天津中考尺规作图题型及解题技巧

中考数学焚绝二，无刻度尺尺乱连大法同学们好，今天的话，我跟大家讲解我们这个中考技巧的第二期 就是无刻度尺尺作图。无刻度尺尺作图的话，在我们的一些省份，它其实有考察的，比如我们江西省， 像旁边的武汉那边，包括这个天津市哈，他都会考察这方面的这个作图。那么我们知道无刻度尺子作图的话，他只能做两件事情，第一个的话是连线， 第二个呢，其实就是延长，你做不了其他事情了，你也不能去做垂直，也不能去测量，他的这个叫做长度。所以呢，我们这里的话有一种方法，但是请注意哈，我这个乱的话打了一个引号， 这也是最近呢，我接到了很多学生的私信，就是问我，他说这个老师，我怎么能够短期内提高无刻度尺子作图啊？其实说句实在话，数学确实没有什么捷径，你得去看，去得练，去得学。 那么接下来就是这四十几天，对于说这种方法，我还是给大家推荐一下所谓的乱的话，我打了引号，什么意思呢？他真的不是说你这个在这里连了一句乱连，他也是有一定套路的。那么我就以三个例子吧，从第一个例子开始看起。 这个例子的话，如果说你要去做这个题目并不简单，但是你就明白一点，他不是要去做 hi 平行于 bc 吗？ 首先的话要结合一个，就是我们的这个路眼观察哈，大概这个位置得向。第二个的话就是所谓的连，他只能连线了，同学们请看哈这里 abc 的 话，这三个点都连完了，只剩下这个圆心，所以没有办法，我们只能去连 a o 连 b o 连 c o。 好， 这个是我们所能连的吧。连完以后的话，那你看一下，能够使得 hi 和 b c 平行的，那应该就是这条，这个时候的话应该是 h 点和 i 点就出现了， 所以的话乱连大法就是我讲的啊，这个叫做。呃，虽然说看上去哈，好像是毫无章法，实际上我们已经算是掌握了他的一个叫做作图的技巧和规律，那么接下来的话，你就要选择把那个多余的，这是我们尝试的这条线擦掉。好， 第四个他是说做 ab 的 垂直平分线，那么看到这个图的时候，我相信我们同学的话可以沿这个，对吧？延长，把这个延长 好，这里有个焦点，这个焦点的话，其实我们把这个一连，你看他不就是中垂线吗？当然我也可以选择什么 连接 ac， 连接 b d 啊，这里有一个焦点，对吧？我也可以选择把它连接，这个样的话， ab 的 中垂线其实就做出来了， 因为你想象一下，看我这个说的话，我 ab 是 不能连的，因为他已经题目给我连完了，所以我只能做的就是 acad， 所以 这样去尝试对不对？好，那同学们想一下，看你可以按下暂停键， 如果说题目要我们去做，做什么呢？他说做一条弦和 a b c d 平行，那也很简单。好， 我把 d o e 连，是吧？好，再把 c o e 连，显然这条弦的话就和 ab 平行吧， 这就是我们讲的这个忙而不乱，但是呢，千万大家不要说这个呃线的太多了，因为线多的话，就是我经常会跟学生讲，就是蜘蛛网啊， 这种蜘蛛网的话不利于你去判断，所以呢，我们像刚开始讲的这个对吧？这条线的话，你发现这个就没用了，你要把它擦掉，最后的话，我们中考呈现出来的也是最清爽的一个答案。好，接下来第三个 说，要去在 b d 上找到一个点锯，使得 c g 和 a e 是 平行的，那么你想啊，能连的 a 点， b 点和 d 点都连完了，那你只只能干嘛？只能连 ac 吧。对，毫无疑问的是吧，这里有个焦点。好，这个焦点连完以后的话，那么我们想哈，哎，我想一下，这个 c 一 好像也可以连，对不对？好， c 一 连的话要不要延长，反正我延长试一下看，没关系的，对吧？好， a 一 的话也可以延长， 对不对？好，那么还能连什么点呢？哎，这个点跟他一连是吧？好，那像，比如说像这个点 好，但是你看好他要找到 c g 和 a e 的， 这个叫做平行线，你发现这样连的话没有用，但是同学们请看，我这里还有个没连呢，哪个点？你看 我把这个一连好，当然这个的话还是要连清楚一点哈，怕有的同学看不清楚。你看， 哎，我这样一连，你看，再这样一连，这个的话就很像了，对不对？ 所以当然老师教的这个方法哈，只是针对无刻度纸作图，确实比较薄落的， 但是呢，又没有任何的思路，每次都是乱猜或者乱写，甚至的话，我们同学的话就是还去再去做垂直这种的，那肯定不行的，所以这种方法哈，忙而不乱，送给大家，也希望大家在中考的时候哎，能够稳稳的拿下这六分。

