猴博士画法几何与机械制图

我们来看这个能锥被结以后，他的师徒应该怎么绘制，首先我们可以通过足辅师徒知道他是三能锥， 那首先我们就先将三棱锥没有被切以前左视图绘制出来，因为这里他已经给了你一条点画线，也就说锥顶就在这一条点画线上。 那现在我只需要把三棱锥底面三角形的三个顶点的左视图找到， 那就可以把这个三棱锥的左视图画出来。那首先我们来找三棱锥底面后面两个点的左视图，从中心往后量，然后到左视图从中心往后量 在这里，然后再从中心往前梁可以找到最前方这个点的位置，从中心往前梁在这里找到以后，我们再通过左左视图高平齐找到最顶的位置， 用两个三角板推平行线， 再通过主左视图高平齐找到最顶的左视图投影，用虚实线把它绘制出来。 然后我们就可以用吸食线将三棱锥它的左视图绘制出来， 只需要将锥底和底面多边形的顶点连起来，就是三轮锥的侧棱， 这是保证做对的第一步，先做出三棱锥的走势图，做出来以后，现在我们发现这个三棱锥被两个平面所截，我们首先来绘制第一个这个正垂面截三棱锥他的浮走视图， 那首先我们看这个正垂面切三棱锥以后，它的结交线应该是一个几边形，那现在我们来看第一个平面切三棱锥，它是一个几边形的结交线，首先这个位置它是一个点，因为这条线 在空间就是一条侧轮的投影，所以线面相交，这里是一个交点，然后中间这个位置也是一条侧轮的投影，所以这里是 第二个点，我们找到一个点，但注意最下面正垂面结束的位置是面面相交，在这里呢有一条交线，一条交线就会有两个端点，所以这里是 两个点，就是三点和四点，三点在前方，四点在他的正后方，那这四个点我们先把他的俯视图还有左视图找出来。 首先我们看第一点，第一点他是在最左边这条侧棱上，这条侧棱他的俯视图就是这一条点画线，左视图就是这条直线， 那所以我就知道一点，他的俯视图和左左视图，他的位置就很容易把它找出来。所以首先高平齐 好，这个焦点就是，然后我们再长对正， 找到这个点，这里是一点好，这里是一两撇就找到。然后同样的道理，二点，二点是在中间这条侧棱，这条侧棱我们长对正下来，应该是前方这一条， 然后左视图我们扶左视图宽相呢，我知道应该最前方的这一条直线，所以说高平齐 找到二点的左视图在这里，然后俯视图，我们 我们可以利用扶左视图宽相等，从中心往前量这段距离，然后到俯视图从中心往前量走到二点，在这里 这里我写一个二，你们可以不秒点，好，然后三点和四点，三点和四点他不在侧棱上， 因为三棱椎，他的侧棱一定会过椎顶这条直线，那所以说这个地方他是没有过侧棱，没有侧棱的话，他就是在这个侧面上，在侧面上，因为这个侧面他的三面投影都没有积聚性，所以我马上想到会 去做辅助线，那做辅助线比较简单的方法就是过这个三点去推点 里边的平行线，在这里。好，这条辅助线我们就做出来了，我顺便把这个高频起的线绘制出来。现在我们的任务就是把这条辅助线他的辅食图找到辅助线上这个点， 这个点他是在这一条侧轮上，那这一条侧轮的腐蚀图就是这一条，那所以说我马上可以长对正 找到这个焦点，好，这个点就是我辅助线的一个端点。找到以后，那现在我们怎么来求这条线的俯视度投影呢？ 其实这里我可以利用一个平行线的投影特性，就是在空间相互平行的直线，他的同面投影也是相互平行的，也就是说我现在可以做过我刚 才找到的点，去推我们底边三角形的平行线，好，就在这里就找到了。找到以后，然后我们可以再长对正 三点就在这一条直线上，这个是三， 那四点就在他的正后方。那现在我们先把三点的左视图找到，要找左视图，那我们就从我这里做一条辅助线， 好，然后从中心往前量这一段距离，然后到左视图中心就在 点画线的位置，从中心往前量在这里，好，这个点就是我们要找的三两撇， 然后接下来我们就来找四点，四点在三点的正后方，那所以说四点他应该是在这个侧面上，这个侧面的左视图他积聚成了一条直线，所以四点就在这里， 这是四两撇就找到。好，然后我们根据辅佐视图宽向的从中心往后量这个距离，然后到俯视图长对正的线上，从中心往后量，那我就找到了四点，辅视图的位置就在这里。好，这是四，好，现 在我们四边形他的四个顶点我们都已经找到，那现在我们就把它连起来，那连的时候，首先你要判断一下这个四边形他俯视图是否可见， 然后左视图是否可见，那首先我们知道从左往右看，这个四边形肯定是能看到的，所以我直接用二 b 的铅笔把它加粗，就是一点连二点， 一点连二点，然后二点连三点， 三点和四点把它连起来， 然后一点和四点连起来， 那这个四边形他的左视图我就绘制完成。那接下来我们把他的俯视图连起来，从上往下看一二，这个边他是看得到的，因为这条线他其实就在侧面上，三人锥的三个侧面在俯视图上都是可见的， 所以这连起来，然后二三点是在右边的这个侧面，所以它也是可见的。呃，我把它连起来 在这里。好，然后我们的三四点，三四点，因为他在他的正上方有 实体挡住他，所以这里呢应该把它画成虚线，因为他是不可见的。好，三四，然后最后是一四 可见。好，第一个四边形我就绘制出来了，那接下来我们来看一下第二个接平面，这个平面它是 平行于三棱锥的底面去切的，他是一个水平面，那他是一个几边形，我们也可以来判断他和这条侧棱在这里有一个交点，其实这里就是一个点，所以这个是我的五点。 判断这里到底是几个点的时候，其实就要去看这条线在空间到底是线的投影还是面的投影。像我们这条直线， 很明显他就是这一条侧棱在主视图上投影，所以说在空间他是一条线，那线面相交，这里就是一个点，然后中间这个位置同样的道理，这里这条初始线他是一条侧棱。好，只有一条在正中间的位置，所以这里有一个点，这里是我的，呃，六点， 然后再过来以后就是我们这个三点、四点，三点，四点呢，我们已经找到了，那也就说其实他仍然是一个四边形， 那这个四边形我们只需要找到他的五点和六点他的俯视图和左视图就可以。那现在我们先来找五点，那因为我们知道这个五点他是在最左的这条侧轮上，那所以我们可以 足俯视图长对征，我们把三角板呢靠好以后就要把它按好，免得 差太大。 好，这个位置是五点， 然后在高平起这条侧棱，他的左视图其实就是最后方这一条直线，也就是说其实五点就在四点的正左方，所以这个位置应该是五良品，这是括号 四两匹，这个就出来了。好，然后是六点，六点呢是在最前方的这一条车轮，那也就是我左视图上这个点，这个点就是六两匹，然后只需要找到他的俯视图就可以了。俯视图那就 从中心往前量，找到六点的宽度，然后到俯视图从中心往前量，在这里找到。好，这个点是六点， 六点。好，那现在四边形的四个点我们全部找到了，那我们把它连起来，那首先五点和六点之间辅食图应该是可见的，而且你作图如果误差不大的话， 那做出来以后，你应该很明显的发现，这个五点、六点连起来以后，其实他是和底面那个正三角形的一条边是平行的关系，因为我这里是平行，底面去切的好，这是五六。呃，然后六点要和三点连起来，那也就是连这部分 就在这里 和三点，然后三点和四点连起来啊，最后在背后呢是四点和五点，我把它连起来，那这个四边形它的俯视图我们也就把它绘制出来了， 它是可见的好，绘制出来以后，现在我们来画这个四边形它的左视图，那左视图我们就会发现我们 这个四边形在左侧的积距成与外轴平行的直线，他从最前方的六点一直要到最后方的五点。那所以说这里应该还有一段初始线，我们把他加粗 好，这两个截屏面他的结交线的投影我们就绘制出来。绘制完成以后，那现在我们来完善轮廓，完善轮廓就是完善轮锥的侧轮。首先我们看第 这条侧棱，这条侧棱是一点往上是有的，那也就说一点到最顶的位置，你应该把它给加粗，这里应该加粗好，包括你左视图上我一点往上，这里应该加粗 好。然后第二条测能在二点往上是有的，也就是我俯视图应该这里加粗 好，六点往下游，这里本身就初始线好，然后我们待会把这来加深，也就是二点往上， 六点往下是有侧轮的好，中间这条侧轮我们也就绘制完成。那现在 我们看最右边这条车轮，这条车轮在我们这个图上他是没有被切的，所以说在俯视图和左视图上，他应该都是完整的好，加粗好。那还有就是左视图，也就是说左视图后面啊，这个面其实他是完整啊，这个要全部加粗 好，最后就只剩下三人锥的底面，底面的左视图我们应该把它给加深 好。到这里呢，我们这个题就绘制完成。这里我想说一下，就是这个辅助线求三点的时候，辅助线，我们这里是用的平行线的方式，我可以在这个立体图上把这个辅助线给大家做一下。这， 这个是三，呃，这个是四，那现在就是说我要过三点做一条直线，是在我这个侧面上， 那在侧面上的话，我可以过平面内的一个点，然后推平面内另外一条直线的平行线，那也就说现在我过三点推底面三角形这条边他的平行线，假如这条边我们说他是 bc， 那我们刚刚说过啊，空间相互平行的直线，它的同面投影也是相互平行的，所以说我 b c 边，我们可以找到它的主视图，从前往后看，应该这里是 b 一撇， 这里是 c 一撇，那现在我三点的主示图在这里，那我过三一撇点，就推 b 一撇 c 一撇的平行线，我们把它推出来。 好，那我们就把这条辅助线和他的投影绘制出来了，我们就可以利用这个性质啊，把他的辅食图找到，那这就是做辅助线的一种方式，当然你也可以过锥顶去做直线。嗯，但是我觉得他稍微麻烦一点。好，这道题我们就给大家说到这里。

今天呢，我们来学习一下这个正三龙锥被结前后的投影啊，被结前后投影， 首先呢他这里是啊，水平切，斜着切啊，水分切，切了，这样切的啊，这样切的，所以我们要学会分析啊，正山能锥啊，水平切的，还有斜着切的，对应着他的投影啊，是什么样的是什么样的？ 好了，接下来呢，我们来看啊，注意这个题型里边的系双点化线，就是告诉大家啊，他完整的是个三龙锥啊，但是下边这个实的是切了之后，剩下的系点化线的已经被切走了。好，接下来呢，我们来看 这个题目啊，应该如何来做啊，如何来做？首先第一步我们要学会分析，大家看这个呢，是平行于 底面来切的啊，所以呢，我们切完的这个位置啊，平的这个位置他呢切出来啊，跟底边是平行的，我们在下边画的时候，他跟外边那个三角形的边也是平行的啊，好，所以接下来我们先把它画下来长，对，正 好把这个点呢给他找着了啊，找见这个点 好了，紧接着呢，再看啊，这个点中间这个位置啊，他切了之后呢，会有一条棱线出来啊，会有一条棱线出来，到底这个棱线有多宽啊？我们接下来来给他做一下啊， 过刚才这个点之后呢，做边上的平行线啊，我们说了，做出来的时候跟底 跟这三角形的边也是平行的啊，好，划过来这是一个啊，这是一个。好，紧接着这边他也是平行的啊，也是平行的， 跟这个外边这个边是平行的啊，所以我们接下来画一定要放平行了啊，这条线画过来之后呢，一定要注意啊，他到了哪呢？长对正对这条线啊， 对，这两线中间这个棱线，这就可以了啊，好了，正好画的啊，差不多就是这个棱线的位置，我们找见他好了，紧接着再看啊，最高的这个点呢，他对下来常对正 好了，他呢，对到了这里啊，这个焦点啊这个焦点，嗯，这个焦点。好了，接下来呢，我们把这个焦点给他连上 好，这边呢给他连起来了啊，好了，接下来的时候呢，这边大家要注意啊，这边 这个边呢，他就跟我们这里呢是连上的啊， 好，这个边是连上的好了啊，连完了之后呢，紧接着再看啊，这个边和这个边平行的，因为我们这边切的啊，这平的到这个位置啊，中 间呢有一条棱线给他连上 好了，给他连下来好了，这是一条线啊，一条棱线，而且呢切了之后大家要注意啊，我们的边上的棱啊，剩下的这个地方是有的，所以给他加粗一下啊， 好了啊，这个地方呢加粗了他啊加粗了他，还有我们这个棱也是需要加粗的啊，因为这个边还在啊， 好，给他也加粗好。这个边上的这条小龙呢，他也有啊，也给他加粗 好了，这个地方呢，我们这个啊俯视图，大家要注意啊，他呢就画好了啊，俯视图画好了， 因为这次呢，我们是根据他的形状啊，想清楚了啊，来给他画的啊，就知道他这个面切完之后是个什么样啊，所以我们呢先画的他的啊俯视图啊，先画他的俯视图， 先画俯视图好了，接下来呢我们来看一下他的左视图，左视图呢，相对来说就比较简单了啊，比较简单了，首先呢第一步啊，大家看这个俯视图画好了之后，接下来高频齐 好了，过来啊，高频起好 这个地方呢，大家要知道啊，我们这个三角形，大家看到这个三角形实际上是我们讲过的侧垂面啊，侧垂面，所以对应着他这个点投影下来呢，也在咱们这个侧垂面这个三角形上，所以他的侧面投影呢，就在后边这条 冷上啊，所以这就是一个点啊，这就是高频提过来一个点，接下来呢我们接着看啊，接下来接着看，除了这个点之外呢，底下的啊，底下的 这个呢，也要给他高平起倒过来啊，高平起倒过来，倒过来之后呢，大家要注意啊，他呢后边啊一个点， 焦点啊，前边一个点啊，这都是我们要的啊，后边一个点，前面一个点啊，前面一个 点好了，下边呢再是个平啊，注意这个呢相当于是个水平面啊，所以他的侧面投影这块呢，就是啊，我们看到的就是这条线 好了这条线啊，这条线他呢看到的就是这条线，实际上呢他这个面就是我们下边这个三角形，所以咱们说他是个水平面啊，三角形反应实行的，这是正面是一条线，侧面呢也是一条线，没有问题啊，接下来咱接着看啊，接着看 他这个顶上和底上一定要注意啊，就是这个顶这个焦点和这个水平面，这呢是连着一条斜线，所以这边呢，我们也给他连上， 好，把这条斜线呢也给他连起来啊，也给他连起来 好了，这个连完了之后呢，我们把该加粗的线呢给他加粗一下，实际上大家要学会啊，对应的时候呢点啊，这个点， 这个点呢相当于啊，从这对过来宽相等 好，他倒上去是我们这个点 这个点，所以他是符合投影规律的啊，大家要注意，他是符合投影规律的。 好了，再往啊，再往这边啊，刚才看的是这个点，再往前边这个点 注意啊，再往前面这个点，他呢倒上去就是我们高的这个点 啊，告诉这个点他都是符合啊投影规律的啊，都是符合投影规律的。 好，这个呢也投影过来，对，他都是这样来的啊，所以画进去之后呢，线就比较多了，就比较乱啊，所以咱们呢把辅助线图形里边的辅助线呢就给他擦干净了啊，擦干净了，好了 好了，图形里边的线咱们就不画了啊，侧面投影的话呢，还有几条线需要给大家加粗一下，就是我们这个棱呢，要注意，他还在啊，他还在，所以啊，就是这块呢，我们要需要给他加粗一下， 好，这个侧面的下边也需要给他 加粗一下。好了，这个也给他加粗一下。好了，他侧面投影呢就画好了啊，这边这个点大家要注意啊，他也是对着我们俯视图前边这个点啊，我们来看一下啊， 给大家做一下，要不的话同学不知道怎么对应啊，大家不知道怎么对好，把这个点呢，一个他倒过来之后呢宽箱等倒上去， 你要是看明白了，可以不用做啊，但是呢，大家要是不知道哪里对应哪里的话呢，把这些线对一下，你画的时候呢更方便一些啊，更方便一些。好了，这个呢，是我们的啊，补画啊，正三龙锥被结切后的投影。

所以说大家你在复习的时候一定要怎么样，一定要先怎么样，先看考点，然后的话再去认认真真复习你的专业课，这样的话效率更高一些。各位同学，假如说这个是去年的真题，你放在这，我问你啊，在第一题，第一题出自于哪？

