禹城2022年五年级数学哪个版本

上课起立老师，您好！同学们好，请坐！ 同学们，三年级的时候我们两次认识了分数，今天这节课我们继续来认识分数。课前，老师请同学们完成了前测，一起来看一看大家的完成情况。 看来主要的问题在第四幅图，老师选出了两种典型的答案， 我们一起来听一听这两位同学代表是怎样说的。闫浩轩同学，请你来说一说你的想法。嗯，我就认为第四幅图它是有八个月饼，然后占了，占了其中两个。 呃，所以我就才会写的。对，所以你是用八分之二来表示的是吗？陆晨曦同学， 我是看到他把这八个月饼平均分成了四份，并且涂上了色了一份，所以我才写了四分之一。这个答案好，闫浩轩同学，你怎么想？ 呃，我认为他说的是对的，所以你现在觉得，所以我现在觉得是四分之一，大家觉得呢？四分之一，那看来分数中的分母表示的是什么？ 分数中的分母表示的是。请你说，平均分成的分数。真好，它表示的是平均分成若干份，那分子表示的又是什么意思呢？ 请你说是占平均的其中的几分，也就是表示这样的一份或几分。 好，那第四幅图中的四分之一是指把八个月饼平均分成四份，表示这样的一份。谁能像老师这样来说一说前面三幅图中这三个分数在图中表示的含义？ 好，最后一位男生，第一幅图，请你说，图是把月饼平均分成四份，表示其中的一份。嗯，表示这样的一份，请做好。第二幅图。 好。女生，请你说。第二幅图是把一个长方形平均分成了八份，表示这样的五份。真好，请坐。第三幅图，好，请你来。第三幅图是把一米长的线段分成 五份，份，表示这样的三份。把一米平均分成 五份，表示这样的三份。嗯，请做好。那说完了这三个分数在图中表示的含义，你认为什么样的数是分数？老师也选举了三个有代表性的描述，我们一起来看一下你比较欣赏谁的作品， 大胆的谈一谈。请来说 好，请你。孩子，我觉得第二个表示的比较好一点，因为他把他把平均分成的几分， 他把平均分成的几分是按照未知数来写出来来表示的。嗯，请坐好。嗯，你比较欣赏第二位同学的作品是吧？还有谁也想说一说？好，请你来。孩子，我也是比较欣赏上第二位作品。嗯，因为他 描述的比较清楚。嗯，请坐好，孩子们，这三位同学的描述，其实有的同学只是描述出了分数的 样子，对，也是他的组成。那么这两位同学分别说到了可以把一个数或者是把某个物品平均分成几份。那我们就来结合前侧的这四幅图来看一看，分别是把哪些物体平均分了。第一幅图， 一起说是吧？月月饼，一个月饼是一个物体。第二幅图呢？长方形，一个长方形是一个图形。 第三幅图，一米一米，一米是一个计量单位。第四幅图，八个月，八个月， 八个月饼是由许多物体组成的一个整体，看来我们都可以把它们平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数就是分数， 这是我们总结出来的分数的意义。想知道我们的书上是怎样描述的吗？想请同学们拿出学习单，找到任务一 自学内容，圈出你下面认为重要的词语，并在小组内交流你的收获和疑问。 圈好，以后可以在小组里交流你的收获和疑问。 这是， 但是我没画。平平。 好，谁来和我们分享一下你的收获？好，请你来。孩子， 老师给你一支笔。书上是这样讲的，他是把单位一平均分成了若干份，他表示这样的一份或几份叫他的叫做分数。我圈的关键词是单位一 平均分成若干份，还有表示这样的一份或几份的数。 第一个他，他说是通常把把他们叫做单位一，因为他们是由一个物体一个计量单位或是许多物许多一个整体，所以应该叫做单位一。然后这个是平均分成了若干份，他说了是平均分成若干份， 所以，所以我画的是单位一平均分成若干份。还有一个是表示这样的一份或几份的数。我觉得这三个关，所以我觉得这三个比较重要，所以我圈的是他们这三个关键词。好，感谢这位同学的分享。谁还有补充？好，请上位。 好，请你来。 我觉得一个物体，一个计量单位，或许多物体组成的一个整体很重要， 因为因为他，他简要的介绍了分数可以表示一个物体、一个计量单位和许多物体组成的一个整体。是分数可以表示一个物体，一个计量单位和有许多物体组成的一个整体吗？是的，是什么？ 是单位一？对是单位一，可以用来表示一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，是不是？是的，请上位。好，孩子们，我们的教材中说，把单位一 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。 好，接下来我们就结合前侧的这四幅四幅图来看一看，是把哪些物体看做单位一的。第一幅图， 请你说。是把一个物体当做单位一，一个月月饼。嗯，请做第二幅图呢？ 好，请你来。第二幅图是把一个长方体看成单位一的长方形，对不对？好，请做第三幅图。好，请你。孩子，是把一米看成单位一，单位一的。第四幅图， 好，那位戴眼镜的男生。第四幅图是把八个月饼看成单位一的。请做。真好，好，孩子们，那对于教材里分数的意义的描述你有什么疑惑？ 好，请你来。对，就是你。为什么要叫做单位一呢？这是一个非常有价值的问题。 是呀，为什么要叫做单位一呢？