各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年部分区一模的十八题，这个小题呢，可以说是我们今年一模题中最难的一道十八题， 我们来给大家分享一下。题目中的第一个关键条件是 c 点为格点。第二个条件 a、 b 为直径。 靠这个条件呢，我们可以首先得到 a、 c， b 应该等于九十度。另外呢，我们还可以靠这个条件找到圆心，还给了两个长度， ab 等于五， bc 等于根号十九。 由此我们能根据勾股定律求出来 a、 c 的 长度应该等于根号六。我们主要看一下第二小问，第二小问中要求的是过 c 点， 也就是我们这个格点做圆 o 的 一条切线，而且将来与 b、 a 的 延长线交于一点 p。 我 们首先呢，先来解决第一个问题，找圆心。我们现在已经有 ab 这一条直径，我们现在需要靠 c 这个格点再找出一条直径。 比较容易的找法就是从格点 c 横平竖直找与圆的交点。这两个点不妨取名叫 d 点和 e 点， 然后连接 d、 e， 此时组成了另外一条直径，我们会和 ab 产生一个交点，这个交点就是我们的 o 点。下边呢，我们来看第二步， 我们需要先画出来切线的草图。首先呢，我们观察现在我们要干的事情是做一条垂线，我们这条垂线将来的屁点与 b、 a 和这条切线有关系。 如果想要找到 p 点，就需要 b、 a 以及切线。现在 b、 a 已经解决了，那就看这条切线有几个方面可能构造出来。这个题的第一条思考路径就是观察一下我们这个切线 与 b a 延长线所形成的直角三角形有什么特殊的关系？首先呢，我们观察一下这里面会不会出来，比如说等边三角形这样的特殊的关系，毕竟题目中给了两边的长度， 我们算了一下，半径呢，应该等于二分之五，而我们的 o c 和 a c 呢，这两个长度一个等二分之五， 一个等根号六，很明显他并不是我们的等边三角形，所以这条路呢，可能就不好弄了，因为带着五理数找比例关系也比较困难， 所以我们来看第二条路。第二条路呢，我们可以考虑这里边有一个放歪的直角，我们可以考虑一下一线三垂直相似， 或者是找更大的直角三角形。但是主体思路呢，我们看看这条路能不能行得通。现在有一个困难，就是 o 点到达 c 这条边，它的长度不可求，但半径性的是有的， 所以呢，这条路的正切值不方便求解，这条路也行不通。刚刚两条思路呢，都没有解出来，所以这个小题呢，用常规办法确实很难解出来， 所以我们今天给大家分享答案中所给的这套利用一线三垂直全等的思路。 首先呢，我们看到题目中 oc 呢与隔线有一个焦点，这个焦点呢和将来我们做完的垂线这个焦点会形成一个一线三垂直的全等模型。 那么这个题的主体思路呢，就是将这个全等三角形构造出来，但是构造的技巧非常的巧妙，我们今天给大家分享一下。 我们现在先将题目中无关的线先去掉，我们现在把需要证明的东西给画出来。首先我们把这个点暂时取名叫 f 点， 我们现在把将来要构造的垂线这个点取名叫这点。我们的办法呢是将其中这条长度 通过我们的背长中线转移到另外一侧去。借助题目中所给格点，很容易能看出来这里会产生一对全档，那么我们现在已经将这条边 x 转移到这个位置来。 如果我们能证明这个长度也是 x 的 话，那么我们就可以认定这是一个一线三垂直全等，进而就能得到它确实是垂直关系。 那么我们如何证明这个边也是 x 呢？我们先把这个 x 去掉，我们用到的是正方形中非常基础的对角线全等模型， 我们联记一下，这个正方形中的对角线此时与这条边产生一个焦点， 我们只需要通过我们的对称圈等，这个线如果和这条边相连，那么这两个边就相等了。同理， 如果这个边和这边相连，也会产生一个全等，所以我们的办法是考虑构造这么一个对称全等，就能将 x 移到它相邻的位置来。 所以我们准备连接我们左上的顶点与焦点并连线，此时呢会得到这个三角形与这个三角形的全等， 也就完成了我们转移 x 的 这个目的。最终就可以得到这个小短边和这个小短边是等长的，自然就能挣出来两个三角形全等， 此时我们就可以得到他们是互相垂直的，甚至我们可以推而广之，任何一个已知格点出发的线都能做出他的垂线来。 这是一个拓宽我们思路的好题型，我们刚刚的圆心把它复原一下，然后呢，我们现在要连接一下半径，并取与第一个隔线的焦点，我们取名叫 f， 现在呢，我们将延长 f 和这个焦点，这个焦点叫这点连接 f， j 并延长，此时就能出现我们所谓的倍长中线。 那么这条线呢，我们需要把另外一个对角线先连上，这条线就是正方形对角线全等模型的那条线，此时产生一个焦点，这个焦点我们取名叫做 h 点， 然后再连接我们的左上角点和 h 点，并延长，与隔线产生焦点，我们暂时取名 i 点和这点。 最后呢，我们连接一下 c 点和这点并延长，此时就是与半径互相垂直的线，然后我们再把 b a 延长，产生一个焦点，这个焦点即为 p 点。好，我们现在将具体过程描述一下， 这个点呢，我们取名叫做 k 点。第二步，画出切线，这个切线呢，我们用了一个倍长中线，加上一个正方形的对角线全等模型，这个题呢，也可以用相似来证明，但是不如我们这个全等的思路好听懂， 所以在这呢，我就不给大家展示如何用相似来证明这个结论了。好了，我们现在来把简单的描述说一下。这题的第一步呢，应该是取圆与隔线焦点地点和 e 点， 然后连接我们的 d 交 ab 于 o 点。这句话呢，得到我们原心。第二句话，我们来取我们的 f 点，连接 c、 o 与隔线交于 f。 然后呢，我们再取隔点大 j 和 i 点， d 点， k 点这几个隔点，然后我们现在开始连，首先是连接 f， j 并延长交 d、 k 于 h 点，再连接我们的 i、 h， 并延长交隔线于这点。最后呢，我们需要连接 c、 g， 并延长交 b、 a 延长线于 p 点，即为所求。好，这就是我们这个十八题的过程。

