沙漏模型角度原理及公式

同学们好，今天我们来讲一下沙漏模型的验证及应用一、今天我们先验证一下沙漏模型的第一条定律。沙漏模型是什么呢？顾名思义，它就是外形比较像一个沙漏，它讲的是什么呢？ 它的定理有两条定理一， a、 b 比上 c、 d， a、 b 比上 c、 d 等于 a、 e 比上 d、 e， 同时也等于 b、 e 比上 c、 e。 那定理二是三角形 a、 b、 e 的面积比上三角形 c、 d、 e 的面积就等于 a、 b 的平方，比上 cd 的平方。那我们学会这个定理，在我们解题的过程中就会有很大的优势。那我们先看一下定理一怎么验证。那我们 先在这个图中，我们可以看到 a、 c、 d 跟 a、 b、 d 它们是同高的，所以它们的面积比就是它们的底面比。 那我们再看一下 a、 c、 d， a、 c、 d 跟 a、 c、 e， 它们也是同高的，所以它们的面积比，同样是底面比，等于 a、 d 比上 a、 e。 那我们再转过来看 a、 b、 d 的面积比上 a、 b、 e 的面积，是不是也是因为嗯同高的原理，所以等于 a、 d 比上 a、 e。 这样我们就会知道 a、 c、 d 比上 a、 c 一的面积 等于 a、 b、 d 比上 a、 b、 e 的面积，因为它的面积比多至等于 a、 d 比上 a、 e。 这时我们根据乘法等式的变形，可以得到三角形 s 三角形 a、 c、 d 比上 s 三角形 a、 b、 d 等于 s 三角形 a、 c、 e， a、 c、 e 比上 a、 b、 e， a、 b、 e， 那我们的 s 三角形 a、 c、 e， a、 c、 e 比上 a、 b、 e， 又因为同高的原理，那我们就等于 c、 e 比上 b、 e， 这时候我们就可以得到 s 三角形 a、 c、 d 比上 s 三角形 a、 b、 d 等于 s 三角形 a， c， e 比上 s 三角形 a、 b， e 就等于它们的边长 比 c， d 比上 a， b 等于 c， e 比上 b， e。 所以得到它们的边长比 c， d 比上 a， b 等于 c， e 比上 b， e， c， d 比上 a， b 等于 c， e 比上 b， e。 同理，我们可以得到 c， d 比上 a， b 等于 d， e 比上 a， e。 这时候因为都是 cd 比上 ab， 那那我们就可以得到 cd 比上 ab 等于 d， e 比上 ae 等于 ce 比上 be。 同学们理解了吗？

同学们好，今天我们来验证沙漏模型的定理， i 如图， a， b 与 c， d 平行求证。 s 三角形 c， d， e， c， d， e 与比上 s 三角形 a， b， e 等于 c， d 的平方，比上 a、 b 的平方。那我们根据我们上一节课的验证，可以得到我们的定理一，我们的 c、 d 比上 a， b 等于 d， e 等于 d， e 比上 a， e 等于 c， e 比上 b， e， 然后我们根据这个定理，其实就已经知道这两个三角形是相似三角形。什么是相似三角形呢？通俗来讲就是个边比多相等的三角形，比如说我们这个图形转换一下，你会发现这两 三角形就是相似三角形，他们的边比就是我们这边地理所证明的相似三角形，对应边的高的比也等于对应边的比。那我们就知道 e g 比上 e， f 等于 c， d 比上 a、 b， 那这样的话就涉及到一个相似三角形的问题，所以有些同学可能不太理解相似三角形，因为还在小学阶段嘛。那我们以我们现有的方式来看一看，那比如我们先把这个三角形 e、 a 从这边拉过来，拉到跟 f 点重合，因为这个 e、 d 跟 e、 a 是不是他们就有高啊？那同样一点，我们的 b， e 有没有， b， e 跟 c， e 长度有没有变化没有，对吧？然后我们再把它还原成沙漏， 这样我们可以把它再转过来，转成一个沙漏。那我们就可以根据沙漏模型的定理一去得到 a， e 比上 e， d 就等于 b， e 比上 c， e， 所以我们就还是能得到它的高的比，等于它的边长的比。 