lnx麦克劳林公式推导

大家好，今天我们就来讲一下泰勒公式和麦克劳令公式，那什么叫泰勒公式呢？你来看啊，这讲内容分两部分，第一部分的话就是简单介绍一下这个泰勒公式和麦克劳令公式。第二部分的话，还得讲一下这个泰勒中式定理，还有拉格朗有一项究竟是什么东西。咱们先来看这个第一部分吧。 第一部分的话说这个态度定理啊，那什么叫态度定理呢？来看了，如果说函数 fx 再点 x 零处，由 n 阶倒数，你有 n 阶的话呢？ n 减一减二减二减零就都有了，对吧？然后那么就会有怎样的一个结论呢？ 那么就会有这样一个结论，这个结论指的是 fx 等于 fx 零，这个 fx 零指的是某一个点处 x 零，这个点处的函数值啊，这个带 x 的部分才是这个变量的啊， x 零是一个确定的值啊，然后这个 x 是一个变量，一定注意这一点， 然后就等于。哎呦，后边还是挺有意思的。二，那如他中间如果再继续往后写第一项，第二项，第三项，那接下来要写的话，那就是三的阶层分支 f 三街道的书，我就写成片片片 x 零。好，那后边是不是还得依据这样一个规律，还得写成 x 减 x 零或者三次方，懂了吧？那继续往后他有 n 接的话，但是究竟有没有 n 加一接，人家没说，所以后边的话，如果有 n 加一接，你可以一直往下洗啊。 嗯，但是如果再往下没有 n 加一阶倒数的话，那就只能写成这样一个鱼像的形式了。那究竟这个 rnx 究竟是什么东西呢？咱现在就告诉你啊， 这个后边啊， x 这个知道叫什么符号吧？这不就是一个无穷小量的意思吗？我写一下，其实这个就叫 fx 无穷小亮，他要这么写的话，那就指的是 x 减 x 零这样一个 n 次方 这样一个函数的无穷小量。好了，这是一个无穷小。那继续来说，那公式一的话就称为什么？实际上我想说的这个 r n x， 他指的他的名字叫做佩亚诺鱼像，知道这个佩亚诺是一个名字就行了啊， 然后称为带佩亚诺鱼像的泰勒公式。原来这个公式就叫泰勒公式啊，然后具体来说的话，就要带佩亚诺鱼像的泰勒公式，那有些时候用的还是挺多的，如果说哈，如果说我只保留这个前两项的话，咱们你喝一下啊， fx 等于 fx 零，加上 f 片 x 零，然后 x 减去 x 零，因为你后边很可能还有这个鱼像，对吧？所以我们暂时先写上这个约，等于你和了一下，就接近了一下。那我要再写的话，很多同学就知道了，你这个 fx 就是 y， 嗯，我这个 y 零，这个 x 零， fx 零的话，我不妨就写成这个约等于什么？约等于外零，给我移过来呗。外减外零等于，这个不就是某一店主的什么切线的意义，不就是斜率吗？ k x 减 x 零，我的天呐，所以呢，他经常利用这样一个 精确到哪，精确到一些导数的部分，经常来这样一个线性的礼盒，这个用的是非常多的，在数学分析里头，经过这样的线性礼盒之后呢，可以大大降低数学分析的难度，你到之后学数学分析自然而然就明白了。 那好，继续往后，接下我们就要证明一下这个态度定理了，那怎么去证明这样一个态度定理呢？告诉大家，实际上呢，并不难证明，我们需要这么来写，主要是想证明啊，这个 rnx 他是一个无穷小量，是关于什么呢？是关于这样一个 x 减 x 零 n 次方的无穷小量。嗯， 怎么去写？咱们一步一步来啊，那我就写这样画横线的部分啊，前头就写成什么，写成这样一个耒合的符号啊，这样一个求和，求和的话，这个求和下标是多少？那我就写成 i 等于零啊，因为是从这个零接到数，从原原函数开始写的， 然后 i 的切成分支 f 哦 i 街道数所对应的 x 零处的 ij 导数，然后再写 x 减 x 零 i 次方。好，这么来写， 那这么来写的话，那所以说呀，我这个 rnx 不就相当于 fx 减去红色的部分，红色部分我们就写成这样一个求和的部分啊，我指的是红色的部分，所以说这个 rnx 是不是变成这个样子了呀？当然需要注意的是一点什么呢？ 我们其实在中间是规定了，规定这个零阶岛数十项就是圆函数本身这个是已经规定好了，并且规定什么呢？规定这 零的接成，它本身就是等于一的，这样的话就符合要求了。那么我们再继续往下写啊，当你写出这个样子来以后，接下来我们是不是只需要证明什么？ 我们接下来只用证明，因为你是想证明后边他是谁的，是这样一个 x 键 x 零 n 次方的无情小量。无情小量的定义不就是写我们上边是不是可以一直去求到的呀？然后下边也可以一直去求到的呀？而且上边和下边都是当 x 去运用 x 零时候，都什么 啊？无穷小亮，所以说无穷小亮比上无穷小亮。零比零的性质，你看左边是不是零比零啊？他是一个零，既然符合零比零的不定时的话，那接下来是不是要利用诺贝达法则？诺贝达法则我们一直求道嘛，对不对？ 左边我就直接写了画圈部分呢，整体我就写成左边这个狮子了，左边这个狮子一接倒数，二接倒数，一只写到多少？一只写到 n 接导书我就一直写下去了，我省略了很多东西的啊。下边你经过 n 次求逃，第一次求导的话是 n 乘 x 减 x， 零的 n 减一次方，那第二次求的话就变成了 n 成什么？ n 乘 n 减一，再乘 x 减 x， 零的 n 减二次方，就一直求导下去，最终的话就求逃成为什么了？经过 n 次求导 就变成了 n 乘 n 减一，乘 n 减二，一直乘到一，那其实最终结果它不就是 n 的阶层？原来分母是 n 的阶层啊，那这个分子的话也不麻烦，因为分子的话，我们看 分子就是这个 r x 吧。 r x 分成两部分，左边这一部分的话，你经过 n 次求导，那不就是 f n x n 接倒数吗？对吧？那后边求和部分的话，大家一定要注意，求和部分的话，我们展开时间就是红线部分，大家能看出来这样一个红色的部分吧，这就是 r x 后边这样一个部分。你经过 n 次求导， 同学们告诉我经过一次修道画圈部分得几？因为他是一个常数，经过一次修道得零吧。但是我们要经过 n 次修道啊，经过第二修道时候他也变成零了， 第三个球岛时候他也变成零，所以经过第 n 字球岛以后只剩下最后一部分了。那既然只剩下最后一部分，最后一部分怎么写？我就直接写出来吧。我就直接写了最后一部分。经过 n 字球岛以后，这个 r x， 他就是 fn 接导数。谁呀？ x 零所对应的 n 接导数。 那最终结果，因为 x 需选 x 零，你把 x 零带入这个位置，最终结果不就是零吗？所以说这个 r n x 这样一个培养的鱼像，他是不是一个无穷小量啊？他当然是一个无穷小量，谁都无穷小量， x 键 x 零 n 次放的五成小料。是不是证明完了？证明完泰勒定律了呀？那继续往后说，接下来就是这个泰勒公式和买卡罗定公式啊。现在我们来说一下这个 泰勒展开的唯一性。刚才说过了啊，说过你展开以后呢？一次方，二次方这样一个规律，最后太带这样一个培养的鱼像， 那么他是不是唯一的呢？就是说展开成这样一个规律之后，这个 a 零是否一定对应的是这个 f x 零？那这个 a 二的话，是否就一定对应的是二的阶层分支？ f p r x 零是不是一定这样？