八下数学试卷2026万唯一次函数

咱们看一下这道题，给了一个反比例函数，这个是 y 等于 x 四分之四，这个属于是贺行仿自己的题，第一次是五十二，贺行在二四年， 在二四年考了这么一道，今年他改吧，他又考了这么一道，他又考了这么一道，路子都差不多。 看它这条线，它是过 a 点做 y 轴的垂线。 a 的 这个坐标是啥？ a 的 这个坐标，横坐标是 m， 横坐标是 m， 那 因为它在这个上边，所以它的纵坐标就是 m 分 之四，它说是 b 点到 y 轴的距离， b 点到 x 轴的距离，等于 a 点到 y 轴的距离， a 点到 y 轴的距离，那它这个是它的纵坐标，这个是它的横坐标，所以说 b 点的坐标就是负的 m 分 之四， 逗号负 m， 这条直线是 y 等于 m， 给它写近点，是不是这条直线是 y 等于 m？ 第一问，他让求 k 的 值，但 k 的 值不用带 m， k 的 值带 m 就 费劲了。那直接咱们就设 a 点，坐标是 a， 逗号 b， 那 b 点坐标就是负 b， 逗号负 a， 它们俩都在这个上边，在相乘都得 k， 相乘都得 k， 是 不是还都在这个上边？那就是 y 等于 k， s 加 b， 那 把它们俩都带入 y 等于这条线， y 等于 k， x 加 b， 把 a 点 b 点都带进来， 那就先把 a 带进来，是不是他就等于不用 b 了？这块有个 b， 那 块有个 b， 字母就重复了，是不是？那直接就 x y 得了，对不对？那这个就是负 y， 负 x 往里带第一个，那就是 y 等于 k， x 加 b， 第二个是负 x 等于负 y， k 加 b， 它们两个做差，那这边是 x 加 y， 这边是 x 加 y， 括号 k 对 一， 第一问就完事了。第一问 k 得一好，再来第二问，第二问。他说的是这条线用上了过点 a， 在 这做了一个垂线， 使他部分把这个上方的 l 上方的，那也就是这一段给他翻折下来，又不像了，是不是？重新画一个给他翻折下来 y 等于八。 好一样的。这根蓝的，上边的不看，就看下边的这一段就行，就看的下边的这一段，就看下边这一段。瞄一下，好，别的不用管了。是不是别的不用管了 啊？看着有点乱，是不是给他藏一下？好，就是这根红的显示就是这根，行，就在这上放着，对不对？他说当 m 等于一的时候，求 g 图像，这个 g 是 啥？包括这个和他这是构成了图像 g 与 x 轴的交点坐标，那实际上就是求这个求 m 等于一，那一 a 点的坐标 就是一逗号四，他到这边是四，是不是他到这边也是四？他到这边是四，他到这边也是四，那他到这边他到哪，他就到八， 实际上这边别这么来，实际上就是求它纵坐标是八的时候，这个横坐标是几？纵坐标是八的时候，这个横坐标是几。那就直接来呗，对不对？直接把八带进去就行了。 那就是第二问，八等于 x 分 之四，推出 x 等于二分之一， x 等于二分之一，那这个点就是二分之一，交点就是二分之一。 第二问的圈一也完事了，第二问，圈二，他说了过点 b 做 y 轴的垂线，然后与 g 交于 n、 c 两点， nc 两点。这块我觉得它是个错，为啥？看它体例描述，它是过点 b 做了个垂线，垂直于 y 轴的垂线，它垂到这是不是？那它垂到这，它说的是和 g， 也就是和这一撇，或者是这一撇相交于那个 n c 两点，那这里边和这只有一点，那这点是 c n， 没有 n， 没有 n， 除非是和 b 点重合，但是他要和 b 点重合，那他不符合题，那他就得零了，那 c n， c n 或者说 bc 怎么能得零？是不是？所以说我觉得他这个点是啥？他 n 应该是在这，为啥？因为二四年他个型考的，他说的是一个 e f， e f 和 y 轴的交点是个 n， 所以说它这块我觉得它是个比物题出错了，但是咱们给这按照 n 在 这算，那么这时候圈二是啥？是 b n 等于二倍的 c n， 也就是 n 点不是和它这个 g 的 交点，它是和这个 y 轴的交点， n 在 这，那咱们就分别表示出来这个 b n 和 c n 就 ok 了。咋表示？那就来呗。还是那个套路。 a 点的这个纵坐标是 m 分 之四， c 点，那这条它过的是 b， b 是 多少？它是 y， 等于负 m， 那从 m 分 之四到负 m， 这个距离是多少？这个距离是多少？是 m 分 之四减 m， 那 也就是减 加减，负 m 就是 加 m， 那 也就是这个点的从这到这的距离。什么距离？这个距离？ 那在这边也得找这个距离，是不是好？能找着他的纵坐标，也能找着这个距离，那这个距离还得加上一个几，还得加上一个 m 分 之四， 那也就是在这边这个点的距离。在这点他对应的这个纵坐标，那就应该是他后边再加上一个 m 分 之四，那这边这个纵坐标是 m， 他的纵坐标 把他的纵坐标进他的解析式里，带到这里，那就是 m 分 之八加上 m 等于 x 分 之四，整理一下这块是多少？ m 分 之八加 m 方 等于 x 分 之四，交叉相乘的，不用了，直接给四乘过去就行了。那 x 等于啥？ m 方加八分之 四 m 算的这个东西，它是 c 点的横坐标， c 点的横坐标等于 m 方加八分之四 m， c 点的横坐标， c 点的横坐标。弄出来了，那 c n 是 多少？ b n 是 多少就 ok 了， 咱继续，咱继续。那 c n 是 多少？来，直接咱就用这个等式了，那就是这个 b n 等于二倍的 c n， b n 从 n 到这，从 n 到这，也就是 b 点的这个横坐标的绝对值，那就是 m 分 之四 c n 这一堆对不对？他在正的没啥说的，那他就等于 m 方 加八分之四 m， 但是他还得乘个二，对不对？他等于二倍的，他 那就弄一下呗，是不是？弄一下在这是不是直接就可以掉个四？先约掉个四， 那就是 m 分 之一等于 m 方加上八分之二 m 交叉相乘二， m 方等于 m 方加八， m 方等于八 m 等于二倍根号二， m 等于二倍根号二。算出一个是不是括号，这一问，他就是问 m 得几？那 m 的 值 m 等于二倍根号二，圈圈三圈三。还有一个他是想问咱们从 a 从 a 到 bc 的 最小值是多少？也就是说这个意思， a 到 bc 的 最小值是多少？ 那么这个 bc 所在的那个直线， bc 所在的直线就是 y 等于负 m， y 等于负 m， 那 这块我就直接就给做了个垂直，那就来呗，是不是？ 来呗，那它的垂直了之后，那咱直接就是纵坐标减负 m， m 分 之四减负 m 等于 m 分 之四加上 m。 如果要是会基本不等式，这个就是高中必修一了，那就直接出答案了，是不是 基本不等式？是啥？是 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a b， 那 在这他加他，那就大于等于二倍的根号 m 分 之四加上 m， 中间这乘一约分等于几？等于四，那也就是他的这个最小值就是等于四，最小值就是等于四。那咱没学过这个，那咋整？没学过这个，那就直接给他化解化解。咋弄 通？分 m 分 之四加 m 方，这第一种方法直接用不基本不等式，第二种方法， 那么他等于了之后给上边配方，那我就配了一个加减二 m 减四 m， 那 就是 m 分 之四减四 m 加上 m 方，再加四 m 前面一个完全平方， m 分 之二减 m， 括号的平方再加四 m， 然后等于 m 分 之二减 m 括号的平方再加四。 想要让它最小，那得零，前面这一堆得零，那就是当 m 等于二的时候，它最小最小值是几？是四。

又开始了，这没完了吗这？哈喽，大家好， 今天是二零二六年五月十二日星期二，我们来看今天的这几道小题。先来看第一题啊，先读题目，依次，函数 y 等于二， m 减一， x 加二说这个随 x 值增大而增大，常数 m 的 取值范围是， 我们知道呃， y c x 增大而增大，那翻译成我们的这个 k 是 要大于零的，而我们这个 k 的 整体是二 m 减一，进而我们二 m 减一就大于零二 m 就 大于一， m 就 大于二分之一了。范围第一个 m 大 于二分之一。 第二小题说已知点， x 一 逗号五， x 二，逗号一 x 三，逗号负二说都在这个函数图像上， 则 x x 二 x 三的大小关系。这题有两种思路啊，一个是你直接把这三个 y 值代入，求出来三个 x x 二 x 三，然后比较大小，这是一种方法。还有一种方法就是什么，我们给你和性质 看，咱这个 k 啊， k 要是大于零，那么咱是 y x 增的 r 增大， k 要是小于零， y x 的 r 减小，那通过观察这里的 k 是 啊，负三小于零，那么 y 随 x 的 增大而减小。 好知道这个有什么用呢？爷爷说你 x 一 x 二 x 三的大小和我们这个 y 一 y 二 y 三的大小是更好是相反的。我们通过来观察 这个 y 一 y 二 y 三分别是几？ y 一 是我们的一， y 三是负二，那这三个的大小分别是， y 大 于 y 二大于 y 三，那么这个 x 一 x 二 x 三，它的大小方向刚好是相反了，进而就得到 x 一 小于 x 二小于 x 三，那么 x 三就是最大的那个， 那进而就可以把它的顺序排出来了， x 一 小于 x 二小于 x 三，这是第五小题，下一小题第八个， 那这个是一个选择题，给了四个选项，让我们来判哪些是正确的哈。先来看一次函数， k， x 加 k 减二， k 不 等于零。下来说话正确的是， 先来看第一小个，说点 a， m 减一多少 y 一 点 b， m 加三多少 y 二在图像上说，且 y 小 于 y 二，则 k 大 于零。这题我们来看怎么做啊？我先把上面的猜一猜， 先思考。这个又是结合图像， 他说的万一小于百二，我们先通过比较 x 一 和 x 二大小， x 一 就是我们的 m 减一 x 二，我们的 m 加三，通过 m 减一和 m 加三比较大小 x 二也说是大于 x 一 的，而我们的 y 一 是小于这个 y 二的，那么 x 的 大小和 y 的 大小是同方向的， 那么我们就可以转化成 k 是 大于零的，因为 y c x 增大， r 增大嘛，这是第一个是对的。第二个 他说不经过四象线，则 k 大 于二，那这个要注意，不经过四象线可能会出现什么情况？再画一个简易的坐标轴啊， 那么一二三四不经过四，那可能是这个样子，可能是一三，也可能是我们的一二三，那这两种情况，那如果是 我们的这个一三项线化，对应的我们的这个 k 减二， 也就是我们的这个 b 啊， k 减二就是 b 嘛， b 它如果是刚好过一三，就是我们的正比的函数嘛，它刚好是等于零来说 k 等于个二，那如果是在一二三对应的这个截距， b 是 要大于零的，也就说 k 减二要大于零， k 就 大于二， 那么这个第二个他很显露了什么等于二，所以说他是错误在这应该是 k 大 于等于个二啊，这是第二个错。