那我们继续来看题目，刚才我们得到对应边的比等于对应边高的比，那我们再继续看我们的三角形 s 三角形 c、 d、 e 就是 c、 d、 e 的面积比上 s 三角形 a、 b、 e 的面积，那就等于二分之一。因为三角形的面积它底层高， c、 d 乘上 e、 g， 它要 除以一个二嘛，所以把二分之一放前面。那三角形 a、 b、 e， a、 b、 e 就等于二分之一， a、 b 乘上 e、 f， 那二分之一可以划掉。那我们三角形的面积比 s 三角形 c、 d、 e 比上 s 三角形 a、 b、 e 就等于 c、 d 乘上 e、 g， c、 d 乘上 e、 g 这个高，然后比上 a、 b 乘上 e， f， 乘以 a， b 乘以 e、 f， 也可以写成 c、 d 比上 a、 b 乘上 e、 g， 比上 e、 f。 那我们得到了这个公式，这个面积公式有什么用呢？我们再看 c、 a、 d 比上 a、 b 乘上 e、 g， 比上 e、 f。 其实根据定理一，我们就可知道 他的各个边，他是一个比嘛，一比就有比值吧，他的比值是相等的，所以 c、 d 乘上一个比上一个 a、 b 乘上一个 e、 g， 比上一个 e、 f， 就等于 c、 d 比上一个 a、 b 乘上一个 c、 d 比上一个 a、 b。 那有些同学会说，哎，这是为什么呢？我们看个例子你就了解了，二分之一和四分之二和八分之四跟十六分之八是不是都等于二分之一啊？那他们的是不是就是一个？呃，同比例关系啊？那二分之一乘上一个四分之二，等于八分之四乘上一个 十六分之八，他们的比值都是相同的，因为都是零点五嘛，所以他们的这个公式也可以写成这个等式，也可以写成零点五乘零点五等于零点五乘零点五，那是不是也可以写成二分之一乘以二分之一 等于二分之一乘以二分之一，零点五乘零点五等于零点二五，二分之一乘二分之一也等于四分之一，四分之一也是零点二五，对吧？所以我们就得到了这个 三角形 s 三角形 c、 d、 e 比上 s 三角形 a、 b、 e 就等于 c、 d 比上 a、 b 再乘以，因为它们可以把 e、 g 比上 e、 f 转化成因为它们的比值相等的问题，所以转化成 c、 d 比上 a、 b。 所以我们就得到了我们最终需要 求证的 h 三角形 c、 d， e 比上 h 三角形 a、 b、 e 等于 c、 d 乘 c、 d 就是 c、 d 的平方比上 a、 b 乘 a、 b 的 a、 b 的平方，同学们了解了吗？

哈喽，同学们大家好，我是陈老师，今天我们来看一下十三讲的一个课后探究。首先来回顾一下本节课的一个知识点，这节课呢，讲的是我们几何板块中的金字塔与沙漏模型。首先看一下金字塔模型 啊，在一个三角形中啊，中间有一条线， d、 e 和我们的底边 b、 c 平行，这是金字塔模型的一个要求 啊，这两条线要平行，然后平行之后呢，这里面会有两个三角形，一个小三角形 a， d、 e 以及我们最开始的最大的三角形 abc， 对吧？一大一小两个三角形，这两个三角形之间的一些关系啊，也就是一些结论需要我们去记住。第一个是关于边与边之间的这个长度关系的，那么小三角形的左边是不是 ad， 大三角形的左边呢？就是 ab， 所以呢，他对应的边就是左边，和左边是对应的，那么他们的比值也就是 adbab， 我们写成分数对吧？ b 也可以写成分数，那就 abbad 或者 adbab 都是一样的哦， adbab 短的，笔长的吧，我把短的写在上面，那么就是 adbab， 然后的话，这个是左边比左边，对吧？那么小三角形的右边是 ae， 大三角形的右边是不是 ac， 那就是 ae 比 ac 就是右边比右边， 那么下边 d、 e 是小三指的下边，而 b、 c 是大三指的下边，下边比下边呢？哎，就是 d、 e， b， b、 c 以及我们对应的高。 