正比例反比例思维导图第4单元

我们来学习北师大版六年级下册第四单元。第七课时练习四、 正比例与反比例。这个单元我们已经学习完了，这节课我们要对这一单元进行整理与练习。我们先梳理一下本单元各节课的知识点。 这个单元有四节，分别是变化的量、正比例。画一画反比例。 我们先回顾第一节变化的量的知识，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也 随着变化，这两个量都是变化的量。在我们的生活中有许多变化的量，他们的变化也有一定的规律。 根据他们之间的变化规律，在这一单元中，我们学习乘正比例的量和乘反比例的量。 第二节是正比例，正比例的意义是两种相关联的量 x 和 y。 在变化的过程中，如果他们相对应的每两个数的比值 y 比 x 等于 k， 保持一定，这两种量就成 正比例关系。正比例的判断方法是列表法，用列表的方法要分三步，一是通过列举应用表格表示相关的两个变量之间的数值对应关系。 二是计算两个变量每一对数值的比值。三是根据上数比值是否不变来判断这两个变量是否成正比例。 两个量是否成正比例，关键是这两个量的比值是否一定。 第三节是画一画。在这节课中，我们知道了正比例的图像是 一条直线，直线上的每个点都代表了这两个量相对应的一组数。 第四节是反比例。反比例的意义是两种相关联的量 x 和 y。 在变化过程中， 如果他们相对应的为两个数的 g、 s、 y 等于 k， 保持一定，这两种量就成反比例关系。 反比例的判断方法也是用列表法。两个量是否成反比例，关键是这两个量的积是否一定。同学，这些知识你都学会了吗？

判断两个变量是成正比例关系还是成反比例关系，我们要从以下三步进行，第一，我们先看这两个变量是不是相关联的量， 如果这两个变量是相关联的量，我们要写出这两个变量之间的关系式，那就是写出他们的关系式， 然后我们根据关系式进行判定，如果他们的关系式是比值一定， 我们就判定他们成的是正比例关系。如果他们的关系式是基一定，我们就判定他们成的是反比例关系。 那么我们看下面的题，第一题，圆的周长与它的直径成的什么比例？我们知道圆的周长是随入直径的增加而增加，减小而减小，所以它们复合第一个条件，它们是相关联的量， 那么第二个它们的关系是圆的周长 c 比上它的直径 d， 我 们知道就等于圆周率派，圆周率派是一个固定的值，所以它们是比值一定，所以这个题乘的是正比例关系。 这是第一小题。那么第二小题，圆柱的侧面积一定，圆柱的底面周长和高成了什么比例？我们知道，当侧面积一定的时候，底面周长 越大，那么高反而越小。底面周长越小，那么高反而越大，所以它们是复合。第一个，它们是相关联的量， 那么它们之间的关系表达是圆柱的底面周长 c 乘以它的高 h 就 等于圆柱的侧面积。 题上告诉我们，侧面积一定，所以是 g 一定，那么它们乘的就是反比例关系。 那么第三小题， y 等于五分之一乘以 x， 那 么 x 和 y 成了什么？什么比例？那么我们看我们有这个尺子，我们知道 x 越大， y 越大， x 越小， y 越小。很显然 y 和 x 是 相关联的量， 那么根据 y 等于五分之一 x， 我 们能得出 y 除以 x， 它就等于五分之一，那就是比值以定。哎，它就是比值以定， 比值它是一个定制，定值是五分之一，所以这个题乘的是正比例。 那么第第四小题二比 x 等于 y， 那 我观察，当 x 增大的时候， y 反而减小，当 x 减小的时候， y 反而增大，所以 y 和 x 是 相关联的量， 那么我们有二比 x 等于 y， 我 们能得出 x 乘以 y， 它就等于二，那么二是一个定值。所以这个题 x 和 y 是 乘积一定， 那么乘积一定，我们就判断它乘它是反比例。把这个题啊收藏起来，让孩子们听一听，再做一。

六项正比例、反比例怎么区分？正比例，它的本质实际上是除法关系，一个数除以一个数，商不变，商是一个固定值。反比例，它的本质实际上是一种乘法关系，一个数乘一个数，积不变，积，它是一个固定值。正比例一，总量扩大，另一总量也随着扩大，才能保证它的商不变。 反比例一，总量扩大，另一总量随着缩小，才能保证它的积，它是个固定值。理解了它们的本质，实际上就很容易判断，大家参考一下吧。

小朋友们，我们来看看买苹果的例子，一千克苹果五元，两千克，十元，三千克十五元。重量增加时，总价也成比例增加。 最重要的是它们的比值，也就是单价始终是我保持不变。这种比值固定的两个量，它们就成正比例关系。 我们再来看坐车出行的例子，去往同一个终点，总路程是六十千米，如果车速是二十，需要三小时，车速是三十，需要两小时，车速变成六十，只要一小时。 速度越快，时间反而越短。但是速度与时间的乘积始终是六十，保持不变。这种乘积固定的两个量，它们就成反比例关系。 我们来对比一下，正比例是比值固定，变化方向相同，而反比例是乘积固定，变化方向相反。 这里有两个非常容易混淆的误区，第一，年龄增长，身高也长，它们是正比例吗？答案是否定的，因为它们的比值并不固定。第二，路程固定，以走路程和剩下路程是反比例吗？ 也不对，因为他们的和固定，而不是乘积固定。记住，只有比值或乘积固定不变，那算比例关系哦。

