学习一次函数必会的基本知识,首先要会画一般图像, y 等于负二, x 加二,确定它与 s 轴、 y 轴的交点坐标即可。与 y 轴交点坐标就是这个正二零二 与 s 轴的交点坐标,即负的 k 分 之 b, 负的负二分之二。正一。找到一零这个点两点,确定一条直线直接连接延长, 这是二,这是一。第二要会看图像,图像这样放置, k 小 于 x 的 增大而减小,当 x 什么时, y 大 于零。 图像上 y 大 于零,即对应着 y 轴的正半轴,所以比如这个点, y 大 于零, x 在 一的左边,所以我们就可以看到,当 x 小 于一时, y 一 至大于零。当 x 大 于一时,对应的 y 一 至小于零。
粉丝1.2万获赞8.3万

我们今天来学一下一次函数。一次函数我们上个视频讲过两个了,一个 y 等于负, x 加七,一个 y 等于 x 加三,从这两个函数里我们就能够看出来, x 的 最高次数是一,所以我们把这种函数叫做一次函数。 那通过我们上节课的讲解,我们知道一次函数的图像都是一条直线,但是这两个解析式的图像是不一样的啊,负 x 加七的图像是这个样子的, x 加三的图像大约是这个样子的啊,那是虽然都是两条直线,因为解析式的不同造成了直线的不同。来我们看一下这两个解析式是因为什么不同造成的呢? 首先 y 和 y 是 一样的, x 和 x 是 不是一样的?那这两条直线之所以不同,是因为 x 的 系数和这个常数项不同造成的啊。 所以我们直线的解析式一般都写成 y 等于 k, x 加 b, 而 k 呢,不等于零, kb 呢?都是常数啊,都是常数。那这个呢,就是我们一次函数的 一般形式,其中这个 k 和 b 啊,在每一条直线里是不一样的,所以它的图像也不一样。你比如说我们看第一个解析式 k 就 等于负,一 b 就 等于七,第二个解析式 k 就 等于一, b 就 等于三 啊,就是因为每个图像的 k 和 b 的 不同,造成了这个解析式的图像这条直线的不同。那既然这个 kb 能够引起这条直线的不同,那这个 k 和 b 具体能起到什么作用呢?这就是这个视频的重点 啊,你这个视频听清楚了,那一次函数图像你就能够快速画出来了。那我们现在开始讲一下这个 k, 我 们以后给他起的名字呢,叫做斜率。 斜率哈。啊,他为什么叫斜率呢?因为他只负责这条直线的倾斜,他只负责这条直线的倾斜,所以他的名字叫斜率啊。这条直线怎么斜都是 k 说了算 啊。你比如说我们这条直线,这个 k 是 负一,哎,这条直线往下写,这个是一,这条直线往上写啊。 所以说这条直线怎么斜,斜的程度怎么样,全是有 k 说了算,那 k 是 怎么影响这条直线的呢? k 大 于零,这条直线就会,哎,从左往右看,它是一个上升的,我们叫做外随 x 的 增大而增大, 外随 x 增大而增大,你看也就 x 越大, y 就 越大,那也可以叫做呢,外随 x 减小而减小啊,也就是 x 越小,那 y 也就跟着越小了 啊。所以 k 大 于零,就是 y 随 x 增大而增大, y 随 x 减小而减小。如果我们从左往右看的话,那这个是一个上升的直线, 那 k 小 于零呢?就正好反过来啊,从左往右看呢,它是一条下降的直线,那这个呢,我们叫做 y 随 x 的 增大而减小,也就 x 越大,它反而越小。 x 越大, y 正好越小, 它也可以叫做呢 y 随 x 减小而增大啊,也就说 x 越小, y 正好反而越大,这就是 k 小 于零的图像啊。所以 k 呢,它主要就是 管这条直线如何倾斜的。 k 大 于零,那么它就是一个,从左往右看,它就是一个上升的直线。 k 小 于零,从左往右看,它就是一个下降的直线。那如果 k 都大于零,以直线也有很多种,你比如说 y 等于二, x 加三和 y 等于五, x 加三,这个时候二和五都是大于零的,那么这两条直线都是上升的,那就还有那两条直线就一样吗?也不一样哈,也不一样,你可以带一个主持带你去试一下啊, x 等于零,他们都等于三啊, x 等于一的话,那前面这个图像那两条直线,我们先把这条直线画出来啊,这就它的图像, 后面这个呢, x 等于零的话, y 还是三,那 x 等于一的话,那就是 y 就 等于八了,那这条直线就是这样的 啊,你看这两条直线,从左往右看,都是一个上升的曲线啊,都是个上坡的直线,但是因为二和五的大小不一样,那这两个坡度也是不一样的。所以我们 k 不 光管他的上坡还是下坡,他还管着坡度的大小,我们的 k 的 绝对值越大 越大,那这个坡度啊,坡度就越陡,哎,坡度就越陡啊, 哎,你看看这个五,绝对值大,所以这个坡度就更陡一些啊,更陡一些。所以说 k 只管怎么倾斜啊,只管怎么倾斜,他别的怎么都不管啊。所以我们对这个 k 再总结一下啊, k 大 于零,从左往右看,它是一个上坡。 k 小 于零,从左往右看,它是一个下坡啊, k 的 绝对值越大,这个坡度就越陡。那如果两个 k 相等呢?你比如说一条直线 y 等于 x 加一,另一条直线呢? y 等于 x 加五,那这两个 k 是 完全一样的,那既然 k 是 完全一样的,它俩的坡度就是完全一样的 啊,你是上坡,我也是个上坡,你坡度多大,我也坡度多大,那这两条直线是什么关系呢?那这两条直线就是平行关系啊,就是平行关系,因为他俩的倾斜程度完全相同啊,你可以画一下,看一下啊, x 等于零, y 等于一, x 等于二 啊,那这条这就是 y 等于 x 加一的图像,那这个 x 等于零, y 等于五, x 等于二, y 等于六 啊,这就是 x, y 等于 x 加五的图形。因为这两个斜率完全一样,所以这两个的坡坡度和形式也是完全一样,所以,那么这条直线就是平行关系啊,就是平行关系,所以说我们这个 k, 他 只管这条直线怎么倾斜,所以我们给他起的名字叫斜率啊,叫斜率。 好嘞,这样的话,我们第一个参数就讲完了 k, 那 么这个 b 你 只记住一句话就行了,叫做与外轴的交点, 和外周交在哪里, b 就 在哪里。为什么呢?因为我们上节课讲过啊,解析式的一组解,就是图像上的一组一个点,我让 x 等于零,那么 y 就 等于 b, 说明零逗号 b 就是 图像上的一个点,那么零逗号 b, 因为横坐标是零,所以这个点就在外轴上了啊,所以零, b 就是 直线和外轴的交点, 那这样的话,这个 b 永远都是和外周的焦点,你比如说这个,我们这里是七, b 是 七,那么这个和外周的焦点,这里就是七,你比如说这里是三,那么和外周的焦点这个数就是三啊,也就说只要这个 b 是 几,那么和外周的焦点就是几。你只记住这一句话, b, 你 就学会了啊,你比如说 这样啊,那么 b 就 在这了,因为这个 b 在 外周的正半轴上,所以 b 就 大于零啊, b 就 大于零, 哎,所以 b 大 于零还是等于零还是小于零,就是看看它在外轴上的焦点在正半轴上了,还是在负半轴上了。好,这就是 b 啊,相对来 k 来说, b 更简单一些啊,那知道 k 和 b 了,我,那我们的直线呢,一共就六种图形啊,我把这六种都画一下啊,一共就六种图形啊, 一共就六种图形,哎,那这一种呢,它的 k 和 b 是 正的还是负的呢?我们可以看一下啊,可以看一下, 你看,首先这个直线是从左往右看,是个上坡啊,也就 y 虽然是增大而增大,那么这个 k 就是 大于零的,因为 k 是 管怎么斜的。然后 b 的 符号就是看它和外轴的交点,哎,和外轴交在了正半轴上,所以 b 也大于零,那么这个图像就是 k 大 于零, b 大 于零的图像。 那同样道理,这个呢,往上写可以大于零,交点在零上了。 b 等于零,这个呢,往上写可以大于零,交点在负半轴上了。 b 小 于零,这个呢,往下写可以小于零,交点在正半轴上了。 b 大 于零,这个呢,往下写可以小于零,交点在零上了。 b 等于零, 这个可以往下写可以小于零,交点在负半轴上了,那么 b 等于零啊,那这样的话,六个图像的 kb 符号就都确定住了, 其中这两个我们可以特殊的关照一下啊,这两个因为 b 等于零,那么它的解析式就变成 y 等于 k x 了啊,因为加零,我们可以不写啊,不写,那这个呢,就是我们和一次函数要一块学的,叫做正比例函数, 所以正比例函数实际上是我们依次函数的一种特殊形式啊,实际上是依次函数的一种特殊形式,所以我们课本上才说正比例函数是一条过圆点的直线,它为什么过圆点?就是因为 b 等于零造成的啊?就是因为 b 等于零造成的。好嘞,这就是我们依次函数的解析式和图像之间关系,同学们听明白了吗?