在这第三个 说这个函数向上平移两个单位之后，得到这个一次函数和这个坐标轴围成的三角形面积是二，则 k 等于四，这个依旧是 你向上平行两个单位之后，咱们也说了，你这个 y 值整体加了二，咱原来的这个一次函数 y 是 等于 k， x 加上个 k 减二， 那么你平移得到号之后，咱记个 y 一， 那么它就是 k， x 加个 k， 减二之后再加个二，化简一下，减二加二就抵消掉了，就变成 k， x 加 k 了。一旦涉及到这种以坐标轴为成的三角形的这个面积的问题，那咱就是求它的这个 x 轴 y 轴的焦点坐标，那再换一个减一的图，那么 先随便换一个哈，一个是它啊，别说你与 x 轴 y 轴相交，一个是 x 轴的横坐标，一个是交这个 y 轴它的这个纵坐标啊，那咱就求它交点坐标，令 x 等于零，咱求出来 y， 给个 k， 然后呢？令 y 等于零， x 求出来是一个负一，好，进而咱就能得到它的这个焦点坐标，一个是零，多少 k 啊？这个 y 轴焦点， 一个是 x 轴焦点，负一多少零，这 好，那么它构成这个面积，这个横坐标和纵坐标刚好是它底和高，然后咱就可以把它面积表示一下， s 就 等于二分之一底乘高这个底，一个是横坐标，一个是纵坐标， 别忘了它是距离长度，它是正数，要加绝对值啊，非负数哈，那么一个是 k 的 绝对值， 再乘上我们这个负一的绝对值，最后等一个二，然后再来换点一下，就得到二分之一 k 绝对值， 然后负一的话，绝对值变一了，就甭管了，然后等于个二，然后再把这个二分之一除过来，就得到 k 的 绝对值等于二，除以二分之一就等于个四了，那 k 应该是等于个正负四， 所以说第三个的话，他漏了一个啊，光有正四，漏了个负四，所以说三也是错的。那对，我看第四个是函数横过定点负一负二的问题，但凡涉及到这种横过定点的问题， 我们把它先化解一下啊，化解一下之后， y 等于个 k， x 加 k 减二， 我们只要说横过定点了，那就说这个与这个 k 无关了，咱把这个 k 合拍同一项，就是 k 乘空，零的 x 加一再减二， 那要想让与 k 无关，就让 k 前面的系数，这得就是我们的 x 加一等于个零，让它等于零，就可以让这个 k 消失掉。这时候你再去求这个焦点坐标的话，当 x 等一个负一的时候，负一带进去，负一加上一等于零，零来乘 k 就 没了，就光剩一个 y 等于一个负二，所以说此时他就过定点， x 是 负一， y 是 负二，负一正好负二这个点，这四是对的，结合这两个选项，所以说选一四选 c 啊，这是定 八项题。好，然后再来看下一个，说 a 点 x 一 y 一 b 点 x 二， y 是 它这个图像的不同的两个点，说问 x 一 x 二的差， 乘上 y 一 y 二的叉，说和零的大小比较，那咱只需要判断它们叉的这个正负就可以了。结合这里，利用性质， k 等于个负三小于零，继而我们就能得到 y 随 x 的 增大 r 减小。好，咱除了这么翻译，也可以利用我们的这个 x 一 x 二的大小以及 y 一 八的大小来进行 表示。也就是说，如果是 y 随 x 增大而减小的话，比如说咱 x 一 要是大于 x 二，那我们对应的 y 一 就要小于 y 二，这是第一种情况。第二种情况，如果是 x 一 小于 x 二了，那么的 y 一 就要大于 y 二，比如说 他们的方向是相反的哈，那结合这个，如果是第一种情况，你 x 一 减 x 二， 那么他俩一座差。如果是第一种情况，那么就是让他大于零啊。后边 y 一 减 y 二，那就是小于零，那，那还一相乘，同号为正，一号为负，那他就是小于零啊。 然后第二种情况， x 一 减 x 二，你因为 x 一 小 x 二嘛，一座 x， 它是小于零的，然后 y 一 大于 y 二，那一座 x 是 大于零，那又是一正一负，那相乘，这个 g 还是负的小于零，进而无论哪种情况，它的结果都是小于零啊。 我们来看最后一道题，说一函数 y 等于 k， s 加 b， 它的图像不经络。第三项线，哎，又来了，说当 x 大 于等于负三小点一的时候， y 的 最大值以最小值的差为六，求这个开值 好。还是刚才的做题思路哈，不经过三项线，不，因为不经过来送我三项线， 所以我们就转化成我们的 b， 他 是要大于等于零的，而我们这里的 b 就是 他。 好在结合他说了 x 大 于等于负三，选哪一，他说最大值和最小值。这里我们要考虑你不经过这个第三象限，那再画个草图， x y， 不 过经过一第三，一二三四，那大概就是这个样子， 要么就是二四，要么就是一二四，总之我们可以转化出来它这个 k 啊，还是一个小于零的，那既然是 k 小 于零了，那 y 随 x 的 增大， r 减小，那么你当 x 的范围是大于等于负三，求得一时，爷说你 x 等于负三时，我此时这个 y 会用我们的最大值， 那 y 的 最大值咱用 m a x 来表示啊，那就是把它负三在一起，负三 k 加上个 b。 好， 那么当 x 取一的时候，他就会有最小值， y 就 等于个我们的 k 加上 b 最小值， 那现在最大值最小值都有了。结合他说了， x 是 六，我们把它做 x 最大值，那就是负三 k 加上个 b 合起来减掉我们的最小值。 k 加上个 b 等于个六，那我们来合并一下，负三 k 负 k， 那 就负四 k， b 减 b 没了，负四 k 等于六 k 就 等于个负的二分之三，结合咱 k 学为零，验证一下，没问题啊啊， 这题 k 答案就出来了，负的二分之三。好，今天的分享就到这，感谢大家的聆听 哦哦哦哦哦哦。

好，我们继续来看坐标系的综合应用，关于一次函数与面积交点轨迹的问题。首先的话告诉的是如图一，直线 y 等于负二， x 加四与 x 轴 y 轴分别交于 a 点和 b 点。 好，那解析式的话还是在图中做上标记。解析式是用来求点或者是表示点，那这个地方与 x 轴 y 的 交点是两个确定的点， a 点和 b 点，那零 y 等于零，可以得到与 x 轴的交点应该是二零这个点。 然后呢，零 x 等于零，可以得到 b 点，坐标应该是零四，我们在图中把它标记出来啊， 好，然后呢，接下来的话， aob 这个图形的面积，它是一个横平竖直的直角三角形，二分之一底乘高，得到面积应该是等于四的。好，接着第二小题是如图二告诉的是有一条新的直线，那原本的 ab 这条直线仍然是 y 等于负二， x 加上四的 b 点，坐标还是零四， c 点坐标是二零，好，接下来有一条新的直线， y 是 等于 k， x 加一的。 好，这条直线目前注意观察它的解析式里面的 b 是 确定的，那表达式里面的 b 是 用来确定图像与 y 轴的交点，所以他让说的是与 y 轴交于这个 c 点，那就是零 x 等于零，可以得到 c 点的坐标应该是零一。 好，接下来的话就是与我们的 ab 的 这条直线交于点 d 点。好，那 d 点的这个点的坐标暂时目前是一个未知的点，如果说直接连立的话，那这个时候的表达式里面啊，坐标的表达式里面会带参数 k。 好， 接下来提供的信息是角 dbc 和我们的角 bcd 是 相等的好，这两个角在数量上相等，在位置上来看是同一个三角形。 dbc 这个三角形里面的两个角， 那这两个角相等，代表的是 d b 和 d c 这两条边是相等的，所以它是一个等腰三角形，那等腰三角形里面的话，这个 bc 是 确定的，而 bc 这条线段长度为三 啊，并且它是我们的等腰三角形的底边，那出现的等腰三角形的底边，实际上它会有一个三线合一的这样一种想法，也就是过地点做 bc 的 垂线， 我们最后要求 k 的 值，要求 k 的 值，也就是要求解析式好。用什么？求解析式，用点来求解析式好， c 点是由解析式得到的，肯定不能用它，那就用上面的有效的点。地点， 那要求地点，从几何的角度来看，因为这个地方啊，他是给出的是一个几何的信息，角度相等，所以我们借助几何的坐标转换成几何的横平竖直的线段 好，因为这个地方啊，往外轴做垂，理论上来讲，横或纵 x 轴外轴做垂，都可以去表示呃，这个点的坐标对应的线段长度，但是因为这个地方有一个特殊型等腰三角形，所以在把这个点的坐标转换成线段长度的时候，选择往外轴做垂线 好，那一旦往外走做垂线之后，那么在这个等腰三角形里面，它是充当三线合一的，所以代表的是 b h 和我们的 c h 是 相等的，并且都等于 bc 的 一半，也就是二分之三。好，从而得到这个 h 点的坐标。 h 点的坐标出来之后，就可以得到我们的 d 点的纵坐标， d 点的纵坐标得到之后，他是在我们的已知的 ab 这条直线上，进而得横坐标。好，后面得到点的坐标之后，求解去式。好，我们写一下他的一个分析过程。首先是过这个地方的地点做垂线， 一个是等腰三角形的三线合一啊，另外一个就是呃点的坐标转换成横平竖直的线段长度。 好，那这个时候借助我们的等腰三角形啊，借助角相等啊，因为此时的角题目条件提供的角 dbc 啊，是等于角 bcd 的， 那角相等的话，可以提供的是 d b 和 dc 的 边相等。然后呢，加上我们的垂直，也就可以得到 b h 是 等于 c h 都等于 bc 的 一半，也就等于二分之三。好，那进而也就可以得到 o h 的 长度，它就应该是等于 oc， 加上 c h 是 等于二分之五的，也就可以提供的是我们的地点的纵坐标 y d 就 应该是等于二分之五的好，那这个时候直接是令我们的 y 等于二分之五就可以了，也就是令 ab 这条直线的 y 等于二分之五 啊，也就可以得到啊，此时的这个二分之五啊，这一是带到 ab 这条直线里面来啊，也就等于负二 x， 然后呢，加上四的，从而解得。对呢， x 的 值应该是等于这个四分之三的 好，也就可以得到地点的坐标。横坐标是四分之三，纵坐标应该是二分之五。好，得到地点坐标之后，我们要求 k 的 值，就把这个地点坐标带入到我们的呃直线 c d 的 解析式， 那接下来的话就得到的是二分之五，它就应该是等于四分之三倍的 k， 然后加上一好解得对应的 k 的 值 好。这样的话，得到的对应的 k 的 值是等于二的好。也就题目要求 k 的 值，那我们就得到这个 k 的 值就可以了啊。呃，如果要求解析式，那解析式就是 y 等于二 x 加一啊。这是我们的第二问 好。接着我们来看第三问，他说的是如图三，那如图三的话题干条件仍然是成立的。 ab 这条直线。解析式 y 等于负二， x 加四， b 点坐标是零四 好， a 点坐标是二零好。接着他是把 ab 这条直线进行平移，平移后的这条直线与我们的 x 轴交于 m 点，与我们的 y 轴交于 n 点好。那既然是平移的，从函数的角度来看，平行得 k 相等， 所以这个时候的 m n 这条直线的解析式，我们可以表示为 y 等于负二 x 加上 b 好， 实际上就是与 y 轴的这个交点啊， n 点好。