六年级下册数学第六单元思维导图好看

数学六年级下册北师版课堂笔记 全书共有一百一十一页，版权页目录展示 圆柱与圆锥， 试一试， 有需要的老师您可以放心下单，确保全新正版书籍。

六年级数学下册数学必备公式！知透就是最强黑马。负数重点，正负数表相反。一零式分界右正左负，正数大于负数百分数重点，折扣乘数比税率利率计算选最省钱方案。 圆柱与圆锥重点，圆柱体积 v 等于 pi， 二 h 圆锥体积是它的三十一比例重点，外向积等于内向积会判正反比例。用比例值解析 数与代数。重点数的计算方程。几何比例掌握预算率与比例关系。图形与几何重点，平面立体图形公式会确定位置和图形运动。统计与概率重点，会看统计图算平均数分清确定不确定事件。

是不是？大家回忆一下，帮他想一想，是不长方形，我们这么推出来了，其实正方也是，是不是 长有多少块，宽就有多少块，高就有多少块？因为他的每条棱长都是相等的，所以最后我们就推出来了三个 a 连乘，就是他的体积，简写为 a 的 立方，是不非常棒，给他点掌声啊， 学习了这么久了啊，还记得我们这个他长方体和正方体的推导过程，那大家现在回忆一下，圆柱是我们这学期学习的重点，那他的公式我们是借助什么图形推导的？长方体长，长方体，对不对？谁能 简单说一下怎么推倒的了？呃，将圆柱体平均分成若干个小三角形小三角体，然后它是怎么切的呢？平均切是盐什么切的？盐高，盐盐高 和直径竖着切开的，是不是这样？不是？嗯，然后呢？嗯，然后再将这些半圆平均分，平均分，也就是从 是从这写的吗？是不圆心，然后平均分成若干等份，然后再将这些等份合在一起，就分成了一个 近似长方体，对不是吧？很好啊，拼成了一个近似长方体，然后呢，大家想了啊， 长方体的体积我们会求长乘宽乘高，对不？那也就是说我们只要找到了长宽高是多少，我们就能把这圆柱的体积求出来了，当时是这么想的吗？是，好了，那现在你们找一找吧，这个长方体的底面和圆柱的底面相等，相等，那也就是说 圆柱的底面就是长方体的底面，对不对？这个高就是圆柱的高，就相当于长方形的长方形的高，然后它半径大点声说 就是长方的宽，长方的宽，那现在我们看一下，知道了长宽高，我们就把这个长方的体积就能求出来了。那谁能用字母公式来说一下，这个长 怎么求？长相当于这个圆柱的底面周长的一半是一半，那周长是二 pi r， 一 半是 pi r， pi r 也是 pi r， 所以 谁能说一下长方体的体积是底面积层高，那么这个底面积怎么求？看着这个字母底面积怎么求？ 长是 pi r， 宽是 r， 那 成在一起就是 pi r， 哎， pi r 方，对不？ 然后呢？高呢？所以我们就推出来了 pi r 方长方形，体积是 pi r 方 h， 也就是 s h 是 不对，然后最后我们推出来，那其实圆柱的体积也可以用， 非常好啊。这个在脑海的记忆当中，我相信大家当时推导的 肯定也是这样想的，对不好了？这是圆柱的体积推导过程，我们借助的是谁啊？其实这也是我数学当中经常提到的一个思想。 嗯，然后也算是转化，是不是把圆柱的体积转化成了长方体来计算的？ 好了，我们回回一下圆锥，圆锥是怎么推倒的呢？它的体积借助圆柱，哎，对，有了之前的经验，我们借助圆柱推倒的是圆锥的体积，对不对？好，那谁能说一下？具体说一下，点个说 啊，取出一啊，用一个等等底等高的圆柱和圆锥的容器，在圆柱里面装满水，倒到圆锥里倒了，一共倒了三次，呃， 一共倒三次，然后在圆锥里装满水或者是沙子，倒到圆柱里，也就是倒水和倒沙子都行，是不？那最后倒了三次之后，正好是是圆柱满了，嗯，装满了，所以我们推出了 圆锥圆，等底等高的，圆锥的体积是等底等高，圆柱体积的三分之一。你说话真严谨，他反复的强调，一定是等底等高的时候，圆柱的体积是圆锥体积的 三分之一，圆柱是圆锥的三倍三倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。所以那当我们知道圆柱的体积是底面积乘高的时候，那么圆锥的体积就得底面积乘高 乘三分之一。哎，对，还得乘三分之一，因为他的等底等高的情况下，他的体积是圆柱的 三分之一，是不是？这也是我们在计算的时候应该注意的地方。好了，那么大家啊，刚才你们把这个圆柱和呃，圆柱、圆锥以及长方体、正方体它们体积的推导过程又回忆了一遍，现在我们看一下 圆呃，长方体，借助他推出了正方体，正方体的体积，又推出了 圆柱的体积，然后借助圆柱，我们用圆锥的体积，圆锥的体积。所以说知识之间是有联系的，是不？那我们看看还有什么联系呢？想一想这些立体图形，它的大小跟什么有关系？ 面积高高和长宽高，它的体积跟长宽高有关系，非常好，正方形长能长，能长扩大，它的体积就扩大。那圆柱呢？ 直径是高，直径跟直径有关系，还有高有关系是不？那除了直径，你想想直径越大，半径越大，他的什么就越大就对了。所以说跟底底面半径，直径还有底底面积都有关系，是不？还有高。那光底面积扩大， 然后高不变的话， 如果底面积扩大二倍，那它的体积扩大几倍？高不变，底面积扩大二倍，体积扩大二倍，二倍扩大四倍呢？如果底面积扩大四倍呢？扩大四倍。那反过来想想，如果底面积不变 高，扩大二倍，体积怎么变化？扩大二倍也是扩大二倍，对不对？好，那我们再想想圆锥，圆锥它的体积大小变化跟什么有关系？ 跟平面，跟平面有关系，还跟什么有关系？高，高越高他的体积变化就越大，是不非常好啊？ 最后我们再想这个问题，圆柱、圆锥和我们学过的什么平面图形有关系？圆，想想怎样做？我们知道他和之前学过平面图形有关系， 你来说。呃，圆柱可以由长长方体，不是长方形旋转而成，圆锥可以慢点说，长方形旋转而成是不？那我简单写，应该是转。 圆柱是什么转成的？可以是长方形或者一个长方形，沿哪个边转，沿 长或者是宽，都能转出一个圆柱。好，它跟长方形有关系，还跟什么有关系？正方形，正方形。例如呢？呃，比如说一个圆， 一个长，一个正方形，沿着它的边长旋转，可以得到一个圆柱。嗯，正方形也能转出圆柱来。他说的大家在脑海里想象也跟正方形有关系。除了这个图形，其他的也可以说一说。还跟什么有关系？转。那这个图形是谁转出来的？ 谁转出来的？三角形？什么样的三角形？直角，它是由直角三角形沿直角边旋转出来的。好了，除了转还有没有别的思路？ 这是什么？切？切，怎么切？他能是什么样的？你说把一个，把一个圆柱沿着他的底面直径和高切开，嗯， 切完之后，切完之后会得到一个长方形，这个竖着切，我们把它露出来的面叫抛面，对吧？那竖抛面露出来的形状 是长方形，也可能是正方形。竖着切，那横着切呢？这叫横着切，就叫洁面了，对不？横洁面是个什么型？圆形，他是圆形，对不？那他切呢？ 三角，三角竖着切，他的抛面是三角切，横着切呢？圆。所以我们可以顺着他的思路啊，除了切转，还有没有别的思路？想想， 想一想，我们研究圆柱的时候好像做过这个实验是不？这叫什么呀？卷，对，顺着老师的思路，然后你们想到了卷，那可以是什么型？卷出来卷出来的 长方形，长方形或正方形的情况下，正方形能卷出圆柱，对不对？嗯，横着卷也行，竖着卷也行，那无论怎样卷，它的 侧面的不变不变，大小都一样的，对不对？非常棒！看来啊，同学们不仅对本节课特征表面的体积有了深入了了解，而且大家通过你们的思考，不同的方法，我们找到了图形，立体图形和之前平面图形之间的联系，有没有信心 我们解决一些问题？有，有，声音不够响亮，有，我不给时间啊！迅速读题，迅速作图，判断手势告诉我，第一个，对，长方体最多有两个正方形， 全对两侧的侧面展开，不是正方形就是长方形。