天津初三数学二模攻略

天津二模数学必考三大模型，看完多拿十分！第一名，将军饮马模型，二十五题，压轴题，常课分值十分，说白了就是求最短路径问题。记住一个核心技巧，找对称点，化折为值百分之九十的孩子，丢分，不是不会，而是找错了对称轴， 或者是最后忘记验证，三点贡献拜拜丢分。第二名，手拉手模型，填空十七题的乘客分值三分。记住一个技巧啊，只要看到两个等腰三角形共顶点旋转，直接找全等三角形，不管是等边三角形还是等腰直角三角形，这个规律都通用，熟练掌握能十秒出答案。 第三名，瓜豆模型二十四题几何综合题的常客，只要考旋转，八九不离十。记住定点、定角、定比三个要素，主动点走什么轨迹，从动点就走什么轨迹。很多孩子觉得难，其实就是没有掌握这个核心规律， 整个整理好了！天津中考数学必考模型，包括知识讲解和经典例题，帮助大家二模前精准复习，高效拿分！领取防晒老样子，点点关注看评论！

南开区这次初三的二模数学卷有点太难了，但是题都很好，大家多关注这么几个题。哈喽大家好，我是紫萱老师，南开区的数学考完了，估计很多同学们都垂头丧气的走出考场，虽然题目难度略微有点高， 但是有这么几个题，大家多关注一下。十七题，这个题我感觉用相似去解会更快，但是我们天津这边呢，会弱化相似的考法，所以这个题呢，可以先放一放二十一题，这个圆，我相信如果听完老师讲解之后啊，大家肯定恍然大明白哦，这么简单，但是考试的时候没做出来是为什么呀？ 是因为他考的跟咱平时练的不一样，大家一定一定要注意，不是说我们平时考试，哪怕中考，一定会考特殊角度考个三六九， 所以多去看看这些不同的圆的题型，多去练习一下不同的求变长的技巧。最后就是这个二十四题了，非常好，这个题虽然改编自往年的中考，但是它的计算量啊，它的知识点分析啊，都挺好，尤其是第三问， 大家一定是给 s 求 t 的 题，永远做的不如给 t 求 s 好。 所以南开区啊，多看看它的圆，多看看它的二十四题，想冲最高分的同学们，南开一模二模的二十五题都要必做，这是我们比较新颖的几种构造方式。如果需要试卷讲解，大家多关注我们的直播间，进我们的粉丝群领取资料。

又出冲动点了！八六年新中考数学的方向啊！于是二模已经敲响了警钟，各区二模数学刚结束，河东与河西的十二题不约而同考的三角形冲动点，南开区也是冲动点。在此基础上呢，又额外结合了坐标系。再往前看，和平一模考的正方形的动点。 南开一模考了二五年中考的升级版动点，各区都在用冲动点拉开分叉预示很明显了，冲动点亦是今年中考十二题的大热门。 既然已成热门，那应该如何应对呢？很多中的生一听动点就害怕。其实做这类题，记住成都的四步口诀就够了。一找路径，二设贪，三看灵界四劣势。别管点怎么动，把它当成静止的看，找出它运动轨迹上的关键转折点，用带字母的代数式表示，切断床步， 最后找个直角或者是相似三角形，把方程套进去，分数自然就拿到手了。光听不练假法式。为了帮大家跨过这道坎啊，成哥总结了一个重点问题，保姆级通关攻略！最后四十天了，中等车还有空间领取方式，老样子，点点关注看评论，成哥带你从此通考！

好，我们先来看一下今天新出炉的和平中考二模数学第十七题 啊，在正方形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三大正方形变成二、三， 然后外面有一小正方形叫 d、 e、 f、 g， 边长是根号二，然后说这个小正方形的对角线 g、 e 延长，经过这个大正方形的顶点 c， 那 这条线呢？就把这个小正方形和大正方形这个相对的位置关系确定 啊。然后呢，第二问是求这个 b 连接 b、 e 的 中点， n 是 ab 的 中点，这倒不错啊，两边都是中点，那这个 m、 n 呢？显然就是这个三角形 a、 b、 e 的 中位线，那这个 m、 n 的 长呢？就是这个 a、 e 的 一半， 那把 a、 e 连上之后呢，他最后求的就是 m、 n 的 长，求出来个 a、 e， 然后 a、 e 的 除二就是这个 m、 n 的 长， 然后连完这个 a、 e 之后呢，这个大三角形，大正方形和小正方形呢，是共顶点 d 的， 这共顶点呢？这不就是手拉手全等吗？这个 a、 d、 e 就 和这个 c、 d、 g， 这是全等的，然后这个 a、 e 呢，就等于这个 c、 d， 那 我们求这个 c、 d 长就可以了。 其实 cd 呢，在这个 cd 这个三角形里面，已知条件是这个 c， 这个 cd 是 根号二，但是这个 e、 d 也是根号二， cd 呢是三。还有一条线，就是这个这个角，这个角是四十五度， 然后呢，我们求这个斜边 c、 j 这个长边 c、 j 的 长度，那求这个呢，就是减三角形的减三角形，减三角形。我们把这个三角形提出来， 这是 c， 这是那个 d， 这是那个 g， 说这个是四十五度， 这是根号二，这是三啊。当然对于这个来说呢，边边角，边边角，那不能确定一个为零三角形，那是边边角呢？有可能是这样的，他有可能是三，在这呢，他有可能是这样三角形。 当然对于这道题来说，对于这道题来说，这个角明显它就是个钝角，但它就是这个角形。对于这个角形呢，我们已知这三个角点求这个 c、 d 边怎么求呢？当然是围绕这个四十五度来做了，围绕四十五度来做，这都四十五度，都在这了。然后我们画垂线呗， 画垂线之后，那这个边长就是根号啊，不对，这是根号，这是根号出根号 啊，这是四十五度，这是画了垂线之后，这就是一，这也是一 啊，这都垂线了，这是三，这是一，这就是九减一，八开方二倍根号二，这个长度就是二倍，根号二加一，那它的一半就是根号二，加上二分之一。 最后答案就是根号二加二分之一。这期呢，这个涉及的知识点挺多的，也没有特别特别的技巧，大家把这个知识点记住了就可以了。

天津初三二模数学和平、南开、河西三区对比来了，整体上难度来讲，和平大于南开，大于河西。咱先看和平区，难度是三区里边最高的，比一模还难点，整体要超过中考了。第十二题的拱桥问题，结合了赛龙舟的相关考点，难度中等。 十七题综合考察中卫线定律、勾股定律，还考察了手拉手模型，难度稍微高一点啊。二十四题折叠问题，二十五题二次函数求最值，都有一定的。这套卷子特别适合什么样的孩子，适合那种中等偏上的孩子，冲刺拔高你练练手感，提高难度是非常合适的。 看难开局，整体的难度比较适中，不管是从题型还是难度都是严格对标。中考十二题双重点问题和二十五题的中考考相对应，十七题中规中矩，没有偏难，偏怪二十四题同样考察折叠，二十五题二次函数，第三问求最值，有一定的挑战性。这套卷子特别适合中等水平的考生去做一个考前诊断，查缺补漏，检验水平刚刚好。 最后在是河西区，整体比捷克考要稍稍那么难一点， 填空能用间歇法快速去秒杀。二十四题平移问题，考点常规中规中矩。二十五题二次函数，难度中等偏上，核心的卷子适合全体中等生，用来巩固基础，查缺补漏。以上三区二模的全部题目，完整的答案我都已经整理好了，想要的同学直接来找我领取。

