吉林省中考动点问题解题技巧

动点问题是初中数学压轴常考的热点题型，吃透动点问题是搞定压轴题的关键。这本动点压轴专项训练，他对中考会考到的动点题型进行了系统的梳理练习，囊括了因动点产生的相似三角形问题、因动点产生的等腰三角形问题、 因动点产生的直角三角形问题、因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题，以及函数综合运用等动点常考的十三类题型， 而且每个题目都配有视频讲解，如果不会可以看视频解析，非常优质的一本资料，基础不错，希望拿下中考压轴题的同学选用。

嗨，大家好，我发现学生在做那个压轴题的时候，把模型都记下了什么将军一马啥的，但是呢，他在实际的运过程中，分析过程中，不知道啥是动的，啥是定的，能不能给他讲一下呀？比如说将军一马模型 对，你这个问题问的特别好。对，我们在一个这个，尤其是最值问题的时候，常常会遇到动的点或者线段，嗯，定的点或者线段，我们一定先把动的定的确定好，嗯，然后再根据动静结合， 嗯，然后我们语文中有动静结合，英语中有动静结合，我们数学中也有啊，比如说将军印马模型，我们的模型的本身是在一条河流上有一个点，嗯，我们找那个点，然后在哪里去喝水的时候 路线长最短。嗯，那那个点就是个洞的呀，因为那个河流很长呀，它上面有无数个点，我在哪里去喝水呢？选择性有无数种。嗯，但是在哪里喝最短，所以那个喝水点是个洞点。 那么定点就是你现在所在的位置和营地，对不对？军营和马就。嗯，是，所以我们应该做的是过定点，做河流的对称点。然后呢？做了对称点之后，对称点是不是也就是定点了？嗯，那我们就有两个另外的两个定点，两侧的两个定点才能够怎样 两点之间线段最短？对，对，那咱的隐形员的，比如说定弦定角，很多学生 找的弦不是定弦，就咱前两天讲那个夹角那个问题啊，那个弦其实那个人家那平行四边形的二分之一部分才是定的弦，他找的另外一边，他以为那个，呃，平分面积问题的那个是是定定的弦，就学生找这个定弦定角有啥特点？ 这个定弦定角隐形元，特别要注意的是，嗯，其实更要关注的是定角， 我们先要关注哪一个角，他一直是确定的，比如说题目告诉你啊，哪一条线段始终垂直于另一条线段，那那个直角肯定是个定的呀，那线段虽然在动， 但它始终保持垂直，那么我们先把定角找到，嗯，然后在那个定角所对的那个弦，嗯，那就是我们认为的定弦，那个弦必须是固定长度。当然还有更复杂的题，可能那个弦都是个动弦， 这个我们就研究研究好不好。我们重点是关注定角所对的弦是一个定弦，这样就有隐形圆定角定弦，那么这个动点 所在的轨迹就是曲线，也就是我们的圆弧，因为它的原理是同弧所对的圆周角相等，所以一整圈对着那个弦的圆周角都相等。搞清楚原理很重要，加油！

动点问题是初中数学压轴的必考问题，这套动点压轴专项训练七八九年级各有一本，对每个年级常见的动点题型进行了系统的讲解练习。 我们看这本九年级的，它包括了一轮认识，二轮强化、三轮拔高、四轮冲刺，借助循序渐进的梯度练习，有助我们逐步掌握各类动点题型的解析方法。 重要的是，它每个题都配有视频剖析，不会的可以看视频讲解。每道题也都设计了两页，一页可以独立作答，另一页是精致的文字解析，非常不错的一本资料。它精选的都是动点压轴大题，每个题都很经典，优质动点是初中数学的拉分题型，基础不错的孩子赶紧练起来。