高点举 好，说明一下，为什么不是正方形，就是圆。那个长方形侧面展开还可以是，你说还可以是平行四边形，对不对？斜着切，它展开就是平行四边形。第三个长方形的三条棱就是它的长方高， 对，还是错？长方体的三，呃，三条棱，拿出来三条棱肯定是长宽高吗？有可能是都是长。对，因为它四条棱都是相等好。最后一个圆柱的体积是圆锥的体积的三倍 好，全是认为是错的，有没有认为对的？没有，非常棒。那说明压力对不对？那个女生， 因为圆柱和圆锥，等你等高的时候圆柱的体积才是圆锥的体积的三倍。他抓住了关键词，大家一起说什么等你等高，只有等你等高的时候才能是三倍。关系好，一起看。 认真思考我会填。第一个，做一个长方体铁皮罐头盒要求需要多少？铁皮是求它的侧面角面，角面的角面的 罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是侧面面积，非常棒。下一个，做一个圆柱型通风管要用多少？铁皮是求它的侧面通风管一定是通风的，通风的。对，只能求侧面。 非常好啊，大家反应真快。下一个，一个圆柱型水池占地多少平方米？是求圆柱的一面体面积，求水池占多大的空间？就是求它的底面积， 求这个水池能装多少水。如意，看来你们对知识掌握的非常的透彻了，深思熟虑我会选这个，可要谨慎了啊，里面有陷阱。第一个正方你能长三厘米的话，如果能长扩大二倍，那他的体积扩大几倍？二倍，二倍， 棱长扩大二倍，只是一条棱扩大呢？那是应该扩大体积，应该扩大平方倍立方倍立方倍几的立方啊。谁来回答一下这个问题到底应该选几？有点快了是不？ 呃，你来说应该选第四个。答案八因为扩大几倍，因为这个是棱长，再加上是问他的体积扩大几倍，应该是二的立方倍，所以应该是八倍，同意不？同意？同意，体积扩大的是棱长的立方倍，所以二的立方是八。 答，对了啊！第二个，把一段长三米的长方体木料平均截成两段，想一想啊，两段表面积增加八平方厘米，那么原来这段木料的体积是多少立方厘米？ 注意单位选几呢？可以动笔算一算也行，口算算不出来，动笔也可以给大家一点时间啊。先想想， 说说你的思路行不来？那男孩切开。

一共倒了三次，呃，一共倒了三次，然后在圆锥里装满水或者是沙子，倒到圆柱里，也就是倒水和倒沙子都行，是不？那最后倒了三次之后，正好是是圆柱满了，装满了，所以我们推出了 圆锥圆等底等高的，圆锥的体积是等底等高，圆柱体积的三分之一。你说话真严谨，他反复的强调，一定是等底等高的时候，圆柱的体积是圆锥体积的 三分之一，圆柱是圆锥的三倍三倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。所以那当我们知道圆柱的体积是底面积乘高的时候，那么圆锥的体积就得底面积乘高 乘三分之一。哎，对，还得乘三分之一，因为他的等底等高情况下，他的体积是圆柱的 三分之一，是不是？这也是我们在计算的时候应该注意的地方。好了，那么大家啊，刚才你们把这个圆柱和呃圆柱、圆锥以及长方体、正方体他们体积的推导过程又回忆了一遍，现在我们看一下 圆啊，长方体，借助他推出了正方正方的体积，又推出了 圆柱的体积，然后借助圆柱，我们又推出了圆锥的体积，圆锥的体积。所以说知识之间是有联系的是不？那我们看看还有什么联系呢？想一想这些立体图形，它的大小跟什么有关系？长方体跟什么有关系？ 里面一个高长宽高，它的体积跟长宽高有关系，非常好，正方形长冷长冷长扩大，它的体积就扩大。那圆柱呢？ 直径是高，直径跟直径有有关系？还有高有关系是不？那除了直径，你想想直径越大，半径越大，他的什么就越大就对了。所以说跟底底面半径、直径还有底底面积都有关系是不？还有高，那光底面积扩大， 然后高不变的话， 如果底面积扩大二倍，那它的体积扩大几倍？高不变，底面积扩大二倍，体积扩大二倍，二倍扩大四倍呢？如果底面积扩大四倍呢？扩大四倍。那反过来想想，如果底面积不变， 高扩大二倍，体积怎么变化？扩大二倍也是扩大二倍，对不对？好，那我们再想想。圆锥，圆锥它的体积大小变化跟什么有关系？ 跟平面跟平面有关系，还跟什么有关系？高高越高，他的体积变化就越大，是不非常好啊。 最后我们再想这个问题，圆柱，圆锥和我们学过的什么平面图形有关系？圆，想想怎样做？我们知道他和之前学过平面图形有关系， 你来说，呃，圆柱可以由长长方体，不是长方形旋转而成，圆锥可以慢点说，长方形旋转而成是不？那我简单写应该是转。 圆柱是什么转成的？可以是长方形或者一个长方形，沿哪个边转？沿 长或者是宽，都能转出一个圆圈。好，他跟长方形有关系，还跟什么有关系？正方形？正方形。例如呢？呃，比如说一个圆， 一个长，一个正方形沿着它的边长旋转可以得到一个圆柱。嗯，正方形也能转出圆柱来。嗯，他说的，大家在脑海里想象也跟正方形有关系。除了这个图形，其他的也可以说一说。还跟什么有关系？转，那这个图形是谁转出来的？ 谁转出来的？三角形？什么样的三角形？直角，它是由直角三角形沿着直角边旋转出来的。好了，除了转，还有没有别的思路？ 这是什么切？切，怎么切？他能是什么样的？你说把一个，把一个圆柱沿着他的底面直径和高切开，嗯， 切完之后，切完之后会得到一个长方形，这个竖着切，我们把它露出来的面叫抛面，对吧？那竖抛面露出来的形状是长方形，也可能是正方形。竖着切，那横着切呢？ 这叫横着切，就叫洁面了，对不？横，洁面是个什么形？圆形，他是圆形，对不？那他切呢？ 三角，三角横着切，他的抛面是三角切，横着切呢？圆。所以我们可以顺着他的思路啊。除了切转，还有没有别的思路？想想， 想一想，我们研究圆柱的时候好像做过这个实验是不？这叫什么呀？卷，对，顺着老师的输入，然后你们想到了卷，那可以是什么型？卷出来，卷出来的 长方形，长方形或正方形的情况下，是正方形，能卷出圆柱，对不对？嗯，横着卷也行，竖着也行，那无论怎样卷，它的 侧面的不变不变，大小都一样的，对不对？非常棒，看来啊，同学们不仅对本节课特征表面的体积有了深入的了解，而且大家通过你们的思考，不同的方法，我们找到了图形、立体图形和之前平面图形之间的联系，有没有信心 我们解决一些问题？有，有，声音不够响亮，有，我不给时间啊。迅速读题，迅速作图。判断手势告诉我，第一个对长方体，最多有两个正方形， 全对圆柱的侧面展开，不是正方形就是长方形。高点举 好，说明一下，为什么不是正方形？就是圆，那个长方形侧面展开还可以是，你说还可以是平行四边形对不对？斜着切它展开就是平行四边形。第三个长方形的三条棱就是它的长宽高 对还是错？长方体的三。呃，三条棱拿出来三条棱肯定是长宽高吗？有可能是都是长。对，因为它四条棱都是相等好。最后一个圆柱的体积是圆锥的体积的三倍 好全是认为是错的，有没有认为对的？没有，非常棒。那说明压力对不对？那个女生 因为圆柱和圆锥等你等高的时候圆柱的体积才是圆锥的体积的三倍，他抓住了关键词大家一起说什么等你等高，只有是等你等高的时候才能是三倍。关系好，一起看。 认真思考我会填。第一个做一个长方体铁皮罐头盒要求需要多少？铁皮是求它的侧面的表面的表面的表面的 罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是侧面面积，非常棒。下一个做一个圆柱型通风管要用多少？铁皮是求它的侧面通风管一定是通风通风的。对，只能求侧面。 非常好啊，大家反应真快。下一个一个圆柱型水池占地多少平方米是求圆柱的几面积，求水池占多大的空间就是求它的几面积。 