小三角形的高是 am， 这个地方做的是垂线，大三角形的高是 an， 他们的对应的高呢？ amban 呢？他们这四个对应边的比啊，他们都等于同 一个数，也就是都等于一个比啊，假设是 b 分之 a， 这样一个比，那么就是第一个结论，对应边的比相等 好。第二个结论是什么呢？这两个三角形的面积之比，小三角形的面积比上大三角形的面积，他们的面积之比呢，就等于刚刚的那个边的比，他的一个平方啊，刚刚的比是不是 b 分之 a， 对吧？那现在的比呢，就是 a 方比 b 方，那就是刚刚那个比的平方好，这是金字塔模型，然后沙漏模型， 沙漏模型呢，它其实就是将金字塔模型上面的那个小三角形啊，你可以看成是围绕 a 点呢进行旋转，一百八，把它转上去之后，它就构成了一个沙漏模型，也是因为它长得像咱们的一个时间沙漏，所以说我们把它叫沙漏模型。那么这个时候呢，我们也是要注意， 是不是也会有两个三角形，上面和下面这两个三角形呢？跟刚刚一样，对应的边的比是相等的，面积之比呢，就等于对应边的比的平方。那么这个时候容易出错的就是什么呢？对应边的这个对应边容易找错， 那我们来看一下吧，比如 o a 是上面的三角形的左边，这个 o a 的这个边，它对应的边是哪个呢？是 o c 吗？ 哎，这个是要特别注意，他不是对应 oc， 你想他刚刚在左边的时候转上去的，他是不是 oa， 应该是从 od 这条边上转上去的，所以这里面有一个技巧，就是什么呢？如果是沙漏模型，在同一条直线上的边是对应边， 在同一条直线上的边是对应边，也就是 o a 和 o d 是对应边哈。好。然后 o b 和我们的 o c 是对应边啊，我用的 不同的线型给大家对应的，然后的话底边还是很好对应的。这个 ab 和我们的 cd 这个是对应边，所以他们的对应边也是相等的。 oa 或者说 ao 比 do 应该等于 bo， 比 co， 等于 ab， 比 cd， 然后对应的高也等于 oebof， 等于同一个笔，假设这个笔是 b 分之 a， 这个叫对应边的笔相等，那么他们的面积之笔呢？就等于这个对应的边的笔的平方，也就是 a 方比 b 方 好。那这就是金字塔模型和沙漏模型。然后这个沙漏模型跟金字塔模型也是一样的，刚刚说了，金字塔模型是要有一组平行线的，那么我们这个沙漏模型刚刚说了是一百八十度转上去的，所以说其实 ab 边和我们的 cd 边也是要求平行啊，也是要求平行哈。好，那么知识点 回顾完了之后，我们来看一下本节课的一个内容。第一题如图，在三角形 a、 b、 c 中啊，左边这个图哈， a、 b、 c 中 d e 与 b c 平行，你看是不是有这个前提条件了？ 如果第一比上 bc 等于二比三，那么像这种题目呢，他由于不是给的具体的长度，那么我们可以将他的份数这个二比三，我们可以把它写成份数对不对？也可以写到咱们对应的边上去，用份数来表示他们之间的一个关系。那二比三的话，我就可以直接标二和三 啊，当然这不是指具体的长度，而是指的份数哈。然后他说，那么三角形 a、 d、 e 上面这个小的比上三角形 a， b、 c 整个大的，他的面积之比是 s， 表示面积嘛，面积之比是多少呢？那我们都知道，刚刚讲了的 面积之比应该等于对应的边的比的平方，而小三角形他的边是不是有一个知道的二， d， e 的长度是不是？呃， d e 的这个边是不是下边，而我们的 b、 c 这个边也是下边，这是不是一组对应边？那么他们对应边的比的平方，他们对应的边的比是不是二比三呢？ 那所以他们的面积就等于对应边的比的平方，那就是二的平方比上三的平方，所以是四比九啊，是不是非常简单？所以后面的话陈老师就 不再这么详细去讲了哈。第二位，如图右啊，如右图， a d 平行于 b， c， a， 这是不是沙漏模型对吧？把刚刚那个金字塔给他转上去了， a， d 等于四厘米，这是给的具体的长度。 b， c 等于十二厘米， o d 等于三厘米，则 o b 等于多少厘米？好，这个地方呢？我们啊，我们怎么办呢？