天津市立体几何大题规范

大家好，讲一个恐怖故事啊，距离二零二六年的高考还剩四十三天，所以今天咱们就来讲一讲高考数学专题的立体几何如何冲刺满分，主要指的是大题立体几何。每年高考都有一道大题，主要是放在 十七题的位置，分值呢，一共是十五分，这十五分对于中等生，还有包括尖子生，那都是必拿的。那么如何这道题不丢分呢？我们就以二十四年这道十七题为例啊，十五分的分值， 那么第一问的话还是比较轻松的，我们先读题四棱锥，然后 pa 垂直于整个底面，还有给了一些数据， pa 长度等于二， ac 长度也等于二，那么实际上这就是一个等腰直角三角形 p a、 c 呗，并且告诉你 bc 的 长度是等于一的， 然后 ab 的 长度是等于根号三的，哎，一比二比根号三，根据勾股定律，所以角 b， 也就是 abc， 实际上它是一个九十度的，对吧？这个都能得出来。 那么第一问相当简单了，他说如果增加一个条件， a、 d 垂直于谁，垂直于 pb， 哦， a d 垂直于 pb， 那 么现在让你证明为什么谁，为什么 a、 d 是 平行于 pbc 整个平面的。来吧，咱们来写一下过程啊，很简单，这个第一问写， 嗯，因为 pa 垂直于整个底面， a、 b， c、 d 是 吧？所以它就垂直于底面内所有的直线啊，包括谁在内，包括这个 ad 在 内啊，所以咱们就写 pa 实际上也垂直于 谁，垂直于 ad 呗。然后又因为 ad 是 垂直于 p b 的。 那么接下来你仔细看了 a、 d 垂直于平面里头两条相交直线吧，这两条相交直线，一个是 pa， 一个是 ab， 是 不是？那所以接下来你你要写的话，你得写清楚啊，香蕉，哎，香蕉，你就写清楚 p b 和 p a 交于点 p， 是 不是？然后呢？咱们看一下，看一下又因为什么？又因为，嗯， p a， p b 是 平面 p a、 b 里头两条相交直线，所以你就这么写呗。所以既然垂直于两条相交直线，所以 a、 d 就 垂直于平面 p a b 了，那垂直于平面 p a b。 那 继续来吧， ab 是 不是在平面 p a b 里头啊？那垂直于平面就垂直于平面里头两条相，呃，垂直于平面里头所有的直线，是吧？所以说 a d 垂直于 ab。 哦，原来是这么回事，那只要垂直于 ab 了，现在你看这个四边形 abcd， 它是一个平面的，对吧？ 现在这是垂直的。然后我们继续根据勾股定律吧。因为什么？因为 ab 的 平方，也就是一的平方加上根号三的平方等于 ac 等于二的平方，所以根据勾股定律逆定律，我们是可以得出来， ab 它实际上也是垂直于 b c 的， 同旁内角互补嘛。实际上现在你就可以下结论了。但是你最好再多写一条，因为你这个 a、 b、 c、 d 它是共面的，那么既然是在平面里头，讨论在平面内 垂直于同一条直线，所以它俩平行吧。所以此处是 a d 平行于 bc。 接下来让你证明什么？证明 a d 平行于平面 pbc。 太好说了，接下来你只需要说明 a d 怎么样？咱们第一问，好好的写一写过程啊。第二问，有些过程我就会省略了，你看好了，因为什么？ 因为 a、 d 它不在平面 pbc， 但是呢，这个 bc 它是在 平面 p b、 c 里头的，平面外的，然后呢，平行于平面内的直线，所以平面外的 a、 d 就 平行于整个 平面 p b、 c 了，这不就结束了吗？好，那么继续来看哪个？来看括号二。括号二的话，咱们多讲几种方法，那大家最想用或者说认为最快的，最不用动脑子的方法，当然是建立 空间直角坐标系了。那么你要间隙的话，注意有什么条件？首先题干中的条件，这个二二， 还有 bc 长度等于一，他等于根号三，这些都是适用的，但是他增加的条件改了啊，所以第一问这个平行的结论不能再继续用了，他给的什么条件？他说如果 a、 d 垂直于 d， c， 就是 现在他俩是互相垂直的，并且告诉你 这样一个二面角 a c， p d， 它的正弦值为七分之，根号下四十二，然后求 a、 d 怎么办啊？直接建立空间直角坐标系，而且因为 d a 是 垂直于 dc 的， 我当然这样间隙了，因为 pa 垂直于整个底面，我当然以平行于过点， d 平行于 ap 的， 这就这两条线，它是平行的，懂吧？好，然后建立 z 轴， x 轴， y 轴， z 轴都建立出来了，所以第一步咱们先建立空间直角坐标系， 因为让你求的是 a、 d， 求什么咱们就假设什么，假设 a、 d 的 长度是 x 呗，那么 a 点坐标写出来了， p 点坐标也写出来了，因为 ap 长度等于二嘛， 然后 d 点坐标是坐标圆点，这个也不用多说什么。那么间隙完成之后的话，咱们 d、 c， 根据勾股定律啊，它等于根号下四，就是减去 x 平方嘛，二平方减去 x 方，这个都很好说。斜边等于二，直角边等于 x， 所以 另外一条直角边，这是勾股定律算出来的。算它的主要目的就是得出来四一点的坐标， 二的平方减去 x 的 平方，逗号零。那么现在继续吧， a c 向量咱们写一下，因为你接下来要求哪个平面？接下来你是要求平面 a c， p 的 法向量。咱们先求一下 a c 啊， a c 这个向量的话， 那它是等于多少？ a 点有了， c 点有了，那不就是，呃，负 x 根号下四减 x 的 平方，逗号零嘛。那有了 a c 之后的话，咱们再继续写一下。呃，再写一下 ap 吧。 ap 向量也好说。 ap 向量，那你说等于多少嘛？啊？ ap 向量，那算出来看一下啊。 ap 向量，哦，它算出来不就是零零二啊。行了，咱们假设哪个向量呢？ n 一 向量 m 多少 n 多少 l？ 它是谁啊？是谁的法向量啊？是平面 a， p， c， 它的法向量。那么接下来就是法向量的求法了呗。固定的套路， 它和 a c 的 数量积等于零，那其实算出来也就是负 mx， 再加上 n 乘根号下四减 x 方， 然后呢，它是等于零的，然后包括这个 n， e 还有 a p 向量，这个也好说，那它算出来是多少？注意啊，这个地方是二啊，这个地方是 l， 所以 是二倍的 l， 它呢，成绩也是等于零的。那于是接下来咱们就直接假设 m 等于几？假设 m 令 m 等于四减 根号下嘛，那于是 n 就 算出来等于 x， l 的 话，肯定等于零，于是我们就算出来第一个发现量了。发现量等于多少？等于根号下四减 x 方，然后呢？ x 多少零？你看，用一个参数 x 来表示出所有的东西来。 那么接下来第二步还要求谁的法向量啊？来，咱们继续假设 n 二向量，那就小 a， 小 b， 小 c 吧，它是谁？它是平面 c， p、 d 的 法向量。 它这个剩下的套路都一样了，所以我就不详细写了，你自己来求对应的向量就行。比如说 n 二向量和 dp 向量是吧？ d 点有了， p 点有了吗？ 那最后就是 x a 再加上二， c 等于零，然后 n 二向量，再来一个 d， c 向量，是吧？那它数量积也等于零，也就是根号下四减 x 平方，再乘小 b 等于零。所以我们最终是可以得出来。比如你设 这个 c 等于 x 吗？那 a 就 等于负二了， b 的 话当然等于零。所以第二个发现量是不是也出来了？它是负二，逗号零，逗号 x。 现在请你看一下这两个发现量吧。两个发现量既然都表示出来了，你用两个发现量来求什么？来表示？ 两个发限量和二面角？哈，很简单。所以既然他的正弦值是多少，那发限量肯定是要求余弦值嘛，二面角，所以他的余弦值 等于多少？余弦值的话呢？当然是根号下一减去七分之根号下四十二的平方，对吧？算出来是等于七分之根号七的，也就是说口三 这样一个二面角吧。咱们记为 c 的， 它是等于七分之根号七，然后也有另外一种算法，谁呀？ n 一 n 二数量积，是吧？然后继续看了啊， n 一 的模， n 二的模，那你就代入算呗，反正 n 一 n 二刚才不是都算出来了吗？是不是都算出来了？那么继续往后斜， 它最终呢？算出来是化简一下，等于，呃，二倍的根号下四减 x 方，二倍的根号下 x 方加上四，你看它等于它，你说 x 能不能算出来？能啊， x 你 肯定要舍掉负值啊。 x 算出来是等于根号三的， x 等于根号三，所以说这个 a d 的 长度就等于根号三。这个是用什么方法算的？用间接法来算的，也是大部分同学要用的方法。这必须会， 但是呢，很多时候用间隙法不见得就是最好算的，它计算量往往有时候比较大，所以咱们也讲一讲几何法。几何法的话，对于人教 a 版上，它对于二面角的定义是怎么定义的呀？ 你过一个点做垂直吗？那你不要都不用啊， a 和 d 你 至少用一个。那第一种几何法的话，就是过 a 点做 a， f 垂直于 p c 行了吧？ 然后接下来呢，你再过 f 点做 ef 是 垂直于 pc 的， 但是 ef 跟 pd 这条线交于点 e， 咱们就把这样一个示意图给画出来了。做完这些辅助线以后来咱们快速写啊，我就不写那么详细了。 af 垂直于 pc 吧， 然后 ef 也垂直于 pc 吧，垂直这个 pc 垂直于平面里头两条相交直线。 ef 和 af 肯定相交啊，所以我们很容易得到 pc， 实际上垂直于整个平面 aef。 既然你垂直于整个平面 aef 了，所以 pc 就 垂直于平面 aef 里头所有的线包括谁在内？ 包括这个 a e 在 内。行，现在我们得到了 a， e 是 垂直于 pc 的， 这先画一个圈一吧，挺重要，先放这。那么接下来看了，因为你 pa 垂直于底面，我写清楚吧， abcd， 所以它就垂直于底面内所有的直线包括谁在内？包括这个 cd 在 内。那么记下来，又因为 a、 d 垂直于 cd， 这个是已知条件嘛。你看 cd 垂直于平面里头两条相交直线是，这是不是又是同样的道理啊？咱们就可以得出来， cd 垂直于 整个平面，所以 cd 就 垂直平面里头所有的直线，包括谁在内？你仔细看， p a d 里头， p a d 里头有个 a e 啊， a e 既然在里头，那 c、 d 就 垂直于里头这个 a e 了，是不是得出来了？那么得到这一步以后的话，我再标一个圈二，圈二能看出来吗？ a e 垂直于 p c， a e 也垂直于 c d， 一 条直线垂直于平面里头两条相交直线，所以由圈一和圈二我们是可以得到的。其实这个 a、 e 垂直于平面 p c、 d 是 吧？你既然垂直于平面 p c、 d 的 话， a、 e 就 垂直于平面 p c、 d 里头所有的直线，既包括 p d， 也包括什么？也包括谁？既包括这个 p d， 也包括这个 e、 f。 行了，剩下的呢，应该就不用我多说了吧。现在你看，根据三线合一， 这是一个等腰直角三角形啊，它的直角边是二，然后根据三线合一，你说它的高等于多少啊？所以呢，我们很容易得到，实际上这个 a f 是 等于根号二的等腰直角三角形上的高。一比一比根号二的关系嘛。 那么得完这个根号二以后，那继续了，还有谁？还有，接下来你得用含有 a、 d， 咱们肯定假设 a、 d 是 x， 因为你求的就是 a d， 假设 a d 是 x， 那 么在这样一个直角三角形里头是吧？肯定直角三角形嘛，它的长度分别是 x 和二。然后呢，行了，我们根据等面积法，我们可以得出来， a e 是 等于 p a p a 乘 a d， 然后再比上 p d 的， 行吧，二分之一它乘它，这是等于面积， p a d 的 面积二分之一 p d 乘 a e 也是面积，所以很容易得出来，那么它就等于二乘 x。 再来个根号下勾股定律吧，斜边当然等于 x 方加上二的平方开根号了。 于是既然你已经知道了二面角是它，那剩下的咱们好好的来算一下吧。那于是在这样一个直角三角形 a e， f 中，是不是？然后这个三角 a f e， 首先它是等于对边 a e， 再比上斜边 a f 的， 然后 a e 咱已经算出来了，等于根号 二，是吧？哎，咱算一下啊，它再除根号二，那么就是根号二倍的 x， 再比上根号下 x 方加上四，等于多少呢？题目中告诉你七分之根号下四十二了，我就不信这个等式你还算不出来。最终就可以解出来， x 等于根号三，实际上也就是 a d 等于根号三了。好了，做完了。 另外这个第二种几何法的话，它跟几何法一是一回事，只不过几何法一它是怎么回事呢？它是从 a 点先做 p c 这样一个交线上的垂线，那一会呢，咱们实际上也可以通过，怎么样的方法？ 咱们其实也可以通过哦，知道了，过点 d 呗，你先做这个 df 垂直于整个 pc， 然后再过 f 点这个交点呢？做 ef 是 垂直于 pc 的， 这样的话，他的二面角是不是就出来了？顺便再连接一下 d， e。 那 行吧，接下来我快速的写一下这个第二种方法。第一种方法，后来第二种方法实际上也很快的啊。那首先 根据 df 垂直于 pc， ef 也垂直于 pc， 那 所以 pc 就 垂直于平面 d， e， f， 那 既然垂直平面 d， e、 f， 那 pc 就 垂直于平面里头所有的直线，包括最重要的这个 d， e 在 内。这个时候我画一个圈一吧，那么继续了。又，因为 pa 垂直于底面 abcd， 所以 pa 垂直于底面内所有的直线，包括这个 d， e 在 内。现在你仔细来看， d， e 垂直于 pa， d， e 垂直于它。所以说嘛，所以说 d， e 垂直于谁？ d， e 垂直于两条相交直线。当然垂直于这两条相交直线所确定的平面 p， a， c 了。 是啊，然后接下来我们就要写重要的结论了，谁？所以呢，此时看好了，此时咱们这个 d， e 既垂直于 a、 c， 并且这个 d， e 也垂直于谁，也垂直于哦，一个是垂直于 a、 c， 另外一个是垂直于 e、 f 吧。在这样一个直角三角形 d， e、 f 中，你说它告诉你什么？告诉你这个 d、 f、 e， 在 这样一个直角三角形中，它的 对边是 d， e， 它的斜边是谁？斜边实际上就是 d， f 的 啊，它是等于七分之多少七分之根号下四十二的。原来如此啊， 行了，后边的逻辑就都一样了，咱们还是假设谁，假设 a， d 的 长度等于 x， 那 c， d 的 话，根据勾股定律，就是二的平方减去 x 的 平方开根号。那于是呢， d， e 还是等面积法吧。在直角三角形中， a， c， d 中 a， c， c， d 没问题吧？然后再比上 a， c 等面积法嘛，等于二分之 x， 再乘根号下四减 x 方。好，这是它。然后接下来你因为 pa 是 垂直于整个底面 abcd 的， 然后呢？看好了，所以说什么？所以说 pa 就 垂直于 cd， 又因为 a， d 也垂直于 c， d？ 那 你看 c， d 垂直于两条相交直线吧，所以 c， d 就 垂直于 整个平面 p a 啊， p a d 吧。嗯， p a， d 没问题啊，既然垂直于 p a， d 的 话， 所以 c， d 不 就垂直于平面 p a， d 的 头，所有的线包括 p d 在 内吗？你想一下，我现在说明这个 c， d 垂直于 p d， 我是 想干什么呢？我是想利用直角三角形，还是一个等面积法，对不对？那所以现在我就可以得出来， d， f 是 高啊， 是斜边上的高啊，那它根据等面积法，当然等于 p d 乘 c， d 再比上 p c 了。原来如此，那么最后咱们稍作计算，根号下四二的平方加上 x 平方，然后根号下 二的平方减去 x 平方，然后呢，再比上斜边长度二倍，根号二肯定的嘛。那最终就是这样一个数据了，你看 df 有 没有？有啊， 那于是呢，你把两个代入圈二中的话，最终会得出来，根号二 x 再比上根号下 x 方加上四，最终等于根号等于根号四十二，再比上七，那于是还是可以算出来 x， 也就是 a， d 的 长度是等于根号三的。 所以应该学会了两个几何法还有间隙法了吧，都得掌握啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见。

高考数学立体几何今天一节课，梳理清楚所有的核心考点，听懂了立体几何，没有所谓的不会断，来拿本记。首先你要有认知，我们高考数学当中立体几何的考察非常的套路和死板化，非常的简单。立体几何一共是五个重点，第一个重点， 常见几何体的概念和基本性质必须熟悉，包括圆柱、棱柱、圆锥、棱台、圆台和球，能够熟练的画出它们图形本身以及各种拼接和展开图， 那你的空间感自然而然就能够建立。高考数学这几年特别爱考察二零二二年新高考一卷跟追题有关的侧面展开图，面积问题，跟台题有关的体积问题，会画图，那你自然而然就能够拿到满分了。接下来第二个重点，六大外接球问题，两大内接球模型。 那第一个你要学习的重点题型叫做外接球，那外接球里面要求大家必须掌握六大外接球模型，那第一个叫做长方体模型，注意，并不是说只有长方体才能够用，往往锥体也能够用它，所以呢，关键在于识别条件，一共有三个。第二个 圆锥模型，还有圆柱模型，同样这些并不是说只有圆锥圆柱才能够用，那棱柱也能够用。我们的圆柱模型呀， 包括咱家神兽头大的扇子模型，切瓜模型，双距离单胶线，还有双半径单胶线模型，这些是我们必须掌握的利达模型。还有一个比较特殊的圆盘问题，这几年高考考的还是比较多的， 那么你把外切球掌握完之后，我们还要掌握第二个跟它相匹配的内切球模型，哎，你得知道我们这个柱体跟它内切是怎么切的呀？我们这个锥体相关的公式 r 等于三 v 除以 s， 你 要对这些非常的熟悉，这就是我们讲的第三个重点， 平行与垂直问题。那很多神兽总以为我没有空间想象能力，我这个是不是平行和垂直就做不了？我拿不下，非常负责任的告诉你，其实还真不是这样子， 只有极少数的立体几何的题目，它的选填压轴对于大家这个空间想象能力要求比较高之外，那对于大部分的题目，它的处理都是非常的套路和死板化。所以呢，在线授课几千个小时之后，带过上千名学生，你看他函数即使学的一塌糊涂， 却能够把立体几何学的游刃有余，不仅仅是因为这个空间能力想象比较好，还是因为他掌握了立体几何里面所有的核心题型和方法。 所以呢，重点来了，我们接下来先说平行。平行问题对应的第一个方法叫做尺子法，那平行四边形、三角形、中位线怎么处理，以及在考试过程当中考的非常多的问题叫做动点探索问题，是否存在一点使得，哎，谁和谁线线平行呀，面面平行呀，我们这里用到的方法就是谁不动平移谁， 你这些常见的方法掌握的足够明白，再配点历年的高考真题，那整个平行问题很快就能够拿下了。那接下来我们再来说第二个垂直问题，垂直问题是整个立体几何的核心，所有立体几何问题到最后都可以归结为我们的垂直问题， 垂直，比如说我们经常去证明线线垂直，要证明线线垂直的核心是什么？是拿一根线放到这个面内去证明这个线面垂直， 所以你重点要攻克的是我这根线我怎么选？我如何快速的把这根线选出来，每次做题的时候，我就去关注这根线我应该怎么去选择，最后发现这根线的选择它是 有套路的，你把这些通信通法总结出来，下次做题的时候，你一眼就能够看出来我该选哪根线了。好，我们还比如说我们的面面垂直问题吧，那我们面面垂直的核心是什么？它的核心是你要从这两个面当中选一个面， 从这个面当中去挑一根线，跟刚才的思路是一样的，我选哪个面，这个面当中的哪根线，我怎么去挑？这里面全都是有套路的。其实不管是线线垂直、线面垂直，还是我们的面面垂直，我们在考察的过程当中，他不会单一的去考察这个条件，会和所有要求的东西砸到一块，揉到一块去 垂直里面。你比如说我们大家必会的三垂线模型呀，真形模型呀、矩形模型呀，勾股模型呀，都是非常好用的方法，你学好这些模型才能够搞定我们的垂直关系吧。 好，对于这一块，我们后面学习夹角问题，也是在做一个铺垫，你搞好了，后面搞夹角间隙才能够游刃有余。第三关过完之后，我们再来说第四关，第四关就是所谓的夹角问题了，它是高考的重点，重中之重考大题。 那夹角里面可以分三个方向，第一个叫做线线夹角，线线夹角里面有三大方法，咱们一个个来说啊，主要是意念直线 之间的一个夹角问题，那第一个方法叫做平移，我通过平移把意面直线给它变成共面的去解这个三角形。第二个叫做空间选定力，注意它不是选定力，它是空间选定力。还有第三个叫向量法，很重要来第二个线面夹角，线面夹角问题，线和面的夹角不仅会考察大家大题，还会考察大家小题， 这个方法注意也是推荐大家三个方法，第一个方法叫做定义法很重要，你像高考这几年考察你们的时候考小题主要考察的就是定义法，所以你得知道什么是定义，当然有些题目你会发现我无法把定义用这个夹角把它找出来，所以呢我们还有第二个方法叫做 点到面的距离问题，我们转化成等体积需求高，以及最后的第三个保体方法，向量法，这是我们线面夹角， 我们再来说我们的面面夹角，哎，面面夹角，那面面夹角的方法也是比较多的，也是重点考察的，你必须得会给大家推荐。一样是三个方法，那第一个方法和线面夹角一样，就是我们的定义法，那 二念夹角定义非常重要，在我们这一个几年的高考当中，考小题考的是非常多的，那第二个方法就是当我这个定义角找不出来的时候怎么办？哎，我要去找个备胎呀，那我们这个方法在考试大题当中用的还是贼多的，叫做三垂线法，我们还有我们第三个方法，保底的方法就是我们的向量方法，所以夹角问题一共是刚刚给大家提到的九大方向， 是大家主要去攻克的一个难题，你只要能够掌握这些核心方法，那么你这一块的基本功就会非常的扎实。虽然呢，我们很多高三的孩子可能会说，老师我这一块只要有空间向量就够了呀，但是 空间向量的计算量非常的大，你考试一紧张，连算都算不出来，正确答案写都写不对，甚至连坐标都会写错。当别人在解析的时候，有的小题你不好解析，你也不会解析，所以说只有几何法才能够让你和别人拉开差距，尤其是高一的宝字，一定要在学立体几何的时候， 特意训练这些几何法，让自己的基本功跟别人拉开差距。好，最后一个重点问题，重点问题就什么呢？距离问题， 重点重视一下这个，我们以前在老高考当中经常考，大家这个点到这个面的距离问题属于必会题型，你看考体积吧。那问题这一块，这个距离问题，包括我们的这个新教材，新高考当中增加的知识，除了这个点面问题之外，还有意面、直线距离，你要好好去研究一下。 那么这个大家按照以上五个知识体系，一层层去梳理清楚，掌握以上五个核心考点，剩余的我们立体几何当中的结面问题，轨迹问题，这种综合问题学的不用特别难，常规的处理手段会就可以了。所以呢，不管你现在是正在高一，还是说马上高三要进行高考了，我不知道立体几何这一块怎么去学习，怎么去复习？按照以上五大知识体系，我们一个个去过。