还有吗？好，请你来。为什么不可以把单位一叫做单位二或者单位三呢？ 好，那我们来看一看。这是一个物体，这是一个长方形。一个一个计量单位，一个整体，一个整体，那你觉得用哪个数来表示比较合适？一， 一，对，我们今天的这个一比以前的一内涵更丰富，所以我们给一加了双引号，相信通过我们接下来的研究，你会对一理解的更深刻。好，谁还有问题？ 请你来。为什么要把单位一平均分呢？随便分不可以吗？谁能解答他的这个问题？ 好，请你。因为如果随便分的话，每一份的数量就不一样多，就不能用分数来表示了，听明白了吗？真好，请坐好，孩子们，刚才这位女生提出了， 为什么要叫做单位一呢？是呀，明明已经用自然数一来表示了，为何要加上单位这个词呢？ 好，请你说，因为他们表示的意义不一样，第一个表示一个物体，第二个表示一个图形，第三个表示一个计量单位，第四个表示一个整体。所以你就觉得要加单位， 这位男生的想法对不对呢？接下来我们就从单位这个词入手来进行研究，请大家想一想，我们以前学习过和单位有关的内容吗？ 谁来谈一谈？好，请你，我们学过长度单位米厘米分米。真好，还有吗？好，请你来，我们以前学过重量单位，克千克吨质量单位，是吗？是不？请坐 好，请你来，我们以前学过面积单位，平方平方厘米平方分米。 是的，孩子们，我们以前学习的单位，它和今天的单位一之间有什么相同之处？ 看来这个问题有点难，老师给同学们准备了两个素材，看看对大家有没有帮助，请完成任务。二， 完成。好的同学，四人小组可以在一起交流一下， 可以给他补水了。但是 一二三 四五六七八 二三七二三零零二三零零二。 对啊， 老师看到一个小组讨论的很热烈，大家可以热烈的去讨论一下我们以前学习的单位，他和今天的单位一时间有什么相同之 处 啊？啊， 好，孩子们，老师选出了一个小组的作品，我们来听一听这个小组的同学是怎样想的，怎样思考的来。好，请你们小组上来拿着作业单， 老师可以给你们一支笔。好，我们谁第一题谁来汇报？好，就你好，其他孩子，我们站到这边来。好。 以一厘米为单位，然后是左边的线段长度，它包含了十个一厘米， 然后是十厘米，它的右边，右边的长度是零点七。零点七厘米， 然后他的左边，他的左边这条线段表示的是七厘米，然后怎么得到的七厘米？是是 是七个一厘米组成的数，给大家看一看吧，好吗？这个是一个一厘米，两个一厘米，四个一厘米，五个一厘米，六个一厘米，七个一厘米， 然后这个零点七厘米是因为他没有到，他没有到一，他没有到一厘米，所以他只占了其中的七份， 他只占了一厘米，把它平行分成了十份，他只占其中的七份，所以是零点七。大家同意我的意见吗？同意， 有同学有想法了，你可以请大家说一说。好，你说。我认为后面那个右边的线段也可以填十分之七，嗯， 可以吗？可以，很好，请坐。有大家想说， 我认为第一个小空，他说的是左边的线段的长度，我认为应该调七，因为他这这条线段 是七厘米，他说的也是线段，不是这一整条，你觉得呢？我觉得他说的是对的。那请你盯正过来。好， 大家同意吗？同意同意，表扬。这位女生听得特别认真。那听完了这位同学的分享，老师想提一个问题，可以吗？可以。为什么左边的线段可以用整数表示， 而右边的这条线段却不能用整数表示了？你们小组有想法吗？ 好，男生来，请，你上来说，来，请你来说。嗯，因为第一个七表示，因为他是整数，所以表示的是第一个七，而第二个零点七呢？他没有占到，他没有一， 他没有一厘米整，所以他只占了零点五，再多两个。大家同意我的想法吗？同意同意，有没有补充？ 好，请你说。嗯，他应该是是按一个一厘米为为标准，然后进行的计算，所以第一个是七厘米，第二个是零点七厘米， 能听明白吗？能，看来刚才这位同学说到了是以一厘米为标准标准的。那看来一厘米就是我们规定的一个标准量，在测量的时候有七个这样的一厘米，所以我们就用 七来表示。而右边的这条线段之所以不能用整数来表示了，是因为他 没有标准，对，不足一了，所以我们需要一个更小的标准去测量，所以我们把它平均分成了十份，十份那么一份就是 说的真好，一份就是零点一厘米，右边的这条线段包含了七个零点一厘米，所以就是零点七厘米。好，第二题谁来汇报？好，来，请上来。 嗯，我，我是这样想的，这里分了一二三四五六六个，把这个给圈起来一份，再圈，这也是六六个，再圈一个，然后得出来是二，然后呢？这个，这个跟前面一样，圈圈起来 是三，然后最后最后一个，最后一个。我，我写的是八分八分之二，我，我是这样画的， 然后中画画一道答案， 我这样填的，大家同意我的方法吗？同意，八分之二可以吗？可以。那四分之一可以吗？也可以。为什么呢？ 好，男士，请你说。因为八个月饼可以平均分成四份，每份是两个月饼， 所以四分之一也好，八分之二也好，只是因为他们平均分的 数量，分数不同，对不对？好，那同样，老师还想提出一个问题，为什么前面的这几幅图我们可以用整数表示，而最后一幅图却不能用整数表示？ 你们小组有没有谁能来解答？好，来，就请你拿走。 因为因为他这个，他只有，他只有两个，他不足这个一份，所以他就是不能是他不能是整，他不能是一，大家同意我的意见吗？