冀教版八上数学一次函数图像性质课本

我们今天来学一下一次函数。一次函数我们上个视频讲过两个了，一个 y 等于负， x 加七，一个 y 等于 x 加三，从这两个函数里我们就能够看出来， x 的 最高次数是一，所以我们把这种函数叫做一次函数。 那通过我们上节课的讲解，我们知道一次函数的图像都是一条直线，但是这两个解析式的图像是不一样的啊，负 x 加七的图像是这个样子的， x 加三的图像大约是这个样子的啊，那是虽然都是两条直线，因为解析式的不同造成了直线的不同。来我们看一下这两个解析式是因为什么不同造成的呢？ 首先 y 和 y 是 一样的， x 和 x 是 不是一样的？那这两条直线之所以不同，是因为 x 的 系数和这个常数项不同造成的啊。 所以我们直线的解析式一般都写成 y 等于 k， x 加 b， 而 k 呢，不等于零， kb 呢？都是常数啊，都是常数。那这个呢，就是我们一次函数的 一般形式，其中这个 k 和 b 啊，在每一条直线里是不一样的，所以它的图像也不一样。你比如说我们看第一个解析式 k 就 等于负，一 b 就 等于七，第二个解析式 k 就 等于一， b 就 等于三 啊，就是因为每个图像的 k 和 b 的 不同，造成了这个解析式的图像这条直线的不同。那既然这个 kb 能够引起这条直线的不同，那这个 k 和 b 具体能起到什么作用呢？这就是这个视频的重点 啊，你这个视频听清楚了，那一次函数图像你就能够快速画出来了。那我们现在开始讲一下这个 k， 我 们以后给他起的名字呢，叫做斜率。 斜率哈。啊，他为什么叫斜率呢？因为他只负责这条直线的倾斜，他只负责这条直线的倾斜，所以他的名字叫斜率啊。这条直线怎么斜都是 k 说了算 啊。你比如说我们这条直线，这个 k 是 负一，哎，这条直线往下写，这个是一，这条直线往上写啊。 所以说这条直线怎么斜，斜的程度怎么样，全是有 k 说了算，那 k 是 怎么影响这条直线的呢？ k 大 于零，这条直线就会，哎，从左往右看，它是一个上升的，我们叫做外随 x 的 增大而增大， 外随 x 增大而增大，你看也就 x 越大， y 就 越大，那也可以叫做呢，外随 x 减小而减小啊，也就是 x 越小，那 y 也就跟着越小了 啊。所以 k 大 于零，就是 y 随 x 增大而增大， y 随 x 减小而减小。如果我们从左往右看的话，那这个是一个上升的直线， 那 k 小 于零呢？就正好反过来啊，从左往右看呢，它是一条下降的直线，那这个呢，我们叫做 y 随 x 的 增大而减小，也就 x 越大，它反而越小。 x 越大， y 正好越小， 它也可以叫做呢 y 随 x 减小而增大啊，也就说 x 越小， y 正好反而越大，这就是 k 小 于零的图像啊。所以 k 呢，它主要就是 管这条直线如何倾斜的。 k 大 于零，那么它就是一个，从左往右看，它就是一个上升的直线。 k 小 于零，从左往右看，它就是一个下降的直线。那如果 k 都大于零，以直线也有很多种，你比如说 y 等于二， x 加三和 y 等于五， x 加三，这个时候二和五都是大于零的，那么这两条直线都是上升的，那就还有那两条直线就一样吗？也不一样哈，也不一样，你可以带一个主持带你去试一下啊， x 等于零，他们都等于三啊， x 等于一的话，那前面这个图像那两条直线，我们先把这条直线画出来啊，这就它的图像， 后面这个呢， x 等于零的话， y 还是三，那 x 等于一的话，那就是 y 就 等于八了，那这条直线就是这样的 啊，你看这两条直线，从左往右看，都是一个上升的曲线啊，都是个上坡的直线，但是因为二和五的大小不一样，那这两个坡度也是不一样的。所以我们 k 不 光管他的上坡还是下坡，他还管着坡度的大小，我们的 k 的 绝对值越大 越大，那这个坡度啊，坡度就越陡，哎，坡度就越陡啊， 哎，你看看这个五，绝对值大，所以这个坡度就更陡一些啊，更陡一些。所以说 k 只管怎么倾斜啊，只管怎么倾斜，他别的怎么都不管啊。所以我们对这个 k 再总结一下啊， k 大 于零，从左往右看，它是一个上坡。 k 小 于零，从左往右看，它是一个下坡啊， k 的 绝对值越大，这个坡度就越陡。那如果两个 k 相等呢？你比如说一条直线 y 等于 x 加一，另一条直线呢？ y 等于 x 加五，那这两个 k 是 完全一样的，那既然 k 是 完全一样的，它俩的坡度就是完全一样的 啊，你是上坡，我也是个上坡，你坡度多大，我也坡度多大，那这两条直线是什么关系呢？那这两条直线就是平行关系啊，就是平行关系，因为他俩的倾斜程度完全相同啊，你可以画一下，看一下啊， x 等于零， y 等于一， x 等于二 啊，那这条这就是 y 等于 x 加一的图像，那这个 x 等于零， y 等于五， x 等于二， y 等于六 啊，这就是 x， y 等于 x 加五的图形。因为这两个斜率完全一样，所以这两个的坡坡度和形式也是完全一样，所以，那么这条直线就是平行关系啊，就是平行关系，所以说我们这个 k， 他 只管这条直线怎么倾斜，所以我们给他起的名字叫斜率啊，叫斜率。 好嘞，这样的话，我们第一个参数就讲完了 k， 那 么这个 b 你 只记住一句话就行了，叫做与外轴的交点， 和外周交在哪里， b 就 在哪里。为什么呢？因为我们上节课讲过啊，解析式的一组解，就是图像上的一组一个点，我让 x 等于零，那么 y 就 等于 b， 说明零逗号 b 就是 图像上的一个点，那么零逗号 b， 因为横坐标是零，所以这个点就在外轴上了啊，所以零， b 就是 直线和外轴的交点， 那这样的话，这个 b 永远都是和外周的焦点，你比如说这个，我们这里是七， b 是 七，那么这个和外周的焦点，这里就是七，你比如说这里是三，那么和外周的焦点这个数就是三啊，也就说只要这个 b 是 几，那么和外周的焦点就是几。你只记住这一句话， b， 你 就学会了啊，你比如说 这样啊，那么 b 就 在这了，因为这个 b 在 外周的正半轴上，所以 b 就 大于零啊， b 就 大于零， 哎，所以 b 大 于零还是等于零还是小于零，就是看看它在外轴上的焦点在正半轴上了，还是在负半轴上了。好，这就是 b 啊，相对来 k 来说， b 更简单一些啊，那知道 k 和 b 了，我，那我们的直线呢，一共就六种图形啊，我把这六种都画一下啊，一共就六种图形啊， 一共就六种图形，哎，那这一种呢，它的 k 和 b 是 正的还是负的呢？我们可以看一下啊，可以看一下， 你看，首先这个直线是从左往右看，是个上坡啊，也就 y 虽然是增大而增大，那么这个 k 就是 大于零的，因为 k 是 管怎么斜的。然后 b 的 符号就是看它和外轴的交点，哎，和外轴交在了正半轴上，所以 b 也大于零，那么这个图像就是 k 大 于零， b 大 于零的图像。 那同样道理，这个呢，往上写可以大于零，交点在零上了。 b 等于零，这个呢，往上写可以大于零，交点在负半轴上了。 b 小 于零，这个呢，往下写可以小于零，交点在正半轴上了。 b 大 于零，这个呢，往下写可以小于零，交点在零上了。 b 等于零， 这个可以往下写可以小于零，交点在负半轴上了，那么 b 等于零啊，那这样的话，六个图像的 kb 符号就都确定住了， 其中这两个我们可以特殊的关照一下啊，这两个因为 b 等于零，那么它的解析式就变成 y 等于 k x 了啊，因为加零，我们可以不写啊，不写，那这个呢，就是我们和一次函数要一块学的，叫做正比例函数， 所以正比例函数实际上是我们依次函数的一种特殊形式啊，实际上是依次函数的一种特殊形式，所以我们课本上才说正比例函数是一条过圆点的直线，它为什么过圆点？就是因为 b 等于零造成的啊？就是因为 b 等于零造成的。好嘞，这就是我们依次函数的解析式和图像之间关系，同学们听明白了吗？

上学、旅行、回家，每天陪伴我们的交通工具，其实个个都是一次函数高手，他们的出发时间和速度都可以用图像来表示。 先看公交车起步温柔，走走停停他的路程时间。图像是一条平缓上升的直线，数学上叫 k 较小，增长慢。 私家车最自由，想快就快，想省油就慢，悠悠踩油门越深， k 值越大，直线倾斜程度越小。不同的速度就是不同的 k。 接下来有请火车兄弟，同是铁轨上的奔跑者，速度却天差地别。普通火车不仅不慢，它的图像坡度中等。 再看高铁，子弹头，流线型中国骄傲，同样的时间，路程翻了好几倍。 k 值越大，直线越陡，速度越快，这就是 k 的 威力。 最后看地铁，它从上一站开来，其实位置 b 不是 零， b 是 决定图像从 y 轴哪里开始。一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 是 速度， b 是 起点。 最后考考你，如果公交车半路坏了，它的图像会变成什么样？学完这节课，你就有答案，出发吧，数学探险家 and then i'm going to go ahead and make sure that i'm going to be able to 抖音抖音！