求这个水池能装多少水。如意，看来你们对知识掌握的非常的透彻了深思熟虑我会选这个可要谨慎了啊，里面有陷阱。第一个正方体能长三厘米的话如果能长扩大二倍那他的体积扩大几倍？二倍，二倍 棱长扩大二倍指是一长棱扩大吗？那是应该扩大体积，应该扩大平方倍，立方倍，立方倍几的立方啊，谁来回答一下这个问题，到底应该选几？ 有点快了是不？呃，你来说应该选第四个答案，八， 因为扩大几倍，因为这个是棱长，再加上是问他的体积扩大几倍，应该是二的立方倍，所以应该是八倍，同意不？同意？同意，体积扩大的是棱长的立方倍，所以二的立方是八。 答对了啊，第二个，把一段长三米的长方体木料平均结成两段，想一想啊，两段表面积增加八平方厘米，那么原来这段木料的体积是多少立方厘米？注意单位 选几呢？可以动笔算一算也行，口算算不出来，动笔也可以 给大家一点时间啊。先想想，说说你的思路行不来？那男孩切开之后，切开之后会呈现出两个正方形，嗯，是增加了两个正方形的面。增加了两个正方形的面，嗯，这边一增加两个面，是增加了八平方厘米。 呃，用八除以二等于四，就求出增加一个面的面积，这个面就是长方形的。呃，底面积，再用底面积乘以，因为三米用。因为要求立方厘米化成三十厘米， 然后再用三百厘米，然后再用四乘以三百，等于一千两百。那这道题刚才我说有陷阱，那陷阱是哪？哪个地方呢？ 等于换算，对三米一定要换算成厘米，对三百之后再去乘。那刚才老师纠正一下，因为我一直拿着这个长方体呢，但不是所有的长方体对面都是正方形的，也就说他只是增加了两个量，对不？我们知道八 八平方厘米是两个面，那一个就是一个面，肯定就是四四了，对吧？好了，看看他答的对不对，对不对？对，而且说的非常清楚啊。好，第三题，一个圆锥的体积，如果是 n 立方厘米的话，那和他等底等高的圆柱的体积是， 圆柱的体积是？那个女孩应该选择三三 n， 因为圆和因为圆锥的体积是他等底等高的圆柱的体积的三分之一，反之， 他的和他等底等高的圆柱体的体积应该是和他等底等高的圆锥体的体积的三倍，所以应该选择三三 n， 对 不？所以很清楚了啊。最后一个等底等高的圆柱和圆锥的体积相差十六立方米， 相差十六平方米，这个圆柱的体积是多少立方？求的是圆柱啊，差十六 来男孩，呃，我觉得应该选四二十四，因为差十六是用三减去一是两份，用两份十六除以二，求出一份的量是八。 呃，要是求圆锥，那他的体积就是八，一份八，那圆柱是就是三乘以八等于二十四三倍，对不对？同意不同意，非常好啊， 来这道题，你能推想一下下面的立体图形的体积可以怎样算吗？有了刚才的基础，大家想一想，圆柱啊，正方体，长方体都可以用底面积乘以高，那我们想一想可以怎样来求呢？ 那么这堂课马上就要结束了，我想我们的学习是无止境的，对不对？那么除了我们要研究的这些立体图形之外，你是不是还去继续想探索其他立体图形怎样算呢？对不对？除了体积，可能还想研究它的什么呀？ 它们有什么特征，对不对？想一想，你还想看出什么立体图形？你还知道什么立体图形吗？ 除了长方与正方形，还有什么？还有球体？对，还有球体，可能还有很多，就像刚才这道题一样，那他们的体积究竟怎样算呢？ 我想留到以后我们自己去研究，行不行？不行？嗯，回家去思考一下，记住我们之前的这个研究的方法好了。嗯，最后我想问问大家，这节课你们有没有什么收获呀？有，有谁能简单的说一说。 你来说。呃，通过这节课，我更加深入的了解了立体图形的特征，表面积和体积。嗯，还有没有？还有其他的吗？除了知识上的，情感上，有没有？ 你们觉得在数学的学习过程中有意思吗？有，是不是？我们不仅研究的是他们自己的特征，还研究了他们之间的联系，以及和我们曾经学过的那些平面图形的联系。 看来啊，大家是一个研究型的学生，所以我相信大家，你们今后如果照着这个方法思路去走。

少，那除了用这两种方法以外，谁还有不同的方法？好，你来说。 好，就站到这就行啊，可以让大家看的更清楚。我采用的是画表格的方法，这种方法分别简单的概括了两种立体图形的特征，以及他们的体积表面积的计算方式，这样能，这样能让人清楚的看到， 清楚地看到他们的特征，以及他们之间的关系。好，他说了他用表格的方法进行整理的最大特点是什么呢？ 呃，可以让人清楚的看到他们之间的关系以及他们的特征。好，请坐，可以清楚的看到他们之间的关系，以及圆柱和圆锥的特征。不错，他用了画表格的方法。 除了这些方法以外，刚才我在下边看的时候，还有好多同学用了不同的方法，比如 图文结合的方法，还有同学用大括号的方法，和刚才这位同学展示的是不一样的。 那么大家用这么多的方法对圆柱圆锥的知识进行梳理，只要是你喜欢的方法都是很好的方法。那么老师呢？也用画表格的方法对圆柱圆锥的知识进行了梳理。 瞧，这一课，老师特别想让大家来夸夸我，我知道咱班同学情商很高，很会夸人，看看我整理的这个表格有什么优点？ 好，你来说。这个表格清晰明了，可以让人，嗯清楚的看到他们的相同点和不同点。嗯，说的我心里真开心，还有谁要夸我的？ 你说，呃，他，他们有不同的类别，呃，能，呃，还有呃有体积有关系，这样，嗯，能让大家清楚，一目了然，能能看得更清晰一些。 哎，我听到他说了一个关键词，是关系援助和援追的关系很好，我更开心了，还有没有谁要补充的？要夸我的，你说， 我觉得老师做这个表格把重点都标了出来，然后呢？你怎么知道标了出来，用彩色笔标了出来。嗯，这样会给同学更深刻的印象，让大家记得更牢固。对，很好，还有没有？ 没了，我就说咱六二班的同学情商很高，很会夸人，夸的我心里美滋滋的。看这个表格，从这个表格中可以一眼看出我是从哪些方面进行整理的。 特征表面积、体积、关系、行程，对这五大方面进行整理的。而且刚才这个女生说了，最大的特点是用彩笔标出了他们之间的 什么重点不同之处，而且还表示了他们之间的关系。他们之间是什么样的关系呢？你看在等底等高的情况下，圆柱的体积就是圆锥体积的多少 三倍，那圆锥的体积呢？是圆锥的三分之一，是圆柱体积的三分之一。好，我说咱们同学情商真高，夸的我心里美滋滋的。那接下来咱们要进行一个采访。 嗯，通过学习圆柱和圆锥，那么回忆一下你平时的作业中有哪些知识，你经常出错，需要提醒别人注意的。 有些同学没想起来，没事，你可以思考。 来说说看，你说计算圆柱表面积时，底面积要乘二，嗯，要记得是几个底面，两个，两个底面，还有谁要说的？你说 在计算圆圆锥的体积的时候，一定要乘三分之一，嗯，不错，还有谁要提醒的？你说，嗯，这个， 呃，这个，这个表上面就我经常出错一个地方，就是这个圆锥的体积是它等底等高这个圆柱的三分之一，嗯，圆柱和圆锥是有关系的，但是这种三分之一的关系是建立在什么前提下的？ 等比等高，在等比等高的前提下的？刚才这几个同学都说到了，在计算圆锥的体积的时候，往往忘记乘三分之一，你有没有出现过这样的错误？有，那既然大家经常出现这样的错误，你有什么妙招要提醒大家注意的？ 怎么能让大家记住这个乘三分之一呢？没有，那就让他错了，你说三分之一，三分之一我爱你就像老鼠爱大米。看，如果你觉得他说的好，来，把最响亮的掌声送给他。 来，大家来说说看，他的顺口溜是三分之一，三分之一我爱你就像老鼠爱大米。总结的还非常到位呢，老师也给大家提个建议，咱们可以回忆一下课堂上的实验， 有两个等底等高的圆柱和圆锥， 把圆锥接满水，往圆柱里边倒， 发现大家在看这个实验的时候，看的是非常认真，那通过观察这个实验，你发现了什么？ 