王慧民流体力学有几章

好，那咱们现在开始上课，咱们今天讲的还是恐龙第四版的工程流体力学，然后今天讲的是第三张，呃，流体静力学的相关习题，那我们首先来看第一题， 立三立三杠一，如图有一个直径 d 等于十二厘米的圆柱体质量 m 等于五点一千克，在立 f 等一百牛的作用下，当延伸 h 等于零点五米时处于静止状态， 然后让我们求侧压管中水柱的高度 h， 我 们看体干，体干给我们一个静止状态，他给了我们静止状态，那我们首先是不是就要对他这个圆柱体进行受力分析，然后让他如果 是静止状态的话，他肯定是受力平衡的，所以我们把这个把这个圆柱体给他取出来，对他进行受力分析。首先他上面上表面受到大气压墙的作用，大气压墙 f 等于 pa 就是 大气压墙是 pa， 然后乘以它的面积就是上表面受到的受力，然后他本身还具有一个向下的重力 w 向下的重力，然后下，然后他还在力 f 等于一百牛的作用下，所以他还有一个向下的 f 等于一百牛，然后他的下表面下表面肯定受到受到水对他的呃，也就是说 下表面受到的加强乘以它的面积就是它下表面受到的向上的一个作用力，那我们对它受力分析之后，列出它的平衡方程，就是 f f 加上 w 加上 pa 乘 a 等于下表面受到的面积受到的加强 pa， 然后这个如果我们把 pa 移到这边， 等于这个 p 减 pa 乘以 a 等于等于这个，它这个表达是，那我们的 p 减 pa 是 什么？ p 减 pa 其实就是它的相对压强，就是我们把它的相对压强写出来， 呃，然后是不是就可以表示出来下表面收到一个压墙，那我们而我们看他让我们求的是测量管中水柱的高度 h， 那 我们怎么通过呃我们列的式子，然后包含他让我们求的 h 呢？我们看这里 这个面到到下面这个面，它的压墙是怎么变化的？是不是有这样一个式子， p a， p a 就是 这里的那个大加强，然后加上 ro g， h， 它的 der， 它 h 就是 这个高度 h 加上这个高度的小 h， 是 不是这样就 列出来这个这个结面和它的下表面加强的关系，然后我们把把 pa 移到移到这边，是不是得到这样一个式子，是不是就 它的下表面的相对加强，是不是就和题目让我们求的这个 h 联关系起来了？那我们 那我们进行一系列计算之后，求出他的相对加强的话，那他的 h 是 不是就求出来了？那这就是我们这道题的解析思路，那我们看怎么具体来写这个， 你看这里它首先要求它的记时加强，记时加强就是我们刚才分析的这个相对加强，相对加强等于它向它受到力如，然后除以它的面积 a， a 就是 a 等于四分之派地方， 然后它的力 f， f 就是 这个一百牛，然后加上它的重力，重力 w 等于 mg， 然后 m， 人家给了等于五点一千克，然后 g 是 呃，九点八零七，然后把我们的数据带进去，是不是就带到这个式子里面，是不是就可以求出来？求出来它的相对压强啊，就是它下表面收到的相对压强 等于一三二六三帕。然后看我们这里的分析，它的向量加强是不是跟题目让我们求的这个 h 有 个关系式，是它的向量加强， p e 等于 ro， g h 加上大 h 加上小 h， 就是 这个式子。 那我们看哪些未知哪些已知，这个 ro 是 知道的，然后 g 知道大 h 知道小， 呃，大 h 是 让我们求的，然后小 h 是 知道的，然后 p e 我 们刚才求出来是呃一三二六三嘛？然后我们直接把数据带进去，是不是只有 h 这一个未知数就可以通过呃这个式子来解出来？ 然后解出来就是 h 等于 p e 除以零 g 减去小 h 等于一三二六三，除以一千乘以九点八零七，然后再减去它的小 h 就 算出来 啊。 a 大 h 等于零点八二五四，也就是题目中让求的这个测压管中水柱的高度，大 h 就 等于零点八二五四。然后这道题的解析过程就是这样，那这道题我们就讲到这里，下面我们来看下一题。 立三杠三，如图，两个圆筒用管子连接，内充，内充水银， 这关键就不要默认他是水，他人家冲的是水银。然后后面是第一个圆筒的直径，第一等于四十五厘米，然后上面火山上收到了力 f 一 等于三一九七牛，然后密封气体的基石加强等于 九八一零帕，然后第二个圆筒的直径第二给了三十米，呃，这应该是三十厘米， 然后其活塞上呃受力 f 二等于四九四五点五牛，然后开口通大气，也就是说这里是通大气的，这里是大加强，然后若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差 h， 然后水的密度人家也给了，等于一三六零零千克每平方米。然后读完题干之后，我们要分析，人家问了我们什么， 人家问我们求平衡状态时两活塞的高度差 h， 那 我们怎么通过列式子把 h 包括进来呢？我们我们来分析一下这个图，你看他给他让我们求的是两个活塞的高度差，也就是这个地方。 然后如果我们求出来这里的压墙，这里的压墙加上 rogh， 是 不是等于这里的压墙？那这里跟这里它根据 u 形管，它是一个等压面，如果我们再求出来这个，这里的压墙 就是这里的压枪，那如果让这边和这边相等，然后是不是就解出来这个 h 等于多少？也就是说我们可以列出来这个十字，这个 p 一 总就是 左边这个左边这个管上面的压枪，然后它加上 rhh， 就 等于这个面 等压墙，然后 p 二就是右边这个等压面他的压墙，然后他俩一相等，是不是就我们如果求出来 p 一 总和 p 二，然后这个 h 是 不是就求出来了？然后这就是这道题的第一个解析思路，然后第二个问题是 注意人家给的是计时压墙，那什么是计时压墙？我们需要了解这样一个概念，绝对压墙和计时压墙 加强，由于计量基准的不同，又区分为绝对压强和计时压强，那什么是绝对压强呢？绝对压强是以完全真空，完全真空为基准计量的，加强就是，呃， 然后计时压强是什么呢？就是计时压强是以当地大气压强为基准计量的加强 就是 p e， 它是跟有那个跟当地当地大气压墙有一个关系的，然后绝对压墙总是正的，而即使压墙是可正可负的，这决定于流体中某点处的绝对压墙是大于还是小于当地大气压墙。 然后绝对压墙小于当地大气压的压墙的负极式压墙又称真空，用 p v 表示，然后这就，然后 h v 等于这个，其实 h v 就是 它的真空度。那你看这一句话， 呃，既是压墙可正可负，这取决于流体某点，流体中某点处的绝对压墙是大于还是小于当地压墙。 那我们看我们这道题，它给了 p e 等于九八一零帕，它是大于零的，相当于它是大于当其当地大其阿强的，也就是说 p e 是 等于，呃，就是 这个的绝对压墙是等于当地大气压墙加上这个计时压墙的。那我们对计时压墙和绝对压墙有了一定呃，一定的了解之后，我们就可以解解这道题。 那刚才我们分析是不是我们求出来左边的左边这里的压墙， 求出来这里的压墙，然后加上 ugh， 得到这个面的压墙，然后这个面和这个面的压墙相等，是不是？呃，我们就要求出来这里的压墙和这个面的压墙啊？ 那看人家给了我们什么？人家给了第一个原土的直径为这么多，然后活塞上受力是三一九七纽。那我们根据这样一个式子， f 等于 pa 等于 p 乘以四分之派地方人家给了 f， f 是 已知的，然后呃，四分之派，这是个数，肯定已知，然后又给了直径，那是不是它这个活塞上的压墙就可以知道了？那， 那我们看这里外力 f 一 f 二在两活塞底面流体中产生压墙，你看左边 f 一 f 一 等于呃 p 一 乘以四分之派第一方，然后把是不是 p 一 就等于 f 一 除以四分之派第一方，然后把数据带进去，是不是就可以求出来 p 一 等于二零一零一派，然后同样的道理， 对于对于右边这个活塞， p 二等于 f 二除以四分之派第二方，是不是把数据带进去也可以求出来 p 二等于六九九六四派，那现在 p 呃 p 一 和 p 二 是不是都知道了？那我们刚才分析这个公式，这个式子左边加上它的这个呃页面的高度乘以 rog， 是 不是就等于右边的那个压墙？就是 p 一 加上 rog h 就是 这里 pe 加 rhgh， 那 它的它是不是还要加上一个 pe， 那 这个 pe 加上 pa 是 不是才是左边的这个绝对压强啊？那如果左边左边我们用绝对压强表示之后，那我们右边切记一定要跟我们题中是一致的，如果我们左 左边用相对压墙，他右边肯定也要用相对压墙。如果左边是用的绝对压墙，那右边肯定也要用绝对压墙，那我们这里用了呃 pa 加 pe 加上这是个绝对压墙，那右边就不能只写一个 pr， 因为它要加上 pa， 这这才是它的绝对压强，那得到我们列出可以得到这样一个式子，然后 pa 是 可以约掉的，是不是就可以得出来 p 二等于 p e 加上 p 一 加上 rogh 啊， 就是这个式子。然后现在我们 p 一 知道了， p 二知道了， p e 知道吗？ p e 给了是，呃，密封气体的机械强度等于这个，那 p e 也知道了，那是不是只有 h 这一个未知数？那只有 h 这一个未知数？我们代入数据是不是就可以求出来 h 的 具体大小啊？ 然后求出来是 h 等于 p 二减， p 一 减去 p 一 除以 rog， 然后代入数据求出来 h 是 等于零点三米的。然后这就是这道题的呃，解析思路和过程。那这道题我们就讲到这里，然后我们来看下一题， 立三杠四油，然后叶位分别为 h 一、 h 二， 然后前舱长 l 一， 后舱长 l 二，前后舱的宽度均为 b， 如图就是如这个图。试问在前后舱隔板上的总压力等于零，及隔板前后油的深度相同时，油轮的等加速 a 等加速度 a 应该是多少？ 你看这里，人家要说在前后仓隔板上的总压力为等于零，就是这个板受到力等于零时，人家还人家还怕你不知道这是什么意思？然后给你解释了一下，就是隔板前后油的深度相同， 就是他左边的高度和右边的高度是一样的。然后 我们来分析一下这个图油刚开始是什么样子的？就是 刚开始是看这里刚开始油，呃，后舱的油是有有这么高，然后前舱的油是这么高，然后他说 在前后仓隔板上的总压力等于零，及隔板前后油的深度相同时，这是个什么情况？就是他是往前面运动之后，他的油是不是他的油面不可能还是这样水平水平的，因为他移动之后他的页面是有变化的，然后当 当他前后舱隔板就是前后油的深度相同时，就是这个这个情况，这个情况时他的就是这个隔板上受到力是等于零的，然后我们求的就是在这个状态时游轮的等加速度 a 应该是多少， 那这其实呃就涉及到我们的一个呃水平直线等加速运动容器中液液体的相对平衡，就是他有加速度了，我们就呃需要在运动的 呃情况下来分析他的压墙。我们来看这里如图 伪装着液体的呃水平轨道上以等加速 a 向呃从左向右运动的罐车。我们我们看这个页页面是不是跟我们题目中题目中问的让我们求的那个很相似啊， 所以它的原理就是在这样，我们把呃参，我们把坐标系建在选在罐车上，就是以这个点为坐标系，然后建立坐标原点，取在页面不变化的中心点 o， 然后取它的 x 轴 z 轴。 我们用达朗博原理去分析啊液体对非惯性参考坐标系 o x z 的 相对平衡时，就用在液体的某质量某质点 m 上的质量力， 除了铅直向下的重力外，还要需加上一个大小等于液体的啊液体质点的质量乘以加速度，然后方向与加速度相反的惯性力，它意思是什么？就是 f x s 轴方向的单位值，就是作用在单位质量液液体上的质量力 s 轴方向 f x 等于与加速度呃大小相等，然后方向相反， 就是也就是 f f x 等于负 a， 然后外轴其实是就是垂直于这个指面方向，它是不受力的，也就是 f， y 等于零，然后 z， z 轴方向与这个重力加速度大小相等啊，方向相反，也就是它受到这样的一个 单位质量力，那那它流体的分力带入加强差公式 可以加强它，公式其实就是这个，就是这样一个微分方程， dp 等于零，乘 f x， d， x 加上 f y， d， y 加上 f z， d， z， 然后我们把 f， x 等于负 a， f， y 等于零， f， z 等于负 g 带进去，我们可以得到 dp 等于零，乘以负 a， d， x 减去 g， 呃 d， z， 然后我们我们把它积分一下，把它积分 呃，就可以得到这样一个式子，然后 p 等于负幺乘以 a， x 加上 g， z 加 c， 其中 c 是 常数。那我们通过这个边界条件， 我们看这个坐标系，当 x 等于零， z 等于零时，它的屁是不是它的压墙是不是等于屁？零就是等于这个屁，零就是呃罐中这个空气的压墙。那我们把把 x 等于零， z 等于零带入， 然后 p 等，这时候 p 等于 p， 零是不是可以求出来 c， c 就 等于 p 零，那我们的这个流体啊，这个流体加强它分布规律是不是就可以写出来了？就是 p 等于 p， 零减去 u 乘以 a， x 加上 g， z， 这就是水平直线等加速运动容器中液体的进压墙分布。然后这个式子说明什么？说明压墙 p 不 仅随置点的铅直坐标 z 变化，而且也随 x 轴坐标 x 变化。 然后有了流体进压墙的分布规律，我们来看它的等压面方程是什么？ 我们把单位质量的单位质量力的分力带入等压面微分方程，等压面微分方程是是什么？就是这个 f x， d x 加上 f y， d， y 加上 f z， d， z 等于零，然后 f x 是 什么呢？ f x 等于负 a， 然后 f y 等于零， f z 等于负 g， 然后我们带进去之后就可以得到这样这样一个式子， a， d， x 加上 g， d， z 等于零，然后我们把呃这个式子积分一下，就可以得到 a x 加上 g， z 等于一个 c， 这就是等压面方程。 然后水平水平直线等加速运动容器中液体的等压面是斜平面，然后不同的常数 c 代表不同的等压面，所以等压面是一束平行的斜面。 那由由这个 ax 加 g， z 等于 c 这个式子我们是不是可以得到它的倾角啊？就是这个 r 法，这个角 r 法， r 法等于 d z， 阿尔法就等于 arc tangent 呃加速度除以重力加速度，然后 当呃在自由页面上就是 s 等于零， z 等于零时，积分常数 c 等于零，那自由页面方程是不是可以写成，写个写成这样， a， s 加上 g， z 等于零，然后 把这个式子带到我们刚才求的流体进加强公式。带到这个式子里面 是不是可以写出 p 等于 p， 零加肉记 z， s 减 z 就 等于 p， 零加上肉记 h r， 那 这个是不是其实跟我们的呃静止流体中的进加强公式是完全相同的？就是呃液体内任意点的进加强 等于自由页面的上的压墙加上深度 h， 密度为 ro 的 液体所产生压墙就是跟我们静止流体的中，就是求呃这个等加速运动中的流体压墙的时候，我们其实是可以运用那个静止流体中的压墙公式来求解的， 那这就是呃，这就是是呃等加速运动，呃容器中液体相对平衡的呃相关知识，那我们回来解我们的这道题。 我们刚才分析，呃就是当船不动时，就是如果因因为左边的呃后舱的高度 hr 是 大于 h 一 的，然后船舱的隔板受到总压力肯定是由由后指向前， 因为它左左边它的，我们刚才说它它的压墙是 rog h 二，然后前面前舱的压墙是 rog h 一， 然后左呃后舱的高度是大于前舱的，所以后面的后面受到力也肯定 隔板左边受到力肯定也比左隔板右边受到力大，然后它的力的方向肯定是从左指向右的， 然后游轮以加速度 a 前进时，就是使前后舱的页面形成连续的倾斜面时，这时候他就是人家题目上给的这个阻力等于零的这个情况。那倾斜面与水平面的夹角为阿尔法， 就是由我们刚才刚才看的这个这个等压面的这个轻角 r 等于负的啊。呃，等压面的这个轻角是不是可以写出来？探进的 r 等于加速度除以 g， 那 这个探进的 r， 探进的 r 等于 a 除以 g， 这个探进的 r 又是什么呢？我们有两个方法，我们先看法。一， 法医，法医是法医的原理是什么？是静止时与等加等加速运动时油的体积是不变的， 因为它是一个密呃密闭容器吗？然后它静止时它油是那么些，然后它运动之后它油又没有撒出去，是不是？所以油的体积是不变的？然后我们根据这个原理就可以通过法医来求解这个 探进了阿尔法，然后我们我们先看前舱，我们把前舱这个给摘出来，就是这个角是阿尔法，然后呃， 这个角是 alpha， 然后贪镜的 alpha， 贪镜的 alpha 是 不是等于这个角是 alpha， 然后它的这个角是不是 alpha？ 然后贪镜的 alpha 是 不是等于对边除以？呃， 对边除以邻边是不是贪镜的 alpha 等于，呃，这个 除以这个就是这个等于什么？这个是不是等于 h 减去 h 一 撇，然后再除以 l 一， 然后这就是这个贪心算法的表达式，然后我们再再 看这里，把这个摘出来，这是阿尔法，那这个角是不是阿尔法？我们把这个图形给摘到这里，那这个贪心的阿尔法是不是等于这个边除以这个边啊？ 那这个边，这个边是什么？这个边等于 h 二撇减去 h， 然后下面这个边是什么？是 l 二。那探戈尔法是不是可以写出来等于，呃 h 二撇减去 h 除以 l 二啊？那是不是有探戈尔法？ 有这样贪心的阿尔法等于 a 比记等于 h 减 h 一 撇除以 l 一， 等于 h 二撇减去 h 除以 l 二，那我们是不是就把这个长度给带进去了？ 然后我们我们看这里，这里有 h 一 撇， h 二撇这两个未知数，那 h 一 撇和 h 二撇中间又有什么联系呢？ 我们我们要根据这一句话，因为静止时与等加速运动时的油的体积是不变的。我们来看法一， 我们先看前舱，前舱把它摘出来，在这里，前舱就是当他运动，运动之前静止的时候，油的体积是实线部分， 那这个体积是怎么求的？是，呃，它是一个长方体，然后它的长是， 这也是 l 一， 然后这也是 h 一， 然后它的它的体积是不是 h 一 乘以 l 一， 再乘以它的宽度啊？然后这就是它静止的时候游的体积，然后它运动之后呢？运动之后页面是倾斜的， 页面倾斜之后，然后它其实是这样一个形状， 这是不是一个梯形啊？那梯形的这个体积是怎么求呢？我们来看，这里是 h 一 撇，上底与下底的上底与下底之合成高除以二，是它梯形的面积，然后梯形的面积再乘以它的宽度，是不是就是体积了？那 这个面积怎么求？是上底 h 一 撇，然后下底，下底是什么？下底是这里这个高是不是 h 啊？ h， h 一 撇加 h 乘以 l 一 乘以除以二，再乘以它的宽度，然后这是不是就是它 有的？呃，运动前后的体积，然后让这俩这俩相等，是不是列出来第一个等式啊？就是我们，然后我们来再来看第二个后舱的这里，把后舱的这个摘出来，在这里 它越静止的时候，它的体积是不是这样一个长方体啊？那这这个这个长长是 l 二，然后高高是 h 二，那它的体积是不是 l 二乘以 h 二，然后再乘以宽度 b 啊？然后运动之后呢？运动之后它是这样一个题型， 它页面倾斜之后是不是这样一个梯梯，梯形啊？然后梯形的面积怎么求呢？就是还是上底与下底之合成高除以二，然后上底是什么？上底是 h 二撇，然后下底的下底的高是 h， 所以 等于 h 二撇加上 h， 然后乘以它的高除以二，再乘以它的宽度，然后我们再把这两个等式相等，所以也可以列出来 h 二撇呃和 h 二这段关系啊。然后我们再来讲方法二， 你看这这里给的方法二是什么呢？它其实是把这里前，我们我们先来举例前仓，它是只研究了 运动之前，是在它是把下面，因为下面的前舱和前舱的运动前后它是一样的，所以它就没没管这个这个面积，它只把上面这个摘出来。运动之前呢，是 这样一个小的小的长方体，所以它是 l e， 它的长是 l 一， 然后高，呃宽是呃 h 一 减去 h 一 撇，然后再乘以它的呃，再乘以它的宽度，再乘以 b 是 是不是它静止时候由的体加，然后运动之后，呃运动之后 是这样一个三角形，因为他把下面这个这长这个长方形给剪掉了，因为他俩他俩静止和运动的时候没变，所以运动之后他的油的体积是怎么算的？ 是不是三角形的面积乘以宽度啊？三角形的面积是什么？是呃底层高层高，呃底层高除以二， 它底是 l 一 高是什么高？是 h 减去 h 一 撇，然后再乘以，再乘以它的宽度，是不是这样又可以就是它这里写的是不是这样，又可以列出来 h 一 撇和 h 之间 h 一 之间的关系啊？ 然后然后后舱是同理的，我们就在这呃，不再说了，它是跟方法一，就跟这个是呃原理是一样的，就是把下面呃运动前后不变的给去掉，然后单独研究呃变化的部分， 然后可以得到 h 二撇和 h 二之间的关系，那我们带到带到我们的看见的 alpha 里面， 是不是因为 h 二撇可以，我们用 h 二表示，然后 h 一 撇可以用呃，可以用 h h 一 表示，那其实就是贪心的阿尔法这个式子里面全部全部输入都可以都知道了，那我们 我们就可以把呃这两个式子跟泰尼拉尔法呃连立起来，然后可以得到 h 的 h 的 的式子，然后我们再把这个带到 这里， a b g a b g， 然后是不是就可以得到它的加速度 a 了？因为 a b g 等于后面后面这个这个式子嘛， 然后可以求出来它的所需要的加速度 a 等于二 g 乘以 h 二， l 一 加上 h 一， l 二乘以 l 一 加 l 二减去 h 一 比 l 一。 然后这是不是就是人家问问了我们游轮的等加速度 a 应该是多少？ 那这道题的大致解析思路和过程就是这样，然后这道题。