首先在这期视频开始前，先和大家道个歉，由于我的疏忽，导致正比例和试一试，我只更新一期，就是少更了一期的意思。然后这里说一下 这一期我们先讲第四单元的复习，然后把正比例的试一试补上，那么这期视频正式开始。好，大家好，我们接下来看一下第四单元正比例与反比例的最后一刻练习。四，这个是正比例 和反比的共同点和不同点。共同点是什么呀？他们都是变化的量，并且一个依赖着另一个量的变化。不同点是一个是比值一定，一个是乘积一定，两个表达关系式，大家看好了，非常简单，商一定 正比例，积一定，反比例和差一定不成比例。完了，我们这一张呢就学完了，我们下节课呢，来看一下数学好玩，然后呢，是整理复习本册书的，然后是总复习，总复习我们放在数项下啊，面积与半径它成证明力吗？ 哎，我们来，我们都知道圆的面积是 pi 二方，那我们来看圆的面积是随着半径变化而变，这个对，但他们究竟乘正负比例比值相等？我们来看一个表，额，哎， 他们的比值不相等啊，你看啊，半径是一，才三点一四二是十二点五六三，十二点二六。那你看啊，他们除以之后一个等于三点，一个六二八啊，他们都不一样，是吧，所以他们不成正比例，比值不一样，他就不成，非常简单啊。 好，那我们来看这个，那么他的年龄和他的年龄成正比例吗？为什么？很明显是不成的，他们的笔直不一样，他们的差是 一样的，但他们不成正比例，因为笔直不相同，就是这么简单。那么来看看我们，这个我们就不管了。

在数学中，变量之间的关系通常分为正比例看反比例。首先看正比例，当一个量增加，另一个量以按固定比例增加。比如买苹果，重量 x 越多，总价 y 就 越高， 它们的比值看是恒定的。接下来是反比例，当一个量增加，另一个量反按比例减少。 比如行程速度挨个越快，时间挖掘越短，它们的成金看是恒定的。总结，正比例是同增，同减图形是直线，反比例是一增一减，图形是曲线。掌握这两种关系是理解函数世界的基础。

屏幕前的大家好，经过上期我们我们讲之后，陶哥还是深思熟虑了一下，他最终决定给大家讲我们六年级下册第三单元学的正比例和反比例。哦，好好， 那我们今天就来讲了啊，今天就就来一下这个反比例。我们先讲正 用比例，我们之前讲过比例的内项之积等于万项之积，但是这里要看什么内项之积等于万项之积呢？他是六二十一，八二十八，那说明他他用水一立方米是肯定要交一定水费的，那我们现在不知道他这水费是多少同学要求， 现在要先求，要很多同学要先把一立方米是多少元求的，然后求到他们这些乘起来是多少 啊。先今天就告诉大家，不用这么麻烦，直接用比例的基本性质，你们这里六二十一八二十八，我们可以写成六比二十一等于八比二十八成一个比例，反正他们每一笔他付的钱都是一定的，对，他们就是正比例关系， 正比例关系他的内向之基等于外向之基，就我们之前讲的啊，都是一百六十八， 对他们是相等的，而且这个这些这些无论怎么搭配都是正比例关系，内向之妻永远等于二向外向之妻，如果你的正比例内向之妻不等于外向之妻，那么你就可以， 为什么你就，你就不用，你就不是比例了，还是正比例关系啊？那我们再看这里，看出来九现在又要求了多少知道吗？现在我们要求九是多少， 应该是三十一点五，从刚才的这里就可以看出来，他相差二次就差了七年，原来他一个竟然是三点五元，直接用前面的十减十的三十五减去三点五就可以解决了哈，我们还是比例的，一个比例减了一下，然后这里七 用在这里减一个，呃，三点五，二十四点五，然后呢？这比例我们知道了，那我们就来到我们的 反比例，每六十名同一个关注尾数，三二十五，十二，六十十，然后四多少，那这个等于到反比例了，我们就可以三比二十等于五比十二。 内向之鸡等于外向之鸡吗？不对，内向之鸡不等于外向之鸡，因为它是反比例关系，没有正比例关系的内向肌等于外向 七，反比例关系，他是什么呢？注意看他们的乘积好像是相等的，三乘二十等于五乘十二，这就是反比例关系。 你还可以学三乘二十等于六乘十，三乘二十等于多，这个多少？ x 乘四，把它设为反比例关系，他们都是相等的，那就好办了呀，我们就可以来吧，三比二十，我们设这个下面的都是 x 等于十比 x， 那 么它是相等的，我们就乘三乘二十等于六十，六十，他这里十乘 x 就是 十 x， 直接给他解方程了，当然要记得写几啊， 六十等于十 x， 那 么这个已经很明显了，当然我们这里要换一下，我们未知数通常写在左边。十 x 等于六十， x 等于六，那么它就等于六，那我们再看这有多少定是多少，那还是一样的，我们这次用五比五和十二。好，五比十二等于 这个还是 x 比四还是 x， 五还是 x 等于四 x， 五比十二等于六十四， x 等于六十， x 等于等于十五，是不是我们用正比例和反比例的关系都能解出来啊？这就是我们的正比例和反比例。 下一课我们讲什么？评论区里讲一下哈。当然逃课也会自己筛选自己想想讲哪些哈。我们下节可以是求求可以是什么什么的都在评论区里面的。好， 明天的课我们又讲。在这里啊，逃课一天讲两课，但是，但是有时候只发出去一个视频哈。那很多存款。今天是三月五号，大家再见。