我告诉大家，肯定是唯一的，一会我会帮助你证明一下的啊， 肯定是唯一的。后边告诉你了，这个鱼像也满足他就是 x 加 x 变蓝字方这样一个函数的无穷小， 那么一定有这样一个规律，发现了，发现了，没有，他就是告诉你，泰勒展开肯定是唯一的 a， 零是一个确定的数字，然后 a 一呢，也是一个确定的数字， a 二， a 三一直到 a 都是一个确定的数字。那具体来说怎么证明？我跟大家说一下。证明的话，因为需要用到红色部分这样一个公式， 我们先看题，接下来他让你证明什么？证明泰勒展开唯一性定理。怎样证明这个唯一性定理呢？我只能说是类似于数学归纳法，但是不能叫数学归纳法。那好了，我们证明了啊，证明的话，我们让 k 等于几啊？ k 最小，他是自然，那肯定是 k 等于零的时候啊， 可以等于零，可以等于零的话，那左边的话，我们就将 x 零带入第一个这样一个式子中， 那待会以后左边就变成了 fx 零了，右边就变成了 a 零了，后边你看这是多少啊？零啊， a 二乘零啊， a 三，后边都是零，我们就不写了。所以说你看第一部分球队老爸，第二部分我们看对不对啊？ 当这个 k 等于一的时候呢？他这个规律是告诉我们什么？告诉我们 a 一等于一的结成分值，实际上也就是 f px， 怎么证呢？这个呢，也要说我们先求到一次啊， f 片 x 对谁啊？对，这样一个式子求导一次，以后常数求导零，我们就不写了啊。好，第二部分求导以后就是 a 一， 然后第三部分呢，就是二倍的 a 二，再乘 x 加 x 零，然后后边的话就是一次方啊，然后继续往后斜那双写的就一样了，我们还是另外 x 等于 x 零，但是呢，带入上边这个式子里头，一带就带出来了 f 片 x 零，右边是 a 一，后边是什么呀？后边实际上他都是零了。有人来说他这样一个鱼像究竟长什么样子？你这个鱼像原来 这个 r n x， 他是谁的无穷小量啊？是 x 减 x 啊， n 减一啊， n 节的这样一个无穷小量。那如果你对人家进行了一次求导以后，我就写成这样一个符号了啊，那不就你看上边求导的话，括号里头求导谁都会吧，那不就变成了 x x 减 x 零， n 减一接这样一个无穷小了嘛，对吧？所以后边的话，实际上都是加零，那同理可得括三，当 k 等于二的时候，说你这个 f 片片 x 零是等于二倍的 a 一的 a 二的啊，那 反过来的话，你说你这个 a 二等于多少，那不就相当于 a 二，它是等于二的阶层分支， f 片片 x 零往后推，其实道理都是一样的， 最终我们会推出来这个 a k， 它就是等于可以接成分支，可以接倒数对应的这样一个值，这不就完了吗？这就证明了这个泰勒展开的唯一性了。那接下来我们就要总结一下这个泰勒公式的好处了啊。这个泰勒公式的话，你也看到了，它可以将一些复杂的函数， 毕竟近似的表示为简单的多项式函数，你看后边他是不是一个多项式的形式啊，因为 a 零 a 一，这些都是什么？都是系数，都是长数啊。正是因为他 公式有了这样的好处，这样的优点，泰勒公式呢，这种化繁为简的功能，才使得他成为分析和研究是一个数学问题的有利工具， 那接下来我想说的就是这个麦克劳林公式了。究竟什么是麦克劳林公式呢？其实非常好说，泰勒公式里头的话，我们是在哪个点处展开的？是在 x 就是自变量 x 零这样一个确定的位置展开的，现在我们让这个 x 零等于零复制就可以了，带进去吧。那 x 减零的话，那后边就不写了， x 减零的一次方， x 减零的二次方，是不是那后边都一样了？原来啊，麦克劳林公式它实际上就是泰勒公式的一种特殊情况，是泰勒公式在 x 零等于零处的这样一个展开，就叫麦克劳林公式了。麦克劳林公式就是泰勒公式的一种特殊情 情况，指导就行。那但是我们并不能满足以上对于像 r x 的定性表述。为什么 定性表述呢？因为我们只知道他是这样一个 n 次方的无穷小，包括这个太乐定理里头，太乐公式里头也说明了他只是一个无穷小，并没有定量的来描述，能不能用一个公式来定量描述出来呢？ 可以的，所以接下来我们就要介绍什么介绍这样的泰勒种植定理了。微分种植定理有有三个，他不包括泰勒种植定理，微分种植定理有什么？拉格浪日定理， 哦，还有什么罗二中指定理，还有克西中指定理。我想说的是，最后我们证明拉格朗日鱼性的时候，证明过程并不是用的拉格朗日定理，用的是克系中指定理。所以之前我们讲的克西中指定理，回去一定好好复习一下啊，那他的中指定理，他的表示是什么呀？ 如果韩束 fx 在 x 零某个开区呢？ a 到 b 内有 n 接一接啊，有 n 加一接的倒数，一定记住了啊，那么对于任 任意一个 x 在 ab 范围内，那此时的 fx， 你看展开的话，前头都是一样的，没有任何区别，就是泰勒展开， 那后边的话，这个 r n x 不是，不是说就是简单的这样一个无穷小就可以了，人家是定量好写出这样一个式子， 哎，这个狮子的话，我们发现这个规律还是符合的啊，只不过呢，你看，如果说他下一个写成 x 零，那 接下来是不是就符合这个规律了？但是呢，我想说的是，它里头这个科赛不是 x 零，它是介于 x 和 x 零之间的，所以呢，它这个东西叫什么？最后这个 r x， 如果你定量的这样写出来这个公式，它就成为 拉格朗日鱼香了。那如何去证明这样的泰勒种植定理呢？我想告诉你啊，如果你想证明泰勒种植定理，一定再看一遍，可惜种植定理的内容啊，上期我们都讲完了，那怎么去证明？现在就来说了啊， 这个证明过程并不简单，首先我们要构造两个函数，两个辅助函数，那另外一个辅助函数的话就是这一题，这一题的话好说，这个就很简单了， x， 注意一定要把 t 看成自变量啊， n 加一次方，那写完这个之后的话，显然我们两个函数，这两个辅助函数，因为什么？因为这个 ft 和 gt 呢？他在哪啊？在 x 零到 x 这样一个 b 区间是连续的，但是呢，这个 x 零和 x 不一定哪个大啊，或者说如果说这个 x 比较小的话，我们就应该写成 x 到 x 零这样一个 b 区间了啊，他是连续的，好 在 b 区间连续，而且在什么？在开区间。可倒吗？ x 到 x 间，哦，可倒。所以说是不是由科系终止定理，所以我们直接写科系终止定理，马虎就简写了啊。那科系终止定理的内容 指的是什么？指的是我直接写与 x 之间，后边我为什么没有写成这样的区间的形式？因为我们并不知道这个 x 零和 x 哪个大哪个小啊，所以，但是这个可在肯定夹在他俩之间。 那写到这之后的话，接下来一定要注意一点。注意什么？你自己带一下，你把所有的 t 注意啊，把所有的 t 都换成 x 以后，你这个 fx 是不是等于零啊？同样的道理， 你后边你把这个字变量 t 换成 x 是不是也是零啊？所以这是零，然后这一部分也是减到的零，那后边就好说了，咱就继续来算了啊。减零后边就不说了，他是等于这个 f 片的话。哎，他怎么算？你自己来好好算一下，最难的时间也就是这一部分，求职。 嗯，多算一算，多练一练，多花点时间，肯定可以写出这样一个结果来。