顺义一模数学2026初中新定义

有道是数学找小伟考试不问回。哈喽，大家好，我是你们的赛博数学老师小伟。那今天呢，我们就来小虐一道刚刚出炉的顺一模的代数压轴。 先来读题啊，他说已知抛物线 y 等于 a， x 方减去三 a x， 那 注意到 a 是 大于零的，也就说待会儿我们再分析图像的时候啊，就没有必要再去考虑这个开口向下的情况了。 那第一问，求抛物线的对称轴，那大家看到这个解析式 ab 当中都含 a， 所以呢，这道题我奶奶来都行，对吧？我们直接给它代入到这个对称轴的公式当中， x 等于负的二 a 分 之 b， 那 这里边这个 a 还是从前的那个 a， 但是 b 它现在是什么？负三 a， 所以 直接给它带进来，算出来 x 等于二分之三啊，所以说这个对称轴非常非常的简单。 那接下来我们看第二问啊，他说抛物线上有两点，吧啦吧啦吧啦啊，大家会看到这个题干啊，是不是看上去好抽象，对吧？完全不知道他在说什么， ok， 出题人呢，可能也知道你们不太会， 所以呢，他给了你们圈一，这一问过渡一下，给了你们一个特殊值，就是当 a 等于一， t 等于二的时候，那咱们来看，那此时的抛物线，他就应该是 y 等于 x 方减去三 x 没问题吧？ 那 t 等于二，说明什么呢？就是 m 的 横坐标，因为是 t 嘛，那现在 t 是 二， m 的 横坐标就是二呗，那 n 呢？ 它的横坐标是二 t， 那 t 是 二，横坐标就是四呗。啊，也非常的容易对吧？好，那这个 m 和 n 的 纵坐标分别是什么呢？直接带入到抛物线当中，把二带进去，二的平方减去三乘二，四减六，是不是就应该等于负二？ 咱们再把 n 的 横坐标四带进去，就是四的平方减去三乘四，十六减去十二，也是四。 好，那现在我们把草稿纸擦掉啊， m n 的 坐标我们就已经求出来了。那怎么样去理解这么一个题干呢？大家注意，凡是这种很抽象的题干，我们直接画图，利用图像去研究它就 ok 了。那咱们简单的画个小图 来，那咱们画一个平面直角坐标系，然后 m 的 坐标大概是在这就是二到负二啊，这是 m， 那 n 的 坐标呢？应该是第一项线，大概这个位置四到四。好，那么看题目当中让咱们干嘛过 m 去做 y 轴的垂线， ok， 大家看好了，是做 y 轴的垂线，然后过 n 呢，去做 x 轴的垂线。 好，那咱们稍微平一下啊，让这个图是准确的。那他说两条垂线交于点屁，那线在这就是放的那个屁了啊，是吧？放的那个屁？ 好，那他说求 n p 的 长度，那大家会看到啊，这个 p 点坐标是不是咱现在可以马上写出来，这个 p 的 横坐标就是四，纵坐标就是负二吗？所以 n p 的 长度，那太容易了呀，是不是就应该等于 n 的 纵坐标四减去 p 的 纵坐标负二，所以就应该是六？ 好，那第一问轻松加愉快也解决了。好，那我们来看圈啊，他说 t 取 t 一、 t 二时， n p 的 长分别为 t 第一、第二。那 ok， 咱们看到啊，它是要求这个 n p 的 长的关系了。那你说老师，这不对啊， 你说这一模的题是不是基本上应该都是按照去年中考的改编的？那这个 n p 的 我不会啊，那大家发现啊，其实这个换汤不换药， 它要求的是 n p 的 长没错，但是你会发现啊，我们算 n p 的 长的时候，结合圈一的经验，是不是我是拿 n 点的纵坐标减去 p 点的纵坐标算的，那 p 点的纵坐标，它不就是 m 的 纵坐标吗？ 所以说这个归根到底还是去找这个 n 和 m 纵坐标的关系没问题吧？那我们在处理这种问题的时候啊，还是按照老师之前总结的这三步。那第一步我们干嘛啊？第一步当然是我们先要表示点的位置啊，表示这个点， 那表示哪两个点呢？因为我要找的其实就是 m 和 n 这两个点嘛，所以先表示 m 和 n 这两个点。那大家注意啊， 这个此时这个 m 的 红坐标，它就是 t 了啊，不能再用圈一的，这个 a 等于一， t 等于二了，那我们再把 t 带入到原来的抛物线当中，是不是此时纵坐标就是 a t 方减去三 a t。 好， 那咱们再把 n 点 n 点的红坐标是二 t， 咱们带进去，是不是就应该是四 a t 方 再减去六 a t。 好， 那第一步咱们就完成了啊，分别用含有 t 的 这个啊， t 和 a 的 式子去表示这个点的坐标。 那第二步呢，我们就要去表示这个线段的长度了啊，因为他要问的是这个 n p 的 关系嘛，所以说咱们先要表示这个线段 n p 就 ok 了。 那 np 其实就是 m 和 n 纵坐标的差的绝对值嘛，所以咱直接写就 ok， m 和 n 啊， 我就写 np 吧，写 np， 因为这道题是 np， 那 np 它就应该是等于这两个点纵坐标作差，也就是三 a t 方，然后再减去三 a t 啊，注意一定要加上绝对值。 好，那第二步表示线段就完成了，那第三步呢？就是画图啊，就是去画图 啊，那我边画呢，边教大家，就是对于这种含绝对值的图像，我们怎么样去画。那首先我们先来看一下它的解析式啊，它是三 a t 方，减去三 a t， 那 它们都有一个公共的部分三 a t， 所以 咱先给它 化简一下啊，或者说咱先给他音式分解，就是它是等于三 a t 提出来小括号 t 减 e 的 绝对值的。那大家如何去画这个图啊？现在我们就把它看成是一个关于 t 的 二次函数，也就是说它的横坐标 就是 t， 然后它纵坐标就是什么啊？纵坐标表示的就是 n t 的 长度，那既然我们看成的是一个关于 t 的 函数，那这三 a 它其实就是那个二次项系数了吗？那其实这个图很好画，因为 t 乘 t 减一，那咱们 肯定能知道，它肯定交与 x 交于零斗零和一斗零啊，所以说这个图它开口向上，因为 a 是 大于零的。哎，简单的调整一下， 这个图大概应该就长这么回事。好，那你会说，老师啊，不对啊，这还加了一个绝对值呢，那我画出来这个图，这个绝对值怎么表示呢？啊？大家先别急， 那大家想啊，这为什么要加绝对值？是因为这个 n p 的 长，它一定是一个非负数，对吧？那我这个是加绝对值的原因。 那在图像中怎么样去体现绝对值呢？我们只需要将这个 x 轴下方的部分往上去给它翻折过去就 ok 了， 所以咱现在把 x 轴下方的部分简单的擦一擦，然后咱给它翻上去，就画出了这个含绝对值的类似于二次函数这样的图像啊，就是一个 w 型。 好，那接着咱们来分析一下这道题啊，他说若存在这个 a 小 于 t 一， 咱们一点点读 a 小 于 t 一， 也就说 a 要比这个 t 一 要小，那大家注意， 因为我的横坐标就是 t 嘛，对吧？所以那 t 一 大于 a， 那 t 一 是不就一定大于零？因为 a 是 大于零的， 所以咱们待会再看图的时候，我们就没有必要再去看 t 小 于零的时候了，因为 t 一定是大于零的。那接下来我们对这个图啊，一点点的去进行修改，有时候我就没有必要去看零左边的区域了啊，我已经擦掉了。 好，那他说 t 一 t 二在这个 a 到二分之三 a 这个范围，使得 d 一 等于 d 二，那 d 一 和 d 二是什么？是 n p 的 长，也就说我这个图像它的纵坐标，对吧？虽然说我没画，但是你们一定要知道它是纵坐标， 那这个怎么理解啊？大家会咱们举例子去想一想。哎，如果说哎，这个 t 一 t 二呢？哎，他是从这，比如说 a 到二分之三 a 啊，他是从这到这的。 我们看，如果说对于这段图像，可能会存在在这段图像上有纵坐标相等的时候吗？尤其是他们的横坐标，是不是还不一样？因为 t 一 小于 t 二吗？他们横坐标不一样，那在这样的图像当中，是不是不会存在他们两个纵坐标相等的，使得第一等于第二，因为我纵坐标就是第。 好，那如果这样的话呢？是不是也不存在？哎，这样的话呢？也不存在，是吧？刚才我画出来这个三段图像，他是不是都不存在这个动作标相等的情况，哎，那什么时候他会存在呢？哎，你看，比如说他长这样，哎，如果说这段图像他长这样的话， 这个是 a， 这个是二分之三， a 是 不是到这就会存在两个点，它的纵坐标一样了，哎，那哪两个点？比如说，哎，是不是这和这它就存在，哎，这和这是不是也存在，对吧？它会存在相等的时候这个纵坐标， 所以那咱们就要保证他会做一些这样的限定吗？对吧？那这道题显然我们是需要进行分类讨论的，那怎么分类呢？因为刚才我就把这个图分成了三段吗？那我就按照这个 a 分 别处于这三段不同的情况，我们去进行分类就 ok 了。 好，那我们对于这三段来说，先得给他画一下这个对称轴啊，因为这个对称轴他也是分为其中的两段了吗？ 啊？那这个对称轴二分之一。好，那我们第一个啊，我们先来去讨论一下，当这个 a 它是大于零小于二分之一的时候 啊，那也就说当 a 是 在这一段范围的时候，那 a 如果说在这一段范围的话，要保证什么呢？这个它存在第一等于第二，那这个二分之三 a， 各位， 它是不是一定得越过这个对称轴才行？如果说它也在这个对称轴左侧，那完蛋了，对吧？因为在这段图像上是不可能会存在两个距离相等的，因为它们根本就对于每一个 x 都对应一个相同的 y， 这也 y 也都不相等，对吧？好，那你说我这个 这个二分之三 a 啊，他一定得越过这个对称轴，是吧？越过对称轴是不是就有了？因为他说存在嘛，所以有一组就行，你看只要越过他就一定会存在一组，所以这样的话，我们只需要做这样的弦停，就是这个二分之三 a， 他只需要大于这个对称轴二分之一就 ok 了，只要有就行嘛。所以那咱这个解出来是什么呢？是不是就 a 应该大于三分之一？那结合咱们前面的大条件，是不是咱们先能得到这个 a 的 范围应该是三分之一到二分之一的？ 好，那么听过我上课的同学啊，一定会有印象，那我在写出来关于参数的这么一个不等式之后，那我下一步一定会干嘛？是不是考虑两边能不能取等？ 那这个是我们在做题当中一个必须有的习惯。那老师看一下啊，三分之一这个位置能不能取等呢？我们就假设他可以取， 那如果 a 等于三分之一，就等于二分之一，那二分之三 a 是 二分之一，什么位置？是不是这个位置？ 那这个 a 呢？肯定是在这个左侧，那这一段图像存在吗？他不存在啊，因为不会存在有两个 y 相等的情况，对吧？所以这边是没有办法取等的。 那二分之一呢？如果 a 等于二分之一，那 a 等于二分之一的话，你看那二分之三 a 去哪了？二分之三 a， a， 如果是二分之一，咱往里一带是不是四分之三了，那这一段图像 是不是也不存在，对吧？因为他这边也不会存在这个有对称的这种两个 y 一 样的情况，所以这两边都不能去等啊。那第一种情况我就讨论完了，那第二种情况呢？就是当 a 在 后边的这一小段啊，就是大于二分之一 小于一的时候，好，那如果 a 是 在这一段范围，二分之三， a 肯定比 a 大 嘛， 那在这一段范围怎么样就能保证，哎，他会存在纵坐标相等的时候呢？是不是他就会得越过这个点？如果这个图像大概长这个样子，是不是他就会存在这样有两个他们的纵坐标是一样的了，对吧？啊？也就说距离一样， 如果说没越过，你看这样的话，哎，是不是就不存在了？所以我们需要做的限定是什么？就是这个二分之三 a 一定得大于一。好，那咱们这个算一下，是不是 a 应该大于三分之二？那结合咱们上边的这个大条件，那么这个时候 a 的 做 a 的 范围就应该是 a 大 于三分之二小于一。 好，那大家也按照我刚才的方式，就是考虑两边能不能取等，假设能取去检验，那我会发现呢，这个两边也都是取不了等的啊，两边也都是取不了等的 啊，不信咱们可以带一下嘛。就是如果说，呃，咱们 a 等于三分之二， a 等于三分之二，是不是就二分之三 a 他 就等于一，对吧？那 此时是不是他就应该对应的是这么一段图像，是不是一定不行，对吧？那如果 a 等于一呢？ a 等于一，那更不行了， a 等于一， a 在 这，那二分之三 a 肯定在这边，对吧？所以那这一段图像我们会看到它也不存在那个对称中坐标相等的情况，也不行，所以这两边也不能去等。 那第三种情况，其实我们简单来看一下，就是如果 a 大 于一， a 大 于一，那完蛋了，因为 a 大 于一，然后二分之三 a 和 a， 它就一定在这段图像，对吧？它不可能会存在别的情况了，那这个时候就不存在对称纵坐标相等的情况，所以这种情况直接咱们 pass 掉。那最后综上所述，那哪个范围是可以的？这个是可以的，这个是可以的，所以那 a 的 取值 就是 a 大 于三分之一，小于二分之一，或者是大于三分之二小于一就 ok 了。 好，那么如果有其他任何的问题啊，大家都可以在评论区给我留言，如果觉得老师讲的不错，大家欢迎点赞、收藏、转发。好，那我们下期视频再见。

大家好，我是于老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会快速提分。今天我们来讲的是二零二六年北京顺义英模概率统计大题的第三小问， 有很多同学问这个概率统计大题，第三小问一直不知道怎么做啊？我们再以这道题为例，讲解一下第三小题该怎么求解。核心依旧是根据一个现实问题转化翻译 为数学语言。这道题我们来讲两种方法，一种是常规，我们到底应该怎么做？第二种我们能怎么能够简化我们的计算？ 好，我们来分析一下他最后让我们比较的是啥呀？是不是这个 a 正每亩的平均利润外一和 b 正每亩平均利润外二，其实就在比较这个每亩平均利润，对吧？那我们就得知道利润应该怎么做， 所以这些东西他可能就不会在这给你写啊。利润等于什么？什么等于什么？这就是我们的生活常识。无论是这个概率大题以及我们选择题，可能会在第八题、第九题出到这个 函数的模型，他都是通现实问题，这种利润是不是就应该等于我们的总额入，减去总成本，他就不会再给你写了？ 这就需要我们自己去构造这个函数模型，那么他说的不是利润啊，他说是每亩平均利润，那我们是不是也很简单直接，哎，都在除以母数就好了， 对吧？这个就是我们的核心的这道题的一个模型，利润等于总数入，减去总成本还要再细一点呢，是不是这个总额入要对于这道题来说，如果细化的话，他的总数入就等于， 首先是不是应该是母数呀？它的面积之比应该是乘以母数，乘以我的售价， 再乘以我的亩产量，平均亩产量值多少千克，对吧？乘以它的单位是元每千克，再乘以我的亩产量千克，对吧？这个才能得到我们的总额。 对于总成本来说，是不是也很简单？那就是母数乘以，他直接告诉了每亩成本，是吧？他的单位是每亩的成本。 因此我们就把这道题给分析出来，那无非就是把 a 阵的利润，每亩平均利润和 b 阵的每亩平均利润都算出来，我是不是就可以求解这道题了？好，我们来写一下。 对这道题来说，我们是不是他告诉了面积是二比一比二的，那我就可以假设作母数为五 a， 则是不是有机，那就是二 a 了，是吧？则有机二 a， 机械 a。 我 简化一下啊，机械为 a， 考场上你可以多写一点，共生为二 a， 这就是 他们最终每一种植物的面积。那对于方法一，我们就是要老老实实的把每一种的利润写出来，比如说 w a 是 不是就应该等于五 a 分 之一？为什么要除以 a 分 之一呢？因为这是我的祖母，祖母数，对吧？ 好，去乘以我们每个单个的首先是有机，对有机来说，应该是首先是母数，是吧？母数是二 a， 他的乘以售价，售价是什么呢？ 售价是八，乘以他的千克三百，这个是不是就是他的总额收入呀？减去总成本，总成本是什么？总成本是不是应该是总母数乘以每母的成本，那就八百乘以二 a， 好，这就是总成本，他们仨合起来，这个应该就是对于有机种植的总利润啊， 有机是这样，其他两个是不是都是如此呀？好，我就快点写了啊。对于机械来说，我是不就可以直接加他？就应该等于 a 乘以五，这是单价再乘以三百五， 再减去每亩的成本五百 a， 对 吧？再加上 a 乘以单价六，乘以亩数四百二千克，再减去它的成本，应该是二 a 乘以一千二，对吧？ 有两千四百 a， 这个是不是就是分别代表着机械和共生的总利润？ 好，哎，那我是不是就把 a 的 全部算出来了？最终的结果我可以直接写出来，就是大家也可以自己去算一下，就是六八五零。那么我能够把 a 的 算出来，那 b 证的是不是同理？我都能够算出来呀， 我们就一块列一下啊，同样我们就写的越来越快了，五 a 分 之一，前面总总面积二 a 乘以啊，售价八，再乘以它的母数三百， 再减去它的成本八百乘以二 a， 对 吧？再加上 a 乘以五乘以三百七十五，再减去 y a， 对 吧？再加上二 a 乘以六乘以四百千克， 再减去 a 两千四百 a， 最终的结果我能够算出来是六六七五。哎，如果说我现在把 w a、 w b 全部算出来了， 我把 w a、 w b 全部算出来了，一个是六八五零，一个六六七五，那你说我还有什么不会做的呢？