东城二模数学立体几何

继续东城区二模数学欣赏我们今天讲解答题的第十六到第十九题。 十六题是一个解三角形的问题，这一题很简单，基本上是顺分。 第十七题是一个立体几何问题。这一题也很简单啊，这一题证明线面垂直，实际上就证明线线垂直，线出的与面中两条不相交的直线。第二小题 根据选择的情况得到的答案不同，我们这里重略了题目，比较简单。好， 第十八题是一个概率统计的问题，也是很简单的。好，我们看他解答 啊，这是很简单的。第三是一个结论啊，也很容易。 第十九题难度可以提高，是解析题问题。第一题求椭圆的方程，当然也很简单。 第二题证明三点公式，实际上要求出三点的坐标，然后证明用向量式形，用这个斜列形都是可以的。 第一题，第二题的答案是分步来计算的，好，最终取对相的三点共线。我们看到和海淀区一样， 我们前面讲了南京奥园也是这样，常规题型，常规考，高考也是这样，新高考也是常规问题，常规考重点知识反复考， 弄懂课本是根本，掌握方法最重要。好，再见！

大家好，那今天看一下二六年的东城高三二模的椭圆压轴题目啊。呃，那么第一问要求椭圆的方程的条件是右焦点和椭圆上的一个点， 那么正常情况下，我们可以看一下这个点和两个焦点的距离之和，它应该等于二 a， 但这个负一减根号三的平方它也不是很好算 啊。那可以把这个 a 方把它换成 b 方加三，然后解一下一个二元方程，把 b 方求出来，最后解出来的应该是 b 等于一等于二。这个椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方除以一等于一，那么过程我们就不写了。 第二个，我们看一下这个图片，边看图一边读这个 t， 这个点 a a 逗零的话，应该跟上面这个 a 是 一样的，也就是这个 a 是 二逗零，这个 t 的 就是我们这个实际上的一个字母 t 不 等于正负一， 这直线 x 等于 a， 就是 x 等于二，分别与 y 等于一和 y 等于负一交于 m 和 n， 那么 m 这个点呢？就是呃，二逗一，然后 n 这个点的话呢，就是二负一，然后直线 m， t 和下面这个 y 等于负一交于点 p， 然后 n， t 和 y 等于一交于点 q， 这个 a 和 t 它和果园交在另外一个点 r， 然后证明这个 p q， r 三点共线。那么整道题目思路还是比较容易想到的，就是把 p q， r 都用 t 来表示出来，再证明一下。呃， p r 和 p q 的 斜率相同，或者是 q r 和 p q 啊，这三个点选出两个求斜率，然后证明它的斜率相同。那么整道题最大的特点就是计算量比较大，计算的长度比较长，中间比较容易出错， 我们首先可以先把 m 和 t 先连立，然后得到 mt 的 方程，然后再把 y 等于负一带去求一下 p 点的坐标。 那我们用同样的办法把 p 和 q 的 坐标都求一下，用 m 和 t 两个点的坐标求出 m t 的 解析式啊，然后把 y 等于负一带进去之后求出 p 点的横坐标，是 t 减一分之二， t 加二，然后 q 的 话呢，应该是 t 加一分之二， t 减二比较对称， 然后这个 p 和 q 的 坐标我们就都能够求出来。那我们现在还差一个点的坐标，就是 r 点的坐标，那么 r 点坐标是应该是直线 a t 和椭圆的交点， 那么因为 a 点的坐标是固定的，所以我们正常情况下，如果设一个直线的方程的话，我们只能求出 x c 加 x r 和 x c 乘以 x r。 但这道题呢，我们是可以直接求出 x r 的， 那么把 x r 带到 a t 的 这个式子里面，我们可以求出 r 点的坐标来，我们接着补一下 r 点的坐标的过程啊。 那我们现在把这个 p 和 q 求完之后，再用 a 和 t 得到一个 a t 的 一个解析式， 呃，然后应该是负的二分之一 t， x 加上 t， 然后把它带入这个椭圆方程里面，然后会得到一个 t 方加一倍的 x 方减四， t 方加上四， t 方减四等于零。 然后这个方程我们不用真的去解，也不用去算它的根的判别式，因为我们已经确定它有一个根肯定是二的，所以它肯定是可以进行一次分解的，然后一定也会有两个根，然后他这 求完之后应该是，呃，如果因式分解的应该是 x 减二，呃，乘以的是梯方加一的，乘以 x， 再减去一个二倍的梯方减二，就能求出这个二点的横坐标是梯方加一分之二梯方二，梯方减二，这个地方是这样子的， 就是二乘以二 t 方减二，应该是等于四 t 方减四啊。然后把这个 r 点的横坐标求出来之后，再带入到这个 a t 这个直线里面，然后就可以求出 r 点的纵坐标是 t 方加一分之二 t， 那 么 p q r 三个点的坐标就都求出来了。 那么接着我们就需要算一下这个 p q 它的斜率或者 q r 的 斜率。可以看到 p r 和 q r 它的格式应该是非常像的，算 呃算起来的话应该差不太多，但是 p q 的 话应该会好算一点。可以先算一下 p q 的 解析式，然后再看一下和 p r 的 呃算出来的解析式是不是，呃斜率是不是是一样的。 理论上的话呢， p q， p r 和 q r 三个两个点连立算出来斜率应该都是相同的。那接着我们去算一下 p q 还有 p r 的 斜率啊。 那么求出这个 p q r 之后，我们可以先算一下 p q 的 斜率啊，算完之后会发现，嗯，它减完之后是四 t 分 之一减 t 方， 然后 p r 的 斜率的话呢，就整道题计算量最大的一个部分，嗯，然后算完之后可以发现，它其实也是四 t 分 之一减 t 方啊，然后呃，因为两个都是四 t 分 之一减 t 方，可以发现，当 t 要是在一和负一之间，然后 呃，如果 t 等于零的时候，我们可以去算一下 p q r 它三个点的坐标，然后就会发现它都在 x 等于负二上面，然后，呃，那么最后 p、 q、 r 这三个点就始终是共线的。

hello， hello， 大家好呀，我是小卫。那今天咱还是用最通俗易懂的方法解决刚刚出炉的瞬移二模的几何综合。那我们来看这道题啊，他说 a c b 是 九十度， c， a b 是 阿尔法。咱快速的标一下图， 然后呢，将线段 b p 绕点 b 顺时针旋转，一百八十度减去阿尔法。也就是说这两条边是相等的，并且它们的夹角是一百八十度，减去两个阿尔法。 好，那么过点 q 作 q， m 平行于 a b 啊，那条件就是这么多。那第一问，让咱证 b a c 和 b a q 的 数量关系。 好，那咱们来看啊，这个角是阿尔法，这是九十度，所以上边这个 a b p， 它就一定是九十度减去阿尔法，那整个的大角是一百八十度，减去两个阿尔法。所以说这两个角是不是现在就都应该是九十度减去阿尔法了？ 那这两个角相等 b q 还等于这个 bc， 然后 ab 还是公共边，所以这两个三角形一定全等， 那全等之后，对应角相等，是不是 b a c 就 等于这个 b a q 这两个角就相等了啊？第一问，非常轻松，咱就解决了。好，那咱看一下第二问啊，他说 m 在 c 的 延长线上， ok， 那 还是满足题目当中大条件嘛。那咱先把图标一标 c， a， b 是 阿尔法，然后呢， b p 等于 b q 加角是一百八十度，减去两个阿尔法， 然后 pm， 呃， m q 是 平行于 ab 的。 好，那么这个就是条件就结束了。那他说用等式表示 pm 和 ac 的 数量关系，那 pm 是 这个长度， ac 是 这个长度。 那咱在考场上第一步还是要先拿尺子去量一量他们具体是什么数量关系，那哪怕咱们最后没证出来，那咱们还能蒙个数量关系吗？啊，这个是没有问题的。 好，那再结合这道题啊，咱会发现这个角是阿尔法哎，这个角是九十度，减去阿尔法是这整个的一百八十度减去阿尔法的一半， 并且呢，它也符合半角模型的这个 b q 等于 b p 的 这么一个信息啊，它也有这组边是相等的， 所以我可以先从这个半角模型引出的旋转开始作为我思考的起点。 那在这道题当中呢，我是不是可以去旋转这个 b a q， 把这个 b a q 旋转过来，旋转到这个位置，这是一种想法。那第二种想法呢，就是我去旋转这个 b c p， 把这个 b c p 咱给它转上去， 呃，变成一个类似于这样的这两个三角形是全等的。好，那么结合这两个想法来看呢，我会选择第一种，因为第一种啊，我这样构造完之后，我能最大限度的去利用这个垂直， 因为如果一旦全等了之后，哎，这边等于这边，是不是咱就直接能出来一个三线合一，对于我证这个 pm 等于 a c 这个边的数量关系，是不是非常有用啊？那 ok， 那 我去旋转这个 q a b， 那 咱看一下啊，它就旋转到了大概这么一个位置啊，大家在考试当中做图一定要标准啊，那这个点我叫做 n 点。 好，那图画完了，咱看一下这个辅助线咋书写，我就能挣出来这俩三角形全等了呢？ 那如果是我的话，我会直接去用一个倍长的思路啊，就是说我去延长这个 a c 啊，使得这个 c n 等于 a c。 那 我这样想的原因呢，就是，首先啊，我肯定是做完这道题了，那其次呢，就是我在思考这个问题的时候，我会借助于去年中考 和之前一些一模题的一些经验，因为去年中考其实就是类似于这样的一个垂直，然后呢，我却背长了啊，就使得 a c 等于 c n， 构造了一个这样的等腰三角形。 那一模当中呢，像西城和朝阳也出现了这样类似的做法，所以说我肯定在这道题当中，因为我之前做过了这些啊，所以在这我用到了一些经验。 好，那我直接去背成之后， a c 等于 c n， 那 么这个三角形 a b n 就 一定是一个等腰三角形了啊，因为这块它就出现了一个垂直平分线了嘛，啊，所以 a b 肯定就等于 b n， 那这个角如果是阿尔法的话，那它是等腰三角形了，所以我这个角 n 肯定也是阿尔法。哎，那这两个阿尔法之后，我会发现，这个角 a b n 也是一百八十度减去阿尔法，那它就形成了一个标准的手拉手，全等， 这个边等于边，边等于边。然后这个角是一百八十度减去两个 r 法，这个角也是一百八十度减去两个 r 法，所以等量减等量啊，咱就能出现这两个小角是相等的，那第一个咱就能出现一个三角形， 这个 b a q， 它就全等于三角形 b p n 啊，这个用到的就是 s。 好，那么全等之后呢，咱接着往下看啊，因为全等并不是我做题的目的啊，它能得到的边角关系才是更重要的，那么这个两个三角形全等，那首先我就能知道是不是这个 q a b 就 等于这个角 n， 它也是阿尔法。 好，那他是阿尔法可就不得了了，因为这组平行线是不是内错角相等，这也是阿尔法。同位角相等，这也是阿尔法。哎，于是咱就会发现啊，那这道题就太棒了，那棒在哪呢？就是 am 这条边是不是就等于 a q 了？ 那 a q 呢？因为全等，它又等于 p n， 所以 其实这道题咱基本上就已经做完了， 为什么呢？因为 a c 是 等于 c n 的 呀。那 c n 现在等于 c p 加上 p， n 是 不是就等于 c p 加上 am， 那 也就是这两段相加就等于 c n， 那 也等于 ac， 那 这道题咱们就得正了。 ok， 那 如果说大家听懂了的话，那感谢大家可以点赞支持，我们下期视频再见！拜拜！

大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。

