天津初二下数学平行四边形专题类型

初二数学的平行四边形，你被卡在第几关？平行四边形是你和同桌的成绩分水岭吗？你是在性质攀比里面绕不出来？还是在辅助线面前紧张的直搓手？又或者是被我们动点目的直接给劝退了？ 咱先别难过，睁开眼睛看看亮亮老师为你准备的平行四边形全攻略。亮亮没有整理枯燥复杂的知识点， 而是把平行四边形八种辅助线添加技巧，用十六道真题帮你拆解的明明白白，不用死背定，就能跟着学，就能找对思路，轻松吃透我们所有的考点。有了它，我们四月悄悄变强！拿去下载打印吧，跟着亮亮无脑学习！

平行四边形。第三讲这个一飞冲天的平行四边形啊，大体难度的话还可以，而且题也不错，咱们就来说一下，现在咱们说一下二十一，二十二， 二十一不说了吧，二十一的话难度也不高，他这个有对角线的话，我们只要把这个对角线相连，对角线互相平行的四边形是平行四边形。 然后咱们主要说一下二十二题，二十二题的话，这题难度也还行，但是咱们的这个正方形学的不是太好的话，可能这个地方就有一些问题了。 这个正方形啊，它符合整个咱们平行四边形里面的好多条件，它的光说一个正方形这个条件就太多太多了。所以如果要是咱们的几何定义背的不熟的话，这个 条件想不起来的话，这道题做起来就会有一些难度。那么咱们来看题啊。第一个 a p 等于 b p， 哦， a p 等于 ab。 第二个是 p b 等于 p c， p b 等于 p c 在 这儿， 这个是这俩，那这些等完之后我们会得出什么条件？没了 a p b 全等于 d， p c。 好， 第一个让你去证这两个三角形全等，那么想证全等的话，这个我觉得难度不是太高啊，咱们就直接列下就行了。第一个是 a b 等于 dc， 对 吧？这个是正方形嘛，所以对边相等，然后再找第二条件，第二个条件是已知条件， p b 等于 pc， 当我们找完这两个边的时候，那么只能找这个夹角，对吧？所以说我们就要找夹角，夹角咱们就写这个是角一，这个是角二吧， 那角一等于角二吗？肯定等于，那为什么等于呢？这里面咱们就有一个延伸了，这个 p b 等于 p c， 它能推出什么？能推出这个角三和这个角四，就这个点加个小角， 角三和角四是相等的，因为这等腰三角形，那么角三和角四相等的话，那是不就推出角一等于角二了？因为这是九十度，对吧？两个九十度，然后角三角四，那这个角一就等等于角二了，所以这道题的难度不是太高，第一问的话，我相信大家都能做，然后第二问难稍微难一点， 第二问的话，就是一开始大家做的都不熟的话，肯定是不太熟的，不会做的角 b a p 就 这个角如何等于二倍的角 p a c 这个角。 这里面有一个非常非常关键的信息，就是当我们正完第一问的时候，我们还有哪个条件没有用？这个条件 a p 等于 ab， 那 么这个条件在我们证完全等之后有什么用呢？你看这两个三角形全等了之后，那是不是我们可以说这四条边相等，那这四条边相等的话，那么我们一下就得出一个结论，那就是三角形 a p d 是 等边，这个大家能看出来吗？没错吧？因为这条边它等于这条边， 然后还等于这条边，那这条边的话，它是正方形啊，所以这条边，所以这是一个等边，这个是非常关键的，如果你连等边都找不着的话，那第二问咱们就直接 game over， 对 吧？做不了。那么这个地方咱们先说，这如果是等边的话，那么它有好多条件，你看啊， 等边三角形的话，那这个大角是不是六十度？这大角角 p a d 等于六十度，然后这个小角是四十五度，角 c、 a、 d 等于四十五度， 能看出来吧？那所以角一这个角得多少度？角一这个角就等于十五度， 能理解吗？这个是四十五度怎么来的对角线吗？对角线肯定是这个角是四十五度，然后这边的话是十五度，那咱们再来看这边这个角，角二角二多少度啊？角二等于四十五度， 减去十五度等于三十度，这个好理解吗？整个这大角是四十五度，对吧？然后角一刚才刚算完是十五度，所以说得三十度，那你看这个关系一出来之后，所以角 b、 a、 p 是 吧？ 角二倍的角一就等于角二了，就是这个结论就出来了，没问题吧？所以这道题的难度不是太高，但是如果你看不出等边的话，这道题肯定就不会做了。 再往下是二十三题，二十三题的话我读一下啊，做法应该也有挺多种吧？平行四边形 a、 b、 c、 d， 然后 没了看啊，大家注意这个地方是中点，那么他说的交于 o o， 我 也点个点，为什么 o 也点点， o 也是中点？因为对角线互相平分，那么当我把这两个点点完之后，我们得出什么？这是一个中位线，所以我们能得出第一个结论是 e o 平行等于二分之一的 bc， 这个能理解吗？这就是咱们的中位线，然后第二个是什么？它要正的是矩形，那么咱们再来说啊，正矩形的话，条件其实挺多的，咱们有一个平行了，对吧？那平行的话，这两个是九十度，那么这里面有一个结论，就是这个结论给你们看一下， 在这儿这个平时的话不常用两条平行线间的距离相等，那么我们这俩都是垂直的，对吧？垂直的话，那肯定就是距离啊，距离的话，那就得出什么 两条对角线，两条平行线之间的距离相等。那么还有一种做法是什么？这俩不是九十度吗？那九十度是不是能说明什么？ e f 平行 o j 对 吧？ e f 平行 o b， 那 么这样的话，这两个条件是不是都能推出什么？平行四边形？ e f g o 对 吧？平行四边形， e f g o 这个为什么是平行四边形？为什么？因为这个是什么？两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 然后这边的话，他让你正的是矩形，那么咱们看这已经正完出是平行四边形了，那么这个角是九十度，那么咱们可以说什么？有一个角是九十度的，平行四边形是矩形，所以第一问正起来的话，难度不是太高， 咱们来看第二问，若四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，菱形了啊，菱形的话，关键有个非常关键的因素是什么？对角线互相垂直，所以这个角是九十度，如果你连菱形的这个对角线互相垂直，就是还记得非常不熟的话，那么这道题的话肯定做不出来。 然后再往下是 ab， 等于根号三十，那咱们直接写 c、 d 这个地方就行了，因为菱形嘛，四条边都是相等的，随便写一个边，然后 b、 d、 b、 d 是 这对角线，那我写一半吧，一半就是五，然后求 o c o j 的 长 o c 和 o j 的 长 o c 很好求啊， o c 的 话，咱们肉眼可见的是根号五 o c 为什么是根号五？因为这个勾股定律嘛，这个角是九十度，那这个三十减去二十五得五，那五再开根号的话不就根号五吗？所以这个 o c 的 话难度是很低的，咱们直接求就求出来了。那么 o j 这个长， o j 这个长的话，其实做法也有挺多的啊，因为它是一个菱形， 咱们从中间啊，这个地方做一个垂直，从正中间就做一个垂直，做一个垂直会得到什么结论？这俩是垂直，所以这俩是平行， 这俩是平行的话，那么这个地方是终点，这个地方是终点的话，那下面这个地方也是终点，因为平行嘛，然后中位线我们只要求这条垂直这个线就行了，这条垂线很好求啊，咱们用钩股动力就求出来了，刚好三十，然后这一半是二分之，刚好三十，对吧？钩股动力求出来了，那么还有别的做法吗？有， 然后别的做法，什么求高用面积什么意思？ o j 这个边你看是不是咱们有二，在三角形直接写。先跟你们说吧，是在三角形 b o c 中能看出来吧？二分之一谁啊？ 二分之一 o j 乘以谁？乘以一个 b， c 等于谁？二分之一 bo 乘以一个 oc， 这么求也是能求出来的，那这个怎么求？这个二分之一，二分之一都约了啊，然后 og 的 话是多少？ og 是 咱们求的，那咱们直接写证，然后 bc 是 多少？ bc 是 根号三十， 然后 bo 是 多少？ bo 刚才刚算完是根号五， 那么这样的话，这边是根号五和根号六，知道吧？那这个根号五是根号五就约了，那么 o j 还等于谁？等于六分之五倍根号六，所以答案就是这个， 这个会了吗？这个难度的话，我觉得还好，没有说有那么高，最主要的话，你们要是知道求高用面积的话，这道题做起来难度就不是太高了，然后再往下，再往下是二十四题， 二十四题，二十四题，这个题是有难度的啊，别看它已知条件那么少，但是这个难度是相当高的。咱们来讲一下 已知正方形啊， a、 b、 c、 d， 它一看啊，说了一个很标准的一个正方形，正方形的话它条件就有很多了，然后第二个没了，整个，然后屁，这个点是任意一点啊，有可能是来回动的，然后如图，一线段 m n 垂直于 ap， 这是垂直啊， 然后没了，看到了没有正方形，加一个垂直，然后就让你去证 a p 等于 m n， 就 两个条件，然后就让你去证一个这样的线段。然后咱们来看这个题， 第一问的话难度是很低的啊，第一问的话难度不高，第一问的话，咱们现在是求两个斜边，求斜边的话，而且要求这两个斜边相等，那么这个情况下的话，我们一般是有各种情况啊，一般的话像这种两个边一点都不靠的情况下，一般情况是政权等， 那么我们先从全等的思路来看，能不能正，那么看这个边是斜边，那么这是在这个三角形中，对吧？三角形 a、 b p， 那 另一个三角形是什么？那咱们肯定得做一个垂直了，对吧？这样做一个垂直，想这么做也行啊，然后你要把 m n 往下平移也行，比如说把 m n 平移到下面，下面这个情况也行，那现在 m n 是 在这，那我们就在这做一个全等。 好，那么现在怎么说？过 m 点，对吧？做 m f， m f 垂直于 d c 就 行了。 然后那么这个三角形是谁？ m f n， 那 么这个三角形全等吗？咱们来看第一个条件是什么？ a b 等于 m f， 这个为什么？能很简单吧？因为这个是做的是垂直，三个角儿都是九十度的三角，那个四边形是矩形，所以 三矩形的对边相等 b c 等于 m f， 能理解吧？这第一个条件，然后第二个条件是什么？第二条件是九十度，这个九十度，然后这个角是九十度，所以第二个条件是九十度。那么第三个条件是什么？第三个条件在这呢？ 角一和角二，角一等于角二，那么为什么角又等于角二？双九十啊，这个不是九十吗？这个不也九十吗？然后怎么正的？这个也比较简单，那你我问你啊，这个地方是三， 这个以后一定要死记性啊，这不双九十的角二加角三是不是等于九十度？ 因为这个角是九十，所以角二加角三等于九十，那么角一加角三是不是也等于九十度？为什么？因为这个是直角，对吧？角一加角三九十度，所以你看这个情况下 是不是角一等于角二了？这么一推，所以这个三角形全等，那这俩三角形如果全等的话，那么是不是就能推出什么 a p 等于 m n 了？所以第一问是比较简单的，咱们只要证一个全等就行了。难，难在哪个地方？难在第二问上，第二问什么？如图线段 m n， 看到了吗？ 这个划一下，这个是垂直平分线，垂直平分上面只是垂直，下面呢？又垂直又平分，就多了一个中点，能理解吧？ 这上面和下面的区别，也就是说它多了个中点，那么多了个中点，然后让你正什么呢？这后面这句话是废话，求证。 e f e f 在 这等于 m e 加 f n。 好， 整个题读完了，那么这里面其实肯定要画辅助线，大家对不对？然后从哪个地方判断我们的辅助线该如何画呢？看这句话，垂直平分，垂直平分线上的点到点两边的距离相等，一定要用这句话对不对？要不然他为什么要告诉你垂直平分呢？ 所以 am 等于 mp 这句话要用这看看能不能用。然后 af 等于 f， 然后第三个 an 等于 n p， 对 吧？也就三个条件，那么我们来这个地方看， e f 等于 m e 加 f n， 它都已经在一条直线上了，它都在一条直线上了，那么我们以前学的什么截长补短啊，那些条件的话都没法用了，因为它都已经给你们 挪到一条直线上了，所以我们只能通过什么思路，也就是说我们原始的那个思路是不行的，所以我们只能通过这个垂直平分线段来看，那么垂直平分线段来看的话，大概率啊，这个线段应该是过 f 点，因为 e f 这个地方是一个跟你 分开的一个情况，所以 me 已经分开了， fn 也分开了，就剩 e f 这个地方没分开了，所以我们一定要练这个，所以我们猜测啊，应该是这么做，那么只要 这两个点一连之后得到什么？ a f 等于 f p 对 不对？这个是垂直平分线嘛？垂直平分线。那么现在我们再来观察这个题该怎么做？现在是 ef 是 这段，然后 m e 在 这段，然后 f n 在 这段， 我们如何才能把它挪在一起呢？那比如说我们现在其实能看出来一个非常明确的思路啊，就是 m e 加个 e f 加个 f n， 它等于 m n， 对 不对？那 m n 等于谁？在第一位已经证完了？ m n 等于 ap， 所以 m e 加个 e f 加个 f n， 它等于的是 ap， 看到没有就把 m n 换成 ap 了。那你看，那这样说的话，就这条线和这条线相等，然后我把这条线给拆成，拆成三三段，那么如此来看啊，我通过这个地方我能分析出什么？我分析出如果这个角是九十度， 如果这个角是九十度，那么九十度的话，我们就有一个条件对不对？这个是终点呢？ 九十度中点，那么会出现什么？中线等于斜边的一半，所以在三角形 a p f 中，这个 e f 是 中线，对吧？中线等于斜边的一半，所以 e f 可以 等于谁？二分之一的 a p， 所以 m e 对吧？ e f 等于二分之一， a p 加上 e f， 再加上一个 f n 等于什么？二倍的 e f， 你 看这这样来说的话，我们这道题就大概率应该就挣完了 f n， 你 看把这 ef 挪过去，是不就是上面这个体条件了？所以我们这个 ap 这样的 ef， 我 们把这个 ap 改成两倍的 ef， 这样一下就挣出来了。所以我们的问题思路一下转变成什么了？ 整个问题的核心，整个问题的核心，我们一下就转变到正这个角是九十度， 能理解吧？我的整个思路是一点一点给你们讲的比较慢，如果你们对这个 斜边中线等于这个斜边一半这个定理不熟的话，那么这道题肯定看不出来，要如此做能理解吧？ 所以为什么我在那个定理定义上，那个本上我为什么要把这个话写成重要，非常重要，还记得这个定理吗？这个定理斜边中线等于斜边一半这个句话我一定告诉你们是非常重要的， 就是当你们不熟的话，你们根本就无法想到这个该怎么做，那么如何去正这个角是九十度，这又是一大难题了，这个又是一大难题了，就是正方形里面他肯定是有全等的，对吧？那么我们如何通过全等，然后去把这个角去正出九十度？ 为什么我们不用不去正这个俩角四十五度呢？因为通过现在这个情况来看，这个角四十五度真的是没法正这个角四十五度我们怎么正？根本就是没有找到一个合适的全等三角形正不出来，那么我们的思路要怎么打开？ 想证这个是九十度的话，那么我们在这个三角形是一个，在这个四边形当中也是一个，所以我们实在不行的话，就把它放在这个四边形当中，所以这个地方是一大难点，这个地方是比较难的。 而我的话，我的话理解是我一眼能看出什么，我一眼能看出 a， f 等于 f， p 等于 f c， 这是我一眼能看出来的。你说我把 f c 连起来，这个属于做题做多的那种感觉，如果你要是新手的话，你是看不出来 f c 和这个 f p 和 af 这个相等的，这个纯纯靠感觉，就这个 f c 这条这条线，如果要是正常的同学，我觉得是 初学的话，是百分之百做，做不出来这种题型的。那么为什么我说这个 f、 c 和这个 af 相等呢？因为我肉眼可见的能看出什么？三角形 a、 b、 f 全等于三角形 b、 f、 c， 这个是肉眼可见的，为什么？ b、 f 等于 b、 f， 这个是公共边，对吧？然后这个角一等于角，二角一等于角，二等于四十五度，这个是角，那第三个是什么？ ab 等于 bc、 s， 所以 这俩三角形全等，这俩三角形全等完之后能推出什么？ 推出 a、 f 等于 f、 c， 那 他要他俩相等的话，那这个是不也等于什么？ f p 了？这三个变动相等，这是我一眼看出来的，然后看出来之后再往下怎么做？ 那我们就按照我之前的那种做选择题的思路，我们该怎么写？那我们设这个角为 x， 对 吧？这个角为 x， 就 先推理嘛， 那这个角是 x， 这个角是 x， 然后还有哪个角这个全等三角形能推出什么？这个是这个大角，这个大角是 x， 整个这一大角是 x， 对 不对？因为这俩是对称的嘛。然后这个角是九十度， 再往下的话，这个角是九十度，那么我们四边形的这个内角和是三百六十度，对吧？三百六十度，这四边形三百六十度，减去这个九十度，再减去这俩角就行了。这俩角的和是多少？这一看能看出来，你看这个是 x， 对 不对？ 那你看这个角多少？因为我这写 x 了，你看整个这一个大角，整个这个大角我画了一个大角啊，这个大角是不是一百八十度？然后我再给你们写细点的话，是不是就是 角 b、 p、 f， 然后加上角 x 等于一百八十度？然后重点来了，你们看这个 x 和上面这个 x 是 不是都是相等的关系？所以这个平角相加得一百八十度， 就相当于我们这两个对角相加到一百八十度，这俩对角相加到一百八十度，加上这个角是九十度，那么这样的话，四边形内角和等于三百六十度，三百六十度减去二百七十度，这个题就解出来了。 再然后就是斜边中线等于斜边一半，就是刚才我们做的那个思路了，剩下的就没什么了，所以这题是非常有难度的。