由于这个金字塔模型中你发呃，这个沙漏模型中，你发现 ad 和 bc 是一组对应边，而且他们的长度我们都知道，那所以这个对应边的比我们能不能知道呢？ 哎呀，我们是不是能够知道的，因为 ad 比上 bc 的长度，他们的长度之比等于四比十二，也就是一比三。化解错， 那所以这个是对应边的比一比三。那我们金字塔和沙漏模型讲到了呀，对应边的比是相等的，所以我这个 o d 比上这个要求的 o b 也应该等于一比三 这个意思，而这个一比三，你发现 o d 又是三厘米， o d 又是三厘米，那说明这个三厘米 是不是一比三里面的那个一份，所以一份是三厘米。那请问 ob 边是三份的话，那是不是三乘三等于九厘米， 所以我们的 ob 边是九厘米？好，这个用的是我们的对应边的笔是相等的，对吧？你知道一组对应边的笔呢？那其他两组或者说还有那个高算算高的话，其他三组他对应的边的笔也是这个笔，对吧？大家都是一样的。好，来看第二个题， 如图，在三角形 a、 b、 c 中， d e 平行于 b， c， a 有平行了，那这个图音是不是金字塔 金字塔模型对不对？已知 a， e 比上 e， c 等于三比五， a， e 比 e， c 等于三比五， a， e 是三份的话，那么 e、 c 就是五份。求三角形 a， d， e 小 一点的和三角形 abc 整个大的它的面积之比。你发现小三角形呢？是这一个大三角形呢？是不是整个大的 abc？ 好，这两个三角形构成一个金字塔模型，而金字塔模型讲了的 面积之比应该等于对应边的比的平方。 a 是我们小三角形的右边，那请问 ec 是小，是这个大三角形的右边吗？ no， 不是，对吧？ ec 只是右边的这个梯形的一部分，所以你要对应边的话，应该是整个 ac 才是大三角形的右边，所以右边对右边一定要把右边找正确，那所以他应该是三加五，是不是应该八份啊？这个地方 右边是应该八份，所以我们知道小三角形和大三角形的对应的边，右边 a， e 比上我们大 三角形的右边，也就是 ac， 其实应该等于三比八啊，这个八的话，你可以写一下，是三加五得到的，所以就等于三比八，对不对？让我们知道 咱们的对应边是三比八，那我们的面积之比是不是应该等于对应边的比的平方，所以他俩的面积之比啊，如果用字母表示，那就是 s 三角形 ade， 他的面积比上 s 三角形 abc， 应该等于对应边的比的平方，那就是三的平方比八的平方，然后咱们给他算出来九比六十四。 好，这是第二问啊，也是简单的一个运用，只要把对应边不要找错了就可以了。第三问，如图，在三角形 a、 f、 g 这个大赛旅行中， d、 b、 b、 c、 d、 e、 f、 g 互相平行，有三个平行线，对不对？三个平行线好，那你可以看出来 这是一个多层的金字塔，对吧？那所以也是一样的，且 ab 等于 bd， 等于 df， 都等于两厘米， 二、二二好。第一问，求 a、 b、 b、 a、 d、 b、 a、 f， 这个也太好求了吧，对吧？ 好， a、 b 比上 ad， 比上 af 都是左边的那些线段，对不对？ ab 是二， ad 是不是？ ab 加 bd 是不是两个二？所以说比的是两个二，二加二， 然后 af 是不是三个二，那就是比上二加二加二，当然你用乘法也可以，所以应该是二比四，比六，再化减一下，一比二、比三，对不对？其实这个是这三条线段的比， 并且还是三个三角形 a、 b、 c 三角形的左边是不是就是这个 a、 b， a、 d、 e 这个三角形的左边是不是就是 a、 d afg， 这三角形的左边是不是 af？ 所以其实这个比啊，也是我们三角形 abcade 和 afg 对应的左边的比，对不对？好，那我们来看一下第二位， 第二位说，那就求三角形 abc， 三角形 ade， 三角形 afg 的面积之比，你看第一位是不是给我们做了铺垫？ d 问，把这三个三角形对应的左边的比都给我算出来了，一比二，比三，那我们知道面积之比等于对应边的比的平方，那所以说三角形 a， b c s， 三角形 a， b， c， 如果用字母表示的话，然后三角形 a， d， e s， 三角形 a d， e， 三角形 a f， g s， 三角 afg， 他们的面积之比是不等于对应边的比的平方，那就是一比的平方，比二的平方，比三的平方等于一比四，比九，轻松搞定，对吧？好，那么我们来看一下下一问。 如图，在梯形 abcd 中，下底 bc 是上底 ad 的两倍， 三角形 boc 的面积是三十六平方厘米， boc 这个三十六平方厘米， 求三角形 aod 的面积，求上面这个三角形 aod。 好，这个是要注意了，这个梯形呢，有同学会想到我们上节课讲的梯形之中有什么蝴蝶模型，对吧？左等于右，上乘 下等于左乘右，并且还有什么肉串，对吧？好，这是上节课讲的，那这节课讲的呢？是不是有金字塔和沙漏模型？ 那么他们的前提是精彩。和沙漏模型是不是要有一组平行线？那由于梯形中也是有平行线的，对不对？所以在梯形中不仅有蝴蝶模型，还有什么呢？还有我们的沙漏模型，因为 ad 和 bc 是平行线，所以这里面很显然有一个沙漏， 这一个沙漏，好，那你看一下沙漏模型的话，是不是就能解决 对应的三角形的面积和他们的一个边长之间的一个关系？而题目中给了下底 b、 c 是 a、 d 的两倍，那所以这个倍数关系，我们是不是也可以把它设为分数，按照比来去思考，假设 a、 d 为一份， b、 c 是他的 两倍，是不是两份，那就说明对应边 a、 d 比上我们的 b、 c， 是不是这两个三角形的对应的边应该是一比二，那 对应的边有了三角形 b、 o、 c 和我们三角形 a、 o、 d， 他们的面积之比应该等于对应边的比的平方，所以 s 三角形 a、 o、 d 比上 s 三角形 b、 o、 c， 他的面积之比应该等于对应边一的平方比上二的平方，所以等于一比四。那也就是说上面的三角形是一份，下面的三角形是四份，而四份的三角形题目中说了是三十六平方厘米，所以三十六除以四份，得到一份 是九平方厘米，那我们要求的三角形就是一份的，所以答案是不是就是九平方厘米？好，这是我们的这 个第四题啊，用我们的沙漏模型去做的，哎，怎么说？陈老师，我用蝴蝶模型能做吗？哎，自己下去思考，你看能不能做啊？蝴蝶模型要怎样才能做？来看第五题，如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， d、 e 的长度是二十厘米， c、 e 的长度是六厘米， b、 d 的长度是十七厘米。求 b、 f 的长度。哎呦， 太晕了啊，看图啊。第一个图，他说 d、 e 等于二十， d、 e 整个 d、 e 的长度二十， 我写到最上面吧，表示整个长度二十， c、 e 等于六厘米，这个是六，哎，这个是六的话，那 d、 c 是不是应该二十减六等于 十四，这个就应该清楚了。然后 b、 d 呢？等于十七，整个这个 b、 d 是十七，好，然后求 b、 f， 哎，是不是求那个 b、 d 整个这个长一点的十七厘米里面的其中的一部分 b、 f 的长，对不对？好，那这个地方应该怎么做呢？ 哎，你发现这个地方要求的是这个 b、 f， 而整个 b、 d 又知道的，那意思就是说，如果我能知道 b、 f 和我们的陈老师画五角星的这个线段，也就是 d、 f 的长度， 他们两个之间的比，那是不是可以按比分配，把这个十七厘米分给咱们的 b、 f 和 d、 f 不就好了吗？那问题是你要得到问号和五角星，这个 b、 f、 d、 f 不得长度之笔，那你应该怎么办呢？那这个时候是不是讲了，我们这节课讲到了咱们的金字塔和沙漏模型中都有长度笔的关系，对应的三角形，对应的边的笔全都是一样的， 对吧？所以我如果能把他们这两条线段分到两个三角形中，并且这两个三角形中有一组对应边的笔已经知道了，那么这个笔是不是确定了？那你看一下这里面有什么呢？这里面很显然上面那个是二十，那二十的话， 这边 c、 e 是六，那 d c 是不是十四？ d c 是十四，由于是平行四边形，所以 a、 b 就是十四， a、 b 是不是就十四？而并且平行四边形上边下边是平行的，左边右边是平行的，那所以很显然上边下边这里面是不是构成一个沙漏模型， 这个沙漏模型的对应的两个三角形的底边是不是 d、 e 和 a、 b？ 那所以他们的长度之比我是不能比出来，所以 d 问我就思路了， d、 e 比上 a、 b 等于多少呢？等于二十比上十四。化解一下， 二十比上十四是不是十比七？那就说明 d、 e 这个三角形和我们 d、 e、 f 的三角形和 a、 f、 b 这个三角形，它的对应的边应该是十比七，那所以只要是对应的边，是不都应该等于十比七？ 而我们的 b、 f 和 d、 f 是不是就是对应的边？所以 d、 f 是上面那个三角形的对应的边，而我们的 b、 f 是下面这三角形对应的边，所以他们的对应的边的比应该等于刚刚那个比，也就是十比七， 等于十笔芯。而现在告诉我，题目中 bd 的长度是十七厘米，那就是整个 df 和我们的 bf 一共是十七厘米，而他们一共是十份和七份，一共是十七份，那是不是可以算出一份呢？所以只需要按笔分配，十七除以十加七， 得到一份就是一厘米，一份是一厘米，那 b、 f 他是不是就是七份？那七份的话就是一乘七，所以是七厘米这一题就搞定了，所以其实用的是沙漏模型，对不对？好，接下来看一下第二问，你发现第二问的图案和第一问的图是不是有点神似，对吧？ 那我们来看一下。如图，在平行四边形 a、 b、 c、 d 当中， a、 d 的长度二十一， c、 f 的长度是七， a、 b 等于十六， a、 b 等于十六，求 d、 e 的长度，求 d、 e 的长， d 又是其中的某一条线段，对吧？ d， 你会发现 d 的长度不知道，但是呢，由于左边 a、 b 是十六，那所以 c、 d 也是十六，因为平行四边形的对边是相等的， 所以这个是十六，对不对？那你看，又要求这个十六里面的某一条短一点的线段，也就是打问号这个线段，你看他和那个画五角星的这个线段 c、 e 是不是组合起来就是十六？如果我能知道 他两个的比，也就是他俩的份数关系，我又可以按比分配把十六分给他们俩，对不对？那所以又要找他们两个的现状关系，那很明显你发现了咱们又有一个沙漏在这给你立着的，对不对？所以把这个沙漏给大家描出来， a d， c f a， d e 和我们的 c e、 f 这两个 三角形是构成沙漏模型，并且很明显的，他们对应的底边二十一和七都是已知的了，所以这个沙漏模型中 ad 比上 cf 等于二十一比七 等于三比一。换点之后，那就说明对应的边应该是三比一，那我们的 d 是我们上边三角形对应的一个边，和我们底下的这个 c， 对吧？ 他应该是对应边，他们也应该等于三比，应该也应该等于三比一。而 d e 和 c e 整个合起来是我们的 c d， 也就是十六， 那所以一份我就可以求出来了，应该用十六除以总份数三加一，所以每一份代表四，一份代表四。我们要求的 d、 e 的长度是三份，对吧？三比一嘛， d e 是不是三份？所以 d、 e 应该用一份的四乘上分数三等于十二，所以 d、 e 的长度就求出来了。那么这两个题目其实都是一样的，是不是用的金字塔 啊？这个用的这个沙漏模型呢？并且这个沙漏模型中是不跟我们的平行四边形的特征结合起来的。平行四边形有哪些特征？ 对应的边是不是相互平行，并且相等？长度是不是相等？这是四边形的一个特征吗？对不对？所以这个特征也用起来。那么这是我们的前面的五个题目，陈老师讲完了，接下来我们来看一下思考题啊，这个思考题 如图，在三角形 a、 b、 c 中， d e 平行于 b、 c。 哎，有了平行线，你会发现这个三角形 躺着的，那躺着的不要紧呐，咱们把它转一下不就好了吗？转过来你发现其实就是一个金字塔嘛，对吧？有平行线的 d e 和 b、 c 平行，那所以是个金字塔，然后点 d 呢？