2026西城一模，简单几何

大家好，那今天来看一下二六年初三一模西城初三一模的第二十七题，几何综合的题目啊。那这道题的第二问主要是要证明一下二倍关系啊。那来先看一下它的第一问。这里面提到角 b a c 等于 r 发，然后 ab 等于 a c c， d 垂直于 ab 于点 d， 然后又做了一个 b m 平行于 a c 呃，然后又得到了一个特殊的一个条件，就是这个角 c a q 等于角 a p c。 第一问的话呢，如图一，就角 c a q 等于二 r 发，也就是这个 c a q 被 ab 平分的时候，就这两个角都是 r 发的时候，然后求角 b c p 的 度数， 这个 ab 等于 a c， 可以 得到的是这个角 abc 应该是九十减去二分之一的 r 发，然后这个角 a p c， 他 说等于角 c a q， 那就都等于的是 r r 发，那么这个角 b c p 的 度数呢？就用角 a p c 减去角 a b c 就 行，就用 r r 发减去九十，减二分之一 r 发就可以。那么最后的答案是二分之五倍的 r， r 减去九十。 正好它这里也专门提到了 r 发大于三十六，小于六十，就是为了让二分之五 r 发减去九十能够大于零。然后第二问是如图二点， e 为 a p 的 中点，用等式表示 d 与 b q 之间的数量关系，并证明它只有两条数量的话呢，我们就不用猜， 然后量一下之后就很容易能够量出来 b q 的 长度大概是 d e 的 二倍，这里面提到 e 是 a p 的 中点，然后我们要证明的是 b q 等于二倍的 d e， 那 么 e 是 a p 的 中点，能够说明的是 a p 等于二倍的 a e， 呃，然后 e d 呢？它应该是等于 d e 减去一个 d p， 所以 我们就会想要把这个它们的等量关系给它转化一下。因为 d e 和 b q， 我 们想要得到一个二倍的 d e， 或者想要得到二分之一的 b q 呢？呃，做出来都有点奇怪， 所以我们可以考虑把 b q 给它加长一下，让它等于一个 a p， 那 这样的一个情况下呢？我们应该要做的是，因为这个角 c a p 它是等于 r 发的，然后 ac 它又平行于 b m， 所以 这个角 a b m 也等于 r 发。所以我们要想在这个 b m 上截取一段等于 a p 的 话呢，我们就只要构造一个三角形全等就可以。 我们要证明多的这一段它应该是等于二倍的 d p， 然后我们画完之后就会发现，那我们可能直接做一个垂，要更省事一点。一起这样做一个，呃，三角形全等，我们做个垂，让它等于 a c d 可能要更省事一点，比如说我们现在做一个垂，然后让这个 a g 垂直于 b g， 然后我们的目标就变成了 q 等于 d p， 这两个三角形全等呢？有一个 ab 等于 ac， 然后再加上一个角 abc 等于角 c a b， 那 么我们做一个垂的话呢，这个三角形 c a d 就 应该要全等于三角形 ab g， 然后这个 b g 就 应该等于 ab， 那 么如果 b g 等于 ab 的 一个情况下，我们简单推导一下，就能够得到这个 b q 等于二倍的 d e， 可以 把推导写在旁边啊。可以发现，我们如果要是 b g 等于 a d， 然后 g q 等于 d p 的 情况下，我们就相当于证明了 b q 等于二倍的 d， e， 那么我们现在呃，可以证明这两个三角形全等得到了 b， g 等于 a d， 那 我们现在就只差一个就是 q g 等于 d p， 而且我们证完全等之后，这个 a d 应该是等于 c d 的， 然后这里又有一个直角 a g b 等于角 c d b， 那 么就只差一个条件， 要么证明边相等，要么证明角相等。那么根据我们剩下的条件来说，比如说这个 r 发倒角，我们现在这个角 c a， q 等于角 a p c， 我 们就还都没有用到，所以我们就 呃，很大概率我们就要求的是这个角 a q g， 它等于这个角 a p c， 那如果我们设的是这里面提到的这个角 c p a， 它是等于角这个 c a， q 的 这个 a c 吧，它又平行于 b m， 所以 这个角 c a q， 它就应该是要等于这个角 q g 的， 那么这个角 a p c， 它就也等于角 a q g， 那 我们最后就能够得到两个三角形全等，那么照完这两个三角形全等，我们再用上面这个导边导一下，就能够得到 d， e 等于二倍的 b q。 记得点赞关注哦！

好，我们来学习一下二六年西城一模的小函数。综合我们来看题，他说是经过负一逗号三和一个二，逗号零，那求 k 跟 b， 那 肯定就连立方程组 k 负一， b 等于二， 这个很简单，只要咱们计算没有问题，就可以看第二个 x 大 于负一的时候。所以咱们首先是要做直角坐标系，把它的连接值那个坐标先画出来， 画上这根线以后，因为它是大于负一，咱们就画了一个向右的箭头，既大于 y 等于 k 加 b， 是 负 x 加二。这个咱们画的时候精细一点，你比如说 x 等 y 等于零的时候， x 等于什么呀？等于 二对不对？ x 等于零的时候， y 是 不是等于二啊？那当 y， 当这个 y 等于零的时候， x 呢？ x 的 时候应该是取二，所以这个时候咱们就能把 y 等于负， x 加二这个 数，它一是一样的， x 等于零的时候， y 是 等于二，所以零的和二。 另外一个，那咱们肯定哪个方面计算哪个？那 x 等于四的时候，应该 y 等于一，应该经过四等号一这个点，所以咱们确定了 y 等于负四分之一， x 加二的函数值，函数图像， 而且你要把它都标上，因为题目，到时候你考试的时候，你的草稿在哪？你的草稿在草稿纸上或者试卷的旁边，你不可能再去一直对应的题目，所以为什么让你画箭头？ ok， 他 说了 m， x 加四， m 在 哪？同学们， m 是 不是在 k 的 值上面？那 k 的 值上面第一个是考什么？ 考平行，第一个是考香蕉。那我们来看一下，首先咱们肯定是要根据四十五度初值值来计算，因为它加四 b 等于四，所以它横过了一个四的这个点，横过一个四到二的点。 要想比他俩高，比他俩大，是不是外值肯定是大呀？所以因为他们俩的外值都是小的，所以怎么只能一直转？首先第一步可以转哪？ 是不是转到这了？转到这时候什么情况？这个时候这个 k 是 不是跟这个负的四分之一 x 加二平行？平行的时候你看 满足不满足提议是不是？满足啊？因为这个值，他的外值是不是比这两个焦点的值都要怎么样？大，对不对？而且他平行，我是横比你大，是不是横比他大？所以他是满足提议的。那满足提议以后，咱们来判断一下还能不能再往下了，也就是说 这条线还能再往下转？不可以。为什么？因为再往下转，他两个就可能会相交，相交的话他就会比他小。 mx 加四就会比咱们说的负四分之一 x 加二会小，只要相交就会小，所以他这个时候这是最小值， 咱们写上最小值就是负的四分之一。那继续吧。那就看看能不能往上转吧，还是这根线。 那我转转转，我在最多转到哪？同学们，是不是转到与他交点？因为他横过零到二四，是不是最多就转到这了？ 因为你再往上转怎么样？我觉得怎么样？是比这个负 x 加二小了，所以再转，再转最大，最大，我就只能转到与负 x 加二的交点，而且这个时候这就是最大值，这就是最大值。因为你再往上转怎么样？ 是不是不行了就会漏出来？漏出来以后我就比他小，那怎么算小点？那横坐标负一，纵坐标带入进去，咱们可以算出来纵坐标是三，这个时候咱们带进去以后，带入到圆式里边， y 等于 m 加四，算出来 m 是 一，所以他的最大值就是 一。这个时候咱们确定一下，那取一等，因为他条件里边不带等号，结果是带等号，为什么？因为咱们算的是以负一为零点，那其实最后 取的时候是什么呀？不包含负一负一的右边，所以说肯定是比负一大的，这个时候咱们是带等于号，所以 m 是 大于等于负的四分之一，小于等于一。嗯，老师还要提提示一点，就是这个 k 他是怎么样不等于零的？ k 不 等于零，那你只要这个 k 里边他把这个零包含掉了，所以你一定写什么呀？写 m 不 等于零，那这道题才拿满分。好吧，那咱们把这个步骤再回顾一遍。一， 咱们建立平面直角坐标系以后，同一大，还是用尺子零点五厘米画出临界值，方向箭头。第三， 你要用铅笔把这个图像画准，才能去直观一点，因为有些行图像他挨的很近，你不好判断，咱们画准以后他自己转吗？第四，一定是出，是指你比如说你说求的 k， 咱们就是四十五度，你比如说求的 b， 那 咱们就说零 开始，明白了吗？同学们？第五，转化不等式一定要合理。三点，当你觉得你合适了以后，首先你要确认第一点，你是否有个提议，是否满足人家说的是大还是小。 第二，你看还能不能再往上或者再往下确定临界值。第三就是找到是否渠道怎么选，就是看他大于还是小于， 带不带等号，基本上他不带等号，咱们就带等号，他要带等号，那咱就不能带等号。为什么？因为他能取到那个值，咱要是带等号，那这个值就会相等，就不满足大于或者小于这个条件了。 第六也是一件强调一点 k 的 取值范围，如果它包含零的话，一定要注明起 m 不 等于零。最后一个就是第一个， 咱们要计算的准确一些，因为第二问都是以第一问的结论来开始画图的。好，那这道题很简单，就给大家分享到这。

这是一道今年刚考过的西城一模的几何综合，百分之九十的同学啊，都做不上。好朋友们，我们来看题啊，在这样的一个三角形 a b c 当中，他告诉我说这个角是 r 角 b a c 这个角就是这个角， 它是 r， 然后呢， ab 等于 ac， 也就说这个边长和这个边长它应该是相等关系，是一个等腰三角形啊， 然后 c d 垂直 ab， 也就说这个角度，这里边有两个直角三角形 c d p 和 c d b 这个三角形 过点 b 去做一个 b m 和 ac 平行，那么朋友们一定要注意啊，这里边有平行，平行能干嘛呢？平行可以去倒角之间的关系，所以你看一下描这个角的两条边，然后呢，你再描这个角两条边，描边来描这个角两条边， 再描这个角的两条边，描边描边，描共线边，所以这两条线它也应该是互相平行的关系，那我能够知道这个角它也是 r， 对 不对？ 好，接下来咱们来继续啊，它做一个角 c a、 q 这个角，也就说现在我能够知道角 c a、 q 就是 这个大角， 它和谁呢？它和咱们的这个角 c p、 d 应该是一个啊，就是相等的关系，就是角 a p c 啊，也是咱们的这个角 c、 p、 d 是 同一个角，所以这个角呢，我们可以设它是 beta 角，那这个红色的就是 beta 角，然后我就可以立马表示出这个叉角，它应该就等于咱们的 beta 减去一个 alpha。 好，接下来我们来继续啊，那么根据这两条直线应该是互相平行的关系，所以这个角我们是也能标出来，应该是一百八十度减去一个贝塔，我们再来看他，第二问让我们干嘛？他说 e 点是这个 a p 的 终点，那终点的话， a e 这个线段应该和我们的 e p 这个线段是相等的关系，因为它是一个终点嘛， 然后让我们用等式表示 d e 和 b q 之间的数量关系，那么两条线段之间的数量关系，它有几种情况呢？同学们，你想想，要么就是相等的关系对不对？ 除了相等还有二倍的关系，要么就是跟二倍的关系，要么就是跟三倍的关系。所以到底是什么关系呢？我们可以采用先猜后正，所以呢，你拿尺子量一下，量完之后呢，我们发现正好是一个二倍的关系，是两个 d e， 然后他应该等于的是一个 b q。 那么接下来关键问题是，我如何去证明呢？朋友们，我们之前已经做过很多类似的题目，就是当我们遇到直角三角形的时候，你要勇于去把它翻折。 所以呢，你看这里边有两个直角三角形，一个是三角形 c d p 这个直角三角形，还有一个是三角形 c d b 这个直角三角形。那有同学有疑问了，我到底翻谁呢？那你肯定翻跟这个角 b 的 有关的这个三角形，这样的话我就可以去转化角， 所以接下来我们把这个三角形给它翻过去。朋友们，那你的辅助线怎么写？是不是延长咱们的这个 p d 啊？然后呢，跟咱们这个有一个交点，比如说咱们就交于这个 m 一 撇，那下面呢，我能够知道 dm 撇和这个 d p 应该是相等的，所以你的 beta 角它就被转化到这个位置上，它就是 beta， 那 是不是这个角立马可以表示一百八十度减去 beta？ 好， 同学们啊，当你写到这个位置的时候，你会发现一个事情，就是这里边会出现全等啊， 因为咱们北京中考的二十七题，主要考你的就是全等啊，基本上都是全等，当然啊，有时候也可以用相似做，所以你是不是发现这个三角形，它和这个三角形，你看它俩啥关系？有一个边 ac， 这个有个边 ad， 然后呢？你还有角，你看有 alpha 角，那这个是这个是一个 beta 减去 alpha， 然后呢？同学们，你看啊，这个角是 beta， 这个角是 alpha， 所以 这个角是不应该也是 beta 减 alpha， 所以 在这个图形当中啊，你用角角边，你看这个角，然后这个边这个角对不对？这个角，然后这个边这个角角边角也是可以的啊， 所以我们就得出一个全等，那应该是三角形 a c m 一 撇应该全等于三角形比 a q， 那 么这个全等的话，你看一下你写角边角或者是角角边都可以啊， 全等永远不是目的，目的是得边等得角等。朋友们，你看一下，所以 b q 是 被它减 r 法对着这个边，那么上一个被它减 r 法对着这边，是不是 am 撇？所以是不应该是 am 一 撇，它应该和 b q 相等， 那么也就是说我们现在把这个 b q 就 转移到 am 一 撇，跟我们这个 d e 就 转化至在一条线上了，所以我们做题就会比较方便。 接下来呢，我们想要去表示这个边长，那缺边长的话，朋友们，你想想，你缺边的话，我们就设餐就可以了，所以下面我们可以去设一个参数啊， 怎么设呢？朋友们，你比如说你设这个 dm 一 撇，它等于的是 a， dm 一 撇，它是不应该和 d p 相等，我们就设它等于 a， 可以 吧？朋友们，这大家能理解啊，你看啊，这个长是 a， 这个长也是 a， 我们可以去再表示一个参数啊，咱们设 em 一 撇等于 b， 所以 这时候 em 一 撇，他就应该是一个小 b， 我 们在这个图形当中来表示一下 e p 等于什么？哎，你发现 e p 看一下，朋友们，是不应该等于的是一个 b 加上两个 a， 所以 应该是 b 加二 a， 那么 e p 和谁相等呢？ e p 是 和我们的 a e 相等，所以它应该等于的是 a e， 它应该等于 a e 啊，然后它题干中让我去表示这个 d e， 我 们来看啊，这个 d e， 你 写一下 d e， 它等于什么呢？朋友们， d e 的 话是不应该等于的是 d m e 撇加上一个 m e 撇 e， 所以 是不应该等于的是 a 加 b， 你的 d e 是 a 加 b， 咱们题干中有这个 d 啊，接下来我们看一下这个 b q， 这个 b q 呢？它和 ame 撇之间应该是相等的关系啊，然后这是我们的 a e 的 长度，咱们有了，所以 d 有， 那我们看一下 b q 等于啥？咱们接下来写一下这个 b q， 朋友们， b q 在 哪里呢？ b q 其实就是 ame 撇的长度，那就是 a e b q 等于的是 am e 撇， 那 am 一 撇应该等于什么呢？朋友们， am 一 撇的话，是不是等于 a e 加上 e m 撇好，那么 a e 和谁相等呢？ a e 就是 b 加上二 a， 然后所以它应该换成啊，就是咱们的 b 加上二 a， 再加上你的 em 一 撇就是个小 b， 所以你看是不应该等于的就是二 b 加上二 a， 所以 啊，我们 b q 啊，它应该等于的是二 b 加上二 a， 所以 应该是二倍的 b 加上 a。 你 看啊，你现在 d e 的 话是 a 加 b， 你 的 b q 的 话是两倍的 b 加 a。 所以 是不是我们发现了，原来两个 d e 就 应该是一个 b q， 所以咱们就挣完了。两个 d e 等于一个 b q， 这不正好是一个二倍的关系吗？因为 d e 是 a 加 b， 你 看 b q 呢，它应该是两倍的 a 加 b， 这不就是两倍的 d e 是 一个 b q 吗？好，同学们，我们就做完了，你学会了吗？记得点赞关注哦！

