天津八下数学几何模型

今天这期视频是八下几何模型辅助线总结系列视频的最后一期，前三期视频没没看过的同学一定要去看一下。很多同学几何模型辅助线他比较乱，没有系统的梳理，难道题根本不知道往哪个方向去想，思路是乱的？ 所以建议大家一定把这个系列的视频完整的去听完，建立一个完整的知识体系，这样你遇到压轴题的时候，你能知道往哪个方向去想，该用哪个辅助线，同时你听完之后你也能知道八下的几何模型辅助线都有哪些，那对于哪块你不熟悉的，就可以去重点对应，去练哪个专题。 今天咱们讲的是第四部分，这个正方形的基本型，这块的内容非常非常重要，只要数学想上一百一这部分是必学的内容，需要电子版资料的评论区留言。像正方形里的旋转手拉手、绊脚模型这些东西，前面系系列视频都已经讲过了，所以咱们这里 不再去重新说了。那这里咱们重点看的是三个内容，第一个是十字架，这个是正方形里出现频率可以说是特别高的一个， 那十字架只要正方形里面出现两条线是相互垂直的，那他俩一定相等，反过来出现相等也一定是垂直的。那十字架时候，咱们解决方式他经常会和共顶三等腰结合到一起，那就是属于很难的一个处理方式了， 或者是和平移的角度。第二个就是和平移角度结合到一起，第三个也可以从直接做垂去勾到全等这个角度去结合到一起的，那这个的话相比于难度来说，他可能会稍微简单一些。在这几个里面，那第二个是一线三等角，一线三等角都是大家非常熟悉的，因为咱们在学 在学全等三角形的时候，可能最熟悉的就手拉手，其次就是这个一线三角，一线三垂也叫 k 字型了，那出现一线三角的时候，他这里面指的是在正方形里如果有两条相互垂直的线，他跟第一个很类似啊，就是有两条相互垂直的线，那基本上他俩也是相等的。 同时如果他俩相等，你也能去正出垂直，那这里你可以通过做垂一线三垂去正，也可以通过共顶三等腰，我把这个 e c 连上 去，证明这个共点三等腰去倒角去推也可以。那关于这个正方形的一线三垂里面有两个很重要的基础的正法以及它的逆推形式，大家要去看一下。 这里面常见的两种逆推指的是第一种是已知垂直正相等，第二种是已知相等正相等正垂直。咱们看一下这里的条件啊，首先他给的是 a b c， d 是 正方形， c， e 是 角平分线。第一种是已知 a f 和 e f 垂直，要咱们去证明 a f 等于 e f。 很多同学拿到这题直接过 e 做垂直， 然后想证明这俩一线三角全等，然后就挣不出来了。你绝绝大部分没学过的孩子肯定是这个思路啊，是这样做，垂去正全等肯定挣不出来。 所以咱们这里采用的是另一个方式，我是在 a d 上取一点 m， 那 这时候是不是就可以使这个 dm 等于 df？ 它俩相等之后，咱是不就能推出这里的 am 等于 f c 有 am 等于 f c， 你 再看那现在这个角是四十五度的，所以它的邻补角是不就一百三十五，同时 f c e 是 也是一百三十五度的， 哎，那此时我们就看有 f c 等于 am， 同时因为垂直，咱是不能通过导角导出这两个点角相等，那现在是不就有这俩三角形是 s a s， 嗯，是 a s a 全等， 全等之后是不才能证出 e a 等于 ef 等于 fa？ 这个很多同学还能想出来，那第二问的话，同学们想起来能做出来的其实真的是寥寥无几。 我们看第二问他给的已知条件啊。第二问是已知 a f 等于 f e 的 情况下，已知它们俩相等去正垂直，那这个就很多同学都没证出来。你不管是做垂还是向上一问，这样我截相等边都是差条件。截相等边的话，你能发现这是一百三十五，然后 f c e 也是一百三十五， 同时还有这个边等，那这时候你发现它是一个边边角的条件，它是正不完全等的。所以那咱们就想到了第一个常规思路，你边边角是不能正全等，但是实际上绝大多数的边边角是可以去正全等的，那你可以去再额外去构造辅助线正全等，那那方法就比较麻烦了。所以咱们换一个简单一点的，你可以直接连接 ac， 连完 ac 之后，你把这里的 ac 延长，延长是不就相当于这个 fc 是 ac 和这是 m， 是 这个 acm 的 角平分线，这俩角是不都是四十五度的？ 那有角平分线，还有 fa 等于 fe， 咱是不就可以去构造垂直，去做双垂？是不可以过 f 向 ec 和 ac 去做垂垂足分别是 m 和 n。 那此时咱是不是直接就能推出这里的 f n 等于 f m， 再加上原来的 a f 等于 e f， 是 不就有这俩三角形？ a， f， n 全等于三角形 e， f， m， 那 他们俩全等之后，我们是不就能得到这里的对应边？对应角是相等的了，对吧？那全等之后你再看，那现在的话，我们想证这两个角是等于这个角了， 我再加上这个叉弧加叉是不就是九十度的角？因为这个 n f， m 是 不九十度的，所以弧加叉九十，也就是说 a， f， e 是 不是九十就可以挣出来了？ 第三种，他是一个根号二倍的问题，他其实不是属于一个基本型啊，就是属于正方形里常出现的问题。正方形里的压轴题经常会让咱们证明根号二倍的问题，那我们就要知道，你需要正根号二的话，肯定是要构造等效值的，那构造等效值大概率大多时候是需要构造手拉手相等的。 我们先看这里的第一题啊，那现在他给的已知条件是 a e 垂直 c e， 想正这个角四十五度，那我们看我之前说过，在正方形里是不是容易出现对角互补四边形？你看 a， e， c， b 这个四边形是不是对角是互补的？ 同时两组邻边 b a 和 b c 是 不相等，所以那对角互补四边形，咱是不是通过旋转的方式去构造手拉手相等， 所以直接延长 e c， 然后做一个 b m 垂直 b， b m 垂直 b e， 然后你就能证出这俩方程全等了，有全等是不就能得到这个你要求的角 a e b 是 等于 b m c， 那 因为咱做垂之后，你再证全等能得到这里的 b e 等于 b m， 所以 b m 是 不等腰值？等腰值，那这个角 b m e 是 不是四十五度的？这个就完事了？然后第二问，我们再看 第二问，想证明它俩是相加等于根号二的 b e。 所以 你的思路是，我既然要证明根号二 b e， 我 是不是就要以 b e 为直角边去做一个直角等腰直角三角形，那斜边是不是等于根号二的 b e？ 所以 跟刚才一样的思路，我还是做一个 b m 垂直 e c， 那 b m 垂直 b e 做完除以之后一样这俩三角形全等全等之后，是不是就能得到这里的 e m 是 等于根号二的 b e？ 那 同时 e m 是 不是就等于 e c 加 c m c m 是 不是等于 a e 的 这个也就能证出来了？这个是属于比较简单好证的根号二倍的问题。

八下数学最难的几何八大模型三天吃透逆袭班级前三！八下数学几何模型立体四绊脚模型五海盗买宝模型 六中点四边形模型 七十字架模型完整版分享！

这道题看着简单，但是绝对称得上我们初二几何的压轴难题了，他的条件特别少，但是这道题一旦你做不出辅助线，这道题真的是一分你都拿不到手啊。这个视频老师就给大家把这种有关于角的构造思想彻底的梳理一遍， 教你从本质上学透怎么样去做辅助线。那有关于初中几何咱们必会的模型和辅助线，我也给大家做了一个梳理， 所有初中的要求都在这一篇资料里面，如果咱们孩子现在做正面题，还经常没有思路，哎，不知道该怎么入手去做辅助线，那一定要打印出来，带着孩子先把模型意识给建立起来。下面呢，咱们就来一起看看这道题。 这道题说了啊，这里 a、 c、 b 这个角等于二十度， c、 b、 d 这个角等于四十度，让你求 b、 c、 d 的 度数好了， b、 c、 d 在 哪呢？在这呢，想让你求这个角的度数，那该怎么求啊？咱们看看这道题入手的条件在哪？ 有一个直角直角三角形相关的辅助线有什么呢？我想到直角三角形三十度所的直角边，斜边一半，他有一个，还有一个性质叫做斜中半的，哎，这样的定理，斜边中线等于斜边一半， 所以在这里啊，我不妨就去取一个斜边上的中点。我为什么要取斜边中点？有同学说，我怎么想不到啊，你看啊，这道题有一个引含的条件，看到了吗？这条边长是二，这条边长是四， 四的一半是二，所以当我取了终点之后，我会在这里找到三条同为二的边长，再加上这条边长，他也是二。来引含条件出来了吗？出来什么了？对了，没错，这就是我们所说的等边三角形。 有同学说我取完了，你怎么证明他是等边呢？看啊，这是二十度对不对？这两边相等，这是不是也是二十度？所以一个角是六十度的等腰三角形，是不是？等边？ 是等边，那就说明这也是二了，对不对？现在你会发现左半部分他又形成了一个什么三角形， 对了，这又形成了一个等腰三角形，而整个这个平角是一百八十度，这个角呢是六十度。 整个这个大角咱们又可以求出来。在三角形这个小的三角形当中，我们会发现这个是两个二十度的角，所以整个大角就是一百八十度，是一百四十度，大角一百四，这是六十，这个角不就是八十度吗？ 他又是一个等腰三角形，所以这个是八十度，这两个角就是一百八减八十，再除以二，也就是都是五十度了， 整个大角是五十度，上面二十这个角不就是三十度了吗？直接求出答案。那整个这道题核心的关键在哪呢？在于根据已知条件，那个四和二对应的边长，利用直角三角形斜中半的结论去构造四的一半，也就是二。 接下来利用等腰三角形的性质来去干嘛呀？推角、推边，进而进行边角关系的转化。那这种题你现在学会了吗？

