经开区二模几何压轴题答案

现在我们来分享一下金科一期恶魔函数压轴题，这道题出题质量相当相当够的，我们直接看第二问。第二问考察的是轴定区间动的问题，而且这道题在以往的技术上稍微上了点强度， 质量非常高，考察函数的性质啊，好！第三问，第三问考察的也是同学们，在函数性质的基础上，我们去判断函数的褶值问题，同时结合了整除问题， 整除问题非常好的一个考点和方向。所以总结来说，这道题出题质量相当相当高的，值得同学们反复的去思考，去消化吸收。

距离中考还有一个月多一点点的时间了，杨老师还是要告诉大家，回归基本功。 那今天讲的基本功是什么？好好读题，就是读题，一定要好好读。这是杨老师反复跟大家强调，把题读明白，把条件转化清楚，对不对？题目，基本上你把题读明白了，条件转化清楚，对不对？题目，基本上你把题读明白了，条件转化好了，题目已经解决什么一大半了。 那很多同学是题都没有读懂，怎么怎么去解题呢？对不对？然后是通过这道题，这道经开二模的这道题，二十三题，然后给大家讲讲我们到底如何通过审题，把题审明白了，把信息转化成功了，这道题就做完了， 对不对？那前两问相对来说，我觉得还是比较简单的，但是有的同学第二问也会卡，但第二问它涉及到什么？这个题它本质上涉及到最大值和最小值。最大值杨老师跟大家讲过，它的本质是什么？ 你要先知道。你要求一个二次函数的最大值和最小值，你是不是要先要知道增减性？那第二小问，它是动区间定轴，这个二次函数的轴，对称轴是不是固定的， 对不对？然后这个 x 范围是不确定的，那你这个阿禅说，在这个范围之内的增减性是不是不确定的？因为增减性不确定，所以哪个端点值取得最大值和最小值，我是不是不确定？所以我才需要分类讨论。所以最值问题大家就记住了，它的本质是增减性。增减性不确定，你就要去讨论， 你就需要去讨论，对不对？那第三小问，杨老师通过读题帮大家去解决一下这个小题，好吧？而且第三小问答案当中没有给具体的过程，那杨老师帮大家去分析分析好不好？ 好，第一个 a 大 于零，明确了它的开口向哪里，开口是不是向上的，对不对？然后若函数记的是范围 x 在 m 加一到二， m 加一这一段上的和弦函数，那它是和弦函数，说明什么？是不是说明最大值减去一个最小值，它是等于个二的，对不对？ 然后这个小括号里说 m 是 正整数，那 m 是 正整数的话，那你会发现 m 加一，它一定是大于等于多少的，是不是大于等于二的，因为它是正整数，对不对？那 m 加一是大于等于二的，那二 m 加一呢？它是大于等于三的， 对不对？那所以这个 x 的 范围它是不是一定在对称轴 x 等于二的哪边？这个函数的对称轴是不是 x 等于二？所以我们就得到这个 x 大 于等于 m 加一，小于等于二， m 加一，这个 x 的 范围 它一定在哪里？在对称轴的哪里？在对称轴 x 等于二的哪里？右侧吧， 是不是？我们这是分析的思路在它的右侧，那在它的右侧的话，那这个 r 函数开口又向上，所以我就知道怎么样， y 等于一个 a， x 平方减去一个四 a， x 加上一个三 a， 再 x 大 于等于 m 加一小于等于二， m 加一上，怎么样？是不是随着 x 的 什么 随着 x 的 增大啊？什么啊增大吧。哎，那是不是符合刚才杨老师讲的那个思路？求一个函数的幺次函数最大值和最小值，我是不是先判断它的增减性？那我是不是判断出来这个幺次函数在这个区间上，它是 y 随着 x 增大而增大的， 对不对？它是 y 随着 x 增大而增大，那所以我是不是知道 y 的 最小值等于多少？ 是等于多少的？是不是就是把 x 等于 m 加一带进去？那它最大值呢？是不是就是把二 m 加一带进去？那所以是不是就是 a 乘以一个多少？ m 加一的平方减去一个四 a 乘一个 m 加一，再加上一个三 a 吧， 对不对？那你也可以把这个因式分解一下，然后再去代入也可以。那最大值呢？它应该是多少？是不是把二 m 加一带进去啊？那就是 a 乘以二 m 加一的一个平方减去一个四 a 乘以二 m 加一，然后再加上一个三 a， 对不对？那所以我们就知道 k 它是等于多少？ k 等于 y 的 一个最大值，减去一个 y 的 最小值。那整理完了之后，我们会发现它等于什么呢？就等于一个 a 乘以一个 r m 乘一个 r m 减二，除以一个多少？ a m 乘以一个 m 减二，那是不是就是一个四 m 方减去一个四 m 除以一个多少？我们把 a m 给它约掉吧。 a m 给它约掉，那是不是就是四 m 减四，除以一个多少 m 减二呀？好，到这里之后，你看还有一个条件，就是存在整数 k， 这个 k 是 什么数啊？是不是一个整数？ 那是一个整数的话，那你这个是不是就必须要是一个整数？其实这种类型的题陌不陌生呢？不陌生，我们在八年级下学期学一元次方程的时候，这一元次方程有个整数解也遇到这种， 那怎么办？分子分母都是一次的，我们采用分离常数的方法，对不对？那四倍的 m 减二加上一个四，把分子配成什么含有分母的项，或者你用换元是不是也可以， 对不对？那它是不是就是四？加上一个四，除以一个 m 减二，到这里题目已经解决掉一大半，那到这里是不是你只要把题目读懂了，就可以把它转化成功了，对不对？ 好，写到这里之后，你要求这个 k 是 一个整数，那你 m 减二分之四，必须要是一个整数，所以的话我们分零分情况， m 减二等于一， m 减二等于什么？负一， m 减二等于多少？等于二？ m 减二呢？等于负二， m 减二呢等于四， m 减二呢？等于负四，可不可以？那这种情况求出来， m 等于多少？等于三，对不对？这是 m 减二啊？ m 减二等于负一，那 m 是 不是等于一？然后 m 是 不是等于零？ m 是 不是等于多少？ m 等于四， m 是 不是等于零啊？ m 是 不是等于六？ m 是 不是等于负二？那你 m 是 不是要正整数啊？所以你这个是可以的，这个是可以的，这个是可以的，这个是可以的吧？是不是？ m？ 正常情况下我们可以取什么？三一四六，对不对？ 能理解吧？好，那三一四六，那我们分 m 取三一四六的时候，那我们分别把这个函数的最大值和最小值求出来，对吧？那把它最大值和最小值求出来，然后他俩一减等于几？等于二，那是不是就把 a 求出来了？这道题是不是就做完了， 对不对？所以做到这里之后，你是看一下是不是就不难了？所以这道题的关键是不是还是审题？你能把题读明白，那这道题你是不是就解决了一大半了， 对不对？一起加油啊，最后一个月一定要好好的是吧？认真读题，认真读题。

各位同学好，今天给大家带来的是佛山二模的几何压轴题，这个题三种方法都可以解十二面角，那么哪三种？第一是间隙，第二是纯几何法，第三就是投影的方法。那我们就来开始。这道题很有意思，因为高级的数学家就研究数学前沿领域的人， 他们会有一种思维，叫做工具思维，那这道题正好也说明了工具思维其中一种解法，只需要三步，大概两分钟就能解出来。我们先从必须要掌握的间隙法开始吧。 好，我们设 m b 中点为 e， a c 中点为 o， 那 么因为正三角形啊，三线合一，所以 a o 垂直于 b， m c o 垂直于 b m， 就 推出 b m 垂直于面， a c o， 又因为 a c 属于面， a c o， 那 么我们就直接可以得到结论了， b m 垂直于 ac。 好， 第一小问就解决了。第二小问我们先用间隙法，就是把几何问题代入化。那么第一步我们间隙要做什么？要研究这个图形的关系，这样我们才能把隙建出来。给我们的条件是， m 点到 abc 平面的距离为一， 所以我们先把这个距离给它表示出来， m 点到 abc 平面的垂足为 h， 把这个面单独拿出来，我们分析， a m 为二， m h 为一，还有个九十度，那我们就知道什么，知道这是一个三十度，六十度角的直角三角形，所以 b h 就 等于根三角， m b h 就 等于六分之二。又因为 m o 等于根号下 m c 的 平方减 c o 的 平方， 且 m c 等于 b c， 那 么 m o， 它也等于 b c 的 平方减 c o 的 平方就等于 b o， 对 不对？那我们就另 m o 等于，那你写错了，另 m o 等于 x， 根三减 x。 在 r t 三角形 m o h 中就有括号根三减 x 的 平方，加一的平方等于 x 的 平方， x 就 等于三分之二倍根三，对吧？ 那么 c o 我 们也就知道了， c o 就 等于三分之二倍根六。那我们来到第二步了。第二步就是以 o 点为圆心，垂直于 abc 面间隙，间隙之后我们就可以把这个点的坐标写出来。像间歇法这种比较简单的方法，就一定要做到一件事， 那就是简单的问题要流程化，只有流程化了之后，我们才不容易出错，对不对？坐标写出来之后，我们就可以写向量了啊。 第三步就写向量，面 m a c 和面 m a b， 他 们有一条共用边 a m， 所以 我们只需要写三个向量， a m 负三分之根三，三分之二倍根六 b a b 三分之二倍根三，三分之二倍根六。然后他们两两就可以得出不同面的法向量。 mac 面的法向量它是根三零一， mac 面的法向量它就是根二负一根六。第四步就可以通过公式计算它的余弦角的值， 显然这个余弦角的值它是一个锐角，也不需要考虑正负，最后就等于三分之三六。好，各位同学，我们来讲第二种方法，我们越深挖问题的本质啊，越能够找到巧妙的方法。好，我们观察到这个图形，它是关于 a e， c 这个面怎么样的？ 它是关于这个面对称的，所以 b 到面 m c 等于 m 到面 a b c， 所以 b b 一 撇，它就等于一。这里也可以用整体积法， v m 到 a， b， c 等于 v， b 到 m， a c， 为什么它就三，同一个三等锥嘛，对不对？那把这个展开呢？它就是三分之一 b b 一 撇就是 b 到面 a m c 的 距离乘以 s 三角形 a m， c 等于三分之一 m h 乘以 s 三角形 abc， 我 们任意三角形都是等腰三角形， 两组边都等于二，中间有个共用边 a c， 所以 他们是全等的 abc， 那 么我们就可以得到很重要的结论，是不是用对称也能看出来，用整体记法也能做出来， 那么我们就，哎，从 b 点做垂线交 a m， 就是 两个面的交线于 f， 这个 b f 我 们知不知道？知道吗？他就是个边长为二的正三角形的三线合一的线吗？就等于根三，所以我们要求的占引二法就等于根三比一， 那么我们要求的扩散也 c 塔呢，就等于三分之六。哎，还有一种方法呢，跟这个相比是一样的，原理就是搞的太复杂了，这种方法是最简洁的。好，希望大家都有所收获。

