几何画板如何画出中考抛物线压轴题

今天来看二次函数与将军一马结合的压轴难题，我们来看这道题。已知抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加四，与 x 轴交于 ab 两点， a 点的坐标是一零， b 点的坐标是四零。 那么因为 ab 两点是 x 轴上的两个点，它是关于抛物线的对称点，所以根据 a 点和 b 点，我们就可以求出对称轴。对称轴等于横坐标相加除以二，也就是说对称轴等于二分之五。 因为抛物线是含有两个字母的，含三二次函数，那也就是说我们根据 a 点和 b 点，也可以求出抛物线的函数表达式。 与外轴相交于点， c 点， c 的 坐标就等于零。逗号四，因为长数项是四。 如图一点 p 是 抛物线的对角轴上的一个动点，当三角形 p a、 c 的 周长是最小时，求 p a 比 pc 的 值， 那么我们要看三角形 p a、 c 的 周长最小，那当周长最小，它就一定是一个动点问题。动点问题中，我们先找到定点和动点 点， c 是 一个固定的点点 a 也是一个固定点，那么动点就只有点 p 符合两动一定的问题，那它就符合将军印马蹄形。 在将军印马题型中，我们需要去做 a 点的对称点，那么因为它是二次函数， a 点的对称点正好是 b 点，所以我们就找到了 a 的 对称点， b 点， 那我们现在来看这个三角形 p a， c 的 周长，它应该是等于 p c， d 条边加上 p， a， d 条边，再加上 a、 c， d 条边。 a 点和 c 点因为是个定点，那么 a、 c 两点，它的距离一定是固定的。要想求它们的最小值，也就是需要求 pc 加 pa 的 最小值， 我们做了 a 点的对称点，因为这条虚线整个的是对称轴，所以 pa 这条线段的长度就一定等于 pb 的 长度，就需要求 pb 这条边加上 pc 的 最小值 c 点在这里，点 p 是 个动点，点 b 在 这里，那么 p b 加 pc， 它的一个最小值就一定等于三点共线时，所以我们直接连接 bc 的 值，就可以找到点 p 的 位置。 点 p 在 对称轴上，所以点 p 的 横坐标就一定等于二分之五，它的纵坐标我们也是可以求的，因为我们知道点 c 的 坐标，知道点 b 的 坐标，我们就可以求出 bc 这个依次函数的函数表达式。 点屁带进去就可以求出点屁的横纵坐标，那么这是一种常规的方法。因为求出点屁的坐标，我们就可以去求 pa 的 距离，就可以求 pc 的 长度，就可以用 pa 减 pc。 那 么我们用一个更简单的方法，我们会发现 p a 这条线段的长度，它永远都等于 p b 的 长度，所以 p a 比 p c， 也就是我们在求 p b 这条边的长度，去比上 p c 的 值就可以了。 那么 p b 比 p c， 我 们会发现 p b 在 一个直角三角形，比如说记作这为点 e， p b 这条边就在这个三角形 p e b 这个三角形中，那么这个 p e b 是 一个直角三角形 p c 我 们也可以将它放在直角三角形中，我们就可以通过点 p 往外轴做一条平行线，既做 p f， p f 也垂直于外轴，那这种情况下，三角形 p f b 就是 一个直角三角形 p c 就 在这个直角三角形中，我们就可以会发现这个三角形是相似于这个 p e b 两个三角形相似，那 p b 比 p c 就是 两个三角形的相似比，那么两个三角形的相似比还等于 b e 这条边的长度去比上 p f 这条边的长度。 因为点 p 的 横坐标是等于二分之五，所以 p f 的 长度它也就等于二分之五。 那么 b e 这条边的长度刚才我们求过，它的对称轴是 x 等于二分之五，点 b 是 四， 四到二分之五的距离就等于二分之三。通过我们化简，我们就可得 p b 比 p c 的 值等于三比五， 那么也就相当于我们 p a 这条边的长比上 p c 这条边的长等于三比五。今天这道难题我们就轻松解决，你听懂了吗？听懂了记得给老师点赞和收藏！

这一集老梁教大家如何用这个画板软件来制作最值问题啊，这个动画， 那像这个案例啊，咱们可以这样来做，第一步，点自定义工具啊， 找到我的基本作图工具里面的正方形工具，就可以点出一个正方形， 然后咱们可以选中点 d， 这里 b、 d， c， b、 c 啊，我们把标签改一改， 批量修改为 a、 b、 c、 d， 这个点的大小咱们可以调小，也可以调大啊，都是可以的，在显示菜单这里可以调。 那这个正方形工具啊，这个点 b 是 主动点，拖动可以平移左右拖动点 c 啊，它可以放大而且缩小。 然后咱们选中线段 a、 d， 构成线段上的点就得动点了，那这个点咱们可以调大一点， 因为动点，那我老梁习惯啊，调整为绿色。 在选中这个点 d 的 时候呢，我们顺便做一个动画按钮，点编辑操作类按钮，这里有动画按钮， 刚才他在编辑区外部，咱们可以鼠标 放到动画按钮旁边，单机选中以后，可以平移到任何地方啊，那这里咱们可以改为动画或者动画点映啊，都可以 把标签动画标签改一改，这样他都有一个动画。 