哦，我们今天来讲这个工程，这个逆学的第二版是尼尼尼夫编的。今天啊，先看一下课本，是这本， 今天我们主要是讲一些，呃，第一张，第一张的一些重点题型，流体其主要的物理性质，是吧？好，先看一下第一题，先读题啊， 他说，嗯，在半径它 r 等于零点一三米的固定圆筒内， 转动着一个半径 r 零等于零点一二米的同心圆筒，两个圆土长度相同，他说 l 都等于零点三米。然后他现在说，若两圆桶间充满液体，内桶要以 欧米伽等于二 pi， 然后 r a d 每秒的角速度旋转，则需要 m 等于零点八八牛米的力矩。然后它现在要求这个就是充满这个圆筒之间，它这个液体，它的动力粘性系数。 我们说好，先看一下，读完题之后呢，我们可以先画一个示意图啊，他既然说是两个圆筒套在一起嘛，我们可以嗯，表示一下，画在这里吧， 比如说这是里面的那个是内，内边就是内圆筒，然后外面是外圆筒，我们可以画个简单的图。 好，就是他说，呃，外面这个大 r， 它是零点一三米嘛，它是固定的， 然后里面这个小的 r 零等于零点一二，它是转动的，就是这个大 r， 然后里面这个小。哎呦，换个颜色， 这个小 r 零是零点一二米，然后他现在说长度呢，他也告诉你了，这个就是这一段距离 l 等于零点三米，然后是内桶在转，是不是？然后我们可以写一下，它有一个 欧米伽，零等于二派，他现在告诉你个例句，我们说是不是这种？嗯，题很容易就想到我们一个牛顿内摩擦定律是不是？那我们先来回顾一下这个牛顿内摩擦定律。先来看这个知识点，因为我已经标在这块了， 你看是不是他给出的例子是，是不是下面板是不动的，然后上面板的话就是以一个微的速度去动，这时候他中间就会有一个速度梯度，我们是不是 经过这个实际侧则啊？就是说是留题的速度是限行分布的，你看，嗯，我可以看一下，这个很容易想，是不是上板在动的话，下板不动， 那这边的速度是不是 v 就是 零啊？那上板的速度我们说他是以 v 的 速在动，那这块的速度是不是也就是一个 v 等于他运动的这个 v 是 不是我们就用 v 表示就好？然后中间呢，我们就记住这块它是一个线圈分布，对不对？ 当然了，这个牛顿内摩擦定律我们可以说是什么？只是用于牛顿流体， 当然这种题出出来一般也只会让你分析牛顿流体，不会给你个非牛顿流体让你去分析，好吧，好，这是一个引力。然后我们来看这个表达式是什么？这个很重要，是不是？我再重新写大一点，是不是？ 你是喵？ a d v 乘上 d h 对 不对？好，这个喵是什么喵？是不是就是这个动力黏度啊？我们来逐步拆解一下这些量， 他是动力黏度，这个 a 呢？ a 是 什么？是不是这个面积就是接触的面积？好，这个 d v 比 d h， 我 们可以通过这个图来看一下，比较直观。 d v b d h 是 不是中间的这个速度差呀？是不是？这是零的话，这是 v， 那 这个 d v 是 不是就是一个 v 嘛？对不对？那 d h 是 不是指它俩之间的这个距离啊？那我们说这块距离是多少呢？是不是一个 h， 对 吧？ 所以就是 v 比上 h 啊？这，这就是他的这个表达式，当然这块是求的什么？这块是不是求的是力啊？当然这个更加一般的，比如说我们要求这个切引力，是不是就是我们都知道这个 f 是 不是等于掏乘上这个 a 呀？对吧？这是什么？这就是切引力， 我们刚才给出了这个 f 的 式子，然后呢？现在又给出 f 等于掏成，所以我们很容易就怎么样。这个是不是掏就等于个 f 除上个 a 嘛？所以掏就等于 m u 乘上 d v b d h， 这就是我们这边。嗯，这个两个比较重要的公式的来来源啊，一个是算 f， 一个是算 t， 我 们把它标一下好，可以再看一下下面它这个给的一些条件啊。 嗯，先看这个物理含义是什么，是不是流体内摩擦力的大小与物流体的速度梯度和接触面积大小成正比，并且它粘性有关，是不是这个柿子就是这句话就能说明这个柿子吗？而且它干嘛我们说牛，它是有条件，这很重要， 适用条件是什么？只适用于有条不纹的线运动，就是什么？就是层流，是不是只有层流才能用 牛顿内摩擦定律？这个到后面也会涉及到，也可以先知道。 好，这，这个刚才也说了，只能适用于牛顿流体，是不是也就是这一些，然后这些是不能用的？好，我们这个知识点回顾呢，就说到这里，我们来看这个题啊。 嗯，来我把这块啊留着吧，来算一下。嗯，你看刚才咱们这个图是不是画出来了，他现在说需要啊，给你这个，这个这个什么是不是例句告诉你了，然后他让现在让你求这个什么 动力年限系数，什么是动力年限系数？是不是这个缪啊？这是再补充一个知识点啊，我们说动力年限系数和运动年限系数， 动力年限系数是不是缪？这运动年限系数是不是这个？那他们俩之间的关系是啥？是不是缪等于个，对吧？ 这个也很重要啊，他有时候会问，会问你不同的这个，有时他问你啊，这个动力粘度，是啊，动力年限系数是多少呢？然后他有时候问你运动年限系数多少呢？这样是不是我们只要知道这个 这个里面的密度，我们就可以对他俩进行相互转化？当然这道题他问的就是这个动力吗？是不是他我们就不用去想到这一步，但是如果有些题他问你的是运动的话，那我们要这样考虑来， 嗯，我把这稍微擦一下，咱们写着看着方便。 首先我们说是不是这俩是圆筒之间，我们说是不是间隙是很小啊？对不对？所以说我们近似就可以用做什么， 就看作这个速度呈线线分布，所以我们就可以用牛顿内摩擦定律来解决问题，你看这中间是不是距离是非常小的，是吧？ 然后，嗯，来我们先看一下这个速度梯度该怎么求，我们说是不是主最重要的式子就是 f 等于 m o a d v b d h， 那 这个 v 的 话是什么东西呢？我们说这个 v 是 不是线速度啊？ 但是这个题它给的速度是什么？把这擦掉啊，有点乱， 这个题它给的是不是 omega？ omega 是 什么？是角速度，我们说线速度和角速度怎么整？还是说 v 等于 omega r 啊，对吧？那所以说我们先来表示这个 d u b d h， 先就是先我们逐步分析这个式子啊， 这个 d v b d h， 那 我们说这个速度是什么？是不是就是 omega r， 因为外筒固定，内筒在转，是不是这个速度就是 omega 乘上个 r， 对 吧？ 然后底下呢，我们再比上它俩之间的间隙，间隙是什么？这个是不是很直观？那我们再放大看一下，是不是这块是什么？是大的半径，然后呢， 这块是不是小的？那中间我们要算的是不是就是这一块这个的它那的它应该是什么？是不是就大半截，小半截，对吧？那就是 r 减去 r， 这很这很容易理解啊，对吧？ 来我们这面就表示好了，这个量啊，这个量就是这个量表示好， 然后说我们说是不是这个例句是什么呀？这个物理知识吗？我们说例句 m m 是 等于什么呢？是不是我们这个例乘上 力臂啊，对不对？这就是理论力学的问题了，咱们这就不多过多赘述了，我们说他给出的例句，然后呢，是不是我们刚才表示了一堆这个大 f 啊？那这个 l 的 话，我们想想应该是什么？考虑一下 是不是就是这个这个小圆筒的内内内内径啊，就是这个小儿零嘛， 对不对？你看是不是内筒的例句是可以通过这个里面就是里面的液体传到外筒，所以说这个例句 m 呢，就是和它这个 f， 还有这个 l， 我 们此时就可以代替成 r 的， 是不是也就是 m 等于 f 乘上 r？ 来，我们把这个写一下，因为刚才已经表示出来了，是不是 f， 我 们就写成 miu a， 然后是 omega r 比上个大 r 减去小 r 啊，对，这个是 r 零 啊，这个小 r 我 们以后统一写成 r 零啊，因为他给的是 r 零，然后这边是什么？这个是不是 f 表出来了，后面再乘个 r 嘛？对吧？这块就写好，把这个往下放一放。 好，我们再看这个式子，是不是这个 a 还不知道 a 是 什么？ a 是 不是它接触的面积啊？那我们想这个桶，这个桶它的接触面积怎么算？是不是把这个看成里面是一个，想象一下，就是从这剪一刀，是不是竖着剪一刀， 它是不是展开之后是一个矩形，对不对？那这个矩形的长就是宽，先算宽，宽是不是这个 l 啊？ l 是 零点三，那长呢？长是不是这一圈这个周长啊？是不是？ 周长的话，我们说半径是 r， 那 这个它的周长是什么？是不是二倍 r， 所以 说就是这个 s 就是 这个 a 嘛？面积是不是就等于它的面积？那就是 二 pi r 乘上一个 l 没问题吧？二 pi r 乘 l 吗？那我把这改写一下，这是不是就等于 miu 乘上二 pi r 乘上个 l， 然后再抄下来 二零了， 对吧？好，现在我们看啊。嗯，再把这个选过来。来，我们现在分析这个式子， 是不是 m 等于个这个二 miu 乘上二 pi r 零乘 l 乘上欧米伽 r 零除上 r 减 r 零乘 r 啊， r 零啊，啊，这个他这个 r 零就是 r 嘛，对不对？有时候方便写，直接写小 r 了，它是一样。后面看现在在分析这个式子，我们说 m 是 不是已知啊？ m 他 告诉你是什么，是不是 这个零点零点八八牛米啊，对不对？ miu 呢？ miu 不知道，是不是我们先控制 miu 不知道二 pad 已知吧， r 零是什么？ r 零也告诉你了，是不是 r 零已知，把这个放小一点， r 零是不是已知？ l 是 吗？ l 已知 omega， omega 也告诉你了， r 零 r 零都知道，大 r r 零都知道，是不是？这整个式子我们不知道的只有什么呀？ 不知道只有 miu 吗？是不是？那这不就好解了吗？我们说 miu 就 可以写成什么，除了 miu 不知道，那么就 miu 等于个什么？把所有的事往里一带，是不是？这就是能求出来吧，来写一下啊， 在这写吧，这个地方有点小， 来看着这边，我们说是不是 miu 就 可以写成 dim， 除上个 r omega， 然后 r 减大， r 减小， r 乘上二 pi r l r 这个 l 也是大写 l 二，是不是好代入数据嘛？这是不是零点八八除上个零点一二乘二，派除上 除上零点一三减零点一二乘二，派乘零点一二乘零点三，写下 乘零点三乘零点一二。这个单位我就不写了，应该是怕秒， 最后这个一算一算我就不算了啊，就这个计算器能敲出来，应该最后是零点四三零不是？当然这块我们可以记一下这个 mu 的 单位是什么？ 嗯？单位吗？是不是这个怕怕秒吗？对不对？这个后面就代数就是一个纯的数学问题了。好吧，这个我们你看，主要就是先讲了一下这个牛顿内摩擦定律，我们把知识回顾了。 还有就是这个题呢，其实一个很典型的例子啊，我们现在看到这种题，就要想到用这个牛顿内摩擦定律重点的公式要记这些。 一个是这个，我写的就是这个 f 等于 mu a d u b d h， 然后有时候他有可能让你算这个吸引力，你说吸引力是啥？ 就是没有这个 a 嘛，因为 f 等于掏乘上个 a， 那 我们说求掏是不是掏是不就等于 f 除上个 a 嘛？就把这个这里的 a 去掉，是不是就是它就是这个掏了，对吧？ 还有一个重要的公式就是这个，有时候他，他让你求的是什么？他有时候让你求动力年薪系数，有时候让你求运动年系数，这要看清楚啊，就这一块，好吧，其他的就没什么。这个题也是很典型的一个例子。 呃，一杠三啊。第二个题，刚才那个应该是一个立体来，这个题还是很有意思啊。来我们读一下题， 他说用二百升的这个汽油桶， 那我们先画一下，就是一个汽油桶啊，就是这么一个桶， 他告诉你这个 v 是 二百升。好，他现在说装相对密度，为什么为零点七的七？有什么叫相对密度啊？我说相对密度是针对谁啊？是不针对水来说，对吧？ 那这相对密度是不是等于我们要求的这个，比如说柔柔撇吧，比上这个柔水，是不是得到了这个数值，就是这个相对密度？那我们说那这个柔撇是什么？是不是就是 这个相对就是相对密度 乘上了 ro 水嘛，对吧？你说 ro 水是啥？是不是一千千克每立方米？那这里面相当于就是零点七，那我们说这 ro u 汽油啊，他这一周汽油是不是很好算啊？像这个 u 汽油就是一个七百千克每立方，好，这他给的第一个点我们是不是算出来了？来这块就把它擦掉，我们把它这块 就他给一个点，我们就算出来，他想让我们算的东西，最后解析就会比较简便，把这个写到这边， 嗯， 然后他说灌装时叶面上压墙为一个大气压，真正不好说吧，这就是最理想的情况，是不是这个一个大气压嘛？然后封闭后温度升高了二十度，然后汽油的蒸气压是什么？零点一八个这个 大气啊，然后他现在说若汽油的膨胀系数为零点零零零六啊，这个 度负一四方。然后现在又说体积弹性系数是一万四千个大卡。然后他现在让你计算啊，由于压缩及温度变化所增减的体积。 然后他又问你啊，这是这是一问，然后他又问你，灌装时他每桶最多不超过多少为一，他这个都让你求一个啥呀？是不是求这个质量啊？对不对？ 就让你求一个，就是它现在是不是用二百升的这个汽油装，它现在怎么样？是不是经过它里面这些的操作，它体积会变化，但是这个什么 这个桶，它总的容积， 总的容积是不变的，但是这个体积就是油的体积， 油的体积在变，他现在这让问你啥，就是你放多少千克的油， 多少千克的油，就是这个体积在变，怎么样？是不是小，永远小于等于二百，当然他他这样问，是不是我们就只需要计算等于，就是变化后，体积等于二百的时候，我们把它作为临界值计算出来就好了， 好吧，就算一个就是变化，变化前后，这个啊，就变化后吧，他这个体积正好达到这个二百，就是他给的这个，我们就把这个 m 计算计算出来就好了。好吧，这就是这道题，我们先是一个总体的， 总体的大观吧，好吧，嗯，来我们接下来看一下这个啊。这个首先咱们要分析一下，就是回顾一下这个流体的压缩性和膨胀性，他的这这些知识点。 嗯，我找个地方啊，找个地方写一下， 在这在这先写一下吧，回顾一下，这只是回顾，我觉得大家应该都是学过的。首先有一个叫什么叫等温压缩系数， 然后有个叫什么等压体膨胀系数， 这块一般就是这方面的题的话，一般就用的是这两个，这两个概念来首先分享这个等压，呃，就是等温，是不是温度不变，等压压压缩不变就不说了。那我们说等温压缩系数应该是什么？怎么表示啊？是不是 这个等于负的 d v 比上一个 d p？ 先把它这个大概的样子给再写一下， 上面就是除啊，就是除嘛，分之那个除 这个，你看这个，这个柿子，我们来都说一下，这是什么意思啊？这个柿子 换个颜色，首先看这个等温压缩系数，这个 d p 是 什么？顾名思义，这是不是压缩的变化，我就不写了，我们说一下就行，这是不是压缩的变化，这呢？体积的变化，这是不是原始的那个体积，对吧？ 那这个等压体膨胀系数呢？ d v 是 什么？就是这个体积的变化嘛？ d t 是 不是温度变化？我写一下 这个是不是也不说了？就是体积吗？是不是注意啊？这个，这个前面有一个符号，不要丢了。好吧，来我们这块来这边看一下，这是这个书上给的这个 看一下重点的内容。首先这个体积压缩系数是什么？是不是在温度不变的前提下，它干嘛？体积缩小的性质称为压缩性， 用什么这个 beta p 的 度量吗？它就是什么单位加强的变化所引起的体积的相对变化量，是不是就是这个， 对吧？它有两个形式啊，这个都要记住，一个是负的底位比位，除上个 d p， 然后也等于周分之一的 d 周比 d p， 这两两种形式都要记住好。 然后呢？下面就是什么体积弹性系数，这个其实是它依托于这个，这个贝塔，呃呃，贝塔屁来表示的是什么？它就是什么， 就贝塔屁分之一啊，这个体积弹性系数 e 和这个体积压缩系数就是倒数关系。 好吧，就是这是后面，后面就完全就给它颠倒了个，其实你记住了这个体压缩系数，这个体弹性系数也就记住了，可以吧？ 咱们就回顾一下，因为大家都学过，还有个这个，这个可能比如说一些这个简单题问你，我们说一直啥是一直，刚讲了，是不是这个体积弹性系数什么一直越大表明流体越难压缩，对不对？好，这块咱们知识点回顾完了，看题吧， 我把这块擦一下，因为没有地方写。 首先咱们说这个汽油它给的这个膨胀系数是不是就是我们刚才讲的啥？这个是什么东西啊？ 是不是就是， 对吧？那他给的后面这个呢？体积弹性系数，是不是刚讲了这什么？这是 e， 对 吧？那这个 e 又等于什么？ e 又等于它的倒数吗？是不是？那它又等于什么？我们刚才是不是也讲了？ 就不说了，来，下面咱们来看一下这个题。 首先这个七百千克，每每，呃，每毫米说过了，那我们就写这个式子了，是不是？他既然就用的这两个式子，我们先把它写出来，已经写好了，把它这个再写一下吧， 是不是被他 t 等于个 d v 除上 v， 然后是 d t， 对 不对？那我们分析这整个变化过程啊，这个 d t 是 啥东西？ t 是 不是温度啊？我们说这个温度升高了二十度，我们说 d t 是 多少？ 首先首先要明确一个点啊，这个不管是 d 什么，是不是都是末状态减去初状态对不对？ 那这这个题呢？假如说他末状态是四十，初状态是不是二十？这时候满足了身高是二十，那这个 d t 是 正的还是负的？是不是 d t 应该是正的呀？那么这个 d t 填多少就二十？在这个，在这个整个过程里面 看起来整过程是不是就二十啊？那上面那个 d v b v 知道吗？不知道，是不是只知道这个 dt 它是一个正的二十号，现在他告诉你这个 dt 给的是多少？是不？零点零零零六啊，对吧？ 好，那这个式子我们是不是可以怎么样就得到什么呀？这个整理一下吗？把这擦了， 整理一下是不是就得到这个 d v t， 我 们再起个小 t 啊？因为这是什么？是等温变化嘛，对不对？ 来，这个 d t 比乘 v 等于什么？是不是二十乘上个零点零零零六，等于个零点零一二嘛？对吧？这个是怎么写出来？先放一边，一会有用。好吧，这个这个第一个这个条件就用完了， 来看第二个，他说体积弹性系数 e， 他 告诉这，这怎么用啊？咱们是不是就练那个背他屁的式子，对吧？就是 e 就 等于什么？ e 是 不就等于 分之一，然后上面是什么？是不是 d p？ d v d v， 这咋来的？我就不说了，你们刚才讲知识点的时候讲的很清楚了，不太懂的同学可以往前翻着看一下，这是纯代数问题吗？那现在我们看这个 d p， 这个 d p， 我 们说 d p 是 什么？什么末减出啊？ 好，这块很容易错，就有些同学一看啊，什么是初十，这个是 e a t， 好， 现在真假变成零点一八了，好家伙，他给你写成什么末？他写的是末的是一点零点一八，减去个一，他算出来是一个负的，是个八十二，零点八二， 这大错特错啊。好吧，这个什么末减出应该是啥？我们我们先考虑一下，他这个给的正弦是啥呀？ 是不是他是他给的这个正恰，零点一八是已经基于这个就是以是大恰为基准了，就是 就这是有一个类似于比如相对压强，绝对压强的概念，他这个零点一八已经是怎么样？是不是默认是吗？以这个一个大气压强为基准，他又测出来这个是能理解吧？ 所以说千万不要以为它里面会现在出现负压，那就错，那你说这时候的末减出应该是什么？ 刚才说的是不是一个大相位基准，它测出来这个压强是这么多，那是不是就是末的这个？嗯，可以说是绝对的，这个压强表示是不是应该是一点一八， 对吧？再减去出的是一，这时候如果用这种绝对绝对的这种想法来考虑，是不是这时候，此时第二他 p 应该是一个零点一吧，这很容易错，就不要搞错了。 好，把这个带入写一下，那现在这个下面是什么？是不是 d 还是 d 吗？还是 d v b v 等于多少？他现在告诉你这个弹性系数是一万四吗？好，这个我们跟这个上面是一样，保持一致。我们推导一下这个啊，当然这个是可以求出什么 d v p b 上了， 当然这块这个你看这的 t， 这的 p 其实都是代号，这是代号，就我们更更清楚来表示，是不是这时候 d v p 比上个五倍，我们可以算出来是 负的，一个是一点二八乘上十的平方啊，这 有个符号，刚才忘抄了，这个确实很容易错，负的是不是 来看这看这是不是，这不都是负的，这个 e 前面都是负的嘛，对不对？这确实很易错啊，这不要写错了。 好，那我们现在就得到这两个式子。那其实大家看这是什么东西啊？ 我们说这个 v 是 啥呀？ v 是 不是体积啊？那这个上面是个，一个是 d v t， 一个是 d v p， 是 不是它们这都是体积的变化，对不对？ 那好，我们再把这个式子变形一下，是不是这，比如这是式，第一个式子，这是第二个式子，那第一个式子我们是不是就可以写成什么 d v t 等于个零点零一二 v， 对 吧？这能理解吗？是不是可以这样写？ 那第二个呢？是不是可以写成 d v p？ 这都是代号，是不是？负的一点二八乘上十的负五次方乘上 v， 对 不对？好，我们说现在干嘛？这是什么？这两个，这个 d v， 两个 d v 都是什么？这是不是体积的变化量啊？ 没毛病吧？是不是？我们这个最后要算的是啥呀？ 是不是要算就是就是这个体积变化之后，我们要正好使这个体加多少，是不是二百，对吧？那我们刚开始的体积，我们是不是一个 v 啊？对吧？那 后面这两次变化的它的体积变化是，我没表示出来，那所以说这块就可以写成什么？我往下写了，一般不够，是不就可以写成刚开始是个 v， 要干嘛？加上 d v t， 这是一次变化，再加上 d v p， 这两次变化，这干嘛？ 我说刚才临界值是不是二百，是个二百？好，这块是不是就怎么样？这等式就列出来了吧。 d v t 可以 写成啥？是不是零点零一二 v， 这个 d v p 是 可以写成啥？是不是？ 呃，负的一点二八乘上十的五次方 v， 然后前面是个 v， 是 不是？哎呀， 可以吧，这是不是就是一个关于 v 的 一元？一元一次方程，对吧？嗯，但是这把这个 v 都提出来，里面是不是就是常数啊？ 等于二百，地方太小了， 是不是二百，对吧？那这 v 是 不是就很好解了？我们说最后 v 等于多少？这个课下可以自己去敲计算器啊，最后 v 应该算出来是一百九十七点六三升。 那现在我们说要求什么？是不是让你刚才已经分析过了，是不是求一个 m 啊？是不是因为这个 m 它的就是汽油的质量，是固定的，从始至终变化的都是什么体积，对不对？那我们说算出来初使这个 v 是 多少 m？ 是 不是等于 u v 啊？这 u 我 们正好算出来吧，多少？是不是七百千克每平方米， 这个多少？注意这单位是升啊，不要直接乘这个了，最后应该是七百乘上个零点一九七六三，注意这个是升和这这单位是多少？是不是这个立方米，对吧？ 这个最后可以自己敲一下计算器，最后应该是一百三十八点三四千克的汽汽油，这个题就是这样子。 嗯，总结下来说，大家可以抄一下这个笔记， 嗯，给大家讲一下重点吧，重点的话我们就是要掌握这两个式子，一个是这个等温压缩系数，一个是等压体配上系数，就是一个被他 p 和被他 p， 他 这两个式在什么时候用啊？你们要搞清楚。而且有些易错的点，比如说这块符号很容易丢，然后还有一个， 有时候他这个背他屁，还有这个 e， 他 们就会相互转化，对不对？这个 e 划一下这个 e 啊，他们之间就这三个，这三个式子都要记住很重要。 而且还有有一个相对相对密度的概念，注意这个永远是针对什么 是与水比啊，对吧？与水的密度比得到它的相对密度。还有一个要注意的点就是，嗯，为什么这个 dp 是 一个正正值而不是负值，要搞清楚什么时候考虑这个。呃，相对什么时候考虑这个绝对这块也比较易错，好吧。 嗯，其他的我再看一下，没有什么好说的。好吧，这个题还是。嗯，还是很有意思来。 嗯，讲完那个我们来看一个这个吧。

