历下区一模数学标准答案

接下来呢，和大家一起来看一下二六年三月份立夏一模的第十五题哈，那么通过读题我们都知道了哈，这个正方形，它是边长为四的，然后点 e 呢，是中点，进行了两次翻折，沿着 g h 翻折，沿着得 e 翻折， c 跑到了 f， a 跑到了 k， 这些都是直角对不对？那我们说看到翻折，看到折叠，我们要想到什么呢？啊？我们课上给大家强调过，要想放，就是想到是一勾股二 权等，有权等就会有对应边，对应角相等，有对应角相等就会出现角平分线，看到角平分线，我们就要想到的是到两边的距离相等， 或者是分对边比，等于零边比啊，然后再有就是角平分线加平行除等腰 折痕与对应点连线垂直平分，这是我们看到翻折的时候要想到的这几点。 那这个题呢，又让我们求的是 h k 的 长度，求线段长对不对？那我们说求线段长的时候呢，我们要想到这五种方法，勾股定律啊，相似啊，三角函数啊，间隙啊，等级对不对？那到底用哪一个呢？你只有把这些 就是这些知识点想到了，那该用哪一个，你把它拿过来，然后这个题也就很快的做出来了。那在这呢，我给大家用了五种方法来讲，嗯，说一下思路哈，我就不带写了， 好，我们来看哈，怎么怎么去去求啊，来我们看一下，嗯，既然这里是翻折的，那说明这些边啊，它都相等，然后角呢，也都相等，那你会发现 e 又是中点，所以它们三个相等，如果我连接 g e 的 话， 相当于这里也是一个折痕，他也相当于翻折过去了，因为这两个三角形全等 h l 就 可以了，因为这个地方是个直角，他也直角，这两边相等，这个又是个公共边，对不对？好，那既然是， 嗯，相当于翻折了，说明这个点和这个点相等，这个三角形和这个三角形就我画的这些角。哈，算了，我给你用圈吧。 好，这个圈和这个圈是不是也相等啊？所以有发现，这时候呢，我们可以得到一个直角，也就是记忆的，它是一个直角， 这个地方它是一个直角。啊，好，这样吧，哈，大体，大体画一下啊。 好，他这个直角之后呢，那就说明在这里有一个一线三垂了，相似，因为这些直角直角直角，对不对？所以这个三角形和这个三角形相似，一线三垂。所以第一种方法呢，就是一线三垂的方法， 那它是个二，它是个四，它也是个二，所以它很正常，也很容易就能求出来，它是个一，那么 a g 就是 个三，那你会发现这个地方呢，它是个叉，它也是个叉，它俩相等，而这个勾和这个勾呢，也相等，所以同样的道理，叉加勾也是九十度。 ok， 二它也是个九十。好，然后，然后呢，我们就可以看出来，这里依然有一个一线三垂， 这个三角形和这个三角形对不？所以它的比是一比二，那它俩的比也是一比二，所以我们够能够求出来二 a h 的是二分之三，那你的 h k， 它就等于 a h 呀， 对吧？所以两次一线三垂，我们就求出来 h k， 它等于二分之三了，就这是 h k 的 长度，所以这个题的答案呢，也就是二分之三了。 好，这是第一种方法。好，那么第二种方法呢？用的是角平分线的性质，你会发现 g h 呢，相当于是这个角的角平分线，那么他分对边的这两个边的比 线段比，应该说是等于你这个大角的邻边比。这个方法在推导的时候，其实利用的等积法来推的啊，他俩作为底，求他俩的面积高是同一个高，所以面积比等于底值比， 然后再换一下，换成这是它的底，这是它的底，那么高是这个和这个，你会发现这俩高依然相等，因为角平分线这个点到两边的距离相等，对不对？所以此时我们可以得到 a， h 比上个得 k， 得得 h 等于 a， g 比上个得 g， 对 吧？那你的得 g 呢？它就是个五哈，因为三四五吧，这三这四，这是五，是吧？所以呢，我们可以设嗯， a h 呢，它等于把这个擦了哈，第一种擦了， 我设它为 a， 它就是四减 a， 那 么 a 比上个四减 a， 它就应该等于三比五， 所以 a 它等于二分之三，这是第二种方法。第三种呢，就是用相似和三个函数，它两个哈有点类似， 你发现这个地方它也垂直，对不对？好，那你这个三角形和这个大三角形呢？它是一个边，一个角相等，第二个对角相等公共角吧，所以这两个三角形的 k h 相似于三角形的 aj， 那么我直接用 h k 比上个 h k 比较写 h， k 比上 aj 等于 嗯，的 h 比上个的 j， 对 吧？也就是这个是个 a 哈，因为它翻折过来的 a 比上个三等于四减 a 比上个五， a 依然等于二分之三，这是第二种。 那么三角函数呢？就是你这一个角，它不是公共角吗？它既在这个小三角形当中，也在这个大三角形当中，所以我们可以用这个角的 s 值。 s 角，这个是个 r 法吧？ s r 法哈，它等于两个边的比，一个是 h， k 比上个得 h 还等于 a， g 比上个得 g， 所以呢， a 比上四减 a 等于三比五，还是这四个边，对吧？所以 a 等于二分之三，这是个三角函数。那勾股定律呢？就是 它是因为我们说了看到翻折就要想勾股嘛，它既然是翻折过去的，那我们就在这个三角形当中用勾股定律就可以了。嗯，因为这个是三，它也是三，它一共是五，所以它是二，对吧？所以呢，在 r t 三角形的 h k 中， 然后二方加 a 方等于四减 a 的 平方， a 等于二分之三，所以这五种方法都能求出来哈。嗯，最简单的呢，要数第一个方法了就 ok， 大家去看一下吧。

hello， 大家好，咱们再一块研究一下二六年济南市历下区 一模数学里边的倒数第二个大题，也是二次函数里边的压轴题，难度还是相对来说稍微大一点的。 已知二次函数，它经过 a 点， b 点，两点与外轴交一点， c 顶点是得第一位，让他们去表达式和得点坐标。这个是非常简单的， 因为 a 点和 b 点都在 x 轴上，所以说我想到的想去设焦点式，然后 a 不知道，然后与 x 轴两个焦点分别是都能确定的， x 一 是负二， x 二是四，对吧？然后再把零度四，零度四怎么来的？是抛物线与外轴的焦点，对吧？ c 点坐标就是零度四，单极线 就可以了， a 等于求出来，等于负二分之一，然后把它整理成一般式，就能求出来它的顶点坐标，得点坐标是一到二分之九，非常简单哈，这个题的话，百分之九十九的同学应该都是会的，所以说咱就不过多的去赘述了。重点的话看一下第二位， 第二位的第一小位如图连接这些，然后是抛物线沿着 a、 c 进行平移了，对不对？ a 点坐标是负二到零， c 点坐标是零到四，都非常容易能求出来， 然后让咱们去求 a、 c、 g 的 面积，那很明显，在这个题目中， a、 c 都是确定的， g 的 坐标是不确定的，所以说我想去求面积，那我是不是得去给他研究一下这个 g 的 轨迹， 大家会发现这地方是求面积，什么数据都没给，所以说这个面积一定是个具体的数字，那 z 的 轨迹肯定是一个固定的轨迹，并不说是呃不确定的一个地方，对不对？所以说这地方的话，我就去研究 z 的 轨迹，这个很明显，抛物线沿 a c 方向平行，那 z 是 新的 二十函数的顶点，那所以说我连接得 z 之后，得 z 就 会和 ac 平行，对吧？也是因为得到 z 也是沿着 ac 这个方向进行平行的呀，对吧？所以说这个得 z 这条直线解析式，那我就能确定了，就和 ac 这条直线解析的 k 值是一样的， a z 这段直线的解一式就能很明显的求出来， y 等于二， x 加四，对吧？那所以说得 z 的 呢？那就是 y 等于二， x 加 b， 对 吧？再把得点坐标一到二分之九给它带进去，就能求出来， y 等于二， x 加上二分之五，这就是确定了，对吧？ 那咱要求 a c g 的 面积，我为了便于好球，我就这得 z 于外轴交点是 m， 大家看一下哈，我把 a m 再给它连起来， c m 也给它连起来，大家看一下 a c g 这个三角形的面积， s 三角形 acg 是 不就等于 s 三角形 acm， 对不对？为啥呀？因为它俩是等底同高数到面积相等，那 a c m 的 面积呢？很明显，二分之一乘以 c m， c m 当底再乘以 o a o a 当高，是不是把它搞定了？那就是二分之一乘以四，减去二分之五，二分之三， 然后再乘以二，所以说面积就等于二分之三，这样的话就把三角形 ac 的 面积给它求出来了。孩子相对来说的话是有点小技巧，但是难度并不是很大哈。 来如图二，然后将新函数 m 与 x 轴交于一和 f， 那 很明显相当于这个往哪平行了？往右上方平行了，对不对？沿着 a、 c 向上方平行了，然后连接它角， b， c， e， b， c e 啊，这 b 在 这这地方没印出来 b， c， e 这个角和 b， c， f 这俩角，哎，这俩角相等，让咱们去求新函数的表达式，咱按照刚才的方向，咱会发现 g 由得往上平移，是沿着直线 y 等于二， x 加 就在得 g， g 一定是在直线 y 等于二 x 加二分之五色的上面的，对不对？那我是不是就可以设这一点的？坐标为 m， 它的横坐标是 m， 中坐标就是二 m 加上二分之五，这是一个顶点式。那么那我新函数的表达式，我是不是就可以用 顶点式给他表示一下， y 等于负的二分之一， x 减 m 的 平方，再加上二 m 加上二分之五，对不对？这是新函数的一个这个图像，对吧？我只需要能求出来一个未知数，找到一个等量关系式，这问题就搞定了，对吧？ 因为这地方给的是 e 和 f， 对 吧？那大家会发现，哎， e 和 f 是 不是就是抛物线于 x 轴的焦点的坐标，那我另外等于零，那是不就能出现了，对吧？所以说这个地方的话，哎，是不是有可能会和韦达定律结合在一块呀？那我就设 e 点，坐标为 x， 一 逗号零， f 点的坐标为 x， 二逗号零，对吧？这两个角相等怎么去用？哎，大家会发现，这两个角相等的话，咱又能知道角 o c b 这个角是个四十五度，对吧？这个角是个四十五度，那这样的话，那我如果过一 f 向 y 轴，向 x 轴做条垂线，然后过 c 再向 y 轴也做条垂线，他们有个垂足相交于 s， 大家会发现我标蓝色的这个角，阿尔法，还有这个角被他他俩加上，刚才那个红色的这两个角相加，是不是都等于四十五度，对吧？这样的话，我就把他们的话就和 o e 和 o f 是 不是就产生关系了， 对不对？那这样的话，它 alpha 和 beta 是 不是就相等了？ alpha 和 beta 相等，那 tan alpha 是 不等于 tan beta， tan alpha 总表示 tan alpha， 它就等于 o e 比上 oc， 它比它呢？它就等于 f h 比上 c s， 说明它俩就相等了。 o e 很 明显是 x 是 一， oc 是 四， f h 是四， c s 是 x 二，对吧？哎，大家你看是不是和刚才的猜想是差不多的，对吧？这样都知道了， x 一 乘 x 二是不等于十六啊？ x 一 乘 x 二是不正好是二次函数？ y 等于零的时候，就是这个一元二次方程的两根之积是十六啊，那就另外等于零，对吧？ y 等于零，把它整理成一般形式，那就负的二分之一块的 x 方减二 m， x 再加 m 方，再加上二 m， 再加上二分之五，是不等于零？ 然后括号，那就是负的二分之一 x 方加上 m， x 再减去二分之一 m 方加二 m 加上二分之五是不等于零。 那这个一元二次方程的两根分别就是 x 一 和 x 二，对吧？那 x 一 乘 x 二，那就等于 a 分 之 c 来往里带 c 的 话，负二分之一 m 方加二 m 再加二分之五 a 的 话，负的二分之一，那一化简呢？就是 m 方减四 m 减五，它是不是就等于十六了？因为为啥等于十六？因为咱刚才已经算出来了， x 一 乘 x 二是不等于十六，然后呢？再往里带， 带进来，那带进来它就等于十六了，那算出来，那就是 m。 化简一下， m 方减四， m 减二十一是不等于零，很明显，十字交叉把它搞定了，那就是 m 加三乘以 m 减七，是不等于零， m 一 等于负三，舍掉了，对吧？ m 等于七就把它搞定了，对吧？咱们刚才说到了， m 方减四， m 减二十一等于零，解出来 m 一 等于负三， m 二等于七，这个 m 一 等于负三，为什么给它舍掉了？可能有些同学不明白哈， 咱们在这地方再详细的说一下，为什么呢？是因为这个 y 等于负二分之一，括号的 x 减 m 的 平方加二， m 再加上二分之五，以整理成一般式，是这样的，因为这个抛物线要与 x 轴有交点，那所以说嘚儿它的话，那就等于 b 方 减 c， c， 对 吧？ b 方那就等于 m 方减去四乘以负二分之一，然后再乘以 c 的 话，是负二分之一， m 方加二， m 再加上二分之五，它要大于等于零， 对不对？那解出来 m 正好大于等于负的四分之五，哎，大家会发现，所以说 m 大 于等于负的四分之五，所以说 m 等于一， m 一 等于负三，这个负三就舍去了，对不对？ 那这样的话，有没有一种情况， m 等于四分之五，负四分之五的时候，大家想想啊，咱刚才是 m 二等于七，相当于这个 注意的话，这个抛物线整体向右上方进行平移的，对不对？那如果当 m 等于负的四分之五的时候，那此时得它是不是等于零？正好抛物线的顶点就落在了 x 轴上，那此时就相当于这 e f 三点重合了，对吧？那这时候的话，大约的话是 m 等于负四分之五，大家想想， e f 都重合了，那 b 角 b c e 是 不是等于角 b c f， 那 一定是成立的，对不对？此时 e f 肯定是重合的， 对吧？那角 bce 是 不是肯定等于角 bcf 呀？对不对？那所以说 m 等于负的四分之五是不是也成立，对不对？那这样的话，咱们两个都可以，一个是 m 等于七，一个是 m 等于 这个负的四分之五，所以说的话，这样的话咱就写个综上所述， 就能化简成一般式就可以搞定了。 y 等于负的二分之一， x 方加七， x 减八， 或者是 y 等于负的二分之一， x 方减去四分之五， x 再减去 三十二分之二十五，这就是咱们的话最后一问的两个答案哈，就是第一种情况的话，就是当 m 等于七的时候，就是借助于尾的单位，此时 e f 不 重合，对吧？ 然后第二种情况就是等会顶点在 x 轴上，然后此时 e 和 f 重合了，那很明显角 bce 肯定等于角 bcf 呀， 对不对？这样的话咱就把它给它搞定了，算出来两个 m 值，进而就求出来两个二次函数的减一次，两种情况啊， 这样的话咱就把它搞定了。其实这个题的话，最本质的就是考的第一种情况里边的，借助于伟大定律来把它作为一个突破，把它给它搞定的。到了这个题一定要注意两种情况要进行分论讨论，而且还要注意，就是那个负三要给他舍去啊，大家一定要把它给他弄明白了，弄仔细了。

