26年昆明一模数学标准答案

各位同学啊，昆明一模结束啊，我们数学的试卷分析啊，不是随便写写啊，而是要按照标准流程，真正找到问题，找到方法。首先，对照考试自我反思表，先复盘一下你的学习状态， 课前有没有预习，上课有没有认真听讲，做好笔记，作业有没有当天完成，当天改正，这些的日常习惯直接决定你的一模的得分情况。 然后呢，用考试自我反省表梳理考试过程，考前有没有系统的复习，考试时有没有走神，有没有按照先易后难的答题顺序？ 是不是因为一道题浪费了太多时间，这些细节啊，就是你丢分的隐形原因。接下来，用考试试卷分析表，主题定位错音？是知识 缺失，概念公式没记牢？还是审题不清楚，计算粗心的习惯问题？或是答题不规范，步骤不全，被扣步骤分，把湿分按板块统计，先补大漏洞，再练小细节，不要盲目的刷题。最后啊，按照反思文档要求，制定下一阶段的改进计划， 弱科重点补错题反复做，答题讲规范，时间控节奏，一模不是结束，而是精准冲刺的开始。按这套标准做数学试卷的分析，下次考试每一分你都抓得住！

今年一模五百二十分以上， a 志愿报三中，徐州中学录取的机会都很大，五百分以上可以冲三十六，徐高开高斜高，如果能抢到指标生，这个分数还可以再降一点。 那些拿着去年一模的分数来指导今年填志愿的直播间，我建议你直接拉黑吧。 这次的一模考试，大家一定不要只看分数，应该看年级排名，因为这次一模的考试有些难度，去年的一模考试又比较简单，所以这次的一模和去年的一模相比，你相同的学校，相同的年级排名，大概都会降二十分以上。 各校的最高分基本上都降了十分左右，越往后降的越多，甚至到四百多分，可能都会降到三十分以上。 所以各位家长们一定不要只看分数，只有年级排名才是最准的。举个例子，昨天直播的时候，有一个二十九中的家长，他这次一模的裸分是五百一十三分，他在其他直播间被吓的说五百一十三分开高都上不了二中比较稳， 和我连线。我说你年纪排名五十三名，你们学校头午的指标都得有九十个左右，你五十三名，山东徐州中学随便报都很稳，家长之前都吓得睡不着觉，听完我的分析才安下心。 各个学校排多少名，可以上哪一个高中，可以参照往年的情况，各校自己的主任，校长，班主任都掌握，你问一下班主任，如果还不知道，可以来我直播间连线。

海口一模的数学试卷已经出来了，其实这个整个题的难度的话并不是很大啊，跟中考的难度是比较相像的。因为从选择题的最后一道题和填空题的最后一道题，其实都不是什么比较难的题型，选择题最后一道题就是一个面积和图像相关的问题， 那么填空题最后一道题就是一个刮豆原理，这个是一个大家都已经变得比较熟的一种题型了。接下来的话，我们来说一下最后两道题，其实最后两道题这个函数题，也就是二次函数题，这个二次函数其实很多孩子说我这个计算量比较大， 他跟我说是出考场，就跟我说老师这个我算的好长时间，但是这个题的话呢，其实用技术的解法，用伟大定律啊去求是没有任何问题的，它就是一个二次函数和一次函数相结合 啊，但是如果说要是掌握像对称平移的这种呃，取巧的一个方法来讲，它计算量其实没有那么大，这个题型来讲是摒弃了这个我们过往的这个呃，老三样啊，是存在性问题啊，还是面积最值问题啊？这种它其实真的摒弃了这种，所以说这个来讲，对中考的一个二次函数一定是有一个指导意义的。 那么接下来再说最后一道题，其实最后一道题的难度也不是很大啊，就是循规蹈矩一个类比推理，第二问按照第一问的做法，第三问按照第二问的做法，是完全都可以做的出来的，而且这个计算量也不是很大， 如果真的要是没有想到的话，其实最后道题用间隙法是完全也可以解的出来的啊，所以说最后一道题是可以做到满分的， 所以这是为什么？我说二十一题也好啊，二十二题也好，他的难度系数都不是很大，因为这两问最后的这两问其实都是可以达到满分的。 如果要是孩子不没有掌握这个间隙法的话，我还是比较建议去学一下这种方法，因为这种方法来讲的话呢，除了计算量稍微大一点，但如果真的要是想不到这个题，在一个很复杂的几个题里，他不知道怎么去做的话，间隙 这个办法是万能的一个方法啊，就包括我们这次最后一道题的压轴题的最后一问，其中间歇法做也不是很难，也很简单，所以这个方法一定要掌握一下，可能对中考是有帮助的。