邪修吧，吃亏作图。今天呢来给大家讲一个吃亏作图的邪修大法，咱就记住两个字啊，看好了，这两个字叫什么呢？菱形， 你只要记住菱形两个字，那你就可以解决我们市面上百分之九十五以上的吃亏作图了，因为初中数学吃亏作图，真的真的真的真的都是在搞零钱啊，不能多说了。 那么首先呢，我们先来看第一类，第一类呢就是去做一个角平分线，那你要做一个已知角的角平分线的话呢，你一个圆规踩在这， 然后呢丢丢划一道，接下来你是不是脚踩这，然后呢大于二分之一这个长，哎，反正就你选长一点， 然后为半径画圆， do 踩在这儿 do 画一下，是不是这道理？我们来 do 一下啊，踩在这儿画一下，踩在这儿画一下。好的，那这个点呢，就是我们角平分线上的点了， 把它一连角平分线呢就出来了。好的，那你仔细来想一下，它是不是就是在构造一个类菱形啊？只不过呢，如果我确定就这个长度跟这个长度一样的话， 那么他跟他相等，他跟他也相等，他跟他也相等，那么这时候这个东西是不就是成了一个菱形了？只不过呢，这里不需要是菱形，只要他跟他相等，他跟他相等就行，但是呢，你看用菱形也能做 好，这没什么大不了的啊。那接下来呢，我们再来看一个也没什么大不了的，就是做垂直平分线，做中垂线，这咱也会，比如说做这个已知线段的中垂线，那这个中垂线的话呢，我们就首先脚踩这，然后大于二分之一这个长为半径，丢一下，就在这丢 一下，同样的这个圆规脚踩这，然后呢，同样的长度为半径，在这丢一下，在这丢一下。 好的，那么这时候呢，我们就找到了这个焦点，然后一连，这就是垂直平分线， sorry， i'll。 可能画的没有那么标准，意会一下就行了。 好，这时候你也是把它连起来，你会发现这实际上是一个什么东西啊？本质上就是一个菱形吧，你是不是就在做菱形？只不过这里用的什么菱形的对角线互相垂直且平分吧。好了，这些都没什么特别的啊，特别的是什么呢？ 特别的是做过已知点去做已知线段的平行线，或者呢，过已知点去做已知线段的 垂线。这个呢，有点难，很多同学都不会，是吧，但实际上呢，你只要记住做的就是菱形就可以了。你比如说啊， 过这点做他的平行线，要怎么去做呢？你先想一下，菱形当中有平行啊，把这个一连，这个菱形大概得做成什么样呢？脑子里先画一下图，哦，大概得做成这样，这是一个菱形，那么这条线呢，就经过这个点，并且跟他平 平行了吧。那你脑子里有这样一个图景之后呢，接下来你就实践你这个菱形就好了，会不会画哦，那我可太会画了，那我先选这个长， ok， 然后呢，在这先丢一下 他，跟他相等，接着呢，踩住这个点，还是相同的长度，在这丢一下，踩住这个点，往这丢一下， ok， 他 们的交点，那就是这个菱形的 另外这个顶点了吧，你看这个菱形是不就画出来了？所以呢，尺规作图，尺规作图，尺是用来画直线的，而规呢，就是用来当刻度的，用来度量的， 那我度量的长度全是这个长度，那么这不就是四条边相等的四边形，他就是菱形吗？他是菱形做出来的话，那平行线也就有了呀。好的，接下来呢，我们再来看最后这一种啊，过一个点做已知线的垂线也就有了呀。好的，接下来呢，我们再来看最后这一种啊，过一个点做已知线的垂线。 哎，那这个的话呢，感觉有一点点难，因为我们只会做垂直平分线，我们不会做垂线，这你脑子里都是菱形，你想一下，那要是要做出来的话，这个菱形大概是个什么样呢？这肯定是菱形的对角线了，因为菱形对角线里面才会出现垂直，接下来呢，这个菱形我给他补起来。哦，大概就是这样的， 所以呢，我得先选一个这个长，这个长度呢，真的也是随便选的啊，比如说我就选这个长度，可不可以？ 可以，哎，我选这个长度可不可以？只要不选这个垂线段的长度就行。选垂线段做不出来菱形，那么我就选这个长度，然后呢，选好这个长度之后，量一下，用圆规量一下，然后在这里再丢一下，相同的长度地方丢一下。 好的，那这个菱形的下半部分呢，我们要给他做出来，踩住它还是相同的长度，丢一下，踩住它还是相同的长度，丢一下，这里丢一下，这里丢一下，然后就找到了这个点。那么现在你会发现呢，如果我们把它们都连起来的话，那么此时这样一个菱形是不就构造好了？ 所以呢，经过这个点做他的垂线，这个垂线是不就有了？哎，所以说呢，过一点做已知线段的平行线也好，做已知线段的垂线也 好，全都是在干嘛？构造菱形，哎，菱形真的上大分啊，持规作图绝对上分。

