阿坝州数学中考15道二次函数压轴题

大家好，咱们现在讲一道中考模拟题的最后一道压轴题，那么二次函数压轴肯定是咱们中考的特点了，当然还有很多分情况讨论的题，这道题咱们分两节情两节课去讲啊，咱们第一小节主要讲第一问和第二问。那么首先， 呃，抛物线与 x 轴两个焦点坐标已经已知了，让咱们求抛物线解析式，也就是求 ab 和 k 的 值。这样题手拿把掐非常简单。咱们的特点是带定系数法，见点就带，简称见点就带。把这个 a 点坐标和 b 点坐标带入抛物线解析式，咱就可以求这个小 a 的 负四分之一 b 的 一， 那么 k 呢？他说与 y 轴交一点 c， 也就是说 c 点既在抛物线上，又在直线上。咱们知道 c 点坐标，由题义可知， c 点坐标是零度三，把零度三带入直线，即是可以求出 k 点是 k 的 值，是负二分之一。也就是说咱们中考题的第一问，就是说只要大家细心，别马虎，都能得到分。 现在跟我一起来分析第二问啊，求线段最直的问题。咱们原来求线段最直的问题，都是画一个抛物线，让咱们求竖直方向上，这个线段的最直，你看 铅直的高度，铅直长度的最直，那么这次让咱们求，比如说第一个图，让咱们求 p q 的 最直，它不是铅直高度，虽然 p q 垂直于 bc， 但是呢，不会求，怎么办？还是万变不离其宗，咱们把它转化还是做竖线。也就是说，你看，这就是中考题的特点， 你感觉他年年变，每道题都在变，每个题好像都是一道新题，但是你真正做起来的时候，他都是千篇一律的，用咱们之前学过的知识点，这个就看咱们这知识积累了。我过 p 做 p m 平行于 y 轴， 当然我也可以延长 p m 交 x 轴一点 n。 你 看，如果这个题我把 p m 的 最值求出来，我就能求 p q， 为啥呢？因为我做，通过我做法 p m 平行于 y 轴， 我就可以知道角一是等于角二的。我用角一角二标了，角一等于角二，那么角二这个角已经固定了，因为三角形 o b c， 三角形 o b c 是 一个固定的，所以说这个角二的值就固定， 那么角一的值固定了 pm， 我 只要把 pm 的 最值取出来， pm 乘以三阴角一， 他不就等于 p q 吗？也就是说三阴角一是一个定值， pm 他的最大值就是 p q 的 最大值。 那 pm 怎么表示？当然这个咱们以前也讲过这种题型啊，咱们就设 p 点坐标，比如说是 m 豆，它的解析式是负四分之一 m 方，加上 m 加三， 然后因为这个 m 这个大 m 呢，在直线上，横坐标是 m， 他的纵坐标就应该变成负的二分之一 m 加三。所以说 pm 的 长度就用大减小，也就是说咱们用纵坐标比较大的那个减去纵坐标比较小的这个， 你看现在 pm 的 长度，咱就可以求出来了，那么他的最值也能求。当然了，把它整理一下，就是负的四分之一 m 方，这是加上二分之三 m， 这是说 pm 的 最值，然后 pm 乘以三点 r 法， pm 再乘以三一，咱们这是角一啊，就等于 p q 的 最值。也就是说，你现在 p q 的 长度是用个简易式表示出来的，咱们可以用顶点坐标配方法去求它的最值，那这是一种求法啊，这个，这是一种求法。 当然这个题还有其他的求法，就是你你要是想求它的最值的话，可以我把这个配一下吧，这个配完方应该是负的四分之一， m 减三的平方加上四分之九， 也就是说 pm 的 最值是四分之九，那 p q 的 最值呢？就是 pm 乘以三角一，那三角一又是谁呢？咱们还得回归到这个三角形里边啊，我随便在这个二图形里看吧， oc 等于三， ob 是 等于六的， 呃，那 c b 呢？是等于，呃，咱们可以用勾股定律求出 c b 的 长度啊，等于三倍根号五， 所以说这个三一角一就等于六，比上三倍根号五，然后乘以四分之九，这就是 p q 的 最值，大家孩子们自己去算一下啊。你看这个题就是典型的咱们之前求那个铅垂线长度的题的变形，咱们最初学这样题的时候学过求 pm 的 最值， 然后呢，现在是让你求 p q 的 最值。当然这个题还有一种做法，一会我再录一个视频给大家讲，因为这个视频已经比较长了。

初中数学拉开差距的就是函数，如果你能让孩子每天练习一页函数题，到了考试你就知道他有多优秀。这本书把初中三年要考的函数题型都给你整理好了，你 比如常考的一次函数、反比例函数、二次函数等等，考试必考的九十八个函数题型，这本书全都覆盖了每种函数。先给你梳理基础概念， 然后通过例题教你解析思路，学会以后再去做后面的专项训练。全都是历年的中考真题，不会的扫码就有录制视频讲解，后面还有答案解析，每一步都有详细的解析步骤，孩子自己在家就能学一套书，可以用三年，赶紧给孩子准备上吧！

每天拆一个数学技巧，今天拆， 今天拆二次函数的区间最值，今天是我们拆数学技巧的第十三天，希望大家能够点个关注，主页有更多的实用技巧。 好，这次讲解二次函数区间最值，我将会从以下几个方面来讲，第一个题型的识别，然后第二个把它整个的分类是怎样的一个情况，通过这八大类去讲解，然后最后你别看这八大类喽，我们只需要通过一句话就可以实现真正在应用中实现破题。学了这些以后，我们通过一个实际的应用 例题来讲解我们之前学的有怎么样来具体再运用到题型中去解析啊，去解析。好，我们来看啊，我们来看，第一种就是对心轴 在区间的左侧，我们整体来看一下这三个分类啊，这三个分类就是这是一个区间，他告诉你这是一个区间，然后呢，他让你在二十来岁的在这里头，他让你求这个在这个区间内的什么最大轴，最小的这种题型。好，我们来看啊，指出区间来讲啦，好， ok， 他 把它分为对心轴，对心轴在这个区间内部啊，对心轴 又在这个区间的什么右侧，这样的一个三个大方向的分类啊，这是一个大方向的讲解。好，我们来看具体啊，具体的就对称轴在区间的左侧啊，我们来放大一点 来看一下啊，这是一个对称轴，他跟你说了啊， x 轴必须在这个区间，所以大家一定要去理解这个事情，就是这句话是什么意思啊？这句话什么意思？就是说当你的 x 在 这个区间，然后函数的取得最大值和最小值，就是你只要可以给他规定区间以后， 我们正常讲，因为为什么？因为我们正常讲二三数的最大值和最小值是不是都是跟顶点有关的，对吧？二三数这样子的时候，他最大值就是顶点的什么重坐标，当开口向下的时候，这样子他的最小值就顶点的什么横坐标。但是他给你规定规定，给你规定一个区间以后，他的最大值最小值还一定是这个吗？ 不一定啊，好吧，不一定啊。所以说你一定要去理解这句话是什么意思，就是说他这个图像只能取这个区间所对应的这个部分，就是当他给你说了这个，比如说这个 m 等于一， n 等于三的时候，他就只能是一到三，那一到三这个区间对应的函数图像是不是只是这部分？也就说你这个只能在这部分去讨论他的最大值和最小值。先有这样的一个大前提 啊，先有这样的一个大前提去理解这个图形，你才知道他的最大值，最大最小值应该怎么样去找啊？这是一个大的前提，每一个图形都是这样子的。好，我们来看啊，只要他对称轴在这个区间的左侧，那么他对的最大值，你看他是不是取这部分图像 就这部分，你看 x 对 上去是这里，呃，这个 n 对 上去这里呢？ ok， 它只取这部分，那只取这部分，同样拿到最大值肯定就这个值啊，就是 m 对 应的这个值啊，最小值就是 n 对 应的这个值，也就是你只要把 n m m 带到这个二三数的解析式里面，就可以求到它的最大值，然后把这个 n 带到二三数的解析式里面，它就能够求到它的什么 最小值。好，有这样的理解，然后当它是开口怎么样，开口向上的时候，但是当它是开口开口向上的时候，你看 m 同样的一个区间 啊，这样的，这样的区间看没？也是讲的。然后对称轴也在他的什么左侧，那相当于他这个图像只取这部分，那只取这部分图像来讲，他的最小值就是 m 是 对应这个值，你看 m 刚刚对应的最大值，现在 m 就 对应什么最小值 啊？然后这个 n 刚刚对应的什么最小值？现在这个 n 你 看对应的什么最大值？所以当他开口向上和向下的时候，他这个 m n 的 取得最大值和最小值是不一样的。但是你现在只需要去理解这个事情啊，不需要去背啊，你只需要去实操操作的时候，你知道这么做就可以了。 好，我们再来理解。看，当他的对中轴在这个区间内部，你看啊，比如说我给了你一个区间在这里，好，刚刚之前之前已经说了，就是他二三数只要给了你区间以后，那么相当于说这个二三数的图像只取这部分，你只在这部分去讨论他的最大值和最小值。 好， ok， 你 看这是一样的。 ok， 然后呢？我们总体来看一下这个啊，对中轴只要包含这个区间，他只要开口向下的时候，你看只要他开口向下的时候，不管他这个离他近还是远，后面我再说怎样去做区分哈，不管他近还是远，然后呢？他的最， 只要他开口向下，他对心轴在这个区间，他的最大值永远都是什么？对心轴所对的值跟你这个有关系吗？没关系，最大值啊，我说的是最大值跟你这端点在这个，呃，比如这里是三和一和三，然后这里是呃二点五，跟你这个三到底取三还是取二点五这样的一个区间有关系吗？没有关系。你说当他对心轴在这个区间内部的时候， 当他开口向下的时候，他取最大值的时候，跟你这个 m n 具体是没关系，但是你前提条件是什么？这个对心轴在这个 m n 之间，这是一个大前提 啊，这是一个大前提。 ok， 那 我们来看啊，只要你理解这个事情以后，那我们只要他最大值已经找到了，就对应值的对应值。那么关键是看当他这个区间取这部分函数图像的时候，哪个值最小？ 你看啊，这种情况下，你看这种情况下是不是 n 值对的，这个值肯定是什么最小值，怎么求完？就是把 n 带到这里面去，但前提是你得去分析这种，你看，那这种，你看到没？刚刚是 n 对 的最小值了， 但是他取这部分图像啊，对不对？所以说这两个的区别在于什么呢？就就在于这个 m n 到底是谁离这个对应值头怎么样？ 越远，谁离对称轴越远？你想当他开口向下的时候，这个点离对称轴越远，他所对应的这个值是不是应该越小？ 然后呢？当他也是同样的开口向下，你看到没？他这个当 n， 当 m 距离对称轴这个距离越远的时候，他所对应的就最小值，所以你不要去记哪个，就是你只需要去关键去看就 m n 到底谁距离对称轴的什么距离越大，他对应的值就会越小，但你看这个就不一样，你看这个不一样，你看 我这个同样的哈，你看到没？只要我这个区间他只是变换了一看。变换，只是变换了一下开口啊，只是变换了一下开口方向啊。那你看只要这个 m 对 称轴啊，只要这个对称轴在这个 m n 这个区间，那么他对的最小值是不是永远都是对称？对不对？跟你这两个值在前提条件是他在中间哈， 跟你这个取在这里有关系，跟他有关系吗？取在这里跟他有影响吗？是没有影响，因为他最小值永远都取的是对称轴的这个值就相当于顶点的手指标重坐标按这个也是一样的，只要他这个区间对称轴包含在这个区间以内， 他证明完这个区间以内，那么你这个最小值永远都对应的。那你只需要去看到底他对应的值最大呢？还是他对应的值最大。好，我们刚刚不是说了吗？你看没对比上面一个来讲啊，你看他距离越他距离越大， 那么他所对应的这个值是不是对应的值是不是应该越小？那你看这个呢？我这个是对应轴喽，我这个距离他越大，但他对应的值会怎么样？越大说不要去记。这样的啊，到到时候我会教大家怎样去记忆好不好？ ok， 好。 对于这四种情况我们怎样去做区分？首先来讲就一个大前提，就是对应轴在这个他给定的这个区间以内 啊，只要他给定这个区间以内之后，之后你就想他这个函数在所有区域内，就不给他规定这个 m n 的 时候，他是不是整个二叉数全部取全，全部取全，他最大值是不是永远都是顶点坐标？所以说这样就说也只，也就说只要他定的这个区间以内，那么他最大值跟你这个区间是没关系的。开口向下的时候啊， 好， ok， 然后呢，那你就关键是看他这个最小值到底是 m m 队的这个最小值还是 n 队的值，这个值是最小值。两个办法去解决这个事情，两个办法啊，两个办法。第一个办法就是你分别把 m n 给我带到函数解析式里面去，你带到函数解析式里面去，他求出来这个值你是不是就能看到大小了？那你取小的那个，所以说他这个区间就取这个最大值和最小值之间， 就他这个歪的最大轴，最小轴就在这里了。好，这是带进去算第二种啊，你就去理解啊，理解，你想一下，我想象一下，这是一个拱桥，我这里有一个墙，就是石砖砌的墙，这是一个立体图形啊，立体图形。然后呢拿一根棍放在这半边，你想啊，如果说这个值 距离这个墙他的距离怎么样？越远越远的话，你，你往上落会卡在一个地方，他卡在这个位置和你拿一根小一点的棍这里，比如说放一个小点的棍，能卡在的位置是不是在上面一点点，那你要取最小值肯定是卡在下面一点点的呀， 明白没？这个距离就代表这根棍，就代表着这个 m n 到他的一个距离，到对应轴的这个距离，这样子去理解就可以了。那我们随便拿一个这个来讲，你想，我们已经说了哈，只要他开口向上的时候，他开口向上，只要你对应轴在这个区间，那么他对应的最小值跟你这个区间没什么关系， 那也就他最小值一定是这个对应轴所对应的重坐标。好，那我们只需要看到底 m n 到底谁取得值大一点，两个哪个哪个小，你们就知道了吗？好，第二种办法就是你看他距离对应轴是什么 距离。你想啊，你看看这个图来讲啊，这个 m 到对应的距离是不是这么长？是不是这根棍要长一点啊？这根棍是不是只有这么短？那你想啊，我这是一个一面墙，这是，这是一个拱桥，我要把这根棍卡在这上面，我是不是卡在这里啊？ 你卡在这里他才能卡，他不会再往下掉了噻，对不对？他只能卡在这里，那我这根棍呢？你看是不是这么短？我说你卡的话，我是不是落在下来，这是一个墙咯，我卡在这里，那对应的这个 y 值打到这个 y 坐标，这个值哪个值大，这个值要小一点，你这样子去理解 啊，这种去理解，那么你就直接只需要带一个值你就知道了啊，那 m 的 值是最大值，这个对心轴所对应的这个坐标，是吗？最小值？ 好， ok， 好， 这就是四种情况啊，这就是，这是对心轴啊，在曲线内部的四种情况，实际上经常就两种情况。为什么？你看只需要看到距离哪个近哪个远，只不过是这个是什么开口方向的区别啊？开口方向你懂得，开口向下的，你就懂开口向上的，大家在看的时候呢，可以先看开口向下的，然后最后再看开口向上的 啊，然后再自己去。呃，看梳理啊，梳理，然后呢再看这种对称轴在什么区间的什么 左对称轴在区间的什么右侧啊？然后再看最后一种对称轴在区间的什么右侧，你看到没？这是对称轴是一个区间在它的什么 右手。好，那你看，那我跟你还是要理解，就是他只要给了你这个区间以后，那你这个函数图像只能在这部分去说他的最大值和最小值，那你看这样子，但是最大值就是 m n， m n 所对应的值，你带你去算就行，对不对？带你去算就行。好，你看这个也是呢，他微笑的时候，你看这个在这个区间，那他给了你在这个区间，那他所对应的函数是不是只能取这部分？你得在这部分去讨论他的最大值和最小值， 这样子不就很好懂了吗？这 m 对 到最大值， n 对 到什么最小值？所以我们关键是什么？关键是找到这部分对称轴在这个区间内，所以这样子就有一句话去破题，你看这个破题句，一句话破题怎么说的？就是二次函数的区间对值，你关键是看什么？关键是看这个对称轴在不在这个区间。 你只要拿到这个，你反映出来这个事情，那好， ok， 比如说他跟你说了一个二次函数怎么样怎么样？ y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c 啊，建立一个函数，然后呢他跟你说 x 在 这个三要小于 x 要小于四这个区间，那好， ok， 你 就先去通过这个这个解析式把对称轴给我求出来，二 a 分 之啥负 b， 把对称轴求出来以后，你去看这个对称轴在不在这个区间，然后再去讨论， 然后再去讨论。然后呢？通过一个画图啊，通过一个画图，是不是？我们上节课讲了两点反画图， 对吧？你通过顶点与 y 坐标，坐标坐标的交点之后，把这个图像大概画出来， 到画出来以后，他在哪个区间内取最大值，最小值，然后呢，你这样子再去画精准一点，然后呢，最主要的是看这个对头在不在这个区间，如果在这个区间，你要小心了，他到他的距离啊，所对的这个距离，因为你画图不是很标准哦，画的是草图喽，你具体要算一下他的距离，才知道哪个对的是最大值，因为最小值永远都是什么， 只要他对头在这个区间，那么最小值永远都是什么？