这个视频里，我来跟你讲讲正比例函数 y 等于 k， x 和依次函数 y 等于 k， x 加 b 这两种函数图像之间的关系。比如，咱就来看看 y 等于三 x， y 等于三 x 加一和 y 等于三 x 减一。这三函数的图像和之前一样，咱先来列个表，把表格里对应的 y 值都求出来。显然，由于 y 等于三 x， 那 这一行就是这堆 x 的 三倍，也就是负六、负三、零三和六， 而这一行是 value x 加一，也就是说，它的每个数字都比上面的大了个一，分别是负五、负二、一、四、七，那这一行当然就比这一行的都少了个一，也就分别是负七、负四、负一、二和五。表格搞定了，接下来画出坐标系，把 value x， y 等于 x 加一， y 等于 x 减一，对应的点都比较少。也就是这样，接下来用三条平滑的线连接起来，就得到它们三的图像了。现在围观一下这三条直线，很明显它们三是平行的，而且它们三分别经过零一、零零零负一这三个点。 对于这两条直线来说，上面这条的每一个点都是中间对应点向上一个单位，这说明 y 等于 x 加一这条线也就是把 y 等于 x 向上平移了一个单位。 而对于这俩直线来说，下面这条的每一个点都是把中间对应的点向下一个单位，那 y 等于 x 减一这条线也就是把 y 等于 x 向下平移了一个单位， 向下平移一个单位，这里就要减一。而向上平移一个单位，这里就要加一，不过它们的斜率并没有发生变化。总结一句话，上加下减。因此，如果把 y 等于 x 向上平移三个单位，那相应的新直线，也就是 y 等于 x 加三， 而要向下平行四个单位，那结果不就是 y 等于三 x 减四吗？而且不难看出，无论把这个直线如何上下平移，改变的都只有纵坐标，而横坐标并没有发生变化。所以说，上下平移改变的是 y。 那 如果把直线左右平移又会如何呢？来试试看这三条直线，分别是 y 等于三乘 x 加六， y 等于三乘 x 减六，不难看出，它们三依然是平行的，而且分别经过负六零零零和六零这三个点。 先来看看它们俩，从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 加六，从原点到负六零，图像向左移动了六个单位，而括号里加了个六， 而从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 减六，从原点到六零，图像向右移动了六个单位，而括号里减了个六。到此，咱也能总结一句话，左加右减。因此，如果要把 y 等于 x 向左平行三个单位，那心之间也就是 y 等于三倍的 x 加三， 而要向右平移四个单位，那结果不就是 y 等于三倍的 x 减四了吗？而且不难看出，无论把这个直线如何左右平移，改变的都只是横坐标，而纵坐标并没有发生变化。所以说左右平移改变的是 x。 ok， 总结一下，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 其实就是由相应的正比例函数 y 等于 k， x 平移出来的，而平移的原则也就是上加下减，左加右减，其中上下平移改变的是 y， 但是无论如何，平移的时候 k 并不会发生变化。所以说 k 相同的直线都是互相平行的。呦，听懂了吧，呵呵。

这个视频我来给你讲讲一次函数与坐标轴围成的面积。比如直线 y 等于负， x 加 k 与两坐标轴所围成的三角形，面积是二，求 k 的 值。 咱先画个示意图，直线和 x 轴的交点是 a 和 y 轴的交点是 b， 那 直线与坐标轴围成的三角形就是三角形 a o b 了，要求它的面积，咱得先求点 a 和点 b 的 坐标， 那 a 在 x 轴上就是纵，坐标为零，把 y 等于零带进去，零等于负， x 加 k， x 就是 k， 所以 点 a 的 坐标就是 k 零 点 a 的 坐标有了，咱接着求点 b， b 在 外轴上，那就是横，坐标为零，把 x 等于零带进去， y 就是 k， 所以 点 b 的 坐标就是零。 k 求完 a 和 b 的 坐标，那根据面积等于二分之一被 o a 乘 o b， 那 o a 的 长度就是 k， o b 的 长也是 k， s 就是 二分之一乘 k 的 平方，它等于二，那 k 方就等于四， k 就是 正负二。哎，算到这，发现 k 可以 等于负的。想想看咱之前的做法，好像忽略了些事情。 从一开始画图的时候，图像也可以这样啊，就有多种情况，虽然两种情况求出的 ab 坐标都是 k 零与零 k， 但它们都是可正可负的。因此你要特别注意，在写线段长度的时候，一定要带上绝对值，就不用担心正负了。那后面计算面积的式子就应该是二分之一乘 k 的 绝对值的平方。 算出来虽然还是 k 等于正负二，但这时你的过程就是严谨的，自己也不会有任何疑问了。好，总结一下，求一次函数与坐标轴围成的面积，你就先求出它与坐标轴的两个焦点，再带入面积公式中计算。 而需要特别注意的是，由于坐标可正可负，所以表示线段长度的时候一定要加上绝对值。好内容都讲完了，赶紧刷题去吧！

来，今天咱们来看一道一次函数的题，来，在探求 y 等于 k， x 加 b 中 k 和 b 的 图像关系式的时候，已知点 a 三三点 p， m， n 在 第一项线内，且满足 m 加 n 等于三。若一次函数 y 等于 k， x 加 b 的图像经过 a 和 p， 给出下面四个结论，来，咱们一起看一下。当 k 小 于零的时候， y 小 于 b， 当 k 小 于二的时候， y 小 于二， k 加 b， 当 k 大 于等于三的时候， b 大 于等于负六。当 b 大 于 等于八的时候， k 小 于等于负的三分之五。上述结论正确的是由来，咱们一起来分析一下。这道题还是有难度的。首先我们需要明确一点， m 加 n 是 等于三，且 p 点 m， n 在 第一项线， 那此时我们就可以知道这个 p 的 轨迹， p 是 在这个线段上， 且不能取到这个三，那这个时候我们就有就可以知道直线的斜率了， 因为它这个直线，它 ap， 它极限的情况下是平行于 x 轴，极限的情况下平行于 y 轴。在这两者之间我们就可以知道 k 是 大于零的，那就是增函数 y 等于 k， x 加 b， 当 x 等于零的时候， y 是 等于 b， 那 现在 x 小 于零， y 自然小于 b 了。第一个是对的，来看一下第二个，当 x 等于二的时候， 那 y 呢？就等于我们的二， k 加 b， 那 x 小 于二时候， y 自然小于二， k 加 b， 这都没问题，来看一下第三个，当 k 大 于三的时候， b 大 于等于负六。来，咱们可以直接通过图上来看一下吧。 来看一下这里，当 k 等于负三的时候，按照这个情况来说的话，咱们是可以知道它的一个焦点应该是负六，对不对？ 那如果说 k 大 于三，那 k 大 于三，那是这样，那它越来越小，那只能说第三个，当 k 大 于等于三的时候，我们的 b 是 小于 等于负六了，所以第三个是错误的。来看一下第四个，第四个 b 大 于等于八，那这个就不可能存在的，因为图像交于 y 等于 k， x 加 b， 它的图像交予的就是零 b， 因为咱们已经明确了是在一三下线，因为一旦 是在一三下线，那此时咱们的 b 是 小于三的，那就不可能出现 这个 b 大 于等于 r 的， 所以第四个根本就不成立。所以这题的答案是一和二，你学会了吗？ 有记得点个赞，加个关注，有需要也可以转发一下，我每天都会更新的答案，有问题可以评论区随时互动，感谢您的支持！