好，咱们初三能开去，二模也考完了啊。呃，有不少同学说呢，呃，怎么比一模还难呢，心里有点没底，尤其二十一题啊，第二问，有的同学卡了很久，在我看来，中考用二十一题卡得分率的可能性不大啊，因为呢，百分之十的难题分值相对固定， 二十四、二十五的第八题的第二问，然后就是呢，十二或十七题有点难度啊，比如去年呢，就是十二题难，十七题相对简单。 但就这道题来说啊，就是说能开的这个 r e t， 你 说难吗？其实并不难啊。呃，你啊，要是会编刷熟了，很快就能看出来。咱们经常说第一步啊，我无脑连半精啊，咱们就观察，要求什么呢？看这个 e f 啊，你在这里头，关键你还是要体现一个什么呢，这个方程的思想啊， 哎，也就是说呢，在这个二十一题里边，经常会涉及到一些计算，对不对？哎，这个计算里边往往就体现了方程的思想。有的同学一看，这里头，哎，这个切线怎么没有了，跟之前的不一样了，这就不行了，对不对？在这里头，你是这样，对吧，你把这个 连上，连完了之后呢，你抓住 a f 和这个 e f 相等，把 a f 也表示出来啊，然后呢，这里边呢， a f 也是一个关于二的式子， e f 也是一个关于二的式子， 然后呢，同相等的两段线段啊，用不同的式子来表示，不就得一关于二的方程吗？你解这方程不就求出来了吗？其实这个方程的思想在以往的二十一题当中啊，往往都会用到，对吧？哎，这个咱先不细说啊，我们先来看这个，呃，二十五题啊， 啊，我们看这个二十五题啊，这个第一问呢，它是这样啊，把这个 abc 啊三个数都告诉咱了，对不对？都告诉咱的话呢，那么我们还是先来算一遍吧。啊，我写这个地方吧， 呃， y 呢，等于负 x 平方，加上二 x 加三，对吧？然后呢给它配成一个顶点式，就是这样，呃给它配成一个焦点式呢，就是这样 加上一对吧，所以这样的话呢，呃它求点 a 的 坐标，呃就是负一到零啊，求点 b 的 坐标，嗯 三到零啊，求 c 的 坐标啊，零到三，对吧？啊，这样的话呢就比较容易啊，比较容易。在这个我就不在这个动图里显示这个了啊，我这动图我先把它停一下啊， 哎好，接下来呢，我们来看这个第二问啊，那么这个第二个里边，哎，他去掉了这个里边这三个数，对不对？然后呢说呢， a 的 坐标负 m 到零啊， c 的 坐标是零到三 m， 对 吧？那么这两个呢相当于是， 呃，这不叫给了我们具体的数啊，给了我们用 m 来表示，而啊给了我们这个 b 用 n 来表示，对吧？那么这样的话呢，我们可以先把按照他说的这个把这个抛物线的解析式呢写成 y 等于啊 a 乘以 x 加上 m， 然后是 x 减 n， 对 吧？哎，这就体现了 焦点，是吗？对吧？哎，这个，呃点 a 的 坐标是这个点 b 的 坐标是这个，对吧？哎，然后呢再把零豆三 m 呢给它带进去啊，也就是说呢这个三 m 就 等于 a 乘以零加上 m， 然后这零减 n， 对 吧？ 然后对这个式子呢，我们解一下的话呢，就会得到这个 a 啊等于负的 n 分 之三，对吧？所以这样的话呢，这个解析式呢，你这样给它写出来的话，是 y 等于负的 n 分 之三，然后 x 加上 m， 然后 x 减去 n， 然后我们分别在这个信息始终存在的背景之下呢，哎，我们来处理圈一和圈二啊，这个圈一呢，实际上不是特别的困难啊。好，我把这个地方先取掉， 我们看啊，这个当 n 和 m 等等， m 等于三， n 等于六的时候啊，我们来看一下啊，我给你拖动到 m 等于三， 然后呢，这个 n 等于六啊，哎，呃，其实这个还是呃比较容易能看出来的，对吧？那么在这个里头呢，呃，大家可能觉得这个有点碍事，是吧？我写左边吧，把这个解解释啊，我往这个地方写一下啊， y 等于负的 n 分 之三， x 加上 m 啊， x 减 n， 对 吧？哎，那在这里头呢，呃，显然会有一个呃三垂直，对吧？哎，这个比较容易能够观察出来，因为什么呢？因为按他说的这个旋转，对吧？那么这个三角形 和呢，简单划一下，这个三角形啊，这地方这个垂足 啊，这个咱们比较熟练了啊，我都不愿意给，不，不用给它起名字，你起个名字也行啊，比如说叫这个 h， 对 吧？那么这两个三角形应该是什么呢？应该是全等的，对吧？那么当 m 等于三的时候，显然这段的长是三，对吧？哎，那么这段的长是多长呢？哎，这段的长是九，对吧？所以这段的长呢，肯定也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够 看得出来。这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，非常容易就能够看得出来，这个点 d 的 横坐标是多少呢？也是九，对吧？那么这样的话呢，这样的话呢，非常容易就能够看的出来，这个点 点 d 的 横坐标也是九，因为他是从外轴这开始算的，对吧？然后这段的是三，对吧？所以这样的话呢，他求这个 a 的 值，还有求线段 e f 的 长，那比较容易能够算出来，对吧？那么在这里头呢，这个点 d 的 坐标啊，刚才我们已经说了， 点 d 的 横横坐标，那就是九，对吧？纵坐标呢，就是六啊，九逗六，对吧？然后呢，按他说的，这个呢，点 a 的 也很容易能够求出来，为什么呢？因为在这里头啊， 我们已经知道了啊，这个 c 啊，在这里头它是九，对不对？它是九，如果 c 在 这里边是九的话呢，那我们就给它把这个数都带进去啊，都带进去的话呢，我们一下就能够求得出来这个 a 是 多少呢？ a 是 等于 负的二分之一，对吧？哎，因为在这里头的话，相当于这个，呃， n 就 等于六，对吧？哎，这个 n 等于六啊， 呃，因为这段对吧，和这段是不相等的吗？对吧？所以这个呢，我具体的过程我就不给大家说了啊，那么这样的话呢，呃， e f 的 长度可以由 f 的 坐标和点 e 的 坐标能够给它求得出来，对吧？那么这个 e f 呢，最后求出来长度是六， 对吧？ e f 的 长度是六，这个时候我们会发现这个 f 和这个九它的高度是一样的，对吧？它的高度是一样的啊， 下面我们着重呢来看一下啊。这个第二问啊这个第二问呢？可能有的同学这个，呃既没有出现我们以往熟悉的模型，是吧？哎 也呢没有。这个出现过我们什么线段的这个最小值啊之类的，他在这里头呢出了出现了一个什么呀线段的这个最大值啊。这个最大值是怎么处理呢？按照我们以往的说法啊，哎这个最大值好像得用什么二次函数的最大值，是吧？哎好，我们现在在里头来看一下啊， 现在呢，因为他说这个 m 等于三， n 等于六，这个在圈二里头不存在了，对吧？所以呢，哎，我给他稍微拖动一下啊，我给挪一下啊， 哎，我挪到别处去，也就是我故意让他不是这个三和六，对吧，那我们来看一看啊，来，但是在这里头我们要注意啊，呃刚才的这个三垂直还是怎么样的还是存在的，对吧？也就是说你如果在这个地方啊还要做一个垂线的话啊，还要做 垂线的话啊，那么这个地方的这个三垂直肯定还是有的，对吧？呃这个三角形，呃和这个 绿色的这个三角形我用两个不同的颜色来表示吧。啊，这个红色的三角形和这个绿色三角形全等还是有的啊，那么特别是在这里头我们要注意这段的长是多长啊？ 哎这段的长是负 m 啊，这个 m 啊，这个 a 的 坐标是负 m 啊，这段的长呢是 m， 对 吧？哎那么这段的长度是 m， 就是 这块的长啊，这个 o c， 那 还是三 m， 对 不对？所以这块的长呢？哎， 这就三 m， 对 吧？那么这块的长是三 m， 这块的长是 m 的 话，那我们就能够知道什么呢？我们就能够知道整个从这个点到这个点啊，它中间的这个就是 e f， e f 这条直线就应该是什么呢？就应该是 x 等于什么东西呢？你可以算一下，对吧？哎，因为这段是三 m， 这段是 m， 那 我们要是取一个平均数的话，相当于什么东西呢？哎，相当于，哎，这个平均数就可以是三 m， 减去一个 m， 对 吧？哎，然后再除以二啊，这个 x 就是 对称轴呢， 就是 x 等于 m， 对 吧？哎，就是 x 等于 m 啊，那么在这里头我们会看到哦，这个 m 和这个这是 m 啊，是关于原点怎么样呢？对称的，这两边是一样长的，对吧？这两边是一样长啊。好，接下去我们现在看啊， 注意这两条黄颜色的线啊，注意这两条黄颜色的线啊，这两个黄颜色的线相当于它是平行且相等的，同时这个点 m 还在哪？还在这个外轴上，对吧？那么为什么平行且线呢？因为他说这是平行四边形，对吧？那我们就利用平行且相等这件事啊，在这里头呢，我们要注意啊，有这样的两个三角形， 这个紫的，看好了吧，和这个紫的啊，对吧？哎， 这两个三角形是什么关系呢？它是全等的，对吧？哎，它是全等的啊，所以这样的话呢，我们可以给它表示成什么呢？哎，表示成这样啊。呃，这个点 b 的 横坐标啊，减去这个点 m 的 横坐标。就这段的长度啊，就这段的长度 应该等于这段的长度，对吧？啊，应该等于这段的长度啊，那可是这段的长度怎么表示呢？就这 ob 的 长度，这个 o b 的 长度等于什么呢？ o b 的 长度本身就等于 n 呐，对吧？因为点 b 的 坐标在这，对不对？那么我们再看这段的长度啊，这段的长度 啊，那这段的长度我们怎么给他来表示呢？因为这段的长度就刚才这个 h d， 就 这块是三 m， 对 不对？所以这块指的是什么呀？是二 m， 所以 我们得到一个非常重要的式子在里头，就是 n 等于二 m， 对 吧？哎， 如果 n 等于二 m 的 话呢，那么说明这个点 b 的 坐标是什么呀？二 m 都零，可以给它表示成这样，对吧？然后呢，原来的这个解析式呢，我们就可以给它进一步处理一下，把这个 n 怎么样？把这 n 给它去掉啊，于是呢，这个 y 呢，就等于，呃，就是我们刚才算的这个 a 乘以 x 加上 m， 然后呢使这个 x 减去二 m， 对 吧？哎，那在这里边，刚才这个 a 呀，等于负的 n 分 之三，对吧？那现在这个 a 呢，我也可以给处理一下了，对吧？于是这个 a 就 等于什么东西负的二 m 分 之三， 于是再进一步处理呢？哎，这个抛物线的解析师，如果我用小 m 来表示的话呢，它就应该被表示成 y 等于负的二 m 分 之三，然后这里边呢是 x 加上 m， 然后 x 减去二 m， 对 吧？哎，是这样，下面呢，我们再来关注一下这个 f 点啊，那么我们现在把这里边其他的线我们给清楚一下啊， 这个 f 点呢，它的横坐标是什么呀？哎，它的横坐标是 m， 对 不对？刚才我们这已经求完了，它的横坐标是 m， 所以呢，我们现在把这个 f 的 横坐标 m 呢，我给带到里边去，带到里边去的话呢，就带到这个式子里去，这一算呢，哎，横坐标如果是 m 的 话，纵坐标算完了什么呢？是三 m， 哎，这个 m 的 纵坐标，横坐标现在就都有了，对不对？哎，那么这样的话呢，我们看啊，在这个里头， 如果呀，这个 f 的 横坐标，纵坐标都有的话，那么我们瞧一瞧啊，这个 m 的 坐标能不能够给求得出来啊？我们现在来观察一下什么呢？观察一下这个这个点 m 的 坐标，是这样啊，你看点 f 的 点 f 在 这，对不对？那么 m 的 纵坐标减去 b 的 纵坐标，是不是等于啊？这个的纵坐标减去这个纵坐标，就是在刚才那两个全等的紫色的啊，这两个三角形里边，现在他的这个直角边和这个直角边 干什么呢？也应该相等，对吧？也应该相等，那么我们现在看啊，那么这样的话呢，他的啊，纵坐标 减去谁呢？哎，减去这个点 b 的 纵坐标，还有，哎，不是他的纵坐标，这个 m 的 纵坐标减去他的纵坐标，还有这个纵坐标减去这个坐标，最后这个长度，它应该等于谁呢？你想想，哎，你思考一下，最后等于谁啊？实际上就等于什么呢？哎，就等于 m， 对不对？那么所以这个 m 的 坐标呢，就是什么呢？就是零度 m， 对 吧？啊，再说一遍啊，因为这段，哎，和这段得怎么样？得相等，对吧？而这段的长度是谁呢？哎，这段的长度实际就是 m 嘛，对吧？哎，因为你给它拉长了，对吧？哎， 没错吧，所以这样的话呢，哎， m 的 坐标我们就有了，如果呢，这个 m 的 坐标有了的话呢，在下边就是我们要如何处理这个事啊？这里边这怎么处理呢？我们看啊，我给你拉动一下，这个点 p 啊， 这个点 p， 你 看上下在这运动，对不对？在这运动，但是这里头要注意啊，这个 p b 和 pa 是 什么关系？哎，这个 p b 和 pa 啊，是相等的，对不对？那么如果 p b， 我 把这擦一下啊，便于你观察。哎，这个 p b 和 pa 相等的话呢，那么左边的这个 p b 减 pm， 实际上就是 pa 减 pm， 对吧？那么我们现在看，当它上下运动的时候啊，这个 pa 减 pm 得是最大值啊，最大值啊，这个 pa 啊，我给它这样画一下，我再往上挪一下， 我们知道啊，三角形啊，哎，两边之隔大于第三边，两边之差小于第三边，对不对？那么这样的话呢？哎，那么这样的话，我们就应该干什么呢？哎，我们就应该注意它那个最大值，就是干什么呀？哎，就是这个，哎，四分之三倍根号二，对吧？四分之三倍根号二啊， 所以这样的话呢，我们最后就能够得到一什么东西呢啊？它这个最大值啊，就是这个 am， 对 吧？就是 am， 所以这样的话呢，我们得到这个 a， m 呢，就是四分之三倍根号二，就等于谁呢？根号二倍的 m， 为什么呢？因为这这块是 m 啊，对吧？这块是 m， 所以 最后算出来的这个 m 就 等于， 哎，这个四分之三 a 呢，就等于负二啊， a 就 等于负二，所以下边呢？哎，最后我们就能够得到这个点 p 的 坐标了啊，就能够得到点 p 的 坐标了。同时呢，这个它的解析是 y 等于负的二， x 加上四分之三， 还是 x 减去二分之三和这个，那这个式子呢，你可以整理出来，也可以不整理出来，最后呢， p 的 坐标八分之三啊和八分之九，哎，好啊，就讲到这，同学们。