下面看一下二零二六历下一摸的第二十四题，也就是二次函数的综合题。二次函数的图像经过了 a 点和 b 点，顶点是点 d。 第一问求表达式和顶点 d 的 坐标。第一问这个是很简单的，把 a b 两个点坐标带到关系式当中， 就可以求出 a b 来，或者说你写成顶点式也可以，写成交点式也可以。然后呢，再把零逗四代入就可以了啊，这样的话，表达式我们就求出来是 y 等于 负的二分之一， x 方加上 x 加四多的坐标一，逗号二分之九。 第一问呢，比较简单，但是有一个问题，虽然简单一定要重视，因为你只有把关系式求对了，下面才能继续往下做。如果第一问关系式都求不对，那这个题就会 得很少很少的分，甚至是得零分都有可能，所以第一问的准确性很重要。嗯，也可以求，求出来之后呢，进行一下检验，带入两个点坐标呀，或者说看看对称轴啊等等适不适合。 好再看第二位，二次函数的图像呢，沿 a c 平移得到一个新的图像 m， 顶点是点 j， 如图一，求三角形 a c， j 的 面积 沿 a c 平移而得和，这点都是。嗯，原来的函数和新的函数的顶点，所以这两个点实际上是对应点，所以下面连接得这， 所以得这一定和 a c 属于平行。这样我们发现原来这里有一条平行线， 因为 ac 这是一个斜三角形，在坐标系当中没有任何一条边和坐标轴平行。 斜三角形的处理方法有三种处理思路，第一种，铅垂法，铅垂高乘以水平宽。第二种，平行线等级变形，第三种就是割补法，然后显然这里出现了平行线，所以常规的方法就是平行线等级变形， 是吧？那平线等级变形怎么个变形方法呢？ 平移点 z 在 这条蓝色的线上随便平移它这个红色的三角形总是面积不变的，因为它们同底等高 啊，他们的底都是这个，而高呢是这个点到它的距离，而这个距离就是这两条平行线之间的距离。所以当这个点在这条线上，无论移到哪个位置，它的面积都是不变的， 所以下面我们就可以把它平移到特殊的位置。在平面直角坐标系当中，最特殊的位置当然是在坐标轴上，所以可以平移到外轴上。假设这个点是点 e 吧， 所以三角形 a、 c、 g 的 面积就和三角形 a、 c、 e 的 面积相同了，所以你只需要求出一点坐标来， 因为 a、 c 两点的坐标是已知的，如果知道 e 点坐标，那这个三角形马上它的面积就可以变成以 c e 为底， o a 是 高。所以下面的问题就是求 e 点坐标，因为 e 点是的 j 与 y 轴的交点， 得点坐标是已知的，在第一位已经求过了一逗号二分之九，又因为得这这条线平行于 a、 c 两直线平行，所以它们的 k 值相同 啊，所以求一下 a、 c 的 k 就 可以了。 a、 c 的 k 值，这两个点坐标都有带领序法，求一下它的关系式，或者说这个边与这个边的比值就是它的 k 值。 o c 的 长度是四，而 o、 v 的 长度是二，所以它的 k 值剩下是二， 所以这条直线的 key 就是 二，这条直线就是 y 等于二， x 加 b， 然后把得点的坐标代入，就可以求出 b 来 带进去。二分之九等于二，加上 b， 所以 b 等于二分之五，所以这条直线就是 y 等于二， x 加上二分之五。 一点的纵轴标是二分之五，所以 c、 e 的 长度，这样马上就可以求出来了，这个是四，这个是二分之五，所以这一块长度呢，就是二分之三，二分之三乘以二，再除以二，所以它的三角形的面积就是二分之三。 好，这是第二位的圈一，下面我们再来看一下圈 圈二。新函数的图像与 s 轴相交于点 e 和点 f， 然后连接，如果角 bce 等于角 bcf， 嗯，求新函数表达式， bce 等于 bcf， 这说明这条线就是这个大角的角平行，嗯，这两个角是相等的， 我们还注意到什么呢？还注意到这个 o、 b、 c 这个三角形是一个等腰三角形，等腰直角三角形，所以啊，这个角度四十五度，这个角度也是四十五度的， 嗯，那这个心呢？还是图像啊，因为平移的过程当中，这一点始终落在 d j 这条线上， d j 这条线的关系式我们已经在圈一的时候求过了，就是这个， 这就是这个 dj 的 关系式。所以说呢，这个地方可以设出点 j 的 坐标来，比如说可以设它是 m， 逗号二 m 加上二分之五， 这样这个图像它的关系式就可以写出来，可以用顶点式写出来，因为在平移的过程当中， a 的 值是不变的，形状没有改变，顶点又有了，可以利用顶点式写出它的新的函数的表达式， 嗯，那这个表达式就是 y 等于负的二分之一， x 减去 m 方，再加上二， m 加上二分之五， 这样呢，就相当于只设了一个位置的量， m 就 写出来它表达式，所以还是很很可以的啊，所以下面我们只需要再找一个点的坐标，或者构造一个什么关于 m 的 方程即可。 好，我们再来回到这个条件啊，就是这两个角是相等的，因为这个点 e 和点 f 呢，分别是这个新的二次函数与 x 轴的两个交点坐标 啊，那怎么求这个向量坐标？那就另外等于零减这个一元二次方程一元二次方程两个减啊，所以这个就是那个 x 一， 这个就是 x 二啊， 下面我们再来看这个角平分线怎么应用。这个角一和角二是相等的，而角一和角三的和是四十五度， 然后呢，然后这个角这个角也是四十五度，说明角二和这个角的和也是四十五度。哎，因为这个角是这个三角形的外角， 角一等于角二，角一加角三等于角二加角四，所以这样我们得到一个角三等于角四， 这样我们就得到一个什么呢？叫三点角四，这个角又是个直角公共角，所以可以得到这个三角形和这个三角形是一种相似的关系，对吧？这不一种反 a 形的相似吗？所以实际上就是那个子母形的相似 啊，字母相似，那我们下面就可以列出它的比例式啊， o e， o e 比上 oc 就 等于 oc 比上 off， 而 o e 就是 那个 x 一， oc 的 长度是四， 所以这样 x 一 乘以 x 二等于十六，这样就出现了两根之积， 所以这个题啊，实际上是一定是和韦达定律有关的，因为当我们发现很多问题要用到这个 e 和点 f 的 坐标的时候， 因为点 e 和点 f 的 坐标，它那个横坐标就是那个 y x 方程的两个减，所以就牵扯到两根之和和两根之积的问题啊。因为下面这个 x 加 m 的 方减 m 的 方加上二， m 加二分之五等于零， x 一 x 二，就是这这个方程的两个解， 因为求解很困难，但是两根之和两根之积是可以表达出来的，对吧？啊，因为你只要把它化成一般式就可以了，负的二分之一 s 方减去二 m x 再加 m 方。 啊，整理成这个一个 e x 方程一般式。 哎，到这里我们得出了一个两根之积，那不就可以利用伟大定律了吗？是吧。但是有个问题，我们在用伟大定律的时候，我们常常会忽略一个问题，就是什么问题？ 伟大定律在应用的时候一定要注意检查，就是 der 它的问题啊，因为这个方这个二次函数新的啊， 它与 s 轴有两个不同的交点，所以 delta 一定是带零的。先来求一步 delta， 求一下 m 的 曲率范围， delta 等于 b 方减去四 a c， 嗯，整理一下 m 方，这个是加上二哈，这俩一约是二，再乘进来就是加上负 m 方加四， m 加五 就等于四， m 加五大于零，所以 m 大 于负的四分之五， 这样我就求出了他的呃，第一个 m 的 区域范围，然后下面就可以利用两根之积了，是吧？两根之积等于十六，而两根之积等于的是 a 分 之 c， a 是 负的二分之一， c 是 负的二分之一， m 方加上二 m 再加二分之五，这样两根之积是等于十六的。我们刚才已经求过了啊，所以 剩下的就是减约二次方程化简一下， m 方减去四 m， 然后再减去五等于十六， 十字相乘。拆解它一下， m 一 等于七， m 二等于负三，因为负三呢，比负的四分之五小，所以这个不符合条件，舍掉。 这样我们就求出 m 的 值，然后把 m 的 值代入到原来的关系式中即可 啊，所以它的关键式就是 y 等于负的二分之一， x 减去七的平方，再加上 二七十四，再加二分之五，对吧？嗯，可以最后整理它一下。关键式就是负的二分之一 x 方 加七， x 减八。好了，到这里我们就求出了它的第三位。

二六年的历下一模已经考完了，每次历下都是考的特别早，然后我们来分析一下历下区的这次模考卷子，来看看他的整体难度怎么样，给其他区有没有借鉴性的意义啊。 这次来说呢，整体的难度应该是属于中档偏上，大部分题还算是比较常规，包括压轴题也是大部分比较常规，个别的题可能难度会比较大一些。呃，我自己在做的时候呢，选择题的第十题，他特别接近于二四年的济南中考的 选择。最后一个考的是一个动点，和函数图像结合到一块，你把这个图像分析清楚了，和函数图像上的点的数据一一去对应，差不多就能做出来。 你刷过这种类型的专题的话，这种题目是见过且有思路的哈。当然，你要是说我没有见过这种类型的题，你可以去看一看。二四年的济南中考，最后一个比较接近这个思路哈。 填空题的最后一个的话，这个题思路比较多。这个题考的是一个双折叠，我又借助题目本身的条件多加了一个折叠，相当于构造了一组全等用一线三垂做的。我做这个题的时候，因为我寒假讲过这个专题，所以我读完了题，把我的思路的辅助线随读随标上， 我可能读完题，整体读下来也就不到两分钟，这个题就做完了。就是其他老师在分享这个题的思路的时候，可能没太有用我这个方法去做的。你也可以考虑用其他的方法，用相似啊，用二倍角公式啊，都可以，方法比较多。我一会出一个思路的纯想版，大家一会可以去看看我主页里的其他视频。然后，嗯， 函数的压轴倒数第二个题哈，这是我觉得整套卷子里边最难的一道题，他的第二问开始就会比较新颖一些。 这个题第二问呢，是一个常规的求面积的题，但是这个记点他并没有给你明确的在哪里动，需要你自己去分析。 我们用常规的牵扯线法去做呢，孩子可能会有一点犹豫或者卡住说，哎，我稍微有点没思路，程度弱一点的孩子就会觉得这个题不是不是很常规，至少应该是中档偏上的孩子，平时大概能考到一点三 左右的孩子，做这个题的第二问会觉得我有我有思路，如果要是这个程度稍微弱一点，第二问可能就会卡住。嗯，当然这个题呢，还有巧的办法，就是简简单的办法，当然也得在基于你去分析题目的前提下，分析完了之后发现，哦，里边有平行线，我可以利用平行线去转化面积，很快就求出来了。 然后第三问，这个题就是一个双动点的角度存在性还不太一样。 这次的二十三题反比例函数倒数第三个题也是考到角度存在性，这个呢，考的就很常规，是我们平时讲过的这种模型类的题， 就比较简单。但是二十四题这个题的难度就比较大了，不太好做，也不太好想。这个题的计算量也非常非常大，就即便是大家有一点思路了，可能你在计算的时候但凡出现一点点小 误差就算不出来。然后最后一个几何的压轴题呢？这个题相对来说比较常规，就他看起来 也没有特别难，然后最后一个题考的是最值，最近在填空的最后一个，以及大题的最后疑问里边都特别喜欢考最值。你就去想他跟我们讲过的这基础的六种模型有什么关系，如果要是没有模型的话，再想怎么去分析 它，就是我们讲的单线段最值里边的刮动，而且这个刮动很好分析，你只要找到主动点，从动点，主动点到从动点是怎么动的，然后去分析这个题还是一个非常非常常规的题，你把它放到填空的最后一个，我觉得也也是完全 ok 的， 不是很难， 大家可以自己去做一做。有没有思路的题可以去翻一下我主页的讲解视频呦。