别催了，别催了，大家催更的量都看到了。相似模型大盘点，我们上次讲了前五个，今天我们一起来看一下我们后面的这六个，加上上一期呢，我们整个初中阶段所学的相似模型就全部都梳理完毕了，考场见到这类题我们就能稳稳拿分了。 当然这个题我们直接看第二问啊，也就是他大概长这个样子。好，他是这么描述的，在直角三角形 abc 中告诉你，这个角是九十度，也说你是一个直角。好，现在过 a 点，直接向对边做垂线垂足呢，是 d 点 好， o 是 我们整个 a c 边上的一个点在这，嗯，但不管怎么样呢，我们连接 b o， 然后过 o 点呢？做 b o 自身的垂线，那与斜边呢？交一点好，如果 o 是 a c 的 中点，也就是这条线段等于这条线段的时候，那你是中点， 并且 a c 比上 ab 等于二，我整个线段是你的二倍，因为这两个边相等吧，那说白了，也就是这三条红边相等， ab 等于 o c。 好，我们看这个里想问什么，他让我们求 o f 比上 o e， 也就是这条线段比上这条线段。哎，亮亮，这个我知道，对吧？哎，这还 k 字相似，那在一条线上出现了一个直角，所以我可以过 f 点往下做垂线，我可以过 e 点往下做垂线。你之前不是讲过了一线三垂直吗？ 所以我们知道这个三角形一定相对于这个三角形，对吧？嗯，恭喜你各位同学。哎，掉坑了，你会发现根本搞不定。 那你想的是这两个三角形相似，那我的 o f 比上 o e 不 就等于这两个三角形的相似比吗？你往下做垂线之后，咱们本来有这三条线段相等，对吧？你会发现我们把 a、 o 破坏了， 你还把我们的 oc 破坏了，我们破坏了整个条件的完整性。因此你会发现这么处理极其麻烦，那我们该怎么办呢？我们可以用到 k 字相似，指的是如果在一个大的直角三角形中，喏，就好比说 a、 c、 d， 好， 在我们斜边上发射一个直角，那也是这个角呢，是九十度的。好，我把它瞄出来， 在我们整个斜边上发射一个直角，你会发现这三条线呢，它就相当于我们的字母 k， 它就相当于把这个 k 放倒了，就变成我们这样的一个图形了。所以这个模型我们就把它叫做 k 字相似，那么它就是我们 k 字相似的原始图形。那么对于所有的 k 字相似，我们只需要做的就是过斜边上的直角顶点， 像你这个直角三角形，两条直角边做垂线就可以了。哎，什么意思呢？就是过 o 点向 d、 c 做垂线，哎， 以及呢？向我们的 a、 d 做垂线哎，做完之后大概长这个样子。此时你会发现 o、 m、 d、 n， 我 有一、二、三有三个直角，因此我们知道这个角一定是直角，也就是 n、 o、 m 这个角呢，等于九十度。 而我们知道 f、 o、 e， 也就是这个角呢，它也是一个直角。然后你会发现这两个绿角相等， 并且这两个绿角呢，它们都等于九十度，还重叠一部分。两个等角重叠一部分，也就是我们这个小的绿角， 它一定等于这个小的绿角。此时你会发现，在 o、 f、 n 以及 o、 e、 m 这两个直角三角形中，我的直角等于绿角，两组内角对应相等。因此我们知道这两个三角形一定相似， 也就是三角形 o f、 n 一定相似于三角形 o e、 m。 你 让我求 o f 比上 o e， 也就是这条边比上它， 那不就是用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边吗？说白了就是这两组相似三角形的相似比，对吧？那我不，我只要用你这条垂线 o n 比上我对应的 o m 就 好了，也就是我只要求 o n 比上 o m 就 行了。好，接下来我们该怎么处理呢？ 此时我们可以产生一组全能，你不管是用边还是角都可以。比方说在这里我们就用角，我们知道 o n 以及我们的 b、 c， 它都垂直于 a、 d， 所以 我们知道，那这两条线一定是平行的， 两条直线平行被我们第三条边所截，因此我们知道这两个红角它一定相等。而大家不要忘了，我们的 o a 等于 o c。 因此你会发现，在 o m、 c 以及 a n、 o 这两个直角三角形中，我们的直角等于直角， 我们的锐角等于锐角，而且我们还有对应的边相等，所以我们可以证出 a、 n、 o 全等于，怎么样呢？ o m c。 而我们证出全等为了干嘛？为了好玩？不是啊，我们正全等是为了进行边角条件的转化。你本来让我求 o m 比上 o n， 对 吧？ 现在这个三角形跟这个三角形全等了，所以我只要用对应边 mc 比上 o n 就 可以了。 o， 它只要等于 mc 比上 o m 就 行了。那你会发现 m c 比上 o m 呢？那不就是角 c 所在的这个直角三角形，用较长直角边比上较短直角边，可是问题来了，这两边这个如何求解呢？ 好，其实你要知道，不管是用相似还是用三角函数，我们都可以求解。比方说角塞所在的直角三角形，可以是小的 o m c， 也就是它 角塞还可以在整个大的直角三角形中，你会发现角塞所在的整个大直角三角形，我的较长直角边比上较短直角边呢，刚好是二比上一。 那因此我所在的这个小直角三角形呢？我的较长直角边比上较短直角边，也等于二比一，也就是等于二。搞定， 像这种题目，一般在我们中考里面大概长这个样子。好，当然这个题我们直接来看最后疑问，也就是这个图呢，大概长这样。好，首先我们给出一个大的直角三角形，我告诉你，角 b a c， 也就咱们这个角是一个直角，九十度。 好，紧接着我告诉你， a c 等于六， b， c 等于十，那这个边是六，这个边是十，对吧？那我们知道通过勾股定律，一定可以求出整个 a b， 这个边呢，等于八。好，我们看这里想说什么好， c d 平分角 a c b， c， d 平分整个角 a c b， 也就是我们这个绿角呢，等于这个绿角。好，现在让我们求什么呢？求 tangent d c b d c b o， 也就是我们这个角的正切值。好，比方说我令这个角是 a r f， 这个角也是 a r f 好 不好？ 所以这个题就相当于让我们求弹性阿尔法的值。好，我们知道很多同学想到我去求一个角的三角函数值，肯定要把这个角放在一个直角三角形中，对吧？所以很多同学说过，地点往下做垂线可不可以呢？ 你用勾股定律引入未知数来构造一个方程来进求解，一定可以，但是在这里面量呢，想跟大家说的是角平分线相似，比方说，像这个题，我们是怎么去口算它的呢？注意啊， 你只要给出一个直角三角形，好做它的角平分线。那么注意，那么这两边之比 一定等于什么呢？等于 a d 比上 b d。 那 你想想，六比上十是不等于三比五，所以你这个边比上它一定是三比五， 你把整个八分成三比五的两部分，那这个就是三，这个就是五，所以你会发现我们要求弹性 airf， 那 弹性 airf 是 什么呢？你让我求它的三角函数，我偏不，我只要求它的三角函数值是不就可以了？弹性 airf， 它刚好在一个直角三角形中，我的对边比上邻边 不就是我的正切值吗？三比六也就是等于几，也就是我们知道最终等于二分之一搞定，所以我们知道它等于三比六，那最终我们化解呢？也就是等于二分之一搞定。 那凭什么你这个边比上它等于 a d 比上 b d 呢？好，接下来我带你们证明一下。那么这个题很多同学可能想到，我要过地点往下做垂线， 把这个阿尔法呢放在一个直角三角形中，当然没有问题啊，你引入未知数通过构造勾股方程来求解一定可以。但今天我想要跟大家说的是角平分线相似是什么意思呢？ 比方说我们给出一个三角形啊，这个边是 a， 这个边是 b 啊， a 和 b 呢，会产生一个夹角，就是它了。 好，现在我们去做这个角的角平分线。哎，我们把它平分，它也就是这个角等于这个角。好，那么你会发现这条角平分线呢，它会把第三条边分成了两条小线段，我们把它分别叫做 m、 n， 那 么此时它的结论就是 两边之比， a 比上 b， 一定等于这两边所夹的这个角的角平分线 与第三边的分割线段之比。说白了，你的左边比右边，你的上面比下边，就等于我的上面比下面，所以它百分百等于 m 比上 n， 这个结论百分百成立 啊，不管是锐角、直角、钝角、三角形，它都成立，我们就把它叫做角平分线相自模型。那当我们知道这个结论，你会发现我们处理这个题就非常快了。那给出一个大的直角三角形，一个边是六，一个边是十， 六和十呢，它夹着一个角 a、 c、 d， 现在你把这个角给平分了啊，所以我们知道六比上十一定等于 a、 d 比上 b、 d， 六比十等于三比五嘛，对吧？我比上你等于三比五， 所以我这条线呢，比上你也等于三比五，你把八分成三比五的两部分，所以这个是三，这个是五，所以你会发现呢，喏，你让我求弹性压法， 你让我求他的正极值，我不，我只要求他的正极值就可以了，也就是三比三六，因此等于二分之一。那问题来了， 这个结论我们怎么证呢？有两种方法，一个是等面积法，另外一种呢，就是我们的构造相似，首先我们延长 c、 d， 然后呢，再过 b 点做 a、 c 的 平行线，比方说呢，大概长这个样子，对吧？做一条平行线， 使得我的平行线和你的延长线的交汇点，这个点我就把它叫做，哎屁点，看到没有，晾在这里放个乌漆嘛黑的屁，臭死你。听半天不关注我的。好，那我们知道这条线跟这条线的平行的 两直线平行，被我们第三条边所接，因此我们知道内错角相等，你这个角是 a r 法，因此我们知道这个角呢，也等于 a、 r 法，所以你会发现 p、 b、 c， 它是一个等腰三角形，你这个边等于十， 所以我这个边呢，也等于十。与此同时，你会发现，在我们这个三角形和这个三角形中呢，它还有对顶角相等呐，此时你会发现呐，在这两个三角形中，我的锐角等于锐角，我的绿色 alpha 等于绿色的 alpha。 两个三角形有两种内角对应相呢，因此这两个三角形一定相似。好，那么你用这个小三角形的 a、 d， 我 们用 a、 d 比上你这个三角形的 b、 d， 那 不就是相似三角形的对应边之比了吗？那么一定等于什么呢？等于这个三角形的 a、 c， 也就是等于六比上这个三角形的 p、 b， 也就是比上十了。因此你会发现， a、 d 比上 b、 d 等于六。比十，六比上这个十，不就相当于六比上这个十吗？所以 a、 d 比上 b、 d 等于 a、 c 比上 bc。 证明完毕。六比上十呢，我们知道它就等于三比上五，而我们知道整个边是等于八的，你把八分成三比五的两部分，所以这个边呢，等于三，这个边等于五，因此我们刚才说求 b、 c、 b 的 正切值，求阿尔法正切值，就等于求它的正切值三比六，因此等于二分之一。 搞定好，那么首先给出一个大的直角三角形，我告诉你，角 a、 c、 b 呢？九十度，也是，咱们这个角是一个直角，现在过直角顶点向斜边做垂线，产生垂足地点。 大家需要注意啊，所有的射影定律，它有一个使用的前提条件，就是一定得在直角三角形中，锐角三角形和钝角三角形是没有射影定律而言的。好，现在我告诉你 b、 d 等于二， a、 d 等于八，让我们求什么呢？ 整个三角形 a、 b、 c 的 面积，说白了我只要把 c、 d 求出来就可以了，对吧？摄影定律总共有三个结论，用的最多的呢，就是我们这条高的平方等于左右两条线段的乘积，也就是 c、 d 的 平方呢，等于左边的 a、 d 乘以我们右边的 b、 d。 好，这个结论怎么正的？其实非常简单啊，就是我们只要正出一组相似就可以了。比方说呢，你这是一个直角三角形，你过直角顶点往下做垂线，首先我们可以推出的也就是这两个蓝角一定相等。哦，就是咱们这个蓝角，它一定等于这个蓝角。 我们跟大家解释一下，为什么呢？首先你要知道，我是一个直角三角形，所以你这个角加上我这个角一定九十度，这个怎么正的？你会发现我是一个直角三角形，所以我们这个蓝角加上这个白角等于九十度， 同样的，咱们也是九十度，所以这个蓝角加上这个白角也等于九十度，我和你相加九十度，我和你相加也九十度，所以这两个蓝角一定相等。那么此时你会发现，在左边这个直角三角形和右边这个直角三角形中，我的锐角等于锐角， 我的直角等于直角，因此这两个三角形相似。而我们知道相似三角形对边成比例，如果我用这个三角形的 a、 d， 而我用 a、 d 比上你这个三角形交成直角边 c、 d， 那 么一定等于这个三角形，它的 c、 d 比上这个三角形对应边 b、 d， 对 吧？