在好在有量角器，我可以量一下角 a o b 的 位置啊， a 角 a o b 的 度数，然后我再量一下这个角的位置， 我可以把这个角做出来，对不对？但是恰恰如果向老师说的，它没有量角器，只有尺子和圆规，那怎么办呢？ 这就是我们不用量角器，用直角和圆规能不能做出这样的角呢？ 那这地方就涉及到什么是尺规作图，这个尺是什么样的尺？这个尺是没有刻度的直角 完全看我们做图的思路想法，而不是去通通过测量，然后规呢？自然就是圆规，所以尺规做图是用的是没有刻度的直角和圆规。 那我们现在这节课的重点就是用尺规来做一个角，这个角的前提要求是和我们给出的角是一样大小的。 看这里啊，比如说有一个角是 a o b， 要求用尺规做出一个角，是 a 撇角， a 撇， o 撇， b 撇实线，两个角完全相同，大小完全相等。那我们看一下这样的应该怎样做。 这个说到做角，首先我们要回归到角的组成部分，首先有顶点，所以我们要先确定顶点对不对，确定一个顶点，然后再确定一条边， o a 这条边比较好确定，它是一个水平的，所以我们来确定一个顶点是 o 撇，然后这条边是 o a 撇。 好，这条边确定了之后，我们剩下的就是要确定这个 o b 对 不对啊？好，那我们怎么确定呢？我们拿着我们的圆规，以我们的 o 点为圆心，以任意长度为半径做一条弧， 这个弧自然会交在我们原来这个已知角的两条边。做一条弧，这个弧自然会交 c 点， 交在 o b 上。我们教教 d 点，这个可以同学们自己去念名哈。然后现在我们重复刚才的操作，以 o 为圆心，以刚才的长度在 o 撇 a 撇上做，这次是以 o a， 这次是以 o 撇为圆心， 以同样的长度， 这个就叫做 c 撇。 c 撇已经确定，但是 d 撇不确定，我们现在要集中所有的精力把 d 撇确定了。 d 撇怎么确定？重点来了，我们现在同样以 逗号圆规，现在是以 c 为圆心，以 c d 的 长度 为半径啊，以 c 为圆心，以 c d 的 长度到我们这个角上，就是以 c 撇为圆心，以 c d 的 长度做一条弧。 当我们做完这条弧之后，这个弧和我们刚才做的第一条弧有一个焦点，这个焦点是 d 撇连接 o， d 撇 得到一条射线 o b 撇，那么这个角就是和我们已知的这个角是一样的。 有些同学说，老师为什么是这样？原理是什么？首先， o c 和 o 撇 c 撇是相等的，因为它俩都是以 o 为圆心，以 o c 的 长度，也就是以任意长度的一条弧。

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六年级的同学们请注意啦！寒假数学预习不用慌！这份超实用攻略请收好！照着学，开学直接当领跑者！这册书的五大核心板块，咱们逐个击破！ 基本平面图形，先认清线段、射线、直线的区别，学会比角、线段长短和角的大小。把多边形和圆的基础概念过一遍，动手画一画图形认知轻松到位。 一元一次方程是基础重点先掌握方程的定义，把一项合并同类项的解析步骤熟练，再试着做几道简单的应用题。理清数量关系很关键， 相交线与平行线分清对顶角、邻补角、平行线的判定定律和性质定律要吃透，试着用，因为所以说清推理逻辑，几何思维直接拉满。 整式的乘除是代数重头系统，底数幂的乘除，幂的乘方运算法则记牢固平方差，完全平方公式，反复练基础计算别出错，这可是后续学习的基本功。 变量之间的关系，掌握表格、关系式图像三种表示方法，能看懂变量的变化规律，就可以为以后学函数打下基础。

为什么你上课能听懂，但是做题就是不会呢？因为上课听懂了只是基本操作。真正的高手在考试的时候根本就不用思考，所有的题型他都见过，不光见过，还练得极其熟练，已经练成了肌肉记忆，一笔就写，然后写了还能对。而你在考试的时候，每一题几乎都要。