然后呢，接下来的话，与我们的 y 轴交于 n 点，与 x 轴交于 m 点，那这个时候根据解析式， m 点和 n 点这两个点我们都是可以表示的，用代参数 b 的 这个式子来表示。 接下来分别延长此时的 b m 以及 an 交于点 q 点，证明这个 q 点在一条定直线上在运动。那就要想办法先去把这个 q 点表示出来，横纵坐标，把它表示出来。 q 点，它是我们的 b m 和 a n 这两条直线的交点，那要求 q 点就需要知道 b m 和 a n 的 直线解歧式，然后连立求交点， b 点是已知的点， m 点是这个可以表示的，用我们的参数 b 来表示，所以 b m 这条直线也是带参数 b 的 一个表达式， 同样的 a n 这条直线也是代参数 b 的 这样的一个表达式，然后再连立求交点好，我们依次来看一下。首先第一个 b m 的 这条直线解歧式 好， b m 这条直线我们在表示的时候， y 等于 k， 代定系数法 k x 加 b 好， 因为是经过这个 b 点与 y 的 交点是呃零四，所以这个解歧式我们可以直接表示为 y 等于 k 一 x， 然后呢，加上四 好，因为它是过这个零四这个点的啊。那接下来的话，要求解析式就是把这个地方的 m 点这个表示出来，所以我们在求这个 bm 的 解析式之前，先要表示此时的 m 点和 n 点好，那这个时候，首先是 m n 这条直线我们表示为 y 等于负二 x 加上 b 的， 那另这个 y 点的坐标应该是 m 点的坐标应该是这个二分之一， b 零 好，二分之 b 零好。另外一个 n 点的话，那就是零 x 等于零，得到 n 点的坐标应该是零 b， 所以 接下来的话，我们要求 b m 的 解函数，那就把 m 点的坐标代入，也就可以得到的是零，应该是等于呃 k 一 乘以二分之 b， 然后呢加上四，那这样的话就可以得到对应的 k 一 的值一项和边同内项，也就可以得到的啊。就是 k 一 乘以两二分之一， b 应该是等于负四的， 那么 k 一 就应该是等于负四，然后乘以 b 分 之二，从而得到 k 一， 应该是等于负的 b 分 之八的好。得到这个 k 之后，接下来就是得我们的 b m 的 解歧式 好，这个解歧式应该是 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后再加上四，好，这是 b m 的 解歧式，那接下来的话就是我们的 a n 的 直线解歧式。 好， a n 这条直线我们可以假设为 y 等于 k 二倍的好，这一下它是经过这个二零这个点，我们还是通过过定点的方式来表示这条直线，那就应该是 k 二倍的 x 减二，这个表达式表示的就是经过二零的这样的一条直线。 好，接下来的话，要求这个 a n 的 减去式，就是把 n 点坐标带入 n 点的坐标应该是零 b， 那 就应该是 b 是 等于 k 二倍的零。减去二，也就是乘以负二，好，从而得到此时的这个 k 二的值应该是等于负的二分之一 b， 好， 进而也就可以得到我们的 a n 的 值。减去式，那就应该是 y 是 等于负的二分之一 b 倍的 x 减二。 好，大家如果要把它写成一般形式的话，就是把括号去掉，得到的结果应该是负的二分之一 b x， 然后呢再加上一个 b， 好， 这是我们的 a n 的 直线解歧式。 那接下来得到这个 b m 和 a n 的 直线解歧式之后，它们俩交于点 q 点，那接下来就是把这两条解歧式进行连立，也就是把我们的 y 等于负的 b 分 之八倍的 x， 然后呢加上四。 当然如果说大家写的时候容易把那个 b 看成是六的话，也可以把这个解析式参数换一个字幕啊。 好，另外一个 a n 的 直线解析式应该是负的二分之一 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 好， 那接下来的话就可以得到我们的 q 点的坐标 啊，这个年底解的这个过程可以在草稿纸上进行啊，负的 b 分 之八倍的 x， 然后加上四，那另外一个就是负的二分之 b 倍的 x， 然后呢加上 b， 然后呢移项合并，那就是二分之一倍的 b， 二分之 b 啊，然后呢，减去 b 分 之八倍的 x， 应该是等于 b 减去四的，然后呢？左边的话这个运算，那就是两倍的 b， 然后呢分子的话就应该是 b 的 平方减去十六倍的 x， 等于 b 减去四， b 的 平方减十六，是可以进行因式分解的平方差公式， b 加四乘以 b 减四，好，除以两倍的 b， 结果是等于这个 b 减四的啊， b 是 不可能等于四的啊，否则的话，这个就和我们的 ab 这条直线是重合的，就不存在 b m 和 a n 这两条直线。 所以把这个地方的 b 减四这个消掉啊，约掉，最后得到 x 的 值，应该是等于 b 加四分之好， b 加四分之两倍的 b， 好， 那得到这个横坐标之后，我们还是写成 x y 吧。 好，这个地方解得 x， 因为最后找这个横纵坐标满足的是一个一次的表达式，还是要念它等于 x 啊，那我们就直接 x， 应该是等于 b 加四分之两倍的 b， 好， 那代入解析式可以得到对应的 y 的 值。随便带一个，比如说带到二里面来， y 就 应该是等于负的二分之 b， 然后呢，乘以这个 b 加四分之两倍的 b， 再加上 b 啊，二和二可以约掉一个啊，最后就可以得到啊，应该是这个呃， b 加四分之负 b 的 平方，然后呢，再加上一个 b， 好， 那就是通分 b 加四分之 b 的 平方，然后加上四倍的 b， 然后呢，这个作加法， b 加四分之四倍的 b， 好， 所以得到对应的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定的 y 的 值应该是 b 加四分之四倍的 b， 那 这个时候要确定 q 点的一个横纵坐标， 那这个时候比较容易能够得到纵坐标是横坐标的两倍好，从而得到啊，此时的这个 y 就 应该是等于二 x 的 啊，也就可以得到啊， q 点，它是在一条确定的直线， y 等于二 x 上在运动啊， 所以这个地方还是根据点，然后呢，这个引入参数来表示这个解析式，表示出解析式之后，再来表示 m 点和 n 点，再根据 m 点和 n 点以及已知的 b 和 a 去求解析式带参数 b 的， 然后后面是连立求焦点，根据焦点的横纵坐标关系， 表达的都是这个 b 的 这样一个表达式，所以最后得到啊，它是在一条确定的直线上。

好，我们继续来学习坐标系中的综合题。关于一次函数与平行四边形。首先题目条件提供的是如图一，在平面直角坐标系中给出的直线 a、 b、 c 的 解析式， y 等于二分之一 x 减三。解析式是用来求点和表示点的， 它说的是直线与 x 轴交于 b 点，与 y 轴交于点 c 点的坐标应该是零负三， 然后另外点零可以得到与 x 轴的交点 b 点坐标应该是六零啊。第一个直接写出点的坐标，那这个我们就不板输了啊。好，接着第二小题， 第二小题他说的是如图二， a 点的坐标是负二零。好，那 a 点点的坐标还是用来这个？从函数的角度来看求解析式。从几何的角度来看， o a 的 长度好， b 点坐标是已知的，是六零， c 点的坐标是零负三。 好，解析式。还是已知的 y 是 等于这个二分之一 x 减三。接下来说的是过 a 点的直线 a、 d 与我们的 y 轴交于 f 点，与这个地方的 b、 c 交于点 d 点 啊，那这个时候过 a 点的这条直线，我们可以引入参数来表示这条直线的解析式，比如说我们可以把它表示为 y 是 等于 k 倍的 x 加二， 这个表示的就是过负二零的这样的一条直线，这条直线与 y 轴交于点 f 点，那么 f 点的坐标就是可以表示的令 x 等于零， y 是 等于二 k。 另外它由直线 bc 的 交点是 d 点，那么这个 d 点也可以用我们的含有 k 的 式子来表示。然后接着给的信息的话是 f、 c、 d 这个角和 f、 d 是 相等的。 最后让我们求的是 a、 d 的 解析式，用点来求解析式找 f 点或者是 d 点好，那这个时候根据等腰三角形 f c 和 f d 相等，然后呢， f 点是用参数 k 表示， d 也可以用参数这个 k 来表示，那就建立 f c 和 f d 的 等量关系。 f d 是 一条竖线，上纵减下纵，用 k 来表示， f d 是 一条斜线，勾股定律表示 f d 的 平方， 但是因为这些啊，这些边的话都是带参数的，而且这个求出来之后，可以演示给大家看一下啊，也就是 k x， 然后呢，加上二 k 是 等于二分之一 x 减三，那移项合并，也就是 k 减去二分之一倍的 x 应该是等于三减去二 k 的 系数化一，那就是这个三减去二 k， 然后呢，除以 k 减去二分之一上下，同时乘以二，那就是六减去四 k， 除以这个二 k 减一。 这个时候就会发现这个地点的坐标相对比较复杂，所以这种方法虽然说是可行的，但是计算量会比较大，所以这个方法我们就这个不建议大家这样去用啊。主要原因是因为只有 c 点是知道的， d 点和 f 点都是未知的，所以都用参数来表示，计算量会比较大。 那另外一个想法的话，就是呃这个地方呢？因为呃 c 点的这个角度， f c d 这个角是在 c 点， c 点是一个已知的点，而这个地方的 f d c 这个角，它是在我们目标待求的地点的位置，它是一个未知的点， 所以这个角它如果放在一个不确定的点的位置上面的话，相对而言就不太好用，所以我们就有一种想法，就是把这个角想办法把它转移到已知点的位置，那已知的点就是 a 点、 b 点和 c 点，因为最终还是要跟我们的这个地方的这个呃 角， f、 c、 d 这个角去产生联系，所以这个地方呢，这个角在转移的时候是通过平行转移的，还是要提供角度的等量关系。那如果说移到这个地方，比如说 c 点的话，那就是这个内错角， 那内错角的话，实际上这个地方有相等的关系，那后续的话，实际上就是有一个这个角相等对称的这种想法 啊，这个方法在我们前面的题目里面是有出现过的，我们可以找到此时的 o 点关于 bc 的 对称点，然后呢，借助 c 和这个对称点，然后求出对应的解析式，再平移到这个 a 点，这种方法是可行的，但是也是有一些计算量的啊，因为 bc 它并不是一个比较特殊的直线。 好，然后呢，接着也可以把它平移到那 a 点，就不考虑了，因为本身就是共线的，移到这个地方的 b 点好，平移到 b 点啊，那平移到 b 点的话，可以得到 f、 d、 c 的 一个同位角，也就是 c、 b 毛毛的这个角，那这个时候就是跟我们的 f、 c、 d 这个角可以把它集中到同一个心里面， 也就是，呃，这个得到 bc。 