今天来学习二六年西城一模的几个综合。首先我们来看题角， b a c 是 阿尔法， ab 等于 ac， cd 垂直于 ab， 这个时候很常见，北京中考很常见的直角三角形，给它补成等腰三角形好继续往下看。他说 b m 平行于 a c， 那 这个时候肯定是会出现一个倒角， p 是 d b 上一点 他说了 c a q c a q 和 a p c 是 相等的， a p c 设为 beta， 那么 c a q 它整体就是一个 beta， 那 么 b a q 就是 个 beta 减阿尔法。 ok， 他 说了，当 c a q c a q 是 阿尔法阿尔法时候，那就是 b a q 是 阿尔法了。求 b c p 的 度数，那因为 c p a 他 们都是相等的，对不对？所以 咱们就知道了，这个 abc 这个角他应该是一百八十度减阿尔法除以二，他应该是九十度减去一个二倍的阿尔法，那所以咱们就直接可以代入一个外角等于不相邻的两个内角之和， 这个外角两个内角之合。这杯塔咱们也知道是个阿尔法阿尔法，所以角直接写出来，角 b c p 就 等于角 abc 减去角 abc 等于二倍的阿尔法。减去九十度，加上一个二分之二法一定要变号，所以就等于应该是二分之五倍的阿尔法，二分之 五倍的阿尔法减去九十度。第一问咱们就做出来啊，主要来看来看第二问。咱们首先来梳理条件，首先 b a c 是 阿尔法， 那么 ab 等于 ac， 这两个边肯定是要用到的， b m 还平行于 ac， 肯定会出现倒角， p 是 d b 上一点做了 c a q， 咱们刚刚说了 c a q， 咱们说为贝塔，所以 b a q 就是 贝塔减 or 还等于 a p c a p c 就是 贝塔。这方面他说了， e 为终点的时候，让你求 d e 和 b q 的 关系，要不然你就找谁跟 b q 相等，要不然你就看谁是 d e 的 二倍，这个时候全等 d e， 要 e 就是构造全能集中。第二就是最近几千年初学的重点一直是直角三角形补充等于三角形。这个题考察方式在 二五年的中考，二五年的海淀一模，二六年的海淀一模，全部都体现，所以大家这个要做重点，那你看题中有哪些直角三角形，是不是一个 a， d p 就可以？这个 a， d， b 是 不是也可以包括 a， d， c 是 不是也可以？咱们首先第一个说个大三角形，比如说咱们倍长 a， d 倍长 a d 到点 n， 这样的话连接 c n 这样，那这个 c n a， 它就是等于一个 r 方，这是贝特，所以 p c n， 这也就是个贝特减 r 方，一个角相等了，还有一个角内错角，它俩平行，所以 abm， 它就是一个 r 方，这有两个角已经相等了。除此以外， c a 等于 c， a 等于 ab 等于 c n， 所以角也是相等的。咱们不难看出来，这两三角形其实已经全等了，是把那个凸比给你画了起来，也就是 abq 和 cpn， 这两三角形是全等三角形。如果知道全等三角形以后，第二步 咱们就判断他关系，既然判断他们的边的关系，肯定要构成等量关系，对不对？这个跟咱们二三年的中考题如出一辙，只要看见边程关系，如果乱的，咱们就直接设参数，咱们设餐。如果 e 是 e 是 这个 ap 的 终点，那么咱们就可以分别设，那么 d e 咱们就可以设为小 a， 那 么 d p d p 就是 设为小 b 就 可以了。因为 e 是 ap 的 终点，所以 a， e 就是 a 加 b， 那 p n 呢？ p n， e 是 a p， 然后 d d 又是一个 a n 的 中点，所以 d n d n 应该是二 a 加 b， 那 么 p n 因为 b q 跟这个 p n 挂钩了，所以 p n 应该应该是二 a 加 b， 再减一个 b， 所以 应该就是二 a， 这个时候咱们就可以转换过来了，所以 b q， 它就等于 p n 就 等于二倍的 d e， 所以 最后多出来 b q 就 等于二倍的 d e。 第一种解决方法咱们先总结一下。第一，第一问还是很简单，主要看第二问，条件一定要用上平行，一定会倒角。第二，边相等的时候一定要注意，因为首先咱们第一全等的 做法就是直接应用到几何综合现象做出来，首先只有直角用全等。第二，咱们要注重这一点，这直角三角形要补充直角三角形，这样的话会有 背长、中线、边相等，还会出现倒角。其次，如果遇到边长关系乱的情况下，你比如说 e 也是中点， d 也是中点，怎么办？那就分别设参数为小 a、 小 b， 这样的话， 一你不会觉得乱，第二很容易找到等量关系。好吧，那这道题就说到这，随后老师还会。

