唐县中考数学的每道题的类型有哪些

今天我们讲一下二零二四年河北中考的第十五题，看视频的同学可以先暂停一下，把题读完。 好，接下来咱们开始讲一下这个例子，这个例子是表示的是一千一百三十二乘以二十三的计算方法，那这样他把一百二十三，这是他的，相当于是百位， 十位个位数字一百二十三，这是十位，这是个位。好，接下来我们知道 二乘以二等于四，那么这个空是四，那同样的道理，二乘以三是六，三乘以二等于六，三乘以三等于九，一乘以二等于二， 一乘以三等于三。好，意思就是说这每一个正方形里边的数字，可以是它的纵轴和横轴的什么乘积。 好，那既然咱们理解了例题，咱们来看一下考察的咱们这个题。好，接下来咱们看一下二十二十。我知道如果是两个数字相乘，应该是四乘以五，因为这两个数都必须得是个位数。 接下来这个五可以写成一乘以五。好，既然都跟五相乘，那么我们知道上边这个三位数的个位数应该是五。 好，那接下来这边咱们也就知道了，这个二位数的个位数应该是一，他的十位数字是四。 好，那由于这边这个数打勾的这个数是二，所以咱们知道这个百位数字的十位数字是二，那如果这个十位数字是二，那么这个就变成了八。 同样的道理，一乘以 a 等于 a， 那 么这是这个百位数字是 a， 那 同样中间这个空就变成了四。 a。 好，那接下来咱们把空填好了，咱们再看一下他是怎么计算的。好，最终这边这是个位数字， 第一个，第二一个斜着的，这变成了十位数字，再斜着的变成了百位数字， 最后这是千位数字是六，那就变成了六，十位数字是十三，那这样我要往前进一，最终的十位数字是三， 百位数字现在是九加一等于十，我往前进一，那这样百位数字就变成了零， 千位数字是二，现在要加上一个一，变成了三，所以咱们知道一百三十二乘以二十三的结果就是 三千零三十六。好，那么同样的道理，咱们来看一下咱们做的这道题。首先咱们知道个位数字应该是五，他的十位数字是二十二， 他的百位数字是八。加 a， 他的千位数字是四 a， 好， 那这样个位数字是四，那就是四。 十位数字是二十二，那余二剩下的二呢？往前进二，那百位数字现在就变成了 八十。加 a， 那 最终是 a， 是 a， 再向上进一，千位数字就变成了四。 a 加一，那最终咱们得到的是写在左边就是四。 a 加一，它是千位，出字要乘以 一千，再加上 a 乘以一百， a 是 百位数字，再加上二，乘以十，再加上四乘以一，这个位数字最终咱们知道它的结果等于四千一百 a 加上 一零二五，一千零二十五，那这就是这个的最终的积。那这样咱们知道了，选 d 就 对了。好，接下来咱们看一下 abc 为什么不对 a， 他 说二十，左边的数字是十六，看咱们算出来的是几是八才对。好，所以 a 不 对， 二十，右边的数字是五，咱们算出来的是四，他说运算结果小于六千，小于六千。你假如说 a 等于二的时候，是就把变成了八千二，加上一千零二十五，那肯定大于六千，所以这个题最终的结果选择的是四 d。

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

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各位，这是一道中考真题啊，考试必考的这类题叫方格题，这种题解析方法是怎么样？我们来看一下啊。说，求 tan 角 a p d 等于多少？ 求 tan 角 a p d。 先找到 a p d 啊， a p d 啊，这个角对不对？这个角不是和这个角相等吗？都一个意思，对不对？这两个角都相等啊。求这个角的正切值啊。正切值。 那么问题来了，这个角多少度啊？你猜一下。猜不出来啊，这个角四十五度。为什么这个角四十五度，能不能看出来这对角线啊？ 这啊，这长度都一样，这个角多少度？不知道呀，这个角不知道这个角也不知道，但是我知道这个角四十五度，对不对啊？这个是四十五度，这角度多少度？不知道呀，不能算啊，不知道多少度怎么办？各位，他说求这个角的正切值， 我们得画一个直角三角形，对不对？