我们来看一下第十一题啊，在比利时为一比十万的地图上， 然后呢，图上距离和实际距离成什么比例？我们要么成正比，要么成反比。记住一一句话，你的付出和你的收获是成正比的，就是你越大你越大，那么就是叫正比啊。 在这幅地图上，量得笑笑家到学校的距离为两厘米，若笑笑以五十米每分的速度步行，则从家步行到学校要用多少分钟 来看看。让我们求的是时间问题，那时间的话，应该我们学过的东西叫路程 除以速度 等于时间。那来观察一下题目，我们的速度是知道的，五十米每每分， 我们现在让我们求时间，不知道，对吧？那我们要求出路程就好了呀。那路程的话，你来想一想你量的距离，图上距离是两厘米，两厘米带进去，我们本来是一比十万， 现在你变成两厘米，相当于你乘以二呀，那么你就是什么两二十万， 二十万，你的单位要确定叫 c m 就是 厘米。好，你画单位的时候要注意啊，慢慢地去画，去掉一个零就是我们的分米，再去掉一个零就是我们的米，所以我们写下来是两千米。 好，那我们是不是路程有啦？路程除以速度是不是等于时间，对吧？

三分之二， a 等于四分之三的 b， 那 么如何判断 a 和 b 乘正比例还是反比例关系呢？我们来转化一下，就变成了 a 比 b 等于四分之三比三分之二，很明显就是 a 除以 b 等于 八分之九，因为 a 除以 b 的 商是八分之九，是固定的数值，所以 a 和 b 成正比例关系。再看第二个，如果八除以 a 等于 b 除以四， a 和 b 成什么关系呢？ 我们来转化一下，就变成了 a 乘以 b 等于四乘以八，那四乘八等于三十二，所以 a 乘 b 的 乘积是三十二，固定不变， 所以 a 和 b 就 成反比例关系。现在会不会判断正比例或者反比例关系呢？如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边爱学习的朋友。

好，各位同学，我们继续来看一下啊，这一节我们来看一下正比例和反比例啊。好，我们来看一下正比例的例子啊， 文具店有一种彩带，它的销售数量和总价的关系，就是如果说你买这个， 呃，因为这个一米的话是三点五元，是不是？那两米的话是七元？好，三米的话是十点七，十点五，四米是十十四元，那也就是说随着咱们这个长度的增加，是不是？那咱们这个价格是不是也在不断增加？ 那我们就说它是一个什么呢？正比例的关系啊。好，当然我们来看一下啊，表针有哪种量呢？第一个就是它的数量啊，就它长度。第二个呢是它的价格，那价格是随着数量变化怎么变的呢？数量越多，价格越多，知不知道？ 好，那么相应的总价和数量的比分别是多少？比值是多少？呃，那么在这里的话啊，这个比的话，大家看一下啊，第一个是我们的这个就是三点五和一比，第二个是七和二比，是不是？ 好，那他们的比值的话都是三点五啊，比值都是三点五。从上表中可以看出啊，总价和数量啊，这是相关联的两个量， 总价随着数量的增加而增加，而且总价与相应数量的比值是一定的啊，我们的这个就是总价啊，和我们的这个就是 数量一比啊，就不管哪一种情况下一比，他结果都是什么三点五啊，那么这个比值啊，都是一样的三点五。好，那么这个比值的话，实际上就是彩带的单价，是不是用式子表示，就是这样子的啊？这个总价除以数量就是我们的单价， 像这样子的两种量啊，一种量呢，它变化，另一个量也随着它变啊，如果说这两种量中就是两个数的比值是一定的好，那我们就把这样的两个量叫做成正比例的量，那你像我们这个地方就是成正比例的量， 那他们的关系呢，叫做什么呢？正比例关系好，继续走上表中总价和数量啊，这两个量呢，是成正比例的量，那他们之间的关系呢？是一个成正比例的关系。 如果说用 x、 y 分 别表示我们的这个价格和数量，是不是用 k 表示他们的比值，那当然就可以写成这样子，就是说这个东西和这个东西其实是一样的啊，那下次大家看到这个式子，你要知道 x、 y 这两个量是成比例的量 好，他们的关系是一个正比例的关系啊。去看上表中的数据，还可以用我们下图啊，这样的一个图像去表示，你看啊，这个地方是一 啊，这边是一米，那它价格其实是这个地方的三点五，那当两秒的时候，两米的时候，它的价格是在这个地方的七，是不是好，然后三米的时候是这个十点五这样子的啊，确实是的， 好，那么从该图中啊，你发现了什么？就是你会发现就是这些个量，他连成的线是一条直线， 是不是？所以如果说啊，就是某两个量好，他们呢？