继续东城区二模数学题的欣赏， 今天我们讲第三讲解答题的最后两题。第二十、二十一， 第二题导数一起运用啊。我们第一第二小题，这两小题简单，我们就把第三题的答案给大家欣赏一下 啊。二十一题是一个，嗯，综合型的，主要考察推理能力，考察转化的能力，构造的能力。什么？数学里边 考察数学能力当中最重要的一种类型式，我看到海淀区也是这样。嗯，模拟的。 我们看看第一第二两题，第三题主要在于构造。嗯，由于篇幅的影响，不再啰嗦。第一题，第二题。我们小结一下， 从整个东城区的奥姆斯君看啊，课本知识是根本运用结论帮大忙， 基本方法灵活用，解决问题是考量条件，结论要互通。 图式分购划算相直接间接推与排，一般特殊验证帮。 再见！

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀二模的几何压轴题。那这个几何压轴题啊，如果你在考场上卡住了啊，或者说你在自己做的时候卡住了，你看你是不是卡在这几点呀？ 比如说有同学呢，第一问啊，有点太着急了，或者给自己压力太大了，就导致，哎呀，第一问就卡，或者第一问做了很长时间 啊。有同学呢，可能会觉得，哎呀，这个调问这个图啊，没见过啊，他怎么这给了一个直角，然后这个给了一个共端等长呀，这没见过，这还是个终点，哎呀，这没见过啊，没见过就有点慌，有点慌，哎，智商就没了，就做不出来了。 那如果说咱们有这样的困境的话，怎么解决呢？很简单啊，就找老乡，只要慌，咱就挖熟悉。 那我们双体的同学啊，其实应该是，哎，很有熟悉的感觉的，因为你要但凡，你去挖一下条件，对吧？你但凡去稍微读一下条件，你看你读到这九十度，你就立马想到，哎， 咱们的老题，复盘课上，彩虹老师是不是给大家说了，看到九十度对称出等腰，而且我们说如果是两个直角三角形都共顶点，那我就把两个直角三角形都对称出等腰。好，那这样的话，这个题其实他的第二问就方法就来了。 好，那我们呢，哎，给大家呢，示范一下，这个第一问和第二问都在考场上，怎么快速解决哈。首先来示范一下我们的第一问，那无论做哪一题，首先先标图啊，工具。哎，第一个呢，我们，哎，用 r 法是四十五度，我们可以标出来这是一个等腰值， 然后呢，一百八十度减二， r 法也是九十度，所以这也是一个垂直。 好在这种情况下，他让我们去证明这是垂直，那我们知道正垂直或者给垂直，我们先默认这是垂直的话，哎，先默认这是垂直，对吧？正垂直就默认他是垂直，那我们发现一个垂直，俩垂直，这是一个什么？ 这是一个一线三垂直的信号，对不对？所以这道题我们可以做一线三垂直啊，也就是说咱们呢，如果以后你看到这种哎，有一个 y 的 直角就斜直角，你就要想一线三垂直，那如果人家还让你正着直角，那肯定是一线三垂直， 那你都想到一二三垂直了，怎么做呀？从点 a 往下做垂，那么根据咱们的等腰直角三角形的性质，我们就可以得到 b h 等于 h， c 等于 a h， 那因为 e 是 c d 的 终点哎，所以 c e 呢？等于 e d。 又因为这一问，特意给了一个条件说 c d 等于 bc， 所以 我们知道 c d 的 一半 c h， 那 也，哎，不是 c d 的 一半 c e 也等于 bc 的 一半 c h， 所以 这仨边都相等。 好，那我们发现啊，现在 a h 等于 c e， 对 吧？哎，然后呢， a e 等于 e、 f， 并且这是直角， 哎，这个是要正的，那我们就再来个角吧，来，这是叉，这是点点加叉，九十度哦，你看中间叉角等于叉角，对吧？边角边这个三角形， a、 h、 e 就 全等三角形，这个 c 啊， e、 c、 f 全等之后，咱们就可以倒角，倒边那角啊， e、 c、 f 是 不是就等于角？ a、 h、 e 就是 九十度呀， 对吧？那这是，那我们就可以得到 f c 确实垂直 bc 的 啊。行，这是第一问， 那第一问呢？哎，它就提醒我们，你呢要去标图啊，你要去找熟悉的工具。那第二问呢？也是啊，我们来看第二问呢是说，哎，这个图它现在长这样子，这是九十度，这是 r 法， 然后 a e 转到 e、 f， 然后转的是一百八减二 r 法啊，那我们呢，从工具里边我们知道哎，对称出等腰，然后共端等长，有旋转， 终点有八中斜三，但是我现在不知道做哪一个能让我去弄这个正这个角，怎么办呢？来咱们，哎，不知道的时候，你呢就去开发你熟悉的条件或者是结论，并且呢，哎，去 想到我们之前给大家整理的一些条件反射啊，尤其是，哎，像这种条件，像这种结论，正九十度，对吧？直接写出 b、 f、 d 的 大小，我们一看就知道它肯定是九十度啊， 那我们要正九十度，那我们就默认它是九十度，我们就想工具啊，九十度背后的工具有勾股哎，斜边中线三线合一，对吧？哎，那我们现在要正这个九十度，而条件给的有 两个条件，又给了一个直角啊，所以我就想到，那正直角的话， 我就想到，哎，我可以做斜边中线或者三线合一，那条件里边这个直角三角形，它本身也在提醒我可以对称出等腰，所以我想到，那我要两个都对称出等腰，是不是就会出现一个旋转圈等，因为两个等腰共顶点就有旋转圈等，对不对？ 好，我们来看一下第二问。第二问呢是说，哎，连接 b f 和 d f， 直接写 b f 的 大小，那我们知道求这个角的大小，大小，它肯定是个特殊角，所以我们量哎，很容易发现它是九十度， 那正九十度我们想到啥呢？哎，我们就想到正九十度，就想到斜边中线呀，三线合一呀， 对吧？哎，这是我们常常用的倒角的工具。那在这道题目中，因为本来我们看到这个直角对直角非常敏感，我就想到对称出等腰了， 那么，哎，我在这里面我要正这直角的话，我也想到，哎，我要但凡对称出等腰，咱们只要能证明这是等腰，是不是就用三线合一就能正垂直了， 对吧？哎，那我们就开始盖啊。首先第一个，哎，九十度直角，我们就想到对称出等腰，我们先画出来。对称出等腰， 我们就是被长 c a 到点 h， 让 a h 等于 ac， 只要连接 b h， b h 就 等于 bc， 然后这个角是 r 法，这个角也标 r 法，对吧？好，这个角呢是九十减 r 法，这个角呢也标九十减 r 法。 好，接着呢是下一个。哎，我们呢条件给的是这个旋转到这共端等长，提醒旋转全能提醒自己啊。然后这个角是一百八减二 r 法 啊，这个角是一百八减二而法。那现在呢？共端等堂有旋转全等，但是我又不知道转谁，所以先放这，哎，就是永远从熟悉的下手啊，我熟悉的是什么呢？你让我正直角，哎，我想到三线合一，三线合一我熟悉，我会画呀，对吧？那我们就画 哎，我倍长 d f， 哎，这样的话就可以构造一个等腰三角形，注意，咱只是构造出来了，咱还没有证明了啊，来，我们，对，就是延长 d f 到点 m， 使 m f 等于 d f， 然后呢再连接 b m， 此时我们呢只需要证明 b d 等于 b m， 就 可以利用中线高线角，平分线三线重合得到这垂直。好，所以接下来的问题就是我们要证明这等腰了， 那么正等腰或者给等腰，咱们通通都要想到旋转圈等，所以呢，我们现在去找旋转圈等， 哎，那就我们已经发现旋转全等了，不对吧，这个等腰粉色的和这个等腰绿色的是不是正好共顶点呀？两个等腰共顶点，是不是铁定就有旋转全等， 所以咱们只需要哎连接这个 h d， 再连接这个 c m， 就 会出现旋转全等，哎，所以咱们接下来只要能证明三角形 h b d， 对 吧？ h b d 和 c b m 就 可以出旋转全等了。 好，那有的人说，老师，这个旋转圈的我发现不了，哎，我教你们啊，你就拿，你就拿这个，哎，腰短腰啊，就是短手，小手拉着个大手， 对吧？这个小手拉大手啊，就是这个当成手，当成一个小手，绿色当成大手，你拿这个小手拉着大手，小手拉着大手，所以说很容易能够找到这个粉色的旋转圈的， 那找到旋转圈等了就开正啊，对吧，我们看看条件够不够啊。首先是 b h 等于 bc， 这是我们自己已经做完的，然后，然后剩下的条件，哎，就没了，没了，赶紧看是不是有条件没用上呀， 来，哎，这个九十度我们对称出等要用上了，这个 alpha 现在标在这，哎，用上了，然后，哎，这个旋转线段没用上，对吧？这两个边相等没用上，那我得用啊，那我看这是一个中点， 哎，现在这个 a 也是 h c 的 中点，多个中点想到什么？ 哎，多个中点是不是提醒中位线呀？所以我们发现 a e 就是 h d b 的 中位线，所以呢，这个是不是就是两个 a e 啊？ 然后同理你看 e 是 终点， f 呢是 dm 的 终点，所以 ef 是 不是也是 cmd 的 中位线？那这就是二倍的 e f， 对 不对？好，那我们知道黄边等于黄边，所以二倍的 a e 是 不是等于二倍 e f， 哎，所以我们发现 hd 是 等于这个 c m 的 好，两个边了，就差一个角， 对吧？那我们就开始倒角了，就是应该是再正一个这个粉边和这个 h b 的 加角，就正这个角等于这个角，是吧？哎，那我们发现这两个角等啊，正不出来 啊，为啥呢？没信息啊？这，你看这个三角形整体都没信息，所以赶紧去找，怎么办呢？哎，这里面倒角工具是什么呢？ 哎，有中微线就有平行，对不对？我们倒角用上平行线啊，以及呢，陈老师之前给大家总结一个啊，就是无论是你正旋转圈等，还是给旋转圈等，如果你的倒角卡了，一定要关注第三边的夹角，什么叫第三边呢？哎，就这个 h d 和 mc， 它就是第三边，你呢，就关注这个第三边的下角，也就是延长 mc， 哎，交 h d 于点 n。 哦，那你就要关注这个角 啊，那我们根据平行，我们知道它是等于这个角的，是不是这两个同一线，哎，然后根据这个和这个平行也能发现等于这个啊，所以呢，我们可以发现这个角，哎， c n h 它其实是一百八十度减两个 r 法。 好，那我们关注这个角之后能干嘛呢？哎，那当然要看看它给我们提醒啥了。朋友们，你们不觉得这个条件挺别扭的吗？ 但凡遇到别扭的条件，他肯定在提醒我们啊，而且越是别扭的条件啊，越是别扭的条件，越是面条老师煞费苦心的提醒，当我们看到一百八减二十二发，我们就要想到他和二十二发是互补的， 互补角就在提醒你，延长会出角，等内角和，哎，内角和一百八也会出，可以倒角，对不对 啊？还有平行同胞内角都可以倒啊，所以我们现在观察一下啊，这是一百八减二 r 法，而这个地方刚出来一个二 r 法，哎，这就这两个是在一个四边形里，所以应该是想让我们用内角和倒角的，是不是来给大家画一下啊，在这个四边形 h、 b、 c、 n 中，哎，这两个角是互补的对不对？那四边形内角和三百六啊，这俩角互补，说明这个角标个角一啊，和这个角是什么关系？是不是也互补啊？ 哎，那又因为这个 b、 c、 n 和这个角三是不是也互补，所以角一就等于角三了，哎，角一就等于角三。好，那我们就发现，你看边角边，咱们就可以得到这个旋转全等了， 嗯，所以你看，哎，我们呢，本来是想要正这个垂直，哎，正垂直不知道怎么正的，我就知道这是直角三角形对称出等腰， 然后我要正垂直时，我就正着等腰，那正等腰或者给等腰，我们都要想到旋转全等，所以我想到要正这个粉色的三角形全等，哎，那正全等的时候呢，我们去利用上每个条件，就能得到边角边都对应相等的信息， 好，得到信息了，我们就可以轻松证出来他俩全等了，是不是？那全等式工具，工具立马到角到边，通过这个全等立马就可以得到咱们的 bm， 就 等于 b d 了，是不是？哎，那三角形 b m、 d 就是 个大等腰，等腰三角形三线合一，而 b f 现在是人家的中线，所以就是人家的高线，所以角 b f、 d 它就是九十度了。 好，那我们总结一下啊，这个题还是非常的有难度的，是吧？哎，其实在我们双题眼里，他就是看到直角三角形就对称出，等腰，等腰三角形出，旋转旋转，全等倒角，找第三遍就够了。 但是可能在一些哎，靠经验做题的学生啊，或者说靠灵感做题的学生来讲，你会发现他非常的难，因为他画的浮线特别多 啊。那如果说你想让自己能够哎，对辅助线不触哎，多复杂的辅助线都能想到的话，那么你可以去积累这些条件，反射就是去积累，看到每个条件应该怎么做。 咱们呢，在按摩后会开一个几何压轴的专题课啊，在课堂上像这个我第一节课就会给大家讲，这个呢，在几何压轴的第二节课也会给大家讲 啊，每一个条件，那我都会给大家示范咱们应该怎么想到，以及想到了之后该怎么做。大家呢？如果说想要在二模之后再冲刺一下几何压轴的话，可以来双体找彩虹老师。