然后咱们选中点 b 和点 d， 构成线段，线形要细点， 那咱们再点这个动画按钮，它就停下，再点它又走是切换点的， 选中点 e 和线段 a、 d， 咱们再点构造菜单啊，那可以构造平行四或者垂线，那现在咱们应该构造的是垂线， 鼠标点出啊，垂线与对角线 b、 d 的 交点 f， 这个点 f 是 被动点，所以咱们设为红色啊，绿色的是主动点，选中这个 e 和 f， 构造线端，选中这条垂线点显示这样的隐藏掉啊。隐藏垂线， 咱们再选点 e 和点 b 构造线端， 选中线段的前提下再点构造 中点啊，就得中点距。选中点距和点 f 来构造 线段啊，这个线段可以做粗一点啊，因为我们是研究这条线段的最最小值颜色啊，咱们在也显示在他这里设定了红色。 学会了吗？想学几何画板的啊，可以订购老梁初中数学院上的 数学案例集结画板课间制作技术的专栏来学习。感谢大家的支持，再见！ 下一集咱们再说一下如何去破解这道难题。

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，我们直接用几何画板啊，来动态演示这个函数， y 等于 x 以及 y 等于 x 分之四，哎，比较大小的这样一个情况啊。首先我们看一下这个直线和双曲线呢，分别交于两点，我们度量一下这个点的坐标，我们发现啊，这个 b 点的坐标呢，横坐标是二，纵坐标呢也是二。 我们再度量一下下面这个点的坐标，嘿，我们发现啊， c 的 坐标呢，分别是，横坐标是负二，重坐标呢，也是负二，由此可知。什么呢？由此可知的结论是， 当我们的 x 等于正二或者负二的时候，这两个是完全相等的 a， 因为两条这个函数的图像啊，分别相交于这个点 b 和点 c 啊，所以通过图像我们可以观察到， 当 x 等于正二的时候， a， x 是 等于四，除以正二也等于二， x 等于负二的时候呢， x 分 之四也是也是等于负二的啊，所以看得非常清楚。那什么情况下，这个 勾着一条垂线啊，那什么情况下，这个依次函数图像上所有的点是大于反比例函数图像上所有的点呢？哎，在这里我们引进两个点，分别度量出他们的坐标， 这样就可以看得非常清楚了啊，我们发现， d 的 坐标横坐标是两点八一，重坐标也是两点八一啊，它在 y 等于 x 上啊，再度量一下这个点的坐标，哎，我们发现，当 一的横坐标也是两点八一的时候，它的重坐标是多少呢？一点四三，哎，所以说啊，对于同样的这个 x 的 取值，哎，两者的这样一个值是完全相等的啊。当 x 大 于二的时候，我们发现依次函数图像上所有的点都大于反比例函数图像上所有的点。于是呢，我们得到，在第一象限的特点是，当 x 大 于二的时候， a 依次函数上所有的点是大于反比例函数图像上所有的点的啊，那么在第三下线是一个什么情况呢？哎，我们发现，当这个 a 看一下啊，这个点 d 和点 e 的 坐标，我们发现啊，横坐标相同的情况下， 这个我们说对于负数而言，绝对值大的反而要怎么样小绝对值反小的反而要怎么样大于是在零到几之间呢？来，我们看一下，继续移动啊，横坐标完全相同， a 刚好是刚好是等于 a 刚好是等于二的时候啊，两者就完全相等的啊。于是，我们可以得出的这样一个结论就是， 当我们的 x 是 在大于 用成什么颜色比较好这个颜色啊，但 x 是 大于二，或者在负二到零之间的时候，这个 依次函数图像上所有的点对同样的 x 的 取值都大于反比例函数上所有的点啊，同样的道理，哎，在什么情况下依次函数上所有的点是小于我们反比例函数的呢？哎，看的非常清楚了啊， 对于同样的 x 的 取值都是负的，两点七三的时候，我们发现点一的纵坐标就大于这个点 d 的 纵坐标。那么点一在哪里啊？点一在反比例函数图像上。 所以啊，我们可以得出的结论是，但 x 这个小于这个， 但 x 小 于这个。负二小于二， 但 x 小 于负二，比负二要小。哎，但 x 小 于负二，或者在什么情况呢？哎，我们同学是看得非常清楚了啊， 或者就是在这一节构造线段显示一个颜色为为 这样一个绿色啊，在这个段，在零到二之间，我们可以发现啊，对于同样的 x 的 取值，我们 a 点 d 的 纵坐标是小于点一的纵坐标的啊，也就是说我们得出的结论就是，当 x 是 这个 比负二要小，或者弄成什么颜色比较好。 当 x 比负二要小，或者 x 是 在零到二之间的时候，我们可以发现依次函数图像上所有的点是小于这个 反比例函数图像上所有的点，你看对同样的 x 的 取值，哎，点 d 的 纵坐标呢？比点 e 的 纵坐标要怎么样？哎，要小啊，要小。 好的，这个就是我们用几何画板啊，动态给大家用数据的形式展示出了这个如何比较函数的这样一个大小啊，哎，分象限， 塑形结合。我们是上一节课讲的塑形节课啊，这这个这讲呢，我们就直接是用什么呀？用数据来说话。好的，今天的讲解呢，就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

