3和4的倍数特征有多少个

今天我们来归纳一下二、五、三、四、八这些数的倍数的特征。个位上是二、四、六、八或零的数，都是二的倍数。 个位上是五或零的数，都是五的倍数。个位上数的和是三的倍数的数，都是三的倍数。 注意下，这里的个跟这个个意思不同，他的意思是每个数位上的数加起来的和是三的倍数。那这个数呢？就是三的倍数。 一个数的末两位是四的倍数，那这个数就是四的倍数。举个例子，九百二十四是不是四的倍数呢？那我就看他的末两位。末 两位是二十四，二十四是四的倍数，那九百二十四就是四的倍数。 一个数的末三位是八的倍数，那这个数就是八的倍数。也举一个例子，七千一百零四是不是八的倍数呢？那我们看一下末三位， 末三位是一百零四，一百零四呀，是八的十三倍。所以七千一百零四就是八的倍数。个位上是零的数，既是二的倍数，也是五的倍数。

好，上课。同学们好，请坐。同学们，咱们近期呢一直在研究长数他们之间的联系，咱们发现呢，有好多神奇的关系，那像倍数，像因数，咱们还研究了二和五的倍数他们的特征。那咱们想想这些规律，在数学类 里面来讲，就有很多神奇的联系，对不对？那咱们今天啊，继续沿着这个思路探讨三的倍数，看看他有哪些特征。 那么说到三的倍数，那避免不了咱们前面刚刚学了二和五，对不对？那谁能说一说二和五的倍数具有哪些特点呢？来第三排这位同学，你来说 好，听说。他说呢，二的倍数要求末位得是零二、四、六八这些数字，那么五的倍数就得要求末位呢，得是零和五这些数才可以。那咱们想想三的倍数会不会具有类似的关系？ 嗯，请大家仔细思考。来第三排这位同学，你来说。嗯，他说的非常的好玩。他说呢，根据二和五的这种特征猜测三的冒昧啊，也可能具有一定的联系。 到底什么联系呢？他刚才举了一例子，像三六九这些数是三的倍数，那么末位是三六九的这些整数是不是就是三的倍数啊？他提出来了这样一个小的思考方向。这位同学意见请坐咱们其他同学想一想对不对啊？ 来第六排这位同学，你来说请说。他举了一个反例，他说啊，十三末尾十三，但并不是三个倍数。 嗯，那就说明这个思路好像有点不太合适了。那咱们想一想，该如何去想这个事呢？来第一排这位同学，你来说。嗯，请坐。他通过咱们的倍数呢，进行了主义验证， 三乘一是三，三乘二六，三乘三得九，三乘四得十二。也会发现末位呢，不再是三六九呢。但既然末位都不是有这种明显的规律了，那么咱们想想三的尾数到底会不会有特点啊？ 那现在咱们拿出咱们时间发的这样一个百数表，你在百数表里边找一找三个倍数，把它圈一圈看一看，看看能不能找到一些小规律。咱们先自己来。咱们给大家五分钟时间，现在开始 好，时间到了，哪位同学能来说一说你找到了哪些三的倍数啊？那咱们看从一到十里边有哪些？那咱们看到这里边有 三六九，这个很简单是不是？然后咱们再看从十一到二十里边又有哪些？ 这里边有十二十、五十八。然后咱们再继续往下边看，那应该是二十一，二十二，后面有很多的。那么二十一呢？也是三个倍数。那咱们现在是不是涨到了很多？ 接下来我想问大家，既然各位，你看有三六九，有二五八，还有一，很明显不太符合咱们的这样一个预期了。那咱们继续看看这里边通过你画出来有没有看出有一些 哎，有同学发现了，老师指的这是一些小的斜线，对不对？那咱们来看看，像第一条斜线三十二、二十一，他们之间有没有连线呀？ 咱们看三一二二一这些数有什么关系啊？咱们看看两个数字，一个二，一个一，一个一，一个二。还有 同学发现了他们的和是三对不对？这个发现非常重要。那咱们接下来再往下边看六，这个小斜线上呢？是六，这是十五。然后你往下边找，咱们画出来那个数是二十四一五二四，他们的和是不是也是六啊？ 那你想是不是也是三的倍数？那现在我给大家五分钟时间，咱们以前要说四个人为小组，咱们看一看这些数，他们是否具有像刚才咱们猜测的这个规律，并用自己的语言尝试着组织一下，看看能不能去除出来。现在开始 好，时间到了。那么哪位小组代表能来说一说你们最终的一个发现呢？来靠窗这位林派小组代表来说一说。好，请坐。他说呢，这条小斜线，他们的数字之和都是三。这条小斜线，数字之和都是六，然后数字之和呢， 这些都是九，像这些数数次之和是三六九的，那么这些数也是三的倍数。说的很准确了，那哪位同学能来帮助他们再完善一下呢？ 来，最后排这位同学你来说好，请坐。他说呢，数字之和是三六九十二，这些也同样是三的倍数。那刚才这句话就可以完全为数字之和是三的倍数的这些数，那么就应该也是怎么倍数了。 那咱们同学其他同学想一想是不是这么回事啊？那咱们来看几个其他例子。那比如说咱们看二零一六，你看看他行不行？ 