lnx分之一的求导过程

大家好，我是罗老师， noran 括号一加 x 平方，求导的结果是什么？ noran 括号一加 x 平方，求导结果是一加 x 平方分之二 x。 好，我们来讲解一下这道题。咱们瘦 y 等于 non 括号一加 x 平方，它就是一个符合函数，所以我们要对它求导就要用到换元法。那另 u 等于一加 x 平方，则 y 就等于 low n u， 所以 u 的导数就是一加 x 平方的导数，也就等于了二 x， 而 y 的导数也就是 lon， u 的导数也就等于 u 分之一，而 u 又等于一加 x 平方，所以我们 还原为一加 x 平方分之一。那最后这个符合函数挪问括号一加 x 平方，他的这个导数啊，就等于了 一加 x 平方分之一乘二 x， 也就为一加 x 平方分之二 x。 有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见！

lo、 n， x 的 导数等于多少呢？如果没有思路，那就回归导数的定义吧，这绝对是你值得信赖的切入点。观察式子，分子出现两个同底的对数相减，底数不变，真数相除。 接下去怎么做呢？只能尝试着变形，走一步看一步，除以德尔塔 x 等于乘以它的倒数。再利用对数的密运算法则，将德尔塔 x 分 之一提到指数的位置。接着看还有没有什么可以变形的。继续尝试，拆成两个分式相加， 第一个分式等于一，这时候你的脑海中一定浮现出第二个重要极限，我们就朝着这个目标去尝试。采用换元法，令德尔塔 x 除以 x 等于 t， 当德尔塔 x 趋近于零时， t 也趋近于零，因为分子趋近于零，整个分式就趋近于零。 反解除德尔塔 x， 代入表达式。如果对第二个重要极限不熟悉的话，可以再对比一下，还需要对指数进行拆分。接着根据对数的密运算法则，将 x 分 之一提到系数的位置。接着根据极限的四则运算法则， 将 x 分 之一提到极限符号外面。又因为内部函数的极限存在，外部函数在极限点连续，所以对数符号可以和极限符号对调位置。这时就可以使用第二个重要极限了。 将一代入 l、 a、 e 就 等于一，最后求导的结果就等于 x 分 之一。下面给出参考过程，大家可以自己推导一遍。

大家好，我是罗老师， no n x 的倒数是什么？ no n x 的倒数是 x 分之一。 好，我们来讲解一下这道题。咱们都知道， y 等于 log， 以 a 为 dx 的对数，当这里的底数 a 大于零，且 a 不等于一的时候，那这个函数它就是对数函数。 而对数函数他求导的结果有一个通用的公式，也就是 x 倍挪用 a 在分之一， 然后当这个底数 a 等于一的时候，那对数函数外就等于了落个以一为底 x 的对数。但我们通常不这样写，那我们写为 noranx。 此咱们就知道， nonx 的导数也就等于诺格以 e 为底 x 的导数。那利用这个公式呢？我们就可以得到 x 倍 non e 在分之一， 而这里的罗万一他就是一，所以结果就为 x 分之一。那这个就是罗万 x 倒数的推倒过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