在图像中啊，这么多点连成的线是直线，其实也可以知道他们是一个就是成比例的情况，是不是？嗯，但如果说这个线是朝上的，那就是一个成正比例的啊，那就是一个成反比例的啊， 好，我们来看一下图中你发现了什么？是直线，对不对？这一点连起来，我们把十三十五来，十三十五大概是在这里，对不对？十三十五和十二四十二、十二、 四十二啊？所在的点描出来，然后你把它连起来，你会发现什么？一直都是直线，对不对？好，那么不计算，根据图像判断，如果说我们买九米的彩蛋是多少，那你就找到这个九了，然后找到线上对应的这个点了，那是多少？那 当然这边数据没有写，如果写的话，我们可以大致的知道应该是三十一点五这样子的，所以你会发现一件事情啊， 就是像两个量，他们如果呢成一个就是正比例，或者是成反比例，其实你只要把它的线对不对？因为线的话，其实两个点就可以决定这条线，你只要把两个点找到，那这条线 其余的部分你都知道了，是不是？那这样子的话，其实你再去看，就是 x 在 这个值的时候，对应的 y 是 多少，就会很容易的去看，所以我们这个就是图像，他是有很大的作用的，他不是来为难大家的啊。 好，那么四十九元能买多少米彩蛋呢？那你就找到四十九元吗？对不对？那你把这个线不断的走，走走走，好，那么四十九元对应的点在这里，那他们能买到的这个数量呢？这是十四，这是十五十六， 是不是？所以这个地方就是不计算，根据图像去判断是不是小明买的彩蛋的米数是小丽的两倍，那他花的钱也是他的两倍啊，是不是因为这个？嗯， 价格是不是这个数量越多啊？那么他的那个价格也是成倍的啊？这个去增长的。比如说他，我们给个数据啊，假设小丽买的是一米，那他花的是三点五元，那小明是他的两倍，就买的两米了，那小明花了几元？七元，那这个七元是三点五元的几倍，也是两倍啊。 那你能取出生活中成正比例的例子吗？嗯，那这里的话其实就特别多，是不是？ 比如说啊，我们一个学生啊，校服的话就是校衣和校裤两件，是不是？那两个学生的话，那么校衣校裤就要有四件，然后三个学生的话，校校裤就有六件，是吧？这也是一个成正比例的啊。 然后这边说正方形的周长与边长也是成正比例的，为什么呢？因为周长他永远是边长的六倍，是不是？嗯，其实所谓的成正比例，换另外一个讲法，就是说他们两个其实之间是有一个倍数关系，就这样子的啊， 那汽车行驶的速度一定，那么路程和时间啊，是成正比例的，因为速度一定是不是好，那么你这个时间增加几倍，你这个路程就增加几倍，是不是？换句话说就是路程除时间就是我们的，这个就是速度， 他们之间呢？路程和时间之间是有一个倍数的，是不是？嗯，好，所以的话你可以简化一下所谓的成正比例，就是啊，他们之间呢，会有一个就是倍数啊，这样的一个关系。 好，继续看一辆汽车行驶的时间呢，和路程如相属实。好，他说写出几组路程与时间的比，并且把比值算出来，咱们来看第一组吧，这个地方是不是是八十比一啊？好，最终是八十，然后第二组是一百六十比二， 他们的比值都是多少比值？都是八十啊，那么像这种情况，我们就这两个量啊，是成正比例的，对不对 啊？所以说这个比值表示什么？这个比值其实表示的就是我们单位时间是不是走多少多远距离啊？多少千米，那汽车行驶的路程与时间成正比的关系吗？是成正比的关系啊， 是不是啊？因为你的速度是一定的，你一个小时跑八十，两个小时跑一百六，是不是啊？也就是说你时间增加几倍，是不是对应的路程也会增加几倍？ 那么在图中描述出路程和这个时间对应的点，咱们就可以看一下，一个小时是不是啊？一个小时走到八十这个地方来， 两个小时走到一百六这个地方来，三个小时走到二百四这个地方来，是不是其中啊？那其他的你其实都不用再去那个了，你只要把这条直线给我不断的画好就是了， 是不是？嗯，好，连好过后估算一下，如果说要跑一百二十公里，那多多少时间？这题其实是一百二十公里，那这个点的话，其实对应的是一点五个小时，是不是？所以我们的这个图啊，非常好用，是不是？ 好继续走反比例？好，刚才呢？我们在图里面，如果说啊，就是 x 和 y 这两个点是它们连起来线是一个朝上的，那么是一个正比例。但如果说是啊，连起来的这个点它是朝下，其实是一个反比例，那我们可以看例子啊，来 这边的话是有这样的一些容器，那我们来看下这边的条件，他说水的话啊，都是一样多的，但是这些个容器它们的底面积不一样， 底面积不一样，很明显这个底面积小，这个底面积大，对不对？那我们的水的体积一定啊，我们说在圆柱体里面体积，它其实是底面积乘以高的，对不对？ 这个东西在确定的情况下面，咱们的面积越小， h 高度是不是就会越高？我们的面积越大，咱们的 h 是 不是就越来越小，是不是？所以你可以看到咱们的水是不是倒在不同的容器里面，这个高度是从高到低的， 是不是这样子的啊？是从高到低的啊？好，那么在这里的话，我们来统计一下，上面有哪两种量好？上面的量啊，我们说有这个底面积，有我们的高度是不是？好？然后我们来看一下啊，他们的这个高度是怎么变的？