同学们好，今天继续给大家分享一道中考题，反比函数与等边三角形结合的题目，也是一个动点问题。朋友们啊，已知一个反比函数 y 等于 x 分 之六， 在第一象限里的这个分支上有一个动点 a， a 在 动，把动点 a 和圆点连起来延长，和另一个分支产生一个交点 b， 然后他就以 ab 为边，构造了一个等边三角形，已知条件就是一个等边三角形，还有一个反比例函数解析式，比例系数 k 等于六， 那么在点 a 运动的过程中， b 肯定动， b 在 动，那顶点 c 肯定也在动，他说这个顶点 c 始终会在一个函数图像上运动，就让我们找一找点 c 所在的那个函数图像，他的解析式是什么？ 动点 c， 他 总是也就是 a 在 这个双曲线上运动的时候，构造这个等边三角形，那 c 肯定也在另一个函数图像上运动。那么就让我们找一下那个函数图像的解析式是什么。 那么首先这里有一个解析是 y 零 x 分 之六， ab 都在这个图像上，那它的比例系数 k 是 一致的。解决这个问题的关键点，同学们观察这里，在这个 o a 和 o b 上啊，它的突破点就在 o a 和 o b 上， 那 o a 和 o b 是 什么样的关系？才能仔细观察？ a 是 动，是这个双曲线的点连接 a o 并延长与另一个 分支产生的焦点。我们知道反比例函数图像，它是关于原点成中心对称的，对吧？同学们，哎，反比例函数图像，这两个分支双曲线是关于原点成中心对称的，那 o a 和 o b 连起来之后，你说 o a 和 o b 是 什么数量关系？ 其实蒙咱们也得蒙 o a 和 o b 相等，实际上 o a 和 o b 也是关于圆点乘中心对称，你可以把 ab 看成是正比例函数图像的一部分。我们知道，正反比例函数图像一旦产生焦点，它的焦点一定关于圆点乘中心对称，也就是 o a 和 o b 是 相等的啊， 仅限于正反比例函数。同学们啊，不是一次函数。正比例函数和反比例函数，它的图像如果有焦点，它的焦点一定关于圆点成中心对称。那么这里的突破点就在这个 o a 等于 o b 上。 有 o a 等于 o b 的 同学们，有等边三角形了，我们想什么？有等边三角形了，有 o a 等于 o b， 显然我们就要想等边三角形的三线合一啊，连接 o c， 那这里就出垂直了。当这个直角又斜着这样出现的时候，你们，你们又有什么想法？通常的思维方式，这个直角不是横平竖直，出现的时候，我们通常的思维定势就是要构造什么。 哎，直角斜着一出现，我们就要构建一线三等角啊。构建一线三等角过点， a 做垂直过点， c 也做垂直 过。这个直角的两个顶点向他这个直角要靠墙站了，靠墙站向他靠的这个墙做垂直， a m 垂直于 y 轴， c、 n 也垂直于 y 轴。这个时候呢，一线三等角模型就出现了，这两个紫色的三角形，它是相似的。 跟他俩相似有什么用？关键点就是我们要找点 c 的 纵横坐标呀，你要知道他在哪个图像上，你得首先找到他的坐标是什么呀？根据他的坐标咱们就可以研究一番了，你连坐标都不知道，你根本没办，没办法从何入手。 那么怎么表示？找点 c 的 坐标？同学们借助于点 a 的 坐标，就因为它俩是相似的，如果是点 a 的 坐标是 m n 的 话，那写完这一段就是 m 了，这一段就是 n 了。那么接下来我们就用含 m n 的 代数式去表示点 c 的 坐标， 点 a 的 坐标是 m n， 那 么 m 乘以 m 就 等于比例系数啊， k 六了。哎，首先知道他俩的 g 是 六乘以的啊。那么接下来咱们就用含 m n 的 代数式表示点 c 的 坐标，也就是去求一求 o n 等于多少，再求一求 c n 等于多少的问题。 那既然他俩相似的，咱们首先来观察这对相似三角形的相似比是几比几，这个相似比就是解决这个问题的关键。 同学们观察这对相似三角形的相似比是几比几，有的同学一个数据也没有，怎么找相似比，他不是有等边三角形吗？他不是有等边三角形底边上的高线了吗？ 出等边三角形底边上的高线，他就不不就出了一系列的一系列的特殊的角了吗？这些特殊的角就能找到我们这对相似三角形的相似比啊。同学们观察 o a 比上一个 o c 是 几比几，显然 o a 和 o c 他 俩所在的这个三角形，这个角是啊，三十度啊， 我们知道它这个三十度等于对边比邻边三分之根号三，短直角边。是啊，与长直角边之比，是啊，一比根号三的关系。 三分之根号三就是一比根号三啊，那 o a 和 o c 之比是一比根号三，也就是这两个直角三角形的斜边之比是一比根号三，所以他们的短直角边与短直角边之比也是一比根号三，那他是 m， 所以 这个 o n 就 等于根号三 m 了。 同样的道理，长直角边和长直角边之比也是一比根号 a 了， 那接下来有了它的长度，那点 c 的 坐标咱们不就可以表示了吗？首先观察点 c 的 横坐标 c n 等于多少？同学们， c n 等于根号三，再来看它的纵坐标 o n 怎么表达？同学们，这又是一个小坑啊，注意，一定要注意 o n， 我 一说小坑，你就要注意那点 c 的 纵坐标就是谁呀？ o n 等于根号三 m， 我 填上根号三 m 对 不对？同学们，注意根号三 m 对 不对？写着是不对的，因为他在负半轴上，所以我们要填负号。如果不填负号这些东西，前面做的这些东西工作都前功尽弃了。那同学们，咱们再来看他俩的纵横坐标之几又是几？ 也就是负的根号三 m 乘以根号三 a 又等于多少？显然就等于负三倍的 m a 了。而 m a 等于十六，所以它就等于负十八了。 也就是说， c 点的坐标纵横坐标 x y 之积等于负十八，所以 y 就 等于负的 x 分 之十八了，就 ok 了。所以说点 c 在 的那个函数图像也是一个反比例函数，它的解析式就是它了。 这是一个借助于等边三角形的三线合一，构建一线三等角的相似比，表示不同的点的坐标， 从而找到点 c 的 坐标根据。点 c 的 纵横坐标之机是一个定值，从而我们知道点 c 也在一个反比例函数啊图像上。希望这个题目能够帮到大家。