猫猫应该是有一个等腰三角形，所以我们的这条平行线和我们的外肘形成一个交点，比如说这个交点我们记作 p 点的话，那就可以得到的是 bcp， 应该是一个等腰三角形， b 点是确定的， c 点是确定的，那么 p 点也是可以确定下来的。 好，那接下来如何来求这个地方的 p 点的坐标啊？求点的坐标一个是求解析式，但是我们是要根据点的坐标来求解析式，所以没有办法通过函数的方法来求 p 点。那就从几何的角度来分析， 因为刚刚得到的这个角度得到等腰本身就是一个几何的信息，那从几何的角度来看， p 点的坐标就是求 o p 的 长度 啊，求 o p 的 长度，那 o p 找寻的话，应该是 o p b 这样一个直角三角形，那就是一个勾股方程的想法，我们假设这个 o p 的 长度假设为 t 的 话，那这个时候就可以得到等腰三角形的腰 p c 和 p b 相等，应该是等于 t 加上 o c 的 三， 所以 p b 的 长度就应该等于 t 加三的好，那这样的话，在我们的 o b p 这样一个直角三角形里面建立勾股的方程，求出 t 的 值，进而得 p 点坐标，也就可以得 p b 的 解析式，再找到我们的目标带求的 ad 值这条直线上来。 好，那我们写一下他对的一个分析过程，先是平移倒角，也就是过这个地方的 b 点去做 b p 啊，是平行于 a d 的， 然后是交外周于 p 点。 好，那这样的话，接下来平行倒角就可以得到的已知条件里面的 f d， c 这个角同位角到我们的角 p b c 的 位置， 进而也就和我们的角 f c、 d 是 相等的，那 f d， 呃，这个 p b c 和我们的角 f c、 d 相等，就可以得到等腰三角形也就可以得到的是我们的 p b 和我们的 p c 是 有相等的关系啊，是等于 t 加三的， 那接下来就是在我们的 r t 三角形 b o p 中建立勾股的方程啊，也就是六的平方加上 t 的 平方，应该是等于 t 加三的平方。 好，把括号去掉，得到的是关于 t 的 一个一元一次方程啊，解这个方程得到 t 的 值应该是等于二分之九的，也就得到我们的 p 点的坐标，横坐标是零，纵坐标就是二分之九，那根据 b 点和我们的 p 点这样的两个点是可以得到对应的 p b 的 一个直线解函数。 好，那这个带电系数法求直线解析式，那这个过程我们就不板出了。好，从而得到 b p 的 一个直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x 加上二分之九。好，那 p b 的 直线解析式出来之后，因为 p b 和我们的 a d 是 平行的 啊，这是和 a d 平行啊。啊，从而就可以得到我们的 a d 的 这条直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，加上啊，这个 b 目前不知道，那我们就加上 b 吧。那接下来的话，就是将我们的 a 点的坐标代入，也就是把负二零这个点直接把它代入。啊，好，那代入的话，就可以得到对应的 b 的 值，应该是等于负的二分之三。 好，从而也就可以得到 a d 的 直线解其式应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三。 好，当然也可以用过定点的方式啊，比如说表示为 k 倍的这个啊， k 是 已知的啊，是负四分之三，也就是负四分之三倍的 x 加二，表示的就是过负二零的这条直线，然后把括号去掉，整理成一般形式也是可以的啊。 好，接下来我们来看第二小题，他说的是一点，是直线 a、 d 上的一个动点啊，直线 a、 d 的 解析式已经表示出来了，是 y 是 等于负的四分之三， x 减三， 那这个时候的解析式是用来求点以及引入参数来表示点一点，它既然是 a、 d 这条直线上的一个动点，我们就可以引入参数来表示这个地方的一点的坐标。 好，那可以表示为一点的横坐标，假设为小 e， 那 根据这个解析式得到重坐标是负的四分之三倍的 e， 然后呢？减去二分之三。 好，接下来这个说的是外轴上是否存在 g 点，使得 g、 e、 b、 d 这样的四个点为顶点的四边形，刚好是一个平行四边形。那这个存在性的问题，我们都是先假设它是顶点的四边形，刚好是一个平行四边形，那这个存在性的问题，我们都是先假设它是零，因为是外轴上的点 纵坐标，我们就用 g 来表示吧。啊，因为是直接写答案的，所以我们写一下分析的一个过程就可以了啊。好，那这个时候他注意他是给的是四个点， 四个点啊，那这里面有一些点是能够确定的， b 点和 d 点这两个点是确定的，那么 b、 d 这条线段在我们目标的这个平行四边形里面，他是作为边还是作为对角线，我们是不确定的，所以他实际上会涉及到一个分类讨论的问题。 好，当然这个地方的做法，这个不为一啊，我们提供一个想法啊，就是啊，因为是直线上的点，我们把直线稍微画长一点啊， 好，那这个时候的这个 b g 这条线段，它有可能是这个平行四边形的一条边 啊，那这个时候如果是边的话，那就用我们的对边的平行且相等，那就相当于是平行且相等，就是一种平移的方法。其中有一个点是在外轴上，有一个点是在我们的已知的直线上，所以这个时候大概是在这样一个位置啊， 稍微好像跟这个点有点重合的啊，当然这个地方我们先还是正常的去算啊，也就这边是 g 点，然后呢这个位置是 e 点，好，那这个时候借助点的这样的一个平行且相等，当然这个地方因为相对位置是不确定的，所以这个地方在分析的时候，他还有可能会出现在大概这样一个位置啊， 我们把外轴也延长一下 啊，也就是，呃，此时的这个 e 点， 然后呢，这边是几点啊？ 好，我们必做，呃，换个颜色吧。 啊，这是第二种情况啊，就是，呃，首先这个地方满足的就是一个呃对边的平行且相等，所以相当于是一种平移的想法，那此时这个借助点的这样一个平移。 好，借助点的这样一个平移啊，就是 b 点和 d 点这两个点的一个相对位置，实际上对的就是我们的 e 点和 g 点的一个相对位置， b 点是已知的，是六零，那我们还需要知道这个地方的地点， 而 d 点这个点它是可以看作是 a d 这条直线和我们的 bc 的 交点，所以是需要把这个地方的 a d 的 这条直线减去式， y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三和我们的 bc 的 直线减去式进行连力，也就是二分之一 x 减三进行连力。 年利是可以得到对应的地点的坐标，那地点的横坐标是等于这个，嗯啊，地点的横坐标应该是五分之六，好，重坐标得到结果是负的五分之十二，这是我们的地点的坐标啊。 好，那接下来的话就是分情况来进行讨论。那第一种情况的话，就是这个 b、 d 为边。 好， b d 为边，那这个时候得到的这样一个平行四边形，呃，也是要分情况来进行讨论的啊。第一个就是我们的平行四边形应该是 b、 d、 e、 g 的， 因为体干条件提供的是四个点，没有上对位置啊，没有顺序，所以这是第一种情况。好，那这个地方在计算的时候方法是不为一的啊。第一个可以通过点的平移， 从 b 点到 d 点，那就相当于是，呃，往左，那就应该是五六，减去五分之六，也就是往左五分之十二个单位长度啊，五分之二十四个单位长度，向下五分之十二个单位长度， 所以 g 点到 e 点也是往左五分之二十四个单位长度，往下五分之十二个单位长度，所以借助点的平移来得到对应的这种关系 啊。另外一种想法的话就是，呃，这个对角线互相平分，所以会提供啊，就是 b 点和一点两个点的，呃，中点和我们的 b 点和 g 点和 d 点两个点的中点是同一个点，所以就借助中点公式的这样一种想法也是可行的啊，那我们这个地方就用点的平移。 好，那这个时候就可以得到的是这个 x b， 然后呢，减去 x d， 应该是等于 x g 减去 x e， 好点的一个平移，横纵坐标分别进行平移好，那这样的话，因为 g 点的横坐标是零， b 点和 d 点又都是已知的点，那这样的话，我们就可以得到此时的一点的横坐标，那一点的横坐标就是负的五分之二十四，也就是我们的小 e 是 等于负的五分之二十四 啊，这个一点的坐标，横坐标知道之后，带入解析式，我们就可以得到一点的纵坐标，好，那此时得到啊，这个横坐标的话是，呃，负的五分之二十四，带入解析式得到对应的纵坐标，应该是等于十分之二十一的。 好，那一点的坐标出来之后，然后呢就可以得到我们的 g 点的坐标，那就是这个把一点的这个点的纵坐标向上加上五分之十二，好，向上加上五分之十二就可以了啊，从而得到我们目标所需要的这个 g 点的坐标，我们写在下面吧。 啊， g 点的横坐标是零 g 点的纵坐标十分之二十一，然后呢加上这个五分之十二，然后计算得到结果应该是等于二分之九的，实际上就跟我们刚刚第二问得到的那个 p 点是重合的一个点。啊， 好，这是第一个 b g 为边的时候，然后呢，第二个也是以这个 b d 为边好，但是这个时候的这个平行四边形应该对的是 b d g e 的 好，那这个时候还是借助点的这样的一个平移啊，也就是 x b 减去 x d， 那 此时就应该是等于 x e， 然后呢减去 x g， 好， 从而得到此时的这个一点的横坐标，就应该是五分之二十四， 好，一点的横坐标是五分之二十四，那就代入解析式，得到一点的坐标，横坐标的话是五分之二十四，好，代入得到它的纵坐标，应该是等于这个应该是呃，负的五分之 呃十的十分之五是一样。好，那接下来的话，就是这个根据我们的 e 点得到对 g 点的坐标，那这个 g 点的坐标就用 e 点的纵坐标，然后呢减去这个五分之十二 啊，从而得到此时的这个 g 点的坐标，横坐标是零，然后呢，纵坐标应该是负的二分之十五啊，这是 b d 为边的时候，那此时 e、 d 和 g 点的相对位置会发生改变啊，啊，然后呢，第三种情况的话，就是 b d 还可以是对角线 啊， b d 如果是对角线的话，我们也把这个图大概给大家画一下啊， 它如果是对角线的话，那这个 e g 就 会经过 b d 的 终点，那经过终点的话，就是画出来大概的是这样的一个位，大概是这样一种情况啊，啊， 实际上最后得到的结果也是在这个位置啊，就是会经过这个终点，然后呢，一个在我们的直线 a d 上，一个在我们的外轴上，当然我们这个地方还是建立这样的一个对应的等量关系啊，这个是 e 点， 然后呢，这边是 g 点啊，好，那这个时候满足的等量关系就是还是根据点的坐标的一个特点啊，也就是 x， 好， 这个地方我们先写一下平行四边形啊，此时就应该是 b g d e 还是通过点的这样一个平移，但这个地方啊，就是边已经变了，就是 b g 和我们的 d e 平行且相等，那在表示关系式的时候，就是点的平移，那就是 x b， 减去 x g， 好，应该是等于 x e， 然后呢减去 x d， 好， 那这个时候 b 点， d 点以及 g 点的横坐标都是知道的，我们还是代入得到 e 点的一个横坐标啊， 此时得到这个时候的 e 点的横坐标应该是五分之三十六。