我们说这个底面积啊，越大高度呢就越矮，就越小， 是不是？你说他们是一个反比例的关系好，然后问他说底面积和水的高度乘积是多少水面？我们说因为我们这个水都是一样多的，不管你是倒到哪个容器里面，水都是一样多的。所以对于每一个容器来说， 他的那个底面积和高度的乘积永远都是一样的。你看这是三百，这是三百，这是三百，这是三百，是不是？所以乘积都是一样的啊？乘积都是一样的 好，那么用式子表示啊，就是这样子的底面积啊，乘以我们的高度，就是体积，对不对？好，那么在这里我们来总结一下，现在呢，我们呢也有两个量，一个是底面积，一个是高度， 随着我在体积一定的情况下面啊，随着我们这个底面积不断变大，好，我们的高度呢，也在变啊，是在不断的变小，对不对啊？也在不断的变小。 好，那么此时的话啊，我们呢，呃，而且发现他们两个的成级是一定的，那此时我们就说他们是一个成反比例的量，因为他们呢，一个增加，另外一个变小，一个呢变小，另外一个增加，所以这个地方叫做什么呢？成反比例的量，他们的关系呢叫做反比例关系。 那我们在这里把上面的那个就是成正比例的回忆一下啊，成正比例的是这样子的，我们当时是那个啊，路程对不对啊？就路程和时间的啊，这个比值永远都是等于他这个单位的速度， 是不是？就是在呃，这两个量他的比值永远是一定的情况下，我们说啊，一个变大，另外一个变大，另外一个变小，那我们说他是一个正比例的关系， 但如果说这两个量他们的乘积是一个就是固定的情况下面的话，那么我们说他们两个一个变大，另外就变小，一个变小，另外一个变大，那我们就说什么他们是乘反比例的这个关系，两个量是乘反比例的量。好，一定要把两者对应起来学习啊，这样子的， 那表示出来就是这样子的啊，就是他们两个的乘积 k 是 一定的，那我们说正比例的话，是他们两个比值对不对？是一定的啊，这样子的，好，对比着来学习。 你能举出生活中啊，这个有反比例关系的这个例子了吗？好，我们来看一下吧。这个孩子的一个讲法啊，他说总价一定啊，单价和数量成反比例，也就是说我现在只有一百元， 我现在只有一百元啊，那现在我买的这个东西啊，我假设他们总价是一百元，这个东西的单价啊，乘以这个叫做，嗯，数量啊，那么我们说要等于一百，好，假设单价现在是四，那数量就是二十五 万一单价，真的单价是五，那数量就是二十，那你会发现一个增大，另外一个变小，是不是？那我们说他们是一个什么呢？乘反比例的关系啊， 这边的小女孩说了，面积啊，如果一定的情况下，长和宽也是乘反比例的，因为长乘宽就会等于面积，对不对？嗯， 好，那我们说面积，一定的情况下，我假设这个面积就是一百了，是不是？假设长是我们的二十，那宽是多少？宽就是五，假设长是二十五，宽是多少？四啊，一个增加另外一个元宵，是不是？那同是一个反比例关系啊？ 好，继续看例子，运输队要运一批货物，那每天运的货物的质量与天数关系如下所示， 我们来看一下啊，如果说你的这个每天运三百吨，只要运一天，你每天运一百五十吨，要运两天，其实你会发现事情啊，就是，嗯，总量就这批货的总量，他其实呢是不变的， 对不对？总的重量是不变的啊，那我们说每天运的量再乘以就是天数， 他其实是等于总量的，对不对？那我们说这个总量三百是不变的，是不是？那我们说每天的量增加的话，那天数就会变少，如果每天的量减少，那天数就会增加，那很明显他们两个的乘积是固定的，那他们两个是乘一个反比例的，对不对？ 那这边有哪两个量呢？就每天运的量和总天数，对不对？好，他们是不是相关联的量？是相关联的量啊？ 写出几组啊？这两种量相对应的两个数的乘积，就是你看每一组里面这两个量，乘积都是三百，都是一样的啊，那这个乘积其实表示的是总重量，对不对啊？这个总重量运货的天数与每天的质量成反比的关系吗？是的，因为他们的乘积是固定的，对不对？ 好，那么刚才呢，我们把正比例的两个量啊，在图像里面表示出来了，那反比例的两个量不可以在图像中表示出来吗？当然也是可以的，对不对？嗯，好，我们来看一下啊，反比例的关系也可以用图像去表示，例如啊，上页表中的数据就可以用右图去表示。 嗯，好，这个是我们的底面积和我们的高度，对不对？那咱们先看下数据吧，好不好？看几个数据啊？底面积十、三十、十五、二十。好，大家看一下， 在十的时候，这个地方对应的是三十，是不是？好，然后在十五的时候，这个地方对应的二十，是的啊， 所以其实你把这些点就画出来过后怎么样呢？就是你把它连起来，那总体的趋势其实是向下的，是不是？也就是说你看随着底面积就是从五到六十不断的增大，咱们的这个高度是不是从这个啊，比较高的六十啊，到三十到那个二十是不是不断的在减少？ 所以其实通过咱们这个图像也可以看出来，他们的关系是一个一个变大，一个变小，一个变小，一个变大的，对不对？嗯，好，那么这个图对我们的帮助很重要，为什么呢？