济南中考数学第九题解题方法

好，我们来看一下二零二五年济南中考数学的第九题，不算很难啊，同学们，但是老师给你分析清楚，分析干净了，让你知道你自己一去做，怎么样，能想出来好不好？ 好，我们就提第一题，他说 c a， c b 上截取 c m， c n， 使得 c m 等于 c n， 然后呢？又大于二分之一半径做弧又怎么样？做射线？好了，条件一说了这么一大堆，其实就一件事，哪件事？ 说白了，它就是告诉我们 c、 d 是 什么？角平分线，是不是这个东西啊？它其实说了这么多话，就是这一句， c、 d 是 角平分线。来，我们把角相等标一标。 第二句话又是什么？大于二分之一长半径做弧，又做直线。第二句话也说了这么一大堆，其实就给出了一个条件，一个信息是什么？ e、 f 是 垂直平分线，也叫中垂线， 我们再再给它从图上翻译出来垂直，然后谁和谁相等， o， d 和 c o 相等。好了，说了那么多，它是不是圈一圈二，就告诉我们这两个条件，然后让给我们一些数，让我们去求线段长，对吧？ 来，我们把数标上， a， d 等于四， d， b 等于二，然后呢， bc 告诉我们是三根二。 好了，看到这里，老师马上反应出来一个东西，你们知道是啥吗？它是四，这我马上反应出来， a、 c 我 能求出来， 那为什么 a、 c 可以 求出来？因为这三个边给的太特殊了， c、 d 是 角平分线，两段都知道，这里就涉及到一个最基础的知识，基础模型啊，我写在一边角 角平分线 对应边，怎么样成比例？那这玩意是一个什么东西呢？给大家介绍一下。在三角形 a、 b、 c 中， 如果 a、 d 是 角平分线，那么就会有 a、 b 比 a、 c 就是 两条左右两个边相比，等于它这两个相同的角是对应的线段之比， c d， b、 d 比 c、 d 啊，这就叫角平分线，对应边乘比例的一个， 你不能说叫定力吧，你可以记它为一个模型，有这么一个东西，平时遇到这种题可以直接去用 好了。那这个东西怎么去，怎么证明呢？那有很多方法在这里老师先不给大家介绍了，回头我再给大家录一下，你们去看就可以了。好吧，我们直接用此处再讲就太多了啊，直接用 用的话，那就是四比二等于三，他俩是二比一的关系，那这个上面这个就是多少了，六根二是吧？ 那知道这些之后，让我们去求谁？求 a e？ 来，让我们看看让我们求的这条边 a、 e， 我 告诉你们怎么去思考啊？朋友们，怎么去思考？你做题不要太死板，怎么去思考才是很关键，当然要求 a、 e 怎么去求，怎么去求来。同学们，永远记住一句话，记住一句话，不管什么时候求，线段长也好，求，角度也好，你一定要把它放在什么里去看， 放在三角形里去看，听到没有？这句话一定要记住，放在三角形里去看，为什么？因为你只学过和三角形有关的东西，他单独一根线放在这，就没有办法去求。 那什么时候 a、 e 是 三角形的一条边呀？那目前是不是没有这条三角形，没有这个三角形，如果没有的时候，我们就去怎么办？构造，那怎么构造？同学们，告诉我怎么样连哪根线，它才能变成一个三角形？ 如果你想不到，很很好啊，有同学能想到，应该我们连接 d、 e， 只有这一个地方可以连了，没有其他地方可以连了，是吧？那连他我们还。如果你没想到，还可以从另一个角度去思考为什么想到他。好了，我们角平分线一共给我们两个条件，同学们看一下我们角平分线的条件是不是通过我们球线的长已经用过了，得到了六根二，你还有哪个条件没用？ 中垂线没用，你中垂线想用，除了他俩是相等的之外，你连上之后，这两根线是不是也相等了？那就给我们很大的 这个什么啊，很大的运营空间了啊。那形成三角形之后，你发现这两个边还都不知道怎么去解决呢？ 所以这里有两条路给大家走，两条路怎么分析都可以。来，我给你说我的第一条路，第一条路我就是方程思想，就这么简单，方程思想，为什么？方程思想求谁射谁？我求它，我就射它为 x， 那 下面这一段就是多少 六根二减 x， 它是六根二减 x， 那 这里是不是也是六根二减 x 啊？ 六根二减 x， 那 方程是想肯定是要去列一个方程的，列一个方程一定要有依据，那这个三角形三边都已知了，如果它是一个直角三角形，我们是不是直接用勾股定底就可以形成一个方程解出来了， 但目前他不是勾股定律，他用不了勾股定律。那你还能用啥和三角形有关的不是勾股定律，记住啊，不用勾股定律就用相似，听懂了吗？这就叫分析思路，顺其自然想出来的。那用相似，谁和谁相似 来这个三角形，有了这个三角形，有了和它相似的，好找不？很好找呀，很好找呀，哪一个 它俩相似？这里有个四，这个二大概率会去用的，你一看应该就能看出来。如果你没看出来，怎么去分析呢？ 只要证明它俩平行，就是一个正 a 相似呗，平不平斜啊，平行啊，用什么去正角平分线啊？这两个角相等，然后继而带来的是 又因为中垂线，所以，你看，我给你标一下，由于角平行，所以它俩相等，由于中垂线，所以它俩相等，那由此可以得到这个角等于这个角， 那内测角相等，两边平行，相似出来了，相似出来了，列比例关系就好了呀。四比几啊，比六啊，同学们，不是比二，四比六等于六根二减 x 比上个 三根是这样一个比例，这样一个比例你直接去解就行。解出来 x 等于几啊？二比三的关系，解出来啊，解就解。我就不解了，答案就是 四根二，六根二减四根二是三根六根二减四根二是二根二，约掉三分之二，前面也是三分之二，没问题吧。好了，所以我们的答案就选 d 选项，四根二很好想啊，方程思想，求谁射谁，然后去列就完了。勾股定律，列不了，就用相似去列，就这么简单。好了。第二个思路， 是不是有好多老师说你这样解，或者有很多学生说你这样解很麻烦，我们老师怎么解啊？直接擦笔擦都出来了，都不用去试。那就是这么去写。 就是 d e 比上个三根二等于四，比六等于 a e， 比 a c， a e 比 a c， 这里的 a c 是 六根二， 由这个相似后面这一段接着就看出来是四跟二了，没问题。你这样说对，但是我问你同学们一个问题，我往下挪一挪， 你这个相似，你是怎么想出来的呢？你画上这根线就能想到相似吗？ 如果能想到，恭喜你啊朋友们。如果能直接想到相似，就是如果你能直接看出来有个 a， 这些比例出来没问题，说明你的对这个模型，对这个几何知识的熟悉度更高， 这样做完全可以。所以我给大家提供的是这两个思路啊，如果有同学我没看出来，我就先去列方程，列方程的时候求谁确谁勾股定律不行就用相似还是一样，最后落脚点还是相似， 这就是两个不同的思考方向，大家能理解吧？这两个都可以去用，本质上是一个解法，我只是给他细细的分了两种，就是你思考的一个方向啊。好了，这个题其实很简单，没有那么难。

济南中考数学第九题是一道使规作图的题，很多中等生呢，在这被他扰乱心态啊，容易卡壳啊，通过很长的时间才能做出来。 那我们来看一下他们卡壳或者是丢分的原因是什么。我们以二零二六立下一模第九题为例来进行讲解。 首先呢，这个第一题啊，缺一啊，他做的是 abc 的 角平分线，缺二，他做的是 bc 的 垂直平分线啊， p q， 你 接着呢，告诉他， ab 是 六， ac 是 四， b 的是三。那好，那做这道题我们要明白什么啊？ ok， 第一点，你要明白 角平分线和垂直平分线的一个性质，由这个性质出发，我们才能做一些正向的思考，就能得到一些初步的结论。那你比如说圈二垂直平分线，那垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以这两条红色的边啊，它是一个相等的，都是算。 ok， 这是第一步， 接下来我们思考第二个角平分线，角平分线的性质是什么啊？由这个题呢，他那能去求得到 ab 的 距离，哎，那就是由角平分线上一点，向角的两边做了一个垂线啊，去求这个 e 的 长度。那我们根据角平分线的性质，角角平分线上的点到角两边的距离相等，所以这边也得做一个垂直，把 ac 延长，做一个垂直 f。 好， 这样的话我们就能得到 de 等于 def。 好，我们可以把这个步骤把这个结论写一写啊，写在第二个，就是 b 等于得 f 等于三，这是垂直平行的性质啊。然后所求的得 e 等于得 f 啊，这是角平行的性质，那怎么去求呢？ ok， 那 我们就得有一些逆向的思考，求线段长的一些逆向思考啊，我求线段长，我得把它放在对应的三角形里面，用什么样的方法去求？ ok， 我 所求的得 e， 我们分析啊，得异啊，你可以把它放在哪呢？你可以把它放在这个二 t 三角形 b 得异中去求啊，那你想求这个 b 得异啊，中的得异这条边，那如果我选择勾股定力的话，那我就得先求出 b 这条边，然后用勾股定力去求得异。 所以呢啊，你这里要明白求线段长的常用方法啊，当然，我这里用的是勾股定律，那你所求的得 e 是 b 得方减 b e 方，然后等于三个平方减，那也就是说你得先求出 b e 的 长度啊，所以说，我们就紧接着去想怎么去求 b e 的 长度， 这就是逆向思考啊，所以这个求线段长度的方法，再给大家说一下求线段长度的方法，勾股定力等面积法，这是咱们八年级学的啊，然后九年级学的相似三角函数啊，如果在坐标系里呢，还有个两点间距离公式，但是坐标系里面啊， 好，那所以我紧接着我就想怎么去求 b e 啊？ ok， 那， 呃，第三点，那很多同学啊，怎么去求呢？很多同学做到这一步就完了啊，就卡壳了。 那紧接着是什么呢？是你在研究几何，研究线段，研究几何，就是研究线段和角度吗？在研究这个基础上，你要去研究它的一个全等和相似啊，因为你有这些啊，线段和角度的关系，能找到一些全等和相似， 全等和相似整出来之后呢，你又能干嘛？你又能得到一些线段和角度的关系，其他线段和角度的关系， 所以我们来看一下这一点，我们由垂直平分线，两个红色的线段相等，由角平分线两个蓝色的线段相等，再加上垂线段，所以这两个三角形就是全等，所以这两个线段呢，它都是全等的啊，全等之后啊，我们就能得到两个绿色的线段相等，就这块和这块相等，那这块相等啊，那我们再来结合条件去思考一下， 这一段是六，这一段呢是四，那相当于把六的这一块呢？呃呃，这一段是六，这一段是四，那加起来就是十，相当于是什么呢？相当于把六的这一块呢啊，补到四的线段上，也就是说这一块加这一块 就是十了啊，这两块加起来就是十啊。再说一遍，这一块加这一块是十，那我把这一块呢给他移到这里来，那就变成了 a e 加 a f 是 十，好，他是十啊，那怎么再去求啊？他俩的长度呢啊，现在我们大概就可以看出来了，他俩的长度是相等的， 为啥呀？因为垂直平线，你做完这两个垂直，呃，角平行，你做完这两个垂直之后啊，他这两个三角相等啊， 两个直角相等，公共边相等，所以这两个三角形还是全等的，所以 a e 等于 af， 而 a e 加 af 呢是十，所以 a e 等于 af 等于五啊， 这两个长呢，都是五，所以对应的这个绿色的边呢，就是一啊，所以我们这个得 e 就 求来了三的平方，减一的平方就是二根二有整的。这道题我们就解决了 啊，那希望大家啊，去把这道题掌握好，第一个啊，有基本的角平行的性质，做一些正向的思考，能答一些，能得到哪些错误的结论。 第二个，逆向思考啊，我所求的线段要放在哪个三角形里面啊？利用三角形去求，因为这里面呢，基本上前四个都是利用三角形去求啊，线段长度的啊，所以你选择这个线段之后，你看看它放在哪个三角形合适用这个三角形，通过这几个方法去求啊，我们这里呢，用了勾股定律。好最后一点啊， 很多同学啊，做到这就坎坷了。那最后一点就是什么，你研究完线段和角度之后，你要想着啊，有没有对应的一些全等或者相似啊，有全等或相似了之后，那你再想想，有全等相似能得到哪些新的线段的角度啊，线段的关系和角度的关系。 ok， 以上就是今天的内容啊，预祝大家中考顺利啊，把这道题，把这道搞心态的题给它攻克掉。

为什么你的中考压轴题总丢分？胡不规最值问题碾压别人，悄悄学好，我们来看题。 p 在 b d 上进行运动，在运动过程中求二倍的 p a 加上 p b 的 最小值， ok， 这个题动点是不是在线上运动，而且出现了带系数的线段， 大概率它就是一个胡不规问题了。但是现在系数大小不符合胡不规的特征啊，怎么办呢？那我们就先提出系数，让它符合特征吧。 把二提取出来，变成二倍的 p a， 加上二分之一的 p b 的 最小值。接下来在图中画出二分之一 p b 不 就行了？那二分之一呢？我们把它当做正弦值，也就是四三十度。 找到 p b 线段的固定端，也就是 b 端去构造一个三十度角。我们能看到题目中给出的是菱形，菱形的对角线会平分一组对角，那图中就出现了两个三十度角构造角的方向是一大丢分点，应该向上构造还是向下构造呢？仔细看， b、 d 的 上面和下面各有一个三十度，那么用哪个三十度呢？我们一定要选择和另一条线段，也就是 a p e 侧的一侧去构造那个三十度角，这里有现成的线段，也就是 b c 了。 然后用动点 p 向 b c 去做一条垂线，这时候转化结果就出来了，那什么时候最短呢？ 哎，就是当 a、 p、 h 三点共线的时候，也就是由 a 直接向下做个垂线，比方垂足是 q 点，它就转化成了二倍的 a q。 那 二倍的 a q 有 多大呢？我们来看图啊。 这是一个三十、六十、九十的三角形，那么 b q 的 长度就是 ab 的 二分之一，得出了二分之三， 因为三十度所对的直角边是斜边的一半儿嘛。那么 a q 就是 二分之三乘以根号三。所以说这个题啊，就是二乘以二分之三倍的根号三，最终结果就是三倍的根号三了。关注我，全新老师带你轻松拿捏亚洲题！