哈喽，屏幕前的同学，大家好，距离高考还有十多天，刷到我了，那我们一起最后十几天冲刺一下，每天做一做选择填空，做一做基础题，及时巩固自己的选择填空的能力。在北京的高考当中，如果你的选择题错误率在三个以内，那基本上都是一百分以上啊 啊，如果只错两个的话，那一百是一百二的水平啊，那如果不错，那肯定是一百二的学生啊。好，那我们来速刷我们东城的今天的选择题 题目。第一问要求的是 a 的 补集， a 是 大于负一的数，那它的补集就应该是小于等于负一。在全集里面去找小于等于负一的数，所以只有前两个选择 b 选项。第二题负数还是一样送分题。那怎么做呢？加点乘除先算呗，有平方我们就算， 所以呢，又是一个四减四 i 加上 i 方分之一，那又等于啊，那是三啊，加上一，那是个负的，所以就是三减去四 i 分 之一上下用平方差公式，那是 九加上十六分之三加上四 i， 那 很明显， a 加 b i， 这里的 a 和 b 都是一个正数， 但是注意啊，注意啊，这里叫共二负数，因为是共二负数，所以我们要变成 a 减 b i， 那 这里就应该是一正一负，所以一正一负。第四项线答案选择 d 选项。 好，那第三题考什么？第三题还是一样计算公式，后面就是一个典型的既变，我不变否看相线诱导公式，那将它进行化简既变三引阿尔法，阿尔法在第一项线，所以是正的，它呢，是在第二项线余弦负的，所以两个人相反加符号， 然后前面二倍角公式呗，根据二倍角公式，那有三个，我们这里要问正弦，那就用正弦的那一个，那就得到了 一减两倍，正弦的平方等于负的五分之三，通过一项合并化简，那三的平方就等于五分之四，那这个时候正负都可以，因为而法没有任何规定啊， 所以答案就应该是正负啊，多少五分之二倍根号五，那给他再多一个负号，不影响结果啊。所以答案选择好了，我们接下来看第四题，对吧，好像都挺简单的。前三题其实前六题都挺简单的，题目说两个式子，关于 y 轴对称，你会想到什么？ 偶函数呗，对称呗，那就是取负 x 和取 x， 想要相同两个式子，取负 x， x 方取的负 x 肯定一样呗， 那就是后面也得一样。这里一个是四，一个是二，那么会想到四就等于二方，那就是二的二 x， 那 后面呢？如果也写一个二的二 x， 那 不就可以吗？所以呢， a 就 二，也没有别的选项了，那就选二呗。接下来看第四题啊， 题目是说关于 y 轴对称，那很明显就是偶函数类似的东西，那就取负 x 的 时候，要和别人取 x 的 时候是相同的，所以去找一些点就可以了。比如说对于这个式来说，它有一个点叫做 t 逗 t 方加四 t， 因为是对称的，所以这边就一定会有负 t 逗 t 方加四 t， 对 吧？那我们把这个点给带进去，就可以求出 a， 所以 我们将它带进去，得到的是 t 方加四 t， 等于啊， 把这个带到这边去算一下，那就得到的是 t 方加上二 a 乘负 t， 那 两个式子想要相等，那其实就是换成一样的底数啊。哎，这写的写的不对，这是 t 方啊，在上面， 好，那得到的是一个二倍的二的二， t 次方要等于二的 a 乘负 t 次方，所以这两个想要相等，对吧？那毫无疑问，这道题我们的 a 啊，就应该是等于负二啊， a 就是 负二。好，我们接下来看这里的第五题。第五题啊，抛物线的题，那就画图，圆锥曲线，尽量画图来分析题目。这是 y 方，所以是一个开口左右，然后是四，所以是开口向右的抛物线。 交点二 p 等于四，交点是二分之 p 相差四倍，所以交点是一， f 就是 一。题目又告诉了过点， a 是 上面的一个点做垂直，得到 f， b 长度为一 哦， o， f 长度为一。呃， f， b 是 它两倍，那 b 点又是垂足，所以 b 就 应该在这，所以 b 的 坐标就应该是三斗零，那 a 因为是垂直的， 所以 a 就 在这，那毫无疑问， a 的 坐标横坐标就是三，那重坐标我们可以通过代入，对吧？啊，那就是 y 方等于十二，所以十二 啊， y 方等于十二，所以 y 就 等于正负二倍根号三啊，那题目问的是 ab， 那 其实问的是高度，那其实就是二倍根号三。选择 b 选项，前五题都是送分题。嗯，好，第六题其实也是送分题啊。 第六题说的是一个运动员在跑步给的一些长度， o a 是 四十 p q a o a 就是 半径，所以这也是四十，还告诉了 p q， 那 就是切线，对吧？所以勾股定律，那就是四十方加九方开根号 啊。幺六八幺开根号，那就是四十一啊，所以可以得到的是 o p 的 长就应该等于四十一。那题目问的是什么？题目问的是直线方程，哪个直线呢？这一个垂直的这个切线 p q 的 方程。 那想要知道直线他和这条线垂直，那其实很简单啊，我们可以先求这条线的斜率，因为这是过圆点的斜率。很简单，斜率等于角的正切值 啊，那正切值，那就是啊，直角边比直角边，所以一条边是九，一条边是四十，所以正切值四十分之九。那因为和他垂直相乘，得负一负倒数，所以我们要的直线的斜率就应该是负的这个数， 然后有没有点，有点斜率，有了点 p， 也有了点 p， 也坐标四十一，豆零。 那就看一下下面哪个选项是对的。这里呢，我们可以首先看什么呀？看斜率对吧？那斜率就是一项除过来得是负的这两个，这个是正的，这个也是正的，那只能从前面选 前面的斜率是负的四十分之九啊，那这个斜率是负的九分之四十。好，那答案就是 a 选项都不需要去带点算的，看看斜率就能够显出 a。 好， 那么接下来看第七题啊，东城今天这个试卷二模其实非常简单啊，基本上前 这看起来都挺简单的啊，好像没有难题，他没有压轴题，跟西城海淀有点不一样啊。好，第七题，题目给了一个式子， 那如果你的经验足够多，当你看到指数的题，你就会想到对数啊。所以当指数比较多的时候，我们经常会考虑一个思想，叫做取对思想啊，因为你只有取对 x 才可以从头顶出来，两边同时取对数，那就 non 二 x 等于 non 三 y 次方，然后你用对数的思想给它挪一下 x， non 二，对吧？就等于 y non 三，那 x y 之间， 这不就有答案的吗？对不对？那就得到 x 比 y， 太简单了， x 比 y 等于 nine 二比上 nine 三啊，那就是一个定值。所以除法式定值啊。选择 c 选项 好。第八题好像挺难的啊，第八题，第八题怎么去做？第八题是一个不等式的问题，前面能不能到后面，后面能不能到前面？那这里其实有点麻烦。对于某些同学来说，因为它有四个字母， 我们简单的逻辑通语呢，你是可以去计算求值的。这道题非常可惜啊，四个数，一个方程肯定求不出来，所以这种题只能做半做半猜，如果你计算足够熟练，它就是很好猜的。 想要左边大于右边平方加平方和大于和，那我们要找例子，今天要找反例，举个例子不能说明，再举一个例子也不能说明，那反过来非常好想啊。反过来，比如说 他是三，他是一，那就是三方，一方就是十，那这边是二，这边是二，那就是八。好，那得到的是三加一，等于二加二，对吧？所以很明显，后面到前面是到不了的。 那再看前到后行不行啊？那前到后就是和，大于和，那平方呢？我们也举个例子呗。那另外一边得小于四，那小于四，我们就来个， 来个这数好像都不好，不太好算，我们来个二点，来个二吧，来个二， 好，那二，这边写二的话，那就满足了。嗯，思考一下，换一个数，这个一可能也不太好用啊，比如说这是十， 那是一百，好像也不太行啊。好，我们想到了，这里有个例子，比如说一个数是二，对吧？一个数是一，那刚刚算过了，二和一相加是四，这是个五，那另外一边呢？ 只要比三小就好的，对不对？你来个二点九，对吧？那这边来个零点零一，那我们几乎忽略不要啊，那二点九乘二点九肯定是大于五的， 所以右边大于左边啊。右边大于左边，那他就不对了，所以前到后，后到前都不行啊。所以答案选既不充分，也不必要低选项。 好，我们再看第九题。第九题怎么做？第九题看图像，你就需要意识到，这道题叫考的是函数的性质。什么性质？基偶性？看图像，这是一个基函数，而题目给的是一个正弦 余弦，对吧？那正弦就是积函数，积函数，积函数，这个是偶函数啊，然后这是偶函数，偶函数，这是一个偶函数，这是一个积函数。 那两个式子乘在一块，要积函数，积乘积，那就变成的偶函数。不对，偶乘偶还是偶函数？也不对，所以答案只能在 b c 里面去选。 那接下来怎么去判断？我们就会先宏观看奇偶性，再微观带点。那这时候想一想，稍微 x 大 一点的时候，两个都是正数，哎，都是正数，那比较不了， 所以他们的正负性没什么太大的问题。那他的问题在哪呢？问题就取决于零点靠的近，靠的远的问题了，所以这里应该是算零点，可以得到答案。好，那么接下来就把它当做一个函数， sin 二 x cosine x， 让它等于零。 b 选项，对吧？然后第二个 c 选项， cosine x cosine x， 让它等于零，我们去解一下对应的 x， 这里我们想一想，其实就能出答案了。正弦与弦相乘得零，那一定是其中有一个是零，那最先出来的零就是零，对吧？那下一个零呢？ 啊？他得到二派，二， x 为派的时候，也就是 x 等于二分之派是他的，那他想要为零，就应该是到 到二分之派啊，那还是二分之派。对，所以他们的下一个零点是同时二分之派的时候，那再往后一个零点呢？继续去找一找，那他再往后一个零点呢？就是转回来二分之三，所以除一下四分之三派， 所以我们就会发现，第一个零点和第二个零点之间相差九十度，而第二个零点和第三个零点之间应该是相差四分之派四十五度，所以会更近一些。而很明显，这个隔的 太远了，太大了。所以那 b 选项就不对啊，答案就应该是 c 选项好，我们最后看第十题。第十题 向量成像量，成像量、成像量相等，它们都是单位向量啊，那就说明加摩乘，摩乘，加角的余弦，摩和摩都是一对吧，所以抵消了。所以就是加角的余弦等于加角的余弦等于加角的余弦。那三个单位向量的加角、 加角都应该一样，那就意味着，那就每个人之间都应该一百二呗，大概是这样子的，就叫一一，这叫一二，这叫一三，对吧？三个向量 好， x、 y、 z 分 别是什么呀？ x 是 a 向量和它相乘， a 向量和一个单位向量相乘， 那其实就是把 a 给投影过去，看投影过去的魔长，所以其实这里的 x、 y、 z 分 别就是向量 a 在 e 一、 e 二、 e 三三个方向上投影大小啊，对吧？就是看这个投影大小的 好，那我们 a 选项，那就是往他上面投要比往一二上面投要大一些，越大其实就应该越靠近， 所以当 a 在 这的时候，那当然投到这边会大一些，投到这边都已经超过了九十度，是负的了，所以那肯定会小一些，所以离他越近就越大， 那离它越近，能不能说明 z 就是 往这边是负的？目前这个图是的，但是如果我们 a 在 这，对吧？啊，也是离它更近啊，那但是和它之间投影是个正数啊，所以 a 选项明显不对，没有投影，第二个往 一一头，往一二头相等，那就应该是什么介于中间，那在这它就应该是个负数啊， 啊，那如果在这呢，那其实就应该是个正数，反正无论如何都不应该等于零，因为等于零应该是和 e 三垂直的时候，就明显不对啊，所以 b 选项也不对。 好， c 选项他说使得三个投影一样，三个人是在相同的一个角度的方向，那想要一样靠近谁都不太好，对吧？所以就应该只能在正中间，那题目又规定的是非零向量，所以也不对啊。答案选择 d 选项。 d 选项是说 投影就要等于 a， 那 也就意味着他就是朝这个方向的，那朝这个方向的话，另外两个投影呢？应该是一样大的，所以 y 等于 z 啊。答案，选择 d。