大家好，我是小王学长，然后这个是我在这个视频发布的第一个内容。然后首先先自我介绍一下，我是二六考研，然后考的是华北电力的冷冻专业，然后很幸运一志愿上岸了， 然后这段时间嘛就时间比较充裕，然后我就想着试着做一下这个考研的辅导这种视频，然后同时也是挑战一下自己。 而且我是刚经历完考研嘛，就是对考研的各个阶段需要做什么就比较有切身的体会， 而且对这些专业课内容记得也比较扎实，现在也掌握的比较好。我就想着利用我的课余时间，我就做一下这个能动各个 各个专业课的一些，嗯，知识点的梳理总结吧。嗯，然后再讲一下我为什么要讲这种课， 嗯，也就是我讲课的初衷吧。嗯，我我我，我在这也写了一下，就是， 嗯，我不知道你们现在有没有去开开开始专业课的学习，可能现在还稍微有点早啊，可能你们还并没有开始专业课的学习，我去年就是大大概在这个时候就开始就 就是也也不知道自己要选什么。农作专业不是一开始就选好了，然后后面也就在筛选，也听了一些专业课，就包括后面也听了不少专业课，就是网上的一些视频，一些网盘课， 就是其中有很多就讲的，嗯，说实话就是比较垃圾，然后他就是对着一本书，就是对着参考书给你进行勾勾画画，就跟朗诵一样，就，嗯， 就就很明显就很垃圾，而且也很费时间，你就算开着背诵听，感觉 听完也很累，其实你真到了做题的时候，感觉也并没有什么很大的进步，然后，嗯，我就感觉考研是效率的比拼，最起码在专业课，这是效率的比拼。 然后我做这些专业课的讲解的梳理，还有梳理，我肯定会把效率放在首位，就是把同样的内容尽量把重点给摘出来，然后把时间成本压到最低。 因为各位考研人，你们每天能投在学习上的时间是有限的，效率高的话，你可能能多学几遍就很有帮助嘛。然后就是讲一下我讲课的规划， 我首先要做的就是传热血知识点的总结和梳理，我会把每章的时长控制在半个小时以内，然后像这种序论之类的短的章节我会尽可能的短， 然后我大概分成了这么七节，然后分别是序论，本胎传热、非本胎传热，还有数值计算，然后对流换热，还有相变辐射和换热器，一共七张。嗯，这是我对传热学的知识点的梳理总结。 然后我还规划了一下后面的讲课规划，大概是有公热的知识点的梳理总结和流体的知识点梳理总结能动。考研一般都是在这三本书里面选一本啊，当然有的选两本， 就是进行学习嘛，进行学习，然后后面讲完这三本书的大体的知识点梳理总结后，我会讲一些这三门课的更加精细的梳理总结，比如名词解释，然后公式汇总，还有等过了暑假 讲一些就是你们想看的学校的往年专题，然后或者准备一些比较有新意的模拟卷，或者一些就是像其他科目一样做的比较系统比较好一点的那种知识梳理 就是后面，后面再再做什么我会再好好想一想，就是尽可能的帮助到你们， 然后这个账号做的这些东西肯定是完全免费的，那不存在给你讲一半后面需要收费的这种情况，我，我是为了，嗯，帮助到更多的考研人，就尽可能的做一些这些东西， 这就是我大概的讲课规划，然后谢谢大家。我会在我会在接下来的日子里每天对这些准准准备这些 版书了，或者是准备题了，或者是讲课的时候会每天都会多上一点心，争取已经争取尽快把我说的这 呃传热学攻热和流体这三部分知识点梳理给做完。谢谢大家，希望大家多多支持。