所以因此你会发现，我们对角相乘就是 c、 d 的 平方，再对角相乘就是我们的 a、 d 乘以 b、 d。 证明完毕。 此时你会发现，我们求 c、 d 就 简单的多了，也就是 c、 d 的 平方等于什么呢？左右两条线段的乘积等于十六， 所以我们知道 c、 d 呢，一定等于四。整个三角形的底边等于十，高等于四，底乘以高除以二，所以我们求出来它的面积等于多少，等于二十。搞定 啊，旋转箱子一般就长这个样子，我们很多中考和旋转相关的几何综合就喜欢考察它了。当然这个题目我们依然看最后一问，那首先我给出两个三角形， a、 b、 c 和 a d， a， b、 c 在 这里， a、 d、 e 呢？在这里面。好，首先我告诉你，角 b、 a、 c 等于角 d、 a、 e 等于九十度，就是你是一个直角三角形，对吧？哎，这个角直角， 同时我也是一个直角三角形，咱们这个角呢，也是个直角，与此同时呢，我也是一个直角三角形，咱们这个角呢，也是一个直角。然后我还告诉你， a、 b、 c 等于 a、 d、 e 等于三十度，也就是你是一个含有三十度的直角三角形，我把它标出来。 与此同时呢，我们也是一个含有三十度的直角三角形。说白了，你会发现大家都含有三十度，都是直角三角形，因此 abc 这个三角形一定相似于 a、 d、 e 这个三角形，对吧？ 一组相似三角形，如果你把它们的对应顶点放在一起，转来转去的，那么像这种图形，我们就把它叫做旋转相似 所有的旋转箱子，它一定会产生一组新的相似。在哪呢？我待会儿告诉你啊。现在我告诉你， a、 d 比上 b、 d 等于根号三，也就是这条边是我的根号三倍。好，这个怎么用的？不知道，让我们求 d、 f 比上 c、 f， 也就是这条线段比上这条线段， 这是干嘛呢？你看这两条线段，它的首尾相连呢？是在一个小三角形中，对吧？这怎么求呀？风马牛不相及，根本就搞不定。 我们刚才说他一定会产生一种新的相似。那这个相似三角形怎么去构造呢？其实很简单，首先在这个含有三十度的直角三角形中，我把这条边标成红边，我把这条直角边呢也把它标成红边。然后在这个大的直角三角形中，我把这条直角边呢把它标成绿边， 把这条直角边也把它标成绿边。我们刚才说了，你是一个还有三十度的直角三角形，而我也是一个还有三十度的直角三角形，因此这两个三角形 a、 d、 e 一定相似于三角形。怎么样的？我们的 abc， 对 吧？ 那这两个三角形的相似比呢？你用这个三角形 a、 d、 e 的 红边比上整个大三角形的绿边。 红边比绿边等于什么？等于这个三角形的红边比上这个三角形的绿边，对吧？所以我们知道红边比绿边等于红边比绿边，那然后又能怎么样呢？那我们刚才说你这个大的直角三角形，你这个角是直角九十度，对吧？我就不再用垂足的标志， 同样的，我们也是一个直角三角形吧，所以这两条红边的夹角也是九十度。好，两个蓝角相等， 你会发现这两个蓝角呢，他还重叠了一部分，两个等角重叠一部分，因此我们知道，那像这样多出的两个小角，多出的两个小角一定相等，也就是蓝角等于蓝角。此时你会发现，如果我们连接 e、 c， 你 会发现，在这个三角形跟这个三角形中， 我的红边比上绿边等于红边比上绿边，并且大家的夹角相等，因此我们可以证出，也就是这个三角形，它一定相似于我们这个三角形。哦，也就是三角形 a、 b、 d 一定相似于三角形 a、 c、 e。 好， 那问题来了， 我们所产生一组新的相似，我们找出来了，那请问他的相似比等于多少呢？此时你会发现，我们用这个三角形的 a、 b， 我 们比上 这个三角形的 a、 c， 这个就是我们的相似比。而 ab 比 ac 等于多少？ ab 在 这里， ac 在 这里， 它本身就在一个还有三十度的直角三角形中，一个还有三十度直角三角形。你用较长直角边比上较短直角边，你会发现 o， 也就是等于根号三的， 也就是咱们这个三角形和这个三角形它的相似比呢，等于根号三。比，也就是这个三角形和我们这个三角形它的相似比呢，就等于根号三。那接下来怎么求呢？其实很简单，比方说如果我令你这个边是 x， 我 们刚才求出来相似比是根号三的， 我是 x， 所以 咱们这个边一定是根号三倍的 x。 而大家不要忘了， a、 d 比上 b、 d 的 根号三， 我是你的根号三倍，你是根号三 x， 所以 咱们这个边呢，一定是三 x。 好， 那我怎么去求 df 比上 f、 c 呢？那当然，我们知道，在整个的几何图形里面，求线段之比，往往是构造相似了，可是我们这面相似三角形全都找出来了，还有吗？大家不要忘了啊，我们构造相似是为了进行边角条件的转换， 你这个三角形一定相随这个三角形，对吧？你这个角是三十度，所以我们知道这个小的蓝角呢，也等于三十度。与此同时呢，我们的对顶角等于对顶角。此时你会发现，在 a、 d、 f 以及 ec、 f， 在 这两个三角形中，我的三十度等于三十度，我的对顶角等于对顶角。那么因此你会发现，我们可以称出这个三角形，它一定相似于我们这个三角形。相似三角形对边乘比例，你让我求 d f 比上 c f， 那 我只要用这个 a d 比上 ec 就 可以了，也就是三 x b x， 因此我们的答案呢，等于三。搞定 好，首先我们给出一个大的三角形 a、 b、 c 好 过 c 点的发是一条线，我现在告诉你，角 d、 c、 b， 也就是这个角，它等于谁呢？等于我们的角 a 等于这个角。好，你要注意啊， 你只要给出一个任意的大三角形，不管是直角、锐角、钝角，你过顶点发射一条线啊，使得这个小的夹角等于整个三角形的某一个内角，那么此时它一定会产生一组相似。比方说，我们把这个角呢，标成一个蓝角，此时你会发现，在我们这个三角形中，有红角，有蓝角。 而且在我们整个大三角形中呢，我们也有红角跟蓝角。因此两个三角形呢， 它和整个大三角形，它们有一个公共的边 bc， 有 一个公共的角角 b， 所以 像这种相似，我们也把它叫做共边共角相似模型。所以我们知道这个三角形 bdc， 它一定相似于整个大三角形 bc 啊，相似于 bca。 而你也会发现，这个小三角形呢，跟我们整个大三角形，我们有公共的边 bc， 我们有公共的角角 b， 所以 像这样的图形呢，我们就把它叫做共边共角相似模型。现在我告诉你， c、 d 是 四， b， d 是 二，这个边是二，这个边是四。 与此同时，我告诉你呢，整个角 c、 d、 b 等一百二十度，也就是我这个角呢，它是一百二十度的角。好，现在让我们求什么呢？求 abc 的 面积，就是你既需要求底，又需要求高。 好，首先你会发现，在我们这个小三角形中，我们知道两边，并且知道二角的夹角是一个特殊的钝角，你这个角一百二十度，很明显，咱们这个角呢， 一定是六十度，对吧？六十度本身就是一个特殊的锐角，所以我们很容易想到过 c 点往下做垂线，把它放在一个直角三角形中，我们很容易推出，这个角呢，它等于三十度，所对直角边呢，等于整个斜边的一半， 所以这个边呢，等于二。那你不管用勾股定力，还是用特殊直角三角形三边比的关系，我们求出来这个边二倍根号三， 那么此时你会发现在整个 b c 一 八啦，这个大的直角三角形中，我们一条直角边呢，二加二等于四，另外一条直角边呢，二倍根号三，所以你用勾股定力，我们可以求出来这个斜边一定是二倍根号七。好，那么接下来我们的相似就会派上用场了，你会发现这个小三角形中的二， 我们用二比上整个大三角形对边，二倍根号七，对吧？啊，二倍根号七，那么它等于用这个三角形的长边二倍根号七，我们比上什么呢？比上整个三角形的最长边也就是 ab 了， 比上 ab， 所以 我们最终求出来 ab 等于几呢？哦， ab 等于十四啊，也就整个边呢，我们知道长度等于十四。 好，整个三角形的底边我们知道了，那我只要过顶点往下做垂线，对吧？我只要把这个高求出来不就可以了吗？这个高，大家记得怎么求的吗？你这个角是一百二十度，所以我们知道这个角呢，等于六十度，对吧？顾名思义，这个角呢，它一定等于三十度，记不记得 三十度所对直角边等于整个斜边四的一半，所以它是二，你不管用勾股定律还是特殊直角三角形三边关系，我们都可以求出来。高呢，等于二倍根号三，整个底边是十四，高是二倍根号三，所以我们用底乘以高， 再除以二，也就乘以二分之一，所以我们最终求出来面积呢，等于十四倍的根号三，搞定。 首先我们给出一个大的三角形 a、 b、 c， 那 在整个三角形中，我告诉你顶角呢， b、 a、 c 等于六十度，好，把它标出来，也就这个角呢，等于六十度。好，接下来你会发现呢，我们做了两条垂线， 首先过 b 点相对边做垂线，也就这个角呢，它是一个直角。与此同时呢，我们还过 c 点相对边做垂线，那也就我们 f 点呢，也是一个垂足，这个角是九十度。 好，现在我们连接 ef， 让我们求什么呢？三角形 aef 的 面积就是这个三角形的面积比上整个大三角形的面积就是求这两个三角形的面积比， 你给出一个任意的锐角三角形，然后呢，你就做两条垂线，也就产生了两条高。好，那么此时像这种图形，我们就把它叫做双高模型，那它的结论是什么呢？就是顶点和这两个垂足所构成的三角形， 一定相似于整个大三角形。这个结论百分百成立。怎么证明呢？其实很简单，首先我们正出第一组相似，你会发现，在三角形 a、 f、 c， 也就在这个三角形中，我们含有六十度，还有九十度。 而在我们这个三角形 a、 e、 b 中呐，这个直角三角形中，我们也还有九十度，也还有六十度。因此我呢，一定相似于三角形。怎么样呢？ a、 e、 b、 o 这个三角形相似于这个三角形，而我们知道相似三角形顿边成比例嘛。 那你用这个三角形的 a、 f， 好， 我们把 a f 标出来，比上整个三角形的对应边肯定是 a e 了， a f 比上 a e， 那 么它应该等于什么呢？ 好，现在我用这个三角形的斜边 a c 好 比上整个大三角形的斜边 ab， 对 吧？哦，那么我们知道 对应边一定乘比例，这个等式一定成立。接下来我把 a e f 和 a e 呢用红边来表示，也就是红边比上红边，我再把 a c 和 ab 用两条蓝边来表示， a c 是 一条蓝边， 以及我们整个 ab 也是一条蓝边，也就是红边比红边。等你这条蓝边比蓝边，但你要知道，红边的夹角是六十度，你这两条蓝边的夹角也是六十度，因此你可以转化为两边对应成比例，并且夹角相等。因此我们知道 a f e 三角形 a f e 一定相似于 a c b， 其实仔细观察你会发现，他们相当于是一组反 a 字相似，对吧？好，那既然这两个三角形是相似的，让我们求一组相似三角形的面积比，我只要找出相似比就可以了。 那请问这个三角形跟整个大三角形它的相似比是几比几呢？比方说，我用这个三角形的 af 好 不好？嗯，相似比就是 af， 我 比上谁呢？比上我这个三角形的 af 肯定比上整个大三角形的对应边 ac， 对 吧？ 所以相似比就是 af 比上 ac 好。 那问题来了，请问 af 比上 ac 怎么求呢？此时你会发现 a f 和 a c 它们就在 a f c 这个大的直角三角形中，一个还有六十度，说白了也就是还有三十度的直角三角形，我们较短直角边比上斜边呢， 我们的比值它是一比上二的哦，也就是这个三角形和整个大三角形相似，比呢就是一比四， 搞定。好，那么这次我们十一种相似模型的大盘点就全部结束了，关于相似大家还有什么想听的可以在我们弹幕里面敲出来，亮亮火速为你们更新，跟着亮亮无脑学习。