分母这个球导就非常容易，我就直接写了，确实非常容易，一定要注意这个内存来说， 这个 t 前头自备辆，前头带有一个副号，所以这个位置我们也加上这个副号，那最终的话一处理就变成了。所以这个 fx 零等于什么？等于你把这个这个 x 零直接写到后边去啊，那就是 n 加一接，哦，这样的接成 f n 加一接 x 键。为什么 x 键 x 零 n 加一键？因为你已经把 gx 零给移到右边去了。写成这样一个指以后带入哪？带入这样一个式子，带入第一个式子里头啊，带入了 带入这样一个式子中，最终就写出来了。所以说 frx 等于等于什么？就等于这样一个你需要求证的形式。剩下我就不多写了，这个还是有难度的。 那么最后一点的话我就说一下这样的带拉格朗日鱼巷。什么叫拉格朗日鱼巷呢？咱们看着啊，将带有拉格朗日鱼巷的他的公式刚才已经说过了，就是后边这样一个形式，他就是拉格朗日鱼巷的。我们 这什么，我们让所有的 x 零都取成零，你看 x 零等于零的时候就变成了什么泰勒公式，就变成了麦克劳令公式。 嗯，然后这个可赛的话变一下形式，但是本质是一样的。最终这个形式的话就叫什么？就成为带拉格朗日鱼像的麦克劳林展开时。那这节课你学会他的公式和麦克劳林公式了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见。

学习很苦，坚持很酷，同学们好，今天给大家讲一下泰勒公式和麦克劳林公式。一直有同学来问我这两个公式，那么今天呢，我就浅讲一下， 其实这两个公式是在我们高数当中上大学才会学到的，那对于这一块的知识而言，是否超纲了呢？其实我们也可以说他超纲，也可以说他不超纲，因为这个泰勒公式啊，他在我们数学的第一册的倒数第三页提到了这个 泰勒公式，所以如果说我们把这个稍微掌握一下，在做小题的时候是非常好用的，下面我们一起看一下什么是泰勒公式和麦克劳林公式。 他指的是给定一个函数 f x， 我们可以给他展成如下这种类型，可写成 f x 零加 f e p x 零倍 x 减 x 零加 加上二的阶层分支二阶的倒数 x 零 x 减 x 零方，一直到 n 的阶层分之 f x 零的 n 阶，倒 x 减 x 零的 n 次方，再加上这个叫做无穷小，就是 x 减 x 零的 n 次方的无穷小。这个意思 好，那对于麦克劳龄公式，它指的是在太了公式展开式的基础上，令 x 零等于零这个特殊值而得到的展开式形式。 呃，那对于我们通常做题过程中来说呢，用的比较多的可能就是麦克劳林公式了。那通常我们在高中，我们高中数学当中，其实这里边也都是有所体现的，比如说我们来看，它对于 f x 等于呃 f x 零加 f e p x 零倍的 x g x 零而言。好，我假设这一块哈 f x 约等于 f x 零，加上 f 一撇 x 零倍的 x g x 零。 后边我们就可以呃近似的考虑，他随着展开越来越大的话可以忽略掉，所以我们是可以考虑约等于他以后，这个我把它写成 y 等于 y 零加 f 一撇 x 零倍的 x 减 x 零。 好了，请大家来看一下这个形式其实是什么？我把 f 一撇 x 零放在左边，它就可变成 y 减 y 零除以 x j x 零是不是就是对于我们切线的旋律，所以在高中中有所应用过？再来看一下麦克劳林公式，这里我把这个形 是给他写一下，我们来举个例子，举个 e x， 好，请大家看，如果我是 e x， 他就等于 f 零加上 f 一撇零， x 加上二分之 f 一撇零啊，这是直接乘 x 的平方等等等 一直下去。现在我把 e x 进行求导一下，大家发现还是 e x 代入进来， e x 是不是就等于一加上零代进去就是 x， 这个再即求二阶导 二节求导，大家发现是不是仍然是 e x， 所以这一块是加上二分之 x 平方等等等，再往后加下去，请大家看，在 这个地方我是不是可以看出是 e x， 由于后边都为正的情形，这个是平方，再往后都是正的，那我在这 e x 请看是不是大于等于一加 x， 当 x 大于等于零的时候， 那这个形式 e x 大于等于一加 x， 是不就我们所说到的切线放缩，所以这一块儿在我们呃呃高中函数当中也都是有所体现的。 行，所以说呢，我们说泰勒公式和麦克劳令公式离我们高中阶段的知识啊，也蛮相近啊，没有本质的区别。 好说的这么多呢，我们就来看一下我们高中阶段利用麦克劳林公式展开的这四种函数，这四种在做题过程中是非常常用的，那它展开形式当中呢？通常我们都会最多 应用最多应用到他的前三项的形式。好，那现在我们来看一下高考题，二零二二年新高考一卷 已知 a 等于零点一的 e 的零点一， b 等于九分之一， c 等于负的捞于零点九。让我们比较 a、 b、 c 的大小关系，这道题是非常难的，现在来看，如果我会应用泰勒公式，应用麦克劳林公式把它展开的话呢？那现在这道题是不是就会很轻松突破哈？ 来，请看 a， 如果等于零点一的 e 的零点一，我就可以把 e 的零点一次方按照这个展开，请看它就可写成 一加零点一，再加上二分之零点一的平方行，通过计算，大家可以算出约等于零点一一 零五。接下来 login 负的零点九，请看一下负的零点九。咱们看到 loin 的时候，要想着一般来说是 loin e 加 x 的展开形式啊，所以这里它可写成 括号，放上去变成九分之十，也就是说可以写成 lonely 的一加九分之一。好了，下面我们就应用一下刚才的呃太老公式，它就可写成 呃九分之一，减去二分之一乘以九分之一的平方，再加上三分之一乘以九分之一的三次方，他就约等于零点 零点一零五九。好，再来看我们九分之一，大家知道他， 他是一个好算的分数，他约等于零点一一一一，这时候这四个的约数值我们就能啊一目了然，知道他们之间的大小关系，所以最后我们发现 b 是最大的，然后是 a， 在最小的就是 c 了。 好，那这道题就是高考题的一个具体应用，如果呢？有兴趣的同学能够把这个泰勒公式，他的展开式理解掌握一下，做小题，特别这种比较大小的时候就会非常好用。 当然在做大体的时候也是可以应用的，如果你能知道它的展开形式长这样子，那么接下来 你如果有这样的心里边有一个式子，比如说我 e x 大于等于一加 x 加二分之以 x 平方，对吧？那这时候你可以通过证明得出它来，然后在大题中来应用也是可以的。好了，那这一个我们就讲到这，你听懂了吗？

同学们，今天我们来看一下常见的一些函数，他们带比亚诺鱼像的麦克劳林展开式是什么样子的？这些要求同学们一定要背过。先看第一个， f x 等于 e x 方，我们先来计算一下 f 零， f 零等于一个零四方，它是等于一，那这个函数它的一阶倒一直到 n 阶倒都是它本身。所以说 fx 的一阶倒等于 fx 的二街道一直等于 fx 的 n 街道都是 e 的， x 放 f 零一街道也就等于 f， 零的二街道也就等于 f 零的 n 街道都是等于一的。带入麦克劳林同事，以后，那 fx 等于 x n 字方，加上比 xn 字方更高阶的啊，一个无穷小，你学会了吗？