你说把圆锥倒满，倒了三次才把圆柱倒满，由此可以看出，由此可以看出啊，圆柱的容子圆，圆柱的体积是圆锥的三倍，圆锥的体积呢？ 圆锥的体积是圆柱的三分之一。好，坐下，他不仅表达的很好，而且思维也很敏捷，来，大家对他赞一个，不错，还有谁要说的？ 那通过刚才的演示，再一次再一次证明，在等底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一， 圆锥的体积等于底面积乘高乘三分之一或者除以三。还有 刚才这个女生在回答的时候说，除了圆锥的体积忘记乘三分之一以外，还有在计算圆柱的表面积的时候经常怎样？ 刚才他怎么说的？你说他经常会少算一个底面，所以说在计算原圆柱的表面积时候，一定要底面积乘二。嗯，你有没有忘记过有谁也忘记过的，曾经忘记过的举手。不要不好意思了， 好，放下。看来大家出色的经历还挺相同的，那怎么办呢？有什么妙招让大家记住，在计算圆柱的表面积的时候记住是两个底面呢？好，可以把你的妙招和你的同桌互相交流一下。 没有没有妙招，有的话来说说看，你说两个底面，两个底面，我爱你，就像老鼠爱大米。哦，他又这样子了，还有没有不错， 你说可能是有，是因为我们刚学了圆锥和圆柱，所以说我们可以知道圆柱的体积是因为由长方体来演变过来的。所以说如果说我们牢记了长方体的表面积， 我们就可以牢记原圆柱的表面积。嗯，他联想到了长方体的表面积，我觉得对他来说肯定是适用的。那么老师也给大家提个建议，咱们在计算圆柱的表面积的时候，可以想象一个圆柱， 咱们可以想象一个圆柱， 然后把圆柱展开看，会得到几个底面，两个两个底面和一个侧面， 所以圆柱的表面积就等于侧面积加两个底面的面积。哎，我们可以用想象的办法来说给你的同桌听听我们采用的是什么办法，把过程和你的同桌交流一下， 大家看看，我一不留神就写成了这样子啊。圆柱的表面积等于侧面积加底面积，对还是不对？不对不对了， 大家都看出来了，如果你都看出来了，那你就告诉我吧，怎么不对了？ 圆，有道理，应该是两个底面，我们刚刚看过，也是圆柱的表面积等于侧面积加两个底面的面积。 好，通过对圆柱和圆锥进行梳理，大家对圆柱和圆锥有了更进一步的认识，那接下来我们就到生活中走一走，我们走着走着走到哪了呢？ 看，一根木头挡住了我们的去路， 那我们就停下来来聊一聊这根木头吧，看看从这根木头中你能发现什么？你能提出自己喜欢的问题吗？ 好，你说把这根圆柱削成一个圆锥形，它的体积是多少？哦，那你能不能说说看？能。嗯，说 三分米等于三十厘米，然后就用二二十除以二的平方乘三点，一，四乘三十乘三分之一。好，谁听懂？谁听懂他的提问以及解答了？举手 好，放下。他对这一根木头动刀了。怎么动刀呢？你来回忆一下。你不是记住了他刚才说的什么？把他怎样 说？削成一个最大的圆锥，削成一个最大的圆锥，然后他直接用圆锥的计算公式进行计算的。为什么直接用圆锥的计算公式计算成了三分之一？ 你说因为他们是等底等高的。对，削成最大的圆锥其实是在提醒你，这个圆锥和这个圆柱是等底等高的，所以要记得乘三分之一哦。还有没有？ 我们仍然回到这根木头跟前， 并且这个男孩在说的时候他发现， 呃，三分米等于三十厘米，说明体重的数据单位名称是怎样的？不一样。他自觉的先统一了单位，没有迷惑住他。还有谁要提问的？ 你提一个这个圆柱的表面积是多少？呃，解答是，二十除以二个平方乘三厘米等于三十厘米， 三分米等于三十厘米，二十除以二个平方乘三点一，四乘二加三十，三十乘二十， 三十乘，等一下，等一下。

有一束出法立体小棒制作材料清单放视频末尾。白卡纸打印线稿，涂色多用渐变色和叠色更好看。不想涂色可以直接打印彩色线稿， 高光笔提亮装饰。 沿着线稿把所有素材剪下来，留点白边更好看。 橙色卡纸打底，对比着标题描一圈要比标题大一圈，然后剪下来 用泡沫胶贴一起。黄色卡纸打底，对比着人物，描一圈也要大一圈，然后剪下来用泡沫胶贴一起。 海军蓝开始打底，还是用泡沫胶把所有素材都贴上去，想怎么贴就怎么贴。 高光点缀一下， 右边先写文案，再贴数字，你学会了吗？

二星级题目谁来挑战 听声。呃，那个三角形的 周长是把它的三条边加起来，也就是三十加四十加五十等于一百二十，同意吗？同意同意， 继续面积，面积就是底乘高除以二，但是的话呢，它因为如果是就是正着看，就是不可以判断它的高，所以 可以把这个三角形转过来，以三十为底，四十为高，就是四十乘三十除以二，你要提醒大家的是，我们要注意他的高，要判断出来对不对。好，谢谢。同意吗？同意， 好，提醒。谁来说？文慧 梯形我是用五加六再加十加七是求它的。什么？是求它的边长的角，也就是它的， 也就是它梯形的。什么梯形的？对的， 对吗？对，好，梯形的面积，梯形的面积我是用六加十的和再去乘以五，再除以二，你为什么不去乘七呢？ 这个梯形的高是多少？对，一定要判断清楚它的高是多少，请坐好最后一个。半圆形的周长和面积谁来说？ 嗯，其他同学相好，你来说半圆的周长是？首先，由于它是半圆，所以先算出它的，假如它是一个完整圆，就是 pi， d 就是 三点一四乘以四， 嗯，算出来是十二点五六，你求先求什么？先求它？呃，就是它的周长 外面那个弧线的中啊，但因为他是半圆，所以要除以二十，二点五六除以二等于六点二八，但这时候又有半径漏到外面，所以是半径还是？哦，直了？说错了，直径在外面，所以说 六点二八还要加上直径四等于十点二八，同意吗？同意，要注意半圆，还有一条直径要加上去。继续 半圆的面积，半圆的面积是。呃， s 等于 pi 的 平方，算出来答案是十二点 m， 我 算说是十二点五六，但也是它是半圆， c 要除以二是六点，它的做，它的面积就是六点二八。呃，平方米好，跟肖红做的是跟刚才几位同学做的是一样的请举手。 好，都不错啊，二星级挑战过关，看三星级。 这两组图形的周长和面积相等吗？面积相等吗？好，谁来说？ 陈翔，嗯，第一幅图，我觉得它们的周长是不相等的。周长不相等，因为它们长方形。呃，它只有它的长是有 五个格子，高是有三个格子，然后四边形，它这条斜边。呃，我们是无法求出来的，但是它肯定是比它们长方形的高。呃，长长的，所以我觉得是不相同。 这两个图形面积相等，周长面积相等吗？相等。 来，你来完整的说一遍这两个图形。这两个图形周长不相等，面积相等，同意吗？ 同意。那我们可以得出的结论是，两个图形如果面积相等在周长周长不一定相等。好，第二组图形先来说 好。黄俊杰，我认为这幅图形是周长相等，面积相等，同意吗？同意。我们同样可以得出什么样子的结论？ 周长相等的图形面积不一定相等。好，能够发现规律，然后去运用，也是很棒的数学学习能力。好，这个 谁来？单单看这个图，好像是很复杂的，怎么办呢？ c， 可以 先把它转化成一个外方内圆的图形。嗯，现学现用，把一个新的一个图形转化为我们学过的外方内圆，同意吗？同意。 呃，它的周长就是正方形的周长，再加上圆的周长，也就是二十二十乘以二十 三，二十乘以四，再加上三点一四乘以二十，同意吗？同意。那它的面积就是面积，就是外面正方形的面积，再减去里面圆的面积。好，掌声送给他， 成功挑战四星级，那五星级的谁来？ 再来！我认为这道题应该首先求出这两个正方形的面积， 再减去空白的三个小三角形的面积，就可以得到这个阴影部分的面积。那么最我的算式是，十个平方加上十二的平方等于二百四十四 cm 四 m， 呃，平方厘米， s、 b、 e、 d 等于十加十加十二的和乘以十二再除以二，最后是一百三十二平方厘米。你是把三个空白三角形的面积求出来的，对吗？