给大家讲解的是这个六年级下册同步脚的第二课时中的重点题。先，脚的肚量里边的话，不是指比较脚大小，就是脚可以进行加减计算，还有脚的终点的一个性质。脚的加减计算里边，咱们先看呃 立一的图。立一的图 a 的 图里边有很多个角，是不是有角？ a o b。 角 b o c。 有 c o d， 还有 a o c b o d， 还有最大这个角 a o d 这么多个角，角之间的话可以进行一些度量加减。首先看加减的语言是我们必须要掌握的，因为角的加减的语言在我们集合证明题是作为一个 固定的书写格式的。先看这个二、 a o c 图中 a o c 中间有个射线 o b， 它明显是吧？ o b 把 a o c 分 成了两个角，一个是 a o b， 一个是 b o c， 是 吧？所以 a o c， 它是等于 a o b 加 b o c 的。 嗯，然后剩剩下的一个 b o d 呢？同样的道理， b o d 中间有个射线 o c， 它把 b o d 分 成了 b o c 和 c o d， 所以 b o d， 它是等于 b o c 加 c o d 的。 就是如果一个角的中间有两个角相加，得到 a o d， 它是等于 b o d， 它是等于 b o c 加 c o d 的。 就是如果一边有两个射线， 大部分孩子想的是 a o d 里边有两个射线分成了三个小角，所以 a、 o d， 它是可以等于这三个角相加 a o b 加 b o c 加 c o d 的。 可以，但是我们在证明题里边的话，尽量的是用两个角相加得到一个新角。为什么呢？ 我要是求 a o d 的 话，你是不得先求出 a o d， 求出 b o c， 求出 c o d 求三个条件才能得到 a o d 是 吧？但是我如果通过两个角相加，我是不是只求两个角就可以了？这样的话更简洁一点，那我们如果两个角相加得到 a、 o d 可以 的，是谁啊？ 看较大的角， a、 o c 加上 c o d， 或者是其中两个角组合在一起的是 b o d 加上 o b 是 吧？ a o c 加 c o d， 或者是 a o b 加 b o d 都可以。 那角度相减呢？相减什么时候用角度相减就是这个角中间没有任何的一个设限，只有是单独的一个角，比如说角 b o c b o c 中间没有任何一个设限，所以它不可能通过角相加得到，只能通过角相减得到。相减得到需要注意。呃， 被减的这个角要比 b o c 大， 是不是比 b o c 大， 所以要包含，在图中看的话，是要包含 b、 o c 的， 那包含 b、 o c 的 角比 b o c 大 一点的角， 这个 a、 o c 可以， 是不是还有往下往下长一点，大一点， b o d 也可以，是不是？那如果用 a o c a o c 减， a o c 减去，谁能把中间的这个 b o c 剩下是不把这个上面这个 a、 o b 减掉， 对吧？还可以呢。 b o c 比 b o c 大 一点的向下 b o d， b o d 稍微大一点，那 b、 o d 剪哪个角才能得到这个阴影的？ b o c 是 不是把下面这个 c、 o d 剪掉 啊？所以角度相减咱们需要注意，被减的角要包含我要得到求出来的这个角啊，这是角的相加或相减的语言。还有角平分线，角平分线咱们说了是角内部有一个射线引出来，把这个大角分成了相等的两个小角平分线。角平分线，如果已知已知 oc 是 角， a o b 的 角平分线，你能得到哪些性质啊？根据角平分线的性质，是不是这两个小角相等，也就 a o c 等于 b o c 能够得到 a o c 等于 b o c， 那 这两个小角是不是大角的一半？如果我已知 a o b， 那 a、 o c 是 不是等于三十和三十？ b o c 也是三十， 它们都等于大角的一半。什么时候用这个语言呢？就是我已知角平分线，已知被平分的这个大小，求其中的一个小角就可以用它是一半的关系。 什么是还有呢？