特别补充， 好，嗨嗨喽。嗯，他可以，他没有想好，是吗？好，孩子，请坐。请其他同学说， 我觉得他的他的一份是，是他的一份是由八个月饼组成的。但是呢，第四幅图他一份确实有两个，上面的一份如果是用整数表示的话，一份一份必须要是八个，可下面不足八个，所以我觉得他不能用整数表示。 好，那我们来看一看这一幅图，我们是以八块月饼为单位一的，那十六块月饼里包含有 两个一，所以我们就可以用二二来表示。二，十四块月饼里包含有三三三个一，所以我们就可以用三三。而最后一幅图的两个月饼，是因为他， 他不足单位一。你说的太好了，是因为他不足单位一了，也就是不够一个 单位一了，所以我们就需要把它细分，从而用分数或小数来表示。好，那孩子们，你们小组讨论了吗？我们以前学习的单位，他和今天的单位一之间有什么相同之处？得出结论了吗？ 好，那我们来听听其他小组的想法好吗？我们把掌声送给这些小组， 让谁来谈一谈？听你来说，我觉得之前学的单位和今天单位一都表示一个标准， 掌声在哪里？同志们，孩子们，我们以前学习的单位和今天的单位一，其实都是我们定的一个 标准。对，标准，那么在测量的时候，有几个这样的单位，或者有几个这样的单位一，我们就用几来表示， 不够一，我们就需要用分数来表示。所以单位一和单位本质上是一致的，这也就是我们把它命名为单位一的原因。 当然我们也是把计量单位看做单位一的。那大家现在想一想，这个单位一对于整数和分数来说，它重不重要？ 请你说，我觉得很重要，嗯，是的，一很重要，没有一就没有整数，也就不存在分数了。把一累加，我们就可以得到整数。 阿法一，平均分，我们就可以得到什么数？分数对，可以得到分数。当然，如果是平均分成十份，一百份的话，我们还可以用另一种数来表示。是什么？一百份小数， 小数，对，是小数， 无论是整数、小数还是分数，它都是以一为标准的。好，孩子们，请看屏幕， 这条线段我们可以看作单位一吗？可以，如果这条线段可以用一来表示，那么下面的这这一条线段该用什么数来表示呢？ 怎么办？大家怎么都不说话了？ 好，请你来。孩子，也是一哦，你觉得也是一，嗯，还有不同的想法，请你来。我觉得是三。 嗯，因为下面这条线段我们可以，我们可以从图上可以得知，上面一一条一条短的线段，它是表示的一下面足以有三条线段，所以我觉得它是三。你怎么知道它有三条线段 啊，你说因为它看上去差不多，差不多，是不是？也就说我们现在需要用一去怎么样量一量，对不对？说的真好，请坐。好，那我们就按照大家的想法来量一量。 剩下的这条线段怎么样了？不足一了怎么办？ 有其他的办法吗？好，请你说。孩子用带分数表示，你了解的真多，你是想用带分数表示整条线段的长度，是吗？可以，还有其他办法吗？这条线段已经不足一了， 请你说可以用三点八或三点九，也就是说我们需要用小数一个更小的标准，是了，来去测量了，是吗？那也就是说我们现在需要把一怎么样？ 平均分，平均分，然后用更小的标准去量一量，是不是？那你想把这个一平均分成几份？ 好，请你说可以平均分为一百份哦，可以平均分成一百份，请你说可以平均分成五份。嗯，好，那我们就按照大家的想法来看一看。 刚才讲到了平均分成十份，那瞧，现在我们就可以用更小的标准去量一量了。那这一小段是多少？一起说零点一，零点一，也就是十分之一，我们来量一量， 一起说十分之二，十分之三，十分之五，十分之六，十分之七，十分之八， 好像不够，不够，对不对？那怎么办？刚才大家说到了一百分。哦，一百分，你们想的很好，你们想的是平均分的分数越多，我们越可以精确测量，很棒，但是 不一定，平均分的分数越多，就一定能量的完。刚才有一位男生说到了平均分的分数越多就一定能量的完。刚才有一位男生说到了平均分的分数，是吗？好，我们来看一看， 那这个标准就是多少？五分之一，我们来量一量， 五分之一，五分之二，五分之三，五分之四还是不够，其实十分之一量不完，用五分之一也一定量不完，怎么办？ 再继续，再继续，再继续。一份平均分成两分五，二十分，二十分，二十分。刚才那位同学说平均分成三份，我们来看一下， 三分之一，三分之二，有想法了吗？平均分成六份，平均分成六份，六份，我们来看一看， 那这一段就是六分之六分之一， 六分之一，六分之二，六分之三，六分之四，六分之五，量完了吗？量完了，所以这条线段的长度就是三右六分之五。当然关于这个分数的知识，我们在后面还会继续进行研究。 孩子们，刚才我们把单位一平均分成了十份，平均分成了三份，还有平均分成了五份和六份。其实我们把单位一平均分成若干份， 表示这样一份的数，我们就把它叫做分数单位。比如说刚才的三分之一，六分之一，十分之一，它们都是单位，而且都是分数单位。 好，那大家想一想，八分之二的分数单位是多少？八分之一 多少八分之一，那九分之七的分数单位呢？九分之一。那现在你觉得单位一和分数单位之间有什么相同之处？ 听你说。嗯，分数单位就是表示把这个一平均分成若干份，然后其中的一份，嗯，也就是说把单位一细分，我们就可以得到分数单位还有吗？ 同桌之间讨论一下， 好，有结果了吗？