各位老师大家好，我们继续来看几何画本技术操作的最后一讲。第十讲，绘制函数图像。绘制函数图像有两种方法，我们先来看第一种，找到数据栏，打开新建函数， 找到方程第一个符号 y 等于，我们首先来画一个已知函数性 y 等于二 x 加上六吧，确定，然后找到自定义工具， 长按，找到第九个经典坐标系里面的蚂蚁坐标系里的无参版，因为这个呢，我是经常用，比较熟练，也是我比较喜欢的一个坐标系， 然后点击系统初步隐藏刻度线，隐藏刻度值，然后再次点击自定义工具，找到经典坐标系中的 函数 y 等于 f x， 图像生成工具点击，然后大家看在左下角有一个第一个匹配路径对象的 x 轴，所以呢，下面我们先点击 x 轴，再点击 y 轴， 然后再点击我们刚才新建函数减一四，这样 y 等于二 x 加六的函数图像，我们就画出来了 函数图像的这个它的端点是随着坐标轴的范围来确定的，所以我们把 x 轴外轴呢把它拉长一些，这样以便能把它的团图像呢显出来的更多一些。 这是 y 等于二 x 加六，我们再建一个二次函数，还是找到数据栏， 找到新建函数，还是找到方程里面的 y 等于，比方说是三 x 的 平方 加上六 x， 然后减二 点确定，让我们新建了一个二次函数，和刚才一样，找到自定义工具，经典坐标系中函数 y 等于 f x 图像的生成工具，还是先点击 x 轴，再点击 y 轴， 最后点击 r 减一四，这样这个二次函数图像呢，我们就会制完了，我们把外移的，负外移的往下拉一些，这样把二次函数图像顶点啊，然后把它显示出来， 这样我们就画出了这两个函数图像，这是第一种方法，我们再来看第二种方法，找到绘图栏，打开绘制新函数。这一次呢我们会制一个反比例函数，找到方程里面的 y 等于 x， 分 之六的六除以 x， 点击确定，这样我们就直接复制出了坐标系以及函数图像，它比第一种方法的优点在于不用单独再去建坐标系。其次这种方法我们还可以去 改变函数图像的曲值范围， x 的 曲值范围，你比方说我们把 x 的 范围确定在大一等于负十，小一等于十，大家看一下， 这是我们已知函数解析式如何去构造函数图像，那么下面我再讲一下如何去会制含有参数的函数的解析式， 来画一个有关参数的依次函数图像。那么既然有函数，我们首先打开数据栏，找到新建参数，我们把名称改为 k， 确定第二个，打开数据栏，新建函数第二参数，我们把它命名为 b， 确定。再打开数据栏，新建函数 方程符号 y 等于 k， x， 点击我们刚才新建的参数 k 乘以 x， 加上我们新建的第二个参数 b， 点击确定。然后找到制定工具， 经典坐标系中的蚂蚁无参版构造坐标系， 点击系统抽象隐藏刻度线，隐藏刻度值，找到自定义工具， 经典坐标系中找到函数 y 等于 f x。 图像生成工具， 点击 x 轴，点击 y 轴，点击 a。 四，这样我们就构造了这个含有参数的一次函数图像， 那么我们根据改变参数的值，我们来看一下按 shift 加加号，随着 k 的 增加，这个一次函数图像呢 的斜率就在改变，我们也可以改变参数 b 的 值，把函数呢向上平移或者上下平移。我们来看一下按 shift 加号， 这样随着 b 的 增加，函数图像向上平移，那么按减号，随着 b 的 减小，那么函数图像向下平移。 大家看到我的介绍的两种画函数图像的方法，以及如何去绘制含有参数的函数的图像。 好了各位老师有关几何画板去操作部分呢，我就给大家讲这里好，再见。

好，各位同学，今天我们来看一下这道第六题，第六题是一道抛物线的题目，抛物线的题目在做的过程中，一定我们先把图画好，把图画好有利于我们后面的分析和计算。 y 方等于二 p x， 并且的 p 大 于零，我们知道抛物线的开口朝右，并且焦点在 x 轴上， 那么根据题目所描述的这些，我们把这个图画完整，画完整之后，他最终让我们求的是 af 的 距离，那我们要求 af 的 这个距离，那大家听我接下来的思路，如果你的思路清晰了，那你这道题做起来就会非常的快。 要求 af 的 距离，实际上就是要求 ab 的 距离，因为在抛物线当中，定点到定直线的距离相等，定点指的就是焦点，定直线指的就是准线，那我们要求 ab 的 距离，实际上我们就要求 a 点的横坐标，因为我们知道 ab 的 距离，它就等于 二分之屁，加上一个 a 点的横坐标。好，那要求 a 点的方程和 a 点的纵坐标， 那么要求纵坐标，我们知道 b 点和 a 点的纵坐标一样，那我们把 b 点的横坐标求出来，那 a 点的 b 点的纵坐标就一起都出来了。那么题目只告诉了我们 b f 这条直线的方程，那我们根据 f 点是焦点，我们令 y 等于零， 那么 x 就 等于一，也就是说 f 点是一对零，二分之 p 就是 一，那我们抛物线的方程就得到了，那我们把 x 等于一带入， 也就是 b 点的横坐标是 x 等于负，一得到 y 等于四， y 等于四，对应的就是 b 点和 a 点的纵坐标，那么我们根据这一点把 b 点的纵坐标带到这个抛物线方程当中。 在因为 a 点它的纵坐标等于 b， 而它在抛物线上，所以它符合抛物线的方程，带进去之后，我们就能求出 a 点的横坐标 x 零。那当我们把 a 点的横坐标求出来之后， a f 的 距离就等于 ab 的 距离，它就等于一个二分之 p， 加上我们的 a 点的横坐标，答案就出来了，等于五。这道题呢，难度不算很高，但是大家在做的过程中一定要思路清晰。好这道题，我们选择 c 选项。