如果我知道 a o c 是 四十度，知道 o c 是 角平分线，求 a o b 呢？那两个四十是不是八十度？这个也是角平分线的性质，但是它什么时候用是已知平分，已知其中的一个小角，求大角要用二倍的关系，大角是小角的二倍的关系啊。这个语言咱们知道怎么用，什么时候用，并不是 知道角平分线就把所有的这个性质抄上。并不是啊，来看看啊。例题，例二是一个重点的题型，例二例二大部分同学会不看，但是例二这个题的话，咱们需要记一下，他用到了一个等量代换的思想和整体的思想来看，点 o 是 直线 ab 上的点，直线 ab， 咱们可以知道直线上方是一百八十度， 直线上方是一百八十度， o c 是 它上面的一个线，是不是现在是不是被分成了直线？这个平角被分成了 a o c 和 b o c， 对 吧？ a o c 和 b o c。 首先 om 平分的是这个 a o c， 它体里面标了个角二，角二是不是给 o c 的 一半 n 平分， b o c 体里标了角一，角一是不是 b o c 的 一半？ 然后让你知道角二和角一的关系是二倍的关系。求角一。求角一的话，这里边看角平分线的语言，我用的是不是角二等于 aoc 的 一半和角一等于 boc 的 一半，并没有说，并把它全写出来，没有写 a o m 等于角二等于二分之 a、 o c。 是 不是我用到哪个我就写哪个就行了啊？ 角二我用角二，角二是大角的一半，角一是这个 b、 o c 的 一半，然后 a o c 加 b o c 不是 平角一百八吗？你先求角一加角二。为什么求角一加角二是角二和 a、 o c 有 关系，角一和 a、 o c 有 关系啊，对不对？然后 a o c 加 b o c 是 一百二，那角二是 a、 o c 的 一半，角 b， 角一是 b o c 的 一半，它俩相加是不是等于一百八的一半？也就是换成 把它换成二分之一 b o c 加二分之 a o c。 然后用了一个乘法分配律，是把二分之一 b、 o c 加 o c 一 百八的一半是九十，但是这个九十，你现在求的是角二加角一。怎么求角一呢？还有一个关系，角二等于二倍，角一，角二，因为角二等于二倍，角一， 角一加角二的话，就可以换成角一加二倍，角一等于九十，也就是三倍角一等于九十，角一是三十度。是不是这里边有一个角平分线的语言，语言性质的表达，角平分线的语言，平角一百八。还有一个整体思想等量代换。嗯，整体思想等量代换。什么是等量代换？相等量可以相互替换呀，你比如说角二等于角一，二等于二倍角一用 角一加，角二等于九十度的话，那把这个二倍角一用它相等的量替换，是不是等量代换啊？五题和六题五题五题， 如图，来填一下角度之间的夹角关系。这个前面基本上都没问题， a o c。 看 a o c 内部是不是有个射线，就可以通过这两个角相加得到啊？两个角相加得也就是 a o c 等于谁加谁啊？ a o c a o c。 是 不等于把 ob ob 分 成了两个射线，一个是 c o b， 一个是 a o b， 所以 a o c 等于角 c o b 加角 a o b c o b 加角 a o b。 然后那通过哪个两个角相减得到？相减要想得到的还是 a o c。 那 咱们说了，要想相减得到的 a o c， 被减的这个角要比 a o c 大， 且包含 a o c， 那 只能是 a o d 比 a o c 要大，是吧？所以前面这个角肯定确定了是 a o d， 那 这个最大的这个角要想得到剩下的是 a o c， 那 是不是把这个 c o d 不是 阴影的部分剪掉，所以剪的是 c o d？ 再看 a o b a o b 这个角通过哪两个角相减得到还是相减的话，我就想相减得到 a o b， 最起码比 a o b 大， 包含 a o b。 哎，刚才这个 a o c 就 很合适。 a o c a o c。 