来，先来说一说， 刚才这位男生说的特别好，他觉得把单位一细分，我们就可以得到分数单位。那么单位一和分数单位之间还有什么相同之处呢？ 好，请你来。我觉得他们之间的意义也是相同的，也就是说他们都是 什么分数，他们都是标准。对，他们都是标准。单位一也好，分数单位也好，我们可以通过单位一的累加得到整数，也可以通过分数单位的累加得到分数，所以 他们的本质是一致的。 好，下面我们来研究分数单位。整数、小数有计数单位，分数有分数单位，它们之间有什么相同之处呢？ 请你说。我认为他们都是有一个标准的一个单位。嗯，请坐。这位女生已经有想法了。好，为了便于大家进行比较，老师给同学们同样准备了一个素材，请完成任务三， 完成以后，同桌之间互相交流一下你们的想法， let's go！ 当 好孩子们， 大家都是这样填的吗？对，那你们找到这三个数的计数单位了吗？ 四十九的计数单位是十和一，十和一，那零点三的计数单位是零点一点一，九分之七的分数单位是九分之一。那现在你觉得整数小数的计数单位和分数单位之间有什么相同之处？ 好，请你说，我感觉他们都可以不断累积得到更大的数。 真好，请坐。还有谁想说？请你说，他们都是一个标准，嗯，请你来。分数单位就就是分数的技术单位。说的太好了，同学们，其实分数单位就是分数的技术单位，就像刚才这位男生说的一样，我们可以通过 整数的技术单位的累加得到更多的整数，也可以通过小数、技术单位的累加得到不同的 小数。当然，也可以通过分数单位的累加得到不同的分数。所以，无论是整数、小数还是分数，我们都可以通过他们各自单位的累加来得到不同的数。 我国著名的数学家华洛根教授曾经说过一句话，一起读一读。数起源于数， 无论是整数、小数还是分数，我们都可以通过 数他们的技术单位来得到不同的数，所以他们的本质是一样的。好，孩子们，通过我们今天的学习，你对分数有了哪些新的认识？ 互助之间，先说一说好，谁来谈一谈？ 好，请你说。孩子是把一个整体或或许多个整体看作单位一，并且平均分成几份，表示其中的一份或几份 就是分数，是这个意思吗？好，请坐。还有谁也想谈一谈？好，请你来。孩子， 分数也是有他的计数单位的和整数跟小数一样，你的收获很多，来，谁还想收？请你来整数、小数和分数，他们的技术单位不断的累加，可以得到更多的数。说的太好了，请坐。 好，孩子们，今天我们通过单位一和分数单位进一步认识了分数的一， 而找到他们之间的联系是我们学习数学的重要方法。下节课我们还会用联系的眼光进一步来认识分数。好，这节课我们就上到这里，下课起立， 老师再见，同学们再见！请坐！

大家好，我是禹城市步云小学五年级四班的李晓蓉，今天我给大家梳理的题目是行程问题，相遇 快车和慢车同时从泉州、南安两地相向开出，快车每小时行四十千米，经过三小时，快车已驶过终点二十五千米， 这时快车与慢车还相距七千米。问慢车每小时行多少千米？ 遇到这种问题，我们可以用竖形结合的方式，通过题目我们可以画出现段图，从题目中可以得知，快车已驶过终点二十五千米，那么这一段就可以用二十五千米来表示。 这时快车与慢车还相距七千米，那么这红色的一小段就可以用七千米来表示。快车每小时行四十千米， 想走了三个小时，那么快车的路程也就是速度乘时间四十乘三，等于一百二十千米。 求出快车的路程，我们就可以求出全程的一半。从途中可以得出，快车已驶过终点二十五千米，那么全程的一半，也就是一百二十减二十五等于九十五千米。 求出全程的一半，就可以求出慢车的路程，也就是全程的一半。少二十五千米，再少七千米， 也就是九十五减二十五减七，等于六十三千米。题目中还说，慢车也行驶了三个小时，那么慢车的速度就用路程除以时间，也就是六十三除以三，等于二十一千米每小时。 最后我们得出慢车每小时行二十一千米。我的说理到此结束，谢谢大家。

五下数学期末常考易错题专项提升训练整理好了，都是精选近几年期末考试中常见的易错题型，有填空题、判断题、计算题、应用题等，都是孩子期末常考的重点内容，有电子版，家长打印出来，让孩子提前练一练，及时查漏补缺。

假期不用借课本，也能预习，四声五的重点知识就是这套预备五年级刚刚出版的。他给四声五孩子的假期全都安排好了， 不用报班，也不用补课，跟着四十二天预习规划走语文从理知识一类字二类字练起课文要素，读完课文做练习，带着教材原文练的也是整理好的重难点，不用担心孩子预习没方向，而且还有配套的录播视频。 数学从问题导入，想一想，试一试，清晰解答。离知识做练习，不用家长费心辅导，更关键的是每天学什么练什么，都给安排的明明白白。每周学六天，休息一天，劳逸结合，孩子压力也不大。假期坚持练一练，语数英三科都有，开学越学越轻松。

