苏教版本 三下 线段图怎么画

画一条与线段 a、 b 同样长的线段，大家想一想可以怎样画呢？ 可以用直尺来画，先量出现段 a、 b 的 长度， 再照着长度画一条。第一步，用直尺量线段 a、 b， 把直尺的零刻度对准 a 点， 看 b 点对着刻度，四线段 a、 b 长四厘米。 第二步，画线段，先画一个点，作为新线段的一个端点，然后把直尺的零刻度对准这个点，沿着直尺找到四厘米的位置， 再画一个点，最后把两个点连起来，这条线段就是和 a、 b 同样长了。 说得真好，大家注意，量线段时，一定要让直角的零刻度线和线段的一个端点对齐，读数才准确。 画线段时两个端点要清晰，线段要画直，不能歪。 我们除了用带刻度的直尺，我们还可以用没有刻度的直尺和圆规画等长线段。 我们先看看这两个工具的用途，我们用没有刻度的直尺可以画任意方向的直线或射线， 圆规可以画圆或一段圆弧。然后我们来认识圆规，大家看圆规由三部分组成，针尖、笔尖、转柄。 圆规包含的这三个部分各有其作用，针尖用于固定，转柄用于旋转，笔尖则负责留痕。 笔尖和针尖之间岔开的距离就是我们要画的圆的半径。那么怎样用圆规画弧线不圆呢？ 首先选一点，将针尖固定在这一点上，确定针尖与笔尖中间的距离，然后旋转转柄，旋转一周画出来的就是圆， 旋转不足一周画出来的就是弧。我们画图时要注意确保针尖不移动，并且针尖与笔尖之间的距离保持不变， 用圆规就不会出错了。现在我们用无刻度直尺和圆规画于线段 a、 b 同样长的线段。 第一步，用直尺先画一条射线，端点为 c， 把圆规的针尖对准 a 点， 笔尖对准 b 点，这样两脚尖的距离就和 a、 b 一 样长了。 第三步，把圆规的针尖角固定在射线的 c 端点上，一定要牢固，不能滑动。第四步，轻轻旋转圆规的转柄，让笔尖在射线上画一段弧线， 弧线与射线相交的点，我们叫它 d。 现在大家看线段 cd， 就是 我们要画的和 ab 同样长的线段， 整个过程中圆规两角间的距离不能变，这是画等长线段的关键。 针尖固定要稳，弧线不用画太长，能和射线相交就行。 我们再来拓展一下，大家看，用同样的方法，我们在圆弧上画了 c、 e、 f、 g 几个点，得到了线段 c、 g、 c、 e、 c、 f。 小组讨论一下，线段 c、 g 和线段 ab 的 长度为什么相等？线段 c、 e、 c、 f 和 ab 的 长度相等吗？ 相等，因为我们画这些线段时，圆规两角间的距离一直是线段 ab 的 长度没有变过， 所以不管画到圆弧上的哪个点，得到的线段长度都和 ab 相等。 你说的太好了，核心原因就是圆规两角之间的距离始终等于已知线段 ab 的 长度。学会了画等长线段，我们再来挑战更难一点的任务， 在下面的直线上用直尺和圆规画一条线段，使它的长度等于线段 a 和 b 长度的和。大家想一想怎么画呢？ 首先使用圆规测量线段 a 的 长度，牢记圆规两角之间的距离。接着在给定的直线上确定一个端点 a， 将圆规的针尖固定于 a 点画弧，使其与直线相交于 b 点。如此一来，线段 a、 b 的 长度便等同于 a。 然后用圆规测量线段 b 的 长度，再把针尖固定在 b 点， 沿着直线继续画弧，使弧与直线相交于地点。此时线段 a、 d 即为线段 a 与 b 长度之合。你说得真好，大家注意，画长度和时要连续画， 前一条线段的终点就是后一条线段的起点。每次画线段长度时，要重新调整圆规两角间的距离，并且调整后不能再变线段，要画在同一条直线上，不能偏离。 同学们，今天我们学会了两种画线段的方法，还挑战了画两条线段长度和的线段。现在谁来总结一下这节课你有什么收获？ 我会用没有刻度的直尺和圆规画长度相等的线段， 我会用不同的方法画不同长度的线段。我还会用圆规在直线或射线上画已知线段的等长线段。 大家总结的很全面，画线段是数学里的基础技能，以后画图形，解决几何问题都会用到，希望大家课后多练习，今天的课就上到这里，下课！

用没有刻度的直尺和圆规来画一条与线段 a、 b 同样长的线段，这个部分呢，也是初中的尺规作图，今天我们来学习一下画法。一、 准备一个三角尺和一个圆规，这个圆规有两个尖尖的部分是圆规的针尖，这个尖尖的部分是圆规的笔尖。 首先用圆规的针尖按在我们这个端点 a 上，把它按住了，然后调整笔尖的距离，这个笔尖是可以调整的，笔尖要调整到对准端点 b， 要对准它，对准端点 b， 固定针尖到笔尖的距离。 只要不把圆规这个角度分开，针尖到笔尖，它们之间的距离就是线段 a、 b 之间的一个长度。我们先把圆规放在一边，拿出一个尺子，画一条射线。 要求呢，用没有刻度的直尺来进行画图。这个三角尺，两条直角边都是有刻度的，我们可以用斜边这个部分来画一条射线， 射线的这个端点记作端点 c。 圆规的针尖按在端点 c 上，把圆规立起来，转动笔尖来画一条弧，这个笔尖是可以转动的， 这是一条弧，这个弧是弯曲的， 这条弧与我们的射线交于地点， 这时就画出了一条与线段 a、 b 同样长的线段 c、 d。 通过圆规来进行画图，也体现了圆规的一个特征，它可以量一些线段之间的距离。

今天我们来学习一下尺规作图的画法二。画法二的步骤一和画法一的步骤一是一样的，先用圆规量出线段 a、 b 之间的长度， 在测量时注意针尖不能动。调整好笔尖的距离，这时 a、 b 之间的距离已经固定了。 步骤二只给了一个点 c， 那 么我们把 c 点给它画在下面，方便我们操作和观察。把圆规的针尖按在端点 c 上 来进行画弧， 画的这条弧上，它上面所有的点到 c 点的距离都是等于两个尖端之间的距离。我们来选三个点来验证一下 ab， 它的距离是两厘米， c e 是 两厘米， c、 f 也是两厘米。 圆规能让圆弧上所有的点到 c 点的距离都是固定长度， 我们圆规呀，两个针尖的距离就是 ab 之间的长度。

这节课我们来讲解用直尺和圆规量画线段，动手操作的内容比较多，需要小朋友们准备好直尺、圆规，还有草稿纸和铅笔。 首先我们来回顾一下上节课讲解的内容，线段是哪些呢？ 很好，是二和四，因为线段有两个端点，射线呢？射线是三，只有一个端点， 直线直线是一。哎，没有端点，那五是什么呀？他好孤单，他一个人被丢在这里了，哎，他是取的，哎，不管他有几个端点，但他是取的，就不是我们上节课所学的三种线。好总结，线段有两个端点，射线有 一个端点，直线有零个端点。接下来需要我们动手操作，画一条与线段 a、 b 同样长的线段。 独立思考，你打算怎样画，用到哪些数学工具呢？哎，首先我们可以用直尺把 a、 b 量出来，然后呢再画一画， 哎，量，量出来是两厘米，然后我们再在下面画出来两厘米，给他起一个名字叫线段 c、 d。 这时候 c、 d 和 ab 是 不是就是一样长的了？那小朋友们还有没有别的画法呢？我们可不可以不用直尺？ 哎，我们这个时候就要用到圆规了，我们把圆规张开， 对准 a 和 b 两个点，然后还在草稿纸上先画出一个点，然后再用一个直尺画出一条射线， 再把这个圆规移到这条射线上，我们给它转动一下，画出一个弧，这个弧和射线相交的地方就是另一个端点。 这个时候的 c、 d 是 不是也和 a、 b 一 样长了？那么线段 c、 d 和线段 a、 b 为啥一样长呢？ 