下面看一下二零二六历下一梦的最后一个大题，就是这个二十五题，是一个几何的压轴题。已知条件啊。在矩形当中， ab 是 六， bc 是 四， 连接对角线，然后三角形 a、 e、 f 是 一个直角三角形，这个角是九十度， a、 e 的 长度是九，并且角 e、 a、 f 等于角 c a、 b 就是 这个角和这个角是相等的，所以说也就是 a、 c、 f 实际上是共线的 第一项呢。如图一，求 e、 f 的 长度，然后呢，再求一个 c、 f 和 b、 e 的 比值啊，这个就比较容易了，是吧？矩形当中这个角是直角公母角，所以这两个扇形本来就相似的。 这个边是六， a、 e 的 长度是九，然后他是四，所以三角形相似，对应边乘比例六比九就等于四比六，所以这个边的长度就是六。然后下面他要求这个和这个的比值， 这两条线互相平行分线的乘比例，所以下比下，就等于这个上比上， 所以求一下这个 a、 c 的 长度就可以了。四和六勾股定律就能求一下，它应该是两边的根号十三，所以它两个之比就应该是根号十三比三， 所以 e、 f 的 长度是九，这个 c、 f 比 b e 等于根号十三，比上三。 下面再来看第二小问，将图一中的二 t 三角形 a、 e、 f 绕点 a 逆时针方向旋转，连接 b e 圈一如图二，当点 f 恰好落在 b、 c 的 延长线上的时候，求 b 的 长度。我们看它把这个大的三角形 a、 e、 f 旋转了一定的角度，使得点 f 恰好落在了这个 b、 c 的 延长线上， 这个三角形和这个三角形仍然保持相似的关系，对吧？三角形相似，对应边乘比例，对应边乘比例啊。所以 ab 比 a e 就 等于 ac 比 af， 也就是 ab 比 ac 等于 a e 比 af， 而且本来这个角度还和这个角度相等，所以就能得到这一部分等于这一部分， 所以得到这个角一和角二相等。又因为 ab 比 ac 等于 a e 比 a f， 所以 两边对应乘比例，且加角相等，两个三角形就相似了。所以它本身就是我们说的那种常见的叫做手拉手相似，也叫做旋转相似。看它们的公共顶点是点 a a b 和 a c 这两个边稍微短一些，我们就称它叫小手，对吧？然后 a e 和 a f 它们的长度大一些，我们就称它是大手，然后小手拉大手， 就是这个就是一蓝一红啊。公共顶点从公共顶点出发，两个蓝色的是小手，两个红色的是大手，搭配一下，所以就这个三角形和这个三角形就是相似的，就是刚才我们正的那个 相似比，就是 a c 比 ab 的 比值，剩下就是刚才第一问的正的，嗯，所以 b e 这条边和 f c 这条边，它俩是对应边，它两个的比值是确定的 啊，就是刚才的相似比，根号十三比三，所以你要求 b e 只需要求出 f c 来即可。 因为在旋转的过程中， aef 这个三角形的三边长度都是确定的啊，这三边就这个长度是九，这个长度是六啊，这是直角三角形，所以这个长度是可以求出来的， 它能求出来 ab 的 长度是已知的，是六。哎，所以勾股定律就可以求这个长度，是吧？减去 bc 就 得到我们要找的 c f， 所以 剩下的呢，就就是计算的问题，还是比较简单的，是吧？ 嗯，这个长度呢，我们可以求一下啊，这个是九六，这个边的长度呢，就应该是三倍的根号十三，因为它和这个蓝色的三角形相似，比是二比三，这个 a c 是 二，根号十三，所以它就是三倍根号十三， 而这个边长度是六。勾股定律，三倍的根号十三的平方减去六的平方，算一下就可以算出来是八十一， 八十一一开方，所以 b f 就 等于九，而 bc 是 四，所以得到 c f 是 五，它和它的比值根号十三比三，所以算一下就可以了，是吧？五比 b e 就 等于根十三比三， 所以 b e 的 长度就是十三分之十五倍的根号十三， 这是圈一，下面我们看一下圈二，如图三点 h 呢落在 b e 上， b h 呢是三分之一的 b e 连接 d h， 求 d h 的 最大值 啊，这是一个求线段最值的问题啊。我们先搞清楚动点和定点，因为 abcd 这个矩形是不动的，所以这个得点就是一个定点， 所以 h 点是个动点，所以这是一个单动点的问题啊，所以只需要搞清楚动点的运动轨迹即可。 我们下面我们看，因为 h 落在 b e 上， b 点是个定点， e 点是一个动点， e 点的运动轨迹是很容易找到的，为什么呢？因为 a e 的 长度是个固定的，而这个三角形绕着点 a 旋转， 所以这个三角形上实际上任何一个点的运动轨迹都是一个圆， 是吧？圆心是 a 点，半径就是这个三角形的点到它的距离，所以点 e 的 轨迹也很明确，就是以 a 为圆心， a e 的 长度就是九为半径，这样一个圆 啊，下面看。而 h 呢，落在 b e 上，这个 b 也是一个定点，所以就相当于 b e 绕点 b 旋转，零度角再变为原来的三分之一， 所以它就符合有定点就绕定点旋转有定角， bh 和 b e 的 夹角是零度，有定比， b e 和 b h 之比，三比一，所以符合刮豆原理的特征， 一看就是一个主从联动的题目是吧？ e 就是 主重点， h 就是 从重点，所以要想找从重点的运动轨迹，那很容易的。我们看一下 e 点的运动轨迹， a 为圆心， 以这个 a e 为半径的圆，那 h 点一定是也是一个圆，它的运动轨迹需要找一找它的圆心和半径，找它圆心和半径的时候怎么去寻找呢？ 就是这个主动点和从动点是怎样的，那主动圆的圆心和从动圆的圆心就怎样， 主动点和从点都是连接 b 是 吧？ h 就 落在 b e 上， 所以从动圆的圆心就是 a 点，也连接 b， 也落在这条线上，并且有定比，是吧？ b h 比 b e， 一 比三，所以从动圆的圆心到这个定点的距离 和主动圆的圆心到从点的距离也应该是一比三的关系，所以我们把它的圆心叫做 o 吧，那 b o 与 b a 之比，一比三即可。 那下面我们取一个它的三等分点，就是点 o 靠近 b 的 这个连接 b h， 所以下面我们马上发现这个比这个一比三，这个比这个也是一比三，所以这个小三角形和这个大三角形，这不就相似的吗？公母角对应边成比例，所以马上得到 o h 比上 a e 就是 一比三的关系。 因为 a e 的 长度是定值九，所以它的长度也是定值三，所以这样我们找到了原来无论怎么运动， o h 的 长度是个定值三， 而 o 是 个定点，这不就到定点的距离等于定长吗？所以我们马上得到了 h 的 运动轨迹，就是以 o 为圆，心以三为半径的圆。 那这样 d h 什么时候最大呢？哎，剩下的就是穿心线，一键穿心过点 d 连接 d o 并延长， 所以点 h 就是 在这个位置，半径是三，只需要求出 d o 来即可。 因为整个长度是六的关系，所以这个长度就是整个长度。 ab 是 六，所以它它是二，那这个长度就是四， 而 a d 又是四。哎，这样三角形中勾股定律，这个就是四根二，所以 d h 的 最大值就是四根二加三。 所以这个题的第三小问，或者说这个圈二就是一个刮豆原理啊。刮豆原理有主动点去找从动点的运动轨迹。 好了，这个题目这样我们就分享到这里回顾一下啊。前两问比较容易啊，就是第一问是一个相似，第二问手拉手的相似，再加上一个条件，就是 f 点落在 b c 的 延长线上， 这样有一个具体的长度就可以去做啊。圈二刮豆。好，这个题的难度呢，总体不算很大。好，这个题我们我们就分享到这里。

哈喽，我是陈老师，我们今天的话来看一下这个刚刚结束的立夏一模的第十五题。这套题的话中规中矩， 其实是比较友好的，属于一个送分类的一个题目，因为正常来说的话，几何的一个小综合，嗯，会考的稍微要比这一道复杂一些，我们来看一下。 嗯，首先根据这个提议的话，我们知道它是一个双折叠的一个问题，所以第一步先把信息都标上，那这里我们得到的是四， 因为一是终点的话，那这里就是二，这里也是二。双折叠问题的话，我们有说过，在课上经常是讲到的啊，这里我们要连起来， 把这一连起来，因为这一连起来它会出现一个什么东西呢？这里是一个直角三角形。好，所以你可以我们可以非常清晰的一个看到，因为长成这个 这个这一的是一个平躺的一个直角三角形，那基于此呢，我们能想到一个，呃，一线三垂直，所以在这里啊，我们把这个一线三垂直画一下。好，那这个紫色的啊，两个紫色三角形相 似于三角形 e c， a d 啊，所以 我们能得到这个 j b 啊， j b 的 长就是一好，所以这里 a j 的 话就是三，那那接下来的话，我们想要求得 h k 的 话，这里提供了两个思路，第一个思路是相似 好，三角形的 k h 是 相似于三角形的 a j 的， 所以在这里的话，应该是 h k 比上 a j 等于 b 上这一得啊，用购物定力把这一得求出来就行了，这一得应该是五哈啊，所以应该是这样的。好，我们能求出 h k h k 的 话，就是一个二分之三啊，这是第一个路子。第二个路子的话我们也还可以勾去勾到购物方城，购购物方城哈 啊，比如说我们设这里为 x 啊，这是 x， 那 这是四减 x， 那 这是三，这是二，所以你看这里的话就是 h k 的 平方 加上一个 k 的 平方等于 h 的 平方啊，所以就是 x 平方加二的平方等于个四减 x 平方。 澳门演的是能得出来这个结果的，所以总体来说的话，这个题的话还是相对来说比较简单的，就属于送分的一个。呃，一个比较友好的一个题。