好， e 点的横坐标出来之后，进而我们就可以得到 e 点的坐标，横坐标的话是五分之三十六十九。 好，那一点出来之后，接着得这个地方的 g 点，好，那这个时候就是根据重坐标啊，重坐标啊，他一个相对关系，那从 b 点到 g 点，就是从一点到 d 点， 那就是这个，呃，纵向的这个长度，负的五分之十二，然后呢减去负的六十分之六十九，然后呢再把 b 点向上进行一个平移，好，从而得到此时的 g 点的坐标应该是零二分之九。 好，大家也可以根据这个中点坐标公式的这种想法， b 和 d 的 纵坐标相加是 e 和 g 的 两个点的纵坐标相加也是可行的啊。然后后面的话就是一个综上作总结 啊，这个地方最后得到有两种情况的，这个记点的坐标是同一个点重合的，所以最后得到的符合要求的这个记点的坐标应该是有两个，一个是零二分之九啊，另外一个的话就是零，然后呢负的二分之十五，从而得到目标的结果 啊，当然这个地方的方法是不为一的啊，另外一个我们也可以去这个啊，比如说这个地方 abcd， 他如果说是一个平行四边形的话，呃，可以用对角线的这种想法，就是有一个对角线互相平分，然后呢，那对角线的这个中点就是同一个点，那就可以得到的就是我们的 x a， 然后呢加上 x c， 应该是等于 x b， 然后呢加上 x d， 包括他们的总坐标也是一样的，也就是 y a， 加上这个 y c， 应该是等于 y b， 然后呢加上 y d， y b 加上外地啊，因为同时如果说除以二的话，都是我们对应的是中点的这个横坐标以及中点的纵坐标，所以这个地方啊，就可以去通过对角线的这个方式来分析，就是有可能是 b g 是 对角线 啊，比如说这个情况下啊，下面的这种情况就是 b g 是 对角线，有可能是 b e 是 对角线，也有可能是 b d 是 对角线， 然后呢，按照从 b 点出发的三条线段，都有可能是对角线的方式，然后利用对角线建立等量关系，进行点的坐标的一个求解也是可行的啊。

我们来看一下十四题。一辆快车从甲地驶往乙地，先画一个简单的图，甲乙 标清快车与慢车的一个位置， 接着说两车同时出发，匀速行驶，当两车在途中相遇时，快车恰好出现了故障，慢车继续驶往甲地， 快车维修好以后，按原速继续驶向一地，两车到达各自终点后停止。 s 表示的是两车之间的距离和慢车行驶的时间。我们来看一下我们的 st 图， 这样的图呢，我们关心的是起点拐点和终点，起点目测时间为零时，两车相向而行， 距离为四百八十千米，所以由此可知甲乙两地的相距的距离为四百八十千米， 然后接着两车相向而行， 直到相遇。根据图像知道，两车相距的距离越来越小，直到三小时的时候，他们两个人相遇了。哎，快车和慢车都走了三个小时， 在这里我们会看到地下一个拐点，就是在四小时的时候发生， 代表了什么呢？就代表了我们的快车维修的时间是三到四小时，一共经过了一个小时的时间， 那么这一个小时两个车之间的距离变化了六十千米，说明了慢车对应的速度就是六十千米每小时。 那么在这里回过头来看我们前面三个小时这一段可以得到的信息。那么在这里快车它的速度怎么算呢？就等于慢车三个小时所走的路程， 用四百八十做减法，再除以三就能得到快车所对应的一个速度， 得到的为一百千米每时啊，就是我们快车的一个速度通过前半段的信息得到的。然后接着我们看一下下一个拐点 a 表示了什么，就表示了我们在这里 快车在这一个位置相遇了， 相遇之后慢车又走了一个小时，然后接着继续向甲地行驶，那快车再相遇以后也继续向乙地行驶。 那么全程快车从甲乙甲乙两地一共用时多少呢？我们来算一下啊。全程 快车所用的时间和慢车所用的时间。快车所用的时间为四百八十除以一百等于我们的 四点八小时，但是因为他中间还修了一个小时的车，所以 t 撇快就等于四点八，加一，一共用时是五点八小时， 那在这里 t 慢所用的时间就是四百八十除以一个六十就等于八小时。 那通过计算会发现，还是我们的快车先到达我们的乙地，那么 a 点所表示的含义就是快车 到达乙地之后，剩下我们的慢车继续用时间去到达了我们的甲地啊。这就是整个图的一个分析，关心的是起点、终点和其中的拐点。得到这样的一些信息来看题目的问题。第一个， 两车出发多少小时相遇？由我们的图表可值为三小时，快车的速度通过计算为一百千米，每时 求出点 b 和点 a 的 坐标来看一下我们的点 a， 点 a 表示的是我们快车到达了乙地，通过观察分析，快车所用时间为五点八，所以 a 的 横坐标就为五点八， 那它的纵坐标表示的是什么呢？纵坐标表示的是两车相 距离的一个长度，此时的话呢，我们快车已经从这里到达了乙地，那我们只要算出慢车五点八小时移动了多远的距离，那么两车的相距的距离 s 即为所求， 来算一下啊，五点八小时慢车 行驶路程 s 片就等于五点八，乘以一个六十等于一个三百四十八千米。 好，我们的快车五点八小时到达了乙地，慢车五点八小时走了三百四十八千米，那么两车相距的距离就为三百四十八， 所以点 a 的 坐标在这里就是五点八到我们的三百四十八， b 点的距离就表示的是我们慢车， b 点表示的就是慢车从乙到甲所用的时间一共是八小时， b 点表示的坐标为八到四百八十。 那么在这里 a 点的实际意义为什么呢？ 先说横坐标，再说纵坐标为表示慢车 行驶五点八小时时， 快车到达以地， 两车相距 三百四十八千米，两车相距三百四十八千米， 写的数字分开一点， 我们来看最后一问，第三问，问什么啊？ 第三问的话呢，慢车出发多少小时后，两车相距二百千米来看啊，我们来分析一下， 我们在相遇之前距离越来越小，有可能为二百千米，相遇之后我们再往啊，分开走的时候，距离也有可能相距二百千米。所以在第三问里的话呢，我们要分两类去讨论。 第一类，在相遇前， 在相遇前的话呢，两车相距二百就代表快车行驶的距离，加上慢车行驶的距离，再加上我们两车之间相距的二百，即为全程四百八。 好解，我们的一元一次方程得到 t 等于四分之七秒，也有可能在相遇后 来，在相遇后。以后的话呢，我们来观察一下 快车相遇后啊，然后快车行驶的路程如图所示。慢车行驶的路程 啊，如这根笔所示，那么两车此时相距为二百，那就意味着快车的路程加上慢车的路程再减去重叠部分的二百，就等于我们的全程四百八，所以我们的式子可以列为 六十 t 加上一百 t 再减去重叠部分的二百。 在这里要强调一下啊，我们这个因为相遇之前快车没有修理，但是在相遇之后 快车进行了修理，所以呢，我们行驶的时间是要比 t 少一个小时的啊，再减去我们的二百就等于四百八十，解出来 t 等于 八分之三十九秒。综上 t 为四分之七秒或八分之三十九秒。

好了，各位同学大家中午好，今天中午的新老师给大家介绍一下这次咸阳实验中学八项期中考试数学的倒数第二题，也是一个这个一函数以一元一次不等式的结合的问题。咱们看题啊，可知直线 y 等于 k， x 加 b， 它经过点 c 和点 b， 哎，点 c 和点 b 都告诉你了， 那你这个 k 和 b 肯定能求出来嘛？这不用代入细说，这是上学期的知识，对不对？好，再看，他说是若直线 y 等于二， x 减四，那就是这个，哎，是向上的这条直线，它与直线 ab 相交于点 a， 对 吧？ 求点 a 的 坐标呢？那直线 ab 不 就是和直线 c b 是 一条直线啊，只不过这个直线 b 就是 y 等于 k， x 加 b 和 y 等于二， x 减四，它相交于点 a， 求的是个焦点。那这个思路就是我们先 用点 c 和点 b 这两个点的坐标，把 k 和 b 求出来，然后呢，再把 y 能 k， x 加 b 和 y 等于二减四，连立成一个二次方程组，求它的解，它的解就是点 b 的 横纵坐标，对不对？好，说干就干，咱们看一下， 那你看第一个，第一个，嗯，我们把这个点 c 和点 b 代进， y 等于 k， x 加 b 里面去代进来，是多少？是零等于一个多少？负 k 加 b， 然后呢，三等于一个 负三， k 加 b， 我 们解解这个二 s 方程组怎么解呢？是不是我们这是一，这是我们用二减一吧， 二减一的话，就是一个三，就等于一个 b 和 b 减没了负三， k 减负 k 就是 负三， k 加 k 是 个负二 k， 那 k 是 多少？两边同时除以负二，就是一个负的二分之三，对吧？因为这个直线 bc 斜向下嘛， k 是 肯定是负的，然后你再带到一里面去，那零就负的负，负的二分就负。二分之三加个符号不是变成相反数，变成二分之三吗？二分之三加 b 等于零，那 b 就是 二分之三相反数呀， b 是 不是也是一个负的二分之三，对不对？ 好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三啊，对不对？好，那 y 是 不是等于多少呢？负的二分之三呢？负的负数。 这题我一个同学特别可惜啊，他就第一问，他把 k 算对了， b 算错， b 算错，整个 y k x 加 b， 这个解析式是一算错，你焦点肯定错了，焦点一错，你二 x 减四小于 k， x 加 b， 这第二问也错了，第二问一错，你第三问全没了，就第一问，就那么一个小数字一错，后面全全部就没了，对吧？好， 那我们再看一下第二问，对不对？我给各位同学，你可以把这个负三负三，你带到这个 y 的 负的二分之三， x 减二分之三去，你看这个检验一下结果，对吧？你看，负的二分之三乘以一个负三，就是一个二分之九，减二分之三是二分之六，二分之六是个几，是个三，没问题吧，对吧？第二问，你看 啊，第一问还没求完呢，对吧？还把那个焦点没求出来了，那我们再把这个和 y 等于一个二， x 减四，给它连起来以后解解 x 和 y， 那就是二， x 减四就等于负的二分之三， x 减二分之三，然后呢？二 x 加上一个就是二 x 加二分之三， x 就 等于一个四减二分之三，二 x 加个一点五是个三点五，就是二分之七 x， 对 吧？ 二分之七， x 四减二分之三呢？二分之相当于是个二分之八减二分之三，是不是一个二分之几，二分之八减二分之三，二分之五， x 等于几呢？ x 等于几就是 x 等于二分之五。除以二分之七乘以七分之二，就等于一个七分之五， x 是 七分之五， x 是 七分之五的话，你再带到这里面去，那 y 是 不是就等于一个七分之十减四减去七分之几，减 去一个七分之二十八，就等于负的七分之十八？那这个点 a 的 坐标是不是七分之五到负的七分之十八，对不对？ 