只要客户向上面走啊，最小值他永远都是对头所对的，这个值。好， ok， 整体啊，大家来看一下啊， 好，我们先看怎么去用啊，学怎么去用。好，我们最后来看怎么去运用，后面我们到回过头再去总结啊，再总结。好，我们来实操一下啊，实操一下，他说，说 什么呢？关于啊，这个，这是一个二三数啊，二三数，他说你看到这个二三数的时候，大家一定要边读题边思考啊， 一定要去思考，你看到这个二三数是 y 等于什么？ a x 平方加 b， x 加 c， 我 想问这里面谁是知道的？是不是 a 已经告诉你等于一了， 我已经告诉你他理解以后，那你相当于是说你要求这个二三的第一位，看到没？他求二三的解析，你是不是只需要知道两个条件？我们不叫两个点坐标啊？叫两个条件就可以，你两个条件就练两个方程呗， 或者两个点坐标，带进去是不是也可以解？好， ok， 所以 你脑袋里面看到这个你一定要知道。好吧？好，他说图像经过哪两个点？是不是经过这两个点？经过这两个点以后你是不是就可以叫什么？我们经常讲三大必带入， 就在函数里面，不光是二函数，三大必带入。三大必带哪三带呢？三大必带就是逢点，看到没？这总结了，逢点必带入，然后这是一个点。喏，你看没逢点必带入，然后呢？逢根，他说他是他的根，也可以带进去，然后逢姐，他说他是他姐，也必带入。所以说三大必带入。在函数的学习，不光是二函数，所有函数的学习里面都有这个三大必带入。 好，那好，他既然他说他经过这个点，那我们是不是可以带进去？带进去是不是每个点都可以得到一个方程？得到一个方程之后是不是可以解解方程？两两个方程减两个未知数就可以解。把 b 等于多少，然后呢？ c 等于多少？解出来，解出来之后我再带入这个解析式，是不是二乘数解析式就知道了。好，我们大家一起来解一下嘛？解一下没关系啊，这个，然后把负一带进去，他就什么 负一乘以，负一乘以，这个 b 不是 减 b 吗？啊？减 b 然后再加什么？ 再加 c 等于什么？等于零，然后把二带进去，它就是二的平方，是不是四啊？就是四加二 b 啊，四加二 b 再加 c 是 不是等于零？然后呢？因为这个 c 是 相同的喽，你只需要这个第二个方程减去第一个方程或者上面个点，下面个 啊，你看哪个减，好好算一点，那你看这个减这个是不是就可以把它变正数啊？就这样用这个减这个，它是一喽，用这个减四减一是不是也够啊？就是用下面个用二去减一，因为这是一个小技巧哈。 好，二点以后，这边这个减这个是不是就这是一了吗？对不对？这是一，减到之后他是不是变成三了，他就来， ok， 然后这个记住哈，这里就是二 b 减这个有些人会算成把它减到，他说这里得写个什么，写个加 b， 这是大错特错啊，这是真的是，很多基础弱的同学他都会算这样犯这种错，这是错的，不能写。二 b 减 b， 然后呢？就等于一个 b， 别这么去算，这里是什么法？减法？你一定要理理清楚你减的是什么？你是在这个等式中间加减号，这里加减号，这里加减号。那下面是说你二 b 减去的是什么负 b， 实际上这里是什么？加上二 b 减抓括号负 b， 这才是一个完整的式子。 好，当然你学会了就直接口算就行了，它等于三 b， 对 吧？我只说给大家讲这个事情是很需要注意的，如果它是加法，二刚好就是二 b 减 b， 他 们刚好就是 b 了， 那他前面是减法，就就是二 b 减抓减负 b 减负 b 时候是负负的，什么正正二 b， 什么加 b， 他 是，那就等于什么三 b， ok， 所以 说啊，这里应该就是什么 三加什么三， b 等于什么零，那 b 零角，你把这个移过来啊，对吧？把它移过来，那两边同时再除以三一下，是不是变化就变成负三，然后两边再除以三，那余分就等于负一，我就不减了哈，所以说 b 就 等于什么呢？负一， 那 b 就 等于什么呢？负一，我随便把这个 b 等于负一，告诉你，两个方随便带入一个方程，那 b 等于负一的话，你看 b 等于负一，负一再负 b， 那 是正一啊，那正数是不是等于一啊？一加一是不是等于二啊？二，二加 c 等于什么？零，那我想 c 等于几啊？是不是 c 等于负二，所以说 c 就 等于什么呢？ c 就 等于负二，好，然后把它再带进去，对不对？再带进去，那就可以解了。好，带进去之后呢，我们得到一个什么呢？得到一个 y 等于什么？ y 等于 x 的 平方，减八减 x 再减二。好，这是一个二三数的解析式。好，解出来之后一大家一定要注意，在中考的时候一定要注意一个事情，叫什么呢？验算 就是因为二次函数喽，他是一个只要你解，要问解析式，只要你能算对，他就一定会对啊，只要你能算对，带进去算对，他就一定能够对得起。那么也就说，我们一定要保证我这道题是对的，第一问是对的，如果你有 有时间或者有能力去做第二道题，你必须要保证你第一问是做对的，如果你第一问都错了，你后面再花时间去做第二道题，他一把财神给你画下来，因为第一问都解不对，你怎么能算这个？所以说我们一定要用一切办法去保证我算的第一问的答案是正确的， 那也就说我需要去验算，我解出来这个之后，我要把这个负一和这二给他带进去，你最好是带一个这种没有零的，如果他没有零，比如他再给你一个点一和三，你最好是带这个一和三，看等于一的时候，他怎么等于三 啊？不要带什么零，他等于这个，比如说你这个零他等于负二，他有个点是负二，那怎么带他这个 a 和 b 的，是怎么怎么带他都可能等于负二，明白没有？所以说一定要带一些，尽量是两个数，都是有一个点的坐标，两个都有数的，没有零的那种，但是这里没有，那随便带一个了，你看啊，它等于负一的时候 加负一，负一的平方是不是等于乘一？负一等于是不是还是乘一？一加一减二是不是等于零呢？你看是不是合适啊？再带二，二得减二得四，再减二，再减二，二减二，再四减四减，是不是也等于零呢？所以我所以说我这个解析式一定是什么正确的 啊？一定要验算啊。所以大家养成一个好的习惯啊，在中考的时候千万不能马虎大意啊，这个题错了，那十二分就没了，好吧，本来你就应该做对的，按照你的能力来讲对不对？所以大家一定要注意好。 第二个问就是我们今天所说的啊，他看到没？他给你给了力，给了你一个区间，给定一个区间之后，让你求这个二函数就是 y 嘛，二函数的什么最大值和最小值的什么 x， 那 你求最大值和最小值 x， 说白你就把最大值、最小值算出来，然后再把它做减法不就行了吗？对不对？关键是我怎么样去 求这个区间内的什么最大值和最小值？这是最基本的哈，最最基本的问题，那有些问题他会怎么样问？他会，比如说第三问，他说他不说这个区间呢？他说什么？当 x 小 于 m， 要小于什么？ m 加二，那你求它是什么？最大则最小则是差。这种题你也要会做，但我们得先会基本的哈，先会这个基本的啊，你会了这个基本的，再去做这种稍微他动区间，函数在动啊，函数在定，然后区间在动的这种题，或者说，呃，这个区间在区间是一个定区间，然后呢？函数的对应头在动，你才能 解这种动态的这种题型哈。好，我们先来看这种静态的，静态的，那这种好，首先来讲啊，对二次函数来讲，我一直讲无图像，什么 不函数啊？无图像不函数，所以说对于图像来讲，对于图，对于函数来讲它是很重要的。所以说我们昨天是不是为什么要讲一个六大基础技巧呢？就是你只要在解这个二三式的时候，你都要用到一些基础技巧啊。好， ok， 你 看我怎么样去画二三式图像，就是用到一个两点法去画二三式的技巧，对不对 啊？他有四轴，四点，一轴为核心，但是画图只需要什么两点？计算两点，那哪哪两点呢？两点？ 顶点与什么 y 轴的什么交点啊？顶点与 y 轴交点。 ok， 我 可以先把这个按上什么顶点给它求出来啊。把这个你只要把图像草图画出来之后，你想这个题目你最大只，最小只占全是，全都知道了， ok 啊，所以说我们只需要用两点法啊，把两点法画出来。两点法呢？我是不是先求对准走？对准什么二分之什么负 b？ 二月份的负 b， 那 我想 a 是 减 a 是 不是一啊？就是二乘以一分之啥负 b 负 b 是 不是负负一，那就等于一了。所以对乘六等于什么二分之一？那对乘六等于二分之一以后，实际上你就已经大概知道了。好，那开口又是向什么？开口是不是又是向什么向上的？ a 大 于零吗？ a 等于一大于零，那那与外角的交点呢？ 如果这个叫你让谁想先把顶点坐标啊？顶点坐标求了之后，谁让你要先那顶点横坐标求了之后，你实际上要求它的一个重坐标。怎么求重坐标呢？我们是有个公式， y 点什么四 a 分 之四， a， c 减什么 b 平方，但我告诉过你们需要背这个公式吗？不需要啊，不需要，这公式有点难被你带，容易带错。你直接把这个二分之一怎么样？带进去 等于算不香吗？带到这里面去，是不是算的时候直接去算，总比算具体的数字简单噻。好，但我只觉得现在这个在分析情况下是不用的哈，分析情况下就不用，到时候大家再去算就可以了。好，我们来看一下啊，这个与 y 的 交点，是不是当 x 等于零的时候，是不是 y 等于负二，这样是很好算的。好，那你说我只要去画一个草图的话，这样子喽，你看啊，首先它对应的二分之一是不是在这里？然后呢？当 x 零等于啥？等于负二，是不是在这里？ 到一零的时候点负二来，然后呢？过这个点，然后顶点的横横这边，这里，那顶点是不是在这上面动？就是这，要不这里，要不这里，就是因为我顶点的中这边上面没有球嘛，我大约都这样子了，然后还有 y 的 教练又在这里，是不是又开口向上？你能你能，你能这么画吗？那肯定不行啊，你说只能这么画， 是不是只能这么画？我都不用去求他的纵轴标到底是多少，是不是只能这么画，对不对？只能这么画好， ok， 我 们解了之后呢，我大概推量，大概推量我们就知道了啊，所以他对六点什么二分之一啊，先把对六点二分之一求出来啊，这个对心轴 等于什么呢？二分之一好，对称点二分之一以后，我们刚说了一个破题，一句话或者什么，关键是看看这个什么对称点怎么样，在不在这个区间，对吧？你看二分之一在不在这个区间，是不是在啊，就说我画的草图的时候，你就大概应该心里有数了啊，这样子，然后呢，大概就是它等于负二啊，假设这个是负二，那这里就是啥二分之一 啊，挣的二分之一，然后呢？他与外头就能在这里了，大概率啊，大概你的你的那个什么，你把它带进去以后啊，说白了我们直接带吧啊带，因为我怕有些基础弱的同学听不太懂啊，把这二分之一带进去算，带进去算的时候他就等于什么？这里就 x 乘以就是等于啥四分之一 再减啥二分之一再减二，是不是等于负数啊？对吧？然后这个，这个，这个四分之一，减二分之一，再减二是不是等于负数啊？对吧？然后我们直接 把这个什么二分之一给他带进去，算算他的最他顶点的什么中坐标啊？好，他就等于什么呢？四分之一， 二分之一等于二，二，四分之一再减去啥？二分之一再减去二。好，先把这个通分一下啊，他他的分母变，他就变成四分之。啥？二，四分之一，减四分之二是不是等于负的四分之一？那负的四分之一再减，后面是不是还有个减二负的减二等于啥？负的啥啊？四分之一再加二，负的四又等于一，那就是二十得八， 负的啥？四分之九？负的四分之九是不是负的二点几啊？这里是二是不是应该在他下方？所以他应该是什么？他顶点坐标就应该是什么， 这个顶点坐标就应该是什么啊？这个顶点的 y 坐标就应该是什么？负的四分之九啊，四分之九了，是不是大概就在这里了？就肯定小于负二嘛？所以说他这个就应该大概在这里。 好，这里是什么呢？负的四分之九这样写啊。好，顶点在这里，然后与外角焦点又在这里。我想问这个图像怎么开口修饰向上是不是只能这么画好？所以说他图像我们大概大概率就这样子画出来？ 好，图像大概就这个样子。然后好，先去看，他说在这个区间，让你求最大值角值，我想问那这个区间，然后刚刚说的对六只要在这个区间，那我想问他最小值，他最小值跟你这两个值有关系吗？是没关系了，就所以他最小值永远都是啥？ 负二十分之九。好，我们关键就是看什么盾头在不在，什么在不在这个区间。好，然后呢，我们再去看，只要这个盾头在这个区间，以后我就要去看这两个端点距离什么他的。呃，这里就是这个负一和负二和这个一，就这个负二，然后这里，哦，因为我画的图像不是很标准哦，这假设这里是负二，然后这里是一 啊，假设随便哪，那是一，无所谓啊，无所谓，因为我这本来就草图啊，这是负二一，我关键是要去看这个负二和负二。 负二到这个二分之的距离大呢？还是一到这个二分之距离大？为什么？因为只有判断出这个距离才之后我才能知道这个，因为现在最小值已经定了喽，你就要求最大值喽，那到底是负二对的这个值最大呢？还是负一对的还是正一对的这个值大？有些人是判断不了的。两个办法，第一个，你分别把这个负二和这个一给我带进去算，你去看哪个值最大，那他最大值最小值，你就知道了呀， 对不对？那最小值永远都取这个，你只需要判断这两个值哪个大一点的取最大值，就这个最小值就取这个实际上最大这个值不就知道了吗？这是稍微笨拙一点的方法。那我们多思考一点，这个是一个对称轴，已经知道了， 这是二分之一啊，没问题，那你只需要去看这个值到对应的距离，我说的是距离哈，距离就这个长度，而一到这个距离长，你看哪个值哪个长度大？因为它这是一个墙，对吧？我刚跟你讲了，这是一个墙，之后呢，如果它的距离越大，那它是根棍，你想啊，它落下来它会卡在上方还是下方？只要它越长，它是不是会卡在上方？它卡在上方，那对应的这个 y 的 就是它的标记点，它最大值就在这里， 他对应的值就在这里。所以说你看啊，这是负二楼，负二到零都有两个单位，然后呢？再加二分之一，是不是两个单位？再加二分之一个单位，二点五个单位，而这个一到二分之一是不是只有零点五个单位？那也就说这个二到什么对称轴，距离是不是应该比他大很多？比他大很多，那么他这根棍是不是应该卡在这个什么 这个墙的什么上方？那卡在这个墙的上方，那是不是对应的值就会越大一点？所以说他最大值就是什么？当 x 等于啥负二时，取最大值，就当 x 等于它的对称轴时，二 a 分 之，负 b 等于二分之一十，取什么最小值？它最小值跟这个跟这个没有关系，好吧，就跟这个没准好。 ok， 只需要把它带进去算，你把你只需要带一个数二带进去算，算完之后最大和最小值之差你不就知道了吗？ 明白，好，这样子我们就可以求出他的一个最大的。所以说我们再回过头来关，关键是看什么呢？关键是看他对应轴在不在这个区间，你把这样一个大前提给他分开以后，你再去看这个对应轴，如果他对应轴在这个区间，因为考试的时候这种要稍微复杂一点，他大概率都会考这种，因为他不考这个更简单的，他只要对应轴不在这个圈，那是最简单的， 对吧？只要对勾不在这个圈，那 m 在 这里， n 在 这里，那你一看最大值哪个值就行嘛？所以说大概率，如果他要考大概率都会考这种。对勾在这个区间，那你只要他对勾在这个区间，他只要开口向上，最小值跟这两边没关系。只要记住这个事情， 就只要对冲头在这个区间，只要对冲头在这个区间，那开口向上的时候，最小值跟他没关系。开口向上的时候，最大值跟他没关系。你只要记一个，当他对勾在这个区间的时候，他的最大值跟他没关系。看开口，因为你这个解析是知道，你这开口不就知道了吗？ 原来，所以我们一句话就可以破这种题，关键是看什么？看对称轴在不在这个区间，但是你只要背的这句话做前提。好，你后面还是要去分析他在这个区间以后，他到底哪个值最大，那最小值已经是这个了，那最大值到底是这个值最大还是最小值？所以说你用两个办法可以解决，我跟你讲，对吧？对，基础弱的同学实在理解不了那根棍， 实在不理解那根棍卡在哪里，那你就直接给我把两个字带进去算啊。技术好一点的同学，你就可以理解一下我这根棍啊。这样子。一个墙，这根棍如果它距离越大，那么它会卡在这个下方，那么它对应的这个值就应该比卡在上方的这个对应值要小一点，因为它最大值已经定了，你只需要去判断到底哪个值最小，明白没有？ 好，这是一个二三数的区间对值啊，二三数的区间对值。然后呢，我们总体啊，因为这是一个很重要的一个点哦，很重要的一个点，但是这些这个的运用的好，你把它想要好好的运用，你肯定有一定的基础的。