下面看一下历下一摸的第十题，选择题，亚洲题。这个题目呢，是一个二次函数的图像的问题，说呢，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 中线， 然后呢，这样把三角形 a、 b、 d 沿射线 b、 c 平移， 平移之后呢，这个三角形与三角形 a、 d、 c 重合的部分，也就是这一部分，它的面积是 y， 平移的距离是 x， 得到它的函数图像，如右图所示， 下面有三个，有四个结论，看一下这四个结论当中哪个是正确的。 好了，我们看一下，第一个结论，就是 b、 c 的 长度等于六，因为要关注的是这个函数图像上的特殊点，这个六逗号零有一个点，我们重新画一个图。 好，这样的话，我们把图就画好了，它们重叠的部分就是这部分面，所以我们看一下什么时候重叠的部分是面积为零，就是平移。这个蓝色的三角形 e、 f、 g 平移，平移，看重叠的面积，嗯，还是不小的，开始逐渐变小，变小，哎，逐渐变小，哎，直到平移到这个位置，也就是点 f 和点 c 重合的时候，它的面积就是零， 所以这样呢，我们就马上得到了。嗯， bc 的 长度是六， ad 是 中线，所以这个长度是三，这个长度是三，所以第一问就是正确的，是吧？ 第二问，三角形 abc 的 面积是十，因为下面他给了一个点，这个点就是三的时候，它的重合的部分面积是二分之五， 那三的时候，也就是说当点 f 平移到点 d 的 位置，我们把这个图形给它拉回来，也就是在这里收。 在这之后，重叠的面积呢，正好是这块， 哎，这个三角形，这个线和这个线平行，所以说这个三角形重合的部分和这个大三角形 abc 相似的。相似比是三比六啊，正好这个点是像这条线是中位线，相似比是一比二，面积比就是一比四， 而已知重合的部分是二分之五，所以整个大扇形面积是它的四倍。四乘二分之五，答案就是十，所以这个圈二也是正确的。 下面看圈三五逗号六分之五，五逗号六分之五，也就是平移五个单位。 五单位，我们看啊，拼音五单位的时候呢，我们画一下这个图，应该大体到 这个位置啊，拼音五单位就再拼两个单位，因为这边已经是三了，是吧？所以这里只有一，所以这小块要占他的三分之一，这一块呢，占整个的六分之一。重叠部分就是这这部分， 所以重叠的部分，这个小三角形和大三角形仍然是相似的。三角形 a 型的相似，相似。比一比六，则面积比是一比三十六，所以大三角形乘以三十六分之一，答案应该是十八分之五， 而不是六分之五，所以这个是错的啊。这个面积一看就很小，嗯，一看就很小，嗯，并没有六分之五这么大。嗯， 你别忘了，它在那个三的时候，平移的距离是三的时候，就是刚才我们刚刚做的，在这里的时候，它的面积是二分之五，是吧？这个面积已经变小很多了， 所以这个三是错的，嗯，实际上这个三你可以你也可以估计一下啊，就是在图像也可以估计一下。五在这个位置五对应的 看就是这一小块，这一小块是这块的三分之一吗？不像三分之一是吧？应该比三分之一还要小， 这是第三个啊，我们看一下第四个，第四个，这个是难度最大的一份啊，它的最大值是三分之十，最大值。嗯，那下面我们看一下什么时候能达到最大呢？ 就是这个，大约在我们在拼的时候，你看这个地方这时候还是重合的面积比较大的啊。 嗯，因为这个最大值，我们看到图像大约应该是 在这个位置，是吧？这个位置是达到最大，所以这部分图像呢，是不是非常像的二次函数，是不是像二次函数图像，那就在顶点处取的最大值， 嗯，所以我们猜测它也应该是个二次函数，嗯，猜测它是个二次函数，实际上做一下也是。嗯，为什么呢？题目当中已经设了它是 x， 那 这一小块就是三减 x， 嗯，同理，这一部分也是 x， 而这部分是三减 x， 嗯，因为这部分也是三， 所以这样的话，我们要求重合的阴影部分就是求这一块， 那我们就可以用这个大三角形减去这个小三角形和这个小三角形，而这个大三角形和这个最大这个三角形它的相似的相似比是多少呢？这块是六减 x， 六减 x 比六， 所以面积比就是它的平方，再用十乘以它们的比，就能算出这个面积来，所以可以想象这个总的面积是一个关于 x 的 一个二次的。同理，要减的这小块和这小块 啊，这，因为这一小块这个三角形和这个三角形是相似的。哎，因为这个线和这个线平行 a 型的相似，相似比三减 x 比三， 同理也是一个关于 x 的 二次的，这个也是，所以它是关于 x 的 一个二次的表达式，所以这一部分就是一个二次函数， 这样的话，我们取一个特殊点就能求出它的关系式来，对吧？因为现在已经有两个点了，一个是零度零，一个是三度二分之五，再找一个特殊点就可以了。 所以我们下面可以直接去找个特殊点，比如说这个可以求它平移了一个单位，嗯，我们算一下这个平移一个单位， 如果平移一个单位，那这部分长度就是五个单位，所以先求这个三角形的面积 啊。这个是和大扇形相似，比五比六，则面积比就是二十五比三十六， 然后总面积是十，减去平行一个单位，所以这块长度就是二。同理，这是一，这也是二， 那这个小三角形，小三角形和大三角形和这个是 a 的 相似，它两个之比是二比三，所以面积比是四比九，它就占这个三角形面积的九分之四， 而整个这个三角形 a、 b 的 面积是五，所以五乘以九分之四。 同理，这个小三角形和这个三角形相似，比是二比三，面积比也是四比九，而 a、 c 的 面积也是五，所以它的这块的面积和这块面积相同的乘以二就可以了。 让我们算一下这个数啊。这个是约下分，就是十八分之一百二十五， 减去这个就是九分之四十， 十八分之减去十八分之八十，对吧？就十八分之四十五，算出来约一下分二分之五。所以我们发现当平移的距离是一的时候，它的重合的面积也是二分之五，所以也就是这个点。 到这里我们就知道最大值应该在何处取的。这两个点是关于对揉对称的，因为纵轴标相同，所以最大值一定是在 x 点二处取的，所以把 x 点二带入即可。那把 x 点二带入的时候呢？也就是， 嗯，这个平移的距离是二的时候，算一下就可以了。如果平移的距离是二， 我们稍微再往这平移一下，嗯，差不多在这个位置， 嗯，平移的距离是二，那平移的距离是二，这一小块长度就是一， 然后同理，这一小块也是一，嗯，就用这个三角形的面积减去这个小的和这个小的， 那这个三角形呢？长度，这块长度就是这个长度，就是四，四比六，嗯，所以这个我们标上两个字母吧，哈，这个是 n 点， 这是 p 点吧？ q 点， c p， q 的 面积， c， p， q 的 面积呢？和大三角形 a、 b、 c 的 面积相似，比是四比四、比六，也就是二比三，则面积比是四比九，它占大三角形面积的九分之四， 减去两个小三角形，这个小三角形和这个大三角形仍然是相似的，相似比是一比三， 所以面积比是大三角形面积的九分之一，然后这个同理，所以它的面积是两倍，所以大家就是九分之四十。减去 九分之十，等于九分之三十，就等于三分之十，这样我们就得到了最大值应该是三分之十，所以圈四也是正确的 啊，所以这样呢做呢？呃，比较的简单，用时比较少，所以本题答案是 c。 好 了，这个题目我们分享到这里。

好，那立下去的这个题的话呢，其实第一小题的话呢，也见怪不怪了啊， 都是考到是这种求表达式的，这个我们只需要带入这个已知点就可以。但是但是我们的二次函数的这个题目的话呢，其实它的这个抛物线啊，它，呃，它的这个表达式的话，其实有很多种，有我们的顶点式、焦点式以及这个一般式，其实这三种式子的话呢，是我们 在不管说是在一模当中，还是说的是在这个中考当中经常会去考到的，所以大家的话呢，一定要先去熟悉，同时呢你再要去这个读题，看题目当中的话呢，有什么样的一个信息，然后再带入进行这个使用就可以。 好，那第二小题的话呢，一般就是求这种点的这个坐标呀，或者说是去求这种面积啊，最值的这个问题，其实就是要去通过这个设点，然后再去进行这个分析就可以。比如说像这个题目当中的话呢，在第二小题当中，它是不是已经给了我们有一个先提的条件，就是这个角 d、 c、 e 的 话呢，是等于这个三十度。 好，那你会想了，那这个的话呢，不就是有一种情况吗？在你读完题的这个时候的话，你会发现你的 c d 的 这条直线的话，它是不是并没有去说它是在 x 轴的上方，还是说是在 x 轴的下方，对吧？那此时的话，我们是不是就应该是要去 要去分情况去讨论了？非常好，就是要分情况是第一个呢，就是在这个 x 轴的正上方，第二个的话呢，就是在我们 x 轴的这个正下方，然后再结合这个角度去进行求解是不就可以了？ 好，那缺二的话呢，也是非常常见的一个考法哈，就是让我们去证的是这个三角形啊，以谁为底角的一个等腰三角形。其实这个条这个题目的话呢，已经给大家去降低这个难度了，它会告诉你一个附加条件呢，就是这个以这个角 dce 为底角的一个等腰三角形， 实际上这里的这个情况的话呢，就已经是减少了啊，那在这里的话呢，其实我们要去分析的话是什么呢？我们知道等腰三角形的话呢，它是有两个 d 角，那接下来的话呢，我是不是就要去分析的是这个点，这个情况一的话呢，就是这个角 dce， 它是不是要和这个角 dce 相等？ 好，情况二的话呢，就是这个角 dce 会和我们的角 ced 相等，然后再去推出来对应的这个边去相等， 对吧？好，那我们就分析到这里，那在接下来的这个答题步骤的话，其实也是比较这个固化的哈，第一个的话呢，你是先需要呃去设这个坐标，比如说在这里的话呢，我可以去设我点 e 的 这个坐标， 说完它之后的话呢，我是不是还可以用这个距离公式去表示出来我的 cdcede 这三条线段，然后再去列这个方程去进行求解就可以了。好，最后一个的话呢，大家一定要去进行这个检验，要注意这个点 e， 你最终求出来的这个点击的这个坐标是否在这个抛物线上，是否在这个合理的这个范围之内哦，那这道题的话呢，我们才可以拿到更高的这个分数。

二零二六历下一摸考试已经过去了，历下一摸的这个数学考试题的难度我们可以怎么来评价它一下呢？整体的难度不是特别大，没有什么偏题和怪题，可以用中规中矩四个字来评价它。 嗯，总体基础题目和中档题目居多。嗯，难题的话呢，我们分析一下它的压轴题就可以 选择题的第十题，这个题目呢，有一定的难度，要读懂题目的意思，然后呢，还需要利用相似和二次函数结合来解决问题。 然后填空题的十五题就是填空题的压轴题，这个题目呢，难度不大，这个题目呢，可以根据它的折叠啊，构造一个全等，就能出现一线三垂直的相似， 然后呢，利用两个一线三垂直就能求解出来。所以这个题啊，嗯，没有什么太大难度。而且他和历下一摸之前刚刚考过去的莱芜一摸填空压轴题非常相像 啊，选择和填空的这两个压轴题呢，他和去年济南中考的选填压轴风格类似，难度接近啊，有点像去年的济南中考。 然后二十四题就是二次函数的那个大题。嗯，第一小问比较简单，求解析顶点坐标，第二问求面积。这个是一个斜三角形斜化值的思路呢，就是利用平线等级变形来解决 啊，这也是比较常规的思路，所以还可以啊，这个第三位稍微有点难度。第三位呢，可以用到相似和伟大定律来解决啊，因为平移函数图像啊，可以利用它的顶点写出顶点式。 然后呢，这个新的函数呢，与二次函数的焦点坐标，那不就是令 y 等于零用二次方程的减吗？所以就能和伟大定律结合起来，这个角度还是比较新颖的，而且呢，伟大定律呢，在北师版的教材当中 是处于比较一个弱的地位，标了新号的啊，在这里呢，用到了伟大定律，所以以后还要重视一下伟大定律，因为伟大定律也是高中常用的工具之一 啊。最后一个亚洲题，二十五题就是几何亚洲题，这个题目呢，前两位都比较简单，第三位呢，稍微有点难度， 但是第三位呢，是一个刮豆原理啊，所以如果掌握的几何模型比较好的同学啊，当然这些同学也比较优秀了，肯定那这一位也能够做出来 啊，这样的话，如果学的好的同学，很有可能能够考到一百四十分以上。嗯啊，因为这个题目总的特别难的，也就是选择题的第十题，还有二次函数的压轴大题的第三小问 啊，就是和伟大经理结合的那个，难度比较大。评论区可以来分享一下你对这道题的看法，以及你能够考到多少分。