八下数学最难的几何八大模型全部吃透，考试逆袭前三！八下数学几何模型一、基本相似模型， a 字形 b 字形倒数型二手拉手模型，共旋转等边三角形等腰直角三角形 三中点模型四对称绊脚模型五角平分模型六旋转绊脚模型七自旋转模型。以上完整七大模型取件码。

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本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。本次更新十八个模型，时长二十六分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们 来看模型一，线段双中点说已知 c 在 线段 a、 b 上 m、 n 分 别是 a、 c 和 b c 中点，则结论就是 m n 等于二分之一的 a b， 怎么回事呢？咱们看下。因为 m 是 a c 中点，所以 m c 等于二分之一的 a c， n 是 bc 终点，所以 n c 等于二分之一的 bc， 所以 说 mc 加上 n c， 这两个合起来就等于二分之一的 ab 了。好，这是详细的一个证明的过程。好，咱们来看模型二，双角平分线模型好，若 o p 呢，是角 aob 的 一条射线，然后 o m 平分角， 那个 b o p o n 呢？平分角 a o p 好， 所以结论就是角 m o n 等于二分之一的角 a o b 啊，这个呢，咱们可以看一下。因为两个红角相等，然后呢，两个直角相等，所以你会发现一个红角加一个子角，是不是刚好就等于二分之一的角 a o b 了 啊？这是详细的证明过程。好，咱们来看模型三，主体模型说已知 a b 平行于 c d， 则角 b o c 就 等于角 b 加上角 c， 这怎么回事呢？咱们说遇拐点做平行线好，咱们只要过 o 点做一个平行线，你会发现， 好，这个角 b 是 不就等于这个角一，因为内侧角相等好，这个角二，是不又等于这个角 c 好， 所以你又发现两个紫角了？和，是不刚好就等于两个红角了？和啊，这是详细的证明过程。好，接下来咱们看 模型四，铅笔头模型说已知 a、 b 平行于 c、 d， 则角 b 加上角 b o、 c 加上角 c 等于三百六十度。这里也是咱们预拐点 o 直接做一个平行线啊，你会发现，那则这个角 b 加上角一是不一百八， 角 c 加上角二是不是一百八？因为两只线平行同帮，内角互补，所以这三个角相加，刚好等于两个一百八，就是三百六了啊，这是详细的证明过程。 好，咱们看模型五，锯齿模型说，已知 a、 b 平行于 e、 f， 则角 b 加上角 d 等于角 c 加角 e a， 你 会发现，角 b 加角 d 是 不刚好是向左的角，角 c 加角 e 刚好是消晕的向右的角，所以说朝向左边来角的和就等于朝向右边角的和，这怎么做到呢？咱们还是 遇拐点 c 和 d 做平行线，做完之后，哎，你会发现内错角相等，这个角 b、 c、 n， 哎，是不是就等于这个角 b？ 同案的哎，这个角 n、 c、 d， 那 是不是就等于哎，这个角可以发现。然后呢，这个角 p、 d、 e 是 不就等于这个红角？ 好，所以你会发现两个红角，这个角和，这个角的和是不是刚好就等于咱们这个子角的和，而这是详细的证明过程。好，接下来咱们看模型六，八字模型说 a、 c 和 b、 d 相交一点 o， 那 则角 a 加角 b 等于角 c 加角 d， 这个怎么回事呢？咱们看一下。 因为角 a 加角 b 加上角一等于一百八好，角 c 加上角 d 加上角二是一百八， 这个角二和角一刚好对定角相等，那所以说两个红角角 a 和角 b 的 和，就等于两个直角角 c 和角 d 的 和，然后我就整完了，对吧？然后再看说它的变形类型是拓展的模型，说 b、 p、 d、 p 分 别是角 a、 p、 c 和角 a、 d、 c 的 角平行线，也就是说这两个角相等， 还有就是这两个角相等，那么这个角屁啊，就等于二分之一的角 a 加角 c， 这个怎么推出来的呢？好，咱们看一下，这是用到了两个八字模型，第一个八字模型是这个八字模型， 这个八字模型你会，你能看出来？哎，我这个角 a 加上这个角是不就等于角屁？像这个角和第二个八字模型呢，你是用到了啊，这个八字模型 好，你会发现这个角 c 和这个角是不就等于这个角屁加上这个角两个八字模型，然后呢，把你无关的角全部消掉啊，最后就推出来了角屁等于二分之一的角 a 加角 c 啊，这个自己推一下， 好，进来看。模型七，废标模型说已知四边形 a、 b、 c、 d， 然后呢则角 b、 d、 c 等于角 a 加角 b 加角 c。 啊，这个怎么推出来呢？咱们这个一共有四个模型，咱们用这个模型讲一讲，您发现一个三角形了，这个三角形的外角是被等于两个不相邻的两个内角和 好一个扇形的这个外角是等于这两个不相邻的哪个两个内角和，所以我这两个直角的和是不刚好等于四个红角的和，四个红角和刚好就是角 b 加上这个角 b、 a、 c 再加上角 c， 所以 我就正完了。 好，接下来咱们再看模型。八 a 字模型说如图，则角儿 dbc 加上角 e、 c、 b 就 等于一百八加角 a， 这个怎么得到呢？咱们说好，一个扇形的外角等于不相邻两个内角和 好，这个角 d、 b、 c 是 不等于角 a 加上角 b c a 好， 这个角 b、 c、 e 是 不等于角 a 加上角 a b、 c 好， 你会发现角，这个角 a、 b、 c 加上角 a c、 b， 再加一个角 a 除以一百八，这儿是两个角 a， 就 多出个角 a， 所以 说刚好就是一百八加上个角 a 了。 好，那如果说我把 d、 e 封上，就形成了这个图形，这个图形所读到结论是一样的，也是这两个角的和就等于一百八十度，加上这个角 a。 好， 咱们看一下。 比如，哎，这个图形好，咱们看一下。那这个角 a 加上角 b f、 c 好， 就等于角 d b、 f 加上角 f、 c、 e， 这个怎么正呢？好，咱们来看下边这个图形， 你会发现还是不相邻的一个扇形，一个外角是不等于不相邻的两个内角的和 一个散心的，这个外角是不等于两个不相邻的内角和，所以我就证完了两个子角是不刚好就等于这个角加上这个角好，这是详细的证明过程。 来，咱们来看模型时，双角平行线模型好，第一个叫内内模型，也就是当两个角平面都是内角平行的时候，它相交于点 d， 那 么点 d， 这个角 d 就 等于九十度加二分之一角 a， 怎么推呢？其实我发现这个角 d 啊，加角二，加角四，是不是一百八十度？ 好，接下来这个角 a 加上角一、角二，再加角三、角四，是不是也是一百八十度，是吧？然后呢，角一等于角二，可以写成角 a， 加上二倍角二， 角三等于角四，可以写成二倍，角四等于一百八，再加上刚刚推的角地加角二加角四等于一百八，这两个式子把角二角四消掉，怎么消呢？让二式乘以二和一式作差，然后整理完之后就把角二角四消掉了，也就能得到角一角地的关系，我就整完了。 好，再来看第二个内外模型，也就一个角是内角平行线，一个角是外角平行所他所相交点 d， 那 么这个角 d 就 等于角 a 的 一半。哎，就是这个结论，咱们看这个怎么正呢？这个用的是一个四方形的外角，等于不相邻的两个内角合，你会发现这个角四是不等于角 d 加角二 a， 哎，第二个你会发现这个角三加角四是不等于角 a 加上角一角二， 对吧？然后呢，角一是不等于角二，可以写成 a 二倍的角二，角三是不等于角四，可以写成二倍的角四，所以就行出了这个式子。那接下来角地加角二等于角四，把角二角四交掉，怎么消呢？让二式乘以个二，然后跟一式作差，然后整理完之后，就只剩下角 a 和角 d 了，我就正完了。好，接下来看下一个 y y 模型 a， y y 模型就是两个外角平行线相交于减 d， 那 么这个角 d 就 等于九十度减二分之一，角 a 跟刚刚那个恰角相反，而这个怎么正呢？好，看一下这个也是，你会发现角二加角三加角 d， 是 不是一百八十度？ 好，接下来还有就是有一个，你会发现我这个角加上这个角是不等于角 a 加上一百八。好，也就是这个式的了， 您翻页，然后角一是不等于角二，角三是不等于角四，所以可以写成二倍的角二加角三，也就是这个三式好。再加上刚刚咱们说的角二加角三较角 d 等于百八，把这两个式子得当度的角二角三消掉。怎么教呢？你只需要让四式乘以二，乘以二之后，然后呢跟三式作差，整理一下我就出来结果了。 好，接下来继续看。十一个模型， k 子模型 k 子模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了， a b 等于 a d， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶，就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后。好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好， 这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 bc 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话 a， 那 么它结果什么呢？还是你主要的就是正这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就挣完了。好，接下来看。 哎，第十二个手拉手模型。手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型，好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看。