我们接着再看一下第六题，第六题说的是求函数 fx 等于探景 x 的带配亚诺鱼像的三阶麦克劳林公式，那我们就按照提杆的条件给他写一下 fx 乘以等于麦克劳林公式的话，是不是就相当于 x 零等于零的一个泰勒展开式，那它是不是应该是 f 零，再加上 f 一撇的零，再乘以一个 x， 再加上 二的结成分之 f 两挑的 link， 再乘以 x 的一个平方，再加上三的结成分之三挑的一个 link， 再乘以 x 的三次方，他要求我们知道三结，那这三结已经写完了，再加 加上他的一个培养诺鱼像，也就是 x 的三次方面一个高阶中小。那么接着我们只要把这些系数给他算出来就可以了。首先 f 零是不是就应该等于一个探紧的一个零？结果是不是还是零？ 那么 f 一票的 x 就是 fx 的导数是不是应该是 second x 平方？那么 f 一票的零给他带进去的话，是不是就应该是 second x 是不是靠在意 x 分之一？那这个是应该是靠在意零的平方分之一，结果是不是应该是一。 接着我们再看一下二街道的一个结块，二街道的话是不是就是 second x 的平方的一个导数是不是应该是二倍的 second 的一个 x， 再乘以 second x 的一个导数， second x 的导数是不是应该是 second x 摊紧的 x？ 整理一下视频，应该是二倍的 saken 的 x 个平方，再乘一个摊紧的一个 x， 那么 f 两票的零的话，给他算一下，带进去的话 second x 的平方是一，然后摊级的 x 是零，那么所以他整个的结果是不是也是零？接着我们来算一下 f 的三节导，三节导的话就是对二节导，再求一下导，它是不是这是一个成的形式？我们先把这个系数加起来，对外面就是二乘以，对 second x 呃求导，然后摊进的 x 不变， second x 的平方的导数是不是就应该是 二倍的 second 的 x 的一个平方乘以一个摊紧的 x， 然后再乘一个摊紧的一个 x， 加上 second x 的平方不变，然后对摊进的 x 求导，是不是应该是 second x 的一个平方？然后我们提取出来一个 sake 的 x 的平方，结果是二倍的 sage x 的一个平方乘以， 然后这里边剩下几个二倍的弹紧的 x 的一个平方，再加上一个 saken x 的一个平方。 那么 f 三阶倒的一个零结果是不是就应该是我们算一下 second 的零的平方是一，然后摊进零的平方是零，所以他最终的结果是不是应该是二？乘以里边的话是 二乘零，再加上一个一，结果的话是不是应该是二？那我们把这个系数给他全部带进去，那是不是 fx 的话 f 零的话是零，那么写到这里再加上 f 一撇的零的话是一，那就应该是一个 x 再加上二倍的结成的 f 两撇的零是零，那就是零。写到这里的 x 的方再加上三的结成， 然后 f 三节导的零是二，再乘一个 x 的三次方，再加上一个 x 三次方的一个高阶无重小。然后我们再整理一下结果是不是应该是 x 再加上一个三分之一的 x 的一个三次方，再加上 x 三次方的一个高阶无穷档？这个就是提板让我们求的在培养诺与项的三阶的麦克劳林公式。

同学们，我们接着来看上海 x 的带佩亚诺鱼像的麦克劳林展开式是什么样子的。我们先来计算一下 f 零 f 零三零等于零，然后他的一阶倒 fx 一撇等于扣三 xfx 四四阶倒等于三 x， 我发现又转回去了，所以说它的导数是四个易循环的 fx 等于 sanx。 展开成麦克劳林公示以后就是 f 零是零，加 f 零一撇扣赛零是一，继续加 f 零，两撇又是零，继续加。按揭导就是负的扣赛零就是负。一点三的接 阶层分之一 x 的三次方， f 零的四阶倒又是零，这里又变成正的了。加五的阶层分之一 x 的五次方的减 七的阶层分之一 x 的起四方，那加九的阶层分之一 x 的九字。最后就是负一的 n 减一次方， x 二 n 减一次方，比上二 n 减一的啊，接成 加一个比 x 的二人减一更高阶的无穷小。

没有华丽的拍摄，只有满满的干货，每天一节高数课，期末考试不挂科。今天磊哥带大家来看一下常见的麦克劳林公式的推导啊，这个特别特别重要。好了，我们首先看一下课本上给大家写的 啊，就是磊哥给大家整理出来的啊， e 的 x 方三 e x 考三 x 愣一加 x 一加 x r 次方啊，那包括下面还有这个 e 减 x 分之，一加 x 分之，还有 target x 啊，这个谁想要这个表的话，可以私信给磊哥 啊，磊哥单独给你发就可以了啊。我们来看一下他，我拿 e 的 s 方举例子， e 的 s 方他写了一大堆啊，但是我们在真正做题的时候，就没有必要把这个全部记住啊，但是你没有必要记住，但是你得会推倒啊，我们其实只需要记住前三项 啊，雷哥给大家写出来了，就用红色笔写的，而只需要记住前三项就可以了啊，为什么呢？因为我们可以回忆一下以前的那个等价无穷小。我们说对等价无穷小的是当时说过一句话啊，就是极限适中的相加或相减的部分啊， 不能随意用这个等价无穷小去替换啊，因为等价无穷小的话，他不够精确啊。 那麦克劳林的话，就是我们昨天啊，包括上节课已经说了啊，他是用多项式无限逼近啊，无限逼近这个函数啊，所以他可以精确到我们想要的东西啊，所以我们说泰勒公式，泰勒公式，泰勒公式其实是个特别特别好用的东西啊，他在做极限的时候 啊，可能说这个题啊，我可能用罗比达法则也能做啊，我可能啊，用别的方法也能做，但是如果你 用泰勒的话啊，那这个题几乎就是秒杀的啊，就直接秒杀了啊，我们可以来回忆一下啊，包括我们以前的这个等价无穷小替换，你比如说三页 啊，三叶的话，我们等价无需要提换，说是三叶和 x， 三叶 x 和 x 是啊，等价的，嗯，那这块的话，在做后面提极限的时候，他是不够精确的啊，那我们三叶 x 线如果在用泰勒去，包括麦克林啊，麦克劳林去做的时候，就三叶 x 和这个 x 减 啊，六分之 x 三次方啊，这个是等价的。呃，用它啊，去做题的话就快的多了啊，这个磊哥就给大家不多做解释了啊，就这个表，嗯， 这个表，如果啊，谁想要的话啊，可以给磊哥私信啊，我们今天主要来看一下呃，这个麦克劳林公式的推导啊，这个一级肯定是推不完的啊，我们分了 好几节。分了好几节啊，那我们今天先来看第一节啊，就是麦克劳林公式，磊哥帮大家再写了一遍，就 fx 等于这一堆啊，这块最后这个鱼像的话，我们一般用的是这个皮亚诺鱼像 啊，拉格朗日，鱼像的话不太好写就很麻烦啊，鱼就是对于鱼像这个东西啊，大家不要过多的去纠结啊，这东西就不考， 完全不考啊，谁简单我用谁啊，那肯定皮阿诺就想写出来比较简单一些啊，所以你会发现很多老师写的时候都写皮阿诺一项啊，当然拉格朗日一项的话，磊哥啊，在后面的几集里头啊，会给大家再去解释一下啊，所以我们在这平时写的时候都写的是皮阿诺一项。 好，那我们来看一下，我们要去求 fx 等 e 的 x 方的 n 接麦克劳林公式。