上学、旅行、回家,每天陪伴我们的交通工具,其实个个都是一次函数高手,他们的出发时间和速度都可以用图像来表示。 先看公交车起步温柔,走走停停他的路程时间。图像是一条平缓上升的直线,数学上叫 k 较小,增长慢。 私家车最自由,想快就快,想省油就慢,悠悠踩油门越深, k 值越大,直线倾斜程度越小。不同的速度就是不同的 k。 接下来有请火车兄弟,同是铁轨上的奔跑者,速度却天差地别。普通火车不仅不慢,它的图像坡度中等。 再看高铁,子弹头,流线型中国骄傲,同样的时间,路程翻了好几倍。 k 值越大,直线越陡,速度越快,这就是 k 的 威力。 最后看地铁,它从上一站开来,其实位置 b 不是 零, b 是 决定图像从 y 轴哪里开始。一次函数 y 等于 k, x 加 b, k 是 速度, b 是 起点。 最后考考你,如果公交车半路坏了,它的图像会变成什么样?学完这节课,你就有答案,出发吧,数学探险家 and then i'm going to go ahead and make sure that i'm going to be able to 抖音抖音!

这个视频里,我来跟你讲讲正比例函数 y 等于 k, x 和依次函数 y 等于 k, x 加 b 这两种函数图像之间的关系。比如,咱就来看看 y 等于三 x, y 等于三 x 加一和 y 等于三 x 减一。这三函数的图像和之前一样,咱先来列个表,把表格里对应的 y 值都求出来。显然,由于 y 等于三 x, 那 这一行就是这堆 x 的 三倍,也就是负六、负三、零三和六, 而这一行是 value x 加一,也就是说,它的每个数字都比上面的大了个一,分别是负五、负二、一、四、七,那这一行当然就比这一行的都少了个一,也就分别是负七、负四、负一、二和五。表格搞定了,接下来画出坐标系,把 value x, y 等于 x 加一, y 等于 x 减一,对应的点都比较少。也就是这样,接下来用三条平滑的线连接起来,就得到它们三的图像了。现在围观一下这三条直线,很明显它们三是平行的,而且它们三分别经过零一、零零零负一这三个点。 对于这两条直线来说,上面这条的每一个点都是中间对应点向上一个单位,这说明 y 等于 x 加一这条线也就是把 y 等于 x 向上平移了一个单位。 而对于这俩直线来说,下面这条的每一个点都是把中间对应的点向下一个单位,那 y 等于 x 减一这条线也就是把 y 等于 x 向下平移了一个单位, 向下平移一个单位,这里就要减一。而向上平移一个单位,这里就要加一,不过它们的斜率并没有发生变化。总结一句话,上加下减。因此,如果把 y 等于 x 向上平移三个单位,那相应的新直线,也就是 y 等于 x 加三, 而要向下平行四个单位,那结果不就是 y 等于三 x 减四吗?而且不难看出,无论把这个直线如何上下平移,改变的都只有纵坐标,而横坐标并没有发生变化。所以说,上下平移改变的是 y。 那 如果把直线左右平移又会如何呢?来试试看这三条直线,分别是 y 等于三乘 x 加六, y 等于三乘 x 减六,不难看出,它们三依然是平行的,而且分别经过负六零零零和六零这三个点。 先来看看它们俩,从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 加六,从原点到负六零,图像向左移动了六个单位,而括号里加了个六, 而从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 减六,从原点到六零,图像向右移动了六个单位,而括号里减了个六。到此,咱也能总结一句话,左加右减。因此,如果要把 y 等于 x 向左平行三个单位,那心之间也就是 y 等于三倍的 x 加三, 而要向右平移四个单位,那结果不就是 y 等于三倍的 x 减四了吗?而且不难看出,无论把这个直线如何左右平移,改变的都只是横坐标,而纵坐标并没有发生变化。所以说左右平移改变的是 x。 ok, 总结一下,依次函数 y 等于 k, x 加 b, 其实就是由相应的正比例函数 y 等于 k, x 平移出来的,而平移的原则也就是上加下减,左加右减,其中上下平移改变的是 y, 但是无论如何,平移的时候 k 并不会发生变化。所以说 k 相同的直线都是互相平行的。呦,听懂了吧,呵呵。

这个视频我来给你讲讲一次函数与坐标轴围成的面积。比如直线 y 等于负, x 加 k 与两坐标轴所围成的三角形,面积是二,求 k 的 值。 咱先画个示意图,直线和 x 轴的交点是 a 和 y 轴的交点是 b, 那 直线与坐标轴围成的三角形就是三角形 a o b 了,要求它的面积,咱得先求点 a 和点 b 的 坐标, 那 a 在 x 轴上就是纵,坐标为零,把 y 等于零带进去,零等于负, x 加 k, x 就是 k, 所以 点 a 的 坐标就是 k 零 点 a 的 坐标有了,咱接着求点 b, b 在 外轴上,那就是横,坐标为零,把 x 等于零带进去, y 就是 k, 所以 点 b 的 坐标就是零。 k 求完 a 和 b 的 坐标,那根据面积等于二分之一被 o a 乘 o b, 那 o a 的 长度就是 k, o b 的 长也是 k, s 就是 二分之一乘 k 的 平方,它等于二,那 k 方就等于四, k 就是 正负二。哎,算到这,发现 k 可以 等于负的。想想看咱之前的做法,好像忽略了些事情。 从一开始画图的时候,图像也可以这样啊,就有多种情况,虽然两种情况求出的 ab 坐标都是 k 零与零 k, 但它们都是可正可负的。因此你要特别注意,在写线段长度的时候,一定要带上绝对值,就不用担心正负了。那后面计算面积的式子就应该是二分之一乘 k 的 绝对值的平方。 算出来虽然还是 k 等于正负二,但这时你的过程就是严谨的,自己也不会有任何疑问了。好,总结一下,求一次函数与坐标轴围成的面积,你就先求出它与坐标轴的两个焦点,再带入面积公式中计算。 而需要特别注意的是,由于坐标可正可负,所以表示线段长度的时候一定要加上绝对值。好内容都讲完了,赶紧刷题去吧!

来,今天咱们来看一道一次函数的题,来,在探求 y 等于 k, x 加 b 中 k 和 b 的 图像关系式的时候,已知点 a 三三点 p, m, n 在 第一项线内,且满足 m 加 n 等于三。若一次函数 y 等于 k, x 加 b 的图像经过 a 和 p, 给出下面四个结论,来,咱们一起看一下。当 k 小 于零的时候, y 小 于 b, 当 k 小 于二的时候, y 小 于二, k 加 b, 当 k 大 于等于三的时候, b 大 于等于负六。当 b 大 于 等于八的时候, k 小 于等于负的三分之五。上述结论正确的是由来,咱们一起来分析一下。这道题还是有难度的。首先我们需要明确一点, m 加 n 是 等于三,且 p 点 m, n 在 第一项线, 那此时我们就可以知道这个 p 的 轨迹, p 是 在这个线段上, 且不能取到这个三,那这个时候我们就有就可以知道直线的斜率了, 因为它这个直线,它 ap, 它极限的情况下是平行于 x 轴,极限的情况下平行于 y 轴。在这两者之间我们就可以知道 k 是 大于零的,那就是增函数 y 等于 k, x 加 b, 当 x 等于零的时候, y 是 等于 b, 那 现在 x 小 于零, y 自然小于 b 了。第一个是对的,来看一下第二个,当 x 等于二的时候, 那 y 呢?就等于我们的二, k 加 b, 那 x 小 于二时候, y 自然小于二, k 加 b, 这都没问题,来看一下第三个,当 k 大 于三的时候, b 大 于等于负六。来,咱们可以直接通过图上来看一下吧。 来看一下这里,当 k 等于负三的时候,按照这个情况来说的话,咱们是可以知道它的一个焦点应该是负六,对不对? 那如果说 k 大 于三,那 k 大 于三,那是这样,那它越来越小,那只能说第三个,当 k 大 于等于三的时候,我们的 b 是 小于 等于负六了,所以第三个是错误的。来看一下第四个,第四个 b 大 于等于八,那这个就不可能存在的,因为图像交于 y 等于 k, x 加 b, 它的图像交予的就是零 b, 因为咱们已经明确了是在一三下线,因为一旦 是在一三下线,那此时咱们的 b 是 小于三的,那就不可能出现 这个 b 大 于等于 r 的, 所以第四个根本就不成立。所以这题的答案是一和二,你学会了吗? 有记得点个赞,加个关注,有需要也可以转发一下,我每天都会更新的答案,有问题可以评论区随时互动,感谢您的支持!