预备开始大学数学救命课第六期，今天我们来说一下复合函数求导，这一期的内容主要就是对高中知识的一个延续，基础特别好的同学可以直接把这一期跳过来。我们直接说正题核心的核心，大家就是从最简单的函数开始设 好吗？老师再说一遍，从最简单的函数是 l n x 设， 小 t 等于 long x 好， 我直接针对 x 求到。 t 和 x 相比， x 是 下级， t 是 上级，那我针对 x 求到完，是 x 分 之一。 好，那接下来这个函数变成啥了呢？哎，根号里掏。哎，一加 t 方，我设这一堆等于 u， u 是 上级， t 是 下级，我针对 t 求到，得到了二 t， 最后我得到了 y， 等于根号下 u， 也就是 u 的 二分之一。次方，我针对 u 求到，因为 y 是 上极， u 是 下极，最终得到了这个 好，最终结果啊，我把这三坨东西给它乘起来，就是这最终的正确答案啊，就完事了。这个 dy 比 d x 跟 y 一 撇没有任何区别。好，最终结果就是这个 好，那最后一步，我们要把这个 t 啊， u 啊，都还原成跟 x 相关的东西。好，简单整理一下， t 是 long x， 所以 x 分 之一成 long x， u 是 这个一加 t 方啊，也就是 根号下一加上 lo x 括号的平方。好的，这就是最终的正确答案好吗？哎，还是那句话，从最简单的函数开始设啊，然后呢？哎，扩展到外头啊，然后最 扩展到最外面啊，就完事了好吗？来，我们再看一下例题。二，还是从最简单的函数开始设这个 t 等于三， x 是 下几，所以针对 x 求到，得到了这个， 然后外头变成了 long t， 我 针对 t 求到变成了 t 分 之一。 ok 啊，前半部分这个函数就求到结束了，哎。然后把这两部分相乘，就是最终的正确答案，也就是 cos 除以 t。 记得把 t 还原成最终的 x， 也就是 cosine x， 也就是 cosine x。 好， 后面这个东西不是符合函数这个东西，把它变成 x 的 次方形式是 x 的 二分之三次方， 这个东西求导完了之后，变成二分之三倍的 x 的 二分之一次方。这个结果啊，加上这个口探间的 x 就是 最终答案好吗？来，再看一下例题三，这个更复杂，但是无论多复杂，我们说都从最简单的函数开始，最简单的函数是这个 e 的 指数，我们就利用 t 等于负 x 的 平方， t 是 上级， x 是 下级，所以针对 x 求导得到了负二 x， 然后一点一点的往里头来啊，紧接着啊，是不是这个外面就是 e 的 t 次方啊？我们设 u 等于 e 的 t 次方， u 是 上级， t 是 下级，所以我们针对 t 求到得到了这个。 紧接着啊，这一团东西是不是 u 啊？再往前，那是不就是口算 u 了呀？我们设 w 等于口算， u 是 上级，所以我们针对 u 求到得到了这个 最后一步啊，到最外面了， y 是 不是 y 等于 lo n w y 是 上级， w 是 下级，所以针对 w 求到得到了这个好，把这四坨结果乘到一起，就是最终的正确答案。好，简单整理一下 好，还是那句话，这个所有不是 x 的 字母最终都要往 x 上靠啊， t 先从 t 开始，所以说把这个 t 换成负 x 的 平方啊，把这个 u 换成 e 的 t 次方啊， e 的 t 次方，进一步往前换，也就是 e 的 负 x 的 平方。 w 啊， w 是 cosine u 啊，也就是把这堆玩意换成 cosine u 是 什么呀？ u 在 这呢啊， e 的 t 字旁。哎，再往前来，换成了这个就完事了好吧。嗯，非常非常简单啊，这个最终就是正确答案。简单整理一下，就是得到了这个。 ok 啊，来，我们接着看一下例题四，还是那句话，我们从最简单的函数开始。最简单的函数是谁呀？哎，是 sin x， 所以 我们利用 t 等于 sin x， t 是 上级， x 是 下级，针对 x 求导得到了这个， 然后进一步扩展，括号里头的东西变成了 t 方加一，是不是我设这一堆东西等于 u， u 是 上级， t 是 下级， 针对 t 求到得到的这个好，进一步往外面扩展，最终 y 等于 r 弹进它， u， y 是 上级， u 是 下级，所以针对 u 求到得到了这个， 所以把这三坨东西相乘，就是最终的正确答案。但是要把这个 t 和 u 最终换成 x 的 形式，一点点来啊，把 t 等于三， x 往这里带，然后把 u 的 t 方加一往这里带，最后把 t 换成三 x 就是 最终答案。最终结果就是这个 一点点来啊，然后把这个 t 再换成 sine x 就 可以了，就是正确答案。来，再看最后一个，我们说从最简单的开始，谁是最简单呀？ x 方啊，令 t 等于 x 方， t 是 上极， x 是 下极，针对 x 求导得到了这个， 然后紧接着啊，再往外头一点点扩展啊，是不就是 sine t 啊？我们设 u 等于 sine t， u 是 上极， t 是 下极，所以说得到了这个， 然后再最后再往外面扩展，就是 e 的 u 四方啊， y 等 e 的 u 四方， y 而上级， u 而下级，所以针对优求道得到了这个，把这三坨东西成完啊成在一起就是最终的正确答案。还是那句话，一定把这个 t 也好， u 也好换成最终跟 x 相关的东西，也就是这个样子。 好。所以说总结下复合函数的求导核心的核心就是从最简单的函数开始一点一点设啊，这个针对下节函数一点点求导，然后最终把这个这些结果给它乘起来，就是复合函数的求导。