不就比大小了吗？所以这个 w a 就 外 a 外一啊，这就外二，所以我最终就能够得到我的结果，外一大于外二， 这就是我们的常规做法，根据题目中所给我们的条件，我们得到 a 眉目平均利润应该怎么求？一步步根据他给我们的这些数据量，我们就去算，这时候你就把自己想成，想象成一个这个老板啊，你就是种水稻的老板。 那么方法二，在考场上我们的时间都非常的宝贵啊，我们怎么样能够简化我们的计算呢？有没有更快的方法呢？我们就可以发现， 对于 a 证和 b 证来说，他们的有机种植都是每亩三百千克，且那有机种植来说，他的成本和售价也是固定的，你每亩的产量也是固定的，那对于他们来说，你没有什么比较可言，这两者他们是一致的，对吧？ 所以，哎，对于有机来说，我可以不用比较了，对吧？那对于机器来说，由于他们的每个的亩产量是不一样的，我们主要就是比较这一块内容， 这应该怎么办呢？是不是还可以简化？因为它的总成本是由什么决定的？是每亩的机械和共生的每亩的成本和它的母数决定的。那现在 a 阵和 b 阵它的母数也是一样的呀，所以它的成本也不需要考虑了。 那我最后是不是可以直接做叉呀？第二步，做叉，我是不是可以直接设这里中的蓝色部分为 这个 t a？ 设这里的蓝色部分为 tb， t a 为没多少呢？是不是五乘三百五 乘 a 加上六乘四百二十五乘以二 a， tb 就 等于了五乘三百七十五乘以 a 加上六乘四百乘以二 a， 是不是我标黄色的部分都是一样的？我最后即使算他们这一部分也一样的，真正的差量就出现在，哎，我剩下的这个没有标黄的部分，因此我只需要来对比没有标黄的部分就行了。所以我是不是可以直接比较 t a 减去 t b 啊？ t a 减去 t b 应该等于啥呀？是不是应该就是五 a 乘以三百五减去三百七十五，加上十二 a 乘以四百二十五减去四百，哎，我 t a 减 t b 是 不是就等于这个了？那我最后要判断的是什么呀？是不是应该要判断是否作差法吗？ 我是不是要判断它是否大于零就行了，如果不大于零，那就 t a 大 于 t b， 对吧？也就得到了外一的关系，因此我就来计算就好了。五 a 乘以二十五，这是不是应该是负的了？因为三百五减去三百七十五是负二十五，对吧？再加上十二 a 乘以二十五， 这里应该是不是有三百 a 啊？三百 a 减去，这是三百 a， 对 吧？这分为四和三，那就三百 a， 三百 a 减去一百二十五 a， 最后等于了二百七十五。一百七十五 a， 由于 a 是 大于零的，对吧？所以 ta 减 tb 大 于零，所以 ta 大 于 tb， 外一大于外。二， 殊途同归，我们最终两个结果是不是都是万一大于万二？嗯，但是呢，我们方法一，他需要具体的去把每个的利润成本算出来， 对于方法二来说，哎，我可以去尽可能的简化我的计算量，我不用再去把这个算出来，我只需要把它们真正有差别的部分，真正有差别的部分，哎，通过我这个作差能够算出来，得到同样的结果就可以了。

有的人数学找小伟考试不后悔，哈喽，大家好，我是你们的赛博数学老师小伟啊，那今天呢，我们一起来搞一道瞬移一模的最后一道题新定义。 那很多同学呢，在考试和平时练习当中，对于新定义的态度啊，就是我能做出来第一问就已经谢天谢地了，第二问和第三问不是我这个水平能做出来的。 那这个视频呢，其实就想告诉大家，新定义这个题并没有大家想象当中那么复杂，只要是你耐心的去转化每一个条件，那其实我们这些问都是水到渠成能够做出来的， 那如果说呢，你的水平没有那么高，那相信今天这个视频呢，也能让你了解到更多的几盒的干货啊。那废话不多说了，我们直接开始， 他说对于原 c 和原 c y 的 一点 a， 给出如下的定义，他说如果 p 在 原 c 上什么，对于 q 怎么怎么样啊？其实大家看读到这我就已经有点烦了，因为我不知道这道题他要说什么， 那相信大家呢，可能在读到这道题的时候，可能跟我有一样的想法，那没关系啊，大家注意，我们一定要结合这个图形去转化这个信息就 ok 了，也就说我们看看啊，他在图里边具体说的是一件什么事， 他说若点屁在圆 c 上，好，那咱们一句一句的读，那我就在这个圆上随便咱给他放个屁， ok， 然后他说且对圆上任意一点 q， ok， 我 在这个圆上再点一个 q， 然后他说都有 p， a c 大 于等于 q a c， 那 a 是 什么啊？ a 我 前面读一下啊，它是圆 c y 的 一点，好，那我就在圆 c y 随便点个 a。 好， 那他说 p a c， 那 这个 c 是什么？ c 是 这个圆的圆心，那在这个圆当中，这个圆的圆心就是 o 了，所以 p a c 和 p a o 它指的是一回事啊，那我就先连一下这个 p a o， 再连一下这个 q a o。 好， 那么他说什么啊？他说 p a c 大 于等于 q a c， 注意这个是圆上的任意一点， 也就说我不管啊，我这个 q 走到哪，哎，我这个 p a o 这个角都会大于等于 q a o 这个角。好，那么这个条件我如何翻译呢？是不是他一定会对应这个角？ p a c 这个角度是此时此刻在圆上这个点我找到的最大的，这个形成 p a c 这个角度 没有问题吧？因为我不管 q 在 哪，我形成的这个角都小于等于这个 p a o， 所以 我就知道这个 p a o 就是 我原上的点与 a 点与 o 点形成这个角的最大值。 好，那么这个最大值应该怎么找呢？哎，我们画个图啊，比如说这是一个圆啊，这个是这个，哎，咱们就用圆 c 吧，哎，这是这个 a 点啊，我现在先连接 ac 啊。好，那么咱们来看这个 p a c， 咱们就举例子的方式，咱们一起来看一下，比如说 p 有 可能在这，对吧？那此时 p a c 就 这么大， 那屁呢？再往外一点，哎，是不是这个角它会相应来说会变大一些？如果屁再往外一点呢？哎，这个角它就会更变大， 哎，所以那咱们想，是不是我这个屁它越往外撇，哎，这个角它形成的就会越大， 那所以在这个圆上，这个屁最多最多能撇到哪呢？是不是最多只能撇到这个 a p 和圆相切的这个位置？因为我再往外撇，我这个屁就不在圆上了呀。 所以那咱们就能总结出来一个小结论啊，就是我什么时候就能使得圆上一点以及圆外一点和圆心所形成的这个角是最大值？ 就是当这个圆上一点是和这个圆外一点相连的这条直线，它是与圆相切的时候，那这个角就是最大值。 那其实这个大家肯定很容易能听懂了，那这道题其实他考的就是这么一回事。好，那我们就带着这个信息，我们来看一下这个第一问啊，他说如果 a 点的坐标是二分之一，逗，二分之根号十五。好，那现在我把这个图擦一擦， 现在呢，这个 a 点二分之一到二分之根号十五，二分之一大概零和一的中间二分之根号十五呢？咱们可以先想二分之根号十六啊，因为根号十六就是四嘛，就是二分之四就是二， 所以二分之根号十五，他显然他不到二，所以这个点呢，大概是在这啊，这个二分之一到二分之根号十五， 他说 a 点关于圆 o 的 关联线段的长。好，那咱们往后读啊，啥叫关联线段啊？他说 a p 就 叫关联线段啊，也就说我其实做的那条切线的长度就叫关联线段，然后那个角就叫关联角度。 ok， 那 现在怎么做啊？肯定大家就已经能想到了，我肯定去过 a 做切线吧，对吧？哎，那么相切的这个位置就是我要求的这个 p 啊。然后咱们注意啊，在我们的这个新定义当中， 几何方法一定会比代数方法要简单很多啊，所以不管是我们在做什么样的关于图像的题啊，我们优先采用几何方法，那什么叫几何方法呢？我们就利用图中的这些图形的性质去转化 好，那他说这个关联线段的长，那是不是就问此时的 ap 的 长度，那 ap 的 长度，我就一定会用圆的切线的性质连接 o p， 那连接 o p 这个位置，它一定是一个直角啊，那 ok， 那 我此时再连接 o a， 是 不是就形成了一个这样的直角三角形？ 好，那我们会看到啊，因为此时这个圆 o， 它的半径是一，所以 o p 的 长就是一。 好，那我们可以用两点之间的距离公式是不是算一下这个 o a， 如果不知道同学咱们可以整理一下啊，就是两点之间的距离公式是什么呢？比如说这是一个 a 点，它的坐标是 x a 到 y a， 这有一个 b 点，它的坐标是 x b 到 y b， 那么 ab 这条线段的长，它就等于根号下这两个点横坐标差的平方，再加上纵坐标差的平方。 好，那么这个公式它的本质实际上就是勾股定律啊，那怎么来的呢？我就以 ab 为斜边啊，去给它尝试构造一个直角三角形 来。咱们看过 a 做一条水平的线，过 b 做一条竖直的线，那我们会看到啊，当大家做出来了这个直角三角形之后，那此时这条直角边的长度就应该是这两个点横坐标的差，对吧？那么这个 这个直角边是不是就应该是他们纵坐标的差？所以也就是说横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，他对应的就是这条直角边的平方，再加上这条直角边的平方， 所以那此时再加个根号，是不是就是斜边的长度了啊？那这个就是两点之间的距离公式，所以我现在已知 o 点的坐标是零到零， a 点的坐标是二分之一到二分之根号十五。 所以我们直接利用公式啊，他是不是就应该是等于根号下 根号下二分之一的平方，再加上二分之根号十五的平方？ 因为我直接啊，两个都应该是二分之一减零和二分之根号十五减零啊，我那个零就不减了。那这个咱算一下，就应该等于根号下四分之一再加上，嗯， 四分之十五啊，所以这个四分之一加四分之十五是四分之十六，就是四根号四就等于二，所以说这条边的长度是二。 哎，那我会发现哦，太巧了，那当我知道一条直角边是一，斜边是二的时候，那我马上就能反应出来，这个角 是不就是三十度啊，因为它对应的就是三十度角的正弦值是二分之一。 ok， 那 我就先把这个关联角度是不就能填上了，这个就是三十度。 好，那接下来啊，我们来看，那 a p 的 长度呢？那在这总结一个小经验，就是在三十度、六十度、九十度这样的一个三六九的直角三角形里， 那么较长直角边，他是较短直角边的根号三倍啊。那这个推理呢，其实也不复杂啊，大家可以有兴趣直接推一推就 ok 了啊，那我们正常来说，做题就当成结论去记啊，较长直角边是较短直角边的根号三倍啊， 那所以这个长度就应该是根号三。 ok， 那 这个第一问我们就轻松加愉快就解决了。那接下来我们看第二问啊，他说已知圆 o 上一点 b 二分之根号二到负的二分之根号二。好，那我现在把这个图咱们再擦一擦， 二分之根号二到二负的二分之根号二，大概是在这个位置啊，这个位置。 好，那他说点 d 在 直线 y 等于负 x 减三倍，根号二上。好，那在这我给大家分享第二个我们需要在新定义当中有的知识点，那是什么呢？就是这个斜率和三角函数之间的关系。 好，那我在这直接说结论了啊，就是我们如果现在画一条直线啊，任意的画一条直线， 那么当这条直线它的 k 啊，就是 y 等于 k x 加 b 的 那个 k， 它如果 k 等于正负一的话，那么对应的会是什么呢？就是此时这条直线与 x 轴 与 x 轴，它的夹角就是四十五度 啊，这个是 k 和三角函数之间的一个转化，它会对应的是什么？它对应的就是这个贪阵，它四十五度，就是这个四十五度的正切值，它是一嘛，对吧？啊，那这个复数的时候呢？其实我要到高中才学，咱们现在先知道就 ok 了。 什么意思？就是如果说这条线的斜率是一，那么对应的这个角就是四十五度。 好，那么如果说这个 k 对 应的是负一啊，那负一是不是就应该大概是这样的一条直线，对吧？啊，我现在先不管 b 啊，他任意的这个 b 都是成立的，如果是这样的一条直线，那与 x 轴加角，我们还是所加的这个锐角，这个角是四十五度 啊，这是第一个我们需要去整理的。那既然他是摊着的四十五度了，那我们就还能总结出来一些比较有特点的，比如说当 k 等于正负根号三的时候， 那么巴拉巴拉这些我都不写了，那此时与 x 轴加角就应该是六十度， 如果说 k 他 是等于正负的三分之根号三，哎，巴拉巴拉，他就应该对应的是三十度啊，因为他分别就去对应四十五度、六十度和三十度的正切值。 ok， 这个是我们在啊做心经一问题当中啊，我们是需要去掌握的。 ok， 那 如果说咱知道了，这个，咱接下来看一下圈二的这一问啊，他说点 d 在 直线 y 等于负 x 减三倍根号二上。 好，那我就简单的画一下这个图，负 x 减三倍根号有可能地儿不够，咱们看个意思就好了啊，大概是一个这样的，呃，可能还需要再往下平移啊，因为三倍根号二还是挺大的。 ok， 咱比如说就是这么一条直线啊。好，那通过这样的图，我们把它稍微的补一补。哎，这边呢，咱给他再多延伸一点，然后这边呢，咱给他多延伸一点。 好，那么根据刚才我说的这个经验，是不是这个角就应该是四十五度，那这个角是四十五度，那这个角就一定也是四十五度了。 好，那他说呢，这个 d 在 这条线上，然后 d， b 是 点 d 关于圆 o 的 关联线段。好，那关联线段就需要怎么样？是不是过 b 点做切线了呀？所以我去过 b 点做圆 o 的 切线。 来，大家看啊，过 b 去做圆 o 的 切线，哎，那是不是交的这个切点，就应该是这个地点的位置？好，那我们现在只需要求这个点 d 就 ok 了呀。 好，那这个怎么算会更方便一点，那大家注意，我刚才说了，几何永远比代数要快。好，那，呃，我去做了一条这样的切线之后呢，嗯，大家注意， 我们在计算的时候啊，这条线和这条线他是不是一定是互相垂直的两条线，哎，为什么互相垂直？那大家，大家会看到啊，如果说他不垂直，我们如何去计算呢？就是连接 ob， 再连接 o d， 对吧？我们把这两条边一连，那 o d 我 们是不知道的， b d 咱也不知道，咱只知道一个 o b， 咱是没有办法去进行计算的。那正因为这道题他的特殊之处是在于这个四十五度， 对吧？那这样，这有一个四十五度出来，那如果说过 b 咱做了一条这样的切线之后，那么这个位置他应该一定是一个直角。 好，那它如果是一个直角的话，那这个角就也是四十五度，那它就形成了一个啊，一比一比根号二的这么一个等腰直角三角形，那这样子咱就能去进行计算了。 那你说老师，为啥它形成了一个这个 r 的 等腰值？第一个你可以画图来看出来，第二个呢？利用这个 b 点它坐标的性质， 你看啊， b 点的这个二分之一到二分之二到负的二分之二，那咱连接一下这个 o b 啊，连接一下这个 o b， 那 咱们会看到呢，因为这个二分之二和负的二分之二，那我过 b 点去给它做一条垂线啊，咱们看，这么着啊，哎，去过 b 做一条垂线，可能稍微的放大一点， 大家会看到 b 点的横坐标是不是就是二分之二，然后纵坐标是负的二分之二，也就是这条边的长度是不是也是 二分之二？所以其实这就会构成了一个小的等腰值，那根据这个小的等腰值呢？那这个角就一定是四十五度了，对吧？那这个角是不是和这条边是平行的？因为这个角也是四十五度， ok， 那 所以，哎，我就知道了，如果说咱这样做了一条切线之后，哎，这是垂直的，那这是四十五度，这就一定是直角了， ok 啊，这个是他为什么垂直的这么一个原因。 好，那咱们接着来看啊，那垂直了之后，我怎么样去求这个地点的坐标呢？那刚才别忘了老师说的这个 k 和这个夹角的关系啊，它是能够反推的啊，它是能够反推的。什么意思？ 就是如果说咱现在知道了这个角是四十五度，那也就是这个角就是四十五度呗。哎，我们也能反推出来这条直线，他就是 y 等于 x 加 b 啊，因为他的 k 就是 一。因为什么？因为四十五度，咱能反推过来，他这个 k 是 一， 而且它是一个 y， 所以 x 增大而增大的，所以 k 就是 一，一而不是负一。好，所以我就可以去设这条直线啊，他就应该是 y 等于 x 加 b 就 ok 了。 好，然后因为他肯定会过这个 b 点，所以我把这个 b 点坐标二分之根号二到负的二分之根号二，咱往里带一下，就负的二分之根号二，就等于二分之根号二，再 呃，再加 b， 那 b 是 不是就等于负的根号二？好，那也就是说现在我这条小红线就应该是 y 等于 x， 再减去根号二，那这两个点的焦点啊，两条直线的焦点，是不是咱只需要把这两条直线咱给它一连立， y 等于负 x 减去三倍根号二，这两条线一连立，是不是就能取出来这个地点的坐标了 啊？那咱们算一下啊，那这个怎么算？是不是上下直接做减法啊？上下做减法就是二 x， 然后加上二倍根号二等于零， 所以 x 就 等于负的根号二，那 x 是 负根号二代入到上边的第一个这个直线当中，是不是负根号二，减去根号二，那 y 就 等于负的二倍根号二，那这个地点坐标咱也给它写出来了，负根号二到负的二倍根号二， 好，那么最后啊，咱看一下这个第三问，我把现在把这个第二问该擦的都擦一擦啊，这个图一擦。 