直接写出现段 a n， b n， b n， b n 加一的长，用含 n 的 式子表示。首先抛物线斜于四十 y 的 x 平方，然后其次是过点 b 一 一零做 s 轴线交抛物线于点 a 一 一二， 这是过点 b 做 x o 的 垂线， x， o 的 垂线交抛物线与点 a 一 一压，然后我解释是 y 的 a x 平方。把 a 一 压载到 y 的 x 平方里面， s 乘以 s 就是 一，再等于一， a 乘一的平方等于 y 等于二，二， a 就 等于二，所以这个时候 y 就是 二 x 平方。然后后面又说， 后面又说过，点 b， n 二分之一 n 点一，平 n 为正弦，输入 x 的 垂线，加抛物线与点 a， n 连接， a， n， b， n 加一，得 r 的 三角形 a n， b n， b， n 加一， 就是过点 b， n 做 a， n 的 垂线，然后交过做点 b， n 做加做 s 的 垂线，加后抛越点 a， n， 然后 b， n 的 横坐标已经知道了， 是那个二分之一 n 点一零，二分之一 n 点一零的话， 所以，所以 a a， a 二分之一 n 点一零对 a n 的 很坐标，这是二分之一 n 减一。把二分之一 n 减一带到 r x y 的 r x 平方里面， 它就可以算出 a n， b， n 呢就是 y a n 三 a n， b， n 就是 a n， b n， 然后二乘以二分之一减一的平方。 二二二就是二的一次方，二平方就是二乘以二分之一，这个二乘以就是二乘以 n 减一。 好，二的一个方乘以二，二乘二， n 减二，然后二的一个方乘以 二乘以就是二的负一四方，然后乘以二， n 减二，二的一方乘以，然后把负一乘进去就是二，这个就是换到负五的这，这是二减二 n， 然后乘就是加，就是一加二，减二 n， 然后三减二 n， 然后把负移出来，就是负二减三，又负二减三，然后负三加 n， 然后就是负二，然后就负一加二，又负一乘以二 n 减三， 然后 r 的 负一方是二分之一处，二分之一减三，所以最后 a n、 b、 n 的 话，是二分之一减三。然后 b n、 b、 n 加一的话， 因为前面因为扩点 b r 做 x o 垂线交抛线一点 a r， 这个过点 b r 出来搜水线还是搜野呀？然后这是 b 一， 这是 b r， 所以 这里这是 b n 的 话，这是 b n 加一，所以这是。如果是 b 一 的话，这是 b r， 是 n 加一，所以之前是 n 加一。 n 加一的话， b n 加一的话，就是 n 加一减一， n 加一的一加一，等于二分之一 n 次方米，二分之 n 次方米的话， b n、 b、 n 加一的话，就是 b n 的 很多标减掉 b n 加一的很多 b、 n 的 很多标的话，是二分之一减一， 减二分之一 n， 然后二分之一 n， n 减一的话，就是减的话，就相当于除以二分之一 n 除以二分之一的一次， 然后减二分之一 n， 然后二除，就是乘，然后除以二乘以乘以二，二乘以 二分之一 n 乘以二分之一 n 乘以二减一，二减一，而就是二分之一 n 次方。所以 b n 乘以 b n 加一十二分之一 n 次方。

hello， 同学们。同学们好啊，我们搞一下。呸，我们讲一下这种抛物线的题， 我觉得你们可以看一下，看一下我的解析。我是怎么解析的？同学们好，我是徐老师。好的，来你们五一假期好了，现在我们众生平等，一律平等， 然后后面会有个辨析题。不慌啊，我们看这题，它是选择题的真题，然后我把它改为自己改，把它改为那个填空题了。 晚上好黑呀。为什么晚上天是黑的？来这个，你们看题目。好，我们先画图嘛，对吧， 还是最好。如果是我平常写，我是不写 x y 的， 因为好麻烦了，你看哦， p 大 于零是吧，所以它长这样啊。交点是 f， 你 不用跟我说你不知道它是二分之 p 零，然后准线嘛， 首先这个就是这个是负二分之 p， ok 吧，怎么可能会有问题。好，再点为 f， 点 a 在 c 上，我不知道，随便写一个，然后做垂线 好，垂直于 c， 垂直于 b 是 吧？他说过点 a 做 c 的 准线的垂线， c 的 准线不这个吗？垂线就做垂直 a b。 