湖南基础训练人教版第44页

同学们好，我是来自哈尔滨市师范附属小学的马老师，很高兴和大家一起学习数学。今天我们将一起学习四十四页的探索图形。 看，这是一个点，现在我们把它变一变，再变， 继续变，看变成了什么。对，正方体， 多么神奇的数学啊！按照一定的规则，点的连续运动会形成线，线的连续运动会形成面，面的连续运动会形成体。 今天这节课我们将围绕着点、线、面、体来探索图形当中的奥秘。那你知道正方体的哪些特点呢？ 我知道正方体有八个顶点，有十二条棱，每条棱长度都相等，有六个面，每个面都是完全相同的正方形。 说的可真全面啊，看这里，有这么多棱长为一的小正方体，那你能一眼看出来有多少个吗？是的，太乱了，现在我们把它摆一摆， 摆成棱长为十的大正方体。它是由多少个小正方体组成的？你是怎样知道的？ 一共有一千个小正方体，一层有十乘十等于一百个，十层就有一百乘十等于一千个，所以它是由一千个小正方体组成的。看来我们建立正确的几何体概念，能帮助我们透过现象看本质，实现物体的空间转换。 如果给这个大正方的六个面都涂上绿色，那是不是每个小正方的六个面也都被涂上了颜色呢？ 我认为有的小正方体被涂了三个面，在大正方顶点的位置，有的小正方体被涂了两个面，在大正方体的棱上，有的被涂了一个面，在每个面的中间，在大正方体的中间，还有没有被涂上绿色的？ 真好！根据图册情况，小正方体被分为四类，那每一类分别有多少个呢？如果请你来数一数有什么感觉？ 对，小正方体的数量太多了，逐个去数很麻烦，那怎么办呢？ 非常好，我们可以从数量较少的情况开始研究，看一看能不能找到一些规律，再用发现的规律解决问题。这就是我们经常用到的化繁为简的解决问题的策略。 下面我们就先从这三幅图开始研究吧！ 请你仔细观察大正方体学具中每一类小正方体的位置，数一数算一算每一类小正方体的个数，并填写在表格中。 如果观察技术有困难，可将大正方体学具边拆分边研究。那么动手操作前呀，一定要先观察思考，看谁最先完成学习任务。请你按下暂停键，试着研究研究吧！ 好，同学们，我们一起看一看每个图形中每类图色小正方体的个数吧！ 棱长是二的。正方体中三面涂色的小正方体有八个，两面涂色的一面涂色的没有面涂色的个数都是零个， 棱长是三的。正方体中三面涂色的小正方体有八个，两面涂色的小正方体有十二个，一面涂色的小正方体有六个，没有面涂色的小正方体有一个。 棱长是四的正方体中三面涂色的小正方体有八个，两面涂色的小正方体有二十四个，一面涂色的小正方体也有二十四个，没有面涂色的小正方体有八个。非常好，完全正确， 请数据有错误的同学快速调整一下吧！ 在大家的共同努力下，我们已经找到了三组数据信息，现在我们来竖着看表格，从上往下观察看，你有什么发现呢？ 我们先把目光聚焦在三面图色这一竖列当中来。 三面涂色的小正方体都在大正方的顶点处，不管棱长是多少，大正方体都有八个顶点，因此三面涂色的小正方体都是八个， 非常好。有理有据。三面涂色的小正方体在大正方体顶点的位置，因为每一个大正方体都有八个顶点，所以三面涂色的数量都是八个。 三面涂色的数量已经研究完了，我们先把三面涂色的小正方体去掉， 请你仔细观察两面涂色的小正方体是怎样计算的呢？ 我发现两面涂色的小正方体都在两个顶点之间，也就是在除去顶点以外的棱上， 棱长是三的正方体，两面涂色的都在大正方体的棱上。十二条棱，每条棱上一个，一共是十二个。一，一乘十二等于十二，所以两面涂色的小正方体有十二个 棱长是四的正方体。两面涂色的都在大正方体的棱上。十二条棱，每条棱上两个，一共有十二个，二二乘十二等于二十四，所以两面涂色的小正方体有二十四个， 非常好。算法明确，调理清晰，总结出计算两面涂色小正方体个数的方法。 两面涂色的小正方体在大正方体棱上除去两端的位置。 因为每一个大正方体都有十二条棱，所以两面涂色的数量就是每条棱上小正方体的块数先减二，再用这个结果乘十二。 刚才我们通过观察对比，总结出了计算两面涂色小正方体个数的方法。接下来我们把两面涂色的小正方体去掉， 请你仔细观察，你能发现一面涂色小正方体隐藏着什么样的规律吗？ 