好，然后我们来看这个曹高值也猜一下啊，我们来看这个第三问啊， 他说已知点 t 啊，是一个 t 逗零，然后原 t 的 半径是二，直线呢？上的所有的点都有关于原 t 的 关联线段啊，然后这个什么最大值为阿尔法，然后阿尔法大于等于四十五度，小于九十度，直接写出 t 的 取值范围。 ok， 那 大家会看到这一问是整个新定义当中一定是最难的那一问，那没关系，我们也慢慢的去转化他，他说已知原替的半径是二， 然后他是一个 t 逗零，也就是说他就一定是一个在 x 轴上的这么一个动圆，对吧？我画出图来，你们就更好理解了，比如说我在右边啊，咱们先画个草图，哎，我现在就画一个半径是二的这么一个圆， ok 啊？比如说这个圆它的半径是二，然后呢？然后我把它稍微移一移啊，移到圆心是 x 轴上，嘿，那它因为它的这个圆心啊，这个横坐标，这个 t， 它是一个 变量，对吧？他是一个，嗯，我需要去求他的范围的，也就是他会动的，那他一定是圆心在 x 轴上动的一个半径是二的圆，所以他是一个什么场景呢？就是，哎，这么着动的一个圆， ok， 那 直线 y 等于负根号三， x 加六，哎，你看，这就是刚才老师说的这个啊。哎，这个 k 是 负根号三了，那 k 是 负根号三，说明它与 x 轴加角是多少度？六十度，哎，那负根号三都六。咱们简单的画个图， 哎，啊，可能有点小，那咱们稍微的调整一下 来，比如说这个这条线就是 y 等于负的根号三 x 加六，然后他说这上面的所有点都有原替的关联线段。那各位，哎，什么时候所有的点都有关联线段？ 那关联线段其实我们只要是它是原外的一点与原上的点和原心，然后所形成那个角是不是都会有这个关联角？然后那如果有关联角就一定有关联线段了， 所以我要保证所有的点都与这个，呃，都有。关于这个缘梯的关联线段的话，我只需要保证一个点，就是我这个缘不和这条直线有交点，是不就 ok 了， 对吧？因为有交点的话，他这个缘与这个缘相交的这一点他就没有关联线段了，所以有关联线段这个条件太好转化了，这个条件就说明我这个直线 与圆不相交啊，那不仅仅是不相交，应该说没有交点，因为它还不能相切啊，所以咱们只要说这个没有交点就 ok 了。 好，那么咱们来看一下后边这个啊，他说记这些点关于原 t 的 关联角度的最大值为阿尔法。 ok， 那 大家注意啊，这个点是在这条直线上的点，哎，我要保证这个关联角的最大值是阿尔法。好，那咱先转化一下这个条件啊， 来，大家看啊，比如说我这个点，哎，比如说这条直线上这个点他会形成一个，哎，是不是做切线，做完切线之后连圆心，这样会形成一个直角三角形，那这个角是不是就是应该此时这个点所对应的这个关联角， 哎，这个关联角是这么大，那如果呢？哎，我这个点啊，现在在这个位置，然后我依然去做切线， 哎，连半径，那大家会发现这个角好像比刚才这个角是不是要大了一些？那咱分析一下啊，就是这个点他在什么位置的时候会形成于此时的圆，这个关联角是最大的呢？ 哎，那咱们不妨啊，我就先把刚才咱们随便找这个位置，咱们先拉出来分析啊，大家注意啊，千万不要用脑子空想来，比如说我现在这个位置的时候， 那咱们看一下这个关联角他是跟什么因素有关系的，哎，那这个位置是垂直啊，那咱们画一下，那大家会看到， 因为啊，我这条边他是永远是半径，对吧？这条边永远是半径，然后大家会想到我这条边的长度他是没法算的，但是这条边，哎，这条边就有意思了，因为他是圆心和圆上点的连线。 那我们想一下啊，如果说这个此时这条边他充当的是我这个直角三角形的斜边，如果说我这个斜边他短的话， a 他 会有什么特点呢？如果斜边一短，这个直角边的长度是半径永远不变，那么斜边一短，是不是这个角所对应的正弦值就会变大？报写出来啊，大家理解理解，比如说我这现在这个点叫 p， 这个点叫，呃，这个点叫 a 吧，咱们统一一点，因为刚才原 y 的 这个点就叫 a， 然后这个是 p， 这个是 t， 那 大家想这个 sine 角 p a t， 它是等于什么呢？它等于 pt 比上 at 啊。那大家其实在学三角函数的时候，我们学过啊，就是这个角它越大，是不是它的正弦值就会越大？那现在这个 pt 啊，它是一个定值。 好，所以我要让这个 c m p a t 最大，就是对应的这个角最大的时候，我是不是一定要让 a t 它尽可能的小，那么这个整体的值就大了， 那这个 a t 什么时候它应该是最小的呢？哎，其实大家一定会反应过来啊，是不是就一定是点到直线的距离的时候，也就是说当这个 ta 它是垂直于这条直线的时候，此时这个点就应该是我现在图中所对应的这个角度取最大值的时候 啊，那这个也是我们在做这道题所需要能够去转化的一个知识啊。好，那我现在把这个图咱擦一擦啊，因为我们就知道这个位置了啊，就一定是跟点到直线的距离有关系， 如果说这块大家下啊，听完了之后还是有点没听懂的话，你们可以直接私聊我啊，或者在评论区留言，都是 ok 的。 好，那现在他说这个角是什么时候呢啊？这个角他是大于等于四十五度，小于九十度，为啥小于九十度？其实就是他不能交上，因为这个角他永远不可能是九十度。为啥？因为他形成了这个直角三角形，我这就已经是有一个九十度了， 你这个角永远不可能是九十度啊，所以说他这边给的是小于九十度，也就说我这个圆只要与直线不相交就 ok 了。 好，那我们看这个四十五度这个位置我们应该怎么样去找啊？还是利用这个几何知识去看？ 那我们看四十五度的时候，哎，咱们就假设吧，就是看此时这个图的位置啊，咱们假设他就是四十五度，那这个应该是一个什么情况呢？我们肯定还是这是圆心，然后我们直接去做一个垂线啊，去做一个垂线， 那这个位置呢？就是那个最大值的时候的那个 a， 好， 然后我过 a 点去做这条切线，然后再去连这个半径。啊，那这是直角。 ok， 那 现在咱假设啊，虽然说这个图里边看着不太像啊，假设这个角它就是四十五度， ok， 这个角它就是四十五度，那我们看这个图应该怎么样去计算啊？这个图应该怎么样去计算？ 那当我这样画出来图，其实，嗯，你们应该也能想到这四十五度，我怎么去转化呢？哎，第一个，这就一定是一个等腰直角三角形了，对吧？虽然说看着不像，但是他应该是， 那这是一个等腰直角三角形，说明什么？说明这个半径，因为他半径是二吗？这个半径是二，那么这条直角边的长度就也一定是二， 那这条直角边的长度是二，说明此时这条 a t 的 长度应该是二倍根号二。因为等腰直的三边关系一比一比根号二，所以说这条边就是二倍根号二， 那这条边是二倍根号二。大家别忘了啊，刚才这个直线有什么特点？它的 k 是 负根号三呀，那 k 是 负根号三，说明这个角是六十度， 然后现在咱还给他搞了个垂直，对吧？所以这个三角形是不是一定是一个三六九的直角三角形？ 哎，那三六九这条直角边是二倍根号二，是不是我们就知道这个较长直角边是较短直角边的根号三倍，那这条直角边我就不计算了啊，他就应该是 二倍根号二，再比上这个根号三，对吧？好，那因为他要求 t 的 取值范围。哎，那我现在要求这个 t， 我 是不是得知道这条边的长度， 那么这条边是不是一定是这个较长啊？不，较短直角边的二倍了，所以这条边的长度就应该是四倍根号二， 再除以根号三。咱简单的化简一下，他就应该等于三分之四倍根号六， ok 啊，就是三分之四倍根号六，那三分之四倍根号六，他对应的是哪段长度？是不是一定对应的是整个这一段的长度？好，那我需要去减掉他是不是才能算这个 t 点的坐标呢？ 是不是我就需要知道这条直线与 x 轴的交点是什么？ 好，那咱算一下啊，是不是就是当 y 等于零的时候啊？那零就等于负的根号三 x 加六，那根号三 x 就 等于六， x 就 等于根号三分之六，也就是三分之六倍根号三 就等于二倍根号三，是吧？ ok， 那 这条边是二倍根号三，所以那此时 t 的 坐标是不是咱用这条线段长度减去这条线段的长度就 ok 了？ 但是大家注意，此时这个 t 他的横坐标需要带上符号啊，因为 t 一定，嗯，这条边的长度一定会比这条边的长度要大一些啊，一定是要大一些的。 好，那么这一问说完了之后啊，我们再接。哎，这两个他一定比他大吗？我看一下啊，三分之四倍根号六，嗯， 他应该是，哎，这个到啊，这个应该不用，咱们直接减就行了啊，不用去考虑符号，直接用他去减他就 ok 了啊，他去减他就 ok 了。 嗯，这个因为他只要是负，他如果得到负的啊，那说明是什么呢？说明就是，哎，他长他短，如果得到的是一个正值啊，那就只，那就能说明是，哎，那个他比较长，所以直接拿这个横坐标减去这个横坐标应该就 ok 了啊， 就是这两个数一减。好，那我们接下来啊，去看一下这个第， 嗯嗯，不对，还是应该啊？它应该，嗯，如果说它减它是一个正数的话，那还是需要带符号。算了，咱们好好算一下吧啊，咱们好好去算一下，就这个三分之四倍根号六 和这个二倍根号三，那大家知道二倍根号三，这个根号三大概是一点七多一点点的数，所以这个二倍根号三呢，他应该是三点四左右的这么一个数， 好，那这个三分之四倍根号六呢？这个根号六，嗯，咱们先可以拿这个根号四去看，根号四是二，如果是二的话呢，他这个三分之四倍根号六就应该是三分之八，对吧？ 啊？如果当这个根号六，然后咱们化成根号四的话，然后这个三分之八应该是一个二点多的数，对吧？他三分之八是一个二点多的数。 好，然后呢，这个三分之六应该也不会比他大多少，他肯定不会到达这个二倍根号三这么长，所以我们就能知道啊。哎，那这个三分之四倍根号三是不是要小， 那他如果小的话，哎，是不是就说明了此时这个圆啊？这个圆他一定是在 这样，这样的一个圆，就是圆心已经在这边了啊，他就一定是一个正的了啊。所以那咱们在计算的时候呢，我是不是直接去用这个点的 横坐标二倍根号三，然后减去这段长度三分之四倍根号六就 ok 了，好吧，这个是这个点怎么样去算好？然后呢，我们接下来找第二个点，第二个点是不是就是当他与这个圆相切的时候，这个位置 啊？这个位置，因为我是要刚才从这到这啊，我们去把这个点算一下，然后第三个点呢， 是不是就是这个位置在这边开始相切，然后最后一个点是不是这个四十五度的时候啊？ 大家就依次的把这个这几个点一算就 ok 了啊？那如果说你能得到哎，这个答案的话，直接在评论区留言就 ok 了，就是这个计算，其实咱就啊，我就不带着大家具体去算了，算一个点大家就知道应该怎么算就 ok 了啊，就这个四十五度的位置 到相切的位置，这是第一个范围，那第二个范围呢？就是这个相切的位置，然后到这个四十五度就是第二个范围啊，大家直接把结果一写就 ok 了， ok， 那 这个是关于这个新定义的这个最后一道题啊，如果觉得这道题对大家有所帮助的话，那欢迎大家在评论区可以留言啊，以及咱们点赞支持一下。好，那我们下期视频再见。

好，我们来看顺一一模的带宗啊，那么这道带宗题我认为是这几个区里面的难度之首了啊，还是挺有难度的好，我们一起来看一下。 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 等于 a， x 的 平方减三 a x， a 是 大于零的，那么开口就固定了是向上的啊。 括号一，求抛物线的对称轴。好，那么直接代入我们对称轴的公式， x 等于负的二， a 分 之 b， 那 么求得 x 就 等于二分之三， 并且呢，这个抛物线是过定点零到零的。好，我们来看括号二，已知抛物线上两点 m， n 的 横坐标分别为 t 和二。 t 过点 m 做 y 轴的垂线，过点 n 做 x 轴的垂线，两条垂线交于点 p 圈一，当 a 等于一的时候， t 等于二，求 n， p 的 长。 哎呦，我们以前也没做过什么，又做 y 轴的垂线，又做 x 轴的垂线呀，是不是？没事，我们按照他的说法，我们把图给他，一句一句翻译成图像就可以了啊。 首先呢，因为这个 m， n， 它是抛物线上的两点，又给了我们说那个 t 是 等于二的，所以呢， m 的 横坐标是不是就是二， n 的 横坐标是不就是四？ 那么因为我的对称轴是 x 等于二分之三，所以点 m 和 n 肯定是在轴右的，对吧？在轴右，我去找两点。哎，然后我记上 m 点的横坐标是二，它的纵坐标就是 y， m 点 n 的 横坐标是四，它的纵坐标就是 y， n。 你 看，我现在就找出来了，然后过点 m 去做 y 轴的垂线，那我就 做呗，对吧，也就是过点 m， 我 做了一条紫色的垂线，好过点 n 呢，做 x 轴的垂线就是这条绿色的线，两条垂线交于点 p， 哎，那么这里也就是点 p， 然后当 a 等于一的时候，让我们去求 n p 的 长，因为告诉了 a 等于一，所以我现在的表达式已经变成了 y 等于 x 的 平方减三 x， 对吧？处理完抛物线的表达式之后，现在我去想， n p 的 长， n p 的 长，不就是 n 的 纵坐标减去 p 的 纵坐标吗？对不对？ 那么点 n 的 纵坐标我知道怎么求，就是把 x 等于四带到抛物线中，然后去求我们的得数，就是点 n 的 纵坐标，所以我就求出来了，是得四，但是点 p， 它的纵坐标是什么呢？它也不在抛物线上啊，对吧？ 那么我们通过看我们自己画的图，你会发现点 m 和点 n 它们在一条横线上啊， 说明他们的纵坐标是一样的。点 p 的 纵坐标我求不出来，但是点 m 的 纵坐标我肯定能求出来，对不对？哎，那么我就求点 m 的 纵坐标呗。因为点 m 它的横坐标是二，所以我将二带到抛物线的解析式中 求出， y m 就 等于负二， y m 等于负二，那么你的 y p 是 不是也等于负二，对吧？一个等于四，一个等于负二，两点一相减， np 的 长度就等于六。 好，我们来看圈二，当 t 取 t 一、 t 二时， np 的 长分别为 d 一 和 d 二，若存在 a 小 于 t 小 于 t 小 于 t 二，求 a 的 取值范围。 哎呦，读到这的时候，是不是已经疯狂的乱了，觉得这怎么出现了那么多字母啊，你竟然把 t 又给我分成了 t 一 和 t 二，你把 d 又给我分成了 d 一 和 d 二，那我不乱了吗？呵呵，其实你先别乱啊， 遇到这种复杂的问题的时候，先去想一想，我们这道题主要要研究谁？你是不是要研究的是 n p 它它它的长啊，对不对？那么研究一条线段的长，不就是要把 n p 的 纵坐标求出来，让它们做叉吗？对吧？ 其他的什么 t 一 t 二，第一第二，请你先不要管好不好，那么接下来我就要用我们的式子去把 n p 给表示出来。好，那么因为题中告诉我们了 m 的 横坐标是 t， 所以 我在 m 这写上横坐标是 t， 它的纵坐标我先用 y n 去表示。那么点 n 呢？它的横坐标是二 t， 他的纵坐标我先用 y n 去表示啊，好，那么 y n 我 去写出来，就是把我的二 t 带入到抛物线中，得出 y n 是 等于四 at 方减去六 at 的， 那么 y p， 因为我要求线段 n p 的 长吗？所以我得求点 p 的 纵坐标。点 p 的 纵坐标求不出来，他不在抛物线上，但是他和点 m 的 纵坐标不就行了吗？ 所以我把那个 x 等于 t 带入到抛物线中，哎，那么点 m 的 纵坐标就是 a t 方减三 a t， 那 么点 p， 哎，它的纵坐标也是 a t 方减三 a t 好 了，都表示出来之后，我就去让他们的纵坐标做叉吧。因为不知道谁上谁下，所以我需要用绝对值，对吧？呃，把两点的纵坐标带进去，最后就得 三 a t 方减去三 a t， 这是关于 np 哎，它的一个新的函数，对吧？遇到新函数，我们就要去画图，去分析它，那么在画图之前，我们要找一下新函数的开口方向， 因为 a 是 大于零的，所以三 a 肯定也是大于零的，所以开口是向上的，那么与 x 轴的两个焦点，哎，我整理一下解析式就变成这样了， 那么一个焦点就是 t 等于零，一个焦点就是 t 一 等于一。好了，接下来就到了我要画新函数图像的环节了。啊， 好，我们来看一下，画新函数开口向上，哎，与坐标轴交于零和一， 并且带绝对值，所以我需要把 x 轴下方的图像翻到上面，就变成了一个 w 型。啊，好，那么， 嗯，我接下来就要开始分析什么是 t 一， 什么是 t 二，什么 d 一 d 二了，对不对？哎，这里面还给了我们一个隐藏的信息，我们看题中给我们的取值范围啊，取值范围 就是 a 要小于 t 一 和 t 二，那么因为题中给了咱大前提， a 是 大于零的，那么所以 t 一 和 t 二是不是也是大于零的， 对吧？无论你的 t 一 t 二取什么值的时候，他们一定是一个正数，对不对？