今天呢，给大家深入的研究一下西城的樱木的几何综合，给你提供六种快速秒杀的方法。大家好，我是双庆数学邵老师，那今天呢，我给大家再次深入的研究一下西城的樱木的几何综合，很多同学反应难。今天呢，我在这个视频靠后的位置，给你提供他的第二问的多种快速秒杀的方法。 当然呢，我这个视频呢，主要是想给大家呢，再次通过西城区的这道几道题呢，进行一个深入的探讨， 看看通过这道题，对我们接下来各位同学在几何综合的复习这块还有哪些启示。所以呢，视频呢，可能会比较长，前面呢会对几何综合考察的一些热点的方向呢， 去进行一个深入的挖掘。最后呢，我会给大家提供六种目前的一些答题方法，当然我相信其实像几何综合一道题有十几种做法非常正常，也欢迎呢咱们各位同学家长这个批评指正，那 这道题呢，题目条件各方面我就不读了啊，大家现在应该比较清楚了，而且我今天呢，重点就讲他的第二问。那么在这道题目当中呢，我想跟大家一起研究几个点， 第一个想要研究的点就是关于角度的理解，很多同学呢，在这个做几宗题的时候，往往对于角度这种条件呢，不是那么的敏感，因为边呢，往往一标，比如说这道题 a b 等于 a c 是 吧，你一标这个边，长相等，它就比较醒目的提醒着我们， 不管是哎用颜色去标啊，还是你标这种啊，斜杠啊等等。但是角度这个呢，一个是有很多同学都没有标角的习惯， 很多同学标角都这么标，一个圆弧代表一切，是吧？呃，所以呢，往往很多同学不够重视它，那么在这里面通过这道题呢？哎，我对角度这块呢，有这样的一些建议或者提示给到大家。第一个呢，就是关于主角，三角前有主角角，主角角什么意思？一般来讲， 题目中给某个角取一个名字，那你想想，他其实不是为了重点介绍介绍这个角 b、 a、 c 根本的理解吗？ 他其实为了重点介绍的是这个 alpha， 各位同学你体会体会啊，他就告诉你 alpha 在 这个题目中的角度当中，他占的地位是极高的，为什么要被他叫做 alpha， 那 就意味着这道题的很多其他角都可以用这个字母给它表示出来， 这样的话，他可以串联起整个这个题目中的很多的其他角。通常呢，这种的主角角，我们呢第一个要标图传染，第二个要关注这个角度的关联性，咱们叫同角必关联， 对不对？比如说你有标阿尔法的哎，有标二阿尔法的，有标二分之阿尔法的，这有背角关系，对吧？你可能还会标九十度减阿尔法的互余关系，是吧？然后看到阿尔法，如果题目中还有一百八十度减二阿尔法，往往就会有这种阿尔法为底角的等腰三角形， 这叫主角角的关联性。各位同学，你不信你可以翻一翻其他的带有这种阿法角的题目，你去验证一下是不是这样的。所以在这里面的话，我们一定要标图传染，把能跟他相关的这个角度尽量的都去确认一遍，都去过一遍， 这就是关于这个主角角的理解啊。像这道题当中哎，有一个非常重要的跟他关联的这个角，就是这个角是个 alpha， 对 吧？因为他后面有个平行线啊，那这个角的 alpha 在 这道题的证明过程中，对全等这块这个起着非常关键的作用 啊。好，第二个这道题呢，还有一个角度呢，就是这个 c i q 等于角 a p c 啊，这种呢，给两个啊，两个隔着老远的十万八千里的，这这样的两个角是吧？那通常来讲， 它就是我们造全等的重要素材，要么这两个角就是某两个全等三角形的对应角了，要么呢，通过它们再找到第三者啊。比如说这道题，大家如果细细的挖掘，还能发现这还有个北塔， 那这样一来，这道题这个白塔和这个白塔之间的这种关联性就极强，除了这两个角相等，我们甚至可以看出这两个白塔的补角也是相等的。这两个补角的相等，对这道题的这个证明呢，也是有哎很大的价值的，所以要充分的标图传染，把它开发透。 当然这道题关于角度这块，还提供了像垂直呀，像平行啊等等这些非常常见的传染角的工具，咱们对这些可以倒角的工具特别敏感。最后呢，也提醒大家一下，虽然这道题呢没有重点考察， 那还有可能是用了一次全等以后，再利用全等的对应角相等进一步转化，特别是我们最常见的这个几个全等工具，比如说旋转的全等，还有对应边的加角等于旋转角这样的关系是吧？哎，八字全等有平行线是吧？等等，这些大家要关注。 总之在这个角度这块，各位同学，如果你通过这道题哎进行了一些研究以后， 能不能对这个角度形成自己的一个总结，或形成自己的一个框架笔记，对吧？啊，那从这里面我再次啊理解了一下，那我发现就是首先题干中给的角度通常都是为了全等 来进行服务的，大部分情况是这样的，因为咱们这二十七题基本上就是要考全等的啊，所以给的这些关系 不一定是直接就能用的，当然有可能直接能用，我们一定要通过做几宗的最基本的习惯叫做标图传染，再结合在我们熟悉的工具去灵活使用。那为什么要标图传染？因为角度最容易被我们忽略，只有你看得清楚，标出来， 你才能把它用的准，用的明白。比如说这道题目中的关于贝塔，大家有没有发现我标出来的这个靠下的这个贝塔，这个角，这个在后面的我的几种方法当中起着非常重要的作用，有些方法就是得看一看，看到这里有个贝塔角才能想的清楚，想的明白。 好，这就是这道题的第一个，这个探求点，其实我的探求点就是价值点，就是大家看看通过这道题，能不能让你对于角的理解又上了一个台阶，上了一个层次。好，第二个，这道题的这个探求点是 垂直，有什么好探求的？要不要标个直角，然后去倒角吗？互余角吗？ 确实有一些垂直就是给我们用来倒角用的，但是对于垂直这个条件来讲， 它背后的东西可太多了，很多同学往往看到垂直以后没有深入的去想，比如说看到垂直，对吧？它是不是有直角三角形？像咱们这个图当中有 d c p， 有 b c d 对 吧？有 a c d 啊，一系列的这个直角三角形， 那么这些直角三角形出现了，我们就可以用勾股定律、斜变中线等等这样的工具，是吧？这是直角三角形天生自带的，所以而这些工具的话，往往他不是那么显眼，他不是两个对应边相等那种，那么明显的摆在眼前， 都是背后要去再挖一层的，所以有些同学呢，往往看不透。那再一个，直角这个条件一定要重视，他有一个非常非常重要的热点的考点， 叫做直角补等腰。那么很多同学对于直角补等腰的理解还停留在补完等腰会有旋转的手拉手，其实不只是这样，这个咱们呢在二三年中考有直角补等腰， 补完以后旋转手拉手，咱们二五年中考也是直角不等腰，补完了以后旋转手拉手，各位同学可以自己去翻一下啊，我就不给大家看图了。然后呢，像这个今年的海淀一模也有直角不等腰，但那个补完以后就不一定是找一个旋转旋转，同样咱们这个题目也可以直角不等腰， 而且你看到因为他有三个直角三角形，理论上来讲可能有三种补法，是吧？所以就带来了这种复杂性。 那么这个时候我们要想明白为什么要补等腰？直角补等腰是为了得到全等工具，而且我们会发现咱们双提总结的四大全等工具他都能找到。第一个， 补出等腰以后，等腰自带共端等长，共端等长就意味着有旋转全等，各位体会一下啊，体会一下，比如说我把这个 c、 d、 p， 我 补成一个等腰哎，变成了一个这样的一个等腰三角形，这就共端等长是吧？并且补的时候呢，可以往上补，也可能往下补， 各位一定要看清楚，对吧？我也可以看，甚至还可以这么补啊。同样我在这里面也可以把这个 a、 c 这个边往往右边补啊。当然这道题因为他有一个阿发角，所以这么补往往是一种非常常见的处理方法， 对吧？啊，当然也可能是往下面补，这些都是他非常有可能的一些直角补等腰的补法。 所以一个直角出来，咱们有多种补等腰的方向。而且补完以后，这些等腰往往首先都有自带边等，有旋转圈等，其次呢，直角补了一个等腰啊，为了方便看，我还是选择中间的这个这个小的啊。 补完等腰以后，大家看，这里就有轴对称，它自带的三线合一，如果是三线合一，就自带一个终点关系，所以你看我要往左边，比如说补一个这个 d f 和 d p 相等，是吧？那就显然 d 就是 一个新的终点，终点就背后可以用八中斜三，是吧？同样这里面有一个轴对称的结构， 对吧？哎，这个贝塔角就可以跑到这个贝塔这个地方。好，再一个呢，就是它有可能直角补完等腰干嘛呢？ 就只是给你提供一对边等，你只要利用这个边等去作为其他全等的转化，一种普通全等，所以后面可能用照猫画，咱们这道题也会存在一种这样的做法，所以关于这个点， 我相信各位同学通过刚才我给大家的一个描述，应该开始重视了，所以垂直或者说九十度可能是最容易被咱们忽略的一个热点条件， 这里面千万不要只是标一个直角符号，甚至有时候题目都已经标好了，你都不管他，这我认为我给他加一个属性，他可能是一个典型的叫做扮猪吃老虎的条件， 看起来这种人畜无害的，但其实背后你看隐藏的四大工具，全部都能从他背后挖出来，是吧？所以面对垂直这个条件，我建议各位同学做一个轻探索，就是我一看到这个垂直了，首先看背后有几个直角三角形啊， 对吧？哎，所以潜在的边的勾股定律的关系啊，如果计算就勾股定律对不对啊？潜在的斜边中线你都可以看一眼 啊。然后呢，这里可能往哪个方向去补等腰啊，补完了以后大概有个什么效果呀？先稍微建立一个直观的感受，所以快速确认一下，这个就要先探索，这样你有个印象，一会呢，信息多了啊，再去想，从这个条件去开发，是比较容易开发的。 这是这道题的啊，第二个，哎，值得我们深入思考的啊，当然呢，哎， 大家可能有更多的更好的一些想法，也欢迎大家啊，在这个视频后面留言去啊，我们进行交流。第三个，就这道题是个很好的探讨终点的一个一个题目，终点呢？首先呢，咱们呢跟同学们讲过很多遍，看到终点就是八中写三八字全等，就所谓的背长中线是吧 啊？然后中位线、斜边中线三线合一，那这道题呢，它的终点信号其实就很多，对吧？除了题目中给的一个明显的意识，终点 意识 ap 终点，包括刚刚说的这个直角不等腰以后，这个 d 很 有可能就是个终点，很有可能是终点，所以这里面终点的信号很多的。另外就是这个里面如果看到两条线段有两倍关系这道题呢，我们可以猜 b q 等于二倍的 d e， 对 不对？ 哪怕题目中没有终点，结论中出现这种两倍的线段数量，这两条线段可能隔着十万八千里没管点，他往往背后也会藏在终点，因为你说这两倍线段怎么出来呢？ 对不对？最快的，最容易得到两倍线段的往往就是终点是不是？当然，如果题目中有三六九啊或什么呢？就是可能另外的可能了，但大部分情况下，这个背后都有终点。 好，那再一个就是这个刚才说的终点有八中斜三，各位要注意啊，终点背后的这个八中斜三这四个工具， 他经常是组合拳，经常会组合使用八字全等加中微线，八字全等加三线合一等等。这里面简单给大家画一个截个图来试一下啊。比如说我们在这里面有一个终点的信信息， 那么我们经常会看到有些题目，大家也不知道有没有见过啊，一个八字全等穿过这个终点， 同时呢，这个八字全等目的是什么呢？他为了让你得到的实际上是跟蓝边相关的某一个 三线合一，因为这个三线合一呢，你又会发现他又有一个旋转全等在这藏着，这个不一定啊，有些题目经常会藏着一个旋转全等会什么样的啊？所以就这种就叫组合拳， 所以你看终点，你不要孤立的去看他。那么再一个就是关于这道题，关于终点的一个重要的启示就是这道题的终点很多同学看的会非常难受，因为这个终点在 线段 ap 中的一部分，是吧？这也是这道题很多同学做起来不舒服的地方。那其实如果你以后看到线段的一部分有终点， 往往是再找一个中点，在这条线再找中点，就出现了双中点结构，双中点结构，各位同学不用去记他的结论，初一的时候有的同学可能老师让记过啊， 这个线段 a b 的 中点是啥？然后 a c 的 中点是啥？然后这两条线段，呃呃，这两个中点连起来是哪条线的中点？不用去想，这里面就告诉大家，只要出现双中点就设参标点设参表示。各位呢理解就是对于一个双中点结构以后出来以后，他就是很容易用参数去表示他， 比如说这是 a， 这是 b， 对 不对？哎，假如 ab 有 个终点 c， 然后呢，我们在这里面再来一个一个一个终点，是吧？啊，比如说这个这个里面这个 ad 再来个终点 e， 是 不就很乱，对吧？哎，这个时候你去设参数去表示它，您发现就很简单啊，在这里面，比如说，哎，这个 d c 是 小 a， 这个是小 b， 对 吧？哎，那么 d e 就是 a 加 b， 那 a e 呢？也是 a 加 b 啊，那么这个时候 a c 呢，就是二 a 加 b， 所以 bc 就是 二 a 加 b， 哎，然后 b d 就是 二 a， 哎，你会发现这个 ec 就是 b d 的 一半， 对吧？这不用刻意记，就是这种射餐标边是非常好的处理双中点的这个方法。所以这道题有没有通过这道题，回头对咱们终点这块的这个认识又加强了呢？ 啊，又加成了呢？好，那再一个啊，这道题呢，还有一个重要的探讨点啊，有价值点。就主角三角形。这道题呢，同学们在实际考场上做的时候是感觉比较棘手的，那么这个我们有双题，有个独创的主角三角形技术。什么叫主角三角形啊？ 任何一个三角形，一定是有三个边和三个内角，对吧？总共有六个要素，这六个要素通常来讲，只要有三个以上 啊，是跟条其他条件有关联的，或者跟结论有关联的。那这个三角形一般就是主角三角形了，就很有用了，甚至在某些时候，有两个有用就已经很有用了。 ok， 那 这种三角形呢，通常叫主角三角形， 特别是如果这个三角形啊，他的这种有用的信息当中，既有跟条件中的核心工具关联的信息的边或角，又有跟结论相关的边或角，那这个三角形基本就主角三角形。 ok， 他 是我们几种提速的关键，就是几何综合，有的同学不知道咋做，就在那里绕圈，绕圈绕圈啊，绕圈就是没有目的，没有目标啊，你拿着一把利枪猎枪在在原始深里面走来走去，对吧？啊，你不知道打啥打什么，但是 如果你知道主角三角形是你的目标，那你做题就快多了，就像你打的时候，你知道你专门为了打兔子，你怎么去找兔子是吧？啊？你要去打鹿，所以主角三角形就是我们做这个几中的一个非常好的提速的技术。 那么这道题呢，有一个非常非常好的三角形，主角三角形，这个主角三角形就是我们在下面的这个三角形 abmbq， 所以 这个 m 和 q 很 容易混啊，为什么呢？首先看 ab 是 跟条件有关的， 对吧？有 ab 等于 ac 这样的条件，然后呢， b q， 它是我们的结论边，我们要证 b q 等于二分之一的，你看这已经值两毛钱了啊，我们细称这个三角形三个边，三个角一共是六毛钱，这就有两毛钱了。好，然后呢，由平行线可以知道它里面有一根内角 r 三毛钱了吧，由这个题目中这个角和这个角相等，那么你会发现，这个角虽然没有直接标，但是跟条件给的两个，一个主角角，一个给的等的角都有关联， 所以呢，是不是这个角也至少值半毛钱吧。同时如果你关注到平行线，发现这是个贝塔，那这个角就是一百八减贝塔，那这个至少也值半毛钱吧，所以这个这个三角形值三毛钱没，没毛病吧？啊，那他确实是个主角三角形， 围绕这个主角三角开发，是我们这道题非常快速的做法啊，那么接下来呢，哎，我给大家介绍介绍啊，这个我研究的几种这种做法啊，当然 可能做法不止这些，但是呢，这些方法呢，主要是提供大家呢这个探索使用啊，每个方法呢，我也做了一些简单的这个点评，大家来体会一下这道题呢，首先呢，第一个思路呢，就是主通过这个主角三角形来破局，这个主角三角形呢，给我们破局主要是要通过一种照猫画猫的全等，但是呢， 这个照猫画猫是不太好找的，那怎么办呢？你就需要找边和角的信息，而这道题主要是为了角的信号， 以及我们对于这个题目中直角不等腰的这个热点的敏感，就可以抓住这个方向啊。这个方法放在第一个说是因为主要是这个直角不等是现在非常热点的一个方向啊，应该也是很多同学尝试做辅助线的方向。 ok， 所以我跟大家说一下，刚刚我已经说了，这个粉色阴影的三角形是个主角三角形很合理，对不对？但是我怎么找这个全等呢？那你就观察他这里面有阿法角，有白塔减阿法角，有白塔的补角， 所以还有红边，对吧？你要去构造，那要么就是在红边旁边构造。这道题可以啊，但是呢，一般同学不太容易想到那个方向，所以我放在后面说，要么就围绕这个角，你会发现贝塔角旁边一百八十度减贝塔， 这个一百八十减贝塔。而一旦同学们如果做了个直角不等腰，就会发现，哎，这个红边就变成这个 c f 了， 对吧？并且阿尔法角也出来了，所以一下子就可以看出来，这个粉粉色的和这个青色阴影的两个三角形是一对全等三角形， 因为他们的三个内角都对应的啊，这个角也是北塔角，只要有一条边，那显然红边相等，所以不管是角边角还是角角边，都很轻松就可以挣出来这个全等了， 所以这就是这道题目呢，非常快的一个方向啊。当然这个方向呢，有一个小难点，我们如果得到这个全等 啊，我们会发现这个 b q 呢，它是等于这个 f p 的是吧？这个 f p 怎么能等于这个 d e 的 两倍呢？那这个时候你就要体会到，如果是共线的出现，这种隔着这个两倍的关系，一定是双中点， 所以呢，对于这个双中点的设参标编法大家要特别熟悉，那在这里面我给大家再来一遍是吧？啊，强化一下，一般来讲，设小的编，短的编啊，为那个小 a 小 b 啊，任意两个比较短的不等边，你设出来就行了。比如说，哎，这个 d e 是 a 啊，那 d p 是 b， 可以 吧？那因为 e 是 a p 的 中点，所以呢，这个 a e 呢，就是 a 加 b， 跟刚才一样，对不对？那这样一来，这个 a d 呢，就是二 a 加 b， 哎，然后呢，这个直角不等腰有三线合一，这个 d f 就是 二 a 加 b， 对 吧？减去 d p 一个 b， 所以 这个 p f 就是 二 a， 也就是 d e 的 两倍， 轻松出来了吧，这就是双终点，咱们这个设餐标边的啊，常用处理方法，这也是咱们啊今天给大家提供第一个思路，那第二个思路呢， 也是围绕这个主角三角形啊，只不过呢，在这里面我们直角补等腰呢，我不是像刚才那样补，这个方法呢，也可以说是这道题所有证明方法当中，可以说是最简单的一个方法了，但是呢，这个方法呢，说实话，呃，很多同学不太习惯往里面去直角补等腰，对不对啊？而我们会发现， 因为这里面有贝塔，贝塔角跟这个粉色的三角形是有强关联，那如果我把这个点 p 关于点 d 做一个中性对称啊，在就是在这里面截取一个 f 连接 c f， 那 这里面就出现了一个轴对称， 那么贝塔就跑过来，所以这个角就是一百八减贝塔，而这个角是阿尔法，所以显然跟我们这个粉色的主角三角形角就对上号了啊，边呢，现成的 ab 等于 ac， 所以这个全等就出来，那这个全等出来了以后，咱们的这个 b q 是 吧？哎， b q 就 跟 af 相等了， 那同样这里面要证 af 是 这个 d e 的 两倍，也要去设参标啊，那么这里面同样我们设最小的那些部分啊，比如说 ef 是 af 是 b， 那 么 pd 就是 b， 那 么这个时候呢， pe 就是 a 加二 b， 对吧？那 a e 呢？哎，也就是 a 加二 b， a e 就是 a 加二 b， 然后呢，我们这个要的 a f 是 不是就等于二 a 加二 b， 对 吧？然后呢，这个 d e 在 这个图里面是不是就小 a 加小 b， 所以 它俩是个两倍关系， 轻松搞定，所以这种设参啊，去处理双终点的方法非常之好用。那所以呢，这种方法呢，说实话啊，虽然是这个 挺简单的一个做法，但是呢，这种内部去指导不准，要不是所有同学都很熟悉的一个方向，朋友们可以多去尝试，也就说在这个地 垂直这个地方，我们可以任意去补，只要合理就补啊。当然好像把 cdb 补过来是不太行的，为什么呢？因为 cdb 当中没有啊，其他的有价值的边的或者角的信号啊，所以补出来没有太大意义啊。 好，那接下来我给大家说一下第三个思路，仍然围绕这个主角三角形。仍然是围绕主角三角形，怎么去构造？我们会发现，这个粉色的主角三角形，有红边，有阿发角，是吧？有贝塔减阿发角，有一百八减贝塔角， 哎，在这个图形当中现成的呢，就有一个红边，它这里面有个阿发角，但这个呢，有的同学不太好想，待会我提供另外一个思路也可以做啊，那么我们会发现，哎，如果往上做一个平行， 这个就是 alpha 啊，然后呢，这个地方就是 beta 减 alpha， 其实这种想法也可以用类似于一种轴对称的想法，因为 abc 是 个等腰三角形， 等腰就有轴对称，是吧？啊，大家看吧，其实是相当于把粉色的三角形啊，沿着 bc 边上高所在的直线翻过去，翻过去了，所以你如果啊对轴对称比较敏感，你也可以说这是一个轴对称的这个想法 啊。其实这个想法我我我第一眼想的，当时是想试一试轴对称的工具能不能用啊，然后呢，哎，看出来，那么这么翻出去以后的话，哎，咱们呢，这个 cf 就 跑到上面了啊，但是这个 cf 等于定义的两倍呢，哎，还需要你对这里面另外一个轴对称结构，就是有个等腰梯形， 要稍微敏感一点，因为这个角是 beta， 上下是平行的，所以这样一来，这就是一个等腰梯形。我们呢，还需要呢，这个， 这个再做一个啊， f 往下的垂线啊，正得这个左右的这两个小直角三角形全等之后， 得到中间这个 f c， 就是 这个 d e 啊，这个就等于这个 b q， 然后呢再根据意识终点等量减等量，就可以得到中间这两条线段相等，说明这个 c f 是 d e 的 两倍啊，也就是 b q c e 的 两倍， 这个呢也是主角三角形很容易切入啊，但这种对称的结构呢，我们不太熟啊，提供大家作为参考啊，各位一定要注意，我虽然讲几种方法，但最后我会跟大家说，我不推荐大家啊，特别是同学们在平时 啊，去研究太多的一体多解，可以呢，多研究研究是吧？啊，咱们有时间啊，有劲。那接下来呢，我们再来看看，如果我们对这个里面的条件比较敏感的话，我们还可以怎么做呢？那就是观察发现，只要你看到这边有一个贝塔角，这边有一个贝塔角， 那你发现这里面就存在着两个直角三角形的全等，直角三角形全等，那就是一个是这个粉色的和青色的直角三角形， 一个是我画紫色斜钢剪的这个直角三角形，那其实如果你看明白这个以后的话，这个当然需要对线段的这个关系呢，有一定的敏感度， 你发现其实就是这两个边，一个是在 a d 这么长的基础上往外补一块，一个是在 a d 这么长的基础上往内收一块，所以最后一定可以得到两倍关系，对吧？那这个呢，同样咱们呢也要写一下，写一下就是这里的 a d 作为对应边，它应该等于这个 b f， 对 吧？ 啊，那 a d 这个边它怎么回事呢？它在这里面，我们要找到它这个 d e， 它是 a e 加上 d e， 对 不对？而 b f 呢， b f 呢，这条边啊，咱们看看它，它是 b q 加上加上 q f， 我 们先把目标的啊，结论边线给它找出来，接下来再往这个方向转化啊。其中呢，意识中点是 a e， 再写成 p e 加上 d e， 这个 b q 不 动，而 q f 作为全等的对应边，把它写成 d p， 对 吧？然后这个 pe 减去 d p， pe 减去 d p， 是 不是就是又是个 d e， 所以 是两个 d e 等于 b q， 这就出来了。 这个说实话啊，这个方法整体来看也挺简单的，但这个线段关系，我认为很多同学在考场上是不太敢去倒的 啊，他对这个线段啊，是这么一回事啊，一个是过去这方面的经验不会太多啊，在考场上有压力的情况下，也挺难想到这个方向， ok 啊，所以呢，这个呢，大家可以参考一下啊。 好嘞，那我们会发现啊，在这里面，也就是说任何一个方法，你首先要有个关注点，知道基于什么去切入， 因为直角三角形简单，所以呢，我们以直角三角形切入，对吧？同样，如果我关注终点呢，因为这道题有终点，那终点也可以，那么围绕终点，我们可以开发相似，这个里面主要是对终点怎么用大家看，比如说这个 e 是 ap 的 终点 哎，在一的附近呢，还有直角三角形，所以在这里面的话，我们就可以综合利用。刚才说中点工具，它经常会组合使用，对吧？咱们只要取一个 c p 的 中点，那这样 e f 就是 a c 的 中位线， 它平行且等于 a c 的 一半，所以呢，这个角是 alpha， 对 吧？然后呢，这个 d f 啊，就是 pc 的 一半，并且呢，这个角是 beta， 那 这个旁边这个角就一百八减 beta， 然后这个角就是 beta 减 alpha， 哎，所以这个小三角形的三个内角和这个大三角形的三个内角是不是完全一样？那也就意味着这个三角形 d e f， 它一定相似于三角形 q b a 对 不对？ 并且它其中的对应边 e f， 哎，和 ab 之比刚刚好是一比二， 所以这个 d e 就是 b q 的 一半，而且这个是不是也很简单？当然，虽然简单，说实话 啊，这个方法呢，相信同学们在考场上呢啊，不太敢用啊，因为我们都知道 r t t 考察，我们主要考察的是全等，是吧，所以像相似这种工具呢，是一些啊，一个是对相似呢掌握的比较好，同时呢，这对于这个图形的关系呢，比较自信，就想到它，必然的嘛， 这两个三角形它角都一样了吗？并且有边是一比二的，那必然就是这样的一个一比二的关系吗？可以这么说， 这方法应该是所有的证明方法当中，可能是导边这个地方最简单的一个一个方向啊，但是呢，呃，确实，说实话，虽然这个方法简单啊，也不是我第一优先推荐给同学们的啊，推荐的还是前两种这种做法好吧。 啊，那同样这道题呢，我们还可以有些其他的做法啊，比如说啊，咱们在这个里面啊，从结论出发，我就想找二 d e， 我 想有的同学考场上就这么想的，我就找两倍 d e 行不行？我们把 d e 呢往左边去延长一下，其实这个没有辅助线，就取一个点是吧？啊，得到这个 f， 哎，这个 d f 就 两倍，那我怎么证 d f 和 b q 相等，同样利用 b q 所在三角形的角度关系，我们就可以强行的去做一个这样的构造啊，那就是在 f 这做一个 c p 的 平行线，那就有 b 叉角啊，以及一百八减 b 叉角是吧？啊， 在 d 这个地方呢做一个 r 叉角啊，然后呢它交于点记啊，然后呢就连接 g a， 那 这样一来的话，这个青色的阴影的三角形就出来了 啊，剩下的话我们需要呢在这里面震一下，它得有一个边，得有一个边啊，这个里面的话啊，如果直接这么做辅助线去震它，稍微有点麻烦，也不是不能震啊，所以呢结结合刚才的这个分析，我们最后呢啊，可能做的辅助线是什么呢？ 是过 a 做一个 a g 垂直 ab， 并且跟 cd 相等，然后呢这个这个连接啊，在在这个里面再截取一个 af 等于 dp 啊，然后连接先正这个紫色的全等，对吧？啊，然后呢，这样一来这个这个紫色小三角形全等了以后啊，我们呢通过这个关系呢，可以得到这个大的啊，这个 a d g 和 c d a 也是全等的，所以这个阿八角也就出来了 啊，然后呢红边也就出来了，最后在这两个阴影的三圈的这方法非常的复杂啊，那我之所以说一下是因为什么呢啊，这个方法就要讲一个道理，就如果有同学想往这个方向去想， 是不是因为考场上我们无法控制同学们的想法是吧？很多同学都是基于某一个角度去想的，但是呢，其实在考场上我们是没有时间去想很多种方法的。 我的意思是，同学们只要在做题过程中你有想法，并且这个想法有一定的理性，特别是他跟其他的条件和结论的信息能整合到一块，这个想法通常就有用啊。所以同学们考场上做几道题，最怕的就是我不知道这个走法行不行， 我们有个判断的标准就是你是不是始终在用条件贴结论的这种方向 他就可以 ok， 那 当然这道题肯定还有很多种做法，一道几种题，十几种非常正常。那我在这里面呢，也不给大家这个讲太多了，那我把阶段的这个研究的成果总结跟大家再过一下。我认为通过这道题 我们得到的启示是，首先呢是几中，特别是啊，咱们这个备战中考同学，不要因为这道题有一定的难度，然后呢就偏离他的方向，几中还是围绕最热点的这个考点和工具去进行开发，像咱们刚才讲的四大全等工具， 对不对啊？像咱们讲的主角三角形这些都是啊，非常重要基础的啊，这种处理方法，这个还是最后一个阶段咱们复习的重点。第二个呢，这道题呢，我给大家讲了六种方法是吧？啊，但是我不推荐咱们同学们啊，这个研究一体多解， ok， 研究一题多解的事留给老师干就行了。这个为什么一旦你形成研究一题多解的这种意识以后，你在考场上冷不丁的就会这个，想想那个，想想结果选择多了可能反而是弊大于利的，你反而不能坚定的从某条路走到终点。 那再一个就是在这道题目中提醒我们，对于这个直角补等幺这个热点的这个考点，还需要大家进一步深入的这个探讨。我相信呢，咱们呢，包括我们各位同学在平时做题中会刻意关注一下 这个直角补等幺，他是二三二五年中像今年海淀西城都考到的这样的一个考考察的方向，并且补完等交以后，也不一定就是用旋转全等，也可能用它的角度关系，也可能用轴对称等等， 所以这个里面的话啊，是很有灵魂的一个应用的啊方向啊啊，所以值得我们各位同学多体会啊。嗯 啊，在这里面我其实应该打的很灵活。好吧，来，那这就是关于这道题的，那当然，如果各位同学啊，想在这个几东这块啊，最后的冲刺阶段，还想进一步这个深入的这个去学习一下，你之前没有什么太系统的方法，也欢迎咨询一下咱们相关的课程。