你肯定遇到过这种极其真实的场景，刚出门的时候，时速二十公里，那叫一个轻松惬意，你甚至感觉不到什么阻力，踏平踩了飞起，整个人顺滑无比。但是当你心血来潮开始发力，把速度往三十甚至四十公里推的时候，情况突然变得极其诡异， 明明树叶都没动，压根没刮风，但你就是感觉好像有一只看不见的巨大手掌，正在迎面死死的按住你的肩膀，不让你往前走半步。 所以，究竟为什么突破四十公里的时速会这么让人崩溃呢？这里面有一个咱们常犯的认知误区，咱们总觉得空气是空的，但在流体力学里，空气实打实是一种流体。 当你四十公里的时速冲刺时，其实是你自己在用肉身制造一场小型飓风，你想想，你要去强行撞开一团这么浓密的流体，能不累吗？ 很多刚入坑公路车的朋友，一遇到这种速度瓶颈，第一反应就是我是不是该升级器材了，然后就开始死磕轻量化，花大价钱去换碳纤维车架、顶级轮组，甚至连螺丝都得换成钛合金的，就为了扣下那几百克的重量。 但在平路巡航的时候，只要你的速度越过了一定的门槛，你花大价钱搞的轻量化几乎起不到什么作用。因为在这个速度域里，只有一位绝对的暴君在统治一切，那就是空气阻力。 这里有个数字，八。为什么是八呢？因为空气阻力可不是乖乖按比例增长的，他是个乘指数级暴涨的怪物。 当你的速度从二十公里翻倍到四十公里时，你对抗的空气阻力可不是翻一倍，而是直接飙上了四倍。更要命的是，为了克服这四倍的阻力，你的双腿需要输出的功率得暴增整整八倍。 在时速达到四十公里的时候，你辛辛苦苦踩出来的那些瓦特有多达百分之八十五到九十，根本没用来克服车轮的滚动阻力，也没用来爬坡，这大把大把宝贵的体能就这么白白浪费掉了，全拿去推开你面前那堵看不见的空气墙了。 那么空气到底是怎么神不知鬼不觉偷走你的功率的呢？假设现在大黑天的，你正前方有一盏超级大探照灯直直的打在你身上，你在背后的墙上肯定会投下一个剪影对吧？这个剪影的实际面积就是你的迎风面积。 如果你直挺挺的坐着骑车，那你就是一堵巨大的肉墙在无情的撞击空气分子，撞击面越大，阻力自然就越恐怖。这也是为什么你看到那些 pro 们永远都是死死的趴在车把上。 不过光把迎风面积缩到最小还不够。流体力学里还有个更深层的麻烦事，那就是咱们人类的身体天生就是一个极其糟糕的空气动力学在体。你看咱们有圆滚滚的肩膀，宽阔的胸膛，还有上下不断翻飞的双腿，这身体表面全是突兀的曲线和沟壕， 当高速气流撞上来的时候，这些复杂的形状根本没法让空气平顺的划过去，也就是行不成那种理想的层流。 重点来了，这是一个绝对核心的现象，边界层分离。当你往前骑的时候，有一层极薄的空气是紧贴着你身体表面的，这就是边界层。当这层空气划过你的肩膀，准备顺着背部流走的时候， 因为你身体形状急剧收缩，他突然发现周围空间变大了，这时候这层空气的动能撑不住了，他没法再紧紧贴着你后背的曲线走。就在这一瞬间，气流直接从你的身体表面脱轨，无情的分离了。 气流一旦分离，你的背后会瞬间生成一个极其混乱巨大的低压气旋区，也就是我们常说的尾流。 你看你的正前方是身体推挤空气形成的高压区，而后背却是个低压的真空区，前面再往后推，你后面再往后吸，你这两边一拉扯，就产生了一种极度可怕的阻力，叫做压差阻力。那咱们怎么去对付这个呢？ 传统的低框铝轮是方形洁面，它划过空气时，气流会非常剧烈的奋力拉出一个超大的尾流，而为什么大家都要换高矿的碳纤维刀轮，它的洁面是水滴型的， 它的真正作用是梳理气流，极大的推迟了气流脱离的时间，让空气在后方平滑的汇合，从而把背后的低压区缩到最小。 这种对抗气流分离的玩法，在气动服和高尔夫球上玩的更是极其反，直觉为什么顶级气动连体服表面全都是坑坑洼洼的网格， 高尔夫球上为什么那么多小凹坑，看起来好像是变粗糙了，但实际上这是在人为制造极其微小的稳流。 这些小稳流因为在内部高速翻滚，动能非常大，这股动能能让空气死死的咬住你的身体更长时间，大大推迟了分离的发生，最关键的结论来了，停止用你纯粹的肌肉蛮力去跟物理定律死磕，别再像个铁头娃一样去硬推那堵空气墙了。 现在咱们要把频道从理论分析切换到路面实战模式，我要教你怎么通过调整你自己的身体形状，去降低那个可怕的压叉阻力，把流体力学变成你破风的武器。 下次出门骑车，立马执行这三个平路姿势微调。首先分解你的低趴动作，重心降下来，双手抓下巴背，手肘微屈，让你的前臂尽可能的和地面平行。 第二步，把头低下去，下巴往把立上靠。想象你的头盔就是个破开水面的锥子，引导气流顺着你的背划走。 第三步极其关键，控制好你的膝盖，踩踏的时候让膝盖尽可能死死贴近车架上管，千万别让双腿像老鹰展翅一样在两边兜风，把你的身体收缩成路面上最紧凑的一颗炮弹。 当你把这三个动作做标准，完美调整好身体形状后，你会马上体验到一种魔法般的错觉，你的腿一瓦特都没多踩，但马表上的速度就是悄悄上去了， 那种被死死按住的感觉消失了，耳边的风声也变顺了。你不仅仅是在骑车，你是在驯服空气。那么下次当你再次踩下踏板，面对那堵无形的墙时，你准备好去掌控属于你自己的那阵风了吗？

很多人一提到吞流，第一反应就是流体力学百年难题。其实它只是流体力学里的基础现象，大气气流、流水漩涡这类日常常见景象，至今依旧没有一套统一通用的理论解法。这本流体力学实用好书吞流直接掀翻了传统教材的枯燥说教。他不跟你废话，直接从吞流的性质、流体运动方程建模与仿真，全部还原成了极度清晰的物理图像。 你以为搞不懂流体，是因为数学底子太薄，没想到这本书在最后甩出了一个超级豪华的数学急救包，从迪卡儿、张亮、迪拉克、刁塔函数，到马尔可夫过程和白造生，全部给你从零掰碎了讲明白，更觉得是他把工业界最崩溃的禁闭处理和槽道流动讲得透彻易懂。当你真正明白每一次贪流粘性假设的背后， 到底藏着怎样的流体物理本质，搞懂了它，你就不再是被软件操控的调餐侠，而是真正能让仿真数据死死咬合实验结果的专业操盘手。所有不想一辈子做底层化网格的 c、 f、 d 工程师，想摆脱无效科研内耗，这本实战好书，别错过，点击左下角直接带走！

一本专门讲吞瘤的好书，他是真的把流体力学里最难的那部分讲透了。吞瘤难就难在你能看到他，却很难用数学描述他。 他是工程里最常见的现象，但也是公认连续界制力学里最复杂的问题。这本书最厉害的地方是他不上来就甩方程，而是先带你看清楚吞瘤长什么样。 他从最基础的自由剪切瘤中的原型射瘤讲起，一步步让你看懂动量和动能是怎么在窝里传递的， 吞流的能量极串是怎么从大窝传到小窝再耗散掉的。把这些看清楚之后，他才进入真正的硬核部分。吞流模型为什么直接数值模拟算不动？复杂工程问题， 大窝模拟到底在做什么样的取舍？袋数受力模型和非限性涡黏模型各自有什么局限？这些做 c、 f、 d 的 人经常用，但很少有人真正讲清楚的问题。书里一个一个给你拆开。 他还专门讲了均匀吞流、吞流扩散以及概率密度函数方法和福克普朗克方程，把吞流的统计描述讲的特别系统。研究生，做 c、 f、 d 的 工程师，流体力学方向的科研人员。这本书放手边反复看，真的能打通你对吞流的整体认知。

故事也很多。

很多人留言问我，有没有一本书能把历学从头到尾讲清楚，又不会被公式劝退，还得读起来轻松有趣？我会直接推荐这本历学讲义，它最大的亮点就是部队半句枯燥公式，全靠思想实验，把历学从根而上讲透。宇宙中遥远的恒星能奏乐吗？为什么？非限性弹簧变形中的乐让德变换是什么？ 我们的声带能够发生？核心的历学原理又是什么？书中都有答案。最难得的是，这本书完全不枯燥，每一个知识点都是用有趣的科学小故事、 珍贵的历史老照片来引入，把原本看不见摸不着的历学规律转化为可以直观一懂的画面，包括牛顿历学、拉格朗日历学、哈密顿历学，这些知识串成了一套完整的知识框架。同时还盖连续借着历学到非限性历学，初步带你溯源历学的发展本质。 每一张结束后都配有对应的思考题和补充材料。最后还附上科学大事件表，方便大家梳理知识脉络。不管你是正在学习数理科目觉得历学难懂的学生，还是已经毕业很久，但依然对世间万物原理充满好奇的朋友，都能用得上这本书，推荐给大家。

好，我们开始流体力学第九节课，我们讲明渠的恒定流的几个概概念。明渠呢是指人工修建的一种自然形成的河道，它是压流， 然后呢这个当明渠的这个水流的运动要素，比如说压强、流速或是流量都不随时间变化的时候，就叫做恒定流， 呃，否则呢就是非恒定流。当这个呃运动要素它都不随这个流程变化的话呢，就叫做恒定军运流，简称军运流，然后呢否则就会称为您渠道一个非军流， 那这个根据这个渠道的断面呢，它有很多断面，有矩形的、梯形的、圆形的，还有抛物线形的，梯形的呢，比较常见，就这样梯形的， 然后我们讲底坡，底坡呢也叫坡降，就是这个流体吧，顺着这边流， 这样流，然后这边呢是一个坡，那从高度 z 到 z 一 到 z 二，它的一个，嗯，高度，这是高度，那这是它的这个距离，它的底坡呢就等于它这个高度差，除以它这个 l 就 叫坡，它也叫坡降。 顺坡呢就是这个 i 大 于零 平坡呢就是它等于零逆坡呢就是 i 小 于零，就是可以也可以说成是上坡，就是它的一个负负的，这是一个正坡。 最大允许流速就是流道，流渠道当中呢流速过大，它也不能够承受它这个，嗯，限度不会对它有一个冲刷的破坏，那叫做不冲流速，那有一个最小的允许流速呢，就是它不会产生淤泥，这样呢叫做不淤流速。 这个是常见的一个梯形的一个断面，底下呢这个这个叫下底，它的宽度呢是小臂，然后上底呢是大臂，也叫做水面宽，然后它这是它的高。 h， 这边呢有一个角，就是这个坡和平面，这个角阿尔法 有一个坡度的系数，这个就是 m， 表示 m 等于 cosine 角阿尔法。然后水力半径呢，就是它的这个失水的这个面积呢处于它的时轴， 这里面的时针呢就是这个边，这个边加这个边，然后再加底下这个边，这才时针。然后呢当量的直径就等于四倍的水力半径。这边是上节课讲的 它对于圆形的一个界面渠道，它在这个没有充满的时候呢，它的一个高是 h， 它的直径是 d， 那 它的充满度就是 h b d， 这是它的概念，就充满度， 然后米取均匀流的水滴特征，这有一个坡，然后这个流呢往下流， 在他往下流的时候呢，他要求的是他的这个断面的面积，还有水深是延成不变的。这边呢是一个水面线，这条线是水面线，这边呢是一个总水的水总水头线，总水头的这个线 他是比这个水面线呢多了一个 u 方，比二 g 的 一个这个压浆啊，这个这个水头。然后呢这个一共是三条线吧，一个底坡线，一个中水头线，还有一个水面线，他都是平行的。 然后呢因为它这个水流呢，它是只受到一个重力和摩擦力的一个作用，那它往下流的时候，它受到一个重力，它在这个 x 方向内有个水平的分力，它水平分力就应该等于它的摩擦力，为什么呢？因为它的流速油是不变的， 所以名曲的均匀流，他要求的是恒定流动，他流量表示保持不变。然后呢就是他的这个渠道呢，是一个 x 顺子的一个零楞柱型的一个渠道，就是他的 i 是 不变，他的坡底，他的底坡， 然后呢它的粗糙度也是沿成不变的，这个呢是提取均匀流的一个水分子计算，它的 u 呢等于 c 倍的根号下 i， c 是 卸载系数，然后呢这个二是那个水力半径， i 是 底坡， 然后我们看这个 c 卸载系数应该等于 n 分 之一倍的二的六分之一次方，这个 n 呢是它的粗糙系数， 所以呢把它带进来这个 q 就 等于面积乘以这个流流速，然后呢把它带进来这个流速，然后就会得到这个 a c 乘以多少下 i， 然后呢把它这个因为 i 也等于这 把它带进来，那它前面的这些就等于它的等 k， 那 k 也叫去了流量数， 领取均匀的水力最优段面，它因为它是这个公式，然后把它带进来，因为把这个 c 带进来， c 是 线段系数， 然后带进来以后呢，它这个就会得到是这个公式，然后呢再带进来这个这个水力半径的，然后就会得到这个公式。那我们知道当 i n a 是 一定的时候呢，如果说流量比较大的时候，那这种段面呢就是， 嗯最好的就是最优的断面。若当 i n q 一定的时候呢，就是 a 最小的时候呢，就是它这个面积过水的这个断面面积小的时候呢，就是它的最与水的最优断面。 它所有的形状里面的圆形是最优的，那那圆形里面呢，半圆就是水的最优的， 然后 t 型断面水力最优。我们知道上上面讲的那个 m 呢是等于 cot 的 r 的， 然后这个还是 t 型，当它要求是这个 t 型的时候是，就是 b 比 h 等于二倍的这个公式的时候，它这个这个的时候，这个 t 型的允许的水力呢是最优短面， 然后像矩形的呢，它的最右断面就是 b 等于二倍的 h 的 时候是最优。 然后管道乌鸦流的水滴特征就是它有一个实验就不停，就是它做实验，它也是满管的，有一个那个满管度嘛，它这个阿尔法就是最大，是一， 然后呢它有一个 v 零和 q 零，它就属于是满管时候的速度和流量。然后我们 那经过这个多次的实验呢，可以知道，就是当这个满管这个满管度等于零点九五的时候呢，它的流量是最大的，就是在这个位置的时候最大。那这个它的值呢？它这个比值就是 一点，大概在这个位置一点零七五。那当他这个满管的时候，是啊，他满管值是满管度是零点八一的时候呢啊，这上面写错了，是流速是最大的，流速是最大的， 然后呢是他这个笔直大概到这就是一点一点一六。 当这个芒果度等于零点八的时候呢，它的流量就等于芒果流量，当它等于零点五的时候，它就等于芒果流速，这个是它的这个无压是水无压的时候实力特征。

很多人留言问我吞流是什么？其实在我们日常环境里随处都能碰到，就像烟囱飘出来自散散开的烟，就是最直观的吞流。不少朋友想找吞流相关书籍，既能把知识讲透彻，又不会满是公式让人望而却步。我会直接推荐这本吞流专业读物。 这本书最特别的地方就是不会一上来就堆砌复杂方程。先带你直观认清贪流到底是什么样子。从最基础的贪流的性质到贪流的随机性，从雷诺方程到槽道流动，最后延伸到建模与仿真研究。书中内容不是零散知识点堆砌，而是梳理出一套不断探索、完善迭代的完整物理思维脉络。 平日里大家疑惑的问题，书中都有清晰的由来与解答，贪流具备哪些明显特征，该怎样量化描述贪流现象，如 何搭建方程完成吞流模拟与建模。作为科学出版出品的优质书籍，内容专业扎实，全书六百多页，搭配副路内容，把流体力学里最难的吞流知识转化为通俗易懂的内容，市面上很少能把这类冷门难题讲解透彻，而这本书全都逐一拆解讲明白。 书中还细致讲解均匀吞瘤、吞瘤分散以及帕塞瓦尔定律和福克普朗克方程，把吞瘤的统计描述讲得特别系统。研究生，做 c、 f、 d 的 工程师，流体力学方向的科研人员，这本书放手边反复看，真的能打通你对吞瘤的整体认知。