因为此时啊，如果说给我们一个不一样的数据，能不能另外的得到另一个数据，原来我们要算，但现在你直接在图上可以看到， 你像刚才啊，他只给出了就是在底面积是十和十五的情况，对不对？那如果说底面积是十二点五呢？他你是不是可以预估一下，你可以看一下是不是？如果这个图非常标准，大概就是在二十五这个地方，大概是在二十五这个地方，是不是？嗯， 好，所以我们的这个图非常有用啊，请千万大家不要把这个图看成是一个负答案。嗯 啊，继续看，下面是小宁家啊，每月用电情况，一月份啊，这个是用了一百二十度的电，我们说一千瓦，其实就是一度啊，那花了六十元，那一度电的话应该是两元，对不对？ 好，那么二月份用了一百三十度，嗯，然后，哦，我这边有没有说错，一度电是两元，可能说错了，一度电是零点五元，各位同学，我说错了啊， 好，那么这个地方的电费就是六十五元，他说写出电费和用电量的比啊，那么也就是第一组啊，是我们的六十，比我们的这个一百二十，第二组是六十五比我们的一百三十，他最终都是多少？最终都是零点五， 是不是？嗯，这笔都有啊，那这个笔值的话，大家都是一样的，就是零点五，那么说像两个朋友，他们的笔值是一定的话，那他们是一个正比例关系，对不对？ 好，那么这个比值其实指的就是我们的一个一度电一千瓦的电，他的费用啊，那成正比例吗？是成正比例，因为他们两个的比值是一定的啊， 好，判断两种量是否成正比例，说明理由。单价一定费用和数量是不是的？是的，因为单价一定数量越多啊，费用就越多。表面积和能长 表面积啊，我们说能长六啊，正方形六个面都是一样的啊，每个面的面积是这个能长的，这个平方，这是每个面，然后呢？六个面，那就还乘一个六，对不对？那你看一下，能长越长，表面积是不是越大？是的，是不是啊？是的啊，没问题。 嗯，好，来，各位同学，我这个地方，哎，我说他们两个是一个成正比例的关系啊，那这边有说他们两个呢，不是成正比例的关系，我们来看一下。是，我哪里搞错了好不好？ 成正比的关系是两个量，他们呢？就是消除过后，他的这个就是比值是固定的，是不是？那大家看一下，表面积等于六倍，能长成六长。好，那么反过来其实就是表面积除以就是一个能长， 表面积啊，除以一个能长，他是等于啊，就是这边是等于一个能长乘以六，那大家看一下这个长如果变化的话，那这个值是不是在不断的变，也就是说他们两个的比值是一个固定的吗？不固定啊，所以二这个地方确实错了啊。各位同学，身高与年龄 身高与年龄，那年龄越大身高就越高吗？大家也知道，随着咱咱们到十八二十岁的时候，年龄增加，但身高不增加，对不对？所以不会成为一个正比例的关系啊。各位同学，他们的比值不是一个固定的。 好，公顷产量一定总产量和这个公顷数啊，我们说产量一定，是，不是啊？这个公顷数越多，总产量越多，其实也就是总产量除以公顷数就是我们每公顷的产量，那这个每公顷的产量这个比值是一定的，那他们的这个，我们说这个比值是一定的，那他们就是 正比例关系。一本书总数已定，未读的页数和已读的页数。呃，其实这个地方他们两个乘也不是一个固定的值，他们两个除也不是一个固定值，所以他们既不是正比例的关系，也不是反比例的关系啊。 好，那么成不成正比例，成不成反比例？我们再讲一下啊，我们说如果两个量，它们的比值永远都是定的，那么就正比例，如果它们的乘积永远都是定的，那它就是一个反比例。一定要记得啊，看一下除乘这个值定不定啊？ 好，接下来继续看。下面是某个汽车的路程和耗油量啊，大家可以看一下吧。如果是 跑了十五公里，耗两升油，那每公里是七点五，好，三十公里，然后呢？是四升也每升也是七点五，那你会发现就是两者之间的比值都是定下来的，是不是？那比值是定的，那就是正比例的关系啊， 是不是？嗯，这样子的啊？那右图是这个图像，所以说有什么特点？特点就是这个地方朝上走的不断，朝上走的是不是比值都是固定的啊？比值都是固定的 好，然后利用图像估计一下，该汽车行驶五十五公里，那你就找到五十五公里了，在这里，然后找到对应的线，那应该是用的七点几的，这样的，七点几升的油，是不是啊？用的是七点几升的油， x 和 y 乘正比例，就他们的比值都是一定的，对不对？好，这个地方的比值是一比二点五啊，上下两个都乘以二，对不对？那这边就是五。 好，那这个地方二点五变成七点五，是乘了一个三，那上面这个一也要乘三，对不对？好，这个一变成五乘以五，那二点五乘以五多少？十二点五对不对？其实很简单的啊，各位同学自己去补全一下。 好，第四十八页，同一时间、同一地点测得三个数的高度及影子的长度， 这个数高度是二，影子长度是一点六。好，那我们用下面的去除上面的是零点八，用下面的取上取上面的是零点八，用下面的除上面的是零点八，他们的比值都是一样的，那就说明是一个正比例的关系啊，是不是好在下面左图中啊， 表就是描出，就是表示竖高和对应长的点。好，我们来看一下啊，这下面是竖高啊，二的时候对应的是一点六，找到二，然后找到一点六，就它了。