你如果说连接解析式 y 等于 a x 平方加 b x 加 c， 你 解一个二元一次方程， 你都是一个问题，那你这个我们研究这个就没有啥意义好不好？没有啥意义，所以说我们一定要有一定的基础之后我们才去考虑这些东西。然后呢，你再通过老师的一句话破题， 关键是看这个对头在不在这个区间，如果在这个区间，那么他的最大值和最小值就跟他没有，就是其中一个哈，最大值和最小值的其中一个跟他没关系。当他开口向下的时候，最大值跟那个两个区间没关系，当他开口向 上的时候，最小值跟这两个区间没关系。然后呢，确定了最小值，你只需要看这两个值到底哪个值最大，你不要看你画的图哪个值你感觉他最大，不要因为你画的图有时候不标准。那你还是要去比较什么，这个距离还是要去比较这个距离，这个距离越大，那么他会卡在上方，这个距离越小，他会卡在下方。那你想啊，这最大值肯定是卡在上方的，那个值最大 好不好？ ok 啊，最后再给大家回顾一下咯，啊，回顾一下，好，感谢大家一直以来的支持，能够听完的同学，我相信都是对这个二函数有想着，有很大的想，能够把它全部做对的这样一个想法啊，我觉得希望通过这样一这一堂课的讲解来对你在对于这种题的理解会有更深刻的一个印象啊。还有一种就是 后面会出一个专题，就是他有两种情况啊，两种情况就哪两种情况呢？他给了你一个函数是一个定的，定的函数，那他这个区间是动的， m 和 m 加二这个区间怎么去理解？然后呢，在这个区间内让你求它的最大值和最小值这种关系啊，这是第一种哦，就是函数定区间动，这是第一种。而第二种呢，就是区间在区间定了啊，给了你一个，比如说二到三这个区间啊， x 就 二到三，就只告诉你啊，比如说二到三了，这负一 到正三， x 只能在这个区间，然后呢，它这个函数的 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 这个函数呢，又其中有一个字母相当于其，比如说 b 四字母，那 a c 都是确定的，那这个函数对准二 a 分 之差，负 b 是 不是就没有固定？那没有固定的话是不是就可以移动？好？这就像什么区间定，函数在动，那函数在动，这种情况又应该怎么去考虑？这是一个 比这个稍微要难一点的一种情况好不好？但是前提条件你得先知道这种，当它是定的时候，两个都是定的时候，你怎么去投入用它的什么最大值和最小值啊？后面我会出一个专题来讲解区间驱动函数 定，然后呢，用函数动，区间定，这种局两两大分类啊，又怎么去做？后面我会详细讲好不好？ ok 啊，今天关于二三式的区间最值，我们就讲到这里啊，就讲到这里，希望大家能够好好运用这种技巧啊，就是一句话去，不用去太多情况，一句话去记忆，就是关键是看这个定轴在这个区间啊，如果在应该怎么讨论？好，就这样啊，今天就讲到这里。

中考马上就到了，但是你二次函数掌握了吗？后台很多粉丝留言说，现在二次函数还是拿不稳，想让老师把二次函数作为一个专题进行一次讲解。 ok， 李老师，这今天给你讲的是二次函数专题的第二题，前面的视频老师讲的是第一题，今天一样的，我们依然是直接给方法，如果说你还听不明白，记得把这个视频完整的看完。 首先我们先看一下这个二次函数的这个解析式，这里面有一个坑谁发现了？在评论区告诉老师， 对于这个焦点式而言，对于这个焦点式而言，我们给的应该是 y 等于 a 倍的 x 减 x， 一 乘以 x 减 x， 二， 看到了没有？这个 x 一定要在前面，他与 x 轴的焦点一定要放在后面，而这个题看这里二减 x。 所以 这就是我们很多学生忽视的一个地方，审题的时候一定要审仔细，那我审题到底审什么？就审视这些东西， 所以我们首先要把这个二次函数的解析式进行一次变形。 ok， 在 这个函数解析下做题，那么你看着这个答案之后啊，如果说基础相对来讲比较好的孩子，这四个选项直接可以过掉了。 ok， 把这个坑告诉你，听到这里的时候你会了直接划划掉， 如果说这里你还不明白，说明你的基础相对来讲会薄弱一点，所以请耐心的把李老师的这个题目听完。首先我们第 a 先判断这个点是不是在这个图像上，我们在第一个专题里面的时候已经说过了，点和函数图像的位置关系，无非就是代入 等式成立就在，等式，不成立就不在，所以这个大家自己去使开口方向。刚才我们说了，哎，你换完之后是由 a 来决定这个二次函数的开口方向的，而这里的 a， 记住一定是负三，而不是正三。这个题最容易错的地方就在这，这是最最容易错的地方。 第三个题说的二次函数的对称轴问题，那么二次函数的对称轴问题，你要看它在什么式上。如果说在一般式的情况下，也就是 y 等于 a， x 的 平方加 b， x 加 c 这种形式的情况下的时候，对称轴是负的二分之 b， 对 吧？如果是在顶点式的这种情况下的时候呢？它的对称轴怎么求呢？是 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 它的这个顶点坐标是 h k， 而现在我们是在什么焦点式的情况下，如果是在焦点式的情况下，我们用什么来做？用中点坐标公式来做，也就是 x 等于二分之一， x 一 加 x 二，在这里我们有一个小小的拓展， 这个求对称轴啊，记住，只要是对称点，只要是 x 一 和 x 二是对称点，他不管他是不是与 x 轴的交点，只要他是对称点，那么我们都可以用这个来求对称轴。 第四一个他问你与直线 y 等于三 x 的 交点的情况，那我们都知道啊，要连力啊，让我们的这个 二次函数解析式和 y 等于三 x 连立，形成一个新的方程，看这个方程根的情况，你就可以知道 它的焦点的个数的问题啊，这个就可以理解成是二次函数与一次函数的位置关系问题，那我们可以画图像啊，当然你也可以画图像 啊，你画图像和我们做这个 derta， 它的一个解答，判断根的情况其实是一样的。如果这个问题你听懂了，评论区扣一，记得关注再走哦。

三分钟解决一个函数痛点，抛物线上的弦 a， b 的 中点 p 的 轨迹， 它是一条抛物线。今天教你公式，三十秒出答案。 结论在这里，抛物线 y 等于 ax 平方直线 y 等于 k， x 加上 m， 那 么弦中点 p， 它的轨迹就是 y 等于 二， a x 平方加上小 m， 它与斜率无关，只取决于 m 好 推导，过程 推导只用表达定力和钟点公式，最后消去 k， 得到 y 等于二百 a， x 平方加上小 m， 你看与斜率 k 完全无关。看例题套公式， a 等于二， m 等于三，所以诡计是 y 等于二乘以二乘以 x 的 平方加上三等于四， x 的 平方加三形中点。诡计问题核心是联力未达消仓。记住这个结论，考试直接耗用 省下的时间做压轴题，觉得有用请点个关注点个赞！记得点赞关注收藏，方便孩子下次学习哦！

不管你考几分，现在立刻停下来看亮亮的二次函数最热门八大类常考题型的总结，因为这很有可能是你考前最后一次完整复习我们二次函数题型的机会了。我们今天会从简单的图像性质到平移，以及我们选填压轴图像与系数方程不等式。 当然我们整个中考里面有一类应用题特别喜欢考，就是二次函数轨迹类的应用。那最后呢，我们会有三道压轴题，分别包括我们二次函数的含餐临界值问题，含餐区间问题、含餐定级了问题，以及我们二次函数最值问题和存在性的问题。 最常见的给出一个抛物线，对吧？哎，下的系数正确的是问什么呢？什么顶点呀，焦点呀，最值呀，增减性呀，巴拉巴拉的。那么通过图像，我们知道它是一个开口向上，并且顶点坐标呢？是三负四， 哎，这样的一个二次函数，那我们知道它的对应轴呢？很明显就是 x 等于三，对吧？好，当我们了解这一点之后呢，接下来我们就可以判断了， 好，顶点坐标是负三负四，不对，顶点坐标是三负四，所以 a 不 对。好， b 选项。说什么呢？说与 y 轴的焦点坐标是零负四。哎，我觉得这个比较容易错啊，很多人一看，哎，亮亮，哎，当然你看这后面是负四，对吧？所以肯定是零负四，那是一般式， 这是顶点式，所以你要把这个零，你把它给带进去。那我想问一下你， x 等于零的数， y 等于几呢？ 零带进去，零减三，负三平方九乘以二十八，十八减四 十四，对吧？所以也就是你与 y 轴的交点应该是零十四，而不是零负四，因此我们这个 b 选项呢，它是错的。嗯， 当 x 大 于等于三的时候，大于等于三就是在对正轴的右边了， y 数 x 增大而减小。胡说，这不是增大而增大吗？所以 c 也是错的。你会发现 唯独谁呢？ d 选项是正确的，最小值负四没有问题。为什么呢？我们这个开口向上的抛物线，所以在顶点处取得最小值，最小值呢，就是顶点纵坐标，也就是负四了，搞定。 那么函数的平移，大家记住八个字，叫做左加右减，上加下减。但是这个加减它是有一定要求的，比方说左加右减，这个加减呢，是在 x 上来进行加减的， 那么上加下减呢？这个加减是在我们表达式上面，你可以理解为整个函数的屁股上面，对吧？哎，在我们这个表达式上面 来进行加减。我们举个例子，比方说现在我们给出一个二次函数啊，就是它如何平移得到我们另外一个二次函数呢？那你会发现它是怎么变的？首先， 嗯，你这里加二了，对吧？左加右减，你只有往左移，你的 x 才会对应的加二。然后你又发现，你本来背平方的是 x 吗？ 现在背平方呢，是 x 加二，从这个 x 到 x 加二，它是不是加了两个单位？那既然你加了两个单位，左加，对吧？啊，就是往左移了两个单位，我们对应就加 好。然后加完之后，女伴在屁股上面，在外的这个表达式，屁股上面直接减二，上加下减，所以就是往左移两个单位，并且往下移两个单位，因此选哪个？因此我们选择 a 选项搞定。 其实在我们中考里面，你所遇到的有可能比这个更难，但因为我们之前跟大家讲过了所有的二三数魔鬼序号题的一个合集，所以今天我们就直接拿出一个比较具有代表性的，比方说像他了。 好，我们给出一个二三式外，对于 a x 方加 b x 加 c， 那 图像呢？如图所示。哎，你自己发现它有什么特点？好，下个结论，错误的是哪一个啊？也就是说有三个是对的，我们一个一个的判断啊。 首先第一个东西，那我们知道，嗯，开口向上，因此我们知道 a 大 于零，没有问题吧？好，接下来这个 b 怎么判断呢？那如果你知道左同右异，那就好了， 但如果你说这样的，我根本就不知道，对吧？怎么办？没关系， b 的 判断用什么呢？用对正轴。我们知道负的二 a 分 之比就是对正轴嘛，对，正轴在外轴的左边，对吧？所以也就是小于零了。好，接下来我们左右两边同时乘以二 a， 因为你 a 大 于零， 所以二 a 呢，是正的，对吧？你左边乘一个正数，右边乘一个正数，零乘以正数还是零嘛？乘以正数不变号。所以最终我们知道 b 大 于零， o， b 呢，也是大于零的。那最终 c 怎么判断呢？ 看它与外周交点，与外周交于负半周，所以我们知道 c 小 于零，因此你会发现 abc 的 乘积呢？是负的，对不对？完全正确啊， a 选项，这个是成立的，所以我们不选它。好，接下来我们再看。那 b 选项怎么去处理呢？你只要在整个函数里面遇到什么几 a 几 b 加 c 呀，那包括几 a 几 b 加 c 呀？ 啊，一般就是把 x 等于某一个数带进去，那带谁呢？带一带二带三，随便猜。不是的，我们其实一般看 b 的 系数就可以了， 你 b 前面系数是不是一，其实它指的就是 x 等于一所对应的函数值，不信你带进去 x， 一 带进去，你不就是 a 吗？一带进去不就是 b 吗？对吧？所以 a 加 b 加 c 就是 一所对应函数值，那一对应的函数值等于二吗？ 一对应的函数值，哎哎，真的等于二，对吧？那题目中你告诉你这个点坐标是一二，所以 b 选项完全正确好， c 一 样的，你看 b 前面的系数多少，是不是负一啊？所以其实它就是 x 等于负一所对应函数值，不信把负一你带进去。 好，当 x 等于负一的时候，你等于几？是不是 a， x 等于负一，你不就减 b 吗？后面加 c， 所以 它的确等于什么呢？等于负一所对应的函数值， a 减 b 加 c， 那 负一所对应函数之小于零吗？负一在哪？哦，负一在这，对吧，能不能看到这个是负一吗？ 那你这个负一所对的函数值。哒哒哒哒哒哒哒。哎，的确怎么样的哎，他的重做比较小零，所以小零怎么样也是对的啊。注意啊，我这里说的是 b 是 对的， c 是 对的，但这个要选择错误的，对吧？所以你会发现 abc 都是对的，那谁错？ d 选项一定错了， 也是，我们选的百分百是 d， 可是问题来了， d 怎么判定呢？哎嘿，你说这个 b 小 一，这咋弄？其实大家有没有这种序号题的时候， 他永远能够蹦出一个让我们摸不着头脑的，对吧？从来没有见过的，对不对？大家注意啊，你要知道，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白的。第二、三小问， 举个例子啊，你要知道，我们知道 bc 是 成立的，对吧？其实很多这种陌生的选项都可以由我们前面的正确选项来推导组合出来。比方说，孬，你想想这个东西等于几？这个东西等于二吗？哦，就是你等于二 成立的。这个东西它怎么样呢？它是小于零的，所以我们知道它是个负数，也没有问题吧？好，接下来你想想， 这里面有 a、 有 b、 有 c、 有 a、 有 b、 有 c， 而你这里面我只需要 b， 说明什么？如果我能够把这两个式子里面的 a、 c 给它消掉， 那是不是九只剩下 b 了，那怎么样消掉呢？挠你。比方把这个式子标做一式，把这个式子标做二式，一和二相减就可以了。你用一减去二，那么它等于什么呀？ 它不就是这个式子减去它吗？我的 a 跟你的 a 咔嚓是不是没了？我的 c 跟你的 c 咔嚓是不是没了？剩下你用这个正 b 减去一个负 b， 正 b 减去负 b， 其实就是二 b， 对 吧？好，那问题来了，嗯，那你要知道一是什么？哎，他是二呀，减去你是个什么？你是个负数，对吧？二减去一个负数怎么样？ 用二减去负数，他一定是大于二的，没问题吧？所以我们推出 b 大 于一，那你说 b 小 一，那肯定错了。搞定 好第四个二次函数与方程不等式，我们很多选择填空题就喜欢考它，包括我们很多大题里面的某些关键步骤呢，它的核心思路就源自于这里面的一些方法。好，这个题我觉得极其重要。 首先给出一个抛物线，嗯，好。当然 a、 b、 c 的 常数，我告诉你， a 小 于零，就是它是个开口向下的，对吧？好，它经过 a 点、 b 点，那你会发现这两个点的纵坐标小于零， 所以也就是怎么样呢？他是开口向下的，并且怎么样呢？并且与 x 轴交于怎么样？交于二零，负零，哎，就是一个横坐标是二，对吧？ 另外与 x 轴的一个焦点呢？横坐标是负四。好，现在下面有四个结论，一二三四，问，其中正确的有几个？那我们就一个一个来看了。首先第一个，他说这个一元二次方程，它的根是 x 一 等于二， x 二等于负四，这个怎么去处理呢？其实这个就是非常具有代表性的 函数与方程之间的联系。我们举个例子啊，比方说，我们随便给出个二次函数，好不好？比方说，哎，就比方开口向上吧，我们画个草图，就是 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 好 吧， 好，现在有这么一个，怎么样呢？啊？ x 轴。那现在我想问一下，你如何求一个二次函数与 x 轴，对吧？哎，它的焦点呢？也就这两个焦点，你怎么求？ 首先这两个焦点的横坐标你知道吗？你不知道，对吧？但你知道 x 轴上所有点，他的纵坐标一定是零的，所以横坐标是几不知道。纵坐标是零， 横坐标是几呢？不知道，但我们知道纵坐标零，对吧？好，现在有一个问题，既然我知道这两个点的纵坐标都等于零，都等于零，而这两个点还在整个抛物线上吗？也就是我知道抛物线上有两个点的纵坐标是零，那如果求横坐标， 已知纵坐标，求横坐标，所以你只要把这个零带到 y 里面去就可以了，对吧？所以也就是整个东西等于零就行了。那你可以得到什么？你令它等于零，就是 a x 方加上 b， x 加上 c 等于零嘛？哦，你可以得到一个方程，对吧？ 你只要把这个方程解出来，那你解出来之后，我们焦点的横坐标不就出来了吗？