大家好，我是虫虫老师，今天给大家带来高新区的视频讲解分析，那么整套卷子呢，难度是适中的，只不过后边大题有好多都是有多种答案的，需要大家再多分析分析。 我们再来看一下高新区的二模考试试卷分析，那么还是从第九题开始看哈，第九题呢，正常也是一个尺规作图题， 告诉我们这个矩形的长和宽分别是八和六，那么根据他的作图痕迹，这个弧再打一个叉，所以这条线是一个角平分线， 那么这个地方呢，又做了一条处一线，所以你看，今天二模频繁考到了这一个哈，就是这条线， bm 既是角平分线，又是一个高线，所以我们能够得到 cbm， 这个三角形呢，是个等腰三角形，所以 bm 是 八，那这样的 m， 这个长度就是二， 那么因为六八十吗？ bc 是 十哈，所以的 m 是 二，那上下这个三角形的 m n 和 bcm 是 不是一个八字相似啊？ 所以你的下边是个等腰，那上面也是一个等腰，所以能够得到得 n 就是 二，这样根据得 c 又是六，所以我就能够得到 n， c 的 长度是二倍的根十勾股令理啊。 但是这个题呢，让我们求的是 m n 的 长度，所以我们可以设 m n v x， 那 c m 就是 二根十减 x， 根据刚才的相似相似比，是啊，一比四，这样就求出来了， x 就 完事了。 这个题去年已经出现过了哈，不过考的五花八门，有的时候让我们求的是 n c 的 值，这是第九题，那么第十题呢，考了一个二次函数的基本图像认识，这个还是相对来说比较简单的， 那么我们根据表格来分析，一的时候是负四，三的时候也是负四，所以这是一对对称点， 那么当 x 等于零的时候， m 的 值是在零到二之间，也就说交 y 轴的正半轴，这样你去画图像的时候，发现只能画开口向上的， 所以我们的开口方向是大于零，那么根据对称轴这样，因为一动负四和三动负四是一对对称点，我们能够求出来，对称轴是 x 等于负，一加三除以二，所以是直线， x 等于二， b 是 大， b 是 负的，左同右异， c 的 话是正的，所以圈一就完事了。圈二的话比大小这个地方比大小，我们再来复习一下 两个点去比较大小的时候， y 值，那么我们只需要判断谁离着对称轴近，那么离对称轴越近的，他就越接近最值，所以这个题就是离对称轴越近，那么他的 y 值就越小。 负二到二是四个单位，那么七到二是五个单位，所以呢 y 一 的值要比 y 二小，所以圈二也是对的。那么圈三的话， 圈三首先它这个地方加了一个绝对值，所以 y 不是 等于 a， x 方加 b， x 加 c 吗？那么这个这个 方程等号，这个带绝对值的代表的就是 y 的 绝对值，那么这个题的话要和图像去结合，那这一块的话，我们给他移到等号的右边，就变成了 s 减一，意思就是问你 y 的 绝对值等于 s 减一有几个根， 那么我们再来看 s， 因为你的对称轴是二，所以零和四就是一对对称点，也就说我们 s 的 值就是 m， 那 么 m 是 不是在零到二之间呀？ 所以也就是说我们 y 的 绝对值等于 m 减一，那么要想着有两个不相等的实数根呢？就说明这个图像与这个 m 减一有呃，看它有几个焦点就可以了。 那么我们可以先来感受一下这个呃， y 的 绝对值，就是把在上面的是不是画的，把在上面的不变，那么把在下边的是不是画到图像的上面就可以了？那么我们再来描一下，那么这就是蓝色的部分，就是我们的 y 的 绝对值， 那么 m 减一，因为你的 m 是 在零到二之间，那你比如说我的 m 是 一点多，那我一点多减一是零点多，那么这条线就是零点多，此时是不是有呃， 几个？一个，两个，三个，四个，那是不是此时有四个根呀？对吧？ 那么如果他要是零点多，零点多减一，是不是就变成了呃，负的多少了？负的多少，那在画的时候，这条线是不是就是，那此时是不是就没有交点啊？所以呢，这个图，这个圈二，我们就发现它是一个错误的哈。 画图去感受。这种题呢，都是问的是函数两个函数之间的交点个数问题，那么 m 减一，这也叫函数，这叫长函数哈。 那么第四个呢？问了一个 s 加 n 的 取值范围，那么我们 s 刚才已经知道了，是和 m 是 一样的， m 它是有取值范围的，是在零到二之间，所以这个题肯定要把 s 换成 m， 哈。第一个，那么第二个的话，我们再来看 n， n 的 话是不是我们的顶点 的纵坐标啊？对吧？所以第一个我们先把二带进去， n 能够得到是四 a 加二， b 加 c， 那 么 嗯，我们要研究 s 加 n 的 话，肯定不能带着这么多未知数，所以看这几个点哈，一的时候知道，三的时候知道，所以把 x 等于一带进去呢？能得到 a 加 b 加 c 等于负四，并且对称轴是知道的，负的二 a 分 之， b 等于二，所以 b 能够得到是负四 a， 这样我们就能够得到 c 是 多少了。根据这个 a 加 b 加 c 等于负四，能够得到 c 是 三 a 减四， 那 n 的 这个值是不是就把他们都换成 a 啊？就变成了把他们都带进去，变成了负 a 减四哈， s 呢？刚才说了是等于 m 的， 也就说等于零度 c， 那 么 c 的 话就是三 a 减四，这样他俩一加，那么这个式子就变成了二 a 减八， 那么你的 m 不是 在零到二之间吗？那三 a 减四是不是在零到二之间啊？所以 a 的 取值范围就知道了，这样 s 加 n 不是 二 a 减八吗？那是不是整体的取值范围就知道了？发 现 a 圈四是对的哈，所以这个题呢，它的未知数有很多， abc 呀， m， n 呀，你要做到的就是给他精简一下，把所有能替换的都给他替换掉，这样只留着 a 就 可以了。 那么圈五呢？他说 m 等于一，当 m 等于一的时候，你会发现零度一，一度负四和三度负四这个表达式他就完全的能够知道了。那么 x 处在 t 到 t 加二之间，问我们 y 的 最小值是一， 也就说他给了你个 y 的 最小值，那你只需要去看一下顶点的纵坐标此时是多少，那么如果要是顶点的纵坐标 啊，肯定比这这个呃负四要小了，所以那 y 的 最小值是一的话，那要不然就是在对称轴的右边，要不然就是在对称轴的左边，然后 看看取在对右边的时候是谁，左边的时候是谁就可以了，要不然把 t 带进去，要不然把 t 加二带进去哈，这样算出来呢，是一个负二和四，不是二哈，所以圈五就错了。这是我们整个第十题的分析，那么相对来说还是比较简单的哈， 那再来看一下第十四题和十五题，那么十四题呢，考了一个 十四，十四哈，考了一个分式方程的有解问题哈，这个题是有坑的， 他说是个非负数，那么 x 的 方程是个非负数，说明 x 是 大于等于零的，所以 x 是 不能等于二的，那么我们就正常的区分母解方程， 解出来呢， x 是 等于三减 k， 所以 三减 k 是 大于等于零，且三减 k 是 不等于二的，这样解出来 k 的 取值范围就完事了。这个题一般他不大出现在这个位置哈，所以再注意一下。那么第十五题呢，考了一个重点面积最值问题， 这个大的三角形 c a， b 呢，是个等腰直角，三角形角 c 是 个直角，这是八，这是八，所以 ab 的 长度是知道的，是八根二，那么的呢，又是一个中点， m 呢，是个动点，注意 m 是 个动点哈，那么做了一个 m 的 和 n 的 垂直，所以 n 其实也是在动的，但是啊哈，做到这里的时候，你就要下意识的连什么呢？因为这里是不是有垂直啊，根据我们等二三角形的三线合一的，又是中点，所以我肯定要先连接 c 的， 连接完 c 的 之后，那么 c 的 a 是 不就是一个直角？现在 n 的 m 也是一个直角，所以我们能够得到这个小角 m 的 a 和 n 的 c 这个小角是相等的哈，这是第一个。其实 c n 的 这个三角形和 am 的 就是全等的， 也就说我的 am 的 长度是始终等于 c n 的， 那么往下他说，呃，延长 m 的 到了个点屁，使得 m 的 始终等于得屁，呃， m 的 始终等于得屁的两倍哈， 那 pnb 的 面积最大的时候，让我们求此时 am 的 长度， 那么我要想着 p n b 最大，因为这个 am 的 长度不是等于 c n 吗？而且他问我们的是 am 的 长度是多少？由于这个角有个四十五度，所以我想着是往下做个垂线， 这样一比一比根二，所以我设这个最小的为 x x a m 是 不是就是根二 x 啊？那 c n 就是 根二 x， 所以 我能表示出来的是 b n 的 长度是不是八减根二 x， 那 我就让 b n 当底高的话，我是不是就是过点 p 往这做垂线就可以了？是 p q， 那 么这地方是垂直，这地方是垂直，所以这两条线是平行啊。这样的话，这个三角形 a d m 和这个三角形 h p 的 是不是一个八字相似啊？平行线吗？对，零角对吧？这个角始终等于这个角。 由于你的得 m 等于得屁的两倍，所以我就知道了相似比是不是一个一比跟二一比二啊？一比二哈，这样，刚才 ab 不是 八根二，得是终点吗？所以 a 得就是四根二，那得 h 是 不就是四二跟二， 那得 b 是 四根二，所以 b h 是 不就是二根二？由于这个角也是四十五度嘛， q b h， 所以 一比一比根二，这样就得到了 b q 和 h q 都是二。好了， h q 是 二了，我只需要再出来 p h 是 不就行了？ 哎，根据刚才的相似比是一比二，我说这是根二 x， 那 这是不就是二分之根二 x 啊？所以，那你看，我的 这个高就出来了，这是二，这是二分之根二 x， 这是不是整个 p q 的 高啊？那底也知道了，所以它的面积就是二分之一底乘高。这样一整理，发现是一个开口向下的二次函数，是不是就有最大值，顶点出去的最大值， 所以当 x 等于负的二分之 b 等于根二的时候，面积最大，那么此时我的 x 是 根二，那我的 am 是 不是根二 x 啊？所以 am 的 长度就是二。这个，嗯，不是很难哈，就是中规中矩的一道题，嗯，它把这个几何 变相的变成了和函数之间的关系了哈，往下的话，三角函数和圆都不是很难，而且这个圆也之前考过很多次了哈。我们再来看反比例函数，那么反比例函数呢？第一个，它是一个 a 点，是负一对零， 反比例的表达式告诉我们了， c 点就能够知道了，是一对六，那么这样 a b c e 这条直线的表达式就知道了， y 等于三 x 加三。好，第一问就解决了，他说 p 呢，是在直线 l 的 下方， p 在 直线 l 的 下方，在反比例上连接 cp， 那 么圈一哈，圈一，他说 a b o 这个三角形好， a， b o 是 不是一个直角三角形啊？和 ac 的 ac 的 这个三角形如果相似，让我们求 p 点坐标， 那么你看啊， a b o 是 直角三角形，和 ac 的 是不是有一个公共角，是不是就一定相似啊？那么第一种情况，我们让得当直角， a 是 公共角，不能可能当直角了哈，如果让 d 当直角，那说明要做一条线，这样是不是竖着往下？但是你一对六了之后，他不是要求 p 点坐标吗？这条线不可能与 反比例再有一个交点了，所以他就不可能让 d 当直角，那么只能让这个 c 当直角。让 c 当直角的话，是不是出现直角了？ 我们优先考虑能不能求表达式，哎，发现 k 相乘得负一右过点 c， 所以 这条表达式是能求的哈，求出来是这个 y 等于负三分之一 x 加三分之十九。 那么我此时的 p 点是不是做条直线和抛物线的一个和反比例的交点啊？那么解出来有两个答案，舍去要重复的，那么 p 点坐标就出来了，这是圈一把相似存在性转换成了直角三角形存在性哈。那么我们再来看一下圈二 圈二的话呢？他说连接这几个点， p a c 好 来看 p a c， p a c 是 这个三角形和 p o c， p o c 是 这个三角形，你会发现它们是不是重复了一条边是 p c 呀？所以既然出现面积问题的话，那 p c 就 可以当做公共的底儿，那面积问题就转换成了高的问题。 我延长 p c 那 一个高是过 a 往这做垂线，写个 h 二，一个是过 o 往这做垂线，是不是 h 一 啊？他说三倍的这个面积等于四倍的这个面积，那说明我的 h 一 比上 h 二，是不是一个三比四的关系啊， 对吧？让我们求此时还是 p 点的坐标，那么我的思路还是和上一问是一样的，我能够知道这条直线表达式是不就 ok 了，根据 h 一 和 h 二，这里又是垂直，所以你会很明显发现这个小三角形 m o 这里标个 q 吧， m o q 和我的 m a n 是 不是一个 a 字相似啊？ h 一 比上 h 二是三比四，所以相似比是不就是三比四？我设 我要想求表达式，是不是知道 m 点的坐标就行了，所以我设 m 点的坐标是 m 等于零，那么这块就是 m， 这块就是 m 加一，所以 m 比上 m 加一是三比四，这样就出现 m 点坐标了，和反比利一连利， 去掉重复的点就是重合的点嘛，这样 p 点坐标又知道了。所以这个题看着不是很难哈，但是都需要转个弯，比如说它考相似，不是直接用相似，再比如说它考面积，不是直接用面积，都需要自己去一个转化哈。 二十四题考了一个正常的手拉手问题。第一个，这是一个三角形， a f g 和这个 a c 的是个 a 字相似， 那么 c f 比上得 g 平行线嘛，口诀，下比下等于上比上，所以 af 是 aj 的 两倍，那么 cf 就是 得 g 的 两倍，那么把 cf 和得 g 延长相交的这个点是不是六十度啊，对吧？ 那么到了图二，他问我们这个结论是否成立，那么矩形嘛，一定要去连对角线，那 af 绕着 a 转嘛。所以是不是就在 acf 这个三角形里边啊？ a， 呃，得这得这的话呢，是不就在 a 得这这个三角形里边？那么这个角是六十。 表一下哈，这个 c a d 是 六十， f a j 是 六十，所以这个角等于这个角 ac 是 a 得的两倍， af 是 aj 的 两倍，所以呢，是不是相似比就是一个二比一啊？所以 cf 就是 得 j 的 两倍，那么延长 cf 和得 j 相交，我们正这个 c q 得这个角是六十度，那么是不是采用我们常说的八字倒角啊？因为相似角一和角二是不是相等，那么这两个角是不是对零角啊？所以我把这个八着重描一下， 再着重描一下，那么这个八字是不是就出来了？我的这个角 c q 的 是不是始终等于的是 c a 的 这个角是六十啊？所以图二就完事了哈。那么我们重点来看一下图三， 图三的话呢？它说，嗯， h 是 这个小正方形的对称中心， 所以 a h， e h， f h 和 g h 都是相等的，那么根据我们先用图二的结论去看，所以再去连对角线 a c 和 a h， 我 们依旧能够证出来的是 a c e 和 a d h 是 不是还是相似啊？ 那他说了， ab 和 a d 相等，矩形就变成正方形了，所以相似比是不是变成了根二比一啊？也就说我的 c e 就是 d h 的 根二倍， 这是我们用前面的结论哈，所以在做后边题的时候，一定要每次都用前面的结论先退一遍， 这样他让我们求得 h 的 长度，得 h 好， 得 h 的 长度，那我要想求得 h， 我 是不是只需要知道 c e 就 可以了，因为它始终是相似吗？相似比是一比跟二，小比大是一比跟二，对吧？ c e 的 长度我们来看哈，这个地方有一点坑，他说 e 是 在直线 c d 上哈，所以直线 c d 上的话，他又说 d e 的 长度始终是二，正方形的边上是四， d e 是 二， 那么你像这个图的话，那 c e 是 不就是二？所以那 d h 是 不就是根二啊？但是他还有一种情况， d e 是 二也可以长这样呀， 是不是这边得一是二啊？所以此时的 c 的 c 一 长度就是四加二是六，那得一的得 h 的 长度是不是就是六？除根二，那是不是就是三根二啊？ 所以这个题你只要能够分析出来得 h 和 c 有 关系，那么只需要解决和它有关系的长度就行了哈。所以这个题有两个答案，原因就是因为 e 是 在直线上动，但是无论 e 在 这个线段， c 得还是跑到了外边去呢？这个结论始终是不始终是成立的哈，这是我们的几何好。最后一个题是函数哈， 函数的第一问，表达式很简单，这几个点坐标都在这哈，一对零，五对零，零对五，这条直线表达式和抛物线的表达式都可求。 那么第二个呢？他说这个矩形啊，他是怎么来的呢？过点 p， 像 x 轴和 y 轴分别做垂线，那是不是就会变成一个矩形啊？他说此时的矩形变成正方形了， 那么矩形要想变成正方形，是不是只需要让邻边相等就行了？所以我只需要表示 p e 表示 p f， 让他们相等就行。设 p 点坐标，那么这里再次强调哈， p e 就是 我们的横坐标设，他说了设坐标是 p 了哈， 就是 p， 但是 p f 的 长度一定是纵坐标的绝对值，所以需要改成相反数哈，坐标是负的，但是长度是正的，所以是负 p 方加六， p 减五，这样解出来呢，有两个答案，那么怎么判断这两个答案都要呢？ 解方程就行了，让他俩相等哈，因为你的屁，他说了是在 x 轴下方， x 轴下方，所以他的坐标得比一大比五小，发现这两个值，哎，都比一大比五小，所以我们两个答案都要了哈，这解方程要注意一下。 那么第三这个第二位还是比较简单的哈，第三位呢？他说往右移了 h 个单位，好了，我就随便一移。先随便一移嘛，这是移了 h 个单位，他说得到了新的抛物线，新的抛物线呢？与 旧的抛物线的对称轴，那么这条线的对称轴我们是可求的，是 x 等于三哈，交于点 n 好 了，这个点就是 n， 那 么连接 o n， 连接 o n 交 bc 于点 j 好 了，这个点就是点 j， 他 说当 o j 呀， 当 o j 等于四倍的 n j， 那 你看这个好看吧，考了很多遍了，这是不是又是我们的化学为值啊？因为 n 也不好表示， g 也不好表示，对吧？所以我们 n o j 等于四倍的 n j， 我 们不好表示。两个动点嘛，所以我们就过 n 向对称轴， x 轴做垂线， 过两头嘛， o 向 x 轴做垂线，这边交于点 c， 那 么这边交于点 h， 这样我们是不是就把它框在了这个三角形和这个三角形里边啊？那么 o j 是 四倍的 n j， 我 们能得到 o c 是 不是就是四倍的 n h 啊？ o c 的 长度是五吗？所以 n h 的 长度就是五除以四是不就是四分之五啊，对吧？ n h 的 长度是四分之五，那么我只需要表示 n h 就 行了哈， n h， 那 它俩的横坐标都是一样的，一个往 c 二里边带，一个是不是往这个一次函数里边带呀？ 所以 h 这个点是确定的哈，现在研究出来了， n h 的 长度是四分之五，但是刚才咱随手一画，是不是 n 在 上 h 在 下呀？那么有没有可能就是 n 在 下 h 在 上呢？这个需要打个问号哈， 所以我们，哎再稍微一化，你看我稍微一变哈，我让这个 n 在 下了，对吧？那么延长这个连接， o n 交 b c 于点 g， 那 么你会发现此时是不是 g 就 在这个 n 的 上方了，刚才是不是 g 在 n 的 下方， 所以我们在这个做这个八字相似的时候，我们过这个 g 往下做垂线，这个点就是那个 h 吧，这个点就是那个 c， 那 么此时是不就变成了一次函数在上，是不是二抛物线在下了？刚才是不是这个？嗯，一次函数在抛物线是不是在上，一次函数在下呀？所以这个题 那么一种的话，就是 y 上减 y 下，对吧？另一种是不是倒过来就可以了？所以他有两个答案， h 都是往右平移大于零，所以我们都是只取正的就可以了哈。 这个题呢，就是稍微要注意一下，因为你随手一画完了之后，发现表示的是铅垂钩，那么铅垂钩到底谁在上谁在下呢？要再分析分类讨论一下，那么这就是高新的这套题的视频讲解分析，记得点赞关注哦！