你们有看今年二零二二年的北京冬奥会吗？好，你们喜欢看哪个运动项目？请你说。高山滑雪， 你也来说。游艇冰壶好，请坐，你说转道速滑你也来说。跳台滑雪请坐，你来说花样滑冰哦！刘老师也喜欢看花样滑冰？下面请看我国的运动健儿。中医给大家带来的花样滑冰 发起了两周 脚尖端转向后的向后转来的精彩变化。 你认为花样滑冰中哪动作最优美，难度系数最高？请你说原地旋转， 还有谁想说？你也来说原地旋转加下蹲哦，你们都说到了旋转，是的，如此优美的高难度的动作，就是通过我们原来认识过的旋转而成。今天这节课，我们将深入的探讨图形旋转的奥秘。 你能说说生活中有哪些旋转现象吗？你来说张建亮，电风扇电风扇的运动你说摩天轮摩天轮的运动请你说轮胎轮胎的运动 你也想说旋转木马旋转木马刘老师也带来了四幅图，请你们判断下面哪些是旋转现象？如果你认为不是，就用这样的手势告诉我。 钟表指正的运动哦，都认为是风车的运动，是车感的运动，全都认为是秋千的运动。 咦，刘老师发现意见不统一了，看来同学们对秋千的运动是否是旋转现象有质疑。旋转却有哪些基本的特征呢？下面我们就从我们最熟悉的钟表指正的运动开始研究 观察下列旋转现象有什么相同点和不同点？你来说相同点是它们都是围绕点 o 来旋转的，是 这个点吗？是真是火眼金睛！还有其他的相同点或不同点吗？你来说它们都是向同一个方向旋转的。同一个方向旋转，谁听明白？他说的？ 邓丽萍，请你说他说的是，就是他们的指的都是往右边旋转的，往右边旋转， 是这样吗？是，也就是说我们钟表时针的旋转方向都是这样旋转的。是不是？是像这样，我们说和钟表时针旋转方向相同的叫顺时针方向，相反的叫 逆时针方向。请坐，谢谢！你们来，我们边比划边说，和钟表时针旋转方向相同的叫，其和钟表 同的叫顺时针方向，相反的叫逆时针方向。还有其他的相等点会不同点吗？ 你来说他们的旋转角度不同。图一的直角是向右旋转了三十度，图二的直角是向右旋转了九十度。 三十度是怎么来的？因为一个中一个中角，它就是一个圆，等于一个周角，一个周角的角度就是三百六十度。这这一个中角有十二个空格，三百六十除以十二就等于三十度，说明一个空格就是三十度。谁听明白？他说的？ 经理说他的意思是一个钟表是一个圆圆，总共有三百六十度，三百六十除以十二等于三十度，然后一个大格就是三十度。 李老师发现啊，这两个同学谁不但会说，还很会思考，此处该有掌声，谢谢！你们请坐，我们看看图一的角度。图二， 我们来看看，一周是三百六十度，桌面上有十二个大格，所以每个大格就是九三十度。 图二，九十度可以怎么计算，怎么来的？请你说， 三十度乘三，有三个大格就是三十度乘三等于九十度，你们听明白了吗？听明白了，是的，我们发现他们的旋转角度是不同的。 通过我们的观察研究，我们发现钟表时针都是绕着旋转中心，按照一定的旋转方向，还旋转了一定的角度，其中方向又分为 顺时针和逆时针，这实际上在我们数学中把它叫做旋转的三要素。 下面你能利用旋转的三要素描述一下钟表时针的旋转过程吗？可 你来说，时针围绕点 o 顺时针方向旋转三十度，还有谁想说？ 你来说十二到一到点 o 向，顺时针旋转三十五，他们都说对了吗？ 说对了，他们说到了哪些要点？请你说旋转的三要素，也就是说，说到了旋转中心，旋转方向，旋转角度是不是？是？下面我们一起来说一说。从十二到一起， 从十二到一直角绕点 o 二，顺时针方向旋转三十度。你们啊，说的真棒，准。图二也能像这样说一说吗？ 李梅，请你说，从十二到三直角绕点 o 二，顺时针方向旋转九十度，还有谁想说？ 你来，黄小乐，从十二到三直角绕点 o 二，顺时针旋转九十度，对不对？对，来，我们一起来说起，从十二到三直角绕点 o 二，顺时针方向旋转九十度。通过我们的观察讨论，我们发现 我们在旋转过程中要具备这三要素。那现在能解决我们刚才的质疑了吗？秋千的运动是旋转现象吗？ 张紫薇，请你说是它具备了旋转的三要素，那三要素，它有旋转中心和旋转方向，还有旋转角度，请你来黑板上画一画。旋转中心在哪里？ 在这里， 这一条线段是吗？是的，他的全脑中心由点变成了一条线段。全脑方向呢？旋转方向是顺时针方向，同意吗？ 秋千一定是顺时针吗？不一定要这么说哦， 可能是顺时针，也可能是逆时针。那旋转角度呢？旋转角度，谁来帮帮他？ 这家人？请你说，旋转角度就与呃，秋千的摇摆幅度相关哦，但大一点，动作大一点，角度就大一点， 大小一点，角度就小一点。是的，请回，谢谢你。秋千的运动也是旋转现象，他有旋转中心，有旋转方向，也有旋转角度，那么他就是旋转现象。 下面我们利用我们旋转三要素来玩一个游戏好不好？好，这个大唐僵尸你们玩过吗？玩过，好，请你们发出一条指令，豌豆射手要怎样旋转才能打中僵尸？ 请谁来？你来吧，豌豆射手绕点 o， 顺时针旋转三十度，同意吗？同意，我们来试一下。很好，果然打中了，请坐，谢谢你，下面我们来随机点名。 好，郑海霞，请你来。豌豆射手，豌豆射手，射手围到点 o 旋转六十度，对吗？不对，他的指令有什么要补充呢？ 请你来豌豆射手围到点 o， 顺时针方向旋转六十度，他缺少了哪个要素？旋转方向是不是？是，好，我们来试一下。 来，开炮，打中了，请坐，来，下一个。谁来说？张建刚，请你说， 豌豆射手围绕点哦，按逆，按顺时针方向旋转二百七十度，对不对？对，顺时针方向旋转二百七十度，还有不一样的方法吗？ 请你说，豌豆侧手绕点 o 逆时针方向旋转一百八十度是吗？ 不是，我们一起来看看哦。从三到十，逆时针旋转了几大格啊？ 