举个例子，如果你这方求着 x 一 等于二呀， x 二等于五呀，那你会发现，那那二和五就是我们这里的横坐标，你这个就是二，你这个就是五，理解没有， 所以你会发现，喏，那我们这个方程跟你这个二次函数，大家观察一下有没有联系，你会发现二次函数的表达式和方程左边的表达式是完全一样的。也就是说， 如果以后你只要给出一个二次函数，你会发现，如果某个方程的表达式跟它完全一样，那你会发现，喏，这个方程的解就是你这个函数与 x 轴交点的横坐标，交点的横坐标一样的， 你这个函数与 x 轴交点的横坐标反过来就是我们这个方程的解。方程的解，你会发现，与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以你这个方程的解就是二和负四， 搞定，也就是一呢，它是正确的。好，接下来我们看第二个，也是告诉两点的横坐标啊，说在这个抛物线上啊，让我们判断 y 小 于 y， 其实这个是什么？这个就考察我们二函数的增减性了，只要什么什么 y 大 于 y， 大 于 y 小 于 y 的， 对吧？哎，增减性， 你这个开口向下的抛物线。哦。开口向下的抛物线对不对？对，准轴是几对准轴能告诉我吗？ 因为你要知道与 x 轴交点横坐标二，与 x 轴交点横坐标负四，所以把这两个交点横坐标相加除以二。这个我不用说了吧？所以我们知道对称轴是等于负一的，那如果你不知道，你打个草稿好了，对吧？ 哎，一个交点横坐标二，一个交点横坐标负四，因为这两个点是关于对称的嘛，所以把这两个交点横坐标相加除以二，明白了没有？哎， 好了，那么接下来呢？我把它画出来。当我们知道对称轴是负一之后，那现在我怎么去判断二的重坐标的大小呢？其实很简单，除了开口，除了对称轴，那接下来我们就要判断距离就行了，你塞点横坐标负五， 负五是不在对称轴左边，距离四个单位，对吧？你要知道，开口向下的抛物线，你离对称轴越远，你的函数值越小，你离对称轴越近，你会发现你的函数值越大。 我在对正轴左边几个单位，你发现是四个单位，对吧？负五到负一是不是四个单位？好，那我们知道派是几啊？派是三点，你可以理解为三点一四，好吧，三点一四很明显在对正轴的右边，而且距对正轴呢？多少个单位？ 三点一四减去负一吗？是不是四点一四？这个就是派对不对，横坐标是派， 所以你会发现哪一个？你这个父，我所对的这个高度是 y 一 吗？你这个派所对的这个高度怎么样呢？是 y 二，对吧？所以 y 一 大于 y 二，你说小于，那不对啊，所以我们知道二是错的。好，接下来看我们的第三个啊，其实第三个它跟我们上一个有一点类似啊， 他说对于任意的实数 t， 总有这个东西成立，哎，大家说亮亮这咋弄呀？对吧？乌七八糟的，都没有任何的思路。好，其实你会发现，你只要左右两边同时加上某一个东西就可以了。什么呢？你看到我们刚才遇到解几 b 加 c， 他 往往是把某个数带进去所对应的函数值，对吧？这里也是一样的， 几 a 几 b。 呃，没有 c， 没有 c， 我 就补，比方，我把左边加上一个 c， 它是什么呢？它是 a， t 方加上 b， t 加上 c， 对 吧？右边我也加上 c， 嗯，也就是小于等于 a 减 b 加上 c， 对 吧？你让我去判断这个不等式，我不，我只要判断这个不等式是否乘以就可以了。而这个东西呢，我们上一题讲到了，它是 x 等于负一所对应的函数值，对吧？ 而它是什么呢？其实大家有没有发现我们这个式子相对于这个式子它发生了什么变化？它无非就是把你这里的 x 变成了 t 吧，把你的 x 变成了 t 吧，你怎么样去把 x 变成 t 呢？也就是当 x 等于 t 的 时候，把 t 带到横坐标 x 里面去吗？ 那你这个式子不就变成它了吗？对吧？所以它就是 x 等于 t 所对应的函数值，你是 x 等于一所对应的函数值。那这个大招怎么比较呢？一般跟我们的顶点会有关系，比方说我们刚才说了，大家记不记得 它是个开口向下，并且对准轴是几呢？那二和负四相加的一半，也就是我们的对准轴是 x， 等于负一，对吧？你想想， 对称轴是负一，所以我们知道顶点的横坐标一定就是负一了，所以你把负一带进去，负一在整个抛物线里面，你所对应的一定是什么呢？这个一定是顶点所对应的纵坐标，明白了没有？哎，你是顶点纵坐标， 那顶点纵坐标怎么样？一定是最大的吧，也是最大值。那 t 呢？ t 等于几？任意实数 t 给正的负的就是提取任何数，对吧？也就是你随便带入一些数进去，所对的函数值一定小于等于我们顶点所对的这个纵坐标，对不对？ 肯定对呀，我顶点对吧？这是整个函数的最大值吗？你随便代入一个数，要么等于我的最大值，要么小于我的最大值，小于等于完全正确，所以三呢是对的。好，接下来我们再来看第四个，他说对于 a 的 每一个确定值啊，就是 a， 你 可以取正的负的啊，当你 a 确定之后呢？ 如果这个一二次方程，哎，此时不等于零，等于屁了。我告诉你，屁是个常数，但是屁大于零啊，像这个方程，我要要求你的根是整数， 那像这样的屁的值只有两个，我们看到脑袋都大了，对吧？哎，什么一个两个，我都不知道怎么去确定它。好，其实我跟大家说一下啊， 我们在迭问里面，大家都应该有这种思维，在我们遇到整个抛线的题型的时候，如果题干中出现了方程，那么往往就是怎么样呢？哎， 涉及到求焦点，你一般函数求焦点，他就会构造方程吗？其实这里也不例外，你看在整个函数的题型中，如果出现了方程，那这个方程是怎么得到的呢？举个例子，你看左边 a x 方加 b x 加 c， 这个不就是一个二次函数吗？没问题吧？ 那二三十五如何等于一个具体的数呢？我举个例子，比方说，呐，这是个抛物线好不好？这是 y 等于 a x 方加上 b x 加上 c， 对 吧？ 好，现在有这么一条线哎，这条线是 y 等于二，这是一条水平线，上面所有点的纵坐标呢，都等于二。现在我让你求这两个焦点，求这两个焦点怎么求？一样的吧，这两个焦点横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是。 横坐标是几呢？我不知道，但我知道纵坐标一定是二，对吧？好，那现在问题来了，我已经知道抛物线上两个点，他的纵坐标呢？是二，我已知纵坐标，如何求横坐标？ 把重坐标等于二把它带进去嘛，对吧？所以你会发现，喏，那此时你可以得到 a x 方加上 b x 加上 c 等于几等于重坐标，这个二有没有问题？所以其实你有发现，如果左边是二三数，右边是一个固定的数， 其实就是求二三数和一条水平线的交点一样的。那如果我这个是五呢？那你这个不就变成五吗？这个不就变成五吗？对吧？ 你这不也变成五吗？这不也变成五吗？所以一看就知道是一个二三数和一条水平线 y 等于五产生交点，对吧？ 现在你这个屁指的是什么？那很明显，那么这个就不是五了，而是怎么样，而是屁嘛，对吧？一样的，这里所有的数字都换成屁，都换成屁，都换成屁是不可以了，所以它表示的是什么？它表示的就是一个二三数，我们重新画一下好不好？ 他指的就是一个二三数，干嘛呢？和我们水平线 y 等于 p， 二者的交点，我要求交点，怎么求呢？构造这个方程，所以你这个方程的解就是我们这个焦点的横坐标，对吧？好，你看看这个题，说我方程的解根是整数， 所以我只要保证整个图形相交之后，这个焦点，这个焦点是整数，不就可以了吗？好，那问题来了，我如何保证这些焦点是整数？这个该怎么处理呢？大家不要忘了， 我们整个抛物线，它与 x 轴，它与 x 轴，对吧？焦点是二零和负四零，就这个呢？是横坐标负四零，那这个呢？是怎么样呢？是二零。我突然想起一个问题，我前面是不是画了一个抛物线，我的左边是二，右边是负四， 哎，我去求对中轴，对吧？哈哈，这让人怪不好意思的同学们，哈哈，这其实什么都没有发生，对吧？看这里啊。嗯，对，就是这样的。嗯，好， 那接下来你会发现呢？呃，也就是你会发现，如果我这个直线，对吧？如果我这个直线，直线与抛线，它会产生交点，一个横坐标负四，一个横坐标二。那你想我再往上移，那这里面会产生什么呢？举个例子，我们会产生什么呢？ 我横坐标是负三，我横坐标这个解，因为你要知道整个对称轴是负一嘛，对吧？你这个往右边去了一个单位，这个就怎么样呢？哎，就是一了，能不能理解 这两个相加除以二等于整个对称轴负一嘛？好，所以你会发现，哦，那这个屁要求出来吗？其实不需要，对吧？哎，我 y 等于屁，在这里面，你只要知道屁可以取到一个数就可以了。 好，你屁在这里，比方就在这里，你这是不可以负二呀，你这是不可以等于零啊？负二和零这两个交点是不也是 整数？那你整个方程的根不也是整数吗？你再往上行不行？比方我再往上，再往上，你这个负二，再大一个单位负一，零呢？再小一个单位负一。哦，这两个一样， 这两个一样意味着什么？就意味着啊，你的屁在尖尖的，在这里，理解了没有，对吧？我们知道整个顶点的横坐标是负一吗？所以说整个直线呢，经过抛线的顶点啊，产生焦点，这个焦点横坐标负一。 那有时候练了这个不行吧。为啥不行？这个题有没有说这个方程一定得两个不相等实数根，你只要解出来根是整数，我只要相交交点横坐标是整数就可以了。所有几个有这样的一条线，看到没有？哎，我们交点是负三一。 好，所以你这个方程的解呢，就是负三一，还有这样的一条直线，对吧？哎，焦点横坐标负二零，所以我们知道怎么样呢？我们这个根呢，就是负二零，还有这样的第三条直线，喏， 嗯，此时你会发现我们焦点的横坐标呢？负一，所以你这个方程的根怎么描述呢？它是 x 一 等于 x 二等于几等于负一，对吧？是不是也是整数？ 所以这里有几条？一条、两条、三条。所以你对应的屁应该有一个、两个，三个不同的屁，对吧？你的屁值怎么只有两个呢？不对，所以整个题目正确的就是一三，也就是有两个了，搞定。 那像我们以前二次函数的应用呢，特别喜欢考我们利润呢，成本呀，它的最值问题。但是我们近几年像这种 诡计类的应用题越来越多了，我们把这个题放大，大概长这个样子。那接下来呢，我们就把这里面的很多话把它清掉，比方说，哎，是一座彩虹门的喷船啊，对吧？ 啊，各安装一个喷船就叽里呱啦。为了避免游客被淋湿，设计团队我们把整个题目呢稍微精简一下，它就大概长这个样子。所以你会发现很多难度的假象呢，都是命题人造成的。那我告诉你，如图是一座彩虹门 喷泉景观啊，就是喷出来，对吧？可能用这个光在上面一打，形成一个这个水形的彩虹。嗯，好，然后圈起来收费。喷泉场地宽度呢？ ab 等于十六米。呃，就什么意思？整个 ab 是 十六的 啊，就是这段长度，对吧？好，现在 a m 等于 b n 等于零点八米，就是 a m 这个高跟 b n 这个高，对吧？它分别是零点八， 其实就是这一条红边，能看到吗？跟这条红边，它的高度呢？都是零点八。哦，零点八对吧？嗯，比较短。 好，当然我告诉你啊， a m 垂直 ab， 它是垂直底边的，同样 b n 也是垂直 ab 怎么样呢？它也是垂直底边的。嗯， 好，现在这个抛物线的顶点 c 到地面的距离是四点八米， o 就 它是个抛物线，因为 m 点和 n 点它的纵坐标，纵坐标是完全一样的， 抛物线上的两个点，如果纵坐标一样，那么这两个点一定关于抛物线的对称轴对称，因为整个 a b 等于十六，所以我们知道 c 的 横坐标呢，一定就是八。 那纵坐标呢？因为你到地面的距离是四点八，所以我们知道 c 的 纵坐标呢，也就是四点八。好，接下来第一个让我们求这个抛线的表达式，这个太简单，因为我知道顶点我肯定这么设，对吧？也就 y 等于 a 倍的 x 减八的平方，加上四点八。那接下来你随便带入一个数呢？ 比方说，我们肯定带这个嘛，你这个 m 点横坐标是零，纵坐标呢？零点八对不对？把这个点带进去， 横坐标是零啊，零减八，负八也是六十四倍的 a 加上四点八，等于几？等于零点八，对吧？哦，等于零点八，所以我们知道六十四。 a 呢，等于负四，所以 a 等于几？ a 等于负的 十六分之一。其实我们把 a 求出来，你整个抛线表达式我们就搞定了。嗯，也就是 y 等于负的十六分之一倍的 x 减八的平方，再加上什么呢？加上四点八。 好，接下来第二个，在 a b 上安装六个挡雨伞啊，一二三四五六，干嘛呢？就有人在下面看，那万一这个水溅到身上，那填感就不好了。 伞的顶端离地面的距离是三米啊，就每个伞的顶端对吧？到地面距离就整个高度呢，哎，一致都是三米，并且雨伞的间距相等啊，就每个雨伞呢，你们之间的距离都相等啊，要保证美观了啊。如果最外侧 最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的数值高度是零点三六，最外侧就是这两个伞，对吧？它的顶端 到水柱。水柱是什么？你水柱是怎么样？抛线型的吗？啊？就是到你这个水柱的距离多少？就这个数值高度多少？零点三六啊，就这一段是零点三六，对吧？零点三六。那其实我们知道，因为你整个整个伞的高度级呢？整个伞的高度是 三，对吧？所以你会发现其实这个点他的纵坐标知不知道你伞高是六？你这个伞的顶端到这个抛线的这个数值高度零点三六，所以我们知道这个点的横坐标不知道纵坐标呢？三点三六的是不是一样的？你这个点对吧？ 你的横坐标不知道纵坐标是不是也是三点三六呀？嗯，好，问题来了，那现在让我们求相邻两个挡雨伞的间距，求什么呢？也就是求我们，哎哎哎，对吧？他们之间的距离好怎么处理呢？其实你会发现，我知道纵坐标可不可以求横坐标？一定可以。 那我们整个抛线表达式知道了，负十六分之一倍的 x 减八的平方加上四点八等于多少？等于你的纵坐标三点三六，对吧？三点三六，所以也就是接下来它等于什么呢？嗯， 负的十六分之一 x 减八的平方等于挪过来负的一点。 你这么麻烦我们移过去啊，一点四四，对吧？那最终也就是你发现左右两边同时乘以十六吧，左边乘以十六呢？ x 减八的平方，对吧？右边这个东西乘以十六，这怎么弄 啊？乘以负十六，对吧？其实我一般我跟大家说下，如果是我，我会怎么算啊？呃，我，我一般会口算，怎么弄的？ 就是你把这个负的一点四四，你要知道一点四四是什么？哎，我把我平常这个口算的小技巧跟你们剧透一下，就是你要知道一点四四它是等于多少呢？它是等于一点二的平方，这个大家知道吧？一点二就是怎么样？一点二就是五分之六，对吧？所以你平方一下呢？也就是怎么样呢？ 二十五分之三十六，没有问题吧？所以你要知道这个玩意呢，它等于二十五分之三十六，你看看你自己想想一点二的平方，五分之六的平方，脑里面能不能算出来，我觉得没有问题吧，所以也就是它等于二十五分之三十六，你乘以什么呢？左边乘以负十六，右边乘以负十六， 你乘完之后不就符号这个变成正的吗？所以乘以十六，你不要算出来啊。为什么不要算出来呢？此时我们知道 x 减八等于多少，我把它清掉，你的平方等于这么多，那 x 减八等于多少呢？注意啊，正负 分母是二十五，嗯，谁的平方等于二十五呢？五吧，那剩下的谁的平方等于三十六六吧？谁的平方等于十六呢？ 四吧，所以也是等于多少？正负五分之二十四，那最终我们可以求出来 x 一 呢等于多少？五分之十六。那么 x 二等于多少呢？五分之六十四啊，就是我们知道一个横坐标呢？ 五分之六，对吧？一个横坐标呢？五分之六十四，那你会发现那整个的跨度，我们知不知道用你的横坐标减去他的横坐标嘛，所以也就接下来我们把它清掉了， 那你的横坐标减他的横坐标，用五分之六十四减去五分之十六，你换等于多少？等于五分之四十八，对吧？啊？这有几个距离？六八三一二三四五五个距离嘛，所以用它除以五就可以了啊。所以等于多少？ 我都不想写了，我都想直接写我们最终答案，二十五分之四十八，这个就是每两个相邻等于三的距离。搞定 好，接下来来到我们的压住部分。首先我们来讲二次函数含参零减值问题。哎呀，什么叫参数呀？啊的天，我举个例子啊，比方说 x 加上一等于八，你能不能求出这个方程？一定给求出来，对吧？一种 x 等于七，对不对？好，现在如果把其中某个数字变一下，比方我把这个八呢？变成小 m， 好， 那我想问一下， 你还能求出我们这个 x 等于具体的哪个数字吗？你求不出来了，对吧？所以像这种阻碍我们解方程的这种字母呢，我们就把它叫做参数。