中考数学胡不归遇到三线段和情况，一招解决！我们来看这道题啊，题目中出现了三线段不满足胡不规的条件对不对啊？那出现了三线段，你是不是想到了被骂问题？第一步，构造三角形。 我们需要在图中以 bc 为边构造一个等边三角形 bc n， 同时以 p c 为边也构造一个等边三角形 p c m。 注意，当我们构造了双等边之后， c p 也就等于了 c m， c b 也就等于了 c n。 所以 这是不是很明显出现了一个手拉手全等这个黄色三角形 p c b 和下面这个黄色三角形 c m n 就是 全等的。下一步，线段转化来看，原本的这三条线段 p a， p c， p b 就 被我们转换成了 p a， p m， m n。 要是求 p a 加 p m 加 m n 的 最小值，那直接连接 a n 就 可以了。这是咱们费马问题的解法，但是题目中带系数啊， 这可怎么办呢？不要慌，我们把它转化成胡不归问题来解决就行了。第一步，提取系数。这三个数的话，我们只能提取一个数，肯定提取最大的那个嘛，也就变成了四倍的 p a 加上二分之一的 p b， 再加上二分之根三倍的 p c。 那 这又怎么变呢？来看图 p a 呀，就是 p a 这条线段一整条就这么用。咱先去解决第二条线段 p c， 二分之根三倍的 p c 啊。按照弧不规问题的话，那是不是要把二分之根三 转化成 sin 六十度？咱们本身构造的等边三角形，这里就是六十度角儿，我只需要用 p 去向这条边去做个垂线回族，比如说是 h， 那 这里的 p h 就等于三六十度乘以 p c 的 值，那 p a 不 变，二分之三倍的 p c 就 转化成了这里的 p h。 再来解决二分之一的 p b。 因为全等 p b 代表 的就是 m n， 那 么二分之一的 m n 又是什么呢？因为三线合一， h 是 终点啊，所以二分之一的 m n 是 不是想到了中位线，它的第三条线段二 二分之一的 m n 直接构造一条中微线就 ok 了，取 c n 的 中点 q， 二分之一的 p b 最终就被我们转化成了 h q。 这条中微线在这里以 b c 为边，向下 到等边三角形是固定的，这个等边三角形边上的中点也一定是固定的， q 就是 一个定点，那中间的 p 和 h 这两个点运动到哪的时候，才能让这个折线最短呢？是不是这里布线的时候最短？我直接去连接 a q 就 好了。这个题就被我们转换成了 四倍的 a q。 最后一步求 a q， 咋求呢？咱们标一下长度，这个题目已经知道， a c 等于八， b c 等于十，那下方的这个最大的等边三角形的边长就是十， z n 的 长度也就是十，那么 q 如果是中点， c q 的 长度就是 五。所以我们现在在这个绿色的三角形中，用勾股定律就可以求出来了。直角在哪呢？哎，看到 那个蓝色的三十度了吗？下面不是还构造了一个六十度吗？所以三十加六十正好等于九十，那因此勾股定律就等于四倍的根号八十九。关注我，全新老师带你轻松拿捏压轴题！

这是什么公式？这是两点间的距离公式。这是什么定律？这是韦达定律。这是什么公式？ 这是平行四边形坐标公式。这是什么定律？这是角平分线定律。这是什么公式？ 这是一元二次方程求根公式。这是什么定律？这是摄影定律。这是什么公式？ 这是立方差公式。这是什么定律？这是相交弦定律。关注我，全信老师带你轻松拿捏中考数学！

太好了，是胡不归问题，中考数学有救了，今天我们就来学习胡不归问题，他的主要特征是两线段和的最小值，并且啊，这两个线段是带有细度的。 胡不归问题啊，要满足三点要求，第一，动点是在线上运动，如果动点是在圆上运动的话，他就是阿是圆了。 第二呢，就是所带系数大小应该是小于一的，如果不小于一的话，也不能用胡不归问题来解。那第三呢，就是这两条线段只能有一条线段带系数等等。那如果考试遇到不满足条件的情况，又能怎么办呢？哎，先来看两个式子，第一个， 当两倍的 a p 加 b p， 它不满足系数小于一的情况呀，那我们就提取系数变成 a p， 加上二分之一的 b p， 好， 这个时候括号里的是不就满足要求了。 还有第二种情况，这两个线段如果都带有系数，那又怎么办呢？哎，那我们就提取较大的那个系数，把二提出来变成 a p， 加上二分之根三倍的 b p， 好， 这个就变化完成了。那这两个线段就都可以按照胡不归的套路来进行解答了，那这个套路是什么呢？ 这种两相的核的最小值问题，如果出现了一条带系数的，那往往这个带系数线段要给它转化成其他不带系数的线段 阿是圆呢，是通过构造反 a 相似来转化的，那胡不归就是把这个系数当做正弦值来进行转化。我们来看第一个情况， 这个二分之一我们就可以认为他是肾三十度，那第二个二分之根三呢？那他不就是相当于肾六十度吗？记得一定要把它转化成正弦值，那变化之后的式子就变成了这个样子， 接下来又该如何解决最值问题呢？哎，这个题中啊，咱就要先构造出三十度角。 第一步，找到这个带系数的边，用它固定的那一端，也就是 b 去构造一个三十度角。然后呢，用动点直接去向这条构造的线段去做个垂线就 ok 了。比如说垂足是 h， 那 这个时候来看， sin 三十乘以 b p 相当于什么呀？是不是相当于这个 p h 的 边？ 哎，原题现在就被我们转化成了 ap 加上 ph 什么时候最小？那我在保证它依然垂直的情况下，是不是共线的时候是最短的 a 点直接向下连个辅助线做个垂直，比如说垂足是 q， 那 现在这个 a q 就是 这道题的最小值了。那当然不要忘记前面提取出来的就是二倍的 a q。 好，再来看第二种情况，我提取出来二之后变成了 a p， 加上二分之根三倍的 b p， 刚才说了这个二分之根三，我们可以看成是三六十度。好， 那同样的，找到带系数的这条边，哎，用它固定的那一段 b 去构造一个六十度角。好，大概就这么大。 同样的过程，我们用这个洞里向构造的这条边去做垂线，哎，垂足是 h， 那 所以原题这时候就被我们转化成了 ap， 加上了 p h 最短。 那么 ap 加 p h 啥时候最短呢？还是那样不是共线的时候不就是最短的吗？哎，所以垂线段最短啊。 好，咱们这个点还是标为 q， 所以 说最后我们把它转化成了二倍的 a q， 哎，这就是弧不规问题的画图方式了。 其实啊，就是把这个系数变成一个正弦值，我们再画出这个正弦所对应的这个角度就 ok 了。关注我，全新老师带你轻松拿捏压轴题！