好，我们来今天学习二六年西城一模原重合。首先来读题， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，那看到了直径，首先想到的是直角，所以他说 a、 e 垂直于 c、 d 呢？一定会想到垂直定里的会有两个 半径相连接，两个边都连起来，如果是半径的话，半径连接起来，这样的话就会出现边等、角等全等的情况。 ok， 如果他连接的半径的还可能与中点相结合，形成中位线 连接， a、 c 做点， b 做圆 o 的 切线，交 a、 e 延长线一点 g， 那 给了你切线的一定这个 a、 b、 g 一定是直角。 ok， 那 我们来看 c a e c a e 在 这里 等于二分之一的 aoc， 那 这个倒角很简单啊，一定是同弧所对的圆周角是圆心角的二分之一，也就是 aoc 是 等于二倍的 aec， aec 又等于 c a e 一 万很简单，直接秒杀了啊！看第二个连接， d e 刚刚说了，直径左对角直角，他不连 d e， 咱们也得连。继续他说了， d e 等于四倍的根号六 口三 c a e， 也就是还是说这个角 c、 a、 e 是 三分之根号六，看到了锐角，三角函数，那么所有的关系只要带直角，全部都是三比根号六，那我们就可以把它的边角无限的传导， 也就老师刚刚说的边角一定要传染，因为 a、 o c 他 是二 x， 那 么 c a、 e 就是 叉， 那么 c e a 也就是叉，有点必有叉，所以 a、 c、 o 就是 点， ec o 也是点。因为直径所对的角是直角，所以 e f e d， 他 也就是点了，那 c e c d e 也就是叉。 ok， 那 咱们就知道谁跟谁相等了，点跟点是不是都相等？叉跟叉都相等，所有跟叉相关的是不是只要带直角都是三比根号六， 角传染完以后咱们来传染边，你要带上什么呀？ d e 的 四倍的根号六，那 d e 是 四倍根号六，那咱们根据这个角 f d e 来说，邻边比斜边可以算出来 d f 是 八。勾股定律很简单， ef 就是 四倍的根号二，又因为 c e f， 它也是等于口算 a c e， 所以 邻边比斜边 c e 应该是四倍的根号三，二号固定里， c f 就是 等于四。 ok， 那 算到这里咱们再来看一下它，让我们求 e g 的 长度，咱们现在看 c d 其实就是十二，直径是十二，半径，也就是一个六 o 跟 o b， 那 么都是一个六边比斜边 ok， 四倍根号二，然后一个垂径定力 a f， 也就是个四倍根号二。这时候他说了，求 e j 的 长， e j 在 哪？同学们， e j 在 这下面，我们在想求边长呢？和了这么多边的关系，为什么还求不出来呢？勾定力咱们用过了，日角三角函数咱们用过了，那指成什么呀？相似对不对？那咱回忆一下，常见的相似都有什么呀？也就是 a 字型，还有什么呀？反 a 字模型还有什么呀？反 a 字模型，也就是上边的角是 共角的，有两个垂直，对不对？所以咱们来看，相似在哪里啊？同学们，相似是不是在这？也就是 a o f， a o f 换一个，换一个黄色的吧。 a o f 和 a g b 其实是 相似的，它们共用了一个直角边，对不对？和 afo 共用了一个角，其还有 afo 和 abg， 它都是直角，所以咱们可以得出来，三角形 aof 就 会相似于三角形 agb， 这个时候直接出比值，那么 a o 就 一定会比上 a g 等于 af 比上 ab， 这样的话我们可以看出来，大于进去 a o 是 六， a g 咱们不知道 a f 是 四倍的根号二， ab 是 十二，这样的话咱们得出来 aj 呢，其实是等于九倍的根号二，因为 a e 呢，是等于 a f 加 f， e 是 垂径定律，他们都是四倍的根号二。所以最后咱们得出来 e j 就 等于 a j 减 a e 等于根号二。好，那这道题咱们就讲完了，回顾一下。第一，首先是要读已知，你是要知道已知才能知道下一步的判定方法。 第一，他的直径，直径所在角是直角。第二，要有垂径定里，这个一定要存在咱们的日常积累，积累到笔记本上，好吧。第三，告诉咱们垂线可能会朝什么呀？垂线长定里 也可能告诉咱们是直角，四弧形角，圆周角，圆心角，它设计的非常广泛，考察的频率非常高，只要求角一定要优先考虑它。第二问，尤其涉及到圆的第二问，可能同学们不明白怎么做？ 第一就是要进行边角传染，因为已知条件告诉咱们，以后就是为了什么让咱们去做边角传染，把咱们图中能求的角跟边全部算出来，当给到锐角三角函数的时候，一定是 让咱找到谁跟这个 c a e 相等。那么则其他的角只要在直角三角形满足直角三角函数的条件，那他的比例关系都是三 b 根号六，把边长求出来，用相似就可以得出。好吧，那这道题求。