嗯，大家好，我们讲流体力学的第五节课，我们看一下伯努利方程在工程当中的一个应用， 这个呢这边有水流流过来，水流往这边流，然后呢往这边流，以后呢这边有个管是连通的，这边呢也是连通的，但这个管呢它的这个方向是和流速是垂直的，这个管的方向是平行的，然后呢这样流过来，流过来以后呢然后我们看一下这边有一个 戒指，在这个管中，他呢可能是可能是拱，也可能是其他的，他会有一个高度的变化，那这个位置呢侧侧的一个， 嗯，水头呢是净压头和胃，那这个迎刃的呢会比他多一个洞洞，这个是区别。我们知道我们讲一个文丘里的流量计，他是什么要求，就是他的这边是粗，这边是细，这边是粗，那么然后后面呢会 讲他的题，这边呢我们看一下这个题，这是一个水银的一个液压机的一个测量管，这边有一个腿就往里边溜，测到这个断面呢，他的流速呢是二厘米秒，然后呢我们想求他的 d 太 h， 我们知道这边呢测的这个是它的这个，嗯，净压头还有它的那个位能，这个二处呢会多一个动能，然后我们知道是这样，就是在一处和二处是这样的， 然后呢我们把它测的能量呢，然后传到这个 m 点和 m 点等高的这个位置， m 撇吧， 然后呢它们的能量应该是一样，一样的话，但是呢因为 a 和 b 点， a 点是在这， b 点是在这，它们的这个加强呢是相同的， 它俩的加强，那么这个我们就可以算出来 m 点和 m 撇点它的这个加强，因为它它们不是传过来了吗？它们的加强就知道了。 看一下 p a 应该等于什么？ p a 应该等于这个点的这个能量，它要乘以 u g 嘛？然后它要再加上这个 rog， 这这条 h， 然后呢这个 m 撇点到这个 b 点呢，就应该是 p b 的， 应该是这个这个公式，然后再加上 u g h， 这个 u 呢是水的，然后 pa 再等于 pb， 然后就算出来了，这个就是就可以得到一个公式，而这个公式呢就是可以推出这个，用这个 u 可以 推这个 delta h， 但是也可以用 delta h 呢去推出来 u， 这是这个公式。 我们看一下恒定总流的一个动量方程，毛一矢量内呢，如果说作用在流体上的充量呢，就应该等于它这个流体的动量的变化，它和力那边是一样的，就是指的就是它的这个， 它这个充量呢就应该等于 f 乘以 t， 就 应就应该等于 m u 二的平方减去 m u e， 这个呢是速度， 因为这个 m 呢又等于 rov， 然后 v 呢又是和流量 qt 是 有关系的，所以呢它就， 所以呢把这个 t 就 消掉，消掉了以后就会得到这个方程， 所以呢就是 f 力就应该等于这个密度乘以流量，然后再乘以这两个某两个极面的一个速度，但是这个要求这个 f 和 u 就是 速度的这个方向是一致的， 然后看这个水面呢，经过一个弯折管，这个 d 呢是一百， 这边是 d 二，然后 vr 是 这个方向是二十三米的秒，如果不计一个水头损失的话，就钢管上所受水平方向的力， 水平方向的力肯定是这个方向的力，那它的那个速度 u 也应该是这个方向。那我们知道呢，这个面积就是 有一个公式，就是 a 一 v 一 等于 a 二 v 二，那么就可以求求出来这个 v 一， 然后根据那个呃派 r 方面积，然后就可以求出来这个 v 一 的大小。 v 的 方向呢是这个方向，但是 v 二呢，是这个方向， 这个 v 二的圆轴方向夹角的是三十度，那我们就把它把它画成这个这个方向，那我们把这个都带进去，带进去以后呢，然后我们会得到这个力，但是我们这里面要注意的就是这个 q， 这个 q 他 用的是 这个界面这个整个界面的，但是它这个速度肯定是用的平均速度，因为它是 a 乘以它的，它的面积乘以它的速度乘以它的流量，这里面呢指的是它整个界面的这个速度，不是某个方向的速度 流流动的呢？嗯，阻力和能量损失呢？它主要是因为它的粘性造成的，所以它会有两个损失，一个是延长损失，一个是局部损失。延长损失呢，用 h f 表示，就局部损失用 h g 表示，那它总的这个损失呢，就是 h w， 它的延长损失呢，它有一个公式，这个公式呢就是，嗯，都适用层流和断流，那我们这个拉布朗呢，是它的延长的阻力系数，这个 l 是 它长度， d 是 它的管径， u 呢是它的这个平均流速， 然后呢 g 是 重力加速度，其中呢，这个 h f 我 们算出来的延长阻力损失，它如果除以了 l 就是 单位长度上的，可以理解为单位长度上的这个呃损失，那它就是我们所说的水平坡度， 它单位呢是米没米，但是它呢不能约掉的原因是因为这个，这个米是能量，这个米是距离， 它局部损失呢，就是这个位置，就是它这个管径突然变化的位置，它就等于这个这个这个嘚，它，然后 是微方除以二十一，但是呢这个微就是这个 u u 方呢，它是取这个比较大的，但是有一个要求，就是这个 u u 方呢，它是取一。 然后呢我们讲雷诺实验和量子流态，层流呢，就是有规则的一个流，他是红光下不互相混达的流态流呢是极其不规则的，他是 呃剧烈参混的一个流态。上临界的流速就是这个是由层流变成吞吞流的一个是临界的流速， 就这个他逐渐加大，他的流速逐渐加大，然后会变成宽流的时候，然后他再有一个流速，他当时的那个流速就是上，那同样的反的呢，就是从这边就是反向，就是他有宽流， 慢慢慢变成层流，它某一个流速就变成，那这边呢就是层流和喷流的一个配，判别的一个标准是雷诺数，雷诺数呢就是 i e， 它等于 v， 这也是 u 的 速度， u 除以 d， 再除以这个这个 v， 它是这个 v 是 运动黏度，也可以是 u u d， 然后除以 m， 这个 m 呢是动力黏度， 他这个运动黏度和重力黏度呢，是之前的时候讲的，他的一个关系是，那规定呢是仓头是小于两千，有的时候也是两千三，大部分是两千，然后是，然后是大于两千的时候就是稳定， 然后它会产生一个临界的流速， u k， u k 呢就是在它等于两千的时候，就是它的计算出来它的这个速度就是临界的临界的流速，然后圆管均匀层流的一个吸引力， 在圆管里面有用的时候呢，它就会有，它往这边流的时候就会有个引力，那这个引力呢就等于二分之一，用这这二，这个二呢就是指的是这个某一个点到圆心的距离，而这个这边是 r 到圆心距离，就是就是二最大呢就是二零，二零就是它的这个半径， 嗯，这个 g 呢就是它我们上上面点水泥颗粒，然后呢它这个呃 b 管上的一个切零一是最大的，它之间是成比例的，根据这个半径就是它在某一点上的切零， 它层面层流的一个断面数，它随着它这个位置的不同，它的流速是不一样的，在最边上的时候呢，流流速是零，然后呢逐渐增大，那它的速度呢？是等于这个， 然后呢到二等于零的时候，就是在中，在那个 边上的，在中间的时候，在中间的时候，在中间时候，然后它这个是最大，然后呢它这个平均流速呢？在层流的时候呢，它有一个公式，就是它一会会算下来是等于二分之一的 umax 圆管的层流度， 因为呢它是必须是层流，所以呢它这个盐城的阻力损失呢，它还可以通过这个，然后还可以推导出来，就是拉米德，等于就是四比二一，但，但是它这个只适用于层流。 而探流运动呢，探流运动是很不规则的，它有，它有，它有什么轴向的脉动也有，横向的脉动也有这个方向也有这个方向，那探流的一个顺势指它的速度就应该等于它的平均的流速，加上它的脉动的流动， 然后贪婪的比例，贪婪比例呢，它是包含粘性的，还有惯性的签名，这个呢是它的特有的惯性签名，惯性的签名叫做雷诺影， 那它有一个公式呢？是这个，这个不需要记，但是只知道它大概的形式，就是前面有个符号，因为呢它这个 u 呢就是 u x， 它呢如果说大一点的话，用外撇应该是这一个，那这样的话呢，前面肯定要有符号。 我们看一下稳流，它并不是说整个断面都是稳流，它只是它贴近 b 的 呢，还是层流，那它这个呢， 就是它有一个流速，它的核心区的这个流速呢？应该是这个，但是不需要记，你只需要记它，就是它这个流速等于 k 倍的绕绕。外就是 它是一个对数型，就是它这个稳流的，它的速度分布的更比层流的更平，就是更完全，它这个 泵完全是相差的，大小不是那么大，所以它是对数型，那层呢？它是抛物线型。

大家好，我们曾经呢学习了液体压墙和大气压墙，那么咱们简单的来做个复习。呃液体压墙的特点， 这个液体它呢由于受到重力，并且呢它具有流动性，所以说呢，液体内部朝各方向它都有压墙，那么液体的密度不同呢？那么压墙不同，呃，在深度相同的时候呢，液体的密度越大，那么产生的压墙越大， 证明大气压墙的实验，呃非常著名的实验呢是呃呃马德堡半球实验。 那么这个测量大气压强度的实验是脱离拆离实验。一标准大气压呃是七百六十毫米汞柱，那么等于呢，一点零一乘以十的五十方帕特卡。 四。大气压墙呢与高度是什么关系啊？基本上呢，是这么一个定性的关系哈说，呃，高度，高度越高，那么大气压墙呢就减小。 那么大气压墙呢与液体沸点的关系？说液体的沸点呢，它并不是固定的，它跟什么跟页面上的这个气压有关系是什么关系呢？当页面上的这个气压呢，它增大的时候，沸点会升高啊，它有这么一个道理， 下面咱们做个实验哈，这是两张纸，我呃让他两个这个平行放置， 然后呢我从这个纸的上方向下吹气啊大看什么呢？观察点这两张纸的间距会有什么样的变化来预备开始。 大家看到这两张纸呢啊，它吸在离起对吧？那为什么会发生这样的现象呢？ 本堂课呢啊，咱们来学习这个相关的知识点。呃，第九章的第四节流体加强与流塑的关系。 那本堂课的学习目标有三个，呃，一、了解流体的加强与流塑的关系。二、要了解呢，飞机的升力是怎么产生的。三、了解生活中跟流体的加强与流塑相关的一些个现象。 那么本堂课的第一个框题是，要知道什么是流体？很简单，那么气体和液体呢？它们都具有流动性， 呃，流动性，所以说呢，气体和液体统称为流体，那我们所熟悉的这个空气啊和水，它们都是流体。 那刚才，呃，两张纸平行放置，当从上方呢，往下一吹气的时候，那么会发生什么现象？这个，呃，两个火苗， 呃，它本来是几乎是平行的，对吧？然后呢，从这个中间区域一吹气的时候，呃，会看到什么？会看到这两个火苗会靠近，对吧？啊？ 对着两张平行拿着的纸吹气，发生了什么现象？两张纸间距会靠近的吧？那么为什么，呃，大象 c 图，哈，这个呢代表的是两张纸，它们是平行放置。呃，这个区域，这个区域 是不是都有这个大虾强的吧？这是什么呢？呃，这三个区域，这个空气它都是静止的，那么以这张纸为研究对象的吧， 那么这张纸的左侧的表面和右表面，他们所受的这个啊，压墙是一样的，那压墙一样，这个压力他就一样的吧。啊，这个时候呢，这张纸他的水平方向所受到的那两个压力呢？都是一对平衡力，所以说呢，这个纸他现在的状态，他就是静止的， 当我们从这个方向往下吹气的时候，这个吹气的吧，立正了，那么这个行为会导致什么呢？导致这个区域它的空气的流速会变快，从而呢这个加强，这个 p 二会变小， 当 p 二呢变小之后呢，那么这个两个压力呢，这个平衡它就会被打破， 左侧这个压力 f 一， 右侧的这个压 f 二呢就会出现这个效果， f 一 呢，它会大于 f 二，这样呢，这张纸啊就会向右运动，这张纸向右运动，这张纸往这边运动，这时候它呢两张纸就合在一起，是吧？哎， 那么通过这个案例呢，我们似乎有了一个认知，那就是当啊流体这个空气是吧？当空气的流速它变快的时候，那么这个区域的压强它会变小。大家哈， 如果不吹气的话呢，那么这个乒乓球它本身由于受到重力，它会啊脱落，是吧？会往下掉吗？当我沿着这个方向往下吹气的时候 啊，吹气的时候，我们看到一个现象，这个乒乓球的话呢，它就不脱落了。那么什么原因？其实很简单，这个乒乓球，呃，在我们不吹气的时候， 这个乒乓球它的呃上表面和它的下表面这个压墙的话呢，它是一样的，这个压墙一样。 而当我们从上方往下一吹气的时候，这个这个区域，这个区域的这个气流它变快，这个压墙的话呢会变小， 从而的话呢会产生一个向上的这么一个压墙叉，呃，进而的话呢，产生一个向上的压力叉嘛，那这个压力叉呢？呃，它就能够克服重力，就把乒乓球怎么样就给它托住，对吧？ 那么通过种种各种各样的实验呢，我们最终得出了一个结论，一个规律，那就是液体和气体在流速大的地方加强呢，加强小， 反之呢在流速小的地方呢，这个加强大，那么它呢就是流体加强和流速的关系。各位， 也许我们在小的时候总是有这么一个呃疑问困扰着我们，这个飞机哈，他是个庞然大物，对吧？他想这个几十吨上百吨的吧，他为什么能够腾空而起？下面的话呢，咱们就讲一讲这个飞机，呃他能够飞上天空的原因， 大家看哈，这个白色的呢是什么？是飞机翅膀啊？大家说这机翼是吧？是这个机翼的这个横截面啊，大家看视角这个机翼呢，它的横截面可以看到上方这个弧度，它比较大嘛，机翼的下方的话呢，它几乎是平的。 呃飞机呢，它在起飞之前是不是有一个行为要一个助跑的感觉，对吧？啊？这个时候 来这个红色的代表这个气流是吧？这个气流的话呢，在这个 a 点 是不是分开的吧，一股气流往上运动，一股气流的话呢，贴着记忆的话呢，往这边运动，对吧？在 a 点分开，在 b 点呃汇合。那么换句话说呢，呃这个上端的气流的话呢，它运行的时间 和下段气流的话呢，这个运行时间它是一样的，同时分开，同时汇合嘛，对吧？但是呢，呃上表面这个气流呢，所运行的路程要长一些，那么速度 v 我 们都学过，那等于是路程除以这个，呃时间嘛， 那么这个时间相同。呃，刚才已经说过了，那么上表面这个路程长， 上表面的路程呢，要长一些，所以说呢，呃这个上表面这个气流的流速，这个流速呢就大一些。呃跟咱们前面所学的知识点，这个流速越大的地方呢，这个压墙是越大，呃，这个 流速越大的地方呢？这个压墙越小，对吧？也说呢，呃，这个 p 一， 它小，小于呢？这个 p 二， 于是的话呢，当飞机呢，他再往前跑的时候，这个记忆，他的上下表面所受到的这个压墙，他是不一样的，会产生一个向上的这么一个压墙差，进而呢会产生一个向上的一个压力差。 那大想哈，当这个压力差呢，它足够大的时候，就能够超过什么？超过飞机的重力，于是呢，这个飞机就可以腾空而起，所以说呢，呃，这个飞机的升力，它的本质是什么？ 就是压力差。是不是？当我讲到这的时候呢，大家似乎就能够明白了，这个飞机呢，之所以说能够成功的飞起来，所依靠的是流体加强这个道理，对吧？ 那么在海底航行的两艘轮船能不能近距离的航行？呃，答案它是不能的。那么什么道理呢？这是两条船，是吧？一和二这两条船呢？这个， 呃，当它们在离得比较近的时候呢，会出现什么样的效果呢？这个水流被它分开了，对吧？ 水流吗？一个，那这条船水流， 大家看哈。呃，这个时候会导致什么节拍呢？因为这两条船它离得比较近嘛，那么这个区域，这个区域这个水流的速度会变快，起码说的话呢，要比这个这个区域的速度要快嘛， 那么这个流速越快的地方呢，这个压墙越小，于是的话呢，呃，这个船会受到一个以它为准啊，受到一个这个方向的一个呃，压墙差，这是一个压力差吗？于是的话呢，两条船它在航行的时候，它在航行的时候呢，会越来越近，越来越近，最后的时候就撞上了吧，是吧？ 这个火车站，那我们都知道哈，坐坐火车的时候呢，它有个安全线，对吧？呃，要求这个顾客呢？这个乘客是吧？他要在安全线以外等待这个上车嘛？那么为什么呢？ 呃，大看数据图，这个白色的代表是这么一个人嘛？他站在这，而他面前这条蓝色的代表什么呢？代表安全线，对吧？ 我们去想象这么一个情境，这个黄色的是代表的是这个铁轨，呃，在在火车什么呢？在火车他没有来的时候呢？没有来的时候。呃，这个乘客他的胸前这个区域， 这个区域和他的后背这个区域，这两个区域的话呢？这个空气呢是静止的，那么他的胸前所触的加强是 p 一， 而他的后背的话呢，所触的加强是 p 二， 呃， p 一 等于 p 二。当火车来了之后呢，大家想象哈火车高速往这边走吗？那么这个时候，呃会导致这这个区域的空气是否发生流动呢？当发生流动的时候，这个 p 一 会变小， 于是的话呢，会出现这个效果，这个 p r 它大于 p 嘛？那么这个人他的胸前和后背所受到的这个压迫，他就不一样了啊，如同呢有人在后背呢，再推他一样，有可能，有可能呢，这个人就会 掉下站台，又发生危险，对吧？那这是非洲草原这个犬鼠洞穴的这个横截面 c 图，对吧？ 那么这个小动物呢，非常的聪明，它会刻意的在这个出口用这个土堆把这个给它堆一个高度，对吧？啊？这样的话呢，当草原上呢有空气流动的时候，这个洞穴里边 就会，呃，这个洞穴里边的空气呢，就会发生流动，就通风，对吧？那么是怎么实现的？大家看哈 它这个蓝色的所代表的什么呢？代表的是就说它这个，呃，这个洞穴里边的这个气柱，是吧？这个空气柱，这个当没有风的时候呢，没有风的时候，这个气柱的这个表，这个表面所测的压墙它是 p 一， 这个表面呢，所测的压墙是 p 二， 呃，当没有风的时候呢，这两个气压它是一样的，当有风吹过的时候，这个洞口比较平，而这个洞口呢，大家看有这么一个弧度，对吧？有这么一个弧度，这样的话呢，就跟那个飞机的机翼的道理一样，那么这个区域， 这个区域这个空气流速会变快，这样的话呢，这个压箱 p 二，它会变小，会小于 p 一 的吧， 因为他这个空气柱，他的两个表面，呃，这个劈片呢，他不相等了，于是他呢，呃，这个压箱叉所导致的压力叉呢，会让这个空气柱发生流动，当空气柱呢一发生流动的时候，我们说这是所说的这个通风，对吧？哎， 茅屋为秋风所破歌，八月秋高风露好缘，我屋上三重茅。请分析呢它所包含的物理道理，大家想哈这个屋顶，这个房盖呢， 当没有风的时候呢，没有风的时候，这个房间里边的压墙，这个 p 一 跟房盖上面的压墙的话呢，这个 p 二 是相等的吧，那么当风吹来之后呢啊，这个行为让这个区域这个气流是会变快的吧，这样的话呢，这个 p 二变小，呃，会产生一个向上的一个压墙叉， 那么当这个压墙叉呢，它足够大的时候，那想深入究究都超过什么呢？超过这个房盖的重力了，那这个房盖它就能够飞起来了，是吧？ 那本堂课呢？呃，我们学习了气体和液体，它们统称为流体的吧。呃，在气体和液体中呢，流速越大的位置，那么压墙越小。 呃，我们知道了这个记忆，记忆的上下表面，这个压墙差，呃是使飞机呢获得升力的原因，其实它这个升力的本质是什么？是压力差，对吧？ 下面咱们来看几道题。在这个地铁或者是火车站台上在等候，等候这个车辆的时候要求乘客呢要离开站台一米以上，其主要原因是什么？ 当火车驶过来之后呢，带动空气流速加快，呃使人呢容易被吸向，吸向车辆造成危险的吧，我们就选三 c 就 可以了。 秋天树叶落在呃地面路面，当一辆高速行驶的汽车驶过的时候，呃路旁的树叶会往哪运动？ 它跟刚才那个这个乘客安全线的道理是一样的。呃会从路旁吸吸向汽车对吧？ 一艘很大的轮船以很高的速度呢，从一只小木船的旁边开过去，这个小船会怎么样？ 很容易被大船吸过去，从而的话呢，与大船相撞的吧。 刮大风的前期， 那么我们在上学的路上呢，如果是迎风走路，注意这个迎风，迎风走路， 我们无法用鼻子呢来吸进空气的吧，那么原因何在？我画了这么一个四乙图哈，大家看哈。 呃，我们用鼻腔吸气的时候呢，大象，这个这个呼吸道对吧？呼吸道这个代表什么呢？代表这个肺泡，对吧？ 为了大家便于理解这个事呢，我引入一个模型啊，大家想象哈，在这个地方呢，这地方它存在一个欺骗，对吧？这是一个欺骗吧？这个，呃，当我们不呼吸的时候呢？呃，这个欺骗的外表面， 这个气片的外表面的话呢，是跟大气接触，那么所说的压墙就是 p 零，而这个气片的话呢，它的内表面，大家看是跟这个肺泡里边气体接触的吧，那么肺泡里边的肺泡里边的这个气压是 p 撇， 我们以一个情况为参照的吧，当什么呢？当这个 p 正和 p 撇它们相等的时候，这个气片呢？呃，两个表面所受的压向一样，这个时候呢，这个气片是处于平衡态的吧？处于平衡态静止。 那么我们这个吸气是怎么实现的？大家想哈，我们在吸气的时候，我们的胸部是向前向上运动，横横膈肌下运动，对吧？从而的话呢，导致这个肺泡肺泡变大，这个皮血变小，对吧？ 当劈撇变小的时候呢，这个劈零，呃，它大于这个劈撇会产生什么呢？会产生一个压缩叉，那么这个压缩叉就可以呢，让这个气片的话呢，往肺部的方向运动，我们说又实现了一个吸气，对吧？ 然后呢以这个认知为基础，你去思考就可以了。那大家想哈，当啊，刮大风的时候，这个人他迎风运动呢，那么导致什么呢？导致这个情况 导致他的这个面部，这个区域，这个区域的这个气体流速是不是变快了吧？这种话呢，这个皮龄他就会变小。 我们本来呢是靠这个压墙叉来实现这个呼吸的，当屁零变小之后呢，我们非常夸张的想啊，当屁零啊，变得很小了，甚至于，甚至于这个屁零比屁撇还小的时候， 这时候的话呢，我们，呃，这个肺部里边的空气就会往外出，对吧？不但不能呼气，还往外出气，对吧？当你明白这个道理的时候呢，那么这道题也就解了，是不是？ 所以本题答案七，原因什么？当风大的时候，脸上的空气，风大的时候，脸上的空气呢？压缩变小，使人呢？难以吸气。所以呢，本题呢，选二 b 可以 了。 好了，本堂课呢，咱们讲到这，再见。