好 的，他说如果 b f 丢丢丢丢丢丢，就这条直线的方程为这个，它求 a f， 求 a f， 你在想好我们正常的思路是什么？求两个点的距离，是不是？求他们的坐标是吧，对不对？以后利用两点距离公式，但是你看哦，准线方中它有什么性质？ 准线方中它有什么性质是吧？这是它线上的点到。呃，这个叫什么角点的距离等于它到准线的距离，也就是说 我们的 a f 是 可以等于 ab 的， 你知道为什么要这么写吗？为什么会这么想吗？因为你看，我们求 a f， 我 们要求两个点的坐标，但是求 ab 的 话， 我觉得求 a、 b 比较好。为什么？老师老师的睡觉闹钟，为什么求 a b 比较好？因为你只要知道 a 的 红坐标就行了呀， a 的 红坐标还要把那个 p 算出来 就行了呀。那 a b 不 就等于它的红坐标再加上这个吗？这段距离吗？就是二分之 p 吗？这个距离二分之 p 吗？我觉得这样会比较好， 其实也是没招了，你算到后面，你后面会发现算 a b 会比较好算。嗯，然后你看啊，它给的这个 b f 的 方程怎么搞？首先 p 是 不知道的， 但是你看它跟 x 轴的交点应该怎么算？是不是 y 等于零的时候， x 等于多少？是不是 f 就是 y 等于零？说 f s 一 嘛，一零嘛，对吧，对吧，对吧。那我们可以得出什么二分之 p 等于一， p 等于二啊，对吧对吧？ 所以说这个就是负一了，二分之 p 就 等于负一嘛。好的， 哎，现在得到到这个 b 点的红坐标是负一了， b 点的红坐标是负一， 那我们是不是可以把 b 点的坐标给算出来呢？对吧？因为它是知道它的直线方程的呀，对吧？我们把 b 点的红坐标带进去，那 y 就 等于负一乘负二加二，那不就等于四吗？所以， 所以我们得到 b 是 等于负一四的，对吧？顺着我的思路来哦，然后 b 等于负一四。好，既然 b 已经等于负一四了， b 的 坐标已经出来了，那它是不是 a， a b 是 不是跟 x 垂平行的， 对吧？所以说 b 的 重坐标是不是就是 a 的 重坐标， b 的 重坐标就是 a 的 重坐标， b 的 重坐标就是 a 的 重坐标。好的，那我们把把 y 等于四代入 y 方等于四 x， 对吧？的 y 等于配的 x 等于四啊， 那所以 a a 是 四四，对吧，有问题吗？没问题。 好了，现在 a 点坐标求出来了，那么现在你有两个选择，要么你求 ab， 要么你求 af。 如果你求 af 的 话也行，但是没有必要啊，你 ab 坐标都知道了，你直接把它们坐标， 不是，你直接把它们距离求出来不就行了吗？对吧？这一段， 那么这你看啊， b 这个 b 点到这条重轴的距离是不是一对吧，对吧？然后 a 点到重轴的距离，那不就四吗？ 所以等于五 a f ok 了吧。 嗯，虽然后面我们还是把 a 点坐标算出来了，但是，嗯，求它的红坐标会不会更简变一点？我们求 a b 是 不是更简变一点？反正你 a b 等于 a f 嘛，对吧，我们省点时间。 ok， 好 的，等下我可能会把附加题放到那个， 放到那个，呸，那个辨析题放到那个评论里，因为我忘了写了。好，然后放完之后我会给顺便给上答案，然后你们自己自己试一下嘛，自己算一下，这种不算有难度吧。 好吧，好，觉得老师讲的还不错的，点点赞，点关注哦，谢谢同学们。嗯，晚安，拜拜。

上一题我们介绍了杨浦二摩的一二两个小题，那今天我们把第三小题也完整的解答一下，欢迎大家关注、点赞加评论。其实第三小题里面啰里吧嗦很多东西，其实你主要的一个点就是要第四象限，我不知道同学们能不能对于这个第四象限这个东西能够有一个非常深刻的或者敏感的， 这个点是第四象限。我们说为什么你看整个这个图形，它这里边 n 要四十五度，你看整个通过这个，因为这个 n 跟这个 n 它我们 p q 都在动的，对吧？那我们分别把这个作为这个我们先介绍一下，因为整个 n 要七十五度，它完全有可能 n 是 跑在这上面的， 那这样它的焦点就满足不了在第四象限。同样的，如果这个 n 是 这样的，对吧？那它有可能跟这个轴，跟这个二次函数是没交点的， 这个我们都要去分类讨论的。所以说我们最主要的问题还是先把几个点的坐标先把它求一下。通过读题目，我们可以非常简单的把这个 m 点的坐标求出来，是零 二 k 加一，这是 m， 那 p 点的坐标，它其实是一个定点负一零，当然这个有点小波折，我在这里不仔细讲了。 q 点的坐标应该是二 k 加一零， 所以我们说整个这个 o m q， 它就是一个四十五度的角，在这里要产生七十五度的角，我们说其实只要这个角小于 大于七十五度，就会抛到这里的，那一定是小于，对吗？小于的话，它这个角小于它这个角怎么样？大于这个这个角要大于六十度，这个角大于六十度，完在这里，那就是二 k 加一，比上这段是一小于小于根号三，那二 k 加一就小于根号三， k 小 于根号三，减一除以二，这个是比较简单的，我的临界点他必须要小于这个。当然了，那我们看着有没有可能他一直小小，小到这边，小到这样呢？