嗯，今天说一下高考数学里的立体几何答题。嗯，高考数学如果想上分，立体几何答题绝对不能丢分。很多同学不是不会做，就是步骤乱写，踩不着得分点，明明会做，却被扣过剩分，就感觉太亏了。嗯，今天我就把高考立体几何答题标准满分答题步骤给你整理成固定模板，照着写就能拿满分， 考场直接套用啊！首先，记住，高考立体几何答题一般就两大问，第一问，正平行，正垂直。第二问，求角度，求体积，求距离。 先讲第一问，证明题码分步骤。第一步，先在图里标注已知条件，把积木笔的中点垂直平行变成线系与距已知转述。第二步，用初中平面几何先推先线平行线线垂直，比如中位线等腰三角形，三线合一，圆形对角线这些先正平面里的关系 啊。第三步，套用线面平行，线面垂直的判定定力，严格写信，一条线平行，平面内一条线直线不在平面里，推出线面平行啊，垂直也一样，正一条线垂直，平面内两条相交直线，再推出线面垂直啊。记住定力条件，一个都不能少，少一个就扣分。 嗯，在讲第二问计算里满分步骤啊，分两种写法，几何法和空间向量法。如果用几何法，第一步，做辅助线，做高找角，先说明哪个角是一面直线角线面角二面角。第二步，放在直角三角形里，用勾股相似三角函数一步步计算。 嗯，第三步，收尾，写结论，角度多少起一多少，规范收尾。嗯，如果用高考最稳妥的空间向量法，步骤，固定固定死。第一步，找两两垂直的三条棱，建立空间直角坐标系，一定要说明你水位远点，水位 y 轴， z 轴。 嗯，第二步，写出所有关键点的坐标。第三步，求相关直线方向向量平面的法向量啊。第四步，套夹角公式，距离公式代入计算 啊。第五步，算数结果写出最终答案啊。重点吸引大家的是立体几何大题阅卷是按步骤给分，不用跳步，不要省着定理，一句也 不要乱写废话，严格按照转述已知推平面关系，用定理正位置关系间隙做辅助线，求向量，求边长带入计算写结论这个流程走啊，高三同学直接把这套步骤记下来，以后所有立体几何大题照着模板写过程分，结果分，全部都能拿下，再也不会无缘无故扣分了。

hello， everybody， 我是 神奇小猪。欢迎各位来到二零二六最后时刻立体集合篇。那接下来我们来看今天的第二个部分，有关平行垂直的证明套路。 第一个证明平行，所有的平行证明就没有不是套路的。所有题目都能用以下三个方法来做，在要么整线线平行，要么线面，要么面面。 那第一个线线平行咋正啊？咱有两个思考思路，第一个思考思路，咱所有的线线就都用平面几何来做，同一个平面里面平行关系太有可能出现了，比如说什么 平行四边形了，这对边肯定平行吧，比如三角形里面的中位线了，这相似三角形也平行吧，或者根据平行的传递性，上面这俩平行，下面这俩平行，那一三两条线平不平行，当然也平行， 这些都是平面几何的范畴，那想证明两条线平行，我们还有一个立体几何的角度，比如说我们题目已知线面平行了，那如果我经过这条线，还有一个面出现的话，那两个面的交线一定跟原来这条线是线线平行的，这是立体几何的证明方法。 当然这其实并不是作为特别重点的内容人考试能考的，最关键的是如何证明线面平行和面面平行。线面有三个方法，要么找平四边形， 就所谓的神奇的目光，这线不是在这吗？有可能在这面上你能看到或者找到跟它长度大小方向一模一样的线，它俩能形成平行四边形，那我来证明它是不是平行的，是不是平行四边形。辅助线咋连？一定要连对应的两个端点， 咱百分之九十九都是通过证明另外两条线平行且相等，然后证明住啊，他是平行四边形，是平行四边形，所以线线就平行线，线一平行，线面就平行。 第二个方法，找中位线，中位线怎么找？咱们在面的外边以及线的外面找到一个点出来，这点究竟是谁在题目当中非常好看。这是第一步，先找到合适的点，然后把这点跟两个端点进行连接，连一下，再连一下 啊，这两条斜线，那肯定跟这面吧，都有交点，交出来一个，交出来两个，这俩交点一连完，必然是线线平行的， 线线一平行，线面就平行。那问题是我如何证明？哎，他俩一定平行嘞？我们往往就是用相似三角形，但有可能这俩点都是终点，或者都是一比三，一比三，反正左右的比例是一样的。通过相似来证明。 前两种方法，我们都是在这面上找到一条合适的线，通过线线平行来着。那最后一个方法，第三个大家也是要必须掌握的，叫找面面平行。有时候这面上你无论怎么找，那线特特特别特别难找，没法做，那你就做面。 刚才其实有一道题已经稍微的教大家了，想做面很简单，这不有俩端点吗？你在任何一个端点上做这面上某条线的平行线， 做完之后，织出来这一个点，他就跟原来的两个点形成三个点了，三个点就一定能确定一个面，那么接下来你只需要证明这两面他真的是平行的就可以了。咋正平行，面面向平行，我们的核心是找两对线线平行，一会会讲啊，先在这用一下， 这俩红的是我自己做出来的，他俩肯定平行，所以你只需要找另外一对，只需要说明这蓝的我新做出来这项一定跟面上另外一条蓝线，嘿嘿，他也平行就好喽。那么两对相交的线线平行，那面面就平行，面面也难平行，面上任何一条线，包含咱第一开始想挣的那条线，一定是平行 的。好了，那最后一个如何证明面面平行啊？刚才其实已经说过了哈，咱书上以及大家书写的时候，要要求你得证明出两对线面平行， 一对线面平行，绿的绿的平行，再来一对线面平行，这是大家必须要写的书写过程。但是 咱咋正线面平行啊？回归到一开始，你还是通过线线来正线面呀。所以虽然书写咱要写 l、 m 都跟底面平行，但你真正正的那个思路咋正？咱得找两对线线平行， 你先得线线平行了好，线面平行，一对有了好，第二对线线平行了好，那线面平行，两对线面平行，那么你就能够说明面面是的确平行的， 这就是整个证明平行的一些思路。那我们扭刀小试一下，来看一道二零二二年天津高考，咱只做第一问哈，他说有个直三棱柱，啥叫直侧棱？跟底面全是垂直关系呗。 然后 a、 c、 a、 b， 哦，这两垂直底面是一个直角三角形，然后 d、 e、 f 有 三个点，每一个都是它棱上的一个中点。最后让我证明一件事情，叫线面平行，部面就是这个绿色的面线 e、 f。 在 这儿线面平行正法太多了，咱讲了三个。 首先第一个神奇的眼睛，你看看能不能在这个面上找到某一条线跟这个 e、 f 这条线长度大小又完全相等呢？你如果眼神不好， 没关系，你考试的时候就拿着这个尺子，哎，把它去往那上去移移移，移动着移动着，你发现，哎，好像平行到这的时候，我能找到一个跟它大小方向完全相等一条线，但是这个点呢？我看着好像不是在一个棱上，是吧？换句话说，这个平行四边形好像对于大多数同学们来说，好像不太好找。 这个方法我讲，但是最后讲考试的时候也一样，一个方法不行，马上换一个。咱也可以去找中卫线或者相似三角形去，这是这条线，这是这个面。然后我们在线和面之外先找到一个点出来，再跟两个端点进行连接，构造三角形。 所以在这个图形里面，你那点怎么找呢？你不能找 e， f， 也不能找 a、 b、 c， 那 剩余的点要么是 a e， 要么是 d， 要么 b， e， 要么 c e， 你 看哪一个跟我这个端点？哎呦，好连接啊，这这这好连接，我看着好像不是很好连接，太斜了，太歪了，那你换一个呗， a 行不行？ a 一 跟 e， 哦，是好连接，然后跟这个绿面交点于 a， 那 a 一 跟 f 一 连接，我发现哎呦哎呦，跑出去了，好像太难看了，难看咱就不用，咱就再换，比如说这个 d 行不行？ d 和 f 点相连，交这个绿面于一点 c， 然后再让 d 跟这个 e 相连，交交，哦，交出去，交出去。不过没关系， d 和 e 都在底面上，我观察底面这个正方形即可。有的宝贝打开看不出来，我就在大点画，这是 d， 这个是 e， 我 俩重点一连，肯定跟我下面是是有交点吧，交点大约就在这个位置，我记为 e 点 g， 那 初中数学告诉我，形成的上下两个三角形应该是全等三角形 e 点，即使这条边的终点，其实也是 d g 的 终点。 那回到立体图形当中去，我把 c g 小 小的一连接，相当于我把整个原来的小的这个绿面延展成为了一个大绿面。咱新做出来这个 c、 g 一定跟 e、 f 是 平行线，你去正就好了。 为啥平行？ f 点是 c d 终点， e 是 d g 终点，那整个这就是一个三角形 c g d 的 中位线，这辅助线咱就找到了， 关键是在线和面之外选出来那个点，跟我两个端点进行连接。那你如果觉得这个方法也太吃操作了，咱还有别的方法，比如说我主动去找面面平行去， 咱想想能不能做出来。我去构造一个经过 e、 f 的 一个面，然后呢？面面一平行，那面上任何一条线都跟另外那个面平行。方法是沿着这个线的两个端点，分别做面上某条线的平行线，去试一下 过一点或者过 f 点做这个面上某条线的平行线。比如说我过一点做谁的平行线比较好呢？你这面上一共就一二三三条边，三条线，我肯定不能过一点做 bc 的 平行线，你这做出去，这这么做那疯了，不好做，我肯定选这两个直角边来做，对不对？比如说，呃， e 跟 a、 c 平行一下， 我就过这个 e 点啊，往这个面上去延伸呗。那我延伸的是长一点哦，还是短一点嘞？我发现我这条线跟这个 ca 一 好像可以有一个交点在这里，对不对？那因为我演的是平行线，所以在 ca 一 这个三角形里，这是终点，另外一个这个点必然也得是终点， 太妙了，它好就好在 f 点是 c、 d 终点， p 点是 ca 一 终点。我把两个终点一连接的话，我放大了给大家看。 在 a、 e、 d、 c 这个三角形里面， p、 f 就是 我 a、 e、 d 的 中位线， p f 就 跟整个棱 a、 e、 b、 e 平行，那 a、 e、 b、 e 又跟 a、 e、 b 是 平行线，那我爽了，这图我好好重新研究，这里面蕴含了一对平行线， 第二对平行线，两对线线平行，我就能推出来啊。这个绿的、黄的跟我整个这个大面两对线面平行，面面它就平行，一个面是 abc， 一个面是 p、 e、 f， 咱面面都平行的情况下，面上任何一条线，包括 e、 f 都跟另外的 a、 b、 c 线面平行。这就是咱第三个方法，找面面平行。 那现在我们回到第一个方法，咱还没讲呢，这平行四边形怎么去找？这点究竟在哪？首先我不管你眼睛神不神奇，我用脚后跟都能看出来，这端点肯定不在任何的一条棱上，它在哪？哎呦，我不太知道哎，但是我发现，哎，这两条线好像挺像的， 咱上下两个面不全等关系吗？你这点中点哎，那我在这个地方我也点个中点好不好？连接 c、 m， 我 连完之后大家再来看神奇小目光用起来放大一点， 把这条线，哎，沿着 e、 a 这个方向，沿着这个棱走啊，走走走走，哎，走，这看着好像像是 c、 m 中点，是不是？哦，那我就试一下呗。就我第二条辅助线，我点 c m 中点出来，因为 f 是 c d 中点， n 是 c m 中点，所以 n f 就是 m d 的 中位线。那我为了说明这个 n a e f 真的 像我想象的那样是平行四边形，我就用两个对边平行且相等来证。那我肯定不能先证 a n 跟 e f 平行，这，这是我要证的，我要选另外两个边。 n f 跟 a e 为何平行且相等？ n f 刚才说了是中位线，是跟 m d 平行的，且是 m d 的 一半。谁是 m d？ a a e 跟 m d 方向大小完全一致，底面不是一个正方形吗？它俩大小方向当然完全相等了。所以意味着我能推出 n f 是 a a e 的 一半，那 a e 的 一半究竟是谁？那不就是 a e 吗？完美。 n f 既跟 a e 平行，又跟 a e 完全相等，那整个图形就是平行四边形，就能推出我要的 e f 和整个绿面的 a n 是 线线平行的 线线都平行了，线面自然就平行。这是这个非常经典的老题，给大家一道题，讲了三个方法，有关平行，说实话全是套路。接下来咱们给大家总结一下有关垂直证明的简单套路。 说实话，垂直的证明方法他并没有那么多啊，每一个证明他都是比较固定的。比如说，咱如何证明线线垂直啊？我们一定是通过线面垂直来做线面只要垂直的，那几乎就这一个方法。 那第二个线面垂直怎么整？想正线面垂直，一定得在这面上找到两条相交的线，如果这一条竖直的线能做到跟这两条线全都垂直的话，那线面就垂直。 这是第一个正法，我通过两对相交的线线垂直，证明线面垂直。当然，我可以采用第二个，我用面面垂直来正。如果题目当中已经说了啊，人家这两面是垂直的，那我们经常做的一个辅助线，就是你要做这交线的垂线， 我这线一旦垂直于交线了，不用说，这线肯定跟另外那面都是垂直的。好了，那最后那面面怎么垂直啊？想证明面外垂直啊，几乎就一个正法，我通过线面来正， 如果你发现其中一个面经过了另外一个面的垂线了，我们在已知 l 垂直于 beta 的 情况下，那 alpha 因为经过了这 l， 那 面面就一定垂直了 啊。你看这思路是不是都挺简单的呀，没什么花样啊。那我先给大家牛刀小试一下，然后再教大家一些常用的解题技巧。 二零二三年北京，刚好他说 pa 等于 ab 等于 bc， 一 二三这三条线长度相等哦，然后 pc 还是根号三。好吧，我标一标好了，怎么个事嘞？人说了，这 pa 跟底面是垂直的，我还没往下看嘞，我就得知道，啥呀， 线面一垂直，那这条线跟底面上任何一条线， ab 呀， bc 呀， ac， 人都是垂直的，这条线给我肯定是要用的，所以这一个垂直我发现哦，直角三角形，根号三一，那你说 a， c 是 多少？那当然就是根号二喽。 哎，你这一旦是根号二，一比一比根号二，谁也是直角啊，在底面上这角 b， 它也是直角，那我先推到这，我看他问我什么，他问我 bc 跟 pa 垂直不垂直？谁呀？ 是这条线跟这个面，首先你得知道，哎，这是线面垂直，线面垂直，咱最常用的，那就是你看这线跟不跟这面上某两条相交线都垂直呢？首先 b、 c 我 已经找到一个了，它跟 a、 b 肯定是垂直的，这肯定没错，刚才刚整完，用勾股定律算出来的， 那 b、 c 还跟谁垂直？跟这斜线，那这垂直好像不太好证明，但是它跟 pa 是 垂直的，人家这 pa 跟底面上的谁都垂直，包括 bc， 所以 bc 太厉害了，跟一条线垂直，跟两条线垂直，那它就跟这两条线所形成的面是垂直关系，线面就垂直正反了。 那当然其实还不够啊，正是正完了。但是它有个推论，因为线面是垂直的，所以这条线 b、 c 也跟 p、 b 是 垂直，这角也是直角，当然我算也是可以算出来的，你看啊，这是直角，一比一，比根号二， 一根号二，根号三啊，那因为他符合勾股定律，所以我也通过算也能算出来，他是九十度。这三楞锥太厉害了，你会发现他一共就一二三四有四个面，每个面都是直角，一个直角，两个直角，三个直角， 四个直角。这图形在中国古代特别有名啊，他叫别闹，四个面都是直角三角形的三楞锥，他的垂直信息特别特别多。 好了，第一题比较简单，我们再来看一道题，二点二二年全国乙卷各有第一个垂直角，见 a、 d， c、 d 垂直啊，这俩垂直，那直角三角形呗，哦，不，一般，他还告诉他俩相等，那就等腰直角三角形喽，挺有意思哈。然后 a、 d b 跟 b d c， 这是 a d b d， c 是 那个角。 宝贝，我看到这，你说这这这是怎么回事啊？我给大家重新画一下这个图啊，这个 d、 a、 d、 c 是 相等的，然后这样你中间又张开了一个角度，这角度也相等，那你说整个图形，那不就是左右对称的吗？ 这 c、 b 跟 ab 肯定是相等的。那关键是，哎，咱怎么具体证明呢？其实也很好证，左右俩侧面，第一个侧面 d、 a、 b 跟第二个侧面 d、 c、 b。 人家是全等三角形，因为这两三角形共用了一个边，夹角还相等，另外一条边也相等，那不就 s a、 s， 第二个也是 s， a、 s 两边夹一角，全都相等，肯定全等，因为全等了，所以 c、 b 等于 ab， 所以总而言之，这题其实还是在考我们第一开始给大家讲的那个对称，这俩相等，这俩也相等。那我看人家题目问我什么说点 e 呢？是 a、 c 的 终点，终点出来，那你说这这这这啥面啊？这是不是就是一个对称面，是一整个图形的垂面啊？他让我证明的是 b、 e、 d 跟 a、 c、 d 是 否面面垂直？面面垂直，讲了几个方法，就一个方法，你要找到其中一个面的垂线。对称面咱都找到了，今天做了好几回这样的题了，这对称面跟谁垂直啊？肯定跟左右对称的， a、 c 是 垂直的喽。 为啥这线面垂直？因为第一在这个等腰三角形当中，因为人家说了 e 是 终点，所以三线合一，它俩垂直。 那刚才证明完了，下面这也是等腰三角形，又是一个中线，又是一个三线合一，粉的跟这个蓝的 也垂直，最同样的一条粉线，跟这面上两条蓝线都垂直，那就跟整个面是垂直关系，线面一垂直，那经过这条线的另外一个面，那当之无愧就是面面垂直的。结束 二零零七年的高考题。又是天津题，天津有的题出的真的太好了，我很喜欢。现在有个四棱锥， p a、 b， c， d p a 垂直底面啊，就整个地面上立了一根棍，这根棍呢，肯定因为线面平行的。呸呸呸呸，线面垂直的是吧， 那我这根小绿线就一定跟底面的任何一条线，包括你看这个 a、 c 都应该是垂直关系， 这后续肯定会拥上，然后发现这底面是个四边形。那怎么样？四边形我得一会好好画一画。我看题目给我什么条件？