五大格，一二三四五，一大格，多少度？ 八十度，所以五大格就是一百五十度。请你再说一次，光头射手绕点从逆时针旋转一百五十度，对不对？对，刚才可能有点紧张，来，我们看看，同一个僵尸，我们可以用不同的方法来打中他。 还可以啊，顺时针方向旋转二百七十度。好，下一个。谁还会说？ 周夏涵？请你说，豌豆射手绕点 o， 逆时针旋转一百八十度，逆时针方向旋转一百八十度，同意吗？ 同意，还可以怎么旋转？欢笑乐。请你说，豌豆射手绕点 o， 旋方向旋转一百八十度，对不对？不对，先来帮帮他。你来说，黄子爷，豌豆射手绕点 o， 顺时针方向旋转一百八十度，对不对？对，来一起说一遍。豌豆瘦瘦起，豌豆瘦瘦瘦脸。哦，那顺时针方向旋转一百八十度开始 也可以绕点哦。啊？逆时针方向旋转一百八十度，你们觉得植物大战僵尸的游戏有趣吗？有趣，还想不想再来玩一个游戏？想，下面我们一起来玩一个画图游戏？ 先考考你们的记忆力。一二三，谁记住了？好，请你说，将线放 a b 旋转九十度，是吗？来看看对不对？对，你对我的游戏规则有什么想说的？ 黄建军，请你说，还没有旋转方向，没有旋转方向，还有吗？ 你来说，没有旋转角度，也没有旋转角度。下面请大家在 没有旋转角度，没有旋转中心。哦，看来你有点紧张，请坐。是的，没有旋转中心和旋转方向。下面请大家在小土内先确定旋转的三要素，再用笔转一转，最后动笔画一画，开始吧， 倒计时三分钟。 哎，我发现有同学已经忙成了，是不是？是好， 哪个小组来会帮你们组的想法。好，邓玉萍，请你来。 你们组是怎么旋转的？我们是将线段 a、 b 绕点 b。 好， 老师，忘记打开这里了，稍等。 好，重新说，我们是将线段 a、 b 绕点 b， 按顺时针方向旋转九十度，用笔撞一撞。 刘老师，发现了一个细节，你为什么要按住这个点啊？ 这样才能固定这个点，是不是？是，好，问问同学们，你们听懂了吗？同学们，你们听懂了吗？听懂了，好，哪个小组还有不一样的？谢谢你，请回，你来， 我们组式绕，将线段 a、 b 绕点 d， 按逆时针方向旋转九十度，是这样旋转的。 同学们，你们听懂了吗？听懂了，谢谢你，下一，还有不一样的吗？来，环环卫士经理，来， 我是将线段 a、 b 洛点 a 二，逆时针方向旋转九十度。我是这样，我是这样画的。 同学们，你们听懂了吗？听懂了，谢谢你，请回，画的真好，下一还有不一样的吗？ 朱家门，请你们来一样的。可不一样的吗？首先看你的一样吗？不一样。哦，那下面看看刘老师的电脑老师也画了几种，请你们看看电脑老师是怎么画的。 这一边请你说，他是将线段 a、 b 绕 绕点 b， 顺时针方向旋转九十度，对不对？对， 我把它叫做线段 b a 撇点。现在它又是怎么旋转的？你说要做多少？将线段 a、 b 绕点 b， 逆时针方向旋转九十度，对不对？对，好， 它又是怎么旋转的？尤姐，请你说，将线线段 a、 b 围绕点 a， 逆时针旋转九十度，我们把它叫做线段 a、 b 撇 最后一个，谁会？谁会说？你来将线段 a、 b 绕点 a 逆时针方向旋转九十度，对不对？对，刘老师有个疑问啊，同样是将线段 a、 b 旋转九十度，为什么会有这么多种结果啊？ 哦，郑一平，你请你说，因为他没有确定旋转中心和旋转方向，你们听明白了吗？听明白了，所以我们在画图的时候，你想提醒同学们注意什么？ 要先确定旋转空间和旋转的方向以及旋转的角度。是的，我们的旋转三要素在我们的图形的旋转中发挥着巨大的作用。请坐，刚才我们研究的都是线段的旋转图形，旋转起来又是怎样的呢？ 这是什么三角形？请看三角形 a、 o、 b 是 怎样旋转的？谁来说？ 请你说，三角，三角三角形 a、 o、 b 这样围绕点 o 顺时针方向旋转九十度，对不对？对，谁还想说？ 张先生，请你说，三角形 a、 o、 b 围绕点 o 顺时针方向旋转九十度。哦，都认为三角形 a、 o、 b 是 绕点 o 按顺时针方向旋转呢？九十度，那你是怎么看出它是这样旋转的呢？ 尤姐，请你说，你的黑板上，你画一下， 因为线段 a、 o 围绕点 o 顺时针旋转了九十度，就是到这里是 a 平点， 所以三角形也顺时针旋转了九十度，你们听明白了吗？听明白了，好警徽，谢谢你！下面在小组内观察讨论一下，看看是不是这样。开始吧， 是现状。 好，时间到，你们好了吗？好了， 哪个小组来说说你是怎么看出三角形 a、 o、 b 让点后顺时针旋转了九十度呢？ 尤姐，请你来线段 e o 这条线段，它围绕点 o 顺时针旋转了九十度。谁听明白他说的？谁来黑板上演示一下。蔡依萍，请你来， 有代理吗？啥子？它是转，它是这条线段，这线段 b o 围绕点 o 旋转，旋转九十度，到这里能转转看吗？ 对呀，往这里九十度，你是怎么看出它旋转的九十度的？不用了，直角三角尺量了一下。哦，直角三角尺量了一下，来面对大家，我们来试试看 是不是刚好九十度是。好的，请回，谢谢你，刚才我们的刘建同学还选择了哪条边来看谁来肩膀上演示一下。 周家恒，请你来 a o 旋转，它这样旋转三三九十度，我们同学们， 同学们，你们听懂了吗？听懂了，有点小害羞，请回，谢谢你。