尺规做图其实是很能锻炼和提升我们几何思维，也是最容易被忽视的一个知识点。这道过圆外一点做圆的切线的题，不知道你会不会做？首先我们想要做切线最关键的性质一定要记住，圆心和切点连起来， 一定和切线互相垂直，是九十度直角。但现在最大的问题，这个圆根本没有圆心，没有圆心我们就找不到半径。所以第一步我们必须先用尺规作图，先把这个圆的圆心找出来，我们在圆上随便画两条不平行的弦中垂线的做法大家还记得吧？圆规在弦的两个端点上面先画两段弧， 然后在下面再画两道弧，那么上下两道弧的交点一连就是这条弦的垂直平分线，两条弦都做出它的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点就是我们要找到圆心，圆心找好了，我们再继续往下思考。 我们先假设已经有一条直线和这个圆相切了，那按照切线的性质，圆心连接切点一定形成九十度的直角。那我们要怎么才能精准找到这个直角的位置？ 用到一个核心定律，就是直径所对的圆周角一定是九十度。所以这个时候我们只需要把圆心 o 和圆外这一点 a 用线段连起来，用同样的方法找到这条线段的中点，以这个中点为圆心， 这条线段为直径，画一个辅助圆出来，这个辅助圆和原来的圆相交的地方，你看是不是就是我们要找的切点？我们把这个点和圆心 o 连起来，再把它和圆外的点 a 连起来，这个角一定等于九十度，因为他在这个辅助圆当中是直径所对的圆周角。而在原来的圆当中， 圆心与这个焦点相连的这条半径垂直于这条直线，所以这个点就是我们要找到切点，你发现没有，这边还有一个焦点，我们把圆心和它相连，同样也是半径垂直于这条直线，因为这里也是直径所在的圆周角等于九十度。所以用这个方法我们不止可以画一条切线， 实际上可以画出两条切线。最后我们只需要用直尺把圆外那一点和其中一个切点相连，就可以稳稳把分拿到手。

今天我们来讲一下中考当中无刻度直尺作图的基本考法，总共给大家讲七种类型。第一个做中线，如图，我们要做中线 c、 d， 那 就是取 ab 的 中点，那我们可以把 ab 所在的这个矩形的另一条对角线连出来，两条对角线的交点 d 就是 中点， 然后再连接 c、 d 即可。或者是我们直接连接这个小格子的对角线，那么这个焦点 d 也是中点，然后连接这个 c、 d。 第二个我们看做角平分线，如图，我们来做角 abc 的 平分线。通过第一个例子，我们知道做中线是非常简单的，而等腰三角形的底边上的中线和顶角的平分线是合一的，所以这时候我们可以考虑 以角 b 为顶角，就是把三角形 abc 给它变形成一个等腰三角形， 那就是使得角 b 的 两个邻边是相等的，那么这个 ab 的 长呢？它是三乘四的这个直角三角形的斜边，所以这个斜边长是五，而 bc 的 长度是四，所以我们只要把 bc 往前再延长一个， 延长到这个 d 点，这时候 b、 d 的 长度也是五，然后再连接 a、 d， 那 么此时 a、 b、 d 就是 一个等腰三角形了。 a、 d 是 底边，那我们取底边上的中点，这里就直接取到是这个 e 点，然后再连接 b、 e， 那 么这个 b、 e 就是 角 abc 的 平分线。第三个我们看做垂线，如图，我们做 a、 d 垂直 bc 交 bc 于点 d， 那 么这时候我们只要过 a 点去做一条和 bc 等长的线段即可。因为 bc 它是这样一乘五的这个直角三角形的斜边，那我们只要过 a 点，也去做一个一乘五的直角三角形的斜边， 但是这样的线段有很多，比如说这样是的，然后这样也是的，那你可以观察一下到底是哪一条是和 b、 c 垂直的，那显然是我们做的这条 a、 e， 它和 b、 c 等长，并且是垂直 ab 的。 那有的同学可能会问，为什么这样做一定是垂直的？这个理由很简单， a、 e， 它也是这个一乘五的这个三角形的对角线。那么图中这两个虚线画出来的三角形应该是全等的， 那么角 b， 它就等于角 e， 我 们假设这个角 e 是 阿尔法，角 b 是 阿尔法，那么这里是九十度，所以这个角它就是九十度减阿尔法，九十度减阿尔法加这个阿尔法又等于九十度，所以这个地方就是九十度。 所以我们过一个点做这个已知线段的垂线，我们只要过这个点做一条和它等长的线段即可。 第四个我们来看做中垂线，如图，我们做 a、 b 的 中垂线，我们知道一条线段，它的中垂线肯定是经过这个线段中点的，那我们只要再去找一个点到这个 a 到 b 的 距离相等，然后再把这个点和 o 连起来，这就是中垂线了。 那要找到这个点的话，我们可以以 ab 为边做一个正方形，正方形的这个对角线交点到 a 到 b 距离相等。或者是我们直接以 ab 为边做一个正方形，然后把正方形另外一个边的这个中点取到，然后跟 o 连起来，这也是 ab 的 中垂线。 