大家好，今天我们推出八年级数学下压轴题系列讲座，我们先给大家分享平行四边形中最值问题的十四种解决思路。应该说 八年级数学下所有的最值问题都跳不出这十四种思路，只要我们真正理解这十四种思路，并 凸内盘通指一反三，就能够轻松搞定平行四边形中的最值问题。我们先看思路一的第一题，待换思想结合垂线段最短，求一条线段的最小值。 大家先看题目，角 b 等于四十五度， b c 等于四根号三。然后呢， e、 f 是 两个动点， g h 是 a， e， e f 的 中点在连接 g h， 则 g h 最小值是多少？那么 e、 f 是 两个动点， g h 也随着动，那垂线段最短是一定一动， 所以我们就要找到一个定点和一个动点，这里面点 a 是 定点， f 是 动点，所以我们可以理解 af， 这样 af 的 最小值我们就能求到。而 g h 呢，正好是中微信， g h 等于二分之一个 af， 所以 我们就通过代换的思想先求 af 的 最小值。 af 的 最小值就是当 af 垂直于 bc 的 时候最小，但 f 垂直 bc 的 时候，因为角 b 是 四十五度，所以 a f a b、 f 是 一个等腰直角三角形， 所以 f 的 最小值呢，就等于 ab 除以根号二，而 ab 呢，等于 bc， bc 呢，等于四根号三，所以就等于四根号三。除以根号二， 结果等于二根号六。所以 g h 的 最小值呢，就等于二分之一个 a， f 就 等于根号六。

ok， 我 们来看第二题。第二题依然和第一题一样，是在平行四边形的背景下的动点问题。这是实验中学的月考卷，我们来看如图，在平行四边形中， a、 b 是 四， bc 是 八，动点 m 是 从 d 点出发，沿着折线 d、 c、 b、 a 的， 也就是还是它是逆时针，那它是顺时针去转的， 是两个啊，注意它的速度是两个厘米每秒，我们标一下，它是两个厘米每秒。而动点 n 是 从 d 出发，然后沿着 d， a、 b、 c， 它是逆时针转的，它是一个厘米每秒。 我们一起来看一下。这个题一共有三问，看第一问，他说如图， m 和 n 同时出发，经过几秒钟相遇了。首先，首先他们是同时出发的，然后 n 点呢？沿着这个方向走， m 点沿着这个方向走，当他们相遇的时候，意味着他们的路程之和正好是整个四边形的周长。对 n 点来讲是一乘以 t， 有 速度乘以时间嘛。对 m 来讲是二乘以 t， 也就是一个 t 加两个 t， 整个四边形的周长是二十四厘米，所以这个时候三 t 等于二十四， t 就 等于八， 要经过八秒钟的时间，他们会相遇。第二问，在相遇前是否存在过 m n 的 直线？也就直线 m n 呗，直线 m， n 将平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积给平分， 那么我们首先确认一个点，大家都知道，想平分四边形的面积的话，就必然过平行四边形对角线的焦点，那现在我们把对角线画出来，把这个点标上，比如说 o 点，那我们先做一条 啊，如图所示呢，这个 m 和 n 分 别交在 a 得和 b、 c 这条对边上哎，我们先令它交在这，然后令它平分面积，看看能不能给出 t 来，或者给出的数字，比如说是负数，哎，或者是明显的超过了八，或者是它给出的 t 对 n 呢？不在 a、 d 这条线上，这些都是不符合 t、 e 的。 解完了以后，如果正好就在这，就在 a、 d 上，那就是符合 t、 e 的。 那我们首先呢，需要把 n、 d 表达一下， n 呢是从 d 出发，速度是一个单位每秒，而 m 从 d 出发，他呢，按我们画的，首先他是这样走到了这，他整个路程是二 t， 整个路程是二 t， 而从得到 b 的 话，从得到 b 一 共是八加四是十二，所以这里是十二减二 t。 我们知道，如果我们现在如图我们画的一样的话，画成这样子的话，符合题意，那这个时候的 o、 n、 d 和 om b 它是全等的，它想全，它要全等，那么对应边 n、 d， 它就是和 b、 m 是 相等的，那这时候我们就解出来了，三 t 等十二， t 等于四， 我们可以去验证一下， g 等于四呢， n 点正好就走到了这个 a 的 正中央，而二四得八，对于 m 来讲，是先走完了这个四，又走到这，也是走到了这个正中央，所以啊，这个是没有问题的。那我们看另一种情况，那有没有可能他是这个样子的， 那我们可以确认的是，对于 n 来讲，想走完 d、 a 这一段，一共需要八秒钟，对 d、 n 来讲，他一共需要八秒钟， 而这个 m 点，如果你还想停留在这，你走到这个 c 的 话，一共才需要两秒钟，它不可能 m 点还在 b、 c 这条线段上，而 n 已经跑到这来了，所以我们现在画的这个黄色这条线呢，它是不可能存在的，所以就把它给放掉了，这条线直接是不可能的。 ok， 这样这个第二问我们就说完了， 来看第三问，他说如图，这这个点 e 在 线段 b c 上点 e 在 线段 b c 上告诉你 b e 是 二，一共八个厘米吗？现在告诉你 b e 是 二， b e 是 二 e c 就是 六呗。说 m n 同时出发且相遇的时候停止啊，同时出发相遇，八秒相遇吗？其实我们都知道相遇了以后，然后经过八秒，其实就到这了，到这 然后这个 n 跑到这来，而 m 点他一共走十六吗？就找这来问，这个整个过程中， m 在 第几秒的时候与 a 与 e 形成平行四边形。哎，我们前面讲过类似的动力也是个动点吗？说这四个点如果是用分开的，而不是连在一块的话，那就讨论 谁是边，谁是对角线，那就抓住这里边固定的点。比如说 a 点是固定的， e 点也是固定的，那我们就讨论 a e 为边的时候一种情况， a e 为边的时候， 那 a e 是 边，那 an m 也是边，那有没有可能是这种情况呢？我们把对应的该标的给它标一下，那此时此刻的 n d 是 t， 而 a n 呢？是八减 t m 跑到这个位置，我们知道从得跑到 e 的 话呢，一共是十，因为这边是四，这里是六，而从 d 跑到 m， 这是它的路程是二 t， 所以 啊，现在是十减掉二 t， 十减掉二 t， 那 也就是此时此刻这个大类。我们要是写一下这个大类的话呢，就是 第一类是 a， e 为边，就是 a e 平行且等于 n m 时， 那我们把对应的线段八减 t 就是 a n， 它也平行且等于 e m 吗？等于十减二 t， 那 这个时候解出来，解出来就是 t 等于二， t 等于二， t 等于二，我们验证一下对不对呢？如果 t 等于二呀，这个 m 刚走到这这个位置，那这一块呢？是那就是六，而这里的 t 等二就 n 走了两个单位，本来八个单位嘛，还剩六个单位，哎，说明它是符合 t 的， 就这里剩下的都是六，或者可以带你去验证，八减二是六，十减二乘二也是六，这是可以的。 ok， 那 么到了这个状态下呢，我们可以做一个动态的，这个动态的，比如说这个 n 接着往前走，但是 n 走的比较慢，而 m 呢？而 m 就 读的相对比较快，那在这个快的过程中，就有可能形成这么一个状态， 此时此刻的 a e 就 不再是边了，而 a e 是 一条对角线， a e 是 一条对角线，那有没有这种情况，我们算出来，他说算一下他符不符合提议呢？我们来看右边，我们把这个图画出来，此时此刻这是 n， 这是 m， 这是 e， 也就 m n 和 a e 呢，相互平分了。那这个时候我们依然是把 a n 这个程度表达一下，它的表达式是没有变的，还是八减掉 t， 只是上前走了一点点，表达式没变，而这个 m e 的 表达式变了，为什么呢？因为它的路程超过了这个四加六， 超过了这个十，那看这还是那个表达式，二 t， 它整个路程还是二 t， 但是到 e 这里是十，所以此时此刻它的表达式就不再是十减二 t， 而是二 t 减十，二 t 减十， 那现在我们来看一下，这就是第二种情况，此时此刻你要愿意写上汉字，为了表达最清楚点，就是 a e 为对角线，此时此刻的应该是 a n 这个边长平行且等于这个 m e 这个边长了。 然后那我们能得到的就是八减 t 恰好等于二 t 啊，减十，那就是三 t 等于十八，那我们知道是三六十八。 首先这个时间还没有超过八秒，那我们确认一下六的话对不对呢？如果六的话，对 a 来讲，走到这前面是六，后边是二，然后二六十二 超过十两个单位，哎，说明这个时候这两个表达式都是二，而且他们是平行的，平行且相等，那自然就符合题。 ok， 那 这个第三问就是两种情况，第一种情况是 a e 为边长的一种情况，第二种情况是 a e 为对角线的一种情况。 这是我们今天的第二道题，就讲到这。