今天我们继续理解这两个概念，什么是函数？什么是函数的值域？什么是函数的定义域？我们上节课是不是讲了呀？我们把这个西瓜怎么样放进这个榨汁机里面， 它是不是得到了西瓜汁啊？好，那我们可以把拖鞋放进去吗？ 很显然，一听有点搞笑啊，是不是不能啊？为什么呀？我们把拖鞋放进去，榨汁机都坏掉了，对不对？而且我们得到的结果也不能要，那我们看一下，那函数里面也是一样的哦， 我们说我们上节课学了什么呀？依次函数 y 等于 k， x 加 b。 好， 这里面的 x 我 们看一下，可以等于零吗？可以，可以等于负一吗？可以等于负数吗？可以，可以等于正数吗？可以等于所有的正数吗？发现可以，也就是说我们什么样的数字 是不是都能放进去啊？那这里面的定义域就是全体实数，也就是我们的一个 r， 对 不对？好，但问题就来了，那你看一下，我们再这样子来呢？我们说我们把这个函数变成了 y， 等于 x 分 之六呢？就是比如说我把这个 x 放进去，用六来除以它，对不对？那得到结果就是 x 分 之六。哎，我发现这出现了什么？出现了一个分数，分数，我们说怎么样？分母不为零， 哎，既然分母不为零，那你看一下，那这个 x 能等于零吗？这个把我们把零放进去，得到结果什么呀？零分之六，这个结果有用吗？是没有用，这是和这个西瓜是一样的吗？我们不能把拖鞋放进榨汁机里面，我们就不能把零放进在分母，不 能为零，对不对？不能放在零分母作为，而不能让零作为分母，对不对？当然其实初中阶段我们一共就只学了两个怎么样不能放进去的东西，一个呢？就是怎么样？根号， 哎，根号下，根号下这一块整体啊，他要大于等于零，对吧？也就说我们把不能把一个负数放进这个根号里面，对不对？如果把负数放进根号里面，那和刚刚一样，就是把拖鞋放进榨汁机里面。你说因为我们把这个负数根号负一，我们根本不理解，也就说我们不理解他是什么意思，我们现在也没有学会 怎么样他这个含义是什么，那我们就不能去使用，就相当于我们现在根本就不会说，哎，有学会根本就没有研究出来烹饪怎么样我们拖鞋的一个办法，所以说我们这就是， 所以说我们就不能把拖鞋放进榨汁机，所以说我们就不能把负数放根号下面，那我们来看一下，这就是所谓的定义域，什么意思啊？所以说定义域的意思就是，哎，他在哪一些放什么东西进去才是有意义的， 也就是说我们的一个怎么样，有哪些东西能放进去的东西就叫定义域，那最后得到的一个值也就结果呢？就是值域，那也很好理解喽，那我们还是用这个根号 x 来确定一下，那我们放最放最多最多最少最少放多少进去呢？是不是放零进去啊？那零，那这函数最小是不是等于零啊？最大最大是不是正无穷呢？那其实这个函数它最后得到也是正无穷。 所以说你看这个值域和定义域呢？都是怎么样？零到正无穷，那我们再来举个例子，那如果这个东西变成了应用题呢？哈？ 啊，比如说我们跑，我们每一每跑一一里路，我们就要用到零点二升油吧， 好，比如说零点二升油，那你看哦，好，我们大概画一个图像，那你看好，这里就是一，那就零点二，对不对？一，这个横横向肯定是里嘛？纵向是用多少升嘛？那你看一肯定就是零点二嘛， 二就是零点四嘛，那这个时候要注意一下，哎，你这个 x 可以 为负数吗？你可以跑负数的公里吗？那这个时候要注意一下。哎，你这个 x 可以 为负数的公里吗？是不是不行啊？所以说这个时候它的定义域也是我们能放大于零的东西进去啊，那 等于零可以吗？啊？是可以的哦，因为我们可以不跑嘛，车子也可以不跑，对不对？然后你看那值域就是什么呢？值域也就是说他也是大于零的，对不对？也就说都是零到正无穷哈，就是最 小是零，最大是正无穷哈，那我们看一下，这就是函数图像的值域和定义域。好，关于上节课说的什么 y 等于二，它这个是不是函数啊？它其实是函数，那我们来看一下怎么样判断是不是函数啊？一个图像它只有一个评判标准，那就是什么呢？我们来思考一下，我们如果把西瓜放进一个机器里面，那我不知道这个机器是什么机器， 但是我肯定会知道什么样。如果他是一个稳定的一个机器的话，那他肯定能得到一个结果啊，不管是变成了西瓜汁还是变成了西瓜泥还是变成了西瓜？什么？反正肯定只能得到一个结果，或者他变的都不是西瓜。哎，比如说什么意思啊？ 那，那肯定是得到同样一个确定的东西，不可能得到两个东西。东西吧？你不可能是个薛定饿的猫吧？我们放进去之后，他得到两个结果，观察还是一个结果？观察又不是另外一个，肯定是不可能的。也就是说，你看我们这横坐标是 x， 纵坐标是 y 啊， 你说很多时候我把放进去对不对？那我看它对应的 y 值，它只能有一个。那你看 y 等于二的意思就是什么呀？不管把 x 是 放什么东西进去， x 不 管放哪个数字进去，它都等于二，你是什么意思啊？它这个结果和这个 x 是 无关的，对吧？它是无关的，但是它是不是函数呢？它是函数，只说它不是一次函数，因为一次函数它肯定要和 x 有 关系才叫一次函数嘛。然后它叫什么呀？它叫常函数。 函数什么意思啊？他就是不管你是放什么进去，他都等于这个叫常函数。好。哎，那我们同样的，我们来判断一下哪些是函数还是不是函数。那也很简单，我们竖着画一条线，它是函数吗？肯定不是，为什么呀？我们首先他这个 x 只能取这一个，比如这个是一多少零嘛？ 那 x 肯定只能取一，但是我们把 x 等于放进去怎么样？哎，他是不是嘿得到那么多多么多结果。那肯定不行啊，我们说把一个 x 放进去，只能得到一个结果啊。那我们继续看啊，一个比较容易出错的。那就这个是函数吗？ 你看哦，这么多点点函数，你不是线，这好像不是函数哎，他只是不是我们学的一函数，二三函数。那他是什么呀？他是函数，那叫点函数。为什么呀？我们一个 x 是 不是只能对应得到一个结果吗？对不对？没问题吧？ 对吧？这个也是函数，只要是一个 x 只能对应一个 y， 那 他就是函数。只说这么多地方的 x 都是无意义的，不能取的，对不对？那他这也是函数，所以说我们判断函数的方式只有一种，也就是说我们再举个例子，那你看这个是函数吗？这个他就不是函数了。你看一下 我一个 x 是 不是找到两个？于是我当 x 等于这个值的时候，我可以得到两个结果。肯定不行啊，我们函数是一个机器，一个机器你把放进去，怎么可能得到两个结果？哪怕这个机器坏了，它得到也是一个坏的结果，结果肯定也是肯定的，对吧？好，所以说这就是我们的一个函数。函数是什么呢？它是处理一个数字的一个机器，就叫函数。

在前面的视频里，我已经讲过，函数图像平移的一个重要性质是上加下减。比如把 y 等于负三 x 向下平移四个单位，得到的就是 y 等于负三 x 减四。如果把 y 等于负三， x 向上平移一个单位，得到的是 y 等于负三 x 加一， 那 y 等于负三 x 减四和 y 等于负三 x 加一之间有啥关系呢？你不妨擦亮眼睛仔细来看看。从下面这个变成上面这个，小尾巴从减四变为加一，增加了五。 而 y 等于负三 x 减四的图像往上平移五个单位，也正好得到了 y 等于负三 x 加一的图像。看来，把一次函数向上平移几个单位，就是在小尾巴上加几。 反过来，从 y 等于负三 x 加一变成 y 等于负三 x 减四，小尾巴从加一变成减四，减小了五。而图像从 y 等于负三 x 加一，往下平移了五个单位，也正好可以得到 y 等于负三 x 减四。所以，如果把一次函数向下平移几个单位，就是在小尾巴上减几。 由此可见，上加下减对于一次函数的上下平移同样适用。讲完了一次函数图像平移的性质，咱一起试试这道题。如果把一次函数 y 等于二 x 减一的图像向上平移两个单位，那所得到的函数图像的解析式是多少？ 根据上加下减，向上平移应该是加，所以只要在减一的后面再加二就可以了。所以最后的答案就是 y 等于二 x 加一。搞定 好，又到了总结时间，这个视频我给你讲了一次函数的上下平移，总的来说还是那四个字，上加下减。如果把一次函数 y 等于 k， x 加 b， 向上平移 m 个单位，就直接在小尾巴上加 m， 要是向下平移 m 个单位，就直接在小尾巴上减 m 怎么样？听明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