如图，我们以 ab 为边，先来构造一个正方形，然后再去取 ab 的 中点，这里直接能看出来是这个 c 点，然后再把 ab 对 边的中点找到 d 点，再连接这个 cd 并延长，那么这个就是 ab 的 中垂线， 或者是将这个对角线连起来，那么这个交点 o 跟 c 连起来 就是 ab 的 中垂线，那么有时候可能这个格子画正方形画不下，那我们这里可以构造一个等腰直角三角形，以 ab 作为这个直角边， 然后去做出一个等腰直角三角形，那么这个角 b、 a、 c 是 九十度，然后我们取这个 ab 的 中点 d， 然后这时候如果你这个中垂线做出来的话，它这个跟 b、 c 的 这个焦点应该也是中点，所以我们这时候就直接取 b、 c 的 中点，那就是把这个对角线连一下， 然后这个 e 点是 b、 c 的 这个中点，然后将这个 d e 连起来并延长， 那么这个 d e 就是 ab 的 中垂线。然后还有第三个方法，我们可以先去做一条和这个 ab 垂直的线段，比如说这里过 a 点去做一条和 ab 等长的，然后垂直 ab 的 线段，然后把 ab 的 中点找到地点， 接下来我们只要将这个 a、 c 这条线段平移到经过这个地点的位置，这样就可以确定出 ab 的 中垂线了。 那么假设 a 点平移到 d 点的位置，那是向下平移两格，向左平移了半格，那么 c 点也向下平移两格，向左平移半格，但是这个半格这个地方我们不能用，直接用尺子得出来，所以我们可以连一下这个对角线， 把这个中点找到，那么 c 的 对应点就是这个 e， 然后再连接 d 并延长，这个就是 ab 的 中垂线。 第五个我们看做点关于直线的对称点，如图，我们做点 a， 关于 bc 的 对称点 a 撇，我们知道对称点它是要过 a 点先做 bc 的 这个垂线， 然后 a 到这个 bc 的 距离和这个对称点到 bc 的 这个距离应该是相等的，这样才能确定出这个对称点 a 撇， 那我们先过 a 点来做垂线，就是过 a 点做一条和 bc 等长的线，这个 bc 它是一乘四的这个三角形的对角线，那我们这个 a 点也往 bc 垂直的这个方向去画一条 和 bc 等长的线段 a d， 然后我们再去找到一个 a 撇时的 a 撇到这个 bc 的 距离和 a 到 bc 的 这个距离相等， 这时候可以利用平行线之间的距离处处相等来画。我们可以过这个 a 点去画一条线，它和 bc 平行，因为这个 b 点它到 a 点的位置相当于是向上两格，向右一格，那么这个 c 点也向上两格，向右一格。我们确定出这样一个点， e 连接这个 a e， 那 么 a e 到 b c 的 位置就是向左一格，向下两格。然后接下来我们再把 b c 也向右一格，向下两格，这时候 b 的 对应点就是 fc 的 对应点就是 g， 然后再把这个 f g 连起来， 这时候 f g 和 a d 的 这个交点就是 a 撇。第六个，我们看一下这个比例分割， 假设让我们在 a b 上去取一点 p， 使得 a p 比 b p 等于二比三，那么这时候就利用八字相似来实现。这个 a 点呢，它向左 画两格，然后 b 呢向右画三格，然后再把这两点连起来，这样得到的两个三角形的相似比就是二比三，然后这个交点就是我们要找的 p 点。 最后一个我们看作等角，比如说让我们在 p q 上去取一点 m， 然后使得角 a m p 等于角 b m q， 那 这里实际上就是相当于是光的反射，这个入射角要等于反射角， 那我们先做 a 点，关于这个 p q 的 对称点 a 撇，然后再连接 a 撇 b a 撇 b 和 p q 的 交点就是 m， 然后再连接 am， 这时候角 a m p， 它是等于角 a p m p 的， 角 a p m p 又等于角 b m q， 所以 这样的话，角 am p 就 等于角 b m q 了。 好，那么以上就是我们讲的无刻度直尺作图的七种基本考法了。

初中的尺规作图题看起来是在考五种基本尺规作图，它其实是对于初中所有的图形性质 判定的极致考验。判定包括相似判定、全等判定。性质包包括矩形判定，菱形判定、正方形判定， 呃，等腰直角三角形判定，这些全部都包括。然后性质包括角平分线性质，垂直平分线性质，矩形、菱形、正方形等腰直角三角形等边三角形， 这些相似的两个三角形，全等两个三角形的性质的极致考验包括四十五度角直角三角形的性质的极致考验，包括四十五度角一比二比根号三， 三十度角的一比二比刚好三的极致考验。你看这道题要求做相似，做这个，在这个矩形中找到 a、 c 上一点 p， 使它相似。首先要知道这个 p 相似的给了之后，他这个 p 点对应就是 b 点， d 点对应就 a 点， 那这个 b 点是不是对应的这个 p 点就得是直角？你是不是必须对于相似三角形的性质搞明白，它是对应点，你才能知道？在这上面要做一个直角，那做一个直角是不是过直线外一点做已知直线的垂线？ 然后呢？这个 a 点和 c 点是对应的，你看 a 点和 c 点刚好是等角，对吧？