这是复变函数历史主义框架课程的第五集。第三幕正式开始。前两幕我们讲了复数是什么，长什么样，有什么用。从今天起，问题变了，复数的函数能不能做微积分？这个问题的答案藏在一个谁都没想到的地方。留体力学 一七五二年，巴黎，一个叫达朗贝尔的法国数学家正在研究流体怎么流动。他研究的不是真实的水，而是理想流体，完全没有粘性，像幽灵一样滑的水。这种东西现实里不存在，但数学上好处理。他想弄清楚 平面上每个位置的流体速度是多少。速度是个二维的量，有横向也有纵向，它把横向速度叫 u， 纵向速度叫 v。 整张平面上的 u 和 v 合在一起， 就是速度场。在我们继续之前，先把 u 和 v 说清楚。想象你站在河边，撒了一把小纸片，每一张纸片随波漂流。 你在每个位置放一个测速仪，告诉你两件事，水向右流的速度是 u， 向上流的速度是 v， 每个位置都有自己的 u 和 v， 全平面的 u 和 v 合在一起，就是流体的速度地图，也就是速度场 图里每一个箭头就是一个位置的速度向量，其中水平分量是 u， 垂直分量是 v， 偏导数是什么？ 听起来学术，其实很朴素。你在某个位置，往某个方向挪一小步，某个量变化了多少？这张图里有四个这样的问题，往右走一步，向右流的速度怎么变？这是 u 除以 x 往上走一步，向右流的速度怎么变？这是 u y 往右走一步，向上流的速度怎么变？这是 v。 x 往上走一步，向上流的速度怎么变？这是微美 y 科西黎曼方程，说的就是这四个量之间的两个关系。第一个方程 u x 等于微 y， 翻译成大白话， 往右走一步向右流速度的变化率等于往上走一步向上流速度的变化率。你吹气球如果只往一个方向吹，气球在那个方向特别鼓，其他方向不怎么鼓，伸展不均匀。 但第一个方程说，这种流体在水平和垂直方向上伸展的程度完全一样，各项同性流体力血管，这叫不可压缩，流进来多少就流出去多少，不积累，不消耗。第二个方程 u y 等于负的 v x， 这在说什么？左边圆圈里流体微团在自转，就像漩涡里的水，你放根火柴棍进去，他会绕着自己的轴打转。第二个方程禁止了这件事，他说两个方向的剪切效应大小相等，方向相反，互相抵消，不产生净旋转。 右边方块里流体只平移不自转，每个小水滴只是随波流动，没有任何局部的漩涡，这就是无旋流。实函数的导数只需要从左边和右边这两个方向逼近，结果一样就行。考题只有两道 负平面，是二维的一个点，周围可以从三百六十度任意方向逼近。负函数的导数要存在，要求从所有这些无穷多个方向来算出来的结果都完全相同。考题有无穷多道，大多数看起来很正常的负函数都过不了这关。 这就是为什么负函数的可微性比实函数苛刻的多。柯西先只管最简单的两个方向，水平和垂直，从水平方向趋近，算出来的导数等于 u 除以 x， 加上 i 乘以 v 除以 x， 实部和虚部各对应一个偏导数 从垂直方向趋近分母，带了一个 i， 除掉之后，导数等于 v 除以外，减去 i 乘以又除以外，让这两个负数相等。十步对十步，虚步对虚步，就得到两个方程， u x 等于 v y， v x 等于负的 u y。 这就是科西离曼方程的全部来源。一八一四年科西推导负函数可微条件时，得到了这两个方程，然后拿去和达朗贝尔。一七五二年的结果一对一模一样。 流体力学家在物理里发现它，不知道它意味着什么。数学家在推导可微性时算出它，立刻认出来这就是负可微的冲要条件。物理给数学打了整整六十年的前站。满足科西离曼方程的函数叫解析函数。 今天先把三条性质列出来，后面每一条都会单独展开，第一条可微一次就自动可微无穷。次时变量里可微 n 次，不保证可微 n 加一次，复变量里没有这个台阶，跨过第一级就到了顶层。第二条边界决定内部， 第三条褶角任意两条曲线后保持不变，三条都违反直觉，三条都是 c 二方程约束太强的直接结果。 边界决定内部。就像这张图里，圆形边界上每个点的温度已知，内部任意一点的温度就被完全确定，不需要额外测量 薄角。右边图里变换前两条线以九十度相交，经过解析函数 f z 变换后，形状变了，但两条线之间依然是九十度，角度不变。 这个性质以后会用来解决飞机异形流场、不规则区域电场这类工程问题后面单独讲。科西建了工厂，黎曼画了蓝图。 黎曼在一八五一年的博士论文里，把科西的工作从公里化的角度重建，不从负函数是什么出发，而从负函数满足什么条件出发。 满足科西黎曼方程就是解析函数的定义，其他一切从这里推。这是更现代的数学思维，与其描述对象长什么样，不如说清楚他满足什么约束。 有了这张蓝图，复变函数才真正成为一门严格的数学学科。下一集，复变函数历史主义第六集继续。在第三幕，科西黎曼方程说清楚了什么函数可以微分，有了导数，下一步自然问，可以积分吗？ 复变函数的积分必须沿曲线走，但这条曲线可以随便变形、拉伸、扭曲，只要区域里没有坏点，积分值就完全不变。这个性质叫科西积分定律看起来像魔法背后的逻辑，和科西离曼方程是同一根线拉出来的。

这本力学书一共十六章，内容从牛顿运动定律到万有引力定律，再到钢铁力学和振动与波，最后是流体力学这些基础力学的知识。 本书采用全彩印刷，并且每章节都有思维导图， 还赠送了电子课间，方便老师教学使用。本书适合理工类专业学生学习以及考研备考用。