首先第一个它全等，你会发现这个 bc 是 不是跟 a c 相等？ 欸，还有呢，这个 c d， a 是 不是和 c e 相等？再加上这两个大角它是不是相等？所以你会发现我把这个 b、 d 一 封，然后我把 a e 一 封，这个红的扇形跟这个紫的扇形是不就全等？好，全等完之后我滴里正往拉第二个， 好，他说这两个这角 o， 欸，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，也就等于这个角 b c a， 为什么呢？欸，这，又发现你这个角四是不等于角五，因为刚中全等了呢？ 然后呢，这个对定角出来相等，所以你会发现这个八字模型 a， 这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧？这个非常的简单呢。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a c e 和这个三角形 b c d， 它是全等的呀？好，全等完之后你会发现，我做对应边的高，就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高就相等了，对应边高性能的它绝对在角平行线上了。为什么呀？因为一个点到两边的距离相等你那，所以这个点 b 在 角平行线上，所以我就正完第三个了哈，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀，和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，您发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么？就这两个角是不是都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不是就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不是跟 c f 就 相等了？我就完事了？好，所以我第四位整完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个，他说这个角是等边散形的，肯定了，因为 c g 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它是等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲模型十三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d 来背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a、 c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不是就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a、 d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d 也倍长，我是不是形成这么一个八字结构， 然后呢？我把 e、 d 再被长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再被长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个被长中线的作用了。好，进来继续。咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢，中间出现了一个中点，就 e、 f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么清晰延长就能行。好，你只要延长，你就发现这个 o p 不 就跟 n、 q、 o q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了。也就这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b、 o 和 a、 d、 o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d、 o 全等嘛。 哎，签到完之后，让 a、 b 就 等于 a、 d 了，同时 o b e d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛，哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型。 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说，你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 ab g， 好，你又发现 a、 b 和 a d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角是不是就转这来了？ 哎，然后呢？这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不是就四十五？哎，这个是不是四十五？ 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a e、 f 和这个 a g e 是 不是就全等了？去吧？啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的。全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不是就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的，这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c f 的 周长，你又翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d 把它分成这两个线段了？ a 再加上本身就有个 c e、 f 的 周长，是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了。 好，咱们继续再看 a 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完，那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能证明相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀。还继续，继续第四个， 第四个来这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a b 相等了呀。啊，这儿咱们当上上一个模型啊。 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？将等全等完之后，它对应边是不是 也相等啊？对应边就是，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就强的啊？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a b d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 哎，我还是我把这个这个三角形 a， d、 n 转过来，转到 a b g， 因为 a b 和 a d 相等，所以肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，哎，刚刚这个红的，哎，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 a n 的 等于 ag， 所以 所形成的这个 a m 等于 a m， 它是不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n， d n 是 不是转这来了啊？转这来了，所以再加上这个是四十五，这个四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b j 方就肯定等于 g m 方嘛？ 哎，然后呢？哎，我，所以我就正完了嘛说，哎，这就想起了一个证明过程。好家，咱们看第十七个模型，叫斜式影定律。什么叫斜式影定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易的得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a， 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c， 然后呢？这个 b p 定的谁？ b p 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇妹，这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢？ l 上有一个动点。屁，那让你去求 pa 加上 pb 的 最小值，这种叫将军引马问题好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与若合相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在和的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题， p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值。好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值。给你们发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m。 