高一立体几何思维导图线面证明

大家好，我是数学沈老师，在高中的例题几何大题当中，题问的线面平行往往是一个难度，最难的地方不在于判定定理的记忆， 它主要是难在这里面的辅助线到底在哪？找不到辅助线怎么办？今天呢，我带大家逐步拆解如何利用课本的内容来找到辅助线。话不多说，我们正式开始。首先呢，我们来阅读一下这个题目， 四棱锥 p a b c 岛当中 a 岛平行 bc， 且 bc 等于二 a 岛， a 岛垂直 c 岛， p b 垂直 c 岛点 e 在 p 岛上面， p e 等于二倍的 e 岛。 这题不用多说，懂的都懂，很多条件可能是为第一问服务的重点抓住你要证的东西需要什么内容，这是例题几何破题的关键， 所有的立体几何，我给大家负责任的说，他都会把所有的问题都放在题干当中，而第一问他用的东西是有限的， 而第二问用的东西他往往也是有限的。我们直接从第二问出发，我想证明 p b 平行于 a e、 c， 那 就是这个平面了。 那这个时候我发现我的辅助线在哪里呢？那么有的同学会发现，哎，这个辅助线我一下就能做出来了，很自然的，哎，连起来，这到底是为什么呢？首先呢，我们基础薄肉同学呢，要了解一个叫做线面平行的判定，这个判定是这样的， 首先我们想证明一个线平行一个面的过程中， a 如果想平行于 r 法，怎么来证？我的理论叫做上一级线面平行的上一级是什么？是不是线线平行啊？所以我们去面里找一个线， 这个线呢，如果刚好和 a 是 平行的状态，那这个时候就结束了，也就是说 a 是 平行于 b 的， b 的 话呢，它要在这个 alpha 面内，但是这里面会有一个小小的 bug， 比如说这个 a 的 线，它如果在这个面内， 我们发现这个并不属于我平行的范畴啊， a 与 alpha 平行的话， a 与 alpha 应该是没有交点的，那么如果你整个都在这个面内的话，这根本就不叫平行。所以我们再添加一个限制，既 a 不 在面内， 这样我们可以推出来 a 是 平行于 r 法。第二个线面平行的性质。对于这个问题，我相信大家可以翻开课本，线面平行的性质是什么？那么我们有一个线 线的话呢？首先它有个前提啊， a 先平行于 r 法，我们找一个面穿过于 a， 这个时候我们发现 a 呢，它自然会平行于这个线，这个线叫做交线。我们怎么来描述这个问题呢？那首先就是 a 首先它要平行于 alpha， a 还要在 beta 这个面儿内， 这个时候呢，描述下这个交线， alpha 交 beta 等于个 l， 所以 可以推出来 a 平行于 l， 我会告诉大家辅助线怎么找的，那就是依赖课本给的这个性质，比如说我想证明 a p p 平行于这个面儿，哎，我应该怎么办？我是不是应该找一个面儿，哎，这个面儿是什么样的 这面啊？比如说面要截到这个小三角形，有这么一个交线，那比如说我去把这个，哎沿着这个 b、 c 去平移，这样的话构建出一个面，但是你这个时候你会发现啊，你沿着 b、 c 平移的时候，它这个交线呢，应该是在这个位置上，它就会在外面， 这个是不符合我做题的逻辑的，大家听懂我的意思吗？换句话说，你不仅要保证你是一个面穿过去，你还要尽量保证这个线呢，应该完整的在这个面内。所以这个题的逻辑是把 p b 沿着哪一个面？好，这里我连接一个 b 倒， 这样的话，是不是 p b 就 可以绕着这个面去挪过去了？那总结一下啊，这个性质其实告诉我们一个方法论，这个方法论叫什么？这个方法论就是我们在做线面平行的证明的时候， 我们沿着某条棱去挪，当我们挪完之后，如果说你沿着这条棱去挪， 大家可以知道啊，叫三点确定一个面，那是不是这个点，这个点确定的面就自然就产生了，所以我的辅助线就是它了，这个就是我的方法论。 明白了，那接下来的话，我们来证明一下这件事情啊。一点呢，首先它是一个 p e 等于二倒一，一比二，我多么希望底边也是一比二，这样我就可以利用等分点的这样的一个模型去证明这两个线是平行的， 那么其实现线平行的判定本质上就是这一条，那么在这位置是一比二的情况下，我怎么去证呢？核心又来了，我建议啊，无论是大家现在用几何法，还是未来大家学的代数法，我怎么去证呢？核心又来了，我建议啊，无论是大家用几何图形，这个底面图形我给大家画一下， 你会发现在我的底边这是两个对角线的交点，我设底下这个产生这个点为 k 点，请问这个 k 点是否满足一比二的关系？既导 k 和 kb 是 不是一比二？它的条件怎么给的？ bc 等于二， a 导啊，这是一个梯形啊，这是二比一啊，我们就可以得到八字相似。 因为 bc 平行于 a， 倒 a 倒比 bc 等于个一比二，所以我们就可以判断出来，倒 k 比 a， k 等于一比二。 当然啊，我们严谨一点来写，还是要写出哪个三角形相似三角形 a 倒 k 相似于 三角形 b k c， 所以 相似比出现具体的证明过程，大家再复刻一遍这个就可以了。我今天想告诉大家的是如何找到辅助线，这是个非常精彩的方法，非常精妙的方法。今天的课程呢，就给大家讲到这里，关注我，我是数学小老师，透过本质讲数学。

一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！

哈喽，同学们大家好，来到了必修二第八章立体几何初步八点五点二，直线与平面平行。好，来到了我们的第二个平行的课程，线面平行。 首先呢，我们对平行做一个简单的定义，因为呢，我们没有正式的去啊，很严格的去定义，他课本也没有写，因为这个东西他比较简单，就是说无论我们的线线还是线面还是面面的平行，只要是平行，他就是四个关键字，没有交点。 好吧，没有焦点，或者说永不相交啊，意思都一样，这个是他的核心逻辑，当然在线线平行的关系当中，他还会有一个限定，就是在同一个平面，但这个才是核心的逻辑，对吧？所以就这样子没有焦点。 如图一道例题，用我们上节课的知识，幺呢在平面 r 法上，然后呢？幺直线呢？平行于这个直线 m， m 呢？不在平面 r 法上，我们去证明 m 平行于 r 法这个地方，同学们说，哎，还没有给任何的知识，对的， 我们来从我们最数学底层的角度来说看一下，我们说平行就是什么，它的核心点就是没有焦点。 然后呢，我们上一节课就教了同学们去思考，我们在什么情况下会想到使用反正法，因为我们说什么正 无的难度永远都是比正有要大的，对吧？我们生活当中，我们的推理当中都是那么没有焦点，在一条 两边无限延长的直线 a m 和四周无限延长的平面 r 法上，怎么证明它永远都没有焦点呢？这个是很难的一件事情，对吧？很难的一件事情， 所以这个时候呢，我们就想到使用反证法，说，不是说我们，哎，我看答案的时候，反证法啊，我就知道，但我怎么想到反证法就给同学们这样的一个思路，所以这个时候呢，我们用反证法，假设 它不平行，那么假设它不平行，就是它们有焦点，它们就长这个样子，对吧？那么有焦点，那么假设这个焦点为 a， 而题目给了幺平行于 a m， 那 么很显然，这个 a 点是干嘛？不属于这个 直线幺的，对吧？不属于这个直线幺，那这个点不属于这个直线幺。那此时会不会想到我们上一节课的一个结论 啊？我们上节课结束的时候，我们有一个结论，就是直线与平面相交于一个点，那么该直线与所有的 在平面上，这个平面上的，而不过这个点 a 的 所有的直线都是异面的关系，对吧？他得到了一个关系就是异面，而他会跟谁矛盾呢？ 跟它平行矛盾，平行就是共面的，所以呢，这个意面的结论就会跟它平行的结论矛盾，总得到一个矛盾的结论，所以假设不成立，所以这个时候呢，这个直线是会平行于平面。阿法的。 好，这个呢，其实就是我们的判定定律，我们如何去判定线面的平行？如果平面外的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 符号语言表达如下啊，这个地方停一下，同学们自己先写。好，我再次再次。最后很婆妈的提醒啊，在我们必修二，整个高中阶段，最简单的必修二的九，第八章，第九章，第十章。 哎，这这里面一定最后的机会在简单的地方去锻炼我们的符号语言， ok 吗？因为进入到了我们的选 b 一， 后面会出现连续出现五道全是大题， 我们前面的，我们前面的这个两本必修书只有一个解三角形是会出现在大题上，后面五道大题到了难的部分，解析几何的部分，导数的部分， 竖列的部分，大家还看不懂，看的很辛苦，很痛苦，满满密密麻麻的文字，那这个就很很痛苦了，所以趁着简单最后的机会，一定要去锻炼，跳出舒适圈， ok 好 不好？ 所以呢，语言要去使用啊， language， ok。 然后呢，我们来看，如果平面 y 平面是谁啊？ alpha， alpha， y 不 包含于 alpha 一 条直线，我们讲的是谁啊？我们说的是啊，这里说的是 l， 对 吧？这里说的是 l， 那 么平面 y 的 一条直线 l l 不包含于 alpha， 对 吧？我们知道它们都是属于集合点的集合，所以用不包含于于此平面内的平面也是 alpha 平面内的一条直线，是谁啊？ m m 包含于 alpha 平行，谁跟谁平行啊？ l 平行于 m， 好， 三个条件 来推导出谁啊？这条直线指的是 l 和这个平面阿法平行，好吧，所以我们会有一个条件，两个条件，三个条件。而刚才我的写法呢，就是未来关于空间几何的证明题，我们建议通过以下方式来进行书写，会更加清晰。 假如说因为我们之后呢，会有一个就是，呃，空间向量啊，基本上百分之九十五以上的情况下都会使用空间向量哈。但是我们如果使用到合成几何，那么我们建议用这样子的书写方式，因为改卷老师将会具体按照推断的所需条件 逐一审查，听着哈。如果说我这个地方有三个条件，但是我们没有去写 r， 不 包含于啊，不在这个平面 r 法上啊，我只写了两个条件， 这个推论是错的，不要觉得这个严严格啊，这个是很严谨的一个东西，对吧？那你说我们三个人去开家公司啊，我有，我有团队，你有资金，是不是？然后呢？你过来了之后，你说啊，我没有资金，我一分钱都没有，那这是很离谱的一件事情， 能理解吗？或者说我过来了之后我没有人，我就两个人啊，开一家呃，大很大很大的公司，对不对？那所以大家理解到这个点没有一个条件他是不完备的，没有这个条件他有可能在面上他就是一个思维的什么严谨性啊？在数学里面这是很重要的一件事情，你没有想清楚就是没有想清楚， 但这个地方呢，我不是让让同学们像背古诗一样去背，包括后面的什么面面平行啊，面面垂直、线面垂直等等啊，我就这里三个条件，那里五个条件不是这样背，就像正常的理解，正常的，像我刚才说的用符号语言说话，这样去说出来哈，去理解一下这个点。然后呢？我们来看例二， 求证。空间四边形，相邻的两边啊，我们画出来，对吧？相邻的两边，比如随便找两边他的中点的连线平行于经过另外两边啊，这里是一边两边，另外两边的面，这是课本的一道例题好不好？ 我们来看一下，当然我们会想到中位线，中位线跟他平行的关系啊，对不对？平行的关系，然后我们要走那个流程，是不是要记得，首先 e、 f 是 三角形 a、 b、 d 的 这个中位线，所以它平行， ok 了，那此时所以三个条件来推断出我们的这个 e、 f 平行于这个平面， b、 c、 d。 好 吧，那么前提呢，是它是空间四边形，所以它为什么 e、 f 不 包含于这个平面？就是因为什么？就是因为啊，如果它在这个平面上的话呢，那么就不不是空间四边形了，对吧？不是空间四边形， ok， 然后呢，我们来看，刚才是判定啊，现在来看性质，就假如我们已知线面平行有什么性质呢？如果直线与平面平行，那么会有什么样的性质呢？我们想到呢以下的生活场景，那这个呢？就什么呢？很生活的场景啊，门， 那对吧？没有同学没开过门吧，无论这个贫富如何，对吧？门是一个长方形，其对边平行，普通的门，那不说特殊的，所以呢，我们在转动门的时候啊，一扇门，门把手的一边， 门把手的一边， a a 一 撇，永远平行于转动轴啊，这个是转动轴 b b 一 撇，所以此时根据线面平行判定定你，我们就会知道这个 a a 一 撇啊，就是代表门把手的一边永远都会平行于门在关闭时所在的平面呢？阿法，对吧？ 那么抽象出出来这个模型，我们就能得到以下的结论，一条直线与一个平面平行。我们来看一下抽象出来的 好一条直线，这个 a a 一 撇与一个平面平行。阿法，平行，那么此时如果过这条直线的平面， a a 撇 b 撇 b， 是 不是过这个平面？呃，直线的平面 与这个平面相交于点 b b 撇，那么该直线与交线平行，我们就会得到了这样子的一个结论，我们来看一下。好，这个地方，我们来看 l 呢，我们已知这个跟这个平面阿尔法是平行的，而这个 l 呢，属于这包含于这个平面 beta 好 不好？包含于这个平面 beta， 那 么所以就是说我们所说的什么叫做什么？过直线的平面？过直线的平面是不是我们的 natural language？ 我 们的自然语言有好多种表达，是不是啊？我们都是属于逻辑是统一的， 包含于这个平面，那么此时我们说，呃，这两个平面它相交于一条直线 a m， 那 此时干嘛呢？这个交线就会跟这条线是平行的关系。好吧，这个呢，就是我们知道线面平行之后的一个性质， ok， 那 么我们可以去严谨的去证明它，我们自己去证明它，因为刚才我们的整个不是一个严谨的推理过程，我们是从生活的这个模型出发去抽象出来，来归纳出来，但是不是严谨的。 同样的，我们说要证明它平行，有什么要证？没有交点，我们又继续地使用反证法。 如果直线 l 不 平行于直线 m 不 平行，那么假设 l m 相交于点 a， 那 么由于 a 呢？ 它既属于 m 啊， m 呢又属于 alpha， 因为 m 呢，是整一个都包含于 alpha。 好， 之后我们在讲这个的时候，哈，语言不重要，因为我们写的时候反正都是这个意思好吗？所以有时候呢，就是没有关系啊这个东西。然后呢写不是没有关系，我就说没有什么关系呀，然后呢，我们说这个 m， 它是在这个平面 alpha 上的，那么这个点 a 呢，又是属于 m 的， 那么当然这个 a 就 当然就属于这个平面 alpha， 那 这个时候呢，我们就会知道，我们就能推理出这个 l 会跟这个 alpha 相交于点 a， 对 吧？那显然就是跟什么，跟原来给的条件 l 平行于 alpha 没有交点是矛盾的，所以假设不成立，好吧，假设不成立， 所以呢，这些地方呢，同样的，包括我们的反证法也是的，在这么简单的问题当中，同学们一定要使用，不然在难的问题，我们就不会使用反证法了。 我们在很多地方都有可能要用到反证法来进行证明的，包括说我们的数列的，证明函数的，都有可能会用到啊，不只是在我们的几何题当中啊，都是一个很重要的证明方法。好吧，接着我们看例四啊，这是课本的一道例题， 这是一道就是很生活实际的一道立体哈，就是木工哎。首先跟同学们讲一个点，同学们知不知道木工这个东西啊， 工资是很高的，我们的很多的一个工种当中啊，我们并不是说在干工地的，或者说干装修的啊，我们的水滴工什么的都差不多干苦力活，因为木工他既是苦力活，他也要有一定的， 他不是说很多都没读过书啊，但是他有一定的技能和技巧，怎么样锯的好是很重要的。同学们，所以这个地方呢，就说一个题外话，木工的工资是很高的啊，每天的一个收入，他是个实心的木料，他看不到中间， 那么这个能 b c 呢？