所以我小于零的这部分图像，哎，就请你擦掉吧，我不需要看了，我要看的就是剩余的图像。 好，接下来我再去研究一下，什么叫第一等于第二，第一等于第二，是不是代表他们两个的高度是一样的呀，对不对？什么叫高度是一样的呀？假设啊，我随便先画一个， 如果你这是 t 一 的话，那这就是 t 二，它俩的高度是要保持一致，对不对？哎，那好，现在我又分析了，高度是一样的，可是，那我的 t 一 是在哪里取呢？ 我的 t 二又在哪里呢？不知道，不知道的时候请咱有序分析，咱先把 t 二先放一放，先看 t 一 它可以取哪里？ t 一 是不是可以在这一段呢？ 对不对？ t 一 呢，还可以在这一段，对不对？ t 一 是不是还可以在这一段，对不对？哎，那我们就一段一段的去分析呗。假设我的 t 一 啊，就在这一段的时候，那么 t 一， 我先把这个新图像的对称轴啊，对称轴在这呢， t 一 是等于二分之一的，也就是我的 t 一， 它是要在零到二分之一之间活动，对吗？ 那么因为我们要求的是 a 的 取值范围， a 还小于它，所以我的第一个分类就是 a 要大于零，它要小于二分之一的时候，也就代表我的 t e， 哎，是在这 我的轴左，哎，活动。好，定完 t 一 之后，我再看 t 二， t 二应该在哪里啊？ t 二能在轴左吗？假设你这里是 t 一 的话啊，假设你这里是 t 一 的话，你的 t 二能在这吗？ 那他们的，他们的高度能相等吗？是不能的，对不对？哎，我画一画图我就明白了，啊，原来我的 t 二啊，至少我也得越过我们的对称轴啊， 对不对？哎，然后我只要能找到一点，哎，你的 t 一， 如果在这，我只要找到一点 t 二，他们两个的高度是一样的，我就满足提议， 理解了吗？对不对？哎，好了，那我明确了， t 一 在轴左， t 二要超过对称轴，所以我能列出来的式子就是，哎， t 二是要大于二分之一的，对吧？ t 二大于二分之一，并且 t 二要小于二分之三， 那么也就说二分之三呢，他要大于你 t 二的最大值，也就是二分之三，要大于二分之一，对吗？那你就列式吧。哎，二分之三， a 要大于二分之一，最后求得 a 是 大于三分之一的， 还要结合我们这一类的啊，前提的范围。最后，我们求得 a 是 大于三分之一，小于二分之一的，这就是我们的第一种情况。 好，那么第二种情况呢？仍然是啊，我下方的 x 轴下方的图像不需要看了，然后 t 一 t 二都是大于零的，所以我这边仍然不用看了。哎，刚才我的 t 呢，已经在轴左运动了，接下来我的 t 要来到轴右了， 那我们看你的 t 一 的范围现在是不是就在二分之一到一之间去活动啊，对吗？那么你 a 的 范围也是要大于二分之一，要小于一啊。好， 那么我们现在看看我的 t 二应该在哪里呢？首先，你应该确定的就是我的 t 一 t 二它们的运动的区域应该是不一样的，对不对？你的 t 二至少也得是在这边去运动啊，这样你随便找出 两个点就能他们的高度就能是一样的，对不对？说明我的 t 二一定是要大于一的，对不对？你的 t 二大于一了，那你的二分之三 a 是 不是也是大于一的？我就列示了， 求得 a 是 大于三分之二的，再结合我们之前的前提，求得 a 是 大于三分之二，再小于一的。最终，综上所述，我最后 a 的 取值范围就是这两段啊， a 大 于三分之一小于，这个是二分之一，或 a 大 于三分之二小于一，这道题就求完了。这道题呢？嗯，他的知识点挺多的。最后呢，这一问是需要我们进行有序分析啊， 所以，遇到这种题，请你别慌，先画个图，然后再仔细的分析一下，好吗？

有道是数学找小伟考试博会。 hello， 大家好，我是你们的赛博数学老师小伟。那今天我们来搞一道顺一模的几何压轴啊，我们一起来做， 他说在三角形 a、 b、 c 当中， a、 b 等于 a、 c， 咱先标图，这两条边相等，然后这个顶角是一百二十度，然后 a、 d 旋转了一百二十度，得到 a、 e， 也就这两条边也是相等的，并且呢它的夹角也是一百二。 其实看到这样的条件，就有一组全等摆在大家的脸上了，是谁啊？是不是三角形 a、 b、 d， 它一定全等于三角形 a、 c、 e 啊？这就是一个典型的手拉手全等啊，那全等道理非常简单， 边等于边，边等于边，那么这个加角呢？圆圈加叉子等于一百二，那这个叉子加上这个圆圈是不是也是一百二？那所以这两条边的加角也相等，那 s、 a、 s 全等， 那全等之后，第一问要咱正的这个 b、 d 和 c， e， 它就是对应边呀，那这个显然也相等，那第一问非常非常轻松，咱就给它搞定了啊。那接下来我们来看第二问，他说连接 d， e， ok， 那 咱们先来画图连接 d， e， 然后呢，分别取线段 b、 c、 d， e 的 中点 f 和 g， 那 这个 f 大 概在这，然后我们连接 f、 g， 然后让大家去找这个 f， g 和 c， e 的 数量关系。好，那我把这两条边咱给它标上一下颜色啊，为了待会我们去更好的观察这两条边， ok， 好， 那同学们啊，大家一定要注意啊，就是我们在这个模拟题，一模、二模，然后中考题这些所有的题当中，他的几何的画图啊，出题人的画图一定是精准的， 所以当我们要探究这个两条边，甚至如三条边的数量关系，那第一步咱们一定是先量啊，大家不要在坑上装啊，你装是没有意义的，咱们直接先量出来他们应该是什么样关系。 那对于两条边而言呢，常见的数量关系就有三种啊，就是要么相等，要么是二倍，要么是根号二倍啊，基本上只有这三种数量关系。 那咱们量一下这两条边，我们会发现它应该是一个二倍的关系啊，也就是说 c e 应该是等于二倍的 g f 的。 好，那么接下来我给大家讲一讲啊，做这种两条边数量关系的一个底层逻辑啊，那是什么？四个字叫做消灭系数啊，大家记好了，消灭系数什么意思？就是我们现在看这个二，它就是一个系数 啊，那什么叫消灭系数呢？大家注意，当我们探求出了 c e 等于二倍的 g f， 这二倍的 g f 显然有点抽象，因为在这个图里边没有任何一条边，它的长度是二倍的 g f， 所以 我们的思路点非常简单了，就是我们看啊，我们能不能通过我们已知学的一些东西，去把这个二倍的 g f 咱给它构造出来 啊，也就是说，我题目当中找一条边，它的长度就是二倍的 g f， 然后我们只需要让这条边去证明和 c e 相等就完事了。 好，那我们来看二倍的 g f 可以 怎么构造呢？因为这道题它的终点非常多，一想到终点，我们就需要想到我们初中阶段学的四个跟终点有关系的啊，直角三角形，斜边中线， 然后呢，等腰三角形的三角合一中位线以及背长中线，那在这道题里边，我们一个个先排除一下，首先等腰三角形的三线合一，那等腰三角形三线合一我们想用的话，是不是其实连接 ag， 连接 af 是 三线合一的， 但是显然他和我构造二倍的 g f 没有什么帮助，对吧？所以等腰三角形三线合一，我们先给他 pass 了。那直角三角形斜边中线，是不是这个也没什么用，对吧？因为这里边根本就没有什么直角三角形，更谈不上这个中线了， 所以我们先把这两种方法给他排除，那我们看看啊，因为这个 g 他 就是 d e 的 中点。 那好，我们看能不能我把这个 f 啊，放在一个含 d e 的 三角形当中，让它确实是中微线，哎，那这样的话，是不是就能给它构造二倍的 g f 出来了？那这个 f 它要是 是不是应该是一个以 d 为顶点的这么一条边的中点就 ok 了？所以呢，在联系上我们学过的这个倍长中线，哎，我就有了一个小思路，就是咱直接把这个 d f 一 连，并且呢，咱给他倍长出来， 哎，那你看这个其实利用中点一箭双雕的一件事，什么意思？就是我们连接 d f 并且给他倍长之后， 那连接 c f 是 不是咱就能出倍长中线的全等啊？就是这两个三角形全等，那并且呢，如果说咱一旦连上这个 e f， 哎，是不是这个 e f 它啊，不是 e f 这个点是，比如说咱叫 m 啊，这个 e m 它是不是就应该是等于二倍的 g f 的？ 因为这个三角形当中 f g 它就是中微线了呀。 哦，那我们看这种方法能不能行的通啊？ a， 那 咱连上啊，比如说咱这个点叫 m 啊，那辅助线的做法很简单，就是这两段咱让它相等，然后连上这个 e m， 再连上呢，这个 c m， ok， 那 我们看这道题能不能做。那首先这个背成中线的全等啊，我就不多说了啊，它也是啊，很简单就能证明啊。我直接把它写上，就是这个三角形 b d f， 它一定是全等于三角形啊，这个 c m f 的。 好，那大家注意，背长中线的全等它得到最重要的条件是什么？就是这两组边啊，就是这组边它是平行且相等的。 那相等怎么来？就是通过这个全等的对应边来啊，对应边是相等的，那这个平行怎么来？咱们就通过对应角相等来。你看，因为全等了，那这个角和这个角它就是相等的了，那所以内错角是不就能出平行？所以 b d 它是和 c m 也是平行的啊，这是 这个倍长中线全等它最重要的结论。好，那咱们做完这个倍长中线的全等之后，哎，我就把 b d 是 不是咱也能转移到这个 c m 了？ 那现在，哎，这个 f g 是 不是它就也一定是这个三角形 d e m 的 中规线了？ 也就是说咱现在这个 e m， 它就是二倍的 g f， 也就是说咱们把二倍的 g f 的 这个系数给它消灭掉了，咱只需要去证明这个 c e 等于 e m 就 可以了呀。 哎哟，也就是说，咱就把图中找到了一条具体的线段，哎，它的长度就是二倍的 g f 啊，就达到了消灭系数的目的，这个是我们在思考两条边数量关系的一个出发点。好，那咱们接着说啊，那我们想证 c e 等于 em， 那 咱们观察一下，刚才啊，通过被乘中线的全等，那这个 b d 已经等于 c m 了，那上一问当中呢？ b d 也是等于 c e 的， 那如果咱现在要证 c e 等于 em， 实际上我们只需要去证明 c e m 它是个等边三角形就可以了呀， 那要正等边三角形，是不是咱得有个六十度啊？所以咱们倒倒角啊，看看能不能倒出来这个六十度。那因为背长中线的全等，那这个小叉子就等于这个小叉子。 好，那在这我标一个，嗯，小三角吧。那咱们来看这个小三角是不是也是等于这个小三角的啊？这是咱们第一问全等当中的这两个对应角。 哎，那我们会发现啊，因为这个三角形 abc， 它是一个顶角，是一百二十度的等腰，所以这个底角它就是三十度，也就是说这个三角加上小叉子就是三十度， 那这边的三角加上小叉子也一定是三十度了，那再结合这个 a c b， 它是等腰三角形的，这个底角这也是三十度，所以咱们就直接给它搞出来这个角 e c m 就是 六十度， 那他是六十度。哎， c e 还等于 c m， 他 是不是就是一个等边三角形了？那他是等边，那当然 e m 就 等于 c e 了，也就是说这个 c e 就 等于二倍的 g f， 这道题我们就做完了。 ok， 那 如果说大家啊，觉得这个视频对你有帮助的话，欢迎大家可以点赞收藏关注啊！ 那对于有一些其他的问题呢？你们也可以在评论区留言，那我看到之后呢？哎，如果说大家这道题问的非常的多，那我也会出视频去讲。 ok， 那 今天的视频就到这，大家拜拜。

关于中考如何考满分，北京应该没有人比我更专业，我们中考二零二六的中考数学成绩如何把控？我今天告诉你如何在接下来不到两个月的时间里边，让数学成绩掌控在自己手中，做到我命由我不由天。我应该是北京市最懂中考数学考满分的人， 后边可以不用加之一。从知识的复习到难题的做题方法，到终极题的做题习惯，包括考试的心态，考试的方法、策略、命题认知。如果学生百分之百信我讲的每一句话，中考数学考满分是可以可控的。 首先第一个原宗戴宗，几宗新定义，包括填空，压轴，他们所有的考点都是有限的，你必须要注意一点，你要争取做到 中考考场上零思考。你知道你为什么以前总是做不完吗？因为你当时是边读题边写，然后边总结这道新题的方法，边探索。 考场上时间那么紧，不给你留探索的时间。所有题型的通用方法，如何保证会的题一定对的方法？我教你们。再有一点，好的习惯是能帮助你做到会的题都对的。问题是你有没有曾经努力的练过一个好习惯？ 同样一份试卷，同样一个人，在不同的状态下，前后的分数可能会差十几分甚至二十分。现在有一种学生让我特别可怜，因为他节奏不稳， 所以每次考试还没考就焦虑，特别怕自己做不完，特别怕自己会做错。结果因为焦虑焦虑本身就是让他分心了，让他不注意力不集中了，导致考完以后果然丢一堆的分，让你下一次考试更加焦虑。 我告诉大家，这种人首先你要坚信二十一天一定是能养成一个习惯，咱们在中考前还有接近三个二十一天来得及，你要真心老谢的，你把这句话做到，一定能很快的摆脱恶性循环，从现在开始彻底放空自己，专注于当下， 就做任何一道题，忘掉对错，忘掉快慢，忘掉名次，忘掉分数。做任何一道题，就给自己暗示我人生只做这一道题。另外一个我告诉大家，一看清，你如果真的能做到这一条， 你的数理化、语文、英语成绩同步提高。什么叫一看清？你脑子里边反应的并不是你眼睛看见的最精准的那个东西， 你眼睛大概看一看，就触发了你脑子既有的回忆。为什么很多人都审题不清？说白了就是从眼睛到脑子一定是有误差的，这个误差就像物理实验的误差一样，它是不可消灭。一次考试两个小时下来， 你总会有一两次这样的误差。所以你认为审题不清是靠认真做到的。你每次考完以后都觉得自己不认真，你扪心自问，难道你在考场不认真吗？如果说这次一模考砸了，有些发挥的不好， 你还归结为认真。不好意思，你的中考没救了，因为认真解决不了那些问题，都是习惯问题。再有一个第四个因素，好的心态，包括三轮考试法加命题认知，是可以保证你的名次越高。 每年都有一些初三高三生因为听了老谢的无敌心态，创了历史新高。还有命题认知，我告诉你们，你们可能没有意识到，数学题是一个聪明人给另外一个聪明人出的猜谜游戏， 每个条件，每个结论，命题人都是煞费苦心的提醒，如果你的命题嗅觉开窍了，每条信息产窗都是一扇门，如果学生百分之百信我讲的每一句话，中考数学考满分是可以可控的。

这是今年评估区一模原综合真题，百分之八十的孩子啊，拿不到满分，好同学们，我们来看题啊！呃，说如图啊， ab 是 圆 o 的 直径，也就是说啊，现在 ab 是 这个圆的直径，然后 c、 b 是 圆 o 的 切线，所以我能知道这个角度它应该是一个直角， 然后连接 ac 交圆 o 于点 d， e 为 a， d 上一点连接 e、 o 并延长交圆 o 于点 g 交这个切线，这个 c、 b 于点 f， 他 告诉我说角 a 等于角 f， 也就说这个角 它和这个角应该是相等的关系。第一问让我求证的是，这个 e 点是它的一个 a、 d 的 中点，那么在这个圆当中，我们知道这个直径所对的圆周角是九十度，所以下面我们把 b、 d 这条线段给它连上，咱们连接 b、 d 好， b、 d 连完之后呢，我们根据直径所对的圆周角是九十度，所以这个角度啊，他就应该是一个直角，然后我们再根据这个点叉标图持续传染，我们看能不能把第一问给他正出来。我可以设这个角度是一个点角的话，同学们，那这个角就是叉角，点加叉是九十， 那么由于这是直角，所以这个角就是叉角。因为角 a 和这个角 f 相等，所以这个角他也是一个叉角，所以这个角他就应该是一个点角， 然后我们知道这个角他应该也是一个直角，所以这是叉角，所以这个角他就是点角。对顶过来，这个角就是点角，所以点加叉是九十，那么这一定是垂直的。这垂直的话，我们根据这个垂直定律的推论，那么你既然垂直，他一定是平分的，所以这条线段和这条线段相等，所以这个一点就是一个终点，咱们就正完了。 然后 ab 是 直径嘛，所以直径自带中点，这个 o 点它也应该是一个中点。好，第一问结束了，我们看第二问啊，第二问说连接 e j 交 ab 于点 h， 他 让我把这个啊，连接 g d 啊， 咱们把这个 g d 给它连上，连接 g d， 然后交 ab 于点 h， 也就说这个是 h 点啊， 然后他告诉我是 j h 比上 h d， j h 比上 h d 是 五比六，那一比设 k， 我 可以设它是五 k， 那 么这边就是一个六 k， 然后他告诉我 b f 的 长度是一个六，然后让我去求的是这个 bc 的 值， 那么这里边很明显啊，朋友们，我们来看一下啊，他应该是有一个八字形相似的，咱们来找一下，这个八字形相似，他应该是在哪里啊？这就是这个三角形，他和这个三角形应该是相似的， 相似造型对应边乘比例，所以我知道这个 o j 比上这个 b d， 咱们的 o j 比上一个 b d， 他 也应该是一个五比六啊，就是咱们是五 k， 就 你可以写五 k 比上六 k。 然后接下来呢，这个 b h 比上这个， 就是咱们这个 o h 和 b h 之比，也是一个就是五比六的关系，所以 og 呢，他就可以写成是五 k。 朋友们， og 和 a o 相等，所以 a o 的 话，他也应该是一个五 k， 因为这个 b d， 他 是这个三角形 abd 的 中位线吗？所以他就是三 k， o e 是 三 k 的 话，然后这个 a o 的 话，他应该是一个五 k， 所以 这个就是他应该等于一个五 k， 所以 这个就是一个四 k， 这个就是一个四 k， 所以我发现只要是在这样的一个点叉的直角三角形当中，它的比例关系都是三比四、比五，那下面我们要求的是这个 b c 的 长度，我们可以先他告诉我的是这个 b f 是 六，知道一条边，那我们看一下，可以求 o b 的 长，所以我们来写一下，也就是说它念它这个角 f， 它应该等于的是对边，就是 o b 比上这个 b f 是 六，然后应该等于的是三比四， 所以我们可以去求出这个 o b， 是 啊，四个 o b 等于十八，所以 o b 呢？它应该等于的是二分之九，那么当 o b 是 二分之九的话，我们知道这个 ab 是 直径，所以 ab 的 话，它就应该是一个九。 好，那下面我们在这个 r t 三角形 abc 当中啊，咱们再利用一下这个关系，所以在 r t 三角形 abc 中，朋友们，我们利用这个贪念的 a， 贪念的 a， 它应该等于都是对边 bc 比上 邻边，就是对边比邻边探进的值比上 ab， 然后应该也等于一个三比四，然后这个 bc 是 我们要求的，所以它就应该是一个 bc 比上 ab 是 九，等于一个三比四，所以咱们就求出来这个 bc 了， 所以 bc 的 话，它就应该等于四个 bc， 等于二十七嘛，所以 bc 就 等于四分之二十七。好，同学们，那这道题咱们就求完了，所以最后咱们求出来这个 bc 的 值是四分之二十七。好，同学们，你看你学会了吗？记得点赞关注哦！