三的时候是二点四，三的时候是二点四，就这里，其实这两个点一定，其他的啊，你反正就画直线就是了，大家说是不是？ 嗯，好，连起来过后有什么特性？直线是不是好，那么引和数成正比例吗？是的，他们的比值永远都是一定的，你做出来的依据是什么？就是这些个朋友的这些朋友比过后的比值都是一样的呀，这就是我们的标准啊，对不对？嗯， 用 n 去表示自然数，把下边填完啊，来看一下吧。啊，就是这是 n， 下面是两倍 n， 对 不对啊？一，那就是二，一二一二，对不对？好，然后看一下二， n 表示什么东西？ 二， n 就是 表示上面数的两倍啊，是不是？嗯，好，那么接下来他说把上面右图中，嗯，把上面右图中，就这个图中啊，啊，这个瞄点啊，连线，你们看一下，首先零零零零在这里，对不对？然后是一二 一二在这里，然后是二四在这里，然后是三六在这里，对不对？好，然后你连起来，发现什么也是一条直线， 也是一条直线，对不对？嗯，好，继续走啊，也是一条直线， 就说明他们是有那个正比例关系，对不对？已知一种铅笔啊，单价是零点五元，填完那一只是零点五啊，两只就是一，三只就是一点五，四只就是二，当然你是不是写着二点零，就写个二吧，对不对？二点五这样子的啊？ 好，那这个连起来。好，各位这个东西自己做一下啊，这个没什么难的，继续看， 有一个九米六米的教室铺砖，然后每块地砖的面积与所书啊所需啊，砖数如下所示，因为教室已经是固定的，就是说这个教室是一个长方形，它的这个面积是固定的， 对不对？然后这个总面积啊，他其实是每块砖每块小砖的面积，是不是再乘以这个砖的数量？那你会发现就是这两个朋友的乘积是一个固定的，我们说这是一个乘反比例的呀， 是不是？你看嘛，这两个朋友的乘积和这两个朋友的乘积和这两个朋友乘积都是一样的乘反比例，对不对？嗯， 好，把一批新醋啊，这个是给我啊，装起来，然后运到商店，那这批新醋他的那个总量是一定的，是不是？ 好，然后你看一下啊，在这里你如果说用不同这个大小的瓶子去装，如果说一个小瓶子是二百五十毫升，那就需要有这么多瓶子，其实大家也知道，就这两个的成绩与这两个成绩都是一样的，那他们是成反比例的，对不对？因为这一批新醋的总量是定下来的啊， 用 x y 啊，就是表示乘反比例，我们说乘反比例就是他们的乘积永远是固定的，对不对？那其实从第一个就可以知道他们的乘积是多少，他们乘积是十，那请问五分之一乘以几等于十啊，那你就用十去除五分之一，十除五分之一是多少？是我们的五十啊， 是不是？好，大家可以看一下这地方是不是五十？是的啊，好，那请问零点一乘以几要等于五啊，那这个地方是。呃，是不是啊？这零点一乘以几等于十啊，那乘以一百了， 是不是？四十乘以几等于我们这个十啊？那就是。呃，零点二五是不是？ 嗯，好，那么六分之五乘以几等于十啊，那我们就用十去除六分之五，十除六分之五的话，就等于十乘五分之六，对不对？嗯， 好，这个十和这个五一约的勾是二，那么这个地方就是十二啊，这样子的。好，在这里顺带给大家把我们，嗯，分数的除法是不是给回顾了一下啊？ 判断下面个题中两种量是否乘反比例，我们就说他们的成绩是不是永远是一定的啊，每一个总量是一定的啊，那么天数和平均每天的用量，那这两个量乘积永远是定的，那是一个乘反比例的， 总人数是一定，各组的人数和组数也是一定的，因为组数乘以每组的人数啊，是等于全班人数，全班人数是一定的呀，这个是的啊，体积一定啊，底面积高，因为底面积和高的成绩永远是定的啊。 黄瓜和西红柿这两种作物的种植面积，他们的种植面积啊，就是他们种植面积的和是一定的，就是是这个就是总的这个菜地的面积，但不是说成几，所以四个，我同学，不对啊，大家可以看一下啊， 四这个地方不是成反比例，一定要注意一下。总数一定啊，然后按每包 按每包测数相等的规定。包装书包数与每包的测数啊，那是的啊，包数与每包里面的这个书的数量成极，永远是总的这个测数啊，所以这个是乘法比例的啊，唯独四这个地方，它混淆了这个概念啊，注意一下 啊，去看一个手机组装车间要完成一批任务，这个任务其实量是定下来的，对不对？那每天的和总天数这个成绩永远都是定下来的，那这是一个乘反比例的啊， 每天呢，用 p 表示天数，用 t， 那 p 乘 t 是 不是啊？他们是一个固定的值是不是？嗯，其实这个地方用文字去描述了啊，这样子的，那他们是一个乘反比例的啊， 如果说，嗯，八天完成，那每天要搞多少步？那我们呢？就拿着这个，好吧，这个八百乘十五啊，八百乘十五这个总量，然后再除以一个八，那大家知道是一千五百，是不是这个东西啊？是最容易算的，主要是可以凑个整，是不是？ 好，继续看某两个城市之间火车的平均速度与这个驶完啊所需要的时间， 我们的平均速度和时间相乘就是总距离，总距离是不变的呀，是不是总距离是不变的啊？所以他们之间是层级是固定的，是一个反比例，那全长多少？咱们找一个可以凑整的是吧？这个可以凑整一三零零是不是？嗯， 好， v 表示平均， t 表示时间，那他们两个之间乘什么？