二零一六数字之和，二加零加一加六，正好是九，那二零一六，注意三能不能得到一个整数而没有一数啊。我大同学一直在算了，对不对，是不是啊？ 哎，没问题。那怎么看出来像刚才这一个猜测应该就是准确了。那么这其实啊，就是咱们找的三的倍数，他们的特征，那就是说个个数位上的数字之和是三的倍数，这就是咱们要找的三的倍数的特征。 那么咱们有了这样一个小技巧啊，咱们来看看下边这些数字，你看看行不行。那咱们看大屏幕上这几个小例题。第一个五十三十见不见啊？ 五加三是八，不行。第二个数字八十七，八加七十五十五是不是三个倍数啊？ 那其实一加五是不是六六仍然是三个倍数，继续可以往下加班进行对不对？十五没问题了，八十七就是三个倍数。那么再看一个一百二十八，一加二三，三加八十一不是。哎，那这 这个规律啊，咱们其实就准确的找到了。那么咱们之间，同学同桌之间呢？可以互相出一些小题目，看看你的同桌能不能判断出来这些数字是不是三的倍数。我给大家五分钟时间。好的，可以开始了。 好时间到刚才老师下去转的时候呢，发现他举了好多例子，甚至有几特别大的数了。那咱们不管这个数字多大，咱们其实只关心谁就好了呀， 只关心各个数位上的数字之和是不是三的倍数，如果是，那这个数就是三的倍数，如果不是，那么这数呢？就不再是三的倍数了。那咱们通过二五，咱们在学习了三的倍数。那咱们想想咱们今天这个收获，咱们一定要明确。咱们在研究数的特征的时候呢， 不可能永远都是一个思路，咱们要多找多去思考问题，解决问题。那咱们今天这课程呢，就到这里会给大家布置一个小作业，回去之后呢，你让你 父母愿意的给你写出一些大的，这些证书啊，多大都可以。然后由你来表演一个神奇的啊方式，那就判断他们是不是怎么背书。那咱们这节课就到这里下课。

五年级的妈妈们，英说与背说已经学完了，这些重要的知识都掌握了吗？来，没有掌握的赶紧转发并收藏来看！第一个， 一是所有非零自然数的阴数，最小的直数是二，最小的和数是四。 制数中唯一的偶数是二，最小的自然数是零，最小的基数是一，最小的偶数是零。 一到九中相邻的两个质数是二和三，相邻的两个和数是八和九。二的倍数特征是末尾是零。 二、四、六、八的数。三的倍数特征是各个社会上的数字相加是三的倍数。五的倍数特征是 末位是零和五的数。四的倍数特征是末。两位除以四能除的进就是四的倍数。 九的倍数特征是各个数位上的数字相加和除以九能除的进就是九的倍数。 下面既是二和五的倍数，又是三的倍数的特征是末位一定是零。而且啊，各个数位上的数字相加一定除，三能除的进！来赶紧转发收藏给孩子辅导吧！

我们一起来看一下三的倍数的特征。三的倍数的特征这一课是北师大五年级上册的内容，今天上午和下午都有同学抽到这一课，那么明天我们的考试也有可能抽到今天的内容，所以说大家要认真听一下。 首先，我们在学习三的倍数的特征前，已经学习了二和五的倍数的特征，所以学生已经具备了一定的探索数的倍数特征的这样一种经验。所以我们在探索三的 倍数的特征时，仍然可以采用自主探索的方式。这一刻，我们的教材分成了三部分。第一部分是这里，这一部分是让我们初步猜想三的倍数的特征。第二部分是这里，这一部分是利用百数表来探索 三的倍数的特征。第三部分是这里，这一部分是运用三的倍数的特征来判断一些数是否是三的倍数。我们先来看第一部分，我们探究了二、五的倍数的特征，说一说三的倍数有什么特征。 这个时候我们就组织学生来小组讨论，或者是自主探究都可以，然后来进行互动。互动的方式主要就是抽学生起来回答问题。那么我们抽学生起来回答问题，笑笑回答。我猜想个位上的数是三六九的数，就是三的倍数。然后再抽另外一个同学前说小红说不一定 十三就不是三的倍数。然后我们继续抽，淘气说三乘一得三，三乘二得六，三三得九。三四十二。个位上的数没有什么规律。 那么这个时候我们就顺势引导学生进入我们的第二部分，通过百数表来找三的倍数，然后去观察发现，看看有什么规律。在考试当中，可能很多同学没有接触过我们的小学数学的教学， 所以说可能不太清楚三的倍数的特征是什么。这个时候教大家一个方法。在北师大版本里，我们看左下角这里有一个老人，他叫智慧老人。 一般来说，智慧老人所说的话就上面这一段就是对我们的点播和提醒。 那你一定要去认真看一看。我们先来看一下智慧老人是怎么说的，他说你知道吗？这些数各个数位上数字之和都是三的倍数。也就是告诉我们 三的倍数的特征就是各个数位上数字之和是三的倍数。当我们发现了这个规律后，就要进行验证。在小学阶段，我们的验证方式通常是举例验证，就是中间笑笑的。这种方法我们找一些数来试一试。 