那么我们现在来讲点的投影啊，为什么要讲点的投影？这个是为了方便后期讲结交线，相关线啊，包括那个三四图的补画，那么点的投影呢，是一个非常重要的内容， 那什么是点呢？点是构成物体的最基本元素啊，他点的投影则是物体投影的基础， 两个不重合的点可以组成一条直线，然后三三点组成平面，那么不管是直线平面还是体，都是从点开始来的，点是基础 那点的三倍。投影及投影规律我们是怎么来表示的呢？首先，那这里呢有三个平面，分别是 v， h， w 啊， v 代表的是正面， h 代表的水平面， w 代表的是侧面，那么有一个点 a 最牢空间点用大写啊，用大写啊，然后投影到三个面上的。这个点啊是不能用大写的， 正面用小写加一撇，侧面用小写加两撇，然后水平面用小写的字母来表示，然后这个 a 呢，要和这个 a 要对应啊，这个空间点用大写，这是他的规定的啊，规定的。 那么把这个呃点啊点的投影呢，他这个投影呢，是属于正投影啊，正投影呃，把这个点呢投影到三个面上， 那对应的这里呢？把这个呃 h 面沿着 ox 走往下翻九十度，然后这个 w 面呢，沿着这个 哦，谁走往右翻九十度，那么就会形成这么一个展开图啊，展开图，那么我们所有的图呢，都是用这种展开的这个投影画法的啊，不会像这样画空间直观图不会是画这个的啊， 那么正面投影 a， 这个 a 这个点呢，是用 用一个实心小点来表示的啊，有的教材上面呢，是有也是用空心小点的，那一般来说我们是要表达的话是用空实心的小点啊，不要画太大，实心小点。然后这些线呢，是属于辅助线， 辅助线我们学过线型应该用辅助线，应该用细式线啊，你把不要把这些辅助线加的很粗。然后这个点呢，没表达清楚啊， 然后这个轴也要把它画出来，这个轴，那么最高的往上这里呢？这个圆点，这里焦点呢？写个 o 代表零零啊， 那么是往上这里呢，是用谁表示？然后往左呢，用 x 表示，然后这里和这里这个歪轴呢，就用这个 oy 轴啊， oy 轴呢，把它展开来以后呢，这其实是重合的，两重合的一个轴，把它展到两个 投影面上的啊，那么这个呢，就是歪轴，也是歪轴，歪轴在 h 投影面，所以说叫歪曲。 对呢，这个呢，其实也是在我歪，呃，也是这个往外走，翻到右边以后呢，在 w 同一面上，所以说写 y， w， h 和 w 用小写啊，不要用这么大，不要用小一点啊，小一号字不要写的太大。 然后这里呢画一条四十五度线，也有人呢，会用圆规做一条弧，这都是可以的啊。 然后这个笔点啊，这里加了一个笔点，同一点，一个笔点，那笔点啊，在哪里呢？笔点 可以从这个图上判断出来， p 点比 a 点更右方啊，更右方，那么这个 x 呢？更小一点，然后 b 点呢？从这个俯视 头上看，哦，是水平头顶上看啊， b 点在 a 点的更后方啊，更后方，那么在这个后方，然后从这个， 嗯打这个，从这个主式图或这个，呃， v 面或 w 面看啊， b 点比 a 点要高一点，再高点，那么他的一个投影的位置在同一个位置啊，在这里 比点啊，比点对应的比他要高，可以从这里表达出来，比他更幼，从这里表达出来，然后比他更厚，那可以从这里表达出来，或从这里表达出来啊， 那么他是一个点的三门同音关系啊。 水平投影，用小写的字母来表， 是正面投影，用小写字母加一篇来表示，然后这个就是 ax， 这里就是对应的黑两撇啊，这条只能就是这个，只能就是歪子啊，歪子。 再来看啊， 点的三面投影体系，几只小日本关系啊，这里这字就不看了啊，太累了，这么多字。 xx 就是 点 a 到 w， v 的距离，这就是 x， 那么相当于哦， x 轴的距离啊，就是 x 轴的距离，你可以这么理解， ok， 轴的距离这里 x， 那么 y 呢？就是 a 点 点到黑点到这个微面的距离，那就是往外走，这个走的这个直，这个距离， 那么还有谁？谁就是 a 点到 o 点这里这个高度子到 h 面这个高度子，这个段也是，这段也是，这段也是，这段，都是高度子啊。 那么点的每个面投影的仅能反应 axy 谁的两个坐标，那么在这个投影面上只能反映 x 是谁，这个投影面上只能反映 c 和 y， 因为 x 在这边， x 没有啊，然后在水平面上只能反映 x 和 y 两个坐标啊。 那来看一道题目啊，已知点 c 的正面投影 c 一撇和侧面投影 c 两撇，求其点的水平投影啊，这道题目呢，怎么做呢？那就是连线啊，把线做过来，然后这边呢也做过来， 连下来，然后通过四十五度线，然后在这里呢，就可以找到一个焦点，这个焦点就是 c 点啊，为什么？ c 点刚才空间直观图看过了啊，为什么是在这个位置？ 然后再来看第二题，已知点 b 的坐标为二十，十三十，求点 b 的上面投影啊，二十十，三十他坐标，那么这个坐标对应的指呢？就是什么指呢？就是 x 值是二十，十呢，就对应的 y 值是二 十，我还指是十，这个三十对应的是谁？只谁只是三十，那么在这个每个头里面只能对应两个，走两个坐标啊， 然后把这个画出来，那么得到了他的三个点啊，那么这个水平投影用小写字母，这里呢？小写字母加一撇，这里呢？小写字母加两撇来表示啊。 好，那么除此之外呢，这个空间点呢，有可能还会在投影轴上啊，就是在 oxoyolc 轴上，那么假如在哦栽在轴上，那么投影点应该怎么表示呢？我们来看一下啊， 假如是这里在这个 oc 轴上，那么 oc 轴上这个点呢？他的正面投影和侧面投影呢？都在这个同一个位置了啊， 整个位置，从空间直观图看，同位置，那么水平同一点呢？在这里啊，在这个圆点位置，水平同一点，在这里啊，在水平面上，在这里啊，就是这个圆点，那么用鼻撇和鼻梁撇来表示，这里要不要加括号呢？不用加括号啊， 然后投影面的点，投影面的点呢？就是这个点啊，在投影面上，不在轴上，那我们应该怎么表示呢？我们来看一下啊，我们如果说在这个图上展开来，把它 a 点表达出来，那么在哪个投影面上？ 比如说在 h 投影面上，那么谁就是零啊？在这个，呃， v 投影面上，那就 y 的等于零， w 投影面上 x 等于零，就这么样子 啊，然后找到他的一个点点的位置，那这里呢？是 c 等于零啊，投影面上可以找到他的侧面投影 那么点的相对位置啊。这个，这个我们 不用讲了啊，这个不用讲了，来我们来看一下这个点。重音点啊，重音点，重音点呢？怎么表达的问题啊？重音点怎么表达？就像这里有个 b 点，有个低点，空间两点啊， 他这个点呢，在这个正面和 w 面上不重影，但是在这个水平面上重影了啊， 他怎么表示呢？我们把它展开来，那这个比例呢？从上往下看，也就是在这个水平头顶上啊， 得到了这个点呢，这个 d 在下， b 在上啊，那么在下面这个呢，我们需要加个括号，这个以后我们做那个，呃， 表面小点的时候非常重要啊，直到要有一个点，假的不可见，要加括号啊。

各位同学大家好，我是教图学的熊老师，前面我用三个视频给大家讲一下空间几何元素的一些相对位置关系，其中包括平行、相交、垂直。 那有同学给我留言说，希望熊老师来讲一讲直角三角形法，也就是怎么样用直角三角形法去求一般位置直线的时长和倾角。 这个内容呢，在画画几何里面算是一个比较难的内容，但是他又非常有用，对于我们解决一些空间几何问题的题目啊，是非常关键的。 那么接下来我们就一起来学习直角三角形法。首先呢，我们回忆一下，根据直线与 投影面的相对位置，我们是把直线分为了三大类，第一类是投影面的平行线，有水平线、正平线、侧平线。第二类有投影面的垂直线，有牵垂线、正垂线、侧垂线。 那第三类呢，就叫做一般位置直线。那么一般位置直线呢？他指的是与三个投影面都是相互倾斜的这样的一条直线。 那我们规定是与 h 面的倾角为 alpha， 与 v 面的倾角称为 beta， 与 w 面的倾角呢称为伽玛。对于特殊位置直线，它的三个投影中总能有一个或两个能反映它的 的时长，也很容易找到他的假角。但是对于一般位置直线，他的三个投影是不能反映直线的时长，也不能够在图中直接找到这三个轻角。 那到底一般位置直线的时长和倾角怎么求呢？先提出问题。 那接下来熊老师要提出这样一个问题，如果我给你一个这样的三角形 abc， 请你通过作图去求出这个三角形的实形，什么叫实形啊？就是他在空间实际的形状。 我们来看这个三角形 a、 b、 c， 它是一个一般位置平面，所以它在三个投影面 面上的投影都不能反映他的实行，所以我们要通过做图的方式来求出他的实行，大家想一想，你能够做出来吗？其实我们只要学会直角三角形法，我们就能够求出 a、 b、 c 的实行。 大家想想什么叫做实行啊？我是不是只要知道三角形 a、 b、 c 的三条边的时长，我就知道了三角形 a、 b、 c 的实行了呢？ 所以这个题目实际上把它简化以后，就是求 a、 b、 b、 c、 a、 c 三条直线的时长。 那如何求一般位置直线的时长和倾角呢？那今天这节课你一定要认真听下去了， 这节课呢就是用直角三角形法去求时长和倾角。接下来我就讲一讲直角三角形法的作图原理和步骤。首先我们来讲第一个直角三角形，也就是先讲清楚原理， 我们来看图中有一条一般位置直线 a、 b， 那么它与 h 面的夹角是 a 法。 我们来看这样一个直角三角形，这个直角三角形的斜边呢，是直线的时长， 其中一条直角边，它的长度与 a 曲面的投影 ab 的长度是相等的。那另外一条直角边的长度，大家看一看，它是不是就等于 b 点 距离 h 面的高度减去 a 点距离 h 面的高度之差呀？也就是他的 z 坐标的差。时长和下面这条直角边的夹角就是阿尔法角。 那现在我把这个直角三角形画在右边，我们来总结一下，第一个直角三角形是斜边，是时长，那么他的其中一条直角边是直线在 h 面的水平投影， 那夹角呢？是直线与 h 面的夹角，那它的另外一条直角边就是两点距离 h 面的坐标差。现在我们用第一个直角三角形来求直线的时长和倾角 角。首先来看投影图，投影图给出的已知条件是什么？已知了其中的一条直角边 a b 的长度，还已知了他的高度差， 我们怎么做呀？高度差就是 a 点距离 o x 轴的距离和 b 点距离 o x 轴的距离之差。德塔 z， 那现在做图怎么做呢？也就是 以某一条直角边为直角边啊，然后做一个直角三角形，你可以在水平投影上做，你也可以在正面投影上做， 那我现在是选择在水平投影上做，我以 a b 这条线段作为一条直角边啊，做一条垂线， 那么这个垂线呢？就是另外一条直角边，他取多长啊？他取德塔 z 对不对？那接下来呢，我们就得到了刚才讲到的直角三角形，那么这个直角三角形做出来以后，我们就求得了 直线的时长和它的倾角。接下来我们来看第二个直角三角形，第二个直角三角形呢，它的斜边也是时长，它其中的一条直角边的长等于直线在微面的投影 a 一撇， b 一撇， 那还有一条直角边等于什么呀？他等于这两个点距离微面的差啊，就说距离微面的这个距离差，也就是德塔 y， 那么 德塔 y 对应的这个假角呢？就是贝塔角，那同样我把这个三角形放在了右边， 那么这个图呢，我们也总结一下，你看斜边是时长，其中的一个直角边，是直线在 v 面上的投影，正面投影另外一条直角边呢，就是两点与 v 面的距离之差。 deto y， 那德塔 y 对着的这个夹角就是 beta 角，还有第三个直角三角形， 第三个直角三角形呢？同样的斜边是时长其中一条直角边是直线在 w 面上的投影长，还有一条直角边呢，是两点距离 w 面的这个距离差，也就是德塔 x。 那我们现在 讲到了三个直角三角形，这三个直角三角形都可以求直线的时长，但是不同的是，它可以求出分别与 h 面的夹角阿尔法与 v 面的夹角贝塔， w 面的夹角伽玛。 接下来我们就来回到之前我提的这个问题，怎么样去求这个一般位置平面这个三角形 a、 b、 c 的实行，我们只要求出三条边的时长，我们就可以画出 a、 b、 c 的实行了。 我们来看，首先我们通过第一个直角三角形求出 a、 b 的时长，再通过第二个三角形求出 a、 c 的时长，再通过第三个三角形求出 b、 c 的时长。其实啊， 你也可以同样都用第一个三角形去求 abbc 和 ac 的时长都可以啊。那最后呢，我们知道了三条边的时长，我们就可以做出这个三角形的实行了， 你以为学完了吗？其实还没有，难点来了，点完赞再看。除了我们刚才讲的这些方法以外，接下来啊，我还想讲一下，就是怎么样运用直角三角形法解决更复杂的一些作图问题。 我们来看一看这三个死角三角形，他都有这样四个要素，第一个是直线的时长，第二个是坐标叉，第三投影长，第四倾角。那么我们把它称为直角三角形的四个 要素，他就像一个几何图形的函数。这四个要素啊，我们只要知道其中两个要素，就可以根据作图呢求出另外两个要素 啊。我举个例子，我们刚才讲到的是已知直线的水平投影和 z 坐标差，求时长和夹角阿尔法。 那大家想一想，如果我已知的是时长和阿凡呢，是不是也可以通过作图做出来这样一个直角三角形，也可以求出水平投影和 z 坐标差？那再有，如果我知道的是 时长和 g 坐标差，那同样也可以通过作图求出水平投影和 up。 因此啊， 这四个要素，我只要知道其中两个要素，我就可以通过作图来求出另外两个要素。但重点是，你要能发现他给的已知图中，他到底给出的哪两个已知要素。那现在我们来讲一个例子， 已知 e f 等于三十，是完成一撇 f 一撇，那我们来看一看这个题目，他给出了你什么已知条件啊？ 它给出了时长等于三十，还给出了它的水平投影长 e f， 也就是它的其中的一条直角边，那这个时候我们就可以通过作图求出 g 坐标叉和 a 发角， 那这这坐标叉就能够帮助你找到这个 f 一撇的位置，对不对？好，那接下来我们怎么做呀？ 首先要做出这个直角三角形，以 e f 为一直角边，哎，再呢，做一个直角对不对？做一个直角，那么这个长度等于多少？你知不知道呀？ 这个直角边是不是要求的？但是我知道的是什么？知道的是时长。所以呢，我可以以一为圆心，以三十为半径画一段弧，相当于找到了这个时长，对不对？那找到了时长，实际上就画出了这样一个直角三角形。 好，那另外一条直角变得长就等于什么呢？这座标的差。好，那根据点的投影，你看 f 一撇是不是 直接对上去要和 o a 轴垂直啊？那么又知道它的这桌标差，就很容易找到了 f 一撇。好，那最后呢，我们把一撇 f 一撇 连起来，就把这个题完成了。好，那么做一个题，我们要懂得去思考怎么样去解决其他的题目，也就是刚讲的已知了两个要素，我们就可以把直角三角形做出来，去求另外的两个要素。 好，最后我们总结一下直角三角形法，求直线的时长和倾角，说实话，它是画法几何里面很重要的内容啊，我们经常要去求某一些距离的时长啊，那么这个时候呢，我们就要记得这三个直角三角形， 这三个直角三角形非常容易记，第一个呢，它都是与 h 面相关的，你看它的水平投影在 h 面吧，对吧？阿尔法嘛，是与 h 面的夹角， z 坐标长呢，就是 两点与 h 面的距离之差啊。那第二个呢，就是与 v 面相关的， 第三个呢，就是与 w 面相关的啊，那这三个三角形你记下来了，接下来就是怎么运用直角三角形去解决一些空间几何问题，那你就要记住，我只要已知了他两个要素， 我就可以把这个直角三角形做出来，需求另外两个要素，那么另外两个要素就是你解题的目标，会了记得点赞，不会记得收藏。

所以说大家你在复习的时候一定要怎么样，一定要先怎么样，先看考点，然后的话再去认认真真复习你的专业课，这样的话效率更高一些。各位同学，假如说这个是去年的真题，你放在这，我问你啊，在第一题，第一题出自于哪？