哈喽，朋友们好，我是栗子老师。那么最后呢，我们给同学们再来解析一下今天下午刚刚结束的东城区初三一模的新定义压轴题。先下一个结论啊，这道题目呢，同样是一个点类的新定义，核心呢还是我们说的 老的话题，就是你能不能搞定所有的点在哪里？当然，这道题目我觉得还是比较有意思的，就是他绝对难度不算特别大，但是呢，特别考察同学们细心细致啊，而且其实最后一问反而不是 最困难的，或者说最后一问，我们一开始就能够给题目的解完了。来，我们先来看一下这个题目的定义，非常的简单啊，他说圆啊 o， 它的弦 a， b 和一个点 c， 给出如下的定义，第一，三角形必须是锐角三角形， 当然三个角都必须小于九十度啊，并且有一条 c a， c， b 是 切线啊，只有一条是切线，那么我们就称点 c 呢，是它的锐切点好了啊， 这个经常做出来新定义的同学们都知道是吧，你又是什么点类的新定义？所以还是在问同学们，任意一条弦给你了，那么它的锐切点在哪呢？ 那你还得想清楚这个问题是吧，所有的锐切点在哪啊？好，咱们呢，又得作图了， 好，那么注意啊，我们都没有看下面的问题啊，是不是不不管他啊，爱谁谁啊，你不用，你不用在意这个问题是什么，你就想我随便给你一条弦，你能不能画出他的锐切点？ 那么锐切点的要求两个大的部分，第一，每个角必须是锐角啊，三角形啊，那么第二，只有一条线是切线啊，当然大家其实也很容易联想到圆当中应该是一个什么对称图形，对吧？ 好，所以呢，我在这呢来，同学们可以拿出自己的直尺圆规两角器，咱们手动做图啊，把这图做出来，这道题目就很好解了。 好，我在这呢给同学们呢啊，直接用一个图来演示一下啊，当然大家看的呢，眼花缭乱的是吧，特繁琐啊， 注意随便画一个圆绿色的圆圆 o， 随便画一条，选 a b。 看好了，随便画的啊，我也不知道他多少，反正就随意啊，随意随意啊，随便画一条，选 a b。 好，那么我们知道他说了， a c 就是 这个点， c 啊，这个弦切点呐，啊，这个锐切点呐，这个 c 点满足什么要求呢？ 首先，他可能他必须要满足有一条线， c a、 c b 是 切线。好，那我们干脆先做出 o a 的 这个垂线，那么这条线就应该是 o a 的 切线，当然了， 你也有可能 c b 是 切线，对吧？所以你过 o b 点做 o b 的 啊，做 o b 的 这个切线，那就是垂线。 好，所以你会知道，所有的锐切点应该是在两条切线上面的，当然，这只是初步的啊，不是严格的初步的 所有的切线啊，那个锐切点应该是在两条切线上面的，就是对于任意的情况啊，所以同学们动手作图啊，来，咱们跟着一起做。好， 现在你知道了，所有的切锐切点应该在这两条呃，切线上，但是是都满足要求吗？并不是他要满足 c a b 啊，必须是锐角三角形。好，那我们选定一条线，比如说以这一条线为例， 垂直于 o a 的 为例。好，那么同学们也知道，如果我要保证 c、 a、 b 是 锐角的话，必须要满足三个条件，第一，满足角 c、 a、 b 小 于九十度。 第二，满足角 c、 b 小 于九十度。第三，满足角 a、 c、 b 小 于九十度。好，那我问同学们，你要是满足 c、 a、 b 小 于九十度，你怎么做 好？那你是不是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线，这条线，那么假定交另外一条线与点，呃，就是这个垂直的线与点 d 啊，就是你要满足这一条线， 因为这条线呢，跟 ab 形成的角呢，刚好是满足 c， 如果点 c 在 这个上面啊， c、 a、 b 要小于九十等于九十度，对吧？但是不能等啊， 好，你要保证 c、 b、 a 是 九十度，你怎么画好？当然同样道理，就是过点 b 做 ab 的 垂线，对吧？过点 b 做 ab 的 垂线，再来，这条线上所有的点呢？满足 c、 b、 a 是 九十度，当然不能取到九十啊，要小于九十。 好，那么然后呢，你要保证 a、 c、 b 小 于九十度怎么办啊？就是以 a、 b 为直径画一个圆，圆上所有的点都可以保证啊，这个 a、 c、 b 等于九十度，对吧？圆上任意的点都可以保证 a、 c、 b 等于九十度。好，那么就是圆周角嘛，等于九十度， 好，现在我要满足的是，呃，这个角，呃，这个 c、 a、 b 啊， c、 b、 a、 a、 c、 b 全都小于九十度。那么你看一下，我们刚刚呢，通过做垂线，做垂线，做一个 ab 为直径的圆，与我们初使的两条切线 啊，这两条虚线切线，那么就形成了一个共同的区域，同学们看得出来吧，是吧，你看，我要保证都要为九十度哦，小于九十度哦，所以 ab 为直径做了一个圆， 那么过 a 做 ab 的 垂线，过 b 做 ab 的 垂线， ok， 全都搞定了，那么这个时候同学们会发现，所有的也就都出来了，对吧？ 啊，因为你要保证所有的点还要在两条这个线上面吗？对吧？好了，那你想一下，看看他既要满足，呃，在这一条线的什么？就是在这一条线就是 ab 垂线的过，以 a 为直角顶点他的内部。因为这样一来的话呢， 因为你会发现他九十度吗？对吧？所以，呃，你要保证小于九十度，你，你做的这个是九十度，那么你要小于九十度，应该在这条虚线就是点 d 的 啊，往下走，往下移，对吧？你比方说啊，这个点在这个位置啊，呃，假定啊，这个就叫点 c 吧。好吧，我们把它标一下，这个就点 c， 所以 同学们看一下，所有的点 c 必须要在两条虚线，这两条虚线呢，就是指切线上，当然一条就可以了啊。第二呢， 我们刚刚讲，如果你在点 d 位置的时候呢，刚好满足 c， a、 b 等于九十度，如果你越过它，这个时候 c， a、 b 大 于九十度了啊，不满足，所以你必须在 d 点的下方。 好，当然，如你能够跑到 e 点的下方来吗？ c 点能跑到 e 点下方吗？也不可以。为什么呢？因为如果你再跑到 e 点下方， a、 c、 b 就 大于九十度了，也不满足，因为 a、 e、 b 等于九十度，所以你会发现，哎，点 c 就 应该在 d、 e 这个线段上面 啊， d， e 这个线段上。再强调一下， d 点是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线与点 b 为切点啊，形成的切线的焦点， 那么当然这个点 e 是 什么？就是以 ab 为圆心做了圆啊， ab 为直径做了圆，是吧？与切线的焦点，当然另外一侧呢，逻辑呢，其实是一样的。 所以同学们，看你通过准确作图，我说了，虽然我在这用工具了，我在这用工具主要就是为了方便同学们直观去看， 但是同学们其实要知道，你在考场上是可以相对准确的。严格作图的。圆规有吧， 两角器有吧？那么，呃，这个直尺有吧，铅笔有吧，你就都肯定能够做出来，因为你随便做一条弦， 你做切线，你会做吧，做垂线，你做切线会做吧，做垂线。第二，你要保证三角都小于九十度，照到零界九十度，你会做吧，直角顶点做垂线，直角顶点做垂线，以它为直径做一个圆。 好，你要满足所有的锐切点，要在两条虚线上，同时还要满足小于九十度，那么这个形成的焦点的区域就是这两条紫色的线，一个是 d e， 一个是 f g， 当然，注意，端点不能取点 d， 点 e， 点 f 和点 g 都不能取。 当然，事实上，同学们也能发现，就是任意一条弦，它所产生的这个锐切点，应该是两段不包含端点的线段。我再重复一下， 所有的锐切点是两段不包含端点的线段，当然了，这两段线段长度肯定 一样，是吧，那肯定一样好。那么因此，如果同学们能 get 到这个点，那这道题目我们先来说最简单的啊，第三问，有时候老师啊，是不是说错了，对不对？没说错啊， 我把这个问题给大家解释完了之后，第三问，反而是相对比较简单的，同学们看，他说，如果 t 是 t， 零圆， o 经过点 t， 就是 以一个， 咱们刚刚讲了，对吧？就是以 o 为圆心， t 为半径画一个圆，那么他说存在一条长为二倍根号七的线段，使得线段上任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦。切点好了，就得问同学们了， 请问长度为 t 的 弦，那有无数个？对，咱们先画一个， 是吧？我随便画一个，长度为 t， 注意半径也为 t， 也就是说它其实是个什么三角形，等边三角形，就假定这个叫 a， 这叫 b， 这是一个任意的长度为 t， 这个是 t， 这个也是 t， 这个也是 t， 长度为 t 的 任意的啊。我画了一个 ab 的 弦，长啊，长度就为 t。 好， 那我们刚刚讲了，所有的锐切点在哪里？在两条没有端点的线段上，那线段还会画的吧， 是吧？会画吧。哦，以他做切线，以他做切线，然后，呃，垂直于 ab 啊，垂直于他，以他为直径，画圆，一定形成一个点，两个点，三个点，四个点，这一段跟这一段 对吧？这段跟这一段，两段不含端点的线段。但是注意了，这道题目说的是长度为 t 的 线，那你也知道，长度为 t 的 线就等价于将 ab 进行什么旋转 好，那么也就意味着我们刚刚所产生的两条长度为啊，这个没有端点的线段怎么样啊？进行旋转，当然线段长是一样的啊，线段长是一样的 好，所以我们是不是能够找出长为 t 的 弦的所有的锐切点，应该是一个不包含边界的圆环。好，我们再重复一下，应该是一个不包含边界的圆环，这个能想得通吧， 是吧？因为你有两个两段线段吗？是吧？所有的锐切点，因为我只是划出了一条长度为 t 的 弦，但是长度为 t 的 弦有无数个，也就是说等价于。假如说 a 跟 d， a 跟 b 的 长度是定的，等价于将 ab 旋转吗？你没有一个 ab 的 位置，就会产生一段，对不对？一段锐切点，两段锐切点啊，那么你转一圈呢，它就是圆环。好了，所以 同学们来看，我们在这所有的锐切点在哪里呢？就是以 o 为圆心哦， o e 的 长为半径，画一个圆。好，这个圆我就假定把颜色标成一个紫色的哈， 那么再以 o 为圆，哎呀，再以 o 为圆心，呃，这个 d 为半径，再来画一个圆，好，所以我们说所有的长度，我假定稍微差多一点啊，就是所有的这个衔接点在哪里呢？就是在这两个圆环上， 哎，问你，两个圆环，两个圆之间形成的圆环的区域，当然不包含边界啊，我们再讲一下，不包含边界啊，因为在这里面他是，嗯，这个端点不满足，对吧？因为端点是九十度啊， 好，不满足。当然，这道题目我们刚刚讲了， o a 是 t， o b 是 t， ab 是 t， 那 么所有的都是 t， 那这个角多少度啊？六十度，六十度，六十度。所以你想一下，看看我们所有的弦切点，是不是啊？锐切点是不是就找出来了？在这个圆环，那你就要想清楚，这个圆环呢，内径跟半径是多少，外径是多少呢？也就说 o e 多长啊。 哎呦，我说 o e 不知道多长啊，你别忘了啊，这里有老多的直角跟特殊角了，看一下，因为你这个点， e 就是 在什么垂直于 o b 的 这条线上啊，因为我说了，对称的长度也一样随便啊， o b 的 长是 t， 那 么 b e 的 长是多少？注意， ab 的 长也是 t， 然后呢，你别忘了这个角，哎呦，呃，这个，这个角 啊，也是，对吧？好，我把它描一下啊，哪个角的？ aeb， 这个角他也是九十度啊，而且这个六十度， aeb 呢？三十度，所以 ae 如果是 t， aeb 是 三十度，那 ae 呢？二分之一个 t， b e 呢？啊，就 b 点跟 e 点呢？二分之根号三个 t， 那 么 ae 是 t， d e 呢？同样的道理，就是二分之一个 t， 再除以根号三，对吧？六分之根号三个 t， 所以 注意 a， d， b 加 e 就是 一个非常典型的啊，这个特殊角的垂直模型，看得出来吧，是吧？啊，每个角有三十度角，有六十度角，并且 a b 长是 t， 所以 你就能够算得出来啊。 d， e 是 六分之，根号三个 t， 那么 b， e 是 三分之，呃，这个，呃， t 二分之根号三个 t， 对 吧？这个是六分之 d， e 是 六分之根号三个 t， b e 是 二分之根号三个 t， 当然加起来这个 b d 嘛，就是三分之二个三分之二倍根号三个 t， 因为 a、 d 的 长就是三分之 啊，根号三个 t， 对 吧？好，但是我要的是内径啊，内径就是谁啊？ o e 好， 记牢了吗？ o b 是 t， b， e 是 二分之，根号三个 t。 好，所以 o e 的 长也就出来了，那么然后呢？ o d 的 长有没有啊？那当然也就有了，是吧，你这个长吧， o b 是 t， 然后 b d 呢？是三分之二，被根号三个 t， 所以 o d 的 长也就有了。 好，我们在这呢，先不着急啊，我们先给同学们把这个画一下啊，就是在最后这一问当中，咱们给他画一画啊， 最终所有的在哪里呢？在一个圆环上，当然我说了，这个应该是虚线啊，不能包含这个边界，所以所有的锐切点是在以 o 为圆心。 那好，呃，一段长，这一段长是多少呢？刚刚已经说了，是吧？就是，呃， t 根二分之根号三个 t， 我 算一下内径啊，就是根号下 t 方加上四分之三个 t 方， 就是二分之根号七个 t 了，对吧？二分之根号七个 t， 对， 那么外径大耳呢？应该就是根号下 t 方加上三分之二倍根号三，就是九分之呃，十二三分之四个 t 方 啊，然后呢？等于三分之七，呃，看一下三啊，三分之二倍根号三，是九分之四乘三，对吧？三分之四个题房，对着啊，所以他就是三分之七个题房，那就是三分之七根号二十一个题， 是吧？这个咱们刚刚已经说过了啊，所以同学们可以算一下。好，现在呢，我们知道，呃，就是所有的锐切点应该是圆环啊，这个内部啊，当然不含边界啊， 但他说现在这条线段上面的任意一点都是锐切点，就是你要把这条线段怎么样啊？直接给他放进去就行了，对不对？当然我们知道 你这个 t 越大，也就是说这个半径越大，这个小儿大儿也就跟着越大，所以这个圆环越大，你肯定能够放进二倍根号七， 对不对？你肯定能放进去。现在最核心的就是什么？极限，极限就这个 t 不 能特别小，他肯定要特别大。那极限？极限是什么？极限直线就是刚好把这条线段怎么样啊？能塞进去，同学们可以想一下，你塞一条线段进去，你怎么塞？是最长的呀？在两个圆环之间， 毫无疑问只有长成。什么情形？就是跟内圆相切， 对吧？跟内圆相切，因为如果你一旦越过这个位置，同学们可以想象一下看看。如果你一旦越过这个位置，他摆放的长度其实就不够了，你，你把它稍微偏一点点。同学们想一下，偏一点点， 那这个时候假定我们这个 t 是 特最小的情形啊，你偏一点点，这个线段就怎么样啊？跑出去了是吧？端点跑出去了，那肯定不行啊。 好，所以只要满足这种临界情形啊。