比如说十二，他各个数位上的数之和就是一加二等于三，三是三的倍数，所以说十二 是三的倍数。那么十五这个数各个数位上的数字之和是一加五，等于六六十三的倍数，所以说十五就是三的倍数。 同样的道理，十八就是一加八，等于九九十三的倍数，所以十八也是三的倍数。依次类推。我们写一个较大一点的数二零一六，来验证，他各个数位上的数字之和是二，加零 加一加六等于九，是三的倍数，所以二零一六就是三的倍数。那么通过这样的方法，我们就验证了三的倍数的特征。总结起来就是如果一个数，他各个数位上的数字之和是三的倍数，那么这个数就是三的倍数。 最后是第三部分，第三部分就采用刚才总结出来的三的倍数的特征来圈一下这些数即可。在教资面试当中，你只要像这样把知识点讲准确，然后调理清晰，表达流畅，通过提问的方式来进行互动，基本上就能过关。

同学们好，今天我们讲解五年级倍数特征，老师给你们做了一个总结，请看。二的倍数特征，个位上是零、二、四、六八的数。五的倍数特征，个位上是零或五的数。 三的倍数特征，个数位上的数字的和是三的倍数。九的倍数特征，个数位上的数字的和是九的倍数。 十一的倍数特征，基数位数字之和与偶数位数字之和的差是十一的倍数，那么这个差要大减小。好，举个例子，比如二千五百零八 一数位上的数是五和八，他们的和是十三。偶数位上的数字是二和零，他们的和是二， 那么基数位上的数字和更大，用大减小等于十一，十一是十一的倍数，所以二千五百零八是十一的倍数。 四或二十五的倍数特征，一个数的末两位是四或二十五的倍数， 就是四或二十五的倍数。例如一千一百零四，我们看末两位，它是零和四。好，那么四是四的倍数。嗯，那这个数就是四的倍数。 二万一千零五十，末两位是五十五，十是二十五的倍数，所以这个数是二十五的倍数。 八或一百二十五的倍数特征，一个数的末三位是八或二一百二十五的倍数。 例如，二千零八，我们看它的末三位数零零八，也就是八，它是八的倍数，那整个数就是八的倍数。 八万七千六百二十五，他的末三位是六百二十五。六百二十五是一百二十五的倍数，那么整个数是一百二十五的倍数。七十一十 三，这三个数的倍数特征，是以他们的末三位数字表示的数于末三位前面的数字表示的数的差也是大减小， 如果这个差是七十一或十三的倍数，那这个数就是他们的倍数。例如 十二万五千二百五十五，它的末三位是二百五十五。末三位之前有三位数是一百二十五，我们用大减小二百五十五减一百二十五，等于一百三十这个 差四十三的倍数。所以我们说十二万五千二百五十五、四十三的倍数，请收藏吧！

三的倍数特征， 自从有了二五这两个数的倍数特征，做题轻松，妈妈再也不用担心我的数学了。哎，要是所有数的倍数都有特点该多好？ 想得美，不过想的还挺对，今天博士再送你们一个数的倍数特征，那就是三的倍数。 有请百数表三六九、十二，十五，十八、二十一，一直到九十九。现在你能发现三的倍数的特点吗？我很 看树，看怎么看都没啥特点啊。那除了横着看，竖着看，怎么还可以怎么看呢？没错，还可以斜着看吗？是这样吗？ 比如这些数按这个方向看的时候，十位数次，每次增加一个位数次，每次减少一。 你发现了吗？如果咱们把十位数字和个位数字加起来，那每个数的所有数字加起来的和都是三。 再看这个十位数字，还是每次增加一个位数字，还是每次减少一，每个数的所有数字的和都是六。 同样的，这些数的数字和是九，这些是十二，这些是十五， 这个是十八。咱们刚才斜着看，咱们把三的倍数每一位上的数字加起来了，得到的和有什么特点吗？ 三、六、九、十二、十五、十八，不都是三的倍数吗？也就是说，对于一个数，咱们把它所有数字加起来，得到的数字和是三的倍数，那么这个数就是三的倍数。 比如说五十一，咱把它每一位数加起来就是五，加一得六，六是三 倍数，所以五十一就是三的倍数。这样判断三的倍数是不是快了很多？那你判断判断五十七是不是三的倍数呢？ 选 a， 五加七等于十二是三的倍数，所以五十七是三的倍数。优秀，那么一亿一千一百一十一万一千一百一十一是不是三的倍数呢？ 选 a， 一共有九个一，加起来是九九，是三的倍数，所以这个数就是三的倍数。没错没错，有了这个秘诀， 月倍数大山都不是事儿。今天咱们知道了三的倍数特征，如果一个数的所有数字加起来得到的数字和是三的倍数，那么这个数就是三的倍数。你 get 到了吗？咱立体礼鉴了。

