二阶偏导数公式详解教程

大家好，我是罗老师。二阶偏倒数公式是什么？第一种，对 x 求二阶偏倒，公式为， 对 x 求偏倒，就等于对 x 求一阶偏倒，然后再对 x 求二阶偏倒。第二种，对 x y 求二阶偏倒，公示为，先对 x 求一阶偏倒，再对外求二阶偏倒。 也可以先对歪球一阶偏倒，再对 x 求二阶偏倒。 第三种，对外求二阶偏倒的公式为，先对外求一阶偏倒，再对外求二阶偏倒。二阶偏倒属求导规则，和 一阶偏倒数求导规则是相同的，也就是对 x 求偏倒，就将 y 看成长量，反之将 x 看为长量。 好，我们来讲解下这道题，比如这道题，如果 z 等于 x 平方， y 平方加上三 x， 然后要咱们分别对 xy 和 y 求二界偏倒。 好，那根据二阶偏倒的攻势啊，咱们这里呢，先对 x 求一阶偏倒， 那么就有 rfz 除以 rfx， 也就等于 x 平方， y 平方的导数加上三 x 的导数，所以这里就为二 x 四 y 的平方加上三，然后咱们再对 y 求一阶偏倒，那么 r 法 z 除以 r 法 y， 也就等于 x 平方乘 y 平方的导数加上三 x 的导数。 因为是对外求偏倒，所以 x 呢，就作为长量来看，所以这里就为 rx 平方 y， 所以 r 法平方， z 除以 r 法 x 平方，也就是对 x 求二阶偏倒，那么也就有 r x y 的平方的导数加上三的导数， 也就等于了二万平方。那么 xyz 的混合偏倒，咱们可 可以在啊 x 的一阶偏倒基础上来求，或者在外的一阶偏倒上来求，那咱们这里就在 x 一阶偏倒上来求的话，那我们就要对这里的外再求偏倒了， 那这个时候的 y 就为自变量， x 呢，就为长量，所以它就为二 x y 平方的导数加上三的导数， 也就等于四 xy， 然后再对这里的歪求二阶偏倒，也就等于二 x 平方歪的倒数。 因为是对歪球二阶偏倒，所以 x 就为常亮，因此这里的结果就等于二 x 啊平方。有看懂吗？我是罗老师，关注我，咱们下期再见。

这个二元函数，他是由三元方程所确定的二元隐函数，他是隐藏在这里的隐函数。 对他球二阶偏倒，关键是什么？关键是你不得对他们球倒吗？关键就是要把他们三个依然看作是关于 x、 y、 z 的函数。 好了，此时咱求 xx 二界骗到。对谁里的 x 求骗到，对他里的 x 求骗到好了。他是什么？他是函数的商啊！函数的商的倒数有什么？有公式啊？和一元函数函数的商的导数公式是一样的，直接套公式就可以了。 对他球偏倒的时候，锁定中间变量第一个和第三个对他里的 x 球偏倒，那就是首先对第一 中间变量求倒，再乘上第一个中间变量的倒数一，加上第三个中间变量求倒 f 一三两撇， 再乘上第三个中间变量对 x 的编导数，乘上他本身 f 三撇，减去什么？对 f 三撇里的 x 求偏倒的话，锁定哪几个中间变量？锁定第一个和第三个， 先对第一个中间变量求到，再乘上第一个中间变量的倒数，再加上第三个中间变量的倒数，乘上什么？乘上第三个中间变量的频道，只需要把它朝上就可以了。 求到最后这一步的时候，你还需要把让 x 分之旺内，等于这个东西啊，圈里这个东西往回带，自己整理吧。最后咱再强调一点，你若想对抽象函数直接求骗到的话，他是有条件的， 他的条件要求此抽象函数的偏倒函数连续。你若想对抽象函数直接求二节偏倒的话，那此前题就变成什么了，就变成二节偏倒连续了好了，此前提是什么？二节偏倒函数连续， 则求导的次序就可以交换了，也就是 f 一三和 f 三一他俩就可以合并了。若 f 的二阶偏导函数连续，则你可以直接对 f 撇球偏倒，那么也就有什么，也就有这的二阶偏倒数可以直接算出来。 并且此公式里头和 f 有关的东西，不管是 f 两撇也好，还是 f 一撇也好，全是连续的，所以 gx y 的二阶频道函数连续。