圆规的开口大小是不变的，针尖到笔尖的距离始终是 a、 b 两点间的距离，所以它移到这条射线上留下来的。哎，与这条射线的交点，它还是和 a、 b 一 样长的。 第三种画法，我们来看一看，还是用圆规，嗯，还是先画一点。哎，我们没有画射线了呀，我们直接把圆规移到，哎，圆规的针移到这一点上，然后画一个好大的弧， 然后我们去连它，我们把这个点和弧上的一点连起来。 cd， 这时候的线段 cd 就是 啊，和 ab 一 样长。好，那可以画出多少条线段与 ab 长度相等的线段呢？ 嗯，很多小朋友肯定发现了，我们可以画出无数条。为啥？哎，我们在弧线上任意取一点，他连起来是不是都是一样长的呀？因为刚刚的圆规两个角是不是？哎，他一个针尖，一个笔尖，他们之间的距离一直是没有变的， 所以这个弧线上的任意一点到 c 啊，长度都和 a b 一 样。好，接下来我们归纳总结一下用没有刻度的直尺和圆规画等长线段的方法。 首先，第一步，先使圆规两角间的距离与已知线段的长度相等。第二步， 将圆规针尖固定在一点，转动手笔画弧。哎，也可以从这个点出发，用直尺画一条射线，与弧相交，也可以从弧上另取一点，用直尺连接这两个点， 两点之间的线段的长度与已知线段长度相等。那么请大家试一试，在下面的直线上，用直尺和圆规画一条线段，使它的长度等于已知 a b 长度的和 a。 我 们先用圆规量出线段 a 的 长度，然后在下面的直线上标记一下 a 点 b 点好，再用圆规去量出现段 b 的 长度。 好，从 b 点开始，我们画到，哎， c 点标记，这个时候， a、 c 这一段线段是不是就是线段 a 和线段 b 的 长度和了？ 哎，用圆规量一量，看看下面哪些线段的长度相等呢？ 好，我们的答案在这，一和三相等，二和四相等。你能用圆规在下面的直线上找一点 b， 使 a、 b 两点间的距离是四厘米吗？ 我们先把圆规两脚张开到四厘米的地方，然后对准 a 点，用铅，用带铅的这一头给他画出来 b。 好， 那只有这一个吗？只有这一点吗？ 哎，很好，在左边是不是还有啊？这边也可以画出一个四厘米的线段。 好，下一题，画一条长六厘米的线段，再画一条比他长二厘米的线段。 这题就很简单了，是不是我们需要画两条线段，第一条线段，哎，是六厘米的线段，那第二条线段呢？就是六加二厘米的线段八厘米。 好啦，完成了第四题，用圆规比一比，线段 c、 d 的 长度是线段 a、 b 的 几倍呢？好，我们用圆规比一下。 好标记，我们可以在这里转一转，画一个弧，标记一点，然后再移动，把针再移到这里，再转一转。 哎，标记一点。最后我们看看最后一段，哎，刚好又是一个 a、 b 的 长度，所以 c、 d 的 长度是线段 a、 b 的 三倍。 好，第五题，以 c 为端点，在射线上画 c、 d， 实线段 c、 d 的 长度是 a、 b 的 两倍。 我们首先用圆规去量一下 ab 的 长度，然后，哎，在射线上给他留下一个痕迹，这是一个 ab 的 长度，那么还需要再画一个， 哎，还需要再画一个 ab 的 长度啊，再标记一下。好，这个时候 c d 就是 ab 的 两倍了。 好，小朋友们，你们都学会了吗？通过本节课，你有什么收获呢？ 我们主要学习了两种哎，用直尺和圆规画等长线段的方法。第一种需要我们 画射线，然后弧和射线的交点就是我们所画的等长线段。 第二种方法，我们不画射线，我们直接画一个弧，这个弧上的任意一点，到我们标记的一点，他们的长度都和原来这个长度哎是相等的。这节课的内容就讲完了，小朋友们可以动手试一试。

好，接下来我们来看第二题，你能用圆规在下面的直线上找一点 b， 使 a、 b 两点间的距离是四厘米吗？这就是我们一开始讲的，让你用尺规作图去做一条什么，已经告诉你具体是多少厘米的这条线段对不对？好，那我们就用我们的圆规在我们的尺子上去找到四厘米长哈， 这条线段好，来看一下零刻度，好，然后给它转大一点啊，看一看， 保持你的针尖看到没有，和零刻度相对齐，然后另一端是吗？不断的缩小，移到四厘米位置，你看这样子 好，是不是就是我们取的四厘米啊？好，那这个时候你的定长已经取好了，取好以后怎么样？好，你的针尖这一端和 a 点重合，看到没有？好，然后另一端怎么在我们之间画一个大大的圆弧，大大的圆弧，见他们好之间有个交点，是不是在这？ 这就是我的什么，我们的什么点， b， 看到没有？当然你可以取几个这样的点， 答案肯定是几个，是两个，这个过程中哈，你不，你不放心的话，你怕你动到圆规的话，你是吧？再比一遍对不对？好，现在再换一个啊，在他的左边换一个，你看 是不是另外一个点呢？是不是？好，当然你，你可以什么在 b 的 右下角写个小小的一，这是 b 一 点，看到没有？这是第二点。好，记得给它标出来它们两点间的距离哈，是四厘米，有个大括号标出来哈，这里写上四厘米。 这段也是啊，它是四厘米。 好，这就是我们在这条直线上找到的 b 点，看到没有？其实就是圆规起到一个什么取长的作用，对吧？取定长。好，现在看第三题。

谢谢老师，坐如钟啊，三九班的孩子特别有精神啊！那同学们，昨天老师带大家到形的世界认识了一些图形，请看，这里的图形你认识吗？ 哎，请你说线，这是线段对的，那线段有哪些特征呢？ 请你来。线段有两个端点是直的，而且长度有限，非常好。是这样的， 这两个点之间的距离就确定了这条线段的长度。那今天呀，曹老师就想让大家换个角度，咱们再来认识线段，咱们动手来画线段。这个活动会做吗？会，那行，请看要求。 画线段有要求，请你要画一条和线段 a、 b 同样长的线段，知道什么意思吗？知道，那你会画吗？会，好，想想要用什么工具好？拿出你的研学单， 找到活动一，看，到了吗？看到了。好，请你将你选择的工具填到横线上，然后将这条线段画在那个框里面，现在开始 画到框里面就可以了。 好，有的同学已经画好了，和你的同桌说一说你是怎么画的？ 好大的同学，画好了，好停，说停就停，好，小眼睛看过来。谁来介绍一下你是怎么画的？ 好？女生，你说。我是用尺子把用尺子量出他们的长度，然后是四厘米，然后把然后的再移到。嗯，再换另外一个位置，然后画一条四厘米长的线就可以了， 同意吗？同意，也就是这样，用尺子量一量，再画一画，非常好。那这个任务完成了，请举手。嗯，小手放下来，作业单推到边上，我们接着看。 刚才同学们是用尺子对不对？我看到大家拿的直尺画出了线段 c、 d， 它的长度和线段 a、 d 的 长度是同样长的， 接下来曹老师就有要求了，那如果我们不知道线段 a、 b 的 长度，那你还有办法画出和线段 a、 b 同样长的线段吗？不能用你手里的那把尺子了 啊，你们有办法，你说先对齐 a、 b 两个端点，将两个端点先画好，然后在中间再画一条线。那你觉得他这样画精准吗？ 不，不太精准，我们要精准的画出和他同样长的线段，怎么办？这样，曹老师今天带来了一些新的工具，你们一起来看。这个工具认识吗？圆规，圆规。 想一想，圆规是用来干什么的？画圆，但是我们今天不干画圆的事，咱们来画线段。那我要问问大家，就这一个小圆规是不是就能把那条线段画出来？就他一个就可以了，如果不行，还需要什么工具？ 直接想一想啊。有人知道了。好，你说。对，女生，对尺子，尺子，我也准备了。 