一面涂色的小正方体在大正方体每个面除去大正方体棱上周边一圈的位置，在每个面的中间是一个正方形，可以按照求正方形面积的方法得出每个面一面涂色的个数。 因为每一个正方体都有六个面，所以一面涂色的数量是每条棱上小正方体的块数减二的平方再乘六， 非常好，完全正确。看来大家已经找到了概括归纳计算的方法了，我们继续把一面涂色的小正方体去掉。那怎样算出没有涂色的小正方体的个数呢？ 我发现这四类小正方体的数量合起来正好是小正方体的总个数，那就用总块数减三面图色的块数，减两面图色的块数，减一面图色的块数就等于没有图色的块数了。 这个方法真不错，结合整体和部分的关系，计算出没有图色的个数，特别好理解。那还有其他方法吗？ 没有面涂色的包裹在大正方体的中间，我们把外边的拉开，看到的是由小正方体组成的正方体。我们可以按照求正方体体积的方法算出没有面涂色的个数， 所以没有面涂色的数量等于每条棱上小正方体的块数减二的立方。真好，结合正方体的特点，算出了没有涂色的个数，真巧妙！ 刚才大家围绕着点线面体和小正方体所在的位置，发现了正方体涂色的规律， 那按这样的规律，你能算一算棱长为十的大正方体每类涂色小正方体的个数吗？ 三面涂色的在顶点处有八个。两面涂色的，在每条棱上用括号十减二扩回乘十二就是九十六个。 一面涂色的，在每个面上用括号十减二扩回的平方乘六就是三百八十四个。没有涂色的，在正方里面用括号十减二扩回的三次方等于五百一十二个 方法得到计算准确。看来，我们在数或者是计算每一类小正方体数量时，我们可以分类计数。 那如果大正方体的棱长为 n， 请大家思考一下，它三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体的个数应该怎样表示呢？ 大正方体的棱长为 n， 那 么三面涂色的有八个，两面涂色的有括号 n 减二扩回乘十二个。一面涂色的有括号 n 减二扩回的平方乘六个，没有涂色的有括号 n 减二扩回的立方个 怎么样？是不是很简洁？化繁为简和归类推理可以使复杂的问题简单化， 其实利用这些思想方法还可以解决更多的问题呢。看，有一些小正方题摆成了下面的几何体，你会数吗？ 我觉得可以按照从上往下的顺序，一层一层的数。我们看到第一个几何体，第一层有一个，第二层有三个，一共有四个。第二个几何体是在第一个几何体的基础上又增加了一层，也就是增加了六个，四加六等于十个。 第三个几何体是在第二个几何体的基础上又增加了一层，也就是增加十个。十加十等于二十个，非常好，很好地运用了分类技术的方法，而且表述得特别有条理性。 通过这节课的学习，你有什么新的收获呢？ 通过这一课的学习，我知道了每类图色小正方体的位置特点。我还掌握了正方体图色问题中每类小正方体个数的计算方法。 你学会了计算的方法，具备了举一反三的能力。通过位置上的联系，我们也加深了对正方体的认识。 通过这节课的学习，我掌握了化繁为简、分类技术、归纳推理这些数学思想方法和解决问题的策略。 你的收获可真大啊，你领会了这么多的解决问题的策略。当我们遇到比较复杂的问题，解决起来有困难时，可以尝试先从简单的情况开始， 看能否发现规律，再利用规律去解决复杂的问题。化繁为简是解决复杂问题时常用的思想方法。那接下来你还想探索些什么呢？ 我想探索长方体的涂色规律。如果用一些小正方体拼成一个大长方体， 再给大长方体表面涂上颜色，三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的，没有涂色的小正方体各有多少个呢？ 你可真善于迁移啊！结合今天的探索过程和相应的思想方法，相信你一定能探索出长方体的涂色规律。 这是今天的作业套餐，请大家根据自己的实际情况选择合适的套餐。 好了，同学们，这节课我们就上到这里吧，同学们，再见！