hello， 大家好啊，我们来看一下这次历下二模的这个题目啊。呃，整体来说难度还是比较适中的啊。嗯，呃，难度跟中考比较接近啊。 呃，我们还是以压轴题为主。首先看一下第九题啊，那这个是一个呃尺规作图的题目啊，那我们读完题我们就知道啊，这个 a、 d 是 一条角平分线，然后 c、 e 这条线的话是线段 d p 的 这么一条中垂线，对吧？也就是这个地方是垂直的。 呃，那我们的思考点啊，或者说切入点就是角平分线，还有中垂线的性质吗？那之前的时候我也给大家讲过，是吧？那我们一个一个来看一下啊。 首先他说 a、 c、 e 是 直角三角形， a， c、 e 在 哪呢？ a c e 是 这个是吧？那很明显垂直中垂线啊，直角三角形没问题，是对的啊。第二个说 a、 c a、 d 等于 d c、 e， 呃， c a、 d 是 这个角，阿尔法，然后 d、 c、 e 呢？是这个角， 那我们知道是吧？角平分线吗？阿尔法，然后我们导一下角是吧，那这个地方肯定也是阿尔法，因为这个地方这个 c、 e、 d 是 垂直， dba 也是垂直嘛，所以说导过去以后一个八字也是阿尔法，所以说相等的啊，也没问题。 然后看第三个啊，第三个 a、 b、 d 的 周长和 c、 d、 e 的 周长之比啊， a、 d、 b 是 不是这个三角线啊？ c、 d、 e 的 话是这个三角形，看到吧，那他们两个很明显是相似的嘛，对吧？相似的话，你看一下 周长的比，就是边长的比啊，面积比的话，如果相似的话，面积比是边长比的平方，但是这个周长的比的话就等于，呃，这个就就等于边长的比，所以说 abd 的 周长比应该是 ab 比上它的对应边是谁啊？是不是应该是比上 c e 啊？那他这个地方写的 cd 的 话，那很明显是不对的啊，所以说这个第三个就直接错掉了，然后看一下第四个啊， 第四个他说 a d 也等于跟五倍的 c e， 也就是让你求一下 a d 和这个 c e 的 关系啊，那你猜一下的话，你看看起来啊，呃，像是两倍，但是也不太确定是不是，那我们呃 跟五的话你也不是很确定啊，所以说我们就需要通过做一些辅助线啊，或者说通过边的转移来求解一下。然后你看角平分线，我们做辅助线的话无非是三种办法，一种办法是我们去做垂线段啊，做垂线段 往两个边上去做垂线段。那再有一个的话，就是我们这个地方已经有垂直的，是吧？我们可以直接延长过来，是不也会形成两个全等三角形？那么再有一个的话，就是我们说特殊的点是吧？我们是截长补短的时候会去做这样的辅助线，那么对于这道题目来说的话，是我们延长的话是一个比较好的办法。 延长啊，主要是我们还注意到什么呢？你注意到，呃， bc 和这个 ab 是 相等的呀，那因为它是一个 abc， 是 一个等腰直角三角形，所以说再加上这个条件你也会想着把它去延长，那么延长以后我们交到一个点呃，点 j 吧， 好吧，点 j 的 话，那你就很敏感，就发现了阿尔法，阿尔法是吧？然后 ab 还等于 bc， 所以 说三角形 就呃就有全等了，三角形 a、 b、 d 是 不是要全等于三角形 c、 b、 j 啊？那么全等以后我们就是就知道了，这里面牵涉到了 a、 d， a、 d 是 不是要等于这个 c j， 对吧？那么 c j 是 什么呢？ c j 它又等于两倍的 c e 啊，因为这个等腰三角形三线合一嘛，对不对？所以说，哎，它应该是一个两倍的关系啊，那这个地方根五倍的话，很明显又错掉了，是吧？所以说我们只有两个对的，就选了 b 了。 呃，是这样的啊，呃，这个是第九题。 好的，下面我们来看一下这个第十题啊。第十题是一个二次函数的比较抽象的这么一个题目。 呃，我们先来读一下题目吧，他说，啊，抛物线是这样一条，然后上面有一个点 t 勾 m， 然后直线 上面有一点 t， 都 n， 是 吧？然后他们的这个联系呢？就是说横坐标是相同的啊，纵坐标分别是 m 和 n， 然后说有且只有一个整数 t， 使得 m 小 于等于 n 成立。 哎，到这里比较抽象啊，我们可以大致的画一个图啊，先把题目给读给读明白啊，什么意思？就是抛物线，现在开口向上大概是这样子，然后直线呢？哎，这么一条直线，对吧？ 他说有且仅有一个整数 t， 使得 m 小 等于 n， 那 么 m 是 什么？ m 是 当这个 x 取 t 的 时候 二次函数的函数值啊，那 n 呢？是 x 取 t 的 时候，这个一次函数的这个函数值 m 小 等于 n， 也就意味着，哈，是二次函数，是不是应该在这个 这条直线啊，这个一次函数的下方呀，并且在下方的这个区域里面，哎，是不是 t 在 这里面取的话，只有一个哎，一个整数哎，一个整数点 可以理解吧？哎，所以说当他这个 a 在 变化的时候，这个抛物线啊，他肯定是开口啊，包括上下是不是都在不断的变化？包括这个直线他也是在上下可能在移动的，哎，但是呢，我们就是通过这个去判断出来，哎，什么时候 抛物线在下方，然后直线在上方的时候，这个区域里面只有一个 t， 那 么直接去判断的话，很显然是不大好判断的，对吧？因为他这个里面参数的变化以后，他这个图像变化太厉害了，所以我们要去分析一下啊，先分析一下这个函数有什么特点啊？首先的话，这个二次函数 对称轴是不是第一眼能看出来对称轴是一对不对？然后的话有没有横过的点呢？ 哎，很明显是有的，是吧？第一眼能看出来是零逗三，哎，也就是，也就是说它有这个它的这个总结句，是吧？再有一个的话，就是像这种函数，我们是不是可以对它进行一个就提取一下这个因素啊？这样的话我们看横过的点嘛， 所以说它这个函数的话，我们可以变成，哎，提出一个二 a x 嘛，这样的话就变成了 x 减去一个二，是吧？加上三，哎，所以说当 x 取二的时候， 他的这个函数值是不是跟这个 a 就 没有关系了，哎，所以说横过什么？是不还横过二斗三这个点 可以理解吧？横过这个二斗三啊，哎，所以说我们这个两个点我们都知道了以后啊，两个点都知道以后， 呃，再加上对称轴，它图像性质就比较明确了啊，然后再看一下这个一，呃，正比例啊，不，这个一次函数是吧？这个就比较好分析了是吧？把 a 提出来， x 加一，加上一，那么它横过的点， 哎，就是负一逗一喽啊，那这样以后我们就可以把它的函数图像大致的给画一下 啊，首先是一二，然后这个地方是三啊，大概的二次函数大概是这样子的啊，开口向上的啊，对称轴是一是吧？横过零度三和二度三啊，对称的，然后是 这个一次函数啊，负一逗一过这个点，并且是不是相交一下啊？往上的，那我们现在再分析一下下面给的这个条件，是吧？ m 小 于等于 n， 是 不是下面这一块， 你想保证在这一块里面只有一个整数 t 渠道的话，哎，小于它是吧？只有一个整数 t 渠道。首先这个 t 等于一的时候，是不是显然是满足的吧？那么在我画的这个图里面，这个 t 等于二的时候，你看是不是也满足啊？ 所以说你想保证只有一个整数 t， 那 你看这个函数的图像，就是这个一次函数图像是不是要往下再降一降，也就是说绕着这个点旋转一下，让它更平缓一下， 那平缓以后降到哪呢？是不要降到这个三这个点的下方的时候，这个时候你看是不是只有一这一个点了， 对吧？啊，那当然你不需要考虑左边左边的点啊，因为左边的点的话，他顶破天是吧？他再怎么往上提，他再怎么往上提，或者说再再怎么倾斜，他也不可能取到负一这个点啊，也不可能取到零这个点，是吧？ 呃， ok， 那 这样的话，我们来，呃，就来可以来列一个等式哈。你比如说我们如果说为了方便书写的话，我们设这个 f x 啊，是这个二 a x 的 平方减四 x， 就 这二次函数啊，然后这个 g x 呢？我们变成这个正，呃，一次函数啊， a x 加 a 加一，所以说我们要满足这个条件，就是在二这个点上，哎，也就是 二的它的这个二次函数的函数值是不一定要什么？是不是要大于一次函数的这它的一个函数值啊，那这样的时候是不是一次函数才跑到哪？是不是才跑到了这个二次函数的下方？ 可以理解吧？ ok， 这个是我们第一个需要满足的条件啊，也就是我们得到一个不等式，一会我们再来解一下。那么第二个呢？你看一下，呃 呃，我们刚才只是说是限定了，说只有一个整数，是吧？但是呢，我们还要知道啊，在这 t 取一的时候，也就说取到这唯一一个整数的时候，是不是一定满足二次函数一定在这个一次函数的下方呢？哎，这个不一定是吧？那有可能是吧？有可能。哎，万一它是不是这样稍微往上一点呢？是不是稍稍微往上一点，那它倾斜到这， 他进行到这个程度的时候，大概是这样的时候，这个时候就不满足了，哎，所以我们还要列一个条件，就是在一这个点上，哎，就是 t 等于一的时候要满足的什么？二次函数的函数值要小于 是不是一次函数的这个函数值啊？ ok， 也就是说 f 一 是不一定要小于这一点， ok， 这两个不等式列完了以后啊，我们来想一下，这两个不等式哪一个能取等号，或者说是不是是不是可以取等号呢？ 哎，首先我们来看一下啊，看上面这个取等的时候行不行？取等的时候，也就是说这个一次函数是不是跟这个二这个地方交于一点，那这个时候是不是满足 m 和 n 是 不是相等啊？ m 小 等于 n 吗？是不可以啊？那可以的话，我们只需要一个点，它这个地方出来两个点是不行啊，所以说这个地方的话等号是不能取到的啊，等号不能取到，那下面这个可以吗？下面这个是不是根据这个 m 小 等于 n 的 话，是不等于的时候是可以的？ 哎，可以取到等号了，哎，所以说这个地方就要加上等号了，哎，那我们就去带进去啊，去解一下啊，看一下啊，首先二的话带进去也就是一个八 a 是 吧？减去， 呃，八 a 加三啊，就是三嘛，大于 g 带进去啊，二 a 加上 a 加一是吧，那这样的话，我们就得到的是一个三大于三 a 加一啊，解出来以后也就是一个三 a 小 于二 a 呢，是小于三分之二的 小三位数啊，你从这个题目里面看一下，是吧？ a 和 b 里面是不是选一个了？ ok， 再解一下下面这个啊， f 一 f 一 是多少啊？带你去看一下，也就是二 a 减去四 a 加上三吗？小于等于 g 一 的话，就是一个 a 加上 a 加一是吧，那我们解一下，也就是负二 a 加三小于等于二 a 加一嘛，也就是四 a 大 于等于二，所以说 a 是 大于等于二分之一的，那我们把这两个结合起来以后，是吧，我们就选 a 这个选项了啊，就解决了这个问题是吧？ 所以说像这种题目的话啊，呃，能竖形结合的一定要竖形结合啊。 我们来看一下啊这个填空题啊。首先第十四题比较简单啊，我们只需要求出来这个两条直线的解析式，然后让它们的纵坐标相减等于这个三十五是吧，这样的话就能求出来 x 是 一个二十八 啊，还是比较简单的啊，重点来看一下这个十五题啊，呃，十五题的话，呃它是一个折呃折叠的题目啊。 嗯，我们呃拿到这个题目以后啊，可能会想到是不是通过间系的方法啊去解决，那么系是好建的，但是我们建完系以后再去求解的时候，你会发现设这个参数啊，是不太好设的，并且 你输入参出来以后再去计算的话，也是不太好计算的啊，所以我我们还是考虑用几何的方法去进行一个研究啊。那么看到这个地方他是一个九十度，是吧？我们会想到，哎，可以做一条垂线坐下来， 哎，这样的话我们是不是构成了一个一线三垂直啊？一个相似对不对？比如上面这是 p， 下面这是 q， 那 我们做这个有什么用呢？我们先把思路来捋一下，我们要求的是 b j 比上 a j 嘛， b j 比上 a j， 那 么我们如果说能够求出来 ab 的 长度， 那么 b j 的 长度是不是也就可以求出来了？因为它这个正弦值告诉你啊，实际上我们可以射出来这个就是它，它这个 a j 或者是这个 e f q 的 长度啊，可以射出来，实际上可以理解成是已知的啊，哎，所以我们看啊， 这两个直角三角形的相似比，我们是不是可以得到，哎，因为 f 是 中点嘛，哎，所以说你看 d q 的 长度，我们是不是可以求啊？ d q 长度可以求的话， a q 的 长度是不是和 d q 的 长度相等的？也就是 p b 的 长度吧。那么 p b 和谁的比啊？ p b 是 不是和 f q 的 比，就是这两个三角形的相似比，看到吧，那这样的话，我们就可以求解啊，求解出这个 x 的 长度啊，具体我们来做一下看一下啊。 那首先的话，我们设什么呢？我们可以去设 f q 的 长度啊，就设成根十吧，设成根十以后比较方便啊，那这样的话， d f 是 不就是八？ 然后这个 d q 的 长度的话，我们算一下勾股定律，是不是一个三根六啊，也就说这个地方是三根六，这个是根十啊，这上面是八，哎，所以说 a q 的 长度是不是也是一个三根六，哎，同样的这个 p b 的 长度也就是三根六了，哎，所以说两个相似三角形相似比， 哎，是不是要是一个三根六比上一个三根六，比上一个跟十啊 吧。所以说我们现在啊，我们要求的是这个 x 嘛，我们要解决的就是求下 ab 嘛， x 实际上也是谁啊？实际上也就是这个 p q 的 长度嘛，对不对？那我们就设这个 p q 是 x 啊， p q 是 等于 x 的 话，那我们是不是可以得到一个相似的一个等式啊？也就是说 p f 的 长度比上一个 q e 的 长度是不是要等于三根六比上一个根十啊？ 呃，那么也就是说这个 p f p f 我 们知道是 x 减去根十，对不对？那么 q e 呢？哎，先写在这是不是要等，呃，等于三根六比上根十，那么 q e 的 长度是不可以求的呀？那 q e 的 长度应该可以看出来可以求啊，因为 f q 是 已知的， 那么 q e 和这个斜边 e f 加起来是不是刚好是一个三根六啊？哎，所以说我们通过勾股定律哈，是可以把 q e 求出来了啊，就这样设的，这个 q e 的是 m 的 话，我们是不是可以得到的勾股定律的等式，是不是 m 方加上一个根十的平方？ 是不是要是一个三根六减去呃，这个 m 的 平方，那么 m 我 们可以求出来啊？求出来的话是一个三根六分之 二十二，哎，这个地方你先不用化减，因为一会可能会相消，是吧？会相消，哎，然后呢，你把这个 q e 呢带到这个等式里面，你是不是就可以把 x 给解出来了？ 解出 x 的 话刚好是一个根十分之三十二，哎，这样的话，我们是不是这个 b j 就 可以求了？那 b j 的 话，是不是也就是这个 x 减去什么？减去上面这个 aj 吧啊？减去 aj， 那 么 aj 的 话是等于， 哎，可不是根十啊，因为它是一个两倍的关系嘛，是不是等于两倍的根十啊？哎，所以说也就是一个根十分之 三十二，减去两倍的根十的话，是不刚好是一个根十分之哎，十二，对吧？哎，所以说 b g 比上 a g 的 话， a j 是 不是也就是一个十二比上跟十，比上一个两倍的跟十啊，哎，所以说我们最后得到的是什么？得到的是一个六，比上十，也就是一个是五分之三，这样的话我们这个题目就解决了啊，呃，顺着这个思路啊， 好吧，呃，接下来我们看一下这个反比例的和 呃一次函数相结合的这么一个题目啊。然后第一小问还是比较容易的啊，都是送分的 m 求出来的话，是一个 m 求出来是等于三的啊，也就是说 a 点的坐标的话，是一个三度四， 对吧？然后 k 的 话，你求出来 k 的 话是一个三分之四啊，也就是说这条直线啊，是一个 y 等于三分之四 x 啊，我们可以求出来的。然后第二问是重点啊，首先的话， 呃，第二问的第一小问啊，他说当 o b 是 一条角平分线的时候啊，这个地方一条角平分线，然后让你求 o b c 的 面积啊， o b c 在 这呢， 是吧？那我们角平分线的话，我们就想到是不是它是，实际上是呃它的，呃，它的性质的话，是不是往两边去去做垂线段的话，这两个垂线段应该是相等的吧，哎，所以说这个地方的话，它的面积哈，也就是三角形 o b c 的 面积，实际上它也就等于二分之一的 o c 乘以一个，呃，比如说这个量垂线的，呃，这个垂足是 h 的 话，这就是是不是 b h 啊？那么 b h 等于 b d 嘛，那实际上也就是二分之一的 o c 乘以 乘以 b d 嘛，那这样的话，我们就可以把这个 b 点坐标给它设出来哈，去表示一下它，对不对？那我们就设呃这个 b 点的坐标啊，是一个 t 豆，呃， t 分 之十二，对吧？那这样的话，我们就尝试去表示一下这里面用到的 o c 和 b d 嘛。 那首先这个，呃，这个 b 点坐标设出来的啊，所以说 c 点的坐标那就是一个 t 豆 是有三分之四 t 啊，也可以表示出来哎，所以说 o c 的 长度的话，实际上我们就可以直接得到了啊，你看，因为它的斜率的话是一个三分之四啊，也就是说这个三角形三 四是不是五的这样一个关系啊，那么 o d 的 话，它是横坐标啊，是不是 t 啊？哎，所以说 oc 的 长度的话，就应该是 t 除以三，是不是再乘以五啊，也就是一个三分之五 t 啊，所以说 oc 的 话，我们直接可以得到是一个三分之五 t， 对 不对？那么剩下就是高了吗？高的话就是 b d 吗？ b d 的 话实际就是 b 点的一个纵坐标啊， b d 纵坐标是不是刚好是一个 t 分 之十二，对不对？所以说面积一下就可以求出来， 要乘以一个三分之五 t， 再乘以一个 t 分 之十二，那这个地方 t 啊，一个在分子，一个在分母，是不刚好可以消掉啊？所以最后答案你，你发现出来以后，刚好是一个什么刚好是一个十啊，就一下子就秒了哈，一下就做出来了，可以吧？ 这个是第一小问啊，呃，第一小问，然后看一下第二小问，第二小问的话也不是说特别难啊，用的就是一个等腰三角形的一个性质啊，你看一下他说 ab 为底是等腰三角形的时候，完了，你求 b 点的坐标， b 点坐标的话，你看一下我们这个地方是不是 我们可以去做一条垂线啊？比如说这个地方垂的话是一个 f 点，那我们就知道啊，这个等腰三角形的话，它两个腰的话是不是相等的呀？ 也就是说 ab 啊，这个 a c 的 话，是不是要等于这个 bc 啊？所以我们可以哈，就是说，呃，把这个 a c 和 bc 啊，如果说你能够用 呃一个参数给它表示出来，然后让它俩相等的话，哎，是不是就可以呃得到这个 t 的 这个值，也就是求出来这个 b 点的坐标了啊？哎，所以说我们还是跟刚才一样的思路啊，哎，当然你做这个， 呃，就是做这个呃垂线段的话，好像没，好像没有什么用啊，好像没有什么用啊，这就是我最开始在思考的时候可以做这么一个垂线段，然后想着是通过终点啊， 三线合一是吧？终点，然后求出这 f c 的 一个解析式，然后连力求出 c 点的坐标，然后求长度，是吧？那这样的话太麻烦了啊，太麻烦了，不如就是说我们 用它坐标直接相加减啊，你那样的话肯定会出现高次啊，哎，所以说我们现在去相加减的时候，我们不妨可以，是吗？我们可以去做一条垂线段往这边去做啊，比如说这个地方垂的是一个哎， p 点的话，那我们还是一样啊，我们还是一样去设 呃 b 点的坐标啊，还是一个 t 斗 t 分 之十二，那么 c 点的坐标的话就是一个 t 斗，是不是三分之四 t 啊？那这样的话， a 点的坐标实际上我们是知道的啊， a 点的坐标的话是一个，是不是一个三斗四啊？哎，所以说我们就可以去表示一下了， 这个地方去表示一下，看到吧，表示一下 ac 啊。首先先表示一下 ac， 那么 a c 的 长度的话还是比较好表示的啊，它实际上就是这个呃 c 点的纵坐标 啊，这样我们用横，我们用横坐标吧，实际上就是 c 点的横坐标减去呃 a 点的横坐标， 然后因为它的比例关系是一个三比四，比五嘛，哎，所以说我们可以通过这个比例关系直接得到 a c 啊，所以也就是 x c 减 x a 以后，是不是除以三再乘以五，这个就是我们要求的这 a c 是 吧？然后呢，我们就是要去表示一下 bc 喽， bc 的 话，实际上就是 呃 c 点的一个呃纵坐标减去呃 b 点的一个纵坐标是不就可以了？ 那这样的话就是一个 b c 啊，那我们来表示一下啊，那么 a c 的 话，呃 x c 的 话是一个三分之四 t 减去 x a， 是 不刚好是一个三啊？然后除以三，哎，乘以五是吧？然后 b c 呢？ b c 的 话是一个 y c 减去 y b y c 的 话刚好是一个三分之四 t， 哎，我这个地方写错了啊， x c 的 话是一个 t 啊， t 减去一个 a 点的横坐标，是不是三啊？是这个啊，然后 b c 的 话是一个 y c， 也就是一个三分之四 t 减去 b 点的一个纵坐标，也就是 t 分 之十二， 是这样一个值，那么它们两个是相等的啊，相等的，那这样的话我们就能得到一个一二次方程了啊， 也就是三分之四 t， 呃，减去 t 分 之十二，然后我们两边同时乘以一个三 t 嘛，同乘以三 t 以后，那不就是五 t 乘以 t 减三，然后等于一个， 呃，等于一个四 t 方减去呃三十六，是吧？然后我们一下向五 t 方减去一个十五 t 等于四 t 方减去三十六嘛，也就是 t 方减十五 t 等于，呃加上一个三十六， 那这个很明显是可以十字相乘的啊，也就是一一这个地方是十二，呃，三是吧负的，所以说一个 一个是等于三，一个呢是等于十二的啊，那么三的话肯定要舍掉啊，三的话就是他们两个这个点， d 点跟 a 点重合的时候啊，这个是要舍掉的，所以说 t 的 坐标的话就是一个十二了，哎，所以说 b 点的坐标就很简单了，就是十二，然后把这个十二带到哪里面呢？带到这个 b 点的坐标里面啊， 带到这里面是不刚好是一个一啊，哎，所以说 b 点的坐标就可以很轻松的求出来了啊，这样的话我们这个题就解决完了，整体的话并不是说特别难啊，还是比较好思考的。好吧，大家再思考一下， 我们继续看一下后面这个二十四题啊，那这个题目的话，呃，后面这一小问啊，还是不是很好想啊，呃，我们一起来看一下啊。首先第一问的话还是比较简单，是吧？ a 的 话求出来是等于一的，然后 c 求出来是等于三的，那这样的话，我们抛物线 c 二的解析式是什么？我们相当于是已知的啊， 呃，也就是一个 y 等于负四分之一， x 方加上 x 加上三，这样一个，呃，抛物线的一个解析式啊，呃。然后第二问，他说啊，呃，如图一是吧？ d 点和 a 点重合的时候 啊， a 点的这个地方它的坐标是二啊，呃，然后我们刚才这个题目里面，呃，就是在呃第一问哈，我们根据它这个直线求出来这个左边这个焦点的话是一个负二，这个 b 点的话，这个地方是一个六啊，包括 c 点的话，它这个地方是一个三， 呃，然后它让你求 e f 比上 df 的 值，是吧？ e f 比上 df 的 值， 呃，我们能够想到的是什么呢？能够想到的就是说 bc 这条直线我们是不是已知的可以求出来的， 那么 d e 的 话，他跟他是垂直的，那垂直的话他又过这个地点，哎，地点又是已知的，所以说直线 d e 这条直线实际上我们也是可以求的呀，也是可以求的啊，哎，所以说我们这样一连立以后，我们是不是可以求出来 f 点的坐标，哎，并且也可以求出来 e 点的坐标吧。 那这样的话，你想一下 ef 比上 df 的 这段的比例关系，那实际上我如果说我们去做垂线段的话，实际上是不也就是说他们的横坐标就是这一段横坐标差值，哎，这个编程的比啊， 哎，我来写一下啊，就是我们现在去做这个垂线段，那当然你用纵坐标也可以啊，比如说这个地方是一个 p 和 q 啊，所以说我们要求的这个，呃， e f 比上这个 d f， 哎，实际上它就等于什么？实际上是不是应该等于 q 比上一个， 呃， p d 啊，对吧？那么 p q 比上 p d 的 话，实际上也是它们横坐标的之间关系的一个比啊，那 p q 的 话，实际上也就是 e 点的横坐标是不要减去一个 f 点的横坐标，也就是 p q 的 长度是吧？那 p d 呢？ p d 的 话，实际也就是一个 f 点的横坐标减去一个，呃， d 点的话，它这个地方是一个，是不已知的是一个二吧。哎，所以说我如果说我们呀 能够啊，能够把这个 e 点和 f 点的坐标求出来的话，再带进来是不就很好求了？那这样也是比较好求的啊，我们来看一下， 呃，直线的话，都是已知的哈。 bc 这条直线啊，我们可以直接写了哈，斜率的话是一个负二分之一，然后纵截距的话，它的斜率是一个二， 然后终结句的话是一个四啊，是一个负四啊，因为它这个比例关系的话，是一个一比二的关系啊。下面这个点交的是一个负四是吧？写出来以后连力啊，连力的话，我们是不可以求出 f 点， f 点的话，我们求出来是一个 这样的话是五分之十四啊。逗啊，五分之八这样子啊，然后的话我们还要再去连立一下，求出这个一点的作呃一点的一个横坐标是吧？也就说连立谁呢？连立这个直线第一 也就是 y 等于二 x 减四是吧？还有一个是抛物线啊，也就是 y 等于负四分之一 x 方， 然后加 x 加三嘛，那么他们两个去连利的话，我们可以得到一点的一横坐标啊，得到的是一个，呃，去连利求解的话，得到是一个四根二减二，呃，这个的话肯定需要舍，呃，舍掉一个根啊，计算量是比较大的。那这样以后啊，我们就把这个 x 一 啊，包括这个 xf 是 吧？还有这个，呃， 这个五分之十四是吧？给他带到我们这个地方这个式子里面去，是不？我们就可以得到最后一个结果了，当然算出来这个最后的答案啊，还是比较古怪的，是吧？最后答案是一个 呃，算出来以后是一个呃，五倍的根二减六啊。啊，当然的话你只要细心去算啊，这个样也不会错。好吧，这是第一小问，然后我们看一下第二小问啊，他问你这个四边形的形状是吧？那我们现在已经知道了哈，已经知道了，说这两条直线， 呃，这个 b c 这条直线它俩垂直的对不对？并且哈，并且 f 点还是 d e 的 一个中点，哎。所以说我们现在要做的什么？你要如果说你想去判断它是一个菱形的话，因为我们猜一下是吧？猜一下垂直吗？大概率是一个菱形对不对？我们只需要再去证明什么，只需要再去证明它是一个平行四边形是不就可以了？也就是我们去证明 这个 f 啊，它是 bc 的 终点是不是就 ok 了？那么 b 点和 c 点的坐标啊，它的横坐标它都是已知的啊，所以说我们实际上我们实际已经可以猜到这个 f 点的坐标的话，横坐标它是不是应该是个三啊？ 对吧？所以我们只需要把它去表示出来就可以了啊。那这样的话我们我们因为牵扯到是两个解析式， 两个结式，如果说我们只设一个点未知数的话，我们要得到另一个点，我们是不是需要去呃得到直线的方程，然后再跟另一个结式去去连力啊？连力以后就会出现高次的情况，四次 啊，以平方的平方嘛，我们是不好解决的啊，所以说我们考虑到这样的话，就考虑到去设两个未知数啊，这样的话我们就可以去设， 呃，首先设 d 点的坐标啊， d 点的坐标的话，就可以设成，比如说是一个 m， 它的指数是一个四分之一 x 方，是吧？哎，四分之一 m 方减去二， m 加三了。然后这个 e 点的坐标啊， e 点坐标的话，我们就可以设成一个， 呃， n 呐， n 的 话是一个负四分之一 n 方加上 n， 哎，加上三，对吧？那么它们两个这个点有什么关系呢？它们两个点的关系就在这一个 f， 它们两个的终点 f 是 不是一定是在直线 b c 这条直线上的？哎，所以说我们就可以去求一下中点 f 了， f 还是比较好表示的哈，虽然说 可能是写出来比较复杂啊，但是还是好表示的啊。我们来看一下， f 的 话，也就是二分之一 m 加 n， 然后逗，二分之一是吧？把这个抄下来，四分之一 m 方减去二， m 加上三， 再减去四分之一 n 方加上 n 加上三，哎，然后你把这个 f 点的坐标给它带入到直线 b c 里面啊， b c 的 话是一个 y 等于负二分之一 x， 呃，是不是一个加三啊？哎，你带到这里面以后啊，你整理一下，哎，其实还是比较好整理哈，因为这个地方刚好里面会出现一个平方差，然后整理一下以后，你会发现你得到是一个 m， 呃，应该是 m 减 n 乘以一个 m 加 n 减去六等于零，那 m 和 n 是 不能相等的，对不对？这个就舍掉了，所以最后得到的实际上是 m 加 n 是 不是刚好等于六啊？ 哎，也也就是什么？你看也就是 f 点的横坐标看到没有？ f 点的横坐标二分之一， m 加 n 是 不刚好是一二分之六啊？也就是是几啊？是不刚好是一个三啊？那三的话说明什么问题啊？说明这个 f 的 横坐标是不是三啊？ 应该是在这边啊， f 的 横坐标是个三，是不刚好是 b 和 c 的 一个终点，那这样的话，我们就证明了哈，这个 f 点它实际上是 bc 的 一个终点， 是不也就证明了这个四边形的话，对角线相互平分，是不是一个平行四边形，然后再加上对角线是垂直的，哎，是不是我们最后可以判断出来它是不是应该菱形？ 哎，那这个就是我们具体的思路啊，就是是怎么从最开始的时候我们想着，哎，设一个点，得到另一个点，最后把它否定，然后设两个点，那么利用他们中点的关系，是吧？在这条直线上，那么在这条直线上，实际上我们是得到了一个等式嘛？ 我之前跟大家说过哈，初中的话，百分之九十以上的问题都是通过呃找等量关系，然后列方程进行求解的啊，那这就是一个很好的一个例证，是吧？ ok， 这是这个二十四题啊。 啊，我们继续来看一下最后这个二十五题啊，那这个二十五题的话，最后一小问可能是有点难度啊，不太好想。那么前面这些问的话还是比较简单的啊，首先就是位置关系啊，这个是平行的关系。 呃，通过上面这个条件啊，同方内角互补，是吧？那这样的话我们可以得呃，很轻松的得到。呃，然后呃第二小问，数量关系，角度，数量关系，这是一个角 a， d， e 啊，是等于两倍的 角 c， e， d 啊，那这个怎么去判断啊？ c， e， d 在 这呢，看到没有？然后 abd 的 话， a， d， e， a， d， e 是 在这呢啊？ 呃，然后因为是终点嘛，这个地点它说是 bc 的 一个终点哈，然后我们就可以想到是给它进行一个一个延长，是吧？也就是我们说这个内倍长嘛，内倍长，中线啊， 内倍长，这样的话，我们延长以后再延长一下 m c 两个设线交于点 p， 那 这样的话，我们可以很轻松地证明出来，这三角形 a， b， d 是 不是要全等于三角形？这个 p， c， d 啊？ 啊？怎么去正的啊？就是可以用一个角导边啊，你看一下这个地方角一是不是和角一相等的，对吧？内错角，然后这个地方又有这个对零角啊？再就是这个 b、 d 是 不是要等于这个 c、 d 啊？ 这样的话可以证明全等啊，那么全等以后啊，你看一下，我们就可以得到这个对应边，是吧？也就是 a， d 是 不是要等于一个 呃，这个 p d 啊？那么题题目里面他又告诉你的什么？告诉你的是 a d 还等于 d e 呢？哎，所以说 p d 和 d e 就 相等了啊，哎，所以也就是说这个 d c， e 这个地方是不是也要等于一个角 e 啊？ 哎，也要等于角 e， 那 么这个时候这个 a， d， e 啊，也就说我们要求的这个角，是吧？ a， d， e 这个角是刚好是这两个角 e 的 外角啊，刚好是一个两倍的关系是吧？所以说我们就得到了角 a d e 是不是要等于两倍的角一啊？也是，其实上也就是得出的这个结论啊。呃，那么第二问的第一小问哈，跟上面这个，呃，这个第一问的话是一样的哈，证明的方法也是完全一样的。还是一样啊，去进把它进行一个延长嘛？延长啊 啊，我我就这样画一下啊啊，比如说还是交于点 p 啊啊，同样的还是一样的，只不过我们这次证呢，不是全等了哈，是一个相似嘛，角一角一是吧，然后对零角角二角二， 然后乘比例啊，乘比例相似相似比的话是一个，他说这个 d e 等于一个。呃， d e 等于两倍的 a d 是 吧？ 呃，然后 d 点的话，刚好是一个 k 等于二的时候啊， k 等于二的时候，也就是说这个相似比的话是一个一比二的关系啊。呃，所以说， 哎，刚好这个 d p 是 不是要等于两倍的 a d 啊？那么 d e 也等于两倍的 a d 哎，所以说这个 d e 啊，和这个 d p 是 不是就相等了？ 所以说上面这个角也是角 e 啊，等于三角形哎，也就是跟上面这个这个推导的方法是一样的啊。外角是吧，所以也是等于两倍的角 e 啊，所以结论是成立的，那证明的方法也是一样的啊。好吧， 然后我们重点来看一下后面这个第二小问啊，来分析一下。首先呢， k 等于二，也就是说这个 b d 啊，比上 c d 还是一个一比二的关系啊。然后 ab 等于两倍 c e a b 等于两倍的 c e 啊，这两条边的比例是一个一比二的关系，那你求的是三角形 a、 e、 f， 哎，这个和三角形 a、 b、 c 的 比啊，呃，面积比。那么我们来观察一下啊，这两个三角形 它们有什么？就是说能联系到一起的地方，对吧？有什么能联系到一起的地方？首先的话，我们看一下啊，它们两个能联系到一起的地方的话，首先就是一个，是不是可以可以去做高啊？ 看一下，如果说我们往这边去做高的话，比如说这个是 h 二啊，然后这个三角形 a、 e、 f 的 高， 哎，比如说是一个 h 一 的话，那他们两个的高，你看一下他们两个高是不是是有关系的？ 因为什么？因为我们前面这一问已经求出来了啊，已经求出来这些角度，是吧？平行角度是不是像呃，这个内错角相等啊？所以说三角形啊， 比如说这个地方是 h 一 啊，这个地方是 h 二的话，这三角形啊， a、 b、 h 一， 它一定是相似于三角形 e 这个 e、 c、 h 二的呀，对不对？而且它的相似比我们也是也是知道的呀，是一个二比一的这么一个关系啊，哎，所以说他们的高的话，是不是也是这样一个关系啊？ 也就说他们的高的比是一个一比二，对吧？也就说他们的高的比是一个一比二， 哎，然后的话他高我们呃得到了，那么再看一下他们的底呢？那他们的底，你看一下一个 abc 的 底是不是我们以 ac 为底的话，是不是 ac 啊？ 对吧？那么三角形 aef 的 底，你看一下他就不是 ac 了啊，哎，刚好是一个，是不是一个 af 啊？哎，所以我们就想他们的是高的比，我们已经知道了，那么如果说我们再能够得到他的这个底的比的话， 哎，是不是我们就可以把他们这个面积比给算出来了？哎，因为这个面积等于底乘以高嘛，是吧？底乘以高，所以说底的比高的比，知道了底的比再知道是不就 ok 了？哎，那我们就来看一下能不能得到他的一个 这个底的比啊？那么底的比的话，实际上也就是要得到这个呃 af 是 不是比上一个 啊？ ab 的 长度啊？但是这个地方我们直接去得到它的这个 a f 比 ab 的 话不太好得，是吧？我们退而求其次，如果说我们能得到 a f 是 不是比上一个 fc 的 一个比值的话， 这个会更好得到一点，因为什么它牵扯到是不是可以用八次的相似去进行一个解决啊？你看一下这个 a f 和这个 fc 分 别是不是两个三角形的， 它这个对应的边相似三角形对应的边，但是这个相似三角形的话需要我们自己去补出来啊，我们只需要把这个 e d 进行一个延长，然后 a b 进行一个延长，哎，比如说这个地方是一个 呃，是一个呃，是一个 p 点吧？这个点我们设成一个啊，是一个 g 点吧，那这样的话我们就可以得到呃得呃就可以得到这个相似的八字，是吧？那首先第一组的话，就是这个这个 b d j 啊，和 这边这个 edc 是 不是相似的？并且他们的相似比是吗？是不是一个一比二，对吧？那再有一个跟我们这个 a f 和 f c 相关的这个八字，是不是这个 ab 啊？不是这个 aj 是 吧？ aj f 这个三角形和这个 ecf 这个三角形，那他们的相似比对应边的比例关系是不刚好是一个 a f 比上 f c 啊？哎，所以我们从这个地方去入手啊，去入手，那首先我们是要研究第一个八字啊， 也就是我们要得到什么，要得到的是 b g 比上是不是 ec 是 不刚好是一个一比二的一个关系啊？那么这个 ab 呢？ ab 的 话，它是等于两倍的 ec 的 啊，所以说这个 a g 的 长度啊， a g 比上， 呃，这个 e c 的 话，你想一下，是不是刚刚下面这个地方是两倍的 b j， 上面的话就是应该是五倍的 b j 了， 对不对？哎，所以说我们就知道了啊，这样的话我们就得到了，那么 a f 比上这个 f c 的 话，是不是也应该是这个五比上二的一个关系啊？ 那么我们这个底的比是不就可以得到了？那底的比的话，实际上是 a f 比上谁啊？比上一个 a c 吧，那 a f 还是五份的话，那么 a c 的 话，应该是占成这五加二，说明是七份， 哎，这样的话，我们就可以得到它们的面积比了哈。面积比的话是三角形，这个 aef 是 不要比上一个三角形 这个 abc 啊。我们来看一下，实际上也就是二分之一的 a f 是 不是乘以一个 h 一 啊？比上一个二分之一的 a c 乘以一个 h 二啊？然后把这个比例关系带进去啊， a f 五份是吧？ h 一 的话是一份的话， a c 的 话是一个七份乘以一个，呃，这个， 呃，这个两份，是吧？所以最后的面积比的话，是一个五比上十四的，哎，这样一个关系啊， 哎，这个挡到了，是吧？还是一个五比上十四的这样一关系。那这样的话我们通过呃，比例的一个转换啊，我们就把它这个面积比给它求出来了。那么本质上的话还是用的我们八字相似啊，包括实际上前面的第一问 啊，也是用的一个八字相似，对吧？啊？这个地方大家要注意一下， ok。