怎么画？你看这个角，画一个直角三角形啊，你看，你把这条线连起来，高呀，这条线连起来，这个是不是直角？这个是不是直角？为什么？直角？这是四十五度，这是四十五度，所以说这个这个角也是直角。 求他的正切值，正切值不对边，你看对边比邻边啊。啊，正切值不就是这条边比上这么一小点一小点边吗？这条边长度是不是很好算？这条边， 这是一，一的平方加一的平方再开方，这个是不是根号二啊？各位，这个长度是不是根号二？ 那这个长度多少？不好算呀，这个长度怎么算？你说这一小段啊，这怎么算？不好算怎么办？各位，那咱算这条这条线，这条线算出来，根据勾股定律，我是不是算出来这条线？那这条线怎么算？这条线稍微好算一点。这条线怎么算？各位 啊，这条线怎么算这条线啊？有同学看出来了啊，这个三角形和这个三角形是不是相似呀？ 为什么相似？他俩是镜像过去的，你看这个角四十五度，这个角四十五度，这个角等于这个角对角相等，所以说相似的话，你看相似比是多少？ 这条线是三，这条线是二，他们的比值是三比二，对不对？那意味着什么？意味着这条线啊？这条线 比上这条线是不是也是三比二的关系？就是他是三份，他是两份，总共是多少份？总共长度是五份， 五份他占三份，他占两份，那也就是说这个长度其实就是多少？五分之二，这个总长度对不对？五份他占两份吗？那这个总长度多少呢？各位？ 三的平方，这不三吗？三的平方加二的平方多少？再开方？二的平方是四，三的平方九再开方，是不是根号十三啊？也就说这个长度是根号十三， 他占两份，对不对？五份他占两份，五分之二，根号十三，这个长度。各位，就是这个长度 求出来这个长度。没用啊，咱要算出来这一小段长度啊。这一小段长度，那就是用它的平方减去根号二的平方再开方啊。这个计算量比较复杂的，试一下啊，算算那等于多少啊？它的平方是多少？ 他的平方下面平方是二十五，上面平方是他的平方是四四乘二十三，四乘二十三，十三是多少？四乘以十三是不是五十二呀？就说他的平方是二十五分之五十二，他的平方是二 啊，对，他的平方是二，再不对应该减，做题要认真啊，他的平方是二，再开方啊，减去他的平方是二，再开放。 各位，这个长度就是这么一小段的长度，这小段长度等于多少算一下啊，二是多少？二十五分之二十五分之五十，对不对？二不就是二十五分之五十吗？ 啊？他俩一减是不是根号下二十五分之二啊？再开方那是不是五分之根号二啊？各位， 是不是五分之根号二？做题要认真啊，也就说这一小段是五分之根号二，这一段是根号二，它的正切值是不是这条边比这条边就是根号二比上它，根号二比上它等于多少？ 根号二比上它相当于乘上它的导数，乘以根号二分之五。什么烂分比 对不对？一削啊，是不等于五，所以他的挣钱只是五件，就说他比，他是等于五的啊。所以说这类题做题方法得学会啊，各位。

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好，看屏幕这道题，嗯，第一问，这是镜像，镜像的话就是点 a， 关于外轴的对称点，对吧？外轴这个，这块不是有面镜子吗？ 镜像，那就是对称点啊，那二到五对称点，那就是负二到五呗。 这是 a 撇坐标，嗯。第二问，经过 x 轴上的点，八斗零，嗯，那就相当于这，这是八斗零，求解。 a 式有两个点，求解。 a 式直线 l， 那 有 a 撇， 有这个八到零，对吧？两点可以用待定系数法了，嗯，这样求出。嗯，这个减一是是 y 等于负的二分之一 x 啊，加四啊，负二分之一 x 加四。第三问，嗯，给了一个 cd 等于一，然后这是 bcd， 是 直角三角形啊， d， b 垂直于 x 轴， b， d 等于二 啊， b d 等于二，嗯，然后看圈一，他问的啊，三角形 b c d 左右平移， 嗯，保证什么呢？沿二中的这条直线，嗯，就是直线 l， 这个光束要照射到 b、 c 啊，照射到 b、 c 这个 这个斜面上，嗯，包括端点啊，则点 b 横坐标的最大值比最小值大多少啊？点 b 横坐标的最大值和最小值，那还是找这边界状态呗。 