我是东莞小学五三班的刘子瑶，今天我给大家分享的题目是四的倍数特征圈出四的倍数。我们都知道，一个自然数乘以一，乘以二，乘以三等等都可以求出他的倍数。 我们来看一下四的倍数，四、八十、二十六等等都是他的倍数。我们来看第一题， 四的倍数都是二的倍数吗？四除以二等于二，八除以二等于四。由此我们可以得出四的倍数都是二的倍数。我们来看第二题， 只看个位能否判断出一个数是不是四的倍数，应该怎么判断？我们来列举一下十四的个位，四十四的倍数， 十四不是四的倍数。十八的个位，八十四的倍数，十八不是四的倍数。应该怎么判断呢？我们来看一下，一百四十八除以四等于三十七，一千零三十二除以四等于二百五十八，一千一百四十四除以四等于二百八十六。 我们都看他们后面的两位数，四十八，三十二，四十四。你发现了什么？没错，他们三个数都是四的倍数。所以说 我我们只看一个数的后面两位数，就可以判断出一个数是不是四的倍数。

这个视频我们来说说三个倍数的特征是什么？同样，我们先在百数表里圈出三个倍数的数，三六、九、十二、十五、十八、二十一。你有什么发现吗？对，三的倍数总是每三个数中出现一次， 横着看圈起来的前十个数个位上分别是，几、三六、九、十二、十五、十八、二十一、二十四、二十七、三十。看来三的倍数的数个位上可以是任意的一个数。 那判断一个数是不是三的倍数，只看个位就不行了，那我们写着看试试。三十二、二十一、六十五、二十四、三十三、四十二、五十一，再看看三十三、十九、四十八、五十七、六十六、 七十五、八十四、九十三，这些数呢？有什么发现？没错，斜着看三的倍数个位上数的和都是三的倍数。我们找几个数看看是不是这样。比如八十七、八加七等于十五，十五是三的倍数，而八十七也是三的倍数。 九十九、九加九等于十八，十八是三的倍数，而九十九也是三的倍数。九十八、九加八等于十七，十七不是三的倍数，九十八也不是三的倍数。 我们再试一个大一点的数，三千六、百七十八，三加六加七加八等于二十四，二十四是三的倍数。三千六百七十八除以三等于一千二百二十六，三千六百七十八也是三的倍数。看来一个数个位上的数字之和是三的倍数，这个数就是三的倍数。知道了三的倍 的特征，你能找到九的倍数的特征吗？我们先圈出九的倍数，没错，如果一个数的个位数字上的数字之和是九的倍数，这个数就是九的倍数，你想过吗？为什么判断一个数是不是三或九的倍数，要看个位上数的和吗？ 举个例子，二十四等于二乘十加四等于二乘九加二加四，两千四百八十五等于二乘一，千加四乘一，百加八乘十，再加五， 也就等于二乘九百九十九加一的和，加上四乘九，十九加一的和，再加上八乘九加一的和，再加上五 等于二乘九百九十九加四乘九，十九加八乘九，再加二加四，加八、加五。划线的部分都是九的倍数，也是三的倍数，那只要看后面的括号里的数的和是否是三或九的倍数就可以 看到了。所以判断一个数是不是三或九的倍数，要看个位上的数的和。现在我们知道了二、三和五的倍数的特征，那判断一个数是否同时是二和三的倍数，就看这个数是否同时具备二和三的倍数特征。 判断一个数是否同时是三和五的倍数也是同样的方法。判断一个数是否同时是二、三和五的倍数，就要看这个数是否同时具备这三个数倍数的特征了。 比如我们判断下面哪些数同时是二和三的倍数，哪些数同时是三和五的倍数，哪些数同时是二、三和五的倍数。 二十四、四十五、十五、六十七、十五、九十六，还有三百。我们可以先找二十倍数有哪些，二十四、四十六、十九、十六，还有三百三、 三的倍数有二十四、六十七、十五、九十六和三百五的倍数有四十五、十五、六十七、十五，还有三百。那同时是二和三的倍数的数就有二十四、六十九、十六，还有三百， 同时是三和五的倍数的数有六十七、十五和三百同时是二、三和五的倍数的数有六十三百。好了，以上就是这个视频的全部内容，如果明白了，就试着用三和九的倍数的特征做几道题吧。

同学们，我们今天一起来学习三的倍数的特征， 思考三的倍数的特征会不会与各位有关呢？ 首先在百数表中找出三的倍数，三、六、九、十二十五、十八、 二十一、二十四、二十七、三十等。 我们先把不是三的倍数的数字去掉，横着看，我们只看前十的数， 各位分别是哪些数字呢？三、六、九、二五八一、四、七、零。 我们发现三的倍数与各位数字无关。 写着看你发现了什么。 第一种数字，个位上的数字加上十位上的数字的和 等于三。 第二种数字，个位上的数字加十位上的数字的和等于六。 第三组数字，个位上的数字加十位上的数字的和等于九。同样的道理，我们继续往后算， 我们发现他们个位上的数字加上十位上的数字的和还是三的倍数。 我们发现三的倍数。把个位上的数相交的和是三的倍数。 再举两个例子，十五，一加五等于六，六是三的倍数，所以十五是三的倍数。 七十八，七加上八等于十五，十五是三的倍数，所以七十八是三的倍数。 