首先 a、 b 跟 a、 d 垂直哦，这是一个直角，先画出来，底面复杂，一定要画平面图， a、 c、 c、 d， 哎，这俩也垂直哦，角 c 是 那个直角， 然后 a、 b、 c， 角 b 是 六十度。最后一个条件， p a a b c 这条线等于这条线等于这条线，那对于我底面来说，这个 a、 b、 b、 c 就是 一个等腰三角形哎，你既等腰还有六十度，它就是一个等边三角形，一等边啊，这就是六十。那我角 a 还是一个直角的情况下，这就是三十度。 搞懂了，原来底面是一个三十、六十、九十三角形加上一个等边三角形拼起来的。然后意识终点第一问，让我证明 c、 d 是 否垂直于 a、 e。 正的，显然是一个线线垂直，那直接正我肯定正不了。想正线线垂直，我先找线面垂直去。那我选这 a、 e 和 c、 d 哪条线跟哪个面垂直呢？ 咱意识棱的一个终点，这条线斜不楞登的啊，你看着不好看，但是 c、 d 相对来说更特殊一点，它的垂直条件比较多，你看 c、 d 在 底面上，它肯定跟 ac 这垂直的。 然后底面上又怎么样？刚才说了，你在底面上立了一根棍，这根棍因为线面垂直，跟底面上任何一条线，包括 c、 d、 j 也是垂直的。哇塞， c、 d 太厉害了，既跟这个粉线垂直，又跟这个粉线垂直，那就跟两条粉线所形成的面线面 垂直，线面都垂直了，那跟面上任何一条线，包括 a、 e 也垂直，正 b。 来，把整个过程给大家写一下。这个正垂直的时候，经常有同学蜡步骤哈，我先说明一下，那 cd pa 为何垂直？因为题目说蜡 pa 跟整个底面垂直，那我 cd 呢？又在面上，那自然第一对线线垂直，有了 cd 垂直于 p a， 那 第二对线段垂直 c d 和 a c， 这其实是题目当中的条件吧？这垂直题目中白给我的呀。所以这些写又因为 c、 d 还垂直于 a c， 那 理论上来说啊，两对线线都垂直了，那线面一定就垂直。但是 一错点来了，咱得对 j p a、 a、 c 两条线进行限定。它啥玩意儿它？人家首先是相交直线，两条线相交于点 a， 而且两条线都在我要正的那个面儿上，这一二三四四个条线才能推出来一个线面垂直。 ok， 那 线面都垂直了，那理应线线垂直了吧？写上对不对？又错了，咱每次由面推线或者反过来由线推面的过程当中，你永远要说要限定住那个线，跟那面啥关系？ a、 e 在 这个面上不写是不行的呀。 第一问做完了来看第二问，让我证明 p d 和 a b、 e 线面垂直不？这一题出的太棒了，正线面垂直，我肯定要在这个面上找任何的两条相交线都跟这条线垂直。那具体我 a e a b b 选哪个线跟 p d 垂直呢？肯定，呃，选好选的还是一样？ a e 跟 b e 都是斜着的，内部的线不好看，选 a b 多好啊， a b 是 在底面上的，观察一下它在底面上怎么事儿 哦？ a b 首先跟 a d 哦，这是垂直的，而且 a b 作为底面上的线，跟这根棍 p a 也是垂直的，所以 a b 太厉害了，它跟 a d 垂直。呃，跟 a p 垂直，就跟这两条线所形成的面垂直。你一个面一垂直，当然跟面上的任何一条线，包括 p d 线线垂直。 我找到了第一个我想要的条件， a b p d 线线垂直，接下来只需要找第二个，这个小绿面上你 a b 用完了，那你接下来用的无非就是 a e 或者 b e 跟这个小黄线垂直。选谁？ 肯定哪的条件丰富，我选哪两条线，无论是哪个，肯定是有一个点， e 是 跑不掉的，无非你就是选 a 特殊一点，还是选 b 特殊一点，你说谁特殊啊？肯定 a 集结的线更多，垂直条件更多更丰富啊。所以你得用脑子，不能碰运气。 我现在证 a e 跟 pd， 为什么垂直？哈，那又来了，你想证明线线垂直，你还是得先证是不是找线面垂直呃，去挣啊，思路永远是这个思路， 来吧，找吧。哪个面啊？经过 a e 或者说 a e 跟谁啊？是垂直的呢？ a e 跟谁垂直？ a e 跟 c d 垂直？第一，问问我的，那我是不是得先用上啊？ 好嘞， a e、 c、 d 已经是垂直，已经是确定的了，那我为了最后说明这两条线也垂直的话，那我只能逼得自己只能去找这个面线面垂直即可，对不对？ 或者你逆向思维也一样，绿的粉的已经垂直了，你要正的，绿的和黄的，不管你会不会正，反正人家是一定是一定是能正的，这垂直关系一定是成立的。所以你绿的既跟黄的垂直，也跟粉的垂直，就跟这两条线所形成的面一定是垂直的，那怎么正呢？你找这面上第三条线 a c 垂直即可呀。 最后一点点小弯弯，绿的灰的为啥垂直？ e 是 中点， p a c 是 不直角三角形啊？因为 p a 跟底面上任何一条线都垂直嘛，直角三角形，你 e 还是中点，那你这如果想垂直的话，那一定三线合一。想三线合一，那我 p a 跟 a c 就 得相等。题目中有没有说 p a、 a c 相等， 它说的是 p a a b b c 相等啊？呃， p a a b 啊， a b a c 等腰三角形哈。而真相等，这三条线每一个线段长度都一样，所以真的 p a 等于 a c 在 等腰三角形里面， a e 是 中线，也是垂直的，那我 a e 就 垂直于 p c。 那又有题目中第一问， a e 垂直于 c d？ 我 只写大致思路了啊， a e 是 交替花跟 c d 垂直啊，也跟 bc 垂直，就跟整个面线面垂直，那因为我 p d 还在这个面上，那我线线又垂直。 最后一步啊， p d 也是交替花了。我找到两条线， a e， a b 这两条小绿线都跟这个黄的 p d 垂直，那黄线就跟绿线所形成的绿面线面垂直，正 b， 重点给大家串一下思路，如果基础不太好的玩，想纠结一下过程，我把过程也贴在这，大家课后可以自己来看一下。 ok， 这么一道高考题，讲了两个垂直，一个是线线垂直，一个是线面垂直，再把这个垂直证明套路简单的给大家串了一遍。但是啊，大家需要注意， 咱刚才举的题目是不是没连辅助线呢？单纯的就是线和线呢？去找关系去，那高考题经常需要咱连辅助线对不对？有关垂直的辅助线怎么连？或者说白了，我们常用的什么线线线垂直，这个垂直关系去哪找？ 想知道这些，我们就要用上一些垂直小妙招，专门用来解决。哎，有的时候你不会连辅助线，垂直关系你找不到的情况仔细听， 有些垂直关系是不会在题目当中体现的，大家需要结合图形去把那垂直条件给他揪出来才能做。 那今天给大家讲的垂直小妙招就是帮助大家找线线垂直的，有的时候出现一些东西，比如说什么出现啊，等腰三角形了，出现面面垂直了，你都不用想，你都知道那辅助线怎么连， 比如说等腰三角形咋连辅助线哪有垂直啊？三线合一垂直出现了，这是大家要做的 辅助线。你就像刚才那道题啊，咱知道 d a 跟 d c 相等，等腰三角形了，那你看题目当中是不是已经帮我连好了 d e 是 三线合一的哦，然后下面你又判断完了， cb 跟 ab 底下也是个等腰三角形，然后怎么样了，他又帮你这三线合一 练好了。这题是已经帮我练好的，你不需要练，但是以后或者高考当中有可能出现倒数三角形，这高这三线合一是需要大家自己来做的，辅助线做完一般来说题目就会做了。 那再来出现菱形怎么办啊？哪有垂直？那这就是垂直呗。我连接对角线，这是一个隐含的垂直条件啊，当然光讲这个还不够啊。还有一类菱形是考试当中经常考的，比如说他给你其中一个角是六十度的菱形， 哪有垂直角线？当然我知道哎，对角线连完的确是垂直的，但是还有你想，因为它是六十度菱形，所以如果我这中间一割的话，这俩相等还六十度，它其实就是一个等边三角形吧。 等边三角形哎，等边三角啥东西？它是一个特殊的等腰三角形嘞。最后的时候，我们需要主动的找某个边的一个中点，中点 g 找出来有啥用 啊？你看这没用吗？我 c g 连一下在这个等边三角形里面，在这个特殊的等腰三角形里面，它俩相等，那我这中点一连完，这中线同时也是垂线，这两条线是垂直的，很多题目会用的到。 这是第二个垂直小妙招。第三个，一旦出现面面垂直，你不用想肯定只有一个考法，那就是题目中会出现或者你需要主动做这交线的垂线， 有时候这交线的垂线说实话是题目当中直接给我的，有时候是真需要大家自己做的。如果这小 m 在 r 发平面上，而且跟交线垂直的话，那咱就有线面垂直了吧。 所以做完交线垂线之后，你一定得到 m 垂直于贝塔。完了没？还没完，这套路没结束， 给我线面垂直一点用都没有。大家一定通过线面垂直，推的是 j m 和贝塔，那平面上某条线是垂直的，最终推到线线垂直，这条线才算用的完整， 用的到底，这全是套路。有同学，哎，你光知道面面垂直了啊，然后你光做垂线，然后干嘛？然后你要证明线线是垂直的，你要找到那条关键的线，一定需要自己找， 有了线线垂直了，咱才能往后正。其他的垂直条件。好了，这是前三个小妙招。当然还有最后一个， 如果出现一些底面，而且底面那图形吧，特别特别复杂，那我需要单独的把底面画出来，然后研究这底面有没有一些特殊的垂直条件。我给大家多举几个例子啊。首先第一个，如果出现一个等腰梯形，而且边长比是一比一比 一比二的，这特长考，这里面哪有垂直，大家能不能找得到啊？注意，我要连接对角线，这 d b 跟 bc 是 垂直关系，它是三十六十九十度的三角形，为什么特别好找啊？你看我取一个 d c 上的一个中点，呃，还是起个 g 好 了，连接 b g， 因为刚才咱说了啊，整个呢，这是二，所以我取中点的话， d g， g c 它都是一。哎，那这个四边形是啥？四边形啊啊，它对应的两边，这两平行且相等吧，所以它一定是平行四边形，它一定是平行四边形之后，那这是一相应的。我 b g 是 不是也是一？ 那这么多一有啥用？ b g， 首先它是这个三角形的一个中线，这中线好像正好等于斜边的一半嘞，相当于 b 点在哪？ b 点是以 g 为圆心的 g c g b g d 的 一个圆上，这半径不就是一吗？它是在圆上的。所以嘞 啊，中线等于底边一半的，这必然是直角三角形。当然大家用最笨的角度方法来来正也是可以的。这六十，这六十，这一百二啊，那一百二的等腰三角形，那就是三十三十，所以三十加六十等于九十也行。 但无论正法是什么，你得知道这是垂直的，你别不知道。那接下来我们来看第二个图形，如果现在给了我一个直角梯形，边长比是一比一比二的话，哪有垂直？能看见不，我看见了，在这嘞， b d 跟 bc 肯定垂直。为啥？因为这一比一比斜边应该是根号二，这俩都是四十五度，所以内错角的话，这四十五，这个也是四十五。这整个图形其实就是由两个等腰直角三角形拼起来的，这已经是一个了。那为啥说这个也是呢？很简单，我做过垂直， 这边是个正方形啊，上面是一，下边也是一，那一加一等于二，那说明这个点不仅是垂直点，还是中线，三线合一，那自然俩角全都是四十五度，那这就是九十度。 所以往往这种隐藏的垂直条件，会被出题人偷偷的放在底面图形当中，这线你不连这题没法正？ 再来，刚才是两个等腰三角形拼起来的，那我现在再给大家一个，这题可厉害，它是由一个三十、六十、九十以及一个等边三角形拼起来的，所以边长比的话，应该是一比根号三，再比二。我问大家这里面哪有垂直？ 这很多同学可真不一定能想得到。我取 b、 c 的 中点 g 垂直在在这 a、 g 跟 b、 d 是 垂直的，为什么？简单证明一下，我想把 d、 g 连起来，因为这是终点，而且整个图形它是一个等边三角形，所以三线合一，这角是直角， 那对应的这角也是直角。那大家有没有发现，左边这三角形跟右边这三角形，它是一个全等三角形啊？这还都是根号三，每个边都相等， a 和 g， 关于对称轴，对称自然，这就垂直整个图形其实它是一个风筝型。这确实，说实话还真不好找。 好了，加了常用的三个，那我们在初中其实还有一个在高中阶段还经常在考嘞，去年刚刚考过的，就是十字图形，有时候他给我一个矩形，然后这 e 点 f 点在这动动的时候满足一定条件，他说 af 比 a， d 等于 b， e 比 b， a 这条线有啥用？它比它啊，那其实就是这个角的探针的值呗。 再来它比它啊，那就是这个角的探针的值呗。所以整个这个问题相当于告诉我，这俩角是相等的，或者说这俩三角形一个长这样的，一个长这样的，它俩是相似的，因为这是九十度啊，所以一点一叉是九十度。哦，那这俩点刚才也说了是相等的， 因为这是九十了，所以这如果是点的话，那么这个角必然也一定是叉。然后我发现好玩在这个小三角形里面，哦，已经有一个点，又有一个叉了，你说另外一个角多少度啊？那就是九十度呗。所以这里隐含的一个条件叫 a e 垂直于 d f， 看懂了吧？ 给我不同的底面，往往我连的那个辅助线是不一样的，但是我们的目标就有一个，那就是找到其中隐含的垂直条件，给大家举个例子， 我都不给大家读完题，咱辅助线都能做出来，你相信不？线三棱锥， abc， abc 有 个四边形出现，菱形，马上想到垂直小妙招，菱形里面好像有垂直对角线垂直呗， 继续往上看，他说底面是等边三角形哎， abc 是 等边的，底面是等边三角形的话，那这三条边都相等，我都用绿线来画， 它等于它等于它等于它等于它等于它。那意思就是说这三棱柱每一个棱长都相等呗，你侧面不是说是菱形吗？菱形每条边长都相等，天经地义啊。所以 a a e 也好，上底面也好，长度全都一样。 那回到题目条件里面来，等边三角形，哎，你说我经常连什么来着？是不？三线合一？有，有垂直地面 a b c， 题目还说了 m 是 终点，那你说我连谁傻子都知道是不？你得把 c m 连起来呀，三线合一， c m 跟 ab 垂直喽。再往后看最后一个条件，角， abb 六十度 a b b， 哎，这角咱整个前面，这是侧面，本身它就已经是菱形的情况下，你又加个六十度。六十度菱形咋做辅助线来着？是不是咱左右拆成两个等边三角形，再用一次三线合一啊？ 所以把它一分为二，把它看成一个等边三角形之后， m 又出现了三线合一。我肯定，呃，大概率啊，把 b e m 再连起来，因为这样做的话，垂直条件是最多的。 题做完了，我看他问我什么啊？ b e c 垂不垂直于 a b c e b c 是 这个粉线， a b c e 是 整个这个面，我化成小蓝面，线面垂直，我肯定在这个面上找两条线啊，你可以找这三边的任何一个，找两对线线垂直即可。 那第一条线找谁呀？第一个垂直小妙招，菱形对角线垂直的呀，一条线让我找到了 b c 和 c e b 垂直。 接下来我只要找第二条线，那剩余的无非是 a c 一 或者是 ab， 你 说你挑哪个，哪个特殊？又来了，是不是 ab 在 底面上，它的垂直条件比较多？你 a c 斜着的不好看嘛？有关 ab 的 垂直有哪些 是不？刚才这有一个垂直小妙招，三线合一， ab 垂直于 m c， 这也有一个三线合一， ab 垂直于这 b e m 最小小的一个 ab 既跟底面的小黄线垂直，又跟上面这个小黄线垂直，那它就跟小黄线所形成的小黄面线面垂直。 但是推出这个线面垂直不是我的目的，线面一垂直，这条线就跟这面上任何一条线，包括我想要的那个小粉线是 垂直的。所以这个 b c 太厉害了，前后出现两回交际花来了，和 c b 垂直啊，也和 ab 垂直，它就跟整个两条蓝线所形成的蓝面是垂直的。结束太精彩了， 这几个垂直小妙招，狠狠用，大胆用。 ok， 那 目前为止，咱不连辅助线正垂直的讲完了，用垂直小妙招，连辅助线正垂直的也讲了，那还有最后一种类型，这垂直咱除了正出来之外，咱还能算出来， 比如经常出现在一些题目里面，哎，给我好多好多边长。那如果一个三角形，它能满足斜边平方等于勾股定律的话，是不是这垂直咱就算出来了呀？ 举个例子，二零二五年山西模拟会有个水平放置的正三棱台，棱台哎，底面 a b c 和底面 a e b e c e 相似关系呗。而且你还是正棱台的话，意味着哦，它上下都是一个等边三角形，每条边哦，还都相等， 让他说 a b 是 六，意味着每个小黄线的长度是六， a b 等于二，小绿线的长度是二，所以上下的相似比应该是一比三。然后非常好心的还给了我一个测龙长二倍根号二， 你会发现它给的我全都是数据啊，全都是长度嘛。然后直接就开始让我证明线面垂直， a a e 啊，跟底面线面垂直不？我发现这八杆子打不着的呀， a a e 高高在上，离底面太远了对不对？所以我想证明这个线面垂直之前我在挖掘挖掘条件啊，它是一个棱台， 棱台也好，圆台也好，咱是不想过可以给它补全了呀，补全完汇集到一个点上，这多个棱之间跟底面之间不就建立起来关系了吗？你看现在 a a 一 跟底面 o 没发生关系，但是我把它们都延长到一点上去， 考试的时候直接写延长 a a 一， 延长 c c 一， 再延长 b b， 那 肯定汇集到一点上，你都不用正，比如说设成点 o 吧，来现在观察，放大一点， 在这个侧面里面，斜边比例一比三，所以 a 一 也好， c 也好，应该是整个它棱的一个三等分点呗。那我 a a 一 是二倍根号二，那这个长度应该是根号二， 那同理，整个因为是一个正三棱台，它具有对称性， o a 一 的长度跟 o c 的 长度跟 o b 的 长度应该是相等的呀，每一个都应该是根号二。然后我惊喜的发现，根号二，根号二，二是不正好是一个勾股定律啊，它方加它方等于它方，所以我算出来了，这是一个垂直。 那你正出来一个之后，别的还用正吗？不用正了呀，比如我在这个面上，我这也都是呃，三等分点，这长度也是根号二，然后 a 一 b 一， 呃，也是二，它方加它方还等于它方，这也是垂直的。所以得到 a a 一 所在的这条整个大直线，既垂直于 o c 这条线，还垂直于 o b 这条线，那它就跟整个两条线所形成的底面大底面垂直，这底面正好是呃，我题目当中的 b c c e b 证明完毕，这垂直咱属于是算出来的。那么以上咱就把平行垂直的套路都给大家讲完了。