今天我们继续理解这两个概念,什么是函数?什么是函数的值域?什么是函数的定义域?我们上节课是不是讲了呀?我们把这个西瓜怎么样放进这个榨汁机里面, 它是不是得到了西瓜汁啊?好,那我们可以把拖鞋放进去吗? 很显然,一听有点搞笑啊,是不是不能啊?为什么呀?我们把拖鞋放进去,榨汁机都坏掉了,对不对?而且我们得到的结果也不能要,那我们看一下,那函数里面也是一样的哦, 我们说我们上节课学了什么呀?依次函数 y 等于 k, x 加 b。 好, 这里面的 x 我 们看一下,可以等于零吗?可以,可以等于负一吗?可以等于负数吗?可以,可以等于正数吗?可以等于所有的正数吗?发现可以,也就是说我们什么样的数字 是不是都能放进去啊?那这里面的定义域就是全体实数,也就是我们的一个 r, 对 不对?好,但问题就来了,那你看一下,我们再这样子来呢?我们说我们把这个函数变成了 y, 等于 x 分 之六呢?就是比如说我把这个 x 放进去,用六来除以它,对不对?那得到结果就是 x 分 之六。哎,我发现这出现了什么?出现了一个分数,分数,我们说怎么样?分母不为零, 哎,既然分母不为零,那你看一下,那这个 x 能等于零吗?这个把我们把零放进去,得到结果什么呀?零分之六,这个结果有用吗?是没有用,这是和这个西瓜是一样的吗?我们不能把拖鞋放进榨汁机里面,我们就不能把零放进在分母,不 能为零,对不对?不能放在零分母作为,而不能让零作为分母,对不对?当然其实初中阶段我们一共就只学了两个怎么样不能放进去的东西,一个呢?就是怎么样?根号, 哎,根号下,根号下这一块整体啊,他要大于等于零,对吧?也就说我们把不能把一个负数放进这个根号里面,对不对?如果把负数放进根号里面,那和刚刚一样,就是把拖鞋放进榨汁机里面。你说因为我们把这个负数根号负一,我们根本不理解,也就说我们不理解他是什么意思,我们现在也没有学会 怎么样他这个含义是什么,那我们就不能去使用,就相当于我们现在根本就不会说,哎,有学会根本就没有研究出来烹饪怎么样我们拖鞋的一个办法,所以说我们这就是, 所以说我们就不能把拖鞋放进榨汁机,所以说我们就不能把负数放根号下面,那我们来看一下,这就是所谓的定义域,什么意思啊?所以说定义域的意思就是,哎,他在哪一些放什么东西进去才是有意义的, 也就是说我们的一个怎么样,有哪些东西能放进去的东西就叫定义域,那最后得到的一个值也就结果呢?就是值域,那也很好理解喽,那我们还是用这个根号 x 来确定一下,那我们放最放最多最多最少最少放多少进去呢?是不是放零进去啊?那零,那这函数最小是不是等于零啊?最大最大是不是正无穷呢?那其实这个函数它最后得到也是正无穷。 所以说你看这个值域和定义域呢?都是怎么样?零到正无穷,那我们再来举个例子,那如果这个东西变成了应用题呢?哈? 啊,比如说我们跑,我们每一每跑一一里路,我们就要用到零点二升油吧, 好,比如说零点二升油,那你看哦,好,我们大概画一个图像,那你看好,这里就是一,那就零点二,对不对?一,这个横横向肯定是里嘛?纵向是用多少升嘛?那你看一肯定就是零点二嘛, 二就是零点四嘛,那这个时候要注意一下,哎,你这个 x 可以 为负数吗?你可以跑负数的公里吗?那这个时候要注意一下。哎,你这个 x 可以 为负数的公里吗?是不是不行啊?所以说这个时候它的定义域也是我们能放大于零的东西进去啊,那 等于零可以吗?啊?是可以的哦,因为我们可以不跑嘛,车子也可以不跑,对不对?然后你看那值域就是什么呢?值域也就是说他也是大于零的,对不对?也就说都是零到正无穷哈,就是最 小是零,最大是正无穷哈,那我们看一下,这就是函数图像的值域和定义域。好,关于上节课说的什么 y 等于二,它这个是不是函数啊?它其实是函数,那我们来看一下怎么样判断是不是函数啊?一个图像它只有一个评判标准,那就是什么呢?我们来思考一下,我们如果把西瓜放进一个机器里面,那我不知道这个机器是什么机器, 但是我肯定会知道什么样。如果他是一个稳定的一个机器的话,那他肯定能得到一个结果啊,不管是变成了西瓜汁还是变成了西瓜泥还是变成了西瓜?什么?反正肯定只能得到一个结果,或者他变的都不是西瓜。哎,比如说什么意思啊? 那,那肯定是得到同样一个确定的东西,不可能得到两个东西。东西吧?你不可能是个薛定饿的猫吧?我们放进去之后,他得到两个结果,观察还是一个结果?观察又不是另外一个,肯定是不可能的。也就是说,你看我们这横坐标是 x, 纵坐标是 y 啊, 你说很多时候我把放进去对不对?那我看它对应的 y 值,它只能有一个。那你看 y 等于二的意思就是什么呀?不管把 x 是 放什么东西进去, x 不 管放哪个数字进去,它都等于二,你是什么意思啊?它这个结果和这个 x 是 无关的,对吧?它是无关的,但是它是不是函数呢?它是函数,只说它不是一次函数,因为一次函数它肯定要和 x 有 关系才叫一次函数嘛。然后它叫什么呀?它叫常函数。 函数什么意思啊?他就是不管你是放什么进去,他都等于这个叫常函数。好。哎,那我们同样的,我们来判断一下哪些是函数还是不是函数。那也很简单,我们竖着画一条线,它是函数吗?肯定不是,为什么呀?我们首先他这个 x 只能取这一个,比如这个是一多少零嘛? 那 x 肯定只能取一,但是我们把 x 等于放进去怎么样?哎,他是不是嘿得到那么多多么多结果。那肯定不行啊,我们说把一个 x 放进去,只能得到一个结果啊。那我们继续看啊,一个比较容易出错的。那就这个是函数吗? 你看哦,这么多点点函数,你不是线,这好像不是函数哎,他只是不是我们学的一函数,二三函数。那他是什么呀?他是函数,那叫点函数。为什么呀?我们一个 x 是 不是只能对应得到一个结果吗?对不对?没问题吧? 对吧?这个也是函数,只要是一个 x 只能对应一个 y, 那 他就是函数。只说这么多地方的 x 都是无意义的,不能取的,对不对?那他这也是函数,所以说我们判断函数的方式只有一种,也就是说我们再举个例子,那你看这个是函数吗?这个他就不是函数了。你看一下 我一个 x 是 不是找到两个?于是我当 x 等于这个值的时候,我可以得到两个结果。肯定不行啊,我们函数是一个机器,一个机器你把放进去,怎么可能得到两个结果?哪怕这个机器坏了,它得到也是一个坏的结果,结果肯定也是肯定的,对吧?好,所以说这就是我们的一个函数。函数是什么呢?它是处理一个数字的一个机器,就叫函数。

在前面的视频里,我已经讲过,函数图像平移的一个重要性质是上加下减。比如把 y 等于负三 x 向下平移四个单位,得到的就是 y 等于负三 x 减四。如果把 y 等于负三, x 向上平移一个单位,得到的是 y 等于负三 x 加一, 那 y 等于负三 x 减四和 y 等于负三 x 加一之间有啥关系呢?你不妨擦亮眼睛仔细来看看。从下面这个变成上面这个,小尾巴从减四变为加一,增加了五。 而 y 等于负三 x 减四的图像往上平移五个单位,也正好得到了 y 等于负三 x 加一的图像。看来,把一次函数向上平移几个单位,就是在小尾巴上加几。 反过来,从 y 等于负三 x 加一变成 y 等于负三 x 减四,小尾巴从加一变成减四,减小了五。而图像从 y 等于负三 x 加一,往下平移了五个单位,也正好可以得到 y 等于负三 x 减四。所以,如果把一次函数向下平移几个单位,就是在小尾巴上减几。 由此可见,上加下减对于一次函数的上下平移同样适用。讲完了一次函数图像平移的性质,咱一起试试这道题。如果把一次函数 y 等于二 x 减一的图像向上平移两个单位,那所得到的函数图像的解析式是多少? 根据上加下减,向上平移应该是加,所以只要在减一的后面再加二就可以了。所以最后的答案就是 y 等于二 x 加一。搞定 好,又到了总结时间,这个视频我给你讲了一次函数的上下平移,总的来说还是那四个字,上加下减。如果把一次函数 y 等于 k, x 加 b, 向上平移 m 个单位,就直接在小尾巴上加 m, 要是向下平移 m 个单位,就直接在小尾巴上减 m 怎么样?听明白了吗?明白了就赶紧刷题去吧!