其实跟 y 轴数字，那他这个东西跟这个二次函数肯定是交不了的，那我们看下这种情况有没有可能是完全有可能的，对吧？那我们来解一下， 这个是七十五度的，那在这边呢，七十五度，那这边还是二 k 加一，对吗？那这边变成了啥？他是三，这边是我们把他做这样的一个，那这边就是三十度的三十度，这一点我们随便弄个，随便弄个 g， 好 吧？那我们说 g m 应该就等于两倍的二 k 加一，那 p g 当然了等于 g， 对 吧？ 那 g o 应该等于是根号三倍的二 k 加一，那整个这个 p o 应该等于二 k 加一，二加根号三，对吗？那我们 p o 应该是大于，因为这个东西它就是一呗，就是这个焦点在这边，那我们不管它，二 k 加一，二加根号三应该大于一， 那二 k 加一大于，这边倒数二减根号三， k 大 于一，减根号三除以二。在这里其实我们说这个本身就小于零的，那我们 k 告诉你已经是大于零的，所以这个东西就可以忽略了。 但是作为大题目，这个东西应该是要考虑到的，在这里，所以整个这道题目他是做的，做的不是特别好。在这里边 k 小 于大于零的时候，他不可能就是说会产生这种情况，当然了，作为一个完整性来说，这个应该还是要去去去把握的。好了，整个这道题目难度还是蛮大的，有不同的见解，欢迎同学们在评论区跟我一起讨论。

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，我们将用一二三四五个案例啊，用几何画板来探就我们这个依次函数的图像和性质啊。首先，我们知道，形如这个 y 等于 k， x 加 b， 其中呢，我们的 k 不 等于零 b， k b 为常数啊， 像这样的函数呢，我们就是把它叫做依次函数，其中呢，当 b 等于零时，哎，我们又把这个函数呢，单独取个名字啊，叫正比例函数。像 y 等于 x， y 等于负 x， y 等于三倍 x， 那它是一次函数当中的特殊情况，它又叫正比例函数啊，这通通都叫一次函数。好的，首先呢，我们来画第一个 y 等于 x， 确定， 通过观察，我们可以得到这个 y 等于 x， 它呢？欸， y 等于 x 啊，它是一条直线，经过哪一个？经过圆点，经过圆点，还经过什么呢？还经过 一三象线。欸，我们把这个平面直角坐标写啊， 左右上角叫第一项线，左上角是第二项线，你按逆时针方向啊，这个是第三项线，这个是第四项线。很显然，这个 y 等于 x 经过的象限是一三象限。那么我们随便在这个图像上找到一个点啊，假设这个点为 b， 标注一下点 b 的 这样一个坐标， 度量它的坐标，哎，我们发现看一下这里啊，随着 x 的 这个增大， 这个函数值 y 它也在增大，为什么呀？ x 等于三点九一，那么 y 也等于三点九一啊，那随着这个 x 的 减小呢？哎， y 也在逐渐的，哎，减小啊，减小。那如果说我们 过这个点 b 轴或者 y 轴的垂线啊，那我们也不难发现， 它与我们的坐标系构成的是一个什么呀？哎，有点太聪明了啊，构成了这个三角形，它是 等腰直角，哎，三角形，这样啊，我们就把这个函数和和这个几何，哎，有效的就结合在一起了啊，有效的结合在一起了，这个是 y 等于 x 的 函数图像，它经过圆点和 e 三象限，哎， 在每一个象限内都是 y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 这个减小而减小啊，这个是它的情况啊，它的情况。然后呢？哎，我们还可以发现啊，这个 y 等于 x， 它是将我们的平面直角这边细，哎， 就是平均分成了，嗯，两个完全相同的部分啊，然后如果我们把我们的这个二三四二三上线，哎，这个， 这，这个，这个红色部分的上面这一块沿着这个红色这条直线折叠，两旁的部分是能够完全重合的啊，好，这个是我们的 y 等于 x， 这是我们的 y 等于 x 呢，同样，我们画一下啊， y 等于负的 x， 决定 a， 是 这样一个函数图像，我们显示颜色用蓝色表示啊，哎，这是我们 y 等于负 x。 大家这个时候还可以发现啊，这个 y 等于负的 x， 它的这个图像经过了象限，是什么呀？二四象限也经过原点啊，也经过原点，那同样，我们在上面如果找到一点，我们可以发现啊， 度量一下这个点的坐标点 c 的 坐标啊，我们就可以发现， 显示一下颜色是蓝色，你就可以发现啊，它是随着 x 的 逐渐增大，那我们的 y 呢，它逐渐在怎么样？哎，逐渐在减小啊，逐渐在减小，你看 x 越大， y 越小，于是啊，我们说这个， 这个 k 值这个时候是小于零，那么图像经过圆点，经过二四上线， y， x 的 增大了，怎么样？哎，减小啊，减小，那我们往往呢，为了使大家好记，还可以这样，你看一下啊，这个是我们的啊， 啊，一二三，第三声啊啊，第四声是二，很显然，我们 经过一三象限的这条直线，相当于是我们的第二声，所以是 y 随 x 的 增大，怎么样增大？