又是 b、 a、 b 边的终点，终点的话说明一人一半，那我们通常 这个终点的用法是不是就可以给它假设为一份和一份？好，同时点 e 又是 ac 变得终点啊？那这又是一份和一份，对不对？这又是一份和一份。 一只三角形 abc， 也就是整个最大的三角形，它的面积一共是四十八平方厘米。求阴影部分的面积，阴影部分的面积。 好，阴影部分你会发现阴影部分你仔细看，他是一块非常小的三角形，而这块非常小的三角形 呢？他又有同学发现了，是在一个沙漏位置啊，一个沙漏模型当中的上面部分，对吧？可以看成是沙漏模型。好，那还有系统同学发现了 咱们的，由于 d、 e 和我们的 b、 c 是平行的，那平行的话，那我们这里面有一个梯形应该能发现吧？ 对吧？梯形上底下底平行，左边和右边是不平行，两个腰部平行，所以说这个蓝色部分其实又是一个梯形中的蝴蝶模型，所以这是我们所能观察到的，所以蝴蝶模型是不是也有的？刚刚也讲过了，梯形当中沙漏和蝴蝶同时拥有。 那好，那我们来看一下，你先把你能求的给我求出来，知道 d 和意是终点，那所以在我们的金字塔中，你发现了 ad 的长度是一份，那么 ab 的长度就是两份，那说明 是不是对应的边的比应该是一比二，所以由 ad 比上我们的 ab 等于一比二，这是我们对应边的比是一比二，那对应的边得到了我们要求面积的话，那转化为面积之比，咱们的三角形、小三角形 ade 的面积比上我们大三角形 a、 b、 c 的面积， a、 d、 e 比上大三角形 a、 b、 c 的面积是不是应该等于对应边的比的平方？一的平方比二的平方等于一比四， 那也就是说小三角形应该是一份，而整个大三角形呢？应该是四份，整个大的应该是四份，对不对？那整个大的是四份的话，整个大的又说了是四十八平方厘米，我是不是可以把一份求出来？所以四十八除以四一份就是十二平方厘米， 所以一份是十二平方厘米，那所以上面这个相当于是十二平方厘米，我就可以算出来。那既然上面是十二，整个是四十八，那底下整个梯形是不是应该是三十六？整个梯形是不是就是三十六平方厘米啊？我把这个算出来的给他写上去。 好，这是我们通过这个金字塔模型计算出来的一些答案。好，那这个算出来之后呢？接下来就要解决我们的阴影部分了，那阴影部分应该怎么办呢？这个手这位同学开始 想不出来办法了，对不对？那这个时候我们来看一下在我们的这个金字塔，金字塔下面的这个梯形当中，首先有沙漏模型吗？沙漏模型告诉我们阴影部分，阴影部分什么呢？阴影部分的面积，陈老师画个 问号吧，和我们的五角星的这个面积是不是构成一个沙漏模型？沙漏模型对应的边，你会发现有一组是已知的，也就是这个。第一，我用 绿色啊，这个 d、 e 的长度和我们 bc 的长度，他们的关系能不能找出来呢？哎，这个是找的出来的，通过刚刚的这个金字塔，你发现这是上面小三角形的， 对吧？右边这个小三角形，他的一个底边，如果你倒过来看这个金字塔的话，是不是 d 是一个底边， b、 c 是整个大的三角形的底边，那所以是不是下边比下边，他应该等于左边比左边，所以他也应该等于最开始那个一比二嘛？他是不是应该等于那个一比二？所以 这个地方沙漏模型中 d、 e 比上我们的 b、 c 跟我们刚刚的第一次使用的，那 这个金字塔模型的左边比左边是一样的，所以也应该等于一比二。他既然等于一比二的话，那所以问号的面积比上五角星的面积之比是不应该等于对应边的比的平方。 回到沙漏模型中，我知道了 d e 是一份， bc 是两份，是不是对应边这个沙漏模型对应边的比是一比二，所以他们的面积之比是不是一的平方比二的平方？所以问号的面积比上五角星的面积，我就不写那个字母了哈。 s 三角形和 s 三角形 是不是应该等于一的平方比二的平方等于一比四？那也就是说问号应该是一份， 我把它写成一份五角形应该是四份，是不是应该四份？好，但是这个一份和四份好像也求不出来一份了，因为我们知道的是整个下边是三十六，对吧？