画一次函数 y 乘以二加三的图像描出图像。画一次函数的图像 通常用两点法对不对？这两点通常又取哪两点呢啊？ 通常取一柱 标轴的角与， 也就是说与 x 轴或者 y 轴的交点。来告诉我们，大家一起来说来与 x 轴交点怎么求 link。 与 x 轴交点，点在 x 轴上，它的特特征是重目标为零对零，另外得有零了， 令它等于零得 o， x 加三等于零，所以 x 等于负二分之三，所以与 x 轴 角点取个字母 a， 括号负二分之三，逗号 坐一下 快速球 y 轴的敲点 五三 hmm 两个写出来了， 两点描上了。 先把它两点描出来，要让字母 a 把这个点描上。嗯，规范 好了啊。行， 他把这条直线画出来了。好，这条直线为把边的标一下， y 等于二， x 加三 包出来了。学会求余坐标轴的焦点坐标。好，下面回答第一个问题。图像特征， 三句话 图像特征，三句话，想一想正比例函数图像的特征，当时是不是三句话，哎， 模仿一下第一句话，与往日走九点一零三在 正半早上 以 y 轴九点零三的 y 轴正反轴上写干什么？第二，第二个特征， 经过哪些象限？先经过下面先经过哪些象限？ 行 经过第一二三向前中间停顿一下，问号 好坐下。第三个图像特征， 从左往右，车身直线上去三，从左往右上升 三个图像特征，再回顾一遍，与 y 轴交点经过哪些象限？第三，从左往右是上升的还是下限下降的？ 不管再次好，下面描述函数的变化趋势， 也是两句话，第一句话， 函数值 y 随着自变量 x 是 怎么变化的？自变量从左往右，自变量的曲值逐渐增大， 比如说 x 等于 four， 分 之三时，函数值是零， x 等于零时，函数值是三。 从左往右，函数值变大了。所以我们的描述是函数值 y 属于自变量 x 的 增大耳 二十八等，它上弦的吗？ x 变到函数的一变的 说，这个是文字语言，还可以用符号语言，对不对？怎么说？ 比如说在这上取一个点横坐标 x， 也对应重坐标 y， 这边取一个点， 横坐标 x 二，重坐标 y 二。 x 一 和 x 二哪个大？ y 一 和 y 二哪个大？所以当 x 一 小于 x 二时， y 一 小雨。哇呀，清楚了吧，回来。行，先留刀来 画一次函数 y 等于负三， x 加减三的图像， 并描述图像特征， 即函数的变化， 等下面快速完成。 let's do it。 来来来来 hmm 哎 ahh。 有机提醒， y 等于负三， x 等于十五，不对吗？ 了解 画图像描述图像特征和变化趋势。 边上写上函数名称。 好，原来湖北话表现优秀，当官心情舒畅。好，那么下面找人描述图像特征， 再找人描述变函数变化趋 势。先仿照，先闪亮往那里来，瞬间发现 橱窗特征。三句话，以瓦尔卓焦点位置经过哪些象棋从左往右是上升的还是下降？ 认真一学就会 好，过来吧， 来过来，上一点变化趋势两条，好好仿呀，模仿啊仿，仿，一点心情都不知道。 来找回来学啊大哥。学 就那个变化趋势，根据这个函数图像是能够看得出的， 从左往右自闭量在增大，如果图像上升，说明函数值也在增大，如果图像下降，说明函数值在减小， 来，各位小朋友看一看哈！这个是基本上都是我们同学独立完成的。 特征变化趋势变化趋势是 y 随着 x 的 增大而减小， x 增大， x 增大，从左往右， x 的 增大，对不对？但是图像下降的时候呢，函数则在减小，看到吧，你往右，我往下， 所以当 x 也小于 x 啊。有函数自变量增大，函数则反而变小， 这关系不明确。好了，各位小朋友，现在看黑板，我们把这两个函数做一个归呢。这两个函数均为一次函数，但表达式稍有不同。 请看这里的 k 是 多少？来看一下 k 多少哦！ k 是 二， b 呢？ b 是 三。坐下，这个 k 是 正数， 这个 k 是 正数，大于零， b 也是正数。再来看这里，来把它摘一下，这个 k 多少？ 负三， b 呢？也是负三，它们均为负数，好转向。 小朋友现在看好这个 k 的 正数，图像从左往右上升，这个 k 的 负数图像从左往右下降， 这个 b 的 正数跟 y 的 交点在正半轴上，这个 b 的 负数跟 y 的 交点在负半轴上。 小朋友拿我们今天一个重要任务来归纳一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像特征 递接变化趋势函数的变化趋势。一看， 开勒符号有几种情况？两种，两种情况，开大圆领，开小圆领是开的边个符号？ b 的 符号可以大于零，也可以等于零，还可以小于零，对不对？那语文老师， k 也可以等于吗？不能等于，说 b 有 三种， k 只有两种。接下来小朋友看好。 如果说 k 正数， b 正数，它的图像草图是什么样子的函数图像？ 小伟，你看，我画一个草图，你看看哈，很精致的草图。 k 正数跟我有交点， 正半转身对不对？拿，小朋友，你看你看，我画的哎，跟我一直教你正半转身从左往右上升，是不是炒一个 会。完了会了哈，来，这个， 这次不要我看了，都腻了，来，玩着这个，你们在下面干嘛？ 杵着看的是吧。 还有个 打 k 大 于 a， k 大 于我的前提是 k 大 于，所以它从左往右一直是上升的， 干什么啊，哎，瞅对了哈，哎，好极了。来， 下面描述图像特征， 这种情况下图像特征第一句话 与我走交点， 灵璧是不是灵璧站正反走上二经过一二三相向 三从左往右上身是不是都会说了？ 都会说了哈，一二三都好，来，快点来，上来哎，你上来哈，你来写这种情况特征三个，记住啊，来， 小伙，你杵着干什么 啊？好啊，写的好啊，鬼话三次就这么简单。 第三，跟你们写啊， 我等死了哈。第三跟你们写三句话， 刚才你就写哈，你看哈，你在上面写哈， 与 y 轴交点在这个哎， 以 y 的 交点仍然是零 b， y 的 x 等于零吧，它是零 b 在 负半轴上， 它是一三。哦，不用，它有四呢，还经过四啊，对不对？它还经过四，不仅仅三，不仅仅一， 写不下来啊，我来写哈，你说我写是吧，听过哪几个相像？一三四相 从左往右上升。好，中国今天表现来，你看到没？变化趋势，函数的变化趋势， 由于这三种情况从左往右均是上升，所以它的变化趋势应该是 一模一样，所以我把这三个格子变成了一个，你理解吗？来，第一句话，你们说实际关系来，我有嘴。 x 的 增大而增大 可以吗？你们认识我的符号吗？真大真大。第二打 x 也小于 x。 二十， y 和 y 怎么说？ 小于 y 这边半边我写好了啊，还有半边你们知道怎么写吧？ 仿他写对不对？仿他写，仿他写就会了吧。这科你完成好不好？行， 那么小事，留刀老师放来了，小朋友，对，来了啊。已知点气换号， a b q 括号 e c。 再一次，函数 y 等于四， x 加三的图向上，且 a 小 于 b， 比较 b 于 c 的 大小。 小朋友，那你等一会哈，课后完成就会了嘛，你看表现都挺优秀，来，看好一遍，现在读一遍。 你只点屁，你只点屁。 先看 b 和 c 扮演的角色。 b 在 哪呢？在这里，这是什么？这是重坐标，点的重坐标， c 呢？也是点的重坐标，它同时还对应着函数的函数值，对不对？ 对吧？现在你想比较函数值大小， c 大 一小声，他一下子出来了。来，你跟大家分享一下你怎么做的来，因为 a 小 于一， a 小 于一， a 是 自比量， e 也是自比量啊。 对啊， x 一 小于 a 小 于 c 小 于一，那么就是 y 一 小于 y， 为什么呢？因为刚才是。 为什么这个 y 等于四， k 是 正数？哦，抓住了核心要点，因为 k 等于四大于零大于零。哎呀，在这里 k 大 于零 怎么了？所以 y 随 x 的 增大而增大，对不对？承认吧， x 增大，你看六， a 小 于一，这是不是 x 啊？ x 增大，所以函数值也增大。 b 小 于 c。 一节课的核心解决了一个问题，学会了吗？学会了， 然后好好的把这个表格写完整，并加强记忆。

之前你已经学过 y 等于 x 加二的函数，图像是由 y 等于 x 向上平移两个单位得到，因此直线 y 等于 x 加二，就和直线 y 等于 x 平行。 同样的， y 等于 x 减一的图像是由 y 等于 x 向下平移得到，因此这条线也平行于 y 等于 x。 其实无论是 x 加几还是减几，它们都是由 y 等于 x 平移得到，那它们就都与 y 等于 x 平行，那由平行线的传递性所有解一式为 y 等于 x 加一个数的直线就都平行。 那一般的只要两个一次函数的斜率 k 相等，他们所对应的直线就平行，而反过来，平行的两条直线相应的 k 也就一定相同。总结一下，就是平行直线 k 相同。那接下来我就给你讲讲如何利用平行直线 k 相同来求函数解析式。 比如有一个一次函数的图像与直线 y 等于负二， x 加三平行，且过点负三二求它的解析式。直线与 y 等于负二， x 加三平行，那由刚学过的平行直线 k 相同，它的解析式 y 等于 k， x 加 b 中 k 就 一定是负二。 有了 k， 那 剩下就是求 b 了。看看题，还有图像过负三二这个条件，利用它就能求 b 了。因为直线过点点的坐标就一定满足解析式。所以把 x 等于负三带进去， y 就 得等于二，由此可得，二等于负二乘负三加 b， 也就是二等于六加 b， 于是 b 就是 负四了。现在 k 和 b 就 都有了，那这个函数的解析式就是 y 等于负二， x 减四。搞定。 例子讲完了，快来跟我总结一下。在这个视频里，我就讲了一件事，平行直线 k 相同，只要你看到两直线平行，就得立马想到他们的 k 是 相同的。怎么样，听明白了吗？明白了，那就赶紧刷题去吧！