hello， 同学们，我们来看一下我们今年题型，我们今年题型是二零二六年东城二模的这个元曲题，然后这道题的难度呢？它不属于我们特别难的题型啊。好，首先我们来看一下它说已知我们的这个， 呃，第一问，椭圆方程咱就不再说了啊。第一问椭圆方程，如果你求不出来，你就给它代进去，对吧？通过代数的方式进行求，是没有任何问题的。然后他说，已知我们的 a 点坐标是这个 a 斗零，对吧？好，那么由一可得， 我们的 a 点坐标呢，就是二斗零，对吧？好，我们的 t 点坐标呢，就是零斗 t。 好， 那么我们的 x 等于 a， 其实就是我们的 x 等于二 的 y 等于 b 和我们的 y 等于负 b， 它分别是我们的 y 等于一兆直线和 y 等于我们的负一兆直线，对吧？哎，然后它交于什么？ m n 点，所以，哎，我们对应的 m 点坐标我们是非常已知的，它就是二动一，然后 n 点坐标就是我们的二动负一。 好，然后他说我们的直线 m t 与我们的 y 等于负 b， 对 吧？与 y 等于这个负 b， 好， 它交于我们这个 p 点 o 交于 p 点。写错 p 点啊。好，然后我们的 n t 轴直线交于 y 等于 b 轴直线于点 q， 然后我们的 a t， 对 吧？哎，于我们的这个椭圆另外一个点是二，然后我们要求证这三个点是共线的，对不对？ 那我们想要求三点共线，就是求它的斜率相等，实际上就这样的啊。好，那么我们分别去求出我们对应的这个点坐标就可以了。好，那么我们对应的 k m t， 那么它对应的这是二斗一，然后这是，呃，零斗 t， 那 么我们对应的斜率，对吧？找它的斜率，它的斜率就是我们的这个，呃，一减 t 比上一个二，对吧？哎，那么我们的直线方程，嗯， mt 这条直线， 嗯，点结式方程，那就是外减去一个 t 等于二分之一减 t 倍的 x， 哎，所以就是它好，但我也可以用它去写，是没有任何问题的，用谁去写这道题都可以，因为它最终的计算，哎，都挺简单的， 好，那么同样的，我们的 k n t 这道直线就是，呃，它是负二斗，呃，不，它是二斗负一，然后它是零斗 t， 啊，那么它对应的就是我们的呃，负一减去一个 t 比上一个二 好，然后我们的这个 n t 的 这道直线就是 y 减去一个 t， 哎，它等于 二分之负一减 t 被打 x， 那 么我们要对应求出它的 q 点坐标，对吧？和它的 p 点坐标，那么我们可以先设一下，我们设我们的 p 点坐标就是 x， p 到负一，我们的 q 点坐标就是 x， q 到正一，好，那么也就是我令这个 y 等于这个负一式， 对吧？我们去求出我们的 p 点坐标啊，直接写就行了，好，我就按照过程给你写啊，有同学不太会写，过程中间所有的计算都不要写到卷面上，因为你卷卷子没地，你卷子没地啊，然后把它单独单独去放到你的其他位置去进行计算啊，那么我们对应的这就是负一减去一个 t， 它等于二分之一减 t 倍的 x， 对 吧？那么这个乘过去就是二倍的负二倍的这个 t 加一，好比上一个一减 t， 那 我把这个负号放到下面，就是我们的 t 减一分之二倍的 t 加一， 然后动负一，好，所以我们的 p 点坐标就求完了，那么 q 点坐标也是一样的，我把我这个 t 等一带进去呢，就一减 t 好， 乘一个二，然后比上我们这个，呃，负一减去个 t 等于我们的 x， 对 吧？好，我把这个符号挪过去，那么这是利用 y 等于一时， 好，这是我们的 p 点坐标，那我们 q 点坐标，那么就是，呃，一加 t 分 之，我们这个是二倍的 t 减一，对吧？我把符号放上面了啊，哎，所以我们对应的呃， p q 的 这个点坐标我们就求出来了，对吧？哎， p q 的 点坐标我们就求完了， 那 p q 点坐标求完之后，接下来我就得去求我们那个二，因为我们要求的是三个点坐标，对吧？哎，三个点坐标啊，好，那么我们现在是把我们所有的这个 用我们什么去经表示的，用我们这个 t 去经表示的，那么接下来我们就得去表示我们的这个二，对吧？我们去把我们的二点坐标去表示出来啊，好，那么首先我们这个二的直线，它是经过我们这个 a 点嘛，对 吧？经过我们的这个 a 点，那么我们对应的去给它找一下 啊，我们看我们的 a t 的 这条直线啊， a 点坐标是我们的二斗零，然后我们的 t 点坐标是我们的零斗 t， 所以 我们的 y 就 等于我们的 t 比上一个啊负二，嗯 啊， t 比上一个负二，对吧？好，那么呃，倍的 x， 好， 但我可以把这个就是我它的这个 k a t 啊， 它的 k a t， 它就等于我们的 t 比上一个 t 减零，比上一个零减去一个二，那么就是负的二分之 t， 对 吧？我可以这么放着，我也可以不这么放啊。然后点斜式方程，是我们的 y 减去一个， 我算它的 k 等于吧，这样的话我们好找。好，那么我们的 y 减去零，等于我们这个 k 倍的 x 减去一个二，是它吧？好，那么它与我们椭圆方程连立 x 方比上一个我们的这个 a 方， 也就是四加上我们的外方等于一，然后我这个 t 最后再带进去。啊，您这样的话我们会好算一点。好，然后因为我们其中的一个横坐标它是零嘛，所以我另外一个横坐标它就好求啊， 那么我们对应的给它带入，那这是 y 等于 k 倍的 x 减二，然后带进去，就是 x 方加上一个四倍的 k 方的这个外方。好，它等于我们这个四，那就 x 方加上一个四倍的 k 方倍的半径，它等于四啊，我们整理一下，那就是一加四 k 方 倍的 x 平方，然后这边是，呃，减去一个，这是四 k， 对 吧？减去一个四 x， 那 么这是四 k 方。四四十六，减去个十六 k 方 x， 然后再加上我们这个是，呃，四四十六十六倍的 k 方，然后减去个四等于零， 哎，我们就编到这儿了，对吧？好，那么我们这个，我们给它写到这儿，把这个擦掉了啊，好，那么我们对应的，呃， x 一 加上 x 二，对吧？我们两个坐标，那么就是我们的 x a 点坐标， 嗯，也就是二加上我们这个，嗯，另外一个，对吧？就是我们的这个，我们设以二点坐标啊，二点坐标是 x 二，嗯， y 二，好，那也就是我们的二加上我们的 x 二，哎，它就等于我们负的 a 分 之 b， 嗯，等于它，然后我们的 x 一 乘以 x 二，就你二乘以我们的 x 二，对吧？哎，它等于我们 a 分 之 c 啊，你用这两个哪个都行，都可以，没有任何问题啊，它用哪个去表示都可以，对吧？它都符合，它，都对啊，它都对。好，那么你比如说，啊，我用这个吧，我用这个 x 二乘以它， 那么我们对应的就是，嗯，二乘以我们的 x 二等于， 好，那么我们的 x 二，它就等于， 哎，分之。我们，这是， 好，我就编到这儿了，对吧？好，然后接下来，好，接下来啊，因为我们对应的这个式子，呃，它的 k 是 等于这个负二分之 t 的， 那我把它带进去，所以我们的 x 二，对吧？因为我们的 k 等于， 好，所以我们的 x 二，给它。求一下，那么我们对应的就是我们把它带入啊。 呃，一加上就是四乘以四分之 t 方，然后八乘以我们的四分之 t 方，然后减去一个二，对吧？来，我们整理一下，这是一加上一个 t 方，然后这就好。整理的是二，二倍的 t 方减去个二，那么我们对应的就是 e 加上 t 方，然后二倍的这个 t 方减去个一 a k a， 我 们这个就出来了，对吧？好，那么我们的纵坐标，我就把它带入到我们的直线方程。 y 就 等于我们这个是负的那个二分之 t， 然后再乘以我们这个 x 倍的，那就 e 加 t 方，二倍的这个 t 方减一，然后再减去二倍的 t 方，是它吧？那 这是二 t 方减去个二，然后减去个二，再减去二倍的 t 方，那这个 t 方 t 方它就约掉了，所以它这是一个负四，负四和这约掉一个负二，对吧？好，那么我就剩了一个符号，它肯定是个负的，对吧？ 那不不，这是负四啊，负四约掉一个，变成一个这个二，那它是正的，所以我就是一加 t 方分之二 t， 所以 我们的这个二点坐标也求完了。 直线与椭圆的利，对吧？我们去找。好，那有同学说我能不能把它设成单动点？可以，你把它设成单动点也可以啊，然后你利用这个点在直线上，对吧？好，还有就是我们的点在椭圆上去找它对应的，我们这个也可以啊，这个是没有问题的。 好，那么，呃，我们对应的，哎，我就把我这个二点坐标求完了，那么我若要证明，对吧？好，因为我们的这个 p q r， 它是三点共线的。 好，那么当它三点共线之后，我们对应的斜率就是相等的，对不对？哎？斜率相等，那么我们的二点坐标是最复杂的，对吧？那我就让它用一次，那么它用两次，也就我们的 k p q， 哎，所以我们的 k p q， 它应该等于我们的 k， 哎，比如说我写成 p r 或者是 q r 都可以，这个没关系啊。哎，比如它等于我的 k q r， 对 吧？哎，这个都没关系，因为我们对应的，呃， p q， 对 吧？因为它简单，所以我用用用多重复，对吧？然后那个 q r， 那 个二点坐标，它比较复杂，好，那么我们对应的，我们把这个三点三个点的坐标给它减下来，接下来我是要求斜率相等就可以了啊。 好，那么我们对应的 k p q， 好， 我给它整理一下，那么就是我们的，呃，它减它，那么就是二，对吧？纵坐标点纵坐标，横坐标呢？就是一加 t 分 之，我们这个二倍的 t 减一，然后减去一个，这个 t 减一分之， 嗯，二倍的这个 t 加一。好，那么一定要记得给它通分，还有就整理式子啊，好，那么这个式子我们给它整理一下，就是我们底下通分二比上啊，然后上面这个通分就是， 呃，一加 t 乘以我们这个 t 减一倍的，然后这是二倍的 t 减一的，这个首先它是可以提出个二倍的，那我就先把这个二倍的整体提出去啊， 那么这和这其实就约掉了，它变成一了，那么这变成了一个 t 减一的完全平方，然后减去一个，这是 t 加一的完全平方，对吧？那么这个式子它就非常好整，我就直接给它展开了啊，那么就是啊， t 方，然后减去一个二 t 加上一个一，然后再乘，再减去我们这个 呃 t 方，然后只加上一个二，减去个二 t， 咱们再减去一 t 方， t 方减没了，一和一减没了，所以它就是一个负四 t， 哎，所以这就剩了一个负四 t。 