好，同学们，立体几何不用愁，解析套路全知透，高中立体几何一大巨头，证明问题的半壁江山就是我们今天要讲的空间中的平行关系。想要立体几何不丢证明分， 空间中的平行关系必须知透，掌握判定定理性制定理规范答题步骤，证明题轻松满分，接下来让我们开始吧。哦，同学们，今天呢，我们来讲一下立体几何当中非常重要的证明模块的 平行的相关证明。那我们这主要分为三大块，主要是线线平行，镜面平行，还有面面平行。那我们首先先从线线平行来说一下， 那线线平行呢？在讲它之前，我们先简单的把线线的这个位置关系我们全部给它罗列一下。我们说对于线和线来讲啊，它的位置关系呢，我们是主要分为，呃，这个两大类啊，一个是共面，一个是异面， 那共面又分为什么呢？共面当中我们又分为平行相交， 其实还有一个，其实还有一个是重合，只不过是这个我们一般来说很少去提啊，然后呢，对应的只要不平行也不相交，当然肯定也不重合，我们称之为就叫一面直线，所以这个是我们说直线啊，在空间当中的一个位置关系。那垂直属于什么呢？垂直比较特别，它有可能是相交的垂直， 也有可能是意面的垂直，所以我们垂直不会单独拎出来，作为一个位置关系来讲，它就是它既有可能是共面，既也有可能是意面啊。 好，这个是我们说线线位置关系，那接下来我们来讲线线平行一般怎么去正，只要我们的线线平行，没有单独的以一个小问的形式去考察的话，我们一般来讲用初中所学的内容用什么呢？比如说非常典型的平行四边形， 也就是我们只需要去证明一组对边平行且相等，那我就可以得到另一组对边一定是平行的，这是一种，或者说我还可以利用相似，那相似当中最为典型的就是中位线， 这个是我们用的非常多的。然后除此之外呢，比如说我还是可以去利用这个传递性啊，我们说 a 平行于 b， 然后 b 平行于 c， 那 这个时候我一定可以得到 a 平行于 c， 对 吧？这个是我们初中所学的一些涉及到的相关证明，那我们在高中当中啊，如果是你其中某一步需要这么去证的话，你完全可以去用。 但是如果我们的线线平行，单独一个小问的形式让你去证，他肯定不是考这些这么简单的，他会考的是我们到时候后面会来讲的性质定理啊。我们来讲一下，我们来啊，其实也就是我们对应线面平行和面面平行的性质定理啊。首先我们先来讲一下线面， 线面平行的话呢，首先还是要我们把这个位置关系罗列一下，我们说线和面空间当中的位置关系，首先还是可以去分为啊，这个平行 给他往这边来，首先呢可以是平行的，平行的时候，这个时候对应的是有零个交点，或者说我的线面相交，相交的话呢，这个时候其实也就相当于是线穿过这个面啊，所以是一个交点， 然后也有可能是线在面上，也就是我这也就以重合写，但其实严谨来写的话，应该线在面上啊，这个时候是无数个交点， 因为整个线都在上面啊，所以相当于线上的任意一点都是他俩的公共点。好，那接下来我们来讲证明对于线面来讲，他有判定定力和性质定力。 判定定力我们是怎么去挣的呢？我们说如果你要去挣线面平行，只需要去找线平行于面内的一条直线即可。所以我们在描述的时候啊，首先 得有一个面，阿法有一条线 l， l 平行于面内的一条线 m， 那 我们符号语言描述的话，就是 l 平行于 m， 同时一定要记得去说明 m 在 面内和 l 不 在面内啊，这一定要去注意。 然后啊，由这三个条件同时满足，我才能得到 l 是 平行于阿法的。所以我们会发现啊，如果我想去证明线面平行，我需要找什么？我需要找的是一组线线平行 啊，这是我们线面平行的判定定里。那接下来他对应的还有一个性质定理，性质定理是什么呢？就是相当于反过来我们刚刚说要正线面平行，对吧？那性质定理是我已知了线面平行，我又可以去推什么？ 那我们说对于已知线面平行，就像 l 平行 alpha 现在是变成已知条件了，那我们说可以借助线面平行去推线线平行怎么去推过这条线？因为我现在已知 l 平行 alpha 过这条线，我做一个平面， 任意一个平面都可以啊，背它，此时这个平面一定会与 alpha 交于一条直线 m， 那 我符号元怎么去描述 l 平行于 alpha， 且 l 在 beta 面内，又已知 l 啊，这个 alpha 交 beta 于 m， 所以 这个时候就可以推出啊， l 一定是平行于 m 的， 所以这个是我们说线面平行的性质定律，它其实是可以推出来什么？它可以推出来一组线线平行的， 那这个就是我刚刚所谓的，如果这个线线平行单独一个小问考察，他肯定不是考我们上面讲初中所学的东西，他一定是在考这个性质定理，也就相当于题目看似让你挣线线，实际上让你找的是线面 啊，好，这个是线面平行，那接下来我们再来看面面平行，面面平行的话啊，首先还是一样他的一个判定定理， 它是有规律的。我们说线面平行要找的什么？是找线线，对吧？那我们说对于面面平行，你要去正它的话，这个时候我们就要找的是线面， 那我们要找几组呢？这个时候我们是要去找两组，而且我们对于这两组线面平行是有特殊要求的，这两组线必须是相交的，比如说这也是阿法，这也是贝塔，我必须是满足阿法内有两条相交的直线，比如说 a 和 b 均平行于另一平面贝塔，我才可以去证。那我们来写一下符号语言的描述，首先 ab 必须都在阿法内， 同时我得表达出来 ab 是 相交的，那你就必须以一个 a 交 b 得有一个点的形式啊去描述出来，或者你用文字语言描述 ab， b 交于一点 p 啊，类似的都可以。 好，然后接下来同时满足 a 平行于贝塔， b 也要平行于贝塔，那这个时候我就可以说明此式阿尔法一定是平行于贝塔的，也就是我要找面内两条相交直线均平行于另一平面。那这个时候我们刚说了，它其实就是找两组线面即可， 一定要记得去强调啊，这两组线必须是平行的。好，那接下来性质定律。 那我们前面讲说线面的性质，可以推线线，那我这里的面面性质肯定是可以推线面的，对不对？那这个时候我们来看啊，只要已知阿法和贝塔平行，因为我们说性质定义就相当于反过来平行变成了已知条件，也就是已知阿法平行于贝塔。 那此时我只要在阿尔法面内任意一条直线，你背他面上也行啊。反就是我只要面内有任意一条直线，此时这条直线就一定会平行于另一平面，所以我就可以得到 l 一定是平行于背他的。 这个是我们说可以去推啊，线面平行，我这就简写了啊，可以推线面。好，那面面平行能不能推线线呢？也是可以的。如果说我们想用面面平行去推线线，这是第一个，然后我们来看第二个， 如果已知了面面平行，我想去推线线平行，那这个时候我们必须要找一个第三个面与两个面同时相交啊，比如说这里有一个面啊，与它交于这条线，然后延长和底下这个面呢？哎，也交于一条线，比如说交于的这个是 m， 这个是 n， 那 我们说只要是同一个面与两个平行面相交的，这个两条交线一定是平行的。这个在我们之后做洁面问题当中经常会用啊，我们现在就相当于先做一个了解那符号原描述的话，比如说这个面是伽马，那这个时候也就是已知阿法平行于贝塔， 写阿法交伽马于 m， 贝塔交伽马于 n， 那 这个时候就可以直接推出 m 一定是平行 n 的， 这个就是我们是一道平行定律当中啊，基本上我们常考的定律就是这些啊。 好，那接下来我们来结合具体的例题来看，这些都是一定要会背的啊。好，然后接下来我们来看例题。首先先来看下第一道题， 如图，在下列四个正方体当中， a b 为正方体两顶点， m n q 为所在棱的中点，能正出 a b 与 m n q 平行的是好，也就相当于让我们去正先面平行，对不对？那我们首先先来看 a 选项， a 选项能不能乘出来线面平行，那我们回忆刚才定例，我们要正线面最主要找什么？找线线对不对？找一组线线就够了。好，那现在我们来看，我既然要证明 ab 是 平行于 p m n q 的， 我只需要去找 ab 能不能在 m n q 这个面内找到与一条与它平行的线。 我们说最简单的办法就是什么？你自己在做图的时候啊，你可以把笔放在这条线的位置，给它做平移， 平移直至有交点，那这个时候你就会发现，很显而易见，我这条线不能在这个面上，对不对？因为这个时候我和这个 q 已经相交了，但是我底下的这条线并没有和 m n 有 交点，所以这个时候 a 选项是正不出来的，它实际上应该是和哪个面平行，它实际上应该是过， 就是它应该是过这个点啊，就假如说我是以 q， 比如说我这里标一下，这是 c 啊，这是 d， 它应该是 ab 与 q c， d 是 平行的，因为我可以正出，比如说这是 o 点，我是可以正出来 ab 平行于 o q 的， 这个怎么去正？ q 是 中点， o 也是中点，所以我可以利用中位线正，所以 a 选项这个地方是错的啊，它不是这个面。 然后接下来 b 选项 ab 平行于 m n q， 那 这个时候还是一样，我们去找平行，那你会发现， ab 是上底面的对角线，它和下底面 m q 均为中点的，这条线显然是平行的，对不对？所以这个时候可以推出啊，它是线面平行，怎么去证呢？借助 ab 是 平行于 m q 的 啊，同，然后接下来再来看 c 选啊，所以 b 选项是对的哈，然后 c 选项 ab 平行于 m n q， 那 首先还是一样，我找这条直线，它是左侧面的对角线，同样的道理，你会发现我平移啊，你可以选择平移啊，或者说你能直接看出来也行。 平移之后你会发现，哎，我正好可以和这里的 m q 是 重合的，所以这个时候我只需要去证 ab 平行于 m q， 我 就可以证出线面平行，所以 c 也是对的。 然后再来看啊，这个 d 选项 d 选项 ab 在 这个位置，那接下来还是一样啊，你可以去平移，或者说你直接观察都是可以的。 那我就发现，哎，我平移的时候，正好能平移到前面面朝我们的这个面上的 n q， 所以 这个时候它证明 ab 平行于 n q， 我 也可以推出线面平行啊。所以这一道题除了 a 不 选啊，其他都是可以选的， b、 c、 d。 然后接下来我们来看第二题，已知四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d。 底面为平行四边形， e 为 ad 的 中点。好，这是中点 f 呢？在 pa 上 ap 等于 number 倍的 a f。 已知 pc 是 平行于面的，则 number 的 值。 好，已知线面平行，那你就要注意了，我们说已知线面可以推什么？已知线面我是可以去推面面平行，对吧？这一方面是证明啊，但当然我们要证明面面平行得有两组，我这也只有一组，那我就只能想，哎，他可以利用性质定力，我们说面面平行的，线面平行的性质是可以去推 线线的，对不对？那我们来看具体怎么去找。首先 pc pc 直线对应的在这个位置， 然后呢，这个时候已知它是平行于 b e f。 好， b e f 在 这个位置。那你就想啊，那我 pc 一定会和这个面里面的哪条线平行呢？我们说最直观的一定是什么？ p e。 比如说，你看我把 pc 平移过来，直至确定过这上面一个点，所以是不是一定会过 f 点啊？但当然这个图画的有点不准啊，所以有点歪啊，它对应的是不是？呃，是，是啊，对，是有点歪啊，它这个地方其实相当于，比如说我把这个点标一下啊，这个是 m 点， 它一定会平行于 fm。 这个怎么去解释？就是利用我们线面平行性质定律就可以。比如说，你像这里，我已知 pc 是 不是平行于 pdf， 同时我又知道 pc 是 不是在面 p a c。 当，呃， p a c 上， 而面 p a c 又和我们的这个 b f 是 相交的，交于哪个线段呢？这个时候我们可以在图上啊，给它找出来 p a c 这个三角形和我们刚才讲的 m e f， 呃，这个 b f e， 首先有一个公共点是 f， 另一个公共点在哪？另一个公共点就是 m， 所以 这个时候我知道它们交于 m f， 交于 m f 的 话，那这个时候结合我们线面平行的定义，我们就知道了，线平行于面，则过该线的任意一个面与这个平面的交线一定和原直线平行，所以这个地方我就可以推出 pc 一定是垂直于 m f 的， 所以这个是我们线面平行的性质，定能得到一个条件，那这个时候我就可以得到 ap 等于纳姆塔 af 我是 可以转换的。 ap 比上 af 等于纳木塔。那我利用相似 ap 比 af， 我 现在就可以转换成 ac 比 am。 这个利用的是什么？利用的是三角形 a f m 相似于三角形 a p c 利用什么来的？利用我平行正出来的，没问题吧？好，那接下来我就只需要去算 ac 比 am 就 可以了。那 ac 比 am 好 不好算呢？也是好算的， 为什么我还是可以用相似，这个时候用的是哪两个三角形相似呢？这个时候我们用的是 a， 这个我看我标一下啊，这个应该是 a e m 和这个 b m c， 啊，和这两个三角形相似，我这里来写一下 三角形 a e m 相似于三角形啊，这个地方应该是 c m b 这个你要正相似的话怎么去正啊？这两个角是相等的，对角也是相等的啊，所以它是对应的，是可以去正相似的。正相似呢，这个时候就可以得到。 我们刚才要算的是 ac 比 am， 对 吧？ ac 比 am 其实就可以转换成 am 加 mc 除以 am， 而我们这两个三角形相似，又可以推出什么？可以推出 am 比上 mc 就 应该可以转换成我这里的 a e 比上 bc， 又因为 e 是 终点，所以它其实就相当于是二分之一。那这个时候我就可以不妨令你，不妨令 a m 就是 等于一， m c 就是 等于二，反正我只是算比例嘛，对不对？所以它这你代减的话，就相当于应该是一分之一加二，所以它的倍数应该是三。所以最终答案就出来了 啊，所以这个地方呢，就是在利用我们的线面平行的性质定律啊，去做一个转换。好，接下来我们来看这个第三题。 如图，正方体棱长为二，则下列四个结论中错误的是。好，我们首先先来看 a 选项， a c 一 与 a d 一 为异面直线。好，回忆一下，我们前面讲异面直线的 概念是什么？定义是什么？我们说只要是既不相交也不平行，当然也不重合啊，但我们说一般直线你判断的话，它不可能是给你重合直线啊，那我们来看 a c 对应的在这个位置啊。这题对角线相当于啊， a c 一 啊，看错了， a c 一， 那应该是上面这条直线啊。然后接下来和这个 a d 一 a d 一 在这个位置 啊。那你就想他们俩可不可能平行，可不可能相交？首先平行肯定不可能，对不对？那有没有交点呢？那你结合你自己比划一下，你也能看出来，它显然是没有交点的。所以 a 选项是正确的， 既不呃，既不平行，也不这个也不相交啊，所以它对应的是一个异面直线。好，然后再来看 b 选项， a、 c 一 平行与 a、 c、 d 一 好。 那这个地方就涉及到我们前面讲了，这也让我们去证的是线面平行。那我们说线面平行要找什么？要找一组线线对不对？那我只需要去找 a、 c 一 平是否平行于这面？那一条直线 a、 c、 d 一 在哪呢？ a、 c、 d 一 对应的是三个面上的对角线 啊，是这个面。那我哎一画图就判断出来了， a、 c、 e 显然是和 a、 c 平行的，对吧？因为它上下底面的对角线啊，所以这个时候它俩平行，我就直接可以称，呃，推出线面平行啊，所以它一定是对的。然后再来看 c 选 项，平面， a、 c、 e b 和 a c、 d e。 好， 我们来找一下啊， a、 c、 e、 b 啊，对应的应该是这个三角形 好，然后 a、 c、 d、 e， 那 就是我们刚才黄色的画的虚线，这个三角形好，现在面面平行。那来回忆一下，我们判定定理，如果要正面面，我们需要知道什么？需要找两组线面，对不对？ 那两组线面，其实我们又讲了，你要正线面，其实也就是正线线，所以它其实也就相当于归根到底找两组线线平行就行了。但是你在证明写解答题的时候必须写的是线面啊，不能直接从线线到面面 好，那下面我能不能找到两组平行呢？那，那可太可以了对不对？它都是这个面上的对角线，所以你会发现啊， a d 一 和 b c 一 是平行的，同时 a、 c 一 和 a c 也是平行的，两组找到了对不对？两组找到你就可以转换成两组线面，两组线面我就挣出来面面平行了啊，所以 c 选项是正确的，这个是这个正方体当中特别喜欢考的两个面啊， 而且这两面还一定是等边三角形啊。然后接下来我们来看 d 选项， d 一 杠 a， d， c 的 体积为三分之八，那这个地方呢，涉及到我们前面讲三棱锥的一个体积公式，三棱锥的体积公式我们说是怎么算的？ v 等于三分之一， 底面积乘以高，对不对？好，那来看啊， d 一 杠 a， d， c， 我 们把这个，我用这个红粉红色的笔啊，把这个三轮锥给它拎出来啊，白色吧，不然看不清了啊。好， d 一 杠 a， d， c， a， d， c 的 话，底面是 a， d， c， 好，我们给它做出来啊，这个是三等锥，那这个时候显然我就发现它底面积是谁？底面积应该是三角形 a， d， c， 对 不对？所以也就是三分之一 s 三角形 a， d， c 高呢？正好就是我的棱长啊，所以是 d， d， e， 那 我们接下来代入就可以了， 三分之一 a， d， c 的 面积应该是二分之一，底乘高正好也就楞长相乘二分之一，乘二，再乘二，这面积再乘上它的高，也是楞长，所以乘二，所以解出来的话呢，最后应该是三分之四，所以 d 选项是错误的啊，所以这个唯一错误的呢，应该是 d 选项。 那我们的平行我们就梳理完了，平行这一块，最主要就是学会怎么去找平行的直线，或者说记住我们对应的定律，学会怎么去找这个条件，这个是最重要的啊，像，呃，比如说像看图啊，或理解啊这种空间当中的思维，那我们只能说慢慢做题，慢慢去积累。

正在高一下饱受立体几何大题折磨的同学们快点看过来，如果说线面角你还不会用定义法去找二面角，搞不懂如何用三垂线法，只会去用搜题软件寻求帮助的话，你会发现那些答案全部都是一些坐标系、 间隙、空间向量的方法，而这种方法我们根本不会遇到，这种纯几何的问题我们几何法又搞不拎清的时候，别着急，我们认真看完这条视频，今天宋老师一条视频带你双考点通关，吃透定义法求线面角，掌握三垂线法求二面角， 两大必考几何法解决立体几何大题，一口气讲清楚，看完直接套用刷题，立体几何基础分，稳稳拿捏。首先我们开始第一个板块，叫做定义法求线面角，那么这是我们三大角里面的啊， 第二个，第一个其实应该是意面直线所成角啊，但那个在大体里面的话呢，考的比较少，我们在大体里面考的最多的就是线面角和 二面角，那什么叫做线面角呢？既然要用定义法，我们先把定义给它搞清楚啊，其实它的过程是这样的啊，这里是一个平面阿尔法，然后呢，有一条直线 l， 它和我们的阿尔法交于 a 点，紧接着我做了一条紫色的垂线，要注意啊，其实这个 p 点是很随意的， 就在这条直线上，除了 a 点的位置啊，随便选择一个点就是 p 点过 p 点做底下这个平面的垂线啊，也就这里的 p h 是 垂直于底面 r 法的，那么这个时候啊，垂直为 h， 我 再去把刚刚 p a， 也就是直线 l 啊，与 r 法的交点 a 点，还有我们的 h 点连接即可啊， 这个我们用黑色的线来表示，那么这条线就像一根影子一样，它也确实是影子，它被称之为叫做直线。 l 在 平面 r 法上的摄影， 那么教材上的概念就告诉了我们，此时的角 p a h 就是 我们的线，面角定义在右边啊，大家可以快速的浏览一下。紧接着啊，我把这个三角形给它拎出来之后， 想要在题目中求解出现面角这个 theta 的 所有信息，比如说什么余弦值啊， 正弦值啊啊，更有甚者啊，这个角就比较的特殊，或者说比较的好求，就是三十度或者六十度的话，那我就可以求这个角的大小，但一般啊，在高中为止啊，我们现在求题目的角度的时候啊，很多都只是用三角函数来代表了，对不对？所以我们可以求余弦值或者正弦值， 想求什么余弦值，我就只需要把 a h 的 长度给它搞出来，然后再把 a p 的 长度再求出来，是不是就直接用零边比斜边即可？ 那如果说求正弦值是不是也就是 p h 的 长度，也就是紫色线段的长度，再除以红色线段的长度即可？ 这些呢，其实都不是很困难，因为我们这个直角三角形，说实话，从初中开始一直到高中，已经玩的非常非常的明白了，我只要能在这三条边里面知其二就可以，但是核心是如何能把这个三角形 给它做出来。那我们来看一些题目啊，我都没有放题干，我就直接告诉各位啊，这是一个广东的月考题，他呢说这是一个正三楞柱啊，正三楞柱的意思就是 上下两个面都是正三角形，然后呢侧棱还都垂直于底面，这样的一个什么是不是直棱柱？那这样的棱柱里，它让我们求什么呢？啊？让我们求这条红色的线 b c 撇啊，或者 b c 一 和我们底下这个平面 a c c 一 a 一 的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的这个子线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e 当成是我们刚刚的线面角，那就非常简单了，我只需要把这里的 b e a c e a e 就是 垂直的， 这样的话呢，我们就可以把我们的摄影，也就是 c e 再给它连起来。根据刚刚我们的定义，其实 b c e 和 c e e 就是 我们的线本身，还有我们的线的摄影，那他们之间的夹角其实就应该是我们的。什么是线面角， 所以这种题目是比较简单的，我连题干都没有放，我就直接给大家稍微看一下这个图就可以了，因为他现在的这个垂线 b e 是 题目里面怎么样，在图里面就自带的， 所以我一眼就能看到，那它的投影呢，我也就可以顺势画出，那线面角呢，也就不再有难处啊。那紧接着云南这道题目有什么样的一个问题呢？ 