平行于这个平面， a 撇 b 撇这个平面，那么我们第一个呢，叫经过这个 a 撇 c 撇里面的某一个点，我们要把木料均匀的锯开，对吧？我们要往这边去锯， 那么在木木料的表面应该怎么画线？我们来思考一下这个实际的问题，什么意思啊？就是如果我们切斜了一点，他最后发现，哎，就切不准了，对不对？那么我们要干嘛？我们要画线才能切得准，那么怎么画线呢？对不对？哎，这个就是我们呃的这个问题， 那我们会想到哈，就是什么呢？在这个平面内过点 p 做一个直线，等一下我们再来看它为什么是这样子过点 p 做直线， ef 平行， 然后呢？相交于两条能于 e、 f， 然后连接，那么这个平面就是我们一切过去 切到的平面，而这个平面当然是看不到的，但是这个橙色的线是能画出来的，因为它是表面，也就说比如说我拿着一个锯子锯的时候，我就盯着这根线和这两根线啊，盯着它锯就一定会锯到这个地方 啊，同学们可以想一下为什么会这样子，好吧，所以这个就是它印画的线，那么很显然我们的什么，我们的这个 b、 e 和 c f 啊，因为他说所画的线这里有三根线嘛，那么 b、 e 和 c、 f 就 不用说，这肯定相交，所以我们关键要看的就是这个 e、 f 这条线， 我们这条线呢，我们会很简单的知道，就是因为 b、 c 题目给的嘛， b、 c 平行于这个平面上面的这个平面，那么我们的平面 b、 c、 c 撇，呃， b 撇是经过这一条直线的，所以经过这条直线跟它相交，然后呢 b 撇 c 撇就会平行于 b c， 然后呢我们做出来，人为的做出来平行的时候，就会使得 b c 和这个 e、 f 是 平行的关系， 对吧？啊？这里是我们的走的另外的一个流程，对吧？刚才我们说的流程，三个条件，一个条件，两个条件，三个条件。所以啊，这里我们又给出了另外一个写法，刚才我们给出了这个写法，现在呢给出另外一个写法， 就是右音，因为这个地方呢，我们说一共三个条件，而这个地方是第一个条件，第第二个条件，三个条件。所以啊，这是另外一种写法，前面已经有了，或者说比方说我们后面有五个条件的啊，我这个地方正了第一个条件，这里正的右音一、二、三。那这个地方呢，也要写清晰，间隔清晰啊，对吧？ 三个条件来证明，所以平行，唯一一组平行线，唯一的确定一个平面，这个就是我们在非常生活的应用啊，看不到他怎么去画出来？这个就是我们几何的一个，呃，简单的一个应用哈，简单的一个应用，好，然后接着呢，给大家做一个 思维导图啊，为什么做一个思维导图呢？因为会出现一个问题，我们来看一下哈。上节课首先我们来说平行线，对吧？ 然后线线平行，我们是什么东西呢？平行于同一直线的两直线，平行啊，我们通过这样的方式是它其中的一个判定方式，然后我们知道呢，那个平行线之后呢，就会有等角定律，它推出来的，但这个东西呢，没什么好讲，但是它的判定也有 平行，两条平行线就成千上万种，只是罗列出了其中的一种啊，对吧？ ok， 这是线线平行，接着呢，我们线面平行， 线面平行，它的定义是没有交点，然后是怎么做判定的？如果平面外的一条直线，对吧？外面的一条直线跟平面内的其中一条直线平行，那么就平行，然后 接着呢，它的性质呢？能推出现线平行，就我们说过一条它的平行线的这个平面跟它相交，这两条交线交线平行。所以呢，关键是什么呢？我们会得到这个东西， 这里感受的不是很深，但后面的很多大家就能越来越感受到深了。就是说我如果要证明线面平行啊，比方说这个东西， 我们到时候呢就会发现，哎，我们在这里面想来想去都想不到线线平行的方法，或者说不不太好证。我们有可能就要用面面平行先来证明面面平行，再通过面面平行的性质来推导这个 啊，这个思维导图，同学们在下一节课呢，可能陆续的会感受到会更深一点哈，我们在下一节课面面平行再完善，继续完善我们的这个思维导图哈，这个就是我们的本节课哈，我们下节课再见，同学们，拜拜。

高中的例题，几何答题第一问，线线垂直。当我们遇见这样的一个问题的时候，往往会想，哦，线线垂直，那不就是勾股定律吗？ 如果说大家只会单纯的勾股定律，这个问题在平面图形当中是没有问题的。可惜啊，我们现在的问题是什么？是立体几何，那么在立体几何当中，线线垂直，我可以告诉大家，百分之九十九题目都是通过线面垂直的判定来证明的。 简单来说，你想正 b 倒垂直 a c 两个方向，方向一， b 倒垂直 a c 所在面，第二个方向 a c 垂直于 b 倒所在面。 好，这就是今天我想表达的核心内容。大家在往往遇见线线垂直证明的时候，我们往往可以通过这样的手段，利用线面垂直的星直定力来解决问题。我们一起来书写一下线面垂直定力，当我们想证明一个线 他要垂直一个面的时候，这个过程呢叫做判定。我们假设这条线已经垂直这个面了，这个呢叫做性质， a 已经垂直 alpha 了，那么我们能推出来什么东西？很简单， a 垂直 alpha， 一 条线在面内， 我们就可以推出来 a 垂直于 b。 换句话说，一个线垂直面，我们就可以推出来线垂直面内的任何一条直线，这就是我今天想表达的这个性质的一个应用。 甚至在题干当中，只要出现线面垂直，百分之九十九会用到这个东西。当然二四年高考，他用的是另外的一个性质，这个我们称之为性质一。在我们高一目前的学习当中啊，这个性质我可以说用的是最多的。 好，我们接下来不妨来尝试一下啊。既然让我正 b 倒垂直 a c， 那 么有两种方向，是 b 倒垂直于 a c 所在面，还是 a c 垂直于 b 倒所在面，这就是问题。那你说老师每个题都两个方向，那我每个题的两个方向都要都要去想吗？ 那我这里教大家另外一个方法，线面垂直，线线垂直。这里面其实是有一个 小小的 bug， 好， 这个 bug 呢，我先把这个图画好之后我再跟大家讲，我们先把 abbc 等一，我很自然的想到了中线，它是垂直的，换句话说呢，我好像发现了一些东西。第二个方法论叫做 通过线线垂直，其实它有一个技巧，线线垂直，我认为是最简单的。什么叫做反推，让我正它垂直， 我问一下，它实际上垂不垂直？它实际上是不是一定是垂直？所以 b 导一定是垂直 a c 的， 那我们又得到了这个 b h 垂直 a c， 看懂了吗？也就是说，实际上 a c 是 不是它一定又要垂直 b 导，那么 a c 是 不是一定又要垂直于 b h 呢？那是不是 ac 就是 垂直这个面的呀？大家听懂了吗？但是我们证明的时候是不是不能用哪一条？是不是不能用这一条？因为这一条是我通过结论来反推出来的东西。因此我们换一个方向， 我们要再找一根线，这个线已经很明显了吧，所以这个线是谁？这个线是不是就倒 h？ 我 们在正常书写的时候，不要拿结果来用啊，这结果不可能能用的呀。所以我们就写 ac 垂直于倒 h， a c 垂直于 b h， 是 不是线线，这两条线相交于一点，再写这个线在面内一个五推一，我们就可以判定出来 a c 是 垂直这个面的，那么自然垂直这个面的话，我们再次用这个性质底是不就可以推出来 a c 是 垂直于 b 道的，我完整的书写下过程。 那么接下来的话呢，就是我要表达的第二个事情， b h 交导 h 等于一点， h 导 h 在 b， h 在 面， b 导 h 中，所以推导出来 a c 垂直于面， b 导 h， 在这样的一个基础下的话呢，我就可以用性质定比了，因为这个叫线面垂直，所以它垂直面内所有直线既 a c 垂直于 b 道，这就是我想表达的两条方法论，大家可以把对应的笔记进行整理，第一个是课本给出的这个性质定理无比的重要， 第二个给的是我们在做线线垂直的题目的时候，我们可以把这个对吧要正的当做已知来反面的去找到这个面， 找到这个面之后呢，我们又不能用这个，所以我们在这个面内再找第三根线就可以了。以上的话呢，是我想表达的今天的对于线线垂直的证明的核心思路。关注我，我是数学沈老师，通过本质讲数学。

好，同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，这个视频我们要学习的是空间中的垂直关系，作为立体几何的重中之重，拉分核心，高考几乎必考，后续空间角度、距离的计算都离不开的一个视频带你梳理通透，让我们开始吧。同学们，今天呢，我们来接着去讲 在立体几何当中啊，比较重要的一些定力，我们今天主要来讲呢，平行涉及到的，呃，这个判定定力以及他对应的性质定力。首先我们还是一样分为三大模块，线线垂直，线面垂直，还有面面垂直。那首先呢，我们先来看线面垂直， 首先看线线哈，好，那线线垂直呢，也是一样啊，如果说他并没有单独做一问小问考察，那我们可能比如说用我们之前初中所学的一些相关内容，我们就可以去解决了。那我们说 在初中当中学到的这个证明垂直我们可能主要是两种，一种呢是利用平面几何的关系，还有一种呢，我们是利用计算，计算呢，可能相对来说比较熟悉啊，计算的话我们主要的就是这个，呃 呃，这个，哎，啊，勾股定律啊，对，计算的话呢，我们主要就是勾股定律。然后如果说是我们对应的这个平面几何啊，平面几何的话，那我们就常见的利用几何图形去理解，比如说啊，像我们比较典型的矩形或者菱形， 或者还有一个最典型的是涉及到我们的等腰三角形，菱形对应的是什么垂直呢？菱形对应的就是我们的对角线互相垂直，对吧，且平分，那等腰三角形利用就三线合一，那除此之外，在我们这学期学完之后啊，其实我们对于计算去证明线线垂直呢，其实 还有一种方法，利用什么呢？利用我们的向量去证，因为我们在学了向量之后，我们知道如果两向量垂直，它对应的数量积必然等于零，对不对？所以我们也可以利用平面间隙啊，也就是向量数量积为零去证明，也就是 a 向量乘点乘 b 向量等于零等于零啊，就可以了。 这是我们说线线垂直，但当然如果他单独做疑问去考察，这个时候我们就肯定不是用这些方法了，我们当然会来讲，还是利用性直定理。那接下来我们来看线面垂直， 那我们对于线面垂直呢，就是我们有比较规范的啊，这个判定定理以及性质定理了，比如说我们来看一下啊，首先来看一下它的判定定理。 判定定理怎么去证呢？那我们来想一下，如果说我想证明线垂直于面，我们先来看比较基础，按照我们前面的证明平行逻辑，我们也知道证明线面，按道理来讲，我应该去找什么？找线线对不对？好，那现在来讲一下啊， 我如果想去证明一个线和一个面垂直，我要去找几组线线，那我们先思考一组线线行不行？比如说我，哎，我证明这条线垂直于面内一条直线，则线一定垂直于面，那这个时候你就要注意，我们是有一种临界情况，什么临界情况？ 这个线在这，但是呢，我这平面内的线在这，但是我的这个与它垂直的直线是这样斜着穿过来的， 那这个时候我能不能满足它垂直？这条线可以，但它显然不垂直面，对不对？所以一组线线并不能解决问题。所以我们这要求啊，必须是两组，而且我们对这个线也是一样有特殊要求，必须是相交的直线。 所以这是 l 啊，这是阿法。那此时它的判定定理就是 l 必须要垂直于 a， l 也必须要垂直于 b， 且同时 a 在 阿法内， b 也在阿法内，以及 a 和 b 必须有交点才可以，那这个时候就可以推出线是垂直呃，垂直于面的啊。 所以也就是说我们的判定定理需要用到什么？需要去用到我们对应的一组线线垂直， 这是我们对于线面啊，怎么去证明好？那他对应的性质定理由是什么呢？我按照我们还是一样按照平行的逻辑来，我们说对于线面，你要去正，我得找线线，那我已知线面可以推什么？也可以反过来去推线线，对不对？那这个地方其实比较相对来说会比较好理解。你就想 我线垂直于面，那我这线和面内的任意一条直线是什么关系啊？显然都是垂直的，对不对？所以这个时候描述的时候就是已知 l 垂直于阿法， 且 a 属于阿法则，我一定可以推出 l 是 垂直于 a 的 啊。那这个就是我们刚刚前面讲的，我们对应的线面垂直是可以去推线线垂直的， 而这个就是我们对于线线垂直另一种正法。也就是如果说你发现有一道题，他单独的去问了你线面垂直怎么正，他一般来说都是在考性质定力啊，你般用性质定呃，性质定力就可以了，然后接下来最后一种面面垂直， 那面面垂直，按照逻辑来，这个时候就应该利用线面垂直去正了，对不对？那现在我们就来想啊，我需要用到几组线面垂直，那这个时候我们说对应的一组就够了，这个怎么去理解？我们来画个图啊，去辅助我们理解一下。 比如说我现在呢，这里是有一个面，然后呢现在垂直于这个面的啊，有一条直线，那我们就想啊， 过这条线我可以做无数个面，对不对？那我会发现，只要过这条线，我对应的是不是每一个面？比如说我就以这条线为一个轴，我绕着这个轴这个面开始旋转，不管怎么旋转，它是不是一定都会和底面垂直？所以也就是说我们证明那面垂直，其实一组线面垂直就够了啊，所以这个时候描述的时候，这是 l， 这是 alpha， 过该线的有一个平面，比如说这是 beta 啊，所以这个时候只要满足 l 是 垂直 alpha 的， l 是 属于 beta 的， 此时我就一定能说明 alpha 是 垂直于 beta 的。 所以也就是说啊，我们对应你要去正面面垂直，需要用的是一组线面啊，我刚上面写写反了，应该是两组线线啊， 这地方应该是二哈，因为我们刚这一想了嘛， l 垂直于 a， l 垂直于 b 啊，应该是两组线线。好，这面面垂直的判定定理，然后对应的还有它性质定理。性质定理的话呢，我们主要找，呃，讲这个最常见的，最常考的， 也就是我已知两个面垂直，那我可以推什么呢？按照我们前面所学啊，已知两面垂直，我其实是可以去推对应的线面垂直的， 那这个时候你要注意，他并不是任意一条线都会垂直另一个平面，他必须满足特殊条件，比如说你看我这一条线会垂直于这个杯塔面吗？显然不垂直，对不对？所以只有什么情况呢？只有我这条线垂直于两平面交线的时候才可以啊，所以这个时候我们对这条线是有特殊要求的，他必须垂直于交线。 假如说交线标为 l， 然后呢？这个是，哎，这个是标 l， 这个是 m 啊，那这个时候描述的话，就是已知阿法垂直于贝塔，且 m 属于阿法，阿法交贝塔于这个 l， 然后呢，这个时候 m 又垂直于 l， 所以 接下来我就可以推了， m 一定是垂直于贝塔的，所以就相当于它是可以去倒推线面垂直的。 这个是我们相对来说啊，比较喜欢去考的一个，或者说我们还会涉及到面面垂直的一个应用呢，就是我们涉及到三个平面，就涉及到这个墙角问题的时候啊，比如说我这个是一个墙角模型， 我这改一下吧，改成序号，这样看起来呢，更直观一点啊，给它改一下， 这个地方也一起来改成序号哈。好，那这个时候这里是三个平面啊，相互垂直， alpha 垂直于伽玛，然后 alpha 垂直于伽。呃，这个贝塔啊，然后还有贝塔垂直于伽玛， 反正就三个面互相垂直，那这个时候你就要注意，它也有一个性质，任意两平面的交线一定会垂直于另一个平面，比如说像这里这个是 l， 也就是 alpha 交伽玛 于 l， 那 这个时候我一定可以推出 l 一定是垂直于贝塔的啊，但这个定律我们相对可能用的不是特别多。好，接下来我们来看例题， 如图， pa 垂直以 ab 为直径的圆所在平面， c 为圆上溢于 ab 的 任意点 a e 垂直于 pc， 垂足为 e 啊，这个地方 a e 垂直于 pc， 这个地方是垂直 e f 呢，为 p b 上对应的一个点。则下来判断不正确的是我们来看出来 a 选项 b， c 呢，是垂直于平面， p a c。 