它是上扬的啊，我们的这个 y 等于负的 x， 当 k 小 于零时，经过二四象限， 它是我们的，可以看成是第四声。 a 是 y 随 x 的 增大，怎么样减小啊？减小。那继续看一下， y 等于负 x 加一呢？我们来绘图啊， 负的 x 加上一，确定，哎，颜色，弄一个这个颜色， 哎，我们这个时候发现这两条直线，它们的特点是互相平行，所以我们还说这个 y 等于负的 x 加上一啊，它是由我们的 y 等于负 x 向哪里啊？向上平移一个单位长度则得到 他。既然是向上平一个单位长度得到他原先经过的象限呢，是二四，那现在向上平一个单位长度，很显然经过第一象限啊，所以我们的 y 等于负 x 加一呢，经过的象限是一二四。增减性呢？ a 不 用说了啊，就是 由于 k 值它是小于零的，所以 y x 增大了，怎么样减小减小啊，好，那 这个 y 等于负 x 减三， a 就 不用说了啊，它实际上是我们的 y 等于负 x 向哪里向下平移呢？三个单位长度得到，哎，我们就是把它图画一下啊， 负的 x 减三，确定，你看一下这个函数图像，这三者啊，它们都是互相怎么样？ a 互相平行的啊，互相平行的，同样它是往下平移的三个单位长度，所以它经过了象限。原本是二四 二四是由什么决定？是由 k 小 于零决定，减三向下平行三个档档位长度，所以是三，哎，经过的相线是二三四上线啊。 y 数 x 的 增大了，怎么样减小啊？太对了啊，太对了，好，我们来最后看一下 y 等于三倍的 x， 超级简单啊。确定，你看一下弄一个颜色， 我们一个什么颜色呢？好的，我们用这个颜色显示线形为出现啊，你看一下它 发现 k 大 于零，所以经过的象形是什么呀？一三象形增减性呢？ a， y x 的 增大而怎么样增大？ y， x 的 这个减小而怎么样减小？ a， 所以 它就是 经过一三象限啊。 y 数 x 是 增大还是怎么样增大？好的，这个有同学或许会有兴趣啊，数学老师， y 等于三， x 加五呢，我们可以给大家会指这个 y 等于三倍的 x 加上几加上五。确定啊，你看一下 这个出现，弄一个颜色，弄一个什么颜色？弄个黑色啊，黑色， 哎，你看这两条直线是不是互相平行了，哎，相当于是我们的 y 等于三倍的 x 向上平的几个单位长度，五个单位长度，原先它经过一三象限向上平移就经过多少，哎， y 等于三倍的 x 加五，它经过的象限就是 k 值决定经过一 三象限啊，然后呢，加五向上平移五个单位长度，哎，所以经过象限呢？是一二三象限， 所以这样一看就超级简单的啊。另外，我们还可以发现啊，当 k 的 绝对值越大的时候，哎，我们发现他离这个 y 轴是越近的啊，就是这个斜率的问题啊。好的， 今天的这个讲解呢就到此结束啊，有点复杂，但是慢慢听呢，哎，又很有趣又很简单啊，哎，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

好，我们看到第十八题，这个是一个抛物线的问题，已知抛物线给了我们确定的 x 方呢，等于 y， 那 么 p 呢，就等于二分之一，其交点 f 为零四分之一。好， 第一问，已知 ab 两点为抛物线上的动点，且满足 a f 加上 b f 等于二分之三，那我们根据抛物线的定义就可以知道， a f 呢，就等于 y 加上二分之 p， f 呢等于 y 二加上二分之 p， 所以 合起来这个就等于 y 一 加 y 二等于加上 p 等于二分之三，那么 y 一 加 y 二呢，就等于一，所以 a b 的 中点的重坐标，首先我们可以确定一下，就是二分之一。好，接着直线 a b 呢，不垂直于 y 轴，且求证 线段 a b 的 垂直平分线过定点 p 求 b p 的 坐标，那我们垂直平分线首先肯定斜率是一个点，然后第二个点呢，就是中点，我们刚才中点的重坐标已经确定了， 那再确定一下中点的横坐标，我们就可以写出这个垂直平分线。好，这样的话，我们可以先首先假设直线 a b 呢， y 等于 k， x 加 t， 因为它的斜率和这个外轴上的交点都不确定，所以我们用两个位数去表示，然后接着跟抛物线连立一下，那么得到的我们微大定底里面 x 一 加 x 二呢，就等于 k， 所以 ab 的 中点呢，我们用 k 去表示，就等于二分之 k， 然后二分之一。好，这样的话，我们垂直平分线，首先 lab 的 斜率是 k， 那 么垂直平分线的斜率呢，就等于负 k 分 之一， 然后又过中点二分之 k 二分之一的话，我们得到的式子就是 y 等于负 k 分 之一 x 加一化简之后的，所以这样的话，你看这个垂直平分线， 我们代入 x 等于零，进去他的 y 横等于一，所以他就过定点零一。好，这是第一问好，第二问呢，他又给了已知抛啊，已知椭圆 c 二和圆 m， 然后过一的中点 p， 那 就是我们的零一，这个点 做斜率，分别为 k 一 和 k 二的直线 l 一 l 二，且满足呢 k 一 k 二等于负一，所以这里我们可以给 l 一 命名斜率为 k， 这样的话 l 二的斜率呢，就等于负 k 分 之一，减少未知数。