今天咱们历下区的一模考试结束了，我们来看看历下区这次考试的卷子难度怎么样呀，给其他区做一个借鉴型的作用啊，我们挨个来说一说哈，只说压轴。呃，填空选择题的第十题呢， 这个题特别接近二四年的济南中考题的最后一道题，他是考的一个动点和函数图像结合到一块的题目，只要分析清楚了这个图像怎么去动，和函数图像上的数据具体一一对应，然后就能把这个题基本上就做个差不多，相对来说比较常规，难度大概四颗星吧。 接下来我们再看一下填空的最后一个十五题呢，这个考的是一个双折叠的问题啊，近几年的简单中考就填空最后一个，都特别喜欢考折叠类的问题，跟其他结合到一块去考。我在做这个题的时候呢，想的是双折叠，咱们就要去找九十度角， 找九十度角的时候呢，哎，那这时候去找九十度，构造一线三垂啊，那这个地方没有怎么办呢？没有，我就连了一个辅助线记忆 量，它以后在这里边告诉我们，一是终点啊，这是二四，然后还知道什么信息呢？就是这个三角形是一个两条直角边是一比二的这么一个关系，那折过来，同样的这边也是二，这条边也是四，那么这里边就有很多跟它相似的三角形，比方说啊，比方说我们把这个角标成 r 法， r 法， 然后那内这个内错过来啊，内错角，这个角应该也是二 alpha， 因为它也是折叠嘛，所以说这两个角也是 alpha 度，然后有了这个信息以后嘞，啊，那你看，现在就是没有见到我的九十，所以我才连了这个记忆这个 辅助线，所以就说这个角啊，这个角它也是互相平分的，我们是可以正出来上下两个小三角形是全等的关系。 全等完了以后，那么这里边这两个小对勾的三角形呢，它也跟我们刚刚的这个三角形它是相似的，因为这也有一个九十度相似，完了之后，它的两条直角边也是一个一比二的关系，所以呢， g b 就是 一就直接出来了，然后 a g 就是 三就直接出来了， 然后在这里边呢，它还有一个九十度的角，所以上下这两个三角形也会有一个一线三垂啊，那上面这个 a h 的 这个 边和 a g 的 这个边，它俩应该也是一个一比二的关系，那 a g 是 三的话， a h 就是 二分之三，我直接就做完了，所以说当这个题我自己属于读完了题，我把辅助线画完了，我随着标就做完了，我觉得这个题好像也太简单了吧，那这个题呢，也可以用二倍角公式来做。 嗯，做的时候呢，咱们有一个公式，这个是一个高中才会学到的公式，叫 tangent 二 alpha 等于两倍的 tangent alpha， 除以一减去 tangent alpha 的 平方。那在这里边呢，这个 alpha 角它的 tangent 值是知道的，就是一比二的关系，就二分之一嘛， 所以这个贪婪它 r 法它咱们是能够写出来，这个值就是二分之一，这个值也是二分之一，带进去这个贪婪它二 f 是 可以求出来的，而这个角是二 f， 这边这个角呢，它也是二 f， 而我们通过刚才的一个分析知道这条边是四，那四比上 ag 就 等于你算出来的贪婪它二 f 的 这个值，所以 ag 的 长直接就求出来了。 那 a g 的 长求出来了之后，还有一个什么信息呢？就刚才我们说的这个三角形的呃，两个直角边之比，不也是一个一比二的关系吗？所以能算出来这个是三，这个就是二分之三，就也算出来了，所以这个方法也是可以的。 然后接下来的第二十三题，反比例函数的压轴，整体来说难度就不算很大，他就比较常规是考了一个四十五度角存在性，然后二次函数呢，同样的也考了一个这个角度存在性，但是他这个题就不太常规了，我觉得二次函数这次是整套卷子里边最难的一道。第二问呢，考的是一个 这个呃，求面积的问题，我们在函数里边一般就是说求面积呢，遇到面积大多数情况下就是用牵垂线法来做，这个题用牵垂线法做也完全可以解决的了，完全没问题，但是相对来说做起来会稍微有点麻烦。 那这个题还有另外一个方法，就是可以考虑利用平行线之间的等距变形来做，因为这个图像呢，它是沿着 a c 这个方向来平移的，所以它图像上的每一个点都是平移的，方向和 a c 是 一样的，所以我们把得际连起来以后，这个得际和 a c 应该是平行的， 那平行完了以后呢？如果能想到这个事的话哈，那我们 a c 和 d g 平行，我们要求的是下边这个 a c g 这个三角形的面积，求这个三角形的面积，我就可以利用等级变形转化成什么呢？哎，把 g 点挪到 d 点上去，我就可以转化成去求 a、 c、 d 的 面积，转化成去求 a、 c、 d 这个三角形的面积。而在这里边， a 点、 c 点、 d 点全都是知道的，它应该等于 a、 c、 d 这个知道了之后，这题就解决了哈。如果要是想不到这一层，我们用线段算法做也完全可以。但这个题有一点就是记点它是不知道的，你可能在读题的时候会卡着，你觉得，嗯？我的记在哪啊？我好像没有任何的信息。当然了，你要去设这个记点的这个 这个坐标的时候，也是要用到德意这个德记这个解析式的，所以也是需要把德记的解析式给它求出来，然后带点进去去求也可以哈。到了第三问呢，他给的题目条件给的就是这两个角 r 法是相等的， 然后这两个角相等的其实对我们来说不太好用，因为 e 点和 f 点都是未知的点，所以说在这里边用常规的思路去解决就不太好解决了。那么这个题是怎么做的呢？嗯，因为这里边恰好有一个角，这是四十五度，那这边我们过 c 点做一条平行于 x 轴的线的话，这边也会有一个四十五度角， 两个 alpha 角相等了，那么剩下的两个贝塔角啊，这个角贝塔旁边这个角也是贝塔，这个两个贝塔角就会相等，那这两个贝塔角相等有什么用呢？我是这么做的，我是把这两个贝塔角用不同的方式来表示一下它的这个值，因为 c o 这个长度是四，它是知道的， 所以呢，我们想要表示这个 beta 角的三角函数 tan 的 值的话，我们只需要知道，呃，也就是 o f 的 长以及 o e 的 长就行了。那 o e 和 o f 这是什么东西啊？这是与 x 轴的两个焦点的横坐标。所以呢，我们把平移完了之后的这个新的图像啊，图像 m 的 解析式 即为外撇吧，把这个解一式写出来，解一式写出来呢，另外等于零，能够求出来 x 的 值，它还算是比较好求。你把它换成顶点式啊，把它换成顶点式， 顶点式以后呢，这个 x 的 值我没记住，应该是 m 加一，加上根号下四， m 加九，好像是这么个数哈。 然后下边这个 x 二呢，是 m 加一，减去根号下四， m 加九。那有了这么两个值以后，我们就分别让这个 x 一 比四和四比 x 一， 它俩就都是这个 tangent 贝特 哎，让这个东西相等，把这个数带进去就行了。我就简写了，然后就能够把对应的里边的 m 给它解出来了 啊，用这个方法做还算是可以，我没有想到更好的方法，大家可以自己去尝试一下，我这个就属于纯硬算了。然后最后一道题呢，这个是一个常规的手拉手，前两问都没什么问题哈。呃，第二问是一个手拉手构构造完了之后，找着相似 去解三角形。第二十五题的第三问呢，我们这个题的整体思路就还算是比较清晰明了的一个挂图原理的题。在做题的时候呢，你每次一定要先把你的主动点从动点定点先写出来哈，主动点呢，是易点 e， e 在 哪动呢？在一个以 a 为圆心，然后这个 a e 为半径的一个圆上，整体来说这个圆比较大啊，比较大，大概是在这么一个圆上。那这时候我们的这个 分析一下，主动点是怎么到从动点的哈？嗯，它是绕着 b 啊，相当于这个 e 点是绕着 b 转旋转，转了零度，直接取了一个原来的三分之一啊，所以说主动点是 e 点，然后这个从动点呢是 h 点，那主怎么到从呢？应该是绕着我们的定点 b 转零度，然后大小呢？乘以原来的三分之一，所以我们的怎么去找从动点的圆心哈，那么主动点到从动点也是按照一样的，主心也到从从心，也是按照同样的方法，你就绕着 b， 然后转 零度，然后再乘以三分之一就可以了，那所以主心是 a， 绕着 b 旋转零度，取原来的三分之一。那假如这个点是 m 吧，那这个就是从心， 从心 m 从动点圆心 m， 那 找着从动点了，找着这个 h 在 这个从动点上，所以 h 就 应该是在以 m 为圆心， mh 为半径的这么一个圆上， 应该是在这么一个圆上。那这个地方还要再写一个啥呢？就主动点的这个半径是几？原来这个半径是 a， e 是 等于九，那现在这个半径呢？是新的这个半径是原来的三分之一，那应该是三，所以知道这个 e 不 对， h 在 这么一个圆上运动了，那么的到这个圆上哪里是最大呢？应该是连接圆心的 m， 然后再加上这个半径长是三就可以了，所以这时候只需要把的 m 的 长算出来就行了。 那得 m 这个长怎么去算嘞啊？因为 bm 是 原来的三分之一嘛， ab 原来是总的是六，乘以三分之一的话，这个应该是二，所以说 am 前面就应该是四，那 a 得呢？题目也告诉我们它也是四，所以得 m 的 这个长就应该等于四根二， 所以应该等于得 m 加上大半径，所以应该等于四根二加三就直接出来了。

各位家长们下午好啊，历下初三的一模考试数学试卷，朱老师连夜对着二零二五年的济南中考试卷做了一个全面的对比，对比下来，基础题占了百分之六十以上， 但是这次一模比去年的中考难度要大。咱先说说一样的地方，核心的考点啊，全部都是重合的，像实数计算、整数计算、几何全等相似，还有函数等这些中考必考的一模全考了， 而且都是基础题打底，中档题拉分难题啊，就百分之十五，所以跟中考的题分梯度啊，是完全一致的。 所以说，吃透基础题一定是拿分的关键。当然不一样的点呢，也非常的明显，也是一模的新亮点。 当然，一模把济南本地大数据、央视春晚、 ai 红包这些热点融入到题里了，比中考的日常场景啊，更新鲜 啊。然后几何题呢，更多的考的是尺规作图和线段预算，函数的压轴题是平移加上面积的动态分析，比中考的设问啊更加灵活。 还有呢，是题干是非常多的，是考察孩子的审题和提取信息的能力。其实这次一模考试啊，是今年中考的新的风向标哈，他是三个方向，第一呢，是百分之六十以上的基础分，还是根本偏题怪题一点没有。 第二是做题会贴合济南本地的发展和科技热点，他不纯考理论哈。第三呢，是去套路化了，像几何的动态分析啊，作图啊，这些啊，都是考察的知识运用，不能死刷题。 最后给大家说一下，最后我们的七十天应该如何备考，像孩子这边呢，每天十分钟基础计算打卡是必须的哈，吃透尺规作图和几何运算，这也是必须的。我们一定要记住几个一定 函数题一定要多结合图像分析，读题一定要圈化关键信息，错题一定要按模块复习。咱家长这边呢，不用逼娃死磕压轴难题， 重点的去盯基础题和错题，监督娃现实做题，不要海量刷题哈，做一道会一道，这比什么都管用。 通过这次一模考试反馈出来哈，查缺补漏，抓牢基础，练会综合思维，这个数学就肯定是稳的哈。接下来朱老师还会给大家分享像语文啊，英语啊，物理啊，化学啊，关注朱老师，升学不用愁！