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四区二模大解析和平二模难度适中，区分度合理，很贴合中考，整体作答难度上没有南开区那么的大。十七题考察的是中卫线和手拉手模型，虽然说是两个模型的结合，但整体难度并不是那么的大。二十五题的第三问相对来讲还是有些难度的，同时呢，他考察了三垂直模型， 那么整张试卷的话，也是建议大家可以好好去做一下。南卡尔摩整体的做答难度是有的，计算量也不小，十三题通常考察的是一个概率，这一次呢，问的是个数问题，十九题我们常规求解结果中带了个零，很多孩子根本不敢写。第二十三题的最后一问考察了一个最大值，也不是我们通常练习的这种考法， 所以在这呢，也给我们提了个醒，有关函数的问题，我们可以练习的再全面一些。第二十四题的最后一问呢，给的是 s 的 范围，反推 t 的 范围也不是那么的常见，所以综上来讲，整张试卷的题目难度尚可，但是考法呢，确实是不太常见， 很多孩子就是被这一点难住了，和悉尼摩整体试卷的难度不大，也非常贴合中考，但他确实没有出现我们所期待的这种创新题型，非常适合大家拿来练习，调整自己的心态。具体说一下吧，选择题中的第十和十一难度稍微有一些些，但是整张试卷来讲的话，保持与中考水平持平的。

天津初三二模数学三区难度对比，和平大于南开，大于河西。先说和平整体难度，三区最高，比一模难一些。十二题拱桥问题结合赛龙舟的背景，难度中等。 十七题考察了中卫线定力、勾股定力和手拉手模型，难度稍高。二十四折叠和二十五二次函数求最值，难度也不小，这套试卷比中考要难，适合中等偏上分数段进行拔高。再说南开，这次南开区整体难度上和题型上都对标中考十二题双重点问题和二五年中考对应 十七题中规中矩，二十四题同样考察的折叠。二十五题二次函数综合第三问求最值，具有挑战性。这套试卷适合所有中等生进行考前诊断。最后说核心，一模，整套试卷比上次杰克考难一些， 题型上这次偏稳，创新题不多，十二题动点问题，难度没有难，开局高，十七题可以用间隙法秒杀。二十四题平移中规中矩。二十五题二次函数难度中等偏上。这套试卷适合所有中等生进行查漏补缺。以上所有题目和答案，成哥都整理好了领取方式，老样子，点点关注看评论！