这个角是不是比 a o c 大？ 所以可以用 a o c 减。 a o c 减谁啊？只剩下下边这个角，所以只减上面这个角，减的是 b o c， 上面这个角是 b o c， 然后呢，还可以通过哪两个角相减得到？那谁还比 a o b 大， 且包含 a o b， 那 最大的这个角 阴影放到一起是不是 a o d？ 那 用 a o d 减 a o d 减谁？ a o d 最大的角减谁？只剩下这个下面 a o d 啊，是不是把上面的角都减掉？减的是 b o d， 也是下面这个勾角 c o d 上上面这个叉角，它俩相等，还能得到哪两个角相等？它们俩不挨着呀，它们俩中间隔了一个，谁隔了一个 b o c， 那 你想想，它俩相等，如果两个相等的量再加上同一个角度，相等吗？相等，所以它们都加谁都加上中间空白的 c o d， 也就是角 a o b。 不是 等于角 c o d 吗？然后我让角 a o b 加上这个角 b o c， 也让这个 c o d 加上 b o c， 这是不是等式的量？再加上同一个量，结果肯定是相等的，那结果是谁？看图， a o b 加 b o c a o b 加 b o c， 是 不是角 a o c 得到的是 a o c 等于 b o c 呢？写的是 b o d， 所以 得到的是 a o c 等于 b o d， a o c 等于 b o。 然后我想看一下，下面一问，反过来，反过来，如果知道 a o c 等于 b o d， 则等 得到哪个角，它不跟第三问，它是反的吗？第三问是，知道 a o b 等于 c o d， 是 不是得到 a o c 等于 b o d 啊？那 a o c 又等于 b o d 了，是不是也能得到 a o c 等于 c o d 啊？为什么？看图， a o c 是 哪个角？ a o c a o c 是 这个。哎，这个角 a o c b o d 呢？ b o d 是 这个角哎，我发现它俩会重合了一部分，这是叠角的问题，两个相等的角重合了一部分，它们如果都把中间的这个重合角 b、 o、 c 减掉，剩下的是不是也是相等的，是吧？啊？叠角的问题，如果两个相等的角重合，都减掉重合角，剩下的角都是相等。 咱们再看第七题，第七题的话是一个，呃，那个计算计算题，呃，角度计算题。首先我要把已知条件都标上，然后把我尽量能推到的条件也都标上。标上的目的来理思路，求最终的角度看 a、 o、 b 等于一百二 o a、 o、 b 之间的角度，标上一百二 o、 d， 平分的是 a、 o、 b， 就是 平分这个一百二的角， b、 o、 d 这边是六十， a、 o、 d 这边也是六十，是吧？ oc 又平分 a、 o、 d， a、 o、 d 不是 六十吗？平分这个六十度的角，那都是三十度。三十度把我推倒的填上，填上之后求 b、 o、 c， 你 就一眼就能看出来 b、 o、 c 是 不等于这个六十度加三十度是九十度，是吧？那我这个标的目的是理思路，思路有了，那怎么样用语言表示出来呢？ 用语言表示出来，那你就看。我刚才是第一步是因为 a、 o、 c， 因为平分求的这两个六十度，求用的是角平分线一半的关系，是吧？然后又因为平分，我求的上面的三十度，下面的三十度没有用，我就不用写，也是用的是角平分线一半的关系，然后求最终的这个 b、 o、 c 用的是角度相加，角度相加，所以这个过程看怎么写啊？求角度要先写角， 然后首先是因为角 a、 o、 b 等于一百二十度且平分，两个条件放到一起并列写，且且 o d 平分， 角 a、 o、 b， 那 我用的是一半的关系啊，所以用的是不是这边的六十度和这边的六十度都用到了？都用到了就都要得到 b、 o d 和这边的 a、 o、 d 是 相等的，用的是大角的一半，也就 a、 o、 b 的 一半的关系，它们是不等于六十度啊？六十度是吧？等于六十度了，然后呢？