是不是你可以带到带到一里面去算一下？负的二分之三乘以七分之五，是一个这个负的十四分之十五，负的十四分之十五减去一个十四分之负的十四分之十五，负的十四分之十五减去一个十四分之二十一， 是不是就是一个负的十四分之三十六？约个二是负的七分之十八，没问题吧？对吧？这个算的话，大家一定要仔细认真一点，这块稍一不注意就出错了，对吧？你把七分之五你再带到这里面去，七分之十七分之十减去一个七分之二十八，七分之负的七分之十八也没问题。 第二个，让我们直接写出二 x 减四小于 k， x 小 于等于零的上方，那你看上方是哪呀？ 肯定是这一块，对不对？这一块肯定是在焦点 a 的 哪边， a 的 左边，对不对？因为你红色要在黑色上方的，对吧？ 好，再看一个，这个还小于等于零呢，还小，也就说你这个红色图像还在什么呀？在这个 x 轴的下方，下方的话，那你肯定是要 如果点 c 做一个 x 的 垂线，那肯定是在这两个红色的这个竖线之间，你才能保证这个 k s 加 b 是 一个小于等于零的。然后呢， 在 a 点 a 的 左侧，你要保才能保证这个 k s 加 b 在 二 x 点四上方，那它的这个范围是多少呢？是不是就是 x 要比点 c 的 横坐标要 大，而且可以等于就是 x 大 于等于一个负一，小于谁呢？小于 a 的 横坐标小于七分之五，对不对？你直接观察出来是这样的，如果说你不会的话，那你咋办啊？ 那也就是说是一个，首先二 x 减四是要小于一个多少呢？负的二分之三， x 减二分之三，还要小于等于零呢？你解这一个就行了，你把这两个解出来， 对吧？那有些人说二 x 减四小于等于零，可不可以也并进去了，也行也行。最后，但是最后你肯定是是二选一嘛，对吧？那我们看一下这个，把这个解除，二 x 减四小 小于负的二分之三， x 减二分之三，我们解出来应该是一个多少呢？是一个 x 小 于它推出的 x 小 于一个七分之五，对吧？然后这个推出来是多少呢？负的二分之三， x 小 于等于二分之三，那 x 肯定是一个大，两边同时除以一个负的二分之三， x 要除以负数的编号， x 大 于等于负一，那我比负一 要我在负一的右侧，在积分至宝左侧，是不全他俩之间呀，对吧？这就是个题的，就是你看图如果看不会的话，你就直接硬解硬算呗，把这个不等式组解出来就行了， 对吧？第三个点 p 在 x 轴上， a c p 的 面积是九点 p 的 坐标，一般这种题点 p 可能也是有两个坐标的，对吧？好，我把这个题这个全擦掉。 点 p 在 哪呢？点 p 在 x 轴上， a c p 的 面积，那假设点 p 在 这，我们就是点 p 是 一个。嗯， m 点 p 在 s 轴上，点 p 是 m 勾零，对不对？那 c p 呢？ c p， c p 的 长我们不知道，因为点 p 有 可能在 c 的 右边，有可能在 c 的 左边呀，对不对？那用绝对值表示就是一个 m 减去一个几？ m 减去一个点 c 的 左边啊，对不对？那用绝对值表示就是 m 减去一个减 m 减去一，就是 c p 是 m 加一的绝对值。然后你看 s 三角形 a c p， 它不就是二分之一乘以一个 c p 吗？再乘以谁再乘以？点 a 到 x 轴的距离是不是纵坐标的绝对值，对吧？点 a 咱们算出来是多少呢？ 是不是？嗯，算出点 a 是 一个七分之五到负的七分之十八，对吧？也就是说点 a 到这个 x 轴的距离就是负的七分之十八的绝对值。乘以一个这个七分之十八， 他等于几？等于九，也就是说二分之一乘以一个这个 m 加一的绝对值，乘以七分之十八就等于一个九，也就说 m 加一 乘以一个这个二七十四，十四分之十八，十四分之十八就等于九。那这个绝对值自己是多少呢？ m 加一就等于九，除以十四分之十八乘以十八分之十四，就等于九和十八约是七。 m 加一绝对值是七， m 加一，自己要么是七，要么是 一个负七。那 m 加一等于七的时候呢？ m 是 不是一个六？ m 加一等于负七的时候， m 是 一个负八，也就是说 p 有 两个点，一个是六斗，零在正半轴上，一个是负八斗零在什么呀？ 负半，对吧？那你看，负八到负一，他的距离是个几？是个七，然后六六到负一也是个七，没问题吧？底都是七，对吧？高是个几？高是一个七分之十八，那七乘以七分之十八，再乘以二分之一，是不是九，对吧？好的，那各位同学，这道题咱们今天就到这，好不好？各位同学再见。

来，今天咱们来看一道一次函数的题，来，在探求 y 等于 k， x 加 b 中 k 和 b 的 图像关系式的时候，已知点 a 三三点 p， m， n 在 第一项线内，且满足 m 加 n 等于三。若一次函数 y 等于 k， x 加 b 的图像经过 a 和 p， 给出下面四个结论，来，咱们一起看一下。当 k 小 于零的时候， y 小 于 b， 当 k 小 于二的时候， y 小 于二， k 加 b， 当 k 大 于等于三的时候， b 大 于等于负六。当 b 大 于 等于八的时候， k 小 于等于负的三分之五。上述结论正确的是由来，咱们一起来分析一下。这道题还是有难度的。首先我们需要明确一点， m 加 n 是 等于三，且 p 点 m， n 在 第一项线， 那此时我们就可以知道这个 p 的 轨迹， p 是 在这个线段上， 且不能取到这个三，那这个时候我们就有就可以知道直线的斜率了， 因为它这个直线，它 ap， 它极限的情况下是平行于 x 轴，极限的情况下平行于 y 轴。在这两者之间我们就可以知道 k 是 大于零的，那就是增函数 y 等于 k， x 加 b， 当 x 等于零的时候， y 是 等于 b， 那 现在 x 小 于零， y 自然小于 b 了。第一个是对的，来看一下第二个，当 x 等于二的时候， 那 y 呢？就等于我们的二， k 加 b， 那 x 小 于二时候， y 自然小于二， k 加 b， 这都没问题，来看一下第三个，当 k 大 于三的时候， b 大 于等于负六。来，咱们可以直接通过图上来看一下吧。 来看一下这里，当 k 等于负三的时候，按照这个情况来说的话，咱们是可以知道它的一个焦点应该是负六，对不对？ 那如果说 k 大 于三，那 k 大 于三，那是这样，那它越来越小，那只能说第三个，当 k 大 于等于三的时候，我们的 b 是 小于 等于负六了，所以第三个是错误的。来看一下第四个，第四个 b 大 于等于八，那这个就不可能存在的，因为图像交于 y 等于 k， x 加 b， 它的图像交予的就是零 b， 因为咱们已经明确了是在一三下线，因为一旦 是在一三下线，那此时咱们的 b 是 小于三的，那就不可能出现 这个 b 大 于等于 r 的， 所以第四个根本就不成立。所以这题的答案是一和二，你学会了吗？ 有记得点个赞，加个关注，有需要也可以转发一下，我每天都会更新的答案，有问题可以评论区随时互动，感谢您的支持！

二零二六中考数学二次函数压轴题反反复复就这十一种类型中考数学二次函数压轴题十一大类型类型一，三角函数角平分线定点 类型二，面积定值参数类型三，平移面积直角存在性 四距离找分线切线五线段 六、三角函数旋转定值完整电磁板领取。

今天我们来讲一下合肥市蜀山区二模数学试卷的最后一道题，也就是函数压轴题。我们主要来讲一下第三问。 已知一个抛物线 m 大 于零，抛物线和 x 轴的两个焦点之间的距离是二倍根号二，过屁点做 x 轴的垂线交抛物线于点 m， 交直线于点 n。 若点 m 与点 n 不 重合， p 在 x 轴上运动的过程中， m， n 的 长度随着 t 的 增大而增大。求 t 的 范围。 我们来看题目给的第一个条件是抛物线跟 x 轴的两个焦点之间的距离是二倍，根号二，那我们假设两个焦点的横坐标分别是 x 一 x 二，那么就相当于 x 一 减 x 二的绝对值是等于二倍根号二的。 那这时候有两种算法，第一个是我们可以把这个抛物线跟 x 轴的两个交点求出来，然后通过这个式子列一个方程。 第二个就是我们直接用伟达定律，那下面我们用这个方法二来计算，我们另外等于零，得到 mx， 平方减二 mx， 然后加 m 减四等于零，那么 x 一 加 x 二就等于 二， x 一 乘以 x 二等于 m 分 之， m 减四。那么上面这个式子呢？是 x 一 减 x 二，那我们给他平方一下，他就等于八，相当于是 x 一 加 x 二的平方，再减去四倍的 x 一， x 二等于八， 然后就是二的平方减四，乘以 m 分 之 m 减四，然后等于八。 好，这个解出来， m 是 等于二的，那么抛物线我们就知道了， y 等于二， x 平方减四， x 再减二。好，接着看，他说过点 p 呢？做 x 轴的垂线交抛物线与 m 交直线与 n， 那 这时候我们就要画出图像了， 好，画出两个函数的图像之后呢，它说这个 p 点 t 逗号零，是 x 轴上的一个点，比如说我们任意的标一下这个 p， 在 这 t 逗号零，然后过这个 p 点，我们做一条数值的，这个线 和抛物线交于 m 点，和这个直线交于 n 点，这时候我们要注意，当这个直线在抛物线上方的话，它这个 n 点是在上面的， m 在 下面， 但如果说这个抛物线在上方，直线在这个下方的时候，那我们做一条这个垂直 x 轴的线，这个 m 点就在上面了， n 点就在下面了， 所以我们是要分情况讨论的，那我们现在所画的就是第一种情况，当这个 n 在 m 的 上方的时候，也就是处于这两个函数交点之间的时候，那么这两个交点我们是可以算出来的，就是连立抛物线跟直线，那么这个点的横坐标应该是负的二分之一，然后这个点的横坐标是 三，所以这个 p 点的横坐标 t 就是 在负二分之一和三之间的，那么 t 就是 大于负二分之一小于三。 此时题目说的是 p 在 x 轴上运动的过程中， m n 的 长度随 t 的 增大而增大，所以这个关键字增大而增大。 那这时候该怎么做呢？第一种方法就是我们稍微的观察一下图像，看看能否观察出 t 的 增大而增大。 第二个就是增大而增大，这几个字可以让我们想到什么，就是函数，我们一般会说，当 x 什么范围的时候， y 随着 x 的 增大而增大， 那这时候我们就可以把 m n 的 这个长度表示出来，表示成一个函数的呃形式，然后再去观察什么情况下这个 m n 的 长是随着 t 的 增大而增大的， 那下面呢？我们来看这个。第一种情况下，这个 m n 的 长度呢？它是等于 n 的 纵坐标减 m 的 纵坐标，然后 n 和 m 的 横坐标都是 t， 这个纵坐标就是把 t 带到直线里面，就是 t 加一，然后减去 m 的 横坐标 t， 那 么纵坐标是 二， t 方减四， t 再减二等于负二， t 方加五， t 再加三， 那这时候显然这是一个开口向下的一个抛物线，我们只要知道对称轴就可以知道它在对称轴左边的时候是呃， m n 是 随着 t 的 增大而增大的， 然后这个对称轴我们求一下，就是 t 等于负的二乘负二分之五，也就是四分之五，所以当这个 t 小 于等于四分之五时， m n 的 场随 t 的 增大而增大，然后前提是这个范围，所以要再加上，那就是这边要大于负二分之一，那么这个就是第一个答案。