hello， 大家好，咱们今天呃一块看一下二六年济南市历下区一模数学里边的 选择题的最后一个，也就是第四个选择题。如图一，在三角形 a、 b、 c 中， a 的是它边上的中线，将三角形 a、 b 的 沿射线 b、 z 方向进行平移，平移距离为 x， 那 就是 b， f 是 x， 对 吧？然后 f 的 呢？就是 不知道然后的 g 也是 x， 对 不对？然后的话，他们重叠的面积是 y， 然后以下结论，第一个， b， c 等于六，大家会发现，当 x 等于零的时候，它的面积是不是就是零？ x 等于六的时候， 面积 y 是 不是等于零的，那就没有重叠部分了，那说明 f 是 不是走到 c 这位置了？ f 由 b 走到 c 是 六个单位，那所以说 b c 长等于六，这就搞定了，对吧？那等于零了。从这从左向右一重叠走的过程中，只有当 f 走到 c 的 时候，他们才没有一个公共的地方了。面积等于零了啊， 那所以说咱就能知道的， b 的 等于三，那 f 的 就是三减 x 的， c 也是三减 x， 然后求 abc 的 面积， abc 的 面积怎么去求啊？很明显，这地方给了一个 x 等于三的时候， y 等于二分之五，咱先把这个图给它画出来，然后 x 是 等于三的时候，那就是正好 b 的是三， f 走到了 d 的 这个位置，对吧？然后我给他画下图啊，差不多是这样， f 走到 d 的 位置了，然后那个 g 走到 c 的 位置了， 大约是我画的蓝色的这个区域啊，这一块，这个的这个地方是 f， c 这个地方是最上面，这个地方是 e， 对 吧？此时它的面积那个 y 是 二分之五，那很明显，我这地方假设这地方有个焦点是 s， 那 要求这个 y 的 话， 那 y 是 不等于 s？ 三角形 f h g 是 不是等于它的面积了，对吧？它的面积的话，很明显就涉及到一个底乘以高的问题，对不对？那底是几啊？ 那很明显，我就用 f g 当底，对吧？高呢？那又过 h 向 bc 做条垂线， 假设为 q， 那 就是它再乘以 a f h 乘一个 a 四 q， 然后等于二分之五，对吧？然后咱能知道 f z 是 三，那就是二分之一乘以三，再乘以 sku 等于二分之五，所以说 sku 呢？那就等于三分之五，对不对？这是 sku， sku 很 明显，咱能知道这个，这一处是，就是当这个 得走到呃，当 f 走的得的时候，对吧？这个其实是终点，那 s 呢？是不是也是一个 a c 的 终点，对不对？那所以说 sku 是 三分之五，那么 abbc 三角形 abc 边上的高，那这个高的话，那这个 h 是 不是他的二倍了？那就是三分之十，对不对？那所以说 s 三角形 abc， 那 就搞定了。都等于二分之一乘以六，再乘以个三分之十 等于十，这就是 abc 的 面积了啊。因为求 abc 的 话，那就差一个它的高吗？对不对？那算高，怎么求？那就是图像里边二次函数这个图像里边有个三逗号二分之五，对吧？这样的话，就把它给它搞定了啊。 来，再看第三位点点五逗号六分之五在 y x 的 函数图像上就相当于什么呀？就是当 x 等于五的时候， y 还等不等于六分之五，是不是？让其判断，对吧？当 x 等于五的时候，大家想一想啊，我把这个图再给他改一下啊，要不线太多了， x 等于五的时候，大家会发现啊，这个 f 移动到哪呢？它这个原始的擦不掉，要是原始的能擦掉，那就更好了哈，大约 f 走到是不是这个位置了？ 大约是这样一个位置，对吧？这地方是， 这个地方是 f， 这地方是 z， 这地方还是 e， 对 不对？那就是 y 就是 我图阴影的这个地方。那很明显这个小三角形和 abc 是 不是相似的，对不对？ c b f 等于五，那 c f 是 不等于一啊， 那么 c f 比上 bc， 那 就等于一比上六相似，比呢？那就是三十六分之一，那所以说第三位 当 x 等于五的时候， y 就 等于六分之一的平方，再乘以十，为啥呀？因为这两个三角形相似吗？对吧？为啥相似？因为，哎，一 f 一定是平行于 ab 的， 平行线等于 ab 的， 对吧？ 然后的话，面积比等于相似，比的平方相似，比是六分之一，说面积比六分之一的平方三十六分之一，再乘以十，那就等于十八分之五。所以说圈三就错了，因为他是应该是五逗号十八分之五，不应该是五逗号六分之五，对不对？ 来这个地方呢，相对来说比较难一点的就是求 y 的 最大值，那 y 的 最大值怎么去求呢？大家看一下啊，我还是把这个第三位的图给它擦掉它哈， 那这个图的话，大家想一想哈，那有图像哈，咱能知道在是不是在 x 等于三之前的时候，这个抛物线，哎，正好有个顶点，是不是有个最大值？我只要是把这 之前的这一段的他的一个外与 x 的 关系给他表示出来就可以了，大家会发现他是一个曲线，曲线的话，他又经过的坐标轴又经过的原理，那只能是一个二次函数形式的，对不对？那假设我就用图里边这个了，那他的外就是我在图里边画阴影的部分，对不对？ 很明显这个阴影的部分怎么办办呢？我就假设 e、 f 与 a、 c 交点是 q 吧，那是不是我就用什么就行了？哦，刚才用 q 了是吧？换个字母吧， 看看哪个字母没有用 i 吧，是 i， 那 就是相当于我用三角形 y， 我 写上了第四位 y 就 等于 s， 三角形 f， i、 c 减去，我用符号吧， s 一 s 二，这样去好写哈。减去 s 一 的面积，再减去 s 二的面积， s 一 的面积是个空白， s 二的面积也是这个空白，对吧？ 然后 fic 的 面积减去 s 一， 再减去 s 二，很明显这个图像，对吧？那 fic 的 面积很明显这个三角形。大家会发现这个三角形仍然和三角形 aabc 是 不是相似的， 对不对？面积比还是等于相似比的平方，对不对？那相似比是多少？那就是六减 x， 再比成六，对不对？于 c， f， b， f 是 x， c， f 是 不是六减 x， 对 吧？这是相似比，然后再平方，然后再乘以 abc 的 面积就可以了，再乘以个十， 这是 f， i， c 的 面积，那 s 一 的面积呢？那很明显 s 一 这个三角形，这个三角形，对吧？它是和 f、 g， e 这个三角形是不相似的，对不对？那相似比了，它就是 三减 x， 再比上 x 它的平方，对吧？然后再乘以 e、 f、 g 的 面积，那很明显等于 abc 面积的一半，是不是乘以五，对不对？ 那么 s 二的面积呢？同样的 s 二也是一样， s 二的话，他是 z c 这个三角形， s 二这三角形和 a、 c 的 这三角形是不是也相似？相似比也是三减 x， 然后再比上三。哦，刚才这地方写错了，不是比上 x 啊，这地方是比上三，这地方比误了哈， 大家注意一下，是三减 x 比上三，但是这个地方也是 c， j 是 三减 x， c d 也是三，对不对？那么他，哎，和刚才那个是不是写法是一样的，直接乘以二就可以了啊？直接乘以二就可以了。然后呢？给他化简一下， 化简完之后，这个的话化简一下。化简之后的话，整理成关于 x 可以， 也可以把它变成一个。什么式啊？变成一个。呃，那个 一般式也行，或者是变成顶点式也可以啊，都可以把它变成顶点式也可以，一般式也可以，对不对？ 我把它变成顶点式吧。一化减等于负的六分之五，括号里 x 减二的平方再加上三分之四，那很明显就把它化成一个顶点式了。但是当 x 等于二的时候， y 是 不是有最大值？ m a， x 等于三分之四，所以说 y 等于最大值，有三分之四也是对的，对不对？ 那这样的话咱就能把它搞定了啊。这个题的话，一二四都是对的，数的题选 c 对 不对？ 大家通过这个题，咱们很明显典型的和二十年的济南市的中考题。那个题是非常类似的双图像问题，对吧？ 一个左边这个是一个几何的运动图像，右边的是一个函数图像，这两个图像一定要结合在一块，相互关联起来，一块去运用，这样的话就能给它做出来了。

济南的初三家长同学们，历下区一模的数学呢，已经考完了，想要电子版的话抓紧私信我，可以发给大家，今天一分钟呢，给大家讲透二零二六历下区中考一模数学卷的难度和中考对标。 这次历下一模的数学呢，整体难度和济南中考完全匹配，是标准的中考全真模拟，满分一百五十分，一百二十分钟，题型结构呢，一比一复刻，中考 基础题占比超百分之七十，选择前八题，填空前三题，解答前六题，全是中考高品的送分题，只要基础扎实，这部分分数呢，稳稳就能拿住，真正拉分就是选择亚洲第十题，填空亚洲第十五， 还有最后两道几何函数综合大题，难度呢，和中考亚洲题完全一致，专门区分高分段的学生。一句话总结，这次一模就是中考的风向标，考得好说明基础稳，中考大概率稳， 丢分的地方在接下来的时间抓紧去补核心，想冲高分就抓基础不丢分，啃透压轴题，中考数学逆袭呢，完全来得及！想要了解更多济南中考政策，记得关注我哦！

各位同学，大家好啊，我是姜老师，今天给大伙讲讲这个二零二六年这个历下区九年级数学的一摸啊，今天讲讲这个压轴题的这个最后一个集合，大压轴啊！好了，废话不多说，直接开始， ab 是 个六六， b c 是 个四，这个矩形是吧？然后你连接对角线出来，这个 a e f， 这是个九十，是吧？然后 a e 等于个九， a e 等于个九，那这不就散了吗？是吧？然后这个 e f e f 等于 c e b 啊？然后第一问，这时候问这个 e f 是 几？ e f 是 几？这不是个 a 字形相似吗？这不六比九等于四比上 e f 吗？ e f 吗？是吧？ 一个 a 字形相似解得这个 e f 是 个六，没什么好说的，是吧？这个 c f 比上这个 b e c f 比上 b e， 哎，你过来这里做个平行过来，是吧？然后这个是个六，这是个四，所以这不就是个二了吗？这不是个三了吗？所以 cf 不 就跟十三吗？ 跟十三比上，比一比一是个三，这不跟十三比三吗？第一问出的完毕啊， 来第二问第一个啊，这个图一，将这个 a e f 绕 a 逆时针旋转了，是吧？连接这个 b e 啊，连接 b e， 如图二，当这个 f 在 延长线上时候，求这个 b e 这个长啊， b e 长啊，很明显逆旋转，这不就是手拉手了吗？对吧？ 来，既然是手拉手的，咱就把这个手拉手两个三角形全等，咱给它标出来啊，咱给它标出来啊！来 来，这两个三角形啊，一加二等于二加三，因为刚才这他不告诉你这两个角相等吗？ 题干告诉你这两个角相等了，一加二等于二加三，所以一和三是相等的，所以这两个角是相等的，对吧？然后呢，这个 题目告诉你的这个 ab 前面不是告诉，前面不是告诉你了吗？ ab 是 个六， bc 是 个四， ab 是 个六， ab 是 个六，是吧？这是个四啊，这是个四， 这是个四。咱就能求出 ac 来了，咱不就能求出 ac 来了吗？对吧？六四六四，约二乘三，约二乘二根十三，二根十三，所以 ac 是 个二根十三， ac 是 个二根十三，是吧？然后呢，这个三角形咱不找吗？ 这个 a 刚才不告诉你是九吗？这不是个六了吗？一个九，一个六月三上三月三十二，这三阴十三， 三阴十三。所以这个边比上这个边是个二比三，这个边比这个边是个二比三。所以这两天不相似了吗？相似了吗？所以他求的这个相似之后， 这个 b e 比上这个 c f， 这个 b e 比上 c f， 这不对应边乘比例吗？这不等于最老二比老二不老小，比个老小不得老二比老二吗？等于六，等于个六比上 二根十三，是吧？约个分，约二约二上三，是吧？然后呢，这个比值出来了啊，这个比值出来了，它求的是这个 b e。 我求了 cf 就 好啊，我求了 cf 就 好啊，这是个三根十三，这是个六，这是个六。随 bf 求出来了三根十三，这是个六，所以这就个九吗？ cf 是 个九， cf 是 个九，看到吗？这是个九啊，这不是个四吗？这不题不告诉你了吗？ cf 是 个五，所以 cf 是 个五。 cf 是 个五， 差乘一下啊，根十三的 b e 等于十五，所以除一个根十三随 b e 等于五，除根十三同城，根十三同城，根十三随 b e 等于十三分之 五，根十三，十三啊，这一问处理完毕啊，前两问八分不是很难啊， 来最后一问啊，如图三点， h 是 在这个 b e 上，是吧？ b h 等于三分之一的这个 b e 啊， b e， 然后呢？连接这个得 h， 求得 h 这个最大值，是吧？ 这个题，这不多么典型的刮豆原理啊，咱上课不特意搞了一个专题，就叫刮豆原理。种缘得缘，种线得线吗？对吧？这是个主， 这是个定，这是个从，对不对？然后呢？这个主定比上从定是个三比一啊。随主圆的半径比上从圆的半径为三比一吗？随，从圆的半径不就散了吗？ 从圆的半径，这不朱到定的距离，从到定的距离，三比一啊，这不三比一。所以朱圆的半径比上从圆半径就三比一。朱圆的半径，这不 a 一 是个九吗？这从圆半径，这不是三了吗？对不对？然后再找到这个， 这个定点，到这个朱圆的这个圆心，注定同时转这个零度， 缩三分之一啊，所以这个是零度，这不缩三分之一吗？缩三个 ab 是 个六，缩三分之一，这不，这是个二，这不是四了吗？所以这不是那个从圆的圆心吗？这不，那个从圆的圆心，从圆的圆心有了，这不这个 h 的 圆上，所以 h 这个点的这个，这不轨迹不就出来了吗？对不对？ h 的 轨迹。然后咱之前不是教的叫一箭穿心吗？ 这不一箭穿心吗？对吧？这是个六，这是个二，这不是四， a 得是四。这个题目告诉你的四四，这不四根二，这个从原版，这不三吗？这不三吗？ 所以得 h 最大值，这不是个四零二加三吗？处理完毕啊？