我们来看这道题，一次函数 y 等于 a， x 加上 b， c 于二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 在 同一个平面直角坐标系中的图像可能是哪一个？这个时候我们就要讨论，因为它们是在同一个平面直角坐标系中， 所以我们的 a 和我们的 bc， 他 们的大小关系应该是完全相同的啊，不能起冲突是吧？那么这时候入手，从哪地方入手比较好呢？我们从依次函数去入手，可能比较好一点啊，比如我们看 a 选项， a 选项，通过这条线我们能够发现这个 a 是 大于零，而 bc 是 大于零的啊，这个同学们应该是能看得出来的，是吧？啊，我们的 a 是 大于零，而 bc 呢，是大于零的啊， 好，那么如果 a 大 于零，函数的开口朝上，这个没有问题，那么 b 乘 c 大 于零， 现在问题是什么呢？现在问题是我 b 乘 c 大 于零，但是我并不知道 b 是 大于零还是小于零的，于是怎么判断？我们可以根据这个焦点和对称轴来判断， 因为这个二次函数它的对称轴是在左边，我们知道二次函数的对称轴呢，是左同右异是吧？在左边呢，我们的 a 和 b 是 同号的，那么 a 既然大于零，所以我们通过对称轴在这里我们就能知道 b 肯定是大于零的， 那么因为 b 乘 c 大 于零，所以 c 一定是大于零的。好，那这个地方的 c 正好也是大于零的，所以 a 选项就是我们本道题的正确解答，解答答案。所以呢，我们这道题就选 a。 好， 我们先放这看看 b、 c、 d 啊，我们再看 b， 以一次函数为例啊，我们看这个一次函数，我们可以知道 a 是 小于零的， b 乘 c 呢，也是小于零的，因为它与 y 轴交于负半轴。好了，我们再看这个二次函数，这个二次函数我们能够判断出 a 是 小于零的 好，它的对称轴在这，对称轴呢，是大于零的，所以我们知道 b 呢 肯定是大于零的，因为左同右异吗？啊，在右边是异号的，这样 a 小 于零， b 大 于零，那么 b 乘 c 是 小于零，这样的话，我们就知道 c 肯定是小于零的，是吧？ 而这个里面的 c 呢，它是大于零的，所以这个并不满足 b 选项就算是不满足了啊，这个同学们听懂了吗？那我们看选 c 啊， c 选项。通过一次函数，我们能够知道 a 是 大于零的， b 乘 c 呢也是大于零的，可是通过二次函数，我们发现 a 是 小于零的，所以这个就不成立了啊， c 就 不成立了，我们看 d， 通过这个我们发现一次函数中 a 是 大于零的，而 b 乘 c 也是大于零的。通过这个我们发现二次函数，这个我们发现 a 是 大于零的，它的对乘除呢是在右边，所以 b 呢是小于零的， b 小 于零的情况下，因为 b 乘 c 大 于零，所以我们 c 必定也是小于零的，可是这个地方他的 c 焦点是在外角的正半中，所以此时 c 是 大于零的，他们两个是冲突的。好吧，那么通过这个分析，我们知道这道题就选 a， 那么这种类型的题啊，主要就是从其中的一个函数入手，去讨论它相关系数的是大于零还是小于零，如果不冲突，那么这个答案就是正确的。好，本道题我们就讲到这里，谢谢大家。

好，来我们一块来看这题啊，这题，这个到后面还是挺难的啊，就这个题型啊，我不能说期末必考 啊，就考到的概率非常的高，来，我们来看一下啊，那么这个函数的图像，你可以是由 y 等于负 x 的 绝对值平移得到啊，你可以用这种平移的思想，由 y 等于负 x， y 等于负 x 的 绝对值，怎么画？这个非常简单啊，这是 y 等于负 x 的 绝对值啊，大概是这个样子。 那么平移怎么平移啊？左加右减，对，先向左平移一个单位，上加下下减，它是向上平两个单位。我简单划一下啊，左加右减，向左平移一个单位，就只看顶点就行了，向上平移两个单位，所以它大概是这么个样子， 倾斜四十五度，倾斜四十五度，你就找那个那个角啊，这个点就是那个顶点啊，先找准顶点啊，一平移完事啊。图中 m 值我们不画了，我们这个题重点的看后面啊，他说探索这个函数图像，它当什么时，这个函数图像最大值等于负一吧， 这是二了。写出该函数的性质，写一条即可。让你写函数的性质，你有哪些可写呢？哎，对称性，增减性和极值啊，写对称性啊，写该函数关于 x 等于负一对称，或者说该函数的对称轴是 x 等于负一就可以啊，这是第一说对称形，该函数关于 x 等于负一这条直线对称，对吧啊，这是写其中一条啊，对称形第二条，我们写它的极值吧，当 x 等于负一时， 该函数有最大值，最大值为二，这就是极值。第三个，我们说增减性，就是当 x 小 于等于负一时， x x 小 于负一，说的就是这个函数的这半边，这半边，那这半边的时候， y 随 x 的 增大 而增大，当 x 大 于大于负一时， y 随 x 的 增大而减小。让你写函数的性质，你知道你有哪些可写的函数什么性质啊？你可写的一个是对称性，但不是所有函数都是对称性的函数， 所以不是说每个函数你都有的写，对称性不一定有的写啊，极值，不是每个函数都有极值，最大值或最小值，有的函数没有极值啊，所以你这也不一定是可写的啊。好，那么增减性啊，增减性，也不是每个函数都有增减性啊，当然，函数还有什么性呢？周期性， 周期性的函数我们基本在初中碰不到啊，这个会了啊，关于写函数的性质，对称性、增减性和基值，找一个往上写啊，就行了啊。括号三，结合该函数图像来解决问题啊。我们先看一下，他说有两个点都在函数的图像上， 这是个难题啊，总有外一小于外二。让我们去求 m 的 取值范围啊，好歹是个填空题啊，我教你一招距离法点，这个题最好用，最快速，准确率最高的办法啊，就是追啊，他会省去你很多分类讨论的思想， 要不然的话，你非得讨论这个题麻烦。那么首先呢，你看下这个函数，这个函数大概是这个样子的啊，我们前面就画出来了，它的对称轴是 x 等于负一，这个你首先要知道，那么你心里想啊，这类似于是一个小山峰，谁离谁的横坐标离负一 越近，谁的 y 越大，谁爬的越高，也就谁的 y 越大，他已经告诉我们谁的 y 大， n 的 外大告诉我了。 n 点的外大说明 n 点的横坐标离负一更近。我们翻一下这句话， n 点的横坐标离负一更近。 m 减三 减负一的绝对值小于什么二 m 减一 减负一的绝对值。什么叫距离啊？两点之间的距离就是两点之间差的绝对值啊。这，只不过我们这个只是比较横坐标啊，和动作没有关系，我们只是比较横坐标 啊。就是谁离负一近啊， n 点离负一近，所以 n 点爬得高，那么离负一近，就是它的横坐标与负一的差的绝对值比较小。这是 n 点离 x 等于负一这条线的距离，这个距离比较小，有可能在这个位置 啊，他在这边也行啊，两边也行啊，因为你加了绝对值吗？好，你的 m 点有可能在这 a 点到负一的距离是这个长度， m 点到负一的距离就是这个长度，这个长度要小，要小于这个长度 啊。你翻译完了之后就这个，剩下的就解这个绝对值不等式，看我怎么解这个绝对值不等式啊，这是你要学的第二招。 第一招，先把这个式子先不等式先列出来，对吧？距离法，先把这个距离列出来。第二个，你得学会解它呀，列出来不管事啊。那我们先把这个式子整理一下，你会得到 m 减负一，六加一，是吧？减二的绝对值小于二 m 怎么减一个含绝对值的不等式啊？ 不要再用初一的办法了，初一的办法零点 f， 对 吧？不要再用初一的办法，我们直接两边平方啊，你会 整去零点分分算法分类讨论的思想啊，你可以用零点分法去分类讨论啊，一个绝对值大于零，一个就是里边大于零，里边小于零啊，就分四种情况去讨论啊，就行了啊，这个我们不介绍这个办法了，两边直接平方，这个绝对值比这个绝对值小， 意味着 m 减二的平方一定小于二。 m 的 平方，一个数的绝对值小，它的平方之后它一定小。一个正数小，它平方之后一定小啊，所以一平方就去掉绝对值， 一平方就去掉绝对值啊，好，我们进行一项啊，你把 m 减二块的平方减去二， m 块的平方就 小于零吧，用平方差公式就行了，是吧？啊，所以你会得到三 m 减二再乘以啊，不， m 减二是吧？小于零。好，我们先把这个式子符号先去掉一个，是吧？啊？三 m 减二乘以， m 加二大于零， 先给它乘一个负一二。好，你又找到这个式子啊，这个式子，这个式子，这两个相乘。大于零，要不同正，要同负同正的话，每一个都要大于零，规定 m 要大于三分之二吧。 m 大 于三分之二就同正或者同负同负，是 m 小 于负二吧， 对吧？同正就是它也要大于零，它也要大于零，两边都要大于零，两个都大于零，是不是 m 大 于三分之二就满足了， 对吧？都小于零是吧？ m 小 于负二， m 小 于负二，这是负的，这也是负的吧。 m 小 于负二也是可以到这一步了，到这一步怎么办 啊？我们画个出轴，那一个是三分之二吧，这个，这个要先等于零， m 等于三分之二，这是负二吧。你穿针引线要大于零，你看大于零什么时候大于零啊？ m 要比三分之二大吧？比三分之二大或者 m 要比负二小吧。哎，大于零你就立刻就解出来了。 m 大 于三分之二或者 m 小 于负二，对吧？非常好用，是吧？用两个括号再相乘啊。大于零，用这个办法听明白了吧？啊？非常好用。