家人们，这种矩形里的求最值问题你还在硬算吗？今天教你一招，定轨迹加垂线段，最短三秒出答案！ 很多同学拿到就忙屁点在乱跑，怎么求？别急，先定轨迹，你看条件中的两个直角，且都对着同一条线段 e f， 所以 e b f p 四点共圆， 再加上 e p 等于 f p， 说明弧 e p 等于弧 f p， 那 它们所对的圆周角角 e b p 和角 f b p 就 相等，且都为四十五度， 所以 p 点的轨迹就是角 abc 的 角平分线轨迹找到了，接下来就简单了，点到直线的距离垂线段最短，所以当 c p 垂直于这条角平分线时， c p 就是 最小值。 在直角三角形 b p c 里， b c 等于十六角 f b p 等于四十五度，所以 c p 的 最小值为八倍。根号二搞定！就这两步，直接秒杀！ 这种先找轨迹，再用垂线段最短的思路是初衷！最直题的万能钥匙，关注我，下期更精彩！

同学们，今天我们来学习动点坠直问题，第七课时便是训练舞，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会再看我的讲解。 现在我先说方法一，坐标法第一步，见平面直角坐标器，我们把点 b 当成坐标原点由正方形的 a， b 等于二倍，根号五 o 为 bc 中点可以得到 a、 b、 c， d、 o 的 坐标，没问题吧？ 第二步，设动点坐标点一是正方形内的一个动点，可以设一点的坐标为 x， y， 则 o 一 等于根号下 x 减根号五的平方加 y 的 平方等于二。 同时在坐标系中到定点的距离等于定长的点的轨迹，说明了点一的轨迹是一个以点 o 为圆心，二为半径的圆。第三步，利用旋转求 f 点的坐标 d， e 绕着点 d 逆时针旋转九十度得到 d f， 通过构造三角形全等可以得到各边长以及 f 的 坐标了。 第四步，套两点距离公式列 o f 长度的式子大家发现了吗？这个式子其实是点一到定点 p 零三倍根号五的距离，也就是说 o f 的 长度等于 p e 的 长度。 我们把未知的 o f 转化成了圆上的点到定点的距离。第五步，求最小值点 e 在 圆 o 上运动， p e 最小值就是 p o 减半径，也就是五倍根号 r 减 r。 方法二，刮动原理第一步，先找主动点，从动点，点一是正方形内的一个动点 d， e 绕着点滴逆时针旋转九十度得到 d f， 所以 f 跟着移动， e 是 主动点 f 是 重动点，并且在变化过程中始终与点 d 相关联，所以我们把点 d 称之为关联点。第二步，看旋转关系，从 d e 到 d f 是 绕着点 d 逆时针旋转九十度，按照一比一得到的。 第三步，用特殊位置找 f 的 轨迹。因为主动点一一的轨迹是一个半径为二的圆，所以从动点 f 的 轨迹也是一个半径为二的圆。我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 取两个特殊位置，按照上面的旋转关系，得到圆心和半径，就能画出 f 的 轨迹了，也就是圆心 o 绕着点滴逆时针旋转九十度，得到圆心 o 撇。 在圆 o 上再取一个点 m， 绕着点的逆时针旋转九十度，得到 m 撇，最终形成一个以点 o 撇为圆心， o 撇 m 撇为半径的圆，也就是 f 的 轨迹了。 第四步，求 o f 最小值，结合正方形边长，利用勾股定律算出 o o 撇等于五倍根号 r 减去半径 r， 也就是 o f 的 最小值。