好，那我们先来看一下呃，这个 e 的 s 方，你会发现给 e 的 s 方去求 e 接导数，是它本身， 你求二阶倒还是一的 s 方，你去求三阶倒还是一的 s 方啊，所以我们很容易知道他的 n 阶岛就是一的 s 方啊，这个包括磊哥在前前面呃出的视频里头求这个的高阶倒数啊，磊哥已经给大家证明过了啊，感兴趣的同学，呃，可以去前面的高阶岛那块去找一找。 好，那我们知道 fx 的 n 接导数还是它本身。那我们来看一下 f 零 f 零的话，那你把呃 x 换成零，往这个里头一带，那 f 零 e 的零次方也很简单，那 f 零的 e 解导数 的一， f 零的二阶倒数还是一，因为 f 只要是一的零次方啊，他全是一，那 f 零的 n 界倒数，那还是一，所以啊，我们把它带到这个麦克劳林公式里头去就可以了。好了，那我们来看一下 fx 用这个一的 x 方啊，给他换掉 啊，那 f 零 f 零加上这一堆东西，加上这一堆东西，我们给他挨个来换一下。首先看这个 f 零 f 零等于一， f 零的一结导数还等于他全等于一，那我把这个呃 f 零的 n 结导数全部省略掉，那上面这个式子就变成一加 x 加二分，加 x 封 二分之 x 方，因为二的接成就是二乘一嘛。啊，加加加加到最后啊，这个就出来了。好，那我们具体通过一个题啊，来看一下啊，这个就是这个麦克劳林啊，他到底在算题的时候到底有多快多方便，我们要求这个东西当 s 去应领，他就求他的极限。 好，那我们来看一下，我们知道这个 e 的 x 方啊，等于这是我们刚才推的一加 x 再加二的减分 s 方，再加 x 方的高阶无穷小啊，把它，呃，这是 e 的 s 方，那你想我，我现在把 x x 用这个负二分之 x 方整体换掉 啊，把这个 x 啊，用这个负的二分之 s 方整体换掉一照抄 x 用它换掉啊，那这里的 x 方啊，那就变成了负的二分之 x 平方的平方 变成四分之 x 四次方啊，剩下照抄，然后把这个画剪一下，一就是一减二分之 s 方照抄啊，那这个画一下就是八分之 x 四次方加上 x 四次方的高接五形象好了，给他一个相啊，把这个移过来， 把这两个啊，这两个给他移过去，移到等号的左边，那就变成左等号，左边就变成这个东西，他等于啊，他啊，那他和八分之一 x 四次方啊，是等价的。好了，那我们来看一下啊，这个整体刚好是这个的分子 啊，这个题就可以很快的去解出来了啊，这是第一个，完了以后我们再来看第二个三 ex 啊，三 ex 的话，哪个在前面求高阶倒的时候也给 推过了这个三英的高阶岛啊，是三英的 x 加二分真派，包括推岛过程，我们前面写作很详细啊，如果大家忘了这个推导过程，其实你自己去推也是可以的。我们知道 fx 是三英 x， 那在一阶岛靠三 x 啊，考三我又可以。想要三 ex 加二分之派，这是诱导公式，高中学的那二届导，那就给考三去求导，负的三 x， 负的三 x， 我又可以想要三 ex 加二分之二派。高中学的诱导公式，三届导就是给二届导啊，再去求导， 三的导数是靠三页啊，符号照抄啊，负的靠三页，又可以写成三页 x 加这个二分之三派啊，写到这了以后啊，我们就会发现啊，他的周期就出来了啊，周期就出来了啊，因为你可以再去求四节导，四节导的话，你会发现，给考三页再去求导，又变成三页了，你看三页靠三页， 负的三音，负的靠三音啊，又开始三音靠三音，负的三音，负的靠三音。哎，就我们好像发现他的周期是四啊，周期是四啊，那同理，我们再来看， fx 等于三 x， 那我可以算出， f 零啊，就等于零。 fx 一节倒数等于靠三 x 啊，那靠三零是不就等于一 啊，负的三一零啊，又等于零啊，负的靠三一零啊，不等于负一啊，啊，那同理，我们看零一零负一，那这边啊，他的四阶倒数，那三页三页又是零啊，五阶倒数 啊，又是一零一零负一零一零负一啊，这样的话，这个啊，我们就很容易看出来啊，他的这个，呃，周期是四啊，周期是四了以后我们来把他的啊麦克劳林公式啊，来写一下，我给大家稍微折一下， 方便大家去看。好，我们先来看一下这个啊，他的这个麦克劳林，我先用三 x 把它写出来， f 零啊，这麦克劳林照抄后头，后头哪个省略掉了？省略掉了啊，先没写啊，然后的话， f 零， f 零等于零， f 零等于零啊，零我不用写了， f 零的一阶倒数等于一 啊，那一乘 x 就是 xf 零的二阶倒数。哎，又等于零啊，这一部分又等于零 啊，零这一部分又等于零。零我又不写了，看三阶倒三阶倒等于负一啊，那就是负的三的结成分至 x 三次方，按到同理，后面我们可以得到五的结成分至 x 五次方，减去七的结成分至 x 七次方。第二、第二第二啊， 后面先省略掉，然后再看下一步三亚 x 就等于他啊，然后我们现在要根据前面啊，根据前头这些东西去找规律。我们来看一下，三的结成 x， 三字 五的结成 x 五次方，七的结成 x 七次方啊，那这是不是三五七九啊？是不是基数？所以我们这个分母可以写成二人加一的结成啊。第一项不要管，第一项不要管啊，从从从这一项开始 啊，当然等于一的时候啊，他是不就三？当然等于二的时候，他是不就五？当然等于三的时候啊，他是不就七啊。第一项你可以认为是当然等于零的时候。好了，那我们就可以看到这个基数，那分母的话，我可以想二 n 加一的 结成，那你再来看 x 次数这个部位，他俩是一样的，那就 x r n 加一次方啊。前头为啥有个负一的 n 次方？因为负一的 n 次方是用来调节啊，正负号的。你来看一下第一项啊，第一项是负的三的结成分成 x 三方，他有个负号 啊，那这我肯定用的负一的 n 次方，因为当 n 等于一的时候，负一的一次方啊，是负一负一的平方啊，就变成一了 啊，当然按到二的时候这是五，这样是完全符合题的啊，最后再加上一个 x， 二 n 加一四万的高阶无穷小啊，这样就可以了啊。但是我们在 呃真正用的时候，其实厚度这一滴都用不上啊，主要用的是啊浅这这一部分，主要用的是这一部分， 因为我们知道前面学等价无穷小的时候，我们只替换到了三叶 x 和 x 是等价无穷小的，但是这个精确度是远远不够的啊，所以如果三叶 x 和这个 x 减去三的结成分之 x 三次方啊， 是等价的话，那我们这样的话算题就可以直接去算了。好，那我们具体来通过一个啊例题来看一下。好，我们一块来看一下这个例题啊，一块来感受一下这个麦克劳林啊，在算极限的时候啊，真的是特别特别方便。好啊，那我们现在来看 看一下。呃，这个是 x， 我们现在要求的是这个，给大家再折一下。好，我们一块来看一下这个啊，别着急了，要把这个折好。好，我们先来看一下这个， 我们要求的是 x 均零的时候给这顿序求极限啊，我们知道三 ex 有麦克劳林公式等于他啊，那我把它又写成了他啊，这就很好理解，那么我们看分子是 x 减三 x， 我把这一个项倒一下， s 减三页， xx 减三页 x 就会等于啊，等于他 啊，那他和六分之 x 三次方啊，是等价的啊，把分子直接换成六分之 x 三次方啊，答案直接就出来了啊，这就是麦克老林公式啊，在解析线的时候特别特别好用啊，在接下来 来的机器里头，我们会接着帮大家去推导麦克劳力公社啊，还有最近很多啊同学给磊哥留言说是想讲不定积分啊，其实不定积分磊哥今天准备了一部分，不定积分的话就 题型比较多一些，呃，因为讲的比较少的话，你还是不会做不定积分的题啊。不定积分他大的方向分为几种方法，然后在这方法里头啊，大家要去大量的做题，开阔眼界啊，这样才会去 呃做不定积分的题。这个大家不要着急，磊哥后面会呃陆续呃给大家出这个教学视频。好，今天就到这里。