那这个有一个九十度是不是就相似了？是不是对相似的性质的考验？下面这个做一个矩形，做一个矩形是不是对矩形性质的考验？矩形性质是什么？ 四条边的关系是什么？对边平行且相等且是直角，对不对？所以他的做法是不是做垂线？做垂线完了之后，跟上面做垂线是一样一模一样的，过直线外一点做垂线，然后截取等线段，因为你要依据他对边相等 是不对矩形性质的考验。好看在这做菱形，做菱形，而且还有个六十度的菱形，有一个六十度的菱形的话，你先画出一个菱形，如果这是六十度连接他的对角线之后就会出现， 因为离边相等出现等边三角形，等边三角形具有三线合一，三线合一之后是不是可以确定这个点的位置，然后因为菱形的性质是 对角线互相垂直，是不是在做这个垂线就可以垂直平分线就可以好做了一个垂线，做了一个垂直平分线。这三个题最主要的一个共同点是不是都是做了什么？做了过直线外一点做已知直线的垂线是不是所以吃亏？做图是真的 倒逼你要去把初中所有的图形性质判定搞明白的一个很好的题目。

应一位家长的要求啊，给大家说说中考数学做图题，我会用最贴近中考实战的方式，把各地的主流考法题型、形式、解析的关键，结合一些中考真题，一次性给大家讲清楚。 全国各地中考做图题有三大类考法，分别是尺规做图、格点做图、无刻度尺做图。 我要说的是在我多年的教学初中数学的过程中总结出来的适合各类做图题的方法是， 先按照题目的要求，在草稿纸或是备用图上面把题目要求做的大致图形给画出来， 然后再去分析思考如何做才能得到这样的图形。最关键的还是要熟练掌握几何图形的性质和判定方法。下面就具体给大家说一说这三类考法。第一，尺规作图 主要的考法形式，第一啊，直接做图，做角的平分线啊，线段垂直平分线，过一点做垂线，平行线做全等三角形，做特殊三角形，包括等腰三角形啊，等边三角形，直角三角形 做圆的，切线做三角形的外接圆和内切圆等等。第二，先计算或证明，再作图。 给出图形的边长、角度等条件，先求出一些相关的数据或是推理过程，再用尺规画出图形。 三、作图和计算证明相结合，用尺规按要求画出图形后，求线段的长度、图形的面积以及图形的相似和全等，还有相关的梳理证明。尺规作图的解析关键在于 第一点，必须保留作图痕迹，这是得分点，如果擦掉了就会扣分，甚至不得分。 二、严格按尺规作图的要求，用圆规和无刻度尺作图，不能量线段长度和角的度数。三、熟记五种基本作图， 并能熟练的画出来。你记住，不管多么复杂的尺规作图体都是他们的组合。 四、要求写出作图过程的语言要规范。即使没有要求，写出作图过程，也一定要写出结论性的语言，也就是如图，就是题目所要求的图形。 第二，格点作图常考的形式有，平移、旋转、轴对称、中心对称、相似三角形、面积固定的图形 找特殊点啊，比如直角、顶点、线段的中点等，腰三角形的顶点角平分线上的点等等。 格点作图的关键点是大家要熟悉图形的特征，巧妙的应用格点的特征和图形的特点进行作图。 比如找格点中线段的中点，就需要借助矩形对角线互相平分的性质，利用相关性质做平行、垂直旋转以及求面积等等。 第三，无刻度支持作图。这是这三类作图题中相对来说难一点，建立在格点作图的基础之上， 常考察的形式只给一把无刻度的直尺，在特殊四边形和圆中做中点，做平行线，做垂线，找角的平行线，做圆的圆形和切线等。 用平行四边形的对角线找中点，矩形、菱形的对角线找中点做垂直 等。腰三角形三线合一可以做角形边线、三角形的高线，也就是做垂直，还有线段的中点，在圆当中利用直径所对的圆周角可以做直角，利用圆的性质找圆心等等。 比较起来啊，尺规作图相对简单，属于基础题，送分题。格点作图属于中档题，需要对相关图形的性质和判定熟练掌握。最难的 是用无刻度的直尺做图，对灵活运用几何知识的要求更高。最后叮嘱大家一句，你要想中考做图题拿满分，除了平时把几何图形学的非常熟练，还要去更多的练习，在平时练习中找方法， 不要所有的题目都等老师给你方法，要在平时的练习中自己总结方法，做到见多识广，熟能生巧。

hello， 大家好，我是初中数学李老师，二六中考百日冲刺打卡啊！我们来到了第五十五天， 那今天呢，我们来看尺规作图的一个综合题啊，如图，四边形 a， b， c、 d， 请用尺规作图呢，在内部找一点 p， 使得 p b 等于 p c， 哎，我发现我假设取到这了，对吧？ p b 等于 p c 呢？这个 p 点在什么上？在 b c 的 钟垂线上，所以这句话其实就是做 b c 钟垂线 啊，好，继续看啊，且角 pcb pcb 等于角 abp。 哎，等会啊，这个我们再来研究一下什么意思？ p 在 这 pcb 这个角，对吧？等于角 abp 等于这个角， 这两个角怎么相等呀？我们要思考这个地方要花时间思考。首先 p b 等于 pc 没问题吧？ p b 等于 pc 等边对等角，那这两个角是不是就相等 这两个角相等？