大家好，我是杭州悟空。今天呢，我们要上第五单元的第一课， 那么第五单元呢，和我们上一个单元的内容呢，基本上是一样啊，也是补化视图中所缺的图线 啊，相对数起来的难度呢，要大一点。我们上个单元的 他所缺少的线条呢，都是在一个头上面有缺少的线条， 那这里的话呢，每一个头上都可能会缺少线条啊，每一个头，三个头里面的每一个头啊，都有可能。 那么这个单元的一共呢是四个图啊，一共是四个图。那我们按照老规矩呢，一个一个的来啊。 首先我们看一下啊，这个图呢，他是 是在这么个基本体上面啊，这个地方切掉了块，相当于这样切掉了块，然后这个中间呢 啊，这开了这么点，下面和上面的各开了一个孔，这么是这么个东西。 那么这样的话呢，就是嗯，我们就来找 啊，这个缺少的线条啊，可能会是哪一些啊？首先我们看这个主主视图，那主视图上缺少的线条呢？我们对照左视图和主视图这两个图来看，首先我们看左视图， 左视图这样过来以后，啊，这个地方 在这个地方没有反应出来啊，在左视上没反应出来，那说明什么样呢？这个焦点在左视图上肯定是可以看得到， 为为什么这里看过去的话，就是走速度的，前面是不是那么你这个地方有一个焦点，那么这个地方至少这个地方有这么一条线，对不对？应该这样吧啊。 然后呢，我们再来看他的左视图，那左视图呢，对照不视图来看啊，对照那个左视图来看，他这个地方有个缺口，这里没有反应出来， 那这个地方呢，对过来啊，这个地方呢，就应该呢有个虚线啊，有他虽然看不到，但是他应该是存在的，对不对啊？左视图和左视图，这样就应该就画好了。 那我们再来看这个五四图，那同样的道理啊，五四图呢，这里有一个缺口，那么他肯定是贯穿整个，他是贯穿整个 固体的，对不对？那么这样的话，你这个对过来呢，这个呢就应该有一条提醒啊，贯穿的，这样才提醒。 同样道理，这里每年一月就完全 这里这样。那么接着看这个缺口，这个缺口，这里这个地方，这里怎么没有连接呢？这地方肯定应该有连接，连接在哪里呢？我们看这个左石头，左石头这里到这里啊， 从这里到这里啊，到到这条虚线的终极点啊， 那这个距离的话，这个距离啊， 距离应该在这个地方应该啊和这表表示，在这个地方的话，应该这个地方有个心， 应该这条线应该这样过， 也就是这个距离，所谓长对正高平齐宽相等啊。这个这个呢，应该是相等，比如说这个是 a 啊，然后这个也是，这个也是 a 啊，这是 a， 这也是 a， 这两个这两个尺寸的应该是相等。 那这样的话呢，就是这个样子，这三个平板都已经补好了。 好，我们下面呢把这个图呢画一下。 好，我们打开软件啊， 打开软件，然后呢选择右式基准面为我们的绘图平面啊，右视基准面为我们的绘图平面啊，然后呢，哎， 然后啊，你这个圆点啊，注意我们画图啊，尽量要和圆点建立关系啊，圆点上面出发啊，画这么 大概大概就是这么个基本的样子，就这么这么这么啊，他侧面啊，侧 后面投影应该就是这么个样子啊。然后呢标上尺寸尺寸，他的高度呢，是八十 啊，这个宽度呢，是六十啊，这个呢是二十， 这个呢是事实 啊，这造型啊， 来 这样的话呢，就是他这个形状呢啊，他这个这个图形呢，他从侧面 看过去了，就这么这么东西啊，然后呢我就给他们拉伸啊，选中之后呢拉伸 拉伸呢，要两侧对称啊，因为他是个他是一个对称图形啊，两侧对称啊，对称多少呢？一百 ok 哈。 然后的话呢，就是要把它中间的两个两个缺口啊，给他剪出来， 在中间过这个圆点啊，过圆点画一条中心线 啊，然后呢啊，这个地方要剪掉一块啊，下面要剪掉一块，还要剪掉这么两块是不是 好。然后呢，先把这个呢选中，选中选中啊，然后呢，这边呢有一个对称啊，加个一锁，对称一锁。 然后呢他的宽度呢，是四十五， 深度呢是二十 啊，那么他呢 他的一线的道理啊，他的宽度是七十五啊，然后呢也是把他的三条线的对称中心线，这条线，这条线 现在对称一首啊，这样的话他就剧终了是吧。然后呢，他的深度是多少呢？深度是十个号。 然后呢我就把它 拉伸，气球啊，气球在哪里呢？到下一名啊，到下一名， 这样切出就好了啊。然后我们就看一下这个图案啊，和我们要求对 啊， c 啊， c 一啊， c 一，你看就这么土啊， c 三， c 是这么土， 你跳舞我们可以把把它就看成个线架，你看， 我们在看看看看看看这看，这就是在主视图上面啊，在前视图上没有任何一条虚线就进行了。这么个现价啊。看雪山，看雪山就有 这个地方有一条，这个地方有一条虚线啊，这个地方有一条虚线，是不是 啊，这是我自己感觉舞，感觉舞啊，感觉舞，有两条细线，这里一条 啊，这一条，其他的都是实现啊。这个呢，我们刚才分析的是一样。 好，我们现在把它储存一下。 好，我们把它关掉，我们把它的三四图啊画一下啊， 我把这个图调出来啊， 他主视图，五视图，左视图啊，以及他的一个三三维实体图， 把位置放好，位置放好， 现在给他加试一下， 这样的这个图呢，就出来就画好啊。你看这个和我们刚才更新的是一样的啊，这里有一点呢，这里就是一条线，也就是这条线是吧？就这条 啊，左手上没有任何的虚线啊，左视图上有两条虚线啊，我视图上有两条虚线，是不是？好，这个图呢，这样就画好了。 好，今天的课呢，就上到这里，同学们再见。

那这道题呢，是教你补全正三能锥被结切后的投影，他现在已经将三能锥的 三个视图的轮廓已经给你绘制出来，但是要注意他现在这些地方给的是双点划线，双点划线是假想的，待会要记得要完善。 那现在我们来完善他的投影，那就是做这两个截平面截切以后，他的俯视图和左视图。那首先我们看第一个平面就是左边这个平面， 这个平面他截断了三棱锥的这一条侧棱，还有前方的这条侧棱，这里呢，都是各有一条侧棱，那也就是说我这里这里是一个平面，那这条直线 其实在空间它是一条线线面相交，这里是一个交点。好，然后这个位置他截断了一条侧棱，和这个平面有一个交点。但是要注意的是，并不是说这里就是一条直线了，因为他是面 第一个截屏面和第二个截屏面在这里相交，我们知道面面相交，他应该是一条交线， 那一条交线他就有两个端点，那所以说我中间这个位置应该有两个点，一个是在前方这条侧棱上，还有一个点是在后面的这个侧面上。 我们现在要找这个平面他的俯视图投影，还有左视图投影，其实只需要找到这三个点就可以。 首先我们来看一下第一个点，他是在最左的这一条侧棱上，这条侧棱我们根据长对称 这条直线的一个端点，俯视图在这里还有一个端点是在最顶的位置，那最顶是在俯视图这里，那也就是说我这条直线就是我要的这条侧棱的投影，那现在我们就根据做俯视图长对称， 主辅食图常对正，把这个焦点的辅食图投影找到。好，就在这个焦点处，就在这里。 好，这个点找到以后，同时我们把这个点的左视图也找到，因为这个点他是在这一条侧轮上面，这条侧轮属 属于后面这个平面，这个平面你发现他的左视图其实是积聚成一条直线的， 那所以说我这个点在左视图上的投影其实也就积聚在这一条直线上，所以我们直接可以高平齐， 那就找到了第一个点的投影在这里，左侧的投影在这。好，现在我们来找中间这个点的投影， 中间前方这条侧棱，他在俯视图上应该是在这条侧棱上好长对正下来嘛，然后高平齐宽相等，你会发现 最前方这条侧轮就是这条双点划线，那也就说我这个点他其实就在这个最前方双点划线上。好，所以我们直接高频起 把它做过来。好，这个焦点我也找到，找到它以后，现在我们就可以去把俯视图上这个点的投影找到。要找这个点的投影，我们可以做一条辅助线，我呢就过锥顶， 如果你用这条四十五度线，就不用再做这一条辅助线了，我呢在这做一条吸食线作为辅助线，用测量的方式。好，然后呢就去从中心 往前量好这段距离，然后到左俯视图中心就是最顶的位置，从中心往前量好，那我就找到了这个点的位置。好，前方这个点找到以后，我们要找后面这 这个点，后面这个点他其实在左视图上的投影就在这里，因为他是在后面这个侧垂面上，那所以他的俯视图也就很好找，那我们可以从中心 往后两在这里。好，然后从中心 往后量。其实你注意观察的话，你会发现你第一个截屏面， 它是与三棱锥的底面是平行的，既然平行，那么其实这里就是一个三角形，而且你也会发现啊， 第一个点和第三个点，他在左视图都在这个点，他们的宽度位置是一样的，所以说其实我可以直接在这里推平行就可以出来，找到 到这，然后我们把这个点连起来，因为这个三角形他是看得到的，从上往下，所以说我们待会用初始线把它加深就可以。 好，这里有一条直线，好，加起来，这里是看得到的这一条线。好，这个三角形我们做出来以后，那他的左式的投影其实就是这一条直线，我们可以用二笔的铅笔，我可以把它加粗， 因为它可见啊，所以我们就用二笔铅笔来把它加一笔。 好，第一个截屏面，他的俯视图投影我也就做出来了，然后我们来看第二个截屏面，就这个 正垂面，正垂面首先在下面这个端点的位置，他这里是两个点，我已经找到了，然后在上方这个位置，他截断了这一条侧棱， 那这条车呢？我们根据投影关系可以找到他的俯视图，就是这一条双点划线就是这一条， 如果你找不到，你就用点的投影来找。比如说这个直线的两个端点，一个在这里长对称，在这还有一个顶点是在这个位置，那就在中间这个位置，所以连起来就是我要的侧棱，那这条侧棱左视图也是在 在这条直线上，因为它属于这个平面，那所以说我们要找这个点，它的三四图就很容易把它找出来。 呃，我们可以先高平齐，因为我们很容易找到他的左视图，高平齐找到了。好，这个焦点就是，然后再长，对，增 长，对，正好这个焦点就是我要找的这个三角形的。呃，一个顶点，那现在这个三角形从上往下看我是看得到的，所以说我应该把它加粗， 他在这里。 好，然后 后面要和刚才这个点要连起来。 好，这个俯视图的三角形我就做出来。然后左视图刚才其实我们应该先把第一个三角形的左视图投影我们把它做出来， 因为说你第一个平面他是平行于底面去切的，所以说其实他就和你底面的这个直线是平行的关系。 好，然后上面这个三角形在左视图上应该就是一个三角形，他的投影我们三个点已经找到，一个是在这，一个在这里，一个在这里，所以我们只需要把它连起来就可以了，因为是可见的，所以你就用二笔的铅笔直接连，不用再用 hb 的。 好，那 这里的话这个结交线的投影我就做完，并不代表这个图形做完啊。我们说还需要完善轮廓，因为原来他给的已知条件很多侧轮他全部都是用双点画线来绘制， 那现在没有被截到的侧棱，我就应该把它加粗，比如说左边这一条侧棱，他只截断了这个平面往上的部分，那往下的部分应该是有，所以说我这里应该用二臂的铅笔加粗这一条 好，然后在俯视图上最前方这条车轮，那就应该是在这里要加粗。 好，然后最右的车轮应该是在这个点往下是要加粗的，所以这里我应该把它给加粗， 然后左视图也是一样的道理，那我后面这个面一直要到这都有，所以说我这里应该用二比的铅笔加一遍好，前方的话应该就是在这个点往下把它加出 好，到这里我们这个图就绘制完成了，要检查一下有没有错误，如果没有错误那我们就可以。

何老师教室出品十天学会 cd 教程，今天第一讲，在开讲之前，我们把软件做一个简单介绍，我们的教程呢，是小白学习的啊。第一个我们的软件，我做一个简单的介绍， 所以说我们学软件知道 c e d 软件，它是由 o two disc 公式 生产的专业辅助绘图软件。 就这样一句话，有人会去考取 auto desk 公司的一个认证，那么 auto desk 公司旗下出品的软件，比如说 c a、 d 三 d 都非常出名。那么今 天我们学的了 cad 软件，那第一个软件我们打开之后，大家发现是这样一个界面，那有可能同学说，哎，老师，我之前看到的是这样的界面， 那大家能发现版本， cad 的版本有很多版本，那么统一把它贵分成两种，同学们仔细听，第一种经典版，第二种标签版， 你听明白啊，这种标签的，你看参数，画视图，默认插入，对不对输出，那么我们之前的老版本，他都是用这种命令栏，比如说绘图，哎，这种 工作空间，或者我们的修改，包括我们的图层特性，这是他们的 区别。那有人说，老师我应该选择哪种版本学习呢？无关紧要，我的课程当中，我会把这两种的绘图方式都给大家进行讲解，那么我们选择高一点的版本给大家做， 有同学关心软件，我们会给大家提供，到时候同学们自己去安装，或者联系我们老师远程安装都行。第一个打开软件，我做一个操作，同学们也可以看一看，鼠标右击空白处，鼠标右击选择选项， 然后呢，我直接做配置，重置电视，我为什么做这个操作？第一会啊，同学们在做，说，老师我的跟你的大小又不一样，颜色又不一样，没关系，怎么办？配置重置， 这个相当于什么手机的还原出厂设置。那这个时候老师跟你刚刚安装的软件应该是完全一样，那么我们在学习这个软件，就和你认识一个新朋友一样。第一个我给大家讲用户界面， 整个界面啊，这样整个界面，那么这整个界面呢？是这样的，我能建议大家你把整个界面归分几类。第一类，这个第一类其实是在这这个区域，能理解吗？中间啊，我现在圈出来这个区域。第一类，这 这个区。第二类，就这个大区域，大家看啊，看我的屏幕，然后我把这个中间整个区域就是绘图区最下面 状态来，还有一个小的区域在哪？在这在这在这，可能现在看不清，没关系，我把推出来，还有一个区在这，我把拖上来，在这个区 这样几个重要的区域，你把它记住了之后，你来学这个软件就很方便。那么我建议同学们第一个操作会读之前第一个操作，点这个小按钮，看清楚，点出来让他显示菜单栏， 我把菜单栏显示出来啊，有文件编辑试图插入，这个时候所有的命令 都会分类的来显示在我们这个菜单栏里面。比如说我想绘图了，同学们去找绘图工具，我想标注，找标注，我想修改，哎，我想旋转删除， 都在修改，听懂了，我想调文字的格式，那都在这，非常方便你找起来。那么第一个我们讲解的叫快速命令来，在这 也叫快速启动栏，新建，打开，关闭，保存啊，这些内容撤销，返回，当然你还可以，我想显示图层，点图层， 图层来了吧，好，我们来图层隐藏掉，我们尽量的不去做过多的设置，这样的话你的 cd 软件是通用的，换一台电脑依然可以用，这样我讲的非常通俗易懂。 那第一个操作，在快速命令栏当中，我要求同学们显示什么？显示菜单栏隐藏，菜单栏显示，记住了，第二个叫选项卡面板， 这个区哪里这里，那就重要了，为什么所有的绘图，所有的修改，同学们以后都会在这个区进行操作？选项卡面板呢？可以切换一个默认的 啊，我们有绘图，有修改，有注视，有图层，有快，有特性，对不对？那我们有插入啊，有注视，有参数化，都可以进行切换，都可以进行切换，这个记住， 然后呢？是哪里？然后到我们的工作区，中间是我们的工作区，工作区当中呢？无非就是又要绘图了，是不是要自己绘图？那么绘图我讲几点内容。第一个工作区当中有一个叫光标，咱们能看到我们的 十字光标中间有个靶心，那么光标你要会调节，怎么调？光标？鼠标右击选择选项， 然后选择，比如说这边我们有很多，刚才我们讲的是配置对不对？那么我们有绘图的，绘图的自动标记光标大小，哎，你要调大调小把框大小，中间的把框大小， 把黄打响。那我们还有什么呢？显示类的我们看好了，十字光标大小只有五，我调大。很多人应用，确定很多同学是不是习惯于这样？ 