这张 r m 试卷才是中考的方向标，今年中考肯定会照着这个模板去出题，这是雷老师刚刚拿到的合肥经开区的 r m 试卷，合肥卷的质量就是高，我从头到尾全部看了一遍啊，跟你讲，和咱们的新课程标准 完全一致，新课标的第一页就写了这样一句话，我带你们来看一看，这是二零二二年颁发的新课标，那么新课标明确指出我们是要干什么， 让世界中国走向世界，世界，了解中国，后面坚定文化自信，换句话说，就是用英语讲好中国故事，传播中国文化 吗？加深对中国文化的认同和理解。所以我们可以看看经开区二模的试卷哈，从头到尾全部都是介绍中国。我接下来带你们看一看这套试卷，我真的建议家长们五一的时候给孩子打出来，让他练一练哈。呃，质量很高，难度刚刚好， 需要打印的哈，可以点我头像点私信九九九我给你们安排。首先从玩心应用闭篇开始，就是中国的东西，中国中医，就我现在很多年轻的孩子哈，可能对于中医了解的不是特别多， 让我们再看一篇关于人工智能，其实我们国家在人工智能方面发展的还是比较快的哈。后 b 篇，这个很有意思，是两个法国人决定徒步从法国走到上海，那你说我们的文化是不是超级有吸引力？然后看，再看 c 篇， 介绍中国大野生大熊猫，然后 d 篇是中国的一些社交媒体的软件， bilibili 等等哈。然后 e 篇， 中国的宇航员在重庆进行训练，你看，全是中国的东西，所以这道试卷真的值得你们去练一练。要了解中考的方向标，就需要去做做合肥他们的名校试卷。

二零二九年合肥中考二模小压轴。这个题可是有点不一样啊，在三角形 a、 b、 c 中，这个角是九十度， ab 等于八， ac 等于十， ac 平行于 l。 讲到什么？ 本来这里九十度，他们俩平行，那这里也是九十度，对不对？还有，如果我过 c 做一个垂直的话，它就是一个矩形啊，很容易就会得到一个矩形，看有没有必要，一切都在掌控中。 d 为 l 上的一个动点啊，在 b 点的右方 角， a、 d、 e 等于九十度，漂亮，在这条线上出现了这个直角， a 这里还有一个直角， 还差一个直角，就是一线三垂直了。紧接着他告诉你 d 和 a、 d 的 比漂亮，那肯定是一线三垂直了。 刚才我还有点犹豫对不对？现在还告诉你比例了，因为我做一个垂直下去的话，就是一线三垂直，就是相似，这个三角形和这个三角形相似，你看角一加它九十度，它加它，由于它是九十度吗？也是互余的，所以角一等于角二同角的与角相等， 所以相似。相似。比都告诉你了，你觉得是不是这样做的嘛？肯定是的嘛，毋庸置疑对不对？所以就会得到它比它对应边之比等于相似比一比三，所以这里就是三分之八， 他比他也是一比三，这是横向的水平宽度，这里是数值高度，非常特别的两个东西， 当 c 一 最短时， c 一 在这里， c 点是固定点， e 点是动点，那 e 点运动到什么的时候才是最短呢？你可能在考虑这个问题， e 点的运动轨迹是什么样子的呢？你还在考虑这个问题，哎，这个题不是这样做的，根据我们前面的已知条件， 是不是 c 点是固定的，你看这里三分之八，我要求的是 b、 d， 我 干脆设这里为 x， 那 么这里的数值高度就是三分之一 x， 没毛病吧？所以 e 点的横向长度、水平长度和那个竖向长度 就是纵坐标，是不是？你看横的竖的都知道，而且 c 点能不能知道它的坐标是不是？能啊，你看横的是十，竖的是八， 一点用 x 来表示它的坐标， c 点的横动坐标都知道两点之间的距离。公式，得到一个关于 x 的 二次函数，开口向上不就有最小值吗？ 原来是往什么代数方面去转化了啊，一个几何和代数的一个转变。好，你可以建立直角坐标系， 对吧？以这里为 x 轴，这里为 y 轴，建立直角坐标系，从而表示出一点坐标和 c 点坐标，十分自然的可以表示出来啊。你看一点坐标是 x 加三十八横坐标， 纵坐标就是三分之一，十分自然。 c 点横坐标是十，纵坐标是八，十分自然。两点之间的距离公式你知不知道？不知道没有关系，构建一个直角三角形，这里是十减它，是吧？整个是十，十减它， 所以这里的平方啊， e、 c 的 平方就等于十十减，它的平方就是十，就是三分之三，十减它就三分之二，十二减 x 的 平方加上这里的平方，八减三分之一， x 八减三分之一 x 的 平方，很明显会得到一个二次项，是正的 s 函数 态度向上了，对不对？我要求的是 x 啊，不是说他的最短是多少，不是说 c 一 最短是多少，我要求的是这个 x 的 值，所以我只要掌握出这个二次项里面的这个配方的 这个东西就可以了，而不是看他屁股后面的顶点的动作表是多少，我只要知道横坐标是多少就可以了。你可以用对称轴是吧？ s 函数对称轴就可以做了。我先展开吧， x 平方减去三分之四十四， x 加上这个是什么东西？其实无所谓啊，因为我不，我们不是要求它的值，知道吧？这里九分之一啊，是不是三分之一啊？是九分之一 x 平方减去三分之十六， x 加上六十四，我要的是这些东西。 九分之十 x 平方减去四十四加十六，六十除以三二十 后面是一个黑咕隆咚的什么东西，不用管它是不是，我要对它进行配方就行了。九分之十 x 平方是多少啊？二十除以九分之十乘以十分之九就是十八。 很明显，这里要配一个一次性系数一半的平方，配一个九的平方就可以了，是吧？这就是玩具平方式。后面是一个什么黑咕隆咚的都不用管了，一堆狗屎啊， 等于九分之十什么的。 x 减去九的平方，黑咕隆咚一堆狗屎不用管。所以 x 等于九的时候，反正就是能够取到一个最小值，这个最小值就是它不知道什么东西。 b、 d 等于九，就这么个意思，请你坐到这里，直接用用我们的对称轴的公式，负二分之 b 对 不对？那更快是不是？ 是不是？所以说等于什么呢？你看，就是二十除以九分之二十等于九，用对称轴来做，因为对称轴就是顶点的横坐标嘛，十分自然。各位牛逼牛逼。

二零二六年，亚洲必有一道立体几何。最近已有多地模拟试卷出现立体几何压轴题。比如刚考过的郑州二模，已知一个圆锥的底面半径为五， 表面积为七十五块。若在该圆锥内放入三个半径均为二的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切。球半径二有已知条件，一，通过圆锥的表面激光时，很容易得到圆锥的某线长为实 母线，是底面半径的两倍。我们发现这个结面是等边三角形。为了满足这两个相切条件，三个球只可能这样排列， 画出正面和底面的矢图。通过观察正面矢图，结合刚才得到的等边三角形，我们可以求出这段长为根号三二，也就是底面矢图这段的长度。再用三个球心组成的等边三角形，我们求出另一段长为三分之二倍根号三二。 最后把两段长度相加，等于里面半径大二解的最终答案为，根号三。先是二零二五年十月新课标，从了解到掌握难度跳两级。或有多位命题专家表示，弱化间隙洁面动态球将成为压轴常客。这类题型一定要多加关注。

刚考完的合肥二模数学卷，难度在近期高三模拟卷中应该数一数二，不仅仅难，这份卷子还有点反常规，选填压轴题就极其有选拔性，大题顺序则完全反常规，这份卷子能考到一百一十分以上就很不错。单选后三题估计很多人会耗时较多，其中第六题和第七题都是高频常规中上难度考题， 计算量有一些，第八题则是三角函数和解三角形难题，但此题完全可以使用特指法速解，详情见咱们配的解析多选择题。第十题的平行六面体大家务必要重视，虽为中档题，但能卡住很多不善于使用向量的同学。第十一题和第十四题都是实打实的难题， 其中第十一题的 c 选项计算方法选的不对，计算量会很大。大题前三题分别为概率倒数和圆锥曲线，即使不是难题，但在考场上看到这样的卷子，估计直接会被吓哭。 第十八题是空间几何压轴，但就是计算而已。第十九题是全卷的灵魂，他把计算机科学中的基础算法二分法引入考卷，重点不在于计算，而在于对期望定义的理解和对数关系的放缩，证明有较大区分度。