南开、和平、河西三区的数学二模已经考完了，这三区每年都是中考命题的风向标，今天沈老师就带你深度解析这三区重点需要关注的题型，把它们吃透，中考多拿十分。 先说难度排名，南开大于和平，大于河西。先说南开整体难度，三区最高，比一模更难一些，选择题出题都没有，难为大家。 十题，第十一题都是平时咱们练过的类型，只不过第十题的旋转套在了正方形的背景下，思维量大了，但是计算量小了非常多。十二题，这道题单动点割一模，几个区考的动点相比就简单太多了。 填空题，十七题，这道题形式非常像去年南开二模的第十七题，但是考察的方向截然不同，手拉手的三角形需要学生从第一问就开始入手，而且非等腰直，非等边的手拉手。第七题很有可能在考场上想不到， 不过用去年南开一模的方法也能做，但过程就比较复杂了。十八题，等边加平行的做法，做起来跟二三年中考非常类似。解答题，大家遇到的第一大关就是第二十一题圆综合第二问，考察的是一个双勾股的做法， 已知弦心距和同一三角形那里的一个弦长，怕就怕孩子平时没有练过这类题型，做起来就比较烧脑了。 第二十四题，二十五题思维量和计算量都偏大。二十四题，虽然这次如愿的考察了翻折问题，但是从第二问就开始，工作量非常大，尤其第三问还是已知面积范围，求时间范围，这就罢了， 最终还是两段时间范围，这就属于折叠问题的天花板了，光拿问前面八分，难度就降下来了。 第二问，回归正常模式的旋转，九十度的等腰值。第三问，考察的是一个在天津中考比较冷门的两地移动差最大问题， 这题难度跟一模相比就简单多了。这套试卷比中考要难，适合中等偏上的分数段的孩子进行拔高。再说和平，这次和平整体难度适中，整体从难度上和题型上都是标着中考的去走的。 选择题依旧保持着不为难大家的原则，最难的第十二题也不过是一个赛龙舟背景下的拱桥问题。常规题型填空题。第十七题，这题可有讲究了， 常规旋转手拉手之后一个跟一模一模一样的解三角形问题，这紧贴中考方向走的趋势也是非常明显了。十八题，一个三倍角的背景下，需要结合外角转化成二倍角去做，又是一个等腰构造。 再说解答题的圆，具体用弧长关系推导，角度也还行，跟难开一样，就看平时有没有练过了。 解答题二十四题直接简单爆了，这题要是还没做对，好好反省一下平时折叠问题到底有没有好好做。第二十五题，这题个人感觉要比难开难一些，虽然第三问中位线和斜中转化之后还是老一套的将军印码， 但奈何正方形背景下位置不确定，就得讨论了，这题难度就比较大了。 话说回来，前两问还是非常简单的，这套试卷适合所有中等生进行考前诊断。 再说核心，整套试卷比上次节课要难一些。题型上这次偏问创新题并不多，选择题依旧非常友好。第十二题，双动点这道题经过一模的洗礼，早就已经成了小卡拉咪了。 第十七题，双中点间隙也能做。二十五题。第二问，一线三垂。第三问，胡不归问题还是非常非常老套的，胡不归这套试卷适合所有的中等生进行查漏补缺。对于以上题型，我都整理好了专项练习。发蛇老师，三个字分享给你。

解疑答惑来看二五到二六学年刚结束的天津市和平区初三数学二模第十七题一个到几何辅助线的来看题， 正方形 a， b， c， d 边长已知等于三，那就读题标注三，其外部有一个正方形 d， e， f， g 一 大一小共顶点，是不是考虑手拉手的模型好对角线？我们来看 g、 e 延长线经过了点 c， c， e， j 三点共线，并且 ef 的 长小正方形的边长根号二。 第一个求对角线 g， e 的 长度，那就是直角边的根号二倍，那就等于二。看第二本连接了 b， e 好， 有 b， e 点，有 e 点， m 是 b， e 的 终点， n 是 边 ab 的 终点，求 m， n 的 长度 好各种中点。考虑到中卫线，我们可以连接 ae。 另外呢，你会发现那手拉手模型 d 是 共同的顶点， 这是小正方形的左手，那 c 是 大正方形的左手，那右拉右，你也得连接 ae， 所以 双重 buff 叠加下，你都得连接 ae 了，对不对？ 好，连接之后，那我们就进行转移和处理了，来目标来再锁定一下 m， n 就 划归成了二分之一的 a， e， a， e 等于谁？我们所说的手拉手八年级所学的，那也就是这个三角形 c， d， j 和三角形 a， d， e 这两个三角形一定是全等的，那理由 s a， s 这个不用再赘述了， 那接下来我们继续划归，那这个题就划归成了二分之一 c， j 的 长度，所以说接下来的目标就聚焦在线段 c， j 的 长即可，求它的长怎么去处理？ 结合这一式对角线，我们连接出勾股，出和差关系，这不就有了吗？ 所以说连接 d， f 好， 交点为点 o， 那 此时我们就有这个角，是九十度来标注线段长 o， d、 o、 j 这两个线段长都等于的是一。 接下来在 r t 三角形 c、 o， d 中，斜边 c， d 等于三直角边 o， d 是 一，那 o c 就是 根号八，也就是 o c 长是二倍的，根号二。 好， o， j 长是一，那此时 c， j 的 长度不就有了吗？好， c， j 的 长是二倍的，根号二加一。好， m n 是 它的一半，那就把它除以二， 根号二加二分之一。所以第二本根号二加二分之一。好，这道十七题三分，你 get 到了吗？好，仅供参考。

距离天津二模考试四十八个小时，今天就说一件事，二模数学最容易白丢的三类分，二模不是比谁会的多，是比谁本来能拿的分没有白白丢掉。 很多孩子二模出来分不好，不是因为不会，是因为有些分数他明明能拿，但是就是白白丢了。第一类，选择填空里面会做的，但是丢了分， 这类分丢的最圆。家长一看，哎呦，这道题会呀，他怎么就错了呢？然后说孩子是粗心，我跟您说，大部分时候不是粗心，是基础不扎实。 什么意思呢？就是这个知识点他学过，做过，看道题觉得自己会，但是呢，掌握的不够牢。 做的时候呢，脑子里啊，是模糊的，不是清清楚楚的，他觉得有任何问题，不是没检查，是他检查了也看不出来他错了， 因为他脑子里面记的本来就是一个模糊的东西。这种丢分靠下次仔细一点解决不了，要靠平时把基础知识练到真正的扎实，不是说学过了，是闭着眼都不会错了。 二模前这四十八小时来不及补基础了。但是呢，您可以跟孩子说一句话，选择填空做完以后，最后留两分钟，把你觉得肯定对的那几道题再看一遍， 越觉得肯定对的，越要再多看一眼。第二类，大题会缩，但是步骤分拿不全。这类在六十到九十分的孩子身上特别多。大题呢，他有思路，也能写，最后答案呢，可能都对，但是得分就是不高。为什么呢？步骤不全， 阅卷老师是按步骤给分的，你跳了一个步骤，少写了一个条件，或者推导过程不完整，他就只能给你一半的分，甚至更少， 答案对了也没有用。为什么会这样呢？因为啊，在孩子平时训练不到位，平时做题的时候做出来就翻过去了，从来没有人要求他会把他的过程写完整， 等到考试呢，他写出来的东西，就是平时练出来的那个样子，跳步省略，少写一点就是一点。二模前呢，跟孩子说一句话，大题不是算出来就行，是每一步都写出来，让阅卷老师看得见你的思路，能多写一步就多写一步，别省别跳。 第三类，时间没分配好，最后的题目没有写完。今年奥尔摩都有一批孩子前面做的特别特别仔细，选择填空呢，反复检查最后大题的时候，时间不够了。最后一道大题，第一问可能他能做，但是没有时间了，只能空着教。这个分丢的是最亏的。 二模前呢，提醒孩子一件事，拿到卷子，先整体扫一遍选填，如果有一道题卡住超过两分钟做不出来，就先跳过，保证后面大题有时间去写， 别在一道题上面死磕，把后面能拿到的分全都耽误了。这三类分，哪一类是你家孩子最容易丢的？你如果判断不出来，把孩子现在的数学分数发给我，我帮您看看。