同学们，我们上一次看了呼市的初三异模卷，今天我们来看一下包头的异模卷，它的难度到底怎么样？这里我们先说结论，它的整体难度会比呼市的难一点，那么只有一点吗？ 从选择题和填空题的整体难度上来说，他的一些秒杀问题就很少了，基本都是要通过计算并且运用角之间的关系得到的。大题的话， 圆的第二小问比较难，函数整体应用题跟忽视一样，都不是很难，他反而有可能会比忽视简单一些。但是几何的最后一小问还是有点难。好，下面我们来看一下选择题。 第一题，泰山是五月中的冬月，有五月之首，天下第一山之称。三月的泰山，山脚的平均气温为零上九度。好，零上九度我们去做 正九度，山顶的平均气温记为零，下三度就是负三度。山角的气温比山顶高多少来？山角是正九，山顶是负三，高的话，正三减去负三。答案是九加三为十二度。选 c。 在音乐的创作过程当中，数学元素无处不在，下列音乐符号中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是什么？是中心对称图形， 围绕一个点旋转一百八十度的图形能与原来图形重合，那就是中心对称图形。那么轴对称它有对称轴，左右两侧的图形能完全重合。 来看 a 选项，它是什么？它是轴对称和中心对称。那么排除 b 的 话，它是一个轴对称图形和对称轴呢？在这里好，排除 c 的 话，它是一个中心对称图形，它不是轴对称。 d 的 话，它是一个轴对称图形，所以选的是 c 选项。 第三题如图一，某长方体形状的容器，长十厘米，宽八厘米，高十六厘米，容器内原有水的高度为六厘米，剩余的这些空白部分的高是不就是十厘米？ 那现准备向它继续注水，用 v 表示新注入水的体积，则 v 的 范围是 b 的， 范围肯定得大于零，这都不需要考虑，它还要小于等于空白部分的体积，它装满是不是就不能装了？空白部分的体积就是考的长方体的体积，长乘宽乘高，高是十，宽是八，高是 十，所以应该是八百，那么取值范围就是零到八百。选 b 四，随着人工智能时代的到来，某学校开设了包含人工智能技术的四门兴趣课程，分别为 ar、 音乐创作啊，你是一、 三、 d， 打印与虚拟仿真，你是二，机器人编程与应用三、非遗文化 数字画四。你们四门课程分别用一、二、三、四来代替，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，那甲乙两名同学选择同一门的课程概率啊？比较简单的方法不会出错，那你就去画图。这是甲，这是乙，甲有 四种选择所对应的，在一的选择下，乙又有四种，好，分别把这个图画好了以后，咱就能知道一共有什么。十六种情况。 都选择同一门的课程的情况有，每一类里面是不是就一种？一共有四种，所以是十六分之四等于四分之一。选 d 选项，有的同学不画图也能做，因为 甲有四种选择，乙有四种选择，那我的分母的总情况是四乘以四，如果甲选择乙，乙是不是就只能选择乙？甲选择二的话，乙也只能选择二，所以这样的情况一共有四种。答案也是四分之一 好，也比较简单。第五题，在点光源 o 的 照射下，一块面积为五厘米的三角板硬质，硬质板即为 a、 b、 c 平行于投影面时形成的投影是三角形 d、 e、 f。 若 a、 d 和 a、 o 的 比是一比二， a、 d 和 a、 o， 那 么 a、 d 边太短了，应该比的是谁？应该是 o、 a 比上 o、 d 啊， o、 a 比 o、 d 是 二比三，所以三角形 b、 a、 c 和 d、 e、 f 的 相似比也是二比三，它们的面积比是相似比的平方，也就是四比九。所以 s 三角形 abc 的 面积比上 s 三角形 d、 e、 f 的 面积应该是四比九。三角形 abc 的 面积为五，要求 s 三角形 d、 e、 f 的 面积，那就交叉相乘就是 五、九四十五除以四选择 b 选项好。第六题，公园里有一个对角线相互垂直的四边形景观水池，对角线相互垂直来画一下。工作人员打算在水池中央的终点位置安置景观灯， 并将这些灯用灯带连接，形成一个新的四边形灯带。四边形灯带的形状一定是来终点考的是中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，比如说上面的这条线 就是下面这条边的一半，同时这条标也是它的一半。所以对边平行且相等图形，它首先应该是个平行四边形。 只有平行四边形这么简单吗？那肯定是不对的，肯定不止你俩也平行，这个角是九十度来平行，内错角同旁内角都有相应的结论。我用同位角，你俩都是九十度上下两边平行，那么同旁内角互补，所以这个角也是九十度。好，这个角也是九十度。 在一个四边形当中，三个角为九十度，图形就是矩形，所以它其实应该是矩形。选 b 选项， 当然，菱形是不是菱形得需要什么四边相等，明显他不知道外面这个对角线是否相等，如果外面这个图形的对角线相等，他就是菱形。但是这里没有告诉我这个条件。 第七题，小明和爸爸从家出发，前往离家四千米的图书馆。为响应绿色出行的号召，小明骑自行车，先处罚，十分钟后爸爸骑电动车处罚。就说小明骑的时间长呗，那小明的时间减去爸爸的时间 就等于十分钟。好，两人同时到达图书馆，已知电车的速度是自行车速度两倍，射自行车的速度是 x 千米每小时。对了，我们前面是分钟，所以这里有单位的转换，十分钟也可以表示为 六十分之十小时，时间等于路程除以速度。小明的时间是四千米，除以他的速度就是 x 来减去爸爸的时间，四除以二， x 就 等于六十分之十。 来看一下选项， a、 b 没有进行单位的转化， c、 d 来看一下谁的数值更大。选的是 d 选项。最后一个如图三，在 r、 t 三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 b、 c 是 九十度， a、 b 等于三， b、 c 等于四，所以 a、 c 就是 五、三四五个股数。 以 c 为圆心，适当长为半径，画弧，分别交 b、 c、 a、 c 于 m 和 n， 再分别以 m 和 n 为圆心，大于二分之一 m， n 长度为半径，画弧，交于点。记 好，这里为止。这图作图问题在我们以前的考试问题当中是会有大体出现的，但是后来我们因为这个试卷的题量减少以后，作图题就不再出现了，他会融入到选择和填空题当中。我们在中考阶段选择两个作图，一个是角平分线， 一个是垂直平分线。这道题他考的就是角平分线的做法，你得知道前面做的是什么？到这个红线为止，前面的描述就是做的角平分线，所以在这里这两个角就相等， 并且等于大角的二分之一。继续做射线， c、 g 交边， a， b 于点， d 过 b 点做 b、 f 垂直于 cd 好， 你又是垂直，你又是角平分线。三线合一的逆定律就可以说明 b、 c、 h 是 一个等腰三角形，所以这里的 c、 h 就 等于 bc， 等于四， a、 h 就 等于五减四，等于一 好的 b、 f 的 延长线交 a， c 于点 h 或 a 做平行于 b， c 的 直线为 e 好， 平行所得的三角形相似，这里面三角形 a、 e、 h 就 相似于三角形 c、 b、 h。 最后要求的是 e、 h 的 长，那我们就设长为 x， 问什么设什么？ 那么设长为 x 了。以后我如果用三角形的相似，是不是也要求出 b、 h 的 长，那么 b h 的 长，它是 b e 减去 e、 h， 所以 我需要用到 r t 三角形 a b、 e。 因为 b、 a、 e 是 九十度，所以 b、 e 的 平方就等于 a、 e 的 平方，加上 a、 b 的 平方就等于根号下九加一等于根号十，所以 b、 e 的 平方就是十，当然 b、 e 的 话就是根号十， b、 h 的 话就是根号十。减 x 好。三角形的相似，我来写出对应边乘比例， a、 h 比上 h， c 就 应该等于 e h 比上 b， h， a h 是 一 h， c 是 四， e h 是 x， b h 是 根号十减 x 来分式方程我就直接交叉相乘了，大体你得先去分母等等。四 x 就 等于根号十，减 x 来移项五， x 等于根号十，所以 x 就 等于五分之根号十， e h 的 值就是五分之根号十选 a 来这个包头的小题，它还是有一定计算量的，还是需要进行计算或者是仔细思考的，它的整体难度比忽视的难度高一些。下面我们来看一下填空第九题，某类简单化合物中，前四种化合物的分子结构模型，如图四， 其中灰球代表的是碳原子，白球代表是氢原子。按照这一个规律，第 n 种化合物分子结构模型当中的氢原子个数考的是氢原子，那么白球好来，第一张图是四个，第二张图是六个， 第三张图是八个，第四张图是十个，它的个数就用 n 来表示，它就是二， n 加二，这就比较简单了。 第十题，某社区有一块锐角三角形草坪，视野图如图所示， bc 是 六十，且 ab 和 bc 夹角是六十度。为了方便居民出行，设计从点 c 修一条小路，那么要使得步道最短。 什么是最短？就是点到直线的距离，也就是最短，所以我通过 c 去做 ab 的 垂线，这一条垂直的距离也就是最短的。这不就考的是 直角三角形的特殊三角函数吗？三十度的角所对应的直角边是斜边的一半，所以你 bc 是 六十，那么它所对应的另外一条直角边就是 三十，它的高就是三十倍。根号三一比二比根号三，这个小三角形大家一定要会背，它的三边比三十度的角所对应的直角边是最短的，是一 斜边时它的两倍二。另外一条直角边就是根号三，所以一比二比根号三就一定要背好。十一题，如图六，在矩形 a、 b、 c、 d 中点 e 在 边 a、 d 上 连接 b、 e、 c、 e。 若角 e、 c、 b 是 四十五度，好来先标角四十五度，矩形垂直，这个角也是四十五度，这个 d 又是九十度，所以它也是四十五。那么 e、 d、 c 就是 一个等腰直角三角形角 c、 e、 d、 c、 e、 d 就是 四十五度，等于两倍的角 a、 b、 e， 那 么 a、 b、 e 就是 二十二点五度， 是吧？好，那么这个角就可以用九十减去二十二点五度，它就是六十七点五度。 这个三角形当中还剩一个角角 b、 e、 c 也可以用三角形的角和来表示，它就等于一百八十度，减去四十五度，减去六十七点五度， 就等于六十七点五度哦，所以 e、 c、 b 是 一个等腰三角形， e、 c 就 等于 b、 c。 原来如此， a、 b 等于五，对边相等 d、 c 也就等于五，所以 e、 d 也等于五，那么 c、 e 就是 它的斜边，就是五倍。根号二也行，所以 b、 c 就是 五倍。根号二。 最后要求 a、 e 的 长，那么 a， e 就是 a， d 减去 e、 d 就是 五倍。根号二减五 比较简单来，最后一题，十二题，如图七，点 p a， 逗号二和点 a 在 反比例函数图像上连接 o p 和 o a， 若 o a 和 o p 相等，角 o p、 a 又是九十度，则求 k 的 值。 在反比例函数和函数当中，如果图像上有垂直的角，并且两边还相等呢，我肯定是构造三角形的。全等怎么构造？通过点去做垂线，我通过 p 去做 y 轴的垂线， 通过 p 做 x 轴的垂线，再通过 a 去做这条垂线的 垂线。我设这个，你是 b 点，你是 c 点，那么三角形 o、 p、 b 就 和三角形 a， p、 c 全等。通过 p 点的坐标，我就可以求出 a 点的坐标。 a 也在反比例图像上，所以横纵坐标的乘积就是 k， 通过列方程就可以求出 a， k 的 值。好，那么下面我们来书写一下。因为 p 点在反比例图像上，这里的 a 比较多余，我把它用 k 来表示，所以 p 点的坐标纵坐标是二，横坐标就是二分之 k， 当然 k 小 于零，所以二分之 k 也小于零。 o b 的 横坐标这段长度就是负二分之 k， 因为 k 是 个负数， a， 三角形 a， c， p 全等于三角形 o， b， p， 所以 a， c 就 等于 o， b 就 等于二，所以 a、 c 就 等于二。好，来， p 点的坐标呢？是 二分之 k。 逗号二， a 点的坐标，我们来看一下。横坐标应该是两点的，和在取相反数，所以 a 点的横坐标应该是二分之 k 减二，纵坐标就是 这一段的长度，这段长度应该是 p d 减去 p c， p d 的 话是 p 点的纵坐标二， p c 就是 p b 的 长度， p b 的 长度是负二分之 k， 所以 它就是二。加上二分之 k， 好， a 点的坐标用 k 表示出来以后，因为 a 点也在反比例的图像上，所以横纵坐标的乘积等于 k， 二分之 k 减二的差乘以二分之 k， 加二的和就等于 k， 这个就是一个平方差公式， a 平方减去 b， b 方等于 k 就是 二分之 k 的 平方减去二的平方等于 k， 四分之 k 方减四等于 k， 这个时候就去解关于 k 的 一元二次方程。先去分母吧， k 方减去四， k 减十六等于零。这道题没有办法通过因式分解来解决，那我就可以用配方法，公式法都可以，我们用配方法， k 方减四， k 加四就等于 二十，所以 k 减二的平方就等于二十， k 减二就等于正负根号二十的话就是二倍根号五， 所以 k 就 等于正负二倍根号五加二，当然 k 只能小于零，所以最后 k 就 只能等于负二倍根号五加二，它就等于二，减去二倍更好。 填空题的整体难度呢，我个人认为也不是很难，但是呢，它涉及到一些三角形的运算，同学在三角形的全等相似，包括在函数部分有一些漏洞或缺陷的话，他也会觉得很难 啊。其实选择和填空的这个整体难度呢，是大于忽视的。解答题十三题计算，大家自己去算，我就不说了，十四题 他跟忽视有一些区别，忽视需要计算，他一般不太需要，但是第二小题可能要一点点。让我们看一下。甲乙两人是某甜品店的烘培师，以下是他们在季度技能考核中的甜品制作得分 及当地近五年烘培行业甜品制作技能大赛的相关信息。信息一，这个是甲乙两人季度技能考核的得分表， 甲的考核次数这么多，乙的考核次数乙的分数是这么多，其中甲乙的得分的平均数是都帮我算好了，方差是就都算出来了。星期二，当地五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数线如下表所示， 根据以上信息及你所学的统计知识，解决以下问题。第一题，根据平均数与方差要讨论两个内容，第一个是平均数，第二个是方差。综合评价加一两人的季度技能考核表现。 所以有些十四题的同学还有可能会扣相对应的分数，就是他没有根据题目要求少写了一类，所以当然会扣分了。来看平均数， 甲的平均数是八十八点七五，乙的平均数是八十九点五，很明显，乙的平均数大于甲的平均数。 考试的时候能写什么？能把相应的数据写下来，他也能得一些分数来。甲的平均数呢是八十八点七五啊， 乙的平均数呢是八十九点五，那么甲的平均数小于乙的平均数，所以说明甲的平均成绩比乙高，大家自己补充，这是平均数，那么方差呢？ 同理，甲的方差是十七点九三七五，乙的方差是一点二五零零，甲的方差 明显大于乙的方差。方差来看，甲的成绩不稳定，乙的成绩更稳定，那么方差体现的是这组数据的稳定情况， 所以乙的成绩更稳定。综合以上情况，乙的平均成绩比甲高，乙的成绩又比甲稳定，所以乙的表现更好。哒哒哒哒哒， 这两类都要说明你的表现更好。好，这里没有空白地方，我就捡起来，但是大家一定要写完整好。第二小问，结合当地近五年的烘培行业甜品制作技能大赛获奖分数的 平均数，同学没有看清楚题目要求平均数，那么平均数哪来需要我通过这个表格计算？ 为确保获奖，请推荐一人参赛，并说明理由。首先，我得把这几年的平均数算出来，就是八十七加九十一加八十八加八十九加九十的和除以五 来总成绩平均分是八十九分，那么甲的平均数是八十 八点七五，小于八十九， e 的 平均分是八十九点五大于八十九，所以 是不就推荐 e 会更好一些，而且 e 的 方差更小，他的这个成绩更稳定，所以获奖的可能性呢就更大。假的话，他的这个成绩不稳定，所以他有可能成绩波动大，风险也就较高。综上，推荐 e 去参加。 第三题，若要从中选择一人进行高级甜品制作培训，从发展潜能的角度分析，你认为谁更合适 发展潜能？什么是发展潜能？就是潜在能力。我会选择讲为什么，因为从发展潜能的角度看，你的成绩虽然波动大，但是他的最高分是不是就达到过九十五分？ 但是乙的话，他虽然成绩比较稳定，他最高分是不是只有九十一分？从发展的空间上来说，甲的夸展空间更大，乙的提升空间相对小， 所以从上限来看，选甲更合适，因为甲的成绩上限更高，那么经过培训之后呢，他的潜能就更大， 所以这个三个小问都是要去说明理由啊。就是十四题。那么忽视的十四题还是需要进行计算的，那么包头的十四题大家只需要经过分析就可以了。 来十五题。某农资店为了满足春耕的需求，购进甲乙两种化肥，二零二三年，甲乙两种化肥每件的进价均为一百元，甲合乙都是一百。 随着生产技术的优化，到二零二五年，甲种化肥每件的进价年均下降二十，年均下降二十是啥意思？ 每年都下降二十元，那么一年下降二十元，二三年到二五年有几年？有两年，所以他一共下降了是四十元。很多同学在这里都会出现错误，我就觉得他下降了二十块，后面的计算肯定是有问题的， 降了四十元以后，他的现在的每件进价是多少？就是六十元。乙种化肥每件进价降至六十，他已经把 钱告诉我了。第一问，经过两年的调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降了多少百分比？ 那第一问号的是一元二次方程设一种化肥每年平均下降的是百分率为 x， 那 我就不写完整了，大家写的时候注意了，根据方 提议，我可以列方程，那么以前是一百块，每年就是一年下降 x， 它就乘以一减 x， 如果是两年的话，我就给他加上平方，就等于六十四元。 所以解这个一元二次方程就可以得出 x 的 值，那么 x 一 就等于零点二， x 二就等于一点八，下降的百分比能大于一吗？肯定不行，所以最后的结果就是零点二。乙种化肥每件的进价平均每年下降 百分之二十。来答，写完整。第二想问，二零二五年，该农资店一次性构建甲乙两种化肥共一百件，肯定是问的是一分一次不等式了，总资产不超过六千两百元，则至少构建甲种化肥多少件。 前面设过 x 了，我第二小问，就设 y， 购进 y 件，假乙的话，就是一百减 y 件，好来，那甲的件数是 y， 那 么它的价格是六十，就是六十， y 加上 e 的 数量乘以它的价格，它的价格是六十四，数量是一百减百，总体的金额要小于等于六千两百元，所以解这个不等式， y 就 大于等于五十元， 至少够进加重化肥五十件。十五题，我个人认为他的难度比忽视的应用题简单很多，因为他的计算量并不是很大，考的是一个一元二次方程和一元一次不等式的难度呢，就比较小，计算量也比较小。 好来十六题。十六题圆它第二小问可能有一些难，大家这个需要注意好，我们来看如图八、 a、 b 是 圆 o 的 切线， e 为切点，我就连接切点和圆心，你就是垂直，以 o 为顶点作角 c、 o、 d 交圆 o 于 c 点，就是这个角交 a、 b 于点 d 连接 c， e 交 o， d 于点 f。 第一小问，角 o、 c、 f 和角 c、 e、 d 的 关系，请说明理由。 那么角 o、 c、 f 等价转换角 o、 e、 c。 因为 o c 和 o e 相等都是半径，所以 等边对等，角，角 o、 c、 f 就 等于角 o、 e、 c， 你 俩相加是九十度，所以你俩相加也是九十度。好，我们来书写一下。因为 o、 c 等于 o e， 所以 角 o、 c、 e 就等于角 o e、 c。 因为角 o e、 c 加上角 c、 e、 d 等于九十度，所以角 o、 c、 f 加上角 c、 e、 d 也等于九十度。 这第一小问非常简单，数量关系来第二小问，若圆 o 的 半径为二，角 c、 o、 d 是 九十度，你是九十度， 那 cosine c 是 五分之二倍，根号五，求 o d 的 长，那么 o d 的 长肯定是想放在 o e、 d 这个三角形当中去求的，这里面主要有一个信息点，就是 cosine c 等于五分之二倍，根号五。 根据三角函数的性质，我得把角 c 放在直角三角形里面去求。 cosine 的 值是 角菱边比斜边， cosine c 的 菱边和斜边分别是 o， c 和 c f， 但是我求这个 c f 对 于我来说其实没有什么太大的作用，可是如果我能知道对边比斜边的长， 或者是它的比值，我就能求出 o f 的 长度。所以在这里面三角函数的一个运算大家需要掌握一下。我们常见的方法呢是画一个小的角三角形， 设你为 c， 那 么 cosine c 是 邻边比斜边，你是二倍，根号五，斜边就是五，它的对边勾股定律就是根号五，所以在这里 sine c 就是 根号五，比五， tangent c 就是 根号五，比上二倍根号五就是二分之一。好，这些数值我先备用，因为下面我不清楚用哪个三角函数会更好。来接着看 要求 o、 d 的 值。这一个这道题突破点就是第一小问，为什么要让我找他俩的关系， 角 c， e、 d 又有什么样的作用呢？我就可以从第一问得到一些启示。大家注意了，有些问题当中他有可能比较隐晦， c， e、 d 这个角有什么样的作用呢？ 如果在这里这个 c， e、 d 能和这个 e、 f、 d 相等，那么下面这个三角形就是一个等腰三角形，它到底相不相等呢？我们可以来看一看，因为刚刚第一问说的是角 o， c、 e 加上角 c， e、 d 是 九十度， 在这个角三角形里面， o c e 加上角 o f c 也是九十度。 o， f， c 和 e f， d 是 对顶角，对顶角相等，所以正好 e， f， d 就 跟 e d 是 相等的，所以它确实是一个等腰三角形， 那 e， d 就 和 f d 相等了。如果我能求出 o f 的 长的话，整个三角形 o， e， d 的 三边，我就可以用勾股定律去设 x 的 方法来解决。所以这道题我们来从头书写一下。因为角 o， c， f 加上角 c， e， d 等于九十度， c， o， d 也是九十度，所以角 o， c， f 加上角 c f o 也等于九十度。这个的话，可以这个前面再加一个，就是在三角形 c， o， f 当中，角 c， o， f 是 九十度， 所以才得到了这个老师因为节约时间，可能会有些简写或者是跳步骤，大家有不会的或者是不懂的可以再问。那么你俩相差是九十度了以后，所以角 o， f， c 就 等于 角 f， e， d。 因为角 o， f， c 等于角 e， f， d 对 顶角，所以角 f， e， d 就 等于角 e， f， d， 所以 e， d 就 等于 f d。 好， 我就开始设设边长，我就设 e， d 等于 f， d 等于 x， o， f 的 长度怎么求？我用 cosine c 这个三角函数来求，但是 cosine c 呢？不涉及 o， f 的 边，那我尽量是使用一下子就能得到结果的 tangency， 因为 tangent c 是 二分之一，等于 o f 比上 o c， 因为 o， c 等于二，所以 o， f 就 等于一， o， d 就 等于一，加上 x。 在 r t 三角形 o， e， d 中， o， e 的 平方加上 e， d 的 平方等于 o， d 的 平方，二的平方加上 x 的 平方，就等于一加 x 的 和的平方。好，所以就是解方程了。 四加 x 平方等于一加二 x 加 x 平方 x 平方 x 平方。约掉二 x 就 等于三 x 就 等于二分之三，所以 x 的 值就是二分之三，那么 o d 的 长就是一加 x， o d 就是 二分之五。好，这道圆的第二题还是有一些难度，大家有可能有很多同学想不到，那如果没有想到的话，有一些 角的关系和线段关系，我们还可以罗列一下，尽量是能得一分得一分嘛。 来十七题还是一道这个二次函数与实际问题结合的，它本身难度就不会特别大。 图九一，小球从斜坡 o 处抛出，球的抛出线路可以用二次函数来刻画，斜坡 o c 呢，可以用一次函数来刻画。其中 x 为小球抛出的水平距离， y 呢为小球抛出的高度。 小球上升过程当中，当高度为六米时，小球的水平距离为二， 这个说明小球的曲线经过的是二逗六。第一小问，求这个二次函数的表达式以及小球能达到的最高高度。表达式的话，我就把二逗号六代入到二次函数里面。求出二次函数的 一般是最大高度，就是求最大点，也就是顶点的纵坐标。好，我们现在第一小问将二勾六代入 y 等于四 x 减去 a x 的 平方当中解得， 大家参考这上面完成， a 就 等于二分之一，所以函数解析式， y 就是 四 x 减去二分之一 x 的 平方。 那么想求顶点的坐标，我可以通过配方法，也可以通过公式法都可以。下面呢，老师用配方法给大家演示一下，把负二分之一提取出来，括号里面就是 x 平方减去八， x 想要给它凑一个完全平方，我得加上一个十六，再减去一个十六，所以它最后的结果就是负二分之一 x 减去四的平方加八，所以它的最大高度就是八了。当然知道它是抛物线，开口是向下的嘛，它一定有最大值， 大家可以写的完整一些。第二小问，小球的落点是 a， 求 a 点的坐标，那么大家从图上面很明显的能发现， a 是 一次函数和二次函数的交点，所以在这里我可以把这个抛物线和斜坡的解析式连立，得到方程组。 第一个 y 等于四， x 减去二分之一 x 的 平方。第二个 y 等于二分之一 x， 通过点力就可以消圆消掉 y。 四， x 减去二分之一 x 平方就等于二分之一 x。 整理这个方程， x 平方减七， x 等于零，提取共因式，所以 x 一 等于零， x 二等于七，那么 x 等于零就是圆点， a 点坐标，横坐标就是七，将七再代入圆式， a 点坐标就是七，逗号二分之七。 前两个小问还是非常简单，跟我们忽视的考试卷是一样的好。第三小问，他的问题比较短，若在斜坡 o c 上距离 o 点的水平距离为六米的位置，设置一个高 两米的数值挡板，判断，想求能否越过该挡板，他要是在斜坡上去画挡板，他其实问的就是我。当横坐标为六的时候，带入抛物线的解析式，看看它的长度，它的高度能否大于这个 两米，再加上我下面所对应的这个斜坡的高度，所以这时候不是直接是抛物线的距离大于挡板的高度就行了，我后面还得再加上一个斜坡的长度。那么我们先来把 抛物线的高度算一算，将 x 等于六，代入 y 等于四， x 减二分之一 x 的 平方当中，我们能发现它的 y 就 等于六， 斜坡的高度是多少呢？再将它带入到一次函数里面，将 x 等于六，带入 y 等于二分之一， x 就 等于三，说明这个时候斜坡的高度就为三，三加上二就等于五米嘛， 说明我总体的高度是五米，但是抛物线的最高高度是六米，因为六大于五，所以小球能过挡板，能过挡板 好。那么十七题，我个人觉得第三小问比忽视的第三小问简单一些，不需要再去设点的坐标来。十八题，最后一道题，几何问题放在最后，就说明它还是有一些难度的。 从特殊到一般式研究数学问题的一般思路综合实践小组以菱形为背景，对旋转中的线段的数量关系开展研究，如图示，菱形 a、 b、 c、 d 与菱形 e、 f、 c、 g、 b、 c 大 于 f、 c 角 b、 c、 d 等于一百二十度点 e、 f 分 别在边、 bc 和 cd 上。如图一， 菱形 e、 f、 c、 g 绕 c 点顺时针旋转点 f 在 菱形 a、 b、 c、 d 的 内部连接 b、 f、 f、 g、 d、 g。 当 f、 b、 g 三点共线时， 第一小问问三角形 b、 c、 f 是 否与三角形 d、 c、 g 全等，为什么？大家问全等，那么一定是全等的了，为什么？那我就去证明三角形全等呗。这一道题主要还是什么？考的是旋转，旋转那旋转多少度还没有说清楚， 但是我估计肯定是跟这个一百二十度有关的，要不就是一百二，要不就是六十。那如果有的题目出现了四十五度的，九十度的这样的这个角的话，一般旋转就是跟他俩有关了。但是这道题呢？他第一小问还是没说具体旋转多少度的，那我就先不考虑， 只是来证明全等的话，那我个人觉得还是比较简单的。证明全等来我们找条件，首先 b、 c 和 c、 d 相等，因为你是菱形嘛，四边相等，其次里面还有个小菱形 c、 f 和 c、 g 相等，那么最后旋转 两个角相等，好来说明理由。第一小问，因为 a、 b、 c、 d、 e、 f、 c、 g 都是菱形，所以 b、 c 就 等于 d， c、 c、 f 都等于 c、 g。 因为角 b、 c、 d 是 一百二十度，角 f、 c、 g 也是一百二十度， 所以角 b、 c、 f 就 等于角 b、 c、 d 减去角 f、 c、 d 就 等于一百二十度。减去角 f、 c、 d。 同理，角 d、 c、 g 也是，它是等于 f、 c、 g 减去 角 f、 c、 d 也就是一百二十度，减去角 f、 c、 d， 所以 这两个角就相等。那么在三角形 b、 c、 f 和三角形 d、 c、 g 中， bc 就 等于 dc。 角 b、 c、 f 就 等于角 d、 c、 g、 c、 f 就 等于角 c、 g， 所以 角 b、 c、 f 就 全等于三角形 d、 c、 g。 那 是 s、 a、 s 啊。第一问，证明全等我相信大家都能做来。第二问， 请写出 b、 g、 c、 g 和 d、 g 之间的关系。其实第二问也不难，但是我相信有数量关系的时候，很多同学就都懵了。来，我们先找线段， b、 g、 b、 g 是 最长的这条线段，那么还有 c、 g、 c、 g 和 c、 f 相等， d、 g 和 b、 f 相等。这里我们简单书写一下， b g 应该是 b f 加上 f g 的， 因为第一问全等嘛，所以 b f 就 等于 d g， 那 么 d g 加上 f g 就是 b g， 还有 c g 这条边，那我 f g 和 c g 有 怎样的关系？这两条边有怎样的关系？那就是本道题的重点了，去找它俩的关系。 f g 是 这个三角形的最长的一条边， c g 是 菱形的一边，这个角是一百二十度， 它是歪的，那么如果把它正过来的话，不就是在看的是一个一百二十度的顶角的等腰三角形，它的腰和底边的关系吗？我把它正过来，这是 c， 这是 g， 这是 f， 通过 c 去做垂线， 你是 h 的 话，这里面等腰三角形三心合一嘛，每个角就是六十度了，这个小角也就是三十度了，你就是三十度六十度的特殊的三角形。 所。所以这里 g h 比上 c g 就 等于六十度， 等于二分之根号三，那 g f 等于两倍的 g h g f 比上 c g 就是 两倍的 g h 比上 c g 就是 根号三，所以 g f 就 等于根号三倍的 c g， b g 就 等于 d g 加上根号三倍的 c g。 好，中间有一些过程老师没有写，省略了，大家可以这个再补充一下，因为全等的话，你得书写第一小问带来的结果。第一小问全等之后才能得到 b f 和 d g 相等，最重要的还是找的是 f g 和 c g 的 关系好。 那么第一小问的两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形的。两个小问都是没有那么难的，大家可以通过三角形角之间的关系去得到。 在这里一般同学的话就都没有时间做了，那么他就会把第二小问给省略那。但是第二小问其实如果你要上到九十多分的话，你还是得看一看，但第二小问呢，确实是有一些难度，我们来分析分析。 如图十杠二、菱形 e、 f， c， g， 绕 c 点，顺时针旋转点 f 在 菱形 a， b， c， d 的 内部连接 b， f， d， g 延长 b， f， 将 d、 g 与 h 点连接 c、 h， 请写出 b h， c h， d h 的 数量关系，并说明理由。找的是 b h， 这条线段就更长了。其实第二小问的话，它就是一个类比的推理。首先整道题通过旋转得到的，所以我们其实在做题的过程当中，也要运用旋转的性质， 或者呢将三角形进行旋转得到，这是第一个。第二个的话，通过第一问的第二小问我们知道的是，我需要找到一个特殊三角形，它们之间边和腰的关系， 所以其实第三小问或者是第二小问啊，它暗含了内容，就是我需要去通过旋转，并且运用第一问的第二小问的一个这个方法去计算第三小问的结果。这道题哦，涉及的是 bhd h 和 c 之间就有一个小三角形，就是 c d， h， 我 需要通过这个三角形将它的边长转化到另外一个三角形当中， 所以这道题我就需要去构造跟它全等的三角形，那么我可以将这个三角形通过旋转得到。怎么旋转？从哪旋转？看图十杠一，它是以 c 点为旋转中心的， 这道题我也可以通过 c 点去旋转 c、 d 这条边始终跟 b c 相等，所以其实最好我可以通过旋转将 c、 d 边旋转到 c、 b 边， 这个角是一百二十度啊，旋转的位置和这个角度就有了。以 c 为旋转中心，逆时针旋转一百二十度，得到三角形 c、 d h 撇，那么其实就表示为 c b h 撇。好，我来画一画这个图，应该是这样吧，将三角形 c、 d h 绕 c 点旋转一百二十度，得到三角形 c b h m 这个点吧。我把这个三角形旋转过来以后，旋转之后的三角形就跟原来的三角形全等， b h 就 等于 b m 加上 m h。 因为 c b m 三角形和 c h、 d 三角形全等，所以 b m 就 应该等于 d h。 题目问我的是 b h 有 了， d h 也有了，还剩一个 c h。 这道题的重心就是找 c h 和 m h 的 关系，那么来看， c h c h 是 这条边， m h 是 这条边。哦，这又是以 一百二十度为顶角的等腰，三角形之间，它腰和底边的关系就是根号三倍。上道题我们不是算出来了吗？根号三倍。 所以其实第三小问我再通过前引小问的书写方式再写一遍， m h 就 等于根号三倍的 c h， b h 就 等于 d h 加上根号三倍的 c h。 其实这就是最后的结论和解析的答案啊。解析的过程第三小问我老师就书写了，第二小问的话，其实就都有了，你把它正过来看的时候呢，就比较方便和比较简单了。这一小问总体来说它的难度还是有一些的，跟 忽视的最后一小问难度来相比的话，可能会难一点点，但是呢，我们还是能尽量的把第一小问都做出来，第二小问有没有时间做，能不能做，有没有思路就是另外一个问题了。 好的，那么这张试卷我们讲完了，总体来说他的难度我个人认为还是跟忽视相当，但是比忽视更难一点点。这是老师的一张自作卷，如果有问题或者是有错误的，大家可以指出来，我们可以一起讨论。 好，那么这张试卷我们就分析到这，如果有问题，同学也可以私信老师或者是在评论区评论，关注老师我们会分享更多的初高中知识点，我们下次再见。