来，我们看一下这个的一个真题啊，这个题实际上是用一个八字相似，是可以直接秒掉的。 老师，我怎么没看出来呢？实际上你会发现一个问题，在这地方实际上就暗示了一个八字相似，这在我们过往的视频里面是有进行强调过。好，那我们来正式去解这个题。 他说在一个等腰直角三角形当中，角 c 是 九十， a， c 等于 bc 等于个八的是 ab 的 中点，这种情况下让我想到了一个三线合一，对不对？好，那如果说今天是体现出三线合一的话，那我一连废的。我们会发现第一个问题， 其中 c 得和 a 得的长度是相等。第二个问题，这个角度是九十。好，把这个九十我们把它拆成两个角，那也就是说，一，这是一个角二，角角一加角二是等于一个九十。再来这个角度是多少度？这个角度就是一个四十五度， 因为它是一个垂直。同理，这个角度是不是也应该是四十五度？这才是一个三线合一的一个完整写法。 几个人说点 m 是 边 a， c 上的动点做的 n 垂直于德 m， 你 说他怎么那么巧就做一个垂直呢？实际上他暗示了我什么东西啊？暗示了我一个问题，角二加角三。 好，我们继续写它。角三加角二也是个九十。好，翻译过来，角一和角三什么关系？相当，原来是告诉我是角一和角三相等，你直接说就行了呗。 实际上他并不是在告诉你这个东西，他实际上在告诉你什么三角形的全等。老师，哪个三角形？那会发现是三角形 a、 m， d 和三角形得 c、 n， 它们是一个全等的， 理由是什么东西？理由是 a f a a f a 两三角全等好， 全等于三角形 c n 的 好。那我现在获得全等有什么用呢？那实际上我就可以倒一个边，其实 a m 和 c n 的 长度应该是相等的。好，我们倒这道题的一个梯眼了， 他说延长 md 与点 p 使得的屁等于二分之 m 的， 这地方无脑想八次相似。老师，为什么？那你看一下，我们来关注一下这种。是的屁，这地方是 m 的， 那的屁和 m 的是不在一条线段？那一条线段是不是呈现一定的数量比？ 而这种数量比实际上在暗示我这道题要么是正 a， 要么是正八。我们之前录过好多视频都这样的，这地方是 m， 这地方是正八。我们之前录过好多视频都这样的，这地方是 m， 这地方是 du， 这地方是 p。 比如说假设这地方是二 x， 这地方是 x， 它们之间的比值是不是成一定的数量比？这种情况下，我们首先来进行演示一下，第一种情况可能是正 a 对 不对？好，这地方是立下去二模的 解决方法。还有种情况是正八，无论是正也好，正八也好，这两边都是什么关系？平行的关系。所以说我会发现这题有个对零角，我想到了平行，那也说过，点 p 是 不是做与 a c 的 平行啊？ ok， 做他的平行。你说这个地方是一个九十，那你说这个角度多少度？哎，九十。好，那做完这个九十之后有什么神奇的？这时候情况下，你第一时间把这地方标一个四十五啊，应该有这个。那也说我们会发现了一个三角形的相似。 好，那我们去写下三角形的相似第二步，由得屁等于二分之一的 m 向八字相似，由八字相平行， 剩下就是做的 p、 j 垂直于 b 角 b 的 与 t。 好， 我们可以得到三角形 a、 m、 d 是 相似于三角形 t， p 的。 好， 那这地方相似完之后，这个人家告诉你了，这个边和这边的比值是一个二比一，说把剩下两边长比值是不是写出来？老师，为什么写出来？因为这个题我现在不会做。好 比上 p 的是等于一个 am 比上 p， 它也是等于一个 a， d 比上 p 的 等于二比一。 那老师写完这个东西你之后，你会做吗？不好意思，我现在会了。老师你在胡说，因为你看他的最后一问，他说是求三角形 p、 n、 b 的 面积大时求 am 的 长度，那求什么长度？我们数学里边有个方法，叫什么求什么？射什么？射什么？老师，我射 am 长度是 x， 大哥，你没事找事干嘛？这话他有个二分之一，我凭什么不设？他是对不对？这地方是 x， 这地方就是二次，这层都是二次，我们最凡是出现了什么呢？出现了一个二分之一这种情况。好，那再来看 a、 c 等于个 bc 等于个八， 很显然这是八减二。好，那老师还接下来怎么办呢？接下来你看一下你是不是只利用了一个什么东西？ am 比上一个 p， t 还有一个边，你用上了吗？ a 的 比上 t 的是得二比上啊，我们用上用一句， 这地方是八，我们好像知道一，一跟二，所以说我们得到 a 的 长度是二根二，那得 t 是 二根二， b， t 是 什么？ b， t 也是二根二， 这是四十五度，这叫一，一跟二。所以说我们是不是可以解出来一个 t g 的 长度啊？ t g 的 长解啊？ t g 的 长度原来是二。好，那这个题就妙了吗？不好意思，这题结束了，我把要求这三角形的面积给你表示一下。好，那三角形的角形。 这种情况下，由于现成的有一个高，我肯定是选选 b， n 为底，二分之一， b， n 乘以一个 p， j 等于二分之一八减二乘以二加 x， 这个是二，这是 x。 好， 再画点一下。根据个人的喜好啊，有人喜欢换成一般式，那你就换一个，就是负的 x 加二， x 加八。 有人就是老说就不喜欢这一般说，就喜欢配方，配方小于负的 x 减一的平加九，这样。好，那这种情况下， p n b 的 最大值是不是一眼看出来了，它最大值是九。人家是问你求 b 最大值吗？不是，是当它最大值。是，是求 am。 求 am 实际上是什么东西？ am 是 等于二， x 实际上就是求 x， a 是 等于负一小零，所当 x 等于一时 s， 三角形 p n b 有 最大值九，所以此时 am 等于个二， x 减二。说这题答案二就 ok 了。 好，那再回过来，我当时说过，说这个题一元秒，它是不是非常有道理？就一条线段上只要存在一定的数相积，无脑想正 a 和正八，所以辅助线非常合理。 第二部分，求面积的最大值，大家在进行，记住，只要是求面积大值，百分之九十的概率是构造二次函数，次函数而言，百分之九十的概率是构造二函数啊。之前历城区也是，拜拜。