守候的时候。

中考数学想上一百一十分，看这一步就够了。我们上节课主要是讲了三角函数相应的应用以及解答。我们这节课的话呢，主要是应评论区的要求去讲这个函数的图像与性质，主要包含了一次函数、反比例函数和二次函数。嗯，插播一句话，我最近呢有创立一个有关数理化沟通的小群，如果有学生想 加入的话呢，可以回答一个问题，答对即可加入好吗？我会在群里面经常分享一些有关做题的技巧以及方法。好了，言归正传， 函数图像与性质呢，主要是分为三种函数对不对？常考的一次函数、反比例函数和二次函数。那么三种函数里面我们怎么去分析，怎么去学习呢？主要是系统性的去学习什么？学习第一个表达式对不对？对吧？学习表达式我们要知道它最基 最基本的表达式长什么样子。那第二个呢？我们要知道什么？它的取值范围对不对？对吧？要知道表达式，要知道范围还有什么呢？还有基本的图像对不对？基本的图像还有它所在的象限增减性、对称性等等相关的问题，比如说还有坐标对不对？二次函数的坐标，或者说反比例函数，它的一个 具体的象限位置之类的，那我们就以此为基准来进行一个学习。首先，一次函数对吧？大家跟我一起回顾一下吧，一次函数的表达式呢？主要是什么？ y 等于 k， x 加 b 没错吧？ y 等于 k， x 加 b， 其中 k 和 b 是 未知数没错吧？ k 和 b 的 未知数呢？一般是什么？它们是以常数为准，是不是前呢？后面有一个什么 k 不 等于零，没错吧？如果 k 等于零的话呢，它就不是一次函数了。 那反比例函数呢？反比例函数最基本的表达是什么呀？是不是 y 等于 x， 分 之 k 对 不对？它的这个 k 是 不是也是不能为零的，对吧？如果 k 等于零的情况下的话呢？二次。那这个说错了啊，那这个反比例函数它是不是不复存在了？没错吧？那这个二次函数的表达式呢？二次函数最基本的表达是？我们是不是有 上课讲过，是不是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 对 不对？没错吧？且这个 a 不 等于零。为什么 a 不 等于零呢？有同学问我，因为 a 它是一个二次项的一个 系数，没错吧？如果 a 等于零的情况下，那我们这样看，是不是相当于 y 等于 b， x 加 c， 对 不对？那它是不是就不是二次函数了？它是不是感觉变成了一个一次函数，没错吧？所以说二次函数的话，它的二次项系数不为零，就指的是 a 不 等于零，大家能够理解吗？能理解，对不对？对吧？那既然我们知道这个 k 的 趋值范围，以后我们是不是还要考虑这个 x 的 趋值范围对不对？ x 和 y 的 趋值范围， 那对于这个一次函数而言的话呢？它的取值范围是什么？全体实数对不对？对吧？它的 x 是 不是可以取全体实数？那反比例函数呢？反比例函数 x 等于零吗？肯定不能，对，不对？ x 在 分母的情况，所以说 x 不 怎么样，不能等于零是不是？那 x 不 等于零是不是说明什么？ y 是 不是也不能等于零，没错吧？ k 也不能等于零，对不对？ 那对于二次函数而言呢？二次函数而言的话，它的 x 是 不是也是全体实数，对不对？没错吧？那这个就是它具体的一个取值范围，那我们接下来我们探讨一下这个一次函数，它不同于反比例函数和二次函数一个比较特殊的性质，叫什么性质呢？它的 k 和 b 的 实际意义，这个很重要，大家一定要理解 k 和 b 的 实际意义，我们可以根据图像来看，比如说这是一个 一次函数的一个图像，它长这个样子，对吧？这是一次函数的一个图像，这是 x， 这是 y， 这是圆点，那我们可以知道它的朝向是朝哪里的？是不是朝第一象限，对不对？没错吧？这里这个是朝第一象限，没错吧？那既然朝第一象限情况下的 k 怎么样呢？ k 是 不是要大于零， 对吧？ k 大 于零是不是朝向朝向第一项线没错吧？这是 y 一， 比如说这是第一个，那这个呢？是第二条好不好？这个图像呢？是 y 二，我们可以看到 k 大 于零是符合什么的？是不是符合 y 一 的情况，对不对？对吧？那如果 k 小 于零呢？ k 小 于零的话，是不是这个 y 二的情况没错吧？所以说 k 的 实际以什么呢？ k 决定了什么？ k 决定它的倾斜方向，那根据倾斜方向， k 还取决的什么？ 大家可以取两个点试一下，比如说这是一个点，对不对？这是一个点，没错吧？这个是点 a， 这个是点 b， 那 我这个点从点 a 移动到点 b 的 过程当中，你有没有发现，随着这个 x 的 不断增大，越往箭头越放越大，对不对？随着 x 不 断增大，是不是这个 b 的 y 也在不断增大，对不对？ a 的 x 变成 b 的 x 变大了，对不对？那是不是 a 的 y 坐标随着这个变化，它的坐标是不是也是变化变大了，对不对？那这样子的情况下，说明什么？说明它的这个 增减性是什么样的？ y 随着 x 怎么样增大而增大，是不是，对吧？那说明 x 增大的情况下，是不是 y 也增大？它的增减性是不是越来越大的一个情况，没错吧？能理解吗？所以说 k 取决于什么？取决于这个它的 倾斜方向，同时取决于它这个增减性，能理解吗？那 b 的 情况是什么呢？ b 呢？相当于什么？看啊，我们研究这个 b 的 时候，我们可以这样子看，当 x 等于零的时候， y 等于什么？带入这个式子里面，是不是 y 等于零？ 那可以得到什么呢？啊？对不起，写错了，是不是 y 等于 b？ sorry， 写错了，那这样子的话，是不是 y 等于 b？ 那 这个坐标是不是零？逗 b， 没错吧？既然这个坐标是零逗 b 的 话，是不是这个点和这个点 没错吧？是不是？那所所以我们得到什么呢？ b 如果大于零的情况下，那它这个一参数跟 y 轴相交，于是不是正半轴，没错吧？那如果 b 小 于零呢？是不是相交于负半轴，对不对？所以说 k 决决定了倾斜方向，那 b 决定了 y 轴的什么？交点位置，能理解吗？交点位置是不是与 y 轴的交点位置，没错吧？ 这个话是不是我们这个一次函数它的一个最基本的一个认知，大家能够理解吗？对不对？那我们总结一下， k 是 不是决定它的增减性，对不对？ b 是 不是决定它与 y 轴的交点，没错吧？这个是不是就是这个一次函数它比较特殊的一个地方，大家能理解吗？能理解吧。嗯，那我们还有一个一次函数有关的一个延伸知识点，什么呢？就是这个三角形，三角形的一个面积问题，我们这里再画一个图形， 比如说这是一个函数，我们去简单一点，这是一个函数，这是 o 点，这是 a 点，这是 b 点。那我们根据上面的知识点可知， a 的 坐标是不是零到 b， 没错吧？对不对？那 b 的 坐标呢？ b 的 坐标我们是不可以求一下是不是 b 的 坐标？是不可以求一下 b 的 坐标？是不是当 y 等于零的时候，然后去求 x， 对 不对？我们看一下，当 y 等于零的时候， y 等于零的时候， k 等于什么？是不是 x 等于负的 k 分 之 b 没错吧？ x 是 等于负的 k 分 之 b， 当然这个 k 是 不是不不等于零，没错吧？默认条件是不是？那 b 的 坐标，我们是不是就知道了？ b 的 坐标是什么？负的 k 分 之 b 都零，没错吧？对不对？那我们这个 s 三角形 aob 的 面积要怎么求呢？ s 要见 aob 的 面积，是不是就是二分之一的底乘高，对不对？底是什么？是不是 b 的 什么坐标？ b 的 横坐标，对不对？对不对？对吧？那我画这个图，它是不是 a 和 b 都在这个正半轴上面，对不对？对吧？那我画这个图，它是不是 a 和 b 都在这个正的，对不对？那我如果说是这样子的一个 曲线的话，那是不是这个 b 的 这个横坐标它就是负数了，对不对？所以说我们求这个面积是不是得有绝对值，没错吧？是不得有绝对值，二分之一乘以什么？负的 k 分 之 b 乘以谁？是不是乘以这个 b 对 不对？加绝对值是不是？嗯，这个时候是不是求出来一个公式，一个二级公式对不对？负的二 k 分 之 b 方 是不是？这是一个二级公式，大家能够理解吗？啊？如果说你这个数学想上一百一的话，这个二级公式的话，脑袋里得有数，能理解吗？脑袋里得有数啊，这个是我们一次函数的一个重点，这就是一次函数两个重点知识点好不好？在中考之前的话，相当于给大家复习了好吗？那我们接下来看这个反比例函数好不好？看？反比例函数啊， 对不起啊，我这个值可能有一点小，大家尽可能的勉强一下好吗？对不起啊，我们现在来看啊，我们既然研究完这个一次函数的话，我们来看这个反比例函数。反比例函数的取值范围是不是刚？我没讲过 x 不 等于零， y 是 不等于零，没错吧？嗯，那我们是不是还要看这个，嗯，它的这个 k 是 什么样的范？嗯，不是，不是，范围是它这个 k 是 什么样？意义，对不对？没错吧？就像我们刚刚一样，我们是不是研究了这个 里面两个位置是不同的意义，没错吧？那我们是不也就是 k 的 意义是不是？那反比例函数 k 的 意义代表什么大家知道吗？肯定知道，是不是，对吧？如果说 k 大 于零的情况，他是不是这样子的一个图，我画的感觉有点丑陋啊，是不是这样子一个图，没错吧？那如果 k 小 于零的话，我是不是就这样子一个情况， 能够理解，是不是，对吧？是不是这样子一个情况，没错吧？那这个是不是他的那个增减性，对不对？没错吧？那我们如何判断这个反比例函数的增减性对不对？没错吧？那我们如何判断这个反比例函数增减性呢？这个就是反比例函数增减性的一个一错区，也是经常考试我们会考的一错点。 我为什么会说一错点呢？就是呃，我们反比例函数的话，大家尽可能的结合图像去比较它的这个呃，增减性，或者说是点的大小。大家可能经常遇到什么题，就比如说给了你三个坐标对不对？告诉你这个 k 大 于零，然后呢，让你判断 这个 x 一、 x 二、 x 三，它所对应的 y 一、 y 二、 y 三的值范围或者说大小值。