曹老师的这把尺子，你们看一看，它是长的，是这个样子的， 透明的，上面没有刻度。没有刻度，那这把尺子能用吗？那可以的，可以的，那我就是给你这两样工具，你就能完成这件事了。那别的工具不可以用 啊？铅笔，铅笔啊，还要铅笔，铅笔肯定要要的。好的好的，用笔用圆规就行了，用圆规看一下。好，那这样用笔用不用笔你们自己决定好不好？好，你请坐，谢谢。那像这样的一把尺子，它的上面没有刻度，我们就把这把尺子叫无刻度直尺。 哎，在你们的抽屉里也有一把这样的尺子，还有一把圆规，把它拿出来， 好放在桌面上看看。你的尺子啊，无刻得住的尺，认识了吗？认识了，那接下来请看。明确了活动的任务，咱们也有了合适的工具，下面我们就要来听一听活动 要求。活动要求，注意听。一、用没有刻度的直尺和圆规画一条与线段 a b 等长的线段， 你可以在这条射线上用圆规接着画，也可以在这个框里的空白处自己用尺规画。二、任选一种方法，完成后和同桌说一说你是怎么画的。 三、最关键是这一件事，你画出的线段为什么和线段 a b 长度相等，记住了吗？画完以后，说完画法，一定要和同桌说说你画出来的线段，他为什么和线段 a、 b 同样长是相等的？好，任务清楚了吗？清楚了，那拿起你的圆规和弧刻度尺，找到活动二，看到了吗？看到了，哎，好，现在开始。 画完以后，哎，就可以和你的同桌交流一下。 哎，曹老师已经开始跟同学进行交流了，你们两个人完成了以后也可以 二二二 c 一 点，到哪 好，完成的请举手。好，手，放下，好，停。 嗯，没有画完的同学，我们待会老师再给你时间，接着画好，现在先停下来，我在等两个同学。好，那我们来看一看。曹老师在黑板上请了一个同学，已经画好了，我们要不然听听小老师是怎么画的好吗？好，男生请你来。 好，女生，你放好了，先回位好吗？嗯，来，我们掌声鼓励一下，声音响亮啊。嗯，开始我先用圆规把这个 ab 这条线端的长度给量出来，注意看他是怎么量的。 看清楚了啊，然后把它挪到你把这个身边挪到。不，他把圆规移动下来了， 然后大点声音把它给往下一换。另外一个关键就是 g， 这个点，他画了一条小弧线，这个点是 d 点， d 点，那你画的线段是哪一条线段是从 c 到 g， 那 这就叫线段 c、 d， 线段 c、 d。 说的好不好？好，掌声给他。 哎，哪些同学是和他方法一样的，请举手哦，好的，那现在小手放下来，那同学们，让我们来理一理这种方法。小眼睛看前面，好，一起来看看 第一步干什么了？是的，刚才曹老师就在黑板上画过了，对不对？接着， 哎，现在小圆规在干什么？在举手说，请你说在测量 a、 b 线段 a、 b 的 长度，谁听到了？ 那个女生你来说在测量线段 a、 b 的 长度，那你看一看她是怎么测量的圆规的针尖 啊，那你接着说圆规的针尖还有另外一段画的地方，把它张开到 a、 a、 b 线两个端点位置，也就是针尖对着 a、 a、 b， 笔尖对着 b、 b， 那 这样小圆规就在干两线段 ab 的 事情，那这两点中间的这一段 就是什么线段的长度。哎，这中间的这一段就是什么哪一条线段的长度？线段 a、 b 的 长度，那也是圆规这两角之间的 长度。长度，我们就说这是两角之间的距离，跟我说两角间的距离，两角间的距离，是的，圆规两角间的距离 在这里面，也就是线段 a、 b 的 长处。哎，他们两个是什么关系？ 长度等于也就是相等的关系。是的，圆规两角间的距离等于线段 a、 b 的 长度。谁来说？你会像老师这样说吗？请你 两脚尖的距离等于线段 a、 b 的 长度，这样我们是不是就量出了线段 a、 b 的 长度，接着看小圆规，咦，移到哪了？下面，是的，那这时候小圆规要干什么了呢？ 瞧他干了一件什么事？画葫芦。哎，这个画好以后，你们有没有发现，刚才小圆规两脚尖的距离是线段 a、 b 的 长度，对不对？小圆规，这么一移动， 线段 a、 b 的 长度就到哪了，就到你在这条射线上能找到吗？哎，小手伸出来，比划一下，在哪， 嗯，从哪到哪，从 c 到 d， 就 知这个小弧线和射线的什么地方交叉，交叉的地方。是的，曹老师在这 定一个点，用 d 来表示。那谁能说说看，哪一条线段和线段 ab 的 长度相等？那个女生线段 cd 的 长度和线段 ab 的 长度相等，同意吗？同意。哎，那刚才曹老师让大家想了第三个问题啊， 那为什么线段 cd 的 长度会和线段 ab 的 长度相等啊？在刚才画的过程中，同学们想一想， 好，那个女生，你说，因为，因为线段 c、 d 的 长度是从线段 ab 的 长度平移下来的。 哎呀，他借助了什么工具能把这个长度移到下面来？圆规，你看看是不是现在线段 ab 的 长度和圆规两角间的距离相等？相等？你看， 注意看我圆规两脚尖的距离有没有动，没有没有动，我就这么移到了下面来，对不对？对，你看看现在线段 c、 d 的 长度和圆规两脚尖的距离也相等，是不是这样？是，那我们就说 线段 a、 b 等于线段 c、 b 非常好。谁能再来说一说？像刚才那个女生那样，说一说因为什么 来？曹老师，把它还放回去，谁愿意来试一试？因为线段 a、 b 的 长度是，嗯， 圆规两角尖的距离，嗯，然后圆规的圆规两角尖的距离又没有动，所以没有动，它等于哪条线段的长度？它等于线段 c、 d 的 长度，所以线段 ab 等于线段 cd。 说的多好呀，掌声给他， 谁还能像他这么厉害，我也想试试。说说操作背后的道理。嗯，女孩子很勇敢。你说，因为线段 a、 b 的 距离和圆规的距离相等，嗯，把它平移下来， 他的两角之间和线段 c、 d 相也相等，哦，距离也相等，所以 ab 等于 ab， 线段 ab 等于线段 c、 d。 是 不是这样？ 是，那会说的同学中有两个同学互相说一说，开始因为因为年龄的关系，一样的， 好的好，可以了。哎，同学们像这样 注意了，线段 a、 b 和线段 c、 d 的 长度是同样长的，那我们就把这两条线段称作是等长线段， 我们就说线段 a、 b 和线段 c、 d 是 等长线段。谁会说，男孩你来线段 a、 b 和线段 c、 d 是 等长线段？是的，那这个等长线段我们是借助了什么工具做出来的？ 一起说吧。圆规只用了圆规吗？看看还用了什么尺？是的，还用了一把无刻度的直尺。那这两个工具在干什么事？ 圆规帮我们干了什么事？量，量什么长度？量长度，量谁的长度？线路，一起说吧。量线板 ab 的 长度？是的， 回顾一下刚才的学习过程，我们知道圆规可以帮我们量度，哎，那这把无刻度的直尺可以干什么呢？画，画直线，举手说，你来说画直线，画直线是吗？非常好。是的， 这么一梳理，咱们是不是掌握了其中画的方法？那刚才呢？曹老师在你们画的时候还发现一个女生是这样画的，来，女孩子，请你过来给大家讲一讲。 嗯，非常棒，好，声音响亮。师傅，我们要不聊一下现在？恩， d 的 长度，嗯，然后在一个地方贴一个点，点什么点？ c， 嗯，然后画在另外一边画一条弧线。好的，来，曹老师帮你一下。 嗯，然后，然后再把，再再用尺，用没有刻度的尺子把它 连起来。连起来是吗？好的，也就是像这样 连起来。那我们也给这个地方起一个字母， d， d， g， g， g。 好 的，谢谢。那这个点可以在这，那还可以在哪呢？ 