然后， s、 s、 b、 d、 g 等于十乘十除以二等于五十平方厘米， s、 g、 f、 e 等于十二减十的差乘以十二除以二等于十二点平方厘米。 最后再用两百四十四减去一百三十二加五十加十二的和等于一，两百四十四减一百九十四等于五十平方厘米。答，一部分为五十平方。真不错，五星级的题目都被你挑战出来了。掌声， 同学们，这一节课我们对平面图形的周长和面积进行了系统的整理和复习，大家有什么收获呢？姐姐你来说。呃，今天我们学了关于平面图形 和的周长。好，请坐好，谁来说一说你的收获？ 静怡，我们可以用转化的数学方法呃，来呃，学习新的知识。嗯，好的，行，谢谢。谁还想说 静怡 上这节课呢？我们可以用转转化记忆化成以前学过的那些图形，然后也可以按照算数，然后突然感觉就很明确，我就更更能记住跟巩固以前的数学。哎，谢谢你有这么好的收获，掌声鼓励一下 好同学们。这节课我们通过推导平面图形的面积公式，我们发现我们可以用转化的方法把 新的问题转化成原来我们学习过的知识，然后再用原来学习过的知识去解决新的问题， 这样在数学学习过程当中我们就能够学的更加的从容，回回忆起来也能更加的巩固了。好，这节课我们就上到这。

嗯，自然数就按是不是二的倍数，可以分为奇数和偶数，它是按什么来分的？按是不是二的倍数。哦，把什么分为两类？ 把自然数分为奇数和偶数，这里的奇数偶数最小的偶数是几零， 最小的偶数是几零，最小的基数是几一，同意吗？同意，别藏好。那我又记得刚才你们不是说分三类吗？ 谁来说？文杰，什么情况？分三类是按因素的个数来分，按因素的个数分哪三类？质数和数之一。 那这里有什么条件呢？这里的自然数怎么样？ 零除外。哦，对了，是要零除外。对，我们讲自数和数一的时候是 零除万。好，请坐，大家看根据不同的分类标准得到的结果也就不一样，大家不能混淆了啊。所以这道题应该打错一个自然数，不是加就是偶数。 再来一遍，对还是错？对，应该打对勾下一个自数加自数等于和数。嗯，不错啊，来，先起啊。 那你的意思就是这道题同意吗？同意。哎，建强这节课也好认真啊。他举了个例子，二是不是自测啊？是三 是二，加三等于五五什么数？四，所以这道题应该打错。非常好，第二关也顺利结束了，还有第三关哦。请看黑板。 这是我的电话号码。真实的啊，你们现在拿出材料，拿出学习材料，做一做这道题 不着急，如果一个数字错了，那你就打不通我的电话哦。 做好的同学请举手 没写完的加油， 写好了的请举手看一下哦。大部分同学都写完了啊， 还有一两个同学没写完的加油！ 写好了吗？写好来，李麒麟你来报一下。你先说一下 a 代表什么数字？一， 你来念一下， a 既不是质数，也不是和数，是一啊。对啊，你先念一遍这个，这个题目， a 既不是质数，也不是和数， 所以 a 就是 一好，然后呢，是三的最大因素。三 c 是 最大的一位数，九一是七的最小倍数，七一是所有因素是 一，二是它， f 是 最小的数。四， g 是 二和三的最小分对数六， 这些数字他有没有说对，说对了，有没有共同意见？没有。好，那你连起来看一下，我的电话号码是 幺三幺九七九七八七四六八，同意吗？同意。有没有不同意见的？没有有没有？没有，真的没有？没有，你今天有吗？没有， 其他同学都是这个吗？是，来看一下正确答案多少。幺九七九七八七四六八。这个是真的啊，回家可以试一试，打一下我的电话，如果有学习问题可以咨询我。 好，第四关也在我们的材料纸上游，现在把这道题做在你的材料纸上， 谁愿意来一把上写一写。罗明，你 先写到这里啊， 也没数，没数数算一下，就在这里算。这么大的位置， 做完了吧，去干嘛？好，马上就下课了啊。 做完了的请举手示意老师， 没做完的加油哦！ 好，一二一下，同学们都做完了吧。做完了，来看一下 这道题。学校长廊有一面长五十五分米，宽二十分米的长方形墙面，我们要用正方形的瓷砖把墙面贴满，问，每块瓷砖的边长最长可以是多少分米？ 罗敏，你来说说你这样做表示什么意思？表示这这块瓷砖的边长最长可以是五分米，这样做算的是什么？ 这块瓷砖的边，每块瓷砖的边长，你用这种方法叫什么法？短除法，这个叫短除法。求了什么？ 求五十五和二十的最大公因子。最大公因子是这个意思吗？是。第一问，每块瓷砖边长最长可以是多少分米？其实就是求五十五和二十的 最大公倍数。除了刚才我们用列减法以外，我们还可以用短除法。哎，来看看这个短除法，五十五和二十写在这个短除号的里面，那除以几呢？ 五可以先除以他们的公因数。五十一、四十一和四，除了公因数一以外，有没有别的啦？没有，所以除到这里就结束了，得到的这个结果，五就是 这两个数的最大公倍数。所以每块瓷砖的边长最长可以是多少分米？五分米，对不对？对。好。第二问，至少需要这样的瓷砖多少块？ 还是你来解释你的做法吧。五十五除以五等于十一块，表示 用边长五分米的瓷砖贴这面墙，沿着长贴可以贴十一块，要贴十一块。嗯，然后呢？二十除以五等于四，表示沿着它的宽贴要贴四块。 那一共要多少块呢？十一乘四等于四十四块，是这样吗？是，非常好。那有没有更简洁的方法？第二问， 你说十一乘四等于四十四块，你就可以直接用刚才第一问里面短除法，这两个三 相乘，是不是十一乘四等于四四，是不是很快？是，直接这一步就可以了，是吧？是，对了，做对了就举手。 好，放下。最后一问，每块瓷砖要五十六元，这些瓷砖一共要多少钱？ 一起说，四十四乘五十六等于两千四百六十四元。哎，这个数字比较大，要认真算啊。对了， 好，这节课的主要内容我们就讲完了，现在把你们桌面上的学具收一收，把材料放到边上，稍微整理一下。 好，赶紧收了。那就放到旁边来说一说我们这节课有什么收获。 这节课大家的表现都不错，你有什么收获？你是熊，我收获了。可以用短除法知道两个数的最大公倍数是多少哦，那最小公倍数能不能用短除法也算出来呢？不 能同意吗？不能，比如这道题。哎呀，我们来算算法，最大公倍数是五，那五十五，二十个最小公倍数口算一下，五乘五乘十 等于二百二十。那就是说，除了用裂值法求最大公因数，也可以用短除法求最大公因数。除了用裂值法求最小公倍数，也可以用裂值法， 哦，不是，也可以用短除法求最小公倍数。还有呢， 刘丹，我学会了用网络图整理因素和倍数。嗯，有什么好处？ 这样子可以让我们更清楚的看见他们之间的关系和区别。嗯，很好，这是方法啊，学到了一种方法。你说我理解了因素和倍数的关系，是相互遗传的。哦，这是时间的关系。你说 我学会了用因数和倍数来解决生活中的问题，是这样吗？是，你看刚才我们做了四关，是不是解决了很多实际问题啊？是，所以大家收获多多。是不是？是，要不要给自己点个赞？要，来，一起给自己点个好。 接下来呢，给大家留了一道课外作业，这道题就在我们数学书七十五面的第五题，今天中午大家可以回去把它完成在书上， 书上七十五面没写。 找到了吗？找到了。好的，捡好东西，这节课我们就上到。