好， 那这个时候我们要去正线面垂直，线面垂直，按照我们判定定来找，需要找什么呢？我们说需要去找线线对不对？而且我们说要找几组线线啊，对应的应该是两组线线，那我们来看一下啊， bc 垂直于 p a c， 我 只需要证明 bc 垂直于 p a c 面内的两条直线即可。那首先先怎么去找呢？那你就要注意了， 由于题目已知 ab 是 直径，我们知道直径所对的角是什么，一定是直角对不对？所以首先我能先确定一个条件，也就是 a c 是 垂直于 bc 的， 这个是我们按照刚才讲直径所对，圆周角为值九十度。 好，那接下来还能得到什么呢？那你就要注意了， p a 还垂直于底面，那我们已知线面垂直是可以去推线线垂直的啊，所以这个地方首先要根据 p a 垂直面 abc， 那 我们说线垂直面，则线垂直面内任意一条直线，所以我可以推出 p a 垂直于 bc， 那 你就会发现，哎，两组线线我有了， 有了对不对？而且同时要注意，我们说线线垂直的时候，这两组线必须要满足相交，所以这个手应该还要再写一个条件，也就是 a c 交 pa 应该是等于 a 点，那接下来我就可以推出我对你的 b c 垂直面 p a c 了，所以 a 选项正确哈， b 选项 a e 垂直于 e f。 好， 那我们说线线垂直，我们要么是直接通过计算勾股定律或平面向量， 或者说呢，我们利用几何关系，对吧？还有一个就是我们说比较写答题，比较想喜欢考证明的利用性质定例。那我们说你要去证明线线垂直的话，我们说想到应该用线面去证，对不对？那我们就想了， a e 垂直 e f。 那 除非我可以证什么 a e 垂直于面 p b c 或者说你反过来证明 ef 垂直于面 p a c 也是可以的。好，那这个时候我们怎么去证？比如说我们先来看能不能去证 a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候我们已知的有什么？ a e 是 不是垂直于 p c， 这是一个条件啊， a e 垂直于 p c 的， b c 垂直于面，则 b c 垂直于面内任意一条直线，所以根据 a 选项，我是可以推出 bc 是 垂直于 a e 的。 好，那这个时候你就会发现 a 两组线线且 pc 交 bc 于 c 点，所以我可以推什么？我可以推 a e 垂直面 pbc。 那 你就想了， a e 垂直面 pbc 呢？ a e 一定垂直面内任意一条直线，所以它显然会垂直面内的 e f b 也是对的。再来看 c 选项， a c 垂直于 pb ac 垂直于 p p 的 话，那也是一样的道理，我们就要去想，我是不是可以利用性质定理，对不对？那你就想了，我们刚才 b 选项证了什么？ bc 是 垂直于面 p a c 的， 我们刚才前面推的话，是不是啊？我们前面刚才是不是推了一个 ac 垂直于 bc， 对 吧？这个是已知的。那你就想啊， 我现在有一个线同同时垂直于面内，如果说我们假如从这个 c 上如果成立的角度来看，如果它成立，是不是线垂直于面内两条相交直线？所以按道理来讲，这个时候是不是应该能推出 a c 垂直于面 p b c， 那 这个时候你会发现，如果线面垂直，那我是不是又能推出来 a c 垂直于面内一条直线 p c， 但你发现 a c 和 p c 有 没有可能垂直？显然不可能，对不对？所以它不成立也就意味着它不可能成立， 而它不成立，也就意味着你这个条件肯定是不成立的，因为它是必须满足的，所以只能是第一个条件出了问题，所以 c 是 错的哈，所以这 c 选错误。再来看 d 选项， b 选项平面 aef 和平面 pbc 垂直。好，那你就回忆一下，我们前面讲说，证明面面垂直需要知道什么？需要找一组线面垂直对不对？那你就想了，我们刚才前面证了这么多和 pbc、 aef 有 关的，我们已知 b 选项，是不是？呃，已知这个， 我们已知 b 选项， b 选项我们刚是不是正出来了？ a e 垂直于面 p b c。 那 这个时候你只需要再说明 a e 属于面 a e f， 那 你接下来立马就可以把这个 d 选项正出来了啊， 所以 d 选项正确，那你选 c。 好。 然后接下来我们再来看第三题，如图，在三棱柱当中， c、 b 是 垂直于底面的哈，这里有个线面垂直且平面侧面 a a， a a e c， e c 和底面和这个侧面 b、 b， e， c， e、 c 啊，它们是垂直的。第一问，让我们去证明线线垂直，那这首先啊，就是想到我们前面讲的说，如果线线垂直或线线平行，单独作为一问去考这道题，一定不是常规做法， 我们一定是要利用什么性质定理，对不对？好，那我们想一下，线线垂直，我们说性质定涉及到的只有一个线面，那我们就想了，我要证明 a、 c 垂直于 b， b、 e， 那 我可以找哪一组线面垂直， 那我们就结合图来分析，我是证明啊，这个 a、 c 垂直于 b b 一 所在直线呢？还是去证我对应的 b、 b 一 垂直于 a、 c 所在的这个面。 好，那这个时候我们就要结合具体问题来分析啊，你看，首先 c、 e、 b， 我 可以确定它是不是一定是垂直于底面的，是，这样吧。好，同时， 那这个时候我们说线面垂直，我就一定可以推线线垂直于 a、 c 的， 我们先把这个条件往我们需要找 a c 和 b b 一 上去凑，然后再来根据平面， a a， e c， e c 垂直于 b b， e c， e c 啊，面面垂直我们又能推什么？我们说面面垂直的话，我们是不是想到，哎，我好像可以去推线面垂直，那线面垂直怎么去推呢？我们说必须要满足的应该是线要垂直于两平面的交线。好，那这个时候这两个平面交线是谁？是 c c 一， 那我能不能在这个面内找到和这个 c、 c 一 啊？垂直的，呃，垂直的这条线 直接来找的话，好不好找？显然是不好找，对不对？所以我们就要想办法我给他做出来，因为不管怎么样，这面面垂直条件我一定要是要用起来的，所以我们不妨过 b 点去做一个垂直。这个垂足在哪我不确定，但是我知道一定有这么一条直线，所以这个时候我们可以首先做 b、 e 垂直， c、 c 一 于一点，那接下来我是不是就可以正了，对不对？只需要去说明。因为面 a a 一 c 一 c 垂直面 b b 一 c 一 c 同时啊，用满足两平面，我这个地方就减写了啊，两平面交于 c c 一， 你真正在写的时候，其实最好的是用那个呃，这里改成交集，然后等于 b c、 c e 啊，这个是最好啊，那这个时候说，呃，又因为你前面 b、 b、 e 是 垂直于 c 一 一呃 c、 c 一 的啊，所以接下来我就可以说明， b e 呢是垂直于面另一个平面，也就是 a a e c e c。 当然这个地方其实你还是要再说一句啊， b、 e 是 属于面 b b、 e、 c 的 好，那接下来我是不是，哎，又挣出来一个线面垂直，那又挣出来一个线面垂直，我又可以得，又可以得线线垂直了，所以这个时候我又可以得出 b、 e 是 垂直于 a、 c 的， 你就会发现，哎， c e b 垂直于 a， c， b e 也垂直于 a、 c 两组线线垂直，且有一个公共的线是 a、 c， 所以 我接下来就可以写，因为 c、 e、 b 交上 b、 e 应该等于 b 点，它俩相交，又同时垂直于同一条线，所以我就可以推 a、 c 是 垂直于面过 c e b 和 b e 的 面，所以也就是 b b e c e c 那 接下来我就可以推出线线垂直 a c 是 垂直于 b b e 的， 所以第一问我们就解决了啊。所以这个时候我们说结合具体的一个证明题，我们去体会一下。就做这种题，你一定要首先先想到我到底应该是用什么定力逐步的去倒推，我应该找什么条件，你接下来证明的思路就会很顺畅。

hi， 同学们，直线与平面平行的判定定律，接下来语速偏慢，可以加速观看点赞关注哦！什么叫做判定？ 判定的意思其实就是让我们去证明线和面平行，所以当你遇到题目让我们去证明线和面平行的问题的时候， 那么你就要想到直线与平面平行的判定定律，然后去思考该找什么样的条件 来进行解决问题，这是我们做这一块题型的基本思路。那么小陈老师把判定定律的内容分为了这样的四个部分，那么进行拆分，帮助你们进行更好的理解， 以及我们在做证明题的时候应该怎么书写最后的证明过程。那么第一个内容，如果平面外一条直线， 那么这里面我们结合前面学的数学的基本表示形式就是语言符号啊。若平面外一条直线，这是我们在写的过程中不能少的一步，因为它是定力，一步都不能少。那么平面外一条直线，我们设这个直线为 l， 这个平面呢？设为 r， 那 么在写的过程中，如果我们就写成因为 直线外，那么是不是不在平面阿尔法上？然后再看第二句，与此平面内的一条直线， 平面内的一条直线，我们把它设为 m， 那 么因为 l 不 在平面阿尔法上，那么 m 在 平面阿尔法上， 然后第三步平行，就意味着 l 和 m 平行，那么当这三步都满足的情况下，就可以得出我们的结论，就是定力的判定得到我们的 l 和我们的平面阿尔法平行。 好，这就是在我们如果证明出直线与平面平行之后，最后要写的结果，利用定力内容来确定我们写的结果一定正确啊，并且每一步都不能少。 那么从这里面我们再来看什么东西呢？就是看我们真正要做的是什么，那你会发现从这里面发现啊，核心点是什么？是不是主要是为了证明线与线平行？那我们可以得到一个基本口诀，就是线线平行 可以证明线面平行， 这是口诀，那么这个口诀你要记住什么？你要先清楚这个线是指的是平面外的一条直线，那么这个线呢？是指的是平面内的一条直线， 那这样的话通过剪辑同时也把概念理解清楚了，然后就可以推出线面平行，形成一个固有的基本思维。然后我们再来考虑下一个事情，就是证明直线与直线平行。那么问题来了， 平面外的一条直线是题目告诉我们的，但是平面内的这一条直线是不是需要我们去找？所以在核心的基础上，我们又要利用数学思维的基本逻辑引出，我们是要去找 am 在 哪里， 那么怎么去找？那么一定要分析题目给我们的条件， 这个 a 们两点确定一条直线，我们是不是可以利用前面学的基本四十二啊？两个点在同一个平面内的时候，那么这条直线就在这个平面上，那么这两个点 那么也就说我们把它分成找点，那么这个点是不是都是通过题目条件给的去进行寻找？ 这是我们的一个基本思路。那接下来我们再来在这样的一个基本思路下，我们要去证明线线平行，他和哪些知识点有关系？比如说第一个思维模式啊，就是证明线线平行的一个思路。 从小学到高中，我们一直在学习平行线，那么平行线在哪些地方出现过？比如说第一个最经典的就是平行四边形， 因为平行四边形有个性质是对边平行且相等，你可以利用。比如说我们现在的问题是要证明 a 搭和 b、 c 平行， 那我可以去证明 ab 平行于 c 大， 且等于 c 大， 证明它是平行，得到 a 搭和 b、 c 平行 对不对？那这是一种可以得到平行的线的一种方式。那么第二的一种跟平行有关的最经典的是什么？当然是我们的相似三角形。 相似三角形最基本的样子，也是最基本的样子数，就是金字塔模型， 那么我们依然把它标为 a、 b、 c、 d。 那 么怎么去证明相似三角形？那么你都可以考虑到，有些题目如果发生有这样的条件，比如说一个边比另一个边 等于一个比值，那我们是不是就可以通过找点的形式，找等分点的形式去证明这两个边的比值相等，形成相似，得到 a、 b 和 c 搭平行， 是不就可以证明平行的啊？这也是我们在初学的时候主要利用的两个基本的思路，那么当然 思路千千万啊，这两个是我们必须先掌握清楚的，在这样的基础上再散发一些其他的思路进行总结和积累。 那么接下来我们来看一下一个比较经典的基础教学题。 好，我们看一下这个第四题，我们来分析一下它的条件。题目说如图，四棱锥 p、 a、 b、 c、 d 的 底面， a， b， c， d 为平行四边形，哎，我们分析条件一定要一个逗号，一个条件，平行四边形意味着什么？ 是不是就有天然的平行线？同时我们还可以考虑到平行四边形最大的性质是什么，就是对角线平分，平分意味着什么？平分就意味着 有终点，所以你在做之前不清楚题目需不需要这根线的时候，可以用铅笔轻轻的勾画出来，找到最关键的点，这个点我们可以把它设为 o， 当然轻轻的啊，方便你插。那么可以得到一个比例关系，是不是一比二， 因为中点比较特殊嘛，因为它可以正相似三角形，而相似三角形里面最经典的是不是可以引发出是不是所谓的中位线定律，如果不是中点呢？是不是等分点？三角形 其本质是不是都是相似三角形？那么我们再继续看这个题 啊，平行四边形我们考虑到这也是我们可以积累的东西，当然这根线不是说，哎，你们说什么，在 啊，直接连一下，看有没有什么可以看出来的东西，不是这样，待会小陈老师会告诉你为什么会填或者说连这条线。我们再看下一个条件， m 为 p c 的 中点， m 中点。哎，你要注意这个中点你可以理解为它就是二等分点，那么既然是二等分点，那么是不是就相当于它是一个比值关系？ 比值关系找谁？比值关系是不是就是找相似三角形， 是不是基本思路就有了？我们在题目中是不是尽可能的去找相似三角形， 那么条件的一些基本思路我们分析完了之后，再来从问题出发，形成闭环思想。那么问题是 bc 平行于平面 p a 大， 我们找到 bc 这根线要平行 p a 大， 那么我们说过，根据线面的判定定律，我们除了找到了这根线之外，是不是还要在这个平面上找到一根线跟它平行？那么在这里面很清楚了，因为平行是平行的原因， b c 跟它相关的平行线是不是一定会有 a 大？ 然后再根据我们的定力内容， bc 是 不在平面 pa 大 上，而 a 大 正好在平面 pa 大 上，所以 bc 是 不是就平行于平面 pa 大？ 那么第一个问题是不就解决了？那么有些同学不会写，根据我刚刚的定力内容的写法，你可以这样写证明。第一个，因为平行四边形 abcd， 所以 bc 平行于 a 档， 那么我们已经证完平行了，核心的条件是不是已经得出来了？那么接下来是不是就可以利用我们的判定的定力来进行数学最后的理由？那么又因为 是不是要根据我们的理由，是不是要平面外一条直线是 b c 不 在平面 p a d p a 搭，对不起，然后 a 搭呢？是不是一定在平面 p a 搭，因为 p a 搭这里面是本身就有 a 搭，这两个点 是不是就符合我们的基本四十二两点在一个平面，那么两点所确定的直线一定在这个平面是可以直接用的， 那么我们的条件是不是三项核心条件都已经有了，所以就可以证明 bc 平行于平面 p a 档？ 好，第一个问就证明完了，这是我们必须掌握的最基本的一些知识啊， 可以好好的揣摩一下，不要慌着去做更多的题，把基本知识和判定定律掌握清楚之后再去积累，会事半功倍。那么我们再来看一下第二题，他说 要让我们证明 ap 平行于平面 b m b 大。 找到这个线和面之后，我们要考虑要证明线面平行，那么是不是一定要找到平面内的某一根线和它平行？ 那么思路是要么找平行四边形，要么是不是找相似三角形。那么根据题目给的条件， m 是中点，而 a p 和这个平面里面唯一相关连的线是谁？ a p 和平面 bmd 唯一相关的是不是？从题目条件中 m 为 p c p c 和这个平面。