六十是不是又平分？平分，平分，平分，超呀？平分看我刚才平分的条件，都是一致，条件都是超就行，因为 o c 平分， 平分谁啊？角谁？ a、 o d 是 不是抄完了之后，然后我用的是三十，是用 c、 o d 这个三十， c、 o、 d 这个一半的关系，谁的一半，平分的那个角的一半。你看我全程都不用看图，所有的几何，如果思路有了，语言知道怎么表示了，就像抄答案一样简单，然后它不就等于三十了吗？ 是不是？所以咱们最终要求的角 b、 o、 c 不是 角度相加吗？但是不要写六十加三十，咱们所有的几何证明过程都要用角度之间的关系，要写六十度的那个角 b、 o、 d 加上三十度的那个角 d、 o c， 写九十度就可以了，是吧？这是咱们的最精简、最准确的一个。里面我们要学的是九题啊，十二页题要讲的比较多一点啊，十二页咱们先看， 先看十二页的九题，十二页的九题和咱们前面的 b 二，它是属于同一个题，所以你可以旁边写个 b 二，它和 b 二是一样的题啊，为什么说和它和 b 二是一样的题？先看条件， a、 o b 等于一百二，标上从 o a 到 o b 这个角大小一百二。 o d 平分的是 b o c b， o c 平分，平分得到哪两个角相等？然后 b o d 和 c o d 这画一个小勾或者其他的符号都可以代表它俩相等，但这个平分线的关系有了。 o e 平分， a o c o e 平分， a o c 平分， a o c a o c 两边呢？这个角是不是相等的？所以画两个叉角和其他的符号，圆圈啊，弧线都行，代表是这两个角相等的。求 e o d 这里边只有一个百二，我一百二的关系，能得到这两个小角和这两个小差角吗？都能得不到，都得不到，是不是？所以这里边就跟刚才的那个梯梯不一样，梯梯的话是能够推断的角度比较多，来通过求最后的角度，但是这个推断角度很少，怎么求这个 e o e o d 呢？只要从 e o d 这个问题出发 看， e o d 这个角是不是通过 e o c 加 c o d 就是 一个勾角加一个叉角组成的。勾角是多少度不知道，但是勾角肯定是 b o c 的 一半 是吧？叉角同样道理是多少不知道，但是叉角肯定是 a o c 的 一半，所以一勾加一叉的话，是 b o c 的 一半加上 a o c 的 一半，那一半加一半是不等于和的一半，也就是 a o b 的 一半。哎， a o b。 知道呀，一百二前面是不是把那个 a o b 是 个平行平角一百八是一样的呀，是不是？所以跟前面的思路过程是一样的，是先因为平分得一半的关系啊， 平分两个都可以写啊。 o d 平分角 b o c o e 平分角 a o c， 所以 得到的是 c o d 这一半我没有用 b o d c o d 是 等于谁的一半，它平分的 b o c 就是 b o c 的 一半，下面这个用的是上面那个叉角 c o e 平分的是 a o c 的 一半，是不是啊？又因为嗯？角 b o c 加角 a o c 是 等于谁的？ b o c 加角 a o b 是 不等于 a o b a o b 不是 一百二吗？ b o c 加 a o c 就是 一百 b o c 加 a o c 是 一百二。所以这个勾角加这个叉角是不是等于一百二的一半？勾角是谁？ c o d 加角 c o e。 先不用直接写一百二的一半啊。等量替换的原则， c o d 可以 把它替换成二分之一 b o c c o e 把它替换成二分之一 a o c 啊，再用乘法分配类的逆用括号角 b o c 加角 a o c 角 a o c 前面不是有了吗？对吧？所以等于二分之一。乘以八 等于六十度啊，六十度是谁啊？ c o d 加 c o e。 图中 c o e 加 c o e 是 不是等于 d o e 啊？所以角 d o e 等于六十度。