二模其实难度比南开区就小了不少了，不是很和平。今年和平改姓了是吧，性质都已经变了。之前和平都是难中难是吧，但这今年发现这两套卷都一般中等难吧。也不是说 不难，反正中等难度吧。上一百一还是不是太难的吧。可能就你的十八题那个题你不太会那三倍角是吧，可能第二十五题转化可能不太会。那其他的有什么难度吗？ 那还好吧，没什么太难的东西吧。那所以大家好好去做，仔细一点是不是就可以了？那给大家说一说啊，刚才那个和平那个难看的二模，最后一题我可能稍微写错一点，我在评论区把答案更正了，大家可以去看一看啊，因为算的是 am， 算的是 ap 行吗？看看去就行了啊。 那咱们看一下，第一这道题解析是给了你的是吧？解析是然后交点 a 会算吗？另外为零，然后顶点会算吗？三十到九，那所以这些一二是不就结束了？那第三个宽度是九，设计几套赛道的话，那说的是高是五，那高是五，正好卡在这的话，那咱们来看 纵坐标是五，带点去得到十和五十，所以十和五十长度是四十，那四十中间呢？弄咱们比赛通道的，弄比赛那个，那个什么题目？说的是赛道的话，是不是九米一个的话，是不是四九三十六五就超了，最多是四条吧，所以他一点没错，选四 d， 然后第二个的话，这个走火过。咱们其实之前让你做的是 a e 或者是 c j， a e 和 c j 的 话是相等的，因为这一个三角形 a d e 和 j d c 这两是全等的，那全等的话，你想一想，本身这个也藏角是四十五度，这里面是不是相当于就是一个根号二三 对吗？两边一角，求第三边，那直接做垂对吗？做垂就行了，根号一一，所以三一，这是二倍。根二再除二是不就行了？中位线呢？再除二吧， 根二加二分之一，所以十二和十七题其实难度不是太大了。那十八题这道题有可能有点蒙。什么意思？本质就是三倍角的话，那你想想 p a d 和 p o， d， 那 这俩是三倍的关系，就是个什么意思呢？ 从图图中给你画吧，你看 p a d 和 p o， d， 如果是三倍角吧，特别简单，那三倍角就考察一个啥，其实有个等腰的构造，你想想我们 你标未知数是 p o d， 对 吧？ x， 那 这不是三 x 吗？那外角所以就是二 x， 那 你发现什么？半径又就是等腰嘛？这是不是也就是二 x， 那 这个角不是 x， 那 等价就转换成了你这个二 a o 是 一个等腰三角形，所以二怎么来的呀？是不相当于是 a o 的 中垂线，我再连 a o 的 中垂线，不就是 p 了吗？就这个事了，所以怎么做中垂呢？ o 先好说吧，圆心不用多画了吧？ b c 水平线 f， 那 做一个点，把圆心先找到。 a o 怎么找呢？ a o 中点不好找，但是你想想， o 在 水平线上，那这也在水平线上，那 a o 这中点是不是 h？ 同理，找这个 i， 它在中点，是不是水平线？两个一连中垂不就找到了吗？对吧？中点加中点，这一定是中点了吧？那所以 二是在它的中垂线上，所以你相当于 a 二 o 等腰找到，把 a 二一点得到 p， 这就是你的十八题。二十四题第一部分不说了，一道跟三对吧，然后四道跟三，这两题都非常简单，然后分析的时候特别简单吧，你过他的时候，最后 变到最大的等边了吧，所以相当于就是一个零到二，是一个三角形，那后面是不还是三角重叠部分，只不过是等边恰好过 b 的 时候，那你自己看看恰好过 b， 他 这就是一一对了吗？那前面还剩几？ 前面还剩三吧。所以二到三是最大的一直不变的固定不变的最大的，再往后的话，相当于是变成四边形了，一直到最后了吧，从三到五。所以这个第一个不多说了，太简单了。那第二个的话，刚才说最大的时候是固定不变的平方刚好三， 那只需要比较一下二分之三和二分之九的时候谁更小就行了吧？二分之三好说，二分之三就是一个简单的 a 等边吧，也就是四分之根三乘二分之三的平方，那就是十六分之九倍根三，这是这个。那比较一下他和你的二分之几的时候，二分之九的话，那前面是二分之九呢？这还剩一个二分之一， 对吧？梯形的二分之一乘根三就是二分之根三，那这个小的等边也就是四分之根三乘二分之一的平方，就十六分之根三，十六分之八减十六分之一，那十六分之七倍根三，很明显，这俩更小的是十六分之七。所以最后的结果，十六分之七倍根三到根三不难吧。 那最后一题第一问，首先解急式不要写错了，负 s 方减二， s 加三，让你求 p 的 坐标和 a 的 坐标， p 的 坐标是对称轴，是负一的吧， 对吧？那负一斗四，那 a 的 坐标自己去算就行了吧？负三斗零，那 b 就是 一斗零呗。那第二题其实也不难，这在抛物线上，那你想一想，按顺序 a， e， k j 对 了吧？所以相当于 a， e k j， a e k j， 那所以咱们只研究哪三个点？这在抛物线上求 e， 那 a 又是已知的， a 是 负三到零，那所以 e a j 这是一个等腰直角三角形，只要是一道等腰直角问题，那三垂直构造，那题目又告诉你又在哪下方，对了吧？那所以这考察一个三垂直构造的话， e， a， j 在 下方，上方咱们不要，只要下方。其实这也是个简单的挂豆奶呀， 勾到三垂直吗？对了吗？就 e a m 一定和 aj 这样一个，比如一个二 aj 二，这俩是不是全等的，对吗？所以它的水平长度固定是二，那数值长度不确定，对吧？所以它的数值长度是二，那水平长度不确定吧， 没问题吧？那所以也就是说它的纵坐标固定是几啊？长度是二，根据三垂直全等，是不是就能得到？所以我让解析式等于负二， 没问题吧？那负二有了之后，所以怎么去求？那负二相当于就是移过去 s 方加二 x 减五，等于，那算出来是根六减一或负根六减一吧，那他的横坐标有纵坐标是不是有了？所以这两个根六减一都负二，或者负根六减一都负二吧。那所以也就是首先右边的时候，相当于他的横坐标是 几？是根六减一，那根六减一的话，那这个是负三，那根六减一减负三，那水平长度就是几？根六加二吧，它数值就是根六加二，所以也就是负一到根六加二是第一个，那第二个在左边的时候怎么可能跑左？怎么不可能呢？跑左边这个这个位置上去了吧， 对吧？和他这样一个图呗，相当于水平。数值的话，那水平咱们好说数啊，数值好说数值长度是二，那水平是不是就是几啊？横坐标做是二呗，用负三减去 减去一个负根六减一，加根六加一，就根六减二呗，所以这个长度是根六减二，所以这个水往下的长度就不是根六减二了， 所以纵坐标是二减根六，所以二减根六了，行了吧，这是咱们两个坐标。那第三题其实看起来感觉挺恶心，这三个，你先看明白这三个转化是啥意思，就考两个斜边中线，你无论怎么办，你这个 它怎么动，这是个直角，对了吗？那直角三角形的话，那你这个 e m 是 一定是二分之一倍的 a e， 这没错吧？ 没问题吧？ f m 二分之一倍的 a e 吧。那同理，你自己看看题目，说这正方形那对角线交点，你把它连上了，这是不是你的 a h d 也是一个直角三角形，那 e f h 是 不是也是直角三角？斜边中线也是二分之一的 a e， 它那可不就是 a e 吗？那这又是一个等腰值， a e 和 a j 就 相当吧，为啥转换成 a j？ 这俩和转换成 a j 之后，那 m j 那 只有相当于 j 在 动，对了吗？ a j 加 m j 嘛，只有 j 在 动， a 和 m 不 动，那么就一个将军一马的问题不就完了吗？ 就转化到这后面就非常简单， a j 加 m j， 那 将军役嘛，那这个轨迹是什么？他刚才说了，无论他怎么动，是不是这个水平长度，这个长度一定和它的数值相等的，它在 x 下方，所以咱们先把它数值长度找到对的吧。所以解析式你得整理吧。过负 c 到零，或者用两点 两两根之积是不是也行？负 c 乘以你的那个几啊？乘以你 x b 就 等于 a 分 之 c 也是负 c， 那 随 b 就是 一对了吗？也行啊，所以呢， x b 就是 一，那随对称轴就是二分之一减 c 没问题吧？ 对，上角二分之一减 c， 那 a 的 坐标又是负 c， 那 二分之一减 c 减负 c 就是 你 a m 的 长度吧，对吧？二分之一减 c 减负的加 c 呗。就二分之一加 a m， 那 a m 有 了，那你底下 r r j 值不就有了？ r j 就是 二分之一加 c 取相反取负的吧。 那所以这轨迹找到了，那所以 a 现在已经坐标，咱们是不是已经有了？ a 是 负 c 到零，那负 c 到零，关于一个你的 y 等于这个东西，对称的话，相当于是不是横坐标不变动坐标是它的二倍就行了，因为它的纵坐标是零，就相当于是负 z 到负一减 z 吧。那所以 a 撇 谁呀？ a 撇做，做完对称， a 撇 m 是 不是最小的？ a 撇 m 去做的话，横坐标做叉， a 撇和 m 横坐标做叉是几啊？ 横坐标做差，是不是？ m 的 横坐标是二分之一减 c， 它是负 c， 对 吧？所以二分之一减 c， 再加个 c， 也就二分之一加 c 的 平方吧，那纵坐标的话是几？纵坐标做差零，它和零做差是一加 c 啊，那所以相当于是一倍的加上一个 几啊，就相当于一个二分之一倍的，一个一倍的，对了吗？二分之一和一，四分之一是四分之五开分，二分之根五也有二分之五倍的根，根五倍的加 c， 因为 c 是 正数，二分之根五倍的吧，就等于你这个三倍根五， 所以就是根五一消一加 c 等于六，那 c 就 等于五，那 c 是 五的话，那咱们坐标是不就有了？那 c 是 五的话，那他不就是负五到零吗？你的 a a 就是 负五到零， 没问题吧？然后你直线是 y 等于负三，这些都能有吧？然后对称点， a 撇就是负五到负六，对吧？那 m 坐标是不是就是几啊？负二到零，那这些都有了的话，那你想求 e 的 坐标，那先求这个坐标吧，这个坐标就得就得把谁的写形式写出来， a 撇 f 吧， a 撇 m 吧， a 撇 m 都有了，所以 解决是自己会写了吧？ y 等于二， x 加四，可以了吗？所以自己给代代没问题吧？然后另外等于几？ y 等于负三，那负三带进去的话，负三减四是负七，除二是负二分之七，所以这是负二分之七到负三， 对了吗？那所以现在这是一个负二分之七到负三，对了吗？那 a 坐标现在咱们咱们已经知道了吧？负五到零， a 是 负五，对吗？那你的这个这个坐标 m 是 负五到零， a 是 负五，对吗？那你的这个坐标 m 是 负五到零， a 是 负五，对吗？那你的这个坐标 m 垂直于 x 在 上面，大概是 没错吧，那咱们去做的话，就三垂直啊，水平长度是几啊？水平长度是负二分之七和负二分之十和二分之七就二分之三，数值长度是三 没问题吧？那所以你就数值长度是二分之三，水平是三就行了吧？那水平是三，这就是负二，就这种本来是负二，对吧？负二到二分之三，他不就出来了这样一个转化的题？所以直角三角形的斜边中心的转化， 对吧？所以整体难度不如南开那个大，是吧？但是这个很贴中考啊中考，其实这个难度差不多就很不错，是吧？大家好好做一做， ok 了吗？