你看 pc 的 一部分是不是把 ap 以及 pmd 是 不是建立了联系，所以我们的思考方向是不是就是从 pc 这个角度以及 ap 这个线 的角度进行出发？哎，你会发现 a p 和 pc 是 不是三个不共线的点？确定一个平面，那么辅助线呼之欲出，是不是一定会连接 a c？ 是 这样联系的 a c 这条辅助线， 所以我们的第一步可以建立连接 a c。 现在同学们知道为什么要连接 a c 了吧？ 每一条几何的辅助线都有它的理由，而这条线的由来一定是题目中暗示你的东西，所以你只要仔细分析题意，一定可以找出突破口。 那连接 a c 之后，我们就会发现，因为平行四边形的原因，那么 o 点是一定是 a c 的 中点，所以我们要说是不是连接 a c 还不够，必须得写出交 b 大 于点 o， 那么就意味着平行四边形，所以你可以先不考虑后面的先能写出什么，你先写什么，保证自己的思维不断练。那么因为平行四边形 abcd， 然后 ac 交 b 大 于点 o， 所以 o 为 ac 的 中点， 那么在这个平面上， o 为 a c 的 中点， m 为 p c 的 中点，那么 m o 是 不就一定平行于底部的这条线，并且是它的一半？那么 你会发现这个过程里面是不是缺了个什么东西，是不是 m o 在 刚刚讲述的过程中连起来了？那我们在题目前面是不是也得连起来，再连接 m o 好 继续写过程。因为平行得到终点，又因为 m 为 p c 终点， 所以 o m 平行且等于二分之一 a p 啊。有些同学都会问小陈老师，为什么这里要写平行且等于啊 啊？你问我，我只能回答说，我也不知道后面他需要什么，我现在能做的就是把我能做的全部写出来，不需要我不出错，需要，那就刚刚好就是这么一回事。那么 得到了线和线平行，而正好我们证明的这个线 o m 在 不在我们的 b m d 上，是不是？当然在的，因为我们已经指出了 o 是 b 搭上的， 而 m 是 p c 上的，是不是完全符合 m 是 在 p c 上，同时它是不是 b m d 上的，所以 o m 是 这个平面上的 ap 不 在这个平面，满足我们的判定定律。所以接下来根据我们判定定律的过程，是不是因为 ap 不 在，不在平面 m b 搭上 啊？不是平，不用写上啊。然后 o m 再平面 b m 搭上，同时在这里已经写过平行了，所以 a p 就 平行于平面 m b 到结束。好，听到这里呢，我们的同学是不是对我们的思路的第一条 平行四边形有了一个更深入的了解，这是它的基本作用，当然有更好的一些题型，或者说更能体现出第二个思路，就是我们说的相思三角形啊这些东西。那么小陈老师在后面会出一道题，就是这边的啊，看一下这边的第四题， 有兴趣的朋友可以截屏做一下，我也会把照片发在视频的最后方，谢谢。

我们说这个平行问题啊，主要是分为，呃，两个地方， 第一个是我们的线面平行，就直线跟平面平行，对不对？第二个呢，是指我们的面面平行，就平面跟平面去平行。好，分的这两块下面又分两个小点，第一个叫做都叫判定定律， 然后第二个都叫我们的性质定力。好，我来解释一下这个判定定力和性质定力是什么意思？ ok， 判定定力呢，就比如说你 如果知道什么什么条件，哎，你可以得到 直线平行平面，那么由条件得到它俩是平行的这个结论，这就要我们的判定定理。通理下面也一样的啊， 由什么什么什么条件得到我们的面阿法与面 贝塔平行，就是由一个条件推导出他俩是平行的这结论就叫我们的判定定好。那性质定是什么意思呢？就说 已知我们的这个线啊，跟我们的面是平行的，或者已知我们的那个面 两个面是平行的，然后呢，可以得到什么条件或者得到什么结论，就叫我们的性质定 律。 好，这是我们的这个判定力和我们的性质的一个区分。 ok， 好， 我们要学会就是证明线面平行啊。好，这个叫应该叫做应用我们的判定力，对不对？好，那么搞清楚判定力讲什么东西呢？好，我们记个笔记啊， 线面平行的判定是这样的啊，如果说 线 l 平行，另外一条线 l 一 a， 并且呢，我们平行这条线 l 一 在面 r 法内， 则我们就说 l 平行 r 法面，这就是我们的这个判定定力啊，讲的东西， 所有的线面平行的这个判定呢，就证明线和面平行都是根据这个来的啊，如果他的手段可能会不一样，但是本上都是这玩意。 ok， 好，我们要搞清楚一个事实，中位线证明线面平行，为什么可以证明？主要是因为这个。比如说我们画个三角形画到中位线， 比如说 a、 b、 c 三角形 中位线是 d 和 e， 什么叫中位线？就说你这个 d 点是这条边的中点， e 点是这条边的中点，所以 d 这条线就是我们三角形的中位线啊，那么中位线是可以直接得到平行的， 得到我们的 d、 e 平行 b、 c 这个是不是就是证明我们线面平行里面必须要出现的两直线平行，对不对？所以我只需要使得其中一条线，比如说 d、 e 这条直线是在某个平面内的， 我就可以证明 bc 这条线平行这个平面，或者说只要使得 bc 这个线在某个平面内，我就可以证明到 d 这条线是平行于这个这个平面的，那么它就是由这个来证明的。 ok， 好， 那么讲第一个例题， 比如说我们这个第一题，他说 pa 是 垂直这个整个底面的。 好，而且底面是个什么呀？注意读题句型。然后他说 m、 n 是 什么？ a、 b、 p、 c 的 什么终点，对不对？这是终点，这是终点，然后让你求 m、 n 平行 p a、 d， 这面对不对？ 你乍一看可能，哎，老师，我这个中位性有有点难找啊，对不对？很难找？对，非常难找。那这个东西怎么去做呢？怎么去做呢？好， 其实这个题啊，他其实不仅仅是用中位线，他还可能用我们平行四边形法则去做，他是这样去做，他是这样去做。来，同学们请看，他取了一个 p， 呃，这个，什么叫做？呃？ pd 的 中点叫做我们的随便取个点吧， a b c d e 点好，然后他连接了什么？连接了这个 e n， 然后又连接了我们的 a e 好， 他在干这件事情。好， 他首先取啊，这个 p d 中点为 e 好， 然后连接 n e 与 a e， 他 干了这点事情，好，这是他首要的操作。那我来解析一下他这个思路是怎么来的？ 来，我来分析他的思路。好，大家也听我们之前说过了呗，我们说做数学题啊，要做三步，第一步找思路，第二步写过程，第三步才计算对不对，三个东西缺一不可。操，我们最重要的是先找思路好，他思路怎么来的？首先我们说 你要证明的是 m n 平行于 p a d 对 不对？好，那有个问题， m n 平行四 a d。 利用我们的中位线啊，利用我们的平行线面平行的判定定律啊，判定定律是一定要用的，中位线不一定要用啊，判定定律来说，我们必须要找到什么呀？ 我们是不是要找到 m n 平行一条线，哪条线呢？看这个图应该能看出来，这条线肯定要在 p a d 内，对不对？而且看这个图能画出应该是 a e， 对 不对？ 好，平行 a e， 那 么我们怎么样去证明这个 m n 平行 a e 呢？ 当然我们说证明 m n 平行 a e， 得到，我们说 m n 平行 p a d。 这个面是有个前置条件，叫做我们 a e。 要属于这个面啊，所以一定要做这件事情。好， 同学们，同学们也可以学的像老师这样，平时在做题的练习的时候啊，脱稿的时候，在草稿纸上画一个这样的简略的这个思维图， ok， 好， 那个是这样的，这个表示我们的关键信息，这个就单纯是画线表示这个东西了。对，往下呢，表示从这里往下推， 推导到箭头号，表示逻辑从这里已经到这里已经终止了，知道吧？这一步就不需要再往下考虑，已经考虑完了，要从这里往下考虑啊，这样的话，我们思路就会一步一步具象化呈现出来，大家就不会乱掉。 ok， 好， 那么现在我们的思思路呢？是，关键是怎么样把这个 m n 和 a e 给我平行找出来，对不对？怎么去找呢？哎，我们是这样去找的，他思路是这样的， 我们说两直线平行嘛，对不对？除了说我们中卫线还有什么？还有说我们说这个 m n e a 为平行四边形， 大家仔细想一下，如果两条边呐，所在的直线是平行四边形的， 呃，两条直线，它上面的两个边是平行四边形的，两个，两个平行的边啊，那么这两条线肯定平行，对不对？很显然， m n 和 a e 是 m a e n 这个平行四边形的那么一组对边， 所以它一定会平行。好，那关键是要证明到 m n e a 为平行四边形好，怎么样去证明这个是平行四边形呢？来，我们这样说， 我们说如果要证明一个东西是平行四边形，你必须要做一个东西，叫做我们的另外一组边， 因为你本身就要是证明这个边平行这个边。注意听啊，这个比较重要一点，你本身就要证明这条边平行这条边，所以你肯定不能再用这条边和这条边去证明，那你只能用这个对边和这个对边去证明，对不对？也就是用我们的 m a 和 e n 去证明。好，这么证明，我们说 m a 平行 e n， 且 m a 等于 e n， 我 们就能说它是一个平行四边形，是这样去证明的。 ok， 好， 那么来看一下，你凭什么说这个 m a 是 平行四个呢？对不对？好，因为我说什么呢？ 先把这个给它正出来啊，你凭什么说是 m a 平行这个？呃，是平行 e n 的， 因为我可以知道 m a 这条线肯定会平行于谁？ c d 且什么呢？ c d 会平行于 e n， 好， 我会得到这个东西，所以我说 m a 平行于 e a e n， 对 不对？不同于向量的平行啊，我们的直线平行，是说如果 a 平行于 b， b 平行于 c， 那 么 a 一定会平行于 c， 因为向量可能有零向量，那直线没有零直线，对不对？好，所以这平行是可以传导的。你看 这条线肯定是平行这条线，因为他说里面是个矩形，对不对？矩形也是特殊的平行四边形，所以这个边肯定会和这个边平行，矩形就是我们说的长方形，对不对？呃，这样严谨吗？呃，应该是的。 ok， 好， 然后因为这个是我们的中位线，对不对？我们说中位线，你看，我们说曲，这个是终点，这是终点，所以说 n e 是 中位线， 所以中位线肯定会和这个线也平行，对吧？所以说我们这个平行这个，而这个平行这个，所以我们就知道这个会平行这个对不对？好，我们就知道 m a 平行 a e， 对 不对？好，那么继续往下书写逻辑， 你发现其实到了这一步呢，你已经正完了，对吧？好，所以你打个箭头，往下就标一个东西， 表示你这个逻辑已经推到完了。 ok， 好， 那你在思考的时候，这一段就可以放掉，就不用去思考，那你看一下这里还有哪一段没有思考，你看是不是还有这一段， 对不对？你这一段你还没有给他找出来，对不对？没给他证明对不对？好，往下，你凭什么说 m、 a 等于 e、 n 呢？对不对？好，因为我说什么呢？因为我说 m、 a 是二分之一的什么 ab， 没毛病吧？中点嘛，对不对？而且我又说 e、 n 是 等于二分之一的，什么呀？ cd， 而 c、 d 是 等于 ab 的， 你看它等于二分之一，它对不对？它等于二分之一，它对不对？而二分之一都一样，对不对？这个 a、 b、 c、 d、 e 也是一样的，所以它肯定会等于它，对不对？你看，因为中位线吗？这条边 对不对？是这条边的一半，对不对？呃，这个是中点，所以说这条边会是什么？会是这条边的一半， 而很显然， a、 b 和 c、 d 是 相等的，所以它们俩就通过这关系纽合在一起，所以就相互连起来了。好，油纸，到这里我们也证明完了。好，所以这题呢，我们就证明出了。好，所以你看， 我们就把整个的思路给他，都给他找出来了，对不对？好，那么我们把思路都捋清的时候，我们书写过程的时候就比较轻松一点， 当像这些题啊，呃，也不是说这些题，尽可能我们做每一题都是先把思路找出来， 然后写过程就非常好写了，对不对？老师啊，这写过程怎么写非常简单呢？ 你这不是从结果出发推的吗？你写过程就很简单，你从下面往上面写就行了，就非常简单。怎么个写法呢？原则是这样的，你看这是统一行的呗。那从这一行写的时候写这边，先把这一行写完， 再往上把这一行写完，再往上把这一行写完，最后得到这个。我们写法是从下往上走的，是这样去写的啊，来，我们来示范一下啊。 好，他说，姐，好，我们示范一下，先写下面行，对不对？好，先写哪一行？先写这个对不对？好， 因为，哦，当然你要写个前提条件，叫做我们取这个为终点，对不对？ 连接这个对不对？好，这个已经写过了，我们就不写好，因为好，先看这个。 对。 m a 平行 c d 写的，这也非常简单，你基本上不要做什么很大的思考，你基本上只要把这些写过的东西给它抄上来就行了，所以说我们说思路做出来是会非常的简单，对不对？尤其是像这种证明题，它不需要干嘛，不需要写计算的内容的情况下，它会非常的简单，它直接跳过了计算这一步的。 好，所以说，因为什么？因为 m a， 为什么平行 c d 嘛？好， 因为 ab 平行 c d， m a 属于 ab 的 一部分，所以我们说 m a 平行于 cd， 对 不对？ o e n 为三角形， p c d 中为线，所以我们说 e n 平行于 cd。 好， 所以说你看这个是这一步啊，这个是这一步。我，你看我写思路的时候，我没有写这个这个，但是我写过程一定要把这个这个写出来。好，这是和过程的区分啊， 我们第一步就完成了，对不对？好，不然的话写一个过程，你从头写到尾，密密麻麻一道，你自己都看不懂这个，哪一步，哪一步是核心思路，对不对？好，然后继续啊，我们现在要写什么？写这个对不对？好，呃， m 为 ab 的 中点，所以呢？我们说 m a 等于二分之一 ab， 对 不对？好，继续啊，而什么呢？沿为中微线， 所以 e n 等于二分之一 c d。 又因为 c d 等于 ab， 所以 什么呢？ e n 等于 m a。 好， 现在写的这段来，我们像程序员一样啊，给它划分一下段落啊。 好，现在写的这段是什么呀？ 是这个，现在写的是这一步啊， ok， 你 要看懂了。好，如果你怕晕的话，你除了你把速度打完之后，你还可以这样反过来这样标标序号，写第一步，对不对？这是第二步， 第三步，第四步，第五步，第六步、第七步、第八步。对，你这样标一二三四五六七八，对，非常的明确。对，好，然后你在自己在书写的时候就不会乱了， 这，第一步。对，这第二步，对，当然你考试别给我写这个，你考试别给我写一呀二上去，对不对？也不要给我画这个蓝线啊，这个也不要写上去，现在说这个是一边比较 比较好的一个理思路方法，但是我们过程就考试答题的时候，尽量不要把这个写上去，对不对？因为现在还没有这个统一的规定，这样去写，这只是老师教大家怎么去学习的时候，这样去做，对不对？好， 第二步，好，那我们现在要写第三步，对不对？好，第三步，他说 m a 平行，什么 e n， 这个好，说吧，对不对？因为， 呃，呃，好，你前面不是说写了这个东西吗？对，所以就非常简单了。你把这两个抄过来嘛。因为什么？ m a 平行 c d e n 平行 c d， 所以 m a 平行。什么？ e n 写完了，对呗，非常的快，非常的快。第四步啊，写什么？他说 m a 等于 e n， 那 怎么说呢？哈，因为 m n 等于二分之一， ab 等于二分之一， c d 等于 e n， 所以 m a 等于 e n， 对 不对？好，你看。 呃，哦，这个不用写， 我们这里是不是写过了，我们就不用写？