今天我们学习第四单元 part b 四十四页 let's learn expensive expensive 昂贵的 cheap cheap 便宜的 shoes shoes 鞋子 height height 帽子 beautiful beautiful 漂亮的 sunglasses sunglasses 太阳镜 shoes sunglasses 这两个通常是以复数形式出现。 do you like sunglasses？ 你 喜欢这副太阳镜吗？这是以度开头的一般疑问句， 肯定回答 yes i do 否定回答 no i don't yes。 快 速回答时可以直接说， yes they are beautiful！ 它们真漂亮。 how much are they 多少钱呀？ they are ninety nine yuan 九十九元。 询问多个物品价格，就用这一句 how much are？ 加主语回答， they are 加数字加元 look and role play。 看一看，演一演 can i help you？ 要帮忙吗？ yes i like the blue shorts。 是 的，我喜欢这条蓝色的短裤。 how much are they 多少钱呀？ they are twenty yuan 二十元。 that's cheap！ 真便宜！ okay read after me let's learn expensive expensive cheap cheap shoes shoes height height beautiful beautiful sunglasses sunglasses do you like the sunglasses？ yes they are beautiful how much are they they are 99 yuan look and role play can i help you？ yes i like the blue shirts how much are they they are twenty yuan that's cheap？

今天我们来学到第四十四页，上一个视频中我们已经学过如何去问单数物品的价格，我们会说 how much is it？ 回答语句， it's 多少元。 那在这一页当中我们会学到关于问复数物品，我们会怎么样去问呢？ how much are they？ 这一页当中大部分同学的疑惑就是，明明这个鞋子还有太阳镜，包括像裤子，在我们的理解当中，他不就是一个物品吗？为什么会属于负数？ 那我们等一下再来解说。现在呢，先把内容读一读， expensive cheap shoes hat beautiful sunglasses do you like the sunglasses？ yes， they are beautiful how much are they they are ninety nine yuan？ look and role play can i help you？ yes， i like the blue shorts how much are they they are twenty yuan that's cheap？ 我们首先看上面第一个板块，为什么他这些单词一上来就直接是复数形式而不是单数呢？其实我们要换个思路去记忆， 比如说像短裤，它是有两个裤腿的，太阳镜有两个镜片 一双，这个鞋子它是有两只的，所以我们一定要用这个思路去记 它。这样的形式的物品上来就是复数形式，那我们怎么决定去用 is 还是 r 呢？ 它既然已经是复数形式的单词了，我们在问的时候问价格就用 how much are they？ 跟着单词跑，回答的时候就说 they are 多少多少元就可以了。 那以上这些单词呢？像 expensive cheap， beautiful 都是一种形容词，我想要表达这个物品，它是贵的便宜的还是漂亮的都可以。 shoes 和 sunglasses 一 直都是复数这样的形式来体现的，这个一定要从根源上理解它， 那你看这儿，它手指指着这副太阳镜，问的是 do you like the sunglasses？ 也就是在问你喜欢这副太阳镜吗？然后回答道，是的， they are beautiful， 她很漂亮。 