大家好，今天继续分享平行四边形中最值问题的十四种答题思路。今天呢，讲第四六三将军引马问题的拓展。 讲题之前啊，有个建议，如果你是学生，你最好先不要急于看老师的讲解，你先看讲解了，你就不觉得难，你下次遇到的时候就不一定会做， 你应当先暂停思考，可能就会被卡住，百思不得其解。然后呢，带着疑惑，再看老师的讲解， 你就可能会恍然大悟，大彻大悟，收获满满。如果你是家长的话呢， 你最好先截图或者呢先收藏，总之，也要给孩子先做一做啊，如果你正好认识我，或者有我的微信，可以索取 word 文档啊，给孩子打印，给孩子念一念， 好，现在呢，我们先看四六三第一题，如图，在矩形 a， b， c， d 中， ab 等于十五， ad 等于八， e， f 分 别是 ab 和 dc 三的两个动点， m 为 bc 上的中点， d 一 加 e， f 加 f， m 弯弯曲曲的， 其实我们求最小值啊，就是化取为值啊。如果我们把 f 作为一个定点， e 是 一个动点的话呢？那么大家看到 d 加 e， f 的 最小值其实就是一个将军野马，所以只要做 d 的 对称点 和 f 连接就可以了。同样，如果 e 是 个定点， f 是 个动点，那么 e f 加 f， m 的 最小值呢？大家就可以翻到看到，只要做 m 的 对正零和 e 连接就可以了。所以呢，这是一个将军以马的突展示，做两个顶的对正零。我们既要做 e 的 呃 d 的 对正零，也要做 m 的 对正零。 那么大家可以发现， d e 就 等于 d p e f m 就 等于 f m 一 p， 所以 这三条线段之合就转化为 d e 加上 e f 加上啊，就等于 dpe 加上 e f 加上 f m a p， 那么显然它大于等于 d p m e p 就是 当 d p e f m e p 公式的时候最小， 那么这个最小值怎么做呢？ 也就是最小值就是 d p m， 那 么要求 d p m 的 话，我们就可以 过 d p 做 b m e p 的 垂垂线做 d p h 垂直于它，那么其中我们看一下这个 d p h， 它等于 ab 等于十五， ad 等于八，这个也是 b h 也是八， bc 也是八， m 是 长零，这个地方是个四，所以 c m 一 p 等于四，这个也是八，所以 d p m 就 等于根号下 十五的平方加上八加八加十六加四，等于二十的平方，十五的平方加二十的平方等于根号下啊三的平方，五的平方 乘以三的平方加四的平方，所以等于五乘五等于二十五，所以这最小值呢？就是二十五，你会了吗？

大家好，今天我们来看思路 e 的 第三题。如图，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中角， b 等于九十度， b、 c 等于四， ab 等于三点 d。 在 b、 c 上， 以 a、 c 为对角线作平行四边形 a、 d、 c、 e 求 d， e 的 最小值是多少？ 第一呢，两个点都是动点，所以要求第一的最小值，我们就要转化为一定一动两个那一条线段。 由于平行四边形的对角线互相平分，所以点 o 就是 a、 c 的 中点，是个定点。第一次动点，所以 o、 d 的 最小值我们就能求到。但 o、 d 垂直于 a、 b 的 时候，物 d 最小，当物 d 垂直于 a、 b 的 时候， d 是 b、 c 的 中点，所以物 d 等于二分之一， a、 b 等于二分之三， d、 e 等于二， d o 就 等于三，所以 d、 e 的 最小值就是三。我们同学如果没有啊，不好画动图的话呢， 可以做 o、 h 垂直 a、 c， 那 么 o、 d 的 最小值就是 o、 h、 h 呢，等于二分之一， a、 b 等于二分之三，所以 o、 d 的 最小值就是二分之三， d、 e 等于 r o、 d， 所以 d、 e 就 等于三。 我们也可以这样想，点 d 和点 e 在 平行线 b、 c 和 a、 e 上运动，所以 d、 e 是 平行线间的一条线段，那么平行线间的线段就是当 d、 e 垂直 b、 c 的 时候， d、 e 最小。也就是说 d、 e 平行线间的距离最小， a、 b 垂直于 b、 c， 所以 d、 e 的 最小值就是 a、 b 啊，就是三。

好，今天我们一起来看思路一的第四题。如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为八， e 为对角线， a、 c 的 动点 三角形 d， e p 中角 e， d p 等于九十度 d， e 等于 d p。 当点 e 从点 i 运动到点 c 的 过程中，三角形 e、 p、 c 周长的最小值是多少？ 那么要求三角形 e， p、 c 的 周长， 三角形 e、 b， c 的 周长等于 e， c 加 c p， 再加上 e， c 加 c p， 再加 e p。 其中三角形 d， e p 是 等腰直角三角形。三角形 a， d、 c 也是等腰直角三角形高顶顶 d 双等腰直角三角形。所以三角形 a、 d、 e 和三角形 d， c， p 就 全等三角形 a， d、 e 全等于三角形 c， d p， 所以， 所以 a、 e 等于 c p。 所以 把 e， c 加 c p 加 e p 就 可以写成 e， c 加 c p 呢，就是 a， e 再加上 e p， e， c 加 a c 是 等于 a， c 加 e p。 所以 三角形 e p 的 周长最小值呢？等于 a， c 加 e p。 其中 a、 c 是 定定长， a， c 等于 八根二啊，必然，这万一必然是八， a、 c 等于八根二，那么 e p 是 多少呢？ e p 它两个点都是动点，那么要求它最小值，我们就转化为 d， e， e p 等于根号二 d， e， d， e 的 最小值就是当 d e 垂直 a， c 的 时候， d e 最小， 当 d e 垂直 a、 c 的 时候， d、 e 最小。那么当 d， e 垂直 a、 c 的 时候呢？ d、 e 它是等于二分之一 a， c， 也就是说 e、 p 就 等于根号二乘以第一是二分之一 a， c， a、 c 呢，是八根号二，所以第一就是四根号二，四根号二乘以根号二呢，就等于八。 所以三角形 e、 b、 c 的 周长的最小值就是八加八根二，所以选择 a。

八下数学最难的平行四边形，八大技巧全部练会，逆袭班级前三！八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点将军引马问题技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧五，旋转构造圈等 技巧七，构造手拉手拳等技巧八，平移线段线段的拼接完整版分享！

一下用多边形镶嵌平面的问题，这类问题呢，它的核心考点啊，如这个图一样，像平面里铺地砖的话，我们需要围绕一个点，围绕一个点将这个平面呢给它铺满，也就是多边形在每个内角凑到一起之后，要围成三百六十度，这就是我们镶嵌平面的一个主要思维。 那我们要知道在相切过程中呢，经常使用的是正多边形啊，因为正多边形呢，它能够满足是边长是相同的，所以在拼接的时候呢，能够在其他位置呢，也能够给它铺满。那正多边形呢，我们先分析三角形、四边形、五边形、六边形， 还有八边形以及十二边形这些东西呢，我们需要搞清楚它每一个内角，正多边形的每个内角度数加三角形呢是六十度， 四边九十度，五边形呢，一百零八度，这个我们可以采用外角三百六十度，然后除以它的边数，再用一百八十度减去这个外角，就得到内角了，它是一百二十度，一百三十五度。十二边形呢，一个外角是三十度，那它内角是一百五十度 啊，常考的是这几个，那能不能拼成三百六十度呢？我们观察如果是单个多边形组合的话，这个是六十乘六， 是等于三百六十度，所以这个是单个的，是可以的。那九十乘四是等于三百六十度的，这个也可以一百零八呢，一百零八，我们发现他不无论乘几他都不行，所以这个是不行的。一百二十度是乘三可以的，等于三百六十度呢，单个是不行的， 他也是不行。一百五十度呢，单个也不行，这很好区分三四六，这个多边形是可以的啊。那我们在组合款，如果两两组合的话， 两组我们发现刚才我们主要观察这些不能的，不能去构造的。这个一百零八度呢，其实你乘以二以后，然后还是二百一十六度， 那一百零八呢？乘以三是三百二十四度，剩的度数呢？其他的内角都不满足，所以这个是还是不可以。但下面这个八边形它是一百三十五度，乘个二它是二百七十度，再加个九十度它就等于三百六了，所以这个是两个八边形加一个 四边形是能够拼成一个平面的。然后这个一百五十度呢？一百五十度我们也是乘个二，再加一个六十度是等于三百六十度的，所以它是两个十二边形加上一个三角形啊，它也能够拼成一个平面， 所以这就是平面拼接的问题，它的基本思考方式就是把三百六十度进行拆分，看能得到哪些内角的和。

平行四边形的最值问题绝对是巴夏数学的丢分重灾区，百分之九十九的孩子遇到这种题型都无从下手。但其实无论这个 p 点是在四边形的外部还是内部，都可以用手拉手模型来轻松破解的。 学完这道题之后，再把林老师给大家整理的平行四边形的十大题型拿去系统练习，把重难点拿下之后，月考再拿二十分。我们来看题，如图， p 在 正方形的外部， p a 等于四， p b 等于二，然后要你求 p d 的 最大值，那这道题该怎么入手呢？如果我们正常解是没办法解的，但是这道题如果你懂得手拉手模型，那就完全不一样了。好，我们来认识一下手拉手模型， 它指的是有两个等腰三角形，它们的顶角是相等的，而且相交于同一个点，我们把这个点呢就叫做头， 然后不难想象，这个蓝色的三角形，它是会绕着这个顶点去做旋转的，然后呢，会有某一刻，蓝色的三角形和这个红色三角形呢，它两条边是会重合在一起的， 我们把重合的时候的那个状态对应的这个左边这个点呢叫做左，这个也叫做左。同样道理，这个点呢叫做右，这个也叫做右。 当你把这两个点连起来的时候呢，我们就可以得到两个全等了，那就是头左左全等于头右右。好，这就是手拉手模型， 证明方法呢，也很简单，那就是 s a s 就 能轻松证出来了。好，那有了手拉手模型的启发之后呢，我们就很容易把这个 a 点呢看作是 头，然后呢，这个 b 点呢看作是左，这个 p 点它也是左，对吧？然后第一点呢，它是右，所以我们需要构造出一个右出来，也就是说把这个 a p 我 们也拿来旋转九十度啊， 例如说交于这点为 m， 然后呢，再把这个 dm 连起来，还有这个什么呀？ pm 也连起来， 根据我们的手拉手全等头左左全等于头右右，我们就可以得到这个 a p 是 四，所以这个 a m 它也是四啊，而且这里呢是直角，同样道理，这个 p b 是 二，所以这个 b m 它也是二。 好，那这个时候 pm， 因为这里有个九十度，这里有个四和四，对吧？我们根据等腰直角三角形一比一比根号二就可以得到这个 pm 呢，它是四倍根号二。 所以啊，我们要求的 p d 呢，它其实是位于这个 p m d 这个三角形里面的，而我们知道在同一个三角形里面，两边之和一定大于第三边，所以要求这个 p d 最大值的时候，就是什么时候啊？ 就是当 p m 和这个 dm 三点共线的时候，这个 p d 就 有最大值，所以我们最后的答案就是四倍根号二加上二，搞定，你学会了吗？

三分钟学完八下数学第三章主页置顶，一口气学完初中数学系列。首先第一部分四边形，内角和是三百六十度，四边形的外角和也是三百六十度。多边形的内角和是一百八十 n 乘减去三百六十度， 外角和也是三百六十度。好看。第一个，平行四边形首先先看定义，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形， 平四边形是中心对称图形，而对角线的焦点就是对称中心。平四边的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。好，接下来看平四边形的判定。第一部分从边的考虑，两组对边分别平行的四边形是平四边形， 两组对边分别相等的四边形也是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形也是平行四边形。从对角线的减渡期考虑的话，对角线互相平分的四边形是平四边形。接下来特别的夹在两条平行间的平行线，长度是相等的。第四部分三角形的中微线 定义，如果连接三角形两边的中点的线段叫中位线，比如说 d e 就是 中位线性质，那三角形的中位线平行，第三边等于第三边的一半，也就是 d e 平行相等于二分的 b、 c。 好， 接下来看第五部分菱形的性质悬，先看边，菱形的两组对边分别平行且相等啊，四边都相等。 同角菱形的角两组对角相等，并且菱角互补。对角线对角线互相平分且对角线互相垂直啊，对角线平分对角好，特别的周长等于边长的四倍。 菱形的判定，从边的角度来说，有一组菱边相等的四边形，拼四边形就是菱形， 然后四个边都相等的四边形也是菱形。从对角线的角度，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形也是菱形。特别的，菱形的面积除了等于底程高之外，还等于对角线乘积的一半。 好，接下来矩形的概念和性质，先看概念，由一个角是直角的平四边形叫矩形，通过边的维度与平四边形边一样。然后矩形的角呢？除了互相平分之外，矩形的对角线是相等的。特别的 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，直角三角形。斜边的中线等于斜边的一半，这是矩形的一个特殊的性质。接下来看第八部分 矩形的判定。角，有一个角是直角的，平四边形就叫矩形。那有三个角，直角四边形也是矩形。对角线对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等且平分的四边形也是矩形。好记，在正方形的定义，有一组邻边相等，且有一个 有一个直角的平行四边形。好性质，四个角都是直角，四个边相等，对角线互相平分垂直且相等，这样的角正方形好再正反的判定。 咱们通过边的维度，先把平行四边形怎么变成菱形了呢？让它菱边相等。菱形怎么变成正方形呢？让它菱边垂直，好通过角的维度平行四边形怎么变成矩形呢？让一个角是直角，矩形怎么变成正方形呢？让菱边相等好，对角线 平四边形互相垂直就是菱形。菱形的对角线在相等，就是正方形，也就是说咱们在判定它是正方形的时候，首先四边形先是平平四边形。好，平四边形之后让它证明它是菱形，然后再证明是正方形或者平四边形是矩形，然后再证明它是正方形，你学会了吗？