对，好，那直接跳第五步去， 你直接写，因为什么呢？ m a 平行于什么？ e n 写 m a 等于 e n， 所以 四边形 m n e a 为 平行四边形。好，写完了，对不对？好，第六步啊， 所以我们说 m n 会平行于 a e， 呃， a e 属于面 p a d， 那 这是第七步的内容，对不对？好，所以你就最终写这一步，所以 m n 平行于 p a d 就写完了，对不对？好，我们的思路会非常明确。呃，这个打序号呢？还是有一点，有点， 有点。怎么说呢？好像这个有关联，但是没有关联到每一步一步都非常精确的那个样子。因为从前往后写推思路和从后往前写这个过程还是有一点不一样的地方，还是有点区别在这里。 好，这就是我们第一问，就是用平行，用中位线去证明我们的这个平行问题。 ok， 好， 那么继续往下讲第二个啊， 第二题，看这题好，这题他说什么？他说在一个四等锥 p a， b， c d。 好， 这叫四等卷底面呢？他说是一个平行四边形。 好，那他说 a d c 是 四十五度，对，四十五度，好，我们说做题的时候一定要做一些标记，要自己能看懂，看到标记就能想到这个条件，要么看眼睛，看一眼，条件可能是记不住的，你看这个，你就给他标个四十五度嘛。好， 那他说 a、 d 等于 a， c 等于一。好，好，请同学们告诉我， a、 d 等于 a， c 等于一，你能够得到什么？ 很明显我们有这个条件说可以得到，这是一个九十度啊， d， a、 c 是 个九十度角，好，然后那是 o 是 中点对不对？然后 p o 垂直于这个整个体面好，然后说 p o 等于二。好， p o 等于二， 然后他说 m 是 p、 d 的 终点好，终点来，我们说终点怎么表示它是终点？我们这样子，我们这样画两下，哎，画在这条线段上，再画到这条线的上，表示呢？这两段线段是由统一标记锁定的，所以表示这两条线段是一样长，这是我们是 标记终点是这样标记的。那他让你证明什么？证明这个 pb 要垂直什么啊？要平行什么？平行？哪个平行？ a、 c、 m 这个面好， pb 要平行 a、 c、 m 这个面好。同学们，我们继续来讲这个 好，依然根据我们的惯例，我们先写思路啊。好，我们思考一下，我们要证明 p、 b 平行这个面对不对？好， 那我们思考一个问题，我们是不是要找到 a、 c、 m 里面有一条线啊？使得，使得什么？使得 p、 b 是 平行这条线的对不对？好， 那么这条线到底在哪呢？对不对？来，这条线到底在哪呀？同学们， 一般来说，在一个面内找线，先找这个，一般题目给的面一般是以多边形的面， 这一般是先找边，然后再在面内找，先先找边的。比如说我们说找这条边 m a， m c 和这个 a c， 对 不对？你定睛一看，你觉得 m a， m c 和 a c， 你 觉得会和这个 pp 平行吗？ 有点不像，对不对？好，那肯定是怎么找呢？还他在这个面的还有一个特殊点是 o 点，对不对？好， o 点， 那你连接 a o m o， 你 会发现，哎， m o 好 像和这个有点像，对不对？又结合我们什么中位线，中位线会使得什么呢？这个 p b 啊，会平行一条线，而这条线呢，是在这个面内的，对不对？ 而且是什么？而且这个中位线是会在以 p b 为边的一个三角形里面，那你是不是就非常明确？如果要利用中位线的话，那你是不是得找什么 p b 所在的三角形面啊？对不对 吧？找过 p b 的 一个三角形面，并且使得什么？使得这个面和什么？和 a c， m 这个面有什么？有交线就可以了。那你看一下 p a b 型吗？ 不行吧，好像不大行， p b， p 什么？ p c， b 也不大行，对不对？那还用找吗？那只有是 p d b， 对 不对？这个念对不对？好，那 p d b 的 话，那我很显然我要干嘛？我要连接 d b， 那 d b 和我们 a c 的 交点就是 o 点，为什么？因为底边 a b， c， d 是 个平行四边形，你看他说了对不对？而平行四边形 a c， b d 就是 对角线，对角线的交点就是 o 点，因为 o 点是什么？是 a c 的 终点，它就是对角线的终点，就是两条对角线的交点。对，好， 所以我们的思路也非常简单了，你看三角形 p d b 的 中位线，那很显然就是以什么以 m 点和 o 点为连线的一个线段， 而这条线呢，就恰好在什么 a c m 这面内，对不对？好，所以我们猜测 m o 呢，就是我们要找这条平行的线。好，所以我们写 m o， 我 们只需要证明到这个东西就 ok 了。而很显然，你说 m o 在 不在 a c m 内啊？在，因为 m 点也好， o 点也好，都在什么 a c m 这面内，对不对？所以这个也正完了。 ok， 那我只需要知道 p b 是 平行什么 m o 的， 那时候 p b， p b 还平行 m a 好 不好？好挣，好不好挣啊？非常好挣，怎么好挣呢？因为我们说什么？因为 m o， 为什么？三角形 p d b 中位线，对不对？ 中位线它就是会平行的呀，对不对？所以这条线啊，它也挣完了，对不对？ 好，还有正完，让大家再看我们思路啊，从这里出发，然后逻辑往下推，推推，每一个箭头啊，他最终指向出口 都已经给他解决了，所以我们的逻辑就完整了。所以说这个题是能够做出来的。如果说有个不能解决，比如说这个不能解决，你打开箭头向外，这里面有指向一个这个或指向一个空气的话，那就是没有正完，这个思路就有问题了，这个就肯定是做不出来，对不对？好，好，我们思路找完之后，我们就写过程， 我们说过程从下往上写，刚刚我们已经说过，呃，如果标序号的话，可能会什么？可能会 呃，有点，有些，有些差别，有些乱，所以大家不要呃，还是就，就不要去标了啊？反正大家也很好理解嘛。哎，你从上往下写嘛？对你，你这个写思路，你写过程了就从下往上写，就先写这个，先写这个这个这个这个 一下一下往上，这个拼的，这个不需要我多教吧？因为我们的思路搭的很明确，就是一层一层下来，然后平行的展开，这叫横向，横向对不对？纵横是这样来的啊，是一个二维的结构啊。啊，因为空间立体三维的话有点太抽象了。好， ok， 好， 呃，他说证明 p b 平行，这个好，所以我说首先第一步，你这个 m o 怎么来的你知道吧？连接 d b 与 m o 对 不对？好，然后干嘛呀？然后你说因为你现在，你现在是变成要说明这个结论对不对？所以你应该说说它是中位线。怎么说它是中位线呢？你说因为 m 为 p d 中点 o 为什么 d b 中点对不对？好， 呃，如果上课我们有时间记笔记，可以记笔记，如果没有时间记笔记，大家就不要记笔记，因为下课我会把笔记发出来，大家下课去整理一下就可以了。 ok， 好， 然后说 m 是 重点， o 也是重点，那你就说所以 m o 为三角形，什么 p d b 的 什么中位线， 对不对？所以你说什么？所以你说 m o 平行什么 p b 对 不对？而正好 m o 是 属于面。什么呀？ a a m c 的 对不对啊？ a c m 的 a c m 和它的 l 平行对不对？那你直接写所以所以什么呢？选你就可以直接写结论了。 p b 平行， m o m o 这条线又在面内，所以我就直接说 p b 平行，平面 s m n 就 挣完了，非常简单，好，非常简单，这是中位线去证明平行，好，是这个样子的。 ok， 好， 我们继续下一个内容，我们讲由什么？由平行四边形去证明它是什么？线面平行的，我们说证明，证明线面平行，主要就是证明线线平行对不对，而平行四面形去证明。我们是不是讲第一个题就已经说过了，你看 这里是不是构造了一个平行四边形，是证明对不对？还记得我们当时讲的关键点是什么啊？我说要使得两个对边，它是平行且相等，我就能构造出一个平行四边形，然后使它另一组对边是平行的，对不对？好，就往下。我们看到这个九十七页， 我们看这个题，这题，哎呀，同学们一看，哎呀，这个图好复杂呀，对吧？其实并没有。 ok， 好， 你看这个， 他说在直升直三人柱，好，大家搞清楚什么叫直三人柱，三人柱知道吧？就是里面是个三角形，顶上也是个三角形，然后把它连起来。对，这个柱呢， 是两柱线，这个棱啊，侧棱是平行的，当然这个三棱是可以歪的，也可以直的，那歪的就叫歪的三棱柱，那直的就叫直三棱柱，对吧？只不过歪的我们一般不叫歪三棱柱，就没有说什么的名称，直的就表示这个一定是垂直体面的， 所以叫直三棱柱。那什么叫正三棱柱呢？正三棱柱应该叫做正直三棱柱啊，他非常的正直。 首先它正直在哪？第一个直，对吧？它本身就直三棱的。第二个正，怎么个正法？你原来里面是个三角形，它现在是个正三角形，规规矩矩每边都相同，非常的什么正，对吧？很正，这个图形，所以叫做正三棱柱，是这样来的。 ok， 这个稍微给大家补充一下这个东西。然后这个直上人注中说 a、 c、 b 这角是九十度。好，我们说我们要学会读题，读完题说要做标记，特别是几何题，要画 a、 c、 b 是 九十，那你就画个这个， 他说 c， a 等于 c， b 等于一， c 等于 c， b 等于一，对不对？ 这一，这一说明什么？说明 a、 b 的， 你看二啊，对不对？你可以把这个算一下，这是可以秒出答案的，你可以算一下，因为后面你就可以省着去算了。 然后他说测等 a、 a 等于二，好，这边等于 a 等于二，他说 d 和一分别是终点，那就说这个是终点，这也是终点，对，好，然后要干嘛？要证明 d 是 平行于底面 a、 c、 abc 的， 对不对？好，平行于底面 abc。 好， 我们来思考一下怎么去证明这种题。 首先第一步我们写什么？我们写思路对不对？你说要证明啊，这个 d、 e 平行 abc， 那 我肯定要写它证明一条线对不对？这是我们的思路对不对？没有问题，证明 d、 e 平行某条线，然后这条线呢？属于我们的面 a、 b、 c， 那 很显然我们是要在 a、 b、 c 里面找一下直线时，它会和这个什么？第一平行对不对？好，那根据我们学过的手段，一个叫什么中位线，一个叫什么， 另一个叫什么？另一个叫做我们的这个平行面形，对不对？好，你说中位线，这行吧， 中位线好的不大行，因为中位线要必须使的这个第一啊，是一个三角形的边，或者说他中间的这个，这个中位线要使的第一是这个或者这个你才能去用，那你看这个能围成一个三角形吗？这里好像，你看要找三角形的话， 好像也可以。哦，可以吗？好像不是很行，不是很行。因为你把这个画画边的话，那是不是要找另外一个顶点就行了，对吧？如果你找这个顶点的话，发现 怎么着都不对劲，对，好像不对劲啊，也不对，也不对，对，看起来就不像能够用中美心做出来。那我们就思考一下能不能用平行四边形？平行四边形就好说了，那么就说这是一条平行的边，对不对？那我要找另外一条边和它平行，那肯定肯定是 把这个什么把这边给他往上往下移移动啊，对不对？往上往下平移，那你说要和这个底面平行，对不对？那你这个这个边平行之后是不是要给我落到这个面上，对不对？ 那你肉眼一观察，如果把这个往下平移的话，哎，是不是好像是长这个样子，对不对？好，长这个样子的话，那你说 d 点变成了 c 点，那 e 点应该是变成这个点的位置，对不对？好，那你觉得这个点应该是什么点， 对吧？应该是觉得是 ab 的 终点，对吧？所以大胆去做啊，假设这个终点再连起来，对，然后再把这个也连起来， 好，这就构成平行四边形。那终点你取了要给他个名字啊？对，名不正言不顺，你都不给他取名字。你，你要碰到说要说名字 c 什么点时候，你怎么能说 c 什么点，对不对？要给他一名字？一般取名是 abcd， e， f， g， h， i， j， k 这样去 从前往后找顺序对不对？当然偶尔你觉得这用的太多，你可以随便跳 p、 q、 m、 n， 是 不是 这些也比较常用的？取取点？你看 a、 b、 c、 d、 e 没有 f， 我 们就取个 f 点，对不对？这样去取， ok， 这也是有套路的，那我们就要证明 d、 e 是 平行于什么？平行于 c、 f 的 对不对？那很显然 c、 f 肯定属于这个面的呀，因为 a 点 啊，因为 c 点就是这个面内的一个点，对不对？那 f 点也是这个面的一个终点，对不对？线的一条终点，所以他肯定是，所以这个是已经相当于正完了啊， 是，没有问题。 ok， 好， 继续。我们要证明这个 d e 对 d e 和平行这个 c、 f， 这个到底是怎么去证明 d e 平行 c、 f 呢？我们说过找平行四边形，对，因为你画的图就是找平行四边形，是吧？所以正什么？正？这个 d、 c、 f 异为平行四边形，那我们证明这个是平行四边形，该怎么个证明法呢？对不对？好， 我们说这么一些事情，怎么怎么办？我为什么要证明？是因为我要用到他什么这两边是平行的，对不对？那我肯定不能用这两边去证明，我必须要证明这条边和这条边是什么？平行且干嘛？且相等，对不对？好，所以我们说要证明 d c 平行 e、 f 且 d c 等于一，我是不是站到这个就 ok 了？对，还有给他画一个小数，对，往下走。那你说 d、 c 会和 e、 f 相同吗？会，为什么？因为我说 d c 啊，和 e、 f 都是谁的一半？都是 a a e 的 一半。 好，你写思路写简洁一点，写过程写详细一点，过程依附于思路，思路相当于这一个题目的股价，知道吗？而过程呢？相当于包含了股价的它的血肉，对不对？ 是这个样子的，这样这个题目才完整，对不对？好，你看，很显然， e 点 f 点是中点，所以这是中位线，谁的中位线？这个三角形的中位线，对不对？所以说，我说这个 e f 一定会平行 a a e， 而且是它的一半， 对不对？而 c d 很 显然是 c c 的 一半，对不对？而 c c 一 和 a a e 是 一样的，对不对？而且这两个边也会平行，对不对？所以我不但证明他是什么，他是这个中线，我还证明到什么？我还证明到 dc 会平行 e f 呢？因为我说 dc 会平行谁？ a a e， 而 a 一 会平行什么？ c c， 当然 c c 也就是我们的 c d 这条线，对不对？所以说我们都相当于两边都正完了啊，思路到这里就已经结束了， ok， 所有的都到这里，已经所有的箭头都留下了我们已知的东西，对不对？所以说思路是完结了的， ok， 已经 ok 了的啊， 那么对于初学的同学们来说啊，建议像这样去学习，会比较有条理，更容易学懂。 如果你学的很熟练了，比如说你像老师这样子的，你像这种题啊，我都我看一眼就知道完整的数了，那我就不需要去写这个。同学， 我们就不需要写这个东西，只有当你思路不清晰或找不准思路的时候，我们才要一步一步这样去分析，知道吗？帮助我们去分析，把问题一层层给他剥开， ok， 好， 那我们把这个写完之后啊，我们就写过程了，对不对？过程从后往下，从下往上写，怎么写？第一步，先写他 对，好，因为 e、 f 为 a 三角形 a a e b 中位线，对不对？你把你的思路写详细一点，因为我要证明这个对不对，所以我要先说它平行于 x， 而它平行于 x 是 由中位线来，对不对？ 所以 ef 平行 a a e， 又因为什么呢？我现在要证明谁啊？证明这个东西就是我要证明 c、 d 是 平行 a、 a、 e 的， 对不对？ 