二阶偏道数典型例题，那么这道题目当中的函数，这是等于 f 括号 x 方加外方的，那么我们这里面就会发现，实际上是有一个换元的思想在里面的吧，比方说我把 x 方加外方看成一个整体变量 u 是吧？那你鸡和 xy 的关系就相当于经过了中间变量 u 的一个传递。 那么注意，在求导的过程当中的话，我们要分成两步走，就首先你要让 f 这个对应法则对 u 求导，然后让 u 对 x 或者对外求导，是吧？是这么一个富含复合函数求导的一个路子。好，他说 f 是具有二阶导出的，就意味着什么呢？我的 f 一撇，你可以加个 u 啊，或者我就把它记做是 f 一撇 以及 f 两撇的 u， 对吧？就记住是 f 两撇，为了方便啊，是吧？就这两个东西都是存在的吧，都存在的啊，都是有的，虽然我不知道它具体等于多少，因为你没有给一个 f 的 写些事嘛，但是我知道他一定是在哪是存在的，所以可以把它写到结果里面去。好，那么接下来我们就分别来算一算这三个二阶的偏倒数，那么你要求二阶的偏倒数，必须先第一步先求一阶偏倒吧，那我们先算偏 c 偏 s 和偏 c 偏外， 算偏 c 偏 x， 你要寻找到 c 这个变量和 x 变量的一个变化关系，那我需要通过中间变量传导一下，是吧？那我就先对 u 除导啊，然后再乘以什么偏 u 偏 x。 好，那么这是一个 这样呢，偏 z 偏 y 怎么算呢？它是 f e 撇 u 乘以一个偏 u 偏外，就是先对中间面量求导，然后呢，中间面量分别对 x 和 y 求偏道，那我们来看一下这个 u 是什么东西？优是等于 x 平方加上 y 平方的，是吧？因为 u 是等于它，所以呢，偏 u 偏 x 怎么算啊？ pupx， 就是我把外平方看成是长数 x， 那它就相当于是 x 平方的这么一个函数了，那它应该等于多少呢？ 直接对 x 求偏倒对 x 求导就可以了。 x 导数， x 平方的导数是等于两倍的 x， 那么外平方对 x 的外平方对 x 求导是等于零呢，对吧？你本来加个零吧，所以它是等于二 x 的。好，那么同样的道理，你看偏 u 偏外等于多少？对称的嘛，对吧？ x 平方是一个长处了，直接导数为零，外平方导数对外求导是两倍的 y 吧。 好，所以这个结果我们把它写上来就等于多少啊？上面的部分就等于两倍的 x 乘以 f 一片 u， 底下的部分等于两倍的 y 乘以 f 一片 u。 好，那么接下来来做更为复杂的第二步。 第二步就是来求三个二阶偏大主。首先，第一，我们求偏平方 d 偏 x 方，那么这个东西可以怎么 写呢？他像是对偏 c pnx 继续求这个，继续对 x 数偏倒，那我把它写出来，我把那个偏 c p x 带进去，是等于两倍的 x 乘以什么 f， e， k， u 吧。好，那么这里面要怎么做呢？你要对 x 求编导啊，那你看一下二 x 这个函数 和 fe 点优这个函数都和 x 相关吧。因此呢，这个地方要做一个乘法求导，宝宝要利用乘法求导的规则。还记得乘法求导怎么做的吗？兄弟们？是前导后不导加上后不导。呃，加上前不导后导。那我先对什么呢？我先对二 x 求 x 偏导。那是等于二的， 让他去乘以一个 f e 撇 u， 是吧？好，加上多少？加上一个二 x 不动嘛。然后呢？让 f e 撇 u 对 s 去编导， f e 撇 u 对 s 去编导。你还是要先对中间边量要求导出 f 两撇 u 再乘以 怎么样？ pupx 吧。好，那 pupx 刚才算了，等于二 x 继续把它超过来，把它用 rx 替换掉就可以了。好，我们把它擦掉啊，是吧？哎，直接成立一个 rx。 所以整个结果得用多少呢？等于两倍的 f 一撇。呦，那我就写成两倍的 f 一撇吧，对吧？两倍的 f 一撇啊，就用答案写成两倍 f 一撇。写的方便一点啊。然后加上有多少？四倍的 x 的平方乘以一个 f 两撇。这就是第一个部分的答案。 那么接下来我们算第二个部分。第二个部分的话就是我来算什么呢？我来算这个吧，我来算这个偏平方低偏 wifi。 好了。

好，已知这个球大战二级，编导拿着老弟秒杀线球一接到这次球变到 y 式，长度四 x 加上身外， 然后再对外球评论第三选定秒杀。没话讲， 各位小伙伴，老杨给你讲题了，趴在这这道题呢是十三一 x 方叫 y 方，然后对 x 起个就是二 x， 然后 紧接着对 x 载球片挡前挡后部挡，加上 前不打，后面求打对二，结果是等于提取一个二一 x 方叫外放，然后这个地方呢，就变成了一加二 x 二 x 平方啊，差点算一个平方。因为这两相乘嘛，平方，所以你应该填什么二一加二 x 平方，然后就填上一的什么 x 方加我 iphone。