你说在这个弧线上的，只要是这个弧线上的任何位置都可以，在这儿可以吗？这儿可以。好的，那我们也给这儿写一个，起个名字是 e e， 那 我们看 现在 c， e 的 长度和圆规两角尖的距离一样还是相等的， 还能在哪呢？这个点，那个女生还能还能在这条弧线的下面啊，在这也行吗？可以。好的，那我们给这也起一个。那用五克豆的尺 怎么样？画一条线，哎，画出这条线线段，那现在行不行？那如果像这样接着往下画，那我们能画出无数条。是的，非常好。让我们一起跟着电脑老师再把这种方法看一看， 这是我们刚才的方法一对不对，看的过程中观察两种方法有什么相同的地方和不同的地方， 接下来，嗯，然后定点对不对，最后要干什么？ 画线，画线，哎，那观察一下这两种方法他们有什么相同的地方和不同的地方。女生，他们，他们都是，他们相同的地方，是，他们都是先用圆规在线段 ab 的 线段 a、 b 上面定好了点。不同点是，方法一是先画是先画线，后画 点的，而方法二是先画点后画线。你们同意他的观点吗？同意，是的，这里面都有用小圆规再去度量线段 a、 b 的 什么长度？长度？是的，量完以后干嘛画画？然后点。不同的是，第一种方法，我们先画的是线，最后第二种方法我们怎么样？最后，哎，最后连线，哎，那除了这些以外， 还有没有什么发现呢？你看看，第一种方法是在线上画的，咱们画出来的等长线段只有 一条一条，对不对？对，对，咦，咱们换了一种方法，先去量，结果呢？你说 只要在，只要在小胡线上就能画出一条线段。是的，一开始你只能画一条，只会画一条，对不对？现在我们研究了第二种方法以后，你就能画出线段 a、 b 的 等长线段。能画怎么样 哦？很多条，无数条哦，转一圈都行。好的，非常非常好，这种感觉特别好。那接下来曹老师啊，要请大家回忆一下了，在刚才的画图过程中，咱们借助了什么工具来做图？圆规好，那个女生最后一位， 呃，圆规还有尺？是的，除了圆规还有直尺。那像这样用无刻度的直尺和圆规画图，我们就简称是尺规作图。 那今天这节课我们就一起学习了。读，用尺规做等长线段，非常好，我们刚才做出了线段 a、 b 的 等长线段。同学们，让我们一起来回顾一下刚才的学习过程。 在这个过程中，哪些工具帮了大忙呢？请你说，圆规还有尺子哦，圆规还有指尺？是的，非常棒，圆规在这里帮我们 量长度，吴克的住尺帮我们画直线。是的，帮了我们一个大忙。那曹老师把任务升级了，请你注意听，刚才你是画出线段 a、 b 的 等长线段，如果我想你在这条射线上接着画， 画的这条线段要是线段 a、 b 的 两倍长，你想一想，你还要怎么画，想好了吗？好，告诉你的同桌，你准备怎么画？ 哪一个同学愿意上来试试？ a 的？ 好，请你来啊，我们来看看。这位小老师，请你上来。来，曹老师可以协助你。在这，圆规在这。嗯，你要干什么？嗯，我，我想要先把 a、 a、 a、 b 的 长度 量出来，是吗？好的，我们一起来啊，量好了吧？嗯，看的很认真，然后接下来，然后我把圆规放在旁边，再画在这条射线上，接着画，可以吗？ 哎，嗯，把圆规放在旁边。好的，然后画一个弧线。 ok， 好 的，那我们在这标一个点好不好？你要标一个什么点？嗯， e 好 不好？好，行，那现在告诉大家，哪一条线段的长度是线段 ab 长度的二倍？呃， c、 c、 e 线段的长度是 ab 线段的长度的两倍， 同意吗？同意。哎，谁看到了这位小老师刚才在画的时候他是怎么做的？先干什么？男孩，你说他要先把 a、 b 的 长度给定，圆规给测量出来，测量出来，然后呢？然后呢？再 在 c 一 中间接着画，那也就是这个针尖要跟哪个点对齐？要跟 d 点对齐，要跟 d 点对齐，你们同意吗？同意，就像这样，这样画是不是？哎，如果再这样这样画，那我想问一问，那现在 d、 e 的 长度和 ab 的 长度怎么样？ 一样也一样，一倍长，对不对？对，哎，你看看小圆规，就是这么厉害，很灵活，他将现在 ab 的 长度就这么量一量移下来， 一模一样的长度，对吧？对，就跟我们电脑课上有一个按键叫复制快捷键， 复制过以后是不是一样的？对，对，哎，所以在数学里面，我们也可以说是圆规复制线段 ab， 然后把它黏贴在这条射线上，像这样一段一段的黏下去，我们就能画出现在 a、 b 的 无数倍，无数倍，三倍，四倍，五倍，甚至很多。每复制一次， 它的长度都和 a、 b 一 样， a 等长再复制一个 很长再复制。像这样接着复制下去，是不是就能画出很多？嗯，很好。现在同学们对尺规作图又有了新的认识，那接下来我们就要自己动手挑战高难度。刚才是一条线段， 那你猜下面我们要研究几条线的？两条，两条，请看。请你在这条直线上还是用尺规画一条线段，它的长度是线段 a 和线段 b 的 长度。和你想一想，你要先干什么？ 圆规干什么？在干什么？开始找到下面试一试完成的同学请举手。 很好，非常棒。 好的，能不能把这个信带上，字母从哪到哪边上字母，这个画从这个画出来，很好，一个同学完成了。 嗯，好。那同学们同桌互相说一说，把这个字母表示出来。对， 好的， i'm sorry， 停啊，有一大部分同学都已经画好了，哪一个同学愿意上来当小老师？好女生，对，就是你。 你说曹老师做好吗？嗯，你来说，我会先，你到这边来说。对，我会先把，我会先把，我会先把这个 a 了，然后就凉出来 啊。复制线段 a 是 吧？行，看好了，接下来再再复制线段 b， 你 看多会说话。好的， 别慌别慌，再复制。有没有问题要问他，有人要向你提问，请你说， 曹老师现在没有问你 a 和 b 的 长度到底是多少？是问你，你只要画出了线段 a 和线段 b 的 长度和，那你要告诉他长度和在哪，从哪到哪， 这个和在从 o 到 d， 那 这条线段就叫 o d， 线段 o d， 他 说的好不好？好，掌声送给他。 好，小朋友们，刚才你注意看他没有？他干了哪些事？先干什么了？在干什么了？谁刚才注意看了？你说他，他先测量了， 他先测量了线段 a 的 长度，然后平移到下面这个线段，然后呢？然后再测量了 线段 b 的 长度，也就是先复制了线段 a， 又复制了线段 b。 那 注意，在复制线段 b 的 时候要从哪开始？复制？要从， 要从复制完的那个，那哪一个点开始？ c 要从 c 点开始。假如我还有第三段， 我要接着复制下去，我要从哪个点开始？从 d 点， d 点。非常好，这个感觉特别棒。是的，像这样，我们先复制线段 a， 再复制线段 b。 哎，一段接着一段，哎，我们就画出了线段 o d， 它的长度就是线段 a 和线段 b 的 和。那如果画线段 a 和线段 b 的 叉，你们会不会呢？会，这个问题就留同学们课后回去再画，好吗？好，那我们接着继续。 那现在请把你的小圆规放在桌角，回顾一下刚才我们的学习过程。对，咱们还要梳理一下， 刚才同学们在画线段的过程中，咱们认识了一个新工具。什么工具？圆规对圆规这两个角之间的距离 相相等，只要相等对不对？哎，保持不变。这样我们画出来的这条湖上的所有的点 跟针尖的距离形成的这条线，它的长度都是相相等，都是相等的。那接下来咱们不画了，咱们就用这个圆规新工具，咱们来找一找， 你能用圆规比一比，找出和一号线段等长的线段吗？注意，不慌，先看观察一下，你觉得几号可能跟它一样， 看出来了吗？