总结一个数，个位上的数的和是三的倍数，这个数就是三的倍数。 我们来练习圈出三的倍数。 九、十二，九加二等于十。一，十一不是三的倍数。 七十五，七加上五等于十，二是三的倍数，所以七十五是三的倍数。把它圈上 三加上六等于九，九是三的倍数，所以三十六是三的倍数。把它圈上 二百零六，二加零加六等于八。 八不是三的倍数，所以二百零六不是三的倍数。六十五，六加五等于十。一，十一不是三的倍数，所以六十五不是三的倍数。 三千零五十一三加零加上五，加上一，等于九。九是三的倍数，所以三千零五十一是三的倍数。 七百一十九七加上一，加上九，等于十。七十七不是三的倍数，所以七百一十九不是三的倍数。一万一千 一百一十一，一加上一，加上一，加上一，加上一，等于五， 五不是三的倍数，所以一万一千一百一十一不是三的倍数。你学会了吗？

老师，老师，我们学过了二三、五的倍数特征，我想知道四的倍数有什么特征呢？假如说一个数是四的倍数，那么他的末两位数就是四的倍数，是吗？我来试试。二十四是四的倍数。四， 四百二十四除以四等于一百零六能背四整除。一千四百二十四除以四等于三百五十六，能 被四整除。一万一千一百二十四除以四等于二千七百八十一，也能被四整除。真的耶莫两位是二十四的数，都是四的倍数。 我们用完全归纳法来证明一下。假设有任意一个自然数， a 一 a 二 a 三，直到 a n n 加 e， a a 加二。根据实践质数的位置原理， 我们可以把它写成 a 一 a 二， a 三，直到 a n 零零加末两位数， a n 加一， a n 加二。哦，我知道了。 因为前面这个数是一百的整倍数，所以他就是四的倍数，所以只要后面这个两位数是四的倍数，原数就是四的倍数。明白了。

我们要一起来研究三的倍数的特征。是的，之前啊，咱们有没有研究过这样的同类问题呢？有， 瘦瘦。好，这个女孩，我们研究过二五的倍数的特征，对吧？对，那二的倍数有怎样的特征呢？ 好，女孩，你来说二的倍数的个位是二、四、六、八或零对吧？对，对五的倍数呢？ 好，小姑娘，你说 他们的特征的吗？好，最后一位女孩，你来说声，就你。我们是先从版数表里找出五和二的倍数，再对他们进行观察，提出猜想， 然后再进行验证，最后得出结论。你们也是这样做的吧？是的。看来同学们啊，对这类问题的研究非常有经验。这节课我们要研究三个倍数， 他又会有怎样的特征呢？咱们先猜猜看吧， 有猜想的可以举一下手。 好，最后一位女生，个位数是三六九，明白他的意思吗？明白。有他这样想法的同学向老师挥挥手。 哟。还有好几位呢，我们来把他的猜想记录下来。他们认为三的倍数个位上的数是三、六九。 你们想不想听听他是怎么想到这样猜的呀？想想。哎，姑娘，你给大家介绍介绍吧。 因为我之前也用了二和五的倍数，只要看到了就能看到你，所以 原来他是受到了二五的倍数的特征的影响。其他同学，你们也支持这个猜想吗？哦，说说你们的想法哎。这个女孩 三的倍数有一些是，有一些数是十二、二十一，但是他们的末尾并不是三六九。有道理吗？有有。哎，这位同学可有经验了，一看到猜想就想到了 举例来验证，而且找出来刚刚这十二、二十一，他们都是三个倍数，但确实不符合这个猜想的。板栗。哎， 有不符合猜想的返例？那有符合猜想的正确的例子吗？有，有，你现在来说几个小女喊你了，六三六九 是吧？六十三，六十六，六十九。一下子说出了这么多正义，你们为什么还要反对这条猜想呢？ 好，这个男生，你说一追只要有一粒反力，这样子，这桥插小就是错误的， 是这个道理吧？是的。哎呀，你太厉害了，你是被你越变越明。由此看来，咱们在举例验证时，不仅要关注我正力，还要关注我。 一旦举出反例，哪怕只有一个，也能把猜想退退一半。同学们，你们看，刚刚有人从二五的倍数的特征看各位这条经验， 就想到从各位来猜想三的对数的特征。结果猜想是啊，错了，失败了，不及失败啊。是啊，成功之母。让我们带着这些猜想失败的同学，再回头看看 之前探究二五的倍数的特征。咱们在猜想时是伴随着观看。现在咱们要来研究三的倍数的特征了。为了 获得合理的猜想，你会建议大家怎么做呢？这个小伙子在百数表内签出三的倍数进行观察，你们觉得有没有这个必要？有？对呀，其实百数表不就在你们的面前吗？ 你们刚刚就应该是看看猜猜，或者是猜猜看看。现在来吧，赶紧的，像这样在百数表中圈一圈三的倍数，然后。