整个这个 这是三十六刚刚算的，而右边的这点是十二，这个十二没什么用呢，因为他不在我们的阴影部分这块里面，所以只有那个三十六能用。三十六是整个梯形的面积。 三十六是不是整个梯形的面积？而我现在只知道了右边这块一份的和我们左边这块四份的关系。我并不知道空白的我画勾的这两块 的分数，如果能知道这个的话，那四块的分数一共知道了，那一共的面积是三十六，那我就可以求出一份了。那所以问题就是空白部分这两个的分数如何去确定呢？ 好，这个需要特别注意了，刚刚讲过了，在梯形中除了有沙漏之外，是不是还有蝴蝶模型？蝴蝶模型中除了左等于右，我画根了是不是左右他们两个是相等的？那除了左等右之外，还有个什么？上乘下等于左？ 左乘右什么意思呢？这个勾和这个勾是不是左和右？那左乘右，勾乘勾是不是应该等于上乘下一乘四，一份乘四份，那所以勾乘勾等于四，那勾是一样的，所以勾是不是应该等于两份？ 所以其实这个勾啊，应该是两份，这个勾也应该是两份，这样子的话他才能上乘上 上乘，下游等于左乘右三，所以空白部分其实是两份。这个也非常关键啊，所以我就确定了啊，咱们每一块的份数都确定了，那整个面积是三十六，题型是三十六，三十六除以总份数，是不是就是一加四，再加二加二， 所以一份算出来等于多少？等于四平方厘米。当一份算出来之后，那咱们的要求 的硬部分是不是也就是一份的，所以就是这个四平方厘米。那么这个题目我们就讲完了，所以这个题用了很多个模型，第一个模型是不是首先金字塔对吧？求出了两块面积，其次再利用沙漏将我们的 阴一部分和旁边那块面积的关系表示出来。最后再使用了我们上节课的蝴蝶模型中的 两个结论，左等于右，上乘下等于左乘右，解决了剩余空白部分画勾的部分的面积的分数关系，最后再去按比分配的对不对？好，所以这次思考题一共用到了三个模型啊， 金字塔、沙漏和我们的蝴蝶都用到了。好，那么这就是本节课的一个客户探究，我们下去好好思考一下。

这个视频中，我接着来讲讲梯形中的沙漏。不过在讲之前，我得先说说沙漏三角中的面积比。比如 abbcd 等于二比三，那上下俩三角形的面积比就可以通过二比三来求解。不过结果并不等于二比三，而是等于他俩的平方，也就是四比九。 一般来说，当对应边的比是 abb 时，两三角形的面积比就是 a 方比 b 方，也就是说，面积比等于对应边比的平方。 那这和梯形有啥关系呢？别急，只要你在图中画上这样两条线，不就变成梯形了？现在梯形中上下两块的面积笔已经有了，就是四分和九分，那左右这俩三角形又是多少分呢？ 想要求出他们，就要用到沙漏三角中的比例关了。由于上下底的比为二比三，那 aobocbobod 也就等于二比三。又由于这俩三角形等高，那他俩的面积比就等于底的比二比三。再由三角形 aob 是 四分，那三角形 aod 就是六分了。有了这块面积，那他对面的这个三角形也就好求了。根据梯形两亿三角形面积相等，他的面积也是六分。至此，我从梯形上下底的笔出发，把对角线中的线段比，以及这四块三角形的面积笔全都求了出来。怎么样，够强大吧？ 不过刚才关于面积笔还是有点长，所以我得给你一个更为简单的记忆方法。你看，这两组编的笔分别为二比三和二比三，那这块三角形的面积分数就是二二得四，这块就是二三得六，这块也是二三得六，这块则是三三得九。怎么样，还挺简单的吧， 利用这个方法，你只要知道梯形上下底的笔，就可以迅速标出所有面积的分数了。比如现在告诉你梯形上下底的笔为三比七，那这两组边的笔也就是三比七和三比七，然后标面积，三三得九，三七二十一，三七二十一，七七四十九搞定。如果我再 接着告诉你梯形的总面积为两百，那你只要再按笔分配一下，就可以求出每块三角形的面积了。以上就是梯形中沙漏三角形的应用，最重要的有两点，第一，在沙漏三角中，俩三角形的面积比等于对应边比的平方。 第二，利用梯形上下底的笔为 abb， 你可以迅速写出梯形四块三角形的面积，笔等于 a 方， babbabbb 方。怎么样？还挺简单的吧，自己动手试试吧。