大家好，今天跟大家分享的是来自于山东济南一模的填空的一个压轴题，也是一个非常经典的一个翻折问题啊，但这个翻折问题，他在求最值的时候啊，还是很有特色的，我们来看一下， 在矩形 abcd 中， ab 呢等于六， bc 呢等于八，那么点 e 和 f 啊，分别在 a d 和 bc 边上 将四边形啊 ab， 呃， fe 沿着 ef 做一个翻折点 a 的 对应点呢是点 h， 点 b 的 对应点呢是点 g， 然后告诉我们呢， 呃，恰好落在了 c d 边上，这个点 g 呢恰好落在了 c d 边上，然后呢连接 b h， 让我们求的是呢，三倍的 b h 加四倍的 ef， 最小的时候 f g 多长？ f g 等于 f b， 呃，他俩是相等的，实际上呢，就让我们呢找到一个 f 点，使这个 f 点呢正好能满足呢咱们这个三倍 b h 加四倍的 e f， 呃，这个取值呢会最小。 那么我们大家来分析这个问题啊，首先就是这个式子，两个线段前边都有系数，我们一定要想办法把这个系数呢给消灭掉。 然后呢，大家在这里头啊，注意观察这两个系数之间的关系，大家看三四六八好像正好成比例啊，它们之间会不会有一定的关联呢？ 哎，这个是呢，咱们在这里头啊，需要呢特殊考虑的问题，由于是一个翻折问题啊， e f 是 对称轴，所以呢，我们大家呢很难会能想到呢，把两个对应点呢给它联系起来， 那这个时候啊，他会与咱们的这个对称轴啊，形成一个垂直平分的这么一个关系。哎，那这个角呢，我们看啊，他呢对应的就是呢一个直角， 那么有了这个是直角啊，大家看我们这个 e f 与我们的这个 bg 啊，就满足了一个垂直的这么一个关系，那这个垂直会带来什么呢？这里头非常重要的一点啊，你知不知道呢？这个十字架模型， 十字架啊，在咱们这个矩形还有正方形翻折的时候非常有用，那像我们这个呢，典型的是一个矩形的翻折，这个时候啊，实际上呢，我们这个 b g 和 e f 之比应该等于四比三， 为啥呢？这个里头我们可以简单的证明一下啊，我过 e 点往 bc 上做一个垂线段， 那做完了这个呢，大家注意观察啊，我们呢，呃，这个角，这是一个直角角， c 呢，这也是一个直角，所以 f c g 加上呢，我们这个焦点 会呢构成一个四点共圆，当然你不做这个四点共圆，你去导角也能导出来啊，我们只是这样做呢，会方便一点。那这个四点共圆之后呢，我们知道圆的内接四边形，外角等于内对角，所以 e f p 这个角， 那么就应该和 b g、 c 这个角相等，再加上都有一个角是直角，那就能证明呢，三角形 b g c 与三角形啊， e f p 这两个三角形呢，应该是相似的，那对应边之比， b g 比上 e f 不 就等于 b c 比上呢？呃，我们这个 e p 吗？那就等于呢四比三。哎，这个结论呢，对我们来讲非常重要， 哎，我们要想办法呢，要能够把这个系数啊，要么给它去掉，要么改成什么呢？这两条线段的系数相同，然后我们发现这个 b g 啊，三倍的 b g 恰好等于四倍的 e f， 呃，这个结论呢，我们把它先给大家展示到这啊，三倍的 b g 等于四倍的 e f， 所以我们这个三倍的 b h 加四倍的 e f， 可以 想三倍的 b h 加 b d， 大家看，把系数提出来之后，只要括号里的最小就行了呗，你看，我们就巧妙地把这里面的系数给去掉了， 这个就是呢，咱们在这解题的时候的一个要领，哎，把这个系数给化掉，为啥能化掉？就因为 我们这个系数之比啊，恰好与我们这两条线段边长之比啊，那么是一样的。好了啊，那现在呢，变成了 b h 加上 bg， 我 们发现还是搞不了，为啥呢？因为这里 g h 都是动点， h 点的轨迹还不知道， 只有 b 点是一个定点。这个呢，我们不行，还是做不了啊，两条线段之合。但这个呢，能够让大家呢，呃，更快的会想到呢，我们想办法把它画成呢，两静一动，现在是什么呢？是两动一静，那怎么画呢？大家看啊， 我们其中的一条线段是 b h， 是 呢，原来的点 b 和 a 的 对称点 h 的 连线，那我们根据对称性啊，我们大家知道他一定与跟谁相等呢？跟 a 点与 g 点之间的连线距离应该是相等， 这是咱们对称的一个基本的一个性质啊，有翻折的时候呢，一个基本的性质，我们连接上 a g， 那么这个时候呢，我们可以证明出来， b h 和 a g 相等，那怎么证啊？大家可以证明三角形 b h g 啊与三角形啊啊， g a b 这两个三角形呢，是全等的，怎么证全等呢？用边角边，大家看这两个三角形都有 b g 这么一条边嘛， 都有一个公共边是不是？然后呢，我们这个 h g 和 ab 也是相等的，又要找了一条边，那再找假角呗，看这个角 h g b 这个角它等于九十度减去 f g b， 对 吧？再我们再看这个角 g b a 这个角，它等于呢九十度减去呢 f g f g b 和 f b g 是 相等的，所以啊，我们就可以证明这个三角形全等啊，全等之后呢，呃，这个结论就有了， 那这个时候啊，我们大家就可以呢把这个结论化成呢三倍的 b g 加 a g， 那 这个时候 a 和 b 都是定点，只有 g 一个是动点， 那么 g 又在 cd 的 这条线上运动，所以这个就是典型的一个将军野马问题。 那么下边呢，这个解法呢，大家都很熟了，我就快点说了，我们延长呢 bc 到点 q， 使 c q 和 bc 相等，然后呢再连接上呢 g q， 那 这个时候啊，我们这个 g b 和 g q 就是 相等的，哎，这是咱们这个对称的性质， 那么有了这个之后呢，我们就可以把原来的这个式子，我们就可以变成是谁呢？三倍的 a g 加 g q， 那 么 a g 加 g q， 我 们大家知道两边之和大于等于第三边，我们就想到呢把 a q 连上，那这个时候啊，当 g 点恰好落在 a q 这条线上的时候， 哎，就在这个时候，我们呢就能够取得咱们的对应的我们要求的这个数值最小值，其实这个时候呢，就是 a g q 三点共线的时候最小， a g 加上 g q 最小，那这个时候呢，三倍的 b h 加上四倍的 e f 也最小，那这个时候大家注意，由于 c 啊是 b q 的 终点，所以这个 g 啊，也一定呢就是我们这个 a q 的 终点， 那么所以啊，我们这个 c g 呢，他就是一条中微线，哎，他呢就长度就应该等于 ab 的 一半啊，那当然是终点时候，你说等于 c d 的 一半也行啊，这就是一个一半的问题了，那么下面要求谁？大家看我们要求这个时候的 f g 的 长度， f g 在 这呢，他和 f b 相等，那咋求啊，这个时候没什么好办法啊，列方程是最简单的， 我们呢可以呢设这个 f g 等于 x， 那 你这个是 x， 这个不就八减 x， 这是三吗？那就可以解勾五定里就行了，那我们会有呢， x 的 平方等于八减 x 平方加三的平方， 这个方程看着挺复杂，实际上 x 方能约掉，这是一个一元一次方程，非常好解，解出来的 x 等于十六分之七十三， 这个呢也就是咱们呢对应的这个 b g 啊，它的一个 f g 啊，它的最后的一个取值，哎，当 f g 等于十六分之七十三的时候，三倍的 b h 加上四倍的 e f 就 最小了，这就这个题啊， 这个题呢，我觉得还是有一定的难度的啊，给了四星，大家还有什么好的办法？欢迎呢大家分享到评论区，咱们今天分享这个题啊，咱们就讲到这。