这个章节我们还会学一些特殊的平行四边形，比如说矩形，那什么是矩形呢？对于小学生来讲的话，它就是长方形啊，因为矩形就是平行四边形加一个直角，因为平行四边形它不是有一个性质吗？ 叫做对角相等，对不对？平行四边形对角相等，当他有一个角是九十度，那另外一个也是九十度。又因为上下平行，我们可以得到同旁内角互补，这两个同旁内角互补， 我们就会得到上面这个角是九十度，然后这两个角同旁内角互补，所以我们可以得到下面这个角也是九十度。那这样的话， 这个平行四边形当中只要有一个角是直角，那么另外三个角也会变成直角，知道吗？ 所以矩形对于书上的定义就是有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形呢，也是长方形，我们小时候 说的长方形就是矩形，知道吧？啊？当然了，还有正方形，因为正方形就是特殊的长方形，所以正方形也是特殊的矩形，知道吧？矩形呢，也是常见的几何图形，比如说什么桌子啊、地砖啊，对不对？这个门框啊，都是一样的。那我们现在要研究一下 关于矩形它的性质以及判定。因为矩形呢，它是平行四边形，所以它是具有平行四边形所有性质的。矩形 它是平行四边形，所以矩形它具有平行四边形的所有性质。但是由于它是有一个角是直角的， 它是否具有一般平行四边形不具备的一些性质呢？有的哪些呢？那首先第一个，矩形的四个角它都是直角，这个我们已经推导过了，对不对？ 你看只要有一个角是直角，通过对角相等啊，这两个角也是相等的，对不对？然后通过平行，上下平行、左右平行，可以得到另外三个角，都是九十度。所以它的第一个性质就是什么呢？就是矩形的四个角都是直角，然后呢， 矩形的对角线是相等的。哎，这个呢，我们可以通过怎么去证明呢？可以通过 全等三角形去证明。你看对角线，我这里简单讲一下啊，简单讲一下它怎么证明出来的呢？你可以看，因为这个是九十度，这个也是九十度，对不对？对边是相等的，对边是相等的，然后呢，它有一条公共边，所以这两个三角形，那我这里标一下， a、 b、 c、 d 等于角，这个 d、 c、 b 啊，还有一个公共边， bc 等于 bc。 我 们是不是可以通过这三个条件得到三角形 abc 全等于三角形 dcb 全等条件就是边角边 全等。之后呢，我们就可以得到它的斜边， a、 c 等于 b、 d。 那 么对角线是不是就是相等的，对不对？好，当然它这里还有一个性质，就是它是矩形，是一个轴对称图形，它的对称轴有几条呢？有两条每组对边中点的连线，我这里稍微换一下，那 画的不像啊，重新画一个这个矩形，你找到它终点的连线，两个终点的连线就是它的对称轴。轴对称啊，对称轴，这个也是，它是有两条这个对称轴的啊，这个就是它的性质。 咱们知道了矩形的性质之后，你来看这个例题一，它说矩形 a、 b、 c、 d 对 角线 a、 c 和 b、 d 交于点， o 角 a、 o、 b 等于六十度，我们标一下角 a、 o、 b 这个角等于六十度， ab 等于四， 叫我们求矩形 a、 b、 c、 d 对 角线的长度，对吧？好，那这个应该怎么去证明呢？我们也写一下， 先讲一下思路，那你可以通过对角线矩形的对角线是互相平分的，所以这四条边都是相等的，对不对？那就可以得到它是等腰三角形，并且它的顶角是六十度，顶角是六十度的等腰三角形，它是不是，是不是就是等边三角形？所以 那么这四这三条边就都等于四，然后再通过对角线互相平分，所以 o、 b 等于四， o、 d 也等于四， o a 等于四， o、 c 也等于四，那么对角线的长度就是四加四等于八，这个就是它的思路。我们把这个过程写一下，好吧，因为四边形， 这个 a、 b、 c、 d 是 什么？是矩形， 它是矩形，所以这个 a、 c 与 b、 d 互相平分， 并且相等， 所以我们可以得到 o、 a 等于 o， b 等于 o、 c 等于 o、 d。 好，这四条边都是相等的，然后因为角 a、 o、 b 等于六十度，然后 a 等于 o、 b， 所以 我们就可以判定三角形 a、 o、 b 为什么为等边三角形， 它是等边三角形，所以我们就可以知道这个 o、 a 等于 o， b 等于 ab 等于四，所以这个 a、 c 会等于 b， d 会等于四，乘二就等于八， 那么对角线的长度咱们就给它算出来了。再来思考一下直角三角形斜边中线有什么性质？这里给了一个直角三角形 abc， 这个是直角，在斜边上找到中点 o 连接 o、 b， 这个 o、 b 就是 直角三角形的斜边中线，它就是中线，对不对？ 那么这个 o b 和 a、 c 有 什么关系呢？下面其实直接给出来了，它说直角三角形斜边中线等于斜边一半，对不对？那我们来证明一下，好吧，这个是怎么来的？它这里呢？是把这个 bo 延长一倍出去，那它这里 延长 bo 到点 d， 使得 o d 等于 o b， 那 么这个是倍长中线，这是我们以前做辅助线的一种方法。倍长中线， 然后连接 a、 d 和 c、 d， 他 说这个是一个矩形，然后呢，这个是矩形，之后呢？因为对角线是互相平分的，对不对？矩形的对角线互相平分，并且相等，所以这四条都是相等的，那么这四条相等，在三角形当中，这三条相等，所以这个 o、 b 会等于 a、 c 的 一半。如果你把这个 a c 设为 x x， 那 么这条边啊就是 x， 而 a c 就是 二 x， x 是 二 x 的 一半，但是这个矩形，这个 abc 为什么是矩形呢？ 哎，我们要正一下它，这里叫我们想一想为什么，对不对？好，我们直接正一下就可以了，为什么它这个是矩形？首先你延长出来之后，对吧？因为这个 o， 为什么 a、 c 中点， 所以 o a 会等于 o c， 然后呢，我们延长出来的这个 o d 和 o b 也是相等的，所以且这个 o d 等于 o b， 所以 在四边形 a、 b、 c、 d 当中，对吧？它们的对角线互相平分， 所以四边形 a、 b、 c、 d 为平行四边形， 但你说它也不是矩形啊，对不对？还需要加一个条件，你看我们矩形是怎么来的？ 平行四边形加一个角是直角，它是不是就是矩形呐？有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形，那你看这里面有没有直角，肯定有的嘛，直角在哪里啊？ 就是角 b 啊，对不对？所以我们再说，因为角 abc 等于九十度，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形 就可以了，对吧？这样的话，这个矩形咱们就正出来了， o 不 ok？ 好， 所以记住啊，直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半。前提条件，直角三角形当中你才能用，其他的三角形不能用啊。 再来看到练习第一个一个矩形的一条对角线的长度是八，两条对角线相交所成的角当中有一个是一百二十度，叫我们求这个矩形相邻两边的长。好，我们来算一下， 这个是矩形，我们标上 a、 b、 c、 d， 然后连接它的对角线， 对角线是相等的，并且怎么样互相平分？他说其中有一个角是一百二十度，那么这个一百二十度是钝角，所以我们肯定画在大一点的地方，这个是一百二十度，对吧？好，他的对角线长为八，对角线互相平分的话，那么这四条边 就都是四啊。然后他教我们求这个矩形相邻两边的长，那这条边是可以算出来的，为什么呢？因为一百二十度的补角，这个角就是六十度，而 o a 等于 o b， 这里是六十度， o a 等于 o b， 它就是一个等边三角形，所以这个 ab 就 会等于四，对不对？再利用什么？再利用直角三角形勾股定律，这里是八，这里是四，你就可以算出这条边等于四倍根号三，那么一个 矩形当中，它相邻的两条边的长度就是四和四倍根号三就 ok 了。那我们接下来正一下，好吧，刚刚刚刚讲的是思路啊，好，矩形 a、 b、 c、 d 当中，矩形 a、 b、 c、 d 当中怎么样？对角线互相平分且对角线相等，对角线相等且互相平分， 所以我们可以得到 o、 a 等于 o、 b 等于二分之一的 a、 c 就 会等于二分之一，乘上八等于四，那这两条边就是四，对不对？好，那因为角 a、 o、 d 等于一百二十度， 所以角 a、 o、 b 就 等于一百八十度，减去一百二十度，它就等于六十度。好，再写，因为这个 o、 a 等于 o、 b， 角 a、 o、 b 又等于六十度， 所以我们就说三角形 a、 o、 b 为等边三角形， 它是等边三角形，对不对？我们就可以得到这个 a、 b 等于 o， a 等于 o、 b 等于四，那这条边我们就求出来了。再说，在直角三角形当中，在直角三角形 a、 b、 d 当中， 这个 a、 d 的 平方会等于 b、 d 的 平方，减去 a、 b 的 平方等于多少啊？ 就是六十四，减去十六等于四十八，所以 a、 d 等于根号四十八，那就等于把这个十六提出来，四倍根号三。所以我们就说这个矩形 相邻两边的长为四倍，根号三 和四。这里没有写单位对不对？那我们结果也不用写单位。再看第二题，如图四边形 a、 b、 c、 d 是 一个矩形点 e 在 b、 c 的 延长线上， 并且 de 是 平行 a、 c 的。 问我们三角形 d、 b、 e 是 不是等腰三角形，叫我们说一下理由对不对？好，那肯定是，为什么呢？因为 这个对角线是相等的，矩形的对角线是相等的嘛，对不对？所以呢，你只要证明出这是一个平行四边形，让这个 a、 c 等于 d、 b， 那 么 a、 c 本身就等于 b、 d， 那这个 b、 d 和 d、 e 相等，它就是等幺三角形，对吧？所以我们要证明这是一个平行四边形。好，这个比较简单，因为本身这个 a、 d 和 c、 e 就是 平行的，再加上题目条件给的 d、 e 平行 a、 c， 那 么就是平行四边形了。我们说明一下，好吧， 因为在矩形 a、 b、 c、 d 当中，这个 a、 d 是 平行 b、 c 的， 所以这个 a、 d 也会平行 c、 e。 因为 b、 c 和 c、 e 在 同一条直线上，对吧？好，所以 a、 d 会平行 c、 e。 又因为题目条件告诉我们，这个 d、 e 是平行 ac 的 d、 e 平行 ac， 那 么就是上下平行，左右平行两组对边分别平行的四边形，就是平行四边形。所以四边形 a、 c、 e、 d 为平行四边形， 它是平行四边形，所以这个 a、 c 就 会等于 d、 e。 因为矩形中 矩形 a、 b、 c、 d 当中这个对角线是相等的， a、 c 等于 b、 d， 那 a、 c 等于 d、 e。 现在 a、 c 又等于 b、 d， 所以 这个 b、 d 就 会等于 d、 e。 所以 三角形 d、 b、 e 为等腰三角形。

折叠问题是八下数学期中考试的经典必考题型，这种题目啊，要用到两个方法步骤，而很多的孩子只掌握了其中的一个，导致白白丢分。 那今天这个视频呢，林老师就用这道题，帮你把这个方法给彻底的学明白。学完这道题之后，再把这份平行四边形的折叠问题拿去给孩子巩固一遍，只要把里面的题型拿下，轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图， 矩形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于四，我们标记一下这里是四， b、 c 等于六，我们标记一下这里是六。 然后呢，将三角形 a、 b、 c， 好， 这个三角形 a、 b、 c， 我 们给它折叠上去，然后 b 点呢，就折到一点这里来了， 然后呢，相交于点 f， 好， 这里有个焦点 f， 然后让你求什么呀？让你求 d， f 的 大小，就这一段的大小。好，那这种折叠问题呢，里面要用到两个方法，第一个方法是什么呢？就是这个折叠啊，把它从下面折到上面来，很容易就得到第一个 全等，对不对？就是折叠前后形状是全等的嘛，所以呢，这个 b 点呢，这个直角折叠之后就放到这里来了，然后这个 a、 b 边呢，折叠之后呢，就变成这里了，这里是四了，但是很多同学呢，仅限于得到这一步的全等， 而没有去深挖得到第二个全等，那第二个全等是什么呢？我们看一下啊，首先呢，这个是个矩形，那这条 a、 b 边是四，对面的这条 c、 b 边它也是四，然后这个是直角，而这个角 d 它是矩形，它本身也是直角， 而且还有一个什么呀，这里还有两个对顶角，所以折叠是可以得到两个全等的。除了表面的这个折叠，还有一个推倒之后的这个全等， 这个也是破题的关键。好，那有了这个折叠全等之后呢，我们就可以把要求的这条 d f 边设作 x， 然后呢，他的对边是六，那是不是这个 a d 他 也是六啊，所以这里是六，那么这里是 x， 所以 这个 a f 他 就得是六减 x 还没完，你再看这个 e f， 他 在全等之后呢，是不是也等于 f d， 所以这里也得到了 x， 至此这道题才叫做审题完毕，你才把折叠这个条件全部用完。然后第二个方法步骤是什么呀？是列勾股方程，这个也是勾股定律的正确打开方式。所以呢，我们可以看到这个三角形， 这里有个直角，这条直角边是四，这条直角边是 x， 这条斜边是六减 x， 所以 我们的方程这么列，四的平方加上 x 的 平方，等于括号六减 x 的 平方，然后这个方程轻松解的 x 等于三分之五，这也是这道题的答案。 所以这种题目啊，折叠类的问题，两个步骤缺一不可，分别是折叠得全等，注意这里是双全等，两个全等，然后再用勾股方程直接得到答案，你学会了吗？