how much are they 多少钱呢？九十九块钱。 they are ninety nine yuan。 这里要记住，我们如果写九十九，正规的书写的时候，这里要加个小横杠，这个不要忘记了。 当然我写在这儿，比如说我想问的是这一副多少钱？ how much is this pair？ 你 看问法上不同，如果是一副，那我当然就属于单数了，要用到 is， 那如果是问两负，你看 are two pairs， 就 跟咱之前四十三页说的是一样的。我把这个负数体现到一负，两负，三负，你看负上面去了，当然就不同了， is 和 are 的 用法自己要能够真正的理解。 那然后再看下面这个板块呢，主要是问这些物品的价格，一定要两个人互相配合好，当销售员的，当顾客的，互相调换角色，然后自己去演练一下。那这里出现了，比如说有 hat shorts， shoes， trousers， 那 这些都是可以把它放到句子里去用的。 一上来可以说我能帮助你什么吗？ can i help you？ 然后 yes， i like the 什么什么什么我喜欢什么？这个的不要把它掉了，因为你在说的是某一件物品的时候，你要特指。 然后再问到 how much are they？ 或者是 how much is it。 问句，问完之后答句一定要能跟上，要匹配。如果问 is it， 那 么回答就是 it 词多少元，如果是问 are they 就 they are 多少元。 之后也可以用到 that's cheap 来做一些单词更换，比如说这里，它意思是啊，那挺便宜的。 那我们也可以说，哎，挺贵的。 that's expensive， that's beautiful 都是可以的，所以单词要尽可能替换。很多次把这里的都说到 这样的话，我们用嘴巴描述出来过后在纸张上写才不会觉得那么难。那这一页咱们就说完啦，拜拜。

我们来讲一下湖南省二零二五年的对口高考数学。那首先来看一下我们的这个第一题， 已知点 a 的 坐标是负一，逗号三，点 b 的 坐标是三，逗号负一。那求我们线段 a b 的 中点，那这个很简单，大家只要记住这个公式，把公式给大家写到旁边，那已知点 a 的 坐标是 x 一 y 一， 点 b 的 坐标是 x 二 y 二，那 ab 的 中点，我们用它为 m， 它的坐标也就是二分之 x 一 加 x 二，二分之 y 一 加 y 二。大家只要记住这个公式，那就可以做题目，那这里这个就是我们的 x 一， 这个就是 y 一， 那这个是 x 二 y 二， 那对应也就是二分之负一加三，二分之三减一，那大家化简一下，那这个不就是一逗号一吗？所以我们第一题选 b， 那 第二题，那首先大家一定要先知道这个符号跟后面这个是什么东西，那后面这个是一个集合， 那首先你要知道集合的这个描述法，先看中间这个竖杠，左边表示我们这个集合表示的是 x 的 取值范围，那对应后面需要有什么要求？我们这个 x 要大于等于一，并且要小于二， 那对应这个 a， 我 们可以叫做它叫做一个元素，那属于，那意思就是我们这个 a 要满足后面这个条件， 那首先我们看一下 abcd 那 三，他肯定不在这个范围内的嘛，所以他不满足 b 也不在范围内，因为这边是小于二，他取不到二，那 c 的 话大于等于一，那一肯定可以取，那 d 的 话是我们是取不到零的嘛，对不对？所以 d 也是错的。那我们第二题就选 c， 那 第三题下列是增函数的，那大家可以把增函数简单的记作从左往右上升，叫做增函数。那比如说我们这个 a 选项， 它的图像是一个异元二次方程，你看它的左半边是不是减，对不对？那所以不满足。那 b 选项是一个直线方程，过原点的从左往上升，那所以你做到这里，你可以发现答案。选 b， 那 c 选项的话叫做一个反比例函数， 它图像是这个样子的，这边注意是与 x 轴接近，但是没有交点的，那所以 c 也是错的。那 d 选项的话， y 等于零，指的不就是我们的这个 x 轴吗？对不对？ 