好，再来打开 o p 快捷键，这个快捷键要记住了，空格键，空格确定，打开这个窗口，然后进行设置。第一个调整光 光标大小，在显示当中。第二个绘图当中调整拾取框，把把型大小确定，比如说怎么拾取框，比如说直线工具，看好直线，选择直线好结束它， 怎么结束空格键，你不管他空格键，那么如果说我想删除其中某一条直线的时候 删除，哪里有删除？咱们看在这里这个按钮就是删除删除，咱们看是不是有一个方框，这个称之为拾取框，那么拾取框的大小就在 op 当中进行设置， 我们可以输入 o p 空格去设置它把框大小。一般情况下这些链内容同 同学们不用设置，能听懂我说话意思没有？那当然，我讲出来，你要知道在 o p 当中进行调整， 中间窗口呢？我重点给大家讲几个内容，第一个光标如何操作，那么光标操作很显然要选对象，是不是要选对象？大家看，我可以单击 选一个对象，再单击加选，再单击加选好，我们再点，全部选中了四条线条，这个时候我想更改他们的颜色，好在这，比如说啊，比如特性这边我们改一个红色 成功，这个时候有人说，哎，不对不对，我们要后悔了，怎么办？我先撤销这个按钮，一撤销，撤销好，再来看一遍， 选一个，选两个，选三个，点它就可以，这个时候我想取消选择，按住键盘的 shift 键，同学们头低下来找一找你键盘上的 shift 键在哪里？ 这个为 shift 键，这个为 ctrl 键， alt 键。好， shift 键。也就是说同学们按住 shift 键之后，你光标移到对向上，大家发现光标方框上面有个减号，能看见吗？好，这个时候你点它，这个称之为简选 哦。在 cad 软件当中选择对象，默认情况下点选就可以加选，那如果说多了之后想要简选的话，按住 shift 键这种方法，那第二种方法，我们 去选对象。再来看，我们这有一个圆，我画一个圆，好了，我把这个三个捕捉性关掉，画了一个圆。我们选的对象怎么选呢？咱们看啊，我来框选，从左往上框选，鼠标点一下松手就行了，点一下放手拖动鼠标。好，我框到这。 而且大家发现啊，我们中间的内容已经变成深色显示，点击鼠标，我们直接框选的选中对象。好，取消选择 e s c 键盘最左上角的键 e s c， 再来框选 全包围，选中所有对象，这个称之为框选。那我如果从这框我只能选中圆，大家能理解框选，框选，还有一种方法叫反框， 看怎么反光，你看接触到对象即选中，只要碰到对象，碰到对象就可以选中，按住 shift 键取消选择。 好中间窗口，我们讲的选择记得吗？好，我们这样笔记先来记一记啊，加深印象软件介绍，我们不介绍太多。第二个，我们讲重点，今天的重点就讲拥护的界面 啊，这是我们今天的重点用户界面介绍。那第一个呢？我们讲到的是快速启动栏，记得在哪里？最上方，同学们要会显示于隐藏菜单栏， 听懂了一定要显示隐藏菜单，来 第二个，我们讲 选项卡面板。好，那么我们既然说到这边，我们讲一个重点事项，讲一个什么选项，卡面板当中有很多工具，那么现在我把早期版本的绘读方式调出来，同学们仔细看在哪里？ 我们在这边我们把所有的我们最常用的一些内容工具栏看好，工具工具栏，工具菜单，工具栏，凹凸 cad 当中，首先我们最常用的几个，第一个你可以找绘图，把绘图打开， 好的，我们去把绘图打开，点开好放在这拖出来，是不是跟老版本一样？好，我把它放到左边，这样同学们可以对比着学绘图。 再来孩子的工具，我们选择工具来，我们选择修改， 修改，咱们发现啊，他自动跑到右边去了，那我们就不调绘图，就是画图，属于你的文具盒，里面有很多的绘图工具，修改相当于你的橡皮擦，旋转正列，删除，移动啊修改。那再来我们还要去用什么呢？好还是用工具？ 这边工具栏我们选择，我们一般呢还会把图层打开，图层，哎，我要绘图层，用好再来工具栏，我们选择特性面板， 因为东西比较多，同学们你把它打开之后呢，以后也不用再去打开了，你去卖，您去找找到特性面板， 然后呢你把它放过来，放在银行，图层特性，其他的不用。所以说我们在早期的时候，我一定要让同学们记住了。首先你常用的四组工具来绘图 修改特性，其实还有一组，大家应该已经猜到哪一组啊？猜猜看哪一组，你要不要标注，要不要标注，肯定是以后要讲标注标注，所以说常用的还有一组标注， 那么就是这样几组特写面板，比如说老师上面有，对的，这上面也有，所以说你可以对比着来学习。好。第二个重点事项，把它写到笔记本当中，第一会你一定要会操作选项卡面板当中呢？我们讲一个重点事项，什么事项调出 工具栏，那我们在工具菜单下面我们看一下，写正确，把它写对了。工具工具栏， o， two， c， a， d 工具下面有，工具栏下面有， o， two， c， a， d 下面有。那么我们常用的几组绘图你要记住了啊，修改这个一定要记住了，还有特性， 还有图层标注。其实再简单来说，同学们你学 ce 就学什么，就学这几个东西， 你把它都学会了， cd 软件就 ok 了，所以说你要知道这几个工具栏在哪里，把它显示出来就可以记住了。那么第三点，老师给你们讲的是哪里？ 工作区或者称之为绘图区，是我们中间最大的，那么在绘图区当中我们也讲了几点，第一点，绘图区当中我们讲光标大小调整， 记得吗？第二个我们讲实曲框大小调整，这两个内容其实都在哪里？同学们都在 o p， 我现在写 o p， 你能理解啦， o p， 好，来看一下调整自己内容，都在 o p， 一定要敲空格来确定，同学们都在 这里面设置，你自己去调，那这个正常情况下也不用去调。然后我们讲了一个重点，就是在 cad 软件当中，你不管做什么操作，比如说你要改颜色，你要删除，你要标注，你是要选对象的， 那么我们在 cd 软件当中如何？第三个如何来选择方法， 选择方法有几种，第一种，第一种我们称之为单击，记得啊，啊，去点他就可以，你去点啊，不断去点单击就可以。第二种，框选，注意框选有两种，第一种称为正框， 他要全包围，选中全包围，全部包含在里面选中。那第二种我们称之为 没反框，这个只要接触就可以选中正框，正过来框，反过来框。嘘啊，这个细心的同学能发现啊，当我们正框的时候， 我们的边缘是实线，整个边缘是实线，里面的颜色蓝色，反框的时候颜色不一样，外面的线型也不一样，你记住这两种方法听懂了没有？然后呢，我们在选择的时候还有一个什么，就是我们的一个简选， 选择正框，反框，对不对？所以说我们还有一个选择方法， 那么我们有一个简选，第四点的一个简选，我们把它写出来。 第四点 啊，这个用了这个标签之后呢？这个标签不好看，这个我们把它换一换，第四个我们就写四吧， 第四个它有一个简选，简选怎么做还记得吗？配合 shift， 简为简选， 要记住啊，怎么用对不对？刚才我都有讲过，那么第五个呢？我们就讲了一个，什么？讲了一个取消，哎，我没讲 e s c， 同学们去找一找 esc 这个键在哪里？键盘上，现在低头看你的键盘左上角， esc 取消这个键很重要，为什么？你看 我选对象，是不是？现在我不想要选了怎么办？ e s c， 摁一下 取消，那么比如说我选中对象， esc 取消，或者说我选择一个命令，直线命令，现在屏幕当中，咱们看指定第一个点，那我现在想取消这个命令怎么办？ esc， 记住了，我每说的一句话都是干货哦，不喜欢说很多废话，所以大家记住每讲的每句话，你一定要记住了。 esc 这个为取消。 那么第三个我们讲一个删除，选中对象点删除按钮，或者选中对象点删除按钮。是不是经典版也学了啊？我们的新版本也学了，删除没了。那还有种 方法来，回来选中对象。键盘上有一个 delete 键，同学们低头去找一找，平时删文件那个键在你的方向键上下，左右方向键里有一个 delete 键。好，我们去删除， 删掉了好，再回来。理解，没有删除对象好，我们全选删除对不对？好，返回，回来来写笔记。第六个删除都是在我们工作区当中用的最多的啊，我把这个快递进写出来， 一般我们用快捷键啊，找一找这个键啊， delete 键选中对象删除。那同学们刚才也看到哎，老师删除之后又回来了，怎么回来的？那就是撤销与返回， 所有的软件都通用， ctrl 键加 z， 或者说 ctrl 键加 y， 这个不用多讲，你只要怎么，你去操作一遍就好了，能听懂明白吗？啊， ctrl 加 z， ctrl 加 y， 你选中它，我去改颜色。看清楚啦，可以在这里改颜色对不对？ 也可以在哪里在这里改颜色。是不是新版本跟老版本都一样，改完颜色后悔怎么办？可以点这个按钮 啊， ctrl 加 z 回来啊，再回白色再回一次。好，回来了也可以用 ctrl d 加 y， 再让它返回来。听懂了没有？ ctrl d 加 z， ctrling 加 y， 反复的进行操作。好，那么在我们中间窗口还有一个重点，鼠标讲了 鼠标怎么选？讲了，那么鼠标的怎么操作呢？我们讲一个鼠标中键，哎，说老师，鼠标中键是哪个键？记住了，鼠标的中键就是你的鼠标滚轮键，滚轮键如何操作 好？滚轮，第一个最简单操作，鼠标中间可以滚动，哎，滚动放大缩小，可以摁下去，鼠标摁下去拖动，这个不用多解释吧？ 滚动缩小，因为五你的图小啊，如果说你的这个图很大，你看这图很大吧，是不是？哎，我想看右下角，来，从这开始来移动，滚动放大，滚动放大，听懂没啊？这个不用解释了啊，你去 操作一遍，滚动按下去拖动，还有一个操作，鼠标中间还可以连续点两下，一二，哎，全屏显示 好，有人说我遇到问题，我选中内容删除，我想绘制一个图，我选直线，看好了，老师开始讲画图了，选直线，点一个点，鼠标点一下就可以拖一个方向，然后你就输一个数值吧，比如说我输一个一千 或者一万。确定挑空格，随便，你，不管他，你随便哪个方向，空格，你确定画好了怎么办？画好了，咱们看没有结束，对不对？你可以再摁空格结束。这个时候咱们看有人说我去缩小滚轮，去缩小移动，缩小 移动，听懂了没有啊？大了移动好，选中它，删除好滚轮的几个操作来，这是重点，写出来第八个， 第八个呢，我们讲鼠标中键的操作选择方法啊，那第八个呢？我们讲鼠标中键操作， 鼠标中键操作几个操作内容？第一个 我们先写双击连续点两下，这个称之为满屏显示， 满屏很好理解，那第二个呢？我们可以滚动， 滚动为缩放，还可以呢，摁住拖动， 按住图筒为移动视图。这个操作同学们一定要记住了，听懂没有？ 那么现在你看到我们讲到中间是不是就 ok 了？哎，中间窗口，我知道他的一些基本操作了啊，一些基本操作。好，我们再来看啊，这边的东西还是比较多啊这边东西比较多，我们再来看，我们往哪里看呢？我们来先来看这个内容，这个啊，我拖动了这个，这是个重点， 非常重要，你看啊，这个重点有什么用呢？你可以显示，也可以隐藏。 大家看， ctrling 加九是没有啦。同学们，有人说，老师，我的软件和你不一样，我没有，怎么办？ ctrling 加九，我先讲一个快捷键，这个千万不要关它是什么，它叫命令栏，其实也叫向导框。 同学们出去玩你得找导游吧，给你介绍。那么其实现在你做 cad， 你得也有一个导游，谁？他，他是你的导游，他什么导游呢？同学们，来看，他，让你 进入命令啊，输入命令。好，那我不讲输入，或者说我可以用鼠标输入命令，我来看，我输入命令，直线再来看，你就看现在，眼睛盯着这看啊，现在同学们的眼睛一定要 定到这个位置看，听懂了没有？定到这看那，大家发现他让你干嘛耐啊？直线指定第一点，第一点在哪呢？第一点在哪你自己去选，比如我想从这个位置开始，你点一个点， 然后你看好了，不要看你中间看这个位置，指定下一点货放弃。下一点在哪啊？下一点在这或者下一点在这。下一点多少啊？多少？我们到这确定是不是有了，再指定下一点，货退出，放弃。好，再指定一点，在这 再来指定下一点，现在多了关闭退出放弃。好，我们用关闭试试看，我们点这个关闭，或者输入 c 空格，为什么输入 c， 这里面提示你了啊？ c 空格理解了吗？ 空格就是确定啊，空格就是确定，记清楚，那么命令栏很重要，只是一说而过。那第九个啊，汇都区，那第三个就是第四个了啊，汇都区我们讲了很多内容，那么第四个我们讲到叫命令栏， ctrl 加九这个快捷键，一定要记住了，这个是重点，它是向导啊， 是你的向导。所以这边呢，我们就写一句话，在命令栏这边呢，我们写一句话，写句什么话？同学们一定要看命令栏操作，不要自己想怎么操作，怎么操作，一定要看命令栏来操作，听懂了没？所以说命令栏它是你的 向导，指引你如何进攻工作，一定看命令来操作，这个重点千万记住。好，再来看这个重点，讲完我们看哪里？看最下面，这下面东西还比较多，这里 东西比较多，那么呢，最下面呢，我们先讲一个，好，我们来最下方，我们称之为状态来 东西比较多。那么呢，我们先讲哪里呢？先讲这里，看，这里有个小齿轮，我先讲这里，听清楚，我先讲这里叫切换工作空间点出来 有人说啊，但咱们看啊，我先做一个操作，因为我讲课啊，同学们平时工作不要像我老师一样啊，说你又显示这个，又显示这个，没必要听懂了没。那么工作空间呢？我先教 将当前空间空，工作空间运存为，我已经把它保存一下，比如这个是我讲课用的，我写个名次， 何老师教室吧，保存，你来看同学们一般怎么做？草图与注视切换它好回来了，这是草图与注视的简洁，再来点出来， 三维基础工作空间设置自定义。何老师教室，刚才是不是我做的？何老师教室 有了吧？有了，我做的，你也可以把这中间这个窗口其实可以关闭，你听懂我的意思吗？把这个可以关闭，你关掉它。这是不是就是经典窗口啊？这就是经典窗口，我讲同学能听明白啊。第一个，工作 中间的设置好，我们用我老师讲的这种好，先反向点掉，先点草图与注射，再点 选择和老师教室再点过来。很多人在网上去问啊，可能你是初学者，你觉得老师一讲，因为你没遇到过这样问题。问啊， c a d 新版本如何设置为经典版本？会了没？会了没？同学们 把这一些打开，把这个关闭，那么就是经典版。第一个讲的是工作空间， 那么下面内容比较多，我们先讲几个重点。第一，记住了，同学们，我们绘图都在模型里面画，你不要到布局里面画，布局绘图我们会讲，他出图的时候会教你怎样用布局四口去操作， 那么我们都是在模型里面画，重点讲什么呢？讲辅助绘图很重要，仔细听。第一个，这个不用说，就是坐标，那么讲哪里呢？ 这个怎么看啊？其实这里有一个三格，大家能看见吗？周围是纯黑色，这中间有三格，能不能看见？其实这个三格这个区域是我们图纸大小啊，不出错的吧，应该是四二零逗号。二九七的大小 啊，英文输入法啊，四二零英文输入法状态下我才有用啊，这个没马甲的啊，二九七是不是啊，是不是这个大小？它是一张 a 三纸的大小，那么你可以隐藏掉，这样窗口清不清楚啊？同学们 很清楚，一般我们都隐藏，这个太简单。不多说，我讲重点，那么第一个重点，动态输入非常非常非常重要，看好了，为什么 你在绘图的时候，我们有一个指示，你指定第一点，也就是其实相当于看这个位置，那你如果说关闭动态输入，大家看显示隐藏快捷键 f 十二，这个我一定要讲听清楚，动态输入一定要打开， 老版本叫 dyn， 你要把它打开，那么第二个这个叫正交，哎，怎么理解来，直线， 看好了，这根直线是不是可以任意画，任意绘制，那如果说 f 八正交打开，它只能横平 竖直，这很好理解，横屏竖直绘制好再关闭。那还有呢？这个呢？啊，你来看一下，这个叫什么？