西山区一模试卷拿到了，我们重点分析三个东西。第一试卷结构， 嗯，这个结构与市统测去年中考、前年中考没有任何变化。那么第二个就是我们要说的这个，嗯，二十六题和二十七题的考点，然后我们可以看一下 二十六题的考点，还是我们之前预计的偏代数类的代数式的处理，那么这个题落实到题上，考的还是 降次，只不过在降次里增加了一种不太常见的这种代数式结构，并且引入了换元的思想。 二十七题，嗯，前两问考的还是老东西，就不讲了。那么第三问，也就是最近非常流行的这个线段的数量关系。在这里我想说一下，大胆预测一下，中考 很有可能就考这种线段的数量关系。去年中考还是也考的是这玩意，今年市统测考的也是这玩意，所以说你就说他考的概率高不高。那么我们来到第三部分，就是分析二十六题，二十七题 啊，分析二十六题，二十七题，遇到 n 加三的十二次，加上 n 加三四次分之四十八，遇到这种分子，分母上不等次，不等次，十二次和四次这种结构，它是一种特定的练法，你想第一次就做出来，可能性不太高， 我之前的课上是讲过这种的。首先要学会提公音式，那我们把 n 加三作为一个整体怎么提呢？提多少次呢？就是 n 加三的十二次，它的次数是十二。 n 加三的四次分之一，它的次数是负四，那就是十二加上负四除以二，提这个公音式，它是固定的提法。 那我们就提出 n 加三的四次方乘以小括号 n 加三的八次，加上 n 加三的八次分之四十八，那这个就有 n 加三的八次在分子和分母，也就是构造出了 这个 t 加 t 分 之一这种对勾函数的格式，也就是我们初中叫降次同时同除的考法。那么这里还是 n 加三，不是我们要的 n 怎么办？这里又引入了一个换元的思想，令 n 加三等于 t， 那么 n 就 等于 t 减三，那么因为 n 满足 n 方加五， n 加五等于零这个式子，所以说把 t 减三带进去也满足这个式子，我就得到了一个关于 t 的 条件，就是 t 方减 t 减一等于零， 那我们要这里做降次同除，先把它变化好，准备好同除以 t， 在 同除以 t 之前，要说因为 t 不 等于零，所以 t 减一 减 t 分 之一等于零啊，这个才可以得满分啊。那么我就变成 t 的 四次方乘以小括号 t 八次方加 t 八次方的分之四十八，同样的把它配凑出来，我们要的是 t 八次方加 t 八次方分之一， 那么这个你都不用算他的肯定式的四十七，这个是属于基本功啊，因为你要和后面的七的八四方分之四十七配题共一式。好到这里就很简单了， 说一下这个他比中考难度还要难的。难在哪里？他考察了不太常见的这种分子分母 次数不相等的这种格式的降次。你要知道提公因子怎么提，这是一个积累，那么第二它就不是 n 本身是 n 加三，那你要积累一下，学会换元这个思路还是挺难的啊。 那么再看二十七题，二十七题前两问不说了。第三问，遇到这种怎么办？你看啊，我个人的思路就是，如果你遇到等级式和等比式，那都是要考虑相似的， 那区别在哪里？等比式它有具体的值不变，它大概率是可以得。比如说因为某个点是中点，那 b m 比上 b a， 假如说 m 是 中点，那可能得二分之一。所以说等比式是不需要去寻找某个具体的值的， 但是等级式它乘出来大概率是要寻找某个具体的值的，因为乘法不能得到几比几的这种 对应关系，不能得到关系。所以说我我的想法两个思路，第一个，用等式代换，也就找出相似，找出 b m 乘以 b p 是 谁， b n 乘以 b d 是 谁。 第二个思路，他们大概率是要依照一个具体的数值来处理。那么我个人的意见就是说，这个具体数值只会和直径相关，因为整个题例只有一个具体数值。如果你能有我这种想法，那这个题例基本上是没有问题了， 这是从细节上，从积累上去分析该怎么做。那我们就找呗，找 b m 乘 b p 呗， b m 乘 b p， 那我得构造一个新的三角形，就是过 m 做 m f 垂直于 ab 就是 abp， 相似于 m b f 得到这个一式， 那么同样的同理，得到二式，那我就得到 bm 乘 b p 加 b n 乘 b d， 就 等于 ab 乘 b f 加上 ab 乘 b q。 那么我们这回会做完就会敏瑞的发现啊，做完辅助线，敏瑞发现这绿色两个三角形，它是全等的呀， 也就是 a q 等于 b f 呀，我就可以把 b f 换成 a q， 也就是 ab 乘以 a q 加 b q 啊，提供一式之后， a q 加 b q 又是 ab， 所以 说等于十六。 好，总结一下，这个题的难度倒是相当的啊。整张试卷二十六题偏难，试卷结构没有什么意外，然后其他题是正常的。