好， 那么我们的整个的式子我们给它整上去，哎，它就变成了一个它一除以它吗？相当于乘以它的倒数，那么就是，呃，四 t 分 之，我把这个放放前面啊，上面是一个平方差 t 方减一，对吧？哎，就变到这了， 所以这是我们的 k p q， 那 么接下来我们去求我们的 k q 二，对吧？我们的 k q 二， 好，它就等于我们对应的纵坐标之差，对吧？那么我们就是一减去，我们这个减它， 嗯，分之二 t， 然后，哎，下面是横坐标相减， 好，减去，嗯，然后一加 t 方， 分之二倍的 t 方减一。 ok， 那 我们编到这了啊，然后接下来我们去给它合并同类项，那么我们的我们一块一块的弄啊，你可以先弄它的分子，对吧？它的分子是我们的一加 t 方，分之，这个是 一加上 t 方减去个二 t， 那 么一加 t 方减去个二 t， 正好是一个我们的 t 减一的完全平方，对吧？哎，刚好是它， 然后接下来我们底下给它通分，那么就是啊，一加 t 乘以我们这个是一加 t 方，哎，分之，这是二倍的啊，二倍的可以提出去吧。哎，我先不动啊，先把这个二倍的提出去，你就二倍的，然后接下来我们再看里边这边是 t 减一乘以我们的 一加上一个 t 方，然后再减去一个，好，这个正好可以拆，是个平方差，那么因为我们要提供一式，所以我就先把这个拆了啊， t 减一乘以我们的 t 加一倍的，然后我们这是剩了一个一加 t， 对 吧？那就 t 加一的平方。好，所以我们在椭圆的计算当中，我们说什么时候可以帮助我们节省计算量呢？一个是提供一式，一个是，呃，就是同分，对吧？那其他就没了。好，那么我们这个式子我们会发现它的分子，对吧？刚好可以提出来一个 写，这啊，这是二倍的 t 减一就能提供一式，我们要一定要提供一式，因为它会更简单，里面变成一个一加上 t 方，然后减去一个 t 加一的完全平方，就是 t 方加上一个二 t 呢？减去个二 t， 再 减去一，一和一减没了，然后 t 方和 t 方减没了，所以它这就没了，对吧？所以我们的式子它就剩了一个。什么呢？一加 t 和一加 t， 这约掉了，对吧？两个分母一样就约掉了啊，然后我们的整体，然后我们整体上面啊，它就剩了一个， 呃， t 减一的完全平方，然后下面是乘以，对不对？因为我们要取倒数除以它相当于乘以它的倒数嘛？好，那相当于乘以，我们这边剩了一个。是，是，嗯，这是负二，然后这是二，这是负四 t 倍的这个 t 减一分之，我们这个是一加 t 的 这个平方， 然后接下来我们来给它整一下啊，那么我们对应的这是 t 减一和，这是我们的这个，呃， t 减一，它就约掉了一个，对吧？它就约掉了一个 啊，因为我这个里面啊，这是 t， 因为，对，没问题，它就约掉了一个，它约掉了一个之后，它的整体的式子，呃，它就变成了我们这个负四 t 背的它好，底下是个负四 t， 对 吧？然后上面 上面我们这个式子是，呃，剩了一个一加 t 方，一加 t 方，哦，不对，这个约错了啊，那这剩了一个一加 t 方，约掉这啊，剩了一个一加 t， 那 就是 t 加一， 好，那么我们的整体式子它就变成了一个，这是负四 t， 把这个放往前提啊，负四 t 上面是个平方，差是 t 方减一吧，哎，括起来，好，所以你看我这两个式子是不是一样的？哎，是一样的，所以我们的这个 k p q， 哎，等于我们的 k q 二，对吧？好，所以我们三点共线，但是没有做完啊。好，那么它这个相等的前提，你看啊，它的 t 作为了一个分母，分母是没有把它等于零的，分母是没有把它等于零的，对不对？ 所以它们刚才这些式子所有成立的情况一定是 t 不 等于零，所以啊，当 t 等于零时， 好，如果你说我不想要分母怎么办？你就把它俩相减，对吧？是可以的啊。 嗯，然后交叉相乘还是可以的。然后，那么我们对应的 t 等于零的时候，一定要单独减，因为它作为分母，它是分母，没有把等于零的，对吧？那么当 t 等于零的时候，我们的直线它就这么画的， 哎，这个 t 点在这，然后这是我们的 a 点，对吧？哎，然后我们这个 m 点和 n 点是不变的， m 点，那么它中心对称，中心对称之后，这个点坐标和它互为向量处，对不对？好，那么，呃，这边也是中心对称的， 我们这个是 n 点和这个 t 的 交点，对吧？哎， n 点和这个 t 的 交点，然后，呃， y 等于它， y 等于它，哦，我这个点画错了啊，嗯，在这，对吧？哎，就在这，然后这个是和它的交点啊，这个是在这，我这个图画的不太标准。 然后，那么我们这条直线与它的焦点还是这，对吧？所以就是它，所以，那么当 t 等于零的时候，我们的这个 p 点坐标实际上就是，这是 pr， 这是 q， 这是 r， 那 么我们的 p 点坐标对应的就是， 嗯，负二。逗，我们的负一，然后我们的 q 点坐标对应呢，就是负二逗一，然后我们的二点坐标对应呢？就是负二逗，零，好，所以我们的 x 等于负二，对吧？ p q 二在我们这个 x 等于负二这条直线上， 哎，所以接下来，对吧？我们再综上所述，我们再把这句话答一下啊，一定要注意它的一些细节的问题，所以综上， 那我们的 k p q 等于我们的 k k q 二，对吧？所以我们的三点共线，好，所以，那么我们对应的，因为我这个是没有斜率的啊，因为这个它不存在斜率啊。好，它也是共线的，对吧？哎，所以，哎，所以我把这个，把这个直接删掉，不要理发了 啊，所以我们三点共线，对吧？你在写过程的时候，你可以这么写，对吧？好，中间的这些计算，这些计算啊，都不要，你觉得这些计算我们都不要，只写一个是字，然后写一个结果就可以了。好，这个也是一样的，只写一个是字，然后出最后的结果就可以了，所以你看啊， 所以你可以猜，就是你可以蒙，对吧？就是我这道题我实在不想算了，我就可以蒙，因为它非常不好算，你就可以直接蒙就行了，因为它只要一个结果分，当你把这个算完之后，因为你确定它肯定是三角形的，是不是？然后你这块可以直接写过程，然后没有时间计算，直接写一个结果 get 就 可以了， get 就 可以了啊，哎， get 它等于负的四 t 分 之 t 减一的平方，好，所以它来相等，对吧？ 哎，因为他让你求证他三点贡献，说明他一定三点贡献，对吧？好，那么我们对应的，你看这儿我就可以省一步计算，就我不算了，我直接写出结果，没关系，他不会给你扣分， 因为我们正常就是按部给分，按部给分啊，然后过程有过程有结果，有过程有结果就 ok 了，他不会去管你是怎么进行计算的。嗯， 会员是这样的啊，好，所以这是我们的二零二六年的东城的二模的源泉，对吧？所以你在计算的时候你一定要注意，就是如果你算不出来， 你可以把过程写在这里去骗它的答案，对吧？哎，我们一样可以拿到分数。 ok， 那 我们今天的这道题就看到这里了，拜拜。

倒计时第十三天，我们今天打卡复习的是立体几何的内容，今天这道打卡题目来自二零二六年东北三省三校二模的第十六题，我们看一下这道题的话有两个小问，第一问是证明面面垂直，第二问是求我们的线面夹角的正线值。我们在正面面垂直之前，先简单的复习一下面面垂直证明方法。 我们面面垂直的话，用到的是面面垂直的判定定里面面垂直判定定力的话，说的是当一条直线，一条直线垂直于一个平面的时候，那这条直线它如果包含在另一个平面内， 我们就能够说两个平面是互相垂直的。那在正垂直之前，我们回想一下以前我们做的题目当中能够出现垂直的模型有哪些？ 首先第一个就是提杆自带的一些，比如说线面垂直线，垂直面上所有的直线，或者是面面垂直，两个面互相垂直产生一条交线，那任意一个平面内的直线，它只要是垂直交线的都垂直，另一个面则垂直另一个面上所有的直线。第二个就是咱们的这个空间几何体里面，它自带一些正方形、矩形， 它们的菱边是互相垂直的。再者如果出现了一些等腰等边三角形的话， 我们的中线和底边也是互相垂直的。常用到的垂直模型有这一些，那有时候我们会发现，当我们在做正名垂直题的时候，往往需要两组垂直，当我们考虑完一二三四四种条件过后，好像还差一组垂直条件，那这个时候往往我们的这个勾股定律 容易被咱们忽略掉，而且这种题有什么特质呢？一般题干会给特别多底边的一些边长，或者是自带一些什么等腰、等边三角形，它的边长之间是可以互相转化的，这个是容易被我们 忽略的。那讲完这个，我们再回到这道题本身，这道题考了一个斜楞柱的问题，他要正的是平面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 我 们在做这种题的时候，老师建议同学们带一把直尺，带一支铅笔进到考场上。我们 在正式写过程分析之前，你先用铅笔把这个面稍微给它轮廓勾画一下，以免我们给看晃眼了。 面 m， c， c， e 和底面 a， b， c， d。 要证面面垂，用面面垂的判定力里需要一条直线垂直一个面，那这条直线如果包含在另一个面上，两个面互相垂直，那我们来找一下题干，他说这个四棱柱 a， b， c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， d， e。 底面是一个菱形， a 有 菱形，这个地方我们紧抱拉起它，可能是对角线互相垂直。我们再接着往后读，他说，角 a， b， c， a， b， c 是 三分之派，也就是六十度，这个角是六十度的话，同学们想一下，我们连接我们的这个 a、 c 连接 ac， 你 底面是菱形，这个地方是六十度，那整个菱形就会分成了两个等边三角形，有等边三角形，就会自带中线垂直底边的这么一个垂直条件。然后又说了这个侧面 a， d， d， e， a， e 是 一个矩形，矩形的菱边也自带垂直关系。那 读完题过后，我们会发现有垂直的，第一个有菱形，对角线垂直。第二这个地方根据菱形六十度，有一个等边三角形会自带垂直，这地方矩形也自带垂直。那我们想一下，如果我找到这个 a、 d 的 中点，找到 a、 d 的 中点，比如说这个点是点 n， 这个点是点 n， 我 们连接一下这个 c， n 连接 c， n， 这个时候会有一个什么效果呢？ c、 n 一定是垂直 a、 d 的， 又因为题干说 a、 d， d， e， a， e， 它是一个矩形， 那矩形的话，我连接中点 m 点和 n 点 m、 n 两个中点，它一定是平行于我们的这个 d、 d， e 的， 那 d， d， e 垂直 a， d。 同理，我们的 m、 n 也垂直 a、 d。 所以 对于 a、 d 而言，对于 a、 d 而言， a、 d 垂直 n， c， a， d 垂直 n， m， n， c， n， m 相交于 n 点，那 a、 d 直接就垂直平面 n， c， c， e， m 也就是垂直我们的平面 c， c， e， m， 那 a、 d 垂直整个面的过后， a、 d 是 包含在底面 a、 b， c、 d 的， 所以两个面互相垂直。所以这个题我们可以通过题干，菱形自带对角线垂直，加上六十度，出现了等边三角形，等边三角形自带中线垂直底边，外加我们的这个矩形 邻边互相垂直。两组垂直关系得出一组线面垂直，那线垂直面线包含在另一个面上，我们就能够得出这个平面和平面之间是互相垂直的。 