好，带着这个感觉，请你把研究单翻到反面，完成，想想，做做，一开始。 i am。 好，请跟同学来说说看。好，请你说，你找到的是我，我，我找到的是三和五，那你是怎么找的呢？我就是可以用圆规 支支到一号线的，用圆规复制一号线段，嗯，然后呢？然后用一号线段的去将二号和二号线段比，长了，长了，然后跟三号线比是一样 的，嗯，跟四号，跟四号线也长，跟五号也长，跟五号怎么样？一样一样长。嗯，跟六号呢？ 短了，短了。是的，曹老师做了一个这样的小记号，我们找出了三号和五号是一号线段的等长线段，对吗？对，对的，哎，你看一看，曹老师在最后这一组图上用这条大弧线 是不是也可以帮助我们找？那我们就把眼光聚焦到最后一幅图，请大家看这三条线段，还看这条大弧，哎，你能观察出 a 和 b 它们之间的长短关系吗？线段 b 和 c 呢？嗯，请你说， a 线段 a 比线段 b 长，是的，线段 b 比线段 c 长，同意吗？同意。哎，根据这两条信息，那你能不能推出 a 和 c 的 长短关系呢？ 好男孩，你说 a 比 c 长，为什么呢？哎，为什么 a 会比 c 长呢？女生，你说因为 a 比 b 长，嗯， 所以 a 比 b 长， b 又比 c 怎么样？ b 又比 c 长，所以说 a 肯定比 c 长。 真好，掌声送过去。说的真好。是这样的， a 和 c 都去和 b 比，我们得到了 a 大 于 c。

首先我们来看第一单元的第一课是认识线段，射线和直线。好，我们来看第一，第一主要讲的是认识线段。 好，他说摸一摸长方体积木的上面和前面，指一指它们相交的地方。好，我们来看这幅图，这是它的上面，这是它的前面，它们相交的地方在哪呢？ 好，很明显，在这条边。是不是？好，那么上面和右面相交的地方思考下，在哪呢？右面在这。哦， 好，很多同学已经心中有了答案，是吧？好，是这条边啊。好，那如果说让你在长方体积木上任意找一个面，好，请你指出这个面的各条边，你能指得出来吗？好，来看这幅图，我们来指一指。 好，比如说前面。 好，前面的一条边，这是第一条边。好，第二条边， 第三条边，还有第四条边，是吧？好，那么前面总共有四条边，那像我们刚刚找出来的长方体积木上每一个面的这些边呢？好，我们都把它称作为线段， 我们把围成长方形一个面的每条边都称作线段。长方体上一共有十二条边，那它有多少条线段呢？是十二条。 好，那线段可以用什么样的图形表示呢？好，书上已经给出来了，用这样的图形来表示。好，观察下这条线段它有什么样的特点呢？它的左右两边有两条短短的小竖线。好，这是线段的端点。 好，很明显可以看到线段有几个端点呀？有两个端点，是吧？好，如果你用手去摸一摸。好，你会发现长方形积木上的每一条边是直的还是弯的呀？ 肯定是直的，对不对？所以我们说线段，它还有一个特点，就是直的， 如果让你用尺子去测量长方体基部上的每条边，你能测量出它的长度吗？那肯定是能测出来的，对不对？所以我们说线段，它的长度也是可以测量的，也就是说它是有长短的。 好，这就是线段的三个特征。 那我们如何去把一条线段给表示出来呢？好，在数学上呢，我们习惯于用两个大写的字母连续的大写字母来表示它的两个端点，那么上面的这条线段呢，就可以记作线段 a b， 好， 当然你可以反过来记作线段 b， a。 那除了用大写字母来表示他的两个端点来记一条线段以外，我们还可以直接用一个小写的字母 a 啊，或者其他的小写字母来表示这条线段，所以这条线段我们也可以记作线段 a， 好， 因此线段的记法有两种 好，接着来看，任意画两个点，用直尺连接这两点，画一条线段，再测量长度。好，书上的这幅图呢，已经给我们画出来了，他画了两个端点好，现在用直尺连接这两个点，画了一条线段。 好，那这条线段的长度是多少呢？我们用右边的刻度值去减左边的刻度值好，用六减一的五厘米，所以这条线段的长度是五厘米。 当然你也可以从零刻度线开始测量，那你用端点所指的刻度值是多少，那这条线段的长度就是多少。 不过一定要注意，千万不能用直尺的这一条好，最左边的这个边去开始测量。好，一定要从零刻度线开始测啊，这个是我们三年级上册强调过的 好，他说互相说一说线段有哪些特征？好，刚刚我们是不是已经给出来了呀？好，它是直的，有两个端点，而且有长短。好，这是我们刚才已经总结出来的。 好，接下来来看下途中连接 a、 b 两点的三条线，哪一条最短？好，这是第一条，第二条，第三条怎么判断呢？我们可以用一根细绳去沿着这三条线的纹路好去比划比划，然后再把这三条线给绷直了。 那这个时候你再去比较三条线段的长短，是不就能比出来了？你就把它们的一端重合好，另一端去比较，是吧？好，很明显， a、 b 两点间是不是第二条线是最短的呀？好，我们来看第二条线，它是直到 a、 b， 又是它的两个端点，是吧？那这样的一个图形，我们把它叫做线段。那因此我们说 a、 b 两点之间的所有连线中，好，线段是最短的， 那这个就叫做线段的性质。 好，如果有人问好， a、 b 两点间的距离是多少呀？那你得想一想了，什么叫做两点间的距离啊？是不是？好，我们说线段 a、 b 的 长度就是 a、 b 两点间的距离，那也就是说连接 两点间线段的长度叫做两点间的距离。 好，什么叫作两点间的距离？现在知道了，不？好，所以这个地方其实就是让我们知道什么叫两点间的距离 以及线段的间距。 好，你可以在书上做下笔记。好，接着来看，他说量一量，上图中 a、 b 两点之间的距离是多少厘米？好，最后我们量出来的结果是四厘米。好，所以 a、 b 两点间的距离是四厘米。 好，厘米也可以用 c、 m 来表示哈，你自己试着量一量，你看你量对了吗？好，接下来我们一起来认识射线和直线， 把线段的一端无限延长，这样就得到了一条射线。就像下面这幅图，把线段 a、 b， 它的一端无限的延长，得到了这样一个图形。好，这样的一个图形呢，我们就叫做一条射线， 因此射线的定义就是把线段的一端无限延长，所得到的图形就叫做射线。那么下面的射线我们可以记作射线 a、 b， 那 想一想，可不可以记作射线 b a 呢？ 好，答案是，不能啊，不能这样记，因为这个时候我们把端点 b 给无限地延长了，那么点 a 呢？就是这条射线的端点了，那么我们在记的时候，就要以这个点 a 来作为开头，看到没有？ 好，所以记作射线 a b， 不 能记作射线 b a。 当然我们还可以用一个字母，一个小写的字母来记这条射线，我们记作射线 l， 通常记作射线 l。 哈，好，好，我们来看看射线有什么样的特点呢？ 即使我们把线段的一端无限延长了，那这条线是不是还是直的呀？所以射线的特点，第一个它依然是直的， 那这个时候它有几个端点呢？是不是只有一个呀？所以第二个特点，它只有一个端点。 好，继续，那我们再来看看，你如果用一把尺子去测量这条射线的长度，能不能测出来？ 答案是，不能，对不对？你就像一个射灯啊，你从光源出发啊，你射出一道光，是吧？这头这道光，它是无限的延长的呀，所以它是无限长的。好，它的特点无限长。 好，我们也可以说它是无限延长的。 好，再来继续看，如果把线段的两端无限延长，这个时候就得到了一条直线。好，我们来看，就像这条线段 a、 b， 我 们把它的两段无限延长，得到了这样一个图形，是吧？