来，我们看看这个十二八练习五这个动点，这考了一个，呃，算比例，然后考了一个这个三角形斜边中线的这个事，那我们来说说这根中线的事哈。啊，这个大家都应该知道，直角三角形斜边中线等于斜边一半吗？ 啊？直角三角形 abc 角 b 呢？九十度， d 点是中点，那么我们连接 b、 d 就 能知道这三条线的长度相等，这个怎么去正呢？我们可以利用这个被长中线的方法，把它被长， 他俩长度一样，因为他是中点，所以他俩长度一样，我把这个一连，这个三角形和这三角形他俩就是一个平行的八字全等，那全等了之后呢，你就能知道 这条线和这条线相等。呃，这个角和这个角相等，那这九十度，这俩角相加就等于九十啊，这个就是九十，那他是九十，他是九十，他公共边，然后他俩也相等， 我们就证出来他俩线段长度相等，因为他是倍长的，他俩一样，所以说他他他，他们四个就都一样。而我们后期学了矩形，我们也可以把这个矩形补出来，利用矩形的性质去进行证明。 好，这道题说的不是这个事啊，它是这么来给的啊，这隐藏给法到现在啊，我在这个 a、 c 上有一个点 d， 让这个 b、 d 和 d c 呢一连它俩相等，然后让我正 d、 d 点是不相同， 然后他俩角是不直角三角形是不是互余，那这直角三角形他俩呢是互余，所以我们就能知道这两条边相等。哎，我就知道了，原来如果他要是一个等腰三角形的话，这条线他也是中线这么回事，我们来看一下这道题怎么考的，说如图啊，矩形，一个矩形 ab 等于六， d 呢，等于三啊，就是三六，那所以 a a c 的 长度就是三倍，根号五了呗。啊，然后 p 点呢？在这个 a c 上运动，然后再上 c b 上运动，那就 p 点有两部分，一个速度是刚好五，一个速度是一， 那我就知道了， a c 是 三倍，刚好五，所以在 a c 上的时间就是三秒，在 bc 上的时间呢，它也是三秒的一个时间。 m 点是 a b 的 终点啊，现在呢，就是点，它也是终点，看， 也是 a p 的 终点，当 c p 等于 q m 的 二倍的时候， c p 和 q m 符合二倍关系，你看啊， q 点有关的是不是终点？ m 终点是不是也是终点？那 m q 就 应该是什么？是不是中微线呢？所以我把 b p 连上， b 连上之后，如果我设它为 a 的 范围，线的特点，平行且等于二分之一的底边，所以这个就是二 a， 那 根据他的这个数量关系，这个也等于二 a， 好， 你看是不是他的这个数量关系，这个也等于二 a， 好， 你看是不是他的这个数量关系，这个也等于二 a， 好， 你看是不是他的这个数量关系，这个也等于二。 a c 的 终点， 那 p 是 a c 的 终点站，咱刚才分析了，在 a c 上是不是运动了三秒，那它匀速变化的话，你说它在第一段是不是 t 就 等于二分之三？你看很简单，但是你要能够识别出来， a 的 一个终点啊，它的终点的一个考察中位线啊，你要推导出来它是一个斜边中线 啊。那现在是不是第一种情况，那我们再看第二种情况， p 是 不是应该在 b c 上边找一个 p 哈？那我们再重新去读一遍题哈， m 是 终点，没有变， 它速度是以 q 是 ap 终点，那此时就不在 ac 上了，对不对？我们把这个新的 ap 连上之后，那我们找到 ap 的 终点，那你会发现我这个 pmm 是 终点， p 呢？ q 呢？它也是终点，那所以它是不是中位线？那如果它是 a 的 话，是不是就是二 a？ 他 说的 cp 等于二倍的 qm， 他 们是不是也是二 a？ 那 所以 p 是 不是 bc 的 终点了？那 bc 终点在 bc 上运动几秒？三秒 终点的话是不是就是二分之三，二分之三？然后前面是不是还运运动了一个三秒，对不对？最后的结果就是二分之九秒，这个问题就相对来说是比较轻松的。所以说对于终点的考察， 大家一定要围绕着终点去找，像斜面中线等于斜边一半啊，三线合一啊，微线呢？是倍长中线呢？这些围绕着终点去散我们的思维。

嗯，这道题说它是一个等边三角形，边长为六，然后呢？ p、 q 分 别从 a、 b 同时出发， p 老师用红色来标注它的轨迹是 a、 b、 c 怎么走的？ 速度是二，然后 q 点呢？老是由蓝色表出来，这个 q 点的轨迹是 bca， 怎么走的？ 然后它的速度也是二，也就是说明它们都是在三秒处发生变化的，是不是？ 然后时间大于零？他说当点 p 在 ab 上的时候， ap 多长，那速度是二，时间是 x， 走过的速度是二，时间是 t， 走路程就是二 t 是 不是？ 第一个问非常简单，第二个总时间是零到六，大家知道吗？无论是 p 点和 q 点，总路程都是十二，速度十二，时间是六，然后都是在一半的时候拐弯的，是不是？所以是零到三和三到六？ 零到三的时候就是图里这个情况，底是二 x 高呢？它这块是不是也是二 x？ 看 q 点，它也是二 x 高，是不是得做一个垂线，这里是六十度， 然后三十度角随对边的斜边的一半，这是二 x， 所以 这是 x， 我 们学过，它是它的根号三倍，所以说它是根号三 x， 我 用二 x 乘以根号三 x， 再除以二就行了， 根号三 x 的 平方。然后三到六的时候，我们需要重新画一个图，此时点 p 是 不是已经到 b c 上了，然后点 q 在 a、 c 上了，那 apq 是 不是大概是这样的？ 我们看一下点 p 的 总路程是不是十二，它走过的路程是二 t， 所以 剩这个边就是十二减二 t， 我们看 q 的 是不是一样？总路程是十二，走过的路程是二 t， a， q 也是十二减二 t， 说明这个三角形的底就是十二减二 t， 高呢？高是不是这么作垂啊？这是十二减二 t， 这是不是它的一半？然后这是不是它的根号三倍？ 所以说二分之根号三倍的二分之根号三倍的十二减二提是它的高，然后底是不是又是十二减二提？我再乘个底是不是它的平方？ 这不还得乘个二分之一，那就是四分之根号三倍的十二减二提的平方，展开就可以了。