复合函数的二阶偏导数习题，如何复合的这个二元函数和这个二元函数复合到这个二元函数里头？ 题目还给你了一个条件，叫做二阶偏倒数连续。那告诉你什么，你算二阶混合的时候 与次序无关，也就是说混合偏倒，你求一个就可以了。那么对中间变量求倒的时候，不管是 f 一二两撇还是 f 二一两撇，他俩的值也是一样的，也和次序无关，也可以合并。 此题的计算还有两个关键，第一，关键 f 一撇，它是关于 u 和 v 的， f 二撇也是关于 u 和 v 的。 关键二呢？ i u x p， 它是关于 x 和 y 的 u y p， 它也是 关于 xy 的。能写出四个。好了，来做一下这道题吧。二级活动编导， xx 对哪个里的 x 球到？对他里的 x 球到了好了。关键什么？他是关于游合肥的？ 他还是函数的乘法？函数乘法倒数有公式？一元函数乘法倒数公式吧。先对他求道，乘上他本身，再加上他本身乘上他的倒数好了，先对他求到关键什么？他也是关于有可为的，依照结构一致性， 那就是 f 一一撇撇 uxp 加上 f 一二两片 vx 片，结构一致性成上他本身 ux 片，再加上他本身 x 一片，呈上他的倒数，对谁求倒？对 x 求倒，那就是 uxx 两片，再加上后面的倒数， 保持结构一致性吗？一一二一啊二一两品 uxp 加上 f 二二两品 vxp， 尝尝它本身 v x 品，加上什么，他本身 f 二品，乘上他倒数 v 对谁求到？对 s 求到 圈里的东西就是结构一致的。好了，来求一下他的二阶混合频道，对谁里的歪球倒了？对他， 他里的歪球岛啊，他不代表对他里的歪球岛吗？好了，先对他球岛，再呈上他本身，对吧？先对他球岛 f 一一良品呈上幽里的歪的岛说。嗯。你现在对歪球岛吗？ 保持和哪个结构一致？保持和他结构一致，那就是和一阶对外求偏道结构一致了。好了，与他结构一致，加上 f 一二两品呈上 v vip。 好了。结构一致吧。呈上谁？呈上他本身吗？ uxp 加上什么他本身 f 一撇乘上他的倒数，对谁求的？对歪求的两品，加上保持 结构一致性 f 二一两品呈上 u y 撇，对吧？你现在对歪球倒吗？你得呈上中间边亮里对歪球偏倒吧，加上 f 与他保持结构一致性二二 这个二二的 vip 呈上 vxp 加上什么？加上他本身乘上他倒数 f 二匹乘上 vxy 两匹。 好了。对，求歪歪了。求哪个里的歪？求他里的歪。那你对歪球要保持对他的结构意志呗。好了， f 一一撇撇 uy 一加上 f 一二良品微歪品呈上它本身 ui 品加上什么加上他本身成他倒数 f 一品 有歪歪两瓶，再加保持结构意志性，对谁球了？对他球好了， f 二一良品优歪品加上 f 二二良品呈上它本身 vip 加上什么他本身乘着他倒数 f 二品 vy 两瓶。好了，此题没做完呢？还没做完告诉你二斤 连续编导数就是混合的，与次序无关吗？一二二一可以合并，那就是一二 二一可合并，那也就可以继续把他们整理了啊。继续把他们整理，把一二和二一一二二一，一二二一。合并就可以了。嗯，不做了。

那第十八题的话，你会发现是这等于 f x y 逗号 y， 然后具有二阶连续偏倒数，让我们去求这两个偏倒数，很显然在这考察的是二元抽象，符合函数，他的偏导数的运算就是一阶和二阶， 那我们求他的话，他肯定是要用炼式法则啊，炼式法则，那逗号前是他第一个内层，逗号后是他的第二个内层。我们来看， 首先第一问，偏 z 比上偏 x， 偏，在笔上偏 x， 他如何来进行求解呢？我们说利用烈士法则的话，首先这个啊 z 呢，他是关于他直接对应的这个关系呢，是小 f， 那也就是说我们先让这个对第一个外层来进行修道，我们把它记做的是 f 一片， 然后呢，再呈上一个第一个内层对 x 导数，另一个内层是谁呢？是 xy， 所以他要是对 x 来进行求导的话，哎， 那其实就是一，然后再乘上这个长数 y 就可以了，所以就是 y， 那在按理来说应该加上的是什么呢？ 加上的是第二个外层，他的倒数，然后呢，再乘上第二个内层的倒数，那第二个内层是谁呢？