形，三角形的特征，还认识了轴对称图形。五年级学习了多边形的面积的计算，研究了长方体、正方体的表面积和体积。 六年级，最后我们认识了圆，研究了圆柱和圆锥。 是啊，在不知不觉之间，我们竟然学习了这么多的几何知识，它们就像一颗颗散落的珍珠。 今天这节复习课呢，我们就要将这些珍珠串起来，就像我们平时把数学知识点串起来一样，你们能做到吗？能，非常棒。好，那这节课我们主要是对图形的认识进行整理和复习。 首先我们一起看一看图形是怎么构成的呢？请大家仔细看。这里有一个什么呀？点一个点， 点动成线，线构成了面，面有维成了。 是的，其实我们对图形的认识也是按照点线面体的顺序进行的。那今天我们的整理和复习也按照这样的顺序来进行，可以吗？可以，好的，非常好。 在课前，翁老师已经给大家布置了一项自主复习的任务，截止到现在，我已经收到了全班同学提交的 导学单。请看每一个同学的导学单，翁老师都认真的读过了，同学们做的非常的认真。好的， 那我们就开始进入今天的复习吧。好，我们知道点构成了线，那谁来说一说在小学阶段我们学习了哪些线？ 嗯，举手，真积极。好，请你说，我们学习了直线、射线和线段。好的，这些线，它们分别有什么特点，又有什么联系和区别呢？ 好，请你来。直线和射线都是线段上的一部分。嗯，呃，再再想一下是谁是谁的一部分，别着急。 好，谁来帮帮他。好，请坐，你来。呃，应该是射线和线段是直线的一部分。哦，他说的其实就是这三种线的联系，对吧？那谁来说一下这三种线各有什么特点？ 好，请你来。线段有，有两个端点他不能延长，射线有一个端点可以延长，直线没有端点可以无限延长，向两端无限延长。大家同意他的说法吗？同 意，非常完整，请坐。其实我们在课前已经在导学单上对这部分知识进行了整理。那我们用的是什么样的方式进行整理的？ 表格，表格，对不对？嗯，这个表格是一种非常简单非常好的整理方法，那么在接下来的复习课中，我们就可以用这种方法进行整理和复习。好， 同一平面内两条直线又有怎样的位置关系？谁来说一下？ 好，请你说。平行或相交。哦，平行或相交，那老师在这个上面看到了一个互相垂直，这又是一种怎样的关系呢？谁来补充一下？好，请你说。 互相垂直是是相交的一个比较特殊的一个 情况。情况。嗯，他怎么特殊了？他的四个角的度数都是九十度。嗯，也就是两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直。好的，那我们知道有一个点 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。哎，那小学阶段我们又认识了哪些角？你能不能按照从小到大的顺序给我们说一说？好，请你来。 我们学习了锐角，直角和钝角。哦，还有补充的吗？锐角，直角，钝角。好，请你来补充。 还有平角和周角，同意吗？好的，很完整了。这是我们在课前导学单上也整理过的知识。 嗯，我现在把他这个投屏上去的这个同学，他的这个作图啊，我们老师非常欣赏，他很规范，用到了铅笔和直尺作图，向这位同学学习。好， 看来啊，对于线和角这一部分的知识，同学们掌握的还是非常不错的。那么翁老师这里呢，有一套针对性的练习，我们先来看一下， 一共有五道题。好，我现在将它推送到大家的电子书包里面，请同学们完成。完成了以后迅速的提交好。准备好了吗？好的， 试一下。嗯，我看到已经有同学全部都完成并提交了。好，我们稍微的等一下， 看一下作答的情况。 在所有同学里面，我们发现八号同学提高提交的速度是最迅速的，八号同学，请举一下手试一下，老师你真厉害。好， 嗯，在这这个绿颜色呢，表示正确的，红颜色表示错误了。那我们来看一看这个第三题吧， 整体的正确率还是非常高的。经过一个点可以画多少条直线？谁来说一说你是怎么做的？你是怎么想的？好，请你说。嗯，经过一个点可以画五， 嗯，经过一个点可以画无数条直线，因为因为一个点他他这边可以可以经过无数条直线，划过去的话，他是，他是没有，他是可以完成他的这个题目的要求的哦，好的，请坐，大家同意他的意见吗？ 同意。好，我们来看一下这个正确答案，确实是无数条。好，这个题如果做错，同学，请你下一次注意。好，那么通过刚才这个练习啊， 我们可以看出，同学们正确率还是非常的高的。看来对于这个线和角的知识大家已经掌握的非常好了，那我们就赶紧进入下一个板块的学习，好吗？ 好，那我们知道点和线是构成图形的基本元素。那想一想，在我们小学阶段，我们一共学过哪几类图形？ 好，请你说， 我们学过平面图形和立体图形，也就是一共几大类？两大类，两大类。好的，平面图形和立体图形。 今天这节课呢，我们主要是对平面图形的相关知识进行复习和整理。好，那我们小学阶段又认识了哪些平面图形啊？好，来，请你说说。 我们学习了三角形，正方形、长方形、梯形、平行四边形和圆，还有扇形。哦，学习了这么多， 大家同意吗？同意，好的，我们在课前已经在导学单上用思维导图的方法将这些平面图形进行了分类，并且我们还在电子书包中提交了，还互相是不是互相点评了呀， 互相的点了赞。那到底哪一位同学他的人气最高呢？我们来看一看， 这是大家的这个思维导图的提交情况。好，我们来看一下哪一位同学人气最高？ 哪一位？十五号，十五号同学坐在哪里？好，来，请你起立，我们来点开一下，看一看十五号同学的思维导图是怎样的。 好，这是这位同学整理的思维导图下面。嗯，吴老师，想请你到我们这个黑板上来。嗯，首先对着自己的思维导图，然后将这些平面图形分一分，再说一说自己是怎么想的，可以吗？好，请 我把这些平面图形分为了三大类，分别是四边形的一类， 三角形为一类，圆形和扇形为一类，我是按他们的边来分的类。哦，好，请三位。哎呀，看来这个同学他不仅是分的很好，得到了大部分同学的认可，而且呢，他表达也很清晰。好的，我们把它整理一下， 我们现在已经将平面图形分成了这样的三类，并且课前呀，每一位同学都在导学单上对这 几类图形进行了深入的整理。那么接下来老师给大家发布一项小组任务， 每个小组选择合适的方法对这三类图形中其中的一类进行系统整理，明白了吗？好，现在开始， 你们想选什么？行，好好，行，讨论一下， 说一下怎么分工。想一想，两条边的长度是相等，这两条两条边的长度是相同的，两条边的长度 是相同的，你是圆形是吧？好，待会指示哦。好， 好的，他的两组对边平行于相等，而且对角相等，他一把平行于。 你们是哪个哪个形状？你们是准备整理哪一种形状？ 四边形还是什么形？继续吧， 我待会是他在服务我们，用 ppt 的 程序来做，帮我直接撑一点。 对啊，准备好了，一二三，开始一下。 说，对了，你整你完了， 你们已经准备好了是吧？ 都整理完了，看来你们的课程准备真的是非常的充分啊。好，那接下来的这一块时间，翁老师想教给你们。 嗯，我也来当一回学生，请你们来当小老师，我也坐在下面听一听好不好？好好，那刚才哪些小组整理的是有关三角形的知识，哪个小组愿意汇报？好，来，请你们来吧。 师，我们小组想利用白板上的绘画工具来展示我们的汇报成果。嗯，很好，欢迎。 有点慢， 你们现在是要打开白板？好的好的。嗯，好，不着急， 我们小组梳理的是有关三角形的知识， 三角形是由三个顶点三条边围成的封闭图形。下面我们来看看三角形角的特点，像这样三个角都是锐角三角形，叫做锐 角三角形。 像这样一个角是钝角三角形，叫做钝角形，钝角三角形。 所以按照三角形角的特点，我们可以分为三类，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 我们来看看三角形边的性质， 这是一个任意三角形，它的三条边都不相等， 这是一个等腰三角形，它的两条对边相等，两个底角相等，两条边相等，对吧？ 这是一个等边三角形，它的三条边都相等，三个角都是六十度， 所以按照三角形边的特点，我们可以把它分为两大类， 任意三角形与等腰三角形。等腰三角形中又有一又有一类特殊的三角形等边三角形， 它也叫正三角形。老师老师，我，我想打断一下可以吗？不好意思，请问一下这个这个这个小的圆是应该被包含在了这个大圆的里面还是画到它的外面来？ 呃，这个圆是，呃包含在等腰三角形的类边里面的里面的。