好的，那么二六届云南中考的学生应该陆续结束了一模的这个考试，那么可能有些地方他没有组织一模考试，那么大家可以去呃，做一下本次惠民市统测的数学卷子来做一个参考。呃，那如果说需要这个卷子的同学可以单独私信我。 好，那么我本次这个复习计划我分成两个视频来发。今天的第一个视频，我先分析的是九十分以上的这部分学生，那么九十分以上，我把它分成两个档次，一个档次是九十六分以上， 另一个档次是九十分左右。好，这两个档次我单独去聊一下啊。先说九九十六分以上的这部分学生，那么九十六分以上，那肯定是你的前面都没问题。然后最后你的最后那个压轴题，你拿了一分的结论分， 对吧？好，这部分学生呢，我给出两个方向的复习建议，第一个方向就是你保持稳定，维稳目前的成绩，第二个方向是你去突破最后的那五分的几何压轴。我先说，呃，求稳的同学适合哪些学生呢？首先第一个，呃，适合你的目标，比如说你的目标 可能就是一个六百六左右，你想考一个好一点的一级完中，那么这部分的学生，我觉得大家求稳即可，就不要去花大部分的精力去弄最后的几何压轴了。呃，这里先给大家泼盆冷水，就是 今年他的几何压轴的难度一定会比去年要大一些，至于大多少，大家以看到卷子为准，这里就不做预测。但是难度一定要提升的，因为去年的满分率太高了，去年满分率是最近最近甚至十年以来最高的一届，而且是高的非常非常多， 二四年只有，呃，大概是六十个五十个左右的学生满分，但是去年有两千来个，所以他的满分率提升的非常非常多， 今年肯定要杜绝像这样的情况。我觉得大概率难度可能应该是要参考的是二三二四年左右，就是可能满分率控制在一个百来个学生，我觉得是比较合理的。 所以啊，要求稳的同学，我觉得大家就不要去弄几何压轴了，呃，这里性价比太低了。好，还有第二个方向，就是 一个，就是一个是适用于你的目标就是六百六左右，对吧？刚刚说过还有一个类型的同学适合去求稳，也就是你有偏科， 就比如说这次考试你的试通考，你数学考了九十六分，但是其他比如说你的英语、物理、化学严重偏离了你这个分数段学生的成绩，就比如说英语吗？对吧？应该数学九十六分以上的，你的英语，呃，全部复完分之后应该也是九十分左右，但是如如果说你此时就只能考个七十五分， 那说明你的英语就严重偏科，所以此时你的目标我觉得可能多花点精力在你的偏科科目上。数学这里的话就不要去弄最后那个几何压轴了，那么当然你复习的时候肯定不能把数学全部放掉，对吧？所以我这里给出两个复习建议啊。第一个复习建议你去把中档题的四边形， 四边形多去分板块去练。 为什么要要练四边形呢？就是因为四边形这里其实他的难度我觉得应该是比中档题目要大一些的， 相较于函数应用和牵线证明吗？对吧？他的难度我觉得应该是大于这两个部分，所以说大家对于这五分，这八分的四边形，大家一定要多花点时间再去练一下。呃，这里给大家一个立体，大家参考一下， 这道题目是昆明市师大呃，师大这个昆明湖校区的一个三月月考题，大家可以暂停看一下这题大家能不能做出来，我觉得可能有部分甚至九十五分，九十五分以以上的同学，这题都不一定能做出来， 所以四边形这里如果要加难度的话，其实不见得各个同学都能拿到。好，所以说请大家一一一定要去分板块去练一下这个四边形的题目。还有就是代数压轴，就代数压轴这五分，我跟大家，呃，说白了这五分真的很好拿， 相较于几何压轴那五分来说，真的他的拿拿分率非常非常高，所以，呃，这代数压轴的话也是样子的分成了不同专题，对吧？考点我前面也说过，什么高斯代数式含餐最值、公共点问题、推理证明等等等等，大家就按照这几个板块去学习以及去练练题。 好，那么啊，这里给给这里给大家那个说一个误区，就是目前大家县级段你的复习方向不要去刷套卷， 千万不要去刷套卷，因为刷套卷是性价比而且效率最低最低的复习方法， 刷透卷你不会的题目，还是不会你会的题目，那我觉得前面七十分也没有必要花时间去练，所以你就去针对这两个板块，你去往死了练四边形和袋鼠压轴，特别特别是袋鼠压轴，这五分真的比想象中好难。 好，这个是九十六分维稳同学我的建议。那么要突破的同学，那么几何压轴，那肯定是你去突破的方向，对吧？几何压轴，几何压轴呢？不同于单手压轴，他的拿分率没那么高，而且很多时候你 花了大量的精力去复习，去学习，去板块的学习，可能最终的拿分率呃，并不高，所以这部分同学大家要做好竹篮打水一场空的准备。 但是既然你的目标是突破，那我那么我相信你最终的中考成绩，我觉得大家应该是奔着六百七十五以上去考，你的目标比如说在昆明市这边，可能就是考到师附中和昆一中这些学校。 所以说大家的几何压轴，你说九十六分和九十八分的区别，这两分我觉得对于好学生来说，可能就决定你能不能上昆一中和师附中， 所以这里也是大家要去花钱去练的，那么几何压轴也是一样死的，不要去刷套卷，一定要去分板块，分专题，去练习不同的几何类型，常见的，对吧？通过相似去求比例式，求乘积式，求一些线段角度问题，还有一些课外的这种定律，大家要要去学习的，比如说托了命， 阿基米的折弦这些等等等等，都是非常非常重点的内容。好，这部分是呃要去突破最后那五分的学生我的建议。 然后第二部分就是你目前来说九十分左右，可能这次考了一个八十八、八十九，或者说九十一二左右这部分学生，那么你的复习方向呢？我觉得可以参考九十五以上的这部分的学生就是你要维稳的学生，你的复习重点我觉得就是这两部分， 一个就是四边形，一个就是代数压轴，那么四边形题目还是样子，大家可以去看一下。这题暂停，自己去做一下。如果说这题做不出来的同学，那么你的四边形我觉得还是有薄弱的点的，那么也要把它练会， 所以你的目标那我就直接照抄了，就是你的四边形板块以及你的代数压轴板块，这两块请大家更精进一步，尤其也是代数压轴，你九十分最终想考到一个九十六分，九十七分其实真的不难， 对吧？这五分的代数压轴，我就我觉得大家考了很多次，呃，很多次考试以后应该发现这五分相较于几何压轴真的很好难。 好，所有的建议袋鼠压轴一定要去分板块练习。那如果说想要系统去学习袋鼠压轴这个二函数压轴类型的同学可以私信我，我这部分的课程已经全部讲解完毕，都有这个完整的课程视频。 好，这个大，大家可以后续关注一下，或者说单独私信我找我呃，去呃，详细了解一下这部分的内容。好，咱们今天视频分析到这里。

哈喽，各位同学家长好，今天啊，用两分钟的时间快速分析一下二六年河西一抹的数学试卷，帮你摸清考点，找准不弱点。这套试卷满分一百二十分，考试时间一百分钟，题型、分值结构完全对标的是我们的天津中考。 十二道选择题、六道填空、七道解答题。整体的难度中等偏上，基础题、中档题难题的比例大约是六比三比一， 不偏不怪。区分度还是比较明显的，是一轮复习高质量的检测试卷。从考点上来看，数与代数、空间图形各占了一半，加起来接近一百一十分。时数运算分式化简不等式组反比例函数、依次函数全面覆盖了 几何部分。重点考察了仕途轴对称特殊三角形平行四边形圆的切线，还有天津中考必考的网格无刻度作图，考察推理和构造能力。 试卷的特点也比较清晰，基础题稳定送分，像选择题前八道题、填空题前四道题，解答的前四道题，认真计算就能够拿满分。 几何占比比较高，推理要求强，函数综合难度是比较集中的形成问题，二次函数压轴是拉分的关键应用题比较贴近生活。测高统计行程都是中考的必考题型。 错点主要集中在这几个，分式化、简符号容易出错。反比例函数增减性不分象限、一次函数平移混淆几何动点分类不全，解知要三角形的边角对应错误。高区分度的题目主要是选择题第十一题和第十二题填空题、第十八题网格作图 解答题第二十四题平移的面积、第二十五题二次函数的最值。这几道题是直接拉开分数段的主要的题目，最后给大家备考建议，保基础，选择填空前半部分基础解答题立正满分。特殊三角形圆的切线那块，稍微再练一练。 另外我们要去熟悉二次函数与几何的结合现实训练。如果说这套试卷我们能够在一百分钟以内答完题，分数能在一百一左右就是相当不错的了。 总的来说，这套试卷高度模仿了中考考点，全面，梯度合理，能真实的反映一轮的复习水平，接下来针对性的补强冲刺更高效，中考加油！