是 y， 那我们说对 x 求编导的时候， y 是常数，所以他求乘上的是零，那这个时候我们其实就可以不带着他了，哎，这就是最终的一个 一阶骗导师 pnz 上骗 s 就是 f 一片乘上 y 就可以了，这是第一问，哎，这样的话，到这一步的话，基本上四分钟拿到手了啊。那我们来看一下第二问， 第二问的话啊，他让我们求的是什么？这二级偏倒数，在偏 z 比上偏 x 基础上，再对外来进行求偏倒啊。所以呢，我们来看刚才第一问呢，我们已经给出来了，这个偏 z 比上偏 x， 他是 f 一一撇呢， 呈上一个万，在他基础上对外来求，那 f 一撇谁呢？我们说求导不改变函数的表达形式，他原本就是一个二元抽象，符合函数的话，那求完一阶倒之后呢，他仍然是二元抽象，符合函数，所以在 fe 撇里面呢， 他仍然是有两个内藏，一个是 x y， 一个是 y 的。所以我们要对他里面的 y 来求的话啊，仍然要用烈士法则来禁止开，那也就是说这里面有 y， 这里面有 y， 他要运用的是乘法的求道法则，前挡 成上后不到，再加上前不到，成上后到。我们先来看一下 f 一一片，他要对 y 如何来进行求导， 要用练式法则展开。那我们说了啊，在 f 一片基础上，先对第一个外层球的话，是我们把它记住的是 f 一一两片，然后呢，再呈上一个 对第一个内层，第一个内层是谁呢？是 xy， 对 xy 里面的 y 来进行求导， xr 是常数，所以求人岛是 x， 这是第一项。然后再加上一个 f 一撇的基础上呢， 再对他的第二个外层来进行求导，所以我们把它记做的是 f 一二两撇，然后呢，再呈上一个谁，再呈上的是第二个内层，第二个内层是 yy， 求完导师一。哎，所以呢，在这有没有写啦，直接就是 f 一二两撇就可以了。 这括号里面这两项呢，其实都是在 f 一一片的基础上，他对外来进行一个求导的， 然后呢，这是前倒乘上后倒，再加上一个前不倒，乘上后倒，后面是外外对 x 外对外求导的话是一，哎，所以呢，这就是我们第十八题这两问啊，这两问其实，嗯，比较简便，为什么呢？我们来看在我们 上课的时候哈，有时候呢，他的逗号前面和后面都是关于 xy 的一个二元函数，而这道题当中呢，有一个是 xy 的一个二元函数，有一个呢，他是指含着 x 或者是含着 y 的，那我们 就是仍然是要用烈士法则把它一步一步的去求解出来就可以了。这道题还是相对来说比我们更 通常练习的题当中呢，是相对来说就比较简便的。嗯，这道题 我们来看他最终的结果，我们要化解出来，也就是说把这个 y 呢，可以乘进去化解出来，这个红框呢，就是他的一个最终的一个答案。哎，这道题的话，高三班的第五章呢，出现了远题型，我们来看一下第十九题，第十九题的话是所为图形的 面积，哎，所以呢，他应该考察的是第三张定积分的一个应用，那我们要取出这个图形面积，肯定要知道这个图形到底是长什么样子。我们先来把这个函数的图像画一下， 首先第一条曲线的话，是 y 等于 x 方减八，那么说外等 f 方的话，他是个过圆点，并且是关于外轴对称的一条曲线，那他后面要减八，其实就是向下平移八个单位， 哎，比如说这条曲线的话，就是 y 等于 s 方减八，哎，这个焦点呢，应该是负八，哎，零负八啊，让我们看啊，那如果我们要是求这两个焦点的话，其实就是让 y 等于零，行了，那 y 等于零的话， s 方减八等于零，就是 f 方等于八，那么开方的话，左边这应该是负的 二倍的根号二，而这的话是二倍的根号二，哎，这是它的与 x 轴的两个交点，那我们来看，这是第一条曲线就画出来了，那第二条是一条直线，二 x 加 y 再加上 八等于零，那我们要确定直线的话，我们说是两点确定一条直线，如果我们让题干就是这个方程当中的 s 等于零的话，那就是 y 加八等于零，很显然 y 是等于负八的，也就是说他其中一个点是过哪呢？是过零负八，也就是说他与这个抛物线有一个焦点啊，是 在这个顶点处。那另外一个，如果我们要让这个 y 等于零的话，那很显然就是二 x 加八等于零， x 解出来应该等于是负四，那负四在哪呢？