现在要这两个角相等，是不是要求的是这两个角相等就够了？而这两个角相等其实做的是什么线？角平分线看到了没？所以这道题其实在这要做的是角臂的角平分线， 看明白了吗？所以来这个题已经结束了啊，剩下的就是操作了，对吧？第一步，做 b c 中垂，第二步，做角 b 角平分线就好了啊，来，我们先做中垂过 b 点哎，大于二分之一， 这个为半径画弧画弧，对吧，交于两点来。已连接好中垂线做完了啊，接下来做角平分线啊，以 b 为圆心啊，大于二分之一， b 为半径，对吧？啊，这个半径其实随便取了，对吧？我画弧就好了，对吧？然后啊，以它为圆心，大于二分之一，这个长为半径，对吧？画弧啊， 画弧啊，同样的，以这个为圆心画弧啊，然后一连接好了，这两条直线交于一点，这一点就是我们的 p 点，对不对？哎，这道题我们就结束了啊。最后呢，你可以把 p b、 p c 连接起来，哎，就好了。好，那么关于这道题咱们就。

hello， 同学们，大家好，我是初中数学李老师，二六中考百日冲刺打卡啊！我们来到了第五十四天啊， 呃，今天呢，我们进入到了尺规做图的环节啊，这种题呢，一般中考里边会考到五到六分啊，这种题是一定一定要拿分的啊，是必得项。因此呢，咱们把三种常见辅助线的呃，这个尺规做图的做法啊，全部都讲清楚，来。第一种，我们来看尺规，去做钟垂线。 首先你得去辨认这道题到底它做的是不是中垂线啊。我们来看如图，三角形 a、 b、 c 是 锐角。三角形只会做图做一个圆 b 啥意思？就是以 b 为圆心啊，使它与 a、 c 相切于点 e。 注意，你随便先做一个看， 如果我做出来这个圆，它和 a、 c 相切于点 e， 这个点就是切切点 e， 对 吧？切点是什么特征呢？连接 b e 这个地方一定是直角，所以这道题怎么做出这个圆来？注意是怎么做出这个圆来哎，就是只要你过 b 点，你做出来了垂直于 a、 c 的 一条直线，那这个交点就是 e 嘛， 对吧，没问题吧。所以这道题的本质就是如何去做出过 b 点来，过 b 点，呃，垂直于 a、 c 的 这条垂线啊。那注意，一旦有了垂字，你百分之百想出垂线，这是我们初中 这个尺规作图阶段哎，能够用到的唯一的能够做出垂直的东西，对不对？哎，所以肯定要做中垂线。怎么做中垂线呢？你得先取好两点，怎么取来以 b 为圆心啊，因为我们要做的是圆 b 嘛，然后大，呃呃，大于这个， 哎，就只要比这一段长大就行了啊，这个你自己品啊，比如说我拿圆规看，哎 哎，好，只要是比呃 b、 e 的 长长就行了，对吧？然后画一段圆弧，正好呢，要与 a、 c 交于两点啊？交于两点，然后分别以这两个点为圆心，哎， 呃，大于它的一半为半径，画弧，画弧，哎，又交于一点，对吧？好了，这个点一旦取出来，你连接 b 和这个点， 标于 a、 c 于一点，这个焦点你直接标 e 就 好了。那这一定就是钟垂线了，对吧？好，钟垂线这个垂直已经做出来了，那最后一步就是以 b 为 b 为圆心， b 为半径来直接做出这个圆，这道题就结束了啊，这就是我们使规作图解决这类问题的一个思路啊。

同学们大家好，我是初中数学李老师，二六中考百日冲刺打卡！我们来到了第五十五天啊，那今天呢，我们来看尺规作图去做什么线？平行线啊， 如图，直线 a、 b 和 c、 d 呢？相交于点 o p 点，它是直线 a、 b 上一点，它不与 o 重合。请用尺规作图的方法做等腰三角形 o p q， o p q 啊，使得 p q 是 平行于 cd 的， 保留作图痕迹啊。呃， a、 b， c、 d 相交于点 o o 点有了， p 点是任意这个 ab 上一点啊，有了。 用尺规作图，做一个等腰，注意，要做的是等腰啊，使得 p q 是 平行于 cd 的。 呃， p q 是 平行于 cd 的 话， 嗯，那我们先把这个平行线做出来，对吧？啊？怎么做平行线呢？其实就是同位角相等，两只线平行嘛。因此呢，做一个相同的平同位角就够了，对吧？ 以 o 为圆心啊，以 o 为圆心，任意长为半径画弧来。同样的，以 p 为圆心，相同半径长为，呃，为半径画弧。那么同样的道理，以它为圆心哎，同样的长度为 半径画弧。然后呢？连接起来。好了，现在我们的这条 p q 这条线就出来了啊，平行线就出来了。平行线一旦出来之后呢，你这个时候要思考一下，等腰三角形，到底谁是腰，对吧？三角形 o p q， 它有可能是 o p q 等于 o q， 对 吧？也有可能是 p o p q 等于 q p 对不对？三种情况，你分别讨论一下。 o p 等于 o q 的 情况下， o p 在 这儿，对吧？ o q， 那 你就以 o p 为圆心啊， o p 为圆心，呃，以 o 为圆心， o p 为半径，对吧？画弧啊，应应该是在这儿有一个交点啊，所以第一个 q 点就出来了啊， 我们写成 q。 一 来同样的道理看一下， p q p q 等于 p o p o p q， 哎，那你就以 o 为圆心， p 为圆心， p o 长为半径画弧，哎，立刻就能交出两个点，对吧？ q q 二， 呃 q 三，哎，两个点就出来了。最后一个叫 q o 等于 q p， 呃， q o 等于 q p 的 话，那说明是 o p 的 什么线？ 中垂线啊，所以直接做出 o p 的 中垂线交于一点。哎，这个就是咱们的 q 四点啊。所以这道题有四个点啊，难度还是比较大的啊，难度比较大，然后呢，你把这四个点通通做出来，哎，就 ok 了。好，这道题咱们就说到这了。