这是一个完整的一个过程，跟前面基本上的话只有替换了。这个一百二和七题还是要记啊。 然后再看这个十题，直接看第二问，第二问是求 b o d 的 角度， b o d 的 角度。求角度的题。先把已知条件都标上，然后寻找思路再写过程啊。嗯，第一个过程是 a o c 等于五十度， a o c 是 五十度，标上了 o a 到 o c 的 角度是五十 o d 平分的这个 a o c o d 平分这个五十度的角，那是二十五，你推导出来的都标上 二十五，然后，呃， d o e 是 九十 d， o e 是 九十九十，可以标一个直角符号，那这个直角现在里边九十度，角是也是两个角，一个是二十五，那另一个是不是也能求九十减二十五、六十五度，六十五度啊？让你求的是 b o d， b o d， b o d。 这时候有的同学得想啦， b o d 得求 b o e， 把 b o e 求出来，加六十五加二十五，是不是啊？麻烦吧？很麻烦，你还得求 b o d， 求 b o d 的 话，你看看里边有没有直线，直线 ab， 直线 ab 的 上方是不是一百八，一百八？ b o d 是 比较大的，就是次于那个平角一百八的角 b o d， 再加上旁边的二十五就是一百八。那这个 b o d 不 就等于一百八减掉这个二十五吗？是不很简单，所以只需要求二十五就行。求二十五的过程是不因为孔分和五十度，所以超上它呀？超上它，因为角 a o c 等于五十度，且 o d 平分角 a o c。 我 用的是哪边的二十五？是下面这个 a o d， a o d 是 不是用的是一半 a o c 的 一半，五十的一半二十五？所以咱们求 b o d 的 时候，不是说了用平角一百八减去 a o d 就 可以，所以是一百八减去二十五是一百五十五度。 嗯，这是第二问，第三问是让你通过证明是否 o e 平分 b o c。 哎，这个是跟前面求角度的不一样，求角度的不一样，证明是否是角平分线。可以怎么证明？ o e 是 否平分角？ b o c o e 是 否是角平分线？平是否平分 b o c。 那 我就看他是不是把 b、 o c 分 成两个相等的角呀，就是 c、 o e 是 否等于 b o e 的 问题。 c o e 现在已经知道了，是六十五度是吧？那 b o e b o e 怎么求？ b o e 也很简单呀，你看你上一问，这个第一问不是求出 b o d 是 一百五十五吗？然后其中 d、 o e 是 九十，是不是等于一百五十五减九十， 六十五也是六十五，所以它是角平分线。像这种，先问你回问题，是否是角平分线呢？先要回答，回答问题再写理由如下，先回答，再写理由如下，这是固定的格式啊， 留下先就是咱们的总体思路，是不是要求这个 c、 o e 是 六十五，再求 b o e 是 六十五，是吧？ c o e 是 六十五，是怎么求的？是不是因为这个是二十五，这个是九十一减，减得到的六十五，所以先要求这个二十五再写，因为九十一减是吧？二十五也很好说呀，是不是还是前面一样？是不是前面是 a o c 是 五十，那个五十平分，但是我用的是 c o d 了啊 啊？因为 a、 o c 是 五十度，且 o d 平分角 a、 o c 全程都不用看图，所以求哪个角度时候看一下。求 c o d 等于二分之一，谁也不用看 a o c 这个五十的一半就是 a、 o c 不是 五十吗？二十五度，它是二十五度，又因为这个角 d、 o e 是 九十度的角，减那个二十五度角，所以抄前面的呀。九十度的角， d o e 二十五度的那个角 c o d 等于六十五度，它求完了之后，是不是还要求那个 boe？ boe 怎么求的？咱们 boe 是 不是用的是一百这个第一问，第一问的这个一百五十五减那个九十，是吧？那个一百五十五的话就不用再写一遍了，因为第二呃，第二问，第二问写，呃已经证明了，就写由二得 得到的是那个角， b、 o、 d 是 一百五十五度，就是第二问的结论，你结论相当于你第三问的条件啊。 