四边形四大专题，所有知识点系统串联，公式定律讲透来龙去脉，先看专题一、梯形。在讲梯形之前，我们先把四边形的一些基本背景讲一下。首先四边形， 他是四条边，四条线段所围成的图形，它属于多边形的一种，那关于多边形的内外角对角线的关系呢？在之前的课程是讲过了，那么这个四边形有，这是我随便画一个四边形， 还有特殊的四边形，那么特殊的四边形呢？指的就是这四条边中他们有没有平行的关系。如果有一对边平行，那么就叫梯形， 如果有两对边，就是四条边，分别对应平行的话，就是平行四边形。好，那无论是梯形还是平行四边形，它都是 特殊的四边形。我们中考重点研究的就是特殊的四边形，那么这个平行四边形中也有一般的平行四边形，比如说矩形，比如说菱形，比如说正方形。 啊，那么这个平行四边形呢，也分一般的平行四边形和特殊的平行四边形，我们会在平行四边形的内容中去讲解，那关于四边形的大背景和分类我就讲完了。那么无论是什么样的四边形，一般的四边形，还是特殊的四边形，我们通通都要把四边形、 四边形转化成三角形的问题。无论是三角形的相似，三角形的全等，还是三角形的内角和多边关系，以及五行四线，肯定是要把四边形问题转化成三角形问题去求解的，这是大的原则，一定要记住， 初三的同学肯定深有体会了。我们先来看梯形，首先来看梯形的定义，四边形中有一类特殊的四边形，所以梯形是属于四边形的，一组对边平行，而另一组对边不平行，就是梯形， 所以呢，它是一组平行，一组不平行，这两个条件缺一不可。比如说右上角这个图形 啊， d、 c 和 a、 b 是 平行的，而 a、 d 呢，和 b、 c 是 不平行的，这就满足了梯形的条件，而且它是一个四边形，那四边形短的这条边叫上底，长的呢叫下底， 左右两边的叫腰，然后这个角还有包括这个蓝色的角就是底角，上面这两个角呢，叫顶角。这些都是常见的概念啊，在小学应该就学过了。好，那么梯形的定义呢，就抓住一对平行，一对不平行就可以了， 而且啊，这边是对边，比如说我随便我再画一个，那有同学说 平行四边形，它也是梯形，为什么呢？有一对平行，还有这样一对不平行呢，就是相交不行的啊，我们指的是对边，就是这一对边和这一对边的关系啊，一定要抓住，是对边，你看对边，你看对边啊。好了， 等腰梯形，等腰梯形指的就是两个腰相等的梯形，就等腰梯形，就 ad 等于 bc， 就 在下面这里 ad 等于 bc， 这就是等腰梯形。等腰梯形能够推出这两个底角是相等的，这两个顶角也是相等的，以及呢，对角线也是相等的，我在第二节去证明。接着来看直角梯形， 直角梯形指的是腰和底有一个垂直关系就可以了，你看这是 c， b 是 腰， a、 b 是 底啊，一个腰和 底有垂直关系，因为这个腰和下底垂直，他就一定会和上底垂直吗？因为上下底是平行的吗？也只可能有一个，因为梯形中 另外的腰和上下底就不可能垂直，如果垂直的话，这就是一个矩形了。所以呢，有且只能有一个腰和上下底垂直，那就是直角梯形。 你也可以认为包含九十度，也就是有直角的梯形，就是直角梯形。你不管它有几个角，首先它要是梯形，然后你再找到了直角，那它一定就是直角梯形。 接着我们来看梯形的中位线，如果不是初三的同学，你上新课可能没有见过中位线这个概念。中位线用的最多的是在三角形，那任意取两条边的中点所连的这个线段，它是平行于第三条线段， 而且这个红色的线段，中位线它等于第三条线段的一半，这就是三角形的中位线啊。三角形的中位线指的是两条边中点所连接的线段，叫做中位线，这个红色的叫做中位线。中位线平行且等于对边的一半。 那梯形的中位线呢？它指的是两个腰上的中点所连的线段，它平行且等于上下底之和的一半。你看， m n 是 中位线，它平行于上下底， 而且 m n 等于上下底的和的一半。我们该怎么证明呢？我们要用三角形中位线的方法去证明了，这里需要画辅助线。关于梯形辅助线呢，我们后面会给出一个介绍，这里呢，我们把 d n 给连起来，然后延长，把 ab 也给延长。这里有个焦点，这个焦点我们记住， o 点 很容易得到。这个三角形和这个三角形是全等的，我就不再解释了啊， 全等之后，对应边 d n 是 等于 o n 的， 那于是这个 n 点就是 d o 的 中点，再根据 m 点是 d a 的 中点，所以 m n 是 这个大的红色三角形的中位线，所以 m n 就 等于这个大的红色三角形 对边的一半，而且还平行于对边，那平行的关系就挣完了。那如何得到这样的一个关系呢？因为 m n 它是等，等于 ab 加上 b o 的 一半吧，而这个 b o 它是等于 dc 的， 根据三角形全等，所以 m n 就 等于 dc 加 ab 的 一半，也就挣完了。 好，这里呢，利用的是一个辅助线，这个梯形的辅助线，常见的办法，大家不要害怕啊，你感觉你想不出来，这个辅助线，梯形的辅助线只有那么几种，在下一个专题我会简单的列举 等腰梯形的性质，也就说如果你知道这两个腰相等的话，就可以得到这两个角也相等，我们一个个来证啊，如何根据梯形以及这两个腰相等得到这两个角相等呢？ 我们可以做垂线下来，做垂线下来，根据平行可以知道两个垂线段的长相等，平行线的距离相等吧。然后根据 h l 左右这两个直角三角形全等，因为你看腰相等了， 这是斜边，再加上一个直角边相等。好，全等之后，那么对应角就相等了吧，对吧，我就不再写了。好，这两个角相等， 那么对角线相等该怎么得到呢？梯形还是知道这两个腰相等啊，刚才也正出这两个角相等了。那这个左边红色大三角形和右边这个红色大三角形是不是就全等啊？因为首先有一对角，还有一对边以及公共边 s 呢？ 好等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，这个对称轴就是底边的中垂线啊， 也很容易得到这个焦点啊，就在这里啊，这里有一个等腰三角形，两个等腰三角形。再来看等腰梯形的判定，两个内角相等的梯形是等腰梯形，也就是说这两个角相等，就能够得到这两条边相等。 而且啊，首先前提条件是，梯形也要说有一对对边平行，同样的平行线间的距离相等，这两条红色的垂线段是相等的，然后根据直角和直角你看啊，角角，你看，有一对角底角相等，还有一对直角相等，然后再根据 一个直角边也相等，那么角角边嘛， a a s 就 可以得到 a d 等于 bc 了，两个三角形左右全等的好。再来看对角线相等，如果我们知道的是对角线相等，该怎么办呢？ 如何得到？是等腰梯形还是同样的办法，对角线相等，做垂线下来，做垂线下来， 左边这个蓝色和右边这个蓝色直角三角形是不是全等的？根据 h l 吧。哎，因为你看一个直角边和对应的对角线都分别相等嘛，然后就能得到这个角一等于这个角一， 根据这个蓝色的和这个蓝色三角形全等，于是就得到这个角一等于这个角一对。不对啊，对应角相等，那么 这一个大的蓝色和这个大的蓝色是不也就全等了？对应的是公共边和对角线啊，边角边的关系吗？ 那么这两个蓝色三角形全等，那么他们的另外一个另外一对对应边是不是也就相等了啊？我讲的快一点，因为这里 不难。好，那关于所有的和梯形有关的定力性质和判定呢啊，我们都讲了，也同样的证明了一遍，那关于梯形就讲到这里，在中考的时候啊，梯形考察的并不是特别多，但有一个地区，上海是非常喜欢在中考出关于梯形作为背景的压轴题的，大家可以关注一下。 在实际的问题中，梯形是需要做辅助线的，那么这里呢，有六张图，说明的是五种常见的梯形辅助线，我会给出一些简单的解释，仅做猎取。首先，辅助线的目的是构造新的图形，然后利用新图形的性质。 而梯形，首先呢，这个梯形它不是我们非常熟悉的图形，我们熟悉的是三角形，还有平行四边形，也比梯形要特殊一点，性质要多一点。所以呢，我们的思路就是把梯形转化成三角形和平行四边形，让 可用的条件变多，让图形为我们更熟悉，这就是最常见的转化思路啊。那么有五种转化的方法。第一种是做梯形的高， 你做了梯形的高，假如只做一个高，你就把梯形变成一个直角梯形和直角三角形， 这两个图形是不是更加特殊，那就更加多的条件让我们去解决了。如果你做了两条高，同时做了两条高，那你就得到一个矩形和两个直角三角形， 这两个直角三角形不一定是全等的啊，因为这两条腰不一定相等这个图形，我把这个梯形画成了一个相等腰梯形的一个梯形啊，但其实它并不是等腰梯形，是一个一般的梯形。好，这第一种方法做梯形的高，第二种方法 叫平移对角线，或者是平移腰。什么意思呢？把这条腰 平移到左边来，和这个顶点重合，于是就变成了一个平行四边形，加上一个三角形。平行四边形我们就更熟悉，三角形我们也更熟悉，这是第一种方法，平移的是腰， 也可以平移对角线，你看，把这个对角线平移到这里来，于是就构成了一个平行四边形和一个三角形。这样平移的目的是什么呢？无论是平移腰还是平移对角线，我们的目的是把两个腰 放到同一个三角形中，把两条对角线放到同一个三角形中，就是让条件更加的聚拢， 这是目的一，目的二就是我们平移了之后，得到了这个新的三角形，他的这条底边是等于上底和下底之差， 而且平移对角线之后，我们得到这个三角形，他的这个底边是上底和下底之合，这些都是特殊的关系啊，这就是平移。 第三种方法，延长，延长，两个腰交于一点，就构成了一个 a 字形的三角形。相似，这个 a 字形的三角形相似啊， a 字模型是在中考中最多的几何模型 啊，有很多几何模型，那么在中考用的最多的是 a 字，排在第一，遥遥领先。因为这种统计呢，我在三部曲中，每年的中考专题啊，都是有做统计的。在网课中再来看第四个， 第四个同样是平移腰，但是呢，他把这个腰啊，没有平移到这里，而是继续平移到过终点的位置。 过终点以后，大家看看过终点以后的这条腰，可以得到一对八字形的三角形，全等，因为根据被长中线就可以了，这个三角形和这个三角形全等。于是我们得到了一个新的平行四边形，和原来的这个梯形实际上是等面积的，这也是一种方法。 还有最后一种方法，一个顶点和腰上的中点延长啊，其实呢也是背长中线， 因为很容易得到这两个三角形，全等。好，那于是呢，得到了这个新的三角形，和原来这个梯形也是等面积，而且大家看最后这种方法，第五种方法是不是就是梯形中位线的证明方法， 所以在梯形中呢，他通常是要做辅助线的，做辅助线的目的是把一个我们不熟悉的梯形转化成熟悉的三角形，或者是平行式变形，而且这个三角形有可能是直角三角形，那图形转化以后的图形啊， 越特殊，那他可以用的性质就越多，就更容易为我们解析服务，所以本质是转化。那么有五种类型啊，有做高，有平移，而且呢 还有延长等等等诸如此类，大家多练习熟悉一下就可以了。基本上啊，梯形所有的辅助线都在这里了，那我们这个课程呢，是基础课程，所以对辅助线做一个列举。好，关于这辅助线呢，就讲到这里， 平行四边形啊，这是一个在中考非常重要的内容，而且四边形中呢，就是以考察平行四边形为主，之前所讲的梯形呢为辅。好，我们从字面意义上来看这五个字啊，平行四边 形，其实这五个字就包含了平行四边形的定义，你看看有四条边，他们是平行的关系如何？平行呢？是两两对应平行，也就是对边平行的四边形叫平行四边形。 哎，平行四边形最重要的就是性质和判定，而且在解析的时候，我可以先给大家讲一下啊，既然告诉了我们某一个图形是平行四边形的话，那我们一定要用到其中的很多性质， 而判定的作用是什么呢？就当我们不知道这是一个平行四边形的时候，那我们就无法用其中的性质，所以通常是先把它判定为平行四边形之后，那就有很多性质去求解了。 而且在大家记住啊，平行四边形因其天然的两对边平行，于是就会出现和很多平行线相关的性质和模型，比如说八字形的相似，再比如说背长中线 等等一系列关于平行四边形中的模型呢，有将近二十多个左右。在我的网课玩转四边形会有详细的介绍，那是进阶的课程。好，我们这是基础的课程。那平行四边形我们还会涉及到中位线， 这个中位线呢，指的是三角形的中位线，它也是一个在中考经常出现的内容，单独把它给拎出来讲。 而梯形的中位线呢，可以参考三角形的中位线去求解，其实这两者的证明方式是一模一样的。关于在平行四边形问题，实际问题求解的时候，他的思想还是和四边形、梯形统一的，要把四边形转化成三角形，这是我们不变的原则。 好，接着我们正式看第一小节性质，所谓的性质指的是如果知道了它是平行四边形，能够推出哪些条件？这就叫它的性质。给出一个问题，已知平行四边形的一个内角能求出其他内角的度数吗？ 当然是可以求出来的，比如说这个角是三十度的话，根据平行的关系，那这就是一百五， 再根据平行的关系，这也是一百五，再根据平行的关系，同旁内角互补，我们多次用到三十，而且我还发现这对角是不是相等的一百五和一百五，三十和三十好，这些呢都是我们很直观的能看出来了。那平行四边形的定义是什么意思呢？就是我在课程最开始讲的 平行的四条边，两两平行，这样的四边形叫平行四边形，所以呢有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，大家一定要注意啊，是有两组对边分别平行，那和梯形的区别在于什么？梯形它是一组对边 平行，另外一组对边不平行叫梯形，大家一定要有势区别啊，平行四边形和梯形好，接着呢，我们来看平行四边形的性质， 这个性质我们一个一个来看，并且呢给出证明和推导性质的前提是定义， 也就是说我们已知了它是平行四边形，那也就是说从定义上来讲，我们就已知了两组对边分别平行，这样的一个已知条件，由两组对边分别平行啊来推出这些性质。关于边和角还有对角线的性质，我们来看，首先来看边， 两组对边都分别平行了，如何能够得到对边也相等呢？也就是 dc 等于 ab， 这该怎么办呢？用三角形全等就可以了，连接对角线，根据平行的关系，这个角一是不是等于这个角一， 再根据 a、 d 和 bc 平行内错角相等，这个角二是不等于这个角二，再结合这个 d、 b 的 公共边，两个三角形全等，那么 a、 d 是 不是就等于 bc， 同时 d、 c 也等于 ab 了吧？好，我们第一个就证完了， 所以呢，我们可以得到平行四边形的对边啊，对边不但是平行且相等啊，这两组对边都是如此，平行且相等。关于角 对角相等，菱角互补，哎，这两个蓝色的相等，两个红色的也相等，蓝色和红色是互补的，这该怎么证明呢？还是根据我们的性质， 对边平行，根据同旁内角互补，这可以得到吧，再对边平行，同旁内角互补，哎，我们 第一个问题，在求解的时候，是不是就已经证明了这样的一个关于角的性质啊？对角相等，菱角互补啊？再来看对角线，对角线非常的重要，这个性质，对角线的性质在解析的时候非常的重要，因为它含有中点， a、 c 平行于 d， b 相交于 o 点，那么这个 o 点呢？是两个对角线的终点，也就是 d o 等于 b o， 同时 a o 等于 c o 这个 o 点它是终点，而且还是两条线段的终点好，那如何证明呢？其实也很好证明， 根据对边平行这个角一等于这个角一，这个角二等于这个角二，平行四边形的性质，还有对边相等吧。哎， d、 c 等于 ab， 那 也就是说上下两个三角形是全等的，于是 d、 o 线段就等于 b o 线段，于是 o 点就是 d、 b 这一条 对角线的中点，那同理可证，这个左边的三角形和右边三角形全等，这个 o 点呢？还是 a c 这条对角线的中点，这是一个非常重要的性质啊，有中点往往就可以和被长中线相关。那么在三角形全等中有一个模型叫被长中线， 背长中线的目的就是构造平行四边形。我举个例子，比如说给出一个三角形有一个中点好，那么背长中线指的是把这个中线做一个延长，延长到和原来的中线相等的长度。那相等的，大家想想啊，这是 两条相等的线段，同时左右又有两条相等的线段，那中间这个点呢，实际上就是平行四边形对角线的交点。 好，这个呢，我们在后面平行四边形的判定，再回过头来看这个图形，你就能判定出他就是一个平行四边形了。好，我这里只是简单的提一下关于这些几何模型和基础知识的关系，要进阶的话，一定要看我的 进阶课程啊，咱们这个呢，是基础课程，我会把每条定律和性质都给推导好，那这里呢，我们就性质就推导完了。这个性质是从定义出发的，也就是说在定义中两组对边都平行了。 已知这样有一个平行的条件，能够推出平行四边形的边是对边相等，平行四边形的角是对角相等，菱角互补，能够推出平行四边形的对角线是互相平分。再来看平行四边形的对称性是中心对称图形。 这个呢，其实也很容易得到啊，它的对称中心就是对角线的交点 周长，我们根据对边相等的话，这个 a、 d 是 等于 bc 的， 同时 dc 是 等于 ab 的， 那周长不就是蓝色加红色乘以二啊，就是一组邻边和的两倍 面积，是底乘以高。平行四边形的高是什么呢？就是你过一个边向另外一个边做垂线，垂线段的长，也就是两条平行线之间的距离啊。那么 底乘以高就是平行四面形的面积，为什么呢？有很多办法，我们可以把左边这个三角形拼到右边来，变成一个矩形，矩形的面积就是长乘以宽，我们还可以把左边这个直角三角形加上右边这个梯形做一个和，也是它的面积， 你可以去证明。总之呢，就是底乘以高就可以了，我们也可以做 b、 c 和 a、 d 这两条边的高，那么大概就在 我们延长做一个垂线啊， bc 是 底，这段红色的垂线段是高也是一样的啊，大家可以自己去尝试，你看是不是 这个直角三角形和这个直角三角形是全等的？最后得到了这样一个图形，是一个矩形。平行四边形的判定。判定指的是给出某些条件如何证明他是平行四边形， 那最简单的判定就是从定义的角度去判定对不对啊，也就说如果给出了两对边都互相平行的话，那不就是平行四边形啊，这就是他的定义啊。 所以这第二条判定的方法就是从定义的角度去判定，是最直接的，但题目条件往往肯定不会这么直接的给出，他说这两条边都平行，那还不如直接告诉我们他是一个平行四边形。判定的方法有五种，我们一个个来看。 首先回到这个问题，平行线的三大性质都关于角的性质，关于对角线的性质，关于边的性质，那么它们的逆命题是否成立？ 也就是说我举个例子，比如说关于对角线的性质，我们知道假如它是一个平行四边形的对角线是互相平分的， 逆命题指的是如果对角线互相平分，就是这个第三个对角线互相平分，如何证明？或者是能否证明它是平行四边形呢？其实我先把答案告诉大家，逆命题也是成立的， 密命题也成立，我们一个一个来看。补充一下啊，这个关于定义是第一个判据啊，第一个判据是定义两组对边分别平行，我们从第二个开始看起啊，这第二个他不是定义啊，两组对边分别相等，对吧？哎，刚才我把这个定义的这个判定放在了第二条上，这是不对的啊， 第一条才是平行线的定义的判定，也是最简单最直接，通常题目不会告诉我们的啊，我这里做了一个补充，从第二条开始，对边分别相等的四边形，它是不是平行四边形呢？啊？我们可以很简单的证明一下，作出对角线，因为 两条蓝色的线段相等，两条绿色的线段也相等，再加上中间这个公共的红色线段，这两个三角形是不是满足 s s s 全等啊？你有了全等之后，是不是就得到这个角一等于这个角一，内错角相等，两条绿色平行，同理，这个角二等于这个角二， 那也是内错角相等，两条蓝色也平行，两组对边分别平行的四边形就是平行四边形，我们整完了，所以可以根据两组对边分别相等的条件来判定平行四边形成立。 接着我们来看对角线互相平分，对角线外之意就是这段红色等于这一段红色， 这一段绿色等于这一段绿色。好，大家看啊，有两对对顶角，这是角一和角一对顶角相等， 这是角二和角二对顶角相等。那我们很容易根据 s a s 证明，左右两个三角形全等，上下两个三角形也全等，那一切就迎刃而解了啦。三角形全等，这个角一的对应角是这个角一，同样的得到这两条线平行，同理，上下两主线也平行。正。完了， 讲到这里了，我让大家再体验一下啊。我们讲了这么多关于平行四边形的性质和判定，大家想一想，所有的平行四边形的问题，最后是不是都转化成了三角形的全等去证明了，或者是用全等去进行解决啊？ 所以啊，四边形的问题，它本质上就是在解三角形。好，再来看两组对角分别相等的四边形，如何能够证明它是平行四边形呢？也有这个角一等于这个角一。好，同理，同样的，这个角二等于这个角二。我们想一想啊， 要证明是平行四边形，无非就是上下两条边平行，左右两条边平行吧，那也就是角一和角二互补就可以了吧。因为角一角二一旦互补，这样的角一角二也互补，那不就是有两对平行线吗？ 那角一角二能不能互补呢？就是证明角一加角二是否等于一百八十度。根据四边形的内角和两个角一加两个角二等于三百六，那一个角一加一个角二呢？就是一百八，好，整完了，最后看第五个判据， 一组对边平行且相等。好，现在呢，一组对边不但是平行，而且是相等，另外一组对边呢？我们不知道，那该怎么办呢？ 还是连接对角线，既然平行，那这个角一就等于这个角一，再加上中间的公共边和一对相等的已知边，那左边这个大三角形和右边这个大三角形是不是全等啊？啊？全等之后，一切就迎刃而解了，我就不再赘述了。 所以关于平行四边形的判定呢，有五种判定的方法。第一种是最简单的根据定义去判断，而第二和第五是根据边去判断的。一个是两组对边相等，一个是一组对边平行且相等，所以是两组还是一组，大家要搞清楚， 如果是两组对变的条件，那就是分别相等。如果是一组对变呢，不但要相等，而且还要满足平行。第三个判据是从对角线去进行判定，那互相平分。第四个呢，是从对角啊，两组对角啊，两组对角分别都相等。 好了好了，关于平行四边形的判定我就讲完了。在平行四边形中啊，通常来讲是要我们先去判定，也就是说，用这五个里面的某些条件组合，先判定了平行四边形，然后再利用平行四边形的性质，然后根据平行四边形的性质去解决我们的问题。本身， 这是通常的解析思路。在三角形中非常重要的一个特殊的线段叫中位线， 其实呢，这个中位线和平形四边形没有太多的关联，但很多教材呢，把中位线放在平行四边形这个专题中去讲，当然我们这个基础课在我之前认识三角形和三角形有关的线段中已经讲过中位线了，现在我们再来讲一遍中位线 线，它指的是线段，不是直线，是一个什么样的线段呢？在一个三角形中，任取两个边的中点 m、 n， 中点所连的这个线段就叫中位线。中位线有一个非常重要的性质，三角形的中位线平行 且等于第三边的一半。也就是说，你任取两个中点所连的这个红色线段，首先是平行于对边的，而且其长度等于对边的一半。这个性质的证明呢，要用三角形相似会比较方便，我们根据这两个中点， 再加上这个公共角，很容易得到。这个红色三角形和这个大的红色三角形是相似的，相似比是一比二，根据 s、 a、 s， 这两个三角形是相似的，既然相似，就有对应角角一等于对应角角二，那同位角相等， 两个直线就平行，同时根据相似比是一比二，所以这条 m、 n 是 等于它对应边 bc 的 一半啊。这个你学了相似就很容易证明了。