好，我们来学习二六年西乘一模选择压轴题，我们读完图，看完题以后，我们可以发现它这个反比例函数 y 等于 x 分 之 k， o a 乘 o b 大 于 k 大 于零，那么 k 一定是在一三象限， o a 乘 o b 大 于 k 呢？那这个 c 一定是在反比例函数的右上方，这是我们读题可以得出来的。看结论，角 o e、 d 一定是锐角三角函数，锐角三角形一定，那咱们就可以看成换一，而且他说 这个 d 跟 e 在 哪？ d， e 是 不是交于这个反比例函数之上啊？所以这个 d e 是 不是能变？当我们 d 跟 e 的 距离拉近的时候，也就第一种情况的时候， 是不是他就成钝角了？所以这个考试的时候，第一咱们想到的方法是，只要他的点是固定的，那这个题其实很好确认，你只要带进去， 把它当做一个正确的值，带进去看看符合不符合提议即可。那如果他的值是不固定的，你比如就像这个第一，他可能也在这，那咱们就可以自己去 变化图形，看看有没有反驳出来，比如说能不能找到一个对角三角形来。第一问 很好说，而且第一他的变化是非常大的，只要他不是说是往两边扩散，而是第一往中间扩散，就一定会出现一个钝角，所以说把一排了，那二一定就是对二，对了以后那是不是咱们就判断三跟四了？那咱们这时候咱们也看一下 这个第二问，他说全等，咱们怎么证明全等？首先我们来看这个图，看圈这图这个边 发现没有 bc 是 不是跟 o a 平行，所以说这个 g， e， b 和 d f， a 这个角一定相等的平行吗？垂直 d， a， f 跟 g、 b， e 这两个角垂直，所以这个 g、 b， e 和这个 d、 a、 f 它们是相似的，那是不是就剩下找边了？因为它是函数，所以咱们就是式子表一切。你要想知道这个 g 他是多高，那是不得看一下这个一次函数他的表达是什么呀？正是因为这个 e、 d， 咱们是不是可以表示出来？因为横坐标 咱们不知道，但纵坐标知道这个 e 纵坐标是不是小 b， 所以 他的横坐标是不是就可以带进去？所以 k 分 之 b， 逗号 b， 那这个 d 也是一样的，横坐标是 a， 那 a 带进去，那 y 就是 等于 a 分 之 k， d， e 求出来以后呢，咱们连立方程就能算出来。依次函数的表示， y 等于负的 a 分 之 b， x 减 a， 括号加上 a 加 k， 这样呢，我们就直接可以代入进去，算出来 b j， 这个 j 的 坐标呢？那肯定就是 b 加上 a 分 之 k， 因为 o b 呢，它是一个小 b， 对 不对？所以 g， b 就是 a 分 之 k， 它也就等于 a， d， a， d 是 同理的， 咱们通过列式也能算出来，但是考试的时候没有必要全算出来，咱们可以用巧妙的方法，第一问只要排除以后，第二问肯定是对，咱们看选项对吧？看第三个，他说 g、 e， g、 b 的 面积 e 去 b， 他的面积为二的时候， k 等于可能是四，那这块咱说了，那他这个四可能就锁的太死了，为什么呀？因为这个四可能都没达到二的那个标准，你比如说他可能是大于 六，他可能大于六，但是你要是可能是四，四都没达到，那具体咱们怎么列式？因为咱们知道他坐标，所以说应该是二分之一的底乘高，那这个 e 咱们知道横坐标是 k 分 之 b， 那 高高是不是 a 分 之 k 这 b， 所以 咱们直接能算出来二 ab 分 之 k 方，他就等于二， 那 k 方一定就等于四 ab 了。这个时候考试的时候，只要咱们有坐标能算出来，那就一定能代入。但是用巧妙的方法来说，这个 k 可能为四的时候，那他有时候可能取不到四，可能就比四大。 那咱们从列式也可以发现， k 等于四的时候， ab 其实也是等于四的，所以说这 ab 它是不能不满足题。 ok， 那 咱们就看第四个 oeb 和 o e、 d 的 面积可能相等，这个时候还是这个 e、 d 是 不是在中间转动，对不对？那只要它图形有变动，咱们直接就可以用角平分线定里去，因为咱们找到了这个 e 撇，在这个方位的时候，咱们利用角平分线定里 o e， 只要能平分 c、 o a， 那 是不是事就可以判定这个 o e、 b 和这个 o e、 d 他 们是相等的， 因为平角平分线的点到两边距离相等，算出来他们两个全等，那他们的面积就一定会相等。好，那所以最终答案就是选择一跟四。那这道题咱们讲完了，咱们说一下 这个题考场上该怎么做。第一，首先还是要精读题，所有的不管咱们是通过技巧 还是说计算得出来的数，一定是读题，先通过题目中的判断再去做选择，而且它的选项具有排除性，你看后来的选填 就比较难了，因为他只有四选二，但是第一个比如一二通常是有一个非常好选择的，所以说最后咱们就直接看三四就行。那四他的面积因为一是在动的，所以咱们就 不管他坐到哪，是不是总得有一个他们俩是角平分线的地方？角平分线是不是就能证明两个三角形全等，从而证明面积全等？好吧，那计算就按咱们刚刚老师计算过程来算就行。那这道题就讲到这。

当然啊，我们这样去做完以后，我们刚说了，你正你去做 a d 也行，你取 ap 也行，取 a d 也行，其实都是可以的。比如说 我们去看一下，我们如果在这里取一个做个垂直，或者是取一个这个 b w 等于的是 a、 d 也是可以的啊。这个啊，标个 d 撇吧， 好，做个垂直。那如果我们这样做了以后，我们再去看，这里有阿尔法， 然后呢？这个角是贝塔，这个角是贝塔，这个角是贝塔，然后这个角也是一个贝塔，那根据它我们就能够得到。首先第一个全等是没有问题的，来，我们先分析一下法二吧。 首先我们做 a、 d 撇，垂直于 b m， 进而就能得到这个全等嘛，三角形 a、 c、 d 就是 全等于三角形 b、 a、 d 撇的呀， 好，阿尔法相等，然后直角再加上一个 a、 b 和 a c 这条边相等，就全等了嘛。 ok， 由这个全等，我们又能导出第二个全等呀，三角形 c、 d、 p， 那 就全等于三角形 a、 d 撇 q， 有 这两个全等，我们就能够找到我们所要的这个边呀，也就是说 d e 和 b q 嘛，自己推导一下这个就可以了啊，这是这个也可以去做。 当然你如果发现这里这个角是贝塔好，那么这个角是贝塔， 这个角也是一个贝塔好，发现了这些，我们的视野放在这里吗？我构造它的全等也是可以的吗？ 那这个时候我只要在 a b 上取一个 q 撇，也就是说 a q 撇，让它等于 b q， 这不也行吗？对不？我们来去写一下，我们去取一个点 q 撇，我让它 这个 a q 撇等于 b q 也能出现全等呀，这个时候 q 撇。好，我们写一下叫反三吧， 我们做一个 a q 撇，等于的是 b q， 做完这个以后，同样也能得到这个全等嘛。 构造的这个 s a s 的 全等，那么三角形 a c q 撇，那就是全等于三角形 b a q 啊。好，这个全等以后，我们其实就得到了这个 c q 撇， 它就是等于 a q 的 呀，而 a q 我 们通过导这个边，它是等于 c p 的， 因为全等三角形对应边相等，对应角相等呀，那这个时候这个角和这个角是相等的，那同理这个也就是个贝塔了嘛。所以说 c q 撇和 c q 也是相等的，又有等腰了，而等腰再加上 c d 是 垂直的，所以说我们也能够 得到边的一个关系，进而我就得到了。哦， d q 撇是等于这个 d p 的， 然后再导一下这个角边的关系就可以了呀，也就是能导出两倍的 d e 是 等于 b q 的， 中间这个 自己来去导一下就可以了。好，这是一个当然啊，如果我们刚才发现了这个角度关系，来再去看，这个角是阿尔法， 这个角是阿尔法，然后这个角是贝塔，这个角是贝塔，这个角是贝塔。好，那进而就有啊，他的补角，这是一个伽马，同样这个也是一个伽马。 好，那这个时候发现这个关系之后，我也可以在右侧做一个对称的结构，这个样子取一个 w， 那 么此时 我们做完这个对称结构后，这就是个阿尔法呀，那么阿尔法和阿尔法相等，伽玛和伽玛相等， 再加上 w c 和 a c 相等，而 a c 又和 ab 相等，这不又出现全等了吗？ ok， 这样也是可以去做的。来，我们把它简单的去写一下，比如说叫法四吧，法四也就是做 d w 等于的是 a d， 那 这个时候我们就得到的是 a c 等于 w c， 而它又等于的是 ab。 好， 有这个边等。好，那我们就有了全等嘛，所以说三角形这个 ab q， 那 么就是全等于这个三角形 c w p 的。 ok， 那 这个全等以后，全等就是对应边相等，对应角相等呀，那么就得到了是 b q， 它是等于 w p 的 呀，而 w p 这条边，它是等于 a d 减去一个 d p 的 呀。 ok， 然后这个时候再转化一下不就行了吗？而这个时候我们再写一下，它就等于的是 a d， 是 等于的是 a e 加上一个 e d 嘛，然后再减去一个 d p， 抄下来就可以了，然后进而再去明确我们的方向，我们想要的是找到 e d 和这个 b q 的 一个关系， 挡住了把它关掉。好，这个时候它就是等于来 a e， 就 写成 e d 加上一个 d p 嘛，然后再加上 e d， 再减去 d p， 这不就是等于两倍的 e d 了呀，所以这样也就结束了嘛。 ok， 这是这个问题的一个思考， 还是比较简单的，就根据我们最开始学辅助线的时候，他辅助线的一个添加逻辑就可以了，叫等边等角去造全等，而造全等之后，多想一步跟下棋是一样的，你往后多想两步嘛，多想一步，做完这个全等以后，刚好是把我们所要的 所要证明的这两条边放在了一条线上，这样再去找他的数量关系，其实就比较简单了。 ok， 这是第一个逻辑。

好，我们来学习吸声移默的方程应用问题。首先来读题，他说了竹节人是传统民间文具，竹节和线绳组装而成，那制作一个竹节人需要 分成九段长竹节，他说是分为头和上节，一段长竹节，头和上节，它是一个长竹节，另八段长短竹节为四肢，也就是说 一二、三四五六七八，这八节都是什么呀？短竹节相等的，对不对？短竹节与长竹节的比是一比二，一比二，头长和上身的比是一比三， 头宽比头发头长少零点五米，那这个时候别着急，求什么，能射什么，对不对？你看，最后他说竹节人完全张开手臂的臂长，臂展是二十二厘米， 咱们先履行下关系，问高度由谁构成，是不由这个竹节长来构成，所以咱们就可以射呗。解射这个头长他一定就是 x， 那 他的上身因为是一比三，所以上身就是三 x， 头宽，因为他是少零点五，对不对？咱们表示出来，所以 x 减零点五。还有一个是下身，下身上边写上了他是一个四 x， ok， 下身就是四 x， 所以 咱们标出来头长是 x， 上身是三 x， 下身是四 x， 这样的话，咱们这个直接可以列 是的，也就是根据题一题，因为他说的 b 展是二十二厘米， b 展是不是四块，一块是二 x， 因为长轴接是不是二 x？ 一 共是四 x， 那 一块就二 x， 那 也就是说他的 b 占二十二厘米，也就是四个长竹节，也就是八 x， 加上什么，加上头宽，头宽是怎么样？是头比头长少零点五，所以应该是 x 减零点五，最后等于一个二十二，找出等式关系， 所以解得 x 是 等于二点五，竹节总高度，总高度是不是一共八 x， 所以 说八 x 等于二十。答， 把它打全一下，总高，这个竹节人的总高就是二十厘米，一定要把单位也给他标清楚。总结一下，首先就是图识结合，图识也可以说图文结合，也就是图跟文章你一定要相结合到位。第二， 你要知道他的等量关系是不是在找他等量关系一定在哪，那前面最后边是不是 b 长为二十二，咱们通过求射出来未知数以后求它们等量关系，那前面头宽比头长是少零点五厘米， 说明什么？说明是不是头长和头宽的比例，这是不共同构成了。这个 b 展，好吧，重要的就是找等量关系，也就是图文结合。

好，接下来我们说第二个逻辑，根据我们的猜想去找我们做题的方向，然后再根据方向找方法来解决它就可以了。好，你根据这个猜想，这个题其实不难猜的呀， d 和 b q 的 关系是什么？ 两倍的关系吗？两倍的 d e 等于的是 b q 啊，好，这个里边又有一个终点，有同学想，哎，我这个终点怎么去用？之前老师讲哦，见到终点我们可以去备场，也可以构造中位线，那在这里能不能去做呢？ 当然是可以了呀，因为我们看我们有一个猜想，两倍的 d e 等于的是 b q， 那 这个时候方向就明确了呀，我们去构造两倍的 d e 就 行了吗？那这个时候你倍长 或者是这个构造中微线都能出现两倍吗？ ok， 我 们先去构造一下，比如说我们把它作为一个中点，相当于是倍长一下 c e。 好，我们背长完 c e 以后， e 是 个中点呀，我们要想去构造两倍 d e 就 没有一个冲动吗？ 对呀，我们让 d 也作为一个中点不就可以了吗？这个时候把 d c d 也背长一下，背长 c d， 那 么这边这个点标做 x， 这个是 y， 那 么辅助线 就清楚了呀，就没有一个冲动要干嘛？对啊，连接 x y 嘛，这个时候两倍的 d e 就 出现了呀，而这个时候只要证明 x y 等于 b q 就 可以了，而在这里我们是被长了 c e， 而被长以后可以得全等和平行呀，所以这个要干嘛？ 连接一下 ax 吗？ ok， 连接一下 ax， 这个时候我们就得到了啊，有个全等。 ok， 那 我们写到这以后，我们再去分析，先把它写一下，然后再去分析分析接下来应该干什么 来叫做法。五内长中线和中卫线也是可以去搞定的，只要我们的方向明确了，找方法解决它就可以了。 ok， 那 构造完以后，现在我们只需要证 x y 是 等于 b q 的 就可以了呀，而我要想证明 x y 等于 b q， 那 么就要涉及到全等了呀，证明两条线段相等，要么全等，要么等幺啊， 而它俩又不在一个三角形里边，那么我们是要正全等的吗？好，我们再去看。既然背长了一个 c d， 而且这里还有个垂直，那就没有一个冲动要干嘛？ 对呀，连接一下 a y 嘛，这是一个连接 a y 以后，那我们就得到的是 a y 是 等于 a c 的 呀， a y 等于 a c 就 又等于的是 ab 了呀。好，那这个时候我们就能够发现，要证哪两个三角形全等呢？ 我要想证明的是 x y 等于 b q， 而 a y 又等于的是 ab。 好，有没有想到哦，我只需要证明三角形 a、 x y 和 a q b 全等不就可以了吗？这是一个旋转的全等啊。 ok， 那 要想证它，只需要证明 三角形 a、 x、 y 是 全等于三角形 a、 q、 b 的 就行了。好，我要想正这个全等，我们再去看一下。现在有一组边等，也就是 a y 等于是 ab， 然后 构造中位线，中位线是有平行的呀，那么这里也是一个九十度嘛，它是个九十度。好，这个角是九十度减阿尔法，所以说这里 就是一个阿尔法，而这个角也是阿尔法。好，有一组边等，有一组角等了，那我要正全等，还需要正一组角等吗？或者一组边等，那么我们再去倒一倒角，那这个时候，比如说我们来去正这个角 和这个角，看看它是不是相等的，正哪一组角都其实都可以的啊。来，比如说我们要证明它要想正这个全等，我们先标一下，只需要证明角 a、 x、 y 是 等于角 a、 q、 b 的 就可以了。而我们再去观察一下这个角来，那接下来就要对于角度进行分析了，这个是一个圈儿吧，然后这里是个叉角。好，那此时 这个是个叉角的话，由平行中位线平行，那么这也是一个叉角。好，这个是个叉角，上面这个角也是一个圈角，那么此时我们去看圈加上这个叉，再加上我们所说的这个贝塔， 这里也是一个贝塔，那么就等于一百八十度了嘛，所以圈加叉加贝塔是一百八十度，而这个时候我们就得到了这个角， 它其实也就是一个圈加上一个叉角嘛，所以按照这个方式也能够去证明出来，好，证明出这两个角来，那这两个三角形就全等了呀，所以这个题不就也结束了吗？ so easy， ok， 这是我们说这两个题的一个分析逻辑啊，通过我们简单构造辅助线的这个逻辑来去推导也可以，或者是根据我们的猜想 去找到它中间的一个关系，然后再去挣全等也没有问题， ok， 就 说到这里吧。