井思瑞老师版本的，然后以上的一切教育都是来自于麦先生教育，然后大家如果想学习，可可以通过小红书的方式来添加这个是微信公众号，然后向大家展示一下，这个是 锦思瑞和张明源老师主编的，这是是西安交通大学出版设的我们所像我们所讲的是第一章，第一章其实主要涉及的知识点就是关于粘性的，我们首先呢，先来介绍一下粘性，粘性是一种 流体抵御剪辑变形的一种属性，然后这个是这，然后我们通可以实验能发生通过一杠二这个实验板，然后通过观察牛顿平板实验，以图一杠二作为牛顿平板的实验图是两相距为 h 的 平行平板， 两板间充满均匀液体，然后设片面积 a 足够大，一致可以忽略四周的影响。 b 板固定不动， ok？ 呃，假如这个是 a， 这个是 b 版，这是 a 版， a 版， b 版是固定不动的，然后呢， a 版呢？ 然后这个是 c 版， b 板固定不动， c 板呢，是以 u 的 速度向 x 做匀速运动。由此发现流通具有以下特点，第一是 与 c 板相接触的液体以速度 u 随着 c 一 起运动，与 b 板接触的速度为零，两两板间的速度呈线形分布，我们可以得出公式 就是任意我们可以用相似三角形，假如这个这个坐标是 y， 然后这个比这个等于这个比这个，也就说是 y 比上小 h 等于小 u 比上小 h， 也就是说 小 u 就 等于大 u 比上小 h 乘以 y， 然后这个我们就可以求出它任意一点的速度分布。然后我们看第二个中板在 c 上的摩擦力与 y 力平衡，单位面积上摩擦力， 也就说摩擦力套等于单位面积上摩擦就等于摩擦力 f 再除以，再除以相应的面积，这就这就是摩擦力套。 然后又又因为摩擦力与板相切，所以叫切引力，所以这个摩擦力套也叫切引力，叫啥？为套，套与 速度 u 与 h 的 成正比，从而嗯， c 板上的正压力物物理元，也就是说套它是正比 u 比成 h 的。 然后我们通过可以实验可以发现，在对于不同的液体来说，套等于有一个相应的系数， m 等于让套等于 m 除以 u 比成 h， 这其中的酶是与半尖液体种类以及液体相关的温度压枪有关，称为液体的动物，它系数或者简称为粘性系数。 然后呢，通过以上述实验可以表达分析，由于液体分子与固体之间的作用里，所以紧贴 c 板的液体 附着于 c 板以速度 u 运动，紧贴 b 板附着于 b 板固定不动，所以两板之间的速度 d v， 也就是德泰 v， 它其实就等于 u 减去零等于 u。 嗯，处于两百年的液体，由于液体内部分子间的内距离作用，速度快的流程必然拖动运动慢的流程，运动慢的流程必然阻碍速度快的流程。就可以设想，就是说 这是一个流程，然后，然后是假如这个流程运动，然后我发现他一开始静止的，所以这个有速度，他会有速度，这个流程他就会 会带动它就产生摩擦起摩就产生牵引力，就会带动它下面的流层继续进进而运动。但是由于下面运动是下面流层是不运动的， 也也就是说下面不动不运动流层，它就会带动上面运动流层进行运动，大概就这个意思，然后，然后 速度慢的就也就是这句话，速度快的流程必然拖动速度慢的流程，速度慢的流程必然阻碍速度快的流程。可以设想任意位置 y 两相邻层间由于存在相对运动， 必然层与层之间存在内摩擦力，这种内摩擦力是流体的内力总是成对的，出现大小相等，方向相反，并且作用在相邻的层流上。如果取 y 至 h 之间流体为隔离体，那么 c 板 对流体的作用为 f， 然后是方向，记为 x 方向就是如图所示，其摩擦力套 e 为 mu， 乘以大 u 比上小 h。 总之，当流体 存在相对运动或剪切变形时，流体内部就产就会产生牵引力，以抵抗相对运动和剪切运动，这就是流体粘性的表现。 粘性是流体的基本属性之一，处于宏观平衡的流体内部不存在切引力，也就是说，比如说这是一个静止的水杯，上面放置放置的水，假如这个水杯是一直是不动的， 那，那这里面的水它就不存在，就不存在切引力。切引力只是存在不同的流体层之间存在的相对运动，这样才会存在切引力，进而粘性无法表现。 流体的粘性不仅影响流体运动的形态和性质，而且也影响运动中许多物理量和数值。然后为了进一步的进一步的实现，标结果表明，牛顿频繁的实验结果可以推广到流体任意层状中。图是一点三， 这个公式就是表示了流动具有任意速度分。嗯，据避免外部流体内部的吸引力的表达公式套。就等于 mu 比上 d u 比上 d y， 然后这里面的 d u 比上 d y， 我 们称为速度梯度 u 呢为流体的动力粘性系数，这就是牛顿内摩擦定律的数学表达式。然后也就是 t 等于 mu 被的 d u 比上 d y， 这里面我们做一下解释。 mu 呢，它与力与具体的液体有关，与液体有关，这是一个常数，这是一个常数。然后呢， d u 比上 d y 就是 指是指速度，我们除中间有是指速度七度，这个 d u 就是 两个不同距离之间的速度变化。是。比如说如图一杠二的牛顿实验板，这是 b 板，这是 c 板，然后这中间隔着一体，这个 c 板，它是以速度 u 的 速度以向 x 轴正方向移动，这个 b 板的速度等于零。所以 d u 其实就是 就是就是位于 c 板上的最快的液体，它的速度也是由减去位于 b 板上的液体，它的速度是零，所以 d u 就 等于 u 减去零等于 u。 然后 d y 呢？ d y 是 指两液体层两层流之间的距离。如果我们取 靠近 c 板的液体层和靠近 b 板液体层，我们可以知，我们假设 b 和 b 板和 c 板之间的液体，它们之间距离为 h， 所以 我们取的这两个液体流程，它们距离也也约等于 h， 所以 它们之间速度梯度 d u 比上 d y 就 等于 u 比上 h， 也就说这这一这一点处的牵引力套就等于 miu 倍的 u 比上 h， 这个也就是纽顿内摩擦定律的表达式。好，我们来看一下具体的例题，嗯，这是课本上的第一道例题。例，一点一 e 周长 l 等于零点五米，然后轴的直径 d 等于一百五十毫米，转速 n 为四百圈每分钟，轴与轴之间的轴向间隙得尔塔等于 零点二五毫米，其间充满润滑油线测的作用，在轴转轴上的摩擦力矩 m 等于十点八九角二，如图一点四所示，求，这题要求的是润滑油的年限系数 m， 好， 我，我们这时候我们这时候来看一下，然后我们通过量给分析，我们这时候这题我们知道了 m， 然后由例句公式可知道，例句就等于例乘以例 b， 然后我们通过图可以看出来，这里面的例 有啊，有的摩擦力它在摩擦力肯定是 f， 这，然后它又这绕着这个点转，所以它的力臂很显然是二分之一 d， 又说力距等于 f 乘以二分之一 d， 然后 我们这里可知道我们的力摩擦力距 m 是 一致的，然后 d 也是一致的，我们这里可能这里这里就可以求出 f， 然后我们可以由公式可知道 它的具体的摩擦力 f 是 不是等于摩擦力乘以它的面积 a， 然后我们有刚才的 呃知识点可知，它的摩擦力套等于 mu 比上 d u 比上 d y， 所以 m 就 等于 m u d u 比上 d y 再乘以二分之一 d， 然后这个时候我们可以看出 u m 告诉我们了，然后 d， 我 们就知道了，我们这题要求是 m u， 所以 我们这时候 这题的关键就是要求求出 d u 比上 d y 等于多少，然后， 哦，这里 m 还要乘乘乘乘乘 a， 这个 a 我 们也要去表达出来，这样只有我们把这些两把、一、二、三全部表达出来之后，我们才能把具体的 miu 给求出来。好，这是这一题的解析的思路， 我们看一下它具体的解法，然后咱们看一下课本上的，然后是它第一步它是用微圆的方法求了 d f， 我 们这边可以知道，我们因为知道 f， 它是等于套乘以 a 的， 所以套乘以 a， 所以 我们可以很快地知道，因为它这个套它，它是轴承，它是 这个是他的一个测试图，其实他这样的复制图是这样的，他是对于整面来说，他的每个力都是一样的，所以我们的 d f 其实就等于套乘以 d a， 然后我们从这个图可以可以知道，假如这是假如，这个，这是一个圆柱体， 这是内部的，然后我们求了 d a， 其实求的是这个圆面积，这个叫 d a， d a， 你 就说是图中的这个 r 乘以它所谓的 d c， 它 r 乘以 d c 的， 求出的 r 乘，这是 r， 这是 d c 的， 就是 r 乘以 d c 的 求出这个弧的面积，这段弧的面积，然后再乘以乘以这这一个转轴的长度 l， 然后我们求出的就是所谓的面积 d a， 这个 看图中也是这样的，就是 d f 等于 miui 的 d u 比上 dy 等于 miu， d u 比上 dy l， 我 们有了 r， 这里面 r 用二分之 d 取代了，然后 d 死一趟，这个时候我们把 d f 的 表达式给写出来，然后我们应该知我， 然后我们又一直 我们这里有一只 d d， 我 们取微元 d m， 其实它就等于 d f 乘以它们什么，所以它的例句就是二分之一 d， 你 看图中也给出来了，然后把上面求出的 d f 的 表啊，是往里面带， 因为它是它 d c， 它，它总共的全部的 m， 它已经是一个一圈，就是二 pi， 所以 我们把这个公式乘成带 m 就 等于 d d m， 然后整个积分等于二分之 pi， 然后是二分之 d 的 平方喵 d u 比乘 d y l， 再乘 d c 它，然后我们就可以解出来 m 就 等于二分之一 d， 然后再再乘小 d l pi u d u 比上 d y。 好， 我们这题现在求出来，求，求出来这么多，然后这题现在是什么呢？这题没有说这个，我们应该说 d u 比上 d y， 它代表了什么？ d u 它指的是 两个液体层之间的速度差。好，我们可以看一下，看看一下立体的图，它这个是朝这样旋转的，这个是静止不动的，所以它们之间的速度 d u 是 不是等于欧米伽 r， 然后欧米伽，欧米伽，我们知道等于二 pi n， 然后 r r 是 不是就二分之 d 啊？好，然后 d u 给求出来， d y 等于什么？ d y 其实就是两个液体层之间的间隙，我们从这个图可以看出来， 是不是就这个位置啊，这个，这个这个东西啊，这个长度啊，这个长度，我们看题找一下， 然后我们知道轴的直径小 d 是 一百五十毫米，然后看题目给了得它就等于零点零二五，所以 dy 就 等于得它， 所以我们的我们我，我们这里就是所求的速度梯度。 d u 比上 dy， d u 比上 dy， 其实就相当于是二拍 n 二分之一 d， 然后再比上得儿它，这个就是 d u 比上 dy 好， 我们把这个给带进去， 你看，然后就是我们把这个就是这个值，然后因为这里面他除了一个六十，这里面除了个六十的原因是因为呢他是四百转每分钟，我们应该换成国际单位值，应该是应该是四百比上六十转每秒，这样才对， 然后把这个数据给带进去，数据带进之后，然后数据数据带进去之后，我们可以得到这个式子，然后把这个式子反解出来，我们可以把喵给求出来，然后我们看一下这个这时候我们所求出的式子，这时候 一百二，然后 m 已知德差已知 l 已知 n 已知 pi， 然后 d 也已知，然后我们把这些数全部给带进去，我们可以把喵给求出来，等于零点零四九 pi 秒，所以 从上面的结果分析可知，转轴受到摩擦力在竖轴上是等于将轴面展开为面积 d 拍 l 面积所成的摩擦力乘以的一半。这题怎么什么意思呢？所以就是说我们以后做了这种关于圆柱体旋转的面积的时候，我们就是 我们可以有有一种我们可以有思路，就是然后是 d， 我 们就可以按照题中的题目中的思路，然后是这样，我们可以按照题目中的思路，然后求 d a， 我 们我们的题目题目中思路求 d a， d a 等于什么呢？ d a 就 等于二分之一 d， 也就是 r， 我 们 r d c， 它再乘以 l， 这个就是 d a， 然后呢 整个的大 a 呢就等于零到二 pi r d c 它 l， 然后可以用微元表示，但是呢我们也可以， 我们也可以按照题目的说，其数值上是等，其数值上是等于将轴面展开面积的，然后再乘以它的半径。什么意思呢？比如说我们这是个圆柱体， 然后我们这时候，假如这个是 d， 然后它展开的侧面底等于什么？它的侧面底如果展开的话，我们可以看出来这个是 d， 这是派底，这是 l， 所以 它展开片片侧面， a 乘以派， d 乘以 l。 也就说我们以后的 a 不 仅可以用微选的四样做，也可以直接把这个侧面底展开来做它的，它在数值，它在数值上，它的表达式是一样的。好，这个是第一题。 好，我们来看一下第二题。 设有抛物，设有粘性系数， miu 等于零点零点五帕每秒的物体沿地面流动， 其速度呈抛物线模型。抛物线型。然后当 y， e 等于六十毫米的时候， u max 等于一点零八米每秒， 抛物线的顶点位于 a 点，如图一点五所示。分别求当 y 等于零时， y 等于二十毫米时， y 等于四十毫米时和 y 等于六十毫米时各点的吸引力。 好，我们好，我们来看一下。然后首先呢，他说是，嗯，抛物，他说是成抛物线。抛物线我们知道一定是一个二次函数，二次函数表是什么？是不是 y 等于 a， s 方加 b， s 加 c， 其中 a 不 等于零的表达式？然后我们根据题目间隙，假如纵坐标是 y， 所以 横坐标为 u， 所以 我们改一下， 就是 y 等于 a 倍的 u 方加 b， u 加 c。 好， 我们得出这个表达式。之后，我们根据题带入带入条件， 他说当 y 乘抛物线模型，然后因为由凸所指它过零点，所以当 y 等于，当 u 等于零的时候， y 等于零，所以就是零等于 a 乘以零的平方，加 b 乘以零加 c， 然后当 y 一 等于六十毫米的时候， u 等于一点零八。好，我们看零点零六，就等于 a 乘以一点零八的平方，加上 b 乘以一点零八，再加上 c， 然后我们这时候可以知道， 我们一共有 abc 三个未知数，这时候只有一二两个方程，所以这时候还需要第三个方程来解决此题，所以我们接着看条件，他说，嗯，炮位线的顶点位于 a 点，我们从这图像也可以知道，当 当 y 啊，当就是当当 u， 当在这点的时候，这一点坐标为一点零八，零点零六，在这点坐标的时候，我们可以看出它的斜率 k 啊是等于零的， 是等于无穷了，所以我们取它倒数就是 d u 比上 dy， 当 y 等于零点零六的时候，它的无穷正无穷正无穷分之一，倒数就等于零，所以我们把这个给求出来，我们 然后把把这个，把把这把这第三个，这是方程三，然后一二三，把三个方程式给解出来，一连立一二三，然后就可以求出 a 等于什么， b 等于 a 等于 b 等于 c 等，然后我们连立方程组，可以解得 u 等于这个表达式 速度， u 就 等于一点零八，减去三百乘以零点零六，减去 y 的 平方。 当然如果这题， 这题，如果那个啥的话，这题也可以这样，我们重新设一下方程，我们可以设 u 等于 a， y 方加 b， y 加 c 等于加 c， 然后这时候再重新把点给点进去，然后 d u 比上 d y， y 等于零点零六等于零，然后就说二 a y 加 b， 然后等于零，就是二 a 乘以零点零六加 b 等于零，这是第三个方程，把它解出来，然后可以得出 u 关于 y 表达式，也就是这个表达式。 好，这时候我们把速度 u 关于 y 表达式给求出来了，然后这个时候我们的速度提度 d u 比上 dy， 这个很简单，就是 对这个方程对 y 求求导数，然后 d u 比上 dy 等于六百乘以零点零六减去 y， t o 就 等于有有，那么他听你可知道 t o 等于 miu b 的 d u 比上 dy， 也就是说 to 就是 在速度 t 度的基础上乘以一个粘性系数 mu， 我 们这题 mu 等于多少？ mu 等于零点五号乘以零点五，就是等于 就等于三百乘以括号零点零六减去 y， 我 们这时候把 to 也求出来了，然后我们根据提议将 y 等于零点零二，零点零四，零点零六分别代入一式中的表达式， d o 比上 d y， 再到到二式当中，可以求出各点的吸引力套，然后就是说当 y 等于零时，然后我们根据这个当 y 等于零时，把 y 等于零代入这个公式， 然后我们可以求出 mu 的 表示，当 y 等于零时，把 y 带入这个这个表这个公式当中。带入这个公式呢？我们可以出它的速度七度的表示，然后将 y 等于零带到这个表达式当中，我们可以说出它的吸引力套的表达式。就一是这个 同样的，我们将 y 等于零点零二带入该表达式当中，我们可以求出 u 的 速度速度 u 的 表达式，然后当 y 等于零点零二式，我们代入，再代入到这个式子当中，我们可以求出速度 t 的 表达式，然后将 y 等于零代入这个表达式当中，我们就可以说出这个就是它的吸引力套的表达式。同理，当 y 等于零点零四和零点零六的时候，我们就可以求出 在此刻它该点的速度、速度 t 度以及吸引力套的速度表达式。大家，嗯，要注意点就是 这个，这个 d u 比上 d y 叫做速度梯度， d u 是 是两个的速度差的拉 u， 然后 dy 是 指两个的之间的距离差得儿差。 好，我们来看一下 d d 一 点四，然后设粘性 miu 等于零点零四八，帕密妙流体流过两平行平板之间的间隙，间隙宽德尔塔等于零点四毫米。流体在间隙内的速度分布有， 等于 c 乘以 y 乘以得 x， 减去 y 除以得 x 平方，其中 c 为带点系数，然后 y 为垂直于平板坐标。设 最大的速度 u 等于四厘米，是求最大速度在间隙中的位置及平板平面上的吸引力。在作词之前，我们向大家补充一个知识点，第一个是我们中学时学的位置及平板平面上的吸引力。在作词之前，我们向大家补充一个知识点，第一个是我们中学时学的基本不等式 ab 基本不等式 a 加 b 大 于等于二倍的根号下 a b 当前 当前仅当 a 等于 b 的 时候，等号成立，对吧？然后所以 a 加 b 是 要大于等于二倍的根号下 a b， 然后二挪过来 a， b 是 要小于等于二分之 a 加 b 的 平方， 同样的也是当前紧到 a 等于 b 的 时候，等号成立，这是我们第一个知识点，第二个知识点也是我们开头所说的 牛顿内姆，他定的套是等于缪为的 d u 比上 d y， 缪，然后这个叫做速度，这叫粘性系数，粘性系数 这个叫做速度梯度。 d u 比上 d y， 这个上面的叫做速度差，也就是德扎 u 下面的距离差，也是德扎 h。 好， 我们知道这两个之后，我们来看一下题目，然后我们把速度表示写出来， u u 就 等于这个 c y， 然后 u 基本不等式可知，我们 因为这是个常数，这是个常数，我们常数不用看，我们只需要看变量部分就行了，看这一部分，它小于等于，这是 a， 这是 b 小 于等于二分之括号 二分之 a。 加 b 的 平方，当前减到 y 等于德尔塔减 y 是 等号成立， y 就 等于二分之一德尔塔的时候，等号成立，然后因为德尔塔等于 四毫米，所以 y 等于零点零二毫，零点零二米，然后这个时候等号是成立的，然后我们把等号成立式子往里面带，就是这个式子，它是小于等于四分之一得差的，把四分之得差方往里面带， 所以这个舍得小等于四分之 c， 然后用奇异可知， u max 等于四米每秒，也就是说四分之一 c 等于四，也就我们可以求到 c 等于十六米每秒，然后这个时候速度表达式我们就可以求出来了。把 c 等于十六往里面带， 所以 u 就 等于十六倍的得它减去 y 乘以乘以 y， 然后再比上得它的平方，然后把 u 给求出来。之后，我们这时候 因为有我们这时候它题目要求吸引力，我们想知道吸引力，必须要知道它的粘性系数 mu 以及它的速度梯度。 d u 比上 dy， 然后我们这时候对 y 求导，然后我们可以求出来它的速度梯度， d u 比上 d y 等于这个数字，然后由内有的内幕它定律可知，套等于 new 倍的 d u 比上 d y， 然后它要求 嗯间隙中求最大，然后是平板 b 面上的吸引力，平板 b 面上的，我们显显然可知平板上偏偏边缘，应该它的 y 是 等于零的，所以 我们把数据给带进去， miu 等于零点零四八，然后是 d u 比上 dy， 我 们把这个式子我们可以看到，然后 y 等于零，这个等于零，这个可以消掉一个，也就等于十六除以得差，得差等于四毫米，四毫米往里面带，然后把这个式子乘出来，等于一百九十二啪， 所以这时候我们两个答案都能求出来了，所以最大速度，最大速度位置应该是 当它位于两平板中间时，也就是二分之一得差时等于零点零二米时，然后它的最大吸引力，平板上的吸引力套就等于一百九十二帕。