当然这种临界情形呢，我们也说了是吧，这段就是根号七，当然这个临界情形肯定不能取啊， 因为临界是指线段的端点刚好在圆上了，但是我们说这个圆是不满足要求的啊。好，所以最终呢，你找出这个临界值就成了啊。所以他就是大儿方减去小儿方等于根号七的平方，也就是， 呃，三分之七个 t 方减去四分之七个 t 方，十二分之七个 t 方，十二分之七个 t 方等于七啊，所以 t 的 零界值应该等于十二，呃， t 方十二，二倍根三。所以呢，只要保证这个 t 大 于二倍根三就行了。那当然，这就是最后这一问的答案 啊， t 的 大于二倍。刚才，好，我们再次跟大家捋一下啊，这道题目如何解出来的？它的核心逻辑是，我们首先做出任意长度为 t 的 这个弦的锐切点。 那么在最后一问当中，因为我们知道长度为呃，任意一种固定情形下，它能够产生两个没有端点的线段，那么如果长度为 t 的 弦的所有的锐切点就应该是个圆环， 那么好，你要保证二倍根号七的这个线段上任意一点都是它的锐切点，那么你就只要保证把这条线段能够塞到这个圆环里面去，那么当然最极限的情形就是我们所画的情形，对吧？当然同学们可以做一些尝试。 好，那么这个时候呢，你就能够算出 t 的 零界值二倍根三，但注意一下，因为在这里面圆环边界都不能取啊，所以它一定要严格大于二倍根三。好，所以这个呢，相对我们就可以把它处理完了，当然这个处理完了，我想第一题的第一小问，不用多说了吧， 是吧？你怎么做？会做吧？哦，做过 a 做他的垂线，过 b 做他的垂线，然后以 ab 为直径啊，做这个垂线，做这个垂线， ab 为直径的焦点就在这，所以这一段跟这一段 都是满足的啊，就是用相同的方法，所以这个我就不多讲了， c 二 c 三都是满足要求的啊，你就跟刚刚做法一样啊。那么最后这个呢，我们要稍微多说一下，就是第一问的第二小问。第二小问呢，实际上的逻辑是一样，就是说他给定了点 c 是 一个锐切点， 那么同学们注意，因为圆他本身是个对称图形， oc 等于二，同学们都知道，就是以 o 为圆心，然后呢，二为半径的一个圆，对吧？就是这个 c 点呢，应该在以 o 为圆心，二为半径的一个圆上。 好，但是呢，现在呢，相当于给定了 c， ab 呢，不知道，但他求的是 ab 的 弦长， 这个时候呢，大家一定要注意，因为 c 其实是在整个圆上，而圆是对称的，而 ab 呢，也是在整个圆上，圆也是一个对称图形。所以在这里面呢，我们干脆就是前面说的那个方法，叫做以静，呃，以动为静是吧？ 就是你既然 ab 只是考虑弦长，我就令 a 是 定的，只让 b 来动，这样不就让 ab 的 长度发生变化了吗？ 对吧？当然，你说我说我让 b 定 a 动呢，也一样啊，因为你只是考虑 ab 的 长度，对吧？而且这个时候我们通过呃最后一问的解释呢，大家也明白，就是它所有的锐切点应该是两段没有端点的这个线段，但是呢， 我们其实只要考虑一段就行了，因为它本身长度也一样，是吧？好，所以在这里面，我们就假定 a 是 定的，那 b 呢在动， 所以 c 呢，这个时候呢，也是确定的。好，我们只需要明确，假如说我们就令啊，比方说 c， a 啊是切线， c b 呢，那当然就不是切线，对吧？或者是啊， c b 是 切线， c a 就 不是切线，因为它本身是个对称图形，所以你只需要确认啊，一种 啊特殊的临界情形就好了啊。当然，这道题目最核心的点是什么呢？其实就是确保角度呢，都是小于九十度的啊。好，所以我在这呢也给同学们呢，把这个稍微看一下啊，大家感受一下啊。 好，大家看，我在这假定是令， a 是 定的啊， b 就是 动的，是吧？当然， c 呢， c 是 在这个以 o 为圆，心二为半径的圆上。 好，注意，我就令 b， c 是 切线就是 c， b 是 切线，当然 c a 呢？它就啊不一定是切线，对吧？就是我令 c， b 是 切线。我说了，你让谁定其实不重要啊。好，还是那个逻辑，现在的要求就是， 其实你只需要去确保，或者说你只需要去判断。当 ab 这条就是假定 a 点是定点啊， 就是 ab 这个长度发生变化的时候呢？这个，因为你 ab 有 a 是 定的，只要 b 确定一个位置，这个时候是个单动态问题啊，因为你 b 确定， c 就 确定，能理解吧？ b 确定， c 就 确定， 呃，就相当于是 b 确定 ab 的 长，确定此时点 c 的 位置也唯一确定啊。也就是说，此时的点 c， 它其实只取决于点 b 的 位置， 而点 b 的 位置又决定了弦 a b 的 长。所以大家呢，就可以找一些临界情形来看，对吧？而且你也能想得出来最极限应该是什么， 最极限的肯定就是什么九十度角的情形。因为我们前面已经解释过了，你其实难点不是相切，难点是什么？难点是九十度是吧？你得把这个九十度明确好了。好，所以同学们可以想象一下看看。当 b 特别靠近 a 的 时候，大家一想就知道他肯定不成立。 为什么呢？ b 靠特别靠近 a 就是 弦特别短，而 ac 的 长度呢，也相对是比较短的。但注意， bc 是 固定值， bc 等于多少？根号三， 这一点非常重要。 bc 是 个固定值根号三，为什么？同学们看啊？因为我是默认，或者说我是假设令 bc 为切线。我说了，令谁为切线不重要啊，就是假定我们就是 bc 为切线， 那么 bc 为缺线，同学们注意， ob 的 长是多少一， o c 的 长是多少？ o c 的 长是二 啊， o c 的 长是二，那么 bc 的 长呢？根号三？也就是说，在我们这种定的情况下，你会发现 bc 的 长不管你怎么变，它都是根号三， 都是根号三。并且我令 b c 为切线，同学们如果知道圆当中的结论的话，就知道弦切角等于弦所对的圆心角的一半，所以同学们也会发现我在这做了一个角，所以呢，就是 取弦的中点 d 啊，弦的中点 d， 那 么 b o d 这个角跟 abc 这个角一定是什么相等的啊，理由也很简单，对吧？因为垂径定律嘛，这个 d o b 加上角 obd 等于九十度啊，这边切线呢，相加也九十，也就是说 a b c 这个角跟 b o d 这个角相等啊，这个有很大作用啊， 因为后面你要算临界值，临界值是什么？就你要保证 a b c 每个角都是小于九十度的。当然同学们也知道，就是如果 ab 特别靠近 a 的 时候，大家能感受的出来，对吧？你自己画图也知道，就是 ab 特短 啊， ac 的 长度呢？反正因为你 b 特别靠近 a 的 时候呢，其实这个 ac 的 长度呢，也不会特别的长，而你 bc 的 长是定的，也就是说此时 bc 相当于最长边。好家伙，那如果你 ab 特别短，那不就保证 bc 是 钝角了吗？所以第一临界情形，你一定能够找得到在哪里， 就是在这种情形，哎呦，当时我就随手画一个这种情形下，也就是说 a c， 呃，当 b 点离 a 点有一段距离的时候，稍微远一点的时候，此时产生一个直角，这个时候呢，肯定是要满足要求的，对吧？肯定满足要求 好，那么当然同学们可以算一下，这个时候用什么来算？相似就行了啊，相似就行了，你看 b、 o、 d 这个直角三角形跟 b、 a、 c 这个直角三角形，怎么知道相似，对吧？相似。假如 b、 d 设为 x， 那么 o、 b 就是 一，那么 a、 c 呢？跟 b、 c 呢？ b、 c 是 根号三，所以 b、 c 比上 o、 b 是 根号三倍，所以 a、 c 比上 b、 d 也是根号三倍。如果你设 b、 d 为 x， a、 c 就是 根号三个 x， 那么 ab 就是 两个 x， 所以 根号三个 x， 两个 x， 呃， b、 c 的 长是根号三，能够算得出来，对吧？能够算得出来啊，所以也就是根号三个 x， 我 就把这个极限情形先算一下吧。好吧，把这个极限情形算一下， 也就是确保根号三个 x 的 平方加上两个 x 的 平方，等于呃，根号三的平方七 x 方等于三， x 方等于七分之三， x 等于七分之，根号二十一， 七分之，根号二十一。当然 ab 的 长肯定就呃大于七分之二倍，根号二十一，对吧，因为它是二 x ab 的 长，是吧？那么注意这个零件情况，那肯定是不能取的，是吧？肯定不能取啊，因为零件情况是九十度啊，九十度。 那么肯定呢？ a、 b 呢？最长最长，最长是什么呢？你 a、 b。 可以， 我们刚刚讲，如果 a、 b 特别短的时候，大家直观做一下图，会发现它肯定会产生钝角，这个时候不满足，对不对？所以你要保证 a、 b 呢稍微长一点，当你 a、 b 最长最长最长最长到几啊？到二 啊，到二，你会发现到二的时候呢，又特别巧，又特别巧，为啥？因为此时刚好就是直角三角形 啊，因为你 ab 最大，最大就是二嘛，对吧？当然到二的时候，刚好就直角，也就是说小于二的时候呢，那肯定就是锐角了，对不对？就是锐角了，当然同学们有人说，我说，那这个 a c b 呢？其实 a c b， 同学们观察一下啊，在我们如图的这个 啊长度情况下呢，大家可以去感知一下，或者说去做一下看看，它肯定是一个锐角啊，好，所以你会发现它最长最长就是 a b 取了二， a b 取了二的时候呢，大家找出这个极限情形，你会发现它呢？还是多少呢？还是这个，呃，这个，这个 啊，临界情形啊，当然这个临界情形呢，很好算，对吧？嗯，就是二，那么等于二的时候呢，大家注意一下，就是这个长度呢， o c 等于二，所以 bc 等于多少呢？根号三是吧？ bc 就 等于根号三 啊，好，然后这个 a c 的 长呢，也有了，是吧？此刚好就怎么样呢？是一个直角三角形啊，因为它本身就是直角嘛，对吧？本身就是直角啊， 好，所以，呃，另外一种极限情形呢，肯定就是二，当然能不能取到二呢？那肯定是不能取到二啊，肯定是不能取到二，所以在这里面呢，就是他要小于二啊，他小于二， 好，所以我们在这呢啊，还是给大家把这个呃图呢，给大家去看一下，大家感受一下啊，就是刚刚已经找了一个极限情形，就是九十度，对吧？就是 ab， 因为你假定 b 点是动的， a 是 定的啊，第一零件嘛，就是 b i c 等于九十度啊， b i c 等于九十度， 好，然后第二零件呢，就是极限，情形呢，就是 a， b、 c 等于九十度，就在这儿啊，就在这里是吧？好，所以，呃，这是一个零件，这是一个零件，当然有人说，我说呢，有没有可能角 c 是 九十九十度啊，这个时候肯定不满足啊， 肯定不满足，为什么呢？因为你随便是以 d 为圆心，就是 ab 的 中点， d 为圆心， ab 的 长为半径，画圆你画出来都没有办法，于，呃，都是相当于在圆的内部的。这个点呢，就是前面我们作图，我们也可以跟大家解释一下，为什么啊， 你看啊， d， b 的 这个长啊， d， b 的 这个长啊，你以 d 为圆心， b 为半径，呃， d， b 为半径，你，你重新画一个圆，你无论怎么画啊，你无论怎么画， 你会发现呢，这个，呃，画出来的圆呢，与这个半径为二的圆都没有交点，也就是说 b、 c 点呢，一定是在这个圆的外侧 啊，所以呢， b、 c， a 一定是一个锐角啊，所以你只需要考虑两种极限，一种极限呢是 b， a、 c 是 九十度，一种极限呢是 abc 是 九十度， 对吧？找到这两个极限就行了，只是 b、 a、 c 是 九十度，这个地方的计算呢，同学们稍微注意一下是吧，利用啊，一组相似啊，我们也就能够算得出来了啊，好，另外一种极限呢，很好理解是吧？二，很好理解啊， ok， 好， 所以这个问题呢，我们最终呢也就给大家解析完了啊，最终的答案呢，就是七分之二倍根号二十一到二之间啊，最后呢是大于二倍根号三。 所以这道题目我觉得还是比较有意思啊，就是说他其实，嗯在整个分析的过程当中还是有自己的这个特点存在的，虽然是一个点类的这个逻辑啊，同学们还是要仔细的去体会一下啊。好，所以这道题目呢，就给大家解析到这里啊。

这是一道今年海淀一模刚刚考过的几宗真题，百分之九十五的孩子啊，都做不上，好同学们，我们来看题啊啊，说，在这个三角形 a、 b、 c 当中，角 a， b， c 是 一个九十度，然后角 b， a， c 等于一个阿尔法，然后 d 为 bc， 延长线上的一点，接下来连接 ad， 将 a、 d 这个绕这个点 a 进行顺时针旋转一百八减二二八，然后得到这个线段 a， e， 然后连接这个 c， e。 第一小问啊，咱就不说了，比较简单，我们直接来看第二小问，如图二，用等式表示 a， b， c， d， c， e 的 数量关系啊，那么根据我们刚刚题干中给的条件，咱们来标一下， 现在我们能够知道的是角 b， a， c 这个角，哎，它是一个 r 法，然后呢， a， d 绕 a 就是 顺时针旋转一百八减二 r 法，所以呢，这个角度啊，它应该是一个一百八十度减去两个 r 法角， 呃，下面他让我求的是表示这个线段 a， b， a， b 在 这，然后以及 cd， 我 们可以把这个 cd 给它描一下啊， 就是 cd 这个线段还有谁呀？还有 c， e， c， e 这个线段， 他让我求的是这个，同们让我求的是 c， e， c， d， 还有一个是 ab 啊，求这三条线段之间数量关系。那么我拿尺子简单量一下，好像也不是谁加谁等于谁，那么三条线的之间数量关系，我们可以想办法给它转化成共线或者共形。我们要格外注意的是什么呢？就是这里边有一个直角三角形，朋友们，你想想， 这是一个直角三角形，我们遇到这个直角三角形的时候，其实我可以想到把它就是翻折过去，然后呢我们可以把这个延长出去啊，咱们可以延延长这个 c b 啊，比如说咱们做一个跟这个 c b 相等的线段， 就相当于是把这个直角三角形给它翻折过去，比如说交于一点 h， 然后下面呢我们把这个 a h 给它连上， 连接这个 a h。 好， 那么连完这个 a h 之后呢，我能够发现一些相等的角，你比如说这个角是 alpha， 这个角是九十度，那么我能够表示出来的是这个角，这个角它应该是一个九十度，减去 alpha， 那么这边这个角啊，就角 a 是 这个角，它也是一个九十度，减去一个 r 法， ok， 那 么我们再来看一下，就是当你遇到这个一百八减二 r 法的时候，我们能想到什么呢？其实我们能够想到的是等腰三角形， ok， 在 这个等腰三角形，比如说是 abc 当中， 那这时候如果我说这个角是 r 法，朋友们这个角是 r 法，然后它的这个顶角是不就是一百八减去两个 r 法， 然后如果把它延长出去的话，那这个角就是 r r 法，所以下面我们看一下，咱们发现啊，因为你是旋转过来的，所以 a d 这个线段它应该和它相等，所以呢这里边有一个 a b， 还有一个 a c 这种线 a c 和这个 a h 相等，就这和这个相等， 那我们发现有共端点有等线段，那是不是手拉手模型呢？我发现这个角不相等，所以接下来你需要再去构造出一个，就是他们的夹角，需要让他们相等，我们怎么去构造呢？ 我们可以选择就是把它延延长上去。朋友们，因为仿照这个模型嘛，等腰三角形，那我们可以去找它的补角，所以把 a h 给它延长，延长这个 a h， 然后我们去做一个让它跟这个 a h 相等，也就说做一个跟 a c 相等的线段，比如说咱们现在让它交一点 q， 然后呢做完之后呢，我发现这个 a q 等于 a c， 做 a q 等于 a c， 然后这个 bc 等于 b h。 好，这是相当于是咱们的一个辅助线。那当我做完之后，朋友们你看一下啊，我能够知道咱们能够去找一个角度之间的关系啊，就是你这个角是一百八减二法，这个角是二法。朋友们，这个是九十度减二法，这是九十度减二法。所以呢，我们看一下咱们上边这个角，就是你这个角度 他应该是多少呢？这是九十减二法，这是九十减二法，然后那就是一百八减去一个， 这个角是一个九十度，然后这两个边应该是一样的，就一百八减去二倍的九十减 r 法，所以他应该是一百八减去一百八十度，然后加上一个二 r 法，所以这个角他应该是两个 r 法，所以这个大角，朋友们他就是一百八十度减去二 r 法。 ok， 那么我们这个夹角出来了，你看啊，从一个顶点出发，接下来啊共端点等线段，从这个顶点出发引出有没有四条线段两角相等，其实是有的，这个和这个等这个圈和这个圈等这个也是相等的， 所以呢，我们这是一百八减二发，这是一百八减二二发。然后呢我们先把那个手拉手模型给他连出来，其实共端点等线段，其实就有个旋转的手拉手，共端点等线段旋转，全等看一看，所以这个边和这个边等。然后我们应该能够知道管长边叫做大手，长边叫大手，管这个短边叫小手，那这是小手， 然后这个也是咱们的小手，所以一个大手牵个小手连 q、 d， ok， 然后接下来这边呢，这边是大手牵小手连 e、 c 已经连上了，所以一定会有三角形全等我们，所以下面呢，就是这个三角形，它应该和 这个三角形他应该是全等的，一个边角边的全等啊，我们可以写一下，这里面会有一对全等三角形，那么全等不是目的，目的是我可以用全等去得到这个边等。所以同学们 q d， 他 是不是就应该等于这个 e、 c 啊？ 好， q、 d 就 和 ec 相等，那现在我们要求的是 c、 d， 你 看 c、 d 在 这，那这个线段它就应该等于的是 ec， ec 在 这， ab 在 这。同学们，接下来呢，我们想想，你看我是不是可以过这个 q 点向底边去做一个垂线，因为我要把它们转化到一个三角形当中，所以过 q 做一个垂直， ok， 那 么做完垂直之后呢？我们看它跟 a、 b 之间的关系，你这个角是直角，这个角也是直角，所以它和 a、 b 之间的关系是不是一一目了然啊？朋友们，那这个 c、 q 的 话， 它应该就是两个 a、 b， 对 不对啊？ c、 q 应该是两个 a、 b， 因为我们刚就是延长出来的吗？这个点是中点，这个点延长出去的，它也是中点，中点中微线，所以它应该是和第三边平行，且等于第三边一半， 所以它应该是这个两个 ab 是 一个 c q 的 长度。 ok， 那 下面在这个直角三角形当中，我能够列一个式子，就应该是 c q 的 平方加上一个。谁呢？两直角边平方和等于斜边平方加上一个 c d 的 平方，然后等于这个 q d 的 平方，然后 c q 的 话，它应该是两个 ab， 所以 这边就二 ab 块二平方，所以就是四 ab 的 平方， 然后加上一个 c d 的 平方，那 c d 也是我们要求的。然后接下来这个 q d， 这个 q d 的 话，它其实就是谁呀？它其实就是咱们的 ec， 所以 加等于一个 ec 的 平方。 好朋友们，那么这道题啊，从整体的难度上来讲的话，还是有一定难度的哈，就你看你会不会够到手拉手？好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