各位同学家长大家好，我们一起看一下二零二六年北京西城尼泊尔的几何综合这道题抛弃了咱们常规等思想，利用了 s 与 a 来构造全等，并且在导边的上面进行了一些小的设计，与二三年北京中考和二五年北京中考的导边技巧一致，可以进行设参， 设参导边。我们一起来看一下这道题，它告诉我们在这里边三角形 b， a c 是 一个等号三角形，并且告诉我们 a c 等于 a b 这个角是阿尔法这个角，如果是阿尔法，那我们就根据等三角形，可以把角 c 这个大角和角 b 这个大角求出来。因为这道题我用到了角 b， 所以 把 b 这个角表示出来是角数减去二分之一倍的阿尔法，告诉我们 b m 等于 m c。 注意这里边我们通过几何的逻辑，第一个我们要想到倒角，第二个它这里面是否会出现中位线，或者说是八字全等，这也是我们在几何当中经常会出现的一个内容。告诉我们 c q 等于角 a p c c a q 在 这， a p c 在 这，告诉我们这个角和这个角相等，这个角是辅助我们去导角的，所以说角度信息给了已经很多了。 那第一问告诉我们 c q 等于二倍的 alpha， 也说这个是二倍的 alpha， 然后我们就能得到这个角也是二倍的 alpha。 那 根据算式的一个外角，咱们就可以直接把第一问给秒掉了，是二倍的 alpha 减去九十度，减去二分之 alpha， 所以 第一问的答案是二分之五 alpha 减去九十度。 好，这是我们所说的第一问，对大家来说应该没有任何的压力，我们来看一下第二题，他说 e 是 a p 的 终点，看到了这个终点，可能很多人会想到咱们配合着刚刚的平行，可能能想到的是中一线，或者是所说的八字全等。但是在这里边他又告诉我们 d e 和 b q 这样的一个数量关系，那我们会发现 d e 和 b q， d e 和 b q 这样的关系还是非常好猜的， b q 应该是等于二倍的 d e， 那 我们现在拿到了一个二倍的关系，到底该怎么去正？这是很多学生可能不太好想的一个点。 在这里大家一定要注意我们这里面拿到的一些边角信息，这也是全等最基本的逻辑，也是我们全等当中最容易被大家忽略的一些小的细节。我们会发现这个边等于这个边，这两个边相等，这一角是阿尔法，因为平行这一段也是阿尔法，所以我们要研究的是 b q 和 d e 之间的一个关系，那我们要么共行，要么共线，那此时你会发现有一个边有一个角已经相等了，所以我就直接在这个 a t 上截取一个 a k， 使 a k 等于 b q， 那 这样就是这一条边一个阿尔法，还有 a c 这条边和我们下面的 a b 这条边阿尔法以及 b q 这条边这两个三角形求全等了，所以此时我们就可以根据 s a 再构造一个条件得到全等，那是三角形 c a k， 它就全等于三角形 a b q 这两个就相等。之后我们要去进行导边导角，那这个导边导角咱们到底该怎么去做？大家注意了，一定要用好这个平衡的逻辑，这个角我们假设它是贝塔，那么这个角是不是一百八十度减去一个贝塔？ 那如果说这个角是贝塔，这个角它是不是也是贝塔？那此时你会发现这个角是不是一百八十度减去一个贝塔？所以说这个角是不是也是贝塔？好，我们把信息给重新梳理一下，我们得到贝塔，这个角是贝塔，所以这个三角形，那我们就可以假设这一小边是 a， 这一小边是 a， 这是我们现在得到的第一个内容，现在告诉我们的是什么呢？这个 d 它是这条边的一个中点，然后 e 是 这个 a p 的 中点，那拿到这样的一个信息，咱们该怎么办呢？咱们可以在里面去进行设餐，我们假设这一边等于这一边都等于 c， 好， 这两个小边咱们设两个小 a 就 好了，这个时候你会发现这一小边应该是 c 减去二 a， 没毛病吧？那这样我会发现你 a k 又等于 b q， 所以 说 b q 它应该就等于二倍的 c 减去二倍的 a， 它的边就得到了。我们会发现这个 d e 在 这儿 d e 是 c 减二 a 再加 a 就 等于 c 减去一个 a， c 减 a。 好， 到此时我们写一下 b q 等于二， c 减二 a， 然后呢 d e 它就等于 c 减去 a， 所以 最终我们又能得到这个 b q 应该等于二倍的 d e。 那 这道题咱们就中出来了 西城今年的一模，他抛弃了咱们所谓的模型思想，在这边考了一个 s a 构造全等的逻辑，并且在导编的过程当中给我们进行了一个小小的设计，也是这几年咱们几宗当中经常会考察的一个思路，大家一定要注意这个多中点设餐问题， 在这道题当中咱们的辅助线也是正好配合了等腰三角形去进行设计的。这道题出的总体上来说我觉得是非常好的，在考场上的时候是 非常检验大家对于几宗的一个理解和几宗的一个基本的知识的。如果说孩子平时过于关注模型思想的话，这道题做起来可能并不会那么的轻松，这是今年的西城一模的结合综合，希望可以帮助到大家。

这是二零二六年西城区初三一末第二八题，是考察新定义的压轴体，主要考察直线与圆的位置关系。 对于点 p、 圆 c 和直线 l， 若将圆 c 绕点 p 逆时针旋转阿尔法，阿尔法大于零度小于一百八十度，得到圆 c 撇，使得圆 c 撇与直线 l 相切，则称点 p 为圆 c 和直线 l 悬切点。 当存在 n 个满足条件的阿尔法时，称该点为 n 阶弦切点，其中最小的阿尔法称为最小弦切角。提纲给了弦切点和最小弦切角的概念。下面结合问题和图形分析解释。 在平面直角坐标系中，第一问，若圆 o 的 半径为一，直线 l 为 x 等于二，则点 a 负二零 b 二分之一负一 c 零二中，哪个点是圆 o 和直线 l 旋切点，且为几阶旋切点， 画出圆 o 和直线 a 等于二。先看点 a 是 不是旋切点。根据定义，圆 o 绕点 a 逆时针旋转得到圆 o 撇，点 a 实际是旋转中心角 o a o 撇即为旋转角 r 法。 当圆 o 撇旋转的过程中，会发现它始终与 x 等于二，无法相切，所以点 a 不是 圆 o 和直线 l 旋切点。 再看点 b， 当圆 o 绕点 b 逆时针旋转时，看着现有一时刻圆 o 撇与直线 l 相切。我们计算判断一下，当旋转一百八十度时，点 b 是 点 o 与点 o 撇的中点。通过中点公式可以得出，点 o 撇的坐标为一负二， 因为点 o 撇到 x 等于二的距离等于一，正好等于半径，此时圆 o 撇与 x 等于二相切。 不过旋转角是大于零小一百八十度，到不了一百八十度，所以实际上圆 o 撇不能与 x 等于二相切，所以点 b 不是 圆 o 和直线 l 的 旋切点。 最后再看点 c， 当圆 o 绕点 c 旋转时，会发现圆 o 撇会与 x 等于二相切，所以点 c 是 圆 o 和直线 l 的 旋切点， 而且圆 o 撇有两个位置与 x 等于二相切，所以是二阶旋切点。通过第一问，已经理解旋切点的概念和图形的特点了，它实际描述的就是直线与圆的位置关系。 第二问已知点 t t 零圆 t 的 半径为二，直线 m， y 等于负四。若点零三是圆 t 和直线 m 的 旋切点，则 t 的 取值范围是什么？ 画出图形，圆 t 半径为二，在 x 轴上平移，设零三点是点 a。 当圆 t 绕点 a 旋转时，如果圆 t 撇与 y 等于负四有相切的时刻，那么点零三就是圆 t 和直线 m 的 旋切点了。 因此，下面研究圆 t 撇的最低点，最低点一定是与点 a 距离最大的点。下面就找到这个距离最大的点，连接 a t 并延长交圆 t 于点 b。 根据两点距离公式， a t 等于根号下 t 方加九， 所以 ab 等于 at 加半径 t， b 等于根号下 t 方加九加二。实际上，点 b 的 轨迹是以点 a 为圆心， ab 为半径的圆。当点 a 到 y 等于负四的距离小于等于半径 ab 时， 原 a 与 y 等于负四有交点，点 a 是 原 t 和直线 m 的 旋切点，所以 ab 大 于等于 a 点的纵坐标三减负四代入 ab 的 值得到高二下， t 方加九加二等于七， 所以 t 方大于等于十六解得 t 小 于等于负四或 t 大 于等于四。从图中可以知道，当 t 大 于等于四时，圆 t 撇不与 y 等于负四相切，不合题意，舍去 第三问，已知点 k 负一。一圆 k 的 半径为一，直线 n 为 y 等于 x 加 b 点零。二是圆 k 和直线 n 的 二阶旋切点，且最小旋切角不超过六十度，直接写出 b 的 曲值范围。 这一问涉及元素比较多，画图辅助分析，直线 y 等于 s 加 b， 斜率等于一与 s 轴外轴加角等于四十五度，并且随着 b 的 变化上下平移， 主要是点零。二是圆 k 和直线 n 的 二阶悬切点，且最小悬切角不超过六十度。怎么理解？根据悬切点的定义，阿尔法大于零度，小一百八十度，圆 k 撇可以旋转到一百八十度。在圆 k 撇旋转的过程中，当直线 n 在 圆 k 撇下方时， 只要与弦切角为六十度时的圆 k 撇下方相切，并与圆 k 相切，这两条切线之间的部分就会出现两个与直线相切的时刻。 记二、切弦切点，这时的最小弦切角都等于六十度。当直线 n 在 圆 k 撇上方时，当直线 n 在 圆 k 撇的切线和圆 k 切线之间时，也会出现两个相切的位置，并且第一次相切时，最小弦切角小于六十度。 需要注意的是，圆切角大于零度，所以圆 k 的 切线取不到。因此我们只需要求出四条切线在外轴上的截距即可得到 b 的 取值范围。 根据提议，角 k ak 撇等于六十度。根据两点距离公式， ak 等于 ak 撇等于根号二。下面先求直线 n 以圆 k 相切时的 b 的 值。 当直线 n 与圆 k 相切于点 b 时，设直线 n 与 y 轴交于点 c 连接 o b， 因为 k b 垂直 bc， o b 垂直 bc， 可以 知道 o、 k、 b 三点共线， 所以三角形 o、 b、 c 是 等腰直角三角形。因为 b、 k 等于一。根据点 k 坐标可以得到 o， k 等于根号二，所以 o、 b 等于一加根号二， 所以 o、 c 等于根号二倍的 o、 b 等于二加根号二。当直线 n 与圆 k 相切于点 d 时，设直线 n 与 y 轴交于点 e， 可以 知道三角形 o、 d， e 是 等腰直角。三角形 o、 d 等于 o b 减 b， d 等于根号二减一， 所以 o、 e 等于根号二倍的 o、 d 等于二减根号二。下面再分析直线 n 与圆 k 撇相切时 b 的 值。 当直线 n 与圆 k 撇相切于点 f， 设直线 n 与 y 轴交于点 g， 根据题意可以知道，角 k a， k 撇等于六十度。角 k a、 o 等于四十五度， 所以角 o， a， k 撇等于角 k， a， k 撇减角 k， a、 o 等于六十度，减四十五度等于十五度。这种情况计算比较麻烦一点，但方法是比较常见的。见十五度做中垂线做 ak 撇的垂直平分线，分别交外轴 ak 撇与点 m、 n 连接 m a mk 撇，再过 k 撇做 h k 撇。垂直外轴与点 h， 所以 m a 等于 mk 撇。三角形 m a， k 撇是等幺三角形，所以角 m a， k 撇等于角 mk 撇 a 等于十五度，所以外角角 o， m、 k 撇等于十五度，加十五度等于三十度，这样就有三十度角了。 设 h k 撇等于 x， 所以 mk 撇等于根号三 x， 所以 m a 等于 mk 撇等于二 x， 所以 a h 等于 m a 加 m h 等于根号三加二倍的 x。 在 直角三角形 a h k 撇中， a k 撇平方等于 a h 方，加上 h、 k 撇方，但如数值解得 x 等于二分之根号三，减一， 所以 h， k 撇等于二分之根号三，减一。所以 o， h 等于 o， a 减 a， h 等于二分之三减根号三。下面再求点 g 坐标连接 f、 k 撇与 y 轴交于点 l， 所以 f、 k 撇垂直直线 n。 根据前面的推理可以知道，三角形 l、 f、 g 和三角形 l、 h、 k 撇是等腰直角三角形，所以 h， l 等于 h， k 撇等于二分之二三减一。 l k 撇等于根号二倍的 h， k 撇等于二分之根号六，减根号二。所以 fl 等于半径一，减去 l， k 撇等于二分之二减根号六，加根号二。所以 g， l 等于根号二倍的 f， l 等于一加根号二，减根号三。 所以 o， g 等于 g， l 加上 h， l 加上 o， h 等于二减根号三，加根号二。这也是点 g 的 纵坐标。 当直线 n 与圆 k 撇相切于点 s 时，设直线 n 与 y 轴相交于点 t， 所以 f、 k 撇 s 三点共线三角形 l、 s， t 是 等腰直角三角形， 所以 l、 s 等于一。加上 l， k 撇等于二分之二加根号六，减根号二。 所以 l、 t 等于根号二倍的 l， s 等于根号二，加根号三，减一。所以 o， t 等于 l， t 减 h， l 减去 o， h 等于根号二，加根号三，减二。因为点 t 在 x 轴下方，所以点 t 的 坐标为零，二减根号三，减根号二， 所以点 b 就 在这两个范围内。 b 大 于等于二减根号三减根号二。小于二减根号二。 b 大 于等于二减根号三，加根号二，小于二加根号二。因为圆 k 的 切线取不到，所以二减根号二和二加根号二不含等号。 这道题考察的直线与圆的位置关系题易不难理解，但是第三问的计算量有点大，这需要较强的计算能力。