他肯定要是比负二倍的根号二要小，所以呢，负四这个位置呢，大概是在这， 这是一个负四，那么说两点确定这条直线，哎，所以呢，连接这两个点画的不是很标准啊，连接这两个点的话，我们就可以得到这条直线呢，他应该是这个二 x 加 y 再加上八等于零，这是这条直线，那还有一条直线是 y 等于负四，那这个 y 等于负四，他到底是在上方，哎，他到底是在这还是在这，还是恰好就是跟这个焦点是重合的呢？ 我们现在呢，是要求一下这两个，哎，曲线啊，就是说这个直线和这个抛物线之间的这个另外一个交点，他的一个坐标怎么去求呢？我们说是连立这两个啊，方长，那也就是说第一个的话是 y 等于 x 方减八，第二个的话是二， x 加 y 加八等于零，我们可以都解出来 y， 用 x 式子来表示，那第一项的话，其实就是告诉你 x 方，它减八就是等于 y， 而第二项解除的话， 把这两项都移走，所以呢，应该等于是二 x 负二， x 来再减八， 那两边都有一个负八，所以呢，我们可以移到啊 x 方，他等于的是负 x， 那我们来看啊， s， 要么他等于的是零，那 s 等于零，是 y 等于负八，也就是他其中一个零点处，这是一个交点，那另外一个呢？就是 x 约掉的话， x 他应该等于的是负二， 那 x 等于负二是他的另外一个焦点，当 x 等于负二的时候， y 是等于几呢？我们可以带到第一个或者带到第二个，所以呢，我们得出来呢，这个 y 是等于负四的，也就是说这个焦点呢，他的纵坐标应该对应的是负四，而这个横坐标呢，对应的是负二， 那我们看啊，第三条直线又又出现了，他是 y 等于负四，很显然这条直线哎，就是这， 这是第三条直线，那这三条线所为的图形到底是哪块？这是这条外等于负四，这是第二条直线，就是二 x 加 y 加八等于零，然后呢，右边呢，是这个抛物线， 所以呢，这三条线所为的这个面积啊，应该是啊，这个阴影部分， 那我们要去求这一块，嗯，面积的话，我们说在直角坐标系当中有两个方法，要么是 x 型，要么是外形。那对于这个题，我们到底用 x 型减变还是用外形呢？我们说了，如果用 x 型的话，它的背肌函数是上线减下线，就是上面要取线 减去下面要取现，那正，也也就是说最好就是一对一的这种形式，也就是说上线的话就是 y 等于负四这条直线，而下线的话，我会发现，哎， 这个直线就是二 s 加外加八式这条直线，而这个抛物线呢，也是下面这条直取线啊，所以呢，下线对应的是两条，那我们如果要用 s 型的话，哎，必须从这个焦点处断开，把它分成两部分，分别去求它的一个面积，再进行一个相加， 这是用 x 型，很显 x 型不是不能求出来，只是稍微麻烦一些，要分块来进行记分。那如果是要用外形的话，我们说了背脊函数应该是右线减去左线，那右线的话就是这个抛物线，而左线的话啊，我们直接看就是 是这条直线，哎，所以呢，我们来我们就可以得到这个面积，他的一个积分表达是我们用 s 来表示，那后面这个积分呢，因为是我们刚才说了用外形来做比较简便，因为是一条右线，对应的是一条左线， 那积分的上下线一定是 y 的范围，从这个图像当中你能看到 y 的范围应该是负八到负四， 哎，所以就确定了他的一个积分的上压线。而背肌函数的话啊，我们说了要确定的是什么呢？是右线减左线，而这个右线和左线都要写成一个关于 y 的式子，也就是说 x 要用 y 来表示， 那我们先来看一下右线右线，我们刚才说的就是这个抛物线，这是用 x 式子来去表示 y 的， 那哎，用 y 如何来去表示 x 呢？我们把 x 方在导师的左侧，然后呢把负八移过去的话，就是 y 加上八， 我们很显要减 x 的话， x 是要进行一个开方的，他开方的话，因为我们看啊，这个抛物线在这个图像当中呢，他只是在外轴的右侧，所以 x 他是为正的，我们只开这个根号，哎，就不用带这个副号啊，就是 根号下外加八，这是最终的这个右线的表达形式，所以呢，这个右线我们应该写成是根号下外 加上八，这是右线，我们说要减去左线，那左线是谁呢？左线二 x 加 y 加八等于零，我们说要把它写成 x 等于多 多少 y， 那二 x 呢？