云南这道题目的话，它是这样的，它告诉你的条件是 a b c 这个平面啊，这是一道高二的期末考试题，它说是 a b c 这个平面垂直于底面 b c 岛，然后让你去求的是这条红色线 a e 和底面 b c 岛的夹角有这个线面角问题， 你告诉了我， a b c 垂直于 b c 岛， b c 就是 这两个垂直平面的交线，而垂直平面的交线有一个非常特殊的性质，就是我们的第八个性质啊，叫做 面面垂直的性质定律。其实我们只需要把这里的我做辅助线的时候，只需要过 a 点做 b c 的 垂线，它就定然会和底下的 b c 岛应该是垂直的。 所以我现在把这个点如果标为 h 点的话， a h 就 可以充当起我们刚刚在定义里面模型中的那条紫色线段，它呢，应该就是 a 往底面做的垂线，自然而然 h 和 e 连在一块的这条线就可以被称之为我们刚刚的黑色线段，也就是 a e 这条红色线段在底面的投影。 所以现在的线与投影之间的夹角，也就是此时的 a e h 这个角就应该是我们的目标线面角啊，这个 c 塔，那这是云南的一道高二的期末题啊，其实难度也不是很高啊，都可以比较丝滑的或者很简单的做出这样的辅助线啊。 但紧接着呢，这是一个最近啊我的学生在问我的这样一个作业题啊，这道题其实最近在一次比较正式的考试里面也有出现过，是北京的一模考试啊，二六年的北京一模考试好像也考了这个类似的一个问题啊，这道题目 它让我们求的是啊，右边一个楞柱嘛，左边拼了一个楞锥啊，让我们求的是 b c e 在 a b 一 岛这个平面上的一个所谓的夹角，或者说它的线面角，那我就比较懵了啊，尤其是对于我们高一的孩子而言啊，那这个问题还是相对有一些难度的，因为现在的 c、 e、 b 上来就和刚刚的模型不一样， 它呢，和 a、 b 一 岛没有一个非常明确的焦点，对不对？所以我没有办法过另一个点啊，虽然另一点比较随意嘛， 但是刚刚这题都很明确，就另一个点就是 b 点啊，就是 a 点上面这个，广东的就是 b 点上面这个，云南就是 a 点，做底面的垂线即可。而这里呢， c 一 b 和平面 a、 b 一 岛都没有交点，另一个点更加不知道该从哪里去找了，对不对？题目变难的逻辑呢，就可以从这些角度来让它变难， 比如说啊，他可以搞来一些动点让你去研究，也可以让这里的线和我们的目标面，就目标线和目标面看起来八竿子打不着，那我们就需要通过一些以前学习过的内容啊，去进行一定的 转移。比如说啊，第一个比较丝滑的方式就是我们刚刚有微微提到一点点的意面直线所成角，意面直线所成角的问题就是所有的直线啊，其实我都可以通过平移把它挪到我想要去的位置， 当我把它挪到想要的位置的时候，我就可以通过我比较熟悉的形式去求线与线的夹角，那线面角也是一样啊，线面角里的线也可以去挪到，或者说平移到我们希望他在的位置，那就做平行线就好了，能够做出合理的平行线，我们就可以 像我们刚刚那样一样啊，去做这样的辅助线，并且把这种题目转换成跟刚刚那种啊，云南还有广东这样的题目啊，一样难度的这样一些题， 我们来讲两道可能稍微复杂一点点的题目啊，大家一起来感受一下。首先第一个在棱长均为二的正三棱柱， a b c a e b c e 中，这个正三棱柱啊，那我们简单画一下这个草图， 正三棱柱的长相也是相对比较规整的啊，所有的底面都是正三角形，然后呢，侧面也都是矩形了，然后侧棱也都垂直于底面。 m 的 话呢，是 a b 的 中点啊，我们标一下啊，比如说这里是 a， 这里是 b， 这是 c， 那 下方就是 a e b e c e 没有图，那我们就要自己画，所以这里是 a b 的 中点，我们把它标出来，这应该是我们的 m 点， n 点是侧面 a c c e a e 内任意一点， 这就是我刚刚讲的第一个逻辑，把题目变难的第一个定点，那么此时我们的 n 点在侧面乱动，问你 m n 与平面 a c c e， a e， 它的所乘角的取值范围是怎么样的？那么现在 n 点在边界还有这个平面外都有它所带的一个位置，那现在我们来看一下，如果说我们取出 a c 的 中点的话， 它会有一个点是不叫做 o 点，为什么这么来做呢？你仔细想一下，因为我们现在的 m n 随便画一个，比如说 n 点在这个位置，那么 m n 和这个面的夹角我应该要干嘛？应该是要去做所谓的 a c c e a e 的 垂线。再说呀， 因为你现在的 n 点不知道在哪，但好歹也是一个什么，是不是好歹也是一个我们这里和平面 a c c e a e 的 一个 交点，所以呢，可以为之一用啊。但是呢， m 点是一定是面外一点，所以我需要去过它做什么？ 就是做我们的这个平面的垂线。那么为什么选出了 o 点这个中点呢？我选完中点是要选四等分点的， 为什么这么选呢？因为作为正三棱柱而言，我如果把 a c 的 中点 o 点选出来，再把 a o 的 中点，比如说 h 点给它选出来的话，那么 m h 这条线可不简单， 它是垂直于 a c 的 上方的 a b c 这个平面，作为一个正三棱柱而言，它一定是垂直于 a e c e c a 的。 垂直于 a e c e c e 之后的话呢，我现在的 m h 又是我人为的去做的什么？是不是垂直于 a c 的 一条线？ a c 什么身份呀？ a c 啊，其实是我们的 abc 这个平面和那个平面 a e c e c a 的 一个交线， 所以现在面面垂直，我又做了它们两个交线的垂线，那得到的结果一定是我们的 m h。 怎么样，它待在我们的 a b c 里的一条直线，它就一定会垂直于 a e c e c a 是 不是这个平面？所以啊， 这个 h m 不是 别人呀，它是谁呀？它是老紫呀，刚刚那个模型里面的紫色线段呀，它是那个垂线，所以 h 点就是 m 点在这个平面上的投影，那么 h m 就是 老黑啊，就是我们刚刚所说的投影。所以 n m 是 我们的目标线啊。平面 a c a c e a e 是 我们的目标面，而目标线在目标面里的投影就是 h n， 所以 这个角我找到了，就是 m n h 这个 c 塔就应该是我们的线面角，那么如果说 m n h 是 我们的线面角的话，那我们现在的这个正弦值的取值范围应该 有了一个小小的眉目，为什么呢？因为所谓的 sine theta， 它应该是等于 m h， 对 边就是 m h 嘛，那么斜边就是 m n 啊， m h 其实是个定值哦，因为我们上方是一个人长均为二的三楞柱，所以上方是一个人长或者说边长为二的一个正三角形。 b o 就 应该是根号三，所以呢， m h 就 应该是二分之根号三，这上方是一个定值啊，就是二分之根号三。而下方的 m n 呢？ 开始乱动了啊， m n 是 真的不知道了， m n 是 一个会动的长度，所以我们现在想求 sin c 的 取值范围就已经非常明确了，我只需要把 m n 的 取值范围给它求出来就可以了。那 m n 等于多少呢？ m n 其实就应该等于根号下 m h 的 平方，再加上我们的 h n 的 平方， mh 的 平方，加上 h n 的 平方，里面的 m h 就 应该是一个定值，就是二分杠三，所以平方完就是四分之三，再加上 h n 的 平方， h n 最短最短应该是多少？ 最短最短最短其实应该是零哈，因为它现在这个 n 点确实可以跑到是不是 h 点的位置啊，所以最短应该是零，所以此时加上了这个 h n 的 范围呢？我们稍微的书写一下， h n 最小最小应该是零，最大最大呢？ 其实最大的时候啊，这个 n 点应该要跑到哪里？应该是跑到是不是我们的 c 一 点的时候，此时的 h n 可以 取到真正的最大值。 那么 h n 多长呢啊？这里的长度应该是二分之三，这边的长度这个棱应该是所谓的二，所以此时我们的 h c e， 也就是我们 h n 的 最大值，应该等于根号下二分之三的平方，再加上我们的二的平方， 所以得到的结果应该是四分之九，再加上四啊，也就根号下四分之九，再加四啊，这稍微算一下就是四分之二十五，所以开出来过以后就应该是二分之五。 所以这里的 h n 的 长度啊，最小最小应该是零，最大最大呢，应该是二分之五。 那这样求完之后啊，我们 h n 的 长度出来了，那么 m n 的 长度的范围应该是多少呢？那最小是不是也就是二分之二三啊？因为 h n 最小是零嘛，加四分之三的开根号就是二分之二三，那最长的话呢，应该是四分之三，再加上 h n 的 平方 就是四分之三，再加上四分之二十五，也就是四分之二十八，四分之二八，开出来应该是二分之二倍，根号七，也就是根号七哦，所以这样我们求出来的结果啊，就应该是 m 的 长度是在二分之，根号三 到根号七，于是把这个 m n 的 长度丢带到我们最开始的这个式子里面来，终于终于可以出结果了啊， m n 取最小值的时候，反而我们的算它应该取最大值，刚好就是一啊，这也顶天了啊。 确实，这个时候我们的 m n 就 应该和底面是垂直的，所以九十度的正弦值也就是一啊，所以算出来的结果就应该是十四分之，根号二十一，那答案 应该就已经出来了，应该是十四分之二一到一。实际上我们就还是通过定义法，把线面角找到，把线面角的正弦值给它，怎么样 凸显出来之后啊，我们再去明确这个取的范围到底是因为谁在动，我发现是由 m n 在 动，而 m n 的 长度呢，又是由 h n 来决定，所以我求出 h n 的 范围，一步一步的回推到我们的 m n 的 范围，那这个问题就已经解决掉了。 话不多说啊，我们直接来看一下这里的第二题，就是我刚刚啊放的那个图。这道题目是我这几周啊，刚好有个同学问我的一道题， 他作业帮一搜啊，小圆搜题一搜，搜出来嘛，就是间隙。这道题间隙确实还可以啊，但错就错在我是个高一下学期的学生，我还没有学过间隙，你给我来个间隙是不是害我们 啊？如果我偷个懒，抄个答案上去的话，老师一眼就知道我是不是在搜题了。所以我们现在还是要去学习这个几何法。 几何法永远是我们通往间隙或者通往立体几何大成之上的必不可少的一个步骤。好，我们来看一下这个。这个题目有个第一小题，我略讲一下，不是今天的重点，这里什么三棱柱啊， abc 又是正三角形， ab 呢，又是等于二啊， c c 一 垂直于平面， abc， c c 一 呢是根号三，捯是 c b 延长线上一点延长过去啊，而且捯 b 呢，又等于 bc， 就 延长了一倍啊。 他说，假设 a c 的 中点为 e， 让我们证明 c e e 平行于 a b e 岛。 好的，那么这个问题其实并不是非常的难啊，因为现在我只需要去把这边这个中点再点出来啊，然后连接连接 b e 啊，再连接，假设中点是 m， 我 把这个 m e c e b e 给它连出来之后啊，就完事了啊， 因为现在下面这个长度是延长一倍的，所以 m e 和倒 c 之间应该是中位线的关系，那就应该是长度等于 b c， 但是又平行于 b c， 总而言之啊， m e 就 会平行于 b e c e 啊，当然，其实平行等于 b e c e 啊， 从长度上来说，它等于下方的倒 c 一 半，那就等于 b c 用于三棱柱，它就会等于是不是上方的 b e c e。 所以 这里简讲一下，就是构造这样的一个平行四边形即可啊，我就可以证明出，此时 b e m 和我们的 c e e 是 平行的， b e m 和 c e e 平行就可以推出啊， c e e 应该是平行于 a b e 岛的。这是这样的第一小问，但是第二小问，不少学生啊，都比较痛苦，它这里应该是 b e c e 与平面 a b e 岛夹角的正弦值。来，我们来看一下啊， 各位，写完第一题不要忘记啊，写第二题的时候，往往可能还有点帮助的啊，或者说可能会突破啊，我们那些思维的定式，第一小题的这个结论可能也会得给我们一点提醒， b e c e 在 这个位置 与平面 a b e 倒的夹角，我该怎么办呢？其实这道题目啊，当时我在思考的过程里面是这样来想的，如果我直接去做垂线的话，我都不知道做哪去了， b e 确实在 a b e 倒上，那 c e 我 往这个面做垂线，我做哪去了？ 根本就搞不清楚啊，所以现在就非常的难受啊，但现在我可以干嘛？我是不是可以进行一个转化？就像刚刚我们所讲的一样啊，你既然已经说出了这里是一个什么， 是不是一个平行四边形，所以现在呢，我们的这里的 m 点，还有这里的 e 点 m e 是 不就平行于 b e c e， 所以 b e c e 和平面 a b e 倒的夹角，这就等价于 m e。 有 些人说 m e 还不够好，那非常非常好啊， m e 其实还是不够好啊， me 这个身份其实完全可以再换成谁，是不是换成左侧的蚯蚓？如果你换成了蚯蚓的话，那么这个问题就相对会变得比较简单了。 首先啊，我现在过 b 点往这个面去做，垂线就是目标线是蚯蚓，目标面是 a b e 蚯红线就是蚯蚓，那我现在子线就是垂线段啊，这里的 b h， 我 完全可以过 b 点直接去做这个 a b e 蚯蚓垂线， 虽然我有一点点不太清楚啊，你会垂到哪里去，但是呢，至少是垂在，是不是我现在目力所及这个面内的啊，比刚刚一定是要好不少。所以这就是我们简化题目的一个逻辑，我可以把这里的线 移移到我想要的位置，然后再去用我们定义里面交的那个模型去画图，你的算力，你的这个计算的难度以及成本一定会降低，所以我们过 b 点做这个垂线，会得到这个 h 点，那么接下来这个三角形 b d h 就是 我此生要去 钻研的，是不是这样的一个三角形？嗯， b d h 这个三角形呢？它其实应该是一个什么样的？应该说是直角三角形， 而 b d 的 长度我是知道的啊， b d 的 长度其实就应该也是几啊，是不是也就是二？因为 ab 是 二嘛， bc 也是二啊，这边也是二，你言传一倍，那 b d 是 不是也是二？ b d 是 二过以后，那 b h 呢？ b h 呢？ b h 不 清楚，但是我可以用等体积法，我用回忆起来一个非常重要的知识点啊，叫等体积法，其实 b h 就是 什么？是不就是 b 点到哪里啊？ 就是到我们的 a b 一 岛这个三角形的面积。当我这样写过以后啊，我会知道，第二小问的突破口已经出来了， 它就应该用等底积法 v b 杠 a b 一 岛这个体积来进行转化。因为 v b 杠 a b 一 岛啊，就应该等于三分之一倍的 s 三角形啊， a b e d 啊， 就应该等于三分之一倍的 s 三角形 a b e、 d， 再去乘上我们现在的目标是不就是 b h 三角形 a b、 e、 d 的 面积啊，我是可以去给它求出来的，这个我马上再说， b h 是 我想要的东西。 紧接着啊，这个三棱锥的体积除了可以这样写以外，是不还可以写成 v b 一 杠 a b 倒，那它的体积是不可以等于三分之一倍的 s 三角形 a b 倒啊， v b 一 杠 a b d， 这个三棱锥的体积是不还可以写成三分之一倍的 s 三角形 a b d， 然后再去乘上我们的 此时的高啊，那此时的高其实就是 b b 一 啊，这我也不啰嗦了啊，因为你 b 一 作为顶点的话，它往下做垂线不就是 b 一 b， 好 吧，所以这样的话呢，两者一划等号，我只需要去把这个，这个还有这个给它求出来，那 b、 h 的 长度是不也就直接啊， 出现了那么一个人来解决就好了呀？像 s 三角形 a、 b、 e 倒这种东西啊，有点难度啊，但是我今天也写的不会很详细了啊，我就直接把这些边稍微标一标，这里就应该是二，这里也是二，而这边应该是一百二十度啊，应该是一百二十度啊， 好，那我这里稍微擦一下啊，或者说我拿蓝色的笔啊，绿色的笔啊，稍微给大家标一下啊，这里是二，这里也是二，这边是一百二十度，所以 a、 d 长度应该是二倍根号三。那么 a、 b 一 的长度呢，应该是二 根号三，对吧？它说 c、 c 一 等于根号三啊，所以应该是二根号三的勾股数啊，应该是四加三开，根号应该是根号七，所以 a、 b 一 是根号七，而 b、 e、 d 呢， b、 e、 d 的 长度应该是多少呀？哎，这里是垂直，是根号三，这边也是二，所以这里也是根号七啊。这个三角形 a、 b、 e、 d 这个三角形， 它在我们的心中就已经很明确了，应该是两条边都是根号七，谁啊？ b、 e、 d 还有我们的 b、 e、 a 啊，都是根号七，然后呢， a、 d 之间是二倍 根号三，所以这个高呢，就应该是根号七减根号三啊，或者说根号七的平方，减根号三的平方，也就是开个根号，也就是二，所以它的面积啊，就应该是二分之一，再乘上二倍根号三，再乘上一个二，就应该是二倍根号三喽， 所以 s 三角形 a、 b、 d 的 面积就是二倍根号三，而 s 三角形 a、 b、 d 呢？ 这已经搞定了啊， b h 放一放啊， a b d 呢，很简单吧，应该是二二二倍根号三的一个等腰钝角三角形，所以它的面积的话呢，应该是 根号三啊，这个我就简讲了啊，大家都会求的啊，因为它的形状是二二二倍根号三啊，这样的一个等腰钝角， 那最后一个 b b 一， 我也是知道的啊，就应该是根号三，所以上式全部给它累下来，就应该是三分之一乘上二倍根号三，再乘上我们的 b h， 再去等于啥呢？等于下面这个二号式子，也就是三分之一再乘上 s 三角形 a b d 啊， a b d 的 话呢，就是根号三，所以再乘上一个 b b 一， 于是我就非常清楚了啊，此时的 b h 的 长度应该会等于多少，是不是等于 b b 一 的一半，也就是二分之根号三， 所以我刚刚说此生要去研究这个三角形啊，搞定了啊，这里是 d， 这里是 b， 这里是 h 啊， b h 的 长度是二分之根号三啊， 那么 b d 的 长度就是二的情况下，我们就可以正确的得到这个结果啊，它的正弦值就应该是二分之根号三，再除以二，就应该等于四分之 根号三啊，所以右边的一切全部都是在为什么我们这个所谓的 b h， 也就是这个直角三角形里面的啊，这个 b 点到底面或者说到目标面的距离 啊，就刚刚那个紫色线的长度在服务啊，所以这些过程等体积法就是这样来用的。好，那还有一道题目也可以快速的说一下啊，就是这个第三题，这其实是非常新的武汉三调啊，就是高三的武汉的 一道模考题啊，完三道的质量也是非常非常高的啊，这道题目前在网上吹的也很厉害，那么实际上我觉得他做的确实不错，他把解三角形还有我们所谓的立体几何啊，都放在了一起去考，但是我们今天只看一问，就是这里啊，这个第三小问， 这个第三小问是让我们求的就是限面积，如果说你在高三的时候学会了间隙，就疯狂在间隙的话，当然是可以的，你现在上网搜的很多答案应该都是在间隙，然后说就比较难，比较难点，也比较难算，对不对？但其实这道题目啊，如果你熟练掌握几何法的话，你会写的非常非常的顺利， 因为他现在在前面两问里面啊，尤其是第二问，他让你算了一个东西，叫做 p 杠 abc 的 体积。 好吧，那这里啊，我默认各位是会的。好吧，我就直接把这个体积的公式或者说体积的结果告诉你啊， v p 杠 abc 啊，就是四分之根号十五。那么问题来了，它现在的 p 杠 abc 的 体积是四分之根号十五，让我求的是 b c 到什么，是不是与平面 p a b 的 夹角。那么我们现在根据刚刚的定义的话，应该是过 c 点做什么？是去做这个平面的垂线，这是刚刚的垂线段，紫色线段，那么这个垂足即为 h 的 话， 紧接着我们的 h b 就 应该是我们刚刚的黑色线段，也就是 c b 这个线段在 p a b 目标线在目标面上的投影。所以说我们现在的线面角已经出来了，就是这个 c， 它 bc 长的已知啊，因为这里是直角，那现在想要求这个 c， 它的正弦值的话，斜边就是 bc， 而 bc 长的已知就是根号六。 所以这道题目在第三小问里只有一个问题，就是把谁求出来，就是把 c h 求出来啊，为什么？因为 sin theta 等于 c h 比上 bc， bc 等于根号六，所以只有一个东西不知道就是 c h， 那 么 c h 到底是多长呢？