中位线问题第五讲，今天我们来关注一下与其他的中点来构造中位线的这种形式。在我们初中数学体系里面，关于中点我们大概会接触以下几类，第一个就是三线合一 里面会出现中点，第二个中位线里面会出现中点，第三个背长中线 会出现中点。第四个直角三角形，斜边的中点， 也就是直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半啊，这四个是我们初中关于中点 做的题型最多的啊，这几类，那我们今天就看看在构造中位线的过程中，如何去与其他的这些关于中点的内容进行结合。好了，我们来看一下今天的题目。已知三角形 a b c 中角 a c b 等于多少度，等于九十度， b c 等于 a， c 等于四，所以是一个等腰直角三角形，将直角边 a c 绕 a 逆时针旋转至 a c 撇，所以 a c 撇的长度也是四 连接 b c 撇啊， e 为 b c 撇的终点。好，现在 e 是 终点 连接 c e， 求 c e 的 最大值。在前几期的节目里面，我们也涉及到了最大值的问题，那最大值的问题，常老师当时也讲了，我们初中用的最多的一个是三边关系，还有就是一箭穿心的这种结构。 那么这道题我们看一下这个最大值用的是什么知识呢？首先我们来先看中点怎么构造啊，怎么把这个中点放进三角形里啊，这个也是我们第一讲讲的最底层的内容。 好了，我们来看三角形 abc， 它是一个等腰直角三角形，然后 e 是 一个终点， 我们怎么去把 e 放进这个三角形里呢？那么这道题其实我们可以结合一下我刚才提到的四类中点里面，其中的一个直角三角形的斜边中点，我们连接找到直角三角形的斜边中点 m， 这个时候我们连接 em 和 cm。 啊，这样连接之后，我们看 在这个三角形里 ac 撇 b， 这个三角形里，这个时候 e n e m 是 不是就变成中位线了，所以它平行于 ac 撇，并且等于 ac 撇的一半，那 ac 撇等于四，所以它是二。 好了，那这个时候我们看 c m， 它的长度，它是在直角三角形里，斜边中线等于斜边的一半， 那这是四，这是四，所以 ab 的 长度就是四倍根号二，那 c m 的 长度就是四倍根号二的一半，也就是 二倍根号二。好，那这个时候我们看求 c e 的 最大值，正好组成了我刚才说的求最大值，我们又利用三角形的三边关系，正好组成了三角形三边关系这样的一个结构。好，那接下来 c e 的 最大值是不是就是 c m 加上 m e 的 最大值，那这道题可以解出来， c e 的 最大值就是二，加上二倍的根号二， 这道题我们就构造完成了啊。但这道题的构造方式其实就是要把我们整个初中这些终点形成一个体系去学习。在做题的过程中，如果出现明显的啊，这样终点之间互相联系的这样一个结构，那么其实我们可以快速的把这道题做出来， 包括我们前几期讲的啊，这个背长法，对吧？小红旗的这个结构其实有点类似于我们的背长中线，对吧？我们在学三角形全能里面这个背长中线的这样一个结构啊，所以这些体系都是相通的。同学们， 嗯，听完中卫县这个专题之后，我相信你对整个中卫县这个体系的认知会有一个非常大层次的提升。这道题就讲到这里，你听明白了吗？大伟帮你建大厦，思维开挂成学霸。

关注原理原来这么简单立体，讲透一遍就会。让我们来看下第一个题啊，第一个题，它是这么进行虚述的啊，这么进行虚述，我们先把我这地方擦掉啊，大家方便看一看，然后再把它的地方形成 好。它是这么进行虚述，它说的是什么东西呢？它说的是 o， 是 b， c 边中点，且 o e 的 长度是二，连接得益。将什么东西呢？将 d e 进行逆时针旋转九度，得到一个 f 啊，求 o f 最小值。我们会发现，首先来判断一下它是否是刮豆 啊？它是刮豆，为什么呢？是因为什么东西啊？是因为 e 的 比乘 f 的 比值是 e， 且 e f 的 角度是九十度，所以我们可以证明它是刮豆。然后它的刮豆到底是圆形刮豆还是一个线圈刮豆呢？啊？它是一个圆形刮豆， 那，那为什么能知道它是一个圆形刮豆呢？我们可以看，因为 e 的 轨迹，我们知道它是一个圆。 为什么 e 的 轨迹是一个圆呢？是因为题目中说了 o e 的 值是几啊？ o e 的 值是二，且什么？且 e 是 正方形的动点 啊，正方形的动点，所以说它的轨迹是一个圆，它的轨迹是一个圆的话，就从而导致 f 的 轨迹也应该是什么？ f 的 轨迹也应该是一个圆。那如果去寻找它这个圆形轨迹呢？首先我们要无脑写三个叫心定，心的加角的原始角度，心定，这是不是叫定， 然后新定心加角九十啊，九十，然后新定比上新定，比上新定的比值对原式比值，原式是几啊？是一啊，所以这长和这长是什么相等？啪 m 点确定了， 因为在 f 在 这位置啪划一个圆轨迹。确定了。好，那如果去求 o f 最小值呢？那 f 的 轨迹在这 o 是 一个定点，是不叫一箭穿心，其中 f 点在这位置就是最小值，啪，延长过来，这个位置是不是就最大值？好，那老师怎么去算它的最小值呢？是不是应该用 o m 的 长度减去 f m 的 长度， 而 m f 的 长度。由于知道这长度比值是，这长度是几啊？是二，比值是一比一，所以这长度也是二，所以说我应该用 o m 的 长度减二就 ok 了。那现在关键一个问题，如何去求 o m 长度？又因为我发现 o d m 是 一个九十，那也说我会发现这地方长度之比是一比一，叫一，一跟二。 那我们会发现我只要求得 o 的 长度，是不是 o m 长度？知道了哦，那么进一下，那 o 的 长度到底怎么求呢？我们发现 ab 的 值是几？ ab 的 值是二根五，这是什么图形？这是一个正方形，所以说 c 的 值也是几啊？也是二根五， 那也二根五的话，那 o 是 什么点？ o 是 中点，所以说这个长度也是根五，那这地方叫一二根五，所以说我们发现 o 的 值是啊， 五啊， o 的 值是五，同时扩大跟五倍嘛。那大家说，老师我用固定力能不能算也是可以的啊，也是可以的。好，那这地方是五的话，这个长度一，一跟二，所以说这长度是五跟二，五跟二减去二，这个时候答案是五跟二减二，拜拜。

哈喽，同学们好，咱们今天一块学习一下二六年济南市 历城区初三数学一模题里边的第九题，也是一个词汇作图的题，如图，在边长为二的正方形的折中，很明显做了呃， 两条线，第一条，第一个方法做的是角 b a 那 个 e a b 的 垂直平分线，对吧？第二条的话是 圈二，就做了角 b a f 的 角平分线，对吧？这个的话啊，都非常一目了然。第三个就是做了一个 m n 垂直于 a 的 于点 a， 然后让咱们去求 m a 的 长啊。这个的话，首先选项是选对哈，这个题的话告诉大家两个方向哈，第一个方向的话 不要求 b m 这段长已经知道了，所以说我把这个角 b a m 角标成 r 法， 那我第一个方法，我只要能求出探二法来，等几次就可以了。探二法很明显等于 b m 比上 ab， 那 就等于 b m 比上二。我知道了探二法，然后呢，乘以二，那就能把 b m 给他求出来了，对不对？那探二法怎么去求呢？很明显 这个角 m 角 m a f 也是二法，对吧？然后呢，这边是个角，我给它设为 b， 它很明显探 b， 它 是等于的 f， 再比上 a 的 等于二分之一，对吧？它等于二分之一，那很明显， r 法和二， r 法和比特是互余的， 二 r 法加比特等于九十度，所以说探二 r 法，咱就能知道等于二了，对吧？如果两个锐角互余，它的正确值就互为倒数，对不对 啊？这个的话都没没问题，对吧？那探二法等于啥呢？那就等于两倍的探二法，再比上一减去探二法的平方，那它就等于二，对吧？那探二法是不是都求出来了？探二 法求出来等于二分之根五减一，那所以说 b m 那 就等于根五减一了，对吧？非常方便啊，这就是典型的用的是证券里边的和的公式啊，二倍角公式啊。 来，再看，那这个的话，如果说我有的同学说我这个公式我不会怎么办？那这里也可以按照角平分线的性质，咱要求 b m， 那 很明显， b m m 是 不是 am， 是 不是一条角平分线，对吧？那么我就可以干什么呢？我就可以过 m 向 a f 做条垂线， 垂足假设为 h， 为什么做它？因为这角平面点到角两边的距离相等嘛，对不对？那，那这是我就求 b m， 就是 相当于求 m s， 对 不对？然后的话，我再把这个 m f 给它连起来，那很明显，我这时候呢，此时就构造出来了一个直角三角形，三角形 m h f， 这是一个直角三角形，对吧？求 b m， 那 我就设 b m 的 长为 x， 那 m x 是 不是 m h 是 不是也是 x， 对 吧？咱都知道了， h f 的 长， h f 的 长是不是等于 a f 再减去 a h a f 是 根五，对吧？因为得 f 是 一， a 的是二， 然后呢， a s 很 明显等于 ab 等于二嘛，对吧？为什么呀？因为这两个三角形 a b m 这个三角形和 a h m 这两个三角形是不全等，对吧？都很简单啊，然后 s f 知道了，那现在的话，我只要能表示出来 m f 就 可以了。 m f 的 平方很明显等于 f c 的 方，再加上 m c 的 方， f c 很 明显是一， m c 呢，那就是二减 x， 对 吧？那就是二减 x 的 平方，这样的话，勾股定律就可以把它搞定了， m f 的 方，在这个三角形中， h m f 中它等于 m h 的 方，再加上 h f 的 方，对吧？ m h 的 方是多少？ x 方， h f 的 方呢？那很明显是根五减二的平方，对吧？然后他两个相等，这样 x 就 直接求出来了，等于根五减一，也非常方便哈。所以说的话，大家注意这种题两种方法，第一个的话就是通过呃 正切值和那个二倍角公式，对吧？第二个的话就是咱们角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等，这样的话就把这题。