原来高数是这样的，爱情就像是函数的麦克劳林公式，缘分耗尽的时候就发散，时间则是收敛半径。我的意思是，如果是真心相爱，那么两个人就会一直，你和永远走下去，听懂了吗？

这个单要用 orange e 负 x 除以 x， 最终的结果是负 e。 这可以没毛病，但是我说法 r 也可以考虑啊。大家告诉我科三也是 应该是一减二分之 x， 后面不要了。 为什么？为什么不要？科目几减二点精确度够了，我们就要读了，不要那么再来。因为一加 x 的 s 是等于一加 a x 再加 x 的高就不清晰了。 你们把另一个字手套，我说算账了，老师你分我是二姐，没错，你谁啊？我是副 x。 发一换不就 这是二减，所以刚好一减 x， 大家告诉我怎么办？换两个吧，一个 a 用什么换？用二分之一换 a 个是用什么换？用 f x 换换，结果应该是一减二分之一 x 吧， 嘿嘿嘿。哦，对啊，嘿嘿，这个地方我看看啊， 嘿嘿 嘿嘿嘿。 哈哈哈， 题目是有问题的题目是有问题的。 姐，是不是你啊？

下面我们介绍俩麦克兰的公式，那么我们下面呢给大家写出几个常见函数的麦克兰公式，伊利 x me， 我们可以对一的 xb 求各级导数，然后把 fx 在 xd 零这里各级导数带进去就可以得到。这个试试 三 x 扩展 x 老鹰 e 加 x， e 加 x 列 m 是你实际上中最后一个数，大就可以了。如果 m 是一个正指数， 这个事实实际上是我们说的二相师定律，麦克劳林公式， 或者说泰勒公式，实际上他起的作用是什么呢？我们可以通过一个图像来看，这里面呢，我们画出了 y 等于三 x 的图像， 根据刚才我们推出的三 x 的麦克劳动故事，如果用仅仅用 y 的 x 来进行，我们可以看着这个函数 y 的 x 和这个 正悬还是悬紧紧在零的附近，是重合的。如果我们继续往后写， 可以看出来除了您这一点，这两个函数是重合以外，重合的区间会增加。继续往后写，写到 x 的五十米来近视，这样得到这条曲线，而这条曲线大家可以看到和 y 的三 x 的重合度又很大了。继续写七十米， 七十米可以看出来比五十米的重合区间更大了。继续 九十米，十一十米，也就是说这样的九十米呢？如果我们用更高的多项式来近视的代替函数，这样的话呢，这个和函数的重合的范围就很大了。 所以我们通常说这个函数，如果大家用继续写高高次秒，最后可以得到最 这个多项式和 yd 三 x 的函数的图像是完全重合的，所以这就是说一个函数 可以用一个多项式来进食的表示，当然这个表示是有条件的，需要鱼项取景约零。那么又如何来展 麦克劳动公式呢？我们下面举两个例子。第一个，将 fx 等于 e、 d， x 密展成麦克劳顿公式。 我们比如说迈克兰的公式中，需要求函数的各阶倒数，而 fx 等于一的 x 比的各阶倒数。为什么伊利 x 只是函数， 他的个结导数都等于他本身，然后把 x 等于零，往这里面一带，各结导数都等于一，然后把函数值带入麦克劳的公式里面可以得到， 大家可以看到一加 x 加二的阶层的 x 方，加上三的阶层的利益，加上点点 n 的阶层的利益，而这个是一个 n 是多样式。二， x 是一个鱼像， 如果鱼像区域名来看看呢？ e、 d x 展开是正好是他，这和我们前面的起初的 e、 d x 长个字实际上是完全一样的。如果我们来研究这个鱼像，大家可以看出来， 由于 e、 d、 c 的 x 是可以看的，是一个有界函数，当 n 取经无穷大的时候，而这个鱼像正好是取经于 零二。所以在很多种情况下，我们都是用这一个多项式奔驰多项式来近视代替一的 x 米， 再比如三 x 啊，而三 x 的 n 接导数，我们都知道等于三，印括五 x 加二分之 恩派，把 x 得连带入方程里面去，可以得到 在零处的 n 阶倒数，当 n 得一五 点点点时候，他等于一。实际上呢，大家还可以这样看，当 n 等于一的时候，三因二分之派等于一。当 n 等于二的时候，三因派等于零。当 n 等于三的时候，三因二分之三派等于负一 点点点点，这样就求出来了最悬函数在 x 等于零的个结导数值，现在把各结导数值都往方往麦克劳的公司里面一带入，这样就得到这个试试。 前面我们看图可以看到，如果三 x 仅仅用 x 来代替，那个重合的区域很小，当三 x 用三次三的阶段的 x 三之外来代替的时候，他的重合区域会大一些，这样依次往下。 所以正悬函数也可以使用一个 n 次多项式来浸湿 表示。而通过鱼相可以看来，由于三因这个是值，在政府一致见，所以三因这个是有界函数，而二 m 加一的接着分之 x， 二 m 加一。当 n 取经无穷大的时候，正好是屈居于两，所以三 x 可以用一个 n 式多项式来表示， 挡痕越高的时候，这个近视程度越大。 在他的公司中，当 n 等于零的时候，那我们把它称为是那个狼人公司，实际上就 都是斩刀一节。当 n 等于一的时候，我们通常用这个的。实际上当 n 等于一的时候，这个 泰勒公司里面涉及到的是二级导数，所以如果一个函数给你的是具有二级导数，而又要需要证明一些不等式或者是等式的时候，通常使用的是这样一个形式。看一个例子， fx 二阶可导在 ab 两点导数值都等于零，证明存在一点可 c， 使得这一点滴二阶导数值比这个数要大。我们分一题， fx 给力的是二 结可以倒，但是条件给你的又是一结倒数的条件，而结呢，里面是给你的又是二结。倒数和原函数在 ab 两点的关系，所以自然而然的我们想到需要使用泰勒公式， 而题目高你只要求几节二节导数，所以我们只要求用函数用一节太乐公式就可以了，而一节太乐公式使用的是就得确定两点，第一点 x 零曲几， 也就是说我们同学在哪一点展开，第二点 x 取景，也就是说 x 取用多少来代入。 通常情况下我们说需要确定是两点，一点是在哪一点展，第二点在把哪一点的函数值带入，但是哪一点展，这就是做这种类型题的一个难点， 而根据题目的要求，我们可以看出给你的是 ab 两点的一节导数的值正好等于几零，所以我们想到， 而节能里面又没有胰岛素，所以我们自然的想到在 ab 两点把函数展成 泰勒红师啊，我们可以看出来，而把哪一点的函数值带进去呢？ 由于需要对这两个试者进行加或者是减，所以我们通常带的是终点， 所以我们把终点的函入值往这两点的太子公司里面一带，你们看着，由于这里面涉及到的一级导数，而题目高的一级导数等于零，这两个一级导师如果把这两个数字一加或者是 一减，而一节导数就消掉了，正好所留的就是二节导数，所以我们采用的手段是把这两个式相减 就得到。