快来看这道题，你需要几分钟？今天这道题是江苏一模几何压轴的最后一问。题目说，在直角三角形 a、 b、 c 中， b、 d 是 角， a、 b、 c 的 平分线， e 点是 ab 边的中点。 若 a、 f 和 c、 e 互相垂直， e、 f 的 长度是二，然后让我们求 fc 的 长度是多少？ 好，既然是要求一条线段的长度，那我们就干脆一点，直接设它的长度为 x。 由于三角形 aef 和三角形 caf 显然是相似的，所以 ef 比 af 等于 af 比 f c， 于是 af 的 长度就等于根号二 x。 而又，由于三角形 aef 和三角形 c e a 显然也是相似的，所以 e f 比 a 一 等于 a 一 比 c e。 又因为 a 一 和 b e 是 相等的，所以我们可以把这里的 a e 替换成 b e， 也就得到了 e f 比 b， e 等于 b， e 比 c e。 哎，看出问题了没有？ 根据这一个比例式，我们是不是能够判定三角形 e、 f、 b 和三角形 e、 b、 c 相似啊？ 所以角 e、 c、 b 等于角 e、 b、 f 等于二法。那这个时候，三角形 f、 b、 c 刚好是一个等腰三角形了，所以 b、 f 的 长度也是 x。 好， 那接下来 x 该怎么来求呢？ 注意了啊，这里的根号二 x 我 们还没有用呢，你们不会以为我把它写在这里是好看的吧？ 因为一点是 ab 的 中点，所以看到中点的时候，你有什么理由不去尝试一下被长中线呢？ 所以啊，我们延长 f 一， 并且令 e 机的长度等于二，然后再连接 b 机， 那如此一来，三角形 b e、 g 和三角形 a、 e、 f 就 全等了，所以 b、 g 的 长度就等于根号二 x。 角 b g 一 等于角 a f 一 等于九十度。 最后的最后，我们再对三角形 b、 g、 f 使用勾股定律就行，了解出来， x 应该等于一加根号十七，你学会了吗？

好，同学们，我们来看西乘一模的代数综合，尤其是最后的取值范围，咱们再仔细斟酌一下。首先读题，他说 x 小 于等于二， y 随 x 增大而减小，大于等于二的时候， y 随 x 增大而增大，这句话咱们也可以读出来。第一， 他的对称轴一定是等于二的，所以他问咱们 a 跟 b 的 关系，直接代入进去， x 就 等于负的二， a 分 之， b 等于二，直接算出来， b 呢等于四 a。 这个问题很简单啊，我看第二条， a 等于二， a 等于一， b 等于二，那它的图像即为 c 一， 那么 c 一 的表达式，那一定就是 y 等于 x， 方减二 x， 这时候咱们可以看出来啊，如果 x 提出来的时候是 x 减二，那它一定经过的是零。逗号二，把这函数图像给它画出来， 那这样的话，这一定就是零，这一定是二。因为一字函数 k x k 大 于零，所以说他横过零零，而且是向上的，对不对？所以咱们把它 表示出来，这样的话，咱们就表示出来 y 等于 k， x， 这个图表示出来以后呢，我们知道了他对这周 x 是 等于一的情况，这个时候他说了 过点 p， t 等号零做 x 轴的垂线交于 c 一， c 二于 i， m， n 在 哪？ m 是 不是在 c e？ 也就是说，可能比如说 t 在 这 c e， 这是 m， 上面是 n， 这种情况，因为它是不断的运动，所以 m 呢？可能在下面， m 呢？也可能在上面 门的关系，所以呢，咱们还是用式子来表一切。所以说 m 的 纵坐标呢，就是 t 逗号 t 方减二， t n 的 纵坐标呢，应该是 t 逗号 k， t 带进去，所以式子表一切，加上他们的绝对值，等于绝对值， t 方减二， t 再减 k， t 加一个绝对值，他的 t 提出来，一方减去二加 k， 括住 t， ok， 这一步其实已经成功了百分之八十了。他说了，当 负一到三之间，这个 t 的 区域范围存在最大值，这个时候咱们就得画图了啊，往右放一下。好，我们首先来看他与 x 轴的交点，把这个 t 提出来以后呢，是 t 乘一个 t 减二减 k， 这个时候咱们知道了 x 轴一个是 t 等于零，一个是 t 等于二加 k， x 轴的交点画出来了，那这个时候只有两种情况，第一种，开轴点开口 有了，对称轴有了，剩下就点了负一肯定是在零的左边，这毋庸置疑，对不对？但是三呢？对称轴是一加二分之 k， k 是 大于零的，所以这个三 绝对不能在这里边零到对称轴上，所以三一定能在对称轴的右侧，有可能在二加 k 的 左边，有可能在二加 k 的 右边。第一种，咱们要满足的情况是， 三一定是要在对称轴的右边，所以就是三大于二分之二加 k， 这里边能不能取等，同学们， 如果取等三到这了，那说明什么呀？因为它是小于三吗？所以取最大值怎么样？可能就是在这个顶点之下，它取不到最大值，所以这里边不能带等号，就得出来 k 小 于四，哎，能听懂吗？ 三一定是在对称轴的右边，而且他不等于零，因为等于零，他取不到最大值，而且他给了咱们负一到三之间，那他的最大值就不会从负一跟三之间除，最多他要等于的话，可能会出现这种情况， 如果等于的话，可能会出现最大值，从这两个数里边出的情况，我没有等于，你看负一，他一直在下降，对吧？三也是，要不然在下降，要不然可能再稍伤伤身一点，所以说最大值一定就是在对圈轴的范围内。好， 明白了啊，这是第一种情况，也就是三在对称轴的右侧看，再看第二种情况，也就是说三在二加 k 的 右边。那很明显我们能看出来，那负一到对称轴的距离， 一个是一加二分之 k 一定是二点多，对不对？那么对称轴到三的距离呢？应该是一点多，而且这个三到这以后，你看二加 k， 所以 这个三肯定是刚刚起伏一点的长度。 那这个时候咱们需要满足什么呀？也就是满足我的顶点 m， 我 的顶点最大值要比你在负一的值要怎么样？取的是要大于我的顶点的值，我的顶点的值要 比你负一这个值要大于他。这个时候来发现一下，能不能取等安全码能不能取等是可以取等，为什么呀？因为他等于这个 m n 的 值的情况下，他是大于负一的，所以他取值一定在哪？在这个顶点之下， 他永远取不到这个顶点，所以是可以等于零的，可以等于零的，所以他的外值。当 t 等于二加二分之二加 k 的 时候， m n 等于四分之二加 k 的 平方， 他那等于负一的时候， m 是 k 加三，所以是 k 加三小于等于四分之二加 k 的 平方，算出来是正负二倍的根二，咱们肯定要首负，因为 k 是 大于零的，所以中上 画出标准来说是大于等于二分之二，小于四，我们来总结一下啊，你看这道题，西城的这道代数综合题，第一个哎，字比较多，但是第一本通常比较简单啊，咱们注意分辨就可以。第二 还是咱们常用的这些东西啊。一、画出第一图，也就是说咱们得把这个图画出来，他说他说 告诉你 c 一， 告诉你 c， 二告诉你教育局 m n 了，咱们把图画出来，一目了然，对不对？第二，他说 t 在 一负一到三之间最大值 m n， 咱们得表示啊，式子表一切嘛，所以咱们把 m n 的 绝对值算出来，因为咱们 m n 不知道谁高谁低嘛。 然后还要把咱们说它的与 x 轴的交点算出来，咱为什么要提它的共因式？是不是就想算 x 轴的交点，这样才能画出来图像？好，这是第一步，第二步，第三步就是画出型函数，也就咱们刚刚说的这一步。 哎，出现函数只有你把函数化出来，因为开轴点开口方向对称轴点的坐标，开口方向算出来以后，因为你有与横坐标的交点，那对称轴是不肯定出来了。对称出来以后，一个点可能确认，另外一个点不确认，那咱们就分类情况讨论。 如果是都不确认，那咱们就是取三类情况呗，可能在轴上，可能在走轴左，可能在左右分情况讨论。三，他说一定要认真审题， t 是 什么呀？负一到三都 是不是在这个对称轴零的左边一个值在对称轴的右边，咱们应该是标上以后再去分析，因为他说存在最大值，按负一到三 都没有提到，所以这架车就只能在对称轴这，所以只有分两种情况，第一种，三档在对称轴的右侧，因为负一到对称轴是二点多，对称轴到三档，一个是一加 多少段，那肯定就是一点多，最多就一点多，所以这个三肯定是在对弦中的右侧。这个时候咱们只能说二加二分之二加 k 小 于三，不能等于三。再重申一点，不能等于三，因为等于三的话， 他取值小于三，那他的取值就不是这最大值了，而是在哪，在最大值的下边。第二种情况，也就是说这个三就在右边的，我负一到对称中还是二点多，那我这个一加二分之 k 的 对称中，三到这个一加二 k 是 不是一点多啊？也就是说 负一到对称轴的距离要比对称轴到三的距离要远，所以负一的外值就会有大。负一的外值大的情况下，那我只需要满足我的最大值顶点最大值，我要大于负一的值，是不是就都满足了？ 我比负一的外值都大，那我肯定比三的外值大喽。所以咱们把负一和对称轴的值带入进去，等号， 这里边是可以取等的。为什么呀？因为这个 t 是 大于负一，他取不到负一，所以是可以取等的啊，我就等于这个位置好不好，他取不到负一这个点，他只会在负一在下边。 ok， 最后，综上忘前提， k 大 于零，所以把负的二分之根号二舍去，最后综上获得答案。好吧，这个题还是很耐人寻味的。二二五年的中考给了咱们 最大值找范围，按二六年的海底泥摩给了咱们范围找最大值， 但是这个代数出的还是这个上代宗，还是非常有吸引力，而且题目出的也比较新，但是他最终考察的点还是在老师刚刚说的几步里边，好吧？那就讲到这里。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