因为 c、 d 属于我们的 c c、 e， 而我们说 c、 c、 e 是 平行 a、 a、 e 的， 为什么？因为它是三棱柱的棱啊，对不对？好， 所以我们说是 c、 d 是 平行 a a 一 的，那你又用 c、 d 平行 a， a， e， f 也平行 a e， 对 呗。那就最后打一句，所以什么？你说 c、 d 是 平行于什么 e、 f 的， 我们就成功的把这一步给他写完了，对不对？好，写完了，写完继续往下啊，我现在要证明谁证明这个东西对不对？证明他俩是二分之一 a a。 好，同学们，同学们，听我说，听我说。同学们，不要上课忙着记一堆笔记啊，什么呢？尤其是这种，你觉得这种你需要记吗？ 不需要记这个东西的过程是为了我给大家讲课的时候要详细的澄清，完整的解答过程，但是同学们学习的时候啊，应该先把思路给我学会， 大家缺的是过程吗？写这种东西谁不会写啊？我说这个也是终点，所以说这个是这个三角形中线，你不会写吗？你肯定会写，你不会的是什么？你不会的是不知道为什么要写这个， 这个写这个有什么用？你不知道这个？平时同学们记笔记一定要把关键东西给我记下来，非关键的东西你看完，看完这些关键东西一眼就能推出来，东西你需要去记吗？所以我建议同学们记笔记，记这个东西，把思路给我记下来，知道不？ 把每一题的思路给我记下来，不然你只背解析的过程，你就是在学皮毛，你学不到骨架，学不到核心的东西，所以一定要把思路给我记下来， 所以大家记笔记就记这些蓝色部分，对吧？当然我偶尔补充的一些知识点，你也要给我记下去，对不对？好，把这个记下来就行了，这些就是没必要记的，大家要认真听课，上课不是只记笔记，你哭哭记笔记是学不到东西的， ok？ 好，所以说我们说 dc 平行这个 o， 我 们现在现在证明他两边相等了。 o c d 等于二分之一 c c， 对 吧？好，谁啊？ e f 等于二分之一 a a e， 因为中位线嘛， 又因为 c c e 等于 a a e， 对 不对？我说这条边等于这条边，对不对？所以我说什么？所以我说 c d 啊，就等于 e f， 对 吧？ c d 就 等于 e f。 好，最后因为啊， c d 平行于 e f， 且 c d 又等于 e f， 那 思路回到了这一步了，对不对？我们要证明它是平行四边形，你这样就会乱的，对不对？ 所以说我们说四边形，什么 c f e d 为平行四边形， 对吧？所以说我们就说什么，证明到我们要的条件了，我要证明 d e 和 c f 平行的。对，所以我们说什么？ d e 是 平行 c f 的， 呃，我们说 c f 除以底面 a b c， 所以说什么？所以说我们说第一是平行，我们的面 a、 b、 c 的 就做完，知道吧？ 所以说你考考试看的标准答案是一个过程，一个一个结果，而过程是你脑海中怎么去找这个思路？并没他，并把他一步一步组织语言给我写出这个东西的，是这样的， ok， 好， 我们看下一个。 好，我们现在来讲一下，由相似证明线面平行，和刚刚一样，对不对？ 和刚刚一样，我们由相似证明这个线面平行啊。相似证明线面平行还是利用什么？为什么？因为说两个三角形如果相似的话，会有什么结果？ 如果两个三角形相似的话，你看横线这个边会等于这个边，对不对？所以是由相似得到线线平行是这样来的， ok， 好， 那我们讲一个题，我们讲这个第四题，你讲这个第四题， 依旧我们只写思路啊。好，依旧我们只写思路。好，这个题我就先不写过程了，我们写思路，同学们要学会去找思路 来。我们的目标是求 p a 平行于面 b、 d、 m， 对 不对？所以我们要找一条线啊，使得它在这个面内和这个 p a 平行，对不对？老套路，对，平行什么线？然后这条线属于面 b d a， p d m 对 不对？好，你看 p a 在 哪？ p a 在 这对不对？ 好，然后要在 b、 d、 m 内找一个线，对不对？而我们说要用，我们这里是用相似，对不对？同学们，思考一下， 思考一下，用相似的话，那是否说明这个 p a 应该是什么？应该是这个相似三角形中的这种边，或者这个边对不对？同学们，那你是觉得是这个 p a 是， 会是，会是这个短的边还是这个长的边呢？ 会是这个短的第一边还是会长这个？这种长的边你觉得是哪一个？那肯定长的呀， 这个图形中就不可能出现比他还更短的，对不对啊？比他还更长的，对，所以说这一定是三角形的边，那我只需要找另外一个点，对不对？找另外一个。这个点使得什么？使得连接这三个点之后构成三角形，会有一次这样一条线出现在哪里？ 出现在这个平面内，对不对？好，请同学们用朴素的感觉告诉我，你觉得应该是连哪个点？除了 p 点和 a 点之外，还有 d、 e、 b、 c、 m、 f， 你 觉得是连哪个点？ c 点非常好，肯定是 c 点啊，对不对？因为只有练到 c 点之后，你看这样子才会有这个东西，对吧？其他点都没有这个效果的，对不对？所以我们很简单，我们连接什么？连接这个对不对？连接之后这里是不是有个交点啊， 对不对？你肯定要把这个平行啊，不相似去正，对不对？你说要给他一个名字，我们说取名叫做 a、 b、 c、 d、 e、 f， 你 看他是不是这样标的 pm 为什么取那么远？就是为了给你继续留点给你取啊，不然他把 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g、 h 都写完了你后，你不熟悉你，你不敢写，怎么办，对不对？好， a、 b、 c、 d、 e、 f， 有 了，好，我们取个点就 g 点，对不对？ 我们一直学的二十六个英文字母， a、 b、 c、 的 e、 f、 g， a、 b、 c、 e、 f、 g， 这些学了就是有用处。好，就这样。好，那我们数学非常明确，我们要证明 p、 h 平行，谁？ mg， 对 不对？那 mg 要干嘛呀？属于这个面，对不对？很显然，第一步 mg 属于这个面，已经搞定了，对不对？好， 所以说我们把它往外走，它已经它已经正完了，很显然，对不对？很显然。好，我们要把谁把 pa 平行 m g 给它正出来， 那想 pa 平行怎么平行？ a m g 啊？你看我是不是要正这个三角形和这个三角形相似，对不对？好，所以我正三角形 c p a c 相似三角形 m g c， 对 不对？好，我要证明这个初中学的相似的符号和证明的方法，别给我忘了啊。好，那我们说怎么证明一个三角形是相似的呀？来，我们说证明这个边比上这个边 的比例和这个边比上这个边的比例是一样的，并且什么呢？并且他们有共同的，共同的这个角，对吧？对吧？那么它就是相似的，没毛病吧？好， 所以我只需要证明什么呢？ m c 比上 p c 等于什么？ g c 比上谁 a c， 对 吧？ 就可以了。因为角 c 是 共同嘛，对不对？那你说这个好不好挣？很好挣，为什么？因为他告诉你了 m c 比上 p c 是 什么？他说 m 是 什么东西？ m 是 一点满足 pm 的 两倍， m c， 你 说这玩意是这玩意的两倍，这是二比一的关系。所以说 m c 比上 p c 是 几比几？一比三，对不对？而我们说什么， 你怎么证明这个比，这个是一比三呢？同学们怎么去证明这个比，这个是一比三，也是用相似去证好，怎么证法呢？因为我注意到三角形什么呀？ b 句 c 是 相似三角形，谁 d 句 a 的， 你有没有发现这个问题？ 你看，你看，这个边本来就平行，里面是等腰梯形，什么叫等腰梯形？这两条腰是相等的，然后这两条边是平行的， 它平行于它，对不对？然后两条平行线上随便取两条交线所构成图形，就是两个相似的三角形，这个大家一定要熟悉啊，那他们的相似比是什么呀？ 相似比不就是 bc 比上 ad 吗的比例吗？对不对？那你告诉我 bc 比 ad 等于几？ 是不是说 bc 是 二分之 ad， 对 不对？所以 bc 比 ad 等于几比几啊？一比二对不对？ 这，哎，老师，不对，你这不是三分之一吗？这边二分之，那是因为我们算的是这一段比上这一段是一比二的关系，对不对？那这一段比上整个的这一段，那不就一比三吗？对不对？所以我们就正完了。好，其实到这里我们已经正完了啊， 我们已经证完了，对不对？好，好， 我们已经学完了。线面平行的判定力，就是怎么去证明线面平行，有三种方法，第一个叫做什么？ 叫什么中卫线，第二个叫什么？平行四边形构造，第三个叫什么相似三角形，证明对不对？三种，三个思路，大家一定要学会掌握这三种常见的手段。好，接下来我们要学线面平行什么？ 我们的性质定律就是已知线面平行，去推导出一些性质。好，我们来看两个题，第一个题看到我们这个一百零一页， 这也好摸索，记一下笔夹，这个要记的啊， 就是如果一个线平行一个面，比如说这个样子，那么它肯定会平行另外一条线，这个线是什么？这个线是另外一个平面，比如这个平面 穿过我们的这个 l 和我们这个面阿法干嘛的？交线， 这个线叫做我们的 l 撇，所以说我们说这个线 l 会和这个线 l 撇是平行的，它是这个东西，是这个东西。好，我们看一个题，看下面的第二题。 好，好，我们就讲只讲这个题啊，不讲另外一个题，这个题我觉得已经够有代表性了。 ok， 好， 他，他说什么呢？他说这个和这个的交心 l， 他 没有画出来，对不对？这个要靠同学去感觉，但是为了给大家有感觉，所以我画一下。 好，这个紫色呢，就是我们底面 a、 b、 c， 对 不对？然后这个是蓝色的，这个面呢，就是我们的 a、 b、 a、 b、 m 的 延伸，然后这个红色线就是我们的交线，我们称之为什么呀？ l， 好， 请看第一问，他要证证这个东西平行正面对不对？同学们，好，请同学们思考一下，你觉得这个应该用什么方法去证明啊？中位线 平行，圆形，还有什么枪？三角形，大家觉得应该用哪个？标错了，标错了。第一问是证明这个线啊， 这个线和和这个面平行啊，看错了，不好意思，证明，这证明这个线面平行，那证明这个线面平行，那怎么去证明呢？我应该用什么？所以我们用中位线去，我们怎么用中位线呢？中位线的话我们看， 那我就要找 a、 c， 为什么三角形的边长，那找另外一个点对不对？找哪个点啊？我觉得应该是找这个点 a 一 点，对不对？好，所以我们就连接什么呀？ 呃，不是 a 一 点，是这个 b 一 点，反正这条这条边你就找点，就这个点，这个点或这个点，这个点肯定不会是这个点，对不对？你就总共就一二三四四个，好选人吗？你一个一个找一下，你感觉哪个有感觉？那肯定这有感觉好，我们就连接他这个找感觉还是有点难找 连接了啊，那我们取这个中点为 dog 点啊，这个焦点，这个是 dog 点。好，现在我们要证明什么？证明这个平行的呗。那是不是要证明一条线？ 我第一问啊，要证明 a、 c、 e 平行于 a e、 b、 m， 是不是要相相？相当于这一条线，对吧？哪条线？告诉我哪条线平行？哪条线啊？ 属于 a、 e、 b、 m 的 哪条线是哪一条线？告诉我 哪一条啊？这条。哦，要找嘛？我三角形都给你找出来了。这个三角形呐，那你的中文线不就找中点嘛，对不对？这个中点，这个中点对不对？因为这个是平行四边形，肯定这个 dog 点就是中点嘛。对，所以我们要连接这个， 这叫 dm， 我 们说的叫 dm， 属于这个面，对不对？好， 这段是很显然的啊，已经做完了，那你说 a、 c、 e 会平行 dm 吗？会不会？同学们会，为什么？因为我们说过 dm 是 什么中位线， 所以相当于这个也做完了， 为三角为三角形。什么 a b、 e、 c 中位线嘛，那么很自然我们就证明完，对不对？定位就搞定了啊。 我们来继续说一下，这个怎么去证明呢？我说我连接这个，然后发现这个和这个的焦点是我们的终点，这个，然后我就发现这是终点， 这个也是这个的重点，所以我说这个的连线会是这个三角形的中位线，而这个三角形呢？这个正好是我们要证明的 a、 c、 e 边，而我们的中位线呢？ dm 呢？又正好在 a e b m。 上， 所以我就证明完了。第一问是不是这样子的？好，那第二问，第二，他说要证明 l 平行于我们的 a e mc， 这怎么去证的呢？好，是这样去证的，我们说要 l 平行 a b c， 怎么去说？怎么去证明呢？我们说如果 a， 我 们说要根据线线呃线面平行的性质，你这边 如果直接说 l 平行面 a e b a e m c， 那 我是不是相当于要证明一个东西，证明它要平行这条这个面内的一条线？请告诉我是证明平行哪条线？ 我说这条线 l 要平行 a e m c， 你 觉得是平行哪条线？请告诉我。大胆告诉我 平行哪条线？哪条？那肯定是 a e m。 啊，你看平行这个面嘛， 你觉得这个红心会平行它吗？会平行它吗？那看起来就像它啊，对呗，看着最正常的就是它。对，平行 a e m， 那 a e m 肯定是在 a e m c。 内了，对呗，对呗， a e m。 肯定是在 a e m c。 内了， 这就这么完了。那 l 平行 a e m。 怎么去证明呢？ l 平行 a e m。 怎么去证明啊？它有点难证明我们，所以我们要用性质定义给它反转， 反转，如果我能够得到什么，我现在要证明它平行它， 但是我不好证。那如果我跟你性质定呢？我说什么？我说如果我能知道这个平行这个底面的话， 那你说是不是就能知道他比你大？为什么？因为你没发现这个 l 就是 一过一个这个 a e m。 的 一个面和这个底面的交线吗？对不对？它是一个非常明显的线面平行的性质定力的特征线， 它是由这个特征的这条直线，所以说我的数据就变成证明 a e m 平行于底面了， 那我要证明平行底面，那是不是就变成证明平行底面内的一条直线，对不对？好，那到底是平行哪条线呢？对不对？ 你说我要平行这个里面的一条线，那是不是相当于把这个平移到这个平面内，对不对？那这个往这一平移，那你说会在哪个位置？这个点对不对？这个点叫什么？猜一下，很很好猜的。这个叫什么点？ 叫什么点，你觉得这个点应该叫什么？叫我们的什么点中点，对不对？好， 非常好猜啊，因为整个图形里面最特殊的一个中点，对不对？所以说我们就可以证明，我说我要证明什么？证明这两个平行， 那很明显是一个什么法则？什么方法？平行四边形法则的呗。那我只需要证明到什么 a e a 平行 m e， 且 a e a 呢？等于 m e 平行且相等，就能证明 它是个平行四边形，对不对？能证明它是平行四边形，叫做 a e m 和 a e 是 平行的，对不对？ 很明显。什么呢？这个平行且等于它，那我们就证明到了这个平行四边形，进而证明到了这个平行这个，然后所有的思路从这里往前推，我们就证明完了，对不对？好，中间这一步用到了我们线平行的性质定律，所以这里是这样去用的，这是我们的思路。 ok， 好， 我们今天主要讲就是这个线面平行性质定力啊，判定定力啊，对不对？我刚对，判定定要学会用哪些去判断它的线面平行，对吧？