好，接着直线 l 一 交椭圆 c 二于 c d 两点。 直线 l 二呢，交椭圆 m 于 m 啊，于 e f 两点点 h 呢，又为 e f 的 中点。求三角形 h c d 的 面积的取值范围。首先我们确定一下我们要求的是什么， 就是三角形 c h d 这个三角形的面积，那我们用点底乘以高的形式，就等于二分之一 c d 乘以点 h 到 c d 的 距离。因为我们 c d 呢，是跟椭圆相交于两点，所以这里我们可以用 这个椭圆和直线连的去求 c d 的 长，然后另一个，那就是 d 点哦， h 点到 c d 的 距离。好，我们首先把问题给它拆解一下，就是求两个位置量， 然后第二个呢，就是首先来看一下，就是我们先去表示嗯 d h 的 这个长度，那我们从这个 k 乘以 k 二，然后得到 l 一 和 l 两个式子，然后接着 l 二呢，交圆 m 与 e f 两点， 然后接着这个 h 点又是 e f 的 中点，那我们圆圆心到这个弦长的中点是跟这个弦是垂直的关系，所以这样的话我们就得到 m h 呢是垂直于 e f 的 好， e f 呢又是 l 二上的一个线段，所以 m h 呢又是垂直于 l 二的， 那我们 l 一 呢，又是垂直于 l 二的，所以 l 一 又是平行于 m h 的 那两直线平行，我一条直线上的任意点到另一条直线的距离都是相等的。 然后看下面画的这个图， m h 是 垂直于 l 二，然后平行于 l e 的， 所以我们既然要求的是 h 点到 l e 的 距离，那就可以转化成 m 点呢到 l e 的 距离，而且我们的 m 点还是一个定点，所以这样的话，我的 d h 呢，就等于 dm， 然后带进去，用点到之间的距离公式带进去。好，接着我们 d h 表示完之后，剩下的就是 c d， 那 c d 我 们就是用连立的方式连立 c 二与 l 一， 然后化简微大定底求出 x 一 加 x 二，然后 x 一 乘以 x 二，然后接着这个 c d 的 长呢，就等于根号下 k 方加一乘以 x 一 减 x 二的绝对值，那带进去得到的最后这个式子化简完，就是二倍根号二乘以根号下 k 方加一，然后乘以一加二倍根号一加二倍的 k 方分之一加上四位根号二开方。好，这个式比较长，那我们带入 这个 d 一 啊 d m 和 c d 到我们这个面积公式里面去，画到最减就是二倍的根号下一加上二 k 方分之啊，扩起来平方分之 k 方加四 k 的 四次方开根号。这个是比较复杂，就直接看我写的这个 好，那到画到这一块的时候，我们 k 有 没有范围呢？是直接取零到正无穷啊，负无穷到零吗？还是说它有一定的限制？ 因为我们题目当中这个 l 一 交椭圆于 c、 d 两点，那首先这个零一这个点呢，肯定是在椭圆内，所以它无论怎么变动，它都是能交 c、 d 两点的。但是这个 l 二呢，它过的定点是在圆外，所以它斜率一定是由范围才能去交， 源于 e、 f 两点。所以看到下面这个图，当 l 二与这个圆相切的时候，下面相切呢，那刚好就是可以看出这个 m 点，它的横坐标是根号二，然后这个圆的半径呢又是一，那就是一比一比根号二，这个斜率呢是四十五度，四十五度，然后四十五度， 所以当当它在下面相切的时候，就是负一，在上面相切呢就是一，所以它的 k 二的斜率就从负一到一，所以带入 k 二呢，又等于负 k 分 之一，所以 k 的 斜 k 的 范围呢，就是 负无穷到负一，然后并上一到正无穷。好，接着那对有了 k 的 取值范围。然后再看这个四字比较复杂，它次数也比较高，所以我们进行整体换元，把分母里面的一加二倍 k 方，然后整体换掉，那么 k 方呢，就是大于一的，然后二 k 方大于二，一加二 k 方大于三，所以 h 的 范围我们就是大于三。好，接着把这个 h 带进去，划到最简 四指，就是上面分四，上面分子就是 h 方，减去三 h 加一分母呢，就是二 h 方，然后接着二次比二次，比二次的形式，我们就提，嗯，提一个常数，然后之后这一块可以给它转化成 h 分 之一和 h 分 之一的，就是表达式，因为比较方便，所以这样的话我们画到最减就是二分之一，乘以 h 分 之一，减去二分之三，扩大平方减八分之一，然后我们有了 h 的 范围，那 h 分 之一的范围也可以得到，就是零到三分之一带进去， 然后我们的 h 分 之一减三，二分之三呢？它的对称轴是二分之三，没有在我们这范围内，所以零到三分之一它就是单调的，既然是单调，我们就直接带入两个端点的值进去，就是一个最大一个最小就可以了。 所以这个题我们第二问比较复杂一点，就是它要求的是三角形 h， c、 d 的 面积取的范围，所以我们首先在前面的时候就把它拆解成首先要求 c、 d 的 表达式和 嗯 h 点到直线 l 一 的距离的表达式，然后分别求出来之后把它合到一起。在这个处理式子比较复杂的时候，我们就用换圆的思想去把它换掉。