新鲜出炉的西城一摸的新定义，变化类的新定义，我们就逆向思维，几何快待熟稳，新定义还能提智商。大家好，我是老谢，我接下来给大家精讲一下啊， 新鲜出炉的西城一摸的新定义，这个新定义出的还不错，最后一问，咱再计算来看我们怎么讲。首先定义解读啊，定义解读，首先它要旋转一个圆，我们知道圆是由圆心半径，反正不变，另外圆心旋转的轨迹也是圆弧，就像这道题里边，如果这是点 p 啊，如果这是点 c， 那 么在转的过程中，点 c 的 轨迹就是这个紫色的圆相切。说白了非常简单，你主要关注就是这个圆心的距离，哎，到这个，呃，切线的啊，圆心到切线的距离，等一个半径就完了，哎，做一个垂直，这就是半径。 另外这道题一定要进行范围精读，是阿尔法大于零不等于，小于一百八十度也不等于，并且是逆时针，都看清楚了吗？ 另外大家一定要明白，这个相切最多是有四种情况的，分别是这种情况相切，哎，这种情况相切，再过来，这种情况相切，再过来，这种情况相切。所以这道题呢，一定要全面、细致、有序动啊。 ok， 好 了，那么接下来我们看看啊，第一问就不讲了，直接看第二问，第二问，各位，我们相切关键就抓这个圆心的轨迹 啊，也就是说，如果圆心落在子线上，你就知道他一定和这个蓝线相切啊，绿线上啊，或者子线上。那么我们呢，因为这是变化类的吸引力，我们就逆向思维，我们在子线上找一个， 就是和这个零逗号三啊，然后呢？最近的啊，这个点啊，这个点呢？你会发现，也就是说他对应的是这个 零逗号负四，逗号零，他能转到这来，然后再近的就转不过来了啊。你比如说，如果这是个点，就是点 t， 在 这里的话，你会发现，以零逗号三为圆心转，他转的话，这个点啊，圆心永远不能和绿线相交， 你只有和绿线相交，你到蓝线的距离才等于二，才等于半径才相切，对不对啊？所以呢，我们很容易算出来，这道题的答案就是 t 小 于等于负四啊，注意，这边不行。为什么这边不行？因为人家定义说了是逆时针。这是第二问，第三问也很快。各位， 首先第三问我们啊，先，这道题某一看挺乱是吧，给了直线，给了 n 是 二，然后给了六十度，乱七八糟的，你呢？ 首先，第一个，根据不超过六十度，先把等于六十度的情况画出来啊，那你就会发现，也就是说原始的一开始的原是蓝色的，然后最多转六十度到这个红的， 然后呢，再往下就不行了。那么这种情况下，我们把分别对应的切线画出来，一开始， 哎，和蓝圆相切的是这条虚线的绿线，为什么？虚线还记得吗？因为人家大于零度，不能零度。然后呢，这种情况下，大家看一看，也就是说，当这条直线 n 在 这两两条绿线之间的时候，你自己可以动手画一画，也就你会发现，哎，这个蓝圆转了不到六十度的时候，能和它相切，最多最多和下边这个绿实线正好等于六十度的时候相切， 所以这是一种情况。但是千万别忘了还有一种情况，各位，还有一种情况，就是他 在切线的右下方，切线在他的左上方，还有这种情况，所以如果你不进行全面系列有序动的话，你是没意识到还有这种情况的，所以这道题你再确认确认啊，是不是在这两条绿线之间的任何一条线 都能被这样的圆哎，转这个什么，因为他说最小旋切角不超过六十度，第一次相切的时候只要转的不超过六十度，第二次相切的时候别小于一百八十度啊，就是小于一百八十度就行，别超过一百八十度啊，不能大于等于一百八十度。 ok， 你 可以自己转一转，你比如说我给大家稍微体验一下，这个蓝色的圆，开始转，哎，转转转，转到他和这个，哎，注意啊，是这个橙色的线，我加粗一下啊，橙色的线， 然后你会发现他和他是不是第一次相切，然后呢？转转转转转，转到一定程度以后是第二次相切，然后又过去了啊，各位能理解吧。所以呢，也就是说，你会发现 这条线和这条线之间的，以及这条线和这条线之间的直线啊，都可以当点直线 n 啊，当然斜率是一。然后呢，接下来是计算，计算有点难度，没关系，咱们看一看啊，也挺简单。首先 k 一 的坐标实在是太难算啊，咱们一开始这个起始情况还是比较好算的，因为这个 k 的 坐标是负一，逗号一，他和这样一个线相切呢，这是垂直的，各位同学，你只需要怎么着啊， 这个切线切完以后你不好算是吧，没关系，你延长他，因为这个点是负一，逗号一，你做了一个和这条线垂直的，因为这条线和 x 轴加角是四十五度， 所以你会发现，延长这个切线段啊，半径正好，他的圆心落在圆点啊，不就他正好过圆点，过圆点以后你会发现，因为这个长度是根号二 啊，然后呢，这个长度是一，所以这个长度是根号二减一，根号二减一，再乘以个根号二，就是二减根号二，哎，就是这个点，那么也就是 b 呢，他要小于二减根号二， 这个临界情况就很难算了，因为 k 一 的坐标就是这个点的， k 一 的坐标太难算了，但是高智商总能看到有什么要什么，因为这道题有个六十度，这是个六十度，并且这个边是等于这个边的，所以咱们就有一个黑色的等边三角形 啊。高智商的人会发现，如果你盯着 k 一 越看越难算，但是你会发现命题老师设计的非常好，这是零二，这是负一的话，一，你会发现这条线是和这条线平行的，他们和坐标轴的夹角都是四十五度，发现了吗？哎，可以暂停一下体位，体位， 那么这个时候我们就不以 k 一 为计算的参照物了，我们直接延长，哎，这条线，各位请看，直接和它垂直，并且你不难发现，哎，这个等边三角形，这个 km， 这个边上的中点就是负的二分之一，逗号二分之三， 那么这个时候你会发现这个是半径一，这个也是啊，我看看这个是半径，是 啊，我这这个这个变长是根号二啊，然后呢，根号二的话，然后这个高啊，我给这个点起名叫 q q k 一， 它就等于根号二，乘以二分之根号三，就等于二分之根号六，所以哎，你会发现整个这个长度是二分之根号六啊。然后呢，咱们再找这样一个点，这个点起名叫 n 啊，这个点你会发现它就在零逗号一。为什么这样一个青色的垂直平分线正好过零逗号一呢？因为你连一下零逗号一和啊， n k 和 n m， 你 会发现这是个大等幺套小等幺，说白了点 n 就 在 k m 的 垂直平分线上，所以零逗号一就在这 啊，然后呢，我们就用二分之根号六啊，减去这个长度，这个长度是可以看得出来是二分之根号二， 然后呢，各位请看，因为二分之根号六，减去它就是这段，这段再加个一，哎，就是点 n 到这个长度，然后再乘以根号二，就是这个长度， 这个比如说，呃，到 e 吧，所以你会发现 n e 的 长度， 就是啊，这个长度了啊，就再乘根号二啊，再乘根号二，再乘根号二，这个乘以根号二的话，根号十二二倍的根号三就是根号三，减去这是乘以根号二，是一，这是根号二 啊。然后呢，这个就是 n e 的 长度，那么 e 的 坐标呢？就用 n 的 总坐标一减去根号三，再减负一，就是加一，再减根号二啊，然后呢，这个答案就是二减去根号三，再减根号二。 ok， 各位， 这就是我们这种情况答案另外一种情况呢，你用同样的方法算一遍就可以了啊，我们会在评论区给大家发布。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

同学们，这个视频我们来讲解一下西城一模的这道代数综合题，很多考完的同学们反映这道题的难度会比较大一点， 他至少会比海淀的期末呃，海淀的一模难度要大一点。但是李老师想说的是什么？就是他包括我们的西城一模，包括我们的海淀一模，他都是从我们的中考的题去改编来的，就二五年中考题去改编来的，那么我们不管他这道题再怎么变，他的核心是不变的， 所以我们接下来来跟着李老师来去走，看他的核心到底是什么？我们怎么样可以很顺的去把这道题去做出来。我们来看题啊， 在平面直角坐标 x、 o、 y 中已知二次函数，那么这个时候有 ab 两个位置的字母，那么看到这个解数，我们立马写到它是横过的，是零，逗号零对不对？ 那么括号一，当 x 小 于等于二十， y 随 x 增大而减小。当 x 大 于等于二十， y 随 x 增大而增大，用等式表示 ab 的 关系，那么你看 x 等于二这条线是它们增大而减小和增大而增大的一个分界线，对不对？所以说 x 等于二，那么就和它对称轴， 所以第一问直接是由由提一可知，由提一可知。那么在这个地方 pull 物线的对称轴， pull 物线的对称轴， 对称轴为的是什么？ x 是 不等于二，那所以说负二 a 分 之 b 对不对？ x 的 系数是不是就会等于二？所以说这个地方 b 就 等于 c， 所以 说在这个位置我们出现第一个易错点啊，看看同学们，你们谁在这错了，一定要去注意负二 a 分 之 b， 不要直接写成负二 a 分 之 b， 然后等于二，这个是一定是错的， 我们的 b 一定要注意一下，它指的是 x 的 系数，所以这个系数是负 b， 所以 这是第一个同学们易错的点，所以说这个地方得需要去知道一下啊。这第一个，然后我们看第二本， 当 a 等于一， b 等于二时，将二次函数 y 等于 a， x 平方减 b x， 图像记作 c 一， 那么我们来看 a 等于一和 b 等于二，这个二次函数的解数我们是不是确定的？ 是不是确定的，对不对？所以说那么这个解是已知一次函数，一次函数，这个 k 不知道，但是它的 k 是 大于零的，图像记为 c 二，所以这个图案是 c 一， 这个图案是 c 二， 过 p 括号 t， 逗号零去做 x 轴的垂线，分别去交 c 一， c 二于点 m n， c 二于点 m n， 那 么我们可此时它最后是不是问的是 m n 的 距离，它最大值是不还是问的 m 和 n 的 距离？那么 m 和 n 的 横坐标它它是不是为 t， 所以 它们仍然是为横坐标相的两个点？所以这个时候还是要去建立新函数，建立一个什么 m n 关于 t 的 一个函数 对不对？然后就问，当你 t 大 于负一小于三时，它这个地方存在了最大值，对吧？存在最大值，那么在这个地方，我们一般情况下，我给了一个自半的垂直范围，我要去看我的 y 的 最大值和最小值，我们一定是不是找到它们对应的图角。 但这道题有一个易错点是什么？这个地方存在的是最大值，我们只要给你一个范围，那么他的最大值要么是他们端点所对的那个点是一个最高点或最低点，要么就是顶点的纵坐标是个最高点或最低点，对不对？但是你看，如果你的端点他是个空圈的话，他们两个不可以作为最高点和最低点 或最低点，明白吗？所以这是个 e 错点，那么到底是什么意思呢？那我们接下来来去看题啊。那么我们这个地方就是因为我 a 等于一， b 是 不是等于二？所以说在这个地方我 y 就 会等于什么？ x 平方在这个地方是不是减去 的，是不是就等于 t 的 平方是不是减去二 t， t 的 平方是不是减去二 t， 然后 n 的 纵坐标是不等于 k t， 那 所以说，那这样 m 的 坐标是不是 t t 的 平方减去二 t， 那 么 n 的 坐标是不就是 t？ 逗号是不是 k t， 所以 m 和 n 的 坐标是不是就已知了？那所以说在这个地方我们 m n 是 不就可以等于是什么？注意啊，我 m n 和 n 谁在上谁在下，我是不确定的，所以这个时候我要去就是要去加个绝对值， 对不对？ t 的 平方减去二 t 减去 k t， 你 说老师你为什么现在还不画图呢？因为你想啊，它这个就是我们可以大致的去画一下，它这个图案是长成这个样子的，这是个二，然后这是它是一个这个样子的，对不对？ 有没有发现？是不是？所以说你 m n m n 过 p t t 是 大于负一的，负一小于三的，对不对？ 所以你看啊，它们的，它们的这个这个 m n 的 距离，对吧？它们的距离是不是从大变小，然后再变大，再变小，然后再变大，对吧？所以说我们用绝对值的话，我就不用去分一这个图像了，是不是？所以说这样的话等于 t 的 平方减去二，加上 k t 是 不是？所以说这个地方我可以去将 m n 是 不看作 看错谁的一个函数，看错 t 的 一个函数，那么到底是看错 t 的 函数还是看错 k 的 函数呢？一定要去注意一下后面它谁是在变化的 对不对？它的 t 是 在变化的，所以 t 它作为的是一个自变量是不是？那么我们接下来需要看的是这个 m n 关于 t 的 一个图像，那么关于 t 的 一个图，它这个是属于的一个绝对值的一个就绝对值函数的一个图像。那么我们在去做之前啊，我们先来回顾一下啊，很多孩子们不会去画， 就是举个例子啊，你要是这么去画一下，假如说我要去画 y 等于绝对值 x 平方减二 x 检测，因为这个函数解释我们很熟悉，我们很熟悉，那么我要去画它的这个图像，说白了我们只需要干什么？ 我只需要你看啊，原本它是一个这样的图像的，那我我们要再去画图像之前哈，你一定要先要干什么？把它们与 x 轴的交点坐标给去求出来，这是加上一对不对？还有一个是什么？ x 减一的平方，是不是减去四 对不对？所以说他在这个地方我们可以教育的是什么？一个是三逗号零， 一个是三逗号零，一个是负一逗号零，他过的是一逗号负四，是不是？负一负三负四是不？他本身他是一个这样的一个图像， 对不对？本身它是一个这样的一个图像，对不对？那么我加的绝对值的意思是什么？就当它的函数值为负数的时候，加一个绝对值是不是取到它们的相反数？所以说那么当我们的这些这这一部分的图像的函数值是不是都为的是负数， 对不对？所以说这个负数我加了绝对值之后，是不是变成的相反数？那相反数的话，这个顶点是一负四，那么它的这个 绝对值是不是就成了四？所以就好比是它关于的是一个 x 轴给它去对称，明白吗？所以说，所以说它最后的这个图像，它就是这个， 就把 x 轴下部的部分给它翻折上，那我们来去画一下 m n 关于 t 的 一个函数，所以在这个地方的话，我们需要去干什么？那么我在这个时候，我是不是得知道这个 m n 和那个 x 轴的焦点的这个顶点，所以说最后它还得 去求出它的顶点的坐标，是不是？所以说我们这样子可以去令 m n 是 不是等于的是零，对吧？令 m n 等于零，即这个地方是不 t 的 平方，减去二加 k 括号， t 是 不等于零，是不是就是 t 乘以 t 减去 括号，二加 k 中括号是不等于零，所以说这个地方 t 一 是不等于零，那么这样的话 t 二是不等于二加上 k， 所以 说 m n 与 x 轴 m n 的 图像， 所以说 m n 的 图像在这个地方与 x 轴 我们是不是交于的是零？逗号零和 k 加二是不是逗号零，对不对？一个是这个，那么还有一个我们是要去求下对称轴，对吧？对称轴是什么？ x 等于的是对称轴，为 我们直接画下顶点的顶点，是吧？ m n 等于的是 t， 去减去的是二分之二加 k 的 平方，这个地方是不是减去四分之？什么？减去四分之，这个二加 k 的 平方， 对吧？