![[初二数学]一次函数图象特征及变化趋势(B)](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/2726ab59191decd3cc47b6c5057a70a7~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2094703200&x-signature=ChLBB5v4fut8AiQF1b8LcSrsAGo%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260521141931868A06260AFA3FA761A5)
画一次函数 y 乘以二加三的图像描出图像。画一次函数的图像 通常用两点法对不对?这两点通常又取哪两点呢啊? 通常取一柱 标轴的角与, 也就是说与 x 轴或者 y 轴的交点。来告诉我们,大家一起来说来与 x 轴交点怎么求 link。 与 x 轴交点,点在 x 轴上,它的特特征是重目标为零对零,另外得有零了, 令它等于零得 o, x 加三等于零,所以 x 等于负二分之三,所以与 x 轴 角点取个字母 a, 括号负二分之三,逗号 坐一下 快速球 y 轴的敲点 五三 hmm 两个写出来了, 两点描上了。 先把它两点描出来,要让字母 a 把这个点描上。嗯,规范 好了啊。行, 他把这条直线画出来了。好,这条直线为把边的标一下, y 等于二, x 加三 包出来了。学会求余坐标轴的焦点坐标。好,下面回答第一个问题。图像特征, 三句话 图像特征,三句话,想一想正比例函数图像的特征,当时是不是三句话,哎, 模仿一下第一句话,与往日走九点一零三在 正半早上 以 y 轴九点零三的 y 轴正反轴上写干什么?第二,第二个特征, 经过哪些象限?先经过下面先经过哪些象限? 行 经过第一二三向前中间停顿一下,问号 好坐下。第三个图像特征, 从左往右,车身直线上去三,从左往右上升 三个图像特征,再回顾一遍,与 y 轴交点经过哪些象限?第三,从左往右是上升的还是下限下降的? 不管再次好,下面描述函数的变化趋势, 也是两句话,第一句话, 函数值 y 随着自变量 x 是 怎么变化的?自变量从左往右,自变量的曲值逐渐增大, 比如说 x 等于 four, 分 之三时,函数值是零, x 等于零时,函数值是三。 从左往右,函数值变大了。所以我们的描述是函数值 y 属于自变量 x 的 增大耳 二十八等,它上弦的吗? x 变到函数的一变的 说,这个是文字语言,还可以用符号语言,对不对?怎么说? 比如说在这上取一个点横坐标 x, 也对应重坐标 y, 这边取一个点, 横坐标 x 二,重坐标 y 二。 x 一 和 x 二哪个大? y 一 和 y 二哪个大?所以当 x 一 小于 x 二时, y 一 小雨。哇呀,清楚了吧,回来。行,先留刀来 画一次函数 y 等于负三, x 加减三的图像, 并描述图像特征, 即函数的变化, 等下面快速完成。 let's do it。 来来来来 hmm 哎 ahh。 有机提醒, y 等于负三, x 等于十五,不对吗? 了解 画图像描述图像特征和变化趋势。 边上写上函数名称。 好,原来湖北话表现优秀,当官心情舒畅。好,那么下面找人描述图像特征, 再找人描述变函数变化趋 势。先仿照,先闪亮往那里来,瞬间发现 橱窗特征。三句话,以瓦尔卓焦点位置经过哪些象棋从左往右是上升的还是下降? 认真一学就会 好,过来吧, 来过来,上一点变化趋势两条,好好仿呀,模仿啊仿,仿,一点心情都不知道。 来找回来学啊大哥。学 就那个变化趋势,根据这个函数图像是能够看得出的, 从左往右自闭量在增大,如果图像上升,说明函数值也在增大,如果图像下降,说明函数值在减小, 来,各位小朋友看一看哈!这个是基本上都是我们同学独立完成的。 特征变化趋势变化趋势是 y 随着 x 的 增大而减小, x 增大, x 增大,从左往右, x 的 增大,对不对?但是图像下降的时候呢,函数则在减小,看到吧,你往右,我往下, 所以当 x 也小于 x 啊。有函数自变量增大,函数则反而变小, 这关系不明确。好了,各位小朋友,现在看黑板,我们把这两个函数做一个归呢。这两个函数均为一次函数,但表达式稍有不同。 请看这里的 k 是 多少?来看一下 k 多少哦! k 是 二, b 呢? b 是 三。坐下,这个 k 是 正数, 这个 k 是 正数,大于零, b 也是正数。再来看这里,来把它摘一下,这个 k 多少? 负三, b 呢?也是负三,它们均为负数,好转向。 小朋友现在看好这个 k 的 正数,图像从左往右上升,这个 k 的 负数图像从左往右下降, 这个 b 的 正数跟 y 的 交点在正半轴上,这个 b 的 负数跟 y 的 交点在负半轴上。 小朋友拿我们今天一个重要任务来归纳一次函数 y 等于 k, x 加 b, k 不 等于零的图像特征 递接变化趋势函数的变化趋势。一看, 开勒符号有几种情况?两种,两种情况,开大圆领,开小圆领是开的边个符号? b 的 符号可以大于零,也可以等于零,还可以小于零,对不对?那语文老师, k 也可以等于吗?不能等于,说 b 有 三种, k 只有两种。接下来小朋友看好。 如果说 k 正数, b 正数,它的图像草图是什么样子的函数图像? 小伟,你看,我画一个草图,你看看哈,很精致的草图。 k 正数跟我有交点, 正半转身对不对?拿,小朋友,你看你看,我画的哎,跟我一直教你正半转身从左往右上升,是不是炒一个 会。完了会了哈,来,这个, 这次不要我看了,都腻了,来,玩着这个,你们在下面干嘛? 杵着看的是吧。 还有个 打 k 大 于 a, k 大 于我的前提是 k 大 于,所以它从左往右一直是上升的, 干什么啊,哎,瞅对了哈,哎,好极了。来, 下面描述图像特征, 这种情况下图像特征第一句话 与我走交点, 灵璧是不是灵璧站正反走上二经过一二三相向 三从左往右上身是不是都会说了? 都会说了哈,一二三都好,来,快点来,上来哎,你上来哈,你来写这种情况特征三个,记住啊,来, 小伙,你杵着干什么 啊?好啊,写的好啊,鬼话三次就这么简单。 第三,跟你们写啊, 我等死了哈。第三跟你们写三句话, 刚才你就写哈,你看哈,你在上面写哈, 与 y 轴交点在这个哎, 以 y 的 交点仍然是零 b, y 的 x 等于零吧,它是零 b 在 负半轴上, 它是一三。哦,不用,它有四呢,还经过四啊,对不对?它还经过四,不仅仅三,不仅仅一, 写不下来啊,我来写哈,你说我写是吧,听过哪几个相像?一三四相 从左往右上升。好,中国今天表现来,你看到没?变化趋势,函数的变化趋势, 由于这三种情况从左往右均是上升,所以它的变化趋势应该是 一模一样,所以我把这三个格子变成了一个,你理解吗?来,第一句话,你们说实际关系来,我有嘴。 x 的 增大而增大 可以吗?你们认识我的符号吗?真大真大。第二打 x 也小于 x。 二十, y 和 y 怎么说? 小于 y 这边半边我写好了啊,还有半边你们知道怎么写吧? 仿他写对不对?仿他写,仿他写就会了吧。这科你完成好不好?行, 那么小事,留刀老师放来了,小朋友,对,来了啊。已知点气换号, a b q 括号 e c。 再一次,函数 y 等于四, x 加三的图向上,且 a 小 于 b, 比较 b 于 c 的 大小。 小朋友,那你等一会哈,课后完成就会了嘛,你看表现都挺优秀,来,看好一遍,现在读一遍。 你只点屁,你只点屁。 先看 b 和 c 扮演的角色。 b 在 哪呢?在这里,这是什么?这是重坐标,点的重坐标, c 呢?也是点的重坐标,它同时还对应着函数的函数值,对不对? 对吧?现在你想比较函数值大小, c 大 一小声,他一下子出来了。来,你跟大家分享一下你怎么做的来,因为 a 小 于一, a 小 于一, a 是 自比量, e 也是自比量啊。 对啊, x 一 小于 a 小 于 c 小 于一,那么就是 y 一 小于 y, 为什么呢?因为刚才是。 为什么这个 y 等于四, k 是 正数?哦,抓住了核心要点,因为 k 等于四大于零大于零。哎呀,在这里 k 大 于零 怎么了?所以 y 随 x 的 增大而增大,对不对?承认吧, x 增大,你看六, a 小 于一,这是不是 x 啊? x 增大,所以函数值也增大。 b 小 于 c。 一节课的核心解决了一个问题,学会了吗?学会了, 然后好好的把这个表格写完整,并加强记忆。

之前你已经学过 y 等于 x 加二的函数,图像是由 y 等于 x 向上平移两个单位得到,因此直线 y 等于 x 加二,就和直线 y 等于 x 平行。 同样的, y 等于 x 减一的图像是由 y 等于 x 向下平移得到,因此这条线也平行于 y 等于 x。 其实无论是 x 加几还是减几,它们都是由 y 等于 x 平移得到,那它们就都与 y 等于 x 平行,那由平行线的传递性所有解一式为 y 等于 x 加一个数的直线就都平行。 那一般的只要两个一次函数的斜率 k 相等,他们所对应的直线就平行,而反过来,平行的两条直线相应的 k 也就一定相同。总结一下,就是平行直线 k 相同。那接下来我就给你讲讲如何利用平行直线 k 相同来求函数解析式。 比如有一个一次函数的图像与直线 y 等于负二, x 加三平行,且过点负三二求它的解析式。直线与 y 等于负二, x 加三平行,那由刚学过的平行直线 k 相同,它的解析式 y 等于 k, x 加 b 中 k 就 一定是负二。 有了 k, 那 剩下就是求 b 了。看看题,还有图像过负三二这个条件,利用它就能求 b 了。因为直线过点点的坐标就一定满足解析式。所以把 x 等于负三带进去, y 就 得等于二,由此可得,二等于负二乘负三加 b, 也就是二等于六加 b, 于是 b 就是 负四了。现在 k 和 b 就 都有了,那这个函数的解析式就是 y 等于负二, x 减四。搞定。 例子讲完了,快来跟我总结一下。在这个视频里,我就讲了一件事,平行直线 k 相同,只要你看到两直线平行,就得立马想到他们的 k 是 相同的。怎么样,听明白了吗?明白了,那就赶紧刷题去吧!