这是一模和二模之间最好的抢分的方法，这次没写完的也大有人在啊，班里边前几名的学生还有合唱分卷写不完的。咱们的学生是这样的一个做题方法，我用最短的时间把我会做的题 我快速去写完，然后我集中大量的时间去攻难题，所以就会造成的我难题我也没攻下来，但是简单题错了一堆，很普遍存在的问题，就非智力因素的丢分，是我们一定一定要把分数抢出来的。我们专门做出来一个 考试分析模板，就是把整套的试卷每一个区，九十分，一百分，一百一十分，每一个不同分数段，这个分数段所对应的必得的分是什么？只要是必得分，你丢分了，那么一定一定的要去注意，这就是二毛钱，你要去抢分的。然后接下来就是相邻项，九十 到一百分，相邻项就是你提分的方向。把我们的试卷分析模板领回去，就按照这个给孩子认认真真分析出来，然后接下来去进行现实训练。 我们有很多的孩子审题不清造成的丢分是基于失分率榜首的，这段时间呢，我就一定每天拿出来十五分钟时间，我练上两周，我就是练审题， 我审题的时候我就去把关键词先画出来，就一定要去画，这段时间还有一个非常重要的事，就是草稿纸的使用，草稿纸对折，再对折，从四分之一处认真的去写。