那所以第三题我们选 b， 那 第四题，那首先你要先知道什么叫做充分必要条件， 那对应如果 a 可以 推到 b， 我 们叫做充分，那如果推不到，我们叫做不充分。那 b 如果能推到 a， 我 们叫做必要条件，那推不到就是不必要。 来我们看一下这个题目，那首先我们的条件 a 是 不是 x 大 于零，我们的条件 b 是 什么？ x 的 平方加一乘 x 大 于零， 那我们后面这个式子其实可以化简的，那给大家举个简单的例子，大家告诉我，嗯，三 x 大 于零可以解出什么来？那三 x 大 于零是不是可以得到 x 大 于零？那为什么呢？我们是不是两边同除了一个三，那所以退出大于零，因为同除一个正数，不需要改变符号吗？对不对？ 那其实我们这里也一样，那首先大家都知道我们 x 的 平方肯定是大于等于零的，那猜他加上一个一以后，那他加上一以后，我们是不是可以得到这个括号里面的肯定大于零，对不对？那所以我们两边可以直接把它给除掉，那其实第二个式子我们就可以得到它就是表示的 x 大 于零， 那对应我们前面大于零肯定可以推出大于零啊。所以前面能推到后面，那对应后面 x 大 于零，能不能推到前面，那同样也是可以的。 那大于零肯定可以推到大于零嘛？那前能推后叫做充分，后能推前叫做必要，那合起来的话，充分必要，我们也简称为冲要条件。所以我们第四题选 a， 那第五题主要考了一个等差数列，那什么是等差数列？那比如说我们的这个，嗯，举个例子，比如说我们这个二四六八十、十、二、十四、十六。大家观察一下，这有什么特点？那是不是每项都差二，对不对？ 那我们另这个竖列为 a n， 那 我们的第一项叫做 a 一， 第二项叫做 a 二，第三项叫做 a 三、 a 四、 a 五，那点点点。我们如果第 n 项的话叫做 a n， 那 对应我们的这个二是什么呢？我们叫做， 其实我们这个就可以叫做一个等差竖列，我们这个二叫做公差， 对不对？其实也就是后一项减去前一项等于一个固定的值，只要满足这句话，它就是一个等差数列。那我们公差用什么表示？用 d 来表示？ 那大家观察一下，比如说我的 a 二是不是就等于 a 一？ 加上一个 d， 也就等于二加二嘛？比如说我的这个 a 三等于 a 一， 加什么？那是不是加一个 d， 加两个 d， 是 不是就加二 d？ 比如说我的 a 四等于 a 一 加什么？那加一个 d， 加两个 d， 加三个 d， 是 不是加三 d？ 那 从而我们可以推出通项公式， a n 就 等于 a 一 加上 n 减一乘以 d， 那 就是其中一个通项公式，那还有一个，那就拿这个举例，我 a 三等于 a 二加几 d， 大家观察一下是不是加一个 d， 那再比如说我 a 五等于 a 二加几个 d， 那 a 五搁这呢？ a 二搁这呢？那差一个 d 两个 d 三个 d， 那 是不是加上三 d， 那 这个三哪来的？来观察一下，是不就是我们这里的五减二？ 所以还有一个公式是 a n 等于 a m 加上 n 减 m 乘以 d， 对 不对？ 那其实也就是相差，呃，五减三个 d 嘛。比如说这个相差了，相差五减二，相差三个 d， 那 比如说 a 三跟 a 二是不是三减二，相差一个 d， 那 对应我们这里 a 二到 a 四，那是不是四减二，相差两个 d， 那 对应等于八减二，我们的二 d 就 等于我们的六 d 的 话就等于我们三，那所以我们的 d 五题选什么？选 d 就 这么简单， 那对应我们再看下面的题目，再看我们的这个第六题，向量， 那首先向量 ab 乘以我们的向量 ac， 那 大家可以先把我们的这个向量 ab 跟向量 ac 给表示出来，那向量 ab 等于啥？就等于那大家记住，等于后面这个点的坐标减去前面这个点的坐标， 那比如这里我们向量 ab 就 等于一减负一，逗号零减二，那再比如说我们的向量 ac 等于啥？那还是一样，后面的这个点的坐标减去前面这个点，那一个是点 c， 一个是点 a， 那 负一减负一，那还有一个是三减二，那对应等于什么？那一减负一的话是不是二？然后零减二的话是不是负二， 那对应负一减负一多少是零，三减二是几就是一，那这里记住向量相乘怎么做？