好的，那么二六年云南中考的一抹复习计划，那么接上个视频，上个视频咱们详细分析了九十分段的两个类型，呃，一个是九十六分以上，一个是九十分左右的学生的这个复习计划。然后今天紧接着就是剩下的两个类型， 那么一个是咱们的八十分左右，八十左右，然后一个就是八十以下， 测试一下。好，这两个分数段我也是分开来说。呃，先说第一个八十分左右的学生。呃，这里讲之前，我先问大家一个问题，大家觉得云南中考他的这这种考试的这种命题 类型，还有命题的难度适合哪些学生提分，很明显的就是适合咱们中间层次，也就是七八十分、八十分左右的学生，这部分学生他提分起来提分的非常非常快。 每年中考都有这样的学生，可能他的士统考跟他的一模、二模这些区统考只能考个七十分左右，但是他最终的中考考到了九十三、九十二、九十四， 这样的学生比比皆是，大家可以在我评论区里面发表一下，如果说有往届你的士统考和你最终的中考分数相差在二三十分左右的同学，可以在我评论区说一下。 这种情况我跟大家说明白了，不是个例，而是非常非常多的学生。就是因为咱们云南中考自从改革之后，他全省是统一命题， 因此他的难度是适配全省的整体考勤难度的，所以他的难度是非常低的。 那么也就是说一张一百分的卷子，咱们普通学生对吧？平常七八十分，数学天赋也不也没那么高，那么数学天赋偏偏的学生，你想在最终中考数学考个九十五分，九十一分，九十二分，这样的分数真的很容易好。那么对于这部分学生来说， 试弄好之后，如果说你你的分数停留在八十分左右，那么咱们按照一百分来看的话，你扣的这二十分，首先肯定两个压轴题的分数基本上是没拿满的，那十分可能最多拿到一个一分到两分，对吧？一分的这个结论分吗？ 然后可能代数压轴也混了一分，那么大概的话，呃，十分的压轴分最多是拿到了两分左右，然后的话还有十分在哪里出现呢？那么你的扣分点还有一部分肯定是你的中状体 中档题，呃，这个前面说过，二十分的中档题，对吧？八分的这个四边形加八分的函数应用加四分的切线证明，那么对于目前来说，停留在八十分左右的同学来说，这二十分的中档题肯定有你一定，呃，有大概率 有你不会的地方，就比如说你的四边形这块比较弱，那么四边形的分值是三加五，对吧？第一问的简单证明，我觉得应该没没问题，那么第二问啊，去求解一些线段长和角度问题，我相信这里应该是八十分左右同学，有有问题地方。还有就是函数应用， 那么函数应用通过函数求实际的，比如说利润的最大值和购买费用最小值，像这样的问题，我觉得应该也是八十分左右同学还在存在的扣分点， 呃，不能说你完全不会，可能说你中间呃，有五分，对吧？可能你只拿了两分到三分，你没有拿满，那没拿满的问题就是你这种题型还是没有把它摸透， 然后就是切线证明，可能这部分学生对于最后一个压轴题可能只做到了第一问，连第二问的这个切线证明都没做到，或者说根本就没有思路去做， 所以加起来的话，这里刚好大概就是十分左右，他的中档题还在丢分。因此目前八十分左右的同学，你的复习重点，第一个重点就是四边形函数应用，还有切线证明，这三个中档题的第二问 对应的就是四面形的第二位，函数应用第二位，然后几何压轴的第二位，那么也也就是这里的切线证明。这三部分请大家在最后六十天时间里面给他玩命的弄。 可以说的很明确，这十分你最后花了多少精力，最后就拿多少分，这个非常非常公平，你不花精力，那这十分你大概率不一定能拿到多少分。好，所以这个这个对于咱们学生来说是公平的，花多少时间在这个上面，最后就拿多少分。 而且这十分我再给大家说的再明白一点，这十分非常非常好难，题目练多掉，练透掉，把所有类型都练到位，这十分非常好难。 好，那么拿到这十分，你是不是就从八十分提到了九十分左右了？好，那么你提到九十分左右，然后第二步要去弄的是什么？是不是代数压轴？代数压轴里面不要求你全部把这五分拿满， 你通过写步骤，你通过用一些技巧性拿分的这种步骤，你可以拿到一个一到两分很容易， 再加上几何压轴的，一到两分加起来是不是几乎就是三到四分左右？那么九十分，再加上这里的三到四分，你中考考到一个九十三分的数学，我觉得对于咱们这个层次的学生来说，应该是不会有太大的这种掉队的，应该来说还是有竞争力的， 当然只针对于目前这个层次的学生来说。好吧，所以两部分，第一部分中档题一定要去花时间多练，练多少时间就拿多少分。第二部分是咱们的代数和几何压轴， 要去需要学会去写步骤，写什么步骤？比如说代数压轴看到点，把点带到抛物线里面，几何压轴写结论，然后找相似关系，找勾股定律关系，这些都很容易。 然后第四部分，目前来说八十分以下的，比如说你这次试读考只考了一个六十五分，考了个七十分左右。好，那么你的复习重点，首先 第一部分你的基础知识，你的七十分的基础知识一定有漏洞，也就是你的填空，填空选择加大题，前四题一定有某些题型是你不会的。 到这里来举个例子，比如说咱们的呃，通过弧弦，就就是这个圆锥的侧面展开图这个问题，比如说通过圆锥的母线长， 母线长去求他的什么表面积，侧面积等等。这个问题大家，大家大家想一下，是不是这回这话还没懂。 还有一个就比如说你的概率题，你的概率题有放回和无放回类型有没有搞懂了？比如说分式方程，分式方程，你的方程到底会不会裂，以及你解方程的时候有没有注意，呃，这个计算问题，或者说这个精检验的问题等等等等。好，那么这部分 是大家下去要去查漏补缺的点，要去仔细的去看你每次考试你填空选择大题，前四题，你丢分的点到底在哪里，然后把这个知识点单独找出来，结合着大家的一轮复习资料，把这个知识点把它弄懂，然后把对应的题把它练透。练题大家可以参考 五年的中考题目，大家把最近五年的中考卷子全部找出来，然后结合着你不会的这个知识点，一题一题的去扣在中考里面，这个这种题目考了哪些，然后把它做对。那，那 如果说对于五年中考里面大家那个试卷没有的话，可以单独找我领取，好吧，我可以给大家发放一下最近五年的云南中考的数学卷子。好，这个是七十分的基础分，第二部分中状体， 那么中档题相较于咱们刚刚说的八十分这档的同学，那么肯定你不光是他的第二问有问题，可能你四边形的证明某些时候还有问题，比如说你函数的解析式可能有些还不会求，所以中档题大家先去把第一问把它弄懂，先去做第一问， 再做第二问，把第一问的类型把它弄完之后再去弄第二问，比如说第二问，对吧？四边形常见的一些小模型，重点四边形呢，对吧？整体法结合完全平方式求值啊等等等等的，对吧？大家把这块再分专题去练习，然后就是切线证明， 那么切线证明的这这四分实际上比四边形的这这几分还要好呢， 切线这边的这四分实际上非常的好拿好。然后第三部分如果说还有时间的话，你们也是样子的代数和几何压轴去学习一下 如何拿分，这个非常重要，学了呃会拿分同学和不会拿分的同学，在这两个压轴题上面，你可以多拿三到四分多一点，甚至五到六分都有可能 好， ok， 那 么所以咱们通过两期视频就把呃试读好之后六十天的复习计划给他讲清楚了。一部分是九十分以上的两部分同学，一部分是八分、八十分左右和八十分以下的两部分同学，大家要弄的点 可以再呃结合视频再去弄一下。那如果说想要在中考六十天里面，想要去进行一个系统去学习和复习的同学，可以单独私聊我。好吧，咱们讲到这里。

各位出单的家长注意了，咱们 c 二零今天考了一张数学卷子。模考卷啊，也算是正式的一模。呃，皖北跟皖南的部分学校参考了，然后我觉得这张数学卷子值得推销的是这个倒数第三题啊，跟咱们去年中考啊，这个有的一比啊， 号称文英文式的阅读，这种探索题字特别多啊，占了一页纸啊，很多孩子遇到这种题目啊，头皮发麻，读不下去，对吧？但是咱们现在中考啊，就是这个趋势。然后最后两题呢，就是比较中规中矩的这个几何和二次函数。 嗯，需要这张卷子的可以写一写，我觉得比较和去年的中考非常的相似，一种新方向吧。嗯，加油。

昆明区一抹居然比云南中考春题还要难！昆明区分为五华、盘龙、官渡、西山，那么这四个区，我给您掰开揉碎的分析一下他们的一抹卷作为啊，这个二零二六年中考的前章指南，家长们想让娃在中考稳稳拿分这一段必须仔细听。四区一抹和中考的命题方向是一致的， 对核心考点的挖掘深度呢，更是可以为中考铺好路数与代数，图形与几何这两块已经占了中考的半壁江山，在这套卷内的考察方式，也就是对中考的提前演练。咱们先看一下四驱一抹，核心的考点，数与代数呢，是占比百分之四十八， 时数和运算准式与分式运算一次反比例，二次函数基础都是必考，图形与几何大概占了百分之四十二。那么三角形、四边形的性质判定圆的 基本定律，比如说解三角形啊，还有就是三角函数，时间应用问题等，都是核心统计，概率呢，大概占百分之十。还有图表解读，还有概率计算这些分呢，都是必须全拿下的科学技术，三式图这些基础概念也是高频必须拿分的点。 那么四区的差异化命题方向呢，是针对各区考生能够尽快提分，比如说五华区呢，是比较注重这个细节和答题规范，然后呢，五华区还注重的是和官渡区一样，官渡区呢，是考察比较强的跨学区融合旁通区呢，其是中规中矩。主要呢你看一下压轴题， 那么二层数呢，是喜欢结合着平移最值问题考，那么肯定是几何原综合定力是少不了的。西商区呢，侧重于的是 规律探讨及开放性课题，考察的是逻辑推理和知识迁移的这四个区呢，主要还有一个就是说他这个四个区当中，他的考察命题呢， 虽然说是我们以老中考趋势来命题，但是呢是毕竟是最后一届老中考，那么也会融合一些新的中考的题型， 所以的话，这个命题趋势也是要关注一下咱们新教改新课纲的这些课本教辅，来进行一个趋势的推论。那么核心考点呢，其实基本不变，难度会略微上升，今年的话，化学科融合和真实的情境会变成常态提高呢，结合昆明的本地热点生活科技，更考察数学的芥末能力，开放性 畅读题会增多重视思维而非唯一的答案，那么压轴题还会去模仿法套路，重点考察逻辑推理和知识的本质。最后啊，给几个大家实打实的备考建议，第一就是扎实基础，确保这个基础题零失误。那么第二就是强化情景训练，就是多做昆明本地生活实践应用问题筛选信息的能力，以及 突破综合压轴。那么二次函数原综合以及几何推理分类讨论思想啊，都是要能够熟练运用的，规范答题格式啊，避免无谓的丢分。那么按照这个方向去复习二零二六年你的昆明中考啊，想不拿高分都拿！

南岗区一门刚刚结束，今天林老师呢给大家讲解一下二十七题的大题，我们一起来看一下这道题。那么结合一二问啊，我们其实已经拿到了这道题的抛物线解析式就是 y 等于负的五分之四， x 方减去五分之十一， x 加四。 那在这里面三问当中给了我们第一条信息叫做 k h 和 f g 是 平行且相等， 那同学们都知道啊，我们在八年级就学习过一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形，所以同学们第一个事自然就可以想到把 k f 和 h g 连接上，那么得到此时它是平四了， 那么我们这个时候呢，连接 f h 平行四边形的特点就是对角线是互相平分的， 那么我们交于的这个点 p， 大家就会发现它其实就是中点。那么第二条信息呢，告诉我们 f o 旋转九十度得到 o h， 所以 此时大家会发现它是一个等腰直角三角形， 那等腰直角三角形，我们又结合 p 式中点，那利用的就是等腰三角形三线合一的问题， 那么我们就拿到 f h 和 k o 其实已经垂直了，所以同学们自然就得到，那么每个角就是四十五度来，这个角，这个角，这个角，这个角，所以也就说明 ok， 其实就是角平分线的问题了。 那么角平分线的问题一旦出现，我们其实知道点 a 的 横坐标是四，也就这段是四，所以这段二，这段二，这段也是二， 那么再结合题干给的角和角的关系，第三个信息，阿尔法和阿尔法，其实这三个角都是相等的， 那么这个时候同学们可以发现我过点 c 做一个垂，根据倒角，我们其实是可以倒得这个角四十五度加法，这个角四十五度加法得到两根小绿边是相等的， 那么没有无缘无故的等呢？那么我们这个时候可以发现有边等，有角等，那么全等三角形 b， c， n 和 f q c， 它们全等就拿到了，所以我就可以发现这段的值和这段值什么关系相等， 所以大家可以发现啊，点 f 的 坐标我们很快就能拿到，它是负二度二，所以结合着我们这个垂，也知道了 q p 和点 c 的 纵坐标的距离是相等的，所以其实是可以表示这段的长度，那么我们又知道整个这个长度是二，那我只需要抠掉 q p 的 长度，就拿到了 f q 的 长度，那 f q 的 长度我们用五分之四 m 的 平方加上五分之十一 m 减二表示出来了，所以这个时候我们又会发现点 c 的 横坐标，我为了区分上一个问题啊，我就用 m 来表示了， 所以 c n 的 长度就是 m， 我 在集合全等三角形对应的边相等，此时同学们就会发现 f q 和 c 相等，我用不同的代数式表示出来了，此时我就建立了等量关系，那这个最后的问题就变成解方程问题了，那么这道题就结束了。一旦我们解得 m 的 值，我们就可以得到 t 的 值，在二的条件下，我们已经拿到 c d 和 t 的 关系式，那么进一步代入，那么 d 的 值就可求了。所以这道题啊，是一个非常简单的问题， 同学们只要需要根据全等三角形对应的边相等建立等量关系，那么这道题就快速解决了。所以是一个非常简单的问题啊，它的难度是低于我们中考的二十七题的难度，那么同学们，你们听明白了吗？给老师点个关注。