这个世上啊，我们取某一点的二道数就等于这两点的二级导数， 绝对值得追大值，这个是可以的，为什么呢？这个函数具有二节导数， 这样我们就得到了 fb 减 fa 等于二分之一乘以二分之 b 加 a 的平方乘以这两个二级导数的差，使用一下绝对值不等式， 两个以差的绝对值应该小于等于绝对值得唱而又又，哎。可是这一点的 二级导数值是取的是这两个的最大值，所以他有小于 f 可 c 这一点的二阶导数值，这样我们就得到 f b 减 f 为小 等于四分之一 b 减 a 的平方乘以 f 两撇可税，这样就得到了结论， 这样就得到了结论啊。所以我们通常说，如果要证明你 二级导数，你等式或者是不等式的时候，通常使用的是将函数展成一阶太类公式，也就是建立原函数 一届导数和二节导数之间的关系的是也就我们同志们的一节 泰勒公式。那么泰勒公式实验是非常有用的，除了可以证明一些等式不等 十之外，还可以求函数的极限啊。对于函数的极限，需需要大家把我们最开始所讲的那些公式给记住了。举个例子， 求极限，三 x 减 x 扩张， x 乘以三 x 列三次方。 由于分母是三 x 三的话，我们可以对分母可以使用一些等价瘫痪，可以用 x 三十分来代替。而分子的三 x 扩展页，我们可以把它用刚才的几个 麦克兰的公式来代替。而要把它写成麦克兰的公式，又需要写的几节呢？由于分母时 三次，所以我们把三 x 扩专业的三次的迈克尔的公式给写出来。 三 x 等于 x 减三的阶段，分的 x 呢？由于麦克劳动公式，我们这里面只并不需要需要讨论鱼相，所以我们使用的是瞟若鱼相科三 x 的麦克劳动公式， 然后把这些事都往的这个事里面，一旦这样就得到三 x 减 x 乘以扩张 x 等于三分的 x 的反，加上三次的勾结无穷小， 而坟墓正好是三 x 的三次，也就说是 x 的三次，所以这样一除就得到 上面。由于这个是高阶无穷小，高阶无穷小除以他正好是零，所以正好等于三分之一。这样的话呢，就是说 麦克劳林公式可以来求函数的极限，但是又求函数的极限。这样就大家把我们最开始的那几个公式必须牢牢记住， 只有牢牢记住了，你们在做题的时候才会有。

高阶岛的计算你知道几种做法？在我们考研当中呢，高阶岛的计算有四种办法，第一种办法叫地推法，那所谓的地推呢，就是我要求你的 n 阶岛，先求你的一阶、二阶、三阶，找到规律，从而得到你的 n 阶岛的表达式。那么第二种办法呢，就是直接套高阶岛公式，我们让大家背的高阶岛公式有五个呀， 那么第三个办法就是莱姆尼斯公式，用来解决两个函数乘积的高阶岛。那么第四个办法也是我们用的非常多的一个办法，叫利用泰勒展开式求高阶岛。首先你要明白我们常用的是什么呀？是麦克劳林展开式，那么泰勒展开式我们用的是在佩雅诺鱼巷的 n 阶的麦克劳林公式， 那用麦克劳林的话呢，就可以求出什么呀？一个函数在零这的恩阶岛呗，给一个函数，这不是麦克劳林吗？麦克劳林展开式，他的这个 n 次密的前面是不是就有这个函数在零这 n 阶岛，但是的话呢，整个这个 n 次密的系数呢，是一个零这的 n 阶岛除以 n 的阶长。所以换句话说，咱 咱们要求这样一个函数， f 在零这一点的 n 阶倒是不是，只要把这个函数展到 n 阶的开始展开，是 n 次密的细数，再乘上一个 n 的阶乘，这就是这个函数在零这 n 阶岛啊，是 n 次密的细数，再乘上这个 n 的阶程， 就是这个分子，这个函数在零这里按揭到重点就是找 n 次米的细数，那么这个题的话呢，是我们二零一六年数一的一道题目，那么设这个函数长这样子， 然后在林这的三阶倒是知道的，让我们反求参数。哎，那又推拿了个题说，哎，老师，这个题我直接求不行吗？不就才三阶倒吗？还 在我能力范围之内的。先求一结，再求二结，再求三结，把连一带是个一解出 a 来，当然是可以的，但是同学你想啊，他求导的话，一般都是商的形式，你看你这个第一次求导就是个商，商求导虽然可以，但是商求导相对来说是比较复杂的。所以这个题的话呢，你这样去递推，求一结，求二结，求三结也能做，但是太慢了。所以这个题咱们就可以 把这个函数斩到三阶。因为你告诉我，零这的三阶倒是个压，所以斩到三阶就可以了。那就说把它斩到三阶，把它斩到三阶。首先这个函数斩到三阶，那就是一个 x 减去三分之 x， 三次到三阶够用了。加上三四米的高清图小， 那么这个函数前面已经有一个 x 了。把 x 放前边，说明剩下的一加 a， x 方分之一展到二阶就够了，把它展到二阶。 所以整理出我们的三次密的细数来。整理出来以后呢，一次密抵消了三次密的细数是 a 减三分之一。我刚才说了，你在零这的三阶岛，那就是三次密的细数，再乘以三的阶层， 所以三的结成是个几啊，是一个六。因此最后呢，这个结果是一了，那解出来 a 不就是二分之一吗？所以这个题的话呢，就是利用什么呀，泰勒展开式来求函数的高阶道。好，这个题咱们就分享到这里。

只要三步，如何手持任意的 nonx 啊？今天我们一个小小的立体举例啊， nonc， 第一步啊，记住 no are 的词， 约等于零点六九三，零点六九。第二步，画减。如何画减呢？把 no on e c 画成分数的形式啊，他可以写成 no on e c 除以十乘以二乘以五，可以写成 no on e c 除以十，加上 no on 五 加上二二，而这个二五可以化解成二五除以四加上二二四，也就是说，他可以化解成二二一四一除以十，加上二五 除以四，加上三倍的 non 二啊！看这个啊，大家就能够明白，要化解成两个连续整数相除的形式啊，为什么要画点成这样呢？看第三步就明白了， non n 加一除以 n， 当 n 比较 大的时候，他是等于二除以二人加一的，把这个带入的颜色 是等于二除以二十一，加上二除以九，加上三乘以零点六九啊，约等于二点三九啊，我们用计算器按一下，看看他等于多少。 noec 等于二点三九七啊，还是比较精确的，这， 这并不是特例啊，其他的数，比如说乱三十四也否要求啊，第一步，记熟的话就可以忽略掉啊，从第二步开始啊， nor 三十四化解 nor 三十四等于 nor 一十七乘以二，等于 nor 一十七除以十六乘以一，十六乘以二，等于把 nor n 加一除以 n 等于二除 除以二加一带入进去啊，就等于二除以三十三加上五乘以零点六九啊，就等于三点五啊，我们看一下准不准啊？ no 三十四等于三点五二， 还是非常的准的啊，同理啊，我们还可以计算 non 拍的字啊，过程是这样的啊， 而其中的 nor 三可以写成 nor 三除以二加上 nor 二，而 nor 五也可以写成 nor 五除以四加上 nor 二的平方，同样的，用 nor 可以估计这两个字啊。 最后求助的结果是，一点一四约等于一点一四，那这到底是一个什么原理呢？大家可以截屏一下，看一下推导过程啊，实际上就是胎的展开啊。 ok， 关注我，让学习变得更有趣一点。