要让这个光线能照射到 bc 这个面上，那什么时候点 b 是 最靠左的时候啊？最靠左的时候，符合要求的，那应该就是这光束过点 b 的 时候，比如说点 b， 点 b 在 这， 哎，这个三角形，这个方块，这个三三角的这个，这小块挪到这了啊，挪到这 啊，这是你点 c， 这是点 d， 这是点 b， 正好过点 b 的 时候，这是他最靠左的时候，从这再往左，他就照不着了，就照不着 b c 这个面了啊，那就临着状态找到了啊，那就让这此时点 b， 他的， 嗯，纵坐标 b、 d 不 等于二吗？纵坐标是二，那就是 y 等于二带进去啊。 y 等于二带进去，此时能求出 x， 就 带到这个第二 根的这直线吗？对吧？带到截式里，求出 x 是 等于四，此时这是横坐标最小的时候，那是哪呢？是这。 哎，挪到这的时候，正好也就过点 c 的 时候这条直线，然后你再往右，就肯定照不到 b c 这个面了，所以这是点 b 最靠右的时候， 最靠右的时候，那就是过点 c 的 时候，对吧？嗯，那就把这个点 c 坐标带进去啊。点 c 坐标，此时是这个横坐标，是八，对吧？你第一问，有一个八度零吗？有 x 轴交点，那这是八， 那 c、 d 是 等于啊，等于一，那此时点 b 的 横坐标，你再把这一加上啊，到这应该是点 b， 横坐标是九，横坐标是九，这个 x 就是 相当于是最大值，对吧？等于九，刚才那四个球都是小值啊，所以，呃，这个最大值比最小值不就多五吗？九减四就行了啊。 好，最后一问，嗯，最后一问，嗯，把这个前面这个清一下，擦一下，这都擦了啊，嗯，哎，第二问，圈二。 嗯，直接写出 m 的 范围，看又要求什么范围了，保证这个直线 l 传播的光束能照到 b、 c 边，这回这样，这回让这三角形 b、 c、 d 这个三角的小块 固定了，然后还让这个光束能照到 bc 包裹端点。那现在就是调整这个直线这个入射角度了呗，对吧？调整这个角度了，那不管怎么调整，他一定是过过 a 撇的呀， 对吧？你不管怎么调整，一定他过 a 撇，因为点 a 的 对称点，点 a 不 动啊，他那对称点，这就不动 啊，他一定过 a 撇啊。还有，嗯，那就再找这边界状态了。那要照到 b、 c 这个面上，那一个是过点 b 的 时候呗？又过点 a， a 撇又过 a 撇，又过点 b， 这是一个， 对吧？这是一个，嗯，然后又过点 a， 又又过，那 a 撇又过点 c 的 时候，是吧？这又一个，这是边界状态，所以他应该在这之间活动，对吧？ 那相当于就这两个直线，两条直线的那个相应的 m 的 值，把它算出来不就行了吗？ 嗯，过 a 撇，对吧？过 a 撇，用 a 撇坐标和 b 的 坐标带入，求一个啊，求一个 m 的 值，然后再用 a 撇坐标和 c 的 坐标带入，再求一个 m 的 值，然后这个相应的这个两个 m 的 值，不就是那两个边界吗？ 啊？在这两个 m 值之间活动就可以了啊，这就是 m 的 取值范围。

做题不难，汪解一题，同学们，今天我用一道经典代数题教大家一招超实用的答题思路。配方法加非复数性质，轻松搞定大小比较和求值问题，跟着步骤走，思路超清晰。下面进入今天的汪解一题， 读一下题，已知， a 等于 x 方加二， x 减六， y b 等于负， y 方加四， x 减十。好，第一小问判断 a b 的 大小关系，一般来说，我们判断大小关系用作差法来解一下。 好，我们在计算的时候遇到减号要打括号， 下面就是展开合并同类项了，主要就是在括号这里 好，如果怕自己错，可以像汪老师这样去一一对应的去看符号，负负得正加 y 方异号为负减四， x 负负得正加十。这个符号只针对于 y 方，只有括号外面的这个符号是针对于里面的每一项。好，下面进行合并同类项， x 方 好，同类，我们减二， x 好， 负六， i 不 动 好，这是我们化解出来的结果。我们来观察一下，这是最终的答案吗？好，我们先看一下他是否是否可以用我们已经学过的公式法，例如平方差，完全平方公式进行 逆向思维转化一下呢？很明显呢，平方差公式是不能用的，因为没有出现 x 加 y 和 x 减 y 的 一个乘积形式。