哦，好的，谢谢，谢谢。三角形还具有稳定性，生活中人们常常会利用三角形不易变形的特性，例如篮球架、桥梁建设方面等。 下面还有哪些同学想补充一下？梁启宇， 我想补充一下。我们还知道三角形的底和高，我们可以任意取三角形的一条边作为它的底，那么从这条边，从它对边的一个顶点上做下一条垂线段做的，它的高三角形有三个底和三条高。你说的非常好，谢谢。还有谁吗？ 张文寻，我想补充一下三角形的对称轴，三角形有普通三角形，普通三角形有没有对称轴，还有等腰三角形，等腰三角形有一条对称轴，还有等边三角形，等边三角形有三条对称轴。 你的补充非常有价值，谢谢。我们的汇报结束。好，谢谢你们，非常感谢 刚才这个小组，他们用的是学科工具，然后画维恩图的方法对三角形的相关知识进行了整理。维恩图也是一种非常好的进行整理的方法。好，那还有哪些小组选的是有关四边形的知识进行整理的？ 哦，有这几个小组。好，那我想请你们小组来汇报。 老师，我们想通过思维导图的方法来进行梳理。好的，请 这个需要吗？好， 我们这个小组来研究四边形，我们是通过表格和文图的方式来进行梳理的。 四边形分为平行四边形、长方形、正方形和梯形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。 平行四边形的对边平行且相等，对角度数相等，内角和为三百六十度，它没有对称轴。 长方形的对边分别相等且平行，四角都是九十度，内角和是三百六十度。有两条对称轴。 正方形四条边都相等，四角均为九十度，内角和为三百六十度，它是轴对称图形，有四条对称轴。 梯形只有一组，对边平行，它的内角和是三百六十度。梯形分为三类，一般梯形、直角梯形和等腰梯形。 直角梯形有两个直角，它没有对称轴。等腰梯形有两条腰相等，它有一条对称轴。 我们的汇报完毕，有哪些同学可以补充一下？ 呃，圣子贤，平行四边形中有一种特殊的平行四边形，它叫菱形，菱形的对角线就是它的对称轴，它有两条对称轴。谢谢你的补充， 我们的汇报完毕，谢谢大家！嗯，非常棒，好，请回位。好，翁老师来吧。 好，我感觉刚才这个这个小组的汇报特别的完整， 那么他们又是使用的什么呢？他们使用了表格和文图是吧？呃，是结合了这两种整理方法， 那么这种多种整理方法的结合可以让我们对知识点整理的更加的细致，更加的完整。好，那关于圆形的知识又是哪些小组进行整理的呀？刚才 好，哪个小组愿意汇报，都想来。好，请你们来。我我，我想先采访一下， 你们想用什么方式给大家汇报啊？我们小组在课前预习的时候提交了一份 ppt， 我 们想用这种方式来汇报我们的学习成果。哦，你们那个 ppt 我 看了，做的非常的精美，好，请吧，需要这个吗？好的， 我主要汇报的是圆的概念，圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小。早在战国时期，墨子就为圆下了一个定义，圆一中同长也。 我主要汇报的是圆的半径和直径， 如图，连接圆心和圆上任意一点的距离叫半径，一般用字母 r 表示，半径的长度就是圆规两角之间的距离，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示， 两倍半径的长度就等于一个直径的长度。在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 我主要汇报的是圆周率，古人发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母派表示， 它是一个无限不循环小数。世界上第一个把圆周率精确到七位小数的数学家，是我国的祖冲之，在实际应用中常常取它的近似值 pi 约等于三点一四。 我主要汇报的是圆的对称轴，我们把圆沿着任意一条直径对折，两边可以完全中和，说明圆是轴对称图形。 这就是我们小组的实验成果。直径所在的直线就是圆的对称轴，也有无数条对称轴。我们的汇报完毕，哪些同学还想要补充一下的？张一泽，你来 呃，我来汇报一下我们。我们在六年级还学过扇形，扇形是圆的一部分，圆心角的角度取决于了扇形的大小。你的补充非常有价值，课后我们会把它做进我们的 ppt 的。 我们的汇报完毕，谢谢大家。哎，老师，老师，我想提问 可以吗？可以，我想问问这个圆形和其他的这些平面图形之间有什么不同啊？ 圆形是由一条曲线围成的封闭图形，他没有角。但是其他的图形都是由。呃，几个线段围成的封闭图形，他们有角。哦，大家同意他们的说法吗？同意，好，谢谢你们好，谢谢大家！谢谢大家好，请站位好， 感谢刚才这三个组的同学的精彩汇报，通过我们大家的共同努力，现在啊，我们已经对平面图形的知识进行了非常全面的归纳和整理， 那么接下来呢，翁老师这里还给大家准备了一套平时我们在练习中出现的易错题，请大家先把题看一看啊，一共有五道题，哎呀，同学们都迫不及待的拿出了电子书，包好，现在准备答题。 嗯，有些同学的动作非常的快。好的，现在好像大部分同学都已经完成了任务，我们来看一看。 嗯，正确率相当的高。看一下这个第二题吧，有一个同学答错了，圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一。谁来说一说，你是怎么判断，是怎么想？ 好，来，请你说，这道题是正确的，因为圆的圆心角是三百六十度，这个扇形的圆心角是九十度。扇形圆心角的大小取决于这个扇形的大小， 决定了扇形的大小，用九十度除以三百六十度，可以得出四分之一，所以这个圆心角是九十度的扇形，是与它半径相等的圆的面积的四分之一，大家同意吗？同意，好，我们来看一下正确的答案 是正确的，非常好，而且解答的很清晰。这个题有两个同学做错了，看一下，任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形，这句话正确吗？好，谁来说一说你是怎么想的？ 好，请你说一下。我认为这一题是错误的。嗯，因为就算他等底等高，如果一个是直角梯形，一个是一般梯形，他们也不能拼成一个平行四边形。那是怎样的 两个梯形才能拼成一个平行四边形呢？两个完全一样的，完全一样或者完全相同的，同意吗？同意，非常棒，请坐。 看一下解析。任何两个完全相同的梯形都能拼成一个平行四边形。好， 这些题啊，都是平时我们作业中的易错题，那通过我们今天的整理和复习，我们明显的感受到正确率提高了。看来啊，同学们对于这个平面图形的知识已经掌握的相当好了。好的，好，请大家先作证。 我们刚才是对平面图形的知识进行了整理，那么现在大家看这里平面图形和立体图形之间到底有怎样的关系呢？好，有同学已经有想法了，我们先看一段小视频 感受一下。 嗯， 好，你这个同学，你刚才有想说的是吗？好，你来说一下，你觉得他们之间有什么样的关系？ 就是立体图形是由许多平面图形围成的，围成的是它们构成的，对不对？好，请坐。其实通过刚才的对比和演示，我们发现平面图形经过平移、叠加或者是 旋转都可以构成一个立体图形。关于立体图形的知识，我们会在后面的复习课中对它进行整理。好，刚才同学们一直都在动脑筋，下面我们来动动手吧。好，请看 谁来读一读这个题目的要求。好，请这个女同学你来读一读。 做两个一样的平行四边形纸片，把它们重合在一起，将上面的平行四边形绕它的一个顶点旋转一百八十度，再通过平移使它与下面的平行四边形重合。 观察两个平行四边形的各条边与各个角，你有什么发现？