他等于的是负外再减八，哎，所以呢，这个 x 他应该等于的是二分之负外再减八，哎，我们把这个左线写一下，就是二分之负外再减八， 这是右线，这是左线，右线减去左线作为他的背肌函数出现，然后积分变量肯定是 外，哎，学到这一步的时候，我们再往下进行运算了啊，就是一个简单的定积分的一个求解了，所以我们这个第十九题，也就是说求这个图形面积的这种题型啊。首先第一步要把图， 图像一定要画对，图像画对的话，你要根据图像，不管是用 s 型还是用外形，一定要把它的一个积分表达是去 图解正确，然后下一步的话就进行一个运算，我们来看一下啊，把这图像擦掉了啊，这是我们刚才所写出来这个积分表达是那背积还是有两项，我们可以整理成两个分式啊，两个积分 第一项的话就是第一个背景，还说是根号下外加八，第二项的话我们把它整理之后呢，是二分之外再加上四。那 第一个的话啊，虽然他背景函数是一个根号，但是我们可以不用换原来的形式，我们来看他就是一个简单的一个错位分，把他的地的后面写成是外加八就可以了，他跟上面这个地外是一样的，而后面的话，这两个密还是这两个就是简单的一个基本公式运用， 就是四分之外方再加上外，再带他基本上下线就可以了，再往下怎么办呢？我们来看啊，他这个外加八呢，就像是框框的二分之一密，二分之一次 地筐，他是一个密函数的一个生命运算，所以呢，生成二分之三次米，前面跟的是三分之二，再把他积分上下线带入，再往后走的话就是他一个积分上下线啊， 带的时候一定要正确，就是先让上线带入，然后再减去一个下线的带入，他化解，最后的结果呢，应该是三分之二十八。哎，所以呢，这道题呢，他最终的答案是三分之二八，这是我们袭击册上第三章出现的原题型。

是不还是考的基本运算？ d f 啊？等于偏 f 偏 x 乘以 d x 再加偏 f 偏 y， d y 等于。告诉你偏 f 偏 x 等于 x 方加 y 方分之负 y 偏 f 偏 y 等于 x 方加 y 方分之 x， 告诉你倒数。那你拿这个来积分，是不是可以这个偏 f 偏 x 来对 x 积分？就 如果你把这个外看的长数，这个积分你会怎么算？一加 x 方分之 e， d x 等于 r， 可摊件的 x 加 c， 是不是用这种式？这个变成一加上 y 分之 x， 暴力平方 分之不一，再乘个 y 分之一 d x， 是不是啊？变了之后呢？你这里再凑个微分，这是一加上 y 分之 x 的平方，那么这个 y 分之一 d x 是不是也等于 d y 分之 之 x 等于负的 r 可摊件的 y 分之 x 加个 c y， 你还得把这个 c y 求一下。偏 f 偏 y 负的一加上 y 分之 x 的平方分之一，再乘以 y 分之 x 的倒数。负的 y 方分之 x， 再加上 c 撇 y 从外方变成 y 方加 x 方分之 x， 再加 c 撇 y， 这个要等于我们题目里面给的函数的话， c 撇 y 是不等于零 c y 呢？是不就是个长数？我们就知道 f x， y 就是负的 r 可摊减它万分之 x 再加 c f 一一是负的 r 可摊减它一再加 c 是不等于 c 减去斯文的派，这个等于斯文的派的话，说明 c 是等于 二分之派的 f x， y 就等于二分之派减去 r 可摊减的 y 分之 x， f 跟三三二分之派减去 r， 可摊减的跟三除以三。后面是六分之派一减。答案是三个派。

第十八题，这里面呢，这个老老问题了吧，啊，就是这个抽象型的这个偏档数，那么你这边要注意，这边有两组的，这边有两组，这边只有一个一个位置，这边是有两个位置的啊，所以看清楚了，他就是对谁先去求偏档数，所以上来这边就是一个 they 对 z 对 x 去求偏倒数，然后呢，这边就等于这边是两个分别去求，第一个圈去求，那么有两个位置， 那么这两个位置你看一下，分别对，分别对第一个位置和第二位置去求，然后后面各自乘上对谁的平等数？ x， 那么是谁啊？ 一，后面是谁啊？ why？ 写完以后，这边是两者相加，然后后面再加上这边是什么？这边是一个 find 什么一撇后面括号要不要加？我觉得不要。然后这个注意， 这是 y 函数吧，这个符合函数， y 函数求导，叫发一撇内函数，对 x 求导，这边等于什么？ rx， 好，第一组写完了，写完以后，在此基础之上，我们说再对 y 去求一次偏导数，这边一共求了两次， 那注意，这里面有 y， 这里面有 y， 这里面也有 y， 所以要分什么？