那么来看一下完全平方公式， 首平方 x 平方有，尾平方 y 平方有，但是少了一个两个数乘积的二倍，那我们可不可以单独的看呢？好，我们来单独的把 x 平方和 y 平方单独看，首平方有了， 尾平方我们缺了一个，但是中间两个数的乘积的二倍是有的，它可以变成二乘一，再乘 x， 所以 我们需要一个一一的平方的话，我们就可以把这个实心拆开，可以拆成一和 九，这个一就可以给 x 平方，所以我们来变化一下，就等于 x 平方减二， x 加一。 好，再看一下，我们有一个 y y 方，还有一个是负六， y 负六， y 可以 拆成符号不动，可以拆成二乘以三乘以 y 两个数的乘积的二倍二不用看三乘 y， y 有 了，那我们只要找到三的平方是不刚好是九啊，所以就可以转化成加 y 方减六， y 加九， 我们可以打一个括号，这其实就是一个配方法的一个过程。好，那这时候我们就可以逆向思维把它变成什么 x 减一括号的平方，也就是完全平方公式的一个利用， 这个过程是一个配方的过程。好，加上 y 减三括号的平方。然后呢，王老师给大家总结一下关于完全平方公式和配方之间的一个关系和区别。好，我们接着往下看， 最终我们得到的是 x 减一夸的平方加上 y 减三夸的平方。上上期我们就讲过，一个数的偶次幂是大于等于零的，它具有非负性，或者是一个整式是同样的，所以因为 x 减一夸的平方是大于等于零， y 减三夸的平方是大于等于零，所以 a 减 b， 它是大于等于零的， 那我们 a 是 大于等于 b 的。 好，这是第一小问，我们来看一下第二小问，若 a 等于 b 减绝对值下的 z 减一的绝对值，求 x 加 y 加 z 的 值。 好，第一小问，我们判断出来了，我们可以直接拿来用解。 好，拿一张长号纸，姐犹疑可知， a 减 b 是 等于 x 减一块二的平方，加上 y 减三块二的平方。好，给我们条件是 a 等于 b 减绝对值下 z 减一的绝对值，那我们 b 就 看成被减数 绝对值， z 减一的绝对值看成减数， a 就 变成叉。那我们转化一下 z 的 话，老师打一个小点来区分一下和二啊。 我们来变形成 a 减 b 的 形式， a 减 b 加上锐减一是等于零的好。移项变号 刚刚我们 a 减 b 已经求出来了，那我们直接代入就可以了即 好。第一小问我们就已经讲过了，一个数或者一个整数的偶次幂是大于等于零的，它具有非负性。那么绝对值呢？绝对值它是具有非负性，这也是我们七上的一个内容，所以我们直接就可以写了。 好，那它们公共的就是等于零，要满足的话就是零加零加零等于零，所以 x 减一是等于零， z 减一等于零就可以得出来 解的， x 等于一的， y 是 等于三的， z 是 等于一的，最后求 x 加 y 加 z 代入即可， 最后是等于五。我老师八大帮大家总结一下完全平方公式和配方之间的一个关系和区别。完全平方公式呢，是我们期下学的，它其实是一个固定的代数横等式 分为两种形式，一个是 a 加 b 括号的平方，还有一个是 a 减 b 括号的平方。它是属于一个正向的一个运算规则，用来展开两个相同音式的一个乘积。那配方呢？配方它其实是一种解析方法， 它的核心是利用完全平方公式把一个二次多项式凑成一个完全平方式的一个形式，例如举个例子，我们 x 的 平方减去二， x 加十，我们需要一个 一，所以我们就把它拆成一和九，那这样的话，我们就可以写成 x 减一括号的平方加九，这个过程它就是一个配方， 那它用途区别呢？用途区别的话，完全平方公式主要用于展开计算，就例如刚刚我们说的什么 x 减一夸的平方，我们展开它就是 x 平方减二， x 加一， 或者我们因式分解，例如 x 的 平方加六， x 加九。 好，我们直接展开，它就可以展开成 x 加三括号的平方。这就要求我们对完全平方公式是非常熟练的。首平方尾平方中间两个数乘积的二倍， 说是可以直接看出来的，那配方法呢？其实配方法的话主要用于二次函数，它的一个求最值和解一元二次方程比较泰式之间的一个大小关系。就例如刚刚这道题， 好，我们总结一下，配方呢，其实是完全平方公式的一个逆向应用， 它以完全平方公式为基础，通过添加或者减去适当的一个项，或者分解我们的常数项，让这个多项式它是符合完全平方公式的一个结构。 好了，关于完全平方公式和配方之间的关系和区别，你理解了吗？ 这道题呢，它的核心就是我们先通过作差配方来判断大小，再利用 平方和绝对值的分附近求出未知数，方法其实是通用的，又好记，学会这一招，同类题目都能快速的解决，我们下期再见。