我们来看这道题,一次函数 y 等于 a, x 加上 b, c 于二次函数 y 等于 a, x 方加 b, x 加 c, 在 同一个平面直角坐标系中的图像可能是哪一个?这个时候我们就要讨论,因为它们是在同一个平面直角坐标系中, 所以我们的 a 和我们的 bc, 他 们的大小关系应该是完全相同的啊,不能起冲突是吧?那么这时候入手,从哪地方入手比较好呢?我们从依次函数去入手,可能比较好一点啊,比如我们看 a 选项, a 选项,通过这条线我们能够发现这个 a 是 大于零,而 bc 是 大于零的啊,这个同学们应该是能看得出来的,是吧?啊,我们的 a 是 大于零,而 bc 呢,是大于零的啊, 好,那么如果 a 大 于零,函数的开口朝上,这个没有问题,那么 b 乘 c 大 于零, 现在问题是什么呢?现在问题是我 b 乘 c 大 于零,但是我并不知道 b 是 大于零还是小于零的,于是怎么判断?我们可以根据这个焦点和对称轴来判断, 因为这个二次函数它的对称轴是在左边,我们知道二次函数的对称轴呢,是左同右异是吧?在左边呢,我们的 a 和 b 是 同号的,那么 a 既然大于零,所以我们通过对称轴在这里我们就能知道 b 肯定是大于零的, 那么因为 b 乘 c 大 于零,所以 c 一定是大于零的。好,那这个地方的 c 正好也是大于零的,所以 a 选项就是我们本道题的正确解答,解答答案。所以呢,我们这道题就选 a。 好, 我们先放这看看 b、 c、 d 啊,我们再看 b, 以一次函数为例啊,我们看这个一次函数,我们可以知道 a 是 小于零的, b 乘 c 呢,也是小于零的,因为它与 y 轴交于负半轴。好了,我们再看这个二次函数,这个二次函数我们能够判断出 a 是 小于零的 好,它的对称轴在这,对称轴呢,是大于零的,所以我们知道 b 呢 肯定是大于零的,因为左同右异吗?啊,在右边是异号的,这样 a 小 于零, b 大 于零,那么 b 乘 c 是 小于零,这样的话,我们就知道 c 肯定是小于零的,是吧? 而这个里面的 c 呢,它是大于零的,所以这个并不满足 b 选项就算是不满足了啊,这个同学们听懂了吗?那我们看选 c 啊, c 选项。通过一次函数,我们能够知道 a 是 大于零的, b 乘 c 呢也是大于零的,可是通过二次函数,我们发现 a 是 小于零的,所以这个就不成立了啊, c 就 不成立了,我们看 d, 通过这个我们发现一次函数中 a 是 大于零的,而 b 乘 c 也是大于零的。通过这个我们发现二次函数,这个我们发现 a 是 大于零的,它的对乘除呢是在右边,所以 b 呢是小于零的, b 小 于零的情况下,因为 b 乘 c 大 于零,所以我们 c 必定也是小于零的,可是这个地方他的 c 焦点是在外角的正半中,所以此时 c 是 大于零的,他们两个是冲突的。好吧,那么通过这个分析,我们知道这道题就选 a, 那么这种类型的题啊,主要就是从其中的一个函数入手,去讨论它相关系数的是大于零还是小于零,如果不冲突,那么这个答案就是正确的。好,本道题我们就讲到这里,谢谢大家。

好,来我们一块来看这题啊,这题,这个到后面还是挺难的啊,就这个题型啊,我不能说期末必考 啊,就考到的概率非常的高,来,我们来看一下啊,那么这个函数的图像,你可以是由 y 等于负 x 的 绝对值平移得到啊,你可以用这种平移的思想,由 y 等于负 x, y 等于负 x 的 绝对值,怎么画?这个非常简单啊,这是 y 等于负 x 的 绝对值啊,大概是这个样子。 那么平移怎么平移啊?左加右减,对,先向左平移一个单位,上加下下减,它是向上平两个单位。我简单划一下啊,左加右减,向左平移一个单位,就只看顶点就行了,向上平移两个单位,所以它大概是这么个样子, 倾斜四十五度,倾斜四十五度,你就找那个那个角啊,这个点就是那个顶点啊,先找准顶点啊,一平移完事啊。图中 m 值我们不画了,我们这个题重点的看后面啊,他说探索这个函数图像,它当什么时,这个函数图像最大值等于负一吧, 这是二了。写出该函数的性质,写一条即可。让你写函数的性质,你有哪些可写呢?哎,对称性,增减性和极值啊,写对称性啊,写该函数关于 x 等于负一对称,或者说该函数的对称轴是 x 等于负一就可以啊,这是第一说对称形,该函数关于 x 等于负一这条直线对称,对吧啊,这是写其中一条啊,对称形第二条,我们写它的极值吧,当 x 等于负一时, 该函数有最大值,最大值为二,这就是极值。第三个,我们说增减性,就是当 x 小 于等于负一时, x x 小 于负一,说的就是这个函数的这半边,这半边,那这半边的时候, y 随 x 的 增大 而增大,当 x 大 于大于负一时, y 随 x 的 增大而减小。让你写函数的性质,你知道你有哪些可写的函数什么性质啊?你可写的一个是对称性,但不是所有函数都是对称性的函数, 所以不是说每个函数你都有的写,对称性不一定有的写啊,极值,不是每个函数都有极值,最大值或最小值,有的函数没有极值啊,所以你这也不一定是可写的啊。好,那么增减性啊,增减性,也不是每个函数都有增减性啊,当然,函数还有什么性呢?周期性, 周期性的函数我们基本在初中碰不到啊,这个会了啊,关于写函数的性质,对称性、增减性和基值,找一个往上写啊,就行了啊。括号三,结合该函数图像来解决问题啊。我们先看一下,他说有两个点都在函数的图像上, 这是个难题啊,总有外一小于外二。让我们去求 m 的 取值范围啊,好歹是个填空题啊,我教你一招距离法点,这个题最好用,最快速,准确率最高的办法啊,就是追啊,他会省去你很多分类讨论的思想, 要不然的话,你非得讨论这个题麻烦。那么首先呢,你看下这个函数,这个函数大概是这个样子的啊,我们前面就画出来了,它的对称轴是 x 等于负一,这个你首先要知道,那么你心里想啊,这类似于是一个小山峰,谁离谁的横坐标离负一 越近,谁的 y 越大,谁爬的越高,也就谁的 y 越大,他已经告诉我们谁的 y 大, n 的 外大告诉我了。 n 点的外大说明 n 点的横坐标离负一更近。我们翻一下这句话, n 点的横坐标离负一更近。 m 减三 减负一的绝对值小于什么二 m 减一 减负一的绝对值。什么叫距离啊?两点之间的距离就是两点之间差的绝对值啊。这,只不过我们这个只是比较横坐标啊,和动作没有关系,我们只是比较横坐标 啊。就是谁离负一近啊, n 点离负一近,所以 n 点爬得高,那么离负一近,就是它的横坐标与负一的差的绝对值比较小。这是 n 点离 x 等于负一这条线的距离,这个距离比较小,有可能在这个位置 啊,他在这边也行啊,两边也行啊,因为你加了绝对值吗?好,你的 m 点有可能在这 a 点到负一的距离是这个长度, m 点到负一的距离就是这个长度,这个长度要小,要小于这个长度 啊。你翻译完了之后就这个,剩下的就解这个绝对值不等式,看我怎么解这个绝对值不等式啊,这是你要学的第二招。 第一招,先把这个式子先不等式先列出来,对吧?距离法,先把这个距离列出来。第二个,你得学会解它呀,列出来不管事啊。那我们先把这个式子整理一下,你会得到 m 减负一,六加一,是吧?减二的绝对值小于二 m 怎么减一个含绝对值的不等式啊? 不要再用初一的办法了,初一的办法零点 f, 对 吧?不要再用初一的办法,我们直接两边平方啊,你会 整去零点分分算法分类讨论的思想啊,你可以用零点分法去分类讨论啊,一个绝对值大于零,一个就是里边大于零,里边小于零啊,就分四种情况去讨论啊,就行了啊,这个我们不介绍这个办法了,两边直接平方,这个绝对值比这个绝对值小, 意味着 m 减二的平方一定小于二。 m 的 平方,一个数的绝对值小,它的平方之后它一定小。一个正数小,它平方之后一定小啊,所以一平方就去掉绝对值, 一平方就去掉绝对值啊,好,我们进行一项啊,你把 m 减二块的平方减去二, m 块的平方就 小于零吧,用平方差公式就行了,是吧?啊,所以你会得到三 m 减二再乘以啊,不, m 减二是吧?小于零。好,我们先把这个式子符号先去掉一个,是吧?啊?三 m 减二乘以, m 加二大于零, 先给它乘一个负一二。好,你又找到这个式子啊,这个式子,这个式子,这两个相乘。大于零,要不同正,要同负同正的话,每一个都要大于零,规定 m 要大于三分之二吧。 m 大 于三分之二就同正或者同负同负,是 m 小 于负二吧, 对吧?同正就是它也要大于零,它也要大于零,两边都要大于零,两个都大于零,是不是 m 大 于三分之二就满足了, 对吧?都小于零是吧? m 小 于负二, m 小 于负二,这是负的,这也是负的吧。 m 小 于负二也是可以到这一步了,到这一步怎么办 啊?我们画个出轴,那一个是三分之二吧,这个,这个要先等于零, m 等于三分之二,这是负二吧。你穿针引线要大于零,你看大于零什么时候大于零啊? m 要比三分之二大吧?比三分之二大或者 m 要比负二小吧。哎,大于零你就立刻就解出来了。 m 大 于三分之二或者 m 小 于负二,对吧?非常好用,是吧?用两个括号再相乘啊。大于零,用这个办法听明白了吧?啊?非常好用。