声音真好听，读得非常好，大家现在明确了这个题的提议了吗？ 好，那现在请以两个人为一个小组，先坐一坐，再说一说你有什么发现？准备好了没有？好的，开始。 先摆在上面摆好，先重合。先摆在上面摆好，先重合。注意看一下顺序，按照那个步骤可以摆在桌上，你和他一起做 试验一下。先重合，按照顺序按照顺序试一下，然后再想想，再互相说一下。 就是他这个脚，脚一和脚三，这两个是相同的，而而红色的脚 怎么样，你们发现了吗？我们发现了，对不对？好，所有的脚 怎么样，我们发现了吗？我们发现了，对不对？我们发现了，对不对？ 好，已经发现了这个里面的规律了吗？那谁愿意来说一说？ 好，请后面那个男生，嗯，我发现他把上那个，把其中一个平行四边形旋转，叫一个顶点旋转一百八十度，再重合后发现他们两个图形，嗯，完全重合，而且他们的脚那个都是一样的。 好的，这是他们的发现。有没有哪个同学想补充一下？好，请你来。对边相等，对角也相等，什么形状啊？ 平行四边形，平行四边形的对边相等，对角也相等，大家同意吗？同意。 好，那我们刚才通过旋转和平移再次的验证了，平行四边形，对边相等，对角也相等。好，老师，这里有一个小动画，我们一起来感受一下这个过程， 而且刚才那个同学用到的一个词特别好，完全重合。我们以后还会认识更多的平面图形，我们可以把这样的方法运用到这些图形中，去，发现它们的特征。 好，同学们，我们知道我们的数学知识啊，其实都是来自于生活的对不对？那么他也会运用到生活中去。下面我们去一起去看一个生活中的数学问题， 这有一个储蓄罐，想一想如何判断一枚圆形硬币是否能放进下面的储蓄罐中？请结合今天复习的知识说一说。注意，储蓄罐的开口是一个长三厘米，宽零点四厘米的长方形。 好，有想法了吗？哎，好，你先说。呃，我们要先求出这这枚硬币的。呃， 他直径如果直径大小于存钱罐的长，那么就可以放进去，等于也可以放进去，但是很困难。 呃，而且还要求他的厚度，如果厚度也是小于这个长方形的宽度的话，他是完全可以放进去的。嗯，一定要小于吗？呃，等于，很难小于或等于，对吧？好的，请坐。大家同意他的意见吗？好，那还有没有哪个同意？用自己的话来说一下，怎么样判断？ 好，请你来。就是当这个圆形硬币的直径小于等于这个长方形，这个长方形小于或等于。好，接着说， 当这个圆形硬币的直径小于或等于这个长方形开口的长圆形硬币的厚度小于或等于这个长方形开口的宽的时候，他是能放进去的。嗯，同意吗？同意，非常清晰，表扬他很好 看。来呀，我们这个解决实际问题的能力也增强了。好，同学们，现在今天的课上到这里，现在请大家回顾一下，通过今天这节课你有什么收获？ 好，你来说。通过这一节课的复习，我更深的了解了他们之间的关系。哦，非常好，还有补充的没有。 好，那个男生，你说一下。通过这一节课说，我知道了，油点可以组成线，油线可以组成面，然而油面可以组成体。哦，其实我们刚才复习的时候也是按照这种顺序复习的，对不对？也就是说我们复习的时候可以找到一种顺序来进行复习。很棒，还有吗？好，你来说一下。 我知道了，我们可以用图表、文图、思维导图等方式来整理我们所学过的知识。嗯，也就是我们在进行知识的整理的时候，可以选择不同的方法进行有效的整理，很棒，还有吗？ 好，那个中间那个男生，你说一说。嗯，通过这节课，我了解了直线射线线段的它们的关系以及它们的区别。 好的，看来同学们的收获还真不少。好，那么今天通过我们大家的努力，现在已经将平面图形的知识整理的非常的全面了。

六、下数学最难的正比例反比例就这十五大题型练完稳进班级前三六年级下册数学正比例反比例知识点一、四种关系，两种不相关联的量，不成比例 两个变量的四种关系，加法关系，减法关系，乘法关系，除法关系。顺口溜二、正反比例对比要记要背。正比例，反比例 三、常见的正比例反比例一，在比例尺中二、行程问题三、售价问题四、工作量问题五、笔和笔直问题六、分数问题七、圆的相关问题八、正方形相关问题九、长方形相关问题十，三角形 相关问题十四、正方形相关问题十五、铺地砖问题时间码二，一一。

各位老师好，欢迎收！各位老师好，欢迎收看柚子老师研教版小学数学说课分享频道，资料获取请看我主页介绍哦，喜欢就收藏关注我吧，万一有需要的时候可以找我哦！ 今天我说课的内容是第一课时平面图形的认识与测量。二、我将结合课间的设计思路，从教材分析、学情分析、教学目标、教学重点难点、 教法学法教学过程、版书设计和教学反思等方面展开说明平面图形的认识与测量。二 是人教版六年级下册第六单元整理和复习中图形与几何板块内容，在学生已认识平面图形基本特征的基础上，聚焦周长和面积知识，通过系统梳理公式及推导，完善学生知识体系， 为解决生活中图形问题及后续立体图形学习电机在几何知识链中起承上启下作用。六年级学生有一定平面图形认知基础，对周长、面积公式有初步了解，但对公式推导原理理解不深， 知识系统性和连贯性欠缺。他们具备一定自主学习和合作交流能力，不过在构建知识网络、灵活运用知识、解决复杂问题上存在困难，教学中需多引导、多实 践。

这道小升初行程必考题看起来非常复杂，郑老师想到了一个非常好的方法，赶紧帮孩子点赞收藏！客货两车同时从 a、 b 两地相对开出五个小时相遇，它是一个相遇问题啊。 相遇后呢，两车又继续向前行驶三个小时，这时客车离 b 地还有一百八，货车离 a 地还有两百二， a、 b 两地相距多少米来？这要提的话，两个车都在往前走，我们看一下距离目的地的这个长度，能不能判断出来谁的速度快， 是不是客测的速度快啊？哎，我们判断出客测的速度快，那么这一期这个相遇点咱们就好找了，我们把这个图给它画出来。 既然客车的速度比较快，那么相遇的时候啊，咱们让这个客车走的稍微长一点，那么相遇后呢，两侧又继续向前行驶三个小时来，客车往前走三个小时，还剩余一百八到 b、 d 对 不对？ 货车呢？往前也走三个小时，距离 a、 d 还有二百二十千米。我们来看一下，这五个小时两辆车也都在行驶五个小时是不是合走了全场啊？ 后半段这三个小时是不是也可以看成合走的呀？我们看一下八个小是合走了多少？八个小时，如果再加这个一百八，再加这个二百二，是不是就合走了两个全长？所以我们写下来八小时合走的， 再加上这个一百八十千米，再加上这个二百二十千米，是不是就等于两个全长啊？你看五个小时合走一个全长，那两个全长是不是得合走十个小时？所以这两个全长是不是就是十个小时合走的路程啊，我们给它替换掉。 那你看啊，八个小时合走的路程，再加上这个四百，是不是就是十个小时合走的？那我们可以判断出这一段就是两个小时合走的， 两个小时合走四百，那么一个小时合走的。咱们是不是能求出来了？用一百八十加上二百二十去除以两个小时，这个两个小时是怎么来的？是不是五变成十，五乘以二，再减去这个八呀？减去八 就等于两百千米，这个是一个小时合走的，一个小时合走两百千米，那么五个小时合完一个全长，那么二百乘以五是不就全长啊？等于一千千米，你学会了吗？关注正能量，我们一起学数学。

这个思维导图不要等到六年级才收藏，一二年级就给孩子备上，与课本课时同步。他把课本每科所学知识点用思维导图梳理总结规范，后面还有每科必考知识点规范，让孩子复习思路更清晰。重点 疑难点红字醒目标注，孩子更易理解。一到六年级一本通用，在上小学的孩子不要错过了。

这是一份二零二六年春季人教版六年级数学下册的期中测试卷，卷面完整，题型包含基础填空、判断、选择、计算操作及实际应用解决问题，整体难度适中，知识覆盖面较广。