大家好，我是虫虫老师，今天给大家带来立下去的一模试卷分析，我们一起来看一下这道题的难度吧。整套题呢，比着去年的一模要简单了一些，那么先来分析一下第九题，第九题呢，照常考了一个耻归做图题， 根据他的描述一，我们能够得到这条线是一条角平分线，所以角一是等于角二的。那么再根据这个描述二呢，我们能够得到这条线是一个中垂线，所以这里是垂直。 那么现在开始来看一下性质哈，中垂线上的点到线段两端点的距离是相等的，所以 b 的是等于 c 的， 那么其次 他让我们求的是得到 ab 的 距离，所以我肯定是过点的向 ab 做垂线。那么恰好我们的性质角平分线是不是角平分线上的点到角两边的距离相等啊？所以我们选择把 ac 给他延长，往这也做垂线， 那么我们能够得到的就是的 h 是 等于的 k 的。 好，现在我们来把这些数再标上，他说 ab 的 长度呢，是六， ac 的 长度是四， b 的 长度是三，那么 b 的是三的话呢？ c 的是三，这个是知道的哈，但是根据这一些呢，我们是没办法求出来的 h 的， 所以你得再来看这个图里边有什么， 那么很明显， a 的 h 和这个 a 的 k 这两个三角形是不是全等啊？这样的话呢，数我还是求不出来，所以我们继续观察，因为你的 a 的 h 和 a 的 k 是 全等之后啊， 所以我的 a h 是 不是等于 ak 啊，但是 a h 和 ak 是 都不知道的哈，那由于得 b 又等于得 c， 得 h 又等于得 k， 所以 这个三角形得 b h 和得 c k 是 不是也是全等啊？用的是 h l 正全等， 这里有个小的哈，这两个三角形是全等的，这样的话呢，我们还是求不出来，所以这个时候我就可以设 x 和 y 了，那么选择设这个 c k 小 的吧。设 c k 是 x， 那 我的 b h 是 不是就是 x， 这样我的 a h 就 知道了。是啊，六减 x， 那么我的 a k 也知道了。是啊，四加 x。 那 再一次，刚才说的这个 a d h 和 a d k 全等之后，我们能够得到的就是六减 x 等于四加 x， 这样能够得到的就是 x 的 值。 x 求出来之后是一，这样根据刚才的 b 的是三，那么我们的勾股定律就能求出来得 h 的 长度了。这是里边有二次全等哈，两个次全等哈， 两次全等就能把这个题做出来，用到的都是辅助线问题，就是使规做图的性质哈。 第十题我们还是先不分析，来往下看。第十四题呢，和历城的区域考都是一样的，考了一个一次函数，基本的求表达式，那么小云的这条线 是过的九二逗十二，所以表达是比较好求小。他两人相遇的时候，在图像上分析是焦点，所以我们小涛的这个表达式，一个是过一逗九，一个是过一点五逗零，所以也比较好求一些，只需要连力就能做哈。嗯，都比较简单一些。 那么我们再来看一下十五题，十五题呢，正常也是考了一个折叠类型的题目，让我们求的是固定的，也是折叠的长度，那么在折叠里边， 咱上次分析的时候也说了，他会有很多的隐藏条件，所以一定要耐着性子去分析一下哈。比如说各种角相等啊，或者各种模型里边，首先正方形的边长是四，那么 e 是 中点，所以我们能够得到 b e 和 c e 都是二， 他是沿着 d e 去折叠，所以这个角直角就折到这来了。那么我们能够得到的 f 的 长度就是啊四 延长的 f 到了点 j， 那 么的 e 和 c e 是 不是相等也是一个二啊？ 他说再将过点 j， 也就说把这个三角形折叠折掉到这里，那么这两个三角形也是全等的，对吧？让我们求求的是什么呢？此时 h k 的 长度好重点标一下 h k， 那 么 h k 在 这里哈，让我们求它的长度是多少？ 那么在这个题里边，你看哈，这里是直角，这里是直角，这里有个二，这里有个二。所以你肯定先想的就是干什么呢？我去连接 g e， 连接完 g e 之后，这两个三角形是不是能够得到一个全等啊？用的是 h l， 那 么所以这两个角是相等的。 刚才的第一次折叠，这两个角是不是相等，所以我们就能够得到这里有一个垂直，那你看这个模型，第一个就比较明显了，这里有一个一线三垂直的模型， 那么这两个三角形一和二，这两个三角形是不是就是一个相似啊？相似比，是啊，二比四，是个一比二，所以我就能够得到 g b 的 长度，是啊三，所以这个 j k 的 长度就是啊三，这是我们 第一个推出来的。那么再来看，那正完了之后，你看哈，我用激光笔描一下，这个得 c e 和这个得 e f 是 全等，这两个三角形也是全等，那么这两个三角形是不是也是全等啊？所以在这里边有很多的这个角相等， 我们要呃，比如说这个角和这个角是相等的，那么这两个角是相等的，对吧？这里也有一个垂直 h j e 也是垂直，我要想求 h k 呢，那么我们此时设这个 h k 的 长度为 x， 那 么 a h 的 长度就是 x， 其次的话的 h 它长度就是一个四减 x， 那 么我们再来看一下哈，我现在要求的这个 h k 给它设上 x 之后，这两个三角形不是全等吗？所以我的这个角是不是和这个角相等啊？那么 因为你的这个角和这个角相加也是九十，所以这里是不是也和这个角是相等的呀？ 那么这样我们就能够知道这个角和这个角相等的话，它的探值是不就是一个一比二的关系啊？所以 x 比上三就是这个角的探值一比二，这样就求出来 x 上二分之三了， 这是第一个方法，当然第二个方法我们也可以正什么呢？正的是这个三角形，这个三角形和这个大三角形 的 a j 这两个三角形是不一个相似的关系啊，那么每个边都能够去表示，并且这个 的 j 的 长度是不是还是个五啊？哎，所以这个题难度本身不是很大哈，这是我们的填空压轴，那么往下看的话，十九题三角函数也不是很难， 二十题圆也正常难度，我们来看一下后三道题哈，后三道题呢？首先二十三题符合我们去年二五年的中考，一个 就是这个 b n 等于二 b a n 的 一个处理哈，那么我们先把这些数都再来过一遍 y 这个一次函数表达式的话，我们能够求出来 a 点的横纵坐标二度三，这样反比例的表达式是知道的， x 分 之六， b 点坐标也能够求出来，所以第一问就解决了。第二问呢， p 是 在这个反比例图像上，并且他说 a 的 值要比 m 还要大， 那 m 一 直都是二，也就说一会你在第二问，无论是圈一还是圈二，你的 a 求出来都要比二大哈，这是一个取舍问题，那么他说过点屁呢？做一条水平线， b n 等于二倍的 a n。 好， 那我们重点来看一下这条线段， 这是 b n 的 长度，等于二倍的 a n 的 长度，那么我要想能够求出来此时 p 点的坐标也好，或者 p n 的 长度也好，我肯定要用上这个数量关系。 那么在平面直角坐标系里边，只要他给我们的数量关系是横斜着，不是横平或者竖直的时候，我们方法都是构造相似三角形，那么在反比例里边，构造相似三角形的时候，我们 习惯性的是构造 a 字相似哈， a 字没法处理了，我们再去说八字的事，所以我们 构造的是 a 字相似，那么也就是说过，因为你的 b 不是 在 x 轴上吗？所以我们就过 a 和 n 往下做垂线， 这样你的 b n 是 占两份，你的 a n 是 占一份，对吧？所以我们整个这个三角形 b n h 和 b a k 的 相似比就是一个 二比三的关系，这样 b k 的 长度是知道的，从负二到二水平距离是四，这样我们就能够求出来 b h 的 长度，求出来是三分之八， 这样 b h 知道了，那减去 bo， 我 们就能够求出来 n 点的横坐标了。那么其次再来看这一块长度是知道的 啊。当然了，你求出横坐标来，有一个方法，就是带到我们的一次函数表达式里边去，是不是就能够求出纵坐标来了，或者也可以一步到位？纵坐标是三，那相似比不是二比三吗？所以 n 的 纵坐标就是一个二，这样 n 点的横纵坐标就知道了， n 点的纵坐标知道了之后， p 和 n 的 纵坐标不是一样吗？这样把 p 的 纵坐标带到反比例表达式，这样 p 点的横坐标就知道了，是啊，三度二三，哈， 这样我要求的 p n 的 长度是不是一条水平线啊？所以我们的口诀就是啊， x p 减去啊， x n 右减左，这样求出来的长度就是啊，三分之七。去年的中考也是一个类似的题，只不过他把这个三角形 给它架空，远离 x 轴了哈，可以到时候自己做一做。那么第二个道题呢？这就是一个考了很多很多遍的一个特殊角问题了， 他说这个 a o p 的 这个度数啊，是一个四十五度，让我们求 a 的 值，那么四十五度角，首先 a 这个点依旧是确定的， o 这个点是一个圆点不动， p 呢，依旧是在这个反比例上， 所以要想 a o p 这个角是个四十五度角的话，那么我们需要把这个角放在一个直角三角形里边，所以特殊角问题，我们的方法就是特殊角问题， 我们的方法就是构造直角三角形，那么在构造直角三角形的时候，我们的原则是让定点当直角， 让定点当直角去构造哈，千万不要去连接。构造完一线三，构造完直角三角形之后，那么这个直角一定是一个悬空垂直，所以我们下一步的做法就是一线三垂直，正全等或者正相似哈。 所以我们来看一下，在这个 a o p 里边的定点是不是只有 p 能是直角啊，所以我们就做一条线和 a o 垂直， 注意是和 a o 垂直，那么放在直角三角形里边的话，它必须得和 o p 有 交点，所以我称这个点为 q， 那 么我们做这些目的就是为了去求出来 q 点的坐标哈， 这样这个三角形就出来了。一线三垂直之后，很容易就能求出来 q 点的坐标是五度一，那么此时 q 知道它是在 o p 上，所以 o q 的 表达式就知道了。 o q 的 表达是知道我们把 p 当做一个交点来对待。第三点，把你要求的那个点当做一个两条线的交点哈，一连力求出来两个答案，舍掉负的，所以我们的 a 的 值就出来了。 这个第二圈二，这个题应该是考过好多遍了啊，可以找对应的题再练一下，注意这个做题套路是构造直角三角形构造哈。 好，再来看一下第二十四题，那么第二十四题的话呢？这个第二问的圈一在二零二零年应该是， 我应该是，呃，在之前有一套出现过啊，一会我给大家画一下，考了一个面子问题，那么整体第二问都是在一个平移的前提下，他的图圈二比较难，也比较麻烦一些哈。第一问的话，表达式不再多说。 第二问，他说将这个二次函数沿着直线 a c 方向平移，得到了一个新的，我先把这个图都擦一擦， 得到了一个新的图像 m， 顶点是 j， 那 么让我们求 a c j 的 面积，那我们来看这个图哈，本来这个二次函数是这根， 是这一根，蓝笔的这一根哈。答题，蓝笔的这一根。那么新的二次函数呢？是一个这个红的， 新的二次函数是这一个红的哈，那么这个二次函数，我们因为你光知道沿直线 ac 平移，你是根本就不知道它平移几个单位的，所以表达式我们是无法求的。但是在图一的情况下， a 点的坐标是知道的， c 点的坐标是知道的，但是这个 g 点的坐标我们是啊，不知道的，对吧？所以你直接去求 a c g 的 面积是无法得知的，但是它是这么说的，沿着 a c 方向平移，所以整个函数图像是沿着这个射线方向平移的， 那么 a c 方 a 移到 c 的 话，那我的顶点 g 也因为新函数图像不是 g 吗？原来的函数图像不是的吗？ 所以相当于是从 c 从 j 到的，是不是也是这个方向呀？也就是说我能够得到 j 的 这条直线 和 a c 上平行的。好了，那这样的话，我们就可以转化一下，由于它平行，那么 a c j 的 面积和我的 a c 的 面积一定是相等，那么这利用了一个词叫做同底儿，等高 底的话，都让 a c 当底高。由于这两条线是平行线，所以我过点 g 和过点 c 往 a c 这条线做的高，一定都是相等的， 这样的话呢，我的面积就转换成了求 ac 的 面积， ac 的 这个三角形是一个不规则的三角形，所以我们再去求面积的时候，用的是割或补的方法。 由于，哎，这三个点的坐标是不是都知道啊？所以你过哪个点做千锤剑都行哈，简单的话就是过 a， 但是你得需要 a 得的表达式，过 c 座哈， 所以就能够去求了，这样我就不再说了哈，因为历城区月考已经讲过一次你年级问题了，那么之前考过一套这样的， 这是一个二次函数，这个点是 b， 它的顶点是 c， 这个点呢，是一个呃的，这个点是 a， 它说 这是 bc 的 这个三角形，那么它是这么说的哈，在这个抛物线第四象限啊，有一个点 m， 这个点呢是个动点， 连接 b m 和的，它说 s 三角形 bc 的 面积和 s 三角形 b m 的 的面积相等时，求此时 m 点的坐标，那你看是不是和这个图就一样？不过人家这个说法更直接一些哈， bc 的 都是知道的那么一种方法就是硬算的方法，另外一种就是和这个一样， b 的是共边，所以它就是一个又又又，由于，呃， 要想面积相等底一样，所以只需要让高一样，要想高一样，那是不是就是平行线啊，所以我只需要让 c m 和这个 b d 平行，求出来 c m 的 表达式和抛物线一连立就行了，这也是之前考过的一次啊。 嗯，多掌握不同的方法，做题的时候方便出思路。那么我们再来看一下这个圈二， 嗯，这个圈不是很好做哈，他是这么说的，嗯，平移这些结论依旧是不变的哈， 也就是说在这个平移结论不变的前提下，那么的这是不是刚才咱说了和 a c 一 直都是平行的，又由于呃的点坐标是知道的，所以我的这些 这些是和圈一都是不变的哈。能求他的表达式，那么我们继续来看 他说 bce 啊， bce 就是 这个角一和 bcf， bcf 这个是个角二，也就是说我的 cbb 这条线是不是一个角平分线呀，对吧？让我们求新函数的表达式， 那么新函数的表达是由于平移前后 a 是 不变的，所以这个题最简单的方法就是因为整个这个题不是给了你 z 了吗？我只要能够求出来顶点坐标是不是就解决了？ a 也知道套个顶点式就出来了，那么我们先定住思路啊，这个题应该是要求顶点的坐标，对吧？ 求出顶点坐标来就能解决，那么我们来看哈，看隐藏条件，因因为一般涉及到角的问题，都会有隐藏条件哈。这个题在我们的图一里边隐藏了一个 b 点坐标是四到零， c 点坐标是零到四的情况下，那我的 c b o 这个角是不是一个四十五度角啊？ 所以你看啊，现在马上了，这个角一是等于角二的中间这条边是个公共边，这个又有个四十五度角，那么 所以我只需要过点 b 往 x 轴做垂线，交到 c f 这条线上的话，那么这个角是不也是个四十五度角啊？这两个三角形就一定是全等了，哪两个呢？一个是 c b， 这两个三角形就全等，对吧？ 全等了之后，我们在这个题里边，因为它平移 e 点和 f 点的坐标是不是都不知道啊？所以如果我说 o e 的 长度是 t， 那 b 点坐标是知道的是四勾零，所以 b e 的 长度是不是就是四减 t 啊？ 这样，由于刚才咱两个三角形全等，那 g b 的 长度是不就是一个四减 t， 对 吧？这样 g 点的坐标就知道了，就是四逗号，四逗号，四减 t。 好， g 点知道了之后， 这一点知道了之后， c 这 c 和 g 都知道，那 c g 的 表达式是不就能表示啊？这样 f 点的坐标就知道了，一定也含 t 哈， f 点坐标求出来是 t 分 之十六到零， t 分 之十六度零哈，这样，刚才我说的这个得 g 的 表达式我们不是能求吗？所以，但是这个题你肯定得设两个未知数了哈，因为你的一个表达式凸露不出来。好了，这样，这点的坐标我设了一个横坐标为 m， 纵坐标往得 g 表达式里边一带就行了。 那么这是这点的坐标是吧？这点坐标出来了之后，刚才咱说了那个顶点式是不就能表示啊？ y 等于 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 这样把 h 换成 mk 换成二， m 加五，这样顶点时就凸露出来了。 刚才咱不是表示了 f 点坐标吗？令这个 y 等于零，是不是也能够去求出来这个一个 一元二次方程啊，对吧？好，现在 e 点和 f 点的坐标都知道一 f 在 这， 那么一点坐标是刚才表示的是 t 豆零一点在这，那么两个根是不是相当于知道了这个一万二次方程的？ 那这两个根一乘，你会发现是不是缔消掉了，所以两根之积就知道了，两根之积知道是十六，那么这两根之积是不是等于哦，两根之，这我写错了啊，两根之积是不等于这个 a 分 之 c 啊，对吧？所以他俩 a 和 c 一 乘，就是这个答案。这样一解，解出来，一个是七，一个是负三， 那么我们需要把这个七和负三带，再带到这个表达式里边去，看看他是否满足。有两个焦点哈，这样应该是会舍一个，这就是方法一哈，那么方法二也不是很好去想， 方法二是怎么做呢？就是这个角，这个，这个， 这 b， 这个角是四十五度的情况下，我过点 c 做了一条平行线，那这个角是不就是四十五度角啊？由于角一和角二相等，所以我的角三是不是就和角四相等？对于角三来说， 对于角三来说，那么我们刚才，刚才我设 t 哈，现在我设 n， 我 们还是设 o， e 的 长度是 n， 那 这样一点的坐标是知道的，对吧？一点坐标知道，那这是 n， 这是四，所以这个角三的探值是不就知道了？ 这个是第一个，那么第二个的话，我们再来看，在这边我又过点 f 往上做了一个垂线，因为你得把这个角放在直角三角形里边吗？对吧？ 上面这些都是不变的哈，这点的坐标依旧能表示，这点是不是一和 f 横坐标的中点啊？所以他的横坐标是 m， 他的横坐标是 n， f 的 横坐标就能推出来了，是吧？二 m 减 n， f 的 坐标也知道了之后，这块长度 啊，这个 c m 是 不是就知道了？右减左，所以根据角三和角四相等，那么他们的碳值也相等，这样是不是就能够列一个 m 和 n 的 关系式啊？那么其次呢，再把这个 n 和 n 点或者 f 点是不是带到抛物线里边去啊？总之两个未知数一定有两个式子，这样也能够解出来哈。嗯，这个圈二哪个方法都不是很好做，可以适当的听一听，但是这个圈一一定要会理解会做哈。 再来看一下这个几何，几何的话呢，正常也是考了一个手拉手问题，那么我们来研究一下啊，他给了一个矩形，这些长度都给你了，长和宽是六和四。那么在直角三角形里边， aef 的 值角度也给你了，是九十度， a e 的 长度是九，所以那 b e 的 长度就是啊。三，他说 e a f 这个角是个公共角啊，那么图一让你求那图一这些长度。首先这里边是不是有个 a 字相似啊？由于这是六，这是九，所以我们这些 相似比是不是都能做呀？这样 e f 就 知道了。他又让我们求 c f 比 b e， 那 你看这两条线是不是叫平行线呀？平行线有一个口诀叫上比上，是不等于下比下，所以一算就都能出来啊。 这是第一问比较简单，那么第二问呢？他开始把这个三角形 a e f 转出去了， 那么本身 a e f， 本身 a e f 和 abc 是 不就是个 a 字相似啊？所以我们说一旦和旋转相关的，这个题八九不离十，考的都是手拉手哈，让我们求此时 b e 的 长度， 转完了之后我们能够得到的，你看这是 abc， 这是 a e f， 那 么转完之后我们是不是能够挣出来的？就是这个三角形和这个三角形是一个相似的关系啊，为什么呢？ 大体来推一下， abc， 不是 b a c 这个角是等于 f a e 的， 中间有公共角，所以这两个角是相等的关系，对吧？这两个角是相等的。那么其次，在你的 a b 比上 a c 是 不是就你的六比上二根十三啊？和你的 a e 比上 af 是 不是也是一样的比例啊？所以就相似了。相似完了之后，我要想求 b e， 那 我这个题是不是想的就是要求 cf 啊？ 为什么？因为 cf 特殊啊，它在 bc 的 延长线上对不对？所以你要先凸露出相似比来，那么小比大，是不就是 ab 比 ac 是 这个十三分之三倍的根十三呀？ 这样我们来看一下怎么去求 c f， 那 af 的 长度是不是知道啊？ af 能求对吧？求出来是根号下一百一十七，那么 bc 的 长度 ab 是 不也知道啊？ ab 是 个六，这样 f b 是 不就知道了？ f b 知道了之后呢？是一个九购物定律， cb 这不也知道吗？是四，所以 f c 是 不就知道了？是五九减四等于五，这样再推回去是不就能做了？所以这是第二问的圈一适当难度啊，说实话，真的一点都不难。 那么我们再来看一下圈二，圈二一看就最值，问题是不是肯定就出现动点了，对不对？那我把这个图先擦一擦哈， 好差的差不多了啊。他说 h 啊，在这个 b e 上，并且 b h 呢，等于 b e 的 三分之一，让我们求得 h 的 最大值得，这个点是不动的，所以我们主要是不是就研究的是 h 这个点怎么动啊？ h 这个点在动的前提下，是不是因为你转的情况下， e 这个点在动啊？所以这个题因为你的 e 在 动，所以导致我的 h 在 动， 但是呢，它和这个 b 之间的夹角是确定的零度，对吧？那么它的比例也是确定的，是不是一个一比三的关系啊？所以我们就说它这是一个瓜豆题，两个动点与某个定点之间夹角确定 比例，确定一个定点，哈，我们就说这是一个瓜豆题，那么 e 由于它转，所以它的运动轨迹是不是就是一个圆呀？这就是它的圆心 有点大，这就是 e 的 运动轨迹哈，那么 e 的 运动轨迹是个圆，那 h 的 运动轨迹是不是也得是个圆呀？所以我们来重点听了哈，主动点是 连的 b， 找的三分之一处，是不是出来的从动点啊，那么主动点的圆心也要连接 b 找它的三分之一处，那么这个点 o 就是 从动点的圆心，所以我们 连接 h 的 运动轨迹就是一个以 o 为圆心， h o 为半径的圆。 主动点连接的是 b， 找的三分之一处，出来的是从，那么主动点的圆心也连接 b 找三分之一处的点，就是啊，从心。 这样的话呢，我们就找到了 h 的 运动轨迹，要想求得 h 的 最大值和圆相关的，那么上历城区月考也考了。我们的方法就是啊，一箭穿心，所以连接得 o 并延长这个点就是我们要找的 h 哈， 那我们来看一下如何去求，这里是没问题的， ab 的 长度不是六吗？对吧？ ab 的 长度是六，那取三分之一，那这里是不是二啊？那这里就是四，所以我的得 o 的 长度是知道的， 得 o， 我 这里是 m， 那 我就是得 o 吧，那得 o 的 长度就是一个四根二哈， 这是知道了得 o 的 长度，我们下一步是不是只需要知道半径就行了？那来看哈，半径如何去求呢？在这里边 o 是 三分之一处， e h 是 三分之一处，对吧？所以 会有一个，就是我们的 b o h 和我的 b a e 是 不是有个相似的关系啊，对不对？两组对应边成比例且角相等嘛，相似比是不是一个一比三的关系啊？ 那么再来看， a e 的 长度始终是不是九啊？所以我的这个 a a e 的 长度是九，那我的 o h 的 长度是不是就是九的三分之一啊？所以半径就知道了是三，这样最大值一箭穿心。就是得 o 的 长度加半径，那就是四根二加三， 这就是一个瓜豆圆的问题哈。嗯，感觉这一套做下来的话，反比例是比较简单的，中规中矩，这个几何也不是很难，这个难点就在这个二次函数的这个圈二上哈，确实挺难做的。 以上就是立夏这套卷子的分析，记得点赞关注哦！