好，这个时候我们就把 这样的一个图形叫做直线，也就是说把线段的两端无限延长，所得到的图形就叫做一条直线，这是直线的定义。好，那么下面的直线呢？我们可以记作直线 ab， 或者记作直线 b、 a， 也就你在一条直线上取两个点，分别用大写字母表示出来。好，那你就用这两个大写字母来记这条直线，当然你也可以直接用一个小写字母来记，记作直线 l， 我 们通常用 l 来表示。哈， 那我们继续来看，直线具有什么样的特点呢？ 好，首先它肯定是直的，是吧？好，那再来看它有多少个短点呢？好，它两端都无限延长了，还有没有短点呢？没有了，是吧，所以它没有短点。 好，再来，那这个时候它两端都无限延长了，它的长短还能不能测量啊？是不是测不出来呀？所以我们说它是无限长的。 好，因为它可以向两段母线延长。好，那么我们再来看，和同学说一说线段，射线和直线有什么相同和不同的地方。好，我们来看它们相同的地方。 好，它们这三种线都是什么呀？都是直的。 好，再来看不同点。好，首先我们来看它们的端点个数。 好，线段有几个端点啊？很明显有两个是吧？好，再来看射线呢，射线有一个端点。好，直线呢？ 直线是不是没有短零啊？也就是零个。好，再来看它们的长短， 好，线段，它有长短吗？是不是可以测量出来的？哦，所以它有长短。 好，那射线和直线呢？它俩都是无限长的。 好，再来看它们的延长情况。 好，线段能不能向两段无限的延长呀？好，答案是，不能，是吧？不能延长。那射线， 那射线呢？射线是可以向一端无限延长的，是吧？好， 那我们再来看直线呢，真是向两端 无限延长好，直线是向两段无限延长的 好，这个是线段，射线和直线，它们相同的地方和不同的地方。好，请大家做好笔记。好，你学的怎么样呢？我们来试一试。好，来看，想想做做。 第一，下面的图形中，哪些表示线段？哪些表示射线，哪些表示直线呢？好，我们来看第一个图形，第一个图形很明显，它是一条射线，是吧？因为它有一个端点好，这条线呢，是无限的延长的，所以一是射线好。第二呢， 二，虽然有两个短点，但它的中间是直的吗？那不是，是吧，所以它不是线段好，不是线段好。第三个呢，也很明显啊，不是线段，也不是射线，更不是直线好，第四个图呢，第四个图有两个端点，然后中间是直的，所以它是线段好。再来看第五个图呢， 第五个图也是线段好，来看第六个图，有一个端点好， 第六个图有一个端点好，这条线呢，是无限的延长的，是吧？好，所以我们说它是一条射线好，第七个图呢，它是一条直线，这个地方是因为扫描的时候没有扫描好啊，它是一条直线 好，第二题，先在直线上画出两个点，是两点之间的距离是三厘米，再指出图中的线段、射线和直线。好，请大家试着画一画，是两点间的距离是三厘米。好，然后我们再指出图中的线段、射线和直线。好，那现在假如这是老师画出来的。 好，我们取点 a 和点 b。 好， 这条线段的长度就是 a、 b 两点间的距离。好，它是三厘米。好，现在我们来看看图中的线段有哪些呢？有几条呀？ 是不是只有一条呀？就是线段 a、 b， 你 也可以记作线段 b a， 是 吧？好，线段 a、 b， 或者记作线段 b a。 好， 你再来看射线呢？ 射线有几条呢？怎么找呢？我们来看，如果你从 a 点出发， 以 a 点为射线的一个端点，那是不是有两条射线啊？好，往左这里取个 c 点的话，那么就是射线 a、 c， 是 吧？往右就是射线 ab。 好。 好， 除了以 a 点来作为它的端点以外，还可以有。以哪个点为端点呀？是不是以这个 b 点呀？是吧，所以这个时候就有一条射线 b a， 是 吧？ 好，如果往右我们在直线上取一点 d 的 话，射线 b、 d， 是 不是还是它的一条射线呀？以 b 为端点的一条射线，对吧？好，所以是射线 b、 d， 所以 它有几条射线呢？好，很明显有四条。好，那怎么在这种题中去找到它的射线，而且不重不漏呢？好，我们是有方法的，我们说你要注意， 好，从一个点出发。好，前提是在一条直线上可以引出两条射线， 那这里有两个点，点 a 和点 b， 那 自然可以引出四条射线，懂了吧？好，它的直线有几条呢？当然只有一条了啊，直线只有一条， 就是直线 a、 b。 好， 那想一想，线段射线和直线有什么样的关系呢？那其实通过这幅图我们可以发现，线段、射线，它们都是直线的什么一部分？ 好，他们都是直线的一部分，那这个时候我们也可以给出线段的更准确的定义，也就是说在直线上取两个点，这两个点和它中间的部分所组成的图形就叫做线段。好，我们把它写一写 啊，什么叫线段？ 在直线上去两个点，这两个点 和中间部分组成的图形叫做线段。 好，这里就给出了一个线段的定义。好，线段的定义好， 第三，首先第一题，用一枚图钉把一根硬纸条钉在木板上，硬纸条能转动吗？答案肯定是能好，肯定是能好。第二，用两枚图钉把一根硬纸条钉在木板上，硬纸条还能转动吗？好，根据我们的经验，我们可以发现什么它是不能转动的，对不对？ 你把两个端点都固定了，那这个时候你，你去移动这个硬纸条，那他肯定是不能转动的，对不对？第三，想一想，过一点可以画多少条直线或两点呢？好，这个就涉及到我们来画线段、射线和直线了，是吧？好，我们来看，首先来看线段， 我们过一点能画线段吗？那肯定是不能的，是不是？好，那过两点能画几条线段呢？肯定只能画一条。好，这是我 过两点只能画一条线段。好，来看射线， 我们过一点可以画多少条射线啊？ 是不是只能， 是不是能画无数条 射线啊？你看，从一点出发点 a， 好， 是不是可以画很多条？但是你如果过两点呢？过两点可以画射线吗？可以画，对不对？过两点可以画几条射线呢？ 好，从这个点是吧？这个点点 a 和点 b 好， 点 a 画到点 b， 或者点 b 画到点 a， 是 吧？ 可以画几条呀？过两点，那是不是只能画两条，是吧？过两点只能画两条射线，因为你如果从点 a 出发的话，你经过点 b 是 不是只能画一条？如果你从点 b 出发，经过点 a， 是 不是也只能画一条？所以你过两点只能画几条射线呢？画两条 好，再来看直线， 过一点可以画多少条直线呢？这是一个点点 a， 你 看这一条还有一条是吧？ 这儿还有一条，等等等等，是不是可以画无数条？那过两点可以画多少条直线呢？只过过一点。过两点呢？ 点 a， 这是点 b， 是 不是只能画一条？ 上面是无数条，这里只能画一条，好，这就是我们的第一线段。第二，射箭啊，补充一下，射箭 好，第三，直线好，他们的经过不同的点，他们能画多少条哈。第四点，从熊猫馆到长臂圆馆可以怎样走？走哪条路最近？为什么我们先看他可以怎么走呢？ 从熊猫馆可以走到热带雨馆，热带雨馆再来到海兽馆，好，然后我们再来到长臂圆馆， 这是一条路是吧？好，当然，你来到大象馆是不还可以直接走到长臂圆馆两条了，是不是？好，熊猫馆是不可以直接走到大象馆？好，在怎么样？过来是不是又有两条路？我们看看是不是两条路？这一条是吧？这一条是不四条了，还可以怎么走呢？ 好，还可以直接从熊猫馆走到犀牛馆，最后从犀牛馆走到长臂圆馆，所以它有几条走法呢？好，有五条路可以走。 走哪？走哪条路？最近呢？那当然是从熊猫馆走到大象馆，再走到长臂圆馆，这条路是最近的，对不对？好，为什么？因为我们刚刚讲了线段的性质是什么？两点间 线段最短。 好，这是我们利用的线段的性质来解决的这道题。好，今天的课就上到这里。好，再见。