嗯， 那最终这个，我们把这个方程叫含参方程，那最终呢？我们算出了 x 等于 m 减一，你可以用参数也用字母来表示我们最终的解。那什么叫含参的函数呢？举个例子，比如 y 等于二， x 加上三，这个一次函数呢？ 它与 x 轴交点，它的草图你可以完整的画出来，对吧？但如果把后面这个三变一下，比方说加上什么呢？加上小 a， 请问那这个 e 函数，它与 x 轴、 y 轴的具体交点，你还求得出来吗？ 扯不出来了，对吧？你阻碍我去画整个一次函数的草图，你阻碍我去研究整个一次函数的怎么样呢？具体的性质，求焦点等等，像这种，我们就把它叫做参数，明白了吧？那对于参数呢，不管是方程呀，还是函数呀，在整个初中阶段，你都把它当做一个 数字来对待，只不过这个数字呢，你暂时不知道，那这里面的参数是谁呢？很明显就是我们的字母 a 了，对吧？ 那字母 a 一 旦知道整个抛线与 x 轴的交点， y 轴的交点对准轴位啊，对吧？我们都能求出来，那么这个呢，就属于含餐的二次函数，它所带来了一系列问题呢，我们就把它叫做二次函数的含餐问题，那么其中一种呢，就是我们要今天所讲到的零界值问题。 好，当 a 等于一的时候呢，求这个二三角图像的顶点坐标，这是不是太简单了？你比如把一带进去，所以整个抛物线 y 等于 x 方加上三， x 加上二，对吧？那最终我们可以把它配方下，也就是 x 加上二分之三的平方四分之九减四分之一， 那所以我们知道它的顶点呢？很明显，也就是负二分之三，负四分之一。搞定好，接下来我们看第二个，你不要看它很长，其实超简单啊，是否存在实数 a， 使得对于任意的实数 t， 你 看又来一个参数 t， 对 吧？ 当 x 取二加 t 和二减 t 的 时候呢？它对应的函数值始终相等，有吗？如果有，求出 a 的 值，如果没有，请说明理由。我如何保证我的函数值始终相等的？我问大家个问题啊，其实这个题说白了，考察我们的对称性， 你想想，给出一个抛物线啊，我首先想问大家问题，如果做一条水平线，他与这个水平线横坐标，哎，这个焦点呢，一个是三， 一个是七，大家能告诉我对中轴是几？画一条水平线交的横坐标三七，你把这两个交点横坐标相加除以二吗？对吧？所以也是对中轴一定是五，没问题吧？ 相加除以二啊。好，再画这个抛物线的草图。我告诉你，二加 t 和二减 t， 他 所对应的函数值相等，函数值相等，那就表明他们的纵坐标一样，就是二加 t 的 时候呢。哎，你的纵坐标在这里， 二减 t 的 时候呢？你的纵坐标也在这里，好不好？因为这两个点的纵坐标是一样的嘛，所以你因此二者的连线一定是水平的吧。水平意味着什么？就意味着这两个点一定关于我们的对称轴对称，对吧？你一个横坐标是二加 t， 另外横坐标呢？二减 t， 哦，我们知道。那这个对称轴怎么表示呢？把这两个点的横坐标相加除以二，你和我相加 t 抵消了吗？二加二等于四，所以我们知道，也就是我只要对称轴等于二就可以了。好，那问题来了，也就是我要使得整个抛线的对称轴等于二，它就成立了。那对称轴呢？我们知道，对称轴等于 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么等于几呢？ 负的二 a 呢？那就是二 a， 对 吧？嗯， b 等于多少？ b 就 等于二 a 加一了哦，也就是二 a 加上一，那么等于几呢？等于二哦，等于二。好，接下来我们左右两边同时乘以负二 a， 左边乘以负二 a 呢？剩下分子二 a 加一，右边乘以负二 a 呢，也就是负四 a， 所以 我们可以求出来，六 a 等于负的六分之一。 搞定好，接下来我们看第三问，也就是最难的一问，当 x 在 一到二之间的时候， y 大 于 x， 这个结论呢？始终成立，让我们求 a 的 取值范围， 只要是含有参数，并且让我们求参数取值范围的，它都是考我们临界值的问题，在这里我们需要数形结合，那什么意思呢？比方说，我们首先看这个 y 大 于 x， 始终成立， 进去随便取一个点，我的纵坐标一定要比横坐标更大，对吧？那如果我们取一个点，横坐标是 x， 那 纵坐标呢？把这个 s 带到整个抛物线里面，我们可以得到纵坐标是 a x 方加上二， a 加一倍的 x， 再加上二。 好，我们知道这个纵坐标呢，要永远大于我。对，你的横坐标也是，我只要大于 x 就 可以了，说白了也是我只要使的这个不等式始终成立就可以了。好，那接下来我们把这个不等式呢 稍微的化解一下，也就 a x 方，我们加上二， a x 加上 x， 我 们再加上二，我要大于 x， 对 吧？ 那你会发现，喏，这两个它可以抵消掉，是吧？也是最终我只要使的 a x 方加上二， a x 加上二大于零就可以了，也就什么， 也就是当一小于 x 小 于二的数，这个不等式它是始终成立的，对吧？啊，在这种情况下，我们求 a 的 趋势范围，那可是问题来了，那这个不等式如何始终成立呢？其实你会发现，你只要遇到像这种类似的形式，你都可以把它当做二次函数的表达式， 它不就是 y 等于 a， x 方加二， a x 加上二，一个抛线的表达式吗？也就是对于这个二次函数，它在一到二这个范围里面，我的纵坐标永远是大于零的，就可以了。 当问题来了，那整个抛物线它的开口朝上还是朝下，你知不知道？你不知道，但我们可以推出来，你会发现前面是 a， 这里是二 a， 也就是我们知道整个抛物线它的对称轴是几呢？哎，我的对称轴一定等于负的二 a 分 之 b， 也就是等于负的二 a 呢，它就是二 a， 对 吧？ 它的 b 呢，也是二 a， 对 不对？所以我们求它整个抛线的对中轴呢，一定是负一，好，那么接下来我们开始分类讨论啊。第一种情况，我们考虑 a 大 于零，也就是开口向上，你要在这个范围里面，函数值永远大于零，那我首先把这个范围在我们整个竖轴上画出来，这个呢，是一，这个是二，好不好？ 一到这个范围，函数值大于零，你的对等轴是负一，也就是对正轴大概在这个位置，对吧？哎，负一，好，现在呢，你要知道，我们把这个 x 等于负一，这个线画出来，你这开口向上的对应轴负一，所以你把你整个抛线呢，你可以长这个样子，对吧？哎，行不行？ 那此时你会发现，一和二所对应函数值大概是这一段， 那他是不是永远是大于零的？没有问题，所以他是满足题的。好，那么接下来如果我把整个抛线变得越来越宽呢？比方说晋国赋一，我整个抛线可以长这个样子呀，对吧？满不满足题也可以长这个样子，对吧？ 满不满足题还满足？如果我整个开口箱上我变得更宽一些呢？此时你会发现喏，他还满足题吗？你会发现一到二这一段范围里面就是塌了，对吧？那么此时这一段 我的纵坐标永远大于零吗？就不是的。所以也就是如果窄的话，满足宽宽宽宽宽，它会逐渐的不满足。那请问什么时候会出现我们的 临界情况呢？也就是你整个图像刚好经过我们横坐标一零的时候，对吧？哎，经过我们这个点的时候，此时出现临界情况， 你整个抛物线在蓝色里面呢，可以，在蓝色的外面呢，它就变得不可以了。如果你比外面这个更宽，那就更不可以，它就大概长这个样子了，对吧？ 甚至呢，它会把整个二给包进去，是不是它就更不符合提议了？那问题来，我如何去求 a 的 取值范围呢？有两种方法。第一个就是你直接划入我们刚才的临界情况，也就是经过一零的时候，整个抛物线，你把一零直接带进去， 抛物线的 a 一定可以求出来，知道 a 我 们就可以斜取出方位了。还有另外一种怎么样呢？你想想，我如何保证我的纵坐标永远大于零呢？其实很简单，我只要像这个样子不就可以了吗？对吧？也如我这个直线呢， 你不能从一二之间穿过，你也不能从二旁边呢穿过，你只能在一的左边，怎么样呢？你这是一个地面嘛，你能在一的左边，你只要在一的左边这个地面穿过去就可以了，对吧？我如果在一的左边这个穿过去呢，其实很简单， 你只要保证一所对应的函数值怎么样呢？是大于零的，是不就可以了？那么此时你会发现呢？哎，我们在一到二这个范围里面，他永远总坐标呢？哎，是大于零的，所以你只要把一带进去，是不是？把一带进去， 我们可以得到什么？横坐标是一，那么你就是 a， 加上横坐标是一，那么你就可以得到怎么样呢？二， a， 对 吧？再加上二，干嘛一带进去？哎，你可以在一的左边穿过去，在一的右边穿过去。不行，哎，我想问一下，如果我们整个抛线告从一上面穿过去呢？ 从这里穿过去，请问符不符合 t 呢？就是一代数，如果等于零的话，那你会发现，喏，一到二之间是不是这一部分呀？这一部分我是不是注意啊，一到二我是取不到一，我取不到二，对吧？也就是喏，这个空心圈，这个空心圈在两个空心圈之间，我的纵坐标是不是永远大于零？是的， 一的纵坐标等于零，但是我这一段我取不到一嘛，所以我的纵坐标永远是正的，符合吗？符合，也就是经过一零的时候也可以，因此我是大于等于零了，对吧？一所对应的函数值可以是正的， 一所对应的函数值可以等于零，所以呢，我们最终求出来三， a 大 于等于负，二，也就 a 呢，大于等于负的三分之二，难道在这种情况下，我们 a 的 取的范围就是它吗？不是，为什么呢？因为我们有个前提条件， a 大 于零， 你在 a 大 于零的时候，你求出来这个取值范围，对吧？你把这两个结合起来，同大，你取大嘛？所以也就是在我们第一种情况下，我们求出来 a 的 取值范围呢？ o 是 a 大 于零的。好，那么接下来我们再来考虑第二种情况也是怎么样呢？ a 小 于零， 那 a 小 零呢？一样的，你在一到二这个范围里面还怎么样啊？你整个所有的函数值你都得是正的，对吧？而且我们知道对正轴呢，它是固定的负一，好，我们把整个对正轴把它画出来， 也就经过这条直线，并且在一二这一段里面，我的纵坐标永远大于零，你想想我能像这样画吗？这样画你一二一定取到下面的，对吧？那我也就是我需要怎么样？我需要你窄一点行不行？你要是变窄一点， 那更不行了，对吧？那一二取到更下面了，所以你整个抛线要变宽，你宽成这样的，哎，不行，你宽成这样的， 哎，你发现一到二之间，他只有一部分，对吧？他就这一部分是正的，所以你要继续宽，宽到什么程度，你会发现你宽到，哎，经过二的时候是不可以了，你在一二之间不行吗？在二的时候就可以了，你会发现一到二之间，你就是哪一段，就是这一段，对吧？他是不是永远怎么样呢？ 哎，大于零的对不对？好一样的，有量量，那二的时候不是等于零吗？注意啊，这个 x 他 取不到一，也取不到二，所以你这一段呢？他这两个端点永远是空心圈，永远是空心圈。理解。没有， 我取不到端点，在这两个空心圈之间，你会发现 y 永远大于零。那如果再宽一点，宽成什么样？我宽成这个样子行不行？那更行了，对吧？因为一二呢？哎，他们每一段对应的全都是 y 大 于零的， 也就怎么样。哎，我们的临界情况是什么呢？临界情况就是你窄了，不行，你得宽，对吧？最起码得宽到什么程度？最起码得宽到经过二零的时候 才可以。那问题呢，我怎么去求这个 a 对 应的曲值范围呢？有两种，第一个就是你把整个抛线呢，令它经过二零，也就是把二零呢直接带进去，你可以求出 a， 进而推出它的曲值范围。第二种，干嘛？ 就是你直接去用我们的代数来表示，你想想我如何经过二零，或者把这个二零把它给包进去呢？就像我们刚才所说的，对吧？你像这样的在一到二之间是不行的， 对吧？你经过二零呢？可以吧？因为你会发现一这一段空心圈，二这个空圈中间呢，的确总数比较大一点，或者你把这个二把它给包进去，是不也可以，对吧？那你会发现一二之间呢？ 哎，我这个图像有点夸张，对吧？也是满足的。那我直接画一个草图来辅助大家理解，比方大概长这个样子， 也就是你只要使得二所对应的函数值大于等于零就可以了。当二所对应函数值等于零，我就是经过二的，可以，对吧？当二所对应函数值大于零，那我一定是怎么样呢？在二的右边钻下去的，对不对？所以说，你只要把二 带进去，使得我对应的函数值这个点呢，大于等于零就可以了。好，二带进我们可以得到什么呢？把它带到这里面去，也就是四 a 加上把二带到这里面去，依然是四 a 再加上二，我怎么样？我大于等于零就行了。 好，所以我们求出来也就是怎么样八、 a 大 于等于负二也是怎么样？ a 大 于等于负的四分之一，难道我们求出来 a 就 等于这么多吗？不是的，因为我们是在 a 小 于零的前提下求出来的，所以我们最终取之范围呢，就是 负四分之一小于等于 a 小 于零。好，这是我们求的第二个方位，所以你可以这么说， a 大 于零，或者呢，负四分之一小于等于 a 小 于零。当然了，你会发现这两个方位你可以稍微合并一下，比方说，我可以把它写成 a 大 于等于负四分之一，且 a 不 等于零，这两个范围其实指的是同一个范围。好，那么接下来我们来搞定二次函数含餐的区间最值问题，以及二次函数含餐的定结论的问题，也如我们预期了，那我们首先来看前两位，他不需要图，所以我把这个图呢给去掉了。 那么首先给出一个抛物线，它与 x 轴只有一个交点，怎么样呢？二零与 y 轴交于点零二。其实这个题特别有意思，因为你不需要这个点的坐标，你单凭这一个条件，你就可以求出抛物线的表达式，但你给到了，那我就直接写了好不好？ 因为你告诉我交点是二零，所以也就是 y 等于，我口算一下，二分之一 x 方负二， a 分 之 b， 也就是减二， x 与 y 轴交于零二，对吧？加二就可以了。好，第一问我们就直接快速过了。好，接下来第二问，也就是当 x 在 这个取值范围里面， y 的 最大，这个最小值的差十二，那让我们求 m 的 值该怎么办呢？他给出了某一个范围，也就是在某一个区间里面涉及到我们的最值问题，像这种问题，咱们就把它叫做区间最值问题。对于所有的区间最值问题，我们只需要做一件事，也就是开火车就可以了。比方说呢， 我们整个抛物线的最值跟什么有关？只有两个东西，第一个开口方向，第二个对正轴，然后这里面开口方向向上，对吧？哎，我们知道整个抛物线开口向上，那这个对称轴可以求出来吗？啊？大家口算一下，对称轴呢，我们知道负的二十一分之一，也就对正轴是几， 哎，对正轴我们知道等于二，对吧？我们把整个抛线的轨迹呢，当做过山车的轨道，你把这段曲直范围呢，当做我们的过山车，我们分四种情况，第一种情况，当你这个曲直范围完全在对正轴的左边，比方说呢，就像这样的一段，对吧？哎，曲直范围在这里， 你会发现这个呢就是小 m， 这个呢就是 m 加一，那么此时我们整个方位里面它的最大，这个最小值呢？很明显在这取的最大值，在这取的最小值，对吧？好，一样的，我们这个过山车呢，接着往前走走走。第二种情况，它就会刚经过对正轴， 好，这是我们第二种情况，对吧？刚经过对称轴，你这个横坐标小 m， 这个横坐标呢？ m 加一。好，此时你会发现，在哪取得最大值？在这取得最大值，在哪取得最小值呢？千万不要觉得在这啊， 它经过了抛物线的顶点，所以在顶点处取得最小值。好，第三种情况就是我即将离开对称轴，就大概像这个样子，哎，我这个过山车呢？ 我这个火车呢，马上离开对正轴了。你这个顶点横坐标小 m， 这个顶点横坐标 m 加一，所以你看在哪取的最大值？在这取的最大值，反过来呢？在这，哎，不对，在这，对吧？在顶点这里取的最小值。好，最后一种情况， 我们怎么样？我们已经脱离对正轴了，就跑到完全跑在对正轴的右边了，对吧？这个呢，就是小 m， 这个呢，就是 m 加上 e， 所以 很明显，在这取的最大值在哪？在这取的最小值，所有的区间最值。问题，你只要分这么四种情况讨论，百分百可以全部都搞定，甚至你会发现 有些特殊类的区间最值，你只需要分三种甚至两种情况就可以搞定了。我们知道整个抛物线的开口向上也就大概长这个样子，那对准轴，我们求出整个抛物线对准轴，也就是 x 等于二。好，接下来我们来求第一种， 那你想想最大值和最小值，它的差是二吗？我们把 m 带进去，我们可以得到它的最大值二分之 m 方减二， m 加上二。好，然后我们再减去什么呢？ m 加一，它对应的是最小值，你说减去怎么样呢？哎，我们二分之一 把 m 加一带到 x 里面去。哎，我们可以得到这么多，对吧？我们知道最大值和最小值的差呢？等于二，也就是令他等于二就可以了。那么最终我们求出 m 呢？等于负二分之一，那这个负二分之一可不可以呢？你不要觉得求出来我们就直接拿走。