同学们，今天我们来学习动点这只问题，第八课时便是训练六，大家可以暂停几分钟看一下题目，或者尝试做一做，等会儿再看我的讲解。现在我先说方法一，坐标法第一步，减平面直角坐标系， 我们把点 o 当成坐标圆点由圆 o 的 直径 a、 b 等于二，可以得到 a、 b、 o 的 坐标。 第二步，设动点坐标点 c 是 圆 o 上的一个动点，可以设 c 点的坐标为 x， y 则 o， c 平方等于 s 平方加 y 平方等于一。 第三步，利用旋转求 d 点坐标 c， b 绕着点 c 逆时针旋转九十度得到 cd， 通过构造三角形全等得到各边长以及 d 的 坐标。第四步，套两点距离公式列 o、 d 长度的式子 展开得到 o， d 方等于二， x 平方加二， y 平方加一加二， y 减二， x 加 x 平方加 y 平方等于一。代入得到 o， d 平方等于三加二倍括号 y 减 x， 所以要让 o、 d 平方最大，也就是让 y 减 x 最大。设 k 等于 y 减 x， 则 y 等于 s 加 k， 把 y 等于 s 加 k， 带入到圆的方程，展开整理，得到一个关于 x 的 一元二次方程。 第五步，利用判别式求 k 的 最大值，因为存在点 c 在 圆上，所以得它大于等于零。 整理得到 k 的 平方小于等于二，也就是 k 大 于等于负。根号二小于等于根号二。 k 的 最大值是根号二， o d 平方最大值是三加二倍根号二。 o、 d 的 最大值是一加根号二。 方法二，刮豆原理第一步，先找主动点，从动点点 c 是 圆 o 上一个动点 c， b 绕着点 c 逆时针旋转九十度得到 c、 d， 所以 d 跟着 c 动， c 是 主动点， d 是 从动点， 并且在变化过程中始终与点 b 相关，所以我们把点 b 称之为关联点。 第二步，看旋转关系，从 b、 c 到 b， d 是 绕着点 b 顺时针旋转四十五度，按照一比根号二放大得到的。 第三步，用特殊位置找 d 的 轨迹。因为主动点 c 的 轨迹是一个半径为一的圆，所以冲动点 d 的 轨迹是一个半径为根号二的圆。我们知道圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 取两个特殊位置，按照上面的旋转关系得到圆心和半径，就能画出 d 的 轨迹了， 也就是圆心 o 绕着点 b 顺时针旋转四十五度，按照一比根号二放大得到圆心 o 撇，最终形成一个以点 o 撇为圆心， o 撇 d 为半径的圆，也就是 d 的 轨迹。 第四步，求 o、 d 最大值，结合三角形三边关系得到 o， d 小 于等于 o， o 撇加 o 撇 d 撇，也就是根号二加一。

大家好，我是小邓老师，今天讲引元，中考压轴最爱考的动点最值，记住三个字，找划算！ 引元是什么？题目里没出现元字，但是动点的轨迹划出来就是一个元，所以解题必须自己把这个元找出来。 核心思路就两条，找定点、找定长。定点是圆心，定长是半径。就这么简单，三大引元模型必须背下来。第一个，定点定长到一个定点的距离不变。 第二个，直角对斜边，看到九十度就有圆，直角顶点的轨迹是以斜边为直径的圆。第三个，定弦定角角度不变，看定线段。那怎么找圆心和半径？那个不动的点就是圆心，不变的距离就是半径，看到直角斜边的终点就是圆心，半径是斜边一半。画完圆用最直公式秒杀。 点到圆最近等于 d 减 r， 最圆等于 d 加 r， d 是 定点到圆心的距离 r 二是半径。做例题， ab 等于四角， a， p b 等于九十度，求 pm 最大值， m 是 ab 中点 找九十度对斜边， a、 b 直找顶点。 p 轨迹是圆，画圆心就是 m， 半径等于 a b 一 半就是二算， pm 就是 半径，永远等于二。答案是二口诀，找画算，找定点，定长画虚线圆算点到圆最直。三个易错点，第一， 引圆只是辅助线，答卷上要用虚线画。第二，动点不能和定点重合，注意端点取不到。第三，定弦定角动点只在一段弧上，不是整圆。好了，今天的干货就到这里，点个赞，加个关注，咱们下期再见，拜拜！