这个叫指定什么？限制角，他没有角，你看我把它打开 慢点，你看有一根绿色蓝色的线，看到没有，我们滚动九十度应该也有，有了，好，你再看啊，我点出来，我选择三十六，十九，十一百二，当你线条到三十的时候，是不是自动捕捉到这个三十的线了？ 以前我们称之为极轴捕捉啊，他可以捕捉到线啊，捕捉到角度线啊，就这个意思啊，绘图也能用到，所以你要记住了啊，这个叫极轴，那么这个叫等轴侧 折射图的时候用，现在用不到再来看啊，显示捕捉参参数，这个一般打开他有追踪的，有追踪效果，听懂了没有？再来看，这个就重要了，捕捉什么呢？比如说你看直线，大家看 端点有提示，端点有提示，有人说这终点为什么没提示？好，仔细看，鼠标移到这，右击听清楚。右击干嘛？你把终点打开，找一找终点，终点有了你再来， 有了没有？有了终点看到没有终点。注意啦，一定要看好了，你当他显示的这是终点，听到没有终点，像这种，他只是最近点啊，最 近点，那你也可以把它点出来，自己看一看，可以捕捉哪些点？老版本当中没有几个中心，听懂了没有？几点就是我们的端点象限点，一个圆的四个象限点，焦点范围 啊，可以追踪啊，插入点，垂足起点，最近点啊，平行等等的一系列捕捉。那也就是说在这个里面当中呢，我讲了几个重要的啊，这后面有一个是线宽， 线宽显示隐藏什么意思？你看这一条线选中它，我们讲过选中它，怎样改线宽呢？老板们，在这 线宽看到没有线慢慢在这都一样啊，加粗，也就是说没感觉，别着急，线宽打开 有了吧，一般绘图你都把它关闭，为什么线宽粗了看不清，所以我们把它关闭了，来进行绘图。好，打开笔记本命令来不成，不强调太多了。第五个我们讲的是状态来， 状态栏当中呢，有几个重点内容。第一个 状态来，我们想叫动态输入，我们讲第一个动态输入 f 十二，一定把它记住了，同学们。第二个我们讲正交 f 八这些快捷键，记住它。 然后呢，我们去对向捕捉， 对向捕捉，右击设置捕捉的类型，比如说端点啊，呃，焦点啊，垂足啊，自己去设置，听懂了没有？ 好，这个是几个操作？那最后我们再写一个内容，今天马上同学们就可以下课了啊，今天再写个内容，第六个，我写一个。什么？写一个确定键， 取消键，知道是哪个键吗？ esc 取消键啊，记住啦，取消，哪里都能取消啊，不要学着前面往后面啊。取消，那确定键好，确定键呢？我们这样来写， 确定，第一个，我们写空格，还有回车， 还有鼠标的右键，都可以确定，都可以确定，记住了，这几个都可以。好，那第一回我们来讲这个第七点呢，我们写一个软件还原， 会吗？操作在选项下面，我就这么写了，我课程中讲了，选项下面可以软件还原，就是你软件有问题了，怎么办？还原来看确定金如何操作好？ 选直线，选起点，选长度，现在是不是让我们输入长度？那刚才我们学过正交，看到没有？正交打开来，在这正交打开选择长度，比如说我输入一百，一百，怎么确定这个数值 空格键，听懂了没有？哦，这直接这么点来选择方向，一百确定再来选择方向，一百确定好再来怎么办？可以 c 闭合。 第一讲，你要把我笔记当中所有讲到的内容都给我听明白，这个笔记我会提供给大家，但是我建议大家是一边看一边记，老师都能打出来，我相信你来得及写，把它写出来，从头到尾去看。 今天第一小讲，我做一个习题，极为简单，习题，同学们看，我来做啊，我们在新版本里面做吧。老版本新版本一样做啊，但是没没区别。其实 好，我们不在这里面做，我们到新版本里面做， 不做 ct 也行，把我讲的内容听明白。但这个第一个 ct， 我建议大家去做啊，把它做一遍。 好，我们点四，这个点四就可以了。他是否以指图方式点四，打开 一个简单的图，非常简单。那这个图首先会移动啦，会放大缩小，我们都会了啊， 那么把这个往下来一点，挡到我们的视图，这个图大家发现他都是直线，而且都是横平竖直的直线，所以说我需要打开正交，对不对？ f 八，打开正交怎么画？ 我来做。选直线或者输入快捷键， air 空格确定。好，我们用简单的方法选直线， 选完直径以后指定第一点。那第一点在哪呢？看小技巧，同学们，我从这个点我不用没有点啊，没有点鼠标听清楚，往右移是不是有根虚线， 哎，捕捉到水平面的虚线啊，我从从来慢慢移，从这个点开始点鼠标，点鼠标了啊，好，然后他的方向往上呢？往右呢？好，往右往右，不要再点鼠标了，输入数值六十五怎么办？空格确定， 再来，鼠标往上一推，控制方向，输入四十空格键确定。同样的方法， 鼠标往左输入多少？六十五，空格键确定。这个时候聪明的同学已经知道了，第一，你可以过来捕捉到这个点，第二，我可以输入 cb 和 学的东西要用起来哈。闭合是起点到端点，因为我从这个起点开始画的好， c 闭合方便吧？好，再来一个小技巧，老师，这个点我不会找啊，怎么找？是不是？你会找吗？你会找啊，来直线， 我们先不讲太多，来直线起点，从这个点点一下往右多少啊？十四确定往上来，往上来。八、找到没有？找到了好的控制方向。十二，空格确定往上。 十确定空格往往右，十六、确定往上，一定要控制好方向再来，十四确定再往上八、确定再过来多少？ 四、十二确定。这个时候记住了，不能用 c 闭合了，你一闭合就闭合到这了，听懂了没？我只能到这捕捉这个端点好，结束它。空格键结束， 多余的线怎么办？选中了怎么怎么删，同学们记得吗？删除键或者点删除按钮。好，第一个试图完成，同学们，你可以下课了。那下一课我们再见同学们。

所以说大家你在复习的时候一定要怎么样，一定要先怎么样，先看考点，然后的话再去认认真真复习你的专业课，这样的话效率更高一些。各位同学，假如说这个是去年的真题，你放在这，我问你啊，在第一题，第一题出自于哪？

开始本小讲内容的讲解之前呢，我们把上一小讲做一个回忆，上一小讲我们第一次啊，同学们接触到我们这个 c a d 二零二零的软件，那么同学们只要把什么整个界面弄清楚， 那我们在做的过程当中呢，同学们可以打开你自己写的笔记界面的介绍，我讲到哪里是快速启动栏，它可以做哪些操作选项？卡面板，我们一定要知道这些面板它可以做什么， 至于怎么做，我说课程中我们会详细讲解工作区，光标调节， op 选项啊，怎么打开，选择的方法，我讲了好几种， 单选，加选，减选框，选框选，有正框，有反框，取消选择，撤销返回。然后呢，我们有一个界面的调整，千万记住了，双击。这里呢，我给大家补充一句话，我写这边 后面你肯定会用到。有的时候呢，我们可以通过绘制一个大尺寸的圆，再双击鼠标，这样起到一个什么作用来放大我们的绘图区域。 其实细心的同学，上节课讲的过程当中，你已经遇到了，我再说一遍，你仔细听，用耳朵听，下次你绘图，比如说你画一个很大的直直线，你会发现他不在你的试图以内，当然 大家看到现在我的四图在，因为我这个区域比较大，如果你发现他不在你的四图以内怎么办？用我刚才讲的方法画一个一万的圆，然后双击鼠标，中介听懂了没有？来重新的设置这个区域就可以了。好，我们再看。 然后呢，我们讲到命令来，这个很重要啊，对不对？命令来，我说过啊，你拖动是可以移动位置，大家发现我这边移不了啊，因为可能我这个电脑也是设置了啊，是可以移的。命令来，一定要多看，他是你的向导，是你的导师，引导我们如何使用 cad 软件， 这个听清楚了啊，一定要多看。辅助工具来，正交，什么是正交？横平竖直称为正交， 而且啊，这个正教我说过，我们是不是用到了，我们讲那个几个图你记得吗？对象追踪 啊，都可以设置，他怎样确定软件如何还原好，这是我们上一小讲的一些内容，当然同学们在学习过程中有问题，记得在群里面都可以问我，我呢会给大家提供售后的辅导。 再来看，今天呢，我们接着看，今天我们会去讲什么呢？第一步啊，第一步，我们把上一节课我们的一些习题啊，大家可以再来看一看，是否都可以完成， 如果 ct 做不出来，记得啊，在群里面我们会有方法会再去教你。当然这一些简单的 过程我们就不把它放在课程当中来，要像这种图，我就不在课程当中一笔一笔就绘制了。同学们有问题在群里面问，比如直线选好直线对不对？打开正交，你记得快捷键吗？记得快捷键吗？ f f g 记得吗？ 去看看笔记， f 八打个正交好了。方向，比如说二空格，确定拖出方向，听清楚了， 拖出方向之后再敲好这边往下，但是大家发现往下这一段是没有距离，怎么办？你去算一算三三三九九减六，再减一等于二，好，往下二 确定过来三的尺寸，再往上，同样是三往右，主要鼠标往右， 然后输入数值，确定听懂了没有？不要乱，再往上输入，三确定，往左，五确定，往上也是一样，三确定往左，三确定，往下，一 确定往左，鼠标直接拖。听懂了没有？鼠标直接拖。好，这边呢，我们来看一下，二确定往下 直接是六也可以，怎么办？其实啊，大家仔细看，这里指定下一点或 c 是关闭 x 退出 u 放弃，好，我输入 c， c 确定， 大家发现，哎，结束了，其实 c 是什么？ c， 他叫 b 和起点到端 做一个闭合。这个题目同学们自己画啊，听清楚啊，工具呢，熟能生巧，多练几遍，这个简单啊，直接不断的去画，选直线，拖方向，去绘制， 同样的方法，一样去画，同样的方法，一样去画这个图，大家发现就是上下是一样的，你慢慢画，不要急，一样画 这些图啊，大家看到现在就非常之简单了，很简单。那么今天呢，我们来给大家讲新的内容，我们讲第二段， 刚才我们讲到了直线工具，是不是讲到直线工具，而且我们讲的都是很简单的直线工具。如果说，如果说我们遇到稍微复杂一点的直线，你该如何绘制呢？比如说像这样的， 大家看到他是有角度，这个角度，有人说这角度是多少，我自己去算，我不会去算，或者说我没有学习过这种角度，比如这里也有角度， 这都有角度，该怎么画？长度，我可以画，长度，我会画，有角度的不会画。好，那我们今天呢给大家讲第一个工具，直线工具， 在这边我首先说一点，同学们记住了，说一点什么呢？也就是说你在画，不管是直线画圆的时候，有几种方法绘制，第一，在我们的选项卡当中选直线， 第二在绘图菜单来哦，在这边点出来显示菜单来，绘 地图菜单来定清楚，选直线，选构造线、选圆等等一系列的工具都可以。 其实呢，我们也可以，如果说有同学还在使用老版本，比如说我的电脑太卡了，装不上二零二零，我装的依然是零七啊，或者说一四等等一系列版本，怎么办呢？其实你在这个 我们是可以把 c、 a、 d 的内容进行显示出来，我们选哪里呢？工具 这边有工具栏， o to c a d 下面，你去找什么？找绘图啊，往下找，不要急啊，因为我们打开之后呢，就不用去找它修改类的啊， 我们找绘图类的标准绘图，打开它看到没有？绘图，这个是可以拖出来的，大家发现我这边也拖不了啊，我这个电脑呢，有点问题啊，这个是可以拖出来，能理解我的意思没有，你自己拖，把它拖出来，把它拽出来啊， 也可以呢，在 op 有的人啊，我遇到好多啊，岁数稍微大一点的人，他可以 op， 比如说我们这边呢，可以在显示当中，工具栏当中使用大按钮应用， 看到没有，是不是很大，这样你看的清楚，理解没有，当然小一点无所谓。第一个直线工具是不是这个工具啊？直线工具，这个工具解释起来很简单，两点画直线，这不用我多解释啊，两个点，一个点， 两个点画直线好确定键结束它很简单，但是我们在讲直线工具之前，我们一定要去了解角度，也是你要去了解角度， 我先通过文字的方式给大家解释一下第一个角度的判断，比如说我这边随便画第一个，我们画一条平行的直线。好，我们可以打开正交，也可以捕捉到水平线的方向，这样我们把这个正交打开， 针胶打开好一条线，再来我们选直线工具，这一条线称之为水平线。然后我可以选择直线工具，起点向右，听清楚我的话，起点向右，逆时针旋转 为正角度。记住这句话，起点向右，逆时针旋转为正角度。 比如现在我们旋转为三十八度，他叫正的三十八度。那如果说我们是顺时针旋转呢？他为负角度，为负角度，比如说刚才负三十度，这个是负三十度。我们正常画是正角度，比如说往上旋转，这个角度为九十度， 这个角度为一百八，往垂直向下两百七，返回原位置三百六，或者称之为零度。 也说我不清楚，没关系，等一会我们通过啊课文当中的实力来给大家讲解。那今天呢，第一个我们讲直线工具，他的绘图方法很多，那我最推荐的方， 方法是同学们通过英文输入法状态下输入 al 之后敲空格直接绘制直线，这个方法记住它。 我们首先讲第一个，你想画直线之前一定要去做什么角度的判断，这个你要判断清清楚楚，这是很重要的啊，这是我们的重点角度的判断，我给大家解释是这样的，从起点向右， 起点向右，当然是水平面啊，水平线上逆时针 旋转为正角度，副角度我就不写了，这就是判断我们的角度。如如何判断起点往右，起点往右，逆时针旋转为正角度， 那么我们有了这个角度，大家也知道直线工角度会判断了，直线工具如何用呢？最简单两点，确定一条直线， 一般我们是怎么画？打开正焦，听清楚，这个方法一定要听清楚了，然后选择 起点，不要乱创作。选择起点，然后拖动方向，只拖用鼠标拖动方向，然后输入数值，听清楚，然后空格来确定，或者直接写确定 确定键，一般我们用空格，或者说鼠标右击，或者说回车键。 那把这一句话记到大脑中之后再去练习这些图，我相信我那句话写的很简单。第一，选好工具之后，选择起点，打开正焦， 拖出方向是往右往上，往左往下，拖出方向，不要点鼠标，听懂了，输入数值。十、输好之后，输好之后不要点鼠标，敲回车空格都行，敲一下，敲好之后再拖鼠标，你看线条出来了，再拖鼠标， 听懂了没有？输入数值，敲，拖鼠标，输入数值，敲拖鼠标，说输入数值，敲好，再敲一次，结束很简单，会的人觉得啊，太简单。那么我这边 呢，给大家讲一个什么？讲一个有角度的绘制方法，也就是说当有角度有角度的直线该如何绘制，比如说 刚才我们看到这样的题目，如何回正，其余的都简单，比如说这个十三啊，好简单，直线工具来输入 f， 呃，正交打开， 当然你不打开的时候，你绕着这个线啊，把它走平了，你看只要是零度的情况下，一定要看清楚啊。十三，确定也可以，再来，往上的时候一定要是九十度的情况下，同学们鼠标一定要放准了。五、确定，这个时候咱们来看啊，要算这个角度， 这条线长为四点三七九，那它的角度为多少度呢？同学们，看啊， 从起点往右往上旋转，逆时针旋旋旋旋旋，旋到这里多少度？告诉我。九十度，再旋转，旋转旋转，旋转，差不多到这个位置，那这个角度该如何算呢？ 看我这样来解释他们，看能不能理解清楚。他已知的角度为一个九十度加一百三十七度， 听懂没有？一个九十度，往下寻找是九十加一百三十七度，就剩于我们这个角度，对不对？三百六减九十，再减一百三十七，就剩我们这个角度， 那怎么减呢？我们可以打开计算器，使用工具这边有计算器。打开计算器， 好，我这个软件有点问题，这样我 在我的电脑当中的计算器来打开，同学们，可以打开你电脑当中的计算器， 好，我把计算器打开。刚才说的整角度一圈为三百六， 减去九十，向下的九十，再减去这边旋转一百三十七，一百三十七就等于我们要的一百三十三的角度。一百三十三的角度， 那我们知道已知角度的直线。首先 air 确定命令，选择起点。注意啦，这个时候不是用鼠标点我，怎么做呢？我先输入长度，听懂了没有？输入长度长度多少？四点三 七九，注意了，不要确定用 shift 键加上小于号键。这两句等一会我找给你听。 