不是的，你需要验证， 也是，当 m 等于负二分之一的时候，你整个的过山车是不是完全在对称轴的左边？你需要验证负二分之一，那你这个呢？就是负的二分之一，对吧？ 负二分之一加一呢，也是等于二分之一，那我想问一下，负二分之一到二分之一这个范围，它是不是完全在对称轴 x 等于二的左边完全符合？因此呢？哎，这个 m 求出来是 可以的。好，我们把 m 呢放在这里，接下来我们考虑第二种情况，我们知道整个对中轴呢，依然是 x 等于二，我把它写在下面啊，你是最大值，所以把 m 带进去，也就是二分之一 m 的 平方减二， m 加上二，对吧？最大值我减去谁呢？减去最小值， 最小值在顶点这里取到吗？那顶点的横坐标呢？是二，所以把二带进去，对吧？哎，等于几呢？把二带进去，呃，这个就是我们求出来 二减四加二，哎，你有发现整个纵坐标就是零，对吧？哎，所以我们知道它等于多少，它等于二，那最终我们求出来呢？ m 一 等于零， m 二呢？等于四， 那这两个 m 是 不都可以呢？还是说需要舍掉一个一样的，我们需要验证，当 m 等于零或者 m 等于四的时候，你整个取值范围是不是刚经过对正轴的时候，你整个取值是不是在顶点这里取？比方说当 m 等于零呢？你把零带进去，你是零吗？ 你这个是几？你这一对吧？我想问一下，零到一，他会穿过我们的对中轴二吗？ 你这个在对中轴的左边没有问题，一，他怎么可能跑到对中轴的右边呢？所以行不行？那不行，对吧？哎，是不可以的。那四行不行呢？如果 m 等于四，你会发现，那你这个就是四了， 你这个 m 加一呢，就等于五，你想想，五在二的右边可以，四在二的左边，怎么可能，对吧？如果 m 等于四，我就是四到五之间的，我就应该完全在对称轴的右边吧， 对吧？那我的最大最小值的取法跟这个图就完全不一样了，所以你可反，他也不可以，也就这种情况下呢，他是不成立的。 没有答案的。好，接下来我们再来考虑第三种情况。嗯，一样的啊，我们知道在 m 加一这里取的最大值，把 m 加一带进去，也就是二分之一倍的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一， 对吧，我们再加上，我们减去最小值呢？在顶点这里取到，也就是把二带进去，当横坐标是二的时候，你带进，我们刚才算出来是零的啊。最大值减最小值，我们求出来等于几呢？喏，告诉你，差是二， 那么最终我们求出来呢？ m 一 等于负一， m 二等于三，一样的，我们需要验证这两个 m 可不可以。当 m 等于负一的时候，你把负一带进去，你这个就是负一嘛。把负一带进去，这个是零，你觉得可能吗？ 负一到零这个范围会不会经过的对称轴？零，他根本就不在二的右边，对吧？所以不符合 t。 好， 那如果 m 等于三呢？如果 m 等于三，那么你这个东西呢？它就会变成三，你这个东西就会变成四，对吧？ 那三可不可能在二的左边，如果我是三到四的这个范围，我会不会经过对称轴？不会，我会跑到这边去，对吧？所以你发现跟这个图形呢， 展示的它是相矛盾的，所以你发现它呢，也不存在 m， 那 么接下来就只剩下我们最后种情况了。一样的，我们知道对称轴呢？哎，是 x 等于二， 最大值是 m 加一，所以把 m 加一呢带进去，也就是我们二分之一的 m 加上一的平方，减去二倍的 m 加一，对吧？我们加上二，我减去什么呢？最小值是 m 所对应的函数值，那你把这个 m 呢，我们把它给带进去， 也就减去二分之一 m 的 平方减二 m 怎么样？加上二，我们知道他们的最大值减最小值等于几？等于二，所以因此呢，等于二。好，我们最终求出符合条件的 m 等于几。 m 等于二分之七， 那我们验证一下， m 等于二分之七，你整个图像长得是不是这个样子呢？ m 等于二分之七，就是你这个呢，是二分之七，对吧？你这个呢，等于二分之九啊， 三点五到四点五之间，它是不是在对准轴二的右边呢？哎，是的，完全符合，所以我们最终 m 有 两个，一个就是前面求的负二分之一，一个呢就是我们刚求的二分之七。搞定好，接下来我们看第三问。 好，现在告诉你，抛线的对正轴上有一个点屁二，二分之一，我们知道整个抛线的对正轴，我们第二位已经求出来，也是 x 等于二，对吧？好，上面有个屁点，屁点大概在哪？哎，比方说差不多在这个位置吧，可以吗？哎，放个红色的屁， 哎，臭子。那听半天不关注我的各位同学们好像这个样子。好，那接下来你会发现过点 n 的 直线， n 点在哪？ n 点在这，他是什么点？哦？他以 y 轴交于 n 点，零二抛线以外轴的交点就这个点的坐标是固定的，他多少呢？他是零 二，对吧？好，我们继续往后了，过这个零二呢，发现一条线，哎，如果你这个直线外的 k x 加与抛线只有一个交点，哎，不能没有，不能两个，只能一个。好，让我们证明这条直线平分什么？平分角？ o n p o n p 就 平分这个角，对吧？我把 n p 连接起来，就说白了，干嘛让我们求证这个角等于这个角，对不对？那你说这个咋证呀？其实首先我们知道啊，因为你这条直线干嘛呢？你这条直线是经过 n 点，经过零二的，对吧？哎，你经过零 二这个点，所以你整个直线相对于 k x 加上二，也就怎么样呢？我们这条直线 跟我们这个抛线，它只有一个焦点，那怎么去求焦点？很明显，我把这个抛线拿出来，也就二分之一 x 平方减二， x 加上二，我等于什么呢？ 等于你这个已知数，对吧？表达是 k x 加上二，我把这个 k x 移过来，也就是二分之一 x 的 平方减去二加 k 倍的 x 等于。那你想想， 我们整个直线和抛线干嘛呢？他只有一个焦点，那么也就意味着整个方程里求出来只能有一个数，对吧？哎，你不能有两个，不然就两个焦点。那如果只有一个数呢？很明显 d r t 等于零嘛， 也就是我们的 d r 等于 b 方， b 方不就是你的平方吗？你的平方前面带负号，负号要不要管？因为你前面带负号，负号也得平方嘛，是吧？所以最终 b 方应该等于我们这个也就二加 k 的 平方减去四倍的 a 是 多少呢？我不管为什么，因为 c 等于几， 这里有没有 c， 没 c， 没 c， 它是 c 为零，懂了没有？懂了吧， a 和 c 的 乘积，它就是零嘛？啊？就是减去四乘以 a 二分之一， c 呢？零，其实你会发现，这个东西是不是就直接消失了呀？就像那没减，对吧？我直接去掉好不好？ 哎，所以 b 方减 c， c 就 等于这么多，它等于几？它等于零。哎，你等于零， k 能等于几啊？所以你往 k 里面求出来，我就懒得写什么 k 一 等于 k 二等于巴拉巴拉的，对吧？我们觉得 k 它就等于负二， 明白没有？所以也就是你整个直线就是 y 等于负二， x 加上二的理解没有？整个直线的表达是知道了， o 点固定， n 点固定， p 点也固定。那接下来我们求证角平分线是不是要简单一点？那可是问题来了，哎，这个咋求呢？比方说这个是多少？这个是 y 等于负二， x 加上二，对吧？其实你会发现，那我想问一下啊，你平分 o n p o n p， 也就说白了，我们这个红角一定等于这个红角，对吧？没有问题吧？两个红角相等， 但你要知道我们有对称轴，它是平行外周的两只线皮，内错角是不是相等，也说你这个角它是不是又等于这个角呀？对吧？这两个角相等，能理解吗？啊？我标下你这个角呢， 哎，要等于这个角对吧？你这个角呢，还要等于它的内错角，还要等于这个角，其实本质上我们接下来只需要干嘛，我只要证明这两个角相等是不可以了，说白了也如我只要求证什么呢？求证 p n 一， 这怎么样呢？呃，这来一个焦点没有说，对吧？ 啊，就是 x 轴交点啊。那你这个，你差点忽悠我，那这个叫 q 点行不行，对吧？哎，我只要求证 p n q 它这个等腰三角形就可以了。说白了，我只要求证 p q 这个线段等于 n p 这个线段是不可以了。 那这个 p 点呢？坐标知道 n 点，坐标知道怎么求？你可以通过两点间的距离公式或者通过怎么样的？哎，勾股定律，我把它放在一个横平竖直的直角三角形中，行吧， 你的横坐标二，你的横坐标零，横坐标相差两个单位。纵坐标二，纵坐标二分之一，纵坐标相差怎么样呢？二分之三个单位，所以你发现你通过勾股定律，对吧？你可以求出 n p 等于几？等于二分之五，也就这条线段呢，是二分之五的，也是怎么样？二点五我写哪比较好？我写这吧。 哎，你这个线段二分组能看到。好，一样道理，你会发现，那现在我要求 p m p q 这个边怎么求 q 点？你可以把 q 点坐标求出来，咱们知道 q 点的横坐标已经是对称轴，对吧？横坐标是二，纵坐标呢？把二带进去， 哎，你会发现纵坐标是负二吧。好，接下来你会发现 p q 也是我们想要的。嗯 啊，你纵坐标二分之一，我的纵坐标负二，二者相减呢，你会发现我们这条线段我们算出来的长度呢，也等于二分之五，对吧？好，所以剩下你会发现，那这个边和这个边相呢？等腰三角形， 所以你这个角就等于我这个角，这个角等于他的内错角，因此你会发现，那这两个小角我们就正出相等了，因此角平分线推的完毕，搞定。 它的图呢，大概长这个样子。那我们首先来看一下它的前两小。问，那我们给出一个抛物线，你会发现这个抛物线呢？ a 已经知道了，但是 b 和 c 不知道有几个未知的字母，我们就需要几个坐标，那告诉你呢，经过 a 点，经过 b 点，那 a 点呢，也是这个点的坐标，它是负一零， 还经过 b 点，也就这个点坐标呢，三零。所以你只要把这两个点带到抛物线里面去，那么整个抛物线的表达式我们就会求出来，也是 y 等于负 x 方，加上二， x 加三，好，计算过程我就省略了。好，接下来我们再继续往后啊，好，与 y 轴交于 c 点，那整个抛物线表达式求出来，那其实 c 点坐标呢，也是我后面的 c， 对 吧？也就交零三的 好，现在点 d 和点 c。 关于抛物线的对称轴对称，其实整个抛物线的对称轴，我们也知道啊，整个抛物线的对称轴， 对吧？你可以把这两个点的横坐标呢，把三和这个负一相加除以二。所以我们求出对称轴呢，是 x 等于一， 或者你用这个负二分之 b 呢，也可以求出来，对，正轴呢，是 x 等于一。那既然对称的话，所以我们知道这个地点呢？哎，你到我们的对正轴一个单位，再走一个单位，所以是二纵坐标呢，一样的。嗯， 好，接下来第一问，让我们求直线 a d， 就是 这条直线。那你想想，我知道 a 点坐标，知道 d 点坐标，所以整个 e 函数呢，就是 y 等于 x 加上 e。 那 求解过程省略了，抛物线表达式呢？我们刚才也已经求出来。好，接下来我们看第二问 好，他说在整个直线 a、 d 的 上方有一点 f， 我 要在直线 a d 的 上方，要在整个抛物线上， 所以引入怎么样呢？我只要在这段曲线上怎么样呢？放给 f 就 可以了。那不管 f 在 哪，我永远过 f 点做垂线啊，过 f 点直接做一条垂线垂足呢，是 g 点。好，现在让我们求什么呢？求这条线段 f， g 也就是它的最大值。很多同学都会说，亮亮，哎呀，你这个这样这样的垂线段斜着的我没见过，但你要竖直的我就会了，对吧？但我告诉你啊，像这种垂线段和竖直的线段，它的处理方式是完全一样的，只不过呢，我们稍微做一个转化就可以了。比方说， 那首先我想问大家一个问题，你能告诉我这个角多少度吗？哎，就这个小角。其实我们知道 e 函数的 k， 你 的 k 是 一吗？ 只要一个一次函数，它的 k 是 一，那么它与 x 轴夹角一定四十五度。这个结论在我们中考里面可以直接使用。除此之外呢，你还可以求这条一次函数，它与 y 轴的交点，对吧？这个是不是零一啊？所以你会发现这个长度是 这个长度呢，也是一，对吧，所以它是个等腰直角三角形，所以这个角四十五度，因此这个角也是四十五度的。好，那么接下来我想过 f 点往下做一条铅垂线，也是平行于外周， 比方说呢，在这里没有屁，行，那我就在这里我放个屁了，这个焦点呢，就是屁点，对吧？一样的，你这个角四十五度，所以我这个小小小小的等腰直角三角形，因此我这个角跟这个角是不是都等于四十五度，对吧？你这个小小的尖尖角， 哎，跟我这个减减都等于四十五度，所以你会发现，我就是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形。我的直角边和斜边什么关系呢？斜边是直角边的根号二倍，所以你整个 f g 一定等于什么呢？等于斜边除以根号，也就是二分之根号二倍的 f， 对 吧？所以接下来我只要求线段 f， 怎么求呢？这个太简单了， f 点，我们知道， 横坐标小 m 好 不好？纵坐标呢？把 m 带进去，也说 f 的 纵坐标是负 m 的 平方加上二 m 再加上三的，对吧？把它带进去， 好，那你这个 p 的 横坐标也是小 m， 纵坐标呢？把 m 带到一次函数里面去，它在一次函数上面吧，所以纵坐标是 m 加上一，因此最终你会发现，喏，我们只需要用二者的纵坐标做差，用你这个纵坐标，对吧？减去我这个纵坐标就可以了，所以也就是等于多少？ 等于二分之根号二倍的，你减去它，计算过程呢，我省略就是负 m 的 平方加上 m， 再怎么样，再加上二，对吧？好，那么整个函数的表达式，你会发现， 我最终结果不就是一个关于 m 的 二次函数吗？所以我们化解一下，等于负的二分之根号二，对吧？ m 的 平方加上二分之根号二倍的啊 m， 然后呢，我们再 加上根号二，那么最终配方的过程我就省略了，等于负二分之根号二倍的，嗯， m 减 m， 也就是 m 减去二分之一倍的 m， 平方四分之一，八分之一，也就是加上 八分之九倍的根号，所以我们知道，那当 m 等于二分之一的时候，我们能够取得最大值，那么整个 f g， 对 吧？线段的最大值呢？也就是我们这里的八分之九倍的根号搞定。 所以我们知道，当 m 等于二分之一的时候，此时我们整个线段 f g， 它的最大值呢，可以取到八分之九倍的根号。搞定。好，接下来我们看第三位，也就是存在性的问题，现在我告诉你， m 是 整个抛线的顶点， 那其实这个抛物线我们可以写出来，对吧？它等于负的 x 减一的平方，再加上四，所以我们知道顶点坐标呢，也就是一四。好，我们继续往后了。嗯， 屁点是外轴上一点啊，就屁点在整个外轴上动来动去，在哪呢？我不知道，比如我随便放一个点屁点在这，好， q 点是整个坐标平面那一点啊，可以在这在这，在这，任意位置都可以，对吧？好，现在以 a m p q 为顶点的四边形，它是一个以 a m 为边的矩形，说白了四个点围成一个长方形了。让我们求什么？求 q 点的坐标，求哪个点？ 求在整个平面内运动这个点的坐标。那该怎么处理呢？其实很多同学说的呢，什么矩形，菱形、正方形，那存在性问题，我觉得好难，对吧？我告诉你，越特殊的四边形，它越好处理。举个例子，比方说四个点， 他想围成一个长方形，哎，就大概长这个样。那请问如果我构成一个长方形，我随便取其中的三个点，他一定给围成什么？比方你取这三个点好不好？他能够围成什么东西？ 他一定围成一个直角三角形，对吧？同样的，那如果我取其他的三个点呢？比方我取这个三个点，他会围成什么？是不是也是直角三角形？又或者说我取什么呢？我取其他的，对吧？哎，我取这边的三个点，我取这边三个点，你会发现 no， 是 不是也可以形成一个直角三角形？所以你要注意啊， 矩形的存在性问题，永远把它变成直角三角形的问题来进处理，也就是你随便取三个点，你最起码先得保证是个直角三角形， 你剩下一个点加入进来，对吧？你这个点再加进来，你才有可能形成一个矩形嘛。所以在这里面你要选三个点，那我们选哪三个点呢？首先你要知道，喏， a 点坐标是固定的，我肯定优先考虑它，以及你会发 m 点，坐标也是固定的，我也会考虑它，对吧？所以把这两个点固定下来。固定下来。好，剩下的你会发两个动点， 一个呢？屁是外轴上一点在哪不知道，它相当于是动点，另外一个在整个平面内运动，它也是个动点，我们优先考虑哪个呢？注意啊，优先考虑半动点。 什么叫半动点？就是有一个点，虽然它动来动去，但是它的横坐标或者纵坐标有一个永远不变的，像这种点，它叫半动点，对吧？你会发现屁点呢？ 它的横坐标是零吧？