哈喽，大家好，欢迎来到同步小学数学五年级上册的课堂，我是你们的玲玲老师。今天在这里我们要学习的内容是第三单元第三课时探索活动三的倍数特征。 那我们今天这节课的主要内容就是希望同学们能够理解三的倍数特征，并且学会判断一个数是不是三的倍数。好，现在请小朋友和老师一起开启我们今天的课堂内容了，我们来看看第一道题， 我们研究了二五的倍数特征，说一说三的倍数有什么特征呢？请你在百数表中圈出三的倍数，你发现了什么？ 我们先来回顾一下啊，之前我们说二的倍数特征是什么呀？就是说一个数，他的个位上如果是零、二、四、六、八的话，那这个 数就是二的倍数了。那五的倍数特征是什么呢？如果一个数他的个位上是零或者是五的话，那这个数就是五的倍数了。那现在我们想要找出三的倍数，大家先想一想三的倍数该如何寻找呢？ 我们可以让三和自然数相乘，当然这个自然数不是零啊，就是三乘一结果是三，所以三就是三的倍数。那三乘二结果是六，六也是三的倍数。 三乘三等于九，所以九也是三的倍数。同时三乘四等于十二，十二也是三的倍数， 按照这样的方法来寻找。我们来看一看在这个百数表中啊，哪些数是三的倍数。好，现在我们用圆圈圈出来的这些数，大家来看一看， 这些数是不是全部都是三的倍数。好，那我们来看一看，看看在这个摆数表中，也就是所有用圆形圈起来的这些数，他们有什么特点呢？ 三、六九、十二、十五、十八等等啊，我们表面看来，好像这些树也没有什么特征，对不对？但是我们认真看啊，我们发现呀，这些树 把他们各个数位上的数字相加起来，然后除以三，他们的结果是整数，并且没有余数。我们来看一看， 首先三六九这三个数，他们都是一位数字，对不对？那三除以三，他的结果是一，没有余数。六除以三， 结果是二，也没有余数。同时九除以三， 结果是三，也是没有余数的。那十二啊，我把它个位上的数字和十位上的数字相加，然后除以三， 一加二，括号括起来除以三。大家来看一看，一加二是三，三除以三是一，哎，这个一是整数，并且没有余数。那接下来我们来看看，十五十五，我们用一和五相加啊，加起来以后，然后除以三， 一和五是六，对不对？那六除以三，结果是二，也是没有余数的。那我们再来验证一下，十八啊，十八，十位上是一个，位上是八，括号括起来除以三，那一加 加八是九，九除以三，结果是几啊？是三。哎，这个三也是没有余数的，那我们接下来再来看一个啊，二十一，对不对？我们让他的二和一加在一起，然后除以三， 那二加一是三，三除以三，结果是一，还是没有余数的。好，那由此呀，我们可以得到一个什么结论，就是说如果这个数各个数位上数字之和除以三，它的结果是整数，并且没有余数的话， 那么这个数就是三的倍数了。好，那接下来我们来看一看，在下面的数中圈出三的倍数啊，并与同伴进行交流。我们按照刚才总结的这样的一个规律，五十三。同学们想一想，想要判断五十 三是不是三的倍数，我们让它的五和三加在一起，括号括起来，然后除以三。我们来看一看，五加三是八对不对？ 八除以三。同学们想一想，八除以三能够除记吗？他的结果有余数。所以啊，我们说五十三就不是三的倍数了。 回答二，五十三不是三的倍数。 好，那按照这样的方法，第二个数八十七，我们该怎样判断呢？括号八加七，括号括起来，除以三，八加七，结果是多少？是十五 五，对不对？十五除以三，结果是五。哎，这个五是整数，并且没有余数，所以我们可以说呀，八十七是 三的倍数了。好，那按照这样的方法，三十六。同学们想一想啊，判断一下， 括号三加六，括号除以三，三加六是几啊？是九对不对？九除以三，我们直接写上，结果等于三，这个结果是整数，并且没有余数。所以我们说呀，三十六也是三的倍数。 按照这样的方法，接下来同学们想一想，六十五是不是三的倍数。好，那我们来写出来，六加五，括号除以三啊，六加五是十一，十一除以三，他不 是一个整数，也就说他不能够除尽，他是有余数的，所以啊，六十五不是 三的倍数。好，那接下来我们说六十六十，怎样判断呢？那就是六加零，括号括起来除以三，它的结果是等于二的。所以啊，六十是三的倍数。 好，一百二十八，那就把它的百位上加十位上，再加上个位上的数字，合在一起。最后除以三。我们来看看， 一加二加八，括号括起来除以三。我们来算算看，一加二是三，三加上八是十，一，对不对？十一除以三。哎，他的结果仍然是有余数的。 所以呀，一百二十八不是三的倍数。好！最后一个，四百五十三，我们算算看， 四加上五加上三，括号括起来除以三。同学们算算看，四加五是九，九加上三，结果是多少？是十二对不对？十二除以三 是四。所以呀，我们说四百五十三，他是三的倍数， 是三的倍数。 好，那通过这道题呢，同学们现在基本上已经能够掌握了啊，如何判断一个数是不是三的倍数？只需要让 他们各个数位上的数字相加在一起，然后除以三。如果他的结果被整除了，或者说是整数没有余数的话，那就说明这个数是三的倍数。 