shift 加小于号，大家看，大家看 长度是不是固定了，这个时候我们输入角度一百三十三度，确定好，再来到这个平行方向， 角度不能错啊，其实我建议大家打开针胶，你千万不要乱啊，一乱完了七确定 震焦关闭。好，来找两个快捷键，把我们的键盘打开，我找两个快捷键给你， 第一个 shift 键加小于号键，听清楚，这两个键一定要是英文输入法状态下 输入。如果说刚才那个角度怎么算？同学还没有明白，我们再来算，刚才我们算的是这个角度， 那这个角度你会转吗？完了完了完了，很简单，其实咱们来看啊，你看我们正确一句话，起点往右旋转， 听懂没有？也就是说，虽然你不要画这个小角，你画这个大角就是了，你看从这旋转到这九十，旋转到这一百八，是不是一百八，再往下旋，再往下旋， 旋转侧两百七，其实只是哪里呢？这个图啊，你去做一点参考性出来就好做了。你看啊，因为这个角跟这个角是一样大， 所以这条线，这条线我们画出来之后呢，用简单的方法你就不用算，但是在这边我一定要教大家来算一下，你看啊，我给你画一个参考线出来， 这个角是九十度，听到没有？这个角是九十度，这个是一百三十七，当然一百三十七是可以减掉九十，能听懂我的意思吗？所以这个角就是多少，咱们自己算， 一百八减一百三十七，四十三度，你可以标出来，标注当中点出来一定要自己算了才能标啊。 that 四十七啊，刚我算错了啊，说我说错， 减九十啊，四十七，四十七，这个是四十七， 对角也是一个四十七，对角也是一个四十七，那我们其实就知道这个角，你看这个角是不是就是四十三度， 因为九十四十七啊，三角形内角和为一百八，这个是四十三度，四十三加九十，听明白了没有？这个角四十三加九十，自己去加一下，然后呢你就知道这个角度， 一百三十三的角度，所以说那我们就知道这一条线从这个位置旋转到这，那就是三百六减一百三十三，你可以算出来。好，我们把这个计算， 我打开一下计算器啊，三百六减一百三十三等于两百二十七。 当然后面绘图你有更简单的方法在这里呢，我重点就教大家来算角度，所以那你用直线，直线工具，你就知道这条直线他要悬了，一百八之后还要悬，听懂了没有？刚才我们的角度是两百二十 七，所以说首先数字长长度四点三七九，三七九， shift 点加小于号 二二七，确定，然后下面直接来配合，也就是说 c、 a、 d 里面，记 住啦，并不是说所有的图都要这么复杂的去画，我们也有简单的方法，只是如果你只用直线工具来画这样的图，那就用我刚才说的这样的方法来进行实现。旁边有一个简单一点的，我们来看 三角形内角和为一百八，如果是等边三角形，每个角为六十度，不要问为什么，这是我们小时候数学当中学的固定的，这种图你画就简单直接工具记好了，要学好东西， 正交可以打开，然后画长度六十五度，确定，注意正交可以关闭，你看的清楚一点点，对不对？这个角度水平方向旋转到一百二十度，一百二十度，所以说输入长度六十五， shift 键加小于号一百二十度， 确定下一条线，你可以直接在这个位置闭合确定， 这个就是我们直线工具你能用到的。那我们直线工具在用的时候啊，我们上一节课有说到几个注意事项，我把它写在这边啊，写在这边两点，直线。第二个方法， 有角度，有角度的直线输入方法。 那我们怎么做呢？我们是这样的，指定起点后， 指定起点后拖出方向，输入 长度，输入长度之后千万不要确定啊，然后 shift 键加上小于号来角度，最后再确定啊，这个方法你记住了啊，最后再确定它。 第三个可以重复上次结束的命令，空格键，空格键，空格键啊，这我写出来，在结束命令后 再次点击确定键。好，直线工具呢，不多说了，我就给大家讲这些内容。所以说看似简单的直线，他还可以做很多很多的关于直线方面的一些题目。 那像这一些题目啊，这个题目我在课文当课程当中没有演示，同学们自己去做一做好不好啊？一百三十五怎么算？再来再说一遍啊，喏， 其实我这里加一个辅助线，你看一下，就是这个角，听看好，这个角加这个角等于三百六十度， 所以说我要用三百六减九十，再减一百三十五，就得到这个角。有老有人可能会问，老师，你为什么一定要得这个角呢？因为我们直线绘图角度是这么算，起点向右旋转的角度为正角度， 起点向右旋转的为正角度，当然这个很好算，三百六减一百三十， 这个题目呢，我留给同学们自己去画，课程当中呢，我们不把时间浪费在这边给大家讲啊，更多的内容去啊。这个题目有人说想去做了，有人想去做这样的题目，我来看一个啊，看个这个，这个，这几个包，我都把它打开吧。 好，这个题目我们可以做，是不是可以做？可以做，但是遇到这样的题目，大家发现了，哎，这个六十五度该怎么画？ 他不是与水平面成夹角，他与哪里？他与这条线成了一个夹角。好，我们来讲第二个很重要的工具叫做构造线， 这个位置构造线，耶，这是你儿子？老师，这里为什么没有发现构造线？你点出来绘图，点出来，到下面去找啊，去找构造线， 构造线的快捷键为 x l， 当然这个工具一般情况下用于做辅助线比较好。听懂了没有？构造线快捷键， x l。 构造线，我说了快递键为 x l， 它可以用来做什么？做辅助线，它是一条无限长的线， 无线长或者无线延伸的线，无线延伸的线。我们来看一下这个工具如何用。 首先 excel 构造线， 选 xl， 确定指定点或。哎，这次不一样了，同学们发现他多了一些命令指定点或。所以说这边我们第一个要注意事项，命令栏当中出现或的时候 出现一个货，货之前货，你看货之前为当前命令，听懂了吗？当前的命令啊，构造线， 他的后面，后面或后面是可以命令的扩展命令，通过字母来进行切换而去切换，或者通过单击鼠标。那我们可以怎么办？或之前的指定点，那我们就来指定点， 指定点之后，大家发现正教星关掉啊，要不然看不到效果啊。以这个点为中心，再指定一个点来确定下来我们的线条，这叫构造线。那如果说删掉，我们选择 excel 确定，我们不指定点，而是用水平 h 空格，大家发现一条水平无限延长的线条，绘制好了，只要你来确定他所在的位置，比如说这个位置结束，再来 excel 确定，这个时候我们选择 v 垂直，好，垂直结束再来 xl， 我们选择 a 角度， a 角度。哎，这个有意思的，比如说我想绘制一条 刚刚才这个题目，你现在就来简单了啊，来，我们就用刚才那个讲，我想会这条一百三十七，当然这个肯定不是一百三十七，为什么他是垂直的啊，他垂直的， 我想绘制一个一百三十五，你看看这这里啊，你看啊， x l 确定 a 角度，一定要看好方法， a 空格角度一百三十五，确定， 也是，哎，老师，为什么这个角度翻了，翻了，是不是翻了？为什么？为什么他所呈现的角度。再来 x l 选择 h 水平， 你用角度器去量角度， 因为这个是无限长的，它这个脚底啊，分明 不开，我们用直线工具来，从这 道理，线太短了啊，再来直线工具， 好，这个时候呢，你再来角度， 看到没有？哪个是一百三十五，这个是一百三十五，听懂了吗？这个大小为一百三十五，虽然这个大小是一样，但是它的方向不一样，同学们记清楚了啊，输入这个角度的时候，一定要输入哪里 一百三十五，下面的这个四十五的角度，删掉，删掉。 xl， a 角度四十五，确定听懂没有？ 哎，老师你怎么知道是四十五度？因为水平面为一百八，一百八减一百三十五，得到我们的另外一个夹角四十五度。再来 excel， 这次我们看什么呢？角度下面有一个两等份 b， 哎，这怎么用啊？很简单，我这边呢讲一个小例题，大家注意了，这边我没有准备这方面的实力，因为这个用的不多，这里有一个角度，但是我想做他的角平分线，我们就可以用构造线 b， 指定角的顶点啊，顶点角的一条边，角的另一条边，咱们来看我们的角平分线，绘制成功，记住，这个方法定会了，我把它写到笔记本当中，以 后你要用到的时候呢，咱们再去用它，听懂了没有？角平分线，还有下面一个叫什么 o 偏移，你来看啊， x l 回车，然后输入 o 偏移。偏移什么？哦，偏移里面又有两个方法了，第一，指定距离， 比如说我拼一个，十，确定拼一，谁拼一底，往这边拼一十，来做个实力，这个我们要通过实力给大家讲解，你就能明白。 我里面准备了好几个这个关于构造性的实力图，这些啊，都可以，其实这些也可以，我们把这个先做一个，简单的 把这个图做完，看我怎么来做。第一，选择直线工具， 那这边有一个角度，三十度的角度，你用 x l 对不对？我们选择 a 角度，画熟练的也很快。三十，确定好角度，先放一个，然后呢，选择 x l， 选择 v， 垂直放一根线， 对不对？这个时候咱们看我们这边的距离为六十 o 偏移，或者直接输入 x l o 偏移多少？六十，六十，确定，从这个点偏这边听清楚了，这边点，这边位置六十， 然后再来 o x l o 偏移，偏移距离为四十，确定选这条线，选方向最里面的方向。四十， 这个点有了，这里一个点也有了，但是咱们来看啊，我们这上方的距离还没有，我们可以怎么办？从这个角度， 从这个角度再绘制一个角度，但是这个角度为负三十五度，逆时针，你看 x l 确定 a 角度，注意了，负三十五确定，选择位置 好，下面怎么办？我们选择直线工具，直线工具听清楚，选这个点， 往这个点描，再往这个点描，再来找到这个点，再往下描好，然后反框这些长的线条，辅助线，把它直接删除我们的图形，完成 这个图可以了，我们把它关掉，这个就是刚才那个图，是吧？关掉，我们还有一个图，刚才我说这个图我们来做， 不要觉得难，很简单，其实第一个事实的线我们知道，我们先把正交打开， 四十的线画出来，四十确定结束这个角度， x l a 角度，多 角度，同学们自己算四十三，确定好，选择这个位置结束， 长度为六十。有同学说，老师我不想用构造键画，可以，我们可以省去一个过程，选择 l， 选择起点，都是今天讲的正交心关掉，看得清楚一点，输入长度六十， shift 点加小于号， 输入角度四十三度，确定，上一步咱们来看啊，重点的来了，同学们仔细看这个六十五度，我是怎么做？仔细看 x l， x l a 角度， a 角度之后怎么做？我没有直接输入角度，而是选择 r 参照，听清楚 r 参照参照谁 参照于他？那角度多少呢？咱们自己看。参照于他角度多少呢？啊？六十五度，当然这边应该输入负的六十五度，或者你自己算一下，从这边你看啊，好，我们先输六十五度， 确定看对不对不对？好的， excel， 因为这边呢，我们最好呢，相当于旋转一样，你把它去算一下 x l， 刚才我说过了，六十五，不对啊， a 角度一定要看下方，你操作的慢你就看啊。参照参照于谁？相当于他是水平面， 然后我们逆时针旋转六十五度，确定就达到这条线，好放上来结束它。 这里有个长度为六十五，这个六十五呢，我们该怎么找？比如说我用这根线直接去偏移，一，不是垂直的，偏移的直，有的时候是不对，怎么办？用圆，今天再接受第一个工具，圆工具，选圆心， 选半径，确定，选直线，连起来，连起来，结束，把多余的线条删除。 好好听，你往大脑中听，当然不要急，同学们千万不要急，构造线涉及的东西比较多，为什么你在讲直线，讲构造线的时候还要用到了一个角度，所以说角度你又要去算，然后又要讲到一些新的工具要去用， 麻烦。那么构造线第一个无限长的淫长的线，我们首先注意到什么呢？注意到一个东西，他命令栏当中出现这个货，把我每一句话听清楚啊， 那么或之前的为当前命令， 之后的为扩展命令，再加点文字啊，可以通过快递键，通过鼠标单击就进行切换。 构造线最简单的方法呢，就是说你可以去绘制水平或垂直的线条，你自己去画 x l 确定 h 水平微垂直。第二个你可以绘制角度，千万注意角度，有两种方法，第一个，直接输入角度，直接输入角度值和直径是相同的，和直线相同，他的重点在这尔 选择参照，你可以重新的来定义水平面， 艾瑞巴蒂，重新定义水平面，什么意思？我相当于把这条线定义成一个水平面，听到没有？定了一个水平面，然后呢，我们起点向右开始旋转， 听到没有？气顶向右，你看旋转不旋转到这吗？那你往这边旋转就是负的呀，所以刚才我说的是一个负角度， 这个绕线，那么我们刚才看到还有一种是什么角度？不说了，我们有第四个，有两等份，这个是用干嘛的？坐椅子 角的平分线，这个功能你记住了？同学们啊，那个好多同学学完了去考试，这个必考角平分线，你一定要会做，听懂了没有？第五个，偏移，偏移呢？我还没讲完，所以我先来写笔记的 o 偏移，直接输入数值， 然后呢，选择偏移的， 选择偏移方向，你往哪个方向偏移，你比如说 这个题目是不是你外面的画出来？来，我们来画一画，比如说直线工具，来这边五十五十去，小心一点，撤销一下啊，撤销一下重新来。 l 直线 air 直线，英文输入法 air 直线五十，不要乱看清楚，往上八往右十四，往上算一下，二十七 往左，你自己看十四，这里有角度，看到没有？起点向右 右逆时针旋转一百二十度，所以长度二十， shift 加小于号一百二十，确定长度， 这边如果没有长度，我们要反过来画，能听懂我的意思吗？这边没有提供长度，我们再反过来画，从这边往上画。但是这边我们可以先假设一个长度，第一个，等他们之间相交好。同样的方法，直线 长度为二十， shift 加小于号，角度为六十啊，标的是那边，那这边角度就是一百二，一百二十，确定，往上二十三， 确定角度。注意了，这个角度是垂直方向四十五度。所以说 x l x l 构造线选择 a， 角度选择 r 参照。听清楚啊， r 参照参照的对象是这一条垂直线条，是不是垂直线条，他以垂直线条来进行算角度。 垂直线条，那从这个点啊，他什么旋转？负四十五度啊，我们来输入负啊，小心一点啊，负的四十五度， 然后呢，我们把它放到点上，确定也肯定问老师为什么是负？你看啊，你就以这个点啊，向右啊，他往下旋转的呀，对不对？逆时针啊，逆时啊，顺时针旋转，然后呢？多余的，我们现在没有学修剪怎么办？同学们， 你用直线工具再点一遍，再点一遍，点一遍结束它，把它选中，把它选中，删除。 里面的怎么做啊？偏移，看好，同学们，你看 x l 对不对？ x l 空格，然后 o 偏移空格， 然后竖直，这里是十，我们输入一个十的距离，十确定，然后怎么办？选直线，哪条直线？这条直线偏于十，往里面偏，往外面偏，往里就在里面点， 再选直线，这条直线往里偏移十，还有没有？有这条直线往里偏移十好，取消 esc， 再来一遍 xl 确定命令，选择 o 偏移，在这里 o 偏移，你可以用鼠标点点偏移输入数值，这一次是六好，我们输入六确定选直线，这条直线 往上对不对？这条直线往下，这条直线往里。 其实这里面也是啊，这里面应该也是六，等一下我们再画，我们先把这画出来啊， 这条直线四十一，看到没有？十一好， x l 确定， o 偏移，确定数值四十一，确定哪条直线，这条往里走，然后 通过直线工具从里面开始描，描的时候你不用乱，一般都不会错，描到这里到这里到这里，应该好了啊。 好，结束再框选，所以说选择很重要了，框选外面这些最长的线条怎么办？三，这条线可以没用，应该说三，刚才我们描过了，三好，重新再来描， 修剪没讲。所以你现在啊，只有通过最初级的方法喵， 同学们，构造线听明白没有偏移啊，这是输入数值，选 则偏移方向，鼠标不要乱点。有同学啊，我知道的啊，他数字也没准，他眼睛看看差不多去点，你看什么意思啊？