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有还是一个角，其中 m n 两个定点，其中 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的？它是不是 m n a 加上一个 p m 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 p m 是 不是可以有把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿 再加上 a p q 被，这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就是说这三个相加 a p 撇， m， a 加 p q 再加 q n 撇是不最小？是不直接相连，最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。 好，接下来咱们来看 mn， 看一下模型五。模型五呢，是形容哎 p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？ 那 p pm 加 m n 是 不就直接相连呢？ p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p 撇 n， 你 犯 p 撇 n 的 线段很多，探求最小值。最小值是不就让 p 撇儿 n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p 撇 n 垂直的时候它最小。好看模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。和宽。什么叫和宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的这个是不就都平次边形了哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q？ 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 啊，对吧？我 a 撇 q p q 给念，这个是不能编的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连，最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按去求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题， 这什么时候最小？这个时候是一样的了，你只需要把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 对 称到 a p 啊， 那你 a p 加上 p q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这这这呢？ a 撇 p 加上 p q 这样 q b 问题了，这跟咱们刚刚讲的没啥区别。那怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 撇儿 p， a 撇儿 p 是 不是就变成了 a 撇 q a 撇撇 q， a 撇撇 q 加上 q b 再加上 p q， 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值十个九， a 撇撇儿 b a 加上一个 p q 啊， 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，它就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单 哎，比如说 a 和 b a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点第一个。那你去求 pa 减 pa 什么最小？嗯，最小，那就是零呗。哎，零的时候就让我让 pa 等于 pb 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二，模型九， a， 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点， p 呢，是合上一个动点 p a 减 p b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就是 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了？小于等于什么呀？小于等于 ab 撇，哎， 那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？

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我正在用四期视频系统梳理八下的几何模型和辅助线，帮孩子建立一个完整的知识体系，至少让孩子知道遇到压轴题，知道往哪个方向去想，以及这个思路是怎么来的。 一共分了四个模块，前两期视频已经讲了第一部分和第二部分，那今天咱们讲的是第三期这个倒角的基本型，那这一期视频的话难度非常大，也是压轴题，如果你想冲一百一十五以上是必须要掌握的，当然如果你是一百一以下的， 你只做一个了解就可以了，那需要电子版资料的评论区留言。倒角问题的难点除了孩子们不知道怎么倒，最大的问题就是孩子根本想不起来去倒角，因为很多题他不需要倒角，他就可以直接做，所以孩子根本想不起来，你需要进行复杂的倒角，最后找出角的疏远关系，才能决定你怎么做副线。 那常见的涉及到倒角的问题有以下几种，第一个就是咱们要说的这个二倍角，关于二倍角的话，那属于几何压轴里面一个比较重要的专题，同时也难度比较大。那二倍角的常见的处理方式有四种，第一个是等腰法， 等腰法的意思是你可以以这个二倍角为外角去构造这个等腰三角形，你看咱们以二倍角为外角构造等腰的时候，现在里面这个等腰三角形，它的底角是不就是 r 法？ 那第二个等腰法，你也可以以这个小的 r 法为等腰三角形的底角去做一个等腰三角形，这样你做完之后是不就能把这个二倍角转化出来了，外面这个角就是二倍角， 那不管哪种方法倒角的核心，这个二倍角的核心都是要转化相等角，你要么把二倍角变变成它的半角，要么把这个半角变成它的二倍角。 那第二种方式就是很直接，直接做这个二倍角的角平分线就可以了。你做完角平分线，有角平分线，是不就可以想到角平分线的那些相关辅助线。 第三个是对称法，是把这个 r 法，把这个半角以它的一条边为对称轴进行翻折，比如说我这里就把下面这个角往上翻折，是不就构造出来了一个新的二倍角？ 那还有一种方法就是咱们这个顶角法，也是常说的那个绝配角。好多同学其实听过绝配角，但是不知道怎么用。绝配角很简单，就是以这个顶角，以这个二阿法二倍角为顶角去构造等腰三角形。凡是涉及到绝配角的问题，一般难度都非常大。 那顶角这个顶角法指的就是出现二倍角的时候，你可以以这个二倍角为顶角去构造等腰，构造完等腰，这个等腰的两个底角就都是九十减二法。 然后我们再看一些二倍角通常和哪些东西是组合到一起的。第一种就是二倍角和角平分线的结合，那如果遇见二倍角，像我这个图里有二倍角，有单倍的小角，还有一个角平分线，那我们肯定想我要构造的是 角平分线的翻折的辅助线，那我可以把这小的三角形 a、 d、 c 往上翻，就是第二个图里面我翻上来啊，我这个是翻的是第三个图啊， 比如说第三个图里，我先把这个 a 得 c 往上翻，翻上来之后，那这个二阿尔法是不就跑到这来了？那再加上这个角 b 是 阿尔法，所以是不就能得到这个角？ bdf 也是阿尔法， 也就是说此时这个 bdf 是 不是就是一个等腰三角形？那第二种翻的方式就是我这第二个图里，我可以把这个 a、 b、 d 这个三角形以角平行线为对称进行翻折，翻到 a、 d、 e 这块了，翻完之后，我是不就把这个阿尔法这个小角转移到角 e 的 位置上来了？ 再加上这个 a、 c、 b 是 阿尔法，你是不是就能正出三角形？ c、 d、 e 也是一个等腰三角形？第二种组合方式就是二倍角加直角，当二倍角它同时出现在直角三角形里的时候，那咱们的方式有很多。第一种 你可以以这个 r 法，就这以这个单倍的小角，以它的直角边为对称轴进行翻折。我把这里的 a、 c、 d 是 不可以翻到 a、 c、 e 这上来，你翻完之后是不就能得到这里的角 e 是 九十减 r 法，你得到它有什么用？你再加上原来的角 b 是 r 法，你发现这个角 b、 a、 e 是 不也是九十减 r 法？ 所以是不就能推出一个等腰 b、 a 等于 b、 e 来？这是一个方式。那还有一个方式是我可以直接翻折这个大的三角形，我把 a、 b、 c 以 a、 c 为对称轴翻过来，翻完之后你就能得到这里的倒角，就能得到 e， a 是 等于 e、 d 的， 它是一个等腰。 或者是我可以以这个二倍角为外角去构造一个大的等腰三角形，那这时候当 b a 等于 b e 的 时候，咱是不就能出现新的 alpha 这个小角？ 那第二个二倍角里的问题就是绝配角。绝配角它其实也是肯定是涉及到导角出来二倍角的问题，那什么是绝配角？它的定义指的就是一个角和它一半的余角就是绝配角。什么意思？比如说阿尔法和它的一半是阿尔法，那阿尔法的余角是不是九十减阿尔法， 所以一个角和它一半的余角，这两个角是能组成绝配角的。那为什么要绝配角呢？因为这两个角你放到一个三角形里的时候，正好它是这个，它会变成一个等腰，因为你去推的话，另一个角它肯定也是九十加二， 所以绝配角它指的就是两个角是能构成等腰三角形的。那什么时候你涉及到绝配角的时候，你可以去以二倍角为顶点去勾到这个等腰三角形。 第二种就是题里比如说给你了角 a 等于九十减去二分之一角 b 这种，那这时候是不是就是出现了角 a 和角 b， 他 们俩就是满足绝配角的关系的？因为 a 是 不是正好是角 b 一 半的余角？如果题里给你这种角的数量关系，那也是涉及到绝配角的， 那绝配角咱们的常用的方法是什么？第一种就是你需要倒角，出现绝配角肯定是需要倒角，因为很多时候你看题里给你两个角是绝配角，但是你最后实际用的不是他俩，是你自己倒角倒完之后其他的角，你发现其他的角也有绝配角，你是用的其他的角， 那咱们在倒角的时候，常见的是设这个等腰的顶角是二阿尔法，那等腰的底角就是九十减阿尔法。