那么第二种情况就是讨论在这个抛物线和直线两个交点以外的这个地方，那这时候这个 m 点在上方， n 在 下方， 那么此时这个 t 应该是小于这个焦点的横坐标负二分之一，或者是 t 大 于这个焦点的横坐标 t 大 于三， 那么这时候应该是可以通过观察得出来的。当这个 t 小 于负二分之一的时候，你看当这个 t 增大的时候，这个 m n 的 长度应该是逐渐的这个减小的，所以 t 小 于负二分之一不符合 t， 然后当这个 t 大 于三的时候，这时候你看它这个 呃直线再往这边动的时候，这个 m n 的 长度应该是越来越大的，所以这个 t 大 于三应该是符合 t e 的 啊。如果是你通过计算的话，那么一样的，我们把 m n 的 长度表示出来，它这时候应该是 m 的 纵坐标减 n 的 纵坐标，也就是二 t 平方减五， t 再减三，那这时候 m n 就是 一个开口向上的一个抛物线，然后对称轴 t 是 等于四分之五的， 所以在这个对称轴的右边的时候， t 大 于等于四分之五的时候，它是 m n 的 长随着 t 的 增大而增大的，然后再跟大于三这个结合一下，那最终答案应该是取大于三的 好，那么最终答案就是负二分之一小于 t 小 于等于四分之五，或者是 t 大 于三。

哈喽哈喽，大家好，我是倩老师，从事初中数学教学第十四年，今天我们将分享一道福州华伦中学初二下期中考 数学第十六题。那我们来看条件来学几何。第一步，做好做几何题，第一步就是标，我们一起把条件标上去，这个 a c b 九十度。嗯， a， c 是 五， bc 是 十二， cd 是 三，那这些呢？因为这是 bc 是 a 轴， a， c 是 y 轴，那我们把它标到这个图上 再来呢？题目说 c 当是三， a 当是五，那么马上相减一下，三减五，减三就会等于二， a 当就是二，最后一个条件 b， f e 等于四十五度。 好，同学们，当我们读完一道题的条件之后，那么我们首先要做的是什么呢？ 就是去定位这道题，他到底是想考我们什么？这样我们才能快速的从脑海里调动出我们储备的知识和方法去解决这道题。比如这道题他求线段， 那如果在学一次函数之前，那求线段就是勾股，勾股定力求线段，嗯，等面积法通常就来求高，还有一些线段的代化拿去加减，比如说全等、对应边等，还有一些定理得到的线段关系拿去加减，就是这三大思路。 可是啊，学完一次函数之后，我们就要更新我们的线段关系，拿去加减，就是这三大思路。可是啊，学完一次函数之后，我们就要更新我们的知识点， 再利用点坐标来求出这个线段长度。好，这道题用很明显用纯几何的办法是比较难解决的，所以我们可以考虑一下借助函数的知识，也就是说我们可以尝试去求点 e 的 坐标。 嗯，同学们不知道有没有听过这样的一句话，就是做压轴题，其实百分之七十的，呃，这个方法都是放在平时去解决跟积累的， 那我们在考场上遇到压轴题，不可能是全部都是临时去想出来的，那一定是因为平时有一些积累，就好比这道题，我看到四十五度，那其实四十五度我们是有专门上过专题课去解决它的啊，就比如 你看我们的天老师的这个，呃，一次函数四十五度的角专题，那你看到四十五度要干嘛？你要快速反应，也就是说四十五度本身 是没有什么作用的，那四十五度想要，呃，想要有作用，那肯定要做垂， 那做完垂就会变成一个等腰直角三角形，就是我们所谓的多减写等值， 明白吧？那碰到等值跟一次函数又怎么去处理呢？那我们来看我们一样的，平时去学过这个专题， 一次函数等值斜放转体，也就是说对于一个一次函数里面出现一个等腰直角三角形，它的三条边都是斜线，就像这样，没有一条边是平行坐标轴的，就像这样，那碰到这些情况，那我们的处理方式，哎，就是 通过出垂等值，斜放三垂直，然后把它转化成水平线的数值，先去解决问题 啊，这个就是平时下了功夫，考场才有可能输出，那么我们回到这道题，那我们因为平时有做这个准备，那么现在思路就很清晰了，看到四十五度做垂，然后做垂之后得到等值等值， 接下来那就是做三垂直，然后利用三垂直全等 啊，三垂直全等去解决问题。好，那我们可以往这个方向尝试一下。那现在我们来看，不少同学拿到这道题会考虑，哎，过 e 做做做垂， 但是 e 坐标不知道， f 坐标不知道，但你做完垂这个 q 也不知道，其实这挺难进行的。可是那好呀，那我 b 知道，我过 b 做垂啊， 过 b 做完锤子这个这一个等值啊，你再去做个三垂直，你会发现， 嗯，这个 q 坐标不知道， f 不知道，到时候这个两个三垂直全等的边也不好表示，然后往这进行下去，你会发现条件也不足啊，那这四十五度岂不是就废了？ 那你想我四十五度在这里不好用，那我可以考虑给他换一个位置。好，怎么换位置呢？ 那我们考虑做过的比较多的一个尝试就是我可以做平行呀，为什么是通过做平行去换这个四十五度的？嗯，这个角度呢？ 那当然是因为我们一次函数当中关于两条直线平行的话，他会有一个考点，叫做两条直线平行 k 相等，这边就会多一个条件， 所以我可以考虑做平行做平行线，然后把我这个利用平行线内错角相等，或者是同位角相等，把四十五度的位置换一下，换到你好用的位置去。好，那 怎么去做平行？四十度角是由 a、 e 跟当 b 两条直线组成的， 你可以选择啊，去平行于 a、 e， 你 也可以选择平行于 b 档。那如果是平行于 a、 e， 那 我可以考虑过点 d 做一个平行。 同志们，你们想一下，过点 d 做个平行啊，两只线平行，同位角相的四十五度就出来了，这样当坐标知道， b 坐标也知道，我只需要过点 b 做个垂，这样的一个等值， a 是 可以做的，因为我 b 坐标知道，当坐标知道，我们可以往这进行下去一下，这条路是行的，通的，是可以计算的，这是一条路，那还有一个呢，就是 做这个 b 当的平行线，那做 b 当平行线，那我可以考虑，比如说过点 a 做个平行，过点 a 做个平行，这样子，我这个 e a， 比如说这是交 a 等于 q， e a q 是 四十五度，那我过点 e 做个垂 啊，这就有一个等值。虽然哈这个比如说这个 m 坐标不知道， e 坐标也不知道，但是好在我 a q 的 解析师是可求的，这边就会多一个条件。 好，那往这条路是可以进行下去的。那刚才老师说的这个 平行于 ae 可以 做，平行于当 b 也能做，那我这边选一个方式往下走，那另外一条路呢？可以，等你们学会了这个方法，同学们可以自己尝试一下好吗？来，那倩老师这边呢啊，就选了过点 a 做 b 档的平行这条路。好，我们来看一下。好，那么我们过点 a 做 a q 平行于 b 档，交 a 走于点 q， 这个时候呢，我们的角 e a q 就 会是四十五度，因为这边两直线平行，同位角相等。 好，那这边做完之后，那我们想一下我 a q 的 这条直线解析式是怎么去求的？ 因为你看我 a q 是 平行于 b 档的，那我们刚刚说了两条平行线 k 相等嘛，那我 b 档是可以求的呀。啊，我 b 的 坐标是十二到零，当的坐标是零到三，你把它们都代入 y 等于 k， a 加 b， 你 就可以求得啊，这个是零等于十二， k 加 b， 三等于 b， 就 能求出解析式了。 好， b 等于三。那个，呃，这个 k 呢？是等于自己算一下啊，我这边计算就不带了，负四分之一，所以 b 当的直线解析式是 y 等于负四分之一， x 加三。那现在因为 a q 平行于 b 档，所以 a q 这条直线的 k 和 b 档这条直线的 k 相等，都等于负四分之一。那由于 a q 还过 a 点，所以呢， 我们就可以来零斗五嘛，与外走交点是零斗 b， 那 你 a 的 坐标是零斗五，说明我 k a 加 b 的 b 就是 五啊。好哎， k 又是负四分之一，我们就可以得出 a q 的 解析式。 好，我写在这， y 等于负的四分之一， x 加五，然后这条直线解析式就出来了。那现在这个地方来，我用红色，这里有四十五度，那么我们可以过点 e 作垂 好，交 a q 于点 m， 那 这样子一个等腰直角三角形就做好了。那我们都知道根据专题学习，我们都知道等直角三垂直嘛，所以我要过点 好，我要过点这个 m， 再做个垂，很容易就会得到我这个三垂直全的。好，我们来看我们这边的这么一个三垂直全的 a， c， e 全等于三角形 e， n m。 好， 那这个三垂直全等，就会得到对应边的 c， e 等于 m n， 然后我们的 a c 等于 e n， a c 刚好是五啊，所以这段长度就是五好， a c 是 五， 那现在问题就是 c e 这条长度不知道，那我们求的可不就是 c e 这个长度吗？那 c e 这个长度，我们本来说想通过 e 的 坐标来求它，哎，我发现我这边直接设这个长度就可以了，那我们试试看，设这个长度是 n， 那 因为全等 m， n 这条长度也是 n， 哎，那我们来试试看啊。 好，我们设它是 n， 那 这个时候我们标完了几几何题嘛？标完了，然后也设了参数，那我最后肯定是要列一个式子把它求出来啊，所以我就在想这个等量关系是什么？ 那我目前呢，这条线段长度，嗯，不知道，那我 m， 我 知道是依次函数解析那个 a q 上的点， 那其实这里的等量关系就是在这里了，你只要能把 m 的 坐标用含 n 的 式子表示出来，然后又因为 m 是 直线 a q 上的点进行一个代入， 那么在这个式子里就一个位置数，你写一元一次方程就解决了。那能不能用含 n 的 式子把 m 的 点坐标表示出来呢？ 那我们会看到 m 点的横坐标不就是 c n 的 长度吗？ c n 长度就是 n 加五啊，然后 m 的 重坐标就是 n 啊， 还有在第一项线坐标，横重坐标都是正的，所以我们就可以得到 m 的 坐标是 n 加五斗 n， 你看只有一个未知数啊，然后因为它又是在直线 a q 上，所以带入直线 a q 的 解析式。 好，我们带入进去， n 等于负的四分之一， n 加五，再加上五，那么通过计算，我们就可以得到 n 等于三，所以 c e 就 等于三了， 那么这道题就解决了。好，我们来回顾一下这道题到底是用了什么知识 好？第一个呢，嗯，求线段的思路啊，第一个是求线段的思路，我们要知道。嗯嗯，这边是借助了函数的知识，然后去求这个点坐标，然后或者是求这个线段长度， 然后呢？关键是看到四十五度怎么办啊？我们是知道的，看到四十五度，我们要知道做垂， 做垂呢是为了得等腰直角三角形，那遇见等值怎么操作呢？那就是三垂直得到全等，然后再利用全等的对应边等 去解决问题。