hello， 同学们好，我是数学大兵老师，我们来讲一讲这个二五年合肥四十二中二模卷的几何压轴，这是一个结合特殊四边形为背景的几何综合体，一起来看一下哈。它告诉我们，这是有一个矩形 a， b， c， d， 然后 a， b 是 大于等于 b c 的 对角线交于点 o， 而且还有一组互相垂直的线段， 就是 e f 和 a e 垂直，那如错所述，可以把这个垂直给它交出来，就是这是一个直角啊。第一问呢，他说若 a b 等于 bc， 通过这一个附加条件，我即可得证这个矩形一组棱边相等，那就变成了正方形 a， b， c， d 了。好，那对角线互相垂直，平分且相等，而且还平分对角，每一个角都得的是 a， e 等于 e f。 第二个，让我们去证这三个线段之间存在的数量关系，那看到这个倾斜的直角，我们以前一直在念叨的倾斜的直角常用一线三垂直，那我即可用一个一线三垂直的方法来去证他。我就可以过点一哈去做这个 ab 的 平线。假设这个交于 m， 那 个这个交于 n， 我只要去证明这个三角形 a， m， e 和这个三角形是 e， f， n， 这两个三角形全等，那就可以说明什么你 a， e 和这个 e、 f 相等了。那一起来看看怎么去正反。首先做完这个平行以后，我即可得出来一个矩形，就是 ab am， 这是一个矩形，那矩形对边平行且相等，所以我可以得出来这个 b n， 这一个 b n 和这个 m 是 相等的。那同样的，我刚才说了平分对角，那这是四十五度，你这又是垂直，这个也是一个垂直，所以我可以得出来这个小的三角形 b， n， 它就是一个等腰直角三角形。那你的 e、 n 哈，这条边和 b， n 就 相等，那也和 m 相等即可得证。什么呢？即可得证我们这个一组对边相等了，然后再利用这个角有垂直，这一个小角和这个小角是不关系的，相等那两个三角形即可找到全等 i e 就 等于 f e 了。 好，一起来给它标记一下。 第一个，第一小问，我们来证明一下，我们是过点 e 做的 m， n 平行于 ab， 交 ad 于点 m， 交 bc 于点 n。 首先由我们这个 a、 b 等于 bc， 加上这个矩形 a、 b、 c、 d 两个条件一合并，它就变成一个正方形 a， b， c， d 了啊，因为，所以可以得出这个结论，那则我们这个 b、 d 哈，就是平分， 平分角 a、 b、 c， 得出来这个角 a、 b、 d 等于角 c， b、 d 都是等于四十五度的啊。然后我们做完这个平行以后呢，即可得出来我这个垂直，垂直以后，我们来 你的 b、 n 和 e、 n 所在的这个三角形即可说明它是一个等腰直角三角形了。好，再来说明一下哈。首先异正我们这个四边形 a， b， n， m 为矩形， 做完这个矩形以后，我们得出来第一个就是 a， m 等于 b， n 这个矩形的证明还是比较简单的哈，因为你做了平行，这个角是九十度，这个角也是九十度，有三个角是九十度的，那说明这个角是九十度，或者是说明这个角是九十度，都可以说明它是一个矩形了啊。 好，证完这个之后呢，你的 b、 n 和 am 相等，这是一点，那我们再去证一个等腰，直角三角形。刚说的还有一个是三角形 b n e 为等腰， r t 三角形即可得出来， b n 和这个 an e 是 相等的，这是两个相等的腰，这个边和这个边相等，也和这个边相等，然后再 e 证，指出全等 有角度有角，这个是 a e， f 等于九十度可以推到这个角 a e m 等于这个角 e， f， n。 然后异正旋转来了异正三角形 a， m， e 全等，这个三角形是 e n， f 全等，我们就是对应的是角角边， 那则我们的 a e 就 等于 e f 可以 得证了，这是对应的。 好，正完这个以后哈，那再来看第二个，他让你去证明这个 ab 还有 b f 和 b e 之间的数量关系，我依旧还是用这个辅助线都可以去。正因为你全等可以得出来的，你的 m e 和这个 f n 相等，就是我们这条边 和这条边是相等的，你看你的 m e 跟 a b 之间差一个水啊，是不是就差这一段，你加上这个 n e 就 行了。 n e 和 b e 呢？二分之根号，二倍的 b e， 那 b a 呢？也是二分之根号，那不又把 a b 还有 b e 都拎出来了，好，来写一下哈。 第二问，我们由 e 全等即可得出来，我们对应的 m e， 在 这里看，它和这个 n f 就 相等， 那 m e 呢？我们和 ab 之间的关系就差一个 e n， 再由 ab 等于 m， n 就 等于 m e 加上 n e 啊。这时候再来看哈，你的 f n， 它是由哪部分组成的？ b f 加 b n， 加上我们这个是 b n 来 b n， 我 们刚才继续得证了，它是和这个 e， n 还有 i m 都相等， 它这个是二分之根号根的 b e， 所以 你看你的 a b 有 没有出来，它就是变成谁了。那它其实就是相当于是我们的 b f 加上我们这个 b n， 再加上 e n 来 b f， 再给它换成二分之根号二倍的 b e， 再加二分之根号二倍的 b e， 那 最后结果就出来了，就等于 b f 加根号二倍的 b e 可以 得成。这是但呢，这只是第一问的一种接法， 法一就是用了一线三垂直， 但呢，我们还有一个法二， 反而呢，我可以利用一个接长不短的思想啊，但是这时候呢，我第一个是要去做垂，可以这样去做，我来把这个思路点一下哈，就是过这个点 e 去做 b d 的 垂线， 交这个 a b 与一点，我假设这是一点 g， 此时你做完垂直以后呢，我们这个 b e g 这个三角形是一个等腰直角三角形，因为四十五度也出现了呀，这个也是等于四十五度的，那所以你的记忆和这个 b e 就 相等。然后再来看你这两个小角， 这个角和这个角也是相等的啊。当然第一问，你这个角也可以去得证，证完这两个角相等，然后我们又有什么边对应相等，我只要再找一个条件，找哪一个呢？来，刚才说了这是九十度，你这个做的不是垂直吗？也是九十度。 同时去掉之后，你看看所得的这一个叉和这个叉什么关系了？就是 a e g 和 f e b， 它俩也是相等的角， 此时我们可以利用角角边证到什么全等，他证到全等以后，也可以说明 a e 和 f e 相等啊，这个就是第二种方法，但呢他做第二问会更快了，截长补短。因为你此时你看 b e 在 这里， 那 b g 呢？刚好是根号二倍的 b e， 那 a g 和谁相等，又和这个 b f 相等？第一问得证呢，直接可以得证。好，我们一起来看一下这个法二。法二，我们就是 过点 e， 我 们做的是记 e 垂直于 b d， 然后将我们这个 a b 与点 g。 首先我们可以异正正方形 abcd 啊，从而可以得出来我们这个三角形 b， e、 g 为等腰直角三角形 啊，这个等腰直角三角形以后呢，所以我们可以得出来，我们 b e 和 e g 相等 啊，这是一个全能条件出来了，然后再由八字形导角， 直接可以导出来我们这个角 e i、 b。 这个此时写角 e， i g 等于这个角 e、 f、 b， 再加上我们这个角 a， e、 f 等于这个角 g， e、 b 等于九十度，从而可以得出来这个角 a， e、 g 等于这个角 f、 e、 b。 同时去掉中间这个小角，它的剩余的两个角相等，然后 e 正水了即可。 e 正三角形，我们这个 a、 e、 g 全等于这个三角形 f、 e、 b， 此时它用的就是我们讲的九角边 证到全等以后呢，那则 a e 就 等于 e f 啊，这是第一小问呢证明。那第二小问呢，更简单了，我们由等腰二 t 三角形，它对应呢就是 b， e、 g 即可得出来，我们这个 b g 就 等于根号二倍的 b e 啊。在这里，那我又知道，通过全等由三角形 a、 e、 g 全等这个三角形 f、 e、 b 得出来，对应边是相等的，那我们的 a g 和 b f 就 相等， 那 ab 是 什么呢？因为 ab 它是由这个 a g 加上 b g 组成的， 那所以 ab 又出来了，就等于我们对应的一个 b f 加上这个根号 b 的 b 可以 得成了，这是第一大问的。 好，我们继续来看这个第二大问啊。我告诉你， f b 是 十二， b c 等于八，我们给它标上去，这是十二，这也是十二， 这是八，这就是八。然后 b e 呢？是二分之一的 o， b e 点是 o b 的 中点，那 o 点又是这个 b d 的 中点，这是一个 d。 好， 即可得出来，我们这个 e 其实就是 b d 的 四等分点， b 是 占它的四分之一啊，这是要知道的。我们刚才第一位呢，用了一个一线三垂直的辅助线， 正则的全等。那现在我如果去构造一线三垂直的话，他出的就是相似了。来，我们继续做，还是做这个 m n 平行于这个 a b， 那 相似比是多少呢？我们可以给它求出来。因为 e 点是 b d 的 其中一个四等分点， b e 比上 b d 是 一比四，那 b n 比上 b c 呢？也是的，那我们这个就是二， 那同样你的 e n 呢？它也是这个 c d 的 四分之一，那就是三，那你 m 也是等于二的，所以它的相似比就是二比三，那我们 m e 这边是九。哈， 此时我就可以把 f n 给它求出来了。 f n 知道你的 b f 呢，不就可以知道了吗？对吧？这个一知道，接下来他让你去求的是谁啊？求的这个 f p 和 eq 的 比。你看 f p 在 哪里能用线表示出来？ eq 在 这里。那你想想，我们此时 f p 和 eq 之间没有关系，我即使把这个线段求出来之后，你如果再去把这个 e p 给它求出来，那个计算率就比较大了 啊，再去接上这个 f、 p、 e、 q 接上都不小，所以我可以给它利用相似来去转换。比如我们这里面还存在一个什么 八字形的相似，在这里你的 p e 比上 e q 是 多少？就是 b e 比上这个 d， e 就是 一比三。如果去解释这个 p e 这一小段长哈， 这个是 a， 那 你的 q e 就是 等于三 a。 那 我现在只要把这个 f p 也用 a 来表示出来，不就可以了吗？怎么表示呢？我刚说了，你把这个 f b 都求出来了， f b 和这个 b n 的 比，不就是你的 f p 和这个 p e 的 比吗？ 哎，出来了，那它的比值都用 a 来表示了，比值不就出来了吗？来。所以这个方法依旧可以在这个第二大文来进行试用， 还是一样的过点 e 做的是 m n 平行于谁呢？ ab 交这个 a， d 于点 m， 交这个 b， c 于点 n， 我 就不再去做追溯了啊。紧接着呢，我可以 e 正相似 e 正三角形 i m e 相似于这个三角形，对应的是 e、 n、 f， 而且我们相似比是多少呢？就是你的 m 比上 e、 n 啊。再由我们这个 b e 等于二分之一的 o b 即可得出来，我们这个 b e 比上 b d 就 等于谁呢？ b n 比上这个 bc， 也等于我们这个 e n 比上这个 dc 都是等于多少呢？是倒出来是一比四的，所以相似我就不交代了。这个平行再相似比较简单，所以你的 b n 就 等于二，你的 e n 呢？就等于三， 那则相似比哈，我们的 m e 比上 n f 就是 等于你的 am 比上这个 n， e 或者 e， n 就是 等于二比三的， 这个二是可以通过矩形可以得出来的。这二比三以后呢，所，所以我们的 n f 就 求出来了，因为你的 m 一 等于九呀，啊，猜一乘，那就是二分之二十七，再求出来，我们这个 b f 啊，就是 n f 减去这个 b， n 就是 二分之二十七减二，那就二分之二十三了。好，然后我们由 这个相似三角形 b， p， e 相似于三角形，这个是 d q， e， 这个相似要写一下，它是八字形相似，我即可得出来，我们的 p e 比上 q e 就是 等于 b， e 比上 d， e 是 等于一比三。我可以解设 p e， 哈，等于 a， 那 则 q e 我 们就等于三 a， 然后再由我们的 f b 比上 b， n， 它是等于 f p 比上 pe， 我 可以把这个 f p 给它表示一下，这是 f p 比上 pe 哈，那即使此时我们的 f p 就可以用这个 a 来去给他表示了。因为 f b， 你 刚求的是在这里二分之二十三，然后 b， n 呢，我们是二，那就是变成了四分之二十三，再乘 a， 你 就四分之二十三 a 则要求的哈，要求的你的 f p 比上 e， q 就 出来了，上面是四分之二十三 a， 下面是你给他解释的三 a 就 出来了，就等于几呢？我直接写就过了哈，就是等于十二分之二十三 啊，这是继续用一线三垂直来去整，但呢，这只是一个法一，其实我还有个法二法二呢，就是万能法。哎，在我们这个几何里面，永远的是哈，也不是说万能，大部分的几何体呢，我都可以利用这个方法叫四点共圆。 我如果把这个 a q 给你连接，你会发现我这是垂直， 这是垂直。如果取 i q 的 中点，你这样一连接，即可说明我们这个 i e、 q d 四点共圆。 它都四点共圆了，那我就可以说明角之间的关系了呀。如果把这个角换一个颜色哈，如果把这个角标记成 alpha， 那这个角它也是变成谁了，也是变成 r， 那 这个 r 的 值，它可以求出它内的值是几呢？就八比十，我们对应的是二比三，所以你的 eq 比上这个 a e 也是可以说明是二比三。那如果我给他这边是三 a， 那 我们的 a e 就 可以表示成二分之九。哎， 那再来看哈，我们这个垂直依旧还在，这边也是垂直啊，这个呢，也是垂直。我继续可以说明这个 a e b f， 它是四点公园，一样也可以取 a f 的 中点来去证明四点公园，这些都是不会扣分的。那它对于那角呢？ 这个继续是 r， 那 这个角也是 r。 发现了哎，我即可说明我们这个二分之九 a 的 同时，我即可说明这个 f e 也可以用 a 来去表示，它去掉 a 不 就等于 f p 了吗？都可以用 a 来去表示。好，这是法二。我们来给它写一下哈， 就是连接这个 i q， 然后取中点去正四点公园， e， 正点就是 a e q d 四点公园， 这时候四点公园以后呢，它则我们这个角 e， i q， 就 等于这个角是 e、 d， q， 我们都给它记作 alpha， 方便去表示哈。然后我们由它的 alpha 等于谁呢？是 bc 比上这个 c d 等于八比十二，也就是二比三。 我们还有一个就是 eq， 继续给它解释为多少呢？是三 a， 我 就可以得到我们此时的 a e， 哈，就它来比值，可以得出来这是二分之九 a e 是 二分之九 a 了。再来另外一个，再由 点 a e b f 这个四点共圆， 我即可得出来。什么呢？得出来另外一组对应角相等，就是这个角 a b e 等于这个角 a f e， 它也是等于 f 啊，所以推出来我们这个 a e， 那 它的 f e 就 等于 a e， 比上这个 f e 也是等于二比三的。 此时，那此时呢，我即可把这个 f e 给你表示出来，用 i 来去表示 f e， 那 就等于四分之二十七 f e。 知道了，刚才我们这个 e p 继续是通过八字形相似给他解释的 i， 那 则我们的 f p， 哈，就是 f e 减去 p 减去这个 p 就 变成了四分之二十三 a， 四分之二十三 a， 再比上刚才的 eq， 那 所以你的 f p 比上这个 eq 哈， 还是一样的。四分之二十三 a， 比上我们刚才的三 a， 最后结果还是十二分之二十三，这个就是利用四点共圆的方法来进行求解的。