你以为立体几何证明很难，其实只要掌握了这三个底层模型，它就是送分题，别再死记硬背。判定定律，中位线怎么找？平行四边形怎么平移？面面平行怎么降维打击？ 今天马老师用一道母题把这三招掰碎了讲给你听，建议收藏反复看，这将是你立体几何开窍的开始。 我们来看这道题，它是一道证明线面平行的问题，那我们就先来去回顾一下线面平行的判定定律，如果一个直线 a 是 平行于直线 b， a 不 在平面阿尔法上， b 在 平面阿尔法上，我们通过这样的三个条件就可以推出来， a 是 平行于平面阿尔法的， 所以我们想要去正一个线面平行，就得先知道一个线线平行，那这个线线平行当中一个在面内，一个不在面内啊，这个我们清楚了之后，就要去分析这个线线平行我们是怎么样通过几何的方式给它找出来，那么我们就会有两种方式，第一种呢是中位线， 第二种是平行四边形， 那中位线跟平行四边形应该怎么去用？我们去结合问题来去说，但是其实还是有第三种方法，也就是在这两种方法都失效的情况下，我们也可以通过 先正一个面面平行，再去正一个线面平行。也就是说如果说两个面 r 法跟 beta 它是平行的，然后直线 a 又在平面 beta 内， 我们就可以通过这两个条件去得到 a 是 平行于平面阿尔法的。所以第三种方式就是先证一个面面平行，那么我们就通过这一道题，把这三种方式给大家讲透。我们首先来看问题，他说 c q 平行于平面屁撇 ab 好， c q 在 这里， 屁撇 a b 的 位置在这里，所以中位线怎么去用呢？我们就要去看一下，在这个线和面的同一侧是否还有一个点，那在这个线和面的右侧是不是有一个点 d？ 好， 那我们就可以通过这个点 d 呢，去连接这个 c q 的 两个端点好，连接 dc， 连接 d q， 当我们连接出来之后呢，就形成了一个三角形，那这样的话就会有中位线的一个初步模型， 但是还差什么？因为我们要证的是 c q 这条线和平面屁屁 a、 b 的 一条线是平行的，所以我们现在还差平面屁屁 a、 b 内的一条线，所以我们就要把 d q 延长延长到这个平面上，哎，刚好交道是屁屁， 那我们还要去延长 dc 延长到哪？是不是延长到跟会 a b 的 延长线会有一个交点，是 n 点，好，那我们就连接这个 p n， 那 你看看 p n d 这个三角形当中 c 点跟 q 点，它应该可能是中点，我们就找到了中位线的形式，那么我们就可以通过中位线拿去判定两条线平行，然后去判定线面平行啊，所以说中间呢，有一个细节的就是比例关系，我们把这种方式拿去顺一下， 现在呢，我们可以延长 d c， 然后与 ab 的 延长线交于一个点 n， 好， 我们去把图也做出来， 连接屁屁 n， 连接屁屁 n， 好， 那你现在呢？ q 点条件说了， q 是 屁屁 d 的 中点，所以我们就想要说明 c 是 不是也是 n d 的 中点，那如果 c 是 n d 的 中点好，中位线有线线平行就有，然后 通过判定定律就证明出来了。那我们怎么去说明这个 c 它是一个中点呢？却要通过条件当中给到的比例关系，它现在告诉我们， p、 d 是 三 bc 啊，这是一个等腰梯形 p d 等于三倍的 bc， a、 b， bc 都是一， bc 是 一，它是等腰梯形，过 c 去做垂线， c m 垂直于 pd， 那 么 pa 也是一， am 也是一， md 也是一啊，那所以说我们看一下， 想要证明 c 点是 nd 的 中点，我们就会把它放到三角形 a、 nd 当中。在三角形 a、 nd 中， bc 它是平行于 a、 d 的， 并且 bc 是 等于二分之一 a、 d， 所以 三角形 bcn 和三角形 a、 d、 n 它的相似比 是不是就是一比二？那所以我们就可以得到 n c， 它比上一个 n、 d 就是 一比二的关系， 所以我们就可以得到 c 点是 n、 d 的 中点啊， c 点是 n、 d 的 中点， q 点是屁撇 d 的 中点，那么我们就能得到了 c、 q 和屁撇 n 是 平行的，然后 c、 q 不在平面屁撇 a、 b 当中，屁撇 n 在 平面屁撇 a、 b 当中，就可以得到线面平行。那么我们来看看 平行四边形是怎么去应用的，那它的逻辑呢？会稍微有点不一样，因为它就不需要用到这个点 d， 那 你想要用平行四边形，就需要在平面屁撇 a、 b 找一条线跟 c、 q 是 平行且相等的， 所以其实就相当于是把 c、 q 这条线去平移到屁片 a、 b 当中，它是有一个平移的过程， 那平移的话就会有路径啊，沿着哪条路径去平移啊？那你看到 c 点，它是可以沿着 c b 这个方向水平向左 平移到平面屁撇 a b 上，那 q 点是不是也是可以水平向左去平移到这个平面上？它是不是应该会和屁撇 a 有 一个交点？好，那这个点是什么？ q 点是一个终点，那这个点肯定也是一个终点，我们把这个点假设成是一个 e 点， 所以这个平移的路径啊找到了，我们利用它平行且相等，证明出来一个平行四边形就可以。所以我们第二种方式就是设 p 片 a 的 中点为 e 点，然后连接 q e 连接上 q e 之后，然后也把 b e 给连接上。 那你会感觉到，嗯， be 和 c q 应该是平行的，但是我们能通过什么样的长度关系呢？是通过 bc 和 eq 长度相等且平行通过它来去证明一个平行四边形出来。好，那我们看到题目当中的比例关系，刚才也说过了， bc 和 ad 的 比例实际上是一比二，对不对？ bc 它是等于二分之一 ad， 然后呢？ q 点是一个中点， e 点也是一个中点，所以说在三角形 p 撇 ad 当中， eq 它就是中位线，它是等于二分之一 ad 的。 哎，这时候 eq 它和 bc 就是 相等的，然后呢？他俩平行不平行肯定是平行的。题目条件说了， bc 是 平行于 pd， eq 是 什么？是中位线， eq 也平行于 ad， 所以 我们就能通过平行的传递性把 bc 和 eq 平行去证明出来。 所以 bc 是 平行于 ad， 然后 eq 也平行于 ad， 那 么我们就能得到 e q 是 平行于 b c e q 平行于 b c e q 它又等于 b c， 所以 e q c b 这个四边形是平行四边形，那么 q c 就 会和 be 是 平行的， 那它俩平行了，一个不在面内，一个在面内。我们又证明出来了，线面平行，那么 c q 平行于平面屁屁 ab 就 得正了。 第三种方式怎么样通过一个面面平行来去证明线面平行？因为我们说 c q， 你 想要去在平面 p 撇 a b 当中找一条线跟 c q 是 平行的，那这条线是我们要去找的， 我们也可以去通过更简单的方式来去找啊。比如说你现在 c q 平行于 p 撇 a b， 怎么样去证明一个 面面平行呢？我们就是证明两个线面平行，那证明两个线面平行，就是要找两条线线平行， c q 可能不好找，但是在一个平面上的平行线就会非常的好找。比如说你看现在在屁撇 a d 这个平面内， q 是 一个中点，如果我们能在 a d 上也找一个中点，它是 m 点啊，这边的 m 点，那 那么连接 qm， qm 就 会跟屁撇 a 是 平行的，那你不就得到了 qm 这条线是平行于平面屁撇 ab 的 吗？是不是一个线面平行的，那这条线 qm 就 非常的好找。好，那你 m 是 中点，你再连接上 cmcm， 那 c m 和 b a 是 不是也恰好是平行的？那你又证出来了， cm 是 平行于平面屁撇 ab 的， 哎，两个线面平行，就得到了面面平行，而 c q c q 它又恰好在这个平面上，那么 c q 就 会和屁撇 a b 是 平行的，我们又得到了线面平行。我们把这个过程去书写一下，我们就假设 a d 的 中点是 m 点，连接 q m 连接 q m， 然后，哎，我们就能说明 q m 是 平行于屁屁 ab。 同理，我们再连接 c m， 那么 am 跟 bc 就是 平行且相等，这又是一个平行四边形。所以呢， c m 和 ab 是 平行的， c m 和 ab 平行， c m 不 在面内， ab 在 这个面内，所以 c m 也是平行于 p 撇 ab 的， c m 平行于屁片 ab。 然后呢，这两个线还交于一个点 m， 也就是 q m 交 c m， 它是等于一个 m， 所以 我们就可以去得到 q c m 这个平面是平行于屁片 ab 的， 得到一个面面平行，得到一个面面平行，然后 c q， 它是在这个平面 q c m 当中的 c q， 它是在 q c m 这个平面当中。我们就可以得到 c q 是 平行于平面 p 撇 ab 的。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲立体几何来求线面角，二面角，还有一面直线角，讲的主要是纯几何的方法啊，那么咱们来说一说。 首先呢就是一面直线角，它方法非常简单，核心思路就是把一面直线 l 一 和 l 二 平移到哪？平移到相交的位置，这个平移的过程中可能用的是平行四边形，对边平行，也可能是用的什么，用的是中位线，比如说 l 一 原来在这呢，然后平移到 l 一 撇的位置，这个利用的就是中位线了，都有可能。 那么我们直接来做一道题，这道题的话是一个小题啊，选择题，他说的是， 呃，在棱长为一的正四面体中好了，然后 m 点还有 n 点都是中点，现在问的是 a m 和 c n 这两条线，它之间夹角的余弦值显然是 e 面值线吧，然后它这个夹角怎么就你得先把夹角给做出来，怎么做出来呢？ 显然，显然我们只需要把它平移到相交的位置就可以了吧，来我平移一下，首先连接一下 md， 连接完这个 md 之后的话，我在 md 上取一个终点吧，比如说这个终点就是 点 e， 这个可以了吧，我先写上辅助线的做法啊，连接 md， 然后呢， md 的 中点为点 e， 那 么此时根据中位线 n e 就是 平行于 am 的， 原来问的是 am 和四 n 的 夹角，现在已经平行到相交位置了。 然后咱们问的是谁，问的不就是 c n 角 c n e 吗？那怎么办？那继续连呗，那继续连接谁？连接 c e， 所以 我们只需要解三角形 c n e 就 可以了， 那么因为正四角形每个面哎，因为它这样一个正四面体吧，它的每个面都是正四角形，对不对？那所以咱们在这样一个三角形 c n e 中还是很好求的。首先请您告诉我 n e 等于多少？根据中位线，它等于二分之一的 am， am 的 话，比如说棱长为一，或者说边长为一的 a b c， 你 说这个 am， 它的高，或者说它的中线等于多少啊？那当然是二分之根号三，二分之一再乘二分之根号三，那就是多少，那就是四分之根号三。好了，一条边已经求出来了，那么我们继续了哈， 还有谁？还有，接下来就是 c e 了。 c e 的 话，我们可以直接借助勾股定律，用 m e 的 平方 再加上 mc 的 平方来求就行。因为三线合一嘛，此时我们的 dm 也是垂直于 b c 的 底面， b c d 也是一个正三角形， m 点是中点，那 dm 当然就是高了。 那好，还是根据这样一个勾股定律吧。那我就直接写吧，你告诉 m c 是 多少？二分之一，你说 m e 是 多长？哎，二分之根号三的一半，那不还是四分之根号三吗？所以它你要继续去算的话，就是根号下四分之根号三的平方，再加上二分之一的平方，这个我就不多说了哈， 那最终咱们用勾股定律算出来，就是四分之根号七，那还有谁？还有我看一下啊。啊，对，还有另外一条边，还有第三条边吧，那条边 也就是说 c n 这条边， c n 不 用多说了，它三线合一，在 a c d 这个正四角形里头，你说 c n 等于多长啊？ c n 当然是等于二分之根号三了。 行了，不用多说了，三边都知道，所以此时口算角 c， n， e， 它呢，根据余弦定理我们就可以得出来，它是等于 c n 的 平方加上 n e 的 平方，再减去 c， e 的 平方，这个我们都是知道的，二倍的 c n 的 长度，再乘 n e 的 长度，那最后算一下， 它的平方是四分之三，再加上十六分之多少。我看一下啊，十六分之 n， e 的 平方是吧？ n， e 的 平方的话，那就十六分之三，然后再减去谁，再减去 c e 的 平方，那就是十六分之七， 然后二乘二分之根号三，再乘四分之根号三，我们最后一计算，就可以算出来等于三分之二了。所以你说选什么？当然是选择 a 了，这个呢，就是意面直线角，我们只需要通过平移。这道题用什么来做的平移啊？用中位线做的平移， 把两条异面直线平行到相交位置，然后解三角形，这个解三角形用的是于弦定力，那么另外一个就是线面角，线面角其实也不麻烦啊，首先告诉你我们图中研究的是什么？ ap 就是 那条直线，空间中的直线 f 就是 空间中的一个平面。求直线 ap 和平面 f 的 夹角。套路是这样的啊，都是有套路的。首先我们把 ap 叫做斜线， 这条直线它跟平面 f 的 交点点 a， 这交点叫做斜足，我们随便过 ap 这个直线上随便找一个点，当然你不要跟点重合了啊。然后过这个点点 p 呢？做 f， 这个平面的垂线，垂足是点 q， 有 了斜足了，有了垂足了， 杨老师顺便给点 p 起了一个名字，它就叫斜点。那么这三个点 ap， q 是 不是形成了一个直角三角形？ 此时我们其实就是把线面角它的平面角做出来了，其实也就是截角 p a、 q 就 够了，剩下的话，你求出 c、 t， 然后它的三角函数值，比如说正弦值、域弦值就够了。原来是这么回事， 那行吧，现在咱们就来做一道题。这个第一问的话是相当容易的，我呢就来过快速的过一下啊，它是这么说， 首先底面是正方形，这样一个四棱锥，并且 p d 是 垂直于底面 a、 b、 c、 d 的 行，然后第一问怎么说的？ 第一问说的是证明一下平面 a、 e、 c， 然后垂直于平面啊， p d、 b 怎么证明？很好正看了啊。第一问，我写下过程，因为是正方形，谁啊？ a、 b、 c、 d 是 正方形呗，所以咱们可以得出来，对角线互相垂直，此时 a、 c 就是 垂直于 b、 d 的。 然后继续啊， a、 c 还垂直于谁啊？你看好了，因为 p、 d 垂直于整个底面 a、 b、 c、 d， 所以 说 p、 d 垂直于底面内所有的线吧，包括 a、 c 在 内。现在我相信圈一圈应该能告诉你了， a、 c 既垂直于谁 bd 又垂直于 p d， a、 c 垂直于平面里头两条相交直线啊。你要写的话，你当然可以写得更清楚一些，因为 p d 和 b、 d 相交，对不对？交于点 d， 并且 p d 和 b、 d 呢？它都是在什么里头？都是在 平面 p d、 b 里头， ac 垂直于平面里头两条相交直线，所以 ac 就 垂直于整个平面 p、 d、 b 了。 行了吧，线面垂直，最终我们就可以推出来谁垂直，就可以推出来面面垂直了，所以此时 a、 c 所在的谁过 a、 c 的 所有的平面，包括这个 a、 e、 c 在 内，就垂直于 平面 p、 d、 b。 没问题啊，这个很简单。那另外这个第二问的话，咱就要详细的来说一说，因为第二问涉及到一个什么，涉及到求这条直线 a、 e 和平面 p d、 b 所乘角的这样一个大小。 他要问角的大小的话，大概率就是特殊的角吗？什么一百，什么六十度啊，等等的九十度啊，或者四十五度、三十度等等一些特殊的角啊，来吧，看一下 a、 e 吧。 看好了，不过呢，这个需要你做一下辅助线啊，一会啊，需要你做一下辅助线，它的话，其实只需要你接下来连接一下点 e 和对角线的交点，比如说 a、 c 和 b d 交于点 o， 我 连接一下 e、 o， 就 这唯一一条辅助线连接它就够了，别的呢？都不需要。 