大家好，我是罗老师， nonx 绝对值的导数等于什么？ nonx 绝对值的导数等于 x 分之一。好，我们这可以瘦 y 等于 nonx 的绝对值， 我们发现这个函数就是对数函数行，而他这里面含有绝对值，所以呢，我们就要对他进行化解， 也就是挪问 x， 那么这个时候的 x 呢，要大于等于零。好，如果 x 小于零呢？那咱们这就变成了挪问副 x 了，当 x 大于等于零的时候，那外呢，就等于挪问 x， 所以歪倒就等于罗恩 x 的倒数，也就等于了 x 分之一。好，当 x 小于零的 时候，那 y 呢，就等于 non fux， 那么我们发现这个函数它就是一个符合函数，对吧？那我可以令 t 等于 fux， 那 y 呢，就等于 non t， 而这个时候的 t 导，也就是负 x 的导数就等于负一，那这个歪倒也就是 low t 的导数啊，他就等于了 t 分之一，而 t 呢，他是等于负 x 的，所以这里就是负 x 四分之一， 那么这两个相乘起来，咱们就得到诺尔付 x 岛就等于 x 分之一。 所以你看，不管是 x 小于零的时候，还是 x 大于等于零的时候，咱们得到的啊，导数呢，都是 x 分之一， 也就说明罗恩 x 绝对值啊，他的这个导数就等于 x 分之一，这就是他的推倒过程，有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