我们来看一下石家庄二模的这个填空的压轴题啊，这个题呢，米奇老师真的是想恶心大家一下啊， 呃，他说呢，在母线与底面左上角为三分之派的圆锥里面，放了三个半径为一的球，这三个球呢，两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切啊，第一个空挡让咱们求圆锥的底面半径， 那么为了让大家呢，更方便理解这个题啊，我把这个图呢大概做了一下，注意啊，大家看的时候要注意，后面还有一个球呢啊，也就是前面两个，后面一个，当然上面这个球是为第二个做第二个做准备的啊，它是咱们球这个球的半径，圆锥的底面半径。 那么要想做出这个题来呢，我们只需要做两个图就可以了，第一个呢是， 嗯，洁面图啊，哪个洁面图呢？假如是这三个底面的球的球心呢，分别是， o 一， o 二， o 三，注意啊， o 三在后面呢啊，在后面呢，我就不标了啊， o 三，那么这三个呢，由于这个球啊，是规则的对顺图形，圆锥呢，也是规则的对顺图形，所以说呢， o 一， o 二， o 三一定可以构成一个什么形啊？等边三形， 对吧？ o 一， o 二， o 三可以构成一个等边三角形，那么我们想啊，既然这三个球呢，分别与侧面和底面向切，所以它肯定是关于谁对称啊，中心对称嘛，那对称中心是谁啊？对称中心呢，实际上就是我们这个等边三角形的 圆形 o， 那 么他说呢，这三个小球的半径呢，全是一，所以呢，这个等边三角形的边上呢，就是二，所以说呢，我们可以求出谁来， o e o 的 长就是高的三分之二呗，对吧？那么我们知道等边三角形的高 h 呢？等于二乘以的二分之根号三，所以呢，等于根号三， 那么呢， o e o 就 等于呢，高的三分之二，三分之二 h， 所以 等于三分之二倍根号三， 三分之二倍根号三， ok， 那 么 o e o 我 们就求出来了，那么 o e o 有 了之后呢？我们怎么去求这个底面 圆的半径的？这个呀，我们找一个洁面图就可以了，为了方便的理解呢，我们做把它的俯视图和 斜轴洁面图做出来啊。俯视图，我们先看俯视图，俯视图呢，大概是长这样的，嗯，这有一个圆， 这有个圆，这呢？还有一个圆，是一坨啊，这个画的不是很圆。 ok， 然后呢，那个我们说的等分三角形的中心呢？在这，这是 o 一 o 二 o 三， 对不对？然后呢，外边还有一个大圆，就是他让咱们求外边这个大圆的半径，外边这个大圆的半径呢，实际上就是求这段距离呗，是吧？假如说这个大圆的圆心是 o o 撇吧， 不能跟我们这个等边三角形的圆心给重合掉，其实让咱们求的是 o 片 a 的 距离，对不对？这是俯视图啊，那么 o 片 a 呢？我们怎么去理解这个俯视图？我们来看啊，实际上我们还得把它的这个呃 轴结面可以做出来。轴结面做谁呢？就是轴结面千万不能做正视图啊，不是正图，这个做的轴结面不是正视图。为什么不做正视图嘞？因为你正视图做出来是这样的， 这有一个圆，这有，呃， 这有一个圆，这有一个圆，对不对？好像感觉着，嗯，为什么不做这个正视图了？因为这个正视图 我们跟底面圆的圆心啊，没办法建立联系是不是？那他两个，这两个 o 一 o 二连线的终点呢？也不是，不是，什么呀，不是底面圆的圆心， 对不对？所以说做正视图是不行的啊，那我们做的是什么图呢？我们我们在这个左边这个图当中简单画一下，是 s， 假如这是 a， 这是 b， 我 们做的是这个这个界面，嗯，这我画成虚线吧， e 是 从底面穿过去的啊，不是从这个球面穿过去的，做的是这个轴界面， 大家懂懂这意思吗？就这个轴结面啊，这个要要包住这个点，就是他是这么斜着结过去的， 因为只有斜着结过去才有可能我们找到这个中心嘛，这个中心在顶上投影才是啊。假如说这是 o 了，这是 o 片了，我们我们俯视图当中的这个，呃， o 片啊，就是老师刚才画的这个，这是俯视图啊， 俯视图中 o 片是这个位置，大家能看，大家能想得出来吗？并不是正视图当中的这个位置啊，并不是正视图当中的这个位置，这个位置可不是 o 片， ok 吧？好，我们再做一个这样的图啊，把这个界面给拿出来，就是 s， 这个点，就表表一个 b 吧， s a b， 这个界面 拿出来， 对不对？然后呢，这是 o 一， 这是 o 了，你看这有一个 q q o 一 啊， q o 一， 对不对？这是 o 一， 然后呢，他跟侧面相切和底面向切，对不对？然后呢？这一段距离啊，注意啊，这段距离可不是正视图当中的这段距离啊，而是我们谁呀？ o e 到 o 的 距离，对不对？那么 o e o 的 距离呢？我们已经求出来了，是多少啊？ o e o 是等于呢？三分之二百杠三。那么实际上这个半径就是 o 撇 a 的 长嘛，那么 o 撇 a 呢？就是 r， 我 们要求的半径大， r 是 o 撇 a， o 撇 a 等于谁啊？等于呢？ o e o o e 我 标得远了， o e 实际上指的这个位置 o 片 a 呢？等于 o e o 加上谁啊？假如说这个点是 d 点吧，加上 ad， 那 么 ad 怎么求呢？ ad 就 放在这个直角三角形当中来求了，因为等于呢？ o e， o 加上呢谁啊？ a o e 应该是 o e d o e d 除以谁啊？它这个，呃，它这个六十度，是不是 六十度？所以呢，我们来求一下，它等于多少呢？ o e o 的 差是三分之二倍根号三，就是因为 o， e， d 是 等于半径一嘛，所以就变成了三分之二倍根号三， 加上呢三分之三倍根号三了， 对吧？根号三， 我们来看一下啊，这个是不是 v d 一， 这是三十度了，这个角是三十度，因为他说，呃，母线和底面的夹角呢，是六十度，所以这个一半是三十度了， 对吧？ a d 呢？应该等于贪婪三十是对比斜啊，贪婪三十。我们写一下啊，贪婪的三十 是等于的，对比斜的对 o e， d 除以谁啊？ a d 嘛？哦，所以这写错了，这稍微出点问题，应该不是除以贪婪，就是除以贪婪三十。 把这个写清楚一下啊，就是他那个三十，因为这个大角是换个颜色吧，这个翘角是三十度啊，因为母线和这个大角这个角，这个绿色的角是六十度嘛，所以紫色的角就是三十度了，所以呢，我们来求一下啊， 黑色篮球再写一下弹性的三十，弹性的三十是等于谁啊？ o e d 除以谁 a d 嘛， 对吧？所以说 a d 应该等于谁啊？这应该是三分之根号三，加上呢一除以弹性的三十，就是三分之根号三， 对吧，也就等于呢，三分之二倍根号三加上根号三喽，所以这个以通分呢，等于三分之五倍根号三，对吧？所以第一问呢，这个半径大 r 呢，就等于三分之五倍根号三， ok， 那 么第一问搞定了吧？第二问呢，就相对来说简单一些啊，所以命题老师呢，觉得第一问做出来了，第二问就顺理成章了。那么第二问怎么做呢？第二问还是用我们最后结的这个 s a b 这个结面，我们再重新画一下这三角形啊， 放在这， 这是 s a b， 这呢有一个球，画一个球就可以了， 然后呢，它说上边啊，还有一个球跟它相切，然后呢，也跟，这个 大概是这么个意思啊，这是 o e， 其实就是我们这个上面这个图当中最上面这个球给他取个什么名字嘞？嗯，叫 m 吧， 求 m 吧，可以吧，这，这个这个球啊，这个球在上面标一下这个球，就是求 m， 球心是 m， 那 么这是 m 点在这呢，对不对？ 所以说呢，我们当然显然这个球就更是对称的了，是不是？这个什么意思嘞？就是说这个点 m 啊，一定是在这个圆锥的 轴线上，对吧？圆锥的轴线上，要不然他不可能跟三个小球同时相切，然后呢，跟圆锥的侧面也都相切，是吧，所以他是不可能达到这个的啊， 哦，他没说啊，是的，所以呢，我们来看啊，这个怎么办呢？因为现在呢，第一问，我们已经算出来了，这段距离， 也就是说绿色的这段距离啊，就是说球心 o 一 啊，是三分之二倍根号三，注意啊，这个还是不能跟正视度高混了啊，不能觉得他是一啊，这个呢，这个绿色的长度是三分之二倍，根号三， 给他取个名字吧，叫做 m n， 这点是 n 对 不对？也就是说 o e n 啊，由第一问，我们已经知道了，是三分之二倍根号三， 对不对？然后呢，我们知道这个球的半径呢，是一，也就说这段距离 n n o 撇是吧， n o 撇就是 o 撇， n 是 一的。然后呢，又因为这是相切的， 这是相切的，因为这个球 m 和侧面相切嘛，那么我假设呢，这个小球的半径呢，是小 r 小 r， 那 么所以呢，因为母线跟底面的夹角，这是六十度，所以呢，这个角必然是多少度啊？三十度， 我们知道三十度所处的角边呢，斜边的一半，所以说呢， ms 就 等于二 r 对 不对？那么由于呢，上面这个球和下面的球都是相切的，所以说 m o 一 呢，是等于 r， m o e 呢，是等于二加一的，那所以说呢，由这个我们就可以推出来，推什么来？呃， m n m n 的 场应该是多少啊？购物定律嘛，是不是等于根号下 r 加一的平方减去呢？三分之四，减去三分之四，对不对？那么由第一问呢，我们已经求出来了，就是底面圆的半径呢， r 等于谁啊？ o 片 a 等于呢， o 撇 b 等于呢？呃，三分之五倍，根号三，所以说呢，我们可以求出来这个圆锥的高 a h 是 等于五的， 对不对？怎么求的呀？根据正弦值嘛，这我可以写的详细一点，就是弹性的六十 等于谁啊？ h 除以 r 吗？所以呢，我们求出来 h 是 等于五的， h 是 等于五的，没错吧，那么 h 又怎么表示呢？ h， 这就是五等于 h 等于谁啊？等于 o 撇 n 加上 m， n 加上谁啊？ n m s 是不是？所以呢，那么我们就可以表示了啊，就是 四，我们代一下数吧，不挑拨啊，代一下数，六计算，换成黑色的来计算，就是五等于呢， o 撇 n 呢是一对吧，加上 m n 呢，是根号下 r 加一回来的平方减去了三分之四，加上呢 m s， m s 是 二二，所以我们解这方程就可以了啊， ok， 放到上面了，所以呢，我们知道了，四减二二 是等根号下哦，完全平衡公式可以展开了啊， r 方加上 r， r 减去的三分之一，所以呢，我们两边同时平方，那么我们就得到了再化简，就是 十六减去八，二十四个八，这是十六， r 加上呢四 r 方等于呢， r 方加上二 r 减去呢三分之一， ok， 我 们一项整理呢，就 得到了。嗯，三 r 方减去呢十八， r 加上十六，加上三分之一等于一，所以呢，这个分式化整式等于零啊，不是等于一，所以就是九 r 方 进去呢，五十四， r 加上了四十九等于零，所以呢，我们就解这个方程就行了啊，有一点计算量， r 呢，等于二， a 分 之十八，负 b 五十四加减更好， b 方减 c， c 就是 五十四乘以五十四 比方吧，减去 c， c 四乘以九乘以呢，四十九，然后呢，这里面就五十四。加减呢，里面先提出一个九来，九开出来变成三， 然后呢，再提一个四，四开出来是二，所以呢，这变成了提个九呢，剩个六，对吧？呃，六，再开出一个四是九九，八十一，这八十一减去呢，四十九， 除以了十八，所以呢，这个就变成了。呃，三分之消掉了一个六嘛，九加减的。嗯， 根号下八十一，减三十二， 三十二，所以呢，就等于三加减三分之四倍。根号二嘛。啊，因为你这个圆锥的高才十五了，所以它不可能是加啊，所以等于呢，所以二等于三减 三分之四的一点二。 ok 啊，这个题呢，还是有难度的啊，不好想，就是不好，容易错。在哪呢？容易把这个正视图啊，当成我们要做题的这个图啊，这两个图容易搞混。