好，接下来我们用尺规作图法，画出一条与线段 a、 b 同样长的线段。 画法一，我们首先来量用圆规量取已知线段 a、 b 的 长度，我们拿针尖对准 a 点， 然后用笔尖对准我们的 b 点，这样的话我们量取了，用圆规量取了我们已知线段的长度， 然后我们来用没有刻度的直尺画出一条直线，然后在直线上任取一点 c 点，然后再用我们的圆规用圆规的针尖 戳准 c 点，握住我们的把手，然后画出旋转我们的指尖， 笔尖旋转我们的笔尖之后，我们的笔尖会画出一条弧，这个弧线和我们的这个直线形成了一条相交于一个 d 点。 啊，这个 c、 d 这个点就是和我们 ab 这个点的距离是相等的，所以我们我们画出来 c、 d 这个 线段的长度是等于已知线段的长度 ab 的， 这是第一种画法，第二种画法我们还是用我们的圆规量取我们已知线段 ab 的 长度， 同样方法用针尖对准 a 点，用笔尖对准 b 点。量取完之后呢，我们重新的确定一下新线段的起点，我们设为点 c， 我 们用针尖还是对准点 c， 握住我们的握把，旋转我们的 笔尖，然后我们旋转一个长长的弧，长长的弧之后，我们在弧上任取一点 e 点，或者是 f 点，或者是 g 点，我们连接 c e， 那 么 c、 e 的 长度就和我们已知 ab 的 长度是相等的，或者我们连接 cf， 那 么线段 cf 的 长度也等于 ab 的 长度， 或者我们连接 c g， 那 么现在 c g 的 长度也等于现在 ab 的 长度。为什么呢？我们刚刚讲过了，圆心到圆周上的任意一点的距离是相等的，我们在画圆的时候，我们 c 点不变， 我们的距离当做我们画圆的距离是不是都是一样的？好， 同学们，对于上面这两种尺规作图的做法，大家有没有掌握好呢？

谢谢老师，坐如钟啊，三九班的孩子特别有精神啊！那同学们，昨天老师带大家到形的世界认识了一些图形，请看，这里的图形你认识吗？ 哎，请你说线，这是线段对的，那线段有哪些特征呢？ 请你来。线段有两个端点是直的，而且长度有限，非常好。是这样的， 这两个点之间的距离就确定了这条线段的长度。那今天呀，曹老师就想让大家换个角度，咱们再来认识线段，咱们动手来画线段。这个活动会做吗？会，那行，请看要求。 画线段有要求，请你要画一条和线段 a、 b 同样长的线段，知道什么意思吗？知道，那你会画吗？会，好，想想要用什么工具好？拿出你的研学单， 找到活动一，看，到了吗？看到了。好，请你将你选择的工具填到横线上，然后将这条线段画在那个框里面。现在开始， 好，有的同学已经画好了，和你的同桌说一说你是怎么画的？ 好大的同学，画好了，好，停，说停就停，小眼睛看过来，谁来介绍一下你是怎么画的？ 好？女生，你说。我是用尺子，把，用尺子量出他们的长度，然后是四厘米，然后把然后的再移到，嗯，再换另外一个位置，然后画一条四厘米长的线就可以了， 同意吗？同意，也就是这样，用尺子量一量，再画一画，非常好。那这个任务完成了，请举手。嗯，小手放下来，作业单推到边上，我们接着看。 刚才同学们是用尺子对不对？我看到大家拿的直尺画出了线段 c、 d， 它的长度和线段 a、 d 的 长度是同样长的。 接下来曹老师就有要求了，那如果我们不知道线段 a、 b 的 长度，那你还有办法画出和线段 a、 b 同样长的线段吗？不能用你手里的那把尺子了 啊，你们有办法，你说先对齐 a、 b 两个端点，将两个端点先画好，然后在中间再画一条线。那你觉得他这样画精准吗？ 不，不太精准，我们要精准的画出和他同样长的线段，怎么办？这样，曹老师今天带来了一些新的工具，你们一起来看。这个工具认识吗？圆规，圆规， 想一想圆规是用来干什么的？画圆，但是我们今天不干画圆的事，咱们来画线段。那我要问问大家，就这一个小圆规是不是就能把那条线段画出来？就他一个就可以了，如果不行，还需要什么工具？ 直接想一想啊，有人知道了，好，你说。对，女生，对尺子，尺子，我也准备了。 曹老师的这把尺子，你们看一看，它是长的，是这个样子的， 透明的，上面没有刻度。没有刻度。那这把尺子能用吗？那可以的，可以的。那我就是给你这两样工具，你就能完成这件事了。那别的工具不可以用 啊？铅笔，铅笔啊，还要铅笔，铅笔肯定要要的。好的，要圆规就行了。那这样用笔用不用笔你们自己决定好不好？好，你请坐，谢谢。那像这样的一把尺子，它的上面没有刻度，我们就把这把尺子叫无刻度直尺。 哎，在你们的抽屉里也有一把这样的尺子，还有一把圆规，把它拿出来， 好放在桌面上看看。你的尺子好无刻得住的尺，认识了吗？认识了，那接下来请看。明确了活动的任务，咱们也有了合适的工具，下面我们就要来听一听活动 要求活动要求，注意听，一、用没有刻度的直尺和圆规画一条与线段 a、 b 等长的线段， 你可以在这条射线上用圆规接着画，也可以在这个框里的空白处自己用尺规画。二、任选一种方法，完成后和同桌说一说你是怎么画的。 三、最关键是这一件事，你画出的线段为什么和线段 a、 b 长度相等，记住了吗？画完以后，说完画法，一定要和同桌说说你画出来的线段，他为什么和线段 a、 b 同样长是相等的？好任务清楚了吗？清楚了，那拿起你的圆规和弧刻度尺，找到活动二，看到了吗？看到了，哎，好，现在开始， 画完以后，哎，就可以和你的同桌交流一下。 哎，曹老师已经开始跟同学进行交流了，你们两个人完成了以后也可以 一二一 c 点到哪 好，完成的请举手。好，手，放下，好，停。 嗯，没有画完的同学，我们待会老师再给你时间，接着画好，现在先停下来，我在等两个同学。好，那我们来看一看。曹老师在黑板上请了一个同学，已经画好了，我们要不然听听小老师是怎么画的好吗？好，男生请你来。 好，女生，你放好了，先回位好吗？嗯，来，我们掌声鼓励一下，声音响亮啊！嗯，开始我先用圆规把这个 ab 这条线端的长度给量出来，注意看他是怎么量的。 看清楚了啊，然后把它挪到，把这个身边挪到不，它把圆规移动下来了，然后大点声，先把它给往下一换。 另外一个关键就是 d 这个点，他画了一条小弧线，这个点是 d 点， d 点，那你画的线段是哪一条？线段是从 c 到 d， 那 这就叫线段 c d， 线段 c、 d。 说的好不好？好，掌声给他。 哎，哪些同学是和他方法一样的，请举手哦。好的，那现在小手放下来，那同学们，让我们来理一理这种方法。小眼睛看前面，好，一起来看看 第一步干什么了？是的，刚才曹老师就在黑板上画过了，对不对？接着， 哎，现在小圆规在干什么？在举手说，请你说，在测量 a、 b 线段 a、 b 的 长度。谁听到了？ 那个女生，你来说，在测量线段 a、 b 的 长度，那你看一看她是怎么测量的圆规的针尖 啊，那你接着说圆规的针尖还有另外一段画的地方，把它张开到 a、 a、 b 线两个端点对折，也就是针尖对着 a、 a、 b， 笔尖对着 b、 b。 那 这样小圆规就在干两线段 ab 的 事情。那这两点中间的这一段 就是什么线段的长度。哎，这中间的这一段就是什么哪一条线段的长度？线段 a、 b 的 长度，那也是圆规这两角之间的 长度。长度，我们就说这是两角之间的距离，跟我说两角间的距离，两角间的距离。