他弄 x l 确定， o 确定， 他数值也没输，他数值，选一个四十，他就去乱点，听懂了没有？你不要乱点，一定要看，照我的命令栏来操作。 还有偏移的，你都可以打开去做 啊，这个同学们自己做好吗？可以吧，应该很简单的啊。简单的，但这里你要，你要画一根线，你什么意思啊？你直线，你从这个线引过来啊，这个点是可以捕捉到的。那确定再来直线确定，空格结束， 然后就这里偏移，这里往下十三，这边 new， 你看我怎么画，你看 x l 确定， 你可以用 a 角度 r 参照，参照于谁？参照于他多少度？九十度九十，确定是不是画了一根这个线，然后你就可以直接用偏移，听懂了没有？ x， l 确定， o 偏移，数值十三，确定好来十三，再同样的方法， x， l 确定， o， o 确定， new 确定，选直线，再 e， s， c 取消，再来一遍， x， l 确定 o 偏移，确定数值十一，确定，选直线，选方向， e， s， c 再做最后一遍，正好再学一下， x， l 确定， o 确定， new 确定选方向，结束， 然后怎么办？直线描描描描，有人说太麻烦了，我不想描。好，教你一个简单的方法。 怎么简单呢？修剪，因为你没学过，你想学简单，我教你在哪里修改修剪？ 这个我说一下，学的会的就学，学不会的后面我还会讲，听到没有？修剪，看操作点修剪工具之后直接敲空格，听懂了没有？听懂了没有。然后去框不要的内容框不要的内容， 这里呢？我是这样考的，同学们看，从这里，这个不要这个不要，这个不要这个不要。 esc 结束，然后选他们，再选他，因为断开了是可以直接删除。 修剪跟工具很好用，怎么用？你选？修剪之后直接敲空格，然后去框选不要的内容去修剪。其实拼音还有另外一种方法，我再来讲 第二种方法，选择通过这个用的不多啊，我把它写出来，选择通过， 直接将直线复制到想要的点上来看，把你的直线复制到你想要的点上啊，这个题目，这个题目就自己做了，同学们啊， 当然，这里呢？少一根线，我在这边说一下啊少，少一根线，说一下，说什么？这条线又怎么做呢？ x l a 角度三十二，确定是在圆心，听懂了吗？所以能记一下啊，是在圆心，要不然你画不出来， 然后怎么办？偏移偏移偏移偏移偏移偏移。听懂了没有？修剪搞定， 我做一个通过，我来看这里面有没有通过的啊？画这个红色的，你自己画啊。偏移，全是偏移 啊，这个还没有通过的。那这样我给你演示一下通过怎么通过啊？构造线 o 偏移 t 通过。哎，选对象，选这个对象，通到哪通到哪通到，这理解了没有？好，通到这里吧，放这是不到这了，通过的意思就是将它再复制一份过来了，听懂了没有就复制 一份，但是他是有已知点的进行复制，这样我们把刚才讲的那个把它写出来，不管你有没有会，没会的话在群里面再说一声，到时候我再详细去说一说啊。再讲一讲。第三个呢，我简单的说了一说，修解快捷键为 t r， 选择工具或者直接用 t r， 然后第二步很重要，直接确定，然后点击或 框选。要删除要修剪的对象，这边一定要有个注意事项， 单独的线条修剪不了，一定要有香蕉的，你怎么办？ 直接选中删除单独的线条是修剪不了的，同学们只能直接选中了去删除。 我们讲工具的时候呢，大家不用担心第一个软件的运用，他只能是越用越熟悉，懂了没有，越用越灵活。所以说你在听的过程当中，比如说直线啊，你听的有点麻烦。没关系，返回头去多练习，把我配的一些习题多做就可以。 今天讲两个工具，第一个，直线，那么要注意的什么？直线的有一种绘图方法， 这种方法还有一个重点就是什么角度的判断，如果你有技术， 听起来很快，没有技术，角度的判断还得花点时间去记一记，把这一句话从头到尾多读几遍就 ok。 第二个构造性， 构造性当中呢，稍微重要一点呢，就是角度当中的参照如何去用，然后呢？偏移，这个都很简单，对不对？最后说了一个简单的工具，修剪， 修剪工具，选工具，确定，选位置，修剪，千万记住了。这句话怎么理解？你看啊， exhale exhale， 嗯，当心啊。 x l， 好，我们画一条水平的吧。 h 水平，你看这里一条线，你看 t r， 我直接确定， 还要再确定，选择对象号，全部选，再确定，确定好，这边我们加一组啊，防止有人分不清楚。这边选择工具 直接两次确定啊，两次再操作一遍 tr， 因为第一次确定是工具确定之后再确定，听懂没？ 如果你在这边点的，那就直接确定一次。所以说 tr 确定，再确定，我写两次确定，然后选择要删除的，这个我要删，这个我要删。但是如果你跳着删，你把这里删掉之后，这里还有两段，你看啊，这里删掉这一段是无法删， 这一段也无法删，他没有相交的并界怎么办？选中了删除，删除，选中了删除。好， 那本小讲我们就讲这么多这点内容呢，同学们把配套的 ct 啊，把这个 ct 打开，一定多去做， 有一些呢，是稍微难一点的，其实心静下来慢慢去做啊，这里还有一些有圆弧的啊，有圆弧的，圆弧的我没讲到。你可以先把直线的先做， 把我课程当中所涉及到的几个题目你先把它做出来也就很好了。那这个题目我还没有说这个题目，但是刚才已经理解到，已经理解到像那个四十跟五十八，对不对啊？四十跟五十八找这个点画圆，找 九十五画圆这个垂直线上去找焦点。好，同学们，这几个我们讲到这边，同学们再见。

各位同学，你们好，接下来猴子会用大概三小时的时间，带着大家从零基础到完全掌握线性代数。首先是第一课求行列式，也就是求像他们这样的两边有竖线，里面是一些数字的东西， 怎么求呢？追求高分的同学需要熟练掌握这十一条公式，并要做到融会贯通，目标是不挂的同学至少也需要牢记这三条公式。 考虑到有的同学已经身处绝境，时间紧迫，所以猴子把重要的常考的放在了前面，相对冷门的、耗费时间的放在了后面，大家根据自己的时间看情况听吧。 好，我们先学最重要的这三条。我们先看第一条，他的意思是像这样的两行两列的行列是他的结果等于他俩的成绩减去他俩的成绩。 你比如说这个行列式的值等于他乘他减去他乘他。转一下可以知道，结果是他。 这个行列式的值等于他乘他减去他乘他，结果是他。这个行列式的值等于他乘他减去，他乘他，结果是他。 好，这就是第一条公式。接着我们看第二条，第二条很长，我们直接结合例子，这样吧， 你比如说我们要求这个行业，是吧？我们把它拿下来。首先我们随便选一行或者一列，我们可以选这一行或这一行或这一行，也可以选这一列或这一列或这一列随便选，我们就选这一行吧。 这一行的元素有二七、九，那这个行列式的值就等于二乘这一坨加七乘以这一坨加九乘以这一坨。 我们先找一下二后面的这个行数、列数以及去行去列的行列式，因为在这个行列式里，这个二位于这三行中的第一行，这三列中的第一列，所以在这里行数是一，列数也是一，那这一部分就是负一的一加一次方。 因为在行列式里，我们去掉二所在的行，去掉二所在的列，剩下的是零八零五，所以这里这个去行去列的行列式是零八零五构成的行列式。好，这样二这一部分就完事了。 接着我们找一下这个七后面的他他他。因为在行列式里，这个七位于这三行里的第一行，这三列里的第二列，所以在这里行数是一，列数是二，那这一部分就是负一的一加二次方。因为在行列 势力，我们去掉七所在的行，去掉七所在的列，剩下的是一八一五，所以这里这个去行去列的行列式是一八一五构成的行列式。好，这样七这一部分也完事了。 最后我们找一下这个九后面的他他他。因为在行列式里，这个九是位于第一行，第三列的行数是一，列数是三，所以在这里行数是一，列数是三，那这一部分就是负一的一加三次方。 因为在行列式里，我们去掉酒所在的行，去掉酒所在的列，剩下的是一零一零，所以这里这个去行去列的行列式是一零一零构成的行列式。好，这样酒这一部分也完事了。接着我们算一下这三个行列式。刚才我们讲过，两行两列的 行列式值等于他乘他减去，他乘他，所以这个行列式的值等于他乘他减去，他乘他，结果是他这个行列式的值等于他乘他减去，他乘他，结果是他， 这个行列式的值等于他。乘他减去他乘他，结果是他。我们用这三个结果替换这三个行列式，可以把式子变成这样。最后我们化解一下这个式子，即可求得行列式的值是他。 好，我们把这个行列式拿下来，再做一遍这一题。首先我们随便选一行或者一列，我们可以选这一行或这一行或这一行，也可以选这一列或这一列或这一列，我们就选这一列吧。 这一列的元素有七零零，那这个行列式的值就等于七乘这一坨加零乘这一坨 加零乘这一坨，零乘啥都是零，零乘啥都是零。这样这两部分就不用算了，我们直接去掉，非常舒服。 接着我们找一下七后面的这个行数、列数以及去行去列的行列式。因为在行列式里，这个七位于第一行，第二列行数是一，列数是二，所以这里的行数和列数分别是一二。 因为在行列式里，我们去掉七所在的行，去掉七所在的列，剩下的是一八一五，所以这里这个去行去列的行列式是一八一五构成的行列式。 负一的一加二次方，结果是负一，这个行列式的值等于他乘他减去他乘他，结果是他。化解一下这个式子，结果是他。好，我们回顾一下刚才这题的两种 做法。对于同样的行列式，如果我们选这一行来做，会列这么个式子，这个式子需要老老实实的算他他他，再算他们相加的结果非常麻烦。但是如果我们选这一列来做，会列这么个式子， 因为这一列里有很多零，所以列的柿子里也有很多零，这样他就不用算了，结果是零，他也不用算了，结果是零，会非常省劲。 所以请大家记住，用这个公式的时候有一个小技巧，那就是剪软柿子捏，选本身零多的行或者列，然后再用这个公式计算，会更省力气。 比如我们要计算这个行列式的时候，选择这一行展开，因为这一行零多好算。要计算这个行列式的时候，选择这一列展开， 因为这一列零多好算。要计算这个行列式的时候，选择这一列展开，因为这一列零多好算。要计算这个行列式的时候，选择这一行展开，因为这一行零多好算。 下面请大家拿出纸和笔，自己做一下这四题，巩固，记一下这条公式，答案一会再告诉大家。好，这是第一题的步骤与答案。 这是第二题的步骤与答案。这是第三题的步骤与答案，这是第四题的步骤与答案。 好，这就是第二条公式。我们看一下刚才做的这四道题，这四道题都有点特殊，这一题的这一行好多零，这一题的这一列好多零，这一题的这一列好多零。这 题的这一行好多零。所以我们求答案的时候特别容易，用不了太多的计算。但在考试时，题目有时不会像这次题这么简单，让我们那么好算。这个时候通过第三条公式，可以快速的把行列式变得好算。 第三条公式是某行加另一行的 k 倍行列式，结果不变。某列加另一列的 k 倍行列式，结果不变。 你比如说我们要求这么个行列，是吧？我们可以让这一行加上这一行的两倍，结果依然是不变的。 也就是说，我们把这个行列式拿过来，让二加上两倍的负一得到一个新结果，让四加上两倍的负二得到一个新结果，让八加上两倍的负三得到一个新结果，这样得到的新行列式与原来的行列式仍是相等的。在这个新行列式里，这 这行几乎全是零。我们选择这行，使用刚才讲过的这个公式，很容易可以求得最终的结果是他。 你再比如说，我们要求这么个行列式吧，我们可以让这一列加上这一列的负三倍，结果依然是不变的。 也就是说，我们把这个行列式拿过来，让五加上负三倍的二得到一个新结果，让三加上负三倍的一得到一个新结果，让三加上负三倍的一得到一个新结果。这样得到的新行列式与原来的行列式仍是相等的。 在这个新行列式里，这一列几乎全是零。我们选择这一列，使用这个公式，很容易可以求得最终的结果是他。 你再比如说，我们要求这么个行列，是吧？我们可以让这一行加上这一行的两倍，结果依然是不变的。 也就是说，我们把这个行列式拿过来，让七加上两倍的一得到一个新结果，让六加上两倍的负三得到一个新结果，让负二加上两倍的四得到一个新结果，让二加上两倍的零得到一个新结果。这两个行列式仍是相等的。 在这个新的行列式里，这一列几乎全是零。我们选择这列，使用这个公式很容易，可以求得最终的结果是他。 好，这就是第三条公式。关于这条公式有三个小技巧。小技巧一，选择零多的行货列，再用选定的元素相加制造零。 你比如说我们要求这个行列式的，在这个行列式里，这一列已经有两个零了，那我们就选这一列。在这一列里不是零的数有负三和六，很显然六加上两倍的负三等于零。所以 接下来我们要想办法让这个六加上两倍的负三来制造零。怎么让他加上两倍的他呢？用这一行加上这一行的两倍就可以啊。我们把这个行列式拿下来，用第四行加上两倍的第一行，也就是让七加上两倍的一得到九，让六加上两倍的负三得到零， 让他俩加上两倍的他俩得到，他俩可以得到新的一行，这样选定的这一列又多了一个零。我们再用这个公式求行列式的时候，会更简单，更容易求出答案来。 你再比如说我们要求这个行业，是吧？在这个行业是里，这一行已经有两个零了，那我们就选这一行，在这一行里不是零的数有三和负一，很显然三加上三倍的负一等于零。所以接下来我们要想办法让这个三加上三倍的负一 来制造零。怎么操作呢？用这一列加上这一列的三倍就可以了。我们把行列式拿下来，用第三列加上三倍的第四列，也就是让三加上三倍的五得到十八，让一加上三倍的二得到七，让他俩加上三倍的他俩得到，他俩可以得到新的一列。 这样选定的这一行又多了个零。我们再用这个公式求行列式的时候，会更简单更容易求出答案了。 好，这就是第一个技巧。接着我们说第二个技巧，有规律的情况下，顺着规律相加减会更简单。 你比如说我们要求这个行业，是吧？我们仔细观察一下这个行业是这里是不是非常有规律，负一负二负三，一二三明显是可以相加抵消得到零的呀？有规律的情况下， 顺着规律相加减会更简单。所以我们让这两列相加减吧。我们把行列式拿下来，用第二列加上第四列，也就是让负一加上一得到零，让负二加上二得到零，让他俩加上他俩得到，他俩可以得到新的一列， 这一列现在就基本全是零了。这样在使用这个公式求行列式的时候，会更简单，更容易求出答案来。 你再比如说我们要求这个行列式吧，我们仔细观察一下这个行列式，这里是不是非常有规律。一二三四五六七八九。真顺啊？有规律的情况下，顺着规律相加减会更简单。所以我们让这三行相加减吧。 我们把行列式拿下来，用第三行减去第二行，也就是让他们四个减去，他们四个变成这样。接着我们再用第二行减去第 一行，也就是让他们四个减去他们四个变成这样。你瞅瞅现在这个行业是舒不舒服？这两行基本就一样吧，我们再用第三行减去第二行，也就是让他们四个减去他们四个变成这样 舒服了吧？这一行现在基本就全是零了。这样在使用这个公式求行列式的时候会更简单，更容易求出答案来。 好，这就是第二个技巧。接着我们说第三个技巧，没零没规律时，选数小好造零的地方造零。 你比如说我们要求这个行列式吧，在这个行列式里既没有零，也没有明显的规律，用不了这俩技巧，那我们就选数小好造零的地方造零。很明显这列里不是一就是负一，一和负一很好造零的，他俩一加就是零。 所以接下来我们想办法让这个一加上这个负一得到一个零，再让这个一加上这个负一得到一个零，这题不就出来了吗？具体怎么操作呢？我们把行列式拿下来，用第一行加上第二行，也就是让他们三个加上他们三个变成这样，这样就造了一个零了。 接着我们再用第三行加上第二行，也就是让他们三个加上他们三个变成这样，这样就又造了一个零了，现在这一列就基本全是零了。