纵坐标不知道，所以你就发现它的横坐标是固定的，你是个半动点，所以我们选择 p 点 o， 有 人把 p 点加入进来，说白了，你说我要使的怎么样呢？三角形 a m p 干嘛？它永远是个直角三角形就可以了。 好，那也就是我们把矩形的存在性问题呢？把它变成一个直角三角形的存在性问题。那问题来了，你是个直角三角形，谁是直角边，谁是斜边，你知道吗？不知道，所以因此我们需要做的就是分类讨论，我们把直角顶点当做分类讨论的对象，比方说，我们首先考虑 a 为直角顶点， a 为直角顶点呢？那你怎么样？你直接过 a 点做垂线就好了，对吧？哎，就像这个样子，是不是？所以你这个 p 点大概在哪？ p 点大概在这里啊？好，接下来我告诉你，你去求这个 p 点的方式有很多很多，相似一三数，对吧？ 包括我们用两点间的距离公式也可以，比如我令 p 点的横坐标呢？哎，我们知道是零纵坐标啊，那就小 m 好 不好？嗯，好，那接下来你会发现你这个直角三角形，我连一下， 哦，你说这个屁点好不好？求，太好求了，对吧？为什么呢？你比方说你用两点间的距离公式，我们之前讲过很多次啊，对吧？横坐标就是，你要知道啊，你的平方能表示出来吗？整个斜边的平方能不能表示横坐标减横坐标，我用 m 减四吧，就是 m 减四的平方，对吧？ 加上纵坐标减纵坐标，用一减零吧。啊，就是两个点之间距离呢？一减零就是一， 我跟大家说一下两点间距离公式，两个点，把纵坐标相减平方，再把横坐标相减平方，对吧？如果你开方， 对吧？你加上一个根号，那么它指的就是这条线段。但因为你是直角三角形，我要满足过古定律， a 方加 b 方等于 c 方吧，所以把整个斜边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方表示出来等于这么多，好，接下来那么这一条直角边的平方，对吧？加上 纵坐标减纵坐标 m 的 平方，是不是 m 的 平方？好，你指的是这条线段的平方，我再加上什么呢？加上剩下这条直角边，那一样的横坐标减横坐标呢？相差两个单位 二的平方，加上纵坐标减纵坐标啊，四的平方。所以其实你会发现，那我跟大家说一下，它指的是什么呢？指的是 o a 的 平方，对吧？它指的是 o a 的 平方， 它指的是什么？指的是我们 a m 的 平方。两点间距离公式，在我们整个量的各种视频里面出现的次数太多了。好吧，你直角三角形满足勾股定律吗？ 理解了没有，所以剩下我们需要做的就是把整个方程解出来。求解方程，过程呢？哎，交个量量。那最后你会发现，也就是 m 的 平方减去八 m， 加上十六，加上一等于一，加上 m 的 平方，加上加四加十六，我索性加二十，可以吧？ 所以你会发现，喏喏，也就是我们知道负八 m 等于多少，等于移过来，等于四 c m 等于几 m， 等于负的二分之一。好，也就是我们求出来这个 p 的 坐标多少？也就是零 负二分之一，对吧？好，有量量。你去构造一个直角三角形，但是我要一个矩形的矩形在哪呢？其实你要知道，你再加上一个 q 点， q 点，它就大概在 这个位置嘛，这个位置嘛，对吧？你三个点围成了一个，呃，直角三角形之后，那 q 点在这，他不就变成一个矩形了吗？这题让我们求什么？求 q 点坐标，对吧？好，那么此时会用到平行四边形的坐标公式，什么意思呢？矩形是不是也是个平行四边形，对吧？ 哎，你这个 m 点跟我们这个 p 点是相对的点，你这两个点横坐标相加是零，你这两个点横坐标相加是一，所以这两个点的横坐标相加一定也是一。你的横坐标负一，所以我的横坐标一定是二。一样的， 你这两个相对点，纵坐标，纵坐标相加几四加负二分之一，二分之七，对吧？所以我们这两个点纵坐标相加也等于二分之七，你是零，所以我的纵坐标呢？二分之七，这个就是我们求出的第一个 q 点。好，接下来我们考虑第二种情况，也就是我们的 m 呢，它是个直角顶点， 那 m 是 直角顶点，所以我们知道。注意啊， p 在 外轴上，所以你要过 m 做垂线与外轴相交，对吧？这个焦点就是我们的 p 点，是不是一样的道理？ p 点坐标呢？我们还是令它是零小 m， 好 不好？一样的，我们用勾股定律，你连接 ap 嘛， 我是一个直角三角形，是不是？所以你要知道，你的平方加我的平方等于 ap 的 平方。好，那你的平方可以表示出来吗？其实你用勾股定，你也可以求，对吧？好，嗯，我们用两点间距离公式啊，横坐标减横坐标啊，横坐标的平方加上纵坐标减纵坐标 啊，纵坐标的平方，它指的是什么？指的是我们这条线段啊，也是 am 的 平方。好，接下来我再加上你这个 pm 的 平方，一样的横坐标减横坐标 一的平方，再加上怎么样呢？纵坐标啊，减纵坐标。哎，我们就用 m 减四好不好？哎，我们用 m 减四的平方，那么一定等于什么呢？等于整个斜边的平方。喏，横坐标减横坐标相差一个单位， 嗯，以及纵坐标减纵坐标呢？相差 m 个单位。好，这里我就不再写了啊，最终你算出来这个东西等于多少？二十加上一加上 m 平方减八。 m 加上十六等于多少？等于 一加 m 方，对吧？一样道理，你会发现一咔嚓没了， m 方咔嚓没了，对吧？所以也就是我们得到负八 m 二十加十六，三十六移过去负的三十六，所以 m 等于几呢？八分之三十六，也就是 多少？二分之九。哎，我们就说 m 等于二分之九，也就是 p 点的坐标呢，是零 二分之九的。好，那么接下来当我们求出 p 点坐标处，你 q 点在哪？你都是一个直角三角形，所以 q 点只要参与进来，对吧？就大概在这个位置，对不对？我不就是一个大大大大的长方形了吗？好，那问题来怎么求？一样的 矩形也是个平行四边形，只要是平行四边形一定满足我们的坐标公式还有什么意思呢？也就是这两个点的坐标值和你的横坐标零，我的横坐标负一， 横坐标相加等于负一，所以我们横坐标相加也等于负一，你是一嘛？所以我等于几？我等于负二，对吧？哎，我的横坐标负二，那纵坐标呢？ 纵坐标相加二分之九，所以我们纵坐标相加也是二分之九，你是四四就二分之八嘛，所以我等于二分之一。哎，这是我们求出来第二个 q 点。 好，接下来我们再考虑。屁为直角顶点，其实这种情况你不需要再讨论的。为什么呢？比方说屁点，呃为直角顶点，差不多在这，对吧？哎，就是你这个角呢，是个直角， 是不是在这里？那你这个 a m p 呢？对，它的确是个直角三角形，屁股直角顶点，但你要知道，此时如果你构造一个矩形，如果你构造一个矩形，对吧？ 哎，就你这个 q 点，差不多在哪呢？哎，差不多，我不一定在外轴上啊，我这画了一个草图，可能在外轴左边，对吧？好，那你会发现它是不是一个长方形矩形呢？是的，但这个题目有要求， 就是你的 am 只能作为矩形的边，此时你这个 am 呢，是整个矩形的对角线，对吧？哎，所以你会发现，哎，不需要再考虑了。是不是因此我们这里的 q 点只有两个， 搞定。那顺便说一下，如果违边这个条件，去掉 a m， 可以 作为对角线，怎么处理呢？一样的嘛， 你令它的横坐标零，纵坐标 m， 用两点间距离公式把这个边这个边表示出来，像我们刚才一样构造勾股方程来进行求解就可以了。那么以上就是亮亮今天跟大家讲的八类二次函数的必考题型了。那问题来了，哎，亮亮你去年也讲了二次函数大盘点，跟今天有什么区别呢？ 这个去年我们所讲的知识点非常多，也非常全，我们的面积最值问题啊，等腰三角形存在性问题啊，相似存在性问题啊，几何的临界值问题啊。而我们今年呢，会在去年的基础上做了一些补充，比方说呢，我们的图像与系数， 我们的方程与不等式，我们的轨迹应用包括呢？含餐代数临界值问题，包括区间最值定结论啊，包括我们的线段最值问题和我们举行的存在性问题。 另外呢，就是我们今年的内容更加倾向于我们这两年中考的新题型，所以建议大家这两个视频都不要错过了， 如果你的时间非常充分，那这两个一起看当然更好了。如果你说亮亮我时间很紧，我就想快速的突破一下， 冲刺下我们的中考，怎么办呢？那就建议直接看我们最新的这个视频就可以了，亮亮还给大家准备了练习题，配合使用，相信你的二次中考高分跟着亮亮无脑学习。

同学们好，今天继续给大家分享二次函数的压轴题，中考题里边二次函数的压轴题，它非常有特点的，你们啊，第一问，求抛物线解析式，我直接删掉了，因为那个很简单，我直接写的是这个 这个压轴题的第二问和第三问啊。首先观察题目的同学们啊，就是一只一个二次函数，解析式是这个样子的，里边这个字母 m 是 一个常数。 第一问，不论 m 为何值，抛物线的顶点始终在一条直线上，就让我们来求一求这个直线的解析式是什么， 很高大上，很深奥的样子。第二问也很深奥，求抛物线顶点 m 与圆点 o 的 距离的最小值。 抛物线解析是未知，啥也不知道，就知道个二次项系数是负一，就让我们来解决这些问题，看上去非常的深奥，对不对啊？ 其实他一点都不深奥，你分析起来的一面其实非常的简单，这个数学就是这个样子，看上去很难，一旦戳破那层窗户纸，他非常的简单。咱们先来看第一位的顶点，咱抓关键词顶点。 既然说到顶点，那咱得首先把抛物线的顶点给它求出来啊，咱会做不会做，你把顶点求出来，第一位，你绝对得不了零分了。 所以说做题也要有技巧的，你要不会做，咱们能得到一点什么，从已知的条件里面咱们就写一点什么，咱争取不让那个题得零分。 求顶点的横坐标 x 等于负的。直接套公式，负的二 a 加之 b， 负的二 a 分 之 b， 化简的结果等于 m， 这是顶点的横坐标。继续求顶点的正坐标 y 等于什么？可别往四 a 分 之四 a c 减 b 方里边带它一把啊，你要光带的话，这个 c 这一串就够你啊 喝一壶的太太麻烦啊！直接把 m 带进去，就是求的顶点的总坐标 y 就 等于负 m 方加二， m 方减 m 方再减 m 加一，继续整理和平同列项， y 就 等于负 m 加一了。同学们， 所以说这个抛物线的顶点坐标就出来了，横坐标是 m， 纵坐标是负 m 加一。观察顶点的纵横坐标有什么特点就行。嗯， 显然纵坐标总等于横坐标的相反数啊，加一，总等于横坐标的相反数加一。所以这个直线的解析式就出来了，那他这个顶点坐标一定在 y 等于负 x 加一上啊。 当 x 等于 m 的 时候，同学们，求一求 y 是 不是就等于负 m 加一啊？所以无论 m 取何值， y 都等于负 m 加一，就是这个关系式很简单，实际上很简单啊， 这是啊，第一位，这个解析式就是这个样子的啊，其实就是顶点的纵坐标把 m 换成了四倍量 x 贴上了一个函数 y， 这就是它的解析式了。再来看第二位同学们啊，既然抛物线的顶点坐标出来了，那么顶点 m 到圆点的距离的最小值， 那么二次函数里面涉及到最小值的时候，同学们，通常你怎么一个思维定式？有没有一个固定的思维定式啊？ 求最小值的问题，要么是几何中的最小值问题，那几何中的最小值问题最多的是出现的是将军一马的问题， 或者是还有那个二十元的最小值啊。那，那那些涉及的还少一点，主要是将军一马的问题，几何图形上的再一类涉及到最值问题的一面，那就是构建函数关系式，根据 这个自变量的顶点坐标找最值的问题。就这么两种思维方式， 要么就是最短路径问题，将就一码问题。几何中的要么就是构建函数关系式，要么是一次函数，要么是二次函数，根据函数关系式来找最值。那么这个题咱们看一看，是几何中的还是二次函数，一次函数中的最值问题的用啊，接下来咱们看一看，画一个草图分析一下。 假设说这里是那个顶点 m 的 话，同学们到圆点的距离这里是 o， 那 同学们观察一下，我要找这个 o m 的 最小值，那肯定也用的 m 的 这个顶点坐标呀。 那同学们观察一下这段的长度，这就是顶点横坐标的绝对值，这段长度这就是顶点纵坐标的绝对值。 那么为了避免这个负数影响我们计算可以吗？我把这个问题转换一下，他不是让我们找 o m 的 最小值吗？我们先来找 o m 方的最小值，在这里边直接勾股定律就可以了， 因为勾股定律它有平方，一平方就无所谓他俩是正是负的情况了，咱们不知道这个点 m 在 第几项线， 无所谓正负了，因为你带着平方呢。那同学们咱们看一下啊，公母定律， o m 的 平方，那肯定就是横坐标的平方加上一个正坐标的平方，我把它俩倒过来啊，一减 m 的 平方， 那 o m 的 平方展开整理，就是 m 方加一，减二 m， 再加 m 方，继续整理，同学就会发现，二 m 方减二 m 加一，显然这是一个构建函数关系式，找最值的问题， 不是将军一马的问题，不是几何中的那个最值问题。那新的二次函数产生， o m 方就是函数， m 就是 自变量，咱找找 o m 方的最小值不就行了吗？你找到 o m 方的最小值了，然后给他开方，不就是 o m 的 最小值了吗？ 接下来咱们看一看怎么找 o m 方的最小值。这是一个二次函数，而且开口啊向上，所以说咱们就找顶点的正坐标就可以了。怎么找顶点的正坐标？你得先来找顶点的横坐标。 m 等于负的 二， a 分 之 b 显然等于，这个等于等于等于，这是二分之一的时候，等于二分之一的时候，那么 o m 方就会有那个最小值了。把二分之一带进去， 二乘以啊，四分之一减去一个二乘以，二分之一，那就是一了，那最终结果就是二分之一， o m 方的最小值是二分之一，所以 o m 的 最小值就是二分之啊，分号二了。 哎，这个最值问题在二次函数里边，要么就是将近一码的问题，最短路径问题，要么就是这个这个构建函数关系式，借助函数关系式来求最值的问题。希望这个题目能够帮到大家。

同学们好，今天继续给大家分享二次函数的压轴题的这个解法。已知一个二次函数 y 等于它 二次项系数，一次项系数都是未知的， m 是 一个不等于零的常数项，如果 m 大 于零， m 大 于零，那就是在告诉我们这个抛物线开口啊向上的时候， x 大 于等于负一小于等于二的时候，抛物线有最高点是 m， 在 这个曲率范围之内，抛物线的最高点是 m， 最低点是 n， 而且知道点 m 的 纵坐标为啊九。就让我们来求一下最高点和最低点的坐标是什么？在这个曲值范围之内的，而且知道他开口向上。嗯， 那么像这种二次函数的这个区间最值问题的朋友们，只要涉及到取值范围的问题，通常情况下，我们都是要首先确定开口方向，还有它的对称轴。 首先开口方向这里已经有了 m 大 于零，开口向上，那么再看一看他的对称轴是什么的。再来观察，这里还有一个特点，二次项的系数和一次项的系数是同一个字母表示的。 那么像这种题目，同学们注意观察，只要二次项系数和一次项系数是同一个字母表达的时候，那么他就是在告诉我们这个二次函数的对称轴是什么。负的二 a 分 之 b， 很 显然 ab 是 同一个字母表示的，那么约完分之后，他的对称轴就是一了。 实际上还可以得到什么？还可以得到令 y 等于零的时候，两个实数根之和，因为它等于负的 a 分 之 b， m 分 之负二 m， 它等于的是二。也就是说，一旦出现二次项系数和一次项系数是同一个字母表达的，这种问题实际上就是在告诉你对称轴和两根之和这个问题。 对称轴找到了直线 x 等于一，那么同学们观察这个一在不在这个曲值范围之内？ 我为什么要找这个对称轴一，就是为了来看它这个曲值范围是在对称轴的同一侧，还是在对称轴的两侧， 因为他的位置不同，就会造成你分析问题的结果是不同的。所以说凡是遇到这种曲直范围的问题，或者是区间最直的这种问题的朋友们，第一步首先要确定开口方向，第二步首先要确定对称轴，否则的话这样的问题你是没办法解决的。 那么找到了顶点的横做不要对称轴，那么对称轴显然在这个曲值范围之内，而且这个抛物线开口向上，所以说这个时候他的最低点那就出来了，那肯定是当 x 等于一的时候， y 会有啊，最小值， 最小值，这就是他的最低点 n 了，那最小值等于什么呀？那么 m 不知道这个最小值咱们也求不出来，这是首先你找到这肯定就是点 n 的 坐标了。 再来看在这个取值范围之内，在这个取值范围之内还有一个最高点 m， 那 么下面咱们画一下草图，如果空间想象想象不出来的话，咱们就借助于草图。 首先这个抛物线开口向上，与 y 轴交于零，三对称轴是一，所以说它大体上就应该是一个这个样子的，这里是个三，这里是个一，对称轴是直线 x 等于一，那么同学们观察，在这个曲值范围之内，你找一找 二，离着对称轴几个单位长度，显然是一个单位长度，二离着对称轴是一个单位长度，那这里就是对应的那个 y 的 值了，而负一呢？