ok， 这个是咱们的第一问，然后第二问，我们来看一下，他说若平面，我们把这个清空一下， 若平面 a， b， d， e， a， e 和这个平面 a， b， c、 d 所成二面角的平面角为六十度，我们先不往后面读，先研究一下面和面所成的这个夹角面面所成的夹角，如果用我们的这个几何法来找角度的话，该怎么找呢？我们复盘一下这个内容， 通过一个面上的点做另一个面的垂线，产生一个垂足，通过垂足做两个面的交线的垂线，再次产生一个垂足，连接起点和第二个垂足，形成的这个夹角就是咱们二面角的平面角。那我们想一下， a d， d e a e a b c d， 这两个面的交线是 a d， 交线是 a d。 然后通过刚才第一问的分析，我们是知道这个 m m n， 它是垂直交线 a d 的， 而底面 是一个菱形，被拆成了两个等边三角形， n 是 中点，我直接连接这个 n c， 直接连接这个 n c， 它也是垂直 a d 的。 那这个时候我们会发现你的这个两个平面所成的夹角其实就是咱们的 m n c。 所以 第一句话我们能够得到的这个结论就是角 m n c， 它是我们的这个平面里面的这个角度三分之派。一定注意，当我们在用空间向量法再找一些夹角问题的时候，比如说提杆，它自带一些二面角是多少度，或者线面角是多少度，那这个地方大概率都是用我们几何法先把这个角度找出来，那我们再看它给了一个 a a 一， 也就是我们的 侧棱的长度是根号三，然后提杆已知底面，这是 a d， 底面是一个菱形，所有棱长都是二，然后给的这个 abc， 这是六十度， 他求的是 b 一 d， 这个是咱们的 b 一 点 b 一 d 这条黑色的虚线和平面 m a b 所呈假角的正弦值。我们先复盘一下，我们先复盘一下，利用空间向量法求线面角的一个步骤，第一步，建立坐标系。第二步，找到直线的方向向量，也就在直线上任意找两个点，把方向向量找出来。第三步，找平面的法向量，然后第四步是一个易错点， 线面角的正弦值 sin theta， 它对应等于平面的这个直线的方向向量。比如说举，随便举个例子啊，比如说这是 e f 向量，是方向向量，然后以及平面的法向量所乘角的弦值。 根据公式， e f 向量点成 n， 向量，比上 e f 的 魔长，点成 n 的 魔长。最后不要忘记了整体夹绝对值，因为线面角的范围是零到九十度的一个范围，所以夹角余弦值必须得是正的。 ok， 那 我们看一下这道题，这道题在间隙之前，我们看一下，这是一个斜楞柱， 这是一个斜楞柱。我们刚才通过第一问已经知道了这个 m， c， c， e 和底面是互相垂直的关系。 m c， c， e 和底面是互相垂直的关系。这地方我们可以怎么去间隙呢？这地方我们可以怎么去间隙呢？我们刚才说了底面这个菱形，它其实就是两个正三角形构成的 两个正三角形构成。通过第一问，我们刚才在这个 a d 的 中点位置找了一个 n 点，然后连接了一个 c n， c n 的 话，它本身是垂直，我们的 a d， 你 底面是菱形，这个 c n 垂直 a d 就 相当于是 c n 垂直 ab， 那 大概率我们这个坐标系的话，可能都会以这个 c n， c b 为我们的这个 x y 轴。那知道了这个 x y 过后，我们怎么去找这个 z 轴呢？ 我们想一下。第一问，我们已经正到了这个平面 m n， c c e m n c c e 和底面是互相垂直的，结合面面垂直的性质定律，两个面互相垂直产生交线，任意一个面内的直线，只要垂直交线都是垂直另一个面的， 那 m n， c， c， e 和底面的交线在于这个 c n 上，我只要垂直 c n 就 能够垂直底面，那这个地方我们直接在这个坐标原点 c 处 做 c n 的 垂线，这条线它必然是包含在我们的这个面 m， n， c c 里面的， 我们只要保证这条线是垂直 c n 的， 就能够保证这条线垂直底面，垂直底面就垂直底面所有的直线，那他就能够当我们的 z 轴。那同学们一定要注意，我们在考场上的时候，像这种不是自带垂直关系的时候，一定要通过两三句语句的描述写清楚你是怎么去解析的，这个咱们是有过程分，我们写一下啊， 在这个平面 c， e， c， m， n 内，我们过 c 点做这个 c z 垂直 c n， 因为咱们的 a d 是 垂直平面 c， e， c， m， n 的， 然后 a d 是 平行 bc 的， 所以我们可以得到这个 bc 是 垂直平面 c e， c n m， 那 所以我们的这个 bc 垂直 c z， 然后所以 c z， 它是直接就是垂直我们的整个平面 a b， c， d 的 c z， 然后我们的 c n， 还有我们的这个 c b 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。一定注意，一般来说，第一问，我们得到的一些结论，比如说垂直线面，垂面面垂，它一定是能够用到我们的第二问的间隙过程当中。 ok， 那 我们再接着看。 我们建好细了过后，刚才说了，通过这个二面角的这个分析，我们知道了这个角 mnc 这是六十度，然后给了一个测棱 a a 一 的一个长度等于根号三，那我们要找 b、 e、 d 的 法向量，以及 m a、 b 的 一个 our third 客户，我们要去找 b、 e、 d 的 一个方向向量，以及平面 m、 a、 b 的 一个法向量。在找具体的向量之前，我们先找点坐标，一个一个来。首先我们的这个 n 点， n 点，它在这个 x 轴的正半轴上，我们知道 a、 d 的 长度里面是一个等边三角形， a、 d、 c 这里长度为 题干，已知长度为二，那等边三角形的这个中线长度直接就可以出来，所以 n 点坐标这个地方就应该是根号三到零到零。同样的，这个 b 点坐标 b 点在 y 轴上， a、 d 长度为二，那 c、 b 长度也为二，那 b 点坐标直接就是零二零。 那同理，我们把我们的这个 a 点坐标、 a 点坐标找到 a 点坐标的话，这个地方分别做 x 轴、做 y 轴的垂线，做 x 轴的垂线垂足在这个位置，那它对应的横坐标的长度应该是这个 c、 n 的 长度，然后做纵坐标的垂线对应的长度的话，就是 a、 n 的 长度。所以 a 点坐标这个地方应该是根号三到一到零， 那 d 点坐标， d 点坐标，我们看一下在哪个地方跟刚才找 a 点坐标是完全一样的。过 d 点做 x 轴，做 y 轴的垂线，它在 x 轴的正半轴，但是是在 y 轴的负半轴，所以 d 点坐标这个地方应该是根号三，逗负一逗零这几个点是比较明显的。 那再结合我们刚才分析的平面 a、 d， d e a e a e 与平面 a、 b， c， d 所成夹角为三分之派， 我们其实得到的是这个角 m n c 即为二面角的角 m n c 等于 三分之派，那知道了这个长度，呃，知道了这个角度，然后题干又给了我们这个 a a 一 侧棱的长度，这是根号三，那我直接过 m 点做垂线，就能够具体找到它们的一些长度关系。这个 m n 是 等于 a a 一 等于根号三的， 所以 m 点的这个坐标，我们可以给它写成做垂线，垂下来，这个是 c n 长度的一半，横坐标是二分之，根号三。然后你在这个 x 轴上那纵坐标的话，直接就为零，它的竖坐标，竖坐标也是通过这个三角形里面六十度的这个夹角以及边长给它算出来，这个高度的话是二分之三， m 点的坐标就出来了。 那 m 点坐标出来过后，我们还有一个这个 b 一 点的坐标，不知道这个地方特别强调一个小点，比如说像找这种斜楞柱里面的 特殊点坐标的时候，当我们拿不准你这个点投影投下来到底在哪个位置，那就不要去猜，我们通过一个方法，什么方法呢？向量相等的这个方法去找对应的点坐标，比如说我拿不准这个 b 一 点，它投影下来具体投到哪个位置，那我完全就可以利用。比如说 b b 一 向量是等于咱们的这个 n m 向量的 相等向量，它的概念就是大小相同，方向相同，这个是棱柱，棱柱的所有的侧棱都是平行且相等的，那长度这些相等，大小方向都相同， 向量相等。那我们可以把 b 一 点，比如说设设成 x b 一， y b 一， z b 一， 那 b 点坐标在 y 轴上，我们已经找出来了， n 点， m 点的坐标都出来了，通过坐标表达向量，最后找出我们的这个 b 一 点的坐标。用这种方法去找特殊点坐标的话，虽然说过程可能稍微慢一点，但是一定是万无一失的。 所以这个地方我们可以把这个啊 b 一 点这些坐标给它找出来。那我们接着刚才的这个讲，这个 b b 一， 它等于的是 n m n 点坐标，这是看一下啊， n 点坐标，这是根号三，逗零逗零， 那 b b 等于 n m 的 话，我们的这个中点减起点 x b 减去 b 点坐标零， b 点的横坐标零，然后 y b 减去二，逗号 z b 减去零，它等于的是 n m n 点坐标揣了， m 点坐标揣了，我们把 n m 写揣一下， n m 的 话是二分之根三减根号三，这是负二分之根号三，零减零等于零，二分之三减零等于二分之三。那这两个要相等的话，我们可以解出这个 b 一 点的坐标对应相等，负二分之根号三， 逗号 y b 一 减二等于零，那 y b 一 的话，直接就等于二， z b 一 直接就等于二分之三，所以 b 一 点的坐标就揣了 b 一 点坐标出来， d 点坐标有了，我们直接把我们需要的方向向量表达出来， b e d 向量， b e d 向量，这个是根号三，减负的二分之根号三，那直接就是二分之三倍根号三，然后负一减二，这是负三，零减二分之三，负二分之三，我们的 b、 d 一 向量就出来了，有用的，第一个 b、 d 一 向量就出来了， 那第二个要去找平面 m、 a、 b 的 法向量，要找 m、 a、 b， 我 们找法向量的步骤，第一步找到平面上的三个点点坐标。第二步任意找出两条相交直线对应的方向向量， 那比如说我们就找这个，找一个啊，比如说找一个 ab 向量，然后找一个 am 向量，用点坐标表达我们的这个向量 ab 向量的话，这就是负根号三，负一，负零 am 向量，这就应该是负二分之根号三，负一，负二分之三，然后去 设我们的这个平面，用 ab 的 法向量为 n 向量，直接设成 x 到 y 到 z。 这个地方我们都不需要看图了，直接根据我们的这个方程组向量，点成我们的 方向向量，结果是等于零的，因为是互相垂直关系，所以负根三 x 加 y 等于零，然后负二分之，根号三 x 减 y 加二分之三， z 等于零。 这地方的话，我们邻域方程组在复值的过程当中，我们可以直接令 x 等于一，令 x 等于一，从而去把我们的这个 y、 z 给解出来，这个地方解出 y 等于根号三， z 也等于根号三，所以这个平面的反向量 n 向量的话，就可以写成一逗根三，逗根号三。 那知道了法向量，知道了咱们的方向向量，直接套用最后的公式。前面强调了线和面所成夹角，它的正弦值等于的是这条直线所对应的方向向量 与平面法向量所成夹角的余弦值。根据公式 b、 e、 d 向量点成 n， 向量比上 b、 e、 d 魔长点成 n 的 魔长，注意最后一定要加一个绝对值，我们把所有的数据这个地方给他带下来，最后的结果等于的是十四分之根号下四十二，这道题就结束了。 在讲这道题的过程当中，提醒一下同学们，今年的二模真题里面有大量的试卷都出现了这个斜楞柱的问题，一定注意斜楞柱这个是属于不规则几何体的，一个间隙 多加小型底面是否自带垂直，比如说底面是否是菱形，是否出现了什么等腰等边三角形，然后我们再找这个竖坐标，再找 z 轴的时候， 一定要注意，可以结合一下体感可能现成的一些线面垂直，或者是面面垂直关系。然后第二个需要注意的就是斜楞柱里面有些特殊点，就比如说我们的这种，像 c 一 b 这种点，当你拿不准它投影下来，到底投在具体哪个位置的时候，我们直接借助相等相等 的方法，相等相等法一定注意一定是大小方向都要相同，谁剪谁不要剪错了。然后再一个就是求线面夹角的时候，观察清楚体面法向量与平面法向量所成夹角的余弦值这个地方，我们就 把这个题结束了。然后再提醒一下同学们今年的考试重点，因为会考我们的跨模块融合题，所以立体几何的话特别容易出到一些，比如说和我们的解析几何结合，比如说和什么椭圆呀这种题目进行结合，那同学们可以 以拔高为前提去参考一下咱们二零二六年苏北七十二模的一个十八题，这道题的含金量也非常高，这地方我们就不在我们的这个打卡题里面再去讲了，同学们可以重点去再看一下这道题，跨模块的融合题，它在立体几何里面可以怎么去考？