二零年济南中考考前最有含金量的一条视频，我们来看一下济南中考数学二四年和二五年选择题答题的一个分布情况。各位家长，你发现有什么样的规律呢？ 一共十个单元题， c 和 b 他 都出现了三次，然后后面的 a 和 d 是 出现两次，如果你要是会啊，咱就正常写，我说的是啥呢？是你现在啥也不会了，就是没招了，你蒙你也得往这个方向去靠一靠，最起码它也是个小的方向， 比如说咱前九道题你非常有把握，但是 d 选项只出现了一次，第十题的话，你压根一点思路和想法都没有，你拿不准的情况下，咱能不能直接选 d 呢？蒙呗，到时候蒙也是有个方向可以蒙的呀。各位家长和考生啊，咱们可以拭目以待一下到底是怎么回事。

大家好，我是舒瑶学姐，今天带大家看一下济南中考数学模拟才题卷，题目贴合济南中考命题风格，兼顾基础计算、几何证明与实际应用，梯度清晰，自重考察基础知识、运算能力与数学建模、几何探讨能力。需要解析版试卷的可以给我留言。

这阶段啊，中考第九题考什么？相信通过孩子们的刷题会发现中考第九题它是考指名作图几何的这种综合题，当然它考两个线，一个是角平行线，一个是中垂线，所以你首先要把这两条线它对应的，我一看到这个线我能到什么知识点，你必须要知道。比如说角平行线它的四个性质，第一个平行角基本上都 要用，第二个就是角平行线的点到角的两边的距离相等，大约有一半多的题目会用到这个知识点。第三个是我们在做题的时候会发现有一些它会知道和面积相关的，那面积相关的时候，它就会用角平行线定理， 也就说角平分线两个邻边之比就等于他分的底边之比，那这个也是一个非常常考的点，并且这个点我们在高一啊第五章学三角函数的时候，以及我们到了高二上高一下学期去学向量的时候都会 用的到。所以说这个知识点是一个初中老师我重点讲，或者说根本不讲，但是高中的老师却认为你初中学了一个知识点，属于青黄不接的知识点， 我们一定要会。那么这角平分线的第三个结论，那么第四个结论就是我们角平分线，既然哎往角的两边做垂线之后形成的这些线段都相等，角都相等，那么就会形成一对全等的三角形。那么这四个性质是咱们做中考第九题看到角平分线的时候，百分之百会用上的知识点。 那么第二个知识点，第二条线就是中垂线，也就是说线段的垂直平分线，有的同学基础可能薄一点，可能连这个线是谁的垂直平分线都不知道，是有一定技巧的，比如说我们说是以 a、 c 为圆心，怎么怎么的去画这个这条线哈，再比如说以 a f 为圆心，以 b、 c 为圆心，那么当你看到以这样的两个顶点为圆心的时候，那么你画的中垂线肯定是这条线段，比如说以 a、 c 为圆心，那么肯定就是 a c 的 中垂线，以 ab 为圆心，肯定 就是 ab 的 中垂线哈，这是一个对于基础薄的东西的一个做题技巧哈，你要知道谁是这个原来的线段，谁是中垂线。那么第二点就是咱们中垂线到底什么结论？第一个也是一样，它的定义，能够垂直平分线段 就得到两个知识点了。第二条就是垂直平分线点到线段的两端点距离相等，所以说像角平分线也好，还是垂直平分线也好，它上面点会非常特殊，一定把它深描一下，一定做标记，线段没有的，你就画出来就是了。那么这是垂直平分线的第二个性质。那么第三个性质是，哎，我们既然形成的这些线段啊，都相等，也有垂直，也有平分啊，那么就会得到一对 反等的直角三角形。同时第四个性质也就出来了，会得到一个大的等腰三角形，那包括等腰三角形，三角相等啊等等，这些性质都可以用的上。这是我们做第九题的时候，首先你必须要知道的两个基本的知识点。 第二点哈，他常考和一些几何模型相结合，那么到底是什么样的几何模型呢？比如说我们比较常考的看到一些线段长度，他都是一些线段长度问题，那么这些线段长度呢，恰好在一个公共角的两边分布着，包括所要求的也好，还是已知的也好，恰好是这个角的两边分布着呢？那这绝对是子母型相似，也就是说这套相似，但也有可能考什么相似，说 定律就锤中锤相似等等，这些与相似相结合。再有一个最常考的，包括我们中考第十五题，也特别常考的什么呢？在正方形和矩形中，我们去角平分线，中线做出来之后会形成类似于我们去学折叠的时候，折叠对称，那么会形成一对或者两对，这样的折叠对称会叫折叠全等三角形。那么像这种题目 肯定是干嘛呢？肯定是求边。对于这种题，我们求边的时候，第一个技巧就是我们折叠之后，一般它是直角折叠，折叠之后折到上面也好，左边好，右边也好，那么会形成一线三垂直形成的相似， 这样就会形成一线三垂直 k 字形，相似又和相似相结合了，那么就会得到线段的比例关系。当然还有一种特别常考的，就是我们不光用相似啊，是不是还有可能用勾股定力求边？所以我们套的之前的做题技巧叫什么叫折叠部分画阴影，空白部分列勾股定力， 也就说全等的两个三角形，四个三角形。夸夸夸，不要考虑它，我们考虑什么？考虑剩下的你再去看看 i、 c、 o 角的边在哪里，那么他在哪个，只要三角形中没有把它做出来，那么在这里面列购物定律，那么这个题目就解决了。这是中考第九题非常常考的这些基本知识点和常见的几何模型。咱们二六年的一模中，这八九分的卷子中有好几个题目都是考到以上的，这些知识点 可以做一下总结，你去总结就会发现它其实非常简单，毕竟它的第九题位置不是最后压轴。所以说对于成绩现在在一百二到一百三左右的同学，你要保证这个题目一定要百分之百的做对，不是靠蒙的猜的啊，百分之百的把它做出来，并且速度要非常快的掌握出做题技巧，这样才行。

学会三遍通透法，让你的数学再提高一个档次。三遍通透法是什么意思呢？我们在刷题的时候，尤其是初中数学刷题的时候，你不要光是听老师上课讲，就不管是同学还是老师，他给你讲了一遍，或者是你自己看答案看一遍，看懂了，你一定 要自己下来再去亲手算一遍。所有题都是这样的，你一定要亲手算一遍。为什么？因为你光是上课听懂了，光是老师讲，讲懂了，你如果自己下来不亲手去算一遍，你会丢掉很多细节。 所以说你要算一道题的底下，最好去算三遍，我指的这三遍是三层理解。有三层理解什么意思呢？第一遍的时候，老师上课给你讲懂了，你自己算一遍，你看你能不能算出正确答案，能算对好，这就是，这就是第一层， 这也不能说明你彻底的搞懂了这道题好，然后第二遍是什么，第二遍就去猜题，什么叫猜题？就比如说这一条辅助线，他是做垂直好，但是你没有形成可附用的逻辑，什么意思呢？我换到下一种类型的题，你不知道该不该这样去做了，这辅助线还还是做垂直吗？ 不知道了，也可能用不了了，所以说我们要去思考啊。那这道题他出现了三十度角、六十度角、一百二十度角，原来出现了这些特殊角，我们就可以去做垂线，构造直角三角形， 特殊直角三角形去倒角、倒边，利用三角函数的边角关系来做，这就是形成可复用的逻辑。 当你再过一段时间再来刷这第三遍这道题的时候，你应该有第三层理解，也就是我们说的定位结构。什么意思呢？定位就是比如说这道题他的条件出现了什么一些关键的词，比如说 啊，平行，这是 a、 c、 平行、 ab 这些乱七八糟的，你能通过这一系列的条件最终去定位到这道题，他原来是用相似来做或什么来做。这也是我们做一些比较难的题目，比如说压轴题当中最难的 就你怎么去定位到这个题。比如说一套中考数学试卷，他考的是综合题吗？你最难的是什么？最难的不是我们某个知识点，不知道。最难的是你能快速在短时间内去定位到这个题，他的考点是什么。 就比如说啊，平时带的学生，他可能就说他这道题不会考场上，但是他私底下看一下答案，会老师稍微给他讲一下，点拨那么一点点，哎，就一下子就会了。 所以说这是最难的，就是缺乏那种做题的方向感。这个不是说我们三天两天就可以练出来的，这个是你要通过，至少要通过两到三个月的训练，加上自己的总结 才能去训练出来的，这相当于是那种题感吧，这样这也是最难训练的。然后再说一下结构，什么是结构？就像比如说一个很难的压轴题， 答案是多少？答案常常就是二十七行，二十七行那很多同学他看着就看昏了，更何况他第一次做这种题的时候，他做着做着，因为那题目啊的链就题目链接量是很大的，他可能做到中途他就不知道该怎么做了，做着就做蒙了。 就说我们做题一定要去总结结构，什么是结构？就很简单的一个例子，就比如说一个答案，他长很长，二十七行，我可以把它分为三三个步骤，第一个步骤是将军印码，第二个步骤就是构造相似，然后三个步骤利用最直来求线段。 你看总的就这三步，你得有这种逻辑在里面。我再简举一个最简单的例子，就比如说啊，孩子们去春游，你家长说，比如说我们第二天要去春游了，那我们当天晚上我们要准备什么？你不可能说是， 你绝对不会说一会要带水，一会要带药，一会要带拖鞋什么什么的，那都要疯了，你也说不清楚了。所以说我们要分说分为三类，哎，穿的、 吃的，还有药品，穿的，比如说，比如说袜子、裤子、衣服、药品，还有比如说吃的要带哪些？你肯定是要有结构去说，你的那思维才不会乱，我们才不会去漏。

上一期我说了暴力提分法以结果为中心啊，这条视频浏览量比较高，然后让我再来聊一聊，就怎么个暴力提分只以结果为中心？用我们这一套，比如说像初中数学， 我们怎么去学哈？你家小孩不管是在辅导班也好，自己学也好，或者家长你去教他也好，你一定要秉持着一个原则。什么原则就一定要只以结果为中心，什么意思呢？比如说咱们花了一个小时或两个小时学了某一个知识点，你一定要明白，就我通过这 两个小时学了这个知识点，你一定要明白，就我通过这两个小时学的这个知识点，能让我在之后的考试能稳定的提高多少分？如果 你不能明确这个方向，那这两个小时基本上我可以说是没有意义。为什么？因为你学的东西，你如果不能给你提高分数的，你学他干嘛？我们大多数人不管是考公考编还是考研还是中考高考 人，他本来都是不喜欢学习的呀，他学习都是有利益在里面的。你包括如果你学了这两个小时， 那小孩他一点就一点正反馈他都没有，他就不知道他能能不能提高多少分，甚至没有提分，你觉得他会愿意学习吗？ 为什么成绩好的孩子，他会越学越喜欢学那？因为一直在给他正反馈啊，他越学，那数学越好啊，越好， 那成绩就体现出来了呀，心里就会得到满足啊，是有利益在里面的。如果你学了这一个小时或两个小时，你要是能以结果为中心，你要是都不知道你学的这里一个小时两个小时能提高多少分？你去学他干嘛？ 那我现在来说一下，我们怎么就能够保证你一个小时或两个小时稳定的提高个，比如说两分、三分、五分，对吧？怎么去做你就直接拿。比如说现在不是马上初三了吗？或者初二升初三的这些学生，你就拿他的 期末卷子、月考卷子或模拟卷子、模考卷子，或者是你拿一套完整的历年来十年的中考试卷摆出来，你去对比一下他的试卷，比如说第一道题该不该错，第二道题该不该错，你看一下他是哪里丢分了，哪些分能得到，哪些分得不到， 所以他考了这个分数，咱们先去把容易抓的分给他，给他排列出来，我们再拿近十年来的中考试卷，只针对你丢的这个分去做。 比如说初中数学啊，中考济南，中考一角三角函数，那里一个大题吧，你定的八分，还有圆也是八分，对吧？比例函数结合一次函数也是一个大题吧？类似的这些大题，最好先去从大题抓哈，去把它给 抓起来。比如说这一个小时或两个小时，咱们就只练你之前拿不到的分，比如说什么？比如说圆 圆的综合大题就八分吗？一直拿不到，咱们就把近十年来的中考试卷只刷这个圆，你去做，你去研究，哪怕你答案读不明白，你去看看其他老师课，你去问老师，问同学，你去 ai 豆包搜一下，或者是 你直接就是看答案，这是最直接的，你要能看懂答案，你再去研究答案，你把答案研究明白了，你再把答案撇到一边，你看你能不能自己写出来， 再拿一个类似的题，你能不能写出来，再把做了，比如说做了五道，十道，你近十年的全部做了，你再去用一句话去总结一下 他的这解这类题，他的流程是什么？第一步我们该干嘛？第二步我们该干嘛？第三步我们该干嘛？然后注意事项是什么，你把它以文字的形式写出来， 方便你之后去复习，你自己总结出来的才是你自己的东西达到什么地步，你要达到你之后每做一个这类似的题，你利用之前的那套你自己总结出来的那套方法理论， 你能够百分之百的给他做对，百分之百就证明你这道题没问题了。那你说是不是通过这两次课是不是就稳定提高，到了就两次学习之间是不是稳定提高了八分？ 这么去抓分啊？要就来就学知识点，我们一定要以题目以结果为中心，中考考什么我们就去练什么。你不要说就我看有些学生啊，甚至拿一本那种全国通用的那种刷题书来刷， 你要对接当地的中考啊，像济南，他有些题他不考，你去做他有什么意义呢？你要明白哪些是必考题型，哪些是大概率会考的题型，你要先去把这些给研究透了， 你这个成绩啊才会提起来，并且你是越学越上瘾，拜拜。如果觉得我说的这套理论有用的，关注加收藏，我会持续的去更新一些学习方法的内容。