考过的这个一模二，整体来说呢，难度不算是太大，考试考的挺常规，然后基本上咱们都做过类似的或者是一样的题，最后一道题就考了一个胡不归，或者你用你的那个飞马点就是可以。然后到了第二题考了一个平行充电面积，那其他的都基本上都见过类似的题， 所以咱们做的时候仔细一点，保证计算不出错，技术不丢分，然后你的十七十八，二十二十五多拿几分，那分就低不了了，行吗？那咱们可以看看这套卷，那首先第十二题考虑一个动点面积，动点面积的话，你看情况怎么走的？标标数据的话，这几个数非常好求， ab 是 三倍根二， 对吧？这有四十五度，所以你做个垂的话， h b h 就是 三，这就是三，对吧？然后 a c 是 五的话，那这不就是四了吗？所以 b c 是 七，第一个没错，那第二个三到七的时候，也就是说他经过了 h 的 这个 p， 对 了吗？那他速度是几？听我说速度是一吧，然后走到这大概 对吧？然后咱们做一个垂往上，所以那重叠部分的面积是不是用整体减去右下角这一块就可以了，懂了吗？那整体是几？这是这是几？这是一个 p， 那 这不就是一个七减 t 吗？注意啊，这竖着的是三比四的关系，所以再乘个四分之三十才是高， 对了吗？所以七减 t， 乘四分之三倍的七减 t 再除二，所以整体是三乘七，再除二，所以减两个一作差，正好是它没错吧？第三个的话，与对称中心 a 重合的时候，也就是说 这是 a 得是终点的时候吧，你这六倍根二，那就是六，那这还剩一个几，还剩个一，对了吗？那所以相当于你不用我这个去做，就把它带到这里面数就可以了， 对吧？ t 十几呢？ c t 十六相当于 t 十六带进去二分之二，十一减去一个八分之三，对吧？不是十可以吧？所以这题选 c 两个是对的啊。好，第十七题，那这道题考一个三分之计算， 那三分之计算的话，正方形还有一个等腰直角三角形的 a， b， a， c 是 等腰值变成是根号五的话，那所以题目说的是怎么去做？你看的话， f 到它的距离， f 往上做垂直吧，做垂直正好和它是全等的，那全等的话，你想要求的是距离的话，那它是 x， 那 这不就是 x 了吗？ 这是四十五度，对吗？这是垂直，这也是四十五度，所以他不也是 x 的 吗？这小丢丢就是五减二 s， 那 他就是五减二 s 呢？根据勾股定律， 所以根号五，那 s 算下来等于二，所以第一个二可以吧？那第二个的话，那你想一想，我想让 bf 的 长度，那整体五的话， a b s a 是 五，那不是五倍根二吗？ 对吧？而这占了几百根二，二百根二，那还剩一个三百根直接就出来了吧。那第十八题就是咱们讲过像是河西期末考的是吧？河西他上学期期末考的这个题就是盲化垂直，第一个步骤是根号六，那第二个的话 怎么做？也就是说先画圆心，起码把这一分拿到手了。那你自己看看， ab 是 一条直径了已经，那我再过 c 的 话，数值一个水平一个，那这两个点，两个一连，那 o 点找到了吧？所以圆心先找到。所以我想过 c 做 o c 的 垂线是不就行了？ o c 的 迁移程度你看就是横一竖几，不知道，所以咱们还是再给大家说一遍，怎么去做？那太小了，我在这大的给你打电话就和现在一模一样，就盲划垂直，那现在已经是，我现在相当于这是横一竖的，是 d， 这到 d 这对了吗？所以那我想是不是横着几个？竖着一，那大概找一个长，这个长度是不得和它相等对了吗？那相等怎么找呢？很套路，就是过 d 先找一个最近的点做这个，也就是说根据全等， 你看这个小长度是不和这个小长度相等的。比如这是一个 f， 也就是说你的上面这一丢丢和这个相等吧，所以他数值的长度是不就和这个相等了，没问题吧？那咱们的目的是什么呀？你看这个丢丢和这个丢丢是不是相等的， 对吧？所以我要把这个丢丢放到水平上来，怎么放？所以直接你看连对角线会有交点吗？肯定有对称性，把它一连， 那所以这个点点就是我要找到，你看和他是不是对称的，所以他的这个长度就和这个长度相等了吧，所以把它一点垂直不就找到了？所以把它延长出去，那和 p a 交，和那个 b a 交的就是你的 p， 就 这个套毛化垂直吧。 怎么去做呀？横几竖几？那你就横一竖这个东西，横几竖一，这个几横几怎么找呢？看懂了吧？过 d 点上之后，那怎么去做？给大家说清楚了吧？这个核心呢？一模一样啊。 那第二十四题，一个平移空间面积，那分类的话，大家来看分几种非常套路吧。最开始零至少到二分之一的时候，对的吧？ 这是一个几？三角形吧？然后走走走，走到过 c 的 时候，走到几，走到过 c 的 话，相当于走了二分之三，所以二分之一到二分之三，对吧？这是一个四边形吧？二分之三包含等，再往右是不是五边形了？一直走到这， 对吧？那走到这的话是不是相当于五边形？再往里走是不是变小了？开始，所以他这先增后减，走到这一看就是最大的，对吧？再往后是越来越小， 所以也就是说先增后减，在这取最大那二的话，咱们非常好算。一块二的时候取最大这个二，对吗？二，取最大的话，用五边形去减这一个，减这个就行了吧。五边形的面积是几？ 不对，三角上的面积是几？二乘二除二就是二吧。那这样，这个长度是几？这个你想想啊，水平长度他不知道， 数值长度，你想想数值和水平知道之后，那面积是不就有了，可以吧，那数值是几啊？数值是不是二分之一？这就丢没问题吧？那水平长度是他的一半，四分之一，所以二分之一乘四分之一再除二，这是它的面积。右下角这个呢？那你往前走了二，对了吧？ 他走了二的时候，那这还剩几？这是不是占了二分之一？这还剩二分之三，那高就是四分之三，所以二分之一乘二分之四分之三，所以是百分之十一吧，是最大的百分之十一，那一共最后一个他算出来了吧？那第二位是不是白给的？ 第二问一不多说，那二也不说了啊，范围这也给你写上了，咱们第三问呢，最小的话时候就看这俩谁个小就行了。那咱们分别算一算，那 t 是 四分之五的时候，那是不是相当于是一个四边形？四边形的话四分之五，那走到这的话，走的是 二分之三，那没有到它是不是差一点？所以是不是我只需要用一个三角形，那怎么办？四分之五的时候是不是减去就行了？减去一个小三角就可以了吧？那所以呢，咱们去求的话， 那相当于底是减四分之五，高是四分之五，再除二是它的面积，那减去一个几啊？四分之五，对吧？相当于减一个二分之一，这不是还剩一个四分之三吗？四分之三的话，那高不就八分之三吗？二分之一乘四分之三乘八分之三，那做差六十四分之四十一， 对吧？然后看四分之九乘四分之九的话，相当于是不是五边形的时候了，对吧？这是走了二，对吧？那四分之九的话，比二大，是不是相当于往右又走了一个四分之一，没错吧？那所以那整体用二去减，谁 二去减？你走了几相当于往右走了？题目说的是四分之九呢？四分之九减二分之七，八分之七这一块，那这上面这一块呢？ 是不是这小六六是一个四分之一，那这个不就是二分之一吗？所以四分之一乘二分之一，再除二，发现是他，他比六十四分之四要更大，所以他翻了这个翻就有了。行吧，那最后一个题一不多说，那二的话， p n p c。 那 所以先怎么办？先代入它，这里面只用 a 表示，可以统一字母没问题吧？那统一字母之后两点间距离公式就行了吧。那 p 好 说，零点的纵坐标是 e， 代进去是负四 a 纵坐标吧，一对负四 a， n 是 一对零与对称轴与 x 交点，然后 c 的 话坐标是比较好说， 对吧？这些有了之后两点间的距离公式，然后题目说 p n 和 pc 相等两点间距离公式吧，算出 a 又比零小 a 了。 最后一个就是一个胡不归，更简单，当然你用飞马点去做旋面也可以，就麻烦一点点。那 am 加 mb， 加上 mp， 那 三段合得最小，那 am 加 mb 的 话，大家可以想一想，这两个和是对称的，是不是就两倍的 am， 对 吧？变成两倍的 am 加 mp， 所以 只有 m 在 动， a 和 p 不 动，对吧？所以系数的问题，对吧？咱们说体系数。二， 你的胡不归吧，那里面变成了一个 am， 加二分之一倍的 mp， 所以 我把 p 的 二分之一表示出来，那找三十度数就行了。现在这样一个竖直线 找，又做了一个三十度的角，那做三十度，它本身就有一个十五度，对吗？十五加三十四十五相当于我做这样一个，然后过 a 直接往它这个线上做垂，焦点是 a， 这的话直接做垂就可以了吧。为什么？因为你想想 三十所对的直角边是斜边的一半，所以 pm 的 一半，我用 mh 表示吧。那 a m 加 mh 什么时候最小啊？共线垂直的时候是最小的，所以说转化成了 a h 的 长度，所以也就说 a h 的 长度是这一块的最小。那再乘个二就行了吧，两倍的 a h 没问题吧？就是你的四倍根三加四，对吧？那 a h 是 四倍根三加四了，那这又是一个 a p h 这个等腰值，那 a p 就是 几， a p 是 不就能算出来？那所以我把 a p 算出来是二倍根二加 二倍根六，那所以算 a p 的 话，好处是你想想 a p 有 了没有问题吧？所以你后面去怎么做就行了。现在 如果你背的话特别简单，这上面有个三十度，背结论的话，很简单，不背背出来结论，你就他去套也不难。现在我把它拿出来，有一个屁，有一个 a， 有 一个 b， 看这做了一个 这的话，这是十五度，这是十五度。那现在咱们知道的话， ap 长度是不是二倍根二加二倍根六，这不是十五度三边比吗？一比二加根三比根六加根二，那算上这是二，这是二，对吧？这是四加二倍根三。 如果你背下来的话，秒了就，但是背不下来的话，这个题也好推，因为有三十度，那你就直接过一座垂不就行了吗？ 过一座垂，比如 m 二倍根二加二倍根六，这他他就有了吧？这是四十五度，这是不是一个三十五度没有问题吧？那所以这是不是非常好求了？ 可以吧，那把它求完之后，然后再去算就可以了。那你看看这个题怎么去做，简单自己求求吧。那它除一个几就行了，就是你的 a m， 它相当于除一个根号二吧。来除一个啊，不是除一个，这是一个三十度，对吧？我标错了是吧？抱歉， 我标错数了，是吧？应该是，刚才咱们说的是啥呀？你要做的是谁和谁？是 m， 对 吧？ m 这个应该是 a h， 我 画的是个哪个图啊？画的是图，不太对，咱们稍微改一点点啊， 也就是说我现在知道 a p 了，对吧？那现在是不是我这个 a h 也知道了，并且上面这个角是多少度？是四十五度，这个角四十五度，所以这个角底下是三十度啊， 没问题吧？那所以三十度的话，那现在咱们是不是已经知道了 a h 的 长度，知道 p h 的 长度，知道 a p 的 长度了，对了吗？那所以现在这个 p a j 这样一个十五度的三角形，对吧？那咱们的话怎么处理它？是不是非常好处理？ 所以，而且你这个几啊？这个是横坐标，是一的这个横坐标，对吗？所以这个整体长度的话，怎么去求？ 大家求一求啊，也就是说这是二倍根二加二倍根六，这有一个十五度，对吧？那十五度的话，那咱们怎么去求？那上面是不是分一个等 十五，那这分一个三十度取就可以了吧？没问题了吧？所以，那你自己看一看，那比例的话，就是一比根三，那比二，那这不也是二，二加根三，那斜边算是根六加根二，那是二倍的，所以这是二，这是四二倍根三，行了吗？ ok， 这是二的话，那这不就是负一，那这不就是几了，这不就是三到零了吗？所以负一到零，三到零，对吗？ p 的 坐标又是一到四加二倍根三， 可以吧？那所以，那这有了之后，屁的动作边是几啊？负 a 加 c 吧，所以负 a 加 c 是 四加二倍根三，他又给我负一到零，那带进去，所以就能把 a 解出来， 这样一个简单小题， m 怎么去解呢？那这个长度已经是二了，这有三十度，对吧？那所以二除以根三是三分之二倍根三，所以是一到三倍倍根三可以了吗？所以这样一个解三角形的题，你要知道这是考的不不规，后面去解就可以了，行了吗？记住它啊。

