lnx分之一的求导过程

大家好，我是罗老师， no n x 的倒数是什么？ no n x 的倒数是 x 分之一。 好，我们来讲解一下这道题。咱们都知道， y 等于 log， 以 a 为 dx 的对数，当这里的底数 a 大于零，且 a 不等于一的时候，那这个函数它就是对数函数。 而对数函数他求导的结果有一个通用的公式，也就是 x 倍挪用 a 在分之一， 然后当这个底数 a 等于一的时候，那对数函数外就等于了落个以一为底 x 的对数。但我们通常不这样写，那我们写为 noranx。 此咱们就知道， nonx 的导数也就等于诺格以 e 为底 x 的导数。那利用这个公式呢？我们就可以得到 x 倍 non e 在分之一， 而这里的罗万一他就是一，所以结果就为 x 分之一。那这个就是罗万 x 倒数的推倒过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

大家好，我是罗老师， nonx 绝对值的导数等于什么？ nonx 绝对值的导数等于 x 分之一。好，我们这可以瘦 y 等于 nonx 的绝对值， 我们发现这个函数就是对数函数行，而他这里面含有绝对值，所以呢，我们就要对他进行化解， 也就是挪问 x， 那么这个时候的 x 呢，要大于等于零。好，如果 x 小于零呢？那咱们这就变成了挪问副 x 了，当 x 大于等于零的时候，那外呢，就等于挪问 x， 所以歪倒就等于罗恩 x 的倒数，也就等于了 x 分之一。好，当 x 小于零的 时候，那 y 呢，就等于 non fux， 那么我们发现这个函数它就是一个符合函数，对吧？那我可以令 t 等于 fux， 那 y 呢，就等于 non t， 而这个时候的 t 导，也就是负 x 的导数就等于负一，那这个歪倒也就是 low t 的导数啊，他就等于了 t 分之一，而 t 呢，他是等于负 x 的，所以这里就是负 x 四分之一， 那么这两个相乘起来，咱们就得到诺尔付 x 岛就等于 x 分之一。 所以你看，不管是 x 小于零的时候，还是 x 大于等于零的时候，咱们得到的啊，导数呢，都是 x 分之一， 也就说明罗恩 x 绝对值啊，他的这个导数就等于 x 分之一，这就是他的推倒过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

你好，看这道题，证明这个不等式。要证明这个不等式，最常规的做法，那就是以下 x 倍的一的 x 乘以减 x 减 l e， x 再减一，大于等于零。 然后把左侧的这个式子看成 fx， 再求导，再求最直。但是这个式子求导会让你求到生无可恋的程度， 那么有没有更好的方法来解决这个问题呢？我们可以考虑同构。什么是同构呢？也就是说构造左右两侧形式相同的式子， 那怎么构造呢？不等式的左侧是 x 乘以的 x 次密，而这个 x 它可以 等于 e 的老因 x 除米，它也可以等于老因 e 的 x 除米。 那用哪个？看具体情况，这是 x 乘 e 的 x 次密，显然我们要把这个 x 用 e 的烙印 x 次密给他替换了，替换以后，这个不等式，他就变成 e 的烙印 x 次密乘 e 的 x 次密大于等于 x 加烙印 x 再加一。 这两项同底数密相乘，底数不变，指数相加，那就是 e 的 x 加烙 e， x 次密大于等于 x 加烙印 x 再加一。现在你看这两个式子一模一样，这就是同构。那么我们就令 x 加烙印 x 等于 t， 那它就变成 e 的 tea 次密大于等于 t 加一， 这个不等式成立。原不等式就成立，而这是一个非常重要的不等关系。要证明这个不等式成立，我们再一项 e 的 t 次密减 t 再减一，大于等于零，然后令 f t 等于 e 的 t 次密减 t 再减一。现在我们要做的就是求 f t 的最小值，如果它的最小值都大于等于零，那么这个式子就大于等于零，那要求它的最小值先对它求导 f 撇 t 就等于一的 t 次密，再减一。 这就非常简单了，当 t 小于零的时候，倒函数为负，圆函数单调递减。 当 t 大于零的时候，到函数为正，原函数单调递增。也就是说， ft 的图像大约就是这样先减后增，然后在零处 取了一个极小值，而这个极小值就是最小值。 f 零，它等于零。也就是说 f t 的最小值是零，那么 f t 它大于等于零， 这个式子大于等于零，这个不等式成立，圆不等式成立。

一加 long x， 比上 x 乘以 long x 平方做积分，分子是一加 long x， 中间是加号，所以咱们可以想到是不是乘法的导数法则。而且看分母， x 乘以 long x 是 一个乘法的形式，咱们先试着把它求倒， 正好是 long x 加一。其实这个导数可以记住，在关于 long x 的 积分中经常会用到测微分。 而右边这个式子呢，分子是一减，减就是除法的导数法则。那除法的话，咱们先来试试 let x b x 它求导之后是什么呢？ 是分子除以了 x 方，所以分子除以 x 方，分母也得除以 x 方， 分母有加一，所以分子也给加个一，在 d 后面加一等于没加。 感谢大家的关注！