今天老毕给大家带来一道中考真题，中考真题中的谁叫做动点最值问题？但今天咱这个要研究的东西有点特殊哦， 一起来看。说两条直线， l 一 l 二，它俩互相平行， a 点是一个固定的点哦，然后 ab 还永远垂直于 l 二，那 b 点也是什么？ 也是固定的点点， c 点 d 分 别在这个上，并且 a、 c 等于 b， d 这个边长等于这个边长哦，那各位 平行线有什么用？第一个知识点来了，叫平行线，分线段成比例，也就说我但凡有平行线，我就有正 a 字形相似和正八字形相似，是这个道理吧？啊，你这段等于我这一段 上下还是平行的，那我八字已经产生了吧。哦，并且相似比这段跟他相等。相似比是几比几？是不是一比一啊？你相似比是一比一，那我这段跟这段怎么样也相等啊？所以一点是终点啊，同样这段跟这段也相等一点，还是他的终点，对吗？ 但是现在来看啊，说我这个 c 和 d 是 动的，这个点，哎，你俩都是动的，但无论你俩怎么动，你这个边长永远都相等，所以我 e 点永远是 a b 上到终点。那么回答 b， 老师，我这个 e 点是固定的定还是移动的动？ 哈哈，你俩不变，你的终点自然哦，固定不变。好嘞，它是固定的啊，这是固定的，这是固定的。分析明白了又告诉我们什么呀？我这个键不在这转吗？对吗？然后我做一个 b h 垂直于 cd， 哎，这个垂直永远都不变 哦，现在固定的就这么多，咱已经弄完了，那接下来问我们这个最大角等于多少？各位先不扯别的啊，首先 a 点不动， b 点不动， e 点不动，动中找不动，点不动。有了那么点不动以外，大家动中找不动，一定要学会什么动点分析啊， 一定要学会几何关系哪不变，也就是哪个边长不变，哪个角度不变，哪个边长不变， 是不是我蓝色这个边长不变，哪个角不变，是不是它所对的角就不变？哦，洞中找不动，咱就找着了。好，那么紧接着第三个点就来了，各位，我一个边固定不变，再加上一个角固定不变。定边定角出什么？ 出圆儿？哈哈，为什么呢？各位，大家来看啊，说我这个 a b 假设在这永远都不变， 那么平面上给我找到角，屁使 a p b 这个角永远得九度，那在哪找一个他可能在这位置，再找一个他在这位置，那所有的呢？所有你会发现，那就是， 嗯，长在我这个圆上，那为什么长在圆上啊？因为直径所对圆周角等于九度啊。哎，那有人就要说，老师，那我长里边不行吗？我就长在这作为三角形的外角，你是不是就比我这个内角大？ 是有道理吧，所以长在里边比九十大啊，那我要是长在外边呢？长在外边，那作为这个三角形内角，你是不是比这个外角又小？好，所以长在圆内的 比九十大，长在圆外的比九十小，所有等于九十的刚好在我这圆上当然不仅得九十的，在圆上得六十呢。六十有六十的画法是一个葫芦 啊，四十五有四十五的画法是一个葫芦，一百二有一百二的画法是两端裂弧拼在一起。总之，咱们是不是边对角得九十啊？哎，那你就长在我的圆上喽。那么我 h 点永远在这个圆上，问我们 b a h 什么时候最大？ b 点不动吧， a 点不动吧， b a h 这个角越大越好，那也就是我这条线绕着点 a 旋转掰的越往外越好，但是你往外，我这 h 点还得长在这个圆上，所以你最外头的时候是什么时候啊？ 是不是就过点 a 做一个这个圆的什么线？哎，切线只有一个公点的时候对吗？那既然相切，我们就得怎么样？ 连半径咱们就垂直，毕老师说清楚了吧。好的啊，那我这个圆心在哪啊？你 b e 不 动，你是直径，圆心就是你的终点呗。所以最终这道题 不就结束了吗？最后看一下数据吧，说我这个三角 b a h 这个阿尔法哦，他的正弦的值得几？ 有同学会问毕老师，问老毕这题是不是出错了，一个边长都没有啊，你怎么求啊？大家简单看好啊，说我这个圆的半径呢， 我假设它是 r， 可以 吧？哎，那你这到圆形距离你是半径啊？我这到圆形距离我也是半径啊，所以 b e 就是 几倍的 r， 两倍 r 吧。又因为 e 是 ab 中点，所以上边这块是不是也是两倍的 r？ 好 嘞，那就会再看，为什么让我们求正弦呢？正弦就是它所在直角三角形中 啊，对边比上谁？对边比上这个斜边吧，这个就叫做正弦吧。哦，我在阿尔法我给它装上哪个直角三角形里，我可以装在大的，也可以装在小的，但是显然小的 这个对边是不是就是一倍的 r 啊？啊，那这个斜边上边两倍，底下一倍就是三倍的 r， 最后一比三不就是我们要求的值了，直接拿下老毕讲清楚了吗？

动点问题学哭你，但掌握方法之后真的很简单，今天再教大家一个方法，看这个，它如同菱形， abcd、 ab 的 长度等于二，然后呢，这个角等于一百二十度， 然后 e 和 f 分 别是这两个边上的动点，然后沿着 e、 f 给它折叠，使 b 点落在咱们这个 b 撇这个位置，然后告诉你了，咱们这个 b 撇始终在这个 c、 d 边上，让你求 a、 e 两点之间，让你求它的最大距离是多少，那求它的最大距离。这种情况咱见过这种题吗？没见过呀， 没见过人怎么办？可以有一个转化的事情，怎么去转化呀？ a、 a、 b 的 长度不是固定的吗？啊，一段一段这么长的那个爆米花，你多吃点，我是不是就少吃点？你少吃点我是不是就多吃点，对吧？那行，你看，同样这么长的爆米花，哎， a、 e 想要最大距离，那我这个 b e 就 怎么样？ b e 就是 最小呗。所以咱们这道题其实求的就是 b e 的 最小值是多少，对吧？ b e 的 最小值， b e 长度等于 b， e 长度等于 b 撇 e， 那你看 e 点在 a、 b 上运动， b 撇呢？在这个 c、 d 上运动，都是动点，什么时候最短呢？咱们这个是平行线间距离最短嘛，所以把这个距离给它求出来就完事了。距离，咱们这是一个菱形，它是二，它是多少？它是六十度， 六十度，那这个边的长度咱们就能求了吗？三十度，垂直直角边等于斜边一半，那这个长度就是根号三，对吧？这长度根号三， b、 e 的 长度就是根号三， b e 最小值是根号三，所以 a、 e 的 最大值呢，就是二，减去一个根号三就 ok 了，明白了吧？听明白的，给我点个小红心，感谢啊。