我发现啊，他们都是选择过旋转中心的边来说明。倒立。 线段 a o 绕点 o， 按顺时针方向旋转了九十度，我们把它叫做 o a 撇撇 线段 o b 也绕点 o， 按顺时针方向旋转了九十度。最后我们连接线段 a 点 b 点，那么 整个三角形也绕点 o， 按顺时针方向旋转了九十度。如果将三角形继续绕点 o， 按顺时针方向旋转九十度，又会在哪里呢？ 和你想象的一样吗？一样继续旋转。请你观察一下旋转前后的弧形，你有什么发现什么不变什么变吗？叶博文，请你说旋转中心不变， 旋转中心不变，请坐。还有吗？张先刚，请你说他们的面积不变，为什么面积不变啊？因为他们都是由同一个图形旋转出来的，也就说他的 形状大小不变。是的，那还有什么不同的地方吗？应该说还有什么变了， 你来说他们的旋转位置变了，位置变了，同意吗？同意，旋转 中心形状大小不变，但是位置也变了，这实际上就是旋转的，可真旋转中心起，旋转中心形状大小不变，位置变了。 你们看旋转后的图形像什么啊？风车像风车，那么我给它涂上颜色，让它转动起来吧， 漂不漂亮？漂亮，一个简单的图形，经过连续的旋转，就变成了一个美丽的风车。请大家看看下面图形又是由哪个图啊？旋转而成的？谁在黑板上画一画？韩建军，请来第一幅图， 如果你觉得他画对了，就给他一些掌声。 图二，你来。 图三，请你来。 图三，还可以怎么看？你来吧， 这两眼行吗？行。那刘老师有个疑问呢，传达中心在哪里啊？在这里，同意吗？不同意请回。谁来往上挂一挂，你来 在这里，对不对？对，来，我们来试试看。请回，谢谢。你 可以这样旋转而成，也可以由一个三角形旋转而成。 下面请大家判断一下涂色部分的面积占整个图形的几分之几。一起说四分之一，能看出四分之一是对的，但能用图形旋转的角度来说明为什么是四分之一的有水平。 为了方便表达，我们把这里叫做点 o， 这个叫做图 a。 罗英，请你来图 a， 绕点 o， 逆时针方向旋转九十度，同意吗？同意，我们来转转看。果然可以，还可以怎么旋转啊？ 呃，陈宇春，请你来图 a， 绕点 o， 逆时针，顺时针旋转九十度。对， 好，二百七十度。请你再完整的说一遍，图 a， 绕点 o， 顺时针旋转二百七十度，对不对？对，来转转它 果然也行，下面图形发生变化了，图色部分又占整个图形的几分之几了呢？同样的，我们为了方便表达，我们叫点 o， 则图 a、 图 b， 请你说四分之一，四分之一，为什么？因为点 b 到点 o， 逆时针旋转了三十度，点三十度，同意吗？不同意，谁来说可以怎么旋转？ 方顺，请你说，可以点 a， a， 图形 a 向绕点 o， 顺时针方向旋转二百七十度，图 a 绕点 o， 按顺时针方向啊，顺时针方向旋转二百七十度，图 a 还可以怎么旋转？ 好，你来说，图 a 绕点 o， 逆时针旋转九十度，刚才有点紧张，现在说的非常好，请坐，图 b 还可以怎么转？ 你来说黄子岩，图 b 绕点 o， 顺时针方向旋转九十度，图 b 还可以怎么转？请坐， 请你说，图的绕点 o 逆时针方向旋转二百七十度，他们说对了吗？说对了，我们来转转看， 果然也是四分之一。我们学习了图形的旋转，下面我们带着图形的旋转的眼光来欣赏下面这些图片，漂不漂亮？漂亮，学习了图形的旋转，我们再来看这些图形就不一样了， 生活中也有非常多的旋转现象，这是旋转木马，这是芭蕾舞，是 叶子，是的，一片叶子旋转之后就变成了一朵漂亮的花朵。这是哦，我们的建筑也会旋转的。哇，神不神奇啊？神奇， 那下面这张图片还是通过旋转而成的吗？不是，黄建军，你说他是通过平移的通呢？同意这个呢？ 你来说通过轴对称，轴对称，是的，我们的图形的旋转，图形的运动，除了有我们今天的旋转，还有原来学过的平移轴对称。今后我们将继续学习图形的放大与缩小， 愿我们的同学能带着图形旋转的眼光去寻找、发现，创造更多的数学美。这节课就上到这里，同学们，再见！

我们来做一道分数比较大小的题，我们先来看一下这题，比较二零二二分之二零二一和二零二三分之二零二二的大小，我们要比较它的大小。 那我们比较分数的大小的话，我们有三种比法，第一种是什么分母相同，分母相同，我们比什么比分子，分子越大的它就怎么样越小。那么第二种比什么比分子，那分子相同。 第二种的话就是分子相同，分子相同，我们去比什么比分母，分母越大的他反而怎么样越小，分母越小的，他反而怎么样越大。那我们的第三种就是什么异分母， 异分母比较大小，异分母比较大小的话，第一要先干嘛先通风，我们要用什么最小公倍数去干嘛通风？把它的分子怎么分母怎么样通成相同的了，我们再来 用第一比什么比分子，对不对？它分母相同，我们就比分子。那我们先来看一下，这我们会发现，第一它分子也不相同，分母不相同，它是一个什么异分母？我们说异分母比较的话，它要通风， 但是我们通过观察我们发现二零二二和二零二三他们是什么复制数，那复制数要通风的话，他们的什么， 他们的分母就是他们的最小什么公倍数，那你看最小公倍数叫二零二二乘二零二三，是不是这样子的，那他就怎么样非常怎么样大。