我们在使用这个公式求行列式的时候，会更简单，更容易求出答案来。 好，这就是第三个技巧。最后需要大家注意两点哈。第一点，在使用这条公式变化行列式的时候，我们最好把等号写的长一点，然后在等号的上面写上变化过程。比如 这道题，我们是用第二行加上了两倍的第一行得到的写行列式，那我们最好在等号上面写上二二，加上两倍的二，一二表示行的意思，二二加二，二一表示第二行加上了两倍的第一行。 再比如说这道题，我们是用第三列减去三倍的第一列得到的行列式，那我们最好在导号上面写上 c 三减三倍的 c 一， c 表示列的意思， c 三减三倍的 c 一表示第三列减去了三倍的第一列。 在考试的时候，行列式计算经常会口算出错，导致结果不对，结果不对的时候，如果等号上的过程是对的，也是会给一些分的。 当步骤很多的时候，我们可以把多步的过程写在一个等号上，比如这个过程，他的意思是这个行业是先进行了这一步，再进行 这一步，再进行了这一步，最后得到了这个行列式。好，这是要注意的第一点。第二点，请大家注意，在这个公式三里，这个某行和某列是不能有系数的， 大家在使用这个公式的时候，只能让这行的本身加上另一行的 k 被，或者让这列的本身加上另一列的 k 被。嘿嘿，因为这一点，很多很多同学会出错，所以在这里老师就不给大家去返利了，防止有的同学对的没记住，就记住返利了。 好，到此为止，这三条公式就给大家讲完了，下面请大家拿出纸和笔，自己做一下这三题，当场复习一下这三条公式吧，答案一会再告诉大家。 好，这是第一题的步骤与答案，这是第二题的步骤与答案， 这是第三期的步骤与答案。很好，现在关于行列式的计算，你已经小有成就了， 接下来我们继续学习其他公式。第四条，这个方向的对角线以下全为零时行列式，等于对角线乘积。这个方向的对角线以上全为零时行列式，等于对角线乘积。 你比如说这个行列式吧，这个方向的对角线以下的这些数全是零，此时行列式就等于这条对角线上所有数字的乘积，也就是一乘四乘六。答案是他。 你再比如说这个行列式吧，这个方向的对角线以上的这些数全是零，此时行列式就等于这条对角线上所有数字的乘积，也就是一乘三乘六乘十。答案是答案，考试的时候老师特别爱考向这 题，这样的里面有大量零且不是零的部分的形状，就像个箭头一样的行列式，像他不是零的部分，是这部分和箭头似的，他也是不是零的部分，是这部分和箭头似的。 遇见这种行列式的时候，我们想办法把它变成这样的行列式，或者这样的行列式会更容易求出答案来。 你比如说这个行业是吧？这一行的负三和三容易制造零八，负三加三等于零。这一行的负三和三容易制造零八，负三加三等于零。这一行的负三和三容易制造零八，负三加三等于零。 如果我们用这个三把这个负三变成零，用这个三把这个负三变成零，用这个三把这个负三变成零，那对角线以下不就全是零了吗？这个行列是不就好算了吗？ 所以对于这个行列式，我们的做法是把行列式拿下来，先用第一列加上第二列，也就是让他们四个加上他们四个变成这样，此时这一位就变成零了。 接着再用第一列加上第三列，也就是让他们四个加上他们四个变成这样，此时这一位也变成零了。 接着再用第一列加上第四列，也就是让他们四个加上他们四个变成这样，此时这一位也变成零了。此时对角线以下就全是零了。这个行列式的值就等于对角线这些数的乘积。答案是他。 你再比如说这个行业是吧？这一列的负二和一容易制造零八，负二加两倍的一等于零。这一列的负三和一容易制造零八，负三加三倍的一等于零。 这一列的负四和一容易制造零吧，负四加四倍的一等于零。如果我们用这个一把这个负二变成零，用这个一把这个负三变成零，用这个一把这个负四变成零，那对角线以上不就全是零了吗？这个行列式不就好算了吗？ 所以对于这个行列式，我们的做法是把行列式拿下来，先用第一行加上两倍的第二行，也就是让他们四个加上两倍的，他们四个变成这样，此时这一位就变成零了。 接着再用第一行加上三倍的第三行，也就是让他们四个加上三倍的他们四个变成这样，此时这一位也变成零了。 接着再用第一行加上四倍的第四行，也就是让他们四个加上四倍的他们四个变成这样，此时这一位也变成零了。 此时对角线以上就全是零了。行列式的值就等于对角线这些数的乘积。答案是他。 好，我们趁着答题再做几道箭头型行列式的题，这个在考试的时候真的非常爱考，第一题请做答案是他。第二题请做答案是他。 第三题请做答案是他。第四题请做答案是他。 如果你的学校喜欢出难题，或者你是为了考研入门而看的猴子，那考试的时候还可能考像这两题这样的。在对角线旁边还有这么一排竖的行列， 是像他对角线旁边还有这么一排数，他也一样，对角线旁边还有这么一排数。遇见这种行列式的时候，我们也是想办法把它变成这样的行列式，或者这样的行列式就可以了。 你比如说这个行业是吧？这一行的负二和二容易制造零八，负二加二等于零。这一行的负二和二容易制造零八。负二加二等于零。这一行的负二和二容易制造零八。负二加二等于零。这一行的负二和二容易制造零八，负二加二等于零。 如果我们用这个二把这个负二变成零，用这个二把这个负二变成零，用这个二，把这个负二变成零，用这个二把这个负二变成零，那对角线以下不就全是零了吗？这个行列是不就好算了吗？所以对于这 这个行列式，我们的做法是把行列式拿下来，先用第四列加上第五列，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位就变成零了。 接着再用第三列加上第四列，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位也变成零了。接着再用第二列加上第三列，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位也变成零了。 接着再用第一列加上第二列，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位也变成零了。 此时对角线以下就全是零了。行列式的值就等于对角线这些数的乘积。答案是，他，你再比如说这个行列式吧，这一列的负一和一容易制造 零八，负一加一等于零。这一列的负一和一容易制造零八，负一加一等于零。这一列的负一和一容易制造零八。负一加一等于零。这一列的负一和一容易制造零八。负一加一等于零。 如果我们用这个一把这个负一变成零，用这个一把这个负一变成零，用这个一把这个负一变成零，用这个一把这个负一变成零，那对角线以上不就全是零了吗？这个行列是不就好算了吗？ 所以对于这个行列式，我们的做法是把行列式拿下来，先用第四行加上第五行，也就是让他们五个加上他们五个，变成这样，此时这一位就变成零了。 接着再用第三行加上第四行，也就是让他们五个加上他们五个，变成这样，此时这一位也变成零了。接着再用第二、 二行加上第三行，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位也变成零了。接着再用第一行加上第二行，也就是让他们五个加上他们五个变成这样，此时这一位也变成零了。 此时对角线以上就全是零了。行列式的值就等于对角线这些数的乘积。答案是他， 好，这就是公式四。接着我们学习相对没那么重要的其他公式，我们先看它在行列式里两行或两列可以互换，互换后我们需要在前面乘负一。 你比如说这个行列式吧，这一行和这一行可以互换得到一个新的行列式，他俩的关系是，原来的行列式等于新的行列式乘负一。你再比如说这个行列式吧，这一列和这一列可以互换得到 一个新的行列式，他俩的关系是，原来的行列式等于新的行列式乘负一。好，这就是公式五。请大家暂停一下，尝试找出一个最简单的方法解除这个行列式。 这题最简单的做法是互换这两行，把这个行列式变成负一乘以这个行列式。现在这个行列式对角线的下面就全是零了，他的值等于对角线上这些元素的乘积。我们化解一下这个式子，结果是他， 这就是公式五的作用，对于特定的题目，掌握这条公式会让题目变简单。 接着我们看公式六。某行或某列权威两项相加时，可拆成两个行列式相加。你比如说这个行列式吧，他的第三列都是两项相加，那么这个行列式就等于这样，两个行列 是相加。第三列的左一半到这了，单独作为第三列。第三列的右一半到这了，单独作为了第三列。 你再比如说这个行列式吧，他的第二行是 a 加四、 b 加五、 c 加六，都是两项相加，那么这个行列式就等于这样的两个行列式相加。第二行的左一半到这了，单独作为了第二行。第二行的右一半到这了，单独作为了第二行。 这条公式一般是用来做像这题这样的小题的，请大家暂停一下，根据这条性质做一下这题试试，非常简单，这题的答案是七。 接着我们看公式七，可把某行或某列所有元素的共同系数提到行列数外，你比如说这个行列式，它的第一行是二 a、 二 b、 二 c， 这些元素都有共同系数二，那么这个二就可以提到行列式外，也就是说这个行列式等于两倍的这个行列式。 这条公式可以帮助我们降低计算量。比如说这个行业是如果直接算，那这三个数肯定是要参与预算的。这三个数太大了，看着贼烦，容易算错。 但我们仔细看一下，这个数是负三十，这个数是两倍的负三十，这个数是三倍的负三十。他们其实都可以提个负三十出来。我们提个负三十出来，可以把这个行列式变成负三十倍的这个行列式，这个行列式里的数字会更小，会更好求一些。 接着我们看公式八，两行或两列成比例时，行列式等于零。比如说这个行列式，它的第一行是一二三，第二行是二四六，二 四六是一二三的两倍，也就是说这两行乘比例。根据公式八，我们可以直接得出，这个行列是等于零，连算都不用算。 接着我们看公式九，行列式里的行都变成列后，结果不变。比如说已是这样一个行列式，它的第一行是一一一，第二行是三五六，第三行是九二十五、三十六。 如果我们改一下，把原来第一行的一一一竖着写当做第一列，把原来第二行的三五六竖着写当做第二列，把原来第三行的九二十五、三十六竖着写当做第三列。这样得到的新行列式和原来的行列式是相等的。这条性质在考试的时候也可能会考小题。 接着我们看公式十，这个公式是用来快速求像这些题这样的非常符合规律的行列式的。 这些行列式的特点是，每一列都是一开头的等比数列，像它这一列是一开头的公比为三的等比数列，也就是下一个数都等于上一个数乘三。这一列是一开头的公比为四的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘四。 这一列是一开头的公比为五的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘五。这一列是一开头的公比为六的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘六。每一列都是一开头的等比数列。 你再像他这一列是一开头的公比为一的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘一。这一列是一开头的公比为二的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘二。这一列是一开头的公比为三的等 数列，也就是下一个数都是上一个数乘三。这一列是一开头的公比 v、 x 的等比数列，也就是下一个数都是上一个数乘 x。 每一列都是一开头的等比数列。 当一个行列式是这种格式的行列式的时候，它的结果等于第二行里后，减去前所有情况的积。 啥意思呢？你比如说我们要求这么个行列式吧，第二行里有 x 一、 x 二、 x 三、 x 四。 在这四个数里， x 二在 x 一后面， x 三在 x 一和 x 二后面， x 四在 x 一、 x 二、 x 三后面。 那后面的数减去前面数的情况有哪些呢？很显然，有他减他，他减他，他减他有他减他，他减他有他减他共有这么多种情况。当把所 所有情况都列出来以后，我们把每种情况都乘在一起，得到的这个结果就是行列式的答案。 你再比如说，我们要求这么个行列式法，第二行里有三、四、五、六在这四个数里，四在三后面，五在三和四后面，六在三、四、五后面。 后面的数减去前面数的情况有哪些呢？有他减他、他减他、他减他，有他减他、他减他有他减他共有这么多种情况。当把所有的情况都列出来后，我们把每种情况都承在一起，得到了这个结果，就是行列式的答案。 这条公式在有的学校也挺爱考的，所以接下来请大家拿出纸和笔，现场刷题巩固吧。第一题请做答案是他， 第二题请做答案是他。第三题请做答案是他。 好，这就是第十条公式。接着是最后一条公式，这条公式看起来复杂，但意思很简单，我们通过例子说哈，大家看这个行列是有特点吧，这三个方块和对角线似的，并且这个对角线下面全是零。 大家记住，这个行列式的值等于他乘他乘他写出来是这样的。 我们再看这个行列式，也符合刚才说的特点吧，这四个方块和对角线似的，并且这个对角线下面全是零。大家记住，这个行列式的值等于他乘他乘他 乘他写出来是这样。我们再看这个行列式，也符合刚才说的特点吧，这两个方块和对角线似的，并且这个对角线下面全是零。大家记住，这个行列式的值等于他乘他写出来是这样， 好，这就是这条公式的意思。这条公式的意思也差不多，大家看这个行列式有特点吧，这三个方块和对角线似的，并且这个对角线上面全是零，大家记住，这个行列式的值等于他乘，他乘，他写出来是这样。 我们再看这个行列式，也符合刚才说的特点吧。这四个方块和对角线似的，并且这个对角线上面全是零，大家记住这个行列式的值等于他乘他乘他乘，他写出来是这样。 我们再看这个行列式，也符合刚才说的特点吧。这两个方块和对角线似的，而且这个对角线上面全是零，大家记住，这个行列式的值等于他乘他写出来是这样，好，这就是这条公式的意思。 在考试的时候，如果题目里的行业是恰好符合他，或者他用这条公式来做，会减少不少的计算量。 好，我们看一下刚才讲的这些公式，虽然看起来很多很麻烦，但是这些公式大家有一些意向就行了，记得不是特别牢固，也不要紧。考试的时候，如果题目需要用了，大家又拿不准了，可以快速推倒的。 比如某一题需要互换两行，我们又忘了互换两行是否要成负一了，那么可以现场推倒啊。大家都记得他的结果是他乘他解除 他乘他，也就是他，对吧？如果我们互换这两行，把行列式变成这样，他的结果就变成了他乘他减去，他乘他也就是他了，这个结果等于负的这个结果。也就是说这个行列式等于负的这个行列式。 那也就说明互换两行后，需要在前面乘负一啊，这公式不就回忆起来了吗？你再比如说这个公式吧，考试的时候如果遇见了符合这种格式的行列式，但答案具体是啥，有点模糊了，可以现场推导啊。 我们取这四个构成一个行列式，他符合规律，对吧？我们再取这九个，构成一个行列式，他也符合规律，对吧？ 通过全面学的知识，这俩行列式的结果都很好，求很容易，可以求出这俩行列式的答案是他俩， 然后我们看看这答案是不是记忆里模糊的，这个答案就清晰了。好，这就是第一课，相信大家跟着猴子一题一题的做，一题一题的练，现在对球行练士应该也都有信心了。本课结束，我们下一课见。