你像我下面这三个图里都是，我可以设这个，第一个图里顶角是二阿尔法，底角就是九十减阿尔法。 那第二种就是出现二倍角的时候，咱们就可以以这个二倍角为顶角去勾到等腰。那常见的几组绝配角都有什么？第一个就是二阿尔法和九十减阿尔法与四十五加上阿尔法， 那反过来是不是就可以变成九十加上阿尔法和四十五减阿尔法，他俩是不也能组成绝配角？同样的是六十减阿尔法与六十加上阿尔法，或者是六十加上阿尔法与六十减阿尔法， 这都是可以组成绝配角的，出现这些角你要知道，哎，那大概率是会出现同样的形状，那跟绝配角特别像的一个东西。其实你也可以看成绝配角的变形，就是一个叫镜面角的东西， 它指的是咱们可以把这个 d、 c 看成是一个入射的光线，那经过镜子 a、 b 反射之后， c、 e 就是 一个反射光线，那这时候是不就有这入射角 alpha， 等于这个反射角这 alpha， 所以 咱们是给它降成镜面角，给它看成一个镜面的反射光线的问题。那对于镜面角，咱们核心思路就是将相等的角转转移， 那咱们这里转移的方式有两种，第一种我可以把这个其中一个角的线延长，比如说我可以把这个 e、 c 延长，延长之后是不是就能把这两个相等的角转化到这来了？那比如说第一个图里现在是不是就变成了 a、 c 平分 角， d、 c、 f 平分之后，咱是不是就可以用翻折角平分线，翻折的辅助线构造一个全等？那第二个图也是， 那或者是你在这组光线就入射光线和反射光线之间做一个平行线，就做这个镜子。平行线做完平行线之后，是不是就能把这两个相等的角转化到 m 和 n 这两个角的位置？转化到这之后，你发现这里的 c、 m 和 c、 n 是 不是就变成一个等腰三角形了？ 接下来咱们要说的是这个等腰基本形。等腰基本形指的不是像手拉手等腰这种的，指的是三个东西，第一个共底双等腰，第二个是共顶三等腰，第三个是 共底共腰双等腰指的是这三个双等腰。那出现这种双等腰的时候，咱们肯定是需要倒角的。那咱们看啊，先看这个共底双等腰什么意思？它是指两个等腰三角形，底边在同一直线上。比如说像这两个图 都是属于 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 e、 c 也是等腰，那这两个等腰上角，你看它们的底边是不在同一直线上， 同时其中一个腰，一个等腰上角的顶点是在另一个等腰的腰所在直线上。比如说第一个图里点 d 是 不是在 ab 上？ 第二个图里点 a 是 不是在 d、 e 这条线上？这都是属于共底双等腰。共底双等腰重点强调的是底是在同一条直线上的，那出现这种共底双等腰的时候，我们一定是需要导点的。然后有同学就说，老师这里有没有结论？有结论的 那结论是这些每个图里都有结论，所以大家不要去硬记这些结论啊，你就记住一点，出现共底双等腰，你需要去倒角就可以了。那像这里面，比如说第一个图里，你习惯了之后，你能直接导出这两个角相等的，后面这图里也是这俩角相等的，这个图里就是这俩角是互补的。那第三个图里也是这俩角是 有数量关系的，那我们该怎么去记？你不需要去记哪个图里该有什么数量关系，你就知道出现这些图里，你需要去倒角，那至于哪些角有数量关系，这个是需要记的，你记着是腰与腰的夹角，左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系的。 你看这里面每个角是不是都是左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系，你不需要去记。什么数量关系啊，你只要知道它是有数量关系的，然后你遇到题，你自己去倒就可以了，你要记的话是容易记乱的。那怎么去倒？咱们就是 倒角的基本方法就是设等腰上学的顶角为阿尔法，一个是阿尔法，这个角是二倍的，那第二个图也是一个等角，这是阿尔法，另外一个是二倍的，你把你要倒的这个角倒出来就行。比如这是阿尔法，这是二倍的，你倒完之后肯定是倒，能倒出这两角是有什么数量关系的，要么相等，要么互补的。 那对于底下这些，拿到电子版资料，同学你不要去记啊，你一定不要去背，你要去会导，可以自己去尝试导。那咱们共底双等腰导完之后，通常都会出现一边一角相等的一个情况， 所以就是咱们上期讲的，你通过导角之后，就要变成了边角构造全等的一个思路，去一边一角去挣全等。那除了共底双等腰，第二个就是共顶三等腰。 共顶三等腰他他的特点更明显啊，就是指同一个顶点引出三条线段，他跟构造手拉手的那个鸡爪图是非常像的，但是区别在于构造手拉手的那个鸡爪图，那三个线段不一定相等的， 但是共顶三等腰里，它这三个线段一定相等，比如说这三个图里都有 a、 b 等于 a、 c 等于 a、 d， 有 它们三相等，你发现我是不就能出现三个等腰？比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 是 不就是一个等腰？ a、 b、 d 是 不也是一个等腰？ acd 是 不也是一个等腰？所以它们叫共顶三等腰。 共顶三等腰里，它的角数量关系更多了，所以大家不要去记啊，越记越蒙，一定记着你就出现这种倒角的，你就去设未知数倒角就可以了。 那第二个图、第三个图都是共顶三等腰，那咱们常见的是在正方形里，因为正方形里头四个边相等，在菱形里面也常见共顶三等腰。那比如说我现在把一个正方形的边旋转旋转之后，哎，你发现这三边是不相等的， 所以这里面就一定会出现共顶三等腰。在正方形里面旋转的时候出现共顶三等腰，大家一定要注意去倒角啊，好多时候都是你通过倒角去倒出特殊特殊的度数来，比如说九十啊，垂直啊，或者是四十五度啊这种的，你进而决定了你要用什么思路。 那对于共顶三等腰，咱们也是倒角，一般思路倒角倒角之后通常有一边一角相等或一边一角互余，然后我们再去构造，手拉手去等。 那第三个就是共腰双等腰。共腰双等腰的话比前两要稍微简单一点，但是它的频率我感觉要比前两高一点，那也是在初三的几何压轴里面出现的比较多的。你像这回大人的异模就是初三的异模，就出现了共顶三那个共腰双等腰的一个问题。 那我们看啊，这里面共腰双等腰指的是两个等腰三角形，只要腰在同一直线上就可以。比如说这个图里面 ab 和 abc 和 abd， 他 们的腰是不是就在同一条直线上， 所以这个就属于共腰双等腰。那这个共腰双等腰的结论你可以记一下，因为这个比较简单，它的结论就是 底两个底的夹角与不共线的那两个腰夹角是存在数量关系的，就两个底的夹角是不共线的两个夹角的一半。至于你到底判断谁是谁，谁是谁的哪个角， 谁是谁的一半，你就自己去倒角就行了。你比如说这里的角 f， 你 怎么判断它到底是 b e c 的 一半还是 a b 的 一半啊？你看不出来对吧？那你就去倒一下就完事了。 那对于第二个图里很容易看了，两个底的夹角是不这个角 g， 那 两个不共线的两个腰的夹角是不是这里的这个角？ 那是不就是角 g 很 明显是等于一半的个 h c 吧，不可能是不等于 a、 a、 h 的 一半，所以这里面它是比较好挣的。那对于共腰双等腰的话，咱们有一个特殊的情况，就是当共腰、双等腰，那两个不共线的腰是垂直的时候。比如说这样， 我这样画一下，现在假如说这里有一个等腰三角形 a、 b、 c， 我 写一下 a、 b 等于 a、 c， 同时这里面还有 be 等于 b、 f， 有 个 be 等于 b、 f， 那 当它们相等，你看这是属于共腰、双等腰，然后同时不共线的两个腰 b、 f 垂直 a、 c， 这时候一定会出现一边一角互余、勾全等，我们通过导角是能导出这个角 f、 b、 c 与这个 a、 b、 c 是 互余的，这两个角互余，同时它们的邻边 b、 f 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以那两个角互余，两个角是邻边相等，那咱们就直接做垂，过到全等就行了。过 f 向下做个垂，再过 e 向下做个垂，就能得到这两个三角形，他们俩是全等。大家要记住这共腰相等腰，这里共线，两个腰垂直，这个情况它是非常常见的。

同学们好，我们来看下这道题。在等腰直角三角形 a、 b、 c 中，那这个角是九十度， b， c 等于 a， c 又知道这两个角它是垂直的，那我们可以知道这道题呢，它是在一条直线上有三个直角，当你证明旁边的两个三角形全等，其实非常好证，只需要倒一个角就能得到了啊。我先标一下角，这是角一、角二， 角三。在直角三角形 b、 e、 c 中，角一加角二等于九十度， e， c， d 是 一个平角，中间是个九十度，那所以角二加角三，它也等于九十度。等量代换可以得到角一就等于角三，那在这两个三角形中，已经有两组角相等了，我们再找一个边，那 bc 又等于 ca， 所以 直接可以得到这两个三角形全等就证明出来了。它的理由是角角边。 下面看第二文， y 等于二， x 加三与 x 轴交点 a 与 y 轴交点 b， 这个直接可以求办与 x 轴的交点，那就令它的 y 等于零，零等于二， x 加三， x 就 等于负的二分之三， 所以 a 点坐标可以得到负的二分之三到零，那这个位置就是负二分之三。 b 点直接可以在一次函数中看到， y 等于 k， s 加 b 的 b 就是 它的值，那这个就是三把 l 一 绕 a 点，逆时针旋转四十五度， 让你求 l 二的函数表达式，求一个函数表达式。肯定要知道两个点，那目前我们只知道一个 a 点，另外一个点怎么去找？ 只知道题的一个难点，那我们想一下能不能用到第一题的这个方法呢？我们可以观察到啊。第一题是一线三垂直的模型，在一条直线上有三个直角，那形成了三个直角三角形，其中的两个直角三角形可以证明全等，从而可以得到我们想要的信息。那我们带着这个思路来做第二问， 已经有一个直角三角形了，我们再来做两个过 b 点，去做一条高交 l 二于点 d 过 d 点，再给外周做一条高 标上点 e。 好， 这个时候我们可以观察到这个是垂直，那这个也是垂直，是不是就是得到了一线三垂直的模型，构成了三个直角三角形。那通过第一问我们可以知道啊，这两个三角形 d、 e、 b 和 a、 b、 o 这两角形一定是全等的，有一个垂直， 那等量代换也可以导出来另外一组角。下面来找这个边，可以看到这个旋转角度是四十五度，这个又垂直，说明这个也是四十五度，那这个三角形它就是一个等腰直角三角形，所以 d、 b 呢？就等于 ab， 是 不就证明出来了这两个三角形全等角角边下面这两个三角形，如果全等的话，就非常好办了，全等以后可以知道对应边是相等的，那 a、 o 就 等于 e、 b， 那 e 点坐标就可以知道了，是在 b 的 三加上二分之三，等于二分之九， e 点和 b 点的纵坐标相等，所以我可以知道 e 点的纵坐标是二分之九。那横坐标怎么求呢？可以看到 d、 e， 它是等于 b、 o 的， 那 b、 o 是 三，所以啊，这个也是三，但是不要忘了它是在第二项线， 第二项线 x 是 负的，所以是负三。那现在我们就把 d 点求出来了，这个时候把 a 和 d 连立一下，用代定系数法直接可以求得啊。带到 y 等于 k， x 加 b 中， 把 k 和 b 分 别求出来，那道题是不是就完成了？下面我就不给大家解了，大家自己去尝试一下。最后得到的答案是， y 等于负三， x 减二分之九。好，这道题我们就讲完了。