这是书本上没有的尺规做图做法啊，但是呢，你一下子就会了吧，今天教大家尺规做图的邪修做法啊。那我们说到尺规做图呢，初中数学主要就是两大类，一类呢就是做某一个角的角平分线， 一个呢就是做已知线段的垂直平分线。但是呢，你有没有想过这样一个问题啊？就所有的尺规作图，其实本质上都是在做什么呢？在做菱形，为什么说都是在做菱形啊？那我们先来看一看菱形是个什么东西啊？就是你画一个菱形出来的话， 那这个菱形里面首先自带了什么？自带了平行，同时呢菱形我们把对角线给它连接起来，这时候菱形的对角线是互相垂直，并且还互相平分的， 所以呢，菱形里面会出垂直平分线，也就是有垂线还有平行，然后同时呢也有角平分线吧，那我们来做一个角的角平分线的话，那你把这个菱形摆上去，你觉得应该摆在什么样的位置呢？比如说我放在这，然后呢这里这里这样子 做一个菱形，然后呢把它这么一连角平分线就出来了，实际上你去做角平分线也差不多就是这个路子，对吧？我脚踩在这，然后呢圆规在这划一道，在这划一道，然后再用这个相同的长度往这划一道，往这划一道，一连 角平分线就出来了，接下来呢，我们去做这个线段的垂直平分线也是一样的，你就想菱形往哪里摆，这个一定是菱形的什么一条对角线吧，所以呢，这个菱形应该是这样摆的吧？ 哎，你只要把这个菱形的影子想到了，那么这个垂直平分线你就绝对能记住了，怎么整？脚踩这，对吧，圆规在这画一道，然后呢在这画一道，脚踩这同样的长度，这样画一道，这样画一道，然后把这两个点给他 这么一连，那么垂直平分线呢就出来了吧，当然这两个呢都是基础的，你就算不系菱形，你也能记住它是怎么做的。接下来我们来看两个比较难的， 就是过一点做已知线段的平行线，以及过一点做已知线段的垂线。好，首先呢，我们在这里过一点去做已知线段的平行线，那你要做平行线的话呢，脑子里也在想这个菱形应该摆在哪？咱把这个菱形， 嗯，拎上去，拎上去之后，脑子里有菱形的同学告诉我菱形在哪，是不是这样的这样一连，然后呢这里 这样，你脑子里画出来这样一个菱形的图形了吗？如果你画出来的话，那你就实现它就可以了，比如说选的就是这个点，先给他 大概就这么长度量一下，接下来呢，我在这是不也要量一个相同的长度，接着呢，我在这再量一个相同的长度，踩着这个点再量一个相同的长度，然后我就找到了这个点，把它这么一连， 这时候呢过一点去做这条线的平行线就做出来了，这是书本上没有的，但是呢，你一下子就会了吧， 刚刚呢，我们做的是垂直平分线，不是过某一个点，现在我要求你过这一点去做这条线段的垂线，限制你了，必须这个垂线得经过它。我们先想一下啊，这个垂线一定是我们做出来菱形的，什么？ 一定是对角线，接下来这个菱形往哪里摆？脑子里有谱了吗？这是一条对角线，这个有点长，对吧？我不需要那么长，我到这就够了吧。这个菱形大概就是这么 摆在这，所以呢实现它画菱形，这个点到它的长度量一下，然后呢到它的长度量一下，找到了这两个点，这个点呢？还是相同的长度量一下，这个点相同长度量一下，找到了这个点，现在把它俩这么一连，这个垂线就做出来了吧。 所以所有的持规作图都是在做什么？做菱形，你只要把脑子里的菱形贴到你要画的这个图里去，然后呢就做四条边相等的这个菱形就搞定了。我是五一老师，关注我，带你逆袭中考数学。

中考里面有这样一个题，这个题很简单，但是呢这个错误率很高，就是这个耻归做头，而且呢有很多学生的话，这个其实小瞧这个题了 啊，觉得这个题很简单，不放在心上，但是恰恰这个题的话错误率非常高啊。那么我给大家说下这个题怎么做这个题呢？我们可以反着来推， 比方说你拿到这个题之后，那么你可以先用铅笔，你大概去标一标，去画一画，那么你最终比如说你要求一个线段大概在什么位置啊？那么你先把这个先去画出来， 然后的话这个时候你反着去推啊，看一下，如果说你要达到这个位置，或者你要去做这个线段，大概你要去做什么条件，比如说我要做一个等角，或者我要做个垂线等等 啊，你就很容易能得到，或者很容易能弄出来，你到底需要去画什么东西？其实无非呢就这几个情况，对吧？坐等角、做角，平衡线做垂线、做中垂线， 就这几个东西，有的时候如果说你正着去想，没有什么思路啊，你可以反着去推啊，你可以试试这个方法，那么这样的话这个题就很容易做出来。我们很多学生千万不要小瞧这个题的，十分非常多的。