我们这 t 和 v 是 一个乘积啊，是一个固定的，就是这个一千三百，是不是就两个乘之间距离，所以是一个乘法比例的好关系式啊？就是这样子的， 如果火车的速度是三二五，那么全程是多少？那就拿着这个总距离去除以平均的速度，就能够得到我们这个时间四个小时啊。 好，咱们去看右面的这个图像，表示的是斑马和长颈鹿的一个奔跑情况。 嗯，对于斑马来说啊，它的速度一定是吧，时间越长，这个距离就越长。对于长颈鹿来说啊，速度也是一定的啊，速度一定，然后时间越长，它的那个总路程越长。 他说对于斑马来说，奔跑路程和奔跑时间是否成反比例？那这个路程和这个时间啊，这边是不问成正比例，就是他们的就是比值，他们的比值是他的那个单位速度，对不对？那他们的单位数是一定的呀，所以是成正比例的，长颈鹿也是成正比例， 比较一下十八分钟各自跑多少千米，那你就找到大概的十八分钟了，是不是对于长颈鹿来说可能是十四左右啊？对于我们的斑马来说，应该是二十左右，这是目测的啊。嗯， 好，从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？嗯，那从这个地方你可以看，就拿二十来说，是不是 咱们的长颈鹿只跑到了十六，但斑马可以跑二十四，所以斑马是快一些，是不是？你千万不要以为长颈鹿感觉他这个线长一点，他就那个更优秀啊，一定要，就是要把这个就是，呃，时间定下来啊，看一下谁的距离更长，那斑马更长啊。 啊，就看当现在就有 x、 y、 z 啊，三个量，那 x、 y 的 乘积啊，是 z 啊，当 z 是 一定的时候，那我们说乘积一定，那它们两个是成反比的关系，对不对？ 好，当 x 一定，当 x 一定的时候，其实就说明就是 z 除 y 等于 x， 我 们说 x 一定，此时他们两个的这个比值是一定，那他们是乘一个反比例，当 y 一定的时候，其实这个地方就说明啊，咱们的 z 除 x 等于 y， 是不是这个 y 一定，那么这两个朋友是成反比例关系啊。嗯，好，不好意思啊，我说错了啊，当比值一定的时候，这是正比例啊，当比值一定的时候，这是正比例。好，非常好，我出错并且发现了，对于大家来说是好事啊。好，继续看， 一个长方形呢，面积是三十六啊，那么一定啊， x， y 是 长和宽，那成什么比例关系？我们说 x， y 的 乘积是不是是定下来的，那他们是一个反比例关系啊，那把他们的关系用图像表示出来，图像是一条线吗？ 我们是一条直线吗？那我们可以稍微的看一下啊，这个地方是不是直线？这边说不是一条直线， 当然呢，是不是咱们要稍微的这个去验证一下对不对？那这个地方因为我们好没有说特别明显的好的图啊，但是其实从刚才这边已经给出来的，你应该看可以看到 就是我们的反比例的。朋友啊，他们的那个图像确实不是一条直线，你看这也是反比例的这个图像，它是一条直线吗？不是，是不是啊？不是啊。 好，那这个地方各位同学也不会是一个直线，当然你要去验证很简单，假设 x 是 一，那 y 是 多少？ y 是 三十六， 假设 x 是 二， y 是 多少？ y 是 那个十八。好，然后 x 是 三，然后 y 是 多少？ y 是 十二，那你这三个点它不会在同一个直线上面，你可以自己去验证一下啊。

嗯。

比值一定是正比例，乘积一定是反比例。来练习一下，交叉相乘积相等， x 乘以 y 等于六乘积，一定成反比例。根据内向之积等于外向之积，得到 x 比 y 等于五比二，算出 x 比 y 等于二点五，比值一定成正比例。 把原式写成比例，根据比例的性质，两个外向的位置交换得到 y 比 x 等于七比四，算出 y 比 x 等于四分之七，比值一定成正比例。

六年级今天我们来学这比例拓展。一，观察表格，完成填空。第一题，表中的什么和什么是相关联的量？路程随着什么的变化和变化？我们来看表， 表中有路程和时间这两种量，并且你看，随着时间增加， 路程也增加，所以表中的路程和时间，它是两种相关联的量， 路程会随着时间的变化而变化。第二题，路程与时间两种量中相对应的两个数的比值是几？ 那我们看路程比时间，七比一，十四比二，二十一比三，二十八比四， 三十五比五，七比一等于七，十四比二等于七，二十一比三等于七，二十八比四等于七，三十五比五等于七。那你会发现相对应的两个数， 他们的比值都是七，那这个比值实际上是什么呢？ 路程除以时间，那就是速度，所以这个比值实际上是速度。第三题，因为什么一定，所以路程和时间成什么比例关系？那么看， 像这样两种相关联的量，一总量变化，另一总量也随着变化。那如果说这两种量中相对应的两个数， 它的比值要是一定的话，那这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系 就叫做正比例关系。所以因为比值一定，所以路程和时间成正比例关系。

一分付出，一分回报，一步一个脚印，只要努力，生活总会越来越好的。 哇，太棒了。