哈喽，各位同学大家好啊，二零二六年西城初三一模题，原本呢，这道题我并没有打算讲，但是看到呢，给的标答以后，然后看到很多网上的一些视频啊，然后很多老师甚至也说他非常非常简单啊，然后很多同学实际在考场上也没有做出来 啊，我说题不是这么做的啊，题不是这么做的，我们这道题真正考的东西，我们该怎么做呢？我们看我们的答案是获取不了知识的。 好吧，我们各位同学认认真真的听一下这个解析，然后看看能不能对你有所这个这个帮助啊，也跟我前面一直给大家之前讲的这个录的这个模型也有关系。来，我们先来看一下这道题，三角形 a b c 中角 b， a c 等于 r 法啊，等于 r 法， ab 等于 ac cd 垂直 ab 与点 d 过点 b 做平行啊， p 是 线段上的一点啊，做角 c， a q 等于 a p， c 交射线于点 q 啊，题目读完了啊，然后呢，我们标了一下，第一问，当角 c a q 等于二阿尔法，这个阿尔法是三十六到六十度的时候，然后求这个角的度数，大家可以看一下啊，我在这给标了一下啊，标了下， 然后要求我们这个很小的角，我们不要在这等啊，我们标这个角是阿尔法把它表示出来啊，就是这个样子的啊，这个大家基本上都会做，我快速的写一下啊，就可以了啊。好吧， 那么我要讲的是第二问，他说如图二点， e 为 a p 的 终点， e 为 a p 的 终点，就是这个条件啊，用等式表示 d e 与 b q 的 关系， d e 和 b q 的 关系，并证明。 好吧，呃，我们很多老师说这道题非常简单啊，当然我也做啥，我也觉得它简单，但是你会发现好多学生没有得分，没有得分啊，我们来看，首先学生拿到这道题的时候，他的第一想法其实是什么？其实是找第一的二倍， d e 的 二倍，或者是 b q 的 一倍。为什么呢？他拿尺子一量，发现他是他的一个二倍的关系，我们来证明这个对不对，所以就找他的二倍和找他的一倍。那怎么办呢？取中点吗？不合适中位线吗？也不合适把他倍长二倍吗？也不合适，这边倍长也不合适。 所以这道题才是我认为他很难的地方，而不是像我们很多老师说他非常简单，能理解吧，各位同学能理解吧。好，我在这快速的说一下啊，我们给的标准解答其实是什么呢？他说是这样的啊，在这上面取一对啊， 这两个是相等假设，这是屁屁，然后这两个线段，哎，这是直角，他就是等腰了啊，然后啊，我这么来写啊，他是取 d p 等于 d p 撇啊，后面我就不写了，我想告诉大家的是，这样，后面能不能做了？能做，但是请问你想到了吗？ 有谁能想得到对不对啊？我们的学生脑子里装的思路，装的东西，你只要是好好的去研究我们中考的题目，你好好的学习我们的模型，你肯定不会这么去做，而实际上我们的学生，甚至我们的很多同行老师也其实不是这么做的。 好，接下来看我的方法。好吧，接下来看我的方法。来，我们重新画个图啊，已知条件，已知条件啊，已知条件是 a c 等于 ab， 这是一个等腰三角形，然后 a e 等于 pe， 然后角 c q 等于角 a p c。 我 在图中已经标好了，这是贝塔，这是贝塔啊，现在求证什么呢？ 现在求证 啊，求证什么呢？求证这个 b q 等于二 e、 d， 对吧？那我们怎么看？你二倍倍长取中点都不行，接下来怎么看？我们说怎么看呢？去看我们的条件，我们的条件是这是贝塔，这是贝塔， ab 等于 ac。 还有啊，根据我们这个跟这个是平行。好，我把它给标上去，那平行我们怎么标呢？同志们，平行我们有两种标法啊，我们有两种标法，就是标，这是 r 法啊，你还可以标标这个，这个是一百八减贝塔，当然也可以标，这是贝塔。 好，接下来你用我们的中点模型也不行，用我们的旋转模型也不行啊，还用到我们的其他的一些甚至将来讲的角平分线的模型呢，或者是我们的一些常见的一些我们学过的这个什么大小加半角的模型呢？可能都不行，对不对？那我们这我们来看一下它的条件， 有 a、 c 等于 ab， 有 这个地是 alpha， 这也是 alpha， 对 吧？还有这个地是 beta， 这个地也是 beta。 我 们此时此刻我们发现，我们发现什么呢？我们发现这么两条，两条，第一条啊，这个就是看我们题目当中的条件，我们发现的第一个，我们发现 这个阿尔法，这也是阿尔法，这个你也发现了。好，第二个，我们发现 a、 c 和 ab 是 相等的，而我们要求的 b、 q 刚好是在我们这个三角形里面，这个角是一百八十度减阿尔法，我们发现了什么呢？我们发现了 ab 这根线段，它对的是一百八十度减贝塔， 而我们的 a c 这根线段对的就是角 a p c a p c， 它就是等于贝塔， 这两个是互补的，大家能理解吧？这是相等的线段，对应的这两个角是互补的，而且还有这个角和这个角，所以我们说在这个地方，我们就说什么呢？我们就说三角形 a c p 与三角形 b b 什么呢？ b a q 啊， 满足边边角。各位同学，这就是这道题我们的思路， 这就是这道题我们的思路啊。注意啊，在这个地方有一个非常重要的是，这是贝塔，这是一百八十度减贝塔，然后他们所对的边是相等的，我们说边边角的模型是相等的，边对的角要么相等，要么是互补的，你看相等边对的是互补的， 对吧？然后另外一个这个是角阿尔法，这个角是阿尔法，他们可能能够找到对应的边，能理解吧？有可能这个边和这个边就可能是相当的，能理解吧。所以我们就来到我们边边角的做法，如果你不清楚，你看我们前面的视频，那他是怎么做的呢？各位同学，他就是这么来的啊，我在这用红笔写啊，用红笔写， 他就是找没有关系的那个角做对边的垂线。好，那这个是阿尔法，这个是一百八十斤渡劫阿尔法，没有关系的就是这个角了，这个角啊，那这个三角形里面没有关系的，那就是这个角了，这个角的垂线做好了，那就看他做，那就过 a a 做 a h 垂直 b m 于 h。 好， 我想问一下有多少同学这么做辅助线？有多少同学这么做辅助线？ 好了，接下来就不用做了，按照我们的步骤，直接按照我们的流程走下去就可以了，按照我们的流程步骤就做完了。好，我们首先我们能看到就是三角形 a h b 啊，它是全等于三角形，那就是啊， c d a 啊，这个地方是什么呢？这是一个相等的斜边，这是阿尔法，这是阿尔法，这是直角角角边。 好，所以他能得到我们的高相等，那就是什么？就是我们的 cd 等于我们的 a h 啊。当然了，在这个地方 cd 等于 a h， 还可以用别的方法啊，就是因为这两个是平行线，然后这是平行线之间的距离啊， 啊，这个是平行线之间的距离，所以你过 b z 做这个垂线，这两个垂线也是相等的，跟这个高等腰三角形两腰稍等高是相等的。一样啊，所以，但是用这个就直接不用动脑筋啊。好了，得到高相等之后，我们再去挣另外一个三角形 a h， 它是全等于 三角形，这是谁呢？ c d p， 它的理由是什么呢？就这是一百八十度角贝塔，那这个角就是贝塔了，这是贝塔直角又有高相等啊，所以它就还是角角面 啊，所以接下来我们就能够得到什么呢？我们就能够得到我们的啊，比如我们这能得到两个啊，一个是我们的 a q 啊，它是等于我们的 c p 啊，这是能得到什么呢？ d p， 它是等于我们的 h q， 就是这一段小的是相等啊，这一段小的。标一下，这一段和这一段是相等，能听懂吧？那接下来这道题马上就做出来，你看这个东西都是按照我们的步骤来写的啊，接下来我们就为什么就快速的就知道呢？呃，我们要求的这个 e、 d 对 不对？我们可以来标一下啊，我们就接下来导一下线段的计算就可以了啊， 好，我们就可以设啊， e、 d 等于 a， b， p 等于 b。 好， 我们来写一下，这个地就是我们的 a， 这个地就是我们的 b， 因为这个是终点，所以这个就是 a， a 加 b， 对 吧？ a， e 就是 a 加 b。 那 根据我们的相等的线段啊，这两个三角形是全等的，我们就可以得到什么呢？啊？就可以得到这一段线段，它就是我们的二 a 加 b， 而这个线段啊，这个线段就是我们这的 b， 那 理解哈，看到了吧？啊，所以我快速的写一下啊，在这个地方，所以我们的 a、 e 就是 a 加 b 啊，然后我们的 h， b 就 等于我们的 a， d 等于 b 啊，所以我们的这个 b 就 等于我们的二 a 等于二 d。 断了，疼了，是不是非常轻松？这就是我给大家讲的边边角模型， 就做这道题，我想告诉大家的是什么呢？就说有可能你要是没有学过我这个模型，你可能觉得这道题很难，这样做想不到，但如果你学到我的模型，你按照我给的条件，那每一步都是顺理成章，这个做高就非常轻松， 各位同学能理解吗？而不是说一道题拿来看到答案知道哦，该这么做，实际每次自己在做的过程当中都想不到，那我说明你的模型学的并不太好。好吧，这是我想给大家讲的这一道题，你看就非常轻松，非常轻松， 真的，大家，大家可以翻一下我们网上的这个视频大讲解的，我觉得可能很多他是误导我们的学生啊，讲完了之后，看到答案了之后就觉得特别简单，实际没有啊，你按照我这么做，这才是真的简单啊。 当然这道题我还是要稍微讲一下，其实我觉得标答给的不是很好，他只是给了一种大家一种做法，实际上如果你没有学这个模型，接下来也可以做，那他就是这样做。嗯，大家来看一下，那接下来我们讲的可能就是另外的一个想法了啊 啊，其实我们在讲边边角的时候，我们也讲过，用边边角的过程当中可能会遇上这么一种做法，就是我们这个边啊，它是等于我们的 ab 这个边的，对吧？然后这是贝塔，这是贝塔，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？这是一百八十度减贝塔 啊。那我们的学生可能在做的过程当中发现倍长二倍不行，找中点也不行，所以接下来怎么办呢？我们老师都讲过，你要做辅助线去构造全等，那有什么呢？有这个边等于这个边，我们一直调节， 有这个角是 alpha， 这个角是 alpha， 而我们的 b q 又是我们非常非常重要的这个线段。所以接下来有一种做法，其实是什么呢？是在 a b 上取 a f 等于 b q， 然后连 c f。 各位同学，这才是这道题，如果你说没有学我们的模型，用这种方法来做也是非常可以的，实际可能有同学这么做做出来，但是也有同学因为可能还有一些细节的处理没有把它做出来啊，接下来就是我们的这个 a c f， 它其实全等于我们的三角形谁了？就是 b a 是 理由，是边角边， 能理解吧？啊？边顶角吗？有老师讲的其实是这个，所以能够得到什么呢？我们的 b q 其实就是我们的 af， 能理解吧，所以我们要做的问题就转化成什么了呢？就是要求这 af 等于二倍的 e、 d， 就是 接下来要做的是这一件事情， 而这两个线段等于二倍的话，我们接下来其实还有一个重点啊，还有个重点是什么呢？这两个三角形全等了之后啊，我们是需要知道，是需要知道这个角和这个角是相等的，这个角和这个角是相等的啊，那就能得到这个角其实就是被它啊，啊，所以角 c f a 等于角 eq a 等于一百八十个角被它啊，所以角 c f p 等于角 c p f， 所以 d f 就 等于 dp， 同志们能理解吗？这才是我们把它做的话，你现在回过头来想一想，我们拿到这道题，谁能想到我们要把这个东西把它这边背长一下，或者这边把它延长一倍，是不是很难想的？所以接下来我们利用，利用什么呢？利用我们有一个小的结论啊， d 是 啊， d 是 什么呢？ d 是 f p 终点， 然后 e 是 a p 终点用我们在初一 v 班和 s 班和我们的讲义里面给大家讲的叫终点公式，我们马上就能推出这个 e d 啊，它就等于二分之一倍的 a f 啊，所以我们这个啊，所以我们这个最后的结论就 b p 了，它就等于二倍的 e d。 好， 讲完了，各位同学啊，这个最后这个如果不清楚的 你，你问我们吧，好不好？好吧，这就是我们讲的这道题。我觉得如果你是这么做的也很棒啊，你稍微动一点脑筋，如果你是我们这种方法做的， 那你真的是棒极了啊。如果你是这种方法做的，我不信没有人能做出来这么做。好吧，好了，今天就讲到这啊，关注我们的视频哈，后面继续学习，记得点赞关注哦。

大家好，西城一模已经考完几天了，但是因为正好赶上周末上课，所以今天才有时间把西城一模完完整整的彻底做完，然后给大家录一个关于西城二零二六年初三数学一模的试卷分析， 以及关于这套试卷，我们透过一模试卷来预测中考分析。中考我是晚上十点到凌晨一点三个小时做完的，因为确实做的时间长一点，一个是因为上完课太累了，一个是因为真的是我坐会觉得起来待会腰酸背疼的坐的我，所以，嗯， 同时还照以学生的角度来分析这份试卷，看看这份试卷到底在说什么，所以时间要比真正的考试稍微长一点。然后做完之后其实心情说实话就挺沉重的， 不知道该说什么，我就觉得特别替孩子们觉得不容易。这本试卷首先从绝对难度上，我觉得西城一模比海淀的一模难， 这是事实，两套试卷比完之后，可能少的可能同样试卷同样一个孩子做，可能差个五分，多个可能差个十分都有可能。然后这本试卷出的我觉得最大问题就是 有头重脚轻的嫌疑，我不知道你的孩子们，你的孩子在做的有没有这种感觉，就是整个在做的过程中的考场，他会有点特别的别扭，就这本试卷前面，他其实出的很多题目不是那么合适，那个难度一会我会详细的说，所以他有一点头重脚轻，我个人觉着， 嗯，但是你说这个东西他对所有人是一样的，同学们就没有人会在考试之前知道这份试卷的内容，所以他试卷出的再不好，再头重脚轻，那我们也要客观分析自己的问题，对吧？因为所有人面对的试卷同样一份试卷，所以还是要找自己的原因。首先我火线说四点 四个结论，大家一定要注意透过一模我们看到中考的本质。首先第一个就是西城的这份试卷，他还是有好的地方，他对所有知识点的考察，特别是重点的题型，第八题，第十五题，第二十七题，还有袁宗的第二十四题， 都不是简简单单的考察知识点，他都是在考二级定理，所以我之前一直在说说我们平时的学习一定要有积累，一定要复习二级定理，一定要总结二级定理，这个对于考试特别的重要，你看比如说那个第八题， 他这不正好考的是反比例函数，那个面积，面积变成梯形，你看这是不二级定理。然后你看那个元宗那个题，他同一道题出现了两次生定理，如果孩子对于生定理这道题直接秒杀了， 所以就是你有模型你就不慌，你有模型你就知道怎么去想，你有思路，所以很多知识点都是对模型进行了深刻的考察。所以二级经理就是西城走的是这条路，你一定要平时有积累，平时有二级经理，如果你死抠课本， 死学基础知识，这份阴谋你凶多吉少。所以各位同学你看一看是不是这么回事。另外最关键的，我刚才为什么说头重脚轻的问题就是第十五题， 那个第十五题在十六题之前，大家也知道本该是一个难度差不多，还比较中档或者偏容易的题，但是那个题连续考察了两个模型， 第一个就是正方形里面，如果两个边垂直，两个线段垂直，就这样垂直他肯定相等。第二个就是正方形的面积，就对角线互相垂直，四边形的面积求法，这个孩子们如果你看都是二级定律， 如果这个二级你孩子们不知道的话，首先那个两条垂直的线段相等，他不知道，他得在里来回绕绕半天，时间也耽误了，心态也毁了。 然后征刑面积，征刑面积如果你也不知道的话，那时间也耽误了，最后还是不会做，所以就是你心态，很多孩子其实头重脚轻，他没有还到后面呢，就后面其实题不是那么难， 他其实还没有到后面，他已经心态完全崩溃了，所以前面有点头重脚轻，怎么避免这个头重脚轻就是你平时的模型的积累，你模型的学习一定要有总结，这是我们从寒假班开始就给大家不断的总结，你看我反比例函数的笔记， 四边形的笔记，正方形的笔记，四边形考察，西城一模考察的所有模型我们都讲了，都是我们在上课时候讲的，真的孩子们你去看一看，所以这个模型特别重要。第二个就计算， 西城一模考的计算跟海淀如出一辙，都是在强调计算，而且西城的计算是说的是复杂场景下的复杂模型的复杂根式的计算， 你看那个二十六题啊，你看那个二十八题，那个计算我考的飞起，你看那二十四题，原宗计算考的飞起，都是大根号，大场景复杂模型的混合式的计算，所以对运算能力回归正题。 第三个就二次函数，二次函数是真正深刻考察数形，结合这个模型，我们在中考前，在一模前讲了八百遍了，就是最值增减性讨论，最大最小，然后通过自变量取值范围，但他有一个变化，他考的是什么叫最大值， 所以一定要让那个顶点突出出来，他成为最大值，所以用那个去分析最后 k 的 取值范围，或者或者 t 的 取值范围，用那个去他有一定小小的变化，所以那个题其实是最难的，是整个各个区里面那个二十六题里面西城出的最难的 最后一个就大家一定要冷静客观的分析整个中考的分值分布规则。二十八题是那么容易轻易放弃的吗？各位同学， 二十八题，二十八题，千万不要轻易放弃，说，老师，二八题我不会做，我这千万不要这样，二十八题大家认真看一看，我们经常讲新定义，我们讲瓜豆原理，虽然没有考，但是经常练过瓜豆原理的孩子，他不怕新定义的这种问法， 他会认认真真的去读第一问跟第二问，第一问，第二问，大家看加起来几分？加起来五分呢？你为什么要放掉他？ 那个五分你绝对不要犯了，很多老师讲课的时候都说心灵意，反正你们也不会，你就不能做了，放了，绝对不要这么跟孩子说，你知道那五分对于很多孩子人生意味着什么？ 真正这份试卷难的，我觉得可能不会做，没时间的，可能最后两分，他最后一问只有两分，二十八题的最后一问，大家看看分值的评判规则行吗？我们分进试卷一定要看分值的评判规则，最后一问的最最后一道题的作一问只有两分，那两分你可以放，但是那五分你认真看一看，一定要拿，特别简单。 所以以上就是我们对所有试卷的分析，一共四点，第一个不是单纯的考察知识本身，要看他的知识模型。第二个 计算计算，复杂计算。第三个二次函数形结合，重在理解本质。第四个就是一定要注意分值的整个分配的原则， 不该舍的一定不能舍，不该较劲的也不要去较劲，所以以上四点大家一定要注意。接下来我将对西城的一模的每一道题进行主体的讲解，大家看下道视频，祝大家越来越好，好好学习，天天向上，我们中考加油！