所以咱们的这个 b、 o、 e 是 不是等于这个最大的这个钝角一百五十五度角？ b、 o、 d 减去那个九十度角减九十度的，超那个 d、 o、 e 就 行了，超上了，全程都不用看图。有了思路，基本上都不用看图，它是六十五度，它是六十五度了，所以你得到的是不是这两个六十五度的角相等 这个 c、 o、 e 等于 b、 o e 的 问题？六十五度的角，所以这个是，所以 c、 o e 等于角 b、 o c， 这是它的完整的一个过程啊。 然后咱们还要看一下十一题，十一题是一个角度证明题啊，同样的，它也是求角度，是吧？求角度，先把已知条件都标上，但这里边有个比的问题啊，比的问题，咱们一块看比的问题啊，有直线 a、 b 了吗？直线 a、 b 就 别忘了，直线 a、 b 上方是一百八啊，直线 a、 b 上方是一百八。标上 a、 o、 e， 这个角， 比上 e、 o、 d， e、 o d 比上这个角，是这两个角是一比三的关系。 b、 o、 d 的 角平分线， b、 o、 d 的 角平分线啊， o e 平分 b、 o、 d 呢？这两个角相等，是不是 e、 o d 等于七十五度角七十五，这个叉角是七十五，这个勾角和叉角什么关系啊？是一比三的关系，所以它是它的三分之一，七十五的三分之一 二十五，二十五求出它是二十五，然后让你求的是 a、 o e、 a o e。 求了二十五， b o、 c、 b o c、 b o c 怎么求？因为它这是角平分线，这两个圆圈角是不是相等的？ b、 o、 c 就是 这个被平分的这个 b、 o、 d 的 一半，所以先求 b o d， 再求 b o c， b o d。 怎么求？还是那个平角，别忘了，平角现在减掉这个已知的二十五，减掉已知的这个七十五，剩下的是不是这个 b、 o、 d 是 吧？所以先求二十五，再求 b o d， b o d， 再求 c o d， 是 不是？那这个二十五是不跟因为它三比一的关系，它是七十五，所以先写什么呀？因为先写减啊，求角度，先写减， 因为比一比三的关系，超就行了。已知的啊，七十五度，超上角 a、 o e 比上角 e、 o、 d 等于一比三，切 角 e、 o、 d 等于七十度，所以角 a、 o、 e 等于三分之一，角 e、 o、 d 等于二十五度，它不是一比三的关系吗？它就是它的三分之一啊，二十五度啊，它是二十五度，这个求完了是吧？咱们说的求 b、 o、 c 的 时候，先求 b o、 d 是 吧？嗯，求 b o d， 怎么求？求的？ b o、 d 是不是等于一百八减二十五，减七十五啊？平角一百八直接写啊。 b o。 那 个二十五不能写二十五了，写写二十五的角度，写七十五度角度 e、 o d 的 角度，然后再写一个等于一百八，减二十五度，减七十五，二十五加七十五，不是一百吗？是吧？就相当于减一百度，它是八十度，它是八十度。又因为 o、 c 平分这个角， b o d 平分这个八十度的角，所以它让你求的是 b o c b o c b o c 只用下边这个 b o c 肯定是 b o d 的 一半， 四十度，四十度。然后十二问十二题，十二题的这个过程啊，比较重要，有图，没有图的题就注意，没有图怎么标，怎么找关系是不是？那为什么没有图呢？说明这个情况不是唯一的，就是考察我们初中的一个分类讨论的思想。 为什么要分利讨论呢？什么样的情况不统一呢？先看需要我们自己画图。先看条件， aob 和 boc， aob 和 boc 的 角度，一个是 r 法，一个是 b， 它 o m 和 o n 平分这两个角九 m o n 是 吧？啊？ r 大 于 b 它啊。先说我如果随意画一个角 aob， aob 等于 r 法的话，那 boc ob 的 位置确定了， oc 的 位置能确定吗？ 