是的，圆规两角间的距离 在这里面，也就是线段 a、 b 的 长处。哎，他们两个是什么关系？ 长度等于，也就是相等的关系。是的，圆规两角间的距离等于线段 a、 b 的 长度。谁来说？你会像老师这样说吗？请你 两脚尖的距离等于线段 a、 b 的 长度，这样我们是不是就量出了线段 a、 b 的 长度？接着看小圆规，咦，移到哪了？下面？是的，那这时候小圆规要干什么了呢？ 瞧他干了一件什么事？画葫芦。哎，这个画好以后，你们有没有发现，刚才小圆规两脚尖的距离是线段 a、 b 的 长度，对不对？小圆规，这么一移动， 线段 a、 b 的 长度就到哪了，就到你在这条射线上能找到吗？哎，小手伸出来，比划一下，在哪， 嗯，从哪到哪，从 c 到 d， 就 知这个小弧线和射线的什么地方交叉，交叉的地方。是的，曹老师在这 定一个点，用 d 来表示。那谁能说说看，哪一条线段和线段 ab 的 长度相等？那个女生，线段 cd 的 长度和线段 ab 的 长度相等，同意吗？同意。哎，那刚才曹老师让大家想了第三个问题啊， 那为什么线段 cd 的 长度会和线段 ab 的 长度相等啊？在刚才画的过程中，同学们想一想， 好，那个女生，你说，因为，因为线段 c、 d 的 长度是从线段 ab 的 长度平移下来的。哎呀，他借助了什么工具能把这个长度移到下面来？圆规，你看看是不是现在线段 ab 的 长度和圆规两脚尖的距离 相等相等？你看，注意看我圆规两脚尖的距离有没有动，没有没有动，我就这么移到了下面来，对不对？你看看现在线段 c、 d 的 长度和圆规两脚尖的距离， 你也相等，是不是这样？是，那我们就说线段 a、 b 等于线段 c、 d 非常好，谁能再来说一说？ 像刚才那个女生那样，说一说因为什么来？曹老师，把它还放回去，谁愿意来试一试？因为线段 a、 b 好， 那个男生，因为线段 a、 b 的 长度是，嗯， 圆规两角尖的距离，然后圆规的圆规两角尖的距离又没有动，所以没有动，它等于哪条线段的长度？它等于线段 c、 d 的 长度，所以线段 ab 等于线段 c、 d。 说的多好呀，掌声给他， 谁还能像他这么厉害，我也想试试。说说操作背后的道理。嗯，女孩子很勇敢，你说，因为线段 a、 b 的 距离和圆规的距离相等，嗯，把它平移下来， 他的两角之间和线段 c、 d 相也相等。哦，距离也相等，所以 ab 等于 ab， 线段 ab 等于线段 cd。 是 不是这样？ 是，那会说的同学中有两个同学互相说一说，开始因为因为年龄的关系，一样的有两边的 好的好，可以了。哎，同学们像这样 注意了，线段 a、 b 和线段 c、 d 的 长度是同样长的，那我们就把这两条线段称作是等长线段。 我们就说线段 a、 b 和线段 c、 d 是 等长线段。谁会说，男孩你来线段 a、 b 和线段 c、 d 是 等长线段？是的，那这个等长线段我们是借助了什么工具做出来的？ 一起说吧。圆规只用了圆规吗？看看还用了什么尺？是的，还用了一把无刻度的直尺。那这两个工具在干什么事？ 圆规帮我们干了什么事？量量什么长度？量长度量谁的长度？线路，一起说吧。量线板 ab 的 长度。是的， 回顾一下刚才的学习过程，我们知道圆规可以帮我们量量度。哎，那这把无刻度的直尺可以干什么呢？画画直线，举手说，你来说画直线，画直线是吗？非常好。是的， 这么一梳理，咱们是不是掌握了其中画的方法？那刚才呢，曹老师在你们画的时候还发现一个女生是这样画的，来，女孩子，请你过来给大家讲一讲。 嗯，非常棒，好，声音响亮。第一步我们要度量一下线段 a b 的 长度，嗯，然后在一个地方贴一个点， 点什么点？ c， 嗯，然后画在另外一边画一条弧线。好的，来，曹老师帮你一下。 嗯，然后，然后再把，再再用尺，用没有刻度的尺子把它 连起来。连起来是吗？好的，也就是像这样 连起来。那我们也给这个地方起一个字母， d， d， g， g， g。 好 的，谢谢。那这个点可以在这，那还可以在哪呢？ 你说在这个弧线上的，只要是这个弧线上的任何位置都可以在这，可以吗？这可以。好的，那我们也给这写一个，起个名字是一，那我们看 现在 c e 的 长度和圆规两脚尖的距离一样还是相等的， 还能在哪呢？这个点，那个女生还能，还能在这条弧线的下面啊，在这也行吗？可以。好的，那我们给这也起一个。那用五克的去吃， 怎么样？画一条线，哎，画出这条线线段，那现在行不行？那如果像这样接着往下画，那我们能画出无数条。是的，非常好。让我们一起跟着电脑老师再把这种方法看一看。 这是我们刚才的方法一，对不对？看的过程中观察两种方法有什么相同的地方和不同的地方。 接下来，嗯，然后定点对不对，最后要干什么？画线，画线，哎，那观察一下这两种方法他们有什么相同的地方和不同的地方。女生， 他们，他们都是，他们相同的地方，是，他们都是先用圆规在线段 ab 的 线段 a、 b 上面定好了点，不同点是方法一是先画，是先画线，后画 点的，而方法二是先画点，后画线。你们同意他的观点吗？同意，是的，这里面都有。用小圆规再去度量线段 a、 b 的 什么长度？长度？是的，量完以后干嘛画画，然后点。不同的是，第一种方法，我们先画的是线，最后第二种方法我们怎么样？最后，哎，最后连线，哎，那除了这些以外， 还有没有什么发现呢？你看看，第一种方法是在线上画的，咱们画出来的等长线段只有 一条一条，对不对？对，咦，咱们换了一种方法，先去量，结果呢？你说只要在只要在小胡线上就能画出一条线 段。是的，一开始你只能画一条，只会画一条，对不对？现在我们研究了第二种方法，以后，你就能画出线段 a、 b 的 等长线段。能画怎么样 哦？很多条，无数条哦，转一圈都行。好的，非常非常好，这种感觉特别好。那接下来曹老师啊，要请大家回忆一下了，在刚才的画图过程中，咱们借助了什么工具来作图？圆规，圆规。好，那个女生最后一位， 呃，圆规还有尺？是的，除了圆规，还有直尺。那像这样用无刻度的直尺和圆规画图，我们就简称是尺规作图。 那今天这节课我们就一起学习了，读，用尺规做等长线段，非常好，我们刚才做出了线段 a、 b 的 等长线段。同学们，让我们一起来回顾一下刚才的学习过程。 在这个过程中，哪些工具帮了大忙呢？请你说，圆规还有尺子哦，圆规还有指尺，是的，非常棒，圆规在这里帮我们 量长度，吴克的住尺帮我们画直线。是的，帮了我们一个大忙。那曹老师把任务升级了，请你注意听，刚才你是画出线段 a、 d 的 等长线段，如果我想你在这条射线上接着画， 画的这条线段要是线段 a、 b 的 两倍长，你想一想，你还要怎么画，想好了吗？好，告诉你的同桌，你准备怎么画？ 哪一个同学愿意上来试试？ a 的？ 好，请你来。好，我们来看看这位小老师，请你上来。来，曹老师可以协助你。在这，圆规在这。嗯，你要干什么？嗯，我想要先把 a、 a、 a、 b 的 长度 量出来，是吗？好的，我们一起来啊，量好了吧？嗯，看的很认真，然后接下来，然后我把圆规放在旁边，再画在这条射线上，接着画，可以吗？ 哎，嗯，把圆规放在旁边。好的，然后画一个弧线。 ok， 好 的，那我们在这标一个点好不好？你要标一个什么点？嗯， e 好 不好？好，行，那现在