第二小问告诉了我 p 杠 abc 的 体积， p 杠 a p c 的 体积恰好又是什么？根据我对于三棱锥如此之深厚的了解，它就应该等于是不是 c 杠 p a b 啊？ v p 杠 a b c 就 等于 v c 杠 p a b， 而 v c 杠 p a b 就 等于三分之一倍的 s 三角形 p a b 再乘上我们的 c h c h 就是 c 到 p a b 的 距离，也就是以 p a b 为底面， c 为顶点时候，这个三棱锥的高。所以问题再一次的减化为去求什么？是求三角形 p a b 的 面积，那么紧接着我就只要求三角形 p a b 的 面积就可以了，它告诉我 p a 等于一，这题目说的， 然后呢？ ab 等于三啊，这也是题目说的，然后 p b 呢？等于二倍根号三，所以 p a b 这三角形是一三 二倍根号三啊，是这个样子啊，所以 p a b 这三角形是一三二倍根号三，是这样的一个形式啊，那我们再不记是不是也能把它的面积给它求出来，只需要稍微调用一点点我对于解三角形的了解即可。此时对于这个东西而言，我们假设这个角为 r 法 啊，假设这个角为 r 法，那么 cosine r 法就应该等于多少？ ok， 这地方稍微差一小嘴儿啊。我觉得这个 r 法我选的不好， 因为我发现啊，这三条边里面有一有三啊，有二倍根号三，所以我会选择这个角为 r 法啊，因为这是 a 嘛，这是 p 嘛，然后这边是 b 啊，我会选角 a， 或者说角 p a b 为 r 法。那么此时的 cosine r 法就会等于啊，一的平方加上三的平方，再减去二倍根号三的平方，也就是减去一个十二，再除以二乘以一乘以三啊。 上面是十减十二就是负二啊，下面就是六，所以 cosine r 法等于负的三分之一，那么 sine r 法其实就应该等于正的三分之 二倍根号二啊。这是利用 cosine 加 cosine 等于一即可。于是现在的 s 三角形 p a b， 利用减角形里面的三角形面积公式，就应该等于二分之一乘以一，再乘以三，再乘上三分之二倍根号二。所以这样得到的结果啊，应该就是，呃，削掉一个二， 再写了一个三，应该就是根号二，于是四分之根号十五啊。左边这两坨是一样的。第二小问告诉我，等于四分之根号十五，那就应该等于三分之一再乘以根号二，再乘上 c h， 所以 c h 的 话，应该等于 三倍根号十五，再除以四倍根号二，也就是八分之三倍根号三十。 我刚刚最开始说的 sine theta 等于多少？ sine theta 是 不是应该等于 c h， 再去比上我们的根号六， c h 是 八分之三倍根号三十啊。所以这样除上一个根号六过以后，这个 sine theta 就 应该是等于 八分之三倍根号，所以这道题目的答案一定是正确的啊，你可能间系得到结果也一定是匹配的。但是如果我去用的是几何法，就是我们高一下期刚学立体几何的这一套方法。用的是定义法的话，你会发现你的步骤会非常非常的少 啊，会在前三道大题里面为你节省下来非常多的时间啊，这是一件非常好的事情。 所以定义法求解我们的先面角，大家一定一定要学明白啊，或者说一定一定不可以去， 既希望于间隙解决所有的问题，而应该在这个阶段去把这个方法也学扎实，这是第一步，第二步，再去学间隙之后两条腿都学好了，你才能在立体几何的世界里面走得比较安稳，走得比较顺利啊。 好，那么接下来我们来看第二块啊，在大体里例题几个最喜欢考的三大角之三就是我们的二面角，那么今天我主要讲的方法叫做三垂线法， 他也有定义法啊，但定义法有些时候可能没有那么的好用了啊。三垂线法呢，我认为是非常好用的，还 有一些更快的方法，比如说投影面积法，那今天我们可能提不太到啊，如果需要的同学可以啊，联系我的后台，然后我们再去聊这个问题， 再去分享，共同探讨这样的问题就好。那三垂线法求二面角是什么呢？我们先把二面角了解一下啊，这个定义我觉得还是比较简单的，有笔记本电脑一样的啊，这样掀开过一个状态，其实就是一个线 l 啊，然后呢，向两边出发，是不是有两个半平面 r 法和贝塔，那么这个形状就叫做二面角啊，这个两半平面就叫做二面角的面啊，这个没有问题。紧接着我现在如果选择了啊，一个点 p， 就是棱上选个点 p， 然后以 p 为垂足，这样做，这样做啊，就全部是垂线做了 p a 还有 p b 啊，其实都是射线喽，那我们现在做了射线 p a 还有 p b 啊，它们之间夹这个角，叫做二面角的平面角 啊。其实到最后啊，大家说话都已经开始模棱两可了，或者说的没有那么严谨，其实我们最终在求二面角的时候啊，很多时候都是在求二面角的平面角，二面角这个三个字，其实只代表上方的那个图形，仅此而已 啊，他其实并没有那么那么重要啊，重要的大小其实是附托于或者说赋予我们的二面角的平面角。所以其实我们讲的定义法呀，或者说三垂线法，都是在两个平面中啊，去寻找我们的二面角的平面角。那什么叫三垂线法啊？这是今天的重点。三垂线法是这样的啊， 我们现在已经有了这样的两个平面，阿尔法还有贝塔啊，然后上面呢，却有着所谓的比较糟糕的 p 点和 q 点啊， 为什么这么说啊？因为如果说是比较好的 a 点和 b 点，它应该是这样的一个效果啊，就我选择了一个 o 点之后啊，做了一条垂线， ok， 就是 垂线，再做一条垂线，这边就是 b 点，那么这样的话， a o b 就是 二面角的平面角，这没有问题。 但实际上呢，我们现在的 p 点和 q 点，或者说大多数想把题目变得稍微难一点的题目，他都会去把这里的 p 点和 q 点给它错开。 也就是说，如果我过自己的 p 点啊，去做这个棱的垂线，哎，会垂到这里的 m 点，我过这里的 q 点去做这条棱的垂线，会垂到这里的 n 点。怎么说？错位了？ 那错位其实也有方法去解决啊，就比如说我可以去做平行线嘛，把 q n 平移到左边这个位置，是不是也行 啊？但这就比较麻烦嘛，我要画好多条线啊，但我可以用稍微简单一点的方法啊，或者说更加直接的方法去解决这个问题。怎么做的呢？是这样的啊，先过这里的屁点，直接一条擎天柱就立在下方的 背它上啊，就 r 放的屁，直接做一条垂线，垂直于背它。 r 放的屁做一条垂线， p h 垂直于背它。 h 为垂足的话，这是第一条垂线。三垂线，第一条垂线先 垂面，紧接着我过这个 h 点，再做一个 h o 垂直于谁？垂直于我们的交线，也就是我们的棱 l 啊， 做这个交线 l 的 垂线，这样垂完之后得到了 o 点之后再相连。连什么？连？最开始的 p 点和 o 点，那么现在的这个角就是我们的 p o h， 这个角就是一定是我们的二面角的平面角。 为什么这么说呢？因为我们的 p h 垂直于底面贝塔，而 l 呢，又在我们的贝塔里，所以 p h 包怎么样的包和我们的 l 是 垂直的，而我们的 h o 呢，又是我自己做的，垂直于 l， 这说明什么啊？当然还要补充一些啊，就是 p h o 相交于 h 点，并且我们的 p h 和 h o 呢啊，又都在我们的 p o h 这个平面里，所以我就可以证明 l 应该是垂直于平面， p o h 的 l 垂直于平面 p o h 之后的话，我们现在的啊， p o 和 o h 都在这个平面内啊， 那就可以说明我们现在的 p o h， 它应该是和我们的 l 垂直，之后就可以说明我们的 p o h， p o 和 o h 就是 都垂直于我们的。什么 是不是我们的这个公共线，或者说我们这个棱啊，公共棱，于是 p o h 啊，就应该是我们现在的这个二面角的平面角 好吧，所以我们现在就可以非常了解三垂线法的做法，它应该是这样的一个步骤，一垂面，二垂棱，三相连角 b 线啊，那么第一个就是我们的红线啊， 一垂面，第二个就是我们的绿线，就是二垂棱。垂完过以后啊，我们就会把最开始的 p 点和我们最终的这个垂足 o 点啊给它相连，那么角 p o h 就 应该是我们的什么二面角的这样的一个平面角啊。 那么学会了这个方法之后啊，我们来看一道题，这道题没记错的话，应该是宁波市啊，宁波九校这个非常著名的联盟的一道期末考试的题目啊，在三轮锥 p 杠 abc 里面， pa 等于 bc 啊，都等于一 ab 等于根号三 好数字标完了啊， p a 垂直底面， abc 平面， p a b 只垂直于 p b c， 那 么 m 是 pc 的 中点，求证 ab 垂直于 bc， 这个其实应该并不是很难啊，也不是我们今天的重点啊，我们就稍微说一下就好啊，其实我现在只需要去做这里的 a h 的 这样一条线就好，为什么？因为题目里面出现了 p a b 垂直于 p b c， 这是一个面面垂直，看到面面垂直，找交线去做交线垂线，这是一个雷打不动的切入点啊。当我把 a h 做出来之后，这条线一定会怎么样？根据面面垂直性质定律，它会垂直于 p b c， 那 么它垂直于 p b c 的 话， b c 这条线就会垂直于 a h 啊。 bc 垂直于 a h， 这是第一点，而 bc 还会垂直于谁？还会垂直于 pa？ 所以 简写就只要这样写就好了啊啊，让大家感受一下即可。 为什么还垂直于 pa？ 因为 pa 垂直于 abc， 所以 pa 还会垂直于 abc 的 所有的线，包括 bc， bc 垂直于 a h， bc 也垂直于 pa， 再结合它们俩相交，它们俩都在哪？是不是都在 pa 里？就可以推出我们现在的这个 bc 应该会垂直于左边这个平面，是不是 pa b， 那么 b c 垂直于 p a b， p b c 就 会垂直于 p a b 里面所有的线包括什么？是不是包括我们的 ab 啊？ 这不是今天重点啊，我们稍微说一下就行，就可以证明出 b c 垂直于 ab 啊，证明线线垂直，实际上是要证明线面垂直。 ok， 那 么接下来看一下今天的重点是这个。第二小问，让我们去求解的是 p a b 和 m a b 的 夹角，那如果说我要间隙的话，当然可以间啊，你去搜一下，你就会发现怎么去间隙的。那现在我们来看一下啊，如何去用三垂线法去解决。为什么要用三垂线法？因为你现在的 p a b， 如果你去过 p 点做这个公共弦的垂线，会垂到 a 点。如果你去过 m 点做这个公共弦的垂线，你会垂到 a b 的 啊，某一个位置啊，可能是中点，对吧？我没有详细的去探究啊，但归根结底，它和 p 点做的垂线，它不再交于同一个点，所以这个二面角的平面角没有那么那么的好找。那怎么办呢？那我们就可以开始使用三垂线法 来。我当然可以去使用 p 点，也可以使用 m 点，但如果我要过 p 点做 m a b 的 垂线的话，来一垂面嘛。 如果选择了 p 点，你就要往着另一个面，就是 m a b 去做垂线，你会垂到外面去。但是如果你过 m 点，你选 m a b 的 步桨去垂直于 p a b 的 话，很简单，你只需要去做 p b 的 垂线就可以了， 这个非常好做。因为第一小问证明了 bc 垂直于 a b p 这个平面， 所以现在其实你只需要去做 b c 的 平行线，就会得到 p a b 的 是不是垂线。 于是我会把这里的 p b 的 中点 o 点给它点出来，那么 m o 就 会垂直于 p a b 这个平面， m o 垂直于 p a b 这个平面， 这就是 e 垂面已经到位了。紧接着我只需要再去做这里的 a b 的 垂线， 谁会垂直于 a b 啊？ p a 不 就垂直于 a b 吗？所以现在 o 点是中点，我只要再把下面的这个 h 点，也就是 a b 的 中点再点出来，这条线是不是就会垂直于底下的 a b c？ 那 当然也会垂直于 a b 喽。所以一垂面是做出了 m o， 二垂棱是做出了 o h 三相连，就是连接这里的 m h。 于是现在的二面角的平面角被我找到了啊，就应该是这里的 m h o 这个平面啊， ok， 本来看不到线，应该用虚线来画啊，怕各位看不清，所以我画成了一个实线。那么这里就应该是我们的二面角的平面角，是不是 c 塔？ 于是你现在让我求这个夹角的大小啊，我就把这里的 m o 啊， o h 啊， m h 啊啊，反正三个里面搞清楚，两个不就行了吗？那他告诉我， bc 等于一啊， 那 bc 等于一的话，中位线 m o 的 长度是不是就应该等于二分之一来， o h 也是中位线啊，你告诉我 pa 也是一，所以 o h 它不就也应该是二分之一吗？而且这里还应该是垂直的，所以这个图画出来 我都画丑了，它应该是一个什么？是不是等腰直角三角形？也就是说，此时的 m h o 应该是一个二分之一，二分之一等腰直角三角形。那 c 塔在这个位置啊，不是四十五度，也得是四十五度了啊，所以这道题目的结果应该是四分 之派。所以这就是所谓的三垂线法啊，本来是 p 杠 a， b 杠 m， 那 p 点不好用，直接被我排除在外，我就用 m 点，一垂面，二垂棱，三相连，那我们的二面角的平面角就直接浮出水面。 好的，那么今天的视频到这里就结束了，数学想提分，关注宋老师，点赞收藏视频，高中三年，我将陪大家一起冲刺高中数学，记住哦，关注宋老师每个视频，送大家一个解题小妙招。

今天一道题讲清楚，秒杀立体几何大题纯几何法，清华学长数学长年一百四十加，把这个方法分享给你。 首先我们来看到这个题，这个题说如图所示，四轮锥 p a， b， c， d， 然后这个 p a 垂直于地面，然后 ab 呢，是垂直于 bc 的， 哎，这里垂直，这里垂直， 对吧？好，然后他说 a d 呢，是平行于这个 bc 的 啊，其中 pa 等于一，哎，他告诉我们这个等于 a c 等于二， ok， 好， 第一问，让我们证明 a d 垂直于 pb， 这很简单，因为 a d 呢，它平行于 bc， 所以 a d 呢，它就垂直 ab， 它又垂直于 pa， 所以 垂直于这个平面两个相交之线。那么第一问其实就做出来了，对吧？比较简单。好，我们主要看第二问。第二问，他说点 b 到平面 acp 的 距离为一，平面 acp 这个平面，哎，到它的距离是一，那我们把这个距离做一下，我们过 b 点做这个平面的一个垂线，好，比如说叫 bm， ok， 好， 他求平面 a p c 于平面 b c p 夹角的余弦值，哎，其实就是这个二面角的余弦值，对吧？好，那么关于二面角余弦，大家用的都是这个间隙的方法，那么今天呢，我们用纯几何的方法，哎，其实我们可以这样过 b 点做一个 b n 垂直于 pc， 那 么连接 m， 我 们就知道这个 b n m 其实就是这个二面角，对吧？好，因为这里 我们的 pc 垂直于 bn， 而 bm 也垂直于 pc， 所以 我们能得到的是 pc 垂直于 m n， 好， 那你想 pc 既垂直于 m n， 也垂直于 b n， 那 我们就能推出角， bnm 其实就是二面角， 它就是我们要求的艾米角。好，那我们用平面几何的方法就把它解决了呀。因为你看在这个三角形当中，我们其实是知道这个 b m 的， 这个 b m 等于一，那我们只要求出这个直角三角形，其他的任意一个边，我们就把这个问题就解决了吗？ 对吧？好，那这个好求的是哪个呢？是 b n， 因为 b n 是 垂直于 pc 的， 其实就是三角形 p b c， pc 上的高，对吧？我们解决一下这个 b n 不 就完事吗？解决 b n， 我 们就把三角形 p b c 给它解出来就可以了，对吧？好，那么这个题我们就设 bc 等于 x。 好， 那我们既然设 bc， 同学们想 ab 等于多少？我们可以用直角三角形 abc 来勾股定，你算一下，就等于四减上 x 平方开根号。 好，那么整个这个四面体 p a b c， 我 们可以用体积轮换法来做，那么整个 v b 杠 p a c， 它是不等于这个 v c 杠 a b p 啊，对不对？ 好，而这个 b 杠 p a c 的 话，这个 b 到它高是一，其实体积很好算，我们就可以写三分之一乘上一，再乘上这个底，面积是 p a c， 这个是一，这个二面积就知道二分之一乘一乘二了。 好，那么这个 c a b p 怎么办？你知道这个 b c 是 垂直于 p a b 的， 所以这个就是高， b c 就是 高，那所以就是三分之一乘上一个高 x， 哎，再乘上一个，我们这个面积 p a b， 这个三角形面积 p a b， 这个三角形，由于这个是直角，所以它的面积就是一乘上 a b 吧。 好，那我们就得到。哎，二分之一乘上一，再乘上一个根号，下四减 x 方，好，那么得到这个方程，我们就可以把 x 给它解出来。往这里我们知道，三分之一，三分之一约掉二分之一，二分之一约掉好了，也就得到了我们这里的二是等于 x 乘上根号，下 四减 x 平方，对吧？好， x 解出等于根号二，好，那同学们想，如果 bc 等于根号二， 这个 b p 也知道我们是不是能求出 b c p c， 从而求出 b n， 好， 那我们把这个三角形拿出来啊。同学们，这三角形叫 p b c， 好， 这是 p， 这是 b， 这是 c， 那 同学们知道这是九十度，对吧？好，这个是根号二，好，那么屁屁屁，很简单，屁屁，其实，哎，我们知道这个地方 ab， 我 们就可以得出来， ab 是 根号二， 好，这个是一，这个是个九十度，这是九十度，所以 p b 也知道了，就是二，加上一开根号，等于根号三，好，那么这里其实是根号三，那么这九十度其实 p c 就 知道了。 p c 就是 三加二开根号，哎，这是根号五来根号五， 好，那么现在这个三角形 p b c， 你 三个边都知道，那它斜边上的高，你知不知道？这个斜边上的高不就是 b n 吗？那么所以 b n 是 不是就等于 pb 乘 pc 去除以我们的 pc 啊？乘 bc 除以 pc， 对 吧？所以是根号三乘上根号二，去除以这个根号五，也就是五分之根号三十，对吧？好，那么现在 bn 知道了，你现在把这个三角形 bnm 拿出来，哎， 这个三角形叫 bnm， 这个是 m 点，这是 b 点，这是 n 点，那么 bn 是 五分之根号三十。 bm 说是一，那么我们知道这个角其实就是要求了二面角，那二面角撒硬 n 就是 一比上这个值， 好，也就是六分之根号三十分之五，那也就是六分之根号三十，对吧？好，它的这个啊，正弦是这么多，那么余弦，同学们可以算一下余弦， 好，我们一起算一下啊。这个是其实就是根号六分之根号五嘛，对吧？那它就是六分之五，好，那么余弦就是六分之一，余弦的平方就是六分之一，所以余弦的值应该是六分之根号六，对吧？这个题我们就讲完了。