三次？三次求完以后怎么样相加 好，第一个，这边是 f e 一撇去求 f e 一撇，后面有两个位置，分别对第一个位置和第二位置去求导，后面各自乘上每个位置，里面再对 y 去求偏导，等于谁啊？零，这边是谁啊？ x， 写完以后，这边是两者相加 好，这第一个结束了吧，再加第二个。答，注意，第二个的时候呢，这里面有 y， 这里面也有 y 乘法则，先对这个 y 求求弯道，等谁啊？一一再乘上它是 f r 一撇吧，后面再来加上这边是一个 y， y 呢？你要稍微注意，这边是一个 f r 一撇去求， 那么对它的第一个位置，对它第一个位置和它对第二个球后面各自再存上，里面是谁啊？零和 x， 写完以后，这边是两者相加， 这不是也也结束了吧？再加后面注意，再加上这边是 r x， 当长数看，然后发一撇，后面也有括号，所以这个先对发一撇的外函数球就是方案。两撇后面乘上这括号，里面对 y 球偏倒，这个就得怎么样？ r y 都求完了吗？都求完了。最后要整理一下，从低阶写到高阶。好，那么低阶是什么呀？ f 一撇，这边注意，知道这里面要不要交代 f 区 有二阶连续偏档数，所以 f i 撇后面是什么？高阶从有序到无序，一一不用写了，二二二二前面有什么呀？ y， 所以这边前面是加上 x， y， 后面再乘上 f 二二两撇， 无序呢？无序只有它加上，这边是 x， 再乘上 f 一二两撇，最后后面再写四 x， y 后面再乘上发一 g p i 两撇，这个很简单吧。

大家好，这里我们一起来做一下这道求 z 这个函数的一阶偏档和二阶偏档的问题。 j 是一个 x 立方，成一个抽象的符号函数， 那么我们要求 z 的偏档，我们先求这个 e g 偏档， 这对 y 求偏大，那么我们发现这个 x 立方就可以作为长数乘以 f 对 y 的偏大数。 这里 y 是一个抽象的符合函数，因此我们需要 f 是一个抽象的符合函数，因此我们需要重温其他的符合结构。 它首先有两个变量，第一个变量呢是 x y， 第二个变量呢是 x 分子 y。 这两个变量有分， 分别是 x 和 y 的函数，因此它对 y 求大就有两条路径， 我们就可以写出它的练式法则公式。首先是 f 对第一个变量求导，那第一个变量再到 y 就对外求导，叫 x 加上 f 对第二个变量求导， 第二个变量对 y 求的 x 分之一，整理一下，就是 x 四次方， f 一一撇，加上 x 平方， f 二一撇，这就是 z 对 y 的偏倒数。那么接下来我们求 z 对 y 的二阶偏倒，同样的，这四次方是个错位，常量乘以 f 对一阶偏大，再对外求挡， x 平方乘以 f 了，退第二个边上偏大，再对外求挡。 这里我们要求这两个偏倒数，得分析一下 f， 它的一阶偏倒数，不管是对第一个变量还是对二个第二个变量啊，符合结构， 它的符合结构跟之前的 f 是一样的，因为它的参数列表是相同的，一样是有两个变量，一和二 x， y 就是 x 分之 y 又分别是 x 和 y 的函数，因此 f 一街道对 y 求道，等于两条路径通过第一个变量到 y， 通过 b 二的变量到 y， 所以是 f 一街道。对，通过第一个变量到 y 乘 x， 对吧？ x， y 对 y 求偏打，那通过第二个变量打到 y， 然后是 x 分之一，类似的，我们的 f 对第二个变量者变打好对外求打，一样的类似结果，通过第一个变量再乘第一个变量对外求打， 通过第二个变量，第二个变量对外求的 c， x 分之一，对吧。所以 c 对 y 的 二级变道数就会等于 x 五次方乘这个二级变道加上 x 的立方乘， 这个混合变道数，加上 x 立方二一，这个混合变道数，加上 x 乘 这个混合偏老，这个偏老数。整理一下，因为我们知道他的二阶偏老数是连续的，所以这两个混合偏老数是 上等的，所以我们就有它是 x 五次方 f 一一撇撇，两倍的 x 三次方 f 一二撇撇，加上 x 乘 f 二二撇撇。 