预备开始大学数学救命课第六期，今天我们来说一下复合函数求导，这一期的内容主要就是对高中知识的一个延续，基础特别好的同学可以直接把这一期跳过来。我们直接说正题核心的核心，大家就是从最简单的函数开始设 好吗？老师再说一遍，从最简单的函数是 l n x 设， 小 t 等于 long x 好， 我直接针对 x 求到。 t 和 x 相比， x 是 下级， t 是 上级，那我针对 x 求到完，是 x 分 之一。 好，那接下来这个函数变成啥了呢？哎，根号里掏。哎，一加 t 方，我设这一堆等于 u， u 是 上级， t 是 下级，我针对 t 求到，得到了二 t， 最后我得到了 y， 等于根号下 u， 也就是 u 的 二分之一。次方，我针对 u 求到，因为 y 是 上极， u 是 下极，最终得到了这个 好，最终结果啊，我把这三坨东西给它乘起来，就是这最终的正确答案啊，就完事了。这个 dy 比 d x 跟 y 一 撇没有任何区别。好，最终结果就是这个 好，那最后一步，我们要把这个 t 啊， u 啊，都还原成跟 x 相关的东西。好，简单整理一下， t 是 long x， 所以 x 分 之一成 long x， u 是 这个一加 t 方啊，也就是 根号下一加上 lo x 括号的平方。好的，这就是最终的正确答案好吗？哎，还是那句话，从最简单的函数开始设啊，然后呢？哎，扩展到外头啊，然后最 扩展到最外面啊，就完事了好吗？来，我们再看一下例题。二，还是从最简单的函数开始设这个 t 等于三， x 是 下几，所以针对 x 求到，得到了这个， 然后外头变成了 long t， 我 针对 t 求到变成了 t 分 之一。 ok 啊，前半部分这个函数就求到结束了，哎。然后把这两部分相乘，就是最终的正确答案，也就是 cos 除以 t。 记得把 t 还原成最终的 x， 也就是 cosine x， 也就是 cosine x。 好， 后面这个东西不是符合函数这个东西，把它变成 x 的 次方形式是 x 的 二分之三次方， 这个东西求导完了之后，变成二分之三倍的 x 的 二分之一次方。这个结果啊，加上这个口探间的 x 就是 最终答案好吗？来，再看一下例题三，这个更复杂，但是无论多复杂，我们说都从最简单的函数开始，最简单的函数是这个 e 的 指数，我们就利用 t 等于负 x 的 平方， t 是 上级， x 是 下级，所以针对 x 求导得到了负二 x， 然后一点一点的往里头来啊，紧接着啊，是不是这个外面就是 e 的 t 次方啊？我们设 u 等于 e 的 t 次方， u 是 上级， t 是 下级，所以我们针对 t 求到得到了这个。 紧接着啊，这一团东西是不是 u 啊？再往前，那是不就是口算 u 了呀？我们设 w 等于口算， u 是 上级，所以我们针对 u 求到得到了这个 最后一步啊，到最外面了， y 是 不是 y 等于 lo n w y 是 上级， w 是 下级，所以针对 w 求到得到了这个好，把这四坨结果乘到一起，就是最终的正确答案。好，简单整理一下 好，还是那句话，这个所有不是 x 的 字母最终都要往 x 上靠啊， t 先从 t 开始，所以说把这个 t 换成负 x 的 平方啊，把这个 u 换成 e 的 t 次方啊， e 的 t 次方，进一步往前换，也就是 e 的 负 x 的 平方。 w 啊， w 是 cosine u 啊，也就是把这堆玩意换成 cosine u 是 什么呀？ u 在 这呢啊， e 的 t 字旁。哎，再往前来，换成了这个就完事了好吧。嗯，非常非常简单啊，这个最终就是正确答案。简单整理一下，就是得到了这个。 ok 啊，来，我们接着看一下例题四，还是那句话，我们从最简单的函数开始。最简单的函数是谁呀？哎，是 sin x， 所以 我们利用 t 等于 sin x， t 是 上级， x 是 下级，针对 x 求导得到了这个， 然后进一步扩展，括号里头的东西变成了 t 方加一，是不是我设这一堆东西等于 u， u 是 上级， t 是 下级， 针对 t 求到得到的这个好，进一步往外面扩展，最终 y 等于 r 弹进它， u， y 是 上级， u 是 下级，所以针对 u 求到得到了这个， 所以把这三坨东西相乘，就是最终的正确答案。但是要把这个 t 和 u 最终换成 x 的 形式，一点点来啊，把 t 等于三， x 往这里带，然后把 u 的 t 方加一往这里带，最后把 t 换成三 x 就是 最终答案。最终结果就是这个 一点点来啊，然后把这个 t 再换成 sine x 就 可以了，就是正确答案。来，再看最后一个，我们说从最简单的开始，谁是最简单呀？ x 方啊，令 t 等于 x 方， t 是 上极， x 是 下极，针对 x 求导得到了这个， 然后紧接着啊，再往外头一点点扩展啊，是不就是 sine t 啊？我们设 u 等于 sine t， u 是 上极， t 是 下极，所以说得到了这个， 然后再最后再往外面扩展，就是 e 的 u 四方啊， y 等 e 的 u 四方， y 而上级， u 而下级，所以针对优求道得到了这个，把这三坨东西成完啊成在一起就是最终的正确答案。还是那句话，一定把这个 t 也好， u 也好换成最终跟 x 相关的东西，也就是这个样子。 好。所以说总结下复合函数的求导核心的核心就是从最简单的函数开始一点一点设啊，这个针对下节函数一点点求导，然后最终把这个这些结果给它乘起来，就是复合函数的求导。