好，这个是第四题，我们现在来看一下第五题。 第五题题目说是呃，宽度为零点零六米的缝隙中央放置一块很大的薄平板， 平板两侧充满两种不同的油，一种油的动力系数是另外一种的两倍。 好，这时候我们自己画图，假如这是平板，这是零点零六米，然后这是 u， 假如，假如这个是 u 一 等于 u 二等于二倍的 u， 然后复合题，然后是当 以速度，假如这个平板在中间是这个东西在平板，然后当速度以零点三米每秒的时候，也就是说这个 u 等于零点三米每秒，拉动时平板每平方米受到的摩擦阻力 f 等于二十九牛，然后假设各端的影响均可忽略，是计算两种油的动力粘滞系数， 然后这个时候我们，我们我们需要知道一点，就是当这个平板运动的时候，这个知识点就是当这个平板运动的时候，应该是套一是等于套二的，因为， 嗯，他这个是没有受外力的情况下，他，他只有保证他，他必须要保证两个，就是两个平板之间的吸引力是相同的，然后 因为速度是一个不会突变的，它不像力，它不会突变，所以 v 一 应该也是 v 二的，然后 由套一等于套二，套一等于套二，然后我们之前前面的知识点可以知道，由牛顿内摩擦定律可以知道 u e 比上 d， u 比上 dy 就 等于 u 二，然后 d u 比上 dy， dy， dy 比 dy 二，是吧？然后 我们从这个图可以看出来，这个平板是静止不动了，这个平板也是静止不动了，所以 d u 一 跟 d u 二其实其实都是， 就是等于零点三减零，其实都这个数号，然后 u 一 等于 u， 我 们代进去 dy 一， 我们自己假设 dy 一 等于 y 等于 y， 然后等于二倍的 u， 然后是零点三减零，再比上什么零点零六减去 y 是 吧？ 然后这个时候我们 u 和 u 可以 消去，我们可以解得 y 是 等于零点零二米， 这个时候我们其实就把平板距离假设出来了，这个这个薄平板距离下侧的位位一，我们求着等于零点零二米，好，这个时候 y 等于零点零二米，然后这个时候我们求出来之后，这题题目他需要求的是 两种动形系数，然后我们还有什么题目不知道，他说是已知每平方米受到的阻力，好，我们这时候看一下， 他说摩擦阻力，摩擦阻力是不是等于吸引力。套乘以 a， 因为它是每平方米，所以 a 等于一，其实在数值上就等于套，然后 u 你 的内摩擦定律可知，套等于 mu 乘以 d u 比上 d y， 这是我们一开始说的 u 的 内摩擦定律的公式，然后是 u u u 等于多少 u 我 们不知道。假如我们先看，嗯，先看下面的平方就等于 u， 我 们不知道。假如我们先看下面的平方，就等于 u 一， 然后 u d u d u u 什么零点，是不是零点三减零啊？ y y 我 们求出来等于零点零二等于多少？二十九，所以我们这时候就能把 u 一 给求出来了， u 解的 u 一 就等于 零点九六六七怕每秒，然后 同理我们可以算出 u 二就等于二倍的 u 一 等于一点九三三帕每秒。这题是该题的思路，大家可以看一下。然后其实这些关键还是我们一开始知识点所提的用牛顿摩擦定律套等于 牛倍的 d u 比上 d y 这个公式很重要，然后大家要清楚 mu 代表了什么含义。 d u 比上 d y 这个速度 t 度，这个叫速度 t 度。 d u 代表了什么？ dy 代表了什么？这个一定要清楚，这个是解决该问题的关键，然后这题的关键是我们要知道 该题这种题的话，它必须要保证套一是等于套二的，因为是它套一和套二，它是一顿作用力和反作用力，所以套一和套二它在数值上相同的，因为速度是不会发生突变的，所以这时候 v 一 等于 v 二，嗯， 这个这两个条件是该题的解决的关键，大家要把这个注意好。我们看一下第六题， 以重为九，牛的圆柱体在圆心管中以四十六毫米每秒的速度匀速下落，包括匀速， 然后柱体呢？与圆管存在油膜各几何尺寸？如一点六图一点六所示。然后是确定油的动力年龄系数，然后我们先油体所知，我们油体可知，当圆柱齿轮下滑时，重力和摩擦力应该是平衡的， 所以这个时候我们由牛顿第二定律可知， g 减去 f 是 等于零的，然后这个摩擦力 f 等于什么呢？ f 由我们之间所说牛顿内摩擦定律 f 是 等于套乘以 a 的 套是什么呢？套就是我们之间说的 u d u 比上 d y， 然后我们看一下这个速度，记住 d u 是 什么？ d u 是 不是速度差呀？速度差是什么？就他说了四十六米每秒，四十六毫米每秒就是零，就是四十六乘以十的负三次方米每秒，然后 d y， d y 是 什么？ d y 是 不是就是两 两层流之间的距离？也是不是就这个，这个是不是 d y？ 好， 我们看一下 d y 等于什么？ d y 就是 二分之一 一百五减去一百四十九点五乘以十的负三次方，这个就 d y。 好， 我们把这个东西给求出来之后，妞，这题是不是问题？就让我们求妞啊？ 然后我们把式子列出来， g 等于 f 等于 u， 比上德塔，再乘以 a， 然后我们有利利一可知 a 等于什么？ a 是 不是等于这个？假如这是圆柱体，是不是这个圆柱体展开的侧面积 是吧？然后这个宽呢是 l， 长呢是 pi d， 然后就是 a 就 等于 a 就 等于呃，这个是 h 就 等于 pi d h， 然后就等于 pi， 然后我们从 d d 我 们可以可以知道， 它的 d 是 它的内部圆柱体的面积，也就是一百四十九点五乘十的负三次方，然后 h 是 零点一五，然后我们可以算出来， a 的 面积约等于是零点零七五四米每秒平方米，然后得它 就等于二分之一大地减小地，假如说这个是大地，这个是小地，就是这个间隙得它，因为二分之一是因为这两侧都有，所以要除以二等于零点零零二五米，然后题目所知， 我们这题所给的 u 是 等于零点零四六米每秒，然后把式子带进去九九就等于 u 乘以 一百八十四，嗯，然后乘以一百乘以就是乘一百八，乘以零点零七五，然后把就是把我们求的数据啊全部往这个式子里面带，然后我们可以求出来 u 等于零点六九四帕米秒。 这是这题的思路，其实主要关键就是要知道，第一个是匀速，所以匀速有牛顿 第二定律可知， g 等于 f， 这是第一题。第二个是我们要知道牛顿的摩擦定律的应用， u 等于 miu 比上 d u 乘以 d u 比上 d y， 然后 d d u 什么含义？ d y 什么含义我们都需要知道，然后一连力，我们就可以把 miu 给求出来了。这是这题的思路。好，我们看一下第八题。 第八题，水轮机轴径小 d 等于零点三六米，然后呢 轴成长 l， 这是一米，小 d 呢？等于零点三六米，然后进项间隙 der， 它 有时候这个这么个小东西，它是零点零二三毫米，就是二点三乘以十的负四次方米，然后润滑油的动力粘性系数没有告诉你了，然后这里它要试求 水轮机转动 n， 然后消耗轴承上的功率。其实这题他我们看，我们看一下我，我给大家写的这题，我们需要求 p， 求功率 p， 功率 p 等于多少？功率？ p 应该是等于 f 乘以 v 是 吧？这时候 v 是 不是知道 v 是 什么？ v？ v 是 不是就这个速度？ 这个数是什么？这个 v 是 不是等于我们应该 r， 我 们应该 r， 我 们应该 r 等于什么？我们应该是二 pi r 是 不是二分之 d， 然后是不是就等于这个数字？ ok， 我 们 v 知道了，这是不是要求 f， 这个求 f， f 是 什么？ f 是 不是摩擦力？摩擦力有什么？摩擦力是不是与刚才上的摩擦力的摩擦力乘以面积？ 好，我们这里摩擦引力，摩擦引力是不是有牛的摩擦定律可以知道摩擦引力它是不是等于？它等于套缪，然后是 d u 比上 dy， 再乘以 a， 这 a 等于什么？ a 是 不是我们前面所说的这是个圆柱体，就等于 pi d， 然后再乘以 l a 是 不是等于这个式？好，我们接着看 d v 其实就等于德差 v 就是 这点静止的速度跟这一点的速度等于欧米茄 r， 然后等于什么？等于欧米茄就等于二 pi n， r 等于二分之 d 等于二 pi n 是 什么？ n 是 不是两板区？两板砖每分钟就两百除以六十，再乘以二分之一 d d， 什么零点三六？ d 等于零点三六带进去 d， y 等于得它等于二点三乘以十负四次方米。然后 a 是 不是等于二 pi r 乘以 l 是 吧？就是由第一可以知道吗？它的那个面积 a， 它在数值上是等于这个圆锥体展开的面积，这个是 pi d， 这个是 l， 然后就等于 pi 乘以零点三六乘以一，然后 v 呢？就等于得它 v 其实就是上面这个数值，把它给带进去就行了。好，我们这时候可以知道， p 就 等于 p， 最后 p 等于什么？ p 是 不是等于 m 倍的 v 比上得儿它再乘以 a， 再乘以 v， 是 不是等于 m 倍的 v 方比上得儿它，再乘以 pi dl 是 吧？ 那这个时候我们这些值是不是全部都知道？看把这个，这个是 mu， 这个是 v， 这是得它，然后这个是 a， 这是面积 a， 这个也是 v， 把它全部带往里面带， 等五点零四千瓦。好，这一题可能大家都注意的是这题可以看到它的运，这题思路 很简单，但是问题是，但是问题是很难算， 所以这点要注意了，一定一定要动手算， 因为考场上他就有可能会考这种类型的题，一定一定要自己动手算。这种题可能大家思路上很简单，大家都会，但是真正在考场上能算对的人却没有多少，这个一定是平时练习所导致的结果，所以平时做的时候一定一定要 动手算，这点非常关键。 好，我们看一下第一杠九， 他说液压机的活塞在自重及摩擦力作用下匀速下降，一只活塞自动告诉你哦，这题是不是跟上一题一样啊？匀速匀速说明啥？匀速说明受力平衡 g 等于 f。 在 数值方向，受力平衡 g 是 等于 f 的， 大 g 呢，等于一百九十牛，小 d 等于一百五十二毫米。然后呢，大 d 等于 一百五十二点零二毫米， l 是 等于二十毫米。它第一问是说，若采用 miu 等于零点六二帕米涅的油是求活塞下降的速度。 你看他题目所给的，当忽略沿流动方向压向梯度时，活塞与活塞套中间的流体可以看作为两平板的流动，可以看作为两平板的流动。说明什么符合牛顿的摩擦定律。涛呢？就等于 miu 被的 d u 比上 dy， 这面的 miu 是 指摩擦系数 d u 比上 dy 速度梯度 我之前跟大家说过很多遍了，这里就不再赘述了。然后活塞拖动油门运动速度可以假定为线圈分布，于是活塞受到摩擦力， f 有 牛顿的摩擦定律，可以知道 f， f 就 等于掏乘以 a 就 等于 miu， a d u 比乘 dy， 然后 du 是 什么？是不是可以看成平板移动？是不是？是不是可以是 du 是 不是速度差呀？速度差。然后题目说了匀速下降，那我设为 u dy， dy 是 不是这个静止平板和这个移动的这个圆柱体，它之间的速度差， 他之间的位差，位差，这个等于多少呢？这个假如这个这一点是得差，这个得差大家可以看出来，就等于二分之一大 d 减小 d， 你 看把这个带进去，然后由此方向重力平衡，所以我们可以求出来 g， 把这个二给拿上去， g 就 等于二 m 乘以 u 除以大 d 减小 d 乘以 pi dl， 然后把这个给求出来，然后 把这个求出来，之后当 u 等于零点六二帕每秒时，我们下降速度， 把这个式子把 u 给反解出来，你看 u 就 等于 g 乘以大的，减小的除以二 pi， u 乘以 d， l， 把这些式子把这些数值全部给带进去，解得 下降速度 u 等于三十二点一毫米每秒。然后他们说第二问，当速度 u 等于三十九毫米每秒时，是确定 u 的 动力极限系数，然后是不是同样是这样式子， 我们这时候 u 不知道， u 知道，所以同样的分解出来， u 等于 g 乘以大 d 减小 d 除以二 pi， d， l 乘以 u， 然后把我们已知数全部往里面带，然后解得 喵等于零点五一帕每秒。这题，这是这题的解析思路，其实这题的思路总体来说是很简单的，就是我们这题关键就要知道 f 等于套乘以 a 乘以， 然后套什么？套用你的，那么它就可以套等于 d， u 比上 d， y， 我 们要知道这个这个这个这三者的具体含义， 我们要知道对于圆柱体来说， a 是 什么？ a 是 不是派 d l 呀？我们是不是应该知道这两点东西？这个是这题解析的关键。然后最后一点是大家看一下这个这个这个这个非常的难算，但是一定要自己动手算， 考场是考场上是不给带计算器的，所以大家一定要自己动手算。好，我们就不再赘述，现现在来跟大家说一下第十题。第十题， 某机床工作台与机身接轨处的面积 a 等于三十立方厘米， 若采用静压支撑导轨，再接触面间建立零点一米厚的油膜，有的东西年龄系数 m 等于零点一二，啪每秒是确定一点五米的速度。 移动平台所需要的力与功率，我们先求力，再求功率，因为功率 p 等于 f 乘以 v， 然后是 v 等于一点五求的，所以我们直接求力 f 牛牛顿，那么它定律可以知道，套是不是等于 miu 乘以 du 比上 d 等于 du 乘以 du 比上 dy， 然后 f 等于套乘 a， f 就 等于 miu 被的 du 比上 dy 乘以 a， 然后我们知道 miu 是 摩擦，是动力粘系数 miu 我 们指一指 du 比上 dy 等于多少？一点五，一点五减减零是不是五，然后 然后得差 y， d， y 距离差，距离差等于多少？油膜厚度零点零一毫米，是不是这是个得差零点零一毫米？好，我们把速度把之光面带等零点一二乘以一点五除以一乘以十的负四次方，再乘以三百乘以十的负四次方，等于五十四牛，这个就是 f， 然后我们可以求出功率 p 呢，就等于 f 乘以 v 等于五，五十四乘以一点五等于八十七瓦，八十七瓦，然后这个是它的功率 p， 也是功率 w。 好， 这个是第十题，我们现在来看一下第十一题。 在 delta 等于四十毫米的两平行地面充满 mu 等于零点七帕每秒。液体， 液体中由于长为 a 等于六十毫米的薄平板，以速度 u 等于十五米每秒的速度在板所在的平面内运动。参见图这个图， 假定平板运动引起液体流动的速度分布是先性分布，也就是说，这题我们可以把它设为可以用牛顿的摩擦定律 f 等于套乘 a， 套等于什么？套是不是等于 u 的 d u 比上 d y 再乘以 a 是 吧？ ok， 我 们先看一下第一问，当小 h 等于十毫米设求平板 单位平板面积上所受到阻力，我们看先分析一下，假如这是个平板，这是一个固定平面，这也是固定平面，它运动是不是受到来自上方的摩擦力和来自下方摩擦力？我们可以画一下速度分布图，这样这样这样， 我们这时候可以看到它的两个速度梯度， 它并不相同，所以两个速度梯度不相同，因为这是同一种液体， miu 说明可以知道它们两个的，所以可以得出它上下的两个的速度吸引力。套一和套二啊，它肯定不一样大，因为它的因为套等于 miu 倍的 d u 比上 套等于没有比的 du 比上 d y， 因为 du 会上平平板上侧和平板上侧和平板下侧，它的速度七度并不相同，但是它的动力摩擦系数是相同的，所以两个上侧和下侧它们的呃 硬力套套一和套二肯定是不一样的。好，我们先看一下第一问啊第一问，然后是 我们看一下这个是我画的一个草图，因为上平板和下平板它都是固定的，所以 du 和 du 一 以及 du 二是不是就等于等于 u 减零，是不是都是这个呀？然后 用母的内由由牛顿内摩擦定律可知，套等于 miu 乘以 d u 比上 dy f 一 呢？等于套一乘以 a 等于 u 倍的 miu 倍的 u 比上 h 再乘以 a， 再乘以 e。 你 看这题，为什么乘以？因为它说是 单位宽度，所以 a 是 不是等于它的板的长度面？ a 乘以单位宽度一，是不是也就等于六十乘以十的负三次方米每秒？这个大家肯定要注意它的面积，然后大家看一下， 套 f 就 等于套一，套一 f 就 等于套一再乘以它的面积， a 就是 这个值，然后，然后，然后大家可以看一下啊，这个， 这个 u 得差 u d u。 套一是不是等于没有被的 d u e 比上 d d u e 比上 d y e， d u e 等于什么？ d u e 是 不是两边速度差就 u 减零啊？然后 d y d y e 什么 d y e 是 不是平板距离这个固定平面的距离小 h 比上小 h， 这个是不是牛顿内摩擦定律的含义啊？就是 d u 是 d u 是 速差， dy 是 距离差，大家再注意一下。然后就等 u 乘以 u 比上小 h， 再乘以 a， 再乘以 e， 然后 这个时候我们两边都有数据，然后都有数据，小 h 等于零点零一，然后 u 等于 u 等于十五米每秒，然后 a 等于六十乘十分等，然后乘以解数等于六十三。牛，这个是不是 f 一 啊？同理，我们是不是要求 f 二啊？ f 二是不是等于套二乘以 a 啊？然后套二等于什么呢？套二 to 二是不是指的是这个呀？ to 二指的是这个，然后是不是同样的 to 二等于 new， 然后是 d u r 比上 dy 二， dy 二是 dy 二，是不是 dy 二？是不是得它减去 h d u r， 什么 d u r 是 不是也是 u 减零呀？好， 我们把这个式子往里面带， u 减零就是说是四毫米减去一毫米，这个是套二，然后这是 u， 这是 mu， 然后这个是面积 a， 然后我们减出的二十一牛。所以呢， 我们所求出的 f 呀，你看这里所求是求单位平面宽度所做的阻力 f， f 阻力 f 就 等于上上半平面面上半平面阻力加下半平面阻力 f 一 加 f 二等于六十三，加上二十一等于八十四牛。 ok， 这第一问好，我们看一下第二个。第二个要求什么？第二个要求， 若平板的位置可变，是求 h 为多大时， 是求 h 为多大平板宽度平板宽度平板宽 h 为多大是 h h 为多大是平板宽度取最小值且这个数，且求让你求力的最小值 f 等于多少。然后我们看一下， 我们由第一问结论可以知道 f 是 不是等于套一乘以 a 加上套二乘以 a 是 不是等于优牛顿内摩擦定律可以知道套一是不是 miu 比上 u 比上 y 再乘以 a 啊？然后再加上套二是不是 miu 比上 u 再乘以得它除以 y 再乘以 a 啊？然后 我们把这个这个这个这三点公共值给提出来，然后是不是等于 y 一 分之一加上这个分之一，好， 是不是这个值？然后这个这三个是常量，我们是不是只需要求出它的最小值就行了？然后这题是不是我们一开始补充了基本不等式 a 加 b 大 于等于二二倍的根号 a b 当且进， 当 a 等于 b 时，等号成立啊。 ok， 那 是不是这个我们加，我们先通分，通分，通分以后是不是这个式子，然后这个东西 就是 ab 是 不是小于等于二分之 a 加 b 的 平方式啊？所以这次分母上是不是分号反过来就大于等于的差，然后 y 加上？你看大家看一下啊，这个是 y 乘以得差减去 y 是 不是小于等于二分之一， y 加上得差减去 y 的 平方等于四分之一得差的平方呀？是不是这 当前减到 y 等于得差减 y， 也就是说 y 等于二分之一得差的时候，等号是成立的。 是不是大于等于，这个就是大于等于四比上得差。当前仅它 h， y 等于，也就是 h h 等于二分之一得差的时候，等号成立。 所以我们我们可以说回顾第二问了，当 h 等于二分之一得差的时候，单位宽度的面积取最小值等于二分之 h， 二分之得差，也就是等于二十毫米的时候，他的力是取最小值。最小值等于多少呢？最小值往里面带等于 等于缪， a u 乘以四，再除以得它，然后把把值往里面带，然后可以求出来等于六十三牛，然后这题就可以写出来了。这题其实主要运用的函数知识点就是牛顿内摩擦定律。缪 用这套等于 miu 倍的 d u 比乘 d y。 第二个是基本不能是 a 加 b 大 于等于二零号二 b 当且进，当 a 等于 b 时，等号成立。 好，这个是这题的关键。然后这个以上就是第一章的全部内容了，感谢大家的聆听，谢谢大家！