ok， 这是 j 对 y 求偏打，那我们接下来求 j 对 x 和 y 的和偏打，它就是要在一这个对 y 的偏打数基础上，再对 x 求去打， 加上 x 平方 f 二一片，那么线对 x 求导就四倍的 x 三次方 f 一片，加上两倍的 x， f 二一片，再加上 x 四次方乘 f 一 对 f 求变大，加上 x 平方乘 f 二对 f 求变大。一样的，我们还是要去求 这两个片倒数，这里面未知的其实就这两项，这两项怎么求呢？哎，跟上面阐述是一样的，我们要分析一下它的符合结构，对吧？我们这边写 f 二的 看，一样是这个符合结构，哎，写反了。 x 分之 y 第一个变量，第二个变量，第一个变量是 x y， 第二个变量是 x 分之 y x y x y， 那么它的 x 的路径两条，对吧？这一条，这一条，所以 f 一对 x 的变导数就会等于先通过第一个变量 啊，第一个边梁对 x 求打，这是 y 啊。通过第二个边梁，第二个边梁对 x 求打，是负 x 平方分之外 类似的 f 二一撇对 x 求档，对吧？对， f 二一撇，通过第一个边量，第一个边量对于 f 求档，加上 f 二一撇，对第二个边量负 x 平方分之二， 这要带入整理 这对 x 和 y 的混合偏倒数就变成是四 x d 方 f 一撇二 x f 二一撇，加上 x 四次方 y f 一一撇撇，减去 x 平方 y f 一二撇撇，加上 x 平方 y f 二一撇撇，减去 y f 二二撇撇。 啊，这两个是一样的，约掉的，所以剩下的就是 x 立方 f e 撇 二 x 二 f 二一撇，加上 f 四次方 y f 一一撇撇，减去 y f 二二撇撇。 ok， 这就是这道题的解。

首先我们来看这个第一题，这里给了这个二人函数，让我们求在零零点处是否有这个偏导，说像这种不能直接求导的情况下，我们首先要想的是用定义公式，然后把这个题案给做一下， 我们先求在零零点，然后对 s 求天道，你把它定义钩上给拿过来，他就等于阿利密的单场 s 去于零的时候，然后是啊，零加上单场 s， 也就相当于在零这一处 s 的增量加单场 s， 然后呢外固定，所以啊，他仍然是零，再减去啊这一点的函数值， 然后呢再比长个带上 s， 这是他定义公式。下面我们进行带直，你看一下这里的零加带上 s 是不是相当于就带上 s， 那么也就相当于 s 的位置对应的单场 s y 的位置上对应的是零，那么你就带不到上面这个十字中间去，我们往下等，就等于哈 带上 s 乘以零，然后再比上个带上 s 的平方，再加上零的平方，然后你再看一下后面这个地方 f 零，零，他是不是对应的这个零函数值，所以你把等下来的时候就减去零，然后呢再比上个带上 s， 同样的，别忘了前面要有啊厘米带上来去零。我们先看一下这一部分， 这个分子上是不是单塔 x 零，所以他就为零，分子上为零，那么整个式子他也是零，那么零减去后面这个零，同样也是零，对于这个分母上来讲的话，他是不是趋近于零，永远都不可能等于零，所以呢整个式子 他是等于零的，这呢我们就求得在这一点对 s 修边脑，他是等于零的，然后我们再来观察一下这个式子， 对于这个式子来讲的话，你看一下他是不是 s 换成 y， y 换成 s， 他是对称的，所以啊，这里对于 y 你就不用求 涂了，写在桶里， 在零零处对外求偏导，他也是单一零的，这就让通过定义公式来求的啊。这里啊，给大家提个疑问，就是这个函数在零零处是否连续， 那么你要想到啊，连续的公式，如果是连续的话，是不是要在极限值， 要，必须等于这个函数值，那我们来验证一下，先求他的极限值， 那就相当于是求利密特 s 腕均匀零零这一点的时候，这个 s 腕再比上个 s 平方加袜，他的极限存在吗？这个函数就不给大家推倒了，因为这是我们上节课刚做完的，对于这个函数，先取一个 y 等于 s 路径， 再取一个 y 等于负 s 路径，他们极限不相等，所以啊，可以正德在这一点，极限是不存在的，然后他的函数值 对应的是不是 f 零零，他等于零的这个极限值不存在，函数值尽管存在，但是他们两个并不相等，所以啊，在这一点他是不连续的。 好，那么大家把这个记住，就是对于这样一个二元函数来讲的话，他的编导说 是存在的，但是啊，不连续， 因为这个二人函数他是一个常考的，把这个结论给记下。