南钢圈一模刚刚结束，今天林老师给大家分享一下二十六题的解法，我们一起来看一下这道题啊。第一问，我们会发现他给了两个角相等，所以这个时候呢，同学们只需要连接半径倒角即可推导出来角 a、 c、 b 等于九十度减二法，那这个时候我们通过倒角直接可以证明角 a、 d、 c 是 一个九十度的角，所以第一问结束，证明 a、 d 和 b、 c 是 垂直的关系，二问当中呢，给了我们两个角的关系是相等的，这个角 a、 b、 c 和这个角 a、 d、 o， 所以这个时候我们又结合疑问得到的角 a、 d、 c 一个九十度的一个角，所以我们直接去延长 d、 o 交 a、 b 于点 k， 我 们就可以证明出来角 b、 k、 d 是 一个九十度角。根据垂径定律啊，垂直弦，平分弦，所以这个时候我们可以得到 d、 k 和 ak 是 相等的，那么我们再结合相似，这里面隐藏了一个射影形，也就是 a、 d、 k 和这个 a、 b、 d 这两个三角形是相似的，所以我们就可以得到 a、 d 方等于 a、 k 乘以 ab 的 值，所以进而推导出来 a、 d 等于根号二倍的 a， 所以 这个时候再根据线段比例关系一比一根号二倍的 a， 所以 这个时候再根据线段比例关系一比根号二，我们就可以得到 a、 d、 k 是 一个等腰直角三角形， 所以 r 法就是一个四十五度的一个角，所以这个一二问是非常简单的，我们一起来看一下三问啊。那么结合着我们知道 a、 d 和 b、 d 相等，这个时候呢， a、 c 所对的这个角是一个四十五度的一个角， 所以这个时候我们再结合题干给一个线段关系，就是 a， c 等于根号二倍的 a、 d。 首先第一个问题啊，我们已经知道了 a、 d 和 b、 d 相等等腰值了，所以我们还能得到的是什么呢？就是角 o， d， a 这个角是一个四十五度的角，那么结合它夹着四十五度的角，又给了 o、 d 和 a、 c 的 线段关系， 所以我们这个时候可以设 o， d 等于根号二倍的 a， 那 么就可以得到 ok， d， k 都用 a 来表示，那进而根据线段给的比例关系，所以我们就得到 a， c 是 等于二倍根号五 a 的， 那么我们又发现 a、 c 的 弦哎，用未知数表示了，并且这个弧所对的角是四十五度的角，就可以通过弦之弦所对的角之，我们就可以得到半径的表示方法，所以我们只需要连接 o c 这个三角形是一个等腰直， 那么得到 a， o 是 根号十 a， a， o 是 根号十 a， 所以 这个时候同学们描得弹四十五度减 alpha 等于的是三分之一，所以我们得到弹进的 alpha 等于二分之一，那么再结合题干给的三角形的面积 是 a， b， f 的 面积等于十，所以我只要表示出来 a， f， b， d 这个三角形我们就解决了， 所以再根据我们的三角函数值，我们是可以表示出来 c， d 是 二 a， e， f 是 a， b， d 是 四 a， 所以 表示出来 a， f 乘以 b， d 乘二分之一，就是三角形 a， b， f 的 一个面积，所以我们表示五 a 乘以四 a 乘以二分之一，等于的是十 a， 而十 a 得几啊？十 a 得十，所以得到 a 的 值得一，那么得到 b， c 等于 六， a 等于六，那么二十六题就结束了，所以二十六题啊，首先他是一个非常简单的问题，那对标中考来讲呢？他的难度一定是小于中考的，而这道题当中只是结合了两个点， 第一个点是什么呢？就是我们所说的弦之弦存的角之半径可求，所以这个时候我们可以表示出来半径，又根据三角函数值，我们就可以表示出来面积。所以是一个非常简单的问题啊，同学们，你们学会了吗？

昆明中考和昆明一模谁更难呢？我们拿真实的数据来进行一下对比，从我们的核心难度体型对比来说， 首先一模呢，是整体难度，零点六五，中考的整体难度是零点六，所以按照数字越大，那么难度越高来说，其实一模的难度是稍微比中考要更难一点点的。一模的中等题占到了百分之二十六，中考的中等题呢，只占了百分之二十二左右， 而且中考的最后题原综合才是较为难度的题。而一模当中呢，中等题的这个难度以及灵活性还有综合度都会比中考要更高点，所以吃透一模，中考就会更为轻松。 那么根据题型题量来说，两者是完全一致的，都是十五题选择四题，这个填空八道，这个解答总分一百分，重合度呢，是完全一致的。那么考察的侧重点呢？一抹呢，是对中档题的挖掘更为深，比如说二层出的应用，举行的性质，考法更为综合。中考呢，是更侧重于这个基础的稳分， 那么基础题以及简单题占分比更高，难题呢，仅为压轴题，所以一抹基础打到中考呢，基本上可以轻松拿分。 考点呢，也是高度重合的，两者的二十七个核心考点我已经完全列出，那么它的考点完全一致。训练呢，也刚好可以根据这些核心考点进行重点的抓。 比如说实数的运算、科学技术法、三式图全等，三角形统计概率、分式方程应用都是高频送分的考点，必须做到熟练，零失误。 那么中等的这个拉分题呢，包括了二次函数，矩形性质，且直角三角形一抹的考法更为灵活，那么中考呢，其实这类题的话是比较有格式化的，可以直接了解。下种题来说，一抹中考都是原综合，但是一抹呢，偏重于这个逻辑推理以及综合转化， 中考呢，虽为难题，但是也只有最后一道是有难度的。那么我们在吃透哭民式一抹基础之上呢，还必须把四区一抹也拿出来具体的来分析，这才是备考的关键之一。那么还有就是 主攻一抹的这个基础，中等题，要把所有比较简单的题全拿分啊，中等题也要吃透其中的这个答题思路。那么针对训练这个中考压轴来说呢， 在一模的最后一问，我们还必须加上我刚刚说的四驱之后呢，还有就是各地都是以及啊比较好的学校的一些啊，这个原综合或者是几何压轴，或者是说函数压轴来提升我们的推理和转换能力，包括还要狠抓这个答题规范，包括分式方程的检验啊，几何证明 规范，还有就是时数运算步骤，这些都是不能丢分的，要养成良好的一个习惯。那么我已经把二零二五年昆明市一抹全套真题详细解析，包括今天所讲的云南省中考试卷的真题，还有考点分析，还有昆明市一抹的考点分析，还有试卷解析，都已经打包整理好了， 想要的家长和同学直接在评论区打云南春就能一键领取，那么照着这份资料吃透一抹的难点，中考也就可以稳稳拿分。

继续的一模，注意是一模是吧？那杰克考上回是杰克考，这回一模他是挺常规的，其实题都不算是太难，很核心的一套试卷，整体来说难度中等吧， 题目咱们类型基本都做过。那最后一题这周才给你们讲了胡不归的问题是吧？这周而且是一九年胡不归的改编题，比一九年更简单一点，没有那么难算，所以其实还好，对吧？大家只要把你会做的做对了，计算准一点，基本上难度就不算是太大。那我给大家来说一说这类题。那首先这个题 你不像我间歇，间歇好算而已啊。第一个的话，看又是这种动点面积的问题对不对？两个动点分清楚。 m 从 b 出发，那速度是一，那时间是 t 的 话，那就是 t， 这是二十减 t， 斜边是四十，四十的话呢？ n 从 a 出发呢，是二 t， 那 不四十减二 t 吗？没问题吧？正好他们 二十秒就停，所以呢，题目说的时候五秒时候大概是这个位置是吧？那第一个三分之二十秒的时候呢？算一算 am 是 几？那二十减三分之二是三分之四十 a， n 是 几，也是三分之四十，这没有错。 那第二个 t 等于五的时候 m n， 那 t 等于五的时候， m n 是 不是最小的？最小的话，咱们是不是算 m n 方间隙会稍微简单一点？那你做水平做数值也行，间隙是不是更简单？坐标零度 t， 那 它坐标怎么标呢？按着坐标那做垂直不就行了吗？这是二 t， 这是 t， 这是根号三 t， 所以 横坐标是根号三 t， 纵坐标是二十减 t， 对 吧？所以 m n m 的 平方我算的是可以吗？平方的话也就是二次函数算的不是你的 最小的时候是五的时候，加进去是几啊？ t 不 可不是五， t 是 七分之四十，对吧？五点多，然后第三个 两个不同的值， a m 的 面积是几？那零到二十的时候呢？算不算面积？那底是二十减 t， 那 高不就是根号三 t 吗？二十减 t 是 根号三 t 再除二，所以算出来的话，让他等于四十倍根三这个式子吧，算出来两个都在范围内，所以咱们是要的那所以这个题选的是 c。 然后第十七题，这道题其实 不是太难，你就做水平数值，行，第一个二百根是不多说了，六和四，六，那什么六和二，其实既然他这个第二个没有给你说 b e 和 b f， 他 说不会做了，你就按二去算，因为他无论是几，这个题答案都是对的， 所以你就按二去算，就完全能做出二分之五来，对的吧？就按二去算，不按二他怎么算呢？你看看咱们其实也不难，那比如看水平长的这俩相等是吧？ 终点吗？你做水平做数值吗？你画这个阴影的话，为了让你好看出水平数值来，对吧？那水平数值你发现这俩像哪？二 x 吧？那所以整体是三加二 x， 那 除以二不就一点五加 x 吗？那减去一个 s， 这个长度不就一点五了吗？ 所以水平一点五，那数值同理，整体是四加二 y， 那 一半不就是二加 y， 减去底下一个 y， 那 不就是二了吗？一点五二，二点五，那是不就出来了，行了吗？ 那第十八题，那这道题其实考察了一个啥东西？那题目说的，首先第一问不多说行吗？同弧所对的圆周角有选择关系是吧？ b a c 问的是 b a c， 那 现在 b a d 那 一定是它二倍吧？平分线吗？因为那第二个的话，那 d e 等于 d b， 那 你仔细想想， e 为啥这么去找 d e 和 d b 相等呢？这又是直角，那画个四十五度是不就行了？那四十五度怎么去画？现在我知道 ab 是 个直径，直径，直径所对的圆周角是一百 二十度，对了吗？所以那你去找的话，圆心角是一百八，那圆周角就是什么呀？九十度对了吗？无所谓，也就是九十度。那我想说四十五度找平分就行了。那现在咱们来看，现在是不是已经知道了弧 b d 等于弧 c d？ 为啥？因为你这是角平分线，这俩弧相等吧， 所以我只要把弧 a c 平分，那正好平分的这个点这一段，那所对的圆周角不就是四十五度了吗？所以对的这个角不是分出四十五度来了吗？所以也就是说咱们只要把弧 a c 平分出来是不就可以了？那怎么平分呢？ 过 ac， 那 记住直接找 ac 的 终点，过圆心吧，圆心好找吧？那就是什么？圆心？是不是就是 ab 的 终点？所以 ab 原先先找到对吧？原先找到之后，我只要找到 abac 的 终点，那连上之后是不就能把 ac 平分了？找 cac 的 终点，怎么找 ac 的 终点呢？ 所以利用什么呀？你这个终点不好找，我找一个好找的三角形，那两边都是终点，那中间是一定是终点呢？那 o 好 找，所以我把 dc 连上，延长到一个好找的，那这个是数值线，那 a 这是数值线，所以它的数值线这个是终点吧。所以两个终点一连会和圆弧是交于一个点， 没错吧？圆弧交于这个点，所以你 o 你 想想，不是圆弧交于点，你是应该把 o 和这样一个，它连完之后，会圆弧交于点吧？ o 和那个中点相对于中位线交于圆弧这个点之后，那相当于是不是把弧 a c 给平分了？那把弧 a c 平分之后，连接一下 b 可以吧？那连接 b 的 话，相当于是不是上面这俩平分，底下这俩平分，所以中间这一段对的，就是圆周角一半，四十五度就出来了吧？那所以这个点是咱们的 e， 你 再把 c e 连上，这样就 p 了，就这样一个事，行吧，找个平分，找个终点啊。 然后第二十四题，二十四题题难度不是太大，一个简单的平移，第一个不多说，那第二个分清楚什么平移的，那最开始的话，不动十三角，动一点点就是五边形，对吧？五边形走到这之后变成四边形了， 所以就说零到一十五，一到三十四，这个好说吧。然后咱们来看再算折算完之后，然后怎么去做？相当于你去写面积的话，那这个好说，多简单呢？这是 t， 这是二分之 t， 这是二分之根三 t， 对 了吗？所以整体大的面积是八分二分之三没根三减八分之根三提方，对了吗？范围是 t 大 于等于一小于三，所以正好等于一的时候，正好走到一的时候，可以吗？那第二个的话， 面积那零到四分之十三，咱们先增后减的吧。那先增后减的话，是不是五边形的时候是最大的？因为四边形越往后越来越小，三角形越来越大，对吧？所以五边形是不是先增后减，后面越来越小了吧？就所以那咱们去写的话，相当于五边形怎么去写？相当于什么？这一部分你自己想一想是不是相当于就多减一块谁就行了。 五边形是不是比四边形的右边？四边形基本上是再减左上角这一块就可以了，所以这是四边形 的面积，那这是几？这是 t， 对 吗？这就是一个一减 t， 那 所以再减记一个底是一减 t 高上的根号三倍除以二就行了吧。那所以把它化简出来是这样一个式子，那轴是几呢？负二 a 分 之 b， 所以 轴是五分之四，再轴出去最值，它带进去是不是五分之七倍根三， 所以最大值五分之七倍根三，发现这在范围内，所以这好数，那最小值的话，只需要比较零和四分之三就行了吧？零带进去的时候是根号三， 没错吧？零带进去是根号三，那把四分之三带进去，四分之三带进去，带进哪里面去啊？是不是一个最后的三角形？你自己画图就行了吧。三角形的话，四分之三这样一个简单的阴影部分，那前面整体是四，这样的四分之三，那不是还剩一个四分之三吗？ 底是四分之三，高是四分之三，每根三除以二，那减去右下角这个小块斜边是四分之三，每根三除以二，那减去右下角这个八分之三和八分之三，每根三吧， 再除以二，那所以整体就是三十二分之九倍根三，减去一百二十八分之九倍根三，对了吧？就一百八二十八分之二十七倍根三了吧，所以数可能看着比较大，但是很常规，我们做过无数遍了吧。那二十五题考前才给大家讲了，那这道题一个简单的互不归吧，那这个一得二， 然后第二个的话，其实就是一个简单的线段长度计算，你用 b 表示也行， c 表示也行，一个三垂直吧，那三垂直的话，那 a c 等于 a d， 那 你自己想一想， a c 这个三角形是不一定和它往下垂，这个三角形是全等的，所以咱们是不是只要把 d 坐标算出来是不就可以了？首先整理式子， a 告诉你了，那带入一，带入负一到零的 b 和 c 的 关系式，那就有了第一个对了吗？第二个条件你要根据三垂直，我就不给大家写了，横着这是几，这是一，竖着这是 记，这是负 c 长度，所以这个长度是负 c 就 负一加负 c， 那 负一加负 c 就 负一减 c 嘛，综合标是一，所以代入解一式就行了吧，得到一个 bc 的 关系吧。那上面是不是把 b 换掉也行，把 c 换掉也行，我换的是 b， 换 c 也行，把 c 解出来对了吗？那最后你的 d 坐标不就有了吗？ 这是一个三垂直吧，那下面这个题咱们讲了吧，考前才给你那节课才给大家讲的吧，这个你说做错就说不过去了。第一步带领坐标 也是把 m 坐标写出来，这占一分占出来，对吧？然后这有的之后，那这个东西咱们说有系数的只有一个动点，一动两定，求对值。那先把根号提出来，问一个问题吧，那括号里修成一个 m n 加二分之根二倍的 a n 二分之根二倍 a n 不 动，你自己看 m n 不 动，那二分之根二倍的 a， 它是不是找一个四十五度？那这个直线姐姐是负一，那 y 对 s 加一条直线是不就有了？ 那所以它就变成了一个最小值，就是 m h 再乘根号啊， m h 根号不就是你的 q m 吗？对吧？改邪归正， 那 q m 是 四分之二十一，那现在 m 坐标咱们已经有了，那 q 和它的横坐标是不一样的啊。横坐标待会到这时的时候得到纵坐标，所以纵坐标有了，用 q 的 纵坐标减去你的 m 的 纵坐标铅垂吧。那所以四分之二十一算出 b， 等点 b 结束 是不是考前裁讲了，这难度并不是太大，很常规的一道卷儿，大家一定得好好做一做，还是挺基础的，是吧？希望大家 feel 高一点儿。