大家肯定做过这种题，对不对？那这种题的话，我们尽可能以画图的形式去做，为什么不能让大家直接根据这个增减性去做呢？原因很简单， 我们可以看到啊，在这个图里面，它是不是在每一个象限里面？这是一个象限，对不对？这是一个象限，它在每一个象限以内， y 都随着 x 的 增大而怎么样？ y 都随着 x 的 增大而减小，是不是，对吧？ y 都随着 x 的 增大而减小，这个能理解，是不是，对吧？那对于这个图像而言的话，它在每一个象限内，每一个象限内它是不是 y 都随着 x 的 增大而怎么样？ y 都随着 x 的 增大，而 y 都随着 x 增大而怎么样也增大，是不是？没错吧？你看 x 不 断增大情况，它是不是 y 也增大，对不对？往这边看，是不是？这边是不是也一样，对不对？越来越逼近这个正反轴没错吧？那这样子的情况下呢？我们为什么还要说这个它的增减性是易错点呢？我们要进行一个什么样分类讨论？ 为什么一定要进行分类讨论？原因很简单啊，原因很简单，我们在反比例函数当中呢， y 随着 x 大 小而变化的情况，应该分为什么呢？分为 x 大 于零和 x 小 于零两种情况去考虑。 为什么呢？不能够笼统的说成什么？当 k 小 于零的时候，挨着 y 随着嗯这个 x 的 不断增大， r 增大，我们不能说这样子的情况，为什么？原因很简单， 大家请看啊。为什么要分成这样子不同的情况，而不能说这样子的情况呢？因为二次函数它并呸说错了，因为这个反比例函数它是怎么样？它的图像是怎么样？它是断开的，大家能够理解吗？它图像是断开的， 什么叫断开的？就是它这个图像是不是永远不跟 x 轴和 y 轴相交，对不对？是从这里能够得到的，它的图像永远不跟 x 轴 y 轴相交。那这样子的情况下的话，比如说我这里有一个点 和这里的一个点，你看这是 a 点，这是 b 点，你看我们由 a 点到 b 点过程当中，是不是 x 在 不断增大，是增大，对不对？没错吧？是增大吧， y 也在增大，对不对？是不是它的 x 是 不是突然变成了正数？没错吧？ y 是 不是也突然变成了正数？能够理解吗？由 a 到 b 的 一个过程当中，那我就能说这个 当 k 大 于零啊， x 增大， y 增大吗？能这么说吗？不能这么说对不对？因为我们能够明显的知道什么，比如说这是点 c， 对 不对？对吧？我能怎么说呢？当 x， 当这个 x 怎么样？它是不是这边是第一项线，对不对？当 x 大 于零的时候，哎，如果说有这个 b 点到 c 点，我们可以知道什么？ x 不 断在增大，是不是外减小，对不对？是不是得到了截然不同两种答案？ 能够明白我在说什么？由 a 到 b 和由 b 到 c 是 不完全截然不同的两种答案，对不对？包括由 a 到 c， 是 不是也是一样的，对不对？没错吧？并不是所有的 都是 x 增大， y 增大的一个情况，能理解吗？所以说我们不能够怎么样？不能够笼统的说，哎，当这个 k 大 于零或者小于零的时候，哎，外算 x 增大而减小和外算 x 增大而增大，我们不能这么说，能够明白吗？这样子的虚实是错误的，必须以什么样的 条件为准的？必须以 x 的 正负来作为条件。原因很简单，因为它是一个断开的图形，它不是这种连续的线段，连续的这种线条，能理解吗？它是这样子，一半一半，一半一半，这样子断开的图形，大家能够明白了吗？对吧？ 那对于这个，嗯，对于这个函数而言的话，我们还有个知识点，要考什么呢？对称性，对不对？对吧？对称性，对称性，大家这个都知道，它是一个什么图形啊？它是一个关于 y 等于 x， 或者说是 y 等于负 x 乘什么乘？轴对称对不对？然后关于什么圆点乘什么中心对称， 大家这个知道哈，这个一定要知道啊。这是他的对称性好吗？这个是。嗯，反比例函数，他的另一个独特的知识点，对称性好不好？嗯，那我们现在开始讲这个第三个图形。第三个图形什么？二次函数对不对？我们现在开始讲二次函数，二次函数背的东西比较多好吗？二次函数背的东西比较多啊，他不像前面两个函数理解的东西比较多，二次函数背的东西比较多。 我为什么说二三数背的东西比较多呢？主要是涉及到它图像里面会有几个点的问题。嗯，我们刚刚讲到了它的这个，嗯，取值范围是不是也是全体实数，对不对？没错吧？那它对应的这个 a 和 b 和 c 分 别有什么样的这个实际意义呢？我们 a 决定了什么？决定开口方向对不对？ a 大 于零，开口朝哪？是不是开口朝上对不对？ a 小 于零， 是不是开口朝下？这个能理解，对不对？很简单，对不对？那 ab 呢？ a 和 b 怎么样？ a 和 b 决定了 a 和 b 共同决定了什么？共同决定了对称轴的位置， 这个大家能够理解，是不是？我前面给大家讲过，对于这个一般式而言，它对称轴是什么呀？ x 等于负的二， a 分 之 b， 所以 我说 a 和 b 共同决定它对称轴的位置，能够理解。是不是这个大家考试都要背，没错吧？ c 决定了什么呢？你看 c 是 不是就是当什么？当 x 等于零的时候，是不是 y 等于 c？ 又说错了，对不起啊，是不是零？逗， c 对 不对？是不是相当于决定了这个 这样子的一个二次函数，这个是不是 c 点对不对？它和这个 y 轴的交点，是不是它决定了与 y 轴的交点？能理解吧？ 今天说错的点比较多啊，对不起大家哈。嗯，嘴瓢了。然后我们现在来看，这个是不是就很好理解了？能够理解吧。嗯，这个是他最基本的一个特性，大家要知道啊。然后呢？我们还有一个什么？还有一个延伸知识点，什么呢？顶点坐标对不对？对吧？我们作为二次函数，它肯定是用顶点坐标的，那它顶点坐标什么呢？尽可能大家背会好不好？因为二次函数，你看这是 它对成轴对不对？是不是这个顶点？比如说顶点是 a 点好不好，对吧？这是它对成轴上没错吧？所以说 a 点的横坐标是什么？是不是负的二 a 分 之 b 没错吧？那作标是什么呢？大家尽可能记住啊。四 a 分 之四， a， c 减 b 方，这他的作标好吗？大家尽可能去记住好吗？嗯，考试时的话，偶尔可以直接用，好吧，因为这个也是书上，嗯，直接写到了知识点人。嗯，是那个，我忘了哪本书了，好像是直接写这个知识点大概就是可以直接用的，不过考试的话一般考的比较少，考这个对称轴考的比较多一点。 我们接下来来看它的增减性。增减性主要是由谁来决定的？大家看一下是不是开口方向对不对？开口方向是不是，这个也是基本知识点对吧？ a 决定了增减性， a 大 于零的时候是不是这样子的对不对？ a 小 于零的时候是这样子的，没错吧？那这样子的话是不是随着哎，在这个对称轴的什么？左边和右边，是不是两种截然不同的情况，对不对？在对称轴的左边，是不是 x 越大，怎么样？是不是 y 越小，是不是，对吧？ 往下走的没错吧？一个是往上走的对不对？往上走的话肯定是随着 x 增大， y 也增大，对不对？所以说增减性的话，二次函数主要是看谁，看它的那个开口方向，以及它是在这个对称轴的左边还是右边，大家能够理解吗？大家要看两个，一个是什么？看 a 对 不对？看 a 大 于零还是小于零，一个是看什么？在对称轴的左边还是右边？看它的具体位置，没错吧？ 这段视频可能比较长啊，希望大家能够。嗯，接受我的一个长视频好吗？短视频的话给大家讲不完，好吧， 然后接下来的话呢，我们就要看什么？看它的一个最值，这个是有关这个二次函数，它比较特殊的一个考点最值，为什么要看最值呢？因为它有顶点，所以它要看最值，能够理解吗？它有一个最低点，有一个顶点，所以就有最值。问题大家可以看到这样子的图形，是不是这个地方最低，是不是，对不对？所以说当 x 等于负二分之 b 的 时候，它这个 y 是 不是最小， 能够理解吗？什么时候 y 最小呀？是不是当 x 是 什么？在这个对称轴上时候，是不是正好是顶点的时候，对不对？最低点的时候没错吧？能理解吗？能理解，是不是正好它是负二分之 b 的 时候，它最小，对不对？那如果是这样子的话呢？是不是正好反过来，对不对？是不是就是 y 的 最大值， 没错吧？最大值的话，这个后面我就不写了好吗？是不是都是取这个对伸肘的时候没错吧？那如果说是取一部分呢？比如说我的 x 取的范围只在 a 和 b 之间，这是 a 点，这是 b 点。如果说我 x 只取 a 和 b 之间的话，那是不是要看它增减性对不对？对吧？因为这个什么？因为这个 a 的 对应的什么？ x 一 到 y 一 怎么样？因为 a 对 应的这个 x 一 怎么样？它是不是大于等于零，对不对？所以说的话呢？这个 y x 增大而增大，所以说它的最小值是不是就取当 x 等于 x 一 的时候， y 一 是这个 y 的 最小值，能够理解我在说什么吗？是不是只去 a、 b 这一段的时候，可以这么理解，对不对？所以说我们要看这个二次函数的最小值的情况的话，我们一般要看什么？要看 x 的 范围，还要看什么？还要看 a， 能够理解吗？要看 x 的 范围，能理解吗？这个 y x 的 范围很重要， 它到底是在对称轴左边，还是对称轴的右边？还是说它，哎，正好这所有的这个 x 它怎么样？不限范围对不对？它就是最低步，最高点，能够理解我在说什么，能够理解吧？嗯，那最后的话，我们就是看这个二次函数它的一个增减性啊，说错了，对不起啊，它的一个对称性对不对？对称性的情况下的话，它肯定一看，是吗？它有轴对称是不是？肯定是轴对称没错吧？它有对称轴 没错吧？它的这个对称轴是不是大家也知道负二分之一？这个一定要记住啊，给大家多次强调了，明白吗？明白了，是不是？嗯，那这样子的话就是我们的一个讲解点好吗？我们今天的课程到此结束。好吧，我们建立了一个群，大家答对问题以后可以进群，我会在群里面定时分享一些学习的技巧，还有一些方法，包括一些易错题，就这样好吗？拜拜。