呃，初三的和平二模啊，比一模难度呢略有增加啊，由于一模考的呢比较简单。呃，有一模成绩好的同学呢，可能这段时间的精力主要放在别的弱科上了， 所以呢，二模可能不如一模考的好啊，不过没关系啊。呃你的数学能力基本面已经定型的差不多了，接下来呢需要精进的就是十一十二十七这几道题啊，尽量快速得分给最后的压轴题呢，多留时间争取高分。好，咱们下面来说一下这个二十五题啊。 呃，还是老规矩，从第一题开始说吧啊。呃， b 等于负二， c 等于三啊，这个解析式解一下， y 等于负 x， 平方减二 x 加三啊，然后呢，给它配方变成一个呃顶点式， 然后再给它因式分解变成一个交点式。 好，这样的话呢，呃点 p 的 坐标就有了，负一斗四啊，点 a 的 坐标呢也有了啊，负三斗零这个圈一这就解决了对吧。嗯，这个点 p 呢，我就不在图中标注了，因为在接下来的两问当中呢，没有什么太大的用处啊。 呃，接下来我们看这个圈二，也就是整个题的这个第二问啊。呃，大家可以看到我的这个动图里边哎，这个点 g 啊，没有给放在抛物线上对不对？我是为了一会给大家演示拖动啊，然后大家可能看到这个里边还有好多五颜六色的线，什么直角，这个是给 最后一问用的啊。呃，因为我就画在一个图里了，要不然实在是不便于大家观察了啊。好，现在我们把这个先清一下啊。 呃，因为这里头 b 等于二， c 等于负三啊，这两个呢条件没变，在这个圈里头，对吧？所以这个点 a 点 b 的 位置呢，也不会变啊，所以这样的话呢，我们来拖动这个 啊，那么这个为什么大家看到这个滑动条是这个 e， 对 吧？哎，那就是说在这里头啊，我呢是把这个呃点 e 的 纵坐标啊，我设为小 e 啊， 因为在这里头我们刚才已经求出来了，它的这个对称轴啊，是 x 等于负一，对吧，就在这个条件之下，对吧？所以呢，这个点 e 的 呃坐标呢，我们可以给它设成负一逗，哎，这个小 e 啊， 那么这样的话呢，我们就可以表示出来，呃， e m 这一段的长，对吧？而且呢，在这里头我们要注意的，呃，这里边啊有三角形是全等的，因为他毕竟是一个正方形，对吧？他一个正方形，而且按照他说的这个顺序呢，应该是这个点的顺序，对吧？这样的一个顺序啊， a e k g 啊，是一个顺时针的顺序，那么这样的话呢，我们会看到啊，当我拖动的时候啊，大家明显会看到这个点 g 的 轨迹，哎， 是下边这条这个呃棕黄色的虚线，对吧？哎，这个是为什么呢？显然在这里头有两个三角形是全等的，根据我们这个三垂直的模型，对吧？那么是哪两个三角形全等呢？就是三角形 a e m 全等于三角形呢？哎， g a d 啊，好，我再把它动一下啊，你看一下啊， a e m 啊， a e m 啊， g a d 对 吧？哎，这是由于三垂直造成的，对吧？因为这里边有正方形的存在，对吧？所以这样的话呢，哎，这个呃 g a d 啊，这个三角形啊， g a d 这个三角形，它呢是 这条边得等于他的对应边 m， 但是他的长直角边 a d 他 在这动，对吧？哎，他在这动，哎，那么这个呃 a e m 呢，也是长直角边在这动，长直角边在哪动呢？但是呢，他不是 这个这个小的锐角，这个顶点那固定啊，他是这个大的锐角顶点，这个他是这个直角和这边是固定，对吧？哎，这个点固定，所以他和这个三角形呢，他动点和定点的对应位置有所不同，但是呢， 正因为如此，所以呢就造成这个点 g 啊，是在这个线上来回动，对吧？这个线上来回动，那么如果点 g 在 这个线上来回动的话呢，那我们一看就能够看出来了，对不对？哎，我如何让这个点 g 给它锁死一下呢？哎， 就是说，比如说我们可以，哎，呵， sorry 啊，这怎么回事？哎，呃，把这个点 e 的 坐标啊，这不负一都是 e， 对 不对？然后呢我们给表示一下这个点 g 的 坐标，哎，然后呢把它带入到这个抛物线里边去，对吧？如果是这样的一个计算方法呢，那我来演示一下啊， 那么这样的话，我们可以知道这个呃 a d 的 长度啊，就是 a d 这段线段的长度，我们可以给它表示出来， 我给挪动一下，挪动一下啊，搁这来大家可能看的比较清楚一点啊， a d 这段线段的长度，他也得是这个小 e， 对 吧？啊，他也得是个小 e， 如果他是小 e 的 话呢，那么这个 o d 这段长度当然就说一减三了啊，如果要是一减三的话呢，这样的话呢，这个点 g 的 坐标就是横坐标，就是一减三啊，那么这个纵坐标呢，就是负二，对吧？就是这段的长， 对吧？哎，就是这段的长，因为 am 的 长是负二，哎， am 的 长是二，对吧？因为对称轴负一，这是负三，对吧？负二。所以呢，我们把这个点 g 的 坐标呢，呃，带入到这个抛物线里边去，就能够得到了啊，那么带入到抛物线里边去的话呢，我们就是得到了这个呃，负的 e 减三括号的平方，是吧？然后减去二倍的 e 减三， 加上三，等于负二啊，然后这样的话呢，我们解出来这个 e 啊，等于二加减根号六啊， 那么得到二加减根号六之后呢，我们会得到这个点 e 的 坐标啊，是负一二加根号六啊，或者是啊，负一啊，二减根号六啊， 那在这里头呢，我们会看到有两个，对吧？哎，那么第二个呢，咱们同学可能是不太容易想象，对吧？但是呢，我现在在这个图里给你演示完了，你应该比较容易能想象的到，对吧？第二个，那个点 e 的 坐标在哪？在这个地方就是点 g 啊，它可以在这啊，点 g 还可以拉到这边来啊，点 g 还可以拉到这边来，对吧？哎， 或者说呢，你如果是从我这个动图里能够看的比较清楚的话呢，那你明显能够看到下边这根线，就这个棕色的虚线，它的这个解析式是 y 等于负二，对吧？哎，如果你已经能看到这一步的话呢，那你完全可以把 y 等于负二和 y 等于负 x 平方减二， x 减三啊，你把这两个连立也行，两个连立的话，就能够求出这个点和这个点的坐标来啊，这也是这两个点的坐标，但是要注意的话你这个求的是两个，这两个点的位置是 g 点 所在的两个可能的位置，对不对？但是你把它表示完了之后呢，你给换算成什么呢？ e 的 两个位置啊，所以最后这个 e 的 两个位置我再写一下啊，负一加上，呃负一，呃这二加根号六啊，或者是啊 呃负一啊，二减根号六啊，这个是第二问啊，这个是第二问啊。好，下面我们来看这个第三问，就是整个这个题的啊，这个第二大问啊，呃这个里头啊，他这个后边计算呢？他并不难啊，他主要是这个图里边的分析。 呃当然了，您很多同学可能这个分析的不太好啊，但是，呃你在这看了我的动图之后，我估计很多同学又是一看我这个彩色的动图，马上瞬间就明白怎么回事了，是吧？哎啊我们看一下啊，这个里边啊，他去掉了 b 等于 four 二， c 等于三啊这个条件，把这个呃 a 的 坐标呢改成这个了，那把 a 的 坐标改成这个了，负 c 豆零，对吧？如果呢是把这个 a 的 坐标改成负 c 豆零的话呢，那么原来的这个抛物线的解析式呢，肯定也会有所变化，那在这里头呢，它变成了什么呢？它变成了这样的一个情况啊， 那我们把这个负 c 豆零啊，我给带里边啊，负 c 豆零我给带里边。如果你把负 c 豆零给带里边之后呢，我们会得到这样的式子啊， 就是呃零等于负的这负 c 的 平方加上 b 乘以负 c， 对 吧？哎，然后加上 c 啊，得这个东西，然后呢我们再把三个地方的这个 c 啊我给它约掉，对吧？于是呢，我们就得到，因为 c 这是 大于一的，对吧？所以呢，是零等于这个是负 c， 呃，减 b 加上一，对吧，于是这样的话，它求这个 e 的 坐标呢？那我们在这里头我们保留一下呃，这个 c 吧，那么 b 就 等于一减 c， 于是这个抛物线的解析式就变成负 x 平方，呃， 加上啊，一减 c 倍的 x 啊，然后加上 c， 对 吧？那这样的话呢，这个抛物线的解析师呢，又可以进一步变成负的啊，这是 x 加 呃， x 减一，然后这个是 x 加 c， 对 吧？也就是说呢，他过这样的两个点啊，他过这样的两个点啊， 一个是这个点 b 就是 右边的这个点 b 啊，它的坐标呢是一豆零啊，还有一个呢，是点 a， 对 吧？它的坐标是负 c 啊，豆零啊，这个负 c 豆零呢，正是这个解释的来源，对吧？这是 呃题目的已知条件里边的啊。好，那我把这个我写一下啊，点 a 的 坐标负 c 到零，那点 b 的 坐标呢，是一到零，对吧？哎，同时这样的话呢，点 c 的 坐标就是零到 c， 对 吧？哎，就是表示成这样了啊，好，下面我们来看一下啊，这个正方形啊，没有边，然后呢，哎， 我呢在这里头把这个 c 啊我拖动一下啊，其实呢，刚才这个呃，就是 第一问里这个条件就是 c 等于三的时候，哎， c 等于三的时候啊，他这里边啊，也满足这一问里边这个条件啊，但是呢，这一问里头不一定满足这个，对吧？所以呢，我把这个拖动一下啊， 我故意让这个不等于 c 不 等于三了，对吧？现在这个抛物线的解析式呢，变成了一个，呃，由 c 来控制的了，对吧？哎，所以这样的话呢，我，我解解释，我再写一下吧， 负的 x 加 c， x 减一，免得你忘了一会儿啊，对吧？哎，然后这样的话，我们要注意啊，看这个啊，看三角形 a e h， 按照它这个已知条件啊，看三角形 a e h 啊， 哎，在这个三角形 a e h 里边，由于这个 f 是 a e 的 终点，那这个三角形还是一个直角三角形，对吧？所以这样的话呢，很容易知道这个 f h 是 正方形的，边长 a e 的 什么呀？一半，对不对？哎，然后呢，我们再看，因为 a m e 啊，也是一个 a e m， 它也是一个，呃，正方形，对啊，也是一个直角三角形，对吧？那这样的话呢，这个 f m 呢，也是这个 a e 的 一半，换句话说啊，我用颜色来表示啊，哎，就我这个黄色的线段呢， 它是这个绿色线段的什么呢？哎，一半，对不对？哎，黄色线段是绿色线段的一半，换句话说，黄色线段是正方形边长的一半，对吧？哎，那他现在说的这三条线段是什么呢？这个 h f 就是 一黄色的线段，对不对？ f m 呢，也是一个黄颜色的线段，那这把俩这个东西加一块，不就相当于一条绿色的线段吗？ 对不对？那么一条绿色的线段，它就相当于这个东西，对吧？哎，你绿色的线段既然是 a e， 它也可以是 a g， 对不对？所以最后相当于变成什么了，这后边还有 m g， m g 是 我里边这个什么呀？只有里边这个紫色的线段，对吧？那么如果在我这个小 c 不 变，也就是说我这个抛物线暂时保持这个形状的时候呢，那么我们现在来拖动一下什么呢？哎，点 e 的 位置看到了吧？拖动一下点 e 的 位置， 最终我们要求的这个绿色线和紫色线这两条线段和的什么呀？最小值？可是当这个正方形啊变化的时候啊，这个点 a 和这个点 m 都是什么呀？都是定点，对吧？都是定点， 那么这样的话，求绿色线段和紫色线段的这个长度和的最小值的话呢？明显这是一个将军印码问题，非常简单，对吧？所以这样的话呢，我们把这个 m 从这给翻下边来啊，我给它翻成一个点 n 就可以了，对吧？翻成一个点 n 就 可以，那么如果我把它翻成这个点 n 的 话呢？哎，那我们在这个正方形变动的时候，我们会发现这个点 g 继续在这个地方动，只不过呢，不是刚才前面那一半里边那个特殊的数值而已，对吧？好，那我们现在再看 什么时候最短呢？当然是你给他怎么样？哎，当然是你给他拉直了的时候最短了，对吧？哎，你给他拽直了的时候最短， 而拽直了的时候最短呢？又因为这个 m 和这个 n 呢，这个时候是我做的对称点，对不对？ n 是 从 m 这对称出来的，那么这个，呃，这个虚线呢，应该正好在 m 和 n 之间，对吧？那么这个时候呢，我们就非常容易能够看出来什么呢？哎，这个点 g 就是 a 和 n 啊， a n 这条线段的终点，对不对？另外呢，请大家再看一下啊，请大家再看一下，这里还有一个非常重要的一件事啊，还有一个非常重要的一件事啊，就是说什么呢？就是这里边 全等的两个三角形，仍然是怎么样？哎，仍然是存在的，对吧？仍然存在的，所以呢，那我们看这里边就 这个变啊，那么这个的长度是什么呢？由于现在点 a 变成坐标，变成负 c 了，对不对？哎，那么所以说呢，这条线段的长度，我们非常容易能够表示出来，因为这时候什么呀？哎，这个 ab 的 长度 不就是二分之一加 c 吗？对吧？哎， ab 的 sorry， ab 的 长度是一加 c 啊，对不对？哎， 对吧？所以它的一半啊，这个 am 的 长度就是二分之一加 c， 对 吧？哎，如果 am 的 长度是二分之一加 c 的 话啊，那现在这里边呢，还有一个问题，那我们看这个 am 的 长度，哎，是二分之一加 c， 那 现在呢，我们看这个 am 长度二分之一加 c， 那 么这段的距离就这个 b g， 它和 am 是 什么关系？哎，它和 am 的 长度是相等的，对不对？哎，所以呢，从而这个 m n 的 长度呢，就是两倍的 b g， 对 吧？所以 m n 就 自然的等于两倍的谁？哎，两倍的 am， 对 吧？那无论这个正方形在哪，就这一坨关系都是怎么样的？哎，都是成立的，对吧？那这样的话呢，我们看，那你给它拉到这的时候，它是什么样？它是最短的，对不对？它是最短的，对吧？哎，那么这样的话呢，我们就会看到， 这个是一个长度，而 m n 呢，相当于是它的两倍，那么显然，这个最短的距离就相当于 a m 的 什么？根号五倍，这不就相当于一个这样的三角形吗？ 对吧？一二，这是什么呀？这是根号五，对不对？如果这个地方是根号五的话啊，那么相当于这个最短的这个距离，也就是此时此刻的这个 a n 就是 二分之一，加上 c 干什么呢？乘以根号五， 对吧？那么这个最短的距离是随谁的变化而变化的呢？哎，当然是随小 c 的 变化而变化的，对不对？哎，那么小 c 取每一个不同的值，那它就得到一个不同的所谓的最小值，那这时候你让它等于三分之二五不就行了吗？对吧？那把这个约掉一下就能求出来啊，这个小 c 的 值等于几？哎，小 c 的 值它等于 五，对吧？哎，等于五。好，那我们现在来调整一下啊，既然这个小 c 的 值等于五，那最后我们把这个，哎 c， 我 让这个 c 等于五，那你看看， 对吧？哎，它就在这个地方，对吧？它就在这个地方，那么这个地方我要给它拖到这个最短啊，什么时候最短呢？你看看 对吧？这个拉直了的时候最短，对吧？下边看不见，那你可能理能理解，我就不往上给你拖动这图了，对不对？那么拉直了的时候最短。现在这个 c 啊，这个时候它等于什么呢？这个 c 等于五，对吧？这个点的坐标就是什么呢？负五到零就点 a 的 坐标，对不对？那这段长度是多长呢？ 从这个负五到这个地方是它的对称轴，对不对？这个地方显然能够看出对称轴，这个是负二，对吧？所以这样的话呢，点 e 的 坐标就能够求得出来，这个时候点 e 的 坐标是，哎， 这个负二，然后呢正的这个，呃，二分之三，对吧？哎，这样的话呢，就求完了啊。那我们看啊，这里边啊，其实呢他这个算数啊，最后不 困难，只要你把这几个都分析到了，最后这个数字你拿眼看也能看得出来，关键前面在于这个哪条线呢和哪条线呢相等，对吧？哎，我在这里边特地用颜色给大家标注了一下。啊，好，就讲到这。