中考数学想上一百一十分,看这一步就够了。我们上节课主要是讲了三角函数相应的应用以及解答。我们这节课的话呢,主要是应评论区的要求去讲这个函数的图像与性质,主要包含了一次函数、反比例函数和二次函数。嗯,插播一句话,我最近呢有创立一个有关数理化沟通的小群,如果有学生想 加入的话呢,可以回答一个问题,答对即可加入好吗?我会在群里面经常分享一些有关做题的技巧以及方法。好了,言归正传, 函数图像与性质呢,主要是分为三种函数对不对?常考的一次函数、反比例函数和二次函数。那么三种函数里面我们怎么去分析,怎么去学习呢?主要是系统性的去学习什么?学习第一个表达式对不对?对吧?学习表达式我们要知道它最基 最基本的表达式长什么样子。那第二个呢?我们要知道什么?它的取值范围对不对?对吧?要知道表达式,要知道范围还有什么呢?还有基本的图像对不对?基本的图像还有它所在的象限增减性、对称性等等相关的问题,比如说还有坐标对不对?二次函数的坐标,或者说反比例函数,它的一个 具体的象限位置之类的,那我们就以此为基准来进行一个学习。首先,一次函数对吧?大家跟我一起回顾一下吧,一次函数的表达式呢?主要是什么? y 等于 k, x 加 b 没错吧? y 等于 k, x 加 b, 其中 k 和 b 是 未知数没错吧? k 和 b 的 未知数呢?一般是什么?它们是以常数为准,是不是前呢?后面有一个什么 k 不 等于零,没错吧?如果 k 等于零的话呢,它就不是一次函数了。 那反比例函数呢?反比例函数最基本的表达是什么呀?是不是 y 等于 x, 分 之 k 对 不对?它的这个 k 是 不是也是不能为零的,对吧?如果 k 等于零的情况下的话呢?二次。那这个说错了啊,那这个反比例函数它是不是不复存在了?没错吧?那这个二次函数的表达式呢?二次函数最基本的表达是?我们是不是有 上课讲过,是不是 y 等于 a, x 方加 b, x 加 c, 对 不对?没错吧?且这个 a 不 等于零。为什么 a 不 等于零呢?有同学问我,因为 a 它是一个二次项的一个 系数,没错吧?如果 a 等于零的情况下,那我们这样看,是不是相当于 y 等于 b, x 加 c, 对 不对?那它是不是就不是二次函数了?它是不是感觉变成了一个一次函数,没错吧?所以说二次函数的话,它的二次项系数不为零,就指的是 a 不 等于零,大家能够理解吗?能理解,对不对?对吧?那既然我们知道这个 k 的 趋值范围,以后我们是不是还要考虑这个 x 的 趋值范围对不对? x 和 y 的 趋值范围, 那对于这个一次函数而言的话呢?它的取值范围是什么?全体实数对不对?对吧?它的 x 是 不是可以取全体实数?那反比例函数呢?反比例函数 x 等于零吗?肯定不能,对,不对? x 在 分母的情况,所以说 x 不 怎么样,不能等于零是不是?那 x 不 等于零是不是说明什么? y 是 不是也不能等于零,没错吧? k 也不能等于零,对不对? 那对于二次函数而言呢?二次函数而言的话,它的 x 是 不是也是全体实数,对不对?没错吧?那这个就是它具体的一个取值范围,那我们接下来我们探讨一下这个一次函数,它不同于反比例函数和二次函数一个比较特殊的性质,叫什么性质呢?它的 k 和 b 的 实际意义,这个很重要,大家一定要理解 k 和 b 的 实际意义,我们可以根据图像来看,比如说这是一个 一次函数的一个图像,它长这个样子,对吧?这是一次函数的一个图像,这是 x, 这是 y, 这是圆点,那我们可以知道它的朝向是朝哪里的?是不是朝第一象限,对不对?没错吧?这里这个是朝第一象限,没错吧?那既然朝第一象限情况下的 k 怎么样呢? k 是 不是要大于零, 对吧? k 大 于零是不是朝向朝向第一项线没错吧?这是 y 一, 比如说这是第一个,那这个呢?是第二条好不好?这个图像呢?是 y 二,我们可以看到 k 大 于零是符合什么的?是不是符合 y 一 的情况,对不对?对吧?那如果 k 小 于零呢? k 小 于零的话,是不是这个 y 二的情况没错吧?所以说 k 的 实际以什么呢? k 决定了什么? k 决定它的倾斜方向,那根据倾斜方向, k 还取决的什么? 大家可以取两个点试一下,比如说这是一个点,对不对?这是一个点,没错吧?这个是点 a, 这个是点 b, 那 我这个点从点 a 移动到点 b 的 过程当中,你有没有发现,随着这个 x 的 不断增大,越往箭头越放越大,对不对?随着 x 不 断增大,是不是这个 b 的 y 也在不断增大,对不对? a 的 x 变成 b 的 x 变大了,对不对?那是不是 a 的 y 坐标随着这个变化,它的坐标是不是也是变化变大了,对不对?那这样子的情况下,说明什么?说明它的这个 增减性是什么样的? y 随着 x 怎么样增大而增大,是不是,对吧?那说明 x 增大的情况下,是不是 y 也增大?它的增减性是不是越来越大的一个情况,没错吧?能理解吗?所以说 k 取决于什么?取决于这个它的 倾斜方向,同时取决于它这个增减性,能理解吗?那 b 的 情况是什么呢? b 呢?相当于什么?看啊,我们研究这个 b 的 时候,我们可以这样子看,当 x 等于零的时候, y 等于什么?带入这个式子里面,是不是 y 等于零? 那可以得到什么呢?啊?对不起,写错了,是不是 y 等于 b? sorry, 写错了,那这样子的话,是不是 y 等于 b? 那 这个坐标是不是零?逗 b, 没错吧?既然这个坐标是零逗 b 的 话,是不是这个点和这个点 没错吧?是不是?那所所以我们得到什么呢? b 如果大于零的情况下,那它这个一参数跟 y 轴相交,于是不是正半轴,没错吧?那如果 b 小 于零呢?是不是相交于负半轴,对不对?所以说 k 决决定了倾斜方向,那 b 决定了 y 轴的什么?交点位置,能理解吗?交点位置是不是与 y 轴的交点位置,没错吧? 这个话是不是我们这个一次函数它的一个最基本的一个认知,大家能够理解吗?对不对?那我们总结一下, k 是 不是决定它的增减性,对不对? b 是 不是决定它与 y 轴的交点,没错吧?这个是不是就是这个一次函数它比较特殊的一个地方,大家能理解吗?能理解吧。嗯,那我们还有一个一次函数有关的一个延伸知识点,什么呢?就是这个三角形,三角形的一个面积问题,我们这里再画一个图形, 比如说这是一个函数,我们去简单一点,这是一个函数,这是 o 点,这是 a 点,这是 b 点。那我们根据上面的知识点可知, a 的 坐标是不是零到 b, 没错吧?对不对?那 b 的 坐标呢? b 的 坐标我们是不可以求一下是不是 b 的 坐标?是不可以求一下 b 的 坐标?是不是当 y 等于零的时候,然后去求 x, 对 不对?我们看一下,当 y 等于零的时候, y 等于零的时候, k 等于什么?是不是 x 等于负的 k 分 之 b 没错吧? x 是 等于负的 k 分 之 b, 当然这个 k 是 不是不不等于零,没错吧?默认条件是不是?那 b 的 坐标,我们是不是就知道了? b 的 坐标是什么?负的 k 分 之 b 都零,没错吧?对不对?那我们这个 s 三角形 aob 的 面积要怎么求呢? s 要见 aob 的 面积,是不是就是二分之一的底乘高,对不对?底是什么?是不是 b 的 什么坐标? b 的 横坐标,对不对?对不对?对吧?那我画这个图,它是不是 a 和 b 都在这个正半轴上面,对不对?对吧?那我画这个图,它是不是 a 和 b 都在这个正的,对不对?那我如果说是这样子的一个 曲线的话,那是不是这个 b 的 这个横坐标它就是负数了,对不对?所以说我们求这个面积是不是得有绝对值,没错吧?是不得有绝对值,二分之一乘以什么?负的 k 分 之 b 乘以谁?是不是乘以这个 b 对 不对?加绝对值是不是?嗯,这个时候是不是求出来一个公式,一个二级公式对不对?负的二 k 分 之 b 方 是不是?这是一个二级公式,大家能够理解吗?啊?如果说你这个数学想上一百一的话,这个二级公式的话,脑袋里得有数,能理解吗?脑袋里得有数啊,这个是我们一次函数的一个重点,这就是一次函数两个重点知识点好不好?在中考之前的话,相当于给大家复习了好吗?那我们接下来看这个反比例函数好不好?看?反比例函数啊, 对不起啊,我这个值可能有一点小,大家尽可能的勉强一下好吗?对不起啊,我们现在来看啊,我们既然研究完这个一次函数的话,我们来看这个反比例函数。反比例函数的取值范围是不是刚?我没讲过 x 不 等于零, y 是 不等于零,没错吧?嗯,那我们是不是还要看这个,嗯,它的这个 k 是 什么样的范?嗯,不是,不是,范围是它这个 k 是 什么样?意义,对不对?没错吧?就像我们刚刚一样,我们是不是研究了这个 里面两个位置是不同的意义,没错吧?那我们是不也就是 k 的 意义是不是?那反比例函数 k 的 意义代表什么大家知道吗?肯定知道,是不是,对吧?如果说 k 大 于零的情况,他是不是这样子的一个图,我画的感觉有点丑陋啊,是不是这样子一个图,没错吧?那如果 k 小 于零的话,我是不是就这样子一个情况, 能够理解,是不是,对吧?是不是这样子一个情况,没错吧?那这个是不是他的那个增减性,对不对?没错吧?那我们如何判断这个反比例函数的增减性对不对?没错吧?那我们如何判断这个反比例函数增减性呢?这个就是反比例函数增减性的一个一错区,也是经常考试我们会考的一错点。 我为什么会说一错点呢?就是呃,我们反比例函数的话,大家尽可能的结合图像去比较它的这个呃,增减性,或者说是点的大小。大家可能经常遇到什么题,就比如说给了你三个坐标对不对?告诉你这个 k 大 于零,然后呢,让你判断 这个 x 一、 x 二、 x 三,它所对应的 y 一、 y 二、 y 三的值范围或者说大小值。大家肯定做过这种题,对不对?那这种题的话,我们尽可能以画图的形式去做,为什么不能让大家直接根据这个增减性去做呢?原因很简单, 我们可以看到啊,在这个图里面,它是不是在每一个象限里面?这是一个象限,对不对?这是一个象限,它在每一个象限以内, y 都随着 x 的 增大而怎么样? y 都随着 x 的 增大而减小,是不是,对吧? y 都随着 x 的 增大而减小,这个能理解,是不是,对吧?那对于这个图像而言的话,它在每一个象限内,每一个象限内它是不是 y 都随着 x 的 增大而怎么样? y 都随着 x 的 增大,而 y 都随着 x 增大而怎么样也增大,是不是?没错吧?你看 x 不 断增大情况,它是不是 y 也增大,对不对?往这边看,是不是?这边是不是也一样,对不对?越来越逼近这个正反轴没错吧?那这样子的情况下呢?我们为什么还要说这个它的增减性是易错点呢?我们要进行一个什么样分类讨论? 为什么一定要进行分类讨论?原因很简单啊,原因很简单,我们在反比例函数当中呢, y 随着 x 大 小而变化的情况,应该分为什么呢?