高中的例题，几何答题第一问，线线垂直。当我们遇见这样的一个问题的时候，往往会想，哦，线线垂直，那不就是勾股定律吗？ 如果说大家只会单纯的勾股定律，这个问题在平面图形当中是没有问题的。可惜啊，我们现在的问题是什么？是立体几何，那么在立体几何当中，线线垂直，我可以告诉大家，百分之九十九题目都是通过线面垂直的判定来证明的。 简单来说，你想正 b 倒垂直 a c 两个方向，方向一， b 倒垂直 a c 所在面，第二个方向 a c 垂直于 b 倒所在面。 好，这就是今天我想表达的核心内容。大家在往往遇见线线垂直证明的时候，我们往往可以通过这样的手段，利用线面垂直的星直定力来解决问题。我们一起来书写一下线面垂直定力，当我们想证明一个线 他要垂直一个面的时候，这个过程呢叫做判定。我们假设这条线已经垂直这个面了，这个呢叫做性质， a 已经垂直 alpha 了，那么我们能推出来什么东西？很简单， a 垂直 alpha， 一 条线在面内， 我们就可以推出来 a 垂直于 b。 换句话说，一个线垂直面，我们就可以推出来线垂直面内的任何一条直线，这就是我今天想表达的这个性质的一个应用。 甚至在题干当中，只要出现线面垂直，百分之九十九会用到这个东西。当然二四年高考，他用的是另外的一个性质，这个我们称之为性质一。在我们高一目前的学习当中啊，这个性质我可以说用的是最多的。 好，我们接下来不妨来尝试一下啊。既然让我正 b 倒垂直 a c， 那 么有两种方向，是 b 倒垂直于 a c 所在面，还是 a c 垂直于 b 倒所在面，这就是问题。那你说老师每个题都两个方向，那我每个题的两个方向都要都要去想吗？ 那我这里教大家另外一个方法，线面垂直，线线垂直。这里面其实是有一个 小小的 bug， 好， 这个 bug 呢，我先把这个图画好之后我再跟大家讲，我们先把 abbc 等一，我很自然的想到了中线，它是垂直的，换句话说呢，我好像发现了一些东西。第二个方法论叫做 通过线线垂直，其实它有一个技巧，线线垂直，我认为是最简单的。什么叫做反推，让我正它垂直， 我问一下，它实际上垂不垂直？它实际上是不是一定是垂直？所以 b 导一定是垂直 a c 的， 那我们又得到了这个 b h 垂直 a c， 看懂了吗？也就是说，实际上 a c 是 不是它一定又要垂直 b 导，那么 a c 是 不是一定又要垂直于 b h 呢？那是不是 ac 就是 垂直这个面的呀？大家听懂了吗？但是我们证明的时候是不是不能用哪一条？是不是不能用这一条？因为这一条是我通过结论来反推出来的东西。因此我们换一个方向， 我们要再找一根线，这个线已经很明显了吧，所以这个线是谁？这个线是不是就倒 h？ 我 们在正常书写的时候，不要拿结果来用啊，这结果不可能能用的呀。所以我们就写 ac 垂直于倒 h， a c 垂直于 b h， 是 不是线线，这两条线相交于一点，再写这个线在面内一个五推一，我们就可以判定出来 a c 是 垂直这个面的，那么自然垂直这个面的话，我们再次用这个性质底是不就可以推出来 a c 是 垂直于 b 道的，我完整的书写下过程。 那么接下来的话呢，就是我要表达的第二个事情， b h 交导 h 等于一点， h 导 h 在 b， h 在 面， b 导 h 中，所以推导出来 a c 垂直于面， b 导 h， 在这样的一个基础下的话呢，我就可以用性质定比了，因为这个叫线面垂直，所以它垂直面内所有直线既 a c 垂直于 b 道，这就是我想表达的两条方法论，大家可以把对应的笔记进行整理，第一个是课本给出的这个性质定理无比的重要， 第二个给的是我们在做线线垂直的题目的时候，我们可以把这个对吧要正的当做已知来反面的去找到这个面， 找到这个面之后呢，我们又不能用这个，所以我们在这个面内再找第三根线就可以了。以上的话呢，是我想表达的今天的对于线线垂直的证明的核心思路。关注我，我是数学沈老师，通过本质讲数学。

在写解析几何大题的时候，我们按照三个步骤走就可以了，第一步呢，是先要翻译这个题目当中的这个几何关系，第二步呢，将这些几何关系翻译成他们坐标之间的一个关系，然后呢第三步再通过列式计算最后的结果，我们求出来就可以了， 一般需要四到五个专题啊，将这里面的知识点和解题方法讲透，我们看一看去年南开区高三期末的这道椭圆的题目啊，那么这道题目呢，是一个比较常规的题目，椭圆题目呢，一般大家都会卡在什么翻译题目上啊？好多同学啊，这个读完这个题目啊，给了好多几何关系，我们翻译不成这种他跟坐标的关系，然后最后呢就列不出这个代数关系式来，从而解不出这个题。我们借着这个题呢，来说一说这个到底怎么去翻译这个题目啊？ 首先咱们看第一问啊，他说离心率为一的椭圆，然后经过二斗零，然后负根号三，根号三 e 两点啊，那这个已经比较简单了，因为二斗零已经给了，所以我们就知道这个 a 应该是什么， a 应该是二，所以这个时候这个 e 是 不是就是二分之 c 了， 那么这个地方就是负根号三二分之根号三 c， 然后呢这个时候怎么样？这个点我们是不是可以带入到这个方程当中啊？我们再结合这个 a 方等于 b 方加 c 方，然后 a 等于二，一块就把它解了啊，那么这个第一问咱们就不过多的浪费时间了啊。第一问的结果是四分之 x 方加上 三分之外方等于一，那么这个方程呢，也比较常见啊，那它的离心率呢？是不是就是二分之一？我们一起来看一看这个第二个啊，这个第二个呢，我们边画图边说啊， 首先就一个椭圆啊，就是这个四分之 x 方加三分之外方等于一。他说啊， f 为椭圆的左焦点，我们把这个左焦点 f 表示出来， f 的 坐标呢，应该是负一零，然后呢上顶点为 a a 坐标零到根号三，他说 m 在 x 轴上，而且 am 垂直于 af。 好， 我们看一看这个条件我们能得什么？ a m 垂直于 a f， 这不是第一件事，我们就可以把这个 m 的 坐标求出来了，我们可以利用怎么样这个 a f 的 斜率乘以 a m 的 斜率相乘等于负一，对吧？我们也可以利用怎么样这个 o a 的 平方啊，等于 o f 乘以 o m， 我 们也可以用 a f 向量乘以 a m 向量啊，等于零，都可以啊，所以读到这个条件之后啊，我们要知道啊，通过这个条件，我们最起码能向哪个方向去延伸啊？ 读完之后，我们知道 m 坐标就搞定了，后面他说过， m 的 直线 l 与椭圆 c 交于 p q 两点，那么过 m 的 直线啊，与椭圆交于 p q 两点，然后呢，他说了啊，这个 f p 乘以 f q， f p 在 这乘以 f q 等于四啊，求这个直线 l 的 方程 l 是 谁啊？是不是就这个 p q 这条直线，我们来翻译翻译这些题目啊，那么第一个我们能知道什么？第一个 m 坐标我们是搞定，那么 m 这个坐标搞定之后，我们是不是就可以列出这个 p q 这条直线的 解译式了，那么这条直线的解译式里面，我们是不是只有斜率 k 不知道，那我是不是用这条直线和同样的连力就可以用 k 来表示 p、 q 的 坐标，如果解不出来呢，我们可以选择写这个 p 和 q 的 这个横坐标或者纵坐标的伟大定律， 那么这个伟大定律是不是也可以用 k 表示？所以这个时候 p 和 q 的 坐标是不是可以视作我们可以用这个 k 来表示？那么最后一个啊，他给的最后一个条件， f p 向量乘以 f q 向量等于四，那这个时候怎么样？我们 f 的 坐标也是知道的，负一到零， 所以 f p 向量， f q 向量都可以用 k 来表示，那么他们的向量的乘积是不是就可以用 k 来表示了？然后呢，这个乘积等于四，我们是不是可以把这个 k 解了，回头再看一看这个几何这个翻译啊，那么几何的翻译是不是他给到了一些几何关系？垂直对吧？又给到了什么？香蕉对吧？后边给了一个向量相乘啊，等于四对不对？通过这些关系，我们是不是一直在找坐标啊？ 通过几何关系，我们要翻译成怎么样？它坐标之间是有什么样的关系？然后呢，这个坐标呢？我们可以通过怎么样？直线的连立假设也好，不管怎么样我们去搞定这个坐标， 但是注意这个坐标我们要尽量的用少的字母来表示，你看我这道题是不是全程都在用 k 来表示，就尽量的不要再引入更多的这个未知数，但有的题呢，确实是两个甚至三个未知数啊，那么这个主要着重在细心的这个计算上面啊， 那么尽量能用一个字母来表示，就用一个字母来表示，那好，分析完了之后啊，我们来设计一下这个解析的思路啊，咱们看一看，我们是不是第一步先要求出 m 的 坐标来，然后第三步是不是用这个向量的乘积来解决？那么我们沿着这三步来搞 好，我们来开始写啊，我们先求这 m 坐标， m 坐标是怎么样的？ af 和 am 是 垂直的对不对啊？那么这时候因为 af 垂直于 am， 所以 我们用一个设等定律啊，就是 o a 的 平方是不是等于 o f 乘以 o m， o a 的 平方我们知道等于三，对吧？ o f 的 长应该等于一，再乘以 o m， 所以 这个时候 m 的 坐标是不是就出来了，它是 三斗零，那么这个时候 m 坐标是三斗零，是不是这条直线我们就可以表示了，对吧？我们可以选择这个纵结式，也可以选择横结式啊，那么这个纵结式呢，我们是不是就是 y 等于怎么样？这个 k 倍的 x 减三对不对？横结式呢？我们就可以用这个 x 等于 t y 加三，那么这个时候我们怎么样？这道题我选择横结式，咱们来写一写啊。那这个时候我们假设 p q 的 这个直线是不是 x 等于 t y 加三，顺便把 p q 的 坐标设了，对吧？ p x 一 y 一， 那 q 点坐标呢？是 x 二外二。那下一步我们是不是要求这个 p 和 q 的 坐标？那这个时候怎么样？是不是要将这条直线和这个椭圆连立起来？求解。所以这个时候啊， 我们四分之 x 方加上三分之外方等于一， x 等于 t 外加三，我们将它们两个连立，连立之后我们代入，对吧？那就是三倍的 t 方外方加上十八倍的 t， 再加二十七，然后再加上四倍的外方减去十二，应该 等于零。我们简单整理整理啊，是不是把这两个东西怎么样？合并，对不对？所以三 t 方加四，外方加上十八倍的 t， y 再加上十五等于零，那么这个方程啊，如果能直接十字相乘，或者直接求结，我们就直接求出这个 p q 的 坐标，但是呢，这个式子我们看一看，应该十字相乘不太好求啊，所以这个时候 我们不求坐标了，我们选择写出它的表达定义来。那么 y 一 加上 y 二是不是三 t 方加四分之负的十八 t， y 一 乘以 y 二 等于三， t 方加四分之十五，那这个时候 p q 是 不是就可以视作我们表示出来？那么最后一部分啊，是不是这个向量的问题，我们就要用这个 f p 乘以 f q 等于四来解决它了啊？那好，现在我们要写这个 f p 向量， f p 向量是不是用 p 的 坐标减去 f 的 坐标，那就是 x 一 加一 y， 然后呢，同样道理啊， f q 向量是不就是 x 二加一 y， 那 f p 乘 f q 等于四，我们是不是可以列出这个式子来了，对不对？ f p 向量乘以 f q 向量等于四啊？所以这个时候怎么样？我们是不是给它乘起来？ x 一 加一乘以 x 二加一，再加上 y 一 y 二 是不是等于四？那么好，这个 y 一 y 二是不是可以把这个北大定给带入啊，对不对？那 x 一 x 二怎么办？我们还记得吗？这个直线啊，这个 x 一 是不等于 t y 一 加三， x 二等于 t y 加三，我们带入啊，那么 x 一 是不是 t y 一 加三再加一加四，对吧？ x 二呢？ t y 加四加四， 然后再加 y y 一 y 二等于四，后面呢？我们把它打开，把 y y 一 y 二等于四，后面呢？我们把这个打开啊，整理一下，是不是得 t 倍的 y 一 y 二等于四，后面呢？我们这个时候啊，把这个打开啊，十六再加 y y 一 y 等于四， 那么这个时候我们这个四跟十六合并一下，剩下这三个数，就可以把这个伟大定律代入了，对不对？那么这个我们代入啊， t 方乘以 三 t 方加四分之十五，对吧？哎，然后后面加上啊，这个三 t 方加四分之八 t， 对 吧？四 t 乘以三 t 方加四分之负十八 t， 然后这个四挪过来加上十二，然后再加上 y 一 百二， y 一 百二是三 t 方加四分之十五 等于零，是不是？我们就得到一个关于 t 的 一个式子，对吧？我们将这个式子解出来之后啊，就可以得到这个最后的结果了啊，我们来解这个式子啊，这个式子看着挺复杂，其实我们大家没必要这个 触头解他啊，我们直接能量去分母就可以了，因为这个分母都是三梯方加四，对吧？我们同时乘以三梯方加四，那这个是不是得十五倍的梯方，对吧？那这个也乘三梯方加四啊？那减去七十二倍的梯方，加上四十八， 最后这个再加十五等于零，我们这个时候合并一下负的二十一倍的梯方，那这个地方四十八加十五的话，应该是六十三，对吧？加上六十三等于零，那这个时候我们就知道梯方应该等于三，对不对？ 梯方等于三啊，所以这个时候 t 应该等于正负根号三，那么这个时候我们 t 的 正负根号三呢？我们再代入一下这个这个式子当中啊，我们验证一下，得它是不是大于零啊？得它是不是大于零，也就是说每达定律一定要配得它，所以这个时候我们看一下啊，应该等于十八倍的 t 的 平方，对吧？减去四乘以 三， t 方加四再乘以十五，那么这个时候我们知道啊， t 方是得三的，对吧？我们可以代入啊，等于十八的平方啊，乘以三减去这个地方得三，对吧？三三得九十三，四乘十三， 再乘以十五，这我明显知道这个应该是大于零的，所以这个时候怎么样？ t 是 可以等于正负根号三的啊，那这个时候我们的直线方程是不是可以代入了？所以这个 l 是 怎么样？ x 等于正负根号三外 再加上三，我们整理一下就可以了啊。最后就是 x 加减根号三， y 减三等于零，这个就是这道题的一个解析方法，那么这个呢，就是这个题的整个一个流程啊。那我们简单来说一说啊，第一步还是主要什么是要翻译题目啊？ 翻译这些题目我们尽量呢提前设计好啊，哪些字母是可以用我们这个未知数啊？比如说这道题我们用的是 t， 对 吧？换成 k 也是一样的啊，那怎么样去用同一个字母来表示，那哪些字母呢？可能我这个字母表示不了，我是不是需要引入新的字母，对不对啊？我们需要提前去。 好的啊，然后根据我们刚才的这个翻译啊，然后怎么样设计出一个解析的一个流程来啊？那我们先知道谁，后知道谁，对吧？然后，然后再知道谁，然后最后怎么样去列施？我们把这些东西搞定啊？设计一个思路出来，然后按照这个思路一步一步去算就可以了。 那剩下的这个白色这部分是一个写在卷子上的部分啊，但是白色部分其实就是已经把思路都想通了啊，然后来完成这个计算的这部分。那椭圆呢？这个计算部分也是一个比较大的容易失误的一个地方啊，那么尤其是这种式子一个计算，我们碰到它的时候一定要多写多练。这个地方呢，有好多这个椭圆题目，它的方程不会特别复杂啊，就是它那个 a 方和 b 方不会特别怪， 那这个时候呢，还有些这个数啊，都是比较常见的数字啊，我们一般写的比较多的时候会发现，哎，这个数我没见过，对吧？或者我这个写过好多题了，我都没见过这个数，特别怪，那这个时候怎么样？是不是计算上有问题？你大概心里是有数的，所以这个题量一定还是要写够的啊。

大家好，我是数学沈老师，在高中的例题几何大题当中，题问的线面平行往往是一个难度，最难的地方不在于判定定理的记忆， 它主要是难在这里面的辅助线到底在哪？找不到辅助线怎么办？今天呢，我带大家逐步拆解如何利用课本的内容来找到辅助线。话不多说，我们正式开始。首先呢，我们来阅读一下这个题目， 四棱锥 p a b c 岛当中 a 岛平行 bc， 且 bc 等于二 a 岛， a 岛垂直 c 岛， p b 垂直 c 岛点 e 在 p 岛上面， p e 等于二倍的 e 岛。 这题不用多说，懂的都懂，很多条件可能是为第一问服务的重点抓住你要证的东西需要什么内容，这是例题几何破题的关键， 所有的立体几何，我给大家负责任的说，他都会把所有的问题都放在题干当中，而第一问他用的东西是有限的， 而第二问用的东西他往往也是有限的。我们直接从第二问出发，我想证明 p b 平行于 a e、 c， 那 就是这个平面了。 那这个时候我发现我的辅助线在哪里呢？那么有的同学会发现，哎，这个辅助线我一下就能做出来了，很自然的，哎，连起来，这到底是为什么呢？首先呢，我们基础薄肉同学呢，要了解一个叫做线面平行的判定，这个判定是这样的， 首先我们想证明一个线平行一个面的过程中， a 如果想平行于 r 法，怎么来证？我的理论叫做上一级线面平行的上一级是什么？是不是线线平行啊？所以我们去面里找一个线， 这个线呢，如果刚好和 a 是 平行的状态，那这个时候就结束了，也就是说 a 是 平行于 b 的， b 的 话呢，它要在这个 alpha 面内，但是这里面会有一个小小的 bug， 比如说这个 a 的 线，它如果在这个面内， 我们发现这个并不属于我平行的范畴啊， a 与 alpha 平行的话， a 与 alpha 应该是没有交点的，那么如果你整个都在这个面内的话，这根本就不叫平行。所以我们再添加一个限制，既 a 不 在面内， 这样我们可以推出来 a 是 平行于 r 法。第二个线面平行的性质。对于这个问题，我相信大家可以翻开课本，线面平行的性质是什么？那么我们有一个线 线的话呢？首先它有个前提啊， a 先平行于 r 法，我们找一个面穿过于 a， 这个时候我们发现 a 呢，它自然会平行于这个线，这个线叫做交线。我们怎么来描述这个问题呢？那首先就是 a 首先它要平行于 alpha， a 还要在 beta 这个面儿内， 这个时候呢，描述下这个交线， alpha 交 beta 等于个 l， 所以 可以推出来 a 平行于 l， 我会告诉大家辅助线怎么找的，那就是依赖课本给的这个性质，比如说我想证明 a p p 平行于这个面儿，哎，我应该怎么办？我是不是应该找一个面儿，哎，这个面儿是什么样的 这面啊？比如说面要截到这个小三角形，有这么一个交线，那比如说我去把这个，哎沿着这个 b、 c 去平移，这样的话构建出一个面，但是你这个时候你会发现啊，你沿着 b、 c 平移的时候，它这个交线呢，应该是在这个位置上，它就会在外面， 这个是不符合我做题的逻辑的，大家听懂我的意思吗？换句话说，你不仅要保证你是一个面穿过去，你还要尽量保证这个线呢，应该完整的在这个面内。所以这个题的逻辑是把 p b 沿着哪一个面？好，这里我连接一个 b 倒， 这样的话，是不是 p b 就 可以绕着这个面去挪过去了？那总结一下啊，这个性质其实告诉我们一个方法论，这个方法论叫什么？这个方法论就是我们在做线面平行的证明的时候， 我们沿着某条棱去挪，当我们挪完之后，如果说你沿着这条棱去挪， 大家可以知道啊，叫三点确定一个面，那是不是这个点，这个点确定的面就自然就产生了，所以我的辅助线就是它了，这个就是我的方法论。 明白了，那接下来的话，我们来证明一下这件事情啊。一点呢，首先它是一个 p e 等于二倒一，一比二，我多么希望底边也是一比二，这样我就可以利用等分点的这样的一个模型去证明这两个线是平行的， 那么其实现线平行的判定本质上就是这一条，那么在这位置是一比二的情况下，我怎么去证呢？核心又来了，我建议啊，无论是大家现在用几何法，还是未来大家学的代数法，我怎么去证呢？核心又来了，我建议啊，无论是大家用几何图形，这个底面图形我给大家画一下， 你会发现在我的底边这是两个对角线的交点，我设底下这个产生这个点为 k 点，请问这个 k 点是否满足一比二的关系？既导 k 和 kb 是 不是一比二？它的条件怎么给的？ bc 等于二， a 导啊，这是一个梯形啊，这是二比一啊，我们就可以得到八字相似。 因为 bc 平行于 a， 倒 a 倒比 bc 等于个一比二，所以我们就可以判断出来，倒 k 比 a， k 等于一比二。 当然啊，我们严谨一点来写，还是要写出哪个三角形相似三角形 a 倒 k 相似于 三角形 b k c， 所以 相似比出现具体的证明过程，大家再复刻一遍这个就可以了。我今天想告诉大家的是如何找到辅助线，这是个非常精彩的方法，非常精妙的方法。今天的课程呢，就给大家讲到这里，关注我，我是数学小老师，透过本质讲数学。