一法解千题，还是三角函数和勾股定律来破局，这是南二外二模前后小压轴。首先还是开发条件，在正方形 a、 b、 c、 d 中 四边等长，四个角都是九十度，又已知 b、 e 等于 d、 f。 给出不相邻的两条线段。等长是让我们政权等的，所以可以快速地锁定 e、 b、 c 和 f， d、 c 这两个直角三角形。判定的方法就是边角边对称等，倒边得到 c， e 等于 c， f。 倒角得到 e， c、 f 是 九十度，所以这是个等腰直角三角形。又已知 m 是 e、 f 的 中点， 看到中点就想把中斜三 e、 f 在 两个直角三角形中。先看上面的直角三角形 a、 e、 f 有直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到 a， m 等于 e， m 等于 f， m 都等于五。在下面的等腰直角三角形 e、 c、 f 中连接 c、 m。 利用斜中定律可以知道斜边上的中线 c、 m 的 长等于斜边的一半等于五。再有等腰三角形，三线合一得到，这是直角，所以 e、 c、 m 也是等腰直角三角形 e、 c 等于五倍根号二，已知 a、 b 等于七，也就是正方形的所有边都是七。由 b、 c 等于七，在直角三角形 b、 c、 e 中结合勾股定律算出 b、 e 的 长等于一等于 d、 f。 此事标图传染， a、 e 等于七，减一等于六， a、 f 等于七，加一等于八。到这最关键的一环来了，就是见直角就开发。隐藏的三角函数已经讲了很多遍了，一定要记住，六和八所在的直角三角形 a、 e、 f 中 得到 tangent alpha 等于 a、 f， b， a、 e 等于八比六等于四比三，而等边对等角，所以角 e， a m 也是 alpha 最后一个条件。角 a m， n 等于四十五度标好，再把问题问的 m n 描出来， 我们会发现，不管是开发出来的条件还是已知条件还是问题，都集中于一个三角形 a n， m 中，这两个角的三角函数值已知，要放到直角三角形中，所以过 n 做 n h 垂直 a m。 先看左上部分的直角三角形 a n h 根据它的函数等于四。比三设 n h 等于四 x， 则 a h 等于三 x。 再看右下方的等腰直角三角形 n h， m 得到 m h 等于四 x， m n 等于四倍根号二 x 啊 a m 等于五，利用起来得到三 x 加四 x 等于五，借得 x 等于七分之五，所以 m n 等于 四倍根号二， x 就 等于七分之二十倍根号二。这也就是最后的答案了。 show case 哪里？