哎，这就是我们这道题的一个关键思路。 好，那在这个主线当中，我们会碰到一个小的卡点，就是我直接利用已经有的四十五度去做题的时候，你会发现我做不了 啊。我这边，嗯，直接做垂，条件不够，进行不下去，所以在这个主线的前提下，我们还要处理一个小分支的一个知识点，就是这个四十五度不好用的时候怎么办？那我们就会涉及到一个换位置 啊，所以你看啊，我们这个度数不好用啊，考虑换位置啊。四十五度不好用，那么我们就换位置。 怎么换位置啊？通过平行啊，通过做平行来换位置， ok 吗？好，那你通过做平行换了位置之后再回到我们这个啊，四十五度做垂啊，得等值，等值斜放三垂直，然后再去进行， 然后换完位置之后，这边在我们这个主线之下还有一个小的分支知识点，也就是我们换完位置了，呃，也做了新的三垂直，然后也设了餐， 但是我设完餐之后，我要用什么关系来列等式求出这个参数呢？ 啊？以前我们都是什么勾股啊，或者线段相等等等的一些知识来列等量关系，那我们现在是函数啊，我们会有一个新的列等式的方式，就是 用这些线段去表示点坐标，那当我这个点坐标就是用一一个位置数表示出来之后，我只需要将它带入解析式就可以列等量关系了。好，这是，嗯，新学的 a， 带入解析式 来列等量关系来求未知数。那这两个支点知识再加我们这个主线知识，那么这道题就结束了。那同学们可以试一下刚刚的另外一个方向，就是过点 d 做平行，平行于 a， e， 把四十五度换到这里来 啊，换到这个，比如说，嗯， k d， b 四十五度，那么过点 b 左垂可以试一下哟，也能进行，刚好可以把它当做是这道题的同类型题来训练。 好，关注倩老师数学不迷茫。那我们这道题就讲到这里啦，下次再见。

涉及各初中八年级的同学，周二呢，要进行这个期中考，本次八年级的期中考知识点和考试范围主要集中在前两张，分式和函数及其图像。 二零二六年南阳市区八年级的期中考试卷，我做了一遍，并且呢对每一个题目的这个知识点做了一个标注。今天我们就从分式和函数及其图像这个出题方向和复习的正难点上带大家看一下这张卷子。 各位八年级的同学，无论你是在考前还是在中考后，看到了这个视频，一定要收藏并且仔细的去斟酌，这条视频一定会对你的深度学习 和对这两章知识的一个理解有所帮助。现在呢，在八年级就读的这个孩子，我们要认识到整个初中的阶段，八年级他是一个承上启下的一年，初中阶段所有要学习的重点和难点，八年级的占比呢都非常高， 所以认真的对待每一个章节，学习的过程当中不要局限于我知道就行了，而是要深入的挖出来知识点会怎么考，这个直观重要，还没在点赞收藏的这个家长呢，一定要及时的点赞收藏，让孩子看一下。 视频中呢，我给大家放了这一次试卷的这个截图，上面标注了解答的过程和知识点的一个情况，大家可以自取。接下来我们具体看一看这张试卷的具体的出题情况。 一、选择题一三五六八十都考察了函数奇图像八下的第二章。具体来说呢，第一题考察了平面直角坐标系的认识，重点是不同象限里边 x y 值的这个正负。 第三题呢，考察了反比例函数及其图像，我们要懂得结合实际去考虑图像所在的相线以及 x、 y 的 曲值。第五题，考察了对函数图像中坐标的理解，同样是要结合实际线段长度，它一定是正第二相线的 x 值，它必定为负。 六、考察了列表法求一次函数的解析式，我们要学会观察图表，并深度理解一次函数 k 的 这个含义。八呢，考察了反比例函数的图像及对 x、 y 值区间的一个求解。函数的题目呢，大家一定要多动手画图， 图像上能呈现出来很多你意想不到的一个内容，有助于解析。第十题呢，则是新定义的这个函数，我们结合数的重点是通过具体的这个数值找到新定义的计算规则，同时找出来不同相之间的计算规律，进而解析。 二、四、七、九呢，则考察了分式的内容，在八下的第一章，第二题分式的运算。第四题呢，是分式的定义，第七题呢，是分式的性质。第九题是分式方程，解决问题 涉及到运算，我们需要注意的其实就是不挑不关注，正负号的改变基本上不会丢分。同时呢，每个概念和每个定义都值得同学们逐字逐句的去认真研究。二、填空题 十一、十三、十四、十五都考察了函数及其图像。十一题呢，我们要理解函数图像其实就是一个个点的集合， 通过十三题，我们要看到函数与坐标轴交点这个含义。十四题呢，则是全等和函数图像的一个结合。十五题呢， 又是给出来了一个新的函数，我们要结合体格和图像，分析出 b、 q、 o 的 变化情况，利用特殊点去解题。三、解答题。十六题是分式的运算，一呢，需要注意运算的优先级，涉及到逆运算的，我们要弄清楚指数是相加还是相乘，是正负还是倒数， 一定要分清楚。再有就是只要涉及到预算，就要注意正负号的改变。实体题呢，函数及其图像，这里重点考察的是大家观察函数图像的一个能力。 看到图像，我们先看坐标轴它表示的含义，再根据图像你判断出来这个函数的类型，进而根据函数的类型，联想到函数的性质以及 k 值、 b 值的表示的含义，弄清楚这些，吃透函数图像它不在话下。 十八题呢，考察了分式方程的求解，其实就是紧紧地抓住解分式方程的步骤，去分母以下合并同类项求解，一步步注意编号，其实很容易拿到分。十九题考察了依次函数反比的函数解析式的求解，以及函数图像的平移。 这里有一个很重要的知识点，就是要区分开坐标和函数图像的平移，它是不一样的，是两码事，而求解析式的过程就是代入的思想。 二十题呢，考察了二元一次方程组的一个应用，是其下的第二章的内容，我们就要抓住两点数位的数，然后呢，逐字逐句去找等量关系。二十一题是依次函数和反比的函数的结合，这里呢，涉及到一个重要的知识点，就是依次函数 k 值的含义， 以及两直线垂直，两直线平行的时候 k 值的关系，我们一定要弄清楚。二十二题呢，典型的跨学科物理呢，数学的结合的题目， 数学考察了反比例函数，而物理考察的是八下第十一章的简单机械里边的杠杆力和力臂的关系，这种考法以后会越来越多。 看到这种题目，最重要的就是不要问，其实很简单，二十三题考察了一次函数的这个解析式和图像，以及七下的第五张的轴对称， 这个有两个点需要提醒大家，第一看到函数多画图，第二七下的轴对称，平移和旋转， 看的内容很少，实际上中考数学里边只要是难题，基本上都离不开这张内容，所以务必重视。最后总结一下，这张试卷上对八项前两张的考察很全面，从试卷当中我们也能看到，很多题目都是几何和代数都是分不开的，函数离不开图像。并且 呢，跨学科知识的一个考察，也是以后一个明确的方向。最后希望呢，通过这张八年级南阳期中考试的一个考察，也是以后一个明确的方向。最后希望呢，通过这张八年级南阳期中考试的试卷分析，对大家有所帮助。 八年级这个阶段，无论是知识难度还是考点占比都无比重要，认真的学好每一个章节，做好九年级中考前的准备，从容应对中考。

好，今天我们来讲一下正比例函数在平面直角坐标系当中的面积问题，这类题型是八年级期末必考高频考点，百分之九十的同学都会踩坑，那今天我们来看一下这道题目。如图，正比例函数 y 等于 k， x 经过点 a， 点 a， 在 第四项线 过点 a 作 ah， 垂直于 x 轴，垂足为点 h， 点 a 的 横坐标是三 啊，三角形 a o h 的 面积为三。第一问，求正比例函数的解析式啊，那么的解析式呢？正比例函数它是经过圆点的啊，这条直线是吧？ 所以它的解析式是 y 等于 k， x， 首先应该是知道一个点的坐标啊，给它带入到咱们的解析式里边，取出 k 的 值，然后进而写出它的解析式啊，这么一个思路，只需要知道这个 a 点的坐标就可以了， 它在第四象限。第四象限的话，首先我们知道它应该是一个正负，是吧？它的坐标，那么现在这个 a h 是 垂直于 x 轴的， 那这个三角形 a o h， 它的面积呢？是三，那我们来看一下三角形的面积公式，二分之一底乘高是吧？底就是 o h， 高呢，就是 a h， 所以 它应该等于二分之一， o h 乘以 a h 等于三，那点 a 的 横坐标是三，也就是说这个 o h 的 值应该等于三，是吧？那就是二分之一乘以三，再乘以 a h， 那 么我们这一块的 a h 可以 求出来等于二， 也就是说 a 点的纵坐标的绝对值等于二，但是呢， a 点是在第四象限，所以它的纵坐标是负的，那这块应该是负二， 所以 a 点的坐标呢，它就是三个数二。然后接下来的话，我们可以把 a 点的坐标给它带入到这个解析式里边儿，带入 y 等于 k x， 那 我们就可以求出 k 的 值，应该是三分之二，所以 我们的解析式呢，就是 y 等于负的三分之二 x， 那 么这是我们的第一问就解出来了，这一步的核心依据呢，就是我们三角形的面积公式啊，二分之一底乘高，非常简单。还有这个第四项先的点的特征啊，横坐标为正，纵坐标为负， 然后呢，我们把这个 a 点坐标算出来之后，代入咱们解析式，可以求出 k 的 值，进而写出解析式。 好，接下来我们看一下第二个说，在 x 轴上是否存在一点 p， 使得三角形 a o p 的 面积为五，若存在，求出点 p 的 坐标不存在，说明理由。那遇到这种问题的话，一般情况下百分之九十九点九啊，都是存在的啊 啊，不然的话，他问你这个也没有什么意义，那我们就先假设他存在啊，我们设这个屁点的坐标，因为他在 x 轴上，所以他的这个纵坐标为零，是吧？你假设是 a 到零啊，我现在不知道他在哪个位置，那假设说我在这个位置， 这样的话，这个 a o p 的 面积应该是二分之一 o p 乘以 a 点的纵坐标的绝对值，它就等于五，因为 p 点的这个横坐标是 a， 那 么 o p 的 话就是 a 的 绝对值，然后再乘以这个 a 点的纵坐标的角值，因为 a 点的话，它是三度负二，那纵坐标就是二， 等于五，那这样的话，我们可以把这个 a 的 绝对值算出来，应该是一个五， a 就 等于正负五，那所以呢， p 点的坐标就是啊，五斗零或者是负五斗零，对吧？ 也就是说它左边一个，右边一个。那么这个第二问呢，咱们的核心依据就是第一个 x 轴上的点的纵坐标为零， 第二个呢，就是咱们三角形以 o p 为底，高至点 a 到 x 的 距离，也就是说 a 点的纵坐标的绝对值啊，这个是比较关键的。好，我们来简单总结一下这道题 正比例函数的面积问题。首先呢，咱们第一步如果要求这个函数的解析式啊，我们先给出坐标，用面积公式求纵坐标，结合象限定符号，然后呢代入咱们的解析式，求 k 的 值。 然后我们第二问的话，我们找坐标轴上的点啊，是以坐标轴上线段为底点的横坐标或者纵坐标绝对值为高，用面积公式来列方程 绝对值，一定要考虑到正负两种情况啊，这类面积问题呢，还有就是在这个 y 轴上啊，刚才我们算的是在 x 轴上找点的考法啊，我们也有在 y 轴上的这种情况啊，要不要我出一道同类变式题，评论区扣一下次直接讲。