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？

那我们看这道题啊，行程问题说呀，甲骑摩托车从 a 往 b， 哎，我们给他画一下这个行驶的这个轨迹图啊，以开汽车从 b 往 a 同时出发，哎，这是甲，这是乙同时出发。然后搞清楚纵轴代表的是什么呀？代表的是甲，以两人之间的距离为 s， 横轴啊，是 t， 它代表是什么？假行驶的时间为 t 啊，注意它俩是怎么着同时出发，哎，结合这个图啊，我们先分析这个图，一开始它俩之间的距离是一百二十千米，也没出发之前，它俩之间的距离是一百二，也就是说明了 a、 b 两 d 之间的距离是一百二十千米。接下来 怎么着，距离逐渐的减小，哎，走走走走，哎，当减小为零的时候，对应的这个 t 正好是一，那就说明什么呀？它俩在一小时的时候怎么着相遇了对不对？所以说圈一出发一小时相遇啊，圈一它是正确的啊。然后我们再看一下这个圈二 出发一点五小时以比甲多行驶了六十千米啊，这个呢，不太好看啊，我们先放一下啊，然后我们接着再去观察这个图分析的图，他说的是这是一小时相遇了，对不对？那相遇之后呢， 肯定比较偏 a、 d 这边，然后继续的以接着走，甲呢，接着往 b 走，哎，然后发现什么，他俩之间距离还是逐渐的拉大，拉大，拉大，当到一点五的时候变成什么分界点了，后边再拉大的时候，他俩之间这个距离变化的这个情况是不是变得比较缓慢了？那就说明什么呀？说明在一点五的时候对不对？这个乙他已经怎么着到达这个甲地了？乙 到 a d 了啊，为什么是乙啊？因为乙开汽车，咱们常识当中是不是汽车一般要比摩托车要快呀，对不对？哎，那后边呢？就光剩下谁啊？这个甲自己单独走了，哎，最后这一段是甲啊，单独走啊，甲单独走啊，一直走到三小时的时候，这个点代表甲已经到达 b 点了啊。那么下面我们看啊，全程来看啊，甲从 a 到达 b 一 共用的是三小时，全程是一百二，对不对？那么甲的速度我们是可以给他们的，求出来的，一百二除以三等于四十 千米每小时，这是甲的速度。那接下来我们再求乙的速度，怎么求啊？可以根据前面一百二到一，这是相遇问题。相遇问题是什么？速度之和相加乘以对应的时间等于路程对不对？这样我们就能把 v 乙给他求出来，应该是八十千米每小时 速度都有了。我们看第二个，出发一点五小时时，乙比甲多行驶六十啊，那看看第二个呗，速度八十比四十千米是多多少多四， 每小时多行驶四十千米，然后出发多少？一点五小时给他乘以一个一点五，哎，得到的应该正好是六十千米，所以说第二个也是对的啊。然后我们再看第三个，第三个的话出发三小时时啊，同时到达终点，这是错的。咱刚才分析 的是什么？一点五的时候已先到达 a， 三小时的时候甲怎么到达 b 了？不是同时到达的。第三个错了啊，我们再看第四个啊，第四个说的是甲的速度，是以速度一半没问题啊，四十是八十一半，第四个也是对的，一二四选 c。

同学们好，我们看下这道题。若依次函数 y 等于括号，一减 k 倍的 x 加上二 k 减四的图像，不经过第一象限，则 k 的 取值范围是多少？首先我们要了解依次函数它的这个图像的关系啊， 我们首先了解 y 等于 k， x 加 b 啊，这个是我们的斜率，这个是我们的长竖向，我们的斜率影响的是我们的倾斜方向和倾斜角度。 然后这个 b 呢，影响的是我们图像与 y 轴的一个交点。让我们来写下这两这几种情况。我们先来了解一下这个依次函数这个图像。我们先看 k 大 于零， 我们能画出来的是三种图像，一二三这个是经过原点的， 我们都能了解这是 k 是 大于零的三种情况。然后这个是 b 大 于零的情况，因为我们这个图像，它与外周的交点是外周的正半轴，所以这里面我们这个乘数项是大于零的，中间这个图像呢是我们 b 是 等于零的，我们是经过原点的。 这第三条图像呢，是 b 小 于零的，它的与外周的交点是在外周的负半轴上，这是 k 大 于零的三种情况。然后还有 k 小 于零的三种情况也是一样的，只不过我们的倾斜方向是变了的，一 一二三也是一样。我们这个第一条图像，它与 y 轴的交点是在外轴的正半轴上，所以这在这里面 b 是 大于零的， 中间那条呢也是一样， b 是 等于零的，这条呢是 b 是 小于零的。那我们看啊，一共能画出来这六种图像。我们这要提要求的呢，是不经过第一项线，那我们能了解这个可以大于的情况下，这三条线， 三条三个图像啊，它都是要经过第一项线的，那所以这个我们就要排除掉啊。我们再看这个， 在这个三条图像里面，我们这条图像它是要经过第一象限的，而这两条呢，它都是可以 不经过第一象限的，所以这两条图像是我们符合我们这个题目要求的，那在这里面我们就可以把我们的数带进去了，只能说我们要求第一个事情是我们的 斜率是要小于零的，所以一减 k 它是小于零的，我们算出来啊，负 k 小 于负，负一 k 是 大于一的。 第二个我们这里面 b 可以 等于零， b 可以 小于零，所以呢，我们要求二 k 减四是小于等于零的，我们算出来二 k 小 于等于四， k 是 小于等于二的，所以综上我们能得到我们 k 的 取值范围应该是一小于 k 小 于等于二。那这道题呢，我们同样是一个选择题，我们是三分啊，那我们主要有很多同学可能拿不到三分的主要原因呢，就是在这个等于号上，所以根据我们这个答案，我们就拿到这个三分了，谢谢同学。