各位好啊，济南市立夏区一模已经落下帷幕，数学题目还是二十五个，聚焦题型和往常一致，咱们一块分析分析。首先是选择题，一到七题还是老样子，第八题考察概率，题目有点新，好好理解你能做出来。 第九题是尺规作图，利用角平分线、性质构造全等，好解出来了。第十题我认为是全卷中最难的一个题目， 当然不仅是计算量比较大，还有动点，不太好琢磨。但是呢，这个第十题他的考察方向啊，和咱二四年中考的第十题是类似的。 其次是填空题，填空第十一到十三题很常规，没有任何变化。第十四题是变量图， 要是你能通过计算求出两条直线的解析式，那么答案也就出来了。第十五题是折叠问题，嗯，这个折叠问题不算很难，是你可以通过计算求出来的。在这里老师着重说一句哈，在咱济南历年中考试题中，其实考察折叠的频次很高， 同学们可以有意识的多练一练折叠的专题。最后的话就是解答题部分，解答题部分是从第十七题到二十五题，第十七题到二十二题，考察点和咱往常一致，没有任何变化。 当然三角函数的题目有点新，但是归根到底还是解直角三角形，不算，很难能做出来。当然，老师想重点分析的还是二十三题反比例综合，二十四题二次函数综合，二十五题几何综合。 咱们先看反比例综合，反比例综合的第二问考察的是铅垂类的知识，化斜为直即可求解。第三问考察的是四十五度的存在性，看到四十五度，咱们优先想到建立等腰直角三角形，然后再利用一线三等角即可求解。 第二十四题呢，就是二次函数综合问题。第二问考察的是铅垂面积求最值。这是一个老生常谈的问题，在学校肯定是天天练， 这个问题我觉得应该是百分之八十的学生都是没问题的。当然，如果这类问题还有问题，科下必须得有意识的再去 练习练习。第三问考察的是角度问题，给你两个相等的角度转对称，然后一步一步去求解即可。肯定作为整套试卷的压轴题目，计算起来肯定是比较麻烦的，计算需注意哦。 第二十五题就是几何压轴了。第二问考察的是某条线段的长度，利用手拉手相似加减直角三角形，就可求出对应线段的长度。最后一问考察的是瓜豆和二五年章丘区一模 最后一个几何综合。最后一问考察点如出一辙。以上呢，就是小周老师对二六年历下区一模数学简单做了个试卷分析，总之题目难度不是很大， 如果你的分数没有在一百二十五分以上，那么你课下还需要继续努力。好嘞，今天就先到这里了，下一个视频咱们一块分析济南中考数学如何考到一百三十分以上，再见！