好，那现在我们再一次总结一下，就是一个数各个数位上的数字之和，如果是三的倍数，那这个数就是三的倍数了。 好，接下来第一题，请将编号是三的倍数的圆圈涂上阴影，我们来看一看。想要判断出一个数是不是三的倍数啊，同学们应该都已经非常熟练了。首先第一个，三十六， 三加六等于九，那九是三的倍数，所以三十六是三的倍数。十七一加七等于八，对不对？八除以三，或者说八本身就不 是三的倍数，所以啊，十七就不是三的倍数。好，第三个是五十四，五加四等于九，九是三的倍数，所以五十四呀，也是三的倍数。接下来，七十一， 七加一等于八，八不是三的倍数，所以七十一也不是三的倍数。好，四十五，四加五等于九，九是三的倍数呀，所以四十五也是三的倍数。 最后一个四十八，同学们想一想，四加八等于十，二，十二是三的倍数，所以四十八也是三的倍数。 好，接下来第二题，从三零四五中选出两个数字，组成一个两位数，分别满足下面的条件。第 第一个条件是三的倍数，我们再回到题里面看一看有什么要求。从这四个数字中选出两个数字组成一个两位数，那第一个要求是三的倍数， 想要判断出一个数是不是三的倍数，让他们各个数位上之和啊，判断出这个和是不是三的倍数，那这个数也能够判断出是不是三的倍数了。 在这里面，因为是个两位数，所以我们需要将十位上和个位上的数字加在一起啊，来除以三，看看他能不能被除尽。 那我们来想一想啊，我可以让三和零组合在一起，因为三加零，结果是三，三是三的倍数，对不对？好，这是我们刚才找出来的第一个啊，三十。接下来同学们想一想， 四和五我也可以组合在一起，因为四加五等于九，对不对？九是三的倍数，所以四和五组成的两位数也是三的倍数。在这里面啊，没有前后之分，我们可以写成四十五， 也可以写成五十四，那四加五是九，五加四也是九啊，九是三的倍数，所以现在要求满足。第一问的是三的倍数的，我们可以得到三个两位数，三十四十五，五十四。 好，第二个要求，同时是二和三的倍数，我们刚才已经写出来了啊，三的倍数有多少？三十四、十五和五十四，这是满足三的倍数，那还要满足 二的倍数。那二的倍数。同学们想一想，他的特征有什么呀？个位上是零，二四六八，对不对？ 现在我们从这三个三的倍数里面啊，再找出又是二的倍数的。同学们想一想，首先三十，他的个位上是零， 也就是三十，既是三的倍数，又是二的倍数，那还有没有？四十五，他的个位上是五，他不满足二的倍数特征，那最后一个，五十四。五十四既是三的倍数，他的个位上又是四，也就是他同时又是二的倍数。 所以呀，五十四既是三的倍数，又是二的倍数。那想要回答这道题啊，同时满足二和三的倍数，那就有两个了，一个是三十， 一个是五十四，好。第三个要求，同时是三和五的倍数，那我们还是按照刚才的方法，先把三的倍数写出来。刚才说一共有三个，三十四十五，还有五十四，对不对？ 那现在来看一看，从这三个三的倍数里面，我们把又是五的倍数的给挑出来。什么是五的倍数呀？就是末位上数字，也就是个位上要求是零或者五，对不对？那在这三个数里面，我们发现三十他的个位上是零，四十五个位上是五， 那五十四个位上是四，他不满足五的倍数。所以同时是三和五的倍数的有两个，一个是三十，一个是四。 四十五，我们写出来三十和四十五。 好。第四问，同时是二，三和五的倍数啊，我们还是先把三的倍数写出来， 三十四，十五，五十四。好，那现在我们把三的倍数，这三个数已经写出来了，接下来再来说一说啊，还要满足是二的倍数的，我们把它圈出来， 那三十啊，既是三的倍数，又是二的倍数，还有五十四，对不对啊？这两个数既是三的倍数，又是二的倍数， 紧接着还要满足是五的倍数，那就是在这两个数中啊，找出个位上是零或者五的数，我们来看一看，是不是只有三十呀？因为五十四啊， 他的个位上数字是四，不是五的倍数，所以我们回答这一问，同时是二三和五的倍数，那看来只有一个数了，就是只有三十，我们写出答案，三十。好，我们今天的课堂内容在这里面已经全部讲完了，小朋友们，我们下节课再见吧。

同学们好！三的倍数特征如何来判断呢？我们采用上级的方法，用乘法口诀来观察。如一三得三，三就是三的倍数二三得六，三三得九，以此类推。如三六九、十二、十五等等。这样的数字，我们来观察一下他们有什么特点呢？ 表面上看上去，这些数字并没有什么不同，但仔细观察会发现他们这些数字各个数字上的数之和是三的倍数。如十二 一加二等于三，三就是三的倍数十八一加八等于九，九也是三的倍数。二十七 二加七等于九，他同样也是三的倍数。也就是说这些数字他们各个数位之和是三的倍数的话，那么 他就是三的倍数。我们掌握了这个方法，不管怎样的数，都可以判断出来他是否是三的倍数， 尽管他再大的数字。如我随便写一个二百三十五，我们来试一下，把它各个数位之和相加二加三加五等于十，十是三的倍数吗？我们可以试着算一算，十除以三等于 三余一。我们发现他并没有被三整除有余数，所以他不是三的倍数。同学们学会了吗？想学习更多数学知识，点点关注！