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中考数学最难的五十道经典几何题，全部吃透！逆袭班级前三考数学五十道经典几何题，第一题到第三题，第四题到第五题、第六题。

今天我们来继续分享一次函数和反比例函数相关的典型例题。上节课我们留下了三道题，这三道题呢，都是一次函数与反比例函数相结合的题型，非常有代表性， 我们来一一看。第一道题就是二零二二年安徽中考第十三题，是一道填空题，题目告诉我们，这个平四边形啊，与第一个反比例函数相交于点 c， 与第二个反比例函数相交于点 b， 同时呢， o b 等于 a， c 让我们求 k 值，题目没有告诉我们任意一点的坐标，也就是没有具体数值，所以这里呢，我们一定会设一个参数，然后用参数表示各种各样，最后同样的参数可以消除，就能求出题目中要求的未知量，这就是大概思路。我们来看具体解析过程，这里我们看到它这里设的是点 c 为 a， a 分 之一，因为它在这个反比函数上面，那为什么不设 a 和 b 呢？首先 a 它只在平行四边形上， b 呢，他虽然也在反比例函数和平四边形上，但是呢，他所在的反比例函数是一个还有未知量的，所以如果我们设 b 的 话，会平白无故的增加计算量。同时后面我们可以发现 c 和 b 呢，他们的这个动作标是相同的，横坐标呢，是一个倍数关系， 所以射综合考量射 c， c 是 最好的。这里的这个分析过程就是我们所需要锻炼的能力，在很多种可能性中找到一条最有可能的，但是我们一定要有一种知难而退的精神，这里的知难而退呢，是一定。打引号的意思就是如果你在选择一条思路后，在这个过程当中你发现了不对劲啊，你发现了有反常的地方，有发现了不对的地方，一定要及时止损，不可能每次我们都能直接选择呢 正确的那条路，但是一旦我们选择那个错误的道路的时候，一定要根据经验及时的发现他的这个不对劲的地方或者错误的地方，及时的止损，这样呢，才能大大提高我们解析的这个效率和质量。 然后继续看做 c h 垂直于 o， a 与 h 过点 a 做 a， g 垂直于 b， c 于 g 啊，这个是辅助线做出来的这个四边形是一个矩形，一个垂直的，而且上下平行。题目又告诉我们 oc 和 ac 是 相等的，所以这里就运用了一个中垂线的逆定力。 c h 是 垂线，然后垂线到两端的距离相等，那所以 c h 就是 o a 这条直线的中垂线，所以 o h 和 a h 相等的。那所以如果 c 点它坐标是 a 的 话， 那这里 o h 就是 a， a， b c 就是 二 a， 那 c 点坐标是 a， a 分 之一， b 点坐标就是三 a， a 分 之一， b 点坐标求出来之后，把这个带入到这个 y 等于 x 分 之 k 中，然后我们就能求出来 k 的 值是三啊。我们当时也说了参数啊，设置的参数相同的参数是可以消掉的。 你记第二道题，第二道题也是一题，填空题是二零二三年安徽省中考第十四题。大家都知道选择题的最后一题和填空题的最后一题，一般难度都比较大啊，难度直逼压轴 题。题目已经告诉我们了，这个三角形 oab 啊，是一个典型的含三十度角的直角三角形，那根据这个我们能推导出很多有用信息。 c 点又是 oab 的 中点啊，第一个问的 k 值就比较容易，第二个问中又告诉我们， bd 平行于 a、 c， 那 在平面直角坐标系中，两条直线它们平行于 a、 c 是 相同的， 点 b 的 坐标也很容易得出来，那么 b、 d 的 解析式就能求出来。