是不是啊？所以这个情况不能确定。情况就是不是唯一的，要分类讨论，那 o c 是 不是可以在 o b 的 下方，也可以在 o b 的 上方，是不是啊？也就是角 a o b 的 内部和角 a o b 的 外部，所以它两种情况。第一种情况先要讨论的话，先要写情况，把情况说明白。圈一，当角，当 o c 在 角 a o b 内部时， 在它的内部画一个角 o c， 这个是 a， 它是吧？然后再把角平分线画出来， o m 平分的是 a o b o m 平分的是 a o b o n 平分的是 b o c o n 平分 b o c。 啊，那这个角度怎么用？含含有阿尔法和狮子的表示 m o n 看 m o n m o n 中间没有任何线，所以 m o n 肯定通过角相减得到，用谁减谁呢？用包含 m o c 的 大一点的这个角 m o b 减去 b o n 是 吧？那 m o b 是 等于谁的一半？因为 om 平分的是 a o b， 所以 m o b 是 a o b 的 一半，就相当于 a o b 的 一半。 o n 平分的是 b o c 呀，所以它是 b o c 的 一半， a o b 的 一半减 b o c 的 一半，这和前面那个 b r 和气体是一样的吧？又是整体思想的吧，咱们先写着啊， 因为是不是也是因为先平分一半的关系，是吧？朝上平分哪些角？ 因为 a o b 叫 b o c， 然后我用的是 b o m 这一半， b o m 是 谁的一半？ a o b 的 一半 a o b。 还有那边的 b o n b o n 是 不等于 b o c 的 一半是吧？又因为 m o n， 咱们的 m o n 是 通过角相减得到的呀？是不是角 b o m 这个角减去角 b o n 这个角 b o m。 还是用等量变换，是谁啊？二分之一的角 aob， b o n 等量变换成二分之一角 boc， 所以 用乘法分配率就是二分之一角 boc， aob 减 boc， aob 减 boc。 等量变换完需要看图了。 a o b alpha 呀， boc 贝特呀，是不是就是二分之一的 alpha 减贝特是吧？ alpha 减贝特的一半啊？那还有一种情况，咱们说的第一种情况是 o c 在 内部是吧？还有一种情况是 o c 在 外部。要画图先画啊， a o b 这个是 r， 在 外部的话，有个 o c 啊，这个是 b， 它是吧？这个，嗯， o m 平分的是这个 r， 这个角 m o n 平分的是 啊， b o c 这个角方，那 m o n 那 中间有一个 o b 这个线呀？ m o n 是 不是它加它是吧？ m o b 加 b o n m o b 不是 r 的 一半吗？ r 的 一半 r 分 之一倍它，所以 m o n 最终是 r 一 半 r 加倍它。它前面的话思路是一样的，还是用这一半一半一半加倍它它前面。是 啊，肯定先写那个平分的关系， o m o n 平分角 a o b 和角 b o c， 所以 用的是 b o m 二分之一 a o b b o n 呢？二分之一 b o c 呃，然后咱们又因为 m o n 角 m o n 是 不等于这两个角相加 b o m 加 b o n 就 等量代换， b o n 换成二分之一 a o b b o n 换成二分之一 b o c。 哎， ab 不是 alpha， b o c 不是 beta， 所以 它最终等于二分之一 alpha 加 beta。 前面那个是二分之一 alpha 减 beta。 分 类讨论的题啊，分类讨论的题还要最终打到一起，它不是两种情况嘛？两种情况都分别讨论完了，还要综合答。综上所述， 把答案标上角 m o n 是 等于二分之一 alpha 减 beta， 或者是二分之一 alpha 加 beta， 对 吧？