那我们也可以， 你不用给他乘出来，也可以去比较，你不用给他乘出来，我们就用什么算式的方式，你可以这样写， 你可以这样写，二零二二乘二零二三， 这是不是第一个你就把它带着进去，因为这分母和这分母它是一样的。那我们来看一下第二个二零二三乘二零二二，分之二零二二乘二零二二， 你看这扩大两千零二十二倍，这要扩大两千零二十三倍，那么说了必须是分子和分母同时怎么样乘或怎么样除以相同的一个数，谁除外？您除外。这个分数的什么大小不变，那通过通风的话，我们可以知道，你看 上面，上面是二零二三乘二零二二， 上面是二零二二乘二零二二，那这个要怎么去比他的分母相同，我们可以去，不用去在意他的分母，你给他带着走就行了。我们就是二零二二乘二零二三， 二零二三乘二零二二，因为他们两个的结果都是一样的，我不用去在意他，我看什么分子，看分子分子，这是二零二二，这没有，这只有二零二一，那我们就可以用什么我们的乘法，什么分配率，我们去拆 拆，就是要把他们两个变成一个相同的数，你可以把二零二三给我变成二零二二，你可以把这二零二二变成什么二零二一，然后来进行比较。那么先来变，这上面不管他，我们来变下面 二零二二，我可以给他写成二零二一，怎么样？加一乘二零二二，这就可以用乘法分配率，这就可以用乘法分配率。你看 二零二一乘二零二二，加二零二一，是不是？那你看上面的话，它就是什么二零二一乘二零二三，那我们在这用乘法分配率，可以看一下二零二一乘二零二二， 加二零二二，那下面就是二零二三乘二零二二，那你看下面不变，我们来比较上面，上面这是乘，它是不是多了一个二零二一，你看吧，这我也可以给他拆，这拆成什么？看到我们的分母不变， 我们拆什么？分子？分子，我把二零二三拆成什么？二零二二，那他是不是二零二一乘二零二二加一，那你看他是不是就等于二零二一乘二零二二加二零二一， 你看我们的分子，他是不是就已经可以比较出来了？我不用计算出来，可以比较，因为分母相同。你看这有二零二一乘二零二二，这也有二零二一乘二零二二，这两个 他们的级就怎么样。相反，那我们比后面加的这加的是二零什么二二，这加的是二零二一，那我们就知道谁大谁大，那我们就是二零二三分之二零二二大于二零二二分之什么？二零二一，这是第一个方法啊， 我们来看一下我们的第二个方法啊。第二个方法我们说了，我们通过观察，我能发现这个他比较接近谁 一，是不是他也比较接近谁一，是不是都比较接近一，那我就可以怎么样？你看他，我就可以给他看成什么？一减二零二二，我把他看成二，把他看成一，他多看了多少？ 二零二二分之一，是不是？那再来看这一减二零二三分之二零二三分之什么一， 那你看他们两个都接近一，我可以给他们两个看成一，我可以给他们两个看成一，你看，比如说我相当于看成一，你用了二零二二分之二零二一，你还剩二零二二分之一， 这也是一样的。你用去了二零二三分之二零二二，你还剩二零二三分之什么？一，我比什么？剩下的。我比剩下的。你看剩下的，我通过观察发现这是一，这是一，他们什么相同？ 分子相同，分子相同，我们比什么比分母，分母越大的反而怎么样越小？那你看剩下的我就知道了。 二零二二分之一大于二零二三分之一，你看是不是这样子的？ 分子相同，我们比什么分母，分母越小的，他反而越大。那你看比较了之后，我知道这个剩下的多，那证明他用的是怎么样少，这个剩下的少，那他用的就怎么样多。所以说我们通过比较，我们就能知道，你看你剩的多，用的少， 对不对？那他剩的少，用的怎么样多，那也是一样的。所以怎么样？我们的二零二二分之二零二一小于谁？小于二零二三分之二零二二。

来看一个同分母分数加法中有关等差数列求和的问题。同分母分数相加，分母不变，分子相加两千零二十二分之一加三加五，一直加到二零一九，加上二零二一。 其实我们只需要找出分子这个数列的和就可以了。一和三之间相差二，三和五之间相差二，二零一九和二零二一之间也是相差二。由此就可以得出，分子这一个数列就叫做等差数列， 他们的公差也就是每相邻的两个自然数之间相差二，公差也就是二。那我们要想求出这种等差数列的和，就需要知道 从一到二零二一，现在一共有多少个数字。那求等差数列中数字的个数可以代公式末项减首项的差除以公差再加一代入，也就等于两千零二十一减一的差除以二加一， 结果等于一千零一十一个数字。接着我们再来求这个等差数列的和等差数列求和代入公式 末项加首项的和乘个数除以二。把具体数字代入公式，也就等于两千零二十一加一的和乘一千零一十一除以二，也就等于两千零二十二乘一千零一十一除以二。这就是分子的和。 那我们先不往下计算，因为往下计算会得出来一个很大的数字，我们把这个式子代替这个等差数列，那原来这个分数也就等于两千零二十二分之两千零二十二乘一千零一十一除以二。根据分数与除法的关系， 分子也就是被除数分母也就是除数，那把这个分数改写成除法算式，也就等于两千零二十二乘一千零一十一除以二，再除以两千零二十二，这样一转换，两千零二十二除以了两千零二十二， 这样就把两千零二十二给抵消了，那就剩下了一千零一十一除以二，一千零一十一除以二，也就等于二分之一。千零一十一化成代分数，也就等于五百零五又二分之一。