那给大家写个公式，假设我们向量 a 的 坐标是 x 一 y 一， 向量 b 的 坐标是 x 二 y 二， 那对应我们向量 a 乘向量 b 就 等于 x 一 乘 x 二，加上我们的 y 一 乘以我们的 y 二，就这么简单。 那我们这一题的话，是不是就是二乘零加上负二乘以一，那大家算一下负二对不对？那所以选什么？那所以我们的这个第六题选 c 就 这么简单。那第七题的话，其实这边主要就是考一个公式，这个没有什么难度，给大家写一下，大家就知道 公式是基础，大家一定要先把公式给背下来。 log 以 a 为底的 m 次方， b 的 n 次方，它就等于 m 分 之 n log 以 a 为底的 b， 那 我们先不看题目，先给大家举个例子， log 以八为底的嗯 log 以八为底的嗯九，他就等于 log 那 八是不是可以写成二的三次方？九的话是不是可以写成三的平方？那这个三和二我们可以提出来三分之二 log 以二为底的三，那这个就是一个公式的运用，大家一定要记住， 那对于我们这里，你发现左边是我们以二为底，右边是以二分之一为底，那怎么比较？那我们给他变形。 log 以二的负一次方为底的 x 的 一次方， 那负一分之一 log 以二为底的 x 就 等于负的 log 以二为底的 x， 那 大家看一下，那此时我们的另几个为 y 一， 另几个为 y 二，那它们俩相差一个什么？是不是就相差一个负号， 那这个相差一个符号呢？不就是关于我们的 x 轴对称吗？所以直接选 a， 那 有很多同学他不理解为什么相差一个符号，就是关于 x 轴对称，那给大家举个例子，那就比如说最简单的 y 等于 x， 这条线是不是这么画的， 对不？对面画的有点 y， 我 们对应 y 等于负 x， 那 比如说 x 等于一，那负 x 就是 负一。假设 x 等于二，那负 x 是 不是就是负二？ 假设 x 等于负三，那我负 x 的 话是不是就是三？那是不是就是相反数的关系？那比如说这个点它变负了，是不是在下面？这个点如果变加个符号是不在上面， 是不是就是这么画的，对不对？那其实就是关于 x 轴对称嘛？比如说这个点你给他添个符号，是不是搁这，你这个点给他添个符号，负的是不是变成正的？ 那对应我们这个其实也一样，那给把图也给大家画出来，看一下。 log 以二为底，首先我们的这个二是大于一的，那所以是一个增函数，那从左往右上升，它是过定点移零的，那对应 负的 log 以二为底的 x， 那 你就给他这边对称过来，就这么画的，对吧？大家可以看一下，那这个就是我们的第七题，那第八题直线与圆相切，那首先要知道直线与圆有哪些关系？ 我这边，嗯给大家画出来，比如说这个叫做 d 等于 r， 这个叫做 d 小 与 r， 那 这个呢？叫做 d 大 于 r， 那 什么叫做 d？ 什么叫做 r？ r 的 话指的是这个圆的半径， d 的 话指的是圆心到直线的距离，叫做 d， 圆心到直线的距离叫做 d， r 指的就是半径。那对应这里你是不是圆心到直线的距离？ d， 那 你是不是要知道一个点到直线的距离公式？ 假设一个点是 x 一 y 一 直线是 a， x 加 b， y 加 c 等于零， 那这个点到这条直线的距离，我们令为 d， 就 等于根号下 a 的 平方加 b 的 平方，分之 a 倍的 x 一 加 b 倍的 y 一， 再加上 c， 记住有个绝对值， 那对应我们这里相切的话，是不是就是我们第一种情况， d 等于二，叫做相切，这个叫做相交，这个叫做相离，那对应我们这里可以得到圆心是零零，半径是二。我们来求一下，我们这里的 d， 那 是不是根号下？那对应此时给大家标一下，我们的这个 a 是 不是一， b 是 不是负一， c 对 应是不是二， 那对我们就是根号下一的平方加上负一的平方。好，零乘一，加上零乘负一，再加上我们的二，再加一个绝对值， 大家来算一下，根号二分之二，那等于啥？二乘二分之根号二，那不就是根号二吗？那因为我们相切 d 等于二，那所以我们二也是根号二，所以我们第八题选 a， 就 这么简单。 