那行吧，现在请你看好了啊，它给了数据了， p、 d 等于根号二， a、 b 是 等于一的，也就是底面 a、 b、 c、 d 这个正方形的边长等于一， 然后咱们这样来啊，咱们这样来，它告诉你是 p a、 c、 e， p a， c、 e 的 这样一个体积，看到了吧， a、 c、 e 这样一个体积，它是等于十二分之根号二。你这样来， 因为 p a、 c、 e 的 体积，它是等于 p a、 b、 c、 d 的 体积，再减去谁呢？再减去 p， a、 c、 d 的 底。呃，这样一个体积，然后再减去，用这样一个勾股法分成好几部分嘛。嗯，然后呢， 咱们继续来啊， a、 c、 e， 然后呢再减去这样一个 e abc， 对， 减去这一部分。那么接下来咱们假设点 e 到平面 abc 的 距离呢，是 等于 h 的， 这个 h 实际上就是谁，就是图中的 o、 e 的 这样一个长度。好了，现在我们用含有 h 的 式子带入谁带入圈一里头，圈一的话，左边咱们算一下啊，左边的话就是十二分之根号二呗，右边的话，它是等于 三分之一底面积，底面积就是一的平方嘛。 abcd， 然后高的话就是根号二，三分之根号二，咱们直接这样来写，然后再减去 p， a， c， d， 看一下啊。呃， p， a、 c、 d 的， 然后接下来是 p， a， c、 d 的 体积，它的话是三分之一乘二分之一一的平方，这就是 a、 c、 d 的 面积嘛，然后再乘这个高，高的话是 根号二，这个算出来是六分之根号二，然后再减去谁呢？ e， a， b， c， e， a， b， c 的 话，那继续，那就是三分之一 乘二分之一的这样一个底面积， a、 b、 c 的 底面积，然后再乘这个高，那么接下来很快就算出来，这个 h 是 等于二分之根号二了。就这么回事啊，算出来了。 好，算完这一部分之后的话，我们就可以得出来谁啊，实际上点 e 它就是谁， 点 e， 它就是 p、 b 的 终点呀。为什么？因为这种情况下，你已经知道了它这个 h， 也就是图中 o， e 的 长度，它是等于二分之一的 p， d 的 平且等于它的。 那此时根据平行线分析呢？乘比例，那你说点 e， 点 o 是 终点，点 e 是 不是也是终点？是的啊，咱们可以点得出来，点 e 是 终点。行了，现在不用多说什么了， a、 c 是 垂直于 平面， p， d， b 于点 o 的。 那既然如此的话，所以我们就可以得出来，你看 a、 e， 这就是这条斜线吧，点 e 就是 斜足，点 e 就是 什么斜线？斜点吧。然后呢， p b、 d 就是 那个平面，所以此时我们角哪个角？角 a e、 o， 它就是谁角 a e、 o 就是 我们要求的 线面角了，就是直线 a e 和 p d、 b 所成的角。那么接下来这个长度就非常好。算了啊，来吧， 底面是边长为一的正方形，那而且它是一个直角三角形，对不对？然后 a o 不 就是对角线的一半二分之根号二吗？ 然后呢， o， e 也是二分之根号二。哎，不用多说什么了吧，那此时我们就得出来了， tan 角 a e、 o 在 哪个？在直角三角形 a o， e 中，它是等于二分之根号二，再比上二分之根号二，它其实是等于一的，它等于一的话，不就是角 a， 嗯， a e、 o 它是等于多少？等于四十五度嘛？既然它等于四十五度，所以说接下来咱们就可以说明什么了。接下来咱们就可以说明所乘的角，那不就是四十五度不就可以了，你写全就行了。 行了，接下来最难的一条就是二面角。二面角是怎么定义的？两个半平面 alpha 和 beta 相交，交线就是 l， 那 么从 l 呢？ l 上面找一个点点 o， 分 别向 alpha 这个平面内和 beta 这个平面内做垂线，此时 ob 和 oa 分 别在 beta 和 alpha 这两个平面内，而且都跟交线 l 是 平行的，那此时 aob 就是什么？ a o， b 就是 二面角，它所对应的平面角。接下来解三角形 a o、 b 就 够了，清楚了吧？那行，接下来咱们还是来看这道题。 这道题仍然是第一问比较简单，它首先告诉你平面在四棱之中，平面 p、 a、 b、 c、 d 是 垂直于 a、 b、 c、 d 这个底面的，并且 a、 b、 c、 d 咱们先研究清楚啊，它给的大小都是完全确定的，是一个直角梯形，那咱们先把这个平面画出来，直角梯形啊， 好嘞，这个是 a、 b、 c、 d 等于二了，然后这是直角了， 然后 a、 b 和 b、 c 的 长度都是一行吧，这也是直角，那根据连接 a、 c， 如果连接 a、 c 之后的话，这不就一比一比根号二吗？是不是？然后四十五度，根据余弦定律等等等等，你也可以得出来哪个角啊？你或者说别的方法吗？这个是四十五度， 这个是一百三十五度，一百三十五度减四十五度。哎，那这不也是个直角吗？所以也能够得出来这是根号二的，没问题，这个就是非常特殊的一个 a、 b、 c、 d 直角题型，出题的时候经常见，那么继续了 又告诉你， p、 b 等于根号五，然后 p、 b、 ab 和 ap 其实都知道，咱们看一下这个直角三角形啊，首先 ap 的 长度 等于多少？等于二吧， ab 的 长度等于一吧， pb 长度等于根号五。哎，他等于根号五的话，那接下来根据勾股定律的逆定律，不就可以得出来一个直角三角形吗？所以第一问不就解决了呀。行吧，咱们来看第一问啊，第一问求的是 三棱锥 p、 a、 c、 e 这样一个注意啊，点一是终点，求它的体积，那这样来，因为 p b 的 平方等于 p a 的 平方，再加上 a、 b 的 平方，所以 p a 是 垂直于这个 a、 b 的， 然后 a、 b 它事实上是交线呀，也就是说因为平面 p a、 b， 它垂直于平面 abcd， 并且它的交线就是谁，它的交线就是 ab， 垂直于交线，则垂直于平面，等等等等，这个我不用想写了吧？所以此时的 pa 是 垂直于 平面 a、 b、 c、 d 的。 对啊，面面垂直，推出来线面垂直吗？那么现在我们就可以得出来它的高是什么？哎，它的高就这个四棱锥的高， 它是 pa 的 长度是等于二的，那么因为点 e 是 中点，嗯，因为点 e 为 p、 d 的 中点。所以说我这个三棱锥 e、 a、 c、 d， 它的高呢？是多少？它的高当然是刚才它的一半了，它的高就是等于一，没问题，这个高的话，我写成 h 撇吧，它等于一， 那于是我们这个体积就可以求了呀。本来你求的是 p、 a、 c、 e 的 体积，咱们换一下，换成 d， a、 c、 e 的 体积，因为你点 e 是 中点，这样换没有任何问题的。 那于是咱们再继续换，你以 a、 c、 e 为底不太好算，那你换底换成 a、 c、 d 为底就很好算了，对不对？那就是三分之一乘二分之一， 再乘二乘一，没问题啊，三分之一底乘高吧。高是多少？高是一啊，刚才就这个地方算出来了，所以最后咱们可以算出来它的体积是三分之一的就够了。这个第一问还是非常简单的，咱们主要是研究一下第二问。第二问，问的是谁的余弦值啊？ 问的是 e、 a、 c、 d 的 余弦值， e 在 哪？ e 在 这，交线 a、 c 在 这， d 在 这。哦，问的是这样一个，显然这样一个二面角，它是一个锐角吧。行了，咱们来求一求，我直接把图形给你画出来。咱们还是用纯几何的方法来做啊。那么做辅助线的话，主要是你得知道 怎么做。看好了，因为点 e 是 终点，所以咱们取的是 h 点 h 点，它也是终点，它是 a、 d 的 终点， 那么连完之后的话，此时根据中位线 e、 h 肯定垂直于 p， 平行于 pa 啊，然后 e、 h 的 长度呢？那肯定等于二分之一 pa 的 长度，中位线嘛，那它就等于一了。那么现在看，因为 pa 垂直于 平面 a、 b、 c、 d， 所以 什么？所以它的平行线 e、 h， 它也是平行于，也是垂直于平面 a、 b、 c、 d 的。 行，得出来这些信息，那么得完这些信息，其实你想做的是什么？继续做了啊，做辅助线。好，咱们继续取，因为你是终点嘛，取谁的终点呢？取 a、 c 的 中点是 f 点，然后我们顺便连接谁，连接 f h 和 e f， 那 很容易知道此时的 f h 它是平行于 c、 d 的 啊。我们在一开始我给你画这个 a、 b、 c、 d 的 平面图的时候，你就已经知道了谁，你其实就已经知道了这个 a、 c 是 垂直于 c、 d 的， 那么 c、 d 的 平行线，哎呀，所以不就得出来了吗？ f h 和它平行吧，那此时 f、 h 不 也垂直于 a、 c 吗？太好了， 这就是半平面上的交线吧，对不对？这是半平面交交线，你现在这个交线已经垂直于谁了？你这个 f、 h 已经垂直于交线了， 那么接下来就差一步了。差哪一步？哎，就差这个 ef 为什么也垂直 ac？ 实际上它有一个三垂线定律啊，但是三垂线定律教材上没有吧。那咱就直接呃，根据什么我写一下思路吧。 首先看 e、 h 垂直于平面，你说咱想得的是什么？想得的是 e h 垂直于平面里头所有的线，包括 a c 在 内。现在你仔细看一下圈一和圈 a c 垂直于 平面那两条相交直线，当然你应该写全啊。所以 a c 就 垂直于整个平面线面垂直吗？垂直于哪个平面？ 垂直于 e f h 啊？所以 a c 就 垂直于 e f h 里头所有的线，包括 e f 在 内。我想得的就是这两条啊。你 a c 垂直于谁？垂直于 f h 八，然后呢？ a c 还垂直于 e f 八，这样不就符合二面角的定义了吗？所以我们要求的是哪个角啊？我们求的是角 e f h， 行了吧，目标非常明确了，求的就是这样一个角。那剩下咱们就算一算，我标一下就行了，反正它是个直角三角形嘛。好。 呃，那现在 cd cd 刚才平面图画的时候是应该等于根号二吧？哎，那 f h 解三角形， f h 不 就等于二分之根号二吗？对， 那 e h 是 等于几？等于一对吧？算出来了，那么 f e 呢？ f e 你 勾股定律来算不就行了？一的平方再加上二分之根号二的平方，我算一下是多少啊？ 啊？二分之三根号加二分之三吧，那就是二分之根号六。哦，原来如此。所以此时余弦值口算角 e f h， 那 它就等于 f h 再比上斜边 fe， 那 于是就是二分之根号二，再比上二分之根号六。所以最后结果就是这道题的结果。所以这节课大家应该学会了三个角吧。一个是一面之线角，怎么解决？ 意面直线角，你得用平移到相交的位置，然后解三角形去解决，这是意面直线角，记住啊，它的范围是零到九十度之间， 垂直的时候是九十度，那么线面角怎么办？线面角的核心就是你得找出来垂足，斜足，还有那个斜点，解直角三角形 a q p 就 行了。 那么如果是二面角呢？如果你要用纯几何方法来做的话，你必须过交线上一个点做出来 alpha beta 平面内两个垂直的线，一个是 o a， 一个 ob， 然后解三角形 a o b， 剩下的就可以解决了。那么今天咱们就讲到这吧，分享课堂知识，感受世界之美。我是安范老师，下期课再见！

高中数学最难的立体几何全部吃透！逆袭最强黑马立体几何的向量方法，利用向量球空间距离、向量球空间角、向量球夹角、意面直线所成的角学习误区。

这个分析逻辑其实就是判定定的会背的熟一点。我们先说平行啊，比如说我想先正线面平行，那我们判定定理是平面外一条直线与平面内一条直线平行，那比如说就是 a 平行于 b， 那我要说明平面外跟平面内，所以 a 必须在平面外， b 呢，是需要在平面内啊，严格来讲是需要三个条件得到线平行于面。但很多时候提醒你这个线在面内，比如说举个例子，我说 a b 在 平面， p a b 这个你看点在面内，这点已经在了，那这两个点都在这个面里面，这条直线是必然在的，所以像这种条件，这个是可以不用写的。但如果是 a e 在 平面， p a b 这种就必须要写，因为一点，如果你不写，是我看不出来他在面内的，所以这个要写，所以具体问题具体分析，但他不作为一个呃，扣分点。但是这里边非常非常重要的就是一定要说明我的线在面外 啊，这是三个条件，你可以备注。我想正线面，这是需要三个条件， 好吧？然后呢？从线面入手，我可以得啥呢？线平行于这个面，然后呢？这条线如果还在平面，比如 beta 内 啊，然后呢？阿尔法跟 beta 有 一个交线是 l， 那 么这三个条件可以得到 a 平行于 l， 这是什么？这叫性质定律。 也就是说题目中如果告知了我们线跟面平行，我要找啥呢？我要找是交线啊，就是有一个平面跟交线，他跟交线平行。 好，那我们一般找是证明黑色是判定定力啊，我紫色写就形成定力。好，这是线面平行的，那如果我想得面面平行是需要五个条件的，就是我要正一个平面内两条相交直线，所以就是 a， 我 要平行于阿尔法， b 呢也平行于阿尔法，然后呢，它是相交直线，所以 a 跟 b 相交有一个交点，然后同时呢， a 呢是在杯塔内，我的 b 呢也在杯塔内。五个条件才能得到两个平面平行， 而每一个面面平都需要两个线面，所以它过程是非常非常长的啊。好，这是这个，那你还是一样，如果我有面面，我能得到啥呢？得到第一个啊，如果两个平面平行，其中一条直线在这个平面内，那么两个条件就可以得到 a 就 平行于另外一个平面 啊，这是很显然，两个平面内就其中一个平面的所有直线都会跟另外一个平面平行。好，那第二个就是如果这两个平面平行，有第三个平面 啊，第三个平面有个交线啊，第三个平面跟这两个都有相交，那么两条直线是平行的，所以我是可以从面面得到线面。好后面的这一部分 啊。注意啊，这一部分是性质定律啊，这一部分是性质定律。好，那我们继续往后说，这是。呃，线线面跟面面平行一般比较简单，那重点是垂直垂直，先说线面， 那线面还是我就需要正一条直线跟平面内两条相交。直线啊，垂直，那所以就是 a 垂直于 m， a 还垂直于 n 啊，相交直线它俩还相交，那么同时 m 在 阿尔法内， n 也在阿尔法内，那么五个条件得到我的 a 就 垂直于阿尔法。就线面垂直，这是需要五个条件的， 那还是线在面内的话，你具体问，具体分析，面面平行的话，这也是五个条件 好，你得到线面垂直之后，这也很好办。你还是第一个性质定律是啥？第一个性质定律是 a 只要垂直于阿尔法 啊。另外比如 b 在 阿尔法内，那么就一定得到 a， 就 垂直于 b， 就 线垂直于面内所有直线啊，这是用最多的一个。那还有就是如果有 a 垂直于阿尔法， b 呢，也垂直于阿尔法，那么我的 a 跟 b 就 平行，有两个 线面垂直，得到线线平行，这也会用到这性质顶点好。那面面垂直是啥呢？我想得面面垂直非常简单，因为我只需要 a 垂直于阿尔法，再说明 a 在 贝塔内两个条件就可以得垂直， 所以它的核心就在哪，核心就在线面垂直上，对不对？那问题又来了，如果题目中告诉我了阿尔法垂直于贝塔， 那我能得到什么呢？阿尔法垂直于贝塔之后要找交线。怎么找交线呢？找到阿尔法跟贝塔交线，比如说是 l 啊，你在平面内， a 呢，他是在阿尔法内的，同时你还发现了 a 是 垂直于这条交线的，那么我就可以得到 a 就 垂直于另外一个平面， 所以叫有面面垂直找交线，谁跟交线垂直，他就垂直于另外一个平面。好，这是面面垂直核心来点，肯定还是线面垂直核心 好的。最后一个可能他们正线线，对吧？正线线往往都是用线面垂直的信任定律，就你要正 a 跟 b 垂直，怎么办呢？你就正 a 垂直于 b 所在那个平面得到的啊。我们判定定律背最多的，其实就就这么多，没了。