这边这个负一，负一到一显然是两个单位长度。 我画的这个有点什么了，再假设就是这里是负一吧，反正是负一离着对称轴远，那么显然他的图像就是这样一部分了， 那就是在这个范围之内，让我们来找，这就是它的最低点 a 了，显然这里就是它的最高点啊 m 了，这是最高点 m， 由此可见，点 m 就是 它的最高点。那 m 的 坐标是什么呢？显然 m 的 纵坐标已经告诉我们是啊九了，而横坐标显然就应该是啊负一了。 那如果你会看对准，会，会看图像的话呢？你画个草图，如果你空间想象，你知道谁离着对称轴远，开口向上的时候，谁离着对称轴远，谁的 y 就 大，谁离着对称轴近，谁的 y 就 小，那么你直接这样想象也可以。 显然最高点 m 是 离着对称轴远的那个数字，那就是负一离着对称轴是两个二，离着对称轴是一个单位长度，所以肯定是 x 等于负一的时候， y 对 应的是九啊，这就是最高点点 m 的 坐标，那么 m 的 坐标真的是负一九了。我们把 m 的 坐标带入解析式是不？这个 m 就是 小 m， 就 可以求出来了。同学们， m 求出来了那点 n 的 坐标也就知道了，因为点 n 就是 抛下的顶点坐标呀，把一带进去就 ok 了。 所以说，在解决这种区间最直问题的时候，一定要首先确定对称轴和开口啊方向，再次就是比离着对称轴的远近。老师分享这样的视频也不止一次了。 像这种区间最直问题，第一确定开口方向，第二确定对身轴，第三比离着对身轴的远近。这是第一问，同学们再来看第二问，第二问，还是区间最直问题，还是区间最直问题。 如果 x 一 y 一 x 二， y 二是这个抛物线上的两个点，而且知道在这个区间范围之内的时候，总有 y 一 大于 y 二， 就让我们来求一求 a 的 曲折范围，求一求 a 的 曲折范围，显然这个时候已经没有 m 大 于零这个条件了，也就说 m 这个时候大于零还是小于零不知道。那么像这种情况，我们就要分情况讨论了。 当然，对伸轴永远都是一，无论 m 是 正还是负，它的对伸轴永远都是一，在这个曲值范围之内，总有 y 大 于 y 二。咱先看第一种情况下的啊，假如说开口向下的话，对伸轴是一这个样子，这是三啊。 咱就是画一个草图帮助咱们来分析，这是一，那同学们观察先看这里， x 一 总是小于 x 二的，而对应的 y 一 总永远是大于 y 二的。这就说明这个取值范围之内， x y 之间的关系是 y 随 x 的 增大而减小，总是 y 随 x 的 增大而减小，这就说明这个取值范围一定是出现在了对称轴的同一侧。 如果这个曲的范围在对称的两侧这边一部分，那边一部分，他肯定不会是单一的增减线， 那肯定既有增而增，又有增而减。既然他是增而减，那就说明他肯定是在对称轴的同一侧，那么下面咱们同学看一看，在这个开口向下的状态里边，哪一部分是增而减呢？ 是左侧还是右侧？从左向右画上升的就是增而增，从左向右画这个图像下降的就是增而减。显然他在对称轴的右侧，这一部分在对称轴的右侧， 那就说明在对称轴的这一侧存在的这个关系式，那么这个时候 a 就 应该是最左边的这个点了，他绝对不会跑到对称轴的这一侧来，所以说他这个取之范围之内， 最左边的这个 a 肯定和对称轴一，他是重合的，所以说也有可能跑到这边来， a 最小，你也得是个一，你不能跑到一这边来，那你也有可能比 a 大。 是这个样子的，在这次他仍然是增二减，那么在这里他也是增二减， 所以说这个 a 他 应该是在一的右侧，或者和一重合。 a 大 于等于一，这是 m 小 于零的时候，我们就找到了 a 的 曲值范围，那就是左侧的这个 a 在 这一侧等于啊，这里是 a， 这里是 a 加二吧，这是 a 加二，那这个范围它就是增而减了，那这个 a 加二不动，这个 a 跑到这来，它也是增而减啊。所以说这个 a 可能在一上，也可能在 a 的 在一的右侧， 所以 a 大 于等于一，这是第一个区域范围，这是开口啊，向下的时候，那么接下来咱们再来看开口啊，向上的时候 f 小 于零的时候， a 是 大于等于一的。再来看第二种情况，如果开口向上呢？ 那显然开口向上的时候，对平轴的左侧才是增而减，那就是在这个范围之内，假如说 这里是 a， 那 这里是 a 加二的话， a 肯定比 a 加二要小啊，等于吗？这里他肯定是小的，左边这个在这个范围内，他就是增而减，那 a 加二如果跑到顶点上来呢？那这一部分也是增而减。 所以说这个 a 加二可能在一的左侧，也可能和一同和，所以 a 加二是小于等于一的，从而得到 a 是 小于等于负一，这是 m 大 于零的时候， 所以 a 的 取的范围两部分就出来了，小于零的时候是大于等于一，大于零的时候是小于等于负一，这就是区间最值问题。同学们， 增减性是单调的，也就是就是一个增减性的时候，这个部分取的范围肯定在对称轴的同一侧。 如果那个增减性既有增而增，又有增而减，在内个范围里边，那肯定是包含了顶点的横坐标，它会出现了对称轴的两侧，你也会根据这个图形去找最高点或者是最低点的问题，就干脆像第一位一样，希望这个题目能够帮到大家。

中考数学最难的十六道压轴题全部吃透，稳进班级前三！中考数学二次函数十六道压轴题题型一，存在性问题题型 二，次函数与圆题型四，二次函数与相似三角形题型六，公共点问题 题型七，醉知问题题型九，定知问题完整版分享！

哈喽，大家好，这是我给大家讲的内容，是二十函数当中赘而不求的一种方法，可以大大减少了计算量。老样子，我直接讲第三问，我先解释写上 y 等于 x， 平方减去二， x 减去三，上面有，嗯，简单 看一下，是结，我们设过设过 p 点的直线，然后我们把直线与抛线连立，连立之后过 p 点呢？你可以说是 a， c， 也可以说 b 一， 那我们就可以得到，根据根据系数的关系，可以到 a 点和 c 点的横坐标，用两个字结 a 点和 c 点的横坐标，两个字等于等于 c， 那 就是负三减 b。 正因为我们看出来 a 点横坐标为负一啊，横坐标为负一， b 点坐标是三度零，那用两个字写，那可以得到 c 点横坐标，是因为 a 点横坐标是负一，那 c 点的位置是三加 b， 那 同样的 b 点和 e 点也有，这样 也是等于负三减 b， 那 么可以得到。因为这个 b 点来看一点和 e 点坐标，那就是除以三， 这是我们得到的接口。然后来看一下这样子我们是打一个十二不球，这样子可以直接看出十一点和一点的一个关系。让我们设 c 的 直线， 设直线， c 的 解析式为 y 等于 c， x 加上 q， 然后根据前面我们这个直线连线根号，直线连线根号连线，得到两根之积，得到负三减 b， 那 这里相当于把 q 把 b 换成了 q， 那 么可以得到十一点和一点的连线。之后 我们可以得到四根一点得到等负三减去 q， 然后这里我们这两个解得到 s， c 乘以 x， e 又等于什么呢？那负三减去又等于三加 b， 乘以一个负的三分之三加 b， 那这样我们就可以把 b 和 q 这个关系给解出来了，两边同时乘以负三，我们解一下，九加上三， q 等于那 b 加三的绝对值平方了， b 方加上右， b 加上九，所以 q 就 等于三乘以 b 方加上二 b。 对， 因为什么设的是直线 c， y 等于 c， x 加上 cos， f 点坐标就是出来 c， f 点坐标，它是零。三分之 b 方加上二 b 直线有一点坐标，那 p 点坐标他说是 y 等于 k 加 b， 那 p 点坐标就是零。逗 b， 现在到这条件，什么 c 点的横坐标为 m， 那 就这是 c 点的横坐标， c 点的横坐标为 m， 那 c 点横坐标等于三加 b， 说明 m 等于三加 b， 那 我们看求的是什么？求的是 f p 比上 o p， f p 比上 o p， f p， 它应该是等于三分之 b 方加上二 b 减去 b 嘛，那就得到三分之 b 方加上 b， 然后 f p 比上 o p， 应该是等于三分之 b 方加上 b 比上 o p， o p 等于 b， 那 应该是等于三分之 b 等于三分之 b 加上一，然后我们看这个 b 又等于 m 减三吗？ 加上一，所以这个答案就是三分之 m。

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边的压轴题，二次函数的综合性的题目。 这个题主要考察区间最值问题的题目啊。第一位是求抛物线解析式，我没有，我没有列出来，因为抛物线解析式这是最基本的最简单的一位，咱们主要看第二位和第三位啊。已知一个二次函数 y 等于 m x 方减二， m x 加三， 且 m 不 等于零，这是二次项的系数，不等零， m 是 一个常数项啊。那么观察这个二次函数，咱们先不往下看看这个二次函数，它这个解析式发现它有一个特点了吗？ 它的特点就是二次项系数和一项系数都是含字母 m 的 一个代数式， 那么这就是在告诉我们什么呢？这就是二次函数，一个非常典型的题目，只要二次项系数和一次项系数是同一个字母表达的，那就是在告诉我们这个二次函数的对称轴是什么？负的二， a 分 之 b 等于一。其次还告诉我们什么，还告诉了我们另 y 等于零的时候，那两个实数根之和，因为他们的实数根之和等于负的 a 分 啊，之 b， 这个时候约分的话，他的实数根之和也会出来， 这就是二次项系数和一次项系数相同的时候，我们能得到的答案。所以说一定要注意观察题目。同学们啊，只要二次项系数和一次项系数相同，同一个字母表达的，那就是在告诉你对称轴和两根之合， 那么这个对称轴有用吗？那么我们说过，同学们，凡是曲肩曲直的最直问题，你首先要确定开口方向，其次要确定对称轴，再次再要确定点离着对称轴的远近，这三步一步都不能少。 那么你不确定对称轴，你就不知道你这个图像是出现的，你这个曲率范围是出现在了对称轴的左侧还是右侧，还是包含了左右两侧。因为二次函数的增减性，他不是单一的，他是以对称轴为界限，左右两边都会出现的这种情况。 那关注咱们这个取值范围。同学们，他说了 m 大 于零，也就是这个题降低难度了，他告诉我们开口方向了，开口向上，在这个取值范围的时候，抛物线会产生一个最高点 m， 还会产生一个最低点 n， 而且知道最高点 m 的 纵坐标是九，就让我们来求一求这个最高点和最低点的坐标是什么。 那首先观察我们求得的这个对称轴一在不在这个曲值范围之内，显然在这里边，所以说这个时候他的增减性在这个范围里边，既有增而增，又有啊增而减，因为他出现的对称轴的左右啊两侧， 那么既然顶点的横坐标在这个取值范围之内，所以说它有开口向上，所以说这个二次函数的最低点 n 的 坐标就有了，那 n 的 坐标肯定就是当 x 等于一的时候，对应的那个 y 就是 点 n 的 纵坐标了， 显然 f 还不知道，所以说点 n 的 纵坐标咱也求不出来，但是你得首先分析出点 n 是 顶点的坐标了，最低点， 那么再来看这个最高点。同学们，咱们画一个草图啊，画一个草图帮助咱们来分析它。开口向上，对称轴是啊一，而且与 y 轴上的三相交。那同学们看一看，我把它的图像大体上画出来， 画的又稍微的瘦了一点了。 我画的稍微的胖一点吧。这里是三，一个月了，好找这个负一。同学们啊，哎，这是负一，负一离着这个对称轴是几个单位长度？同学们， 对称轴是直线， x 等于一，显然离着对称轴是两个单位长度。再来看二同学们，二离着对称轴又是几个单位长度？ 二显然离着对称轴是一个单位长度，显然二离着对称轴远。 所以说他对应了那一部分图像，那负一这里开始往下走，往下走，走到这里再走，再走，走到二这里来，这就是他的近四的这个部分图像了。在这个取值范围之内， 那很显然最低点就是零点的坐标了，而最高点显然是 x。 等于负一的时候，这个 y 是 九， 所以点 m 的 坐标，这不就出来了吗？负一啊九，如果你不画草图，请问你会想也行。 开口向上的时候，谁离着对称轴远，谁的纵坐标就大，谁离着对称轴近，谁的纵坐标就小。如果开口向下就反过来了，谁离对称轴远，谁的纵坐标就小。开口向上和开口向下是不一样的。 所以说，你要判断这种增减性的话，朋友们一定要确定开口方向，还要确定离着对称轴的远近，这是解决问题的关键点啊。 那么 m 的 坐标知道了，把 m 的 坐标带入解析式，小 m 就 可以求出来了。小 m 求出来了，那顶点的横坐标也知道带进去就可以求顶点的正坐标了，最高点最低点的坐标就出来了， 这里关键就是在这个区间上，你得会找谁是最高点，谁是最低点，不会借助图，会借助图像的，借助图像能够空间想象的就想象， 那么开口向上的时候，谁离的对伸肘远，谁的纵坐标就大，你只要能想出这个问题来，你不画草图也可以，那你也知道这个点 m 的 坐标就是负一角了， 想象不出来，不会想象，就画图去看就可以了。好了，这是第一位，同学们，接下来看第二位，第二位，这个还是区间最值问题啊，还是区间最值问题。 已知抛物线上两个点， x 一， y 一， x 二， y 二，当 x 一 x 二满足这个关系式的时候，大于等于 a 小 于等于 a 加二的时候，在这个区间上的时候，总有 y 一 大于 y 二。 就光看这个地方里面， x 一 总小于 x 二，对应的 y 一 总大于 y 二，这就说明这时 y 随 x 的 增大而增大呀，还是 y 随 x 的 增大而减小？显然是 y 随 x 的 增大而减小， 这就说明它的增减性是单一的。这就说明这个曲值范围肯定出现在对称轴的同一侧， 要么在对称的左侧，要么在对称的右侧，你得看他开口向哪。但是现在这个 m 大 于是第一位的，第二位已经没有了，所以说这个时候开口向上还是开口向下，我们不知道，不知道就得分情况来啊讨论。咱先看第一种情况，同学们， 第一个情况，对称轴呢，是一定是变不了的啊，那么如果开口向上的话，也就是 m 大 于零，咱们看一看，在这个曲值范围之内，咱们说是个这样子的开口向上，这是直线 x 等于一。 那么看这个图像呢？对，对称轴的左侧是增而减啊，还是右侧是增而减啊？显然是对称轴的左侧，这里是增而减的样子。 那如果这里是 a 加二，这里是 a 的 话，那在这个区间上，显然是增而减。 显然这个 a 加二比对称轴一要大，也就说 a 加二，他肯定是大于一的，那这个 a 加二能不能跑到对称轴上来呢？如果 a 加二正好是一呢？那这部分仍然也是增而减。 所以说 a 加二是可以等于一的，但是你就是不能往一这边呢，你一往一这边，那就这一步就成增而增了。这就不对了。所以这个 a 的 垂直范围就出来了，这是 a 大 于等于负一啊，这是 m 大 于零的时候， a 是 大于等于负一的，这就出来了。 那么再来看，这是开口啊，向上的，那要开口向下呢？那要开口向下呢？咱们再来看草图，再来看草图，开口向下，那就是这个样子的了。 同学们，观察对称的左侧是增而增还是增而减？显然是啊，右侧增而减，你要看会看图像，从左向右画下降的就是增而减。同学们啊，那这个时候，这里如果是 a， 这里如果是 a 加二的话， 那显然这一部分上的图像，它就是增而减了。这个时候 a 肯定得在一的。对称轴 x 等于一的时候， a 肯定得大于一。那同样的道理， a 能不能跑到一上来呢？这一部分是不是也是增而减呢？ 仍然是。所以说 a 还可以啊，等于一，但是 a 就是 不能跑到这边来，跑到这边来，这就成增而增了，这就成增而减了它就这个增减性就二合一都有了。 所以说 m 小 于零的时候， a 是 大于等于一的， m 大 于零的时候， a 是 大于等于负一的，这个就是考察区间的最值问题的一面，希望这个题目能够啊帮到大家。

中考数学最难的十三道压轴题，三天吃透，逆袭班级前三！中考数学二次函数十二道压轴题拆分，突破一、二次函数与线段长突破二、二次函数与等线段。 突破三，二次函数与位置关系。突破四，二次函数与面积计算。突破五，二次函数与面积转化领取！

中考数学最难的二次函数压轴题全部练会，考试逆袭前三、二次函数压轴题拆分突破！一、二次函数与线段、长竖线、横线、斜线。 二、二次函数与等线段。三、二次函数与位置关系。 四、二次函数与面积计算完整版分享！