大家好，我们来看一下这样一道题，这道题是咱们最近合肥二模的啊，解答题都是个十八题， 呃，这道题的话，难度是属于中等的，大家努努力是完全是可以拿到满分的。 好，我们来看题，第一个在面积为三倍根号三的梯形 a、 b、 c、 d 中啊，它的面积是三倍根号三， a、 d 等于两倍的 ab， a、 d 等于两倍的 ab 等于两倍的 bc， 一 比一比二的关系 好， bc 是 平行 a、 d 的 好， e 是 a、 d 的 中点啊，那既然 e 是 a、 d 的 中点的话，那这个，这个，这些这四条线的长度应该都是啊一样的， 那么将 a、 b、 e， a、 b， e 这样沿着 b、 e 给它翻折到这个 a、 e、 b 这个三角形上来。 ok， 我 们来看一下啊，这个地方我们比较核心的条件其实就是这个长度关系啊，长度关系加上这个翻折起来的，我们这个翻折前后的话，这个长度应该是保持不变的，就这个应该是等于这个的， 然后 a、 e 应该是等于 a、 e 的 啊，然后我们这里面这些长度啊，是相同的， 在梯形中啊，我们如果遇到这些长度相同的话，我们会很容易去想的，如果我们去连接这个 c、 e 的 话，那我们立马就能得到一个菱形，菱形一，二菱形 好，那么这个题目还给了一个面积三倍根号三，这个到时候怎么用呢？面积的话啊，我们梯形面积可能想到是呃底乘以高除以二，对吧？但是这个地方我们可以看一下，其实这里 这里面把这个梯形分成三个三角形，三角三角形，那么这三个三角形的面积其实应该是一样的，其实应该是一样的，因为这边啊是菱形嘛，对角线平飞，他俩面积一样， 然后他俩呢？他俩是底是一样的，高是一样的，那么这三个面积是一样的， 所以每个面积应该都是这个根号三，根号三。 ok， 这个是咱们读完题之后啊，读完题之后应有的一些想法，我们来看一下能不能用到这个题目之中。首先我们来看第一道题， 第一道题让你去证明 a a e a e 垂直于 a e c a e c， 证明这里看能不能是垂直的，那么跟垂直有关，因为我们这里有菱形啊，我们有菱形，那么我们很容易去想到， 我们很容易去想到去连接它的对角线，因为有对角线的话，它就会有这个呃，垂直的情况发生嘛？ 好，假设连起来，这个是 o 点啊，连 a c 交 b e 与 o 点， 然后我们这个 c e 也是连起来的，那就再连一下 c e 了啊，我们这里很容易得到，我们这个 a c 是 垂直于这个 a c 是 垂直 b e 的， a c 垂直 b e 的， 那么并且的话， a o 是 等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 因为啊，因为是翻折过来的，因为翻折过来的话，那么 a o 的 话，应该会等于这个 a e o a o 应该会等于这个 a e o 的， 也就是说由翻折可知， 这个 a o 是 等于 a o 的， 嗯，那再由于下面这个是个菱形了， 那菱形的话，我这个 a o 还是可以等于这个 o c 的， a o 等于 o c， 那 也就是因为，那也就是 a e o， 对 吧？是等于二分之一个 a c 的， 那这个其实就已经可以去证明这个 a、 a、 e 是 垂直于这个 a、 e、 c 的， 因为我们知道直角三角形，直角三角形啊， 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，斜边的中线等于斜边的一半，那么这个定力逆过来也是正确的逆过来啊，如果中线三角形的中线等于这个他这个对边的这个一半的话，那这个三角形就一定是直角三角形。 其实我们可以通过画圆来证明画圆，我们过这个 o 点做这个圆啊，这只是补充一下啊，我们实际用的时候就直接用就可以了。 ok， 那 你因为这个 o 点就是外心啊，三角形 a、 b、 c 的 外心，那么这个 a、 b、 c 都在这个圆上，并且 b、 c 是 直径，那直径所对的圆周角呢？就是这个九十度啊。 ok， 这样我们第一题能证明出来啊。 好，第二题我们来看一下。第二题说 a、 c、 a、 c 等于两倍的 a， a 一， a、 c 等于两倍的 a a 一， 我们来看一下 a、 c 等于两倍的 a 等于二倍根号三，二倍根号三呢？我们把长度标一标啊，那我们 a、 a 一 就是根号三， a、 c 是 二倍根号三，那这个，那这个一半都是根号三，都是根号三。好，那我们还能得到什么呢？我们好像其他的都得不到了，对吧？ 第一个问的是平面啊，平面 a、 e、 b、 c 与这个 a、 e、 c、 d 是 形成的夹角，那这个问的是面面夹角了， 那我们应该是想着去啊，间隙，应该想着去间隙啊，那我们细的话啊，这里比较明显这个 o 点，因为这里是垂直的，我们希望这个是 x 轴，这个是这个 y 轴，那我们 z 轴怎么办呢？ z 轴看上去只能竖直，是不是只能竖直向上去，这样去间隙啊？ 那么我们现在想一想啊，我们缺什么？我们缺什么？因为我们接下来是要找这些点的坐标， a， e， b 啊， c 啊 d 的 坐标， 其实我们会发现下面 c 点好办，但是这个 b 点不太好办，这个 b 点，因为 b 点这个长度 b、 o 的 长度我们还没有求出来，那这里该怎么办呢？ 请注意，我们题目中刚才讲了，我们有这个梯形面积是三倍根号三这样一个信息啊，那么其实我们可以得到这个 a e， b 的 a e， b 的 这个呃，面积应该就是根号三了。 那 a、 b 是 等于 a 一 的， a， b 是 等于 a、 e 的， 那么 a、 o 其实是呃，我们就可以通过这个 b e 乘以 a o 除以二，是不是能算出这个 b， e 的 这个长度啊？ ok， 那 么这里我们写一下啊。呃，这个， 这个该怎么写？由 e 为 a d 的 中点啊，我们这个长度先把它正好啊。 e 是 a、 d 的 中点， 那么且 a、 b e， a， b c， e 为菱形，可知 s 三角形 a， b、 e 的 面积是等于，呃，三分之一个 s t 型 t 型 a， b， c、 d 等于根号三的，等于三分之一乘以三倍根号三，你写一下吧， 那也是等于二分之一个 b， e 去乘以这个 a o 的 b， e 乘以 a o， a o 是 等于 a、 c 的 一半嘛？ 二分之一个 b， e 乘以二分之一个 a， c 啊，二分之一个 a c， 那 么 a、 c 长度是知道的，这个可以推出来， b、 e 的 长度其实应该是等于二二乘以根号三，再除以二，所以这个面积就是根号三， 那么我们接下来这个长度搞定了啊，长度搞定了二， 那么这个长度是二的话，其实我们可以发现，因为，呃，这个和这个现在长度是一样了，这个和这个长度其实也是一样的，所以这里其实是一个正三角形， 那么正三角形你要呃求 a 一 点坐标的话，那是比较简单，我们做垂直，做垂直下来就可以了，对不对？ ok， 那 么这些点坐标其实啊就好搞了啊，我们 b 的 长度是二呢，这个是一，这个是一，这个是不是都是二？ 好，那我们就是说以 o 为圆点。 呃，这个地方大家考试的时候自己去写一下啊，我这里就简单一点了，如图间隙， 这里节省时间，我写简单一点，大家考试的时候要去写一下，那么我们这个时候来写坐标了，接下来就是坐标的事情了，有哪些点？有 a 一、 a 一 的坐标，我们向下做垂直，向下做垂，它的横坐标肯定是零，那竖坐标是这个，这个长度不是负的二分之根号三， 也是负的二分之根号三，这个 a 一 的这个数坐标啊，这个是纵坐标数坐标的话应该是二分之根号二分之三吧，二分之根号三乘以根号三。 好， b 点坐标一零零一零零，那个 c 点坐标的话是零，根号三零 d 点坐标 d 点坐标的话，横坐标是负二横坐标啊，横坐标是 d、 c 长度的这个相反数，纵坐标是根号三，竖坐标是零啊。 ok， 那 么接下来就是去求个法向量的问题啊，那这个地方我给大家省略一下，大家可以刻下自己去求一下 a、 e、 b、 c 的 法向量，我们求出来结果是啊，假设是 n 一 是根号三， e 根号三， 这个还有一个是 a、 e、 c、 d 的 这个法向量 n 二是等于这个零一根号三的啊，那这个时候我们那个夹角的余弦值啊，夹角余弦值肯定是我们要正的啊，就等于这个， 这个大家算一下是等于七分之二倍，很好奇的大家，这里啊，这里的步骤，大家课下可以自己去练习一下啊，这里 求法向量的过程啊，自己去练习一下啊。 好，我们来看第三个问啊， 那第三个问的话，它题目告诉我们 b e 是 等于 a a 一 的，那现在没有这个没有第二题的条件了啊，第二题的条件就不存在了。 ok， 那 我把这个长度这个给它擦掉啊， 这是第一第二题的长度啊，那么我们现在这个是，呃，是用不上的。 b e， b e 等于 a， a 一 看一下 b e 等于 a a 一， 它们就是长度关系，问的是体积的最大值， 哎，我们底面积不是固定的吗？底面积是固定的，其实是不是就是问高的最大值？那我们过 a 一， 过 a 一 点，做 a o 的 垂线， 过 a 一 做 a o 的 垂线啊，交到这个位置 abcdef， 对 吧？那么这个 aef 其实是垂直于这个底面的，垂直于底面的 呃，因为我们这里是可以去证明这个，呃， a e， a c 是 垂直于这个底面的嘛，这个是比较容易证明的，因为有这个对角线垂直嘛。好， 那么我们再来看一下，我们其实只需要去求出这个 a e、 f 的 这个，呃， a f 的 这个最大值就可以了， 我们来看看这个长度啊， b 等于 a a 一， 我们把这个长度细化一下，我们假设 b 一 的长度是二 x， 这是 x， 这是 x， 这个就是二 x， 那么我们根据面积啊，我们是不是还可以求出这个 a o 和 a e o 的 长度， a a o 跟 a e o 的 长度仍然还是相同的嘛。呃，那这里啊，我们写一下这个三角形的面积 仍然是等于二分之一个 b e 乘以 b e 乘以 a o 的。 好，我这里设啊，设 b e 的 长度是二 x， 二分之一个 b e 乘以 a o， 也就是 x 乘以 a o 等于这个是因为这个面积啊，还是等于三分之一个梯形的面积？就等于这个根号三，这个解出来， a o 是 x 分 之根号三 x 分 之根号三啊， 好，那么我们再来看一下，我们把这个三角形啊，给它画出来啊，这个这个三角形 长这个样子的， a o a e， 呃，这个长度是二 x， 这个长度是二 x， 然后这个下面写的是根号三比 x， 根号三比 x 啊， 那我们要关键求的是这个这个长度 a f 这个长度 a e f 这个长度，那么我们可以想到用这个等面积法来求这个 a f 啊， a e f， 那 么 我们这个面积的话，底乘以高除以二，还可以是二分之一个 a b sin c 嘛，那么我们呃，最好是求一下 sin 这个角吧， sin 这个角，那我们这里做垂直， 因为是等腰三角形，等腰三角形过 o 点做这个 a a e 的 垂线， a b c d e f g 啊， 做这个垂线之后，这个，呃，这个角啊，这个 c 叉，这个角是 c 叉啊，然后这个长是 x， 这个长是 x， 那 么这个时候我们过程啊，省略一点啊。 sine c 叉是等于， 就是 a g 比上 a o a g 比上 a o 等于 x 比上根号三 x 根号三比，所以是根号三分之 x 的 平方， 那么这个 cosine theta 就 会等于一减它的平方开根号，那我们的 sine 角 a e o a 是 不就等于 sine 二 theta， 那 就等于两倍的 cosine， 这个咱们化简一下，是三分之二 x 的 平方，根号下一减，呃，根号三，三减 x 的 四次方。 好，这个是 sine 这个大直角，那 a e f 不 就出来了吗？ a e f 应该是等于 a e o 乘以 sine 角 a e o a， 这个是 x， 根号三，这个是三分之二 x 的 平方。三减 x 四次方，这个是等于三分之二倍。根号三 x 三减 x 的 四次方。 我们要求七个最大值，很显然是要构造这个方，构造这个函数啊，我们把这个 x 送进去， 就变成了三 x 平方减 x 的 这个六次方的六次方。那我们啊，方便一点，我们令 x 的 平方是等于 t 的， 这个 t 是 大于等于零 啊。然后 g t x g t 就是 三 t 减掉 t 的 这个三次方，我们求这个 g t 的 最大值，那就 g 撇 t 三减三 t 的 平方 啊，就这样，那这里都是正的。那啊，这个地方穿根图就是一减 t 的 这个穿根图， 先增后减，所以啊，这地方当 t 等于一时，当 t 等于一时的话， g t 呃取最大值， 当 t 等于一的时候， gt。 取最大值，那么 gt 这个最大值是多少呢？ g 一 g 一 的话是二嘛， 那也就是说 a e f 的 这个最大值，它就等于三分之二倍根号三，再乘以这个根号二，也就是三分之二倍根号六。 那整个体积的这个最大值为这个 a、 a、 b、 c、 d 的 最大值是三分之一个 a， 三分之一个这个高乘以底面积，这个底面积是题目给的是三倍根号三， 也就是三分之一乘以三分之二倍根号六，再乘以三倍根号三，这个大家来算一下，是二倍这个根号二，这样我们就把这个题给它呃，解出来了啊。 呃，当然我在中间省略了一些步骤啊，省略一些步骤，大家可以去补充一下，大家可以补充一下。 ok， 那 这道题咱们就讲到这。