在连立反比例函数解析式求出点 d 的 坐标，再根据两点之间的距离公式求出 b、 d 的 长度，这就是大概的思路。我们来看具体过程。在 直角三角形 o、 a、 b 中， a、 b 等于二角， a、 b 等于三十度，那 o、 b 等于就四， o， a 等于二，所以 a、 b、 d 坐标得出来了，那 c、 d 又是 o b c a c， 那 所以 o、 c、 b、 c 就是 三角形 o、 b 的 中位线，那所以 o、 p 和 a p 都等于二分之一， o， a 等于根号三， pc 呢，也等于二分之， a、 b 等于一，那 c 点坐标我们也求出来了，那所以因为这个 c 点是在反比函数上面，把 c 点坐标带入这个反比函数的解析式中，我们就能求出来 k 等于根号三。 第二问， a、 c 这条直线的解析很容易求出来，因为 a 点、 c 点呢，我们都表示出来了，然后把它带到这个解析式里面，能求出来它的解析式 y 等于负的三分之，根号三， x 加二，然后呢，这个 b、 d 是 平行于 a、 c 的， 所以 b、 d 这条直线的解析式的 k 值也是负的三分之，根号三，加上我们设它 y 等于负的三分之，根号三， x 加 b 二。然后又因为点 b 在 直线 b、 d 上把 b、 d 的 坐标带入到这个解析式里面，能把 b 二求出来等于四。 这里还有一种方法，因为 a、 c 和 b、 d 是 平行的，而且就是说 b、 d 是 由 a、 c 向上移动 ab 的 这个距离啊，往上移动 ab 是 二，能向上移动两个两个单位的距离得到 b、 d， 那 所以直接其实可以写出来，那 b、 d 的 解集是三负的三分之，根号三 x 加二，再加二就加四啊。这在做选择题和做填空题的时候就是很有用，速度很快了啊。在做解答题的时候，还是要把过程写上去的， 因为 d、 g 在 反比例函数的图像上，又在直线 b、 d 上，所以连立这两个函数的这个解析式，那解到解的有两个答案，明显的第二个答案要舍去。为什么呢？因为这道题给我们的图像上，当中 d 点明显是在 abc 的 右边，那所以它的这个 d 点的横坐标的这个值一定是大于他们的啊，求出来的 x 二二倍，根号三减三是小于他们的，所以要舍去。综上所述， d、 d 的 平方是十二，然后 o、 b 的 平方减去 b、 d 的 平方，答案是四，这题就解出来了。 第三题是二零二五年解答题第十八题。这道题难度是比较一般的，因为在解答题当中，十八题基本上都是共分题。同样的，这里给了一个一次函数和反比例函数相交于第一项线，且有两个不相同的交点， a 和 b 这两个解析式各有一个位置量，同时题目又告知了我们 a 和 b 的 横坐标，那连立两个解析式就能得到两个方程，很容易解得 a 和 k 两个位置量， 根据第一个问得到的一次函数解析式，再求出 x 轴， y 轴的交点，然后也很简单，最后呢，根据三角形面积公式求面积就能轻松搞定。我们来看具体过程， 我们把两个横坐标带入两个解析式，然后连累得到这个二元一次方程组解得 a 和 k 的 值，那 a 的 和 k 的 值都求出来之后呢？ ab 的 这个解析式就能直接写出来， y 等于负的二分之一， x 加四，然后令 y 等于零得到横坐标，令 x 等于零得到纵坐标，然后再去求这个三角形 c、 o， d 的 面积，就很简单。 通过两节课时，我们分享了一次函数和反比例函数的知识点，以及中考真题的解析。不难发现，虽然这两个函数不会独立的出现在压轴题，但是往往它会成为选择题和填空题中高难度的题型，所以我们同学还是要重视起来，多刷一些相关题型，做到不打无准备之战。 最后还是那句话，我就是一名普通的数学老师，喜欢数学，研究数学，希望能够通过自己的努力和分享，帮助到同学们学好数学，同时也能解决家长们辅导孩子过程中遇到的问题。感谢您的聆听，下节课再见，别忘了一箭三连哦！

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