如果你没有学相似没有关系，你先记住这个结论，三角形中位线 是两条边中点所连的线段，它的性质是中位线平行于对边且等于对边的一半。 好，中卫线还有一个非常重要的推论，在考试的时候也是经常出现的，经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。好。这个呢，是有点绕，我给大家一个结论，叫之二 推一，记住这种结论就行了。这个时候呢，要区别于中卫线的有一个关键地方，就是现在我们描述的是直线，中卫线是线段，对不对啊？ 那这个直线他不是中位线，为什么要放到这里来讲呢？我们把这个直线其实就是中位线，线段左右延伸，也就是说中位线的这个线段要在这个直线上。好，那么 这是我们的前提条件，我们现在不是线段，是直线，那之二退一是哪三个条件？之二退一呢？第一个条件，过一边终点，第二个条件，过另一边终点，第三个条件，平行 对边。好，这三个条件你只要知道其中两个条件，剩下的那一个条件就一定成立。 大家想想，如果是一二过两个边的终点，那当然这条直线啊，现在就不线段了，就平行于对边，那如果只过一个边的终点，同时平行于对边的这条直线，必然就经过另一条边的终点。 所以你就记住这个之二推二就搞定了。中位线非常重要的推论，但前提条件是直线，为什么我们要强调是直线而不是线段了呢？我可以举个反例，我画一个三角形 过一边的中点，同时又平行于对边，那我这样画呢？我现在画一个线段，这个蓝色的线段是这个三角形的中位线吗？ 不是他经过另外一个边的终点吗？这个线段没有经过另外一个边的终点吧？虽然这个线段平行了对边，所以我们要把这个前提条件由线段扩大到直线上去。如果这是一条直线， 他经过了一边的终点，那么既然是直线的话，那他必然就经过另一边的终点了，如果这条直线是平行于对边的话。好， 最后，三角形中位线的隐含性质。什么叫隐含性质呢？其实就是假如已知了三角形的中位线，或者你已经判断出有中位线了，那还能推出以下两个重要的结论。第一个 三条中位线，将三角形分成四个全等的三角形，我们看右下角这个图案，如果 e、 g、 e、 f、 g、 f 都是中位线，那为什么呢？因为根据平行的关系，这两个同位角相等， 再根据 e 点是中点，这个红色等于这条红色，再根据 e、 g 是 中位线，所以中位线绿色等于 b、 f， 所以 这两个三角形全等。那剩下的三角形全等呢？也可以用这些方法，我们很容易得到。四个三角形都是全等的。 第二个重要的隐藏条件，三条中位线组成的一个三角形，就这个三角形是由三条中位线组成的，其周长等于圆三角形周长的一半，面积等于四分之一，这也很容易得到吧。这一个三条中位线组成的这个绿色的三角形，它的每一条边都是这个大三角形 这条边的一半，对不对啊？所以总的这个小三角形的周长就是这个大三角形周长的一半，面积为四分之一，就更容易得到了。因为这四个三角形是全等的，所以 中间的这一个只是这个大的由四个三角形组成的四分之一嘛，那面积当然就是四分之一了，直接根据全等就可以得到了。好，那么关于中位线，我们就讲到这里了，中位线是一个非常非常重要的性质，在中考的时候 经常会出现，几乎是逢考必有，那最重要的就是抓住中点以及平行以及线段长度的二分之一。如果要去判定中卫线的话，可以通过这个之二推一来判定过两个中点，那必然就是中卫线过一个中点， 同时平行于对边，同时呢又和另外一边相交，那必然就交于另外一边的中点，那就得到了两个中点了吧，这两个中点也就是中位线，所以你可以用这个之二推一，只需要在概念上面区分一下线段和直线。 好，关于中位线，就讲到这里。特殊的平行四边形有举、零和正，一共有三种。 这三种呢，初学者会非常容易搞混淆，因为他们的性质和判定很类似，有共同点，也有不同点。因此我给大家一个诀窍，如果你能掌握这个大逻辑，很容易就能把这三种特殊的平行四边形给区分开。我们得从分类开始。接下来进入分类， 左边这张图就是平行四边形大家族的分内有三个成员，矩形、正方形和菱形。他们之间的关系是什么呢？ 矩形是平行四边形中的特殊情况，菱形也是平行四边形中的特殊情况。 而正方形呢，它既是矩形又是菱形，所以我们从范围的角度来讲，平行四边形的范围最大，矩形和菱形的范围要小一点，那正方形的范围呢？是最特殊最小的， 所以我们换句话来讲，是矩形，那一定就是平行四边形，反过来不成立。是菱形呢？一定也是平行四边形，反过来也不成立。那是矩形就一定是菱形吗？不一定， 因为我们看这个圈圈左边这一块，假如在这里呢，他是矩形，他也是平行四边形，但是他在菱形这个圈圈里面吗？不在，只有中间叠加的这一部分正方形。也就是说既是矩形在这个圈里面，又要是菱形在这个圈里面， 那这种特殊的图形就是正方形。那言外之意，我问大家，正方形是不是平行四边形？当然是。反过来成立吗？平行四边形就是正方形吗？不成立。那我再问大家，正方形是不是菱形？是的，正方形是不是矩形？是的。那菱形是不是正方形呢？ 不一定。矩形是不是正方形呢？不一定。我们就从这个图可以看出来啊。那矩形是不是菱形呢？ 也不一定吧，菱形是不是矩形呢？也不一定。假如同时有矩形和菱形的性质，他是谁就是正方形。好，这是分类啊。那有了这种分类之后呢，我们就很好去区别这三种特殊图形的关系了。为什么呢？ 我来讲讲逻辑啊。如果你要判定是矩形的话，是在平行四边形的基础上加一些条件就能成为矩形。比如说有一个角是直角的平行四边形，它就是矩形。但前提条件是什么？它是平行四边形。 如果说有一个角是直角的四边形的，那可不一定啊，不一定是矩形。好，所以我们要判断矩形是建立在平行四边形的基础上。同理，要判断菱形，也是在平行四边形的基础上加一些条件就可以了。 比如说菱边相等的平行四边形，他就是菱形。如果说菱边相等的四边形呢？他可不一定是菱形。所以要判断矩形。要判断菱形，前提条件是你得先判断或者先说明这个图形是平行四边形。 好，那同样的道理再来看正方形。你要判断正方形的话，你在矩形的基础上加一些条件，就是正方形，比如说 菱边相等的矩形，它就是正方形。那你说菱边相等的平行四边形呢？ 那可不一定是正方形的，对不对？所以你要判断正方形，一定是在矩形的基础上去判断。同理，判断正方形也可以从菱形的基础上去判断。比如说有一个角是直角的菱形， 他就是正方形，所以我们要搞清楚这个大小关系啊。平行四边形是基础特殊一点的就是矩形和菱形，矩形和菱形两者之间没有互相的关联，但是矩形和菱形同时成立的时候，他就是正方形。 所以按照我刚才的那个逻辑判断某一个特殊图形，比如说正方形要建立在他的上一级特殊图形，矩形或者是菱形成立的情况下，再增加一些条件就可以啊。这三种特殊图形无论是性质还是判定啊的基础，也就是大逻辑， 这是第一个大逻辑啊分类。第二个大逻辑是什么呢？就是特殊的图形，它一定也是平行四边形。所以平行四边形的那些基本的性质和判定呢？是解决特殊图形的平行四边形的判定的 基础啊。你的平行四边形要学好了，那么举正零也就能学好平行四边形，你没学好，那这一张你肯定很难学好。 好，这是第二个大逻辑，就是特殊的图形也是平行四边形。第三个大逻辑是什么呢？就是无论是举零还是正方形，我们都会学他的判定，也会学他的性质。那么我告诉大家一个性质的密命题也能够作为判定， 也就是说逆命题是成立的。比如说啊，矩形，它的性质四个角都是直角，也就是说如果给出一个矩形，就能得到四个角都是直角，那它的逆命题呢？有一个四边形，它四个角都是直角， 它就是矩形，反过来也成立。但是反过来成立的时候，你一定要牢记啊，它是不是判定到位了， 也就是说有可能反过来的条件，他只是判定到平行四边形，并没有到举行这个层面。所以你一定要注意，虽然逆命题是成立的，但是有些逆命题他没有判定到位， 那么你就要再补充一些条件。好，我把这三个大逻辑再梳理一遍。第一个大逻辑是要注意好分类，也就是继承关系， 矩形继承了平行四边形的性质，菱形也继承了平行四边形的性质，而正方形呢，它继承了矩形和菱形的共同的性质，那同样也继承了平行四边形的性质， 这是第一个大逻辑。第二个大逻辑就是无论是什么图形，它都是平行四边形这三个里面啊。第 三个大逻辑就是要注意某些逆命题啊，他虽然可以判定特殊图形，但一定要判定到位，有可能判定的是上一级的。比如你判定的是正方形，你用他性质中的逆命题去判定的话，可能只判定到了矩形，你要加一些条件。 好了，接着我们就从这三个图形啊，一个一个来看矩形，矩形，首先他要是一个平行四边形，对不对啊？ 你看有一个角是直角的平行四边形叫矩形，而不是四边形。同样的，我们来看下菱形吧，大家看，有一组菱边相等的平行四边形叫菱形吧，所以平行四边形是前提。再来看正方形， 有一组菱边相等，有一个角是直角的平行四边形叫正方形。所以无论是谁啊，他们的前提条件都是平行四边形，而这个正方形呢，稍微特殊一点，你可以基于菱形和矩形的角度去判定啊。我们到了正方形的时候就讲了这一节，再来讲啊，我们继续看矩形， 先看矩形的性质，刚才我说了，这个性质的逆用也可以成为判定，但是一定要注意是否判定到位。 那我们先来看性质啊，所谓的性质就是如果知道了它是矩形，也就是说如果知道它在平行四边形的基础上有一个角也是直角了，那就意味着有四个角都是直角，对不对啊？那能推出下面这一些相应的性质吗？ 在讲性质之前，我再统一的把这三种特殊的平行四边形再捋一遍啊，我们每一种特殊的平行四边形中，都会分别讲到它的性质和判定， 而性质和判定呢，我们都会涉及到边的性质，角的性质以及对角线的性质，也就是边 角和对角线，都是从这三个方面去对性质进行描述的。我们做了这样的统一以后呢，就方便大家理解和记忆，当然数学是不需要记忆的，就方便你归类。 我再讲一遍啊，这三种特殊的平行四边形都是从性质和判定这两个方面去学习的，而性质中的逆命题是可以作为判定的，通常是这样， 同时性质，无论是哪一个平行四边形的性质啊，都是从边角和对角线这三个方面去进行描述的，这样我们就统一了，不然的话，大家容易混淆啊。先看矩形边的性质， 对边平行且相等好，这个时候大家发现了没？对边平行且相等，是不是就是平行式变形的性质啊？他并不是矩形所独有的，也就是说，矩形他从边这个方面来描述的话，是没有自己特殊的性质的，他就是一个普通的平行式变形。 于是这条性质的逆用就不能成为矩形的判定，还得加条件。我讲清楚了没？ 矩形它有自己独特的性质，所以它会比平行四边形更加特殊，它的独特性质在于角和对角线，我们后面会讲，而对于它的四条边呢，矩形并没有特殊之处， 所以矩形边的性质的逆命题啊，是不能用来判定的，所以大家就要注意啊，有时候就没有判定到位吧。你看对边平行且相等，这样的四边形是矩形吗？不是，它是平行四边形，所以还得再加条件，加直角的条件，或者加对角线相等好， 这是矩形边的性质，毫无特殊之处。再看角，矩形的角是不是就有独特的性质啊？四个角都是直角，这个很容易得到啊，我就不再说了。 那么四个角都是直角，他是不是有区别于普通的平行四边形呢？这就是矩形所独有的性质。那换句话来讲啊，如果题目的条件告诉你的一个矩形的话，你不但要知道它是平行四边形有些性质以外，这个直角可不是白给你的了吧，因为给住你，因为给了你矩形， 那你肯定要用到矩形特殊的性质呢，不然还不如给你一个平行四边形吧。所以给你矩形，而不给你平行四边形，一定有出题人的用意，也有可能要用到对角线相等这样特殊的性质。好，马上第三条就是对角线 互相平分且相等。你看啊，这句话意义就很深刻了啊，有两个条件，对角线互相平分而且相等。这是什么意思？平分表示它是平行四边形，对角线相等就是在平行四边形的基础上，还有对角线相等，它就是矩形。我们来证明一下。 如何证明对角线相等啊，我们很容易就证出来了。首先已知它是矩形，所以就有直角，直角四个都是直角，左边这个直角三角形和右边这个直角三角形，是不是满足 s， 直角是 a， 公共边是 s， 全等吧，所以对应边就是两个斜边，也就相等。好，这就是矩形对角线的性质，它不光互相平分，而且还相等。 关于对称性啊，这个就很好理解了，它是中心对称图形，也是轴对称图形，它的对称中心呢，就和平行四边形一样，是 对角线的焦点。换句话来讲，后面的菱形和正方形啊，包括矩形，因为它是平行四边形，而平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的焦点，所以这三个特殊的平行四边形都是中心对称图形。 轴对称，这是显而易见的常见的推论，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，大家看，给出一个直角三角形斜边的中线，其实这个 o 点， 它既是斜边的中点，也是另外一个对角线的中点。那大家想一想啊，这两条对角线是相等长度的，所以这一半是不就等于斜边的一半啊？这个很好理解， 三十度角所对的边等于斜边的一半，指的是什么呢？一个直角三角形，这个角如果是三十度的话，那很容易得到，这个是六十度，这是一个等腰三角形，也就是一个等边三角形三十度角所对的边，大家看这三条蓝色的边是不是等于斜边红色的一半啊？ 这没有问题了吧，因为这条蓝色的等于这段红色的呀，再加上这是一个等边三角形，所以关键就在于这是一个等边三角形。 矩形的判定，有一个角是直角的，平行四边形是矩形，大家看 这里说的是有一个角是直角的，什么平行四边形吧。哎，那么其实这个判定呢，就是用定义去判定， 我们说了，只要是判定都可以用定义去判定，然后呢，判定是可以用性质这几条性质的利用。那么第一条性质边的性质呢？因为 矩形的边是普通的平行式边形的性质，它并没有特殊的性质，所以第一条是不能作为利用的。你看，对边平行且相等，它就是矩形吗？可不是啊，哎，对边平行且相等可不是，所以呢，我们不能用 不是他特殊性质的这一条性质来作为逆定律。那下面这一个呢？四个角都是直角，能不能得到矩形啊？当然是可以的。首先四个角都是直角，就能得到，它是平行四边形吗？因为对边都平行，且加上有一个角是直角的平行四边形，它就是矩形，所以四个角是直角。哎，它就是矩形。 这个逆定力是成立的。对角线，矩形的对角线是不是有特殊性啊？对角线是相等的吧，他可不不光是平行四边形中的平分吧，而且还相等，所以这个逆定力也是可以的。 对角线互相平分且相等，那就一定是矩形，因为互相平分代表平行四边形相等了。再加一个特殊条件，就是在平行四边形的基础上，对角线再相等，它就是矩形了。好， 所以第三个也是可以的。再来看第二个，有三个角是直角的四边形，这是什么意思？大家看看。有三个角是直角的四边形，有三个角都是直角，首先它就是平行四边形的吧，就意味着四个角都是直角，所以 这也是可以的。只是说这第二个和第只是说一二两个判据呢？一个是基于平行四边形，其本质呢，是相同的，因为一个角是直角， 他不一定是平行四边形，而三个角是直角呢，他肯定就是平行四边形了。好，接着我们来看菱形。菱形的定义，他也是基于平行四边形的基础上，有一组菱边相等的平行四边形，叫菱形啊。呃，关于菱形的性质和判定呢，我们也会一个一个来证明， 但是刚才我们学过的矩形啊，其实这个思路是一样的，其性质也是从边角、对角线这三个方面来描述的。而如果有独立的特性，比如说对角线， 他有垂直，比如说边有菱边相等，也就是四边相等，那么就可以作为逆定律。而菱形的角呢，却没有什么特殊的性质，它就是普通的平行四边形，所以菱形角的性质逆定律就不能作为菱形的判定。 好了，我们一个个来证明一下，边四条边都相等，因为菱边相等，再加上平行四边形对边相等的性质，所以四边都相等。 角没有什么特殊性，他就是普通的平行四边形。哎，邻角互补，对角相等，所以他的逆境你就不能用来判定对角线的性质，除了互相平分，还互相垂直， 而且是角平分线。所以菱形的对角线，他比平行四边形多了两个特殊的性质，一个是垂直，一个是平分。对角也是角平分线，我们可以证明一下，首先这是一个菱形，所以四条边都相等，而且还是平行四边形， 那么如何正垂直呢？很容易，因为这四个三角形都全等，为什么全等呢？满足 s s s， 这个大家自己去看了啊。四个三角形都全等，那也就意味着中间这四个相等的角都是直角了，因为它是三百六十度的总角， 好，垂直就证出来了。那平分怎么证明呢？也就是如何证明这个角一等于角一呢？三角形全等，所以角一等于角一，三角形全等，所以这两个角也相等。好，那这两个角，这两个角，这两个角都相等啊。好，这就是对角线的性质，它还是角平分线。 对称性已经讲了，它是中心对称的，也是轴对称，这个就没有什么好讲的了。菱形的面积等于底乘以高，这就是平行四边形的面积表示吧。因为菱形是平行四边形，所以它是底乘以高，对角线乘积的一半。大家看啊，对角线， 我们把对角线分成了两段相等的红色和两段相等的蓝色，而且是垂直，那也就说一个红色乘以一个蓝色，再乘以二分之一，就是一个三角形的面积。 而这四个三角形呢，都全等吧，那就是对角线乘积的一半，这个很容易算的，大家自己做个等量替换就可以了。好，菱形的判定我们讲了判定，首先是有定义的，一组菱边相等的平行四边形是菱形，可以判定出来。接着呢，再回到性质上面， 性质一和，性质三是菱形独有的性质，所以他们的逆命题也就成立。我们做一个简单的证明，四条边都相等的 是菱形，怎么去证明呢？四条边都相等，首先对边对边是不也就相等啊？所以它是平行四边形。好，四条边都相等了， 它还是平行四边形，那当然就是菱，那当然就是菱形了，对不对？菱边，只要两条相邻的边相等的平行四边形就已经是菱形了嘛。好，再来看最后一个对角线，互相垂直的平行四边形是菱形， 这里还没有说到对角线要当角平分线吧，他只要互相垂直的平行四边形是菱形，所以有个前提条件是平行四边形。那么首先给出一个平行四边形，如果对角线垂直了， 如何判断相邻的边相等呢？那就是证明左边和右边这两个三角形全等吧，垂直了， 再加上公共的边，再加上这条红色的边，等于这条红色的边是不是就是 s a s 啊？两个三角形全等吧，那么这两条边就相等了，那么就是菱形了吗？有一组菱边相等。好，接着我们来看啊，假如把这个平行四边形的性质再改一下，对角线互相垂直， 且每条对角线在看上面，每条对角线平分一组对角，它是不是菱形呢？就是说我们把第三个性质完全的利用，肯定也能判断出它是菱形。我们来看一下啊，对角线首先互相垂直， 垂直了，然后每一条对角线平分一组对角，也就是说这两个角一相等， 这两个角二也相等，这两个角三也相等，这两个角四也相等。根据四边形内角和两个角一，两个角二，两个角三，两个角四等于三百六，那就是角一加角二加角三加角四等于一百八。 然后再回到任意一个大三角形中来这个大三角形来，角一加角二，再加两倍的角三等于一百八，角一加角二加角三等于一百八，那不就是角三等于角四啊？ 好，角三等于角四呢，不就是对角相等啊？同理也能证明两个角一等于两个角二也是对角相等，那就得到了平行四边形了吧。然后再用 垂直的关系对角线，垂直的平行四边形，那不就是菱形啊。所以啊，我再一次强调一下，关于性质这一块，如果是这个图形独有的性质，那么他的秘密题就能成为他的判据，如果非独有，那就不能成为判据，还得加条件。 最后来看正方形，在正方形这里呢，我首先要讲一点，就是大家心里有个数啊，正方形是最难的 平行四边形，因为正方形它既有菱形，又有矩形，还有平行四边形的性质，它的性质特别多，一旦性质多，就证明你要找的条件，你要从很多条件中去进行选择，然后解决问题，所以正方形的难度是最大的。 那具体这些平行四边形如何解决实际的难题？压轴题的话，在我网课玩转四边形中啊，可以有个详细的介绍。正方形的定义，一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫正方形，你看这是不是就有很多很多后面的描述啊？ 首先它的定位是从平行四边形开始，平行四边形有一个角是直角了，就表示它是矩形。然后 平行四边形还有一组菱边相等，就表示它是菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形就是正方形。我们可以这样理解它的定义。接下来我们看性质，边 对边平行四条边都相等，这不是正方形独有的性质，因为菱形它就是四边都相等，对边平行，所以这个性质的逆定力是不能用来判定的。再看角，四个角都是直角， 那矩形的四个角也都是直角，所以呢，这个性质角的性质呢，也不能成为正方形所判定的逆定力。那对角线可不可以呢？两条对角线互相平分， 而且垂直且相等，有三个条件，还每条对角线平分一组对角。那这个时候这句话是不是既描述了矩形，又描述了菱形啊？ 所以他既是矩形又是菱形，那么这是正方形独有的性质，因为矩形不会有菱形的性质，菱形也不具备矩形的性质，只有正方形同时具备矩形和菱形，那就是正方形独有的。所以对角线的性质的密命题可以作为矩形的判定。 好是中心对称，也是轴对称，这个就很简单了，我们来看判定啊，这个判定正方形的判定有两种方法，一个是从矩形的基础上，一个是从菱形的基础上。那么我们对矩形和菱形的判定就得熟悉，在矩形的基础上 加上零边相等，是不就是加上菱形的性质啊，那就是正方形。在菱形的基础上加上有一个角是直角，那不就是加上矩形的性质啊，那也是正方形，这样一讲是不是就很简单了？好，那最后呢，我们再把这个对角线的这个性质， 对角线性质的逆命题啊，去判定一下是否是矩形，也就顺便复习了菱形、矩形和正方形的所有性质了。 两条对角线互相垂直平分啊，首先互相垂直，还有互相平分，既然互相平分的话，只看平分是不是平行四边形，然后在平行四边形的基础上又互相垂直，那不就是菱形？ 对角线，那不就是即使在菱形的基础上又是矩形吧，只有矩形对角线才相等啊，所以他既是菱形又是矩形。 那有同学说，你最后一个条件没用啊，最后一个条件其实是在判定平行四边形的，而平行四边形我们直接根据对角线平分就能得到了，所以这个平分和这个对角线的这两个条件，你只要用一个就行了。好，那到此为止呢，关于特殊的平行四边形，我们就都讲完了，我们最后再来总结一下，首先， 无论是矩形、菱形还是正方形，它们都是平行四边形，那矩形、菱形和正方形我们的顺序呢？是先讲性质，再去讲判定，性质呢，都是从边角和对角线来进行描述的性质。 那么这三种特殊的图形中，矩形、菱形和正方形中，这边角对角线总有一个，他不是特殊的，那总有其他两个呢？是特殊的， 那么不是特殊的那一个性质呢？他的命令题就不能用来判定，而是特殊的两个性质，就他们的命令题就可以用来判定，而且判定还可以用定义去判定。这样的话，我们整个特殊四边形的教学逻辑啊，就完整了，而且呢，思路也就清晰了。 好，我就讲到这里，这个难题或者是压轴题呢，在平行四边形中是有很多的，中考是必考的，可以去看我的网课，玩转四边形 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