前面为大家详细了北京市北淀区奥姆的数学试卷，从这一讲开始呢，我们来看看东城区的奥姆数学试卷。 今天这一讲讲。第一讲选择题和这个填空题。 第一题集合，第二题复数的运算，第三题三角运算，第四题函数对称性。 第五题是一个简单的应用题啊，执行方程的应用。第七题是 定值，定值的曲线实际上是一个指数转化好。第八期 用不等关系来理解充分性、必要性和重要性。第九期是函数关系。这里面当然碰到了三角函数运算。 第十题是以向量为基知识点的一个综合问题。好答案，给大家看一下。 听题第一个二项是定比，第二个是竖列问题，第三题是两个双曲线方程的关系啊。 第十四题是力矩结合当中的三楞锥啊，体积以及最值的问题。十五题是以等差数列为知识点的一个综合问题， 实际上是一种推理天文题的答案。 嗯，我们看到东城区的数学试卷和我们海淀区的数学试卷本质上都是在考课本知识，课本知识是基础，常见积累可帮忙， 基本方法常规用，解决问题细思量条件就能联系好，无事分购化装详， 直接将你推与排，一本书印证帮。再见！

我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。

这次二模当中呢，其实他的这些试卷呢，我个人认为有一些题目考的很好，但是呢可能对于有很多同学来说，这就非常的搞人心态啊，就比如说东城的连续两道选择题呢，其实都会有这样的一个情况 啊，我们在这里面呢，可以跟大家来好好的聊一聊。就是如果遇到搞人心态的这种题目呢，其实他使用的所有的这些想法，包括知识肯定都是大家掌握的，所以说呢，大家其实也不要感觉到特别的这个慌张。当然有很多同学遇到这样的一个问题，一下子就慌了啊，我这个感觉好像有点不太知道他到底该怎么去回答。 其实呢，有的时候我们冷静的去把一些很明显的错误呢给它排除掉，同时呢去想一想，我们在原来学这部分知识的时候，我们到底有一个什么样的通法，然后我们可以就直接往把通法往里面带一带试试看，其实你会发现有很多问题呢，就直接写着写着就迎刃而解。 好，那所以接下来的话，我们可以来看看这道题，这道题的话是东城二模的第七题，这个有同学呢其实就会发现，哎，给了这样的一个式子，这个式子我倒是挺熟悉的，但下面呢，他问了一个问题，说下面这个式子哪些为定制？而有同学就感觉到，哎，这个题目我感觉好像有点莫名其妙，我都没有见过这种类型的问题。 但是呢，像比如说在这道题目当中，有一些比较明显的错误，大家其实是可以上来就排除掉，比如说啊，你看二的 x 方等于三的 y 方，我们其实就可以尝试着来画一下它的一个图像， 对吧？那你应该可以知道，像这样的一个指数函数图像的话，比如说这应该就是一个指数函数图像，然后呢， 这应该是另外一个指数函数，对吧？那很明显呢，在右边增长的快的，这应该就是三的 x 方，然后增长的稍微慢一点的，这应该就是二的 x 方。那有什么样的东西是你很明显就知道它肯定是不对的呢？大家会发现，其实你如果说这两个函数值相等，就意味着你画一条水平的直线 跟它有两个交点，对吧？然后呢，那你会发现这个位置所对应的其实就应该是 y， 这个位置所对应的就应该是 x， 然后呢，你会发现它们俩的函数之相呢，这就叫二的 x 方等于三的 y， 所以 你会发现当它在右边的时候呢，你的这个 x 是 大于 y 的， 而如果说你在左边，比如说你也画了一个这样的图，这有点看不太清，那我们还拿黄黄色的笔来画吧。 你比如你在左边，你也画了一个这样的图，也是一条水平的直线跟它相交，那这个时候的话，大家会发现三的 x 往这个图像在下面，所以也就意味着这个位置呢，它对应的应该是 y， 而这个位置呢，它对应的应该是 x。 所以 大家能不能发现，在这里面很明显有一个结论，肯定就应该是错的，哪个结论？ a 和 b， 对 吧？ 是不是这样？人家说的是这个东西为定值，那很明显你的这个 x 和 y， 它的大小关系都应该会有差异，那你 x 减 y 在 左边的时候其实是正的，在右边的时候是负的啊？就这右边是正的，左边是负的，对吧？你在这里面的话，你三 x 减二 y 也是一样的，在右边是正的，在左边应该是负的，那他们俩怎么可能是定值的， 对不对？然后接下来的话 cd 这两个 cd 这两个的话，大家其实看着这样的一个结构，你是不是应该能想到其次化的，很有可能他应该是正确的那个答案。当然了，我们在这走到这步的时候，我们其实就应该会有个想法，也就是说我们对于这样的一个这种指数结构，包括对数结构的连等式，我们一般都应该会有一个什么样的操作方法？ 是不是设它为 t， 对 吧？那也就带来了，如果说我在这里面二的 x 方等于三的 y， 次方都应该等于 t 的 话，那带来的是不是 x 就 应该等于 log 二 t， 然后 y 的 话是不应该就等于 log 三 t， 是 吧？那所以在这里面的话，我是不是应该就可以把 x 除一个 y， 他 把它写成一个叫 log 二 t 除一个 log 三 t， 然后这个时候的话，大家可能能想到就是换底公式，但大家注意好了一个问题，就是换底公式这个事情呢，他其实应该是同底的对数相处，然后得到的应该是一个定制，哎，那就是得到的应该是一个换底公式的一个结构，对吧？但是呢，我们会发现这两个是不同底的对数， 那怎么办呢？哎，我们应该会发现，你可以直接对上下同时使用一个换进公式，比如说上面就应该是烙印 t 比上一个烙印二，对吧？而下面呢，就应该是一个烙印 t 比上一个烙印三， 所以你会发现，把烙印 t 消掉之后呢，上面就应该是烙印二分之一，然后再除一个烙印三分之一，所以就变成一个烙印三比上一个烙印二，那这样的话，是不是也就等于烙个二三， 是不是就得到这么一个结果？那大家会发现 log 二三这个值呢？它肯定应该是个常数，所以说呢，这也就应该带来的是一个定值，对吧？所以这道题目的答案呢，其实就应该选 c， 而最后的 d 选项为什么不对呢？ 哎，其实很好理解，当你确定了 c 选项是定值的时候，那 d 选样，你的这个 x 三次方比上一个 y 的 平方，它是不是应该就等于 x 的 平方？比上一个 y 的 平方乘一个 x， 那 是不是就变成了一个 x 倍的 x 除以 y 的 平，对吧？这个东西是个定值， 可以理解吗？这 x 比上 y 是 个定值，那 x 比上 y 的 平方也是个定值，但这个 x 呢，它是不是应该会随着你的这个 y 的 变化，然后 x 应该也会在不断的发生变化，所以它就不是定值，所以 d 选项应该也是不对， 哎，所以说呢，要跟大家去提到的就是，你们如果说遇到这种就是看似搞人心态的题目呢，你们千万不要慌张，做题的时候呢，其实很简单的一个想法，就是你稍微慢一点， 你去回想一下之前在哪个地方看到过这样的一个知识点，或者这样的一个处理方法，然后呢把它去做一些尝试，有很多这种你看着比较陌生的题目，其实你只要一尝试，他可能就会变成你非常熟悉的东西，所以大家千万不要感觉到在考场上面的时候，这些东西没看过，那些东西没做过，其实都可能是你会的。

学习一百道压轴题，今天学习的是大连二模几何压轴题，哈喽，大家好，我们今天一起来讲解一下大连市二模的几何压轴题，它的难度没有一模大，主要考察的是解三角形。 那接下来我们一起来看一下。那首先第一个问号非常简单，这里我们就不讲了，主要看一下第二个问号。 那第二个问号的话，首先我们先画图，先确定 e 点的位置，那 e 点的位置根据题干 b， a、 c 加上 e， a， c 等于一百八十度，所以非常好想的就是第一种情况，就是 e 点是在 b a 的 延长线与原 a 的 交点， 那 e 点确定完了之后，再去做直线 c， e 和 g、 h 它们的交点， h 属于此图可画。 那除了这第一种情况之外，还可以有什么情况？就是此题还有一个特殊角 角 b， a、 c， 它是九十度，那它是九十度角， e， a、 c 也是九十度，所以 e、 a、 c 是 九十度的话，我们这个 e 也可以是线段 b、 a 与原 a 的 交点，所以我们还有第二种情况。 那首先我们先来看一下第一种情况，那第一种情况的话题干给了 a、 b、 c， 它是一个等腰值，所以底角是四十五度， 我们先标上，因为这个特殊角我们后面解三角形可能会用上它，所以这里先标上啊，然后还有 a， b 等于 a， c 等的是三， 然后还有半径是一， a， e 等于 a 对 等于一。那标到这了之后，我们就可以发现三角形 a、 b 对 和三角形 a、 c， e 全等 判定，应该是边角边不多说，那全等了之后，我们去推对应边，去推对应角，那首选的是和已知条件和问题有关的边和角， 所以已知条件给了一个角 a b d 等于角 b a g。 点角，所以我们可以把这个点角转移了，可以拽到 角 a c e 啊，那我们这三个点角都相等了之后，我们还是可以去找一找有没有其他的等角，那此时我们可以发现，角 a g c， 它应该是四十五度加点，而我们的角 h c a， 它也是四十五度加点，所以这里面角 g a c a g c 等于的是角 h c a h c 锥啊，等于四十五度加点，而这两个角它是在同一个三角形当中，所以我们就可以得到锥 h， 它等于 h c， 而这个锥 h 的 话是我们要求的，所以我们就转换成去求这个 h c， 那小球 h c 怎么办？我们有两个角度，第一个角度就是找 h c 所在三角形，然后去找相似，第二个角度就是去找它所在的三角形，去解三角形，那此题都能做，我们先来看方法一， 方法一的话就是去找 h c 所在的相似三角形啊，那这个是好解的啊，那 h c 所在三角形 h c a， 那 它的相似三角形呢？啊，是不得有这个点角，还得有 h 角的，所以有这个 h 角的它所在三角形应该是 h a e， 还有 h g c， 那 明显相似的应该是 h a e 啊，有一个公共角，还有一个这个点角，那是不得等于这个 h a e， 而这个 h a e 是 不对顶角，所以它是点 啊，所以我们可以发现啊，这里应该是一个直母形的相似三角形 h c a， 那他俩相似了之后，我们去找对应边乘比例，就应该是 a e 比 a c 等于一比三，那就等于 h e 比 h a 还等于 h a 比 h c 啊，所以我们先设啊，这个 h e 他 是 a， 那 这个 h a 他 就是三 a， 那 他是三 a 了， h a 比上 h c 是 不是也是一比三，所以他就是九 a， 那它如果是九 a 了之后，等量关系出来没啊？