动点问题学哭你，但掌握方法之后真的很容易。咱看一下啊，它如同三角形， a、 b、 c， 然后 ab 等于十啊，这边等于八，这边等于六，那就这个角就是直角呗，对吧？勾股定力，逆定力嘛， 然后紧接着呢，咱们这个经过点 c 与 ab 边相切的洞圆啊，这是一个洞圆，要是学长圆在动，我没学过呀，这个题超干了，对吧？不是那么回事啊，咱动点，你别管他什么在动，咱找到核心啊，找到核心市场。你看咱这道题，核心市场告诉你交易这个点 e 和点 f， 让你求 ef 的 长度吗？ 那就 e、 f 的 最小值，你圆在动， e 点和 f 点是不是都在动啊？那咱本质上就是这个线段的最小值，两个端点都是动点，怎么办？想办法去转移这个线段呗，对吧？那我 e、 f 这个线段我如何去转移一下啊？你看 e、 f， 它是什么特殊的线段？ 咱这块是直角，对吧？咱们这个圆周角等于九十度，所对的弦不是直径吗？虽然 e、 f 的 长度就是直径， 对吧？那也就是这道题让你求的就是直径的最小值。那直径什么时候最小啊？咱们这个直径的话，你看 c 点，假如咱们这个 c 点 c 点是不是在圆上跟这个相切？你看咱们这块这块相切的话，他是不是肯定垂直的呀？这个一连他是不是属于半径？半径？不是半径加半径吗？这两个半径如果说这种情况的话，那跟咱们这个共线的话，什么时候比较短呢？肯定是共线的时候比较短呢， 对不对？所以什么时候他就取最小值啊，当咱们这个，哎，刚好咱们这个做一个垂线，哎，垂线过这个圆的圆心，因为这个圆在动，圆在动，不是说大小不变，这个一定要知道啊，这个圆的大小他是在变的，哎，往这边来，哎，圆大点，你比如说咱们这样 啊，这边跟他就不相交了，就是咱们这个这这样，对吧？这个圆大小他是可以变的啊，因为大小可以变，所以咱们直径才能取最小值嘛。什么时候最小？就是垂线段的时候就最小了，就是这个半径跟这个半径重合，对吧？就是重合 啊，垂线段的时候他就是最小的，那垂线段最小，垂线段长度咱们一求呗，根据面积法，六八四十八，四十八除以一个十等于一个四点八，对吧？就 ok 了吧？听明白了吧？听明白的给我点个小红心啊，感谢。

求菱形加旋转动点最直。别慌，取 a、 b 中点构造等边三角形，右手拉手全等正出记点轨迹再过 a、 b 的 中点 q 且与 b、 c 平行的定直线上，最后用垂线段最短，直接算出 c g 最小值。关键就是先定轨迹再求距离。学会了扣一，记得点赞关注哦！

点 f 给它重新移动到点 a 上！关于初中阶段动点坠子问题一直困扰着很多学生，如果在考场上碰到真的是一个头两个大，恨不得化身哪吒，使用三头六臂，最后依然发现无能为力。 今天呢，我们就来讲一道非常经典的动点锥子问题。矩形 a， b， c， d， i， d 等于三 d， c 等于二分之十一， d， e 等于 e， f 呢，是 i d 上的一个动点，且三角形 f， e， g 是 一个等腰直角三角形连接 b g， 让我们求 b g 的 最短值。 那很多同学读完题目依然是毫无头绪，但是如果我让它动起来呢？大家好好观察一下。 好，我观察到什么？当点 f 移动到点 a 上的时候，出现了 b g 的 最短值，且 g 呢？貌似是在一条直线上来回徘徊的，对不对？那为什么会出现这种现象？如果你对全等三角形的基本模型特别熟悉的话， 这里我们就能够想到一线三垂直。那什么是一线三垂直呀？这里给大家展示一下。 好，那么我现在过点 g 做 g， h 垂直于 d， c 就 可以得到三角形 f， d， e 和三角形 e， h， g 两个三角形是全等三角形。又因为 d， e 等于 e 是 一个定值，所以这就导致了 h g 等于 e 也是一个定值， 所以点 g 是 在一条直线上来回应用的。好，现在呢，我们就要想着去求 b g 的 长度了， 我把点 f 给它重新移动到点 a 上，这个时候求 b g 怎么去求啊？通过勾股定力，我现在过点 g 做 g， m 垂直于 bc， 所以 mc 就 等于一了，对不对？ mc 呢，就等于二。又因为 f d 是 等于 e h 的， 也就等于三，所以 c h 等于二分之三，就等于 mg。 这个时候通过一个勾股定律直接求出 b g 的 最值为二分之五。那么这一道题给你有没有什么新的启发？评论区告诉我，下课。