八下的数学一到月考期中考试，平行四边形的面积问题，绝对是孩子们丢分的重灾区，很多孩子要不算不明白，要不直接空着丢分，非常可惜。那今天林老师呢，就带着你盘点一下 四边形里面四个常用的结论，帮助你又快又准的秒掉题目。学完之后呢，再把林老师给你整理的平行四边形的张末八大题型拿去巩固练习一下，期中考多拿二十分。好，我们来看第一个模型， 第一个模型是最经典的四边形 a、 b、 c、 d， 然后两条对角线，那它有什么结论呢？它会得到这四个三角形面积完全相等， 为什么呢？因为我们这里可以做一个高下来啊，你会发现这个 s 一 和 s 四呢，它们是等底，然后同高，所以这两个相等，同样道理，这里也可以做个高下来， 然后呢，也可以发现 s 一 s 二呢，也是底相等，高也一样，所以这个结论就是一二三四四个三角形完全相等，非常好理解。第二个呢，是任意的一个点在 a b 边上，然后拉两条线段下来，拉到 b 点和 c 点上， 然后呢围成了这三个三角形，面积的关系呢，一定是中间这个等于两边之和的证明方法非常简单，我们只要在这里补一条平行线下来，然后就不难发现这个 s 二和 s 一 的左半部分，它其实就是一个平行四边形的对角线分出来的两个三角形， 然后这边也同理啊，所以呢， s 二加 s 三就等于 s 一 的左右两边相加，所以就有了这个面积相等的结论。好，再来看第三个结论， 第三个结论呢，就是在平行四边形内部的任意一个点，然后呢把这个平行四边形分成四个三角形，然后你会发现这个图其实就是这个图的升级版，为什么这么说呢？因为我只要把这个图你看在这里补一条这样子的线过来，然后呢上面再补一条这样子的线过来， 你就会发现了这个其实等于这个，这个等于这个，这个等于这个，然后这个又等于这个，对不对？所以呢这边两个相加，就等于上面两个相加，所以呢就可以得到左加右等于上加下这样的面积相等的结论。 好，来看最后一个，这个稍微复杂一点，但是呢也很好证明，我来证明给你看，他说这里有一个点，然后呢把这个四边形 平行的分成了四个小平行四边形。问这四个小四边形它的结论是怎么样呢？啊？它是这样子的对角面积相乘，然后这个乘积相等，为什么呢？我证明给你看啊，首先呢，我们需要做两条高下来，从这里呢做到这个位置， 从这里呢做到这个位置，然后上面这条高呢，我们叫它 h 一，下面这条高呢，我们叫它 h 二， 好，然后呢这里这条底边我们叫它小 a， 同样道理，这里是个平行四边形，所以它也是小 a， 好， 那这边这一段呢，我们叫它小 b， 这一段呢，我们也叫它小 b， 好。 接下来我们用 a、 b、 h 一、 h 二来表示四个面积的这个式子出来，先来看第一个 s 一， 那么 s 一 呢，就会等于 a 去乘以 h 一， 对吧？ 好，然后呢这个 s 二会等于 a 去乘以 h 二，对吧？ a 去乘以 h 二，然后 s 三，它会等于 v 去乘以 h 一 s 四，会等于 v 乘以 h 二。 好，有了这四个表达式之后呢，我们只需要观察一下，你看这里有 a、 v、 h 一， 对不对？然后这里有 v、 h 二，我们把 s 一 拿和 s 四相乘一下啊，你会得到 s 一 乘 s 四，它是等于什么？等于 a、 b、 h 一、 h 二。 然后这个时候你要观察一下 s 二和 s 三的乘积，它也等于 a、 b、 h、 h 二，所以呢， s 二乘 s 三， 然后呢，我们再把中间给它去掉啊，中间这个不要看，去掉，直接看头尾，你就会有 s 一 乘 s 四等于 s 二乘 s 三这样的结论了，也就是对角的面积相乘结果为定值。好，这四个结论非常的有用，请务必点赞收藏！