出来了吧？我们可以看到这个九 a， 这是 a， 而这个 ec 呢？ ec a 一 比三比根号十，所以我们就可以得到这个九 a， 它等于 a 加 根号十，所以我们就能算出来这个 a， 它等的是八分之根号十，而 a 是 八分之根号十了之后，我们要求的 h c 就是 a 加根号十， 所以这 g h 等于 h c 等于 a 加根号十，那就等于八分之九倍根号十。 那这里还是再次强调一下，看到这个边乘比例的一比三，我们可以方程思想去设他啊， a 和三 a， 那 这是方法一。接下来我们再来看一下方法二，那方法二的话，就是找 h c 所在的三角形去解三角形 啊，解三角形也是我们去求线段长非常重要的一种方法啊，很重要。那 h c 甩角形应该是 h c a， 所以 我们可以解三角形 h c a， 那 看一下它能不能解， 那我们想要解它 h c a 明显有一条边， a c 是 三，然后还有一个角嘛？是不是这个点角？我们找这个角，要么是特殊角，三十度、四十五度、六十度，要么是知道三角函数值的角，那想要知道三角函数值，它就得在直角三角形当中的， 所以这个点角，它在 e a c 这个直角三角形当中，所以它是三分之一的角， 所以它是已知角啊，那还有谁呢？它是三分之一，那 h a c h 还是 a 呢？ 应该是 a 点处，这个点角等于这个点角，它是不是也是三分之一？那它是三分之一，这是度，这是九度角吧，所以这个角是不知道。那有时候这钝角是多少？我也不知道啊，那钝角我们找它的补角 是不是一个补角？是这个三，它俩互为，所以它应该是正斜值，是三的角，那它是三的话，所以 h a c 两个角，一个边可解啊，那这个解三角形我多说一下啊， 那这个解三角形怎么解？我们应该是做垂直，将知道的角都放到直角三角形当中，所以要把这个三分之一，还有这个三都放到直角三角形当中，所以应该是过 h 向 c a 做垂直。 好啊，那做完垂直了之后啊，比如说这是 m， 那 我们这个三分之一是不就是在直角三角形 h m c 当中？而这个三有时候没在呀，这个三我们去找它的对零角， 相当于我们这个钝角 h a c， 它的补角除了这个 c a g， 是 不还有 h a m 啊？说我们找这个对顶啊，它是三，所以这三和三分之一都放到了直角三角形当中，而边长又未知，我们可以方程四角相，先找较小的这个直角三角形啊，我们可以设它是三 m， 它是 m， 然后，呃，再来看这个 hmc， hmc 的 话，正切值是三分之一，所以是三 m 比上 m 加上三，等于一比三吧，所以 m 也能求，所以 hc 就 可以求啊，这里我再不多说了。啊。 啊，那这是解 h a c， 我 再多说一下，我们解三角形的话很重要啊，那刚才解的是 h a c， 那 其实我们还可以解谁呢？我们要求这个 h c， 你 观察一下上边 e c 是 不已知的，所以是不只要求 h e 就 行， 所以我们也可以去找 h e 所在的三角形，所以相当是解三角形 h e a， 那 这个 h e a 能解吗？啊？这里看一下，那 h e a 知道这个点角三分之一，然后还知道 a e， 这里是一啊，那我们还知道什么呢？ 是不还是知道 a e c 这个钝角的补角，这个 e 对 吧？这个 e 的 话，它是在 e a c 这个直角三角形当中，所以它的正切值应该是三，所以三角形 h a e 也可解 啊。然后那这个三角形如何做？垂直？是不和 h a c 一 样，将三分之一和这个三都放到直角三角形当中，所以过谁做呀？所以还是过 h 向 a e 做垂直 啊。然后我们这个三分之一是不是就在这个直角三角形当中，然后这个三是不还是对顶过来？在这个直角三角形当中，剩下的和刚才一样啊？这里不多说了，那这是第一种情况， 那接下来我们再来看一下第二种情况，那第二种情况就是线段与圆的交点，那如何做啊？仿照着上一个问号，我们大多数的时候多种情况都是雷同的，所以上一个问号找到了，三角形 a b 对 全等于三角形 a c e 判定是边角边，那看这个图存在不啊？仍然存在，因为 a 对 等于 a， e 等于一， a b 等于 a c 等于三，还有一个公共角，所以还是边角边全等。那全等了之后呢？仿照了刚才我们还是去推角， 所以这俩点角相等，已知条件等于角 b、 a、 g 啊，这三个点角相等，那这三个点角相等之后，点加圈等于九十度，所以点加圈是九十度，所以这个 h 它就应该是一个直角， 那 h 是 直角，我们就可以发现，这三角形 a、 h、 c 是 不就是一个可解三角形 a、 h、 c 啊，它是直角 a、 c， 这里是三，而这个点角呢，是不是在 a、 e、 c 当中，正切值是三分之一，所以我们就可以求出来这个 a h 一比三比根号十，所以它是三，除以根号十，等于十分之三倍根号十啊，或者说啊， a、 e、 c 斜边上的高利用面积啊，都可以啊，啊，这是它，那 a、 h 求完了之后， 这里要求的是 gh， 那 这个 gh 如何求呢？我们观察一下啊，知道的是 a h， 它和 a h 共线吧，所以我们这个 gh 就 应该是 a 锥减去 a h， 那 这个 a 锥如何求呢？啊？我们可以借助前一种情况， 方法一啊，摇第一种情况，摇第一种情况的话，这个 a 锥，我们可以看到它应该是由 h 锥减去 h a， 而这个 h 锥的话，它是不等于 h c 啊，等于的是八分之九倍，刚好十，刚才算完了啊，而我们这个 h a 呢，是不是三 a， 我 们刚才也算出来这个 a 了吧，所以这个三 a 也知道啊，所以我们的 a 锥， 他就应该是啊 h 锥啊，八分之九倍根号十， 减去那个三 a， a 是 八分之根号十，所以减去八分之三倍根号十，所以就等于四分之三倍根号十啊，这是方法一啊，借助前面问号啊，借助前面的情况，那方法二， 我们要求这个 a 锥啊，你就不怕麻烦？再来一遍，那我们想求这个 a 锥的话，还是可以找 a 锥所在三角形去找相似或者解三角形。那此题我们还是解三角形 a 锥旋转角形应该是 a 锥 b， 所以 我们可以解三角形 a 锥 b， 而 a 锥旋转角形还有 a 锥 c， 所以 我们也可以解三角形 a 锥 c。 那看一下 a 锥 b 啊，能不能挤点儿角，是不等于这个点儿角，所以它是三分之一的角，然后我们还知道 a、 b， 这是三吧，知道一条边， 然后 a， b， c 等腰值有一个四十五度角，所以角边角，两个角，一个边可挤， 那还是将这两个角放到直角三角形当中，所以过锥去做垂直，然后方程思想，对吧？设这是 m 三 m 啊，这是 m 等腰值，所以四 m 等于三是不可以算的，对吧？好不多说啊。 然后 a 锥 c 也是一样的，知道这个角是不是在直角三角 a， e， c 啊， a， h， c 当中，所以这个圈角的正弦值应该是三吧。 啊，所以 a 锥 c 四十五度正切值是三个角，还有 a c 也可解啊，所以怎么做都行，这是 a 锥，那 a 锥求完了之后，所以我们的 h 锥，它就等于 a 锥减 a h， 再减去这个 a h 啊，是十分之三倍，根号十，所以最后的答案等于二十分之九倍，根号十啊，那这是我们此题的答案，那我们本次讲解就到这里了，拜拜。

我们北京初三的家长们，昨天呢说朝阳二模呢，考完了这份题目相对于朝阳一模来说，难度有所提升，整体难度呢，还是重规重矩，可作性非常强，灵活度适中， 非常适合在中考前演练一下。一定要让孩子吃透这套试卷，张老师今天带着大家主题拆解下这套题目。 首先选择题还是基础稳拿分，压轴题更注重几何的推理，前七个依旧是常规的基础考点，三式图数轴与实数范围、多边形内角和平行线角度计算、概率统计、科学技术法 尺规作图与几何计算知识点整体平和，认真审题呢，基本不会丢分。压轴题第八题明显更灵活，以正方形旋转为背景线段，考线段相等角度关系、三角形三边关系的判断。重点呢，考察几何的直观等量转化， 严谨结论来进行判断，也是张老师课上反复强调的，先抓对称再倒角，最后验证结论不平。感觉呢？ 不填控题基础为主，卡轴题考察积分最优逻辑匹配前面几道题同样是以基础为主，包括了分式有意义、因式分解、一元二次方程、判别式、反比类函数对称性、方差比较圆、内接四边形、矩形翻折的面积都是必拿分的题目。 压轴题第十六题延续了朝阳的特色，选手与环节的积分匹配，总分最大化，阅读量整体适中， 情境呢，相对比较清晰。但是呢，需要孩子认真耐心审题，有序匹配，优先选高分，不重复、不不遗漏的 考逻辑梳理和最优方案，心细有机会冲击满分解答题前五道基础盘必须拿到满分，整体变化不大，题型呢，依旧是非常稳定，我们一分也不能丢。十七题，实数的混合运算，根数负指数，零指数。 十八题，解一元一次的不等式组。十九题，整式的化简，求值条件的整体代入。二十题，四边形综合解直角三角形，没有复杂的辅助线，整体平稳。 这二十一题依次函数综合依旧是直线的旋转，数形结合平稳过渡。这部分是我们分数托底的，要保护好我们的基础分高冲高分才有底气。中间三道中档的解答题呢，总体来说需要我们更加细心一些。 首先分式方程的应用题等等量关系清晰，注意分式方程检验的步骤不能少。 统计综合依旧是中位数与平均数为主导，频数表中位数样本估计百分比的推断，信息提取要准，结论必须结合图表来进行描述。 圆综合切线的性质，指直角三角形与等腰三角形的三线合一是这块的重点，重点呢还是解直角三角形加上倒角的转化难度不大，但整体来说更加灵活。步骤一定要写全， 做好圆综合才能够为后边的题目做好承上启下。图探究在最后一问设置了一些小阻碍，不过大家需要做好准备以及更加专注。 最后三道压轴题是冲高分的关键，带中的难度稍大，己中与新定义整体在压轴题中难度适中。 首先代数综合这个题目的区分度比较高，题目描述的很抽象，需要具象化的图，但是整体来说是新函数求最值问题，但加入了比大小抛物线与直线数线的长度区间最直。临界分析， 紧贴中考的风格，数形结合分段讨论临界值，注意取等号是否可取。这个也是我们反复练的重点， 几何综合旋转加倍长、中线构造八字全等模型非常清晰，旋转加倍长、构造八字全等的联名，这也是咱们课上重点强调的思路，顺了速，能拿到高分。 最后就是我们压轴的新定义，依旧是多动态的轨迹问题，关关联图形最小，覆盖员坐标平移的规则。动态轨迹最值问题 阅读量大，尤其是在第二问、第三问，需要结合存在性轨迹最值问题。这个题的设计还是非常巧妙的，能够做到这的同学可以好好体会一下。这个最后的一问，整体来说呢，是朝阳二模考点全，比难度 比朝阳一模的难度要大，整体的难度呢，不规中矩阶段，适合孩子练手感检验状态的一套卷子，同时让孩子对照自查 基础题是否稳定不丢分，中档题的思路是否顺畅，步骤是否规范，压轴题呢，能拿到第几问？卡壳点在哪里，把漏洞找出来，针对性的进行补强。 需要这份朝阳二模的试卷的家长，敲朝阳二模我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，中考稳稳发挥，各位加油！