分为 x 大 于零和 x 小 于零两种情况去考虑。 为什么呢?不能够笼统的说成什么?当 k 小 于零的时候,挨着 y 随着嗯这个 x 的 不断增大, r 增大,我们不能说这样子的情况,为什么?原因很简单, 大家请看啊。为什么要分成这样子不同的情况,而不能说这样子的情况呢?因为二次函数它并呸说错了,因为这个反比例函数它是怎么样?它的图像是怎么样?它是断开的,大家能够理解吗?它图像是断开的, 什么叫断开的?就是它这个图像是不是永远不跟 x 轴和 y 轴相交,对不对?是从这里能够得到的,它的图像永远不跟 x 轴 y 轴相交。那这样子的情况下的话,比如说我这里有一个点 和这里的一个点,你看这是 a 点,这是 b 点,你看我们由 a 点到 b 点过程当中,是不是 x 在 不断增大,是增大,对不对?没错吧?是增大吧, y 也在增大,对不对?是不是它的 x 是 不是突然变成了正数?没错吧? y 是 不是也突然变成了正数?能够理解吗?由 a 到 b 的 一个过程当中,那我就能说这个 当 k 大 于零啊, x 增大, y 增大吗?能这么说吗?不能这么说对不对?因为我们能够明显的知道什么,比如说这是点 c, 对 不对?对吧?我能怎么说呢?当 x, 当这个 x 怎么样?它是不是这边是第一项线,对不对?当 x 大 于零的时候,哎,如果说有这个 b 点到 c 点,我们可以知道什么? x 不 断在增大,是不是外减小,对不对?是不是得到了截然不同两种答案? 能够明白我在说什么?由 a 到 b 和由 b 到 c 是 不完全截然不同的两种答案,对不对?包括由 a 到 c, 是 不是也是一样的,对不对?没错吧?并不是所有的 都是 x 增大, y 增大的一个情况,能理解吗?所以说我们不能够怎么样?不能够笼统的说,哎,当这个 k 大 于零或者小于零的时候,哎,外算 x 增大而减小和外算 x 增大而增大,我们不能这么说,能够明白吗?这样子的虚实是错误的,必须以什么样的 条件为准的?必须以 x 的 正负来作为条件。原因很简单,因为它是一个断开的图形,它不是这种连续的线段,连续的这种线条,能理解吗?它是这样子,一半一半,一半一半,这样子断开的图形,大家能够明白了吗?对吧? 那对于这个,嗯,对于这个函数而言的话,我们还有个知识点,要考什么呢?对称性,对不对?对吧?对称性,对称性,大家这个都知道,它是一个什么图形啊?它是一个关于 y 等于 x, 或者说是 y 等于负 x 乘什么乘?轴对称对不对?然后关于什么圆点乘什么中心对称, 大家这个知道哈,这个一定要知道啊。这是他的对称性好吗?这个是。嗯,反比例函数,他的另一个独特的知识点,对称性好不好?嗯,那我们现在开始讲这个第三个图形。第三个图形什么?二次函数对不对?我们现在开始讲二次函数,二次函数背的东西比较多好吗?二次函数背的东西比较多啊,他不像前面两个函数理解的东西比较多,二次函数背的东西比较多。 我为什么说二三数背的东西比较多呢?主要是涉及到它图像里面会有几个点的问题。嗯,我们刚刚讲到了它的这个,嗯,取值范围是不是也是全体实数,对不对?没错吧?那它对应的这个 a 和 b 和 c 分 别有什么样的这个实际意义呢?我们 a 决定了什么?决定开口方向对不对? a 大 于零,开口朝哪?是不是开口朝上对不对? a 小 于零, 是不是开口朝下?这个能理解,对不对?很简单,对不对?那 ab 呢? a 和 b 怎么样? a 和 b 决定了 a 和 b 共同决定了什么?共同决定了对称轴的位置, 这个大家能够理解,是不是?我前面给大家讲过,对于这个一般式而言,它对称轴是什么呀? x 等于负的二, a 分 之 b, 所以 我说 a 和 b 共同决定它对称轴的位置,能够理解。是不是这个大家考试都要背,没错吧? c 决定了什么呢?你看 c 是 不是就是当什么?当 x 等于零的时候,是不是 y 等于 c? 又说错了,对不起啊,是不是零?逗, c 对 不对?是不是相当于决定了这个 这样子的一个二次函数,这个是不是 c 点对不对?它和这个 y 轴的交点,是不是它决定了与 y 轴的交点?能理解吧? 今天说错的点比较多啊,对不起大家哈。嗯,嘴瓢了。然后我们现在来看,这个是不是就很好理解了?能够理解吧。嗯,这个是他最基本的一个特性,大家要知道啊。然后呢?我们还有一个什么?还有一个延伸知识点,什么呢?顶点坐标对不对?对吧?我们作为二次函数,它肯定是用顶点坐标的,那它顶点坐标什么呢?尽可能大家背会好不好?因为二次函数,你看这是 它对成轴对不对?是不是这个顶点?比如说顶点是 a 点好不好,对吧?这是它对成轴上没错吧?所以说 a 点的横坐标是什么?是不是负的二 a 分 之 b 没错吧?那作标是什么呢?大家尽可能记住啊。四 a 分 之四, a, c 减 b 方,这他的作标好吗?大家尽可能去记住好吗?嗯,考试时的话,偶尔可以直接用,好吧,因为这个也是书上,嗯,直接写到了知识点人。嗯,是那个,我忘了哪本书了,好像是直接写这个知识点大概就是可以直接用的,不过考试的话一般考的比较少,考这个对称轴考的比较多一点。 我们接下来来看它的增减性。增减性主要是由谁来决定的?大家看一下是不是开口方向对不对?开口方向是不是,这个也是基本知识点对吧? a 决定了增减性, a 大 于零的时候是不是这样子的对不对? a 小 于零的时候是这样子的,没错吧?那这样子的话是不是随着哎,在这个对称轴的什么?左边和右边,是不是两种截然不同的情况,对不对?在对称轴的左边,是不是 x 越大,怎么样?是不是 y 越小,是不是,对吧? 往下走的没错吧?一个是往上走的对不对?往上走的话肯定是随着 x 增大, y 也增大,对不对?所以说增减性的话,二次函数主要是看谁,看它的那个开口方向,以及它是在这个对称轴的左边还是右边,大家能够理解吗?大家要看两个,一个是什么?看 a 对 不对?看 a 大 于零还是小于零,一个是看什么?在对称轴的左边还是右边?看它的具体位置,没错吧? 这段视频可能比较长啊,希望大家能够。嗯,接受我的一个长视频好吗?短视频的话给大家讲不完,好吧, 然后接下来的话呢,我们就要看什么?看它的一个最值,这个是有关这个二次函数,它比较特殊的一个考点最值,为什么要看最值呢?因为它有顶点,所以它要看最值,能够理解吗?它有一个最低点,有一个顶点,所以就有最值。问题大家可以看到这样子的图形,是不是这个地方最低,是不是,对不对?所以说当 x 等于负二分之 b 的 时候,它这个 y 是 不是最小, 能够理解吗?什么时候 y 最小呀?是不是当 x 是 什么?在这个对称轴上时候,是不是正好是顶点的时候,对不对?最低点的时候没错吧?能理解吗?能理解,是不是正好它是负二分之 b 的 时候,它最小,对不对?那如果是这样子的话呢?是不是正好反过来,对不对?是不是就是 y 的 最大值, 没错吧?最大值的话,这个后面我就不写了好吗?是不是都是取这个对伸肘的时候没错吧?那如果说是取一部分呢?比如说我的 x 取的范围只在 a 和 b 之间,这是 a 点,这是 b 点。如果说我 x 只取 a 和 b 之间的话,那是不是要看它增减性对不对?对吧?因为这个什么?因为这个 a 的 对应的什么? x 一 到 y 一 怎么样?因为 a 对 应的这个 x 一 怎么样?它是不是大于等于零,对不对?所以说的话呢?这个 y x 增大而增大,所以说它的最小值是不是就取当 x 等于 x 一 的时候, y 一 是这个 y 的 最小值,能够理解我在说什么吗?是不是只去 a、 b 这一段的时候,可以这么理解,对不对?所以说我们要看这个二次函数的最小值的情况的话,我们一般要看什么?要看 x 的 范围,还要看什么?还要看 a, 能够理解吗?要看 x 的 范围,能理解吗?这个 y x 的 范围很重要, 它到底是在对称轴左边,还是对称轴的右边?还是说它,哎,正好这所有的这个 x 它怎么样?不限范围对不对?它就是最低步,最高点,能够理解我在说什么,能够理解吧?嗯,那最后的话,我们就是看这个二次函数它的一个增减性啊,说错了,对不起啊,它的一个对称性对不对?对称性的情况下的话,它肯定一看,是吗?它有轴对称是不是?肯定是轴对称没错吧?它有对称轴 没错吧?它的这个对称轴是不是大家也知道负二分之一?这个一定要记住啊,给大家多次强调了,明白吗?明白了,是不是?嗯,那这样子的话就是我们的一个讲解点好吗?我们今天的课程到此结束。好吧,我们建立了一个群,大家答对问题以后可以进群,我会在群里面定时分享一些学习的技巧,还有一些方法,包括一些易错题,就这样好吗?拜拜。