家长们，初二下学期平行四边形这一张是几何学习的重中之重，这一张学的好不好会直接影响到他后面几何综合题的得分情况。 那这一张想要考高分，你只背书上的性质定律是远远不够的，你还得知道考什么。我给你举几个例子啊，好比说平行四边形的多解问题、最值问题、折叠问题、存在性问题等等，一共有九个题型。 那这些题型呢？我已经全部整理好了，包括详细的解析，留下暗号，七八九我发给你。

八下数学啊，有两大压轴难点，一个是依次函数，另外一个就是这里平行四边形了，平行四边形他往下考，还有菱形、矩形、正方形，每一个图形他都有那个九十条的性质和判定， 综合在一起，同学们就不知道该怎么做了。而且这种题还有一个难点就在于他不仅是只考我们四边形啊，他四边形的题必然会结合着八、上学期三角形全等三角形轴对称去出题， 所以一旦你上一学期的知识有漏洞到这，你不可能把这道题做完善，做完整，所以在这就要把整个几何的网状思维给建立起来了。 这个学期是我们升入九年级最后一个能有大块的时间查漏补缺的下假期，所以同学们发现漏洞，抓紧时间去补，尤其几何模型辅助线这一块啊， 那老师啊，也给大家把有关于平行四边形这里常见的二十三大类模型辅助线都做了一个总结，如果咱们孩子现在还经常遇到大题做不出辅助线，没有思路的，抓紧时间带着孩子逐个题型去突破。下面啊，咱们就来一起看看这道题。 这道题啊，他证明的是正方形当中一个典型的模型十字架模型。正方形这个家族由于他太特殊了，他自己设计到的模型和辅助线就有八九种，所以这个视频咱们单拿出来这个十字架一起来正一正。 什么是十字架呀？就是说啊，在这里哎，有两条线十字交叉形成这个形状，他研究的是哦，这两条线给了你垂直的关系，我想推他们的数量关系是不是相等，那该怎么正啊？ 同学们来看一看这里这个图形咱看着是不是有点眼熟啊？是不是和我上一学期几何模型专项里讲到的互与倒角模型是一模一样的呀？什么意思？来看正方形是不是有九十度啊？ 九十度的话，那另外两个角是不互余啊？小叉加上小圈是不是等于九十度啊？来继续看，这是不是九十度啊？那这个是个小直角三角形，这两个角互余，这是小叉，这是不是就是小圈呢？ 同理，看整个大的，这又是一个直角三角形，这是小圈，这不就是小叉吗？合着这个图上我所有标记相同符号的角，它都是相等的， 所以你会发现正方形它本身就有一边是对应相等的，又有两角，甚至三角咱们都能推出来相等。所以现在这两个三角形什么关系？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 a、 h 是 什么关系？全等的两个三角形全等对应边相不相等 一定相等，所以咱们就推出来了。所以十字架模型简而言之去说，他的结论，给你两条线在正方形当中垂直，那么一定可以推他俩相等。反过来给你他俩相等，一定可以推垂直。