好，同学们，那么今天呢，我们来讲一下今天刚刚考完的石家庄二模的单选的压轴题啊。那么在讲这个第八题之前呢，老师先想谈一谈我个人呢，对这套卷子的一个理解。 呃，主要是谈两点，第一点呢，是我觉得这套卷子比一模出的更好一些啊。那么老师说的这个更好一些的角度呢，是从命题的信应程度上来说。 那么众所周知啊，我们一模的题出的太老套了，没有什么的新意，那么二模呢，就出的更有新意一些，显然呢，呃，二模的命题老师更用心了。 第二一点呢，就是一模，二模呢，有一个共同特点是什么呢？他都在帮助同学们，就是他出的这些题啊，都在帮助同学们以以点带面的形式进行查漏补缺。那么如果我们一模也好，二模也好，有哪一道题没有做对？那么 同学们，请你呢，一定要找到这个题相应的知识点，把这个知识点的 体系知识进行一个系统性的复习巩固，查漏补缺，提升。那么如果你这个工作做好了，我相信呢，嗯，你在接下来这四十天呢，数学会有一个比较可观的提升 啊。当然，那么仅仅这一模的十九道，十九道题，加上二模的十九道题呢，不可能包含我们高中所有的知识点，但是啊，它是一个有代表性的， 比方说，这个第八题你做不出来，或者说你没做对，那么我想呢，肯定是你解析几何复习的还不到位啊，如果复习到位了，这个题呢， 你仍然是能够看出命题老师的命题意图来的。 ok， 我 们来看一下这个题啊，他说有一个椭圆，那么过 f 二的直线交点弦喽，与椭圆的交于 p q 两个点，那么 三角形 p q f 一 的内切圆呢，分别和 p f 一、 p f 二相切，不是这个 p f 一 和 p q 相切于 ab 两个点，那么我把这个图画出来了，当然我又设了一个新的点，我假设呢，这个内切圆啊，跟 f 一 q 呢，相切于 d 点，他给了我两个线段的比例关系，就是说 b p 比上 b q 等于呢二，然后呢，他给了我 f e a 的 长呢，是 a， 让咱们求这个椭圆的离心率。当然，那么做圆锥曲线的那七圆的问题，我们其实主要的一个核心考点 之一呢，是切点弦定理。什么切点弦定理呢，就是过圆外的一个点，做圆的两条切线，切线长应该是相等的，所以说呢，由这个题呢，我们很快啊反应出来， f e a 应该是等于谁的 f e d 等于 a 的， 对不对？他说呢，这个 b q 啊啊， b p 比上 b q 等于二，所以呢，我就可以射呀， b q 的 长是 t， 那 么则呢，根据期限长定里，则 b d 则 q d 的 长也是等于 t 的， 那么根据这个比例关系呢，我们就可以知道， p b 的 长啊，是二 t， 那 么根据期限长定里 pa 的 长呢，也是二 t， 对 不对？ 那么显然啊，我们这个三角形啊，一看到交点弦啊，就是 p q 呢，这个直线经过右角点 f 二吗？那么这个三角形 f 一 p q 的 周长肯定是个定值了， 是不是周长定值多少 c 吗？这个同学们应该都能理解吧，如果不理解呢，老师简单做一个分析说明啊，因为你这个周长不就等于 p f 一 加上 p f 二加上呢？ q f 一 加上 q f 就是 二加二等于四 a 了是不是？那所以说呢，我们四 a 就 等于谁啊？二 a 加几 t 加六 t 嘛，所以说呢，我们的 t 等于多少？三分之一，没错吧，朋友们，所以说呢，我们就得到了 p b， p a 是 等于呢三分之二 a 的 二 t 嘛？对，三分之二 a。 那么接下来我们的思路是什么呢？因为让咱们求离心率。呃，从题目中已知提供的这个信息上来说呀，我们离心率得找一个建立一个 a b 或者是 a c 或者是 bc 的 一个方程吧。 嗯，那么我们从已知条件提供上来说呢，想要找到想跟 b 或者 c 建立联系是比较难的，所以呢，我们只能想两个东西，哪两个东西啊？就是定比分点公式和什么呀？和 焦点弦长公式啊。那么如果知道这两公式呢？这个题就水到渠成了啊，那我们来看一下这两公式分别的内容是什么，以及如何进行应用啊。那么因为 pa 呢？等于 a， 三分之二 a 了，所以呢，我就可以求出 p f 一 的长是几啊？ 就是 pa 加上谁啊？ a f 一 等于谁啊？三分之五 a， 没错吧，四分之五 a 啊。 那么又因为呢， p f 一 加 p f 二是等于二 a 的， 这也是呢，我们 必须要理解的深刻理解的一个点。什么点呢？就是说，在解析几何小题当中呢，基本上它会让你用一下第一定义，那所以说呢，我们就解出来了 p f 二的长时间 三分之一嘛，对不对？那么又因为呢， p q 是等于谁啊？ p b 加上 q b 等于 a 喽， q b q b 啊， p b 加上 q b 等于 a， 所以 说呢， 我们可以得到谁啊？ q f 二的场直接三分之二 a 吗？ 为什么老是要想到这个知识点呢？就是，为什么我会想到不是这个知识点啊，想到要求出 q f 二呢？因为啊，我们在椭圆当中呢，我，我在这画一个图啊， 就是我们讲过椭圆的第二定义，在讲椭圆第二定义的时候呢，我们讲了这个第一搅拌镜框式和第二搅拌镜框式，所以呢，这就是 我们为什么要讲这个点，那么第二搅拌工第二搅拌机公式呢，我们就得到了一个定比分点公式嘛，什么公式啊？就是如果向量 q f 二 等于拉姆特倍的向量 f 二 p， 我 们有什么结论啊？我们这个结论是 e 乘以 cosine c 叉的绝对值， 对谁？拉姆特减一除以拉姆特加一的绝对值，对吧？并且呢，我们推出了弦长 p q 是 多少？ a 一 分之二，比方通径是不是除以谁啊？一减去一方 cos 方 c 叉， ok， 其实这个题呢，就是考察了这两个公式啊，如果我们用这两个公式，这个题就已经搞定了， ok， 我 们来实操一下啊，那么现在呢，我们给它带进去，那么显然啊，我们只要是这个倍数关系吗？那么 q f 等于三分之二 a 嘛，那么 p f 等于三分之 a 喽，一个是三分之 a， 一个是三分之二，所以说，那么它一个等于几啊？那么它等于二 是不是？所以呢，我们待会下边表达式，我们就得到了 e 乘以 cos， 它的绝对值等于几啊？三分之一嘛， 对不对？等于三分之一。然后呢，我们知道 p q 的 长是 a， 也就是说 a 是 等于谁啊？ a 分 之二， b 方除以谁，一减九分之一， 所以说呢，我们就得到了。呃，九分之八 a 方等于谁啊？ a 分 之二，不是，这就不能是 a 分 之八 a 吧。先一共画一下，九分之八 a 等于谁啊？ a 分 之二 b 方。嗯，所以呢，我们就得到什么了？ b 方等于谁？九分之四 a 方。 那么又因为呢？呃， b 方加 c 方等于 a 方，所以我们推出来了 c 方是等于九分之五 a 方， 对吧？那么离心我们就求出来了。所以呢，那么一方呢，就等于谁呀？九分之五嘛，所以一就等于三分之六。 所以这个题呢，答案选什么呀？选 b 啊，答案选 b。 这个题有没有影子呢？有影子的，这个题的一切的核心考点都跟谁完美的相像啊？如果我们真题刷的足够到位的话， 二一年的填空十四题啊，他所有的核心考点都来自于二一年的二一年新课标一卷啊， 新课标一卷的填空题的第十四题。 ok， 这题我们就先讲到这里。