那接着再看我们的这个第九题，那第九题题目说已知 x 在 零到派之间，那 sign x 大 于口 sign x， 那 这个有很多种做法，那其实我们这边 也可以直接，那啥我们这边也可以直接画图，也可以利用二倍角来移向，那我给大家举个最简单的做法，那首先大家一定要知道我们 sign x 的 图像怎么画？ 是不是这样，对不对？这个是零，这个是二分之派，这个是派，对不对？那接着我们再画一下 cosine x 图像，像这个基本的图像大家一定要背下来，这个没有什么捷径，那我们的 cosine 是 不是这么画的，对不对？ 这边是我们的派，这边是我们的二分之派，对不对？那对应你把这两个图给它合到一起， 大家可以看一下。那我如果合到一起，大概是不是这样的，对不对？那合到一起以后，那你可以发现那对应 sign 要大于口 sign， 那 是不是就在这一段， 对不对？这一段是不是 sign 大 于口 sign 呢？那接着零到 pi 嘛，我们也满足定域，那 sign 要大于口 sign 是 不是？我划的这一段？那大家知道不知道这个 sign 四十五度跟口 sign 四十五度是相等的，都等于二分之二，这个大家一定要知道，其实我们这个焦点的这个地方，它就是四分之派， 那对应这一段的话，是不是四分之派到派？那所以 sign 大 于口 sign， 那 就是四分之派到派。那如果题目说口 sign 大 于 sign 呢？那是不是就是零到四分之派，对不对？那所以我们第九题选我们的 d， 所以大家这个图像一定要知道，你如果图像不知道，肯定做不出来。那第十题的话，例题几何， 那先读题目，已知四棱锥 p， 然后杠 a， b， c， d 底面是一个平行四边形，那 e、 f、 g 分 别是这个 p、 c， p、 d 和 ab 的 中点，你这个可以得到什么东西？ 那这边先看一下题目，那要么就是线线平行，要么就是线面平行，那首先大家要知道怎么正线面平行，怎么正线线平行，那我们这一题的话，大家要思考一下，我这边直接告诉大家怎么做。我们在 c、 d 这边取一个中点，你可以定它为 h， 那连接我们的这个线，那连接我们的这个，那我给大家写出来 cd 中点 h， 做 cd 中点 h， 然后我们要连接这个 f、 h 跟我们的这个 e、 h， 那 这里我们要大家记住，涉及到终点，大家一定要想到一个知识点，叫做中位线，那比如说我这边给大家画个三角形， 比如说这个是三角形 abc， 这个是 e， 这个是 f 点， e 是 ab 的 中点点， f 是 a、 c 的 中点，那我们就可以得到 e、 f， 它平行于 bc， 并且我们的 e、 f 等于二分之一的 bc， 这个叫做中位线， 那 ef 就是 三角形 a、 b、 c 的 这个中位线。大家一定要知道这个知识点，那对应我们这一题做这个 c、 d 的 终点 h， 那 我们可以得到什么？我们是可以得到我们的这个 e、 h 是 平行于我们的这个 p、 d 的， 对不对？ e h 平行于 p、 d， 在 这个给大家标的详细一点，在我们的这个三角形 p、 c、 d 中，对不对？那还能得到什么？那还能得到我们的这个 g、 h 跟这个 a、 d 是 平行的，就是在正方形中，也是在这个平行。四边形也是适用的，因为我们这边都是中点嘛， 那我们这个 g、 h 是 平行于我们这个 a、 d 的， 那通过 这这两条线也就是两个平面嘛，两个平面对应两条相交的线平行，那我们可以推出面面平行，那通过这个我们可以推出我们的这个 e、 h、 g 跟这个 a、 p、 d 是 平行的，这两个面这边要加平面两个字 给大家画出来，那对应也就是我们的这个 e、 h、 g， 那 这边看着可能比较抽象， 大概就在这边跟我们的这个这个边它俩是平行的，那对应面面平行，可以推出线面平行，那从而我们推出我们的这个 e、 g 也平行于这个 pa、 d， 那 所以我们第十题答案选 d， 这个有点抽象，大家可以自己再重新画一个图，那这个主要就是考了一个中位线，然后考了一个面面平行，可以推出线面平行，那这个就是我们的选择题，那大家看一下，有疑问的可以打出来那并且有需要公式的也可以后台私信我。