好，我们先看一下第一个题， y 呢，是一个孬 n x， 说在 e 到 e 之上，验证这个拉格朗氏中的定义，那么孬 n x 啊， e 到 e 啊，是属于定义域里头可导性跟连续性啊，你是不用证的，但是你得写一句， f x 等于孬 n x b 区间呢，是连续在开区间啊，可导写一句就行。 在拉多项中的定律，对于两个端点的函数之相等是没有要求的，那就可以开始说了。我们先来求一下它的导，劳恩 x 求导是个 x 分 之一，那么存在和塞属于一到一，注意，一到一得写着开呢，舍得 f 和塞一撇，那咱直接上公式了，是个 f e 减 f e e 减 e， 那这个是公式，所以说这个公式啊，它的这个形式啊，我记是比较好记，那就朝里代呗。那么劳恩 e 呢，是个一，一呢，是个劳恩 e 其实是个零，但它其实是一个 e 减一分之一，那这个 f 可赛一撇，咱也别客气了。为什么呢？因为这个导数，这不是有了吗？你这个可赛啊，那就是 x 用可赛给它代替的。在这个可赛啊，就是一个 e 减一， 那就行了。那么 e 减一啊，它是在一到 e 这里边，也挺好理解的，因为这个 e 不是 个二点几，减一不就是一点几？那就行了，看下第二，正当 x 大 于零之时，有这样的一个不等。 那么这个用拉格朗的助推定律做题的过程中，它其实有两个问题，第一个就是函数取谁？我们打眼看一下这个式子，我们猜呢，这个函数啊，应该是取的劳恩，第一个问题取这个函数， 第二个就是 a 到 b， 是 a 到 b 的 区间呢，它在解题的过程中啊，有的题是有很明确的线索，当然有的题写的零到一，那就是零到一，这个题没有 x 大 于零，零呢，我们用一下另外一个点，就是 x， 所以 我们是在零到 x 之上，用的拉格朗的助推，那么这个函数呢，我们就用的劳恩。其实啊，咱这个题啊，咱们写啊，其实不是很合理。 什么呢？因为你这个 x 啊，你写成零到 x， 这个 x 的 确是个变化，但是写成 x 以后啊，这个地方，其实这个 x 啊，它就是个固定，那么你这个函数呢，其实你再用 x 啊，其实就会导致这个混乱，其实这个函数啊，咱用一个 t， 那 你零到 x 之上，哎，你这个函数是个 t 的， 和 x 就 没有关系，这样的话就能够避免歧义，不是吗？那咱就用拉格朗中定义吧，可导性，联域性啊，咱们说了，我先求它的导 呗，拉格朗中定义的公式，那我这个 f 一 撇啊， 不是有了吗？你这里不是 cosine 吗？那这个地方就是个一加 cosine 分 之一呗，我直接把 cosine 带你。那就上那个公式呗，拉拉公式定律，那个公式，这个是从零到 x， 那 就是个 f x 减 f 零， x 减零，那就来呗，这个 x 就 x 呗， f x 它就是个 lo n 一 加 x 呗，减 f 零，零，这里的就是个零，那就是个 lo， 一 lo 一 是个零，我不写了， 我们得到了奖励一个式，那这个地方这个式写到这啊，其实就写不动了，那这个地方我们在考察这个克赛，因为克赛啊，从零到 x， 这克赛是个大于零小于 x。 你 这个地方不有克赛加一吗？那我就克赛加一呗，大于一小于 x 加一，就是在这三边 都加一呗，那都加一，不等号是不改变方向，怎么那么这俩都大一，那就正的，正的我都给他倒过来正的，因为我一定要强调它是正的啊，因为它如果是负的话，负的就不一样了，原来都是小于，现在就是大于，那现在出现了什么式子呢？可再加一分之一，这不是这个式子吗？这个式子不是等于这个式子吗？我们把这个式子替换到中间，就是一个一大于 n 一 加 x， b x 再大于一 x 加， 那和你最终的这个结果就很像了，为什么呢？最终这条 l n 一 加 x 啊，它的分母上是没有 x 的， 你这块分母有 x， 你 好办，这个乘以 x， 这个乘以 x 不 就行了吗？所以最终就是 l n 一 加 x 就 大于 x， 比 x 加上一，那么小于 x， 那 还是那句话，因为它原来这个 x 是 一个大于零的， x 是 个正的，所以我刚才是不是在这三边同时乘以 x 啊？同时乘以一个正号，不等号是不改变方向的，所以不等号是维持原来的，这是证明 不等式的。这个部分用这个拉格朗的中值。好，我们看一下， x 大 于零，小于 pi 的 时候说三 e x 比 x 是 大于口，三 e x， 那 么在这个地方我们也是第一先确定它的这个函数啊，这个函数其实我们猜的，我们假设它这个函数呢，是一个三 e x， 用这个函数在哪个区间之上呢？在这个零到 x 之上，用拉格朗中值，并且呢要求这个 x 大 于零小于 pi 的， 那么这时候还是，哎，我们为了能让大家区别的更清楚一点，我们把这里的这个 x 是 大于零，小于 pi 的， 那么这时候还是，哎，我们为了能让大家区别的更清楚一点的，因为它都是光滑的 问题，并且拉个懒人中的定律也没要求它两个端点函数是相同，所以可以用。那我们就先来求导呗，三印求导就是个口三印，那么存在可塞是属于零到 x， 指的什么呢？ f 可塞一撇， 因为这个 f 一 撇就是口塞一 t 嘛，你这个可塞朝里带，那就是个 q， 三印可塞呗，等于什么呢？等于它右边那个公式， f b 减 f， a 比上 b 减 a， 那 我们不是从零到 x 吗？那就是个 f x 减 f， x 减 f 零，零朝里带是个三 a 零，它就是个零，所以它这个式子就变， 那也就是说这个三 in x 比 x， 不是 等于这个 cosine cosine 吗？这不是咱得到这个式子，那我们再比一比啊，这很接近了，为什么呢？这个式子有了，我们只要证明它能大于 cosine x 就 行，那也就是说 cosine cosine 大 于 cosine x， 那 这个好整啊， 为什么呢？因为 cosine 的 图呢，是这么个图啊，这个地方是个 pi， 它的这个 x 啊，是从零到 pi 之间啊，比方说咱的这个 x 取这啊，零到 pi 取 x， 那 你这个 cosine 呢？是在零到 x 之间，假设这个 cosine 啊，是在这， 因为这个 cosine 啊，是大于零，小于 x， cosine 比 x 小。 这个 cosine 这个图在零到派之间是不是单调减的呀？它比它小，它比它大，单调减，那不就行了，对不对？就是这个题目。