好，咱们今天来看一下二六年，也就是刚考过的荷西杰克考的这个十七题。先来读一下题干如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中好 a、 b、 c、 d 角 a 等于角， b 等于九十度， 那这里就是九十度，这里也是九十度。点 e 在 a、 b 边上好点 e 在 这。然后告诉我们， a、 e 等于三， e， b 等于五， b， c 等于四。 好 a， e 等于三，这里是三。然后 e， b 是 五， bc 是 四，连接 c、 e 且角 d， c、 e 等于角 b、 c、 e， 说明这个角 d、 c、 e， 它就等于 b、 c、 e， 那 这个角就等于这个角， 点 f 在 b、 c 的 延长线上，点 f 在 这连接 df， 若 df 等于 dc 好， d， f 等于 dc， 这两条边相等。那么问题是线段 c、 f 的 长是多少？这一段的长度问我们， 那我们现在先来看一下这个题啊，它要考察什么？告诉我们 d、 f 等于 dc， 是 不是说明 dc、 f 它就是一个等腰三角形？那说到等腰三角形，那我们肯定就要想到三线合一了，那这个题的辅助线肯定要跟这个有关系了。 首先第一条辅助线过点 d 去做 c、 f 的 这个垂线，这个图画的有点歪了啊，大家看就知道，这个 dc 等于 d、 f， 它是一个等腰三角形就可以了。 好，辅助线过点 d 做 c、 f 的 这个垂线， 那做出来垂线以后，我们就会发现，假设这个标一个点 m 吧， 那 dm 是 不是就是三角形？ dcf 也是它的这个高线，也是角平分线，也是斜边 cf 上的中线。 那好，我们要求 cf， 如果我们知道 cf 的 长了，是不是 cf， 它就是二倍的 cmcm， 我 们看它是不是在一个这个直角三角形 dcm 里边儿， 所以说如果我们知道 c m， 然后如果想要求 c m 的 长，如果知道了 dc 的 长，知道了 dm 的 长， c m 的 长，是不是就可以求了？那我们先来看一下 dm 的 长，它的长是不是就是这边 ab 的 长？你看这里，因为是直角嘛，它其实就是一个矩形，对吧？ 所以说 dm 它的长就是八，那重点是要求这个 d c 的 长， d c 的 长。我在呃看这个题的时候，首先我想到的是怎么去求这个 d c 的 长呢？ 呃，因为，呃它这它左边给了非常多的这个长度啊，还有直角什么的，那肯定要想到去用勾股定律了，而且还有一个条件是什么？它告诉我们这个两个角是相等的，这两个角我们看 假设是角一等于角二吧。那我想到第一条，第一种思路就是什么呢？过点 e 去做 dc 的 垂线，那这样做的目的是什么？我们就找到了两个等，呃，全等三角形，你看这样做了完以后，角一等于角二，直角直角公共边，那是不是说明三角形 e b c 就 和三角形 e， 假设这一点是 q 啊， e q c 它两个是全等的，那全等以后，这条这个 c q 是 不是就是四？然后 ec 是 不是就是五？ 那我们要求 dc 的 长度还还是不知道，还是不能直接知道，那再要再进行一次这个构造，怎么去构造呢？连 e d， 连完 e d 以后我们就能找到等量关系了，用 e d， 为什么呢？我们来看啊， e d 它是不是可以放到这个三角形 a e d 里面去看？也可以，怎么样也可以放到这个三角形 e d， q 里面是不是去看？那由此我就通过这个 e、 d 做一个等量代换，看能不能来求出这一条。这个这这个 c、 m 的 长度假设 c、 m， 我 就设成是 a 吧 看，那 e、 d， 如果说放到这个三角形 a， e、 d 里边，是不是 e 的 平方加 a， d 的 平方，也就是三的平方， 再加上 a、 d， 我 们看是不是等于下边的 b， m， b， m 就是 四加 a 加上四加 a 的 平方，然后放到这个 e、 q、 d 里边，它等于什么呢？它是不是就等于 e、 q 的 平方加 d， q 的 平方？ 重点我们要求出来 d， q 的 平方， d， q 的 平方等于什么呢？ d， q， 我 们来看它是不是它的长度就等于 dc 减去 c、 q， dc 怎么看呢？ dc， 我 们可以放到这个 dcm 里去看， dcm 里去看 啊，它是不是就等于八的平方，加上 a 方，就是 d、 c 的 长度，那 d、 c 的 长度再减去 c、 q 的 长度，不就是 d、 q 的 长度吗？对不对？那先来看啊， d、 c， 它的长度就是八的平方，加上 a 方， 这是 d、 c 的 平方，然后开根号就是 d， c 的 长度，再减去 c、 q 的 长度， c、 q 的 长度是多少？ c、 q 的 长度刚说是不是四， 嗯，减去四，然后它的平方就是 d、 q 的 平方，然后 d、 q 的 平方知道了，我们再去表示 d， 这个 e、 d 的 平方， e、 d 的 平方，它就等于 e、 q 的 平方，也就是五的平方，再加上 d、 q 的 平方，加上后面这些根号下八的平方，加上 a 方减四括号整体的平方。那我们看一下 这个作为一式，这个作为二式，是不是它就可以建立一个等量关系，建立一个方程， 那我们发现这个六有根号，这个有平方，所以这个题是不好算，但是最后它算的过程中可以把这个 a 方净消掉啊，也能算出来，我，我算完了，然后也能算出来，它的结果是 a 就 等于 五分之八，但是在考场上肯定是不好算的，一个是着急，还有一个就是麻烦，过程太繁琐，很容易出错，所以我就在想有没有另外一种思路呢？我们思考一下啊，这是第一种方案，这个方案不是那么的完美啊。然后再来看第二种方案是什么呢？ 我先把这个这个辅助线一定是不变的，因为它会用到这个等腰三角形的一个性质啊，那就把后边的这个擦掉， 好擦完了吧，那我们现在来看一下。呃， 前面是不动的啊，前面这个依然是过点 d 去做 c f 上的高线，那 c f 它就等于二倍 c m， 我 们依然的目的依然是要求 c m， 那 求 c m， 有 没有别的这个方法呢？ 你来看一下，这个边儿是三，这个边儿是五，这个边儿是四，有没有想可能会想到一个什么构造一个相似三角形，怎么去构造呢？过点 c 做 c e 的 延长线， 然后过点 d 做 d a 的 延长线。哦，是不是有一个焦点，焦点假设就是 q 吧， 好，焦点是 q， 我 们发现做完以后，上面的这个三角形 a、 e q， 它和下面的这个三角形 c、 b、 e 就是 什么？就是相似的。为什么我们看 a d 是 不是肯定和下面这个 b f 平行的，那说明 q d 和下面 b、 f 是 平行的，平行以后这个角是不是就等于这个角 就等于这个角，这个角我就标成一个角三吧，这个 d、 q、 c 就 把它标成角三啊。角三是不就等于角一？又因为题里边给了一个什么条件，角一是不等于角二，那说明角二和角三是不是相等的？ 那当然这个是我们后边儿来说的啊。大家先知道这个角二等于角三，后边儿才会用到这个，那这一步是干嘛呢？这一步我们就要用到这个相似呀，这两个三角形就是相似，相似以后是不是就可以出现一个相似比？好，我写到这里啊，三角形 q a e 和三角形 c b e 相似，它俩相似以后， a q 比上 b c， 它就等于 a e 比上 b e， 那 我看我能不能把 a q 的 长表示出来。 a q 它的长是不是就是这个 a e 乘 bc 除以 b e， a e 的 长是三。 呃，这个 bc 的 长度是四，三乘四就是十二，然后再除以 b e， b e 是 五嘛？所以 a q 的 长它就是五分之十二， 那求出来 a、 q 的 长是五分之十二，我们怎么去想要去求这个跟这个 c、 m 有 什么关系呢？好，这个时候用到我刚才说的那个第二个条件了，刚才我说是不是这个角三和角二是相等的，那相等以后，这条边 d、 q， 它是不是就等于我下面这条边 d c 啊？好，那现在能不能建立一样一定的等量关系呢？我现在就令 c m 依然是等于 a， 那 上面 a d 是 不是它就等于四加上 a， 那这一段 q、 d 的 长就等于五分之十二，加上四加上 a， 对 吧？整个的长。那 dc 的 长怎么去表示呢？ dc 的 长我们依然放到这个三角形里去看， dc 的 长，它是不是就是 dm 的 长，加上 cm 的 长， 就是八的平方，加上 a 的 平方，它俩相等，我们是不是就得到了一个，又得到了一个等量关系式，那就是什么？我们来写到这边啊，刚才不是说 d q 就 等于 d c， d q 长，我们可以用五分之十二再加上四加上 a 来表示，它就等于什么等于 d c、 d c， 我 们说它就是根号下八的平方，加上 a 方。 好，那左右是不是可以同时平方？同时平方以后我们就得到五分之，这个是五分之十二，再加上四就是五分之二，十五分之三十二 加上 a 的 平方就等于八的平方，加上 a 方，最后这个 a 方会都消掉啊，得出来就可以把 a 求出来， a 的 就等于五分之八，那 a 等于五分之八，我们看这个 c、 f 是 不是等于二倍的 a， 它就是五分之十六。 这个的话相对来说简单一些啊，就是通过构造了一个这个相似三角形啊，然后通过等量关系的这个建立等量关系， 然后得到我们这个 a 的 长度。那我们看这个题，他在我们往年的中考中是出现的比较少的，一般我们中考就是前几年出现的，基本上都是这个终点中位线涉及到这个方面的内容。 嗯，那这个题里边出现了这个等腰三角形，而且它是放到一个这个梯形里去看的，所以说这个还是比较新颖的，大家可以重点看一下啊。