初三的家长大家好啊，各区的按摩正在进行中，现在得到的基本反馈是，按摩为什么这么难？ 和平河东、河西南开，包括北辰，孩子们总有这种声音，那么今年的总体的中考难度会不会比去年还要难？ 随着中考人数的增加，如果拉开分档，最有效的方法就是理科，把题型变换的难一些，计算量大一些，拉开梯度是更有效的。 那么对于中考将来的趋势会怎样呢？咱们准备了一份天津中考的趋势解读的电子版，趋势研判模块拆解突破策略，需要的家长可以评论区，祝大家学习顺利！

来说一下南开区初三这次二模的数学试卷，因为我们这次考完数学之后，大家的反应还是蛮激烈的， 这很多同学可能在数学上考的不是特别好，但是我们这次数学啊，大家你要分清楚我们这次数学到底的卡点在哪里？二十一题，实际上我们这次会形成一个两面，第一个第一种类型就是他能做对二十一题 过关的人，你另一类就是做不对二十一题的人，对你大概是可以分为这两类，那显然我们的卡点就是二十一题吗？对吧？由于我们二十一题卡住同学，所以导致了会整在整个题干上，嗯，会比较难，特别你都没有时间去做二十四、二十五题， 那么这里面可能更多的涉及到是我们考场上这个时间分配，包括你的考场的应用规则的方式的一种能力，我们大家一定要注意，你看我之前给大家抽视频里面就给大家说过，就是我们数学考试应该怎么去考， 就是不能去浪费时间在卡点上。例如你像如果你在选择十一、十二题，如果你在 十几秒，二十秒你都没有看出来任何的方向的话，你肯定要马上调过。像十七题，你在二十秒钟之内你都没有一点点的几题速度的时候，我们这个时候也要迅速去调过 二十一题。像二十一题这种题，如果你五分钟都没有寻找出来我们真正的解题思路，你还在跟他较劲，你除了浪费时间和影响到你后面答题以外，还能起到什么作用？且我们现在数学计算量都很大， 你包括我们南开区这次计算量也很大，但是我们这次的二十四、二十五实际上并不难。 如果你有充足时间，我觉得大部分同学你至少前两问都是能做出来的。当然二十五题的第三问对吧？他还相对来说计算起来还是比较难的。 但是你能把这两问都做出来，或二十四题第三问也能做出来的话，是不也就拿到了？然后如果你还有一点时间的话，你是不是再回头看一下二十一题没准就能做出来了。所以这里面涉及到我们一个做题方法的问题，大家千万不能 在数学考试中过于轴，就非得给每某一道题或是每一道题都给死磕到底， 这种方法不可取。所以这次考试难或不难不重要了，因为已经考过了。更重要是你从这次考试过程之中， 你吸取到了什么样的经验，对你的中考有什么样的帮助才最重要，明白了吗？大家记住做题规则。

昨天晚上咱们市区的二摸数学、语文已经考完了，然后我看了一下这个试卷，包括试卷分析全部都给大家做完了，答案也都整理出来了。今天晚上我会讲几个比较有代表性的区域，比方说我们的南开区这次的二摸是比一摸要 简单一些的，也是我目前看到的唯一一个简单一些的。像和平区，他的二摸要比一摸难个百分之三十左右，像河东区， 他的二模要比一模难个百分之二十左右。如果想要我们各个区二模的已经考完的这个答案的家长朋友们，可以左下角点个预约我的直播，包括我想听一听。哎，我们这次的二模考试，他主要是难在了哪？他主要是简单在了哪？ 想要听一听这套试卷分析的，包括咱们东立区的家长朋友们，想要给自己的孩子做个参考的，对吧？咱们高分段的比较适合做哪个区的题？左下角，今天晚上九点十分，不见不散。