绝对值，对不对？所以说它的图像的对称轴，所以说 m n 图像， 呃，我们先稍微等一下，就是所以说 m n 的 对称轴，所以说 m n 图像的对称轴， 对称轴是不是就为的是 x 等于二分之 k 加二，对吧？好，然后接着我们就可以去画下它的图啊，那么这个图像你可以画 y 轴，也可以不用去画 y 轴，所以说它是一个这样子的，那么一个是零零， 一个是 k 加二，所以这个地方是不是 k 加二，对吧？所以说那么在这个时候，因为你的这个地方 k 大 于零，所以说你 k 加二，它一定是在 h 的 右侧，所以说在这个地方它实际上是一个过圆点的，然后过它这边的，所以说它要把下方给它翻折上来， 它是一个这样的一个图像，对吗？然后这个地方 它的对称轴，对称轴为的是什么？ x 等于对称轴，为的是 x， 等于的是二分之 k 加上二， 对吧？所以说这个是它的一个对称轴。然后接着我们再来去看一下，我们是不是前半部分我们都已经解决了，这是 m n 的 图像，那么你看负一到三之间，负一它肯定是在这边儿， 对不对？你负一肯定是在这边，那么三，他可能在这一段，也可能在这一段，也可能在这一段，所以很多同学因为他这道题考的他不再是我们像二五年中考试题似的，你随着谁的增大而增大，所以说那么他可能就在这三个区域， 对不对？那么我们先一定要去看这种最值问题，一定要去看他啊，因为你看此时他翻折过来，这是顶顶的纵坐标，对吧？这是顶顶的一个，这个顶顶的纵坐标翻折上去，所以他的他的值等于四分之二加 k 的 平方，那么如果是说 我的负一的函数值我超过了这个顶点，有没有发现你不论你的这个三在他的哪一个位置，这个这个点是不是做的是最高点，对不对？但是你请注意这个点它是空圈，这个值取不到，所以此时我们说的是什么？最大值是不存在的， 那么这道题他是有最大值，就说明这个点的纵坐标干什么？他一定会小于顶点的纵坐标，对不对？没有问题吧？ 所以说在这个地方我就先要去写第一句话，因为 t 大 于负一小于三十 m n 是 不是存在最大值？ 我们一定要先要干什么？我们所以说你 x 等于负一的函数值，是不是一定要去小于？等于它，你等于它没有问没有关系，因为这个地方是空圈，它即使等于它的顶点坐标的话，这个是不还是一个最高的点， 对不对？存在最大值，所以说你要去把这个负一带进去，负一带进去对不对？负一带到这个里边，他要去小于这个顶点中的标，所以说负一的平方减去二加 k 去乘以负一， 对不对？是不是？因为词是正的，我就可以不用加去对值，它的值是不是小于等于我们后边这个四分之二加上 k 的 平方， 对吧？我们先得保证这个东西是不是，所以这样的话他就属于的是什么？一去加上二，加上 k 是 不是小于等于的是四分之？因为我们这个地方垫不够了啊，包括你们考试的时候，在这个位置的话，你可以过程直接写个得就没有问题。四分之一乘以的是什么？ k 的 平方加上四， k 加上四，所以这是三，加 k 就 十二加上四， k 是 不是小于等于是 k 的 平方加上四， k 是 不是加上二？所以四 k 和四 k 没了，就是 k 的 平方是不大于等于的是 大于等于的是大于等于的是一啊，不，我看一下啊，这个是三次十二，这个地方大，这是四对不对？大于等于的是八，所以这样的话是不是 k 大 于等于的是负二倍根号二， 对吧？这个是一元二次不等式。所以说如果同学们反应过，你可以第一个你去想， k 的 平方等于八，那么 k 等于正负二倍根号二，它的平方大于等于八，所以一个是 k 大 于等于二倍根号一，是 k 小 于等于负二倍根号二，这个不用结合图像，那么除了因为这种比较简单，除此之外，剩那些不等式我们一定要去结合到函数图像去做， 是不是？那么你 k 是 大于零的，所以说这个地方显然你的 k 小 于等于负二，呃， k 小 于等于负二倍根号二是不要去舍掉，所以说这个地方你可以得到什么？ k 大 于等于的是二倍根号二，对不对？然后或者是 k 小 于等于的是负二倍根号二，那么再去写，因为 在这个地方，因为我们的是不是 k 是 大于零的，所以说这个地方 k 大 于等于根号二，所以说在这个位置的话，它是我们第一个的有限的范围，对不对？那么我们接着再稍微去继续一下啊，所以说这个最大值也就意味着它不作为最大值，那么意味着我的顶点它一定是最大值， 对不对？所以说 k 大 于等于根二，那么此时我们的二分之 k 加二和这个四分之二加 k 的 平方是为的是什么？最高点， 对吧？也就是说我四分之二加 k 的 平方，它成为它的顶点坐标，是一个最大值，对不对？是一个最大值没有问题吧？那么这个时候呢， 我们你看你写不写这句话都可以，或者是我可以这么去写，因为此时你的三是不是在右侧，所以我们一个一个分析一下，三是三是在外侧，所以第一部分你三是在这边，那么你肯定是不满足题的，所以你可以第一个写句三，写一下三大于零小于 二分之 k 加二十，对吧？你直接可以写结合图像 可知是不是不满足题，一般 对不对？然后我们就可以这样子逐点逐点的给他去分析，然后下一个，那么我接着我的三是不是在这边，然后在这个地方，你就当我们的三去大于等于二分之 k 加二，你小于等于 k 加二时， 即我可以去求出一个 k 的 值，是不是 k 小 于等于十四吧？前面是小于等于四，右边的话是 k 大 于等于一，对不对？那么在这个区域的时候，此时存在最大值 为多少？是不是就为这个点的的纵坐标是四分之二加 k 的 平方，对吧？然后我们当 当什么，在这个地方，当我们的三去大于 k 加二，即 k 小 于一时，我们去观察一下它到底满不满足题，那么在这个地方略儿再换个颜色去说这个地方会稍微有点难度，因为如果你三在这的时候 对不对？那么很多同学说，老师你这么分在讨论干什么？你老师你直接去做一条 y 等于就过这个顶点做一条 l 的 平行线，你让这个三小于这个的横坐标不就行了吗？可以，同学们可以 就是直接让你的三三大于等于这个二分之 k 加二小于等于这个点的横坐标，没有问题。这个方法是可以的，但是你们可以试一下这个的计算会稍微的复杂一点，这个计算会就有点复杂，但是说他是可以的， 对吧？也能够去算出我们的最终的答案，这个你们可以去试一试，就直接令令 y 等于的是四分之二加 k 二加 k 括号的平方，然后一个是得到得到这个 x， 一 是得到这个 x， 我 们这个 x 是 有用的，然后最后让你的三大于等于二分之 k 加二小于等于这个的横坐标，没有问题， 对吧？这个计算量很大，但是他是对的这个方法。那么接下来李老师要跟大家去说的一个比较简单的方法， 我们主要是判断这个点是不是小于，他是不就行了？小于这个顶的纵坐标是不就可以了，对吧？翻折下来这个顶点纵坐标是不就可以了？那么我们可以采取一个什么样的方法去做呢？有两种方式。 第一种方式，我们根据对称性，你可以和他去比较，如果这个点，如果你三所对应的这个纵坐标对不对？哎？我都比这个负一所对应的纵坐标要小， 那么我前面这个点是不是表代表了负一的这个所对应这个点的坐标是不是小于等于他，那么他这个点又小于等于他，所以他是不一定小于他。这第一种方式是不是？是不是？我只要和他这个去比较，他和他比较有两种方法，第一种方法，根据对称性去看看这和这的距离 对不对？那么你这个距离是二分之 k 加二，再加个一，对吧？去比较他们的距离 对不对？这个用二分之，你看这个是二分之 k 加二去加上一，这个结果是为一，呃，二加上二分之 k， 这个结果的距离是大于二的，对不对？然后后边这个呢？这是三用三减去二分之 k 加二，这等于三减去二分之 k， 然后这是二减去二分之 k， 因为 k 大 于零，所以这个是小于二的。由这个图像你可以知道，倒顿值的距离越远，它的函数值是越大的，所以说很明显这个函数大于它， 所以说在这种情况下它都是满足题的。这第一种看距离啊，然后第二种你可以怎么着呢？我就直接，我就直接用它的纵坐标去比嘛，对不对？那么像这个来说，你 s 等于负一的时候，它所对的这个是不是在这个地方， 这它的纵坐标，所以你直接去解一下，这个地方就是负一的平方，所以你刚开始你可以把 s 等于负一的值给它算出来，因为后面也有用，所以就是负一的平方，就相当于加上这个地方，就好比是什么 一去加上二去加上 k， 对 不对？是这这个的结果，对吧？那么我让他们去做叉，做叉，我可以先算一下 x 等于三的函数值吧？你 x 等于三十，我们的 y， 我 把它带到这个减去式里边，是呃，不 t 等于三， t 等于三的时候， 是不是？那么我的 m n 它就会等于什么？是不等于的是九减去三去乘以九减去六，是不是？减去的是三 k， 所以 这个等于的是三减去三 k， 对 吧？这个要去加上绝对值， 对不对？那么在这个地方，因为你的 k 是 小于一的，所以说它是个正数，所以这个结果是不是三减去三 k 没有问题吧？好，那么所以说我在这个用它去减一去加上二去加上 k， 减去括号，三减去三 k， 那 么这个结果等于什么？ 减三，所以说这个结果是不等于四 k， 所以 说这个结果是不等于的是四 k， 又因为你的 k 是 大于零的，所以说四 k 大 于零，是不是？所以说这个前边这个地方就是三加上三 k， 是 不是大于的是三减去三 k， 三加 k， 这属于的是三加 k 大于后边儿这个地方，是不是？就是，就是呃大于后边儿这个三减去三 k， 所以 这个你的坐标是不大于它，那么所以说这样的话，你的 k 小 于一，是不是横成立的， 对不对？所以说，那么在这个地方，那么你看 k 大 于等于根号二成立，然后 k 大 于等于一，小于等于四成立， k 小 于等于小于一，在这个地方是不是也成立，那么这个地方所以说因为 k 还是大于零的，所以 k 大 于零小于一是横成立的，那么这三段是不是取公共的部分？ 所以说最后那么我这个地方综上所述，大大取较大， k 大 于零， k 大 于等于一， k 大 于等于根号二，所以就 k 大 于等于根号二，在这个地方是小于等于十四，所以这是所以说在这个地方它是一个小于四的一个值， 那么你看这个地方会有一个点是什么啊？我为什么这样说小于四呢？你来翻回去再看，因为取等这个地方我要去单独的去考虑，那么像这个来说，这个这个二分之 k 加上二，在这个地方我如果是要去小于等于三的话， 二分之 k 加二，那么三我和这因为，因为，因为你的这个是 t 是 小于三的，明白吗？如果三和顶点重合，这是个空圈，明白吗？所以说在这个位置的时候他不能去取等，明白吗？所以说在这个地方他就取不了等， 所以这个地方最终这个取等的位置同学们一定要去单独去考虑一下，明白吗？所以说最后他就是一个这个答案， 那这道题就告诉我们一个什么呢？你一定要去把它可能在的位置一定一点一点的去看，对不对？所以就是在最后在这个地方的话，我们就用了一个小技巧，就是给他做差，对吧？就是我避开了求这个横坐标，这个这么大的计算量， 明白吗？这么的计算量的的的这个过程是不是还有一个是什么？那么他如果这个地方没有等号的时候，所以说你 s 等于负一的值和 s 等于三的值，他不能作为最大值去出现， 明白了吗？同学们不能作为他最大值或最小值，因为这是个空缺啊。所以整体来说这道题是一道非常好的题，同学们可以自己好好的去做一下啊。

大家好，昨天海淀初三数学一模已经考完了，然后今天上午用了一上午的时间把这个题从头到尾做了一遍，从第一道题一直到最后道题都做一遍，哎呦，累的我这个腰酸背疼啊，我天，这是第一道题，然后呢，一直到后面最后一道，这个心灵意啊，全都做了一遍 火线跟大家总结四点，然后我看网上有很多老师的这个分析已经出来了，然后稍后分析完四点之后做一个试卷分析，之后呢，稍后下一个视频给大家带来主题的解析，主题的分析每一道题我都讲啊，尤其这几个易错的题， 然后有些老师的这个对于试卷的分析，其实我不太认可，我说一些大家自己，我说一些我的想法啊，大家来听一听，对大家后续的考试和今年的中考有没有一些这个指导性的价值啊？第一个就是首先立规线的，我觉得出的挺好的，真的不错，他对中档生特别的友好， 就是整个的一模考试，我感觉他会出的特别的稳，而且稳中有变，不是完完全全的复制去年的中考，你看那个防晒的一模，我就觉得出的很一般的，他就完完全全复制去年所有的题型，没有多大的考察价值。 海淀出的好就是稳中有变，你看那二十六题，我们练了八百遍的二十六题戴宗，但是他有一点稍稍的变化，他还是增减性考几何考函数最值，但是那个增减性的函数最值，那个最值直接给你了，给了你个 m 小 于九， 给了你那个 m 小 于九之后，相当于给你了最值反推范围跟以前那个没有多大区别，就只要你听过我的课，函数最值二十六题绝对不是难题，五分钟就能搞定。我觉着我对我的学生是有信心的，不信今天考完之后咱们问一问，我觉得二十六题我觉得大概率难不住，只要我的学生大概率难不住， 然后整个回顾一下之后，第二点他稳中有变，在哪呢？就是他这个计算，咱们之前有几年就是计算不在这重点了，所以很多博主很多老师就鼓吹计算没有用啊，强调思维，其实不是，他是有一个有一个几年几年的轮回在里面的。 那你怎么知道今年计算他就不是重点呢？其实计算始终都是一个重要的能力，跟我们的教委对我们的老师或者我们的要求，对学那个非常 非常重的一个考察的一个点，他只是说每年可能测重不一样，今年可能是计算，明年可能不是计算，但这并不能否认计算一直是重点，所以我对我学的训练一直是你一定要吭哧计算。那怎么吭哧计算？等等等等几步？你看今年海淀的试卷，整体来说计算量非常大，就如果你 不熟练或者中档题你也想，就是他能把努力的孩子给筛选出来，就如果你什么题都想，你难题当然想了，对吧？但是如果你什么题都想，就简单题你也想，然后基础题你也想，计算题你也做的慢，你这份试卷很难上八十分，我说的对吗？ 你看你们家孩子没有这样的情况啊，就是考场上我们家孩子可能就考六七十分，但是这同样的卷子拿回来之后，他一做，哎，上八十分了，甚至上九十分。为什么？因为他不熟练，他的计算，他的阅读，他的文字量，一旦上去之后，他完成中档题的速度太慢了， 所以在考试当中，在考场当中，他根本发挥不出来，他做不完，他一慌，他更容易错，所以计算是核心。 第二句话，计算人核心好说。第三个观点，之前我是不是告诉大家怎么复习？我说是不是至少要完成一套北京的中考试卷？一模的，去年的找一找考试的感觉，这个孩子有感觉没感觉，至少差十分，这话是我说的吧，大家看对不对？ 所以你如果这么做了，有感觉就马上就出来，没感觉就真不行。好，最后一点，我说一下可能的拉分点，预测一下今年的中考。这次一模完完整整的踩中，我们之前说的所有的可能的踩丢分点全都 完完整整的卡住，一共所有可能的丢分点就以下。呃，我想想，一二三四，六个以下，六个，第一个，第八题， 第八题画图就能画出来。孩子们，这次只说这次不是易错题，不代表以后不是，你要注意他这几题都有可能是易错题，那你要知道怎么去应对 好。第八题，第十六题，第十六题，一会用竖轴法，我一会主体解气，会给大家讲述轴法怎么做，然后原宗，原宗是变数最大的题，有可能在二十四，有可能在二十五，你看今年就有可能在二十四，今年就到二十四，而且这题变数很大， 我个人认为今年很多同学是不是会被原宗卡住？宝贝，你问一下你的同学，你们的孩子是不是被原宗卡住了？原宗那个题是真的，一旦被卡住之后，他会影响你整个的做题状态。所以原宗那个题一定要加大训练的难度，训练的量一定要上去。 第二问一定是相似。你看第二问，我说相似，他相似吧。第二问一定要找相似。如果这个孩子对三角函数，对平行、对相似没有足够的理解，他不熟练，他压根都不知道第二个可以这么做。 所以第二本一道长相似，所以你要练这个原宗是最大的变数，得原宗者得天下。顺治。可以这么说，我觉着二十六、二七二八三道压轴题的重要程度和原宗那个二十四题应该是并驾齐驱的。原宗特别重要，一定要狠练， 得原宗者得天下。因为二十四题之前全是简单题，二十四题之后一马平川，全是难题，所以二十四题就是一个节拍器。 好，接起来。二十六、二七二八，最后三道压到底，没什么好说的。二十六带宗我们练过八百遍了。己宗就两个考法，最热点的就俩考法，一个是旋转，一个是四点公园。今年海淀没有考四点公园考的是旋转啊。网上有老师说是手拉手模型。这真不是手拉手， 你让孩子们去看去，谁能知道这手拉手模型？废话，你给他转完了当然知道手拉手了，不转之前谁能看出手拉手？这是共端点等线段特殊，角分条件分散，不用旋转，寸步难行，典型的典型的旋转方法，你把旋转给孩子讲明白了，他自然考场就能做出来。 好，最后一个是一般性定义，最后一个太难，不会就放好了。以上就是我所有的分析，稍后带来主体解析，大家看下一个视频。