哼哈嘿！刚走出小黑屋的狗蛋和小锤被三声大吼，吓得不轻。你看，是哼哈嘿三兄弟拦在了前面。要想过此路，挑出过路数。 原来这三人是必达格拉斯的数教信徒，他们最信奉的数呢，是三的倍数。所以，只有能挑出三的倍数的人，才能受到数的庇佑，顺利通行此地。 这个好办！有经验的狗蛋一阵窃喜，掏出了百数表。别看数复杂，但只要能找出三的倍数的特征，就能成功挑出三的倍数了。 狗蛋轻车熟路，三乘一是三，三乘二是六，三三得九。刚乘除了三个数，狗蛋就嚷嚷着三的倍数的特征就是个位上的数是三六九。你觉得狗蛋说的对吗？ 答案选 b。 再往下圈数十二，就能发现不对了，个位上的数也能是二呀。哎，狗蛋，归纳特征可不能只凭零星的几个数，你还是踏踏实实继续圈三的倍数吧。 三五十五、三六十八，再加三到二十一、二十四、二十七、三十。全完三行两人就发现个位上的数一、二 三四五六七八九零全部都有，这不就毫无特征可言了吗？看来，只看各位来找三的倍数的特征是行不通了。 那十位上的数呢？我们再来圈几行，圈完第四行，第五行、第六行，你认为我们能从十位上找到特征吗？ 选 b。 不能。你看吧，这些三的倍数中，十位上的数一、二、三、四、五都在，随着行数增大，全完整张表六七八九也都有， 十位也指望不上。这可要怎么办？该上哪找特征吗？突然蹦跶出来的喵大师调整了一下百数表，把最后一列挪到了第一列，还向下推了一个，第一行还添了零。 这下，三的倍数重新构成了六列斜向的数。为了方便观察，我们把三的倍数都挑出来，再把它们列成竖向。 单看个位毫无规律，单看十位也没头绪。那要不把个位和十位结合起来一起看？怎么结合呢？我们可以试着把这些数的十位和个位相加看看。那 一起来动动手。先是第一列数，零加三等于三，一加二等于三，二加一等于三，三加零也等于三。哎，好巧，十位和个位上的数加起来都是三。 那其他几列数也这样求和的话，得数都会是三吗？ 选 b 不是啦，你算一下第二列，零加六等于六，一加五等于六，二加四等于六，依次算下去，和都是六。 第三列呢，零加九等于九，一加八等于九。依次加一下，和都是九。哎，和每次都多三。那第 撕裂的和会是十二吗？想再验证一下。三加九等于十二，四加八等于十二。算完后，哎，确实都是十二。 接着算第五列的和都是十五。最后第六列九加九等于十八。现在你能发现这些数十位和个位上的数的和有什么共同的特点吗？ 选 a 我们把表中所有三的倍数，十位和个位上的数相加后，得到了三、六、九、十、二、十、五、十、八。 这些数有什么特点呢？我们来看看百数表中圈出的三的倍数。 原来三、六、九、十、二、十、五、十八这些十位和个位上数的和，他们都是三的倍数。 所以这些三的倍数的特征就是十位和个位上的数的和都是三的倍数。 现在不用计算，我们就能快速判断七十二肯定是三的倍数。因为七加二等于九，九是三的倍数。验证一下，七十二除以三，等于二十四，确实是三的倍数。 那如果数更大一点，超过一百以后，比如一百三十八，两千零一十六，有了更多的数位，有百位、千位，那又要怎么办呢？ 哎，不妨也都加起来，把各个数位上的数求和。以一百三十八为例，一加三加八等于十，二，是三的倍数。一百三十八除以三，得到整数四十六。一百三十八的确是三的倍数。 所以注意了，三的倍数的特征就是各个数位上的数的和是三的倍数。那根据这个特征，两千零一十六是三的倍数吗？ 选 a 还是从特征出发？加一加各个数以上的数，二加零加一加六等于九，是三的倍数，符合特征。所以两千零一十六是三的倍数。 下面赶紧帮狗蛋挑一挑，谁才是过路数？也就是三的倍数呢？ 选 c。 根据三的倍数的特征，你得先求出各个数位上的数的和。 a 中是五个三，再加一等于三，乘五，加一得十六。 b 中呢，是一，加三等于四。 c 中呢，有四组，一加二等于四个三，相加是十二。可以看到只有十二是三的倍数，符合三的倍数的特征。所以 c 是三的倍数。 狗蛋和小学两人成功跳出了三的倍数，哼哈嘿，也就只能顺从竖的旨意，乖乖放行了。这个视频中我们看到，不同于五 和二的倍数特征，只需要看个位就行。三的倍数的特征呢？非常特别，是各个数位上的数的和是三的倍数。 比如两千零一十六，因为二加零加一加六等于九，是三的倍数，所以两千零一十六也就是三的倍数。你记住了吗？