掌握莱布尼兹公式，轻松解除高街道。在我们考研当中，一考高街道一般考都不太好，因为高街道涉及到莱布尼斯公式，涉及到泰勒展开式。那么这个题的话呢，说 f x 呢？长这样子是 f 平方乘以浪一加 x， 让我们求这个函数在零这了 n 街道，那这个题就是一个高街道的题目啊。 那我们要求零点的高阶导，您这个函数是两个函数的乘积啊，而且其中有一个函数是 x 平方， x 平方，你第一次求到是二， x， 再求导是个二，你再求导就是零了呀。所以像这样子函数特别适合用莱布尼斯公式来求高阶道。 u x 乘以 v x， 它的一个 n 阶导，那不就是一个 c n 零 u x 不求导， v x 的 n 阶导，加上一个 c n 一 u x 的一 一阶岛乘以 v x 的 n 减一阶岛，好，依次类推，加上一个 c n n u x 的 n 阶岛， v x 不求导， 这就是求高阶岛的两个行是乘积的莱布尼斯公式，那我们要求他在零这的 n 阶岛，咱们先用莱布尼斯公式把这个行数的高阶岛的式子写出来啊。那写的时候同学你也知道 x 平方，他求到第一阶岛是二， x 再求是个二，他求到三阶岛级以后，全都是零了呀， 所以其实写出来的话没有这么多像啊。那您这个 f x 的 n 接到现在就是 x 平方乘以浪一加 x 的 n 街道，所以他写出来就是一个 cn 零 x 平方不求导，然后这个位置是 low， 一加 x 的这个位置是 n 街道，加上一个 cn 一 x 平方，第一次求导，这是一个 line， 一加 x 的，这是一个 n 减一解导加上一个 cn 二，那么二 x 求导是一个几啊？二这个位置是 line 一加 x 的 n 减二解导，往后就不写了， 为什么呀？因为您这个二再写下去，二再求导是零了，那零再求导还是零，后边全都是零了呀。写到这以后，同学注意看啊，咱们是求的零这了，你接到 有时候老师接下来该干嘛？接下来是不是该整理这个了？接下来不需要整理，接下来直接先带这个零进去啊，从而得到零，这的 n 接档，把零往里面一带，那么这一块有 x 方，说明这一项是零了， 这块有二 x 把零一带，什么？这一项是零了？是不是只需要把这一块化减出来，把零带进去？好，我们来化减一下吧。那您看，首先一个 cn 二， cn 二是一个安成 以 n 减一除以二的阶长，再乘后边这个二，这个位置是 line 一加 x 的多少阶岛啊？ n 减二阶岛，我们这个 line ax 加 b， 它的 n 阶岛是有公式的，就是一个 ax 加 b 的 n 次方，分之 负一的 n 减一次方， n 减一的结成 a 的 n 次密，这是高阶导公式啊。所以把这个套进来，那你现在要的他多少？减 n 减二减 n 减二减那分母，这就应该是一个 e 加 x 的 n 减二次密分值这个位置是负一的 n 减三次密， n 减三的阶长， a 是个加，所以 a 的 n 次密这个东西现在就不用写了，因为是一的 n 减二次密，咱们就不需要写了啊，把这一块写开以 后，还需要把零带进去啊。那一化减的话，同学我们来看一下二和二，这不约掉了吗？零一带的话，同学，这个就是个一了，剩的就是一个 n 乘以 n 减一，负一的 n 减三次，这个是 n 减三的结成 n 乘 n 减一， n 减三，等于中间差个谁呀？ n 减二，如果中间多一个 n 减二，这不就是 n 的阶层了吗？好同学，所以的话呢，我们这个题写下来就是一个 负一的 n 减三次 n 的阶乘，那你成了一个 n 减二，你得除一个 n 减二啊。最后形这个形式就相当是化减以后的最减形式了啊。所以这就用莱布尼字公式，求高阶导，你学会了吗？

爱情就像是函数的麦克劳林公式，缘分耗尽的时候就发散，时间则是收敛半径。我的意思是，如果是真心相爱，那么两个人就会一直你和永远走下去。听懂了吗？

导出应用里面八大题型第八种来证明不等式这种综合的问题我来给大家说一下，今天讲一道点简单的类型， 让我们证明 x 减一减了 x， 它是大于等于零的。这道题相对于很多同学来说啊，没有问题，我们直接去对对这函数进行求导，然后来求他的最小值，哎，让他最小值大于等于零就可以了， 没有问题。那么对于这种题的话，我们会发现一个问题啊，他会得出来一个 x 减一是大于等于 l x 的，也就是说 l x 是小于等于 x 减一的。 如果把把它拆开，把它想象成是左边是一个函数，右边是一个函数，是不？也就是在说，当 x 在定义内，也就是零到政务群里面，它是不是永远都使得 l x 图像在 x 减一这图像的下方呢？我们来这里面尝试一下，我们画出 l x 图像，画出 x 减一，好，显然 long x 图像啊，是这样的，那么我画的这条啊，是 y 等于 x， 那 x 减一呢，就是在它往下挪了一个单位，我们发现在这里边 一零处的话，正好是跟 y 等于 x 减一是相切的。好了，大家一定要把这个图像啊印到脑子里面去啊，后面我会大量的用到。同时今天再给大家多讲一个，我们讲过啊， l x 跟谁是关于 y 等于 x 对称的呢？ 显然大家想起来了，就是 e 的 x， y 等于 e 的 x， 那也就是说我在这里面找到 y 等于 x 之后，把它往下挪了一个单位，刚好啊是跟 l x 相切的。那我在这里面问大家，你想一想， 如果我把 y 等 x 向上挪一个单位，会不会跟 y 等 e x 也相切呢？显然是会的，因为这两个图像一个指一个对，他们俩是关于 y 等 x 对称的。所以说你把 y 等 x 向上挪和向下挪，同样单位 如果跟下面相切，那一定跟上面相切。 ok， 所以往上挪一个单位的话，这块啊，就变成了 y 等于 x 加一了。也就是说，就这道题而言，其实啊，就是在研究 y 等 x 减一和 l x 图像的关系。那么就上面这个图像，你能否把它编出来一道题，让我证明这个式子是恒成立的呢？ 显然大家能够看出来，只要是对于所有的 x 数一，十数 r， 我们找把 e x 看到它的图像啊，显然在 y 等于 x 加一的上方。好， 那我右边就写成 x 加一。那对于 x 属于实数 r， 大多数的时候啊，都是大于，只有在 x 等于零的时候这俩相切。所以说这道题我们就可以编出来来， 零 g x 等于 e， x 减 x 减一。好，请你证明它是大于等于零的， 那是不是非常简单呢？哎，所以他在研究的就是这两者之间的关系。那好了，这两个分别的关系你都研究明白了之后，我再来给大家出一个终极的，我们还可可不可以这样去想，可以把这个 e x 啊，来不动， 那我把这个图像向上挪一个单位， l x 向上挪一个单位，它就会跟 y 等于 x 相切，再向上挪一个单位，它就会跟 y 等于 加一相切。也就是说，这个切点的话，挪两个单位的话，就会跑到这来。那也就是说，如果再有一个图像叫做 l x 加二的话，好，那这个图像跟 y 等于 e x 什么关系呢？显然还是 y 等于 e 的 x 图像在这个图像的 上方。好了，那大家想一想，如果我让你证明这个不等式，哎呀，还是挪到一侧构造函数吗？大家可以尝试的试一试。