九十度和四十五度的问题一直是我们八年级下学期几何当中常见的一种考法，我们关于九十度和四十五度，大部分的同学都会选择是用加半的模型来解决问题，今天我们来看一个几何压轴题来反其道而行，看到九十度和四十五度同时出现的时候，我们该怎么办 好？我们看角 b、 a、 c 等于九十度，然后角 da 一 等于四十五度。很多同学一看到九十度和四十五度，我们想到了第一个东西叫什么叫加半角，哎，加半角， 然后呢？ b、 b、 d 等于 c 一， 这两边边相同，然后若 a、 d 等于五， a 一 等于三倍的根二，让你求 bc 的 长 好，那这两该怎么办呢？我们加半角模型当中还有一个非常重要的条件是什么？是有边相等，而在这个题目当中，我们只给了角 b、 a、 c 等于九十度，但是并没有得到 ab 等于 ac 这么一个关键的条件。 其实加半角模型其实本质上就是利用边和角相等构造我们的旋转圈的，而在这个题目当中，你没有办法去构造旋转圈的，为什么？因为你这两边边不相等， 你就没有办法去构造我们全线的，那么所以说加半角的这个思路首先是错误的，如果说你用加半角的思路去做这个题，一条条走到黑，那这个题你肯定是做不出来的，那么我们就要破解这种几何的惯有的固定思维。我们再来分析一下这个题 除了九十度和四十五度之外呢，还有一个非常关键的条件就是 b、 d 等于 c、 e 这两个地方有相等，我们应该怎么办呢？ 这两边有相等，相等肯定是要干嘛？肯定是要倒边的。那针对这个题来讲，我们取一个非常重要的点，如果说我取第一的终点，我给他取出来啊，我们取第一的终点， 第一个中点题，你会发现啊，这是个直角三角形斜边中点等于其斜边的一半，那么斜边中线等于其斜边的一半的话，我们这个地方是不是就可以给他倍长连接 a d 并延长，使 a d 等于 tm， 再连接这个边， 这个点是不就结束了？好，这点就是一点 m。 好， 那么连取第一的中点，连接 a t 并延长到点 m， 使 m t 等于 a t， 那 这里面就会有一个平行八字全等， 对吧？那么你发现 t 是 d 的 中点，又用于 b d 等于 c， 一 t 就是 b c 的 中点，那么多个中点的时候，你要求 b c 的 长是不是要转化成你 b c 其实就等于二倍的 a t 嘛？ a t 又等于 m， 其实本质上就求出 am 的 长就可以了。 那么在这个平行八字全等过程中，这个边是不是就等于多少？哎，这个边是等于五的，而你在做平行的过程中，这个角我的角 a e m 是 等于多少？是以一百八十度减一四十五度，等于一百三十五度。 好，那么补角是不是有一个非常常见的四十五度，那么接下来这个地方就是，哎，过点 a 做 m 一 的垂垂线，交 m 一 的延长线于点 k， 那么接下来这个地方就顺理成章的去解决我们这些问题了。好，那这个量是四十五度吧，这边是三，这边是三。 好，接下来我 am 的 长是不是就可以写的是根号下 ak 的 平方加上 mk 的 平方，结果是等于根号下三的平方，加八的平方八八六十四，加上九根号下七十三。 好，那么这么一个几何压轴题就给大家讲完了啊，再来说一遍，如果说你固定的思维看到四十五度和九十度，想到加半角模型去破解这个题的时候，你会发现根本搞不通气，为什么？因为你没有边相等，勾不出旋转相等啊 啊，这是这个第二个的话，我们突破点就转化成 b， d 等于 c 一， 这两个边边相等，在这个题目当中我们该怎么办？哎，再联想到它是一个九十度，我们取 d 一 的中点 t， 然后中线被长 那直角三角形斜边，中线等于七斜边的一半，我们求 b、 c 的 长，也就求出 a t 的 长，那么我们中线被乘的时候，把这个四十五度 转化成这个一百三十五度，一百三十五度补角又是四十五度，再结合三倍根号二解这个三角形三三，这个是八，下来 am 就 可以求出来等于根号幺七十三。好，那这个地方就给大家讲到这啊，好，同学们拜拜。

几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

你想提高数学成绩吗？免费帮你提高成绩，你还在不乐意啊？八年级数学下册小册的第八十页纸上呢，我们看到第六张的平行四边形， 第一题如图，在平行四边形 a、 b、 c 这种角 b、 a、 d 的 平分线，那么跟着我一起列 b、 a、 d 的 平分线，所以大家做记号，这两角相等 好，加 dc 的 延长线，加什么东西？这就看图了，这里第一个叫做平行四边形，这个叫做平分线好，然后呢， ab 等于四， ad 等于六，好，把它做记好。求 ec， ec 在 哪里呢？哦， ec， ec 在 这啊，求这这这是 ec。 好， 先把图形给我看清楚 好，由于平行四边形呢，这个 a、 d 跟 b、 c 是 既平行又相等的，所以，那我们看到这个角一啊，是等于角二的，角二呢，是等于角三，等角再等边，所以这边等于四， 这边等于四， b、 c 等于这个等于六，所以这个 e、 c 等于二。那么因此第一题写的 d 啊，跟我一起练习对吧？其实很多东西都很简单的，但是考试有的同学，现在有的同学真的是刷到我的都都都不愿意跟着我来看啊， 那这里要记住啊，角平分线对吧，两角相等，两这平内侧角相等，得到角一等于角三，也就得到 a、 b 等于 b、 e 啊，这是个等幺三的题目啊，这样呢，未来我们经常有这种题目的。 第二题，又是角平分线，你看角 b、 c、 d 的 平分线，你看角一等于角二，角一等于角三， 对吧？意味着平行四边形也是平行线，所以角二等于角三，所以 d、 c 等于 d、 e， 那 么说 a、 b 等于意思， a、 b 等于什么意思？一是吧，那么平行四边形 a、 b 是 等于 c、 e、 d 的， 那么刚才角二等于角三的时候， d、 c 是 等于 d、 e 的， 哎，这三边不就成了相等吗？三边的相等，这个角就是六十度，也就说这个 c、 d、 e 是 等边三角形，等边三角，这个角六十度，那么这个平行四边的菱角互补，所以角 a， 那 就是一百二十度。 好，我们得到等边三就行。好，这两边相等是平行四边的对边相等，这两边相等呢，是角一等于角二，角一等于角三，得到角二等于角三等角对等边，对吧？嗯，那么这 ab 等于 c、 e， 那是已知的，对吧？所以这个 c、 d 等于 a， b 等于 c、 e， 这个，这等于这个三边都相等，所以等边三角等边三角形呢，这个就得到六十度。而根据，因为始终这是平行四边形，对吧？所以两边平两组啊，这一组对边平行，同的那角互补，所以这个一百二十度角 比三题还是平行四边啊。 a、 d 垂直于 b、 d 角所得的边呢？斜边一半， 那么 b、 d 等于三，所以 a、 b 就 等于六，对吧？ a、 d 我 们通过勾股定律就等于三根号三，我们就不多说了，那平行四边形的面积就可以等于底垂高，把 a、 d 当做底高就是 b、 d， 哎，就是三根号三乘以三，那就等于九根号三， 对吧，所以这个面积就等于九根号三。平行四边形的面积啊，等于底乘以高，三角形的面积是底乘以高，还要乘个二分之一，因为这个平行四边形就是两个三角形的面积。 第四题，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 e 垂直， bc 于 e， f 垂直于 f， 这垂直了 a， e 比 a， f 等于二分，比三分。 呃，这地方我们要根据什么东西呢？平行四边形的面积啊，可以等于这个 b， c 乘以 a， e， 对 吧？底乘以高，也等于 c， d 乘以什么呢？ af 啊，这个式子我们叫做等级式，有这个等级式，我们就可以变成 a、 e 比 af， 我 们根据外向的积等于内向的积， a、 e 乘以 b， c 等于这个 af 呢？乘以 c、 d， 这个在小学也提到了，虽然我们中学要到后面才学，但是简单呢。呃，这些性质也要知道一些啊。 a、 e 乘以 b， c 等于这个 a、 f 乘以 c、 d。 好， 那就是 a、 e 比 a， f 等于 c， d 比 c、 d 就 等于二分，比三分 好。那么现在我们看到平行四边的周长是五十，零边的和角等于二十五，也就是 ab， 如果我们说这个 ab 等于 cd 等于二 k， 对 吧？ bc 等于 ad 等于三 k， 那 么这样呢？我们就知道，二 k 加三 k 对吧？零点和的两倍等于五十，对吧？二 k 加三 k， 五 k 等于五十 k 等于五好， k 等于五的话，那 ab 就 等于二五一十，所以 ab 就 等于十， ab 等于十， cd 等于十， ad 等于 bc 等于一十五。 好，那么这里我设计了用了一个辅助位的时候 k， 这样呢，可以快速的去解答问题啊，就很简单的了，同时也设计了一个辅助位的时候 k， 这样呢？我们看到第五题， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线交于点， o， a、 c 等于六， b、 d 等于十， a、 b 等于四。求角 b， a、 c 的 度数。我们看到图形在这里啊， 他刚才说这里是个平行四边形 a、 b、 c、 d。 然后呢？ a、 c 等于六的话， o， a， o， c 就 等于三， b， d 等于十， o， b， o， d 就 等于五。由于这个 a、 b 等于四，根据三的平方加四的平方啊，等于九，加一十六等于二十五，刚好等于 o， b 的 平方。根据勾股定律，逆定律，我们得到角 b， a、 c 就是 九十度。 好，第一个，我们得到角， b， a、 c 等于九十度。好，具体的步骤我没有写，我这个口袋儿说了一遍，那么这个第二个呢？这个面积 s 平行四边形 a， b， c、 d 就 等于底乘以高就等于 a， b 乘以什么呢？ a， c， a， b 是 几呢？ a、 b 是 四， a， c 是 六，四六二十四。好呃，这都是比较简单一点的呃，练熟了，熟能生巧，考试呢？呃，即使拿不到满分，也可以得到比较高的分数，记得点赞关注哦。