看过我们之前视频的小机灵鬼这道题有没有用关关老师的方法秒杀呀？首先还是一起来开发条件，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc 等于六，所以这是等腰直角三角形，角 b 等于四十五度。 再看 d、 b 等于二倍的 c、 d， 所以 c、 d 等于二， b、 d 等于四。由此开发出隐藏的三角函数值。在直角三角形 a、 c、 d 中发现 tangent alpha 等于三分之一，过点 c 做 c、 f 垂直 a、 d。 还是那句老话，多垂直必倒角，得到角 d、 c、 f 也是 alpha。 因为角 d、 c、 f 和角 c、 a、 e 都跟这个两道杠的角是互余的， 有阿尔法的正切值，要放到直角三角形中，四十五度也要放到直角三角形中用，所以这根辅助线呼之欲出，就是过 f 做 b、 c 的 垂线，设垂足为 h。 先看右边的直角三角形 b、 f、 h。 根据三边比例关系，射参射 f、 h 等于 b， h 等于 x。 再看左边的直角三角形 c、 f、 h 根据 tangent 尔法等于三分之一得到 c、 h 等于三 x。 此时根据 bc 的 长列方程， bc 等于四， x 也等于六，所以 x 等于二分之三。 现在让我们把三 x 和 x 一 起还原出来， f、 h 等于 x 就是 二分之三， c、 h 等于三， x 就是 二分之九。减去 c、 d、 d、 h 就是 二分之五。 问题问的 d、 f， 此时就在直角三角形 d、 f、 h 中，根据勾股定律求得 d、 f 的 长等于二分之，根号三十四。最后的答案就是二分之根号三十四。 show case 哪里？

郑州恶魔的第十四题填空题，这是一道内切球的问题，是多球内切，也是圆锥里面切内切球的问题。这道题难倒了不少的学生，主要是因为他在选那个洁面去计算的时候可能比较难选。有些这种题目呢，我们可能选一个洁面解决不了，可能要选多个洁面，比如说呃轴洁面呢？或者说俯视的横向的水平洁面呢？辅助的一起去解，那有些学生可能就会努力的去想，能不能一个洁面就去把它解决， 可能要换一下思路，读一下这道题的信息，他说了圆锥的底面半径，也给了圆锥的表面积，根据这个圆锥的底面半径和圆锥的表面积，可以计算得出，圆锥的高是等于五倍，根号三的，从而得到了圆锥的人跟底面呢，是成六十度的夹角的。然后再读下面的信息，里面放三个半径为 r 的 球，每个球与另外两个球相切，每个球呢都与圆锥的地面相切，这三个球呢，只能怎么放呢？ 只能一起拼在底下，这里问题就在这里了，到底应该画什么结面呢？很多学生都能画出这个结面出来，把这个结面画出来，最后这结面的是这个结面， 这个位置前面划进来，划进来这个位置是有缝的，碰不到的。这个前面呢，这个是 r， 这个是 r， 根据这个呢，还不足以计算什么？不足以计算这个球的半径，因为我们还需要一个洁面，问题就在这，我们有两个选择，第一个选择呢，是选这个洁面，如果选这个洁面切出来呢，会长这个样子， 长这个样子，他这个位置呢，确实是切到了圆圈的侧面，但是这里呢，碰不到，看到这个空间了吧，这里的空间很难计算，所以呢，不太建议选这个洁面，我们考虑一下另外一个洁面，另外一个洁面是哪里啊？这里 球心在这个水平前面，这个水平前面选这个前面，这样选这个前面上，那我们就可以有充分的数据计算了。球心在这里，三个球心连完之后是什么？二 r 的 等边三角形，然后呢，到这里来，我们只需要设一个 x 这个点， 假设这个点是 q 点，这条垂线下来这个直角，这是 h， 假设这个是 p 点， 得到什么 q， h 等于 r， 假设 h p 等于 x， 因为是六十度嘛，等于六十度，所以呢， r 呢，就等于根号三 x， 这边也是一样的，这两边也是六十度，这也是假设是 o 啊，这个选项是 d， 那 么这里也是一个什么直角三角形，六十度的同样的 q 呢，就得到什么 o q 得到 o x， 假设这个斜点是 f 点， f x 等于什么？ o x， 这个是 o x， 假设 m m f 的 长度等于最小边的长度， o r 除以一个三，也是等于什么？ o x 的 长度， 一二是根三 x， 意思就是 m f 也是 x， 下面的长度多少等于五啊，所以 x 就 等于一二就等于根三，答案也是根三。问题就是这个界面还不足够解决的时候呢，还需要水平的一个界面去帮助解决，那如果很多学生是选择这个，那就很难解，但是如果选这个呢，就很难解，而至于有些学生画出这个的话呢，界面呢， 那就错了，这个全部相切的界面呢？这个界面呢是什么？不存在的，不存在这个水平界面，这个呢？虽然存在，但是呢难以计算的，这个呢就可以做了。

在这里呢，我们直接用纯几何法来解决，分算量小得可怕，他说直线 p b 于平面所称的角为六十度，并且呢， p b 的 长度是不是还是一的？那我们先把题看一下吧。来， a b 的 长度是一个根二， a c 的 长度呢，是等于三的角 b a c 呢？四十五度。那我们有预先定理是不可以求 b c 的 长度 bc 方啊，就应该等于二加九减二乘根二再乘三再乘二分之根二是不是十一减六等于五，所以 bc 的 长度不就是根五吗？好，他说直线 p b 又等于一，那就是一， 它与平面 a b c 所称的角是一个横为一个定值六十度。那么大家可以把一根笔啊放在桌子上，然后呢，让这个笔与桌面所称的角永远是一个六十度，是不是我们去活动这根笔， 我们就会发现呀，这根笔呢的活动的就构成了一个圆锥状的东西，是不是倒着的圆锥？所以呢，这根笔的顶点啊，也就是 p 点在底面上的投影所形成的轨迹啊，是不是就是一个圆啊？因为 你是，咱们做一个垂直下来，那这个假设叫 h， 这是长度是一，那么角 p b h 是 不是相当于横为六十度？所以呢，我们的 b h 的 长度 就横为二分之一，那么 h 点到 b 点的距离永远为二分之一的话，那么是不是 h 点的轨迹就应该是以 b 为圆心，二分之一为半径，是做出来的一个圆。 那么这个圆到底会不会跟 ac 相交呢？以及他跟其他边的关系到底是啥呢？我们是不是得需要简单的做一个计算，我们得需要看看 b 点到 ac 的 距离是个几啊？咱们过 b 点做 ac 的 垂线，我们这个垂足叫 m 吧，而角 b a c 是 不是等于四十五度角？那所以啊，你的 b m 的 长度是不是很显然是等于一的？也就是说，以 b 为圆心，二分之一作半径， 所画的圆是不是正好交于他的一半？那咱们大概画个圆吧，是吧，就是这样的一个东东，那这是不是就是 p 在 abc 上的投影 h 点的轨迹啊？ 好，那么现在我们研究的目标呢？是平面 a p a c p a c， 也就是后面的这个面，是吧？ 与平面 abc 夹角，它要的还是还是夹角的垂直范围？那么我们现在啊，点 p 是 不是到平面的距离是一定的？我们可以利用三垂线定力是不是来做出这个二面角来？也就是我先过 p 做平面 abc 的 垂线， 垂足为 h， 再过 h 做 a c 的 垂线，比如说这个点叫 n， 垂足为 n， 是 不是连接 p n？ 我 们是不是就很容易能够证明 p n 也是垂直于 ac 的， 从而啊，叫 p n h 就是我们的要找的二面角的平面角。那么在这里呢， p h 的 长度一定是不是是应该等于二分之根三？所以啊，我们是不是只需要来计算 h n 的 长度， h n 的 范围不就可以了吗？而 h 点是一个轨迹的轨迹，不是一个圆儿吗？ 是不是很显然转化为点 b 到 a c 的 距离加减半径不就可以了吗？所以 h n 的 范围不就应该是属于二分之一到二分之三？所以呢，我们就可以来计算，摊进它角 p n h 不 就应该等于二分之根三 比上 h n， 而 h n 的 范围在这，因此最后算下来的结果不就应该是三分之根三到根三吗？所以角 p n h 不就应该是属于六分之派到三分之派这样的一个范围？所以你看这立体几何运算量真小了。我最喜欢这样的立体几何题了。所以大家呀，不能过于依赖间隙是吧？有的情况下没办法的间隙，有办法的情况下间隙啊，运算量太大。