你好，看这道题，证明这个不等式。要证明这个不等式，最常规的做法，那就是以下 x 倍的一的 x 乘以减 x 减 l e， x 再减一，大于等于零。 然后把左侧的这个式子看成 fx， 再求导，再求最直。但是这个式子求导会让你求到生无可恋的程度， 那么有没有更好的方法来解决这个问题呢？我们可以考虑同构。什么是同构呢？也就是说构造左右两侧形式相同的式子， 那怎么构造呢？不等式的左侧是 x 乘以的 x 次密，而这个 x 它可以 等于 e 的老因 x 除米，它也可以等于老因 e 的 x 除米。 那用哪个？看具体情况，这是 x 乘 e 的 x 次密，显然我们要把这个 x 用 e 的烙印 x 次密给他替换了，替换以后，这个不等式，他就变成 e 的烙印 x 次密乘 e 的 x 次密大于等于 x 加烙印 x 再加一。 这两项同底数密相乘，底数不变，指数相加，那就是 e 的 x 加烙 e， x 次密大于等于 x 加烙印 x 再加一。现在你看这两个式子一模一样，这就是同构。那么我们就令 x 加烙印 x 等于 t， 那它就变成 e 的 tea 次密大于等于 t 加一， 这个不等式成立。原不等式就成立，而这是一个非常重要的不等关系。要证明这个不等式成立，我们再一项 e 的 t 次密减 t 再减一，大于等于零，然后令 f t 等于 e 的 t 次密减 t 再减一。现在我们要做的就是求 f t 的最小值，如果它的最小值都大于等于零，那么这个式子就大于等于零，那要求它的最小值先对它求导 f 撇 t 就等于一的 t 次密，再减一。 这就非常简单了，当 t 小于零的时候，倒函数为负，圆函数单调递减。 当 t 大于零的时候，到函数为正，原函数单调递增。也就是说， ft 的图像大约就是这样先减后增，然后在零处 取了一个极小值，而这个极小值就是最小值。 f 零，它等于零。也就是说 f t 的最小值是零，那么 f t 它大于等于零， 这个式子大于等于零，这个不等式成立，圆不等式成立。

一加 long x， 比上 x 乘以 long x 平方做积分，分子是一加 long x， 中间是加号，所以咱们可以想到是不是乘法的导数法则。而且看分母， x 乘以 long x 是 一个乘法的形式，咱们先试着把它求倒， 正好是 long x 加一。其实这个导数可以记住，在关于 long x 的 积分中经常会用到测微分。 而右边这个式子呢，分子是一减，减就是除法的导数法则。那除法的话，咱们先来试试 let x b x 它求导之后是什么呢？ 是分子除以了 x 方，所以分子除以 x 方，分母也得除以 x 方， 分母有加一，所以分子也给加个一，在 d 后面加一等于没加。 感谢大家的关注！

这种有理函数积分用什么方法做最快呢？那就是凑为分，非常简单，三步就可以做出来。咱看这题。首先第一步观察分母，看分母的倒数是不应该是二 x 加二。那么好，第二步就去凑这个为分，分子是 x 加三呢？那我给他分子乘二，整个前面乘二分之一是不就行了？ 那变成二分之一，分母分之二， x 加六，然后把这二 x 加六给它拆开，变成分母分之二， x 加二，加上分母分之二，然后给它一凑，变成二分之一， x 方加二， x 加五分之一， d x 方加二， x 加五，后边那个给变成二倍的 x 加一，平方加四分之一，然后 d x 加一。 最后第三步，直接用基本的积分公式就秒了，那就是二分之一 line， x 方加二， x 加一，再加 c， 搞定。 ok， 那 再来一个一样搞呗。这个看分母导数是二 x 加二，分子是二， x 减一，那我给分子加个二，再减三呗。然后分数一拆开一凑，就变成 x 方加二， x 加二分之一， d s 方加二，减去三倍的 x 加一的平方加一分之一， d s 加一， 然后基本积分公式，一积，那就是 line， x 方加二， x 加二，减去三倍的阿根廷的 s 加一，加 c， 又秒了。