很多同学一看到双动点压轴题就感到头疼不已，不过在双动点问题，有一类特殊的问题被大家称作刮豆模型。这个模型特别神奇，他的结论具有很强的规律性，一旦你掌握了刮豆模型，面对压轴题就能轻松秒杀。 在刮斗模型里，依据两个洞点之间的不同关系，可细分为放缩型、旋转型以及旋转放缩型，难度呈现出由易到难的梯度。今天咱们就先来探讨一下其中最为简单的放缩型刮斗。刮斗模型中存在两个洞点， 一个动点的运动轨迹由另一个动点决定，如图，点 q 运动依赖于点 p， 我 们把点 q 叫从动点，点 p 叫主动点。刮豆原理就像种瓜得瓜，种豆得豆。在数学中，主动点运动轨迹决定从动点轨迹，主动点走出瓜轨迹，从 动点类似瓜，主动点走出斗轨迹，从动点也跟着走出斗轨迹。初中数学里，主动点的刮豆 模型一般分直线型和圆型，规律是主动点轨迹为直线，从动点轨迹也是直线，主动点轨迹为圆，从动点轨迹同样是圆，从主动点在直线上运动的情况出发，开启从动点轨迹为直线的证明。 本图从动点 q 是 由主动点 p 关于点 a 位次，位次比为一比三，连接 a、 b、 b 点为主动点运动的某个特殊位置，本题可以看成是主动点的起点，那么从动点 q 的 起点应该在 a、 b 上，与 b 的 位次比也是一比三，也就是 a、 b 三等分。点 b 已撇出， 连接 b 一 撇 q， 可得三角形 a、 b 一 撇 q 与三角形 a、 b、 p 相似，进而可得角 a b 一 撇 q 等于角 b b 一 撇 q 与 b p 的 比等于 a q 和 a p 的 比，也就是等于位四比一比三。 从而我们得到从动点 q 的 轨迹为从 b 一 撇出发与 b p 平行的射线上 q 点运动的路径长即为线段。 b 一 撇 q 的 长，主动点 p 的 路径长和主动点 p 的 路径长的比等于位四比一比三。 复盘一下刚刚得到的结论，主动点 p 沿着直线进行运动，与此同时，从动点 q 同样在直线上运动，并且从动点 q 与主动点 p 的 轨迹长度之比恰好等于位次比，为一比三。 如果主动点在一个半径为三个圆 o 上运动，你们猜从动点 q 的 轨迹是啥？ 对了，从动点的轨迹也是圆。在具体的题目中，我们该如何准确画出从动点 q 的 轨迹圆呢？回顾一下，确定圆有两个要素，一个是圆心，确定圆的位置，二是半径，确定圆的大小。 所以，从动点 q 的 轨迹圆的圆心在哪？半径多大？解决这个问题的关键就是始终把握好从动点 q 关于 a 做了一个缩放缩了三分之一得到的 主动点 p 是 圆 o 上的任意一点，因此，把圆 o 上的每一个点都关于 a 缩三分之一，就得到了 q 点轨迹圆上的每一个点了。 所以，从动点的轨迹圆就是主动点轨迹圆圆 o 关于点 a 缩了三分之一得到的图形，那么圆心也应该按照这样的方式放缩。连接 a o， 取 a o 靠近 a 点的三等分点 o 一 撇， o 一 撇，就是点 q 轨迹圆的圆心。怎么证明呢？下面只要证明 o 一 撇 q 的 长是定值就可以了。连接 o 一 撇 q， 不 难证得，三角形 a o e p， q 相似于三角形 a o p， 从而 o 一 撇 q 比 a q 比 a p 等于位四比一比三，进而得到 o 一 撇 q 的 长为定值一。 根据圆的定义可知，从动点 q 的 轨迹为以 o 一 撇的圆半径为一的圆。复盘一下，主动点的轨迹是圆， 从动点的轨迹也是圆，主从动点轨迹。圆的长度比也等于半径，都等于主从动点的位次比。关键的圆心也关于 a 点位次。 最后放缩形。瓜豆记住两个结论，主从动点的轨迹相似，主动点轨迹是直线，从动点轨迹也是直线。主动点在圆上动，从动点的轨迹也是圆弧，主从动点的轨迹长的比等于位次比。

初三的学生到最后数学的丢分点都在后三个题上。王老师上一条视频，总结了二十三式的斜休大法，今天我们来说一下二十三题动点的斜休大法。为什么学生会觉得动点题比较难呢？是全等不会，是四边形不会， 还是相似三角形不会呢？教了这么多学生，我告诉你都不是，是因为孩子们不知道动点题的核心在考什么，动点题的核心就是相似，你得知道一个题的基本型是什么？是三四五的还是三六九的，亦或是等腰值呢？ 重点题到底难在哪呢？第一问就是求一个线段的长度，没有学生不会，没有。第二问，就是求一个特殊值，那就是画图找相似，列比例求解就可以了。第三问，开始上难度了，对吧？很多学生也开始丢分，甚至不得分了，那怎么能解决呢？ 画完美图形，你把一个图画出来了，自然而然就能找到相似的关系，也就是我常说的一个好图，就是一大半的 标准答案。第四问开始确实需要一点思路了，中考的数学，如果你想上一百一十三甚至更高，这个问题就不能放弃了啊，怎么解呢？第一需要你找模型， 这两年的重点题呢，大多数都是双拼模型，那你就得知道双拼模型需要引垂线， 当然了，一个模型肯定不够，还需要我们掌握，比如引援啊，电气求解啊等等。从初二学完相似开始，就可以开始练这种题型了，只要你积累够了，初三就是平躺。请关注王老师，一个研究长春中考十五年的专职数学教师。