最近有不少家长找林老师吐槽,说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端,课本没有讲透,考试的题目却很灵活,孩子呢,是靠死记硬背记知识点的,结果呢,越学越懵。其实啊,这真不过孩子不够努力,而是他用错了方法。 今天这期视频呢,林老师将做一期盘点视频,帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点,帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了,以后这种题就是送分题。 学完之后,再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下,只要把里面的题型搞定啊,期末轻松多拿二十分。好,我们来看一下这个表格。首先,我们得认识一下,所有的一次函数都可以写成 y 等于 k, x 加 b, 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢,它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊, 那么 k 在 一次函数里面呢,又叫做斜率,它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢?就是如果当 k 是 大于零的话,它这个图像一定是往右上方走的,也就说,它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊,只要 k 大 于零,它就是往上走的。 然后呢,如果这个 k 是 小于零的啊,那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势,明白吗?所以呢,你看, k 决定了上升或者是下降,然后呢, k 还决定了它的增减,是什么意思呢?你看我们作为一个平面直角坐标系, 往这边是不是 x 在 变大呀?对不对?然后你发现这个图像它是往上走的,所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀?所以呢,我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大,这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样,咱们往右看,会发现这个 x 在 变大的时候,这个 y 呢,它在往下掉,对不对?所以这个 y 呢,它会变小, 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小,所以现在大家有感觉了吧,就是这个 k 呢,它直接决定了它的倾斜的方向,变化的趋势,还有它的增减性。那接下来我们来看一下,这个 b 又决定了什么? b 呢?在我们的一次函数里面,它有个专门的名字叫做截距,那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点,是什么意思呢?我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零,而且 b 大 于零的这个示意图,我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的,我们前面讨论过,它是往上走的,而且这个 b 呢,它是跟 y 轴的焦点啊,也就说它 b 大 于零的话,它的焦点一定就在这上面,所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图, 又要往上走,又要过这个 b 点啊,这就是它的示意图了。好,那么经过什么象限呢?你看一二三,它经过了一二三象限,你看接下来再看这个题, b 是 小于零的,那么它与 y 轴的交点呢?就小于零,也就是它交 y 轴在下面, 我们又要往上走,又要交这里,所以它的图像呢,画出来是大概这样子的,对吧?所以它交一三四象限。好,再来看下面两种情况, k 小 于零,那它就往下走的喽,对不对?然后 b 是 大于零, b 大 于零的话,与 y 轴交点在上方,所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限,再来看最后一种情况, k 小 于零 b a 小 于零,说明,首先你要往下走,而且你的焦点呢,要在下面啊,所以你只能怎么画,你只能这么画 好,那经过二三四象限,所以这就是我们全部的性质,你看,你学会了它的底层逻辑之后,根本就不需要死记硬背。 接下来,为了帮助大家理解,我再拿一道例题出来,请看这道题,若直线 y 等于 k 加 b, 经过了一二四象限,则这个直线是下列的哪个图呢? 首先呢,咱们来画图解决,它说经过一二四象限,那么一二四它的图是长这样子的,对不对?那么根据我们前面学的性质,我们可以知道它是往下走的,那么 k 就 小于零,没毛病吧?然后呢,焦点在这里,说明这个 b 怎么样? 是大于零的,是不是?好?再来看我的问题,现在的斜率变成了负 b, 然后呢,这个截距变成了负 k, 那 根据我们这里的 b 大 于零,那你的负 b 就 得干嘛?就得小于零,对不对?说明你的直线是得要 往下走的啊,往下走的,那是不是瞬间排除了这个 b, 它是往上的吗?还有这个 d 它也往上的吗?两个排除了。 再来看这个负 k, 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的,那么负 k 自然就是大于零了,所以负 k 大 于零,说明我们的这个焦点是不得在上面呢, 对不对?你看他这个焦点在下面,那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析,答案是不是轻松选出来 a 啊?所以你看,只要有了方法技巧,这种题啊,秒变送分题,你学会了吗?

那我们看这道题啊,行程问题说呀,甲骑摩托车从 a 往 b, 哎,我们给他画一下这个行驶的这个轨迹图啊,以开汽车从 b 往 a 同时出发,哎,这是甲,这是乙同时出发。然后搞清楚纵轴代表的是什么呀?代表的是甲,以两人之间的距离为 s, 横轴啊,是 t, 它代表是什么?假行驶的时间为 t 啊,注意它俩是怎么着同时出发,哎,结合这个图啊,我们先分析这个图,一开始它俩之间的距离是一百二十千米,也没出发之前,它俩之间的距离是一百二,也就是说明了 a、 b 两 d 之间的距离是一百二十千米。接下来 怎么着,距离逐渐的减小,哎,走走走走,哎,当减小为零的时候,对应的这个 t 正好是一,那就说明什么呀?它俩在一小时的时候怎么着相遇了对不对?所以说圈一出发一小时相遇啊,圈一它是正确的啊。然后我们再看一下这个圈二 出发一点五小时以比甲多行驶了六十千米啊,这个呢,不太好看啊,我们先放一下啊,然后我们接着再去观察这个图分析的图,他说的是这是一小时相遇了,对不对?那相遇之后呢, 肯定比较偏 a、 d 这边,然后继续的以接着走,甲呢,接着往 b 走,哎,然后发现什么,他俩之间距离还是逐渐的拉大,拉大,拉大,当到一点五的时候变成什么分界点了,后边再拉大的时候,他俩之间这个距离变化的这个情况是不是变得比较缓慢了?那就说明什么呀?说明在一点五的时候对不对?这个乙他已经怎么着到达这个甲地了?乙 到 a d 了啊,为什么是乙啊?因为乙开汽车,咱们常识当中是不是汽车一般要比摩托车要快呀,对不对?哎,那后边呢?就光剩下谁啊?这个甲自己单独走了,哎,最后这一段是甲啊,单独走啊,甲单独走啊,一直走到三小时的时候,这个点代表甲已经到达 b 点了啊。那么下面我们看啊,全程来看啊,甲从 a 到达 b 一 共用的是三小时,全程是一百二,对不对?那么甲的速度我们是可以给他们的,求出来的,一百二除以三等于四十 千米每小时,这是甲的速度。那接下来我们再求乙的速度,怎么求啊?可以根据前面一百二到一,这是相遇问题。相遇问题是什么?速度之和相加乘以对应的时间等于路程对不对?这样我们就能把 v 乙给他求出来,应该是八十千米每小时 速度都有了。我们看第二个,出发一点五小时时,乙比甲多行驶六十啊,那看看第二个呗,速度八十比四十千米是多多少多四, 每小时多行驶四十千米,然后出发多少?一点五小时给他乘以一个一点五,哎,得到的应该正好是六十千米,所以说第二个也是对的啊。然后我们再看第三个,第三个的话出发三小时时啊,同时到达终点,这是错的。咱刚才分析 的是什么?一点五的时候已先到达 a, 三小时的时候甲怎么到达 b 了?不是同时到达的。第三个错了啊,我们再看第四个啊,第四个说的是甲的速度,是以速度一半没问题啊,四十是八十一半,第四个也是对的,一二四选 c。

同学们好,我们看下这道题。若依次函数 y 等于括号,一减 k 倍的 x 加上二 k 减四的图像,不经过第一象限,则 k 的 取值范围是多少?首先我们要了解依次函数它的这个图像的关系啊, 我们首先了解 y 等于 k, x 加 b 啊,这个是我们的斜率,这个是我们的长竖向,我们的斜率影响的是我们的倾斜方向和倾斜角度。 然后这个 b 呢,影响的是我们图像与 y 轴的一个交点。让我们来写下这两这几种情况。我们先来了解一下这个依次函数这个图像。我们先看 k 大 于零, 我们能画出来的是三种图像,一二三这个是经过原点的, 我们都能了解这是 k 是 大于零的三种情况。然后这个是 b 大 于零的情况,因为我们这个图像,它与外周的交点是外周的正半轴,所以这里面我们这个乘数项是大于零的,中间这个图像呢是我们 b 是 等于零的,我们是经过原点的。 这第三条图像呢,是 b 小 于零的,它的与外周的交点是在外周的负半轴上,这是 k 大 于零的三种情况。然后还有 k 小 于零的三种情况也是一样的,只不过我们的倾斜方向是变了的,一 一二三也是一样。我们这个第一条图像,它与 y 轴的交点是在外轴的正半轴上,所以这在这里面 b 是 大于零的, 中间那条呢也是一样, b 是 等于零的,这条呢是 b 是 小于零的。那我们看啊,一共能画出来这六种图像。我们这要提要求的呢,是不经过第一项线,那我们能了解这个可以大于的情况下,这三条线, 三条三个图像啊,它都是要经过第一项线的,那所以这个我们就要排除掉啊。我们再看这个, 在这个三条图像里面,我们这条图像它是要经过第一象限的,而这两条呢,它都是可以 不经过第一象限的,所以这两条图像是我们符合我们这个题目要求的,那在这里面我们就可以把我们的数带进去了,只能说我们要求第一个事情是我们的 斜率是要小于零的,所以一减 k 它是小于零的,我们算出来啊,负 k 小 于负,负一 k 是 大于一的。 第二个我们这里面 b 可以 等于零, b 可以 小于零,所以呢,我们要求二 k 减四是小于等于零的,我们算出来二 k 小 于等于四, k 是 小于等于二的,所以综上我们能得到我们 k 的 取值范围应该是一小于 k 小 于等于二。那这道题呢,我们同样是一个选择题,我们是三分啊,那我们主要有很多同学可能拿不到三分的主要原因呢,就是在这个等于号上,所以根据我们这个答案,我们就拿到这个三分了,谢谢同学。