导出压轴，别硬算，看到一加 lo in x 直接秒出答案！这道网红题要证！当 x 大 于一的时候，不等式成立！ 很多同学一上来就构造函数求导，一直算到崩溃。记住，看到一加 lo in x 直接合二为一，它就是 lo in x。 我们把只对分区在两侧，注意看左边真数是 e x， 右边也含有 e x， 为了结构相同，把右边的 e x 除过来。关键来了，把它作为一个整体，替换对数横等式当中的 x， 再把他俩看成整体，左右结构就完全相同了。我们直接构造函数熟悉吗？他就是六大超越函数之一，此值不等式就完美的转化为 这就是同构的魅力，一步到位。因为这个超越函数在 t 大 于一的时候单调进减，所以要证函数值大，只需证明自变量变小，会证吗？别急， 左边一拆开，立马变成了经典不等式。这是我们的分析过程，详细证明过程，自己写下加深印象。总结一下，看到 e 加烙印 x 就 像烙印 e x， 看到 t 比上 e 的 梯次方就像同扣。

倒数变积分，如果你十秒做不出来，那你今年别考了，我们来看一下，它是一个有理分式，那我们有理分式可以进行列项，那里面可以列成 x 分 之一，减去，一加上 x 的 平方，分之 x 括起来，然后 d x， 那直接我们可以写这个 x 分 之一，它的原函数就是 long x 的 绝对值再减去，那这部分呢？我们要进行凑微分，那它就变成了一加上 x 平方分之一，把 x 凑到 d 后，那就变成了 d x 的 平方，那前面要配一个二分之一，那为了和分母保持一致呢？我们要加上一个一， 那直接可以写答案，就是 lone， x 的 绝对值减去二分之一倍的 lone， 一 加上 x 的 平方的绝对值，加上 c， 那 这里呢？一为一加上 x 的 平方，它是恒大于零的，所以说我们这里的绝对值可以写，直接写成括号，那就是二分之一 lone 一 加 x， 平方加 c， 你 学会了吗？

看到的 n x 求导别犹豫，直接写一 x， 简单到离谱，出题老师都不好意思为难你，这分你不拿真的亏到家。

这道经典易错题，百分之九十的同学答案都是一，那它是错误的，正确答案是什么呢？我们一起看一下。当 x 趋向于正无穷的时候，先判断一下道极限的类型，它是属于一个无穷比，无穷型求极限。 那我们看一下无穷比无穷，百分之九十的同学第一反应是不是会用洛必达分子分母分别求导，但是我们看一下这个分母求导比较复杂，所以说我们看一下分母可以化简成什么样的形式，它可以整理成 e 的 x 平方乘以零 一加 x 分 之一，那分子还是 e 的 x 次方，那这个时候我们看一下，它是同底数密相除，底数不变，指数相减，那就变成了 这种形式。好，接下来我们就是对它进行求极限，那我们可以变换成 e 的 limit x 趋向于正无穷，把这个 x 平方提出来，那括号里面就剩了一个 x 分 之一，减去 line， 一 加上 x 分 之一。好， 这个一部分呢，我们可以直接等价无穷小，那就变成了 e 的 limit x 趋向于正无穷 x 平方，它可以等价无穷小为二分之一乘以 x 分 之一括起来的平方。那答案直接就是 e 的 二分之一次方，你学会了吗？

导数压轴题不会放缩卡在第一步拿不到分，今天教你导数放缩灵魂不等式第一关，对数切线放缩， 证明对数小于等于 x 减一。我们来看动画，画出对数函数 l、 n、 x 的 图像，在点一零处做一条切线，切线方程刚好就是 y 等于 x 减一。你看对数曲线永远被这条切线死死压在下面，这就是传说中的切线放缩。 代数上怎么严谨证明构造函数 f x 等于 l， n x 减 x 加一。求导导数化简后等于某分之一减 x， 在 零到一之间递增，再大于一时递减最大值在 x 等于一处取得，算出来最大值刚好是零， 所以这整个函数永远小于等于零，这不就秒出了 l、 n x 小 于等于 x 减一吗？及其严谨， 下期预告，如果换成指数放缩， e 的 x 次方大于等于 x 加一，又该怎么挣呢？关注我，带你解锁十五个导数放缩大招，点赞收藏起来吧！