最近很多海德高一的一个同学还有家长找到罗老师，说大家在理解几何这边学习比较困难，不再给罗老师反馈，这边还是在学校里面完全听不懂的。那么到底理解几何这边到底如何呢？尤其是在我们后面的一个期中考试，还有高考的一个占比分数是多少？ 我们罗老师一条视频给大家讲一下哈，就是我们立体几何在考试中的话，一个是要考大题，一个是要考小题，我们先说大题部分，大题部分哈大家会觉得难，嗯，其实大题部分是很简单的，我们可以把它建作一个傻瓜式的得分， 为什么？因为他的一个考法太固定了，就是一个傻瓜式的一个考法，待过八年的一个毕业班，高考数学一百四十二分。那么我们今天花一条视频的一个时间给大家讲清楚立体几何到底该怎么去学。 说我们的一个大体啊，大体啊，他的考法就很固定的，遇上我们的一个第一问，基本上要么就是一个正面平行垂直，然后第二问的话，要么就是一个空间角问题，或者说是点到面的一个距离。 平行的一个方法无非就两个，一个叫线位平行，一个叫面位平行。有的时候我们需要通过线线来到线面，有时候通过面面来到线面， 我们在这一块一定要把我们的一个六大一个转化搞清楚，比如说线线平行怎么来到线面平行，线面平行怎么能到面面平行，他们之间的一个互相转化， 嗯，包括我的一个同学他，我都会要求他们把这个理论字记下来，每次他同样是有三大问题啊，比如说就是一个线线垂直推到线面垂直，还有面面垂直，其实他本质上他和前面的一个平行差不多，但是我们在高考的话，这个大体他会考垂直会比平行要难一点， 但是我们在这边的一个学习方法应该是和平行差不多的。首先的话我们需要把六大理论记下来，记下来之后我们会配合一些方法或者说技巧去把它们给进行一个解决。 接下来就的话就来到我们的一个第二问啊，第二问他的难度要相对于来说第一问要比较更难一点，尤其是我们在高一塔，高一塔目前只学了一个几何法，我们要如果说用向量法的话，你得在高二上册学，主要是我们高二上册，但是还要讲立体几何 角和距离的问题，他无非就是你说一个线线角啊，线面角、二面角啊，首先的话这个学方法你要搞清楚他的概念，你说你要了解什么叫线面角，什么叫二面角，嗯，还有包括你要知道知道他的一个范围，包括我们的一个几何法他要怎么去构成的， 搞清楚刚才之后的他每个类型，就说不管我们是找线线角，你有什么平行啊，或说我们的一个线面角啊，他本质上其实前面平行也差不多，包括我们的一个二面角的话，可能线面角、二面角他也用了垂直的一些性质， 嗯，所以说他的字典是一个衔接的，那么前提呢，我们要把前面平行垂直先搞动，搞动之后后面的一个角才能搞动。 说我们的一个小题啊，上面是我们大题的内容，大题内容哈就固定的，这么考他就很失败，然后用我们的就可以把他的分数给拿下来，然后就是我们的小题，小题他的考试就很难了，比如说我们在高考里面常常考我们最后一个多选题，他是一个亚洲题的一个难度。 同样的也想一个问题，他既然是一个亚洲题，那我的一个目标，比如说我只要不是考一百三、一百四的一个分数，那有必要我们把这个题 我们只要会做一点差不多行了，那么尤其是我们到时候选项，比如说我们的 ab 选项，一般是比较简单的，我会做一个就行了。你说我们可能一般来说三个正确答案，我们只要做对一个有两分就行了。 在高考中的一个考点，但是如果说像我们在平时中的一个期中考试和期末考试，他可能会考些基础概念，基础概念他无非也就是我们前面讲的考的最多还是平行或说垂直， 然后在里面再加点什么洁面问题啊，我的一个体积问题啊，或者说考的最多的还有一个叫球的一个体积问题， 里面涉及到各种什么内接球啊、外接球啊，球的话我们也有固定的一些模型，把这个模型记住了，球的一个内接或者说外切的话都很好搞定。 最后的话给大家打打气啊，就是我们在立几科这里边也不用太着急，我们对于呃，我的一个大体来说的话，他的个考法就很固定，有时候把这个平行垂直包括什么二面积啊，我的一个点到面的一个距离等等掌握好之后，那么这边就可以搞定。 我们在小题的话，如果说他是考压轴的一个难度的话，那么就不用过多的去引用他。如果说我们是考了基础那种的话，那就是前面讲的平行垂直，或者说加点洁面的一个问题，再加一点体积和切球问题。 所以说我们后面的一个重心的话，就是这边一定要把平行垂直包括我们前面讲的一个点的面的一个距离以及脚的一些问题，把它搞定。 如果说我们在高考哈立体几何啊这个东西，你的目标是高考数学，想考一百分以上的话，把立体几何这个板块是必须要拿下的，除非他考虑我们十一题多选的一个压轴，那可能我只要拿两分就行了。 所以说如果我们在例集和这边在学校你学不懂的话，也不用太急着急啊，就是可能学校讲的话，他会把一些难的东西全部讲进去，但是如果说我们在外面有学的话，可能我们只是抓住一些重点，就说考试要考哪些基础的东西，我们把它搞懂，把例集和该拿分数拿住就行了。如果说一些特别难的，该放弃就放弃， 可能大家在学校里面的话，需要老师花一周的内容才给大家讲，讲完，然后但是我们这边只需要一节课的一个时间就会给大家总结重点，总结是考试你说到底考哪里，然后我们该掌握哪里？因为有些呃可能特别难的点啊，不需要我们去掌握， 然后我是罗老师，在玉璐华庭做教育已经八年了。呃，学习路上的话我们可以一起进行，可以关注我一下。

同学们，我们先来看一下这个二五年全国二卷的这个立体几何的问题。嗯，首先我们先不读题，我们看第一问，证明线面平行，对吧？给大家梳理几个三个知识点，这是最常用的啊。嗯，首先 我们用线线平行，可以推出线面平行，这是怎么用呢？就是平面外， 这是一个平面，是属于阿尔法，平面外有一条直线 l 与平面内的一条直线 a， 他 俩平行。平面外的一条直线 l 与平面内的一条直线平行，那我们就可以说 这个线和这个面平行，就是说如果 l 是 平面外的一条直线，平行于平面内的一条直线 a， 并且呢， l 是 不属于这个 r 法的， a 呢，是在这个 r 法里的，那我们就能推出呢，这个线与这个面是平行的，这是由线线平行推算出现面平行。第二个呢，由线面平行，我们可以推断出面面平行，就是说一个 平面内它的有两条相交的直线，可以是 a， 可以 是 b， 这两条相交必须是相交，相交于点 p， 平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那我们就可以说明这两个面是平行的。记住，一定是平面内两条相交的直线，也就是说 a 交 b 等于 p， 还是这是 r 法，这是北特， a 呢是平行于北特， b 呢也平行于北特， 嗯，这个平面内两条相交直线，对吧？都平行于北特，然后 a 呢是属于 r 法， b 呢属于 r 法。这个时候呢，我们能推断出两个平面是平行的， 这个判定定里的就是平面外外的两条相交直线与另一个平面平行，那么这个两条平面平行，这个上学时老师应该能讲过，嗯，第三，第三个呢？就是，呃，证明面面平行，能推断出线面平行，就是说这两个平面 他是平行的阿尔法，贝特，阿尔法是平行于贝特的，然后这个平面内呢？ 一个平面内的一条直线，那就是平行于另一个平面的 a 呢，属于 r 法，那我们就能证明 这个平面两个平面平行，这个平面内的任意一条直线呢，都与另一个平面平行，这就是三个。这个判定定力也是我们这道题用到的。这回我们来看一下这个题目，在四边形 a、 b、 c、 d 中告诉了我们 ab 平行于 cd， 对 吧？然后角 d、 b 就是 等于九十度 f 的 中点， 呃， e 在 b 上，然后 ef 他 也平行于 a、 d， 那 ef 平行于 a、 d， 然后 ab 呢？又平行于 c、 d， 那 就是他俩也平行，对吧？他俩平行，他俩呢？还平行，这还是九十度，那是不是能证明这个他是这个正方形啊？这是我们能提干中可以 得到的，对吧？然后给了我这个三个边的一个关系，然后说将四边形呢？嗯，这个四边形折叠到这里来了，对吧？那说明它们对应角是相等的，就是它是九十度，那么 d 撇 a 撇 e， 这也是九十度，它也是一个正方形，对吧？因为是折叠过来的吗？然后告诉我们使得面 它俩所称的，嗯，二面角为六十度。第一问就让我们证明线面平行，那正线面平行，我们是不可以先正这个面面平行，那正面面平行，我们是不可以正线面平行，那正这个线面平行呢？我们就是用到这个线线平行，所以说呢，这道题让我们证明 a 撇 b 平行于 这个面，那我们是不是能证明 a 撇 b 所在的面是这个 a 撇 b、 e 啊？这个所在的面，这条线所在的面和它平行，那么是不是两个面平行？平面，任意一条直线都与它平行了，对吧？那怎么正面面平行？是不是能借用两条相平面面，两条相交直线与另一个平面平行啊？ 那我们这道题我们可以看一下，呃，它已经给了，呃， ab 平行于 cd， 对 吧？那 ab 平行于这条面的一条直线，是不是 ab 就是， 它是不是肯定平行于这个面了？然后又给了我们它是正方形了，对吧？我们推断出来了，它折叠之后它也是正方形，它是正方形，那是不是 a 撇 e 也平行于 d 撇 f 呀？所以 a 撇 e 也平行于这个面，那这两条相交的直线都与这个平面平行，是不是这个面就与这条面、这个面平行了？那 a 撇 b 我 们是不是就能挣出来了？然后我们写下过程，嗯，因为 a、 b 它是平行于 c、 d 的， 对吧？那我们是不是能够证明，那肯定是 a、 e 和 ab 是 一条直线吗？那 a、 e 是 平行于 df 的， 对吧？ a、 e 平行于 df， 然后又给了我们 ef 平行于， 又因为 ef 是 平行 ad 的， 那也就是 e、 f 平行于 a， d， d、 f 呢？又平行于 a、 e， 对 吧？又因为 e、 f 平行于 d， 然后又给了我们角 d a、 b 等于九十度，所以四边形 d f e a 为正方形，因为这个翻折嘛，对吧？所以 a 撇 d 撇 f、 e 是 不是也为正方形？我们能证明这个两个都是正方形的，对吧？嗯，因为 ab 呢，它平行于 c、 d， 所以 这个 b e 是 不是平行于 c f 呀？ b e 平行于 c f， 又因为 c、 f， 它属于 面 c d p f， 嗯， b e 呢，是不属于面 c p d f 我 们是不是用到第一个了？用线线平行就能推出线面平行，对吧？所以我们能得到 b、 e， 它就与平行于面 c 撇 d f， 然后我们再证明 a 撇 e， 因为上面我们定出来的，对吧？ a a 撇 d 撇 f， e 为正方形， 所以 a 撇 e 是 不是就平行于 d 撇 f 呀？然后又因为呢 d 撇 f 是 在面 c 撇 d f 属于 c 撇 d f 中，对吧？这个 a 撇 e 呢，它不在面 c 撇 d f， 那 我们是不是又能根据这个线线平行推断出这个线面平行了？那所以呢，就是 a 撇 e 呢，它平行于面 c 撇 d f， 对 吧？因为 a 撇 e 平行于面 c d f， a 撇 e 和 b e， 它俩都平行于面 c、 d、 f， 它俩还是相交的，所以说能根据两条 平面外的两条相交直线平行于另一个平面，所以这两个平面平行，对吧？又因为我们给它判断定律，这个所有的公式里写出来， a 撇 e 交 b e 于点 e， 然后 a 撇 e， 还平行于 c 撇 d f b e 呢，也平行于 c 撇 d f， 然后 a 撇 e 呢，是在属于面 a 撇 e， b e 呢，也包含面 a 撇 e b， 所以呢，我们就是不是能证明这个 a 撇 b， 它所在的这个面啊，就是 a 撇 be， 它是平行于面， 它的 c、 d、 p、 f 的， 所以说两条面平行，那我们是不是用的用的第三个了？面面平行，推出线面平行，对吧？两条两个平面平行，那一个平面中的任意一条直线都与另一个平面平行，对吧？又因为 a 撇 b 包含在面 a 撇 b、 e 中，所以我们是不是就能证明出 a 撇 b 平行于面 c、 d 撇 f 了？第一道题呢，我们就整完了，用到了三个判定定律，根据线线平行呢，推这个线面平行，就是平面外的一条直 线平行，那么这个这个直线就平行于这条直线所在的面，然后线面平行推面面平行呢， 就是一个平面内必须是两条相交的直线与另一个平面平行，那么这两条相交直线所在的这个面就是与它平行的，然后又根据面面平行推到这个线面平行，我们就是用到了三个这个判定定律。第一问呢，我们就计算出来了，一定要把这个三个判定定律给他熟练的掌握。 那我们再来看一下第二个，第二个呢，让我们求这两个面的正弦值，嗯，求这两面正弦值呢，他有一个固定的步骤，因为求正弦值赛吗？我们先给他求出口赛，用两个向量机，我们用到的公式就是口塞 两个向量积，它等于 m 向量乘以 n 向量的绝对值，比上 m 向量的膜乘以 n 向量的膜。那 m 向量和 n 向量是什么呢？ m 向量呢，是属于 这个面的法向量，就是两个面的法向量。 m、 m 向量呢，是面 b、 c、 d 撇的法向量， n 向量呢，是面 e、 f、 d 撇 a 的 法向量。 所以说这道题呢，这个步骤呢，第一步呢，我们就是要给他建立直角坐标系。所有的我们看到求二面角的正弦值的时候，我们都这么做啊。第一问，第一步，建立直角坐标系，第二步写出面的法向量， m 向量， n 向量。第三步呢？然后我们求这两个项向量积，然后再根据塞 方加口塞方等于一，那口塞这两个向量求出来，那塞是不是就能求出来了？这就是我们以这道题的步骤，所有的碰到这个球正弦值的话，都是这四步走。然后我们 来看一下这个第二问，第二问，在第一问的时候，我们是不是都证明出来了， a， d， f， e， 它是正方形， 然后给它翻折之后，这个 a 撇， d 撇， f， e， 它也是正方形，对吧？那 a 撇， d 撇， e 撇，它翻过来之后呢？它也是正方形， 那因为它正方形吗？这也是九十度，对吧？这九十度给它翻过来，咱这个需要想象一下，那它呢？也是九十度，因为它它是九十度吗？所以它也是九十度，那它也是九十度。我们就能以它为 x 轴，因为这九十度吗？它为 y 轴，然后这块呢？为 z 轴建立这个直角坐标系。太乱了，我给它蹭掉蹭下，我们已经建立了这个直角坐标系，对吧？ 要给了我们面 e， f， d， p， a 就是 这个翻折过来之后的这个，对吧？与面 e、 f 与这个底面是角为六十度，那是不是就是，呃， d， p、 f， c， 它是这个六十度啊， 对吧？它是六十度。然后我们来写一下 e、 f 为圆点， f， e， f、 c 以及垂直于底面，就是 b， e、 c， f 的 直线 v， x， y、 z 轴建立直角坐标系，已经建立完直角坐标系了，对吧？然后第二步我们写出它们的法向量，那求这个法向量的时候，是不是得把这些点的向量写出来啊？这向量写出来，它题干给了我们这一个式子，那我们是不是可以设呀？ 可以设这个 a、 d 是 等于一的，所以我们能知道 ab 等于三， cd 呢，等于二。然后又因为 f 为 cd 中点， 所以 d、 f 是 不是等于 c， f 就 等于一啊？然后我们可以写一下这些的点坐标，那 f 点，所以 f 点是圆点吗？零零零，那 e 点呢？ e、 f 和这个 d、 f 是 不相等，因为它是正方形吗？所以这是一吗？所以 e 点呢？就是一零零，嗯， b 点呢？ ab 等于三， a、 d， 对 吧？ ab 等于三， a、 d、 a、 d 呢？这是一，所以说 ab 呢是三，那这块就是二呗，对吧？所以 b 点坐标就是一二零。 那 c 点呢？是在 y 轴上，就是零一零。然后再写一个 d 撇点， 这是六十度，这是三十度，对吧？三十度角所对的这个边是这斜边的一半，这斜边呢是一，所以说这块呢是二分之一，那这二分之一，这是一个五定力，他是不是二分之二刚好三呢？所以说 d 撇点就是零二分之一，二分之刚好三。然后我们接下来求法向量，嗯，所以说看 求一个面的法向量，就是这一个面上用两点，两点，用两个向量给他表示出来。我们先写出来 bc 向量， 是不是就等于这个 c 向量减去 b 向量，它等于负一负一零。然后 c、 d 撇向量呢？等于零，负二分之一，二分之根号三。 f、 e 向量呢？它等于一零零 f、 d 撇向量呢，它是等于零二分之一，二分之根号三。 我们求一个面的法向量，就是由这个面的两个向量给它表示出来。所以我们先可以先设一下面 b、 c、 d 撇的法向量， m 项链是 x、 y、 z， 然后我们求一个法项链怎么做呢？就是这个面中的有一个项链，是不是 b、 c 是 这个面中的项链啊？让 b、 c 项链呢？乘以这个法项链， m 项链等于零，然后再让这个面中的另一个这个项链呢？ 比如说像 c、 d 撇，对吧？它也在这样，像 b、 c、 c、 d 撇，或者是你求 b、 d 撇都可以，只是这个面中的任意两个向量和这个法向量相乘，等于零都可以，对吧？所以说这两个向量相乘， b、 c 向量和它向量相乘，那是不是就是横坐标 乘以红坐标加上纵坐标乘以纵坐标加上这个，呃，第三个坐标乘以第三坐标啊？那负一乘 x， 就是 负 x 减 y 等于零，然后 c、 d 撇向量乘 m 向量呢？也是，那就是负二分之一 x， 负二分之一 y， 对 吧？这是零乘 x， 负二分之一乘 y， 加上二分之根号三， z 等于零。给它解一下，我们可以令 y 呢等于根号三，因为这样的话不是好求吗？因为 y 等于根号三，它是负二分之根号三了，加上一个正二分之根号三，所以说 z 就 等于一了呗。 z 等于一 x 呢？然后给 y 的 根号三的时候， x 等于 负的根号三，就是这块令的时候，令谁都可以，但是你一定要令一个，嗯，简单好算的数，这个时候就需要咱们观察了，因为这个就是不是老师教的了得，是需要咱们观察。根据这个做题的经验，因为不是所有的题都是一样的，咱就找一个好计算的就可以， 然后另一个数，那我们就能求出另外两个点坐标了，所以说这个呃法向量 m 向量，我们的就求出来了，是负根号三，根号三一，这个法向量求出来了，我们另一个法向量也是同样的道理，设面 e、 f， d， p a 撇的法向量为 a 为 n 向量就是 x 一 y 一 z， 然后也是在这个面随便找两个向量，都与这个向量相乘，等于零，然后也另一个数就能求出另外两个坐标，就是求法向量的方法，那我们随便找，我们刚才写出来写了 e、 f， 对 吧？ 和这个 f， d、 p， 那 我们就用这两个和这个向量相乘等于零，那就是 x 乘一加上 y 乘零，这一乘零，那就是剩一个 x 一 了，对吧？ x 一 等于零，然后这个呢？零乘 x 一 等于零了，那就是二分之一 y 一 加上二分之根号三 z 一 等于零，那这个我们都不用算了，这 x 一 就等于零了，对吧？那我们只要另一个 y 一 或 z 一 就行了。另 y 一 等于根号三，那 z 一 就是等于负一了，对吧？ x 一 呢？等于零，所以这个面的法向量 n 向量是不是就能求出来了？零，根号三负一，对吧？那第二步我们写出了面的法向量，然后我们让我们求它的向量积，那所以 cos m 向量乘以 n 向量，我们就给它代入公式， 就等于 m 向量乘以 n 向量的绝对值，比上 m 向量的模乘以 n 向量的模， m 向量乘以 n 向量，就是它俩相乘，被红坐标乘红坐标加上纵坐标乘以纵坐标，加上这个坐标乘以这个坐标，对吧？ s、 y、 z 的 坐标分别相乘，那零乘负二三是零，二三乘二三是不是等于三呢？ 一乘负一是不是等于负一？然后比上 m 向量的膜就是一个向量 x、 y、 z， 它的膜是不是等于根号线 s 方加 y 方加上 z 方啊？那它就是等于根号线负高三平方，三加三加一，对吧？乘以根号线还是它方加它方 加他方，那就是根号零加三加一，对吧？那他就等于三减一乘二，对吧？他是根号七乘以根号四，根号四呢？就是二约没了，所以他就等于根号七分之一。 口三等于根号七分之一，所以说三呢？因为三方加口三方等于一嘛，所以三这两个向量，它正弦值是不是一减去口三，它平方啊，它平方是不是就是七分之一啊？它方等于它方减它方嘛，对吧？等于七分之六，所以说 平面这两个面， b、 c、 d 撇这个面，对吧？等于七分之六，所以说平面这两个面， b、 c、 d 撇， a 撇 夹角的正弦值。给他开根号啊，是不是根号七分之，根号六啊，那就是七分之根号四十二， 所以说他的正弦值就是为七分之根号四十二。这道题我们就做完了，所有的让我们求二面角的正弦值都是一样的步骤，都是先建立直角坐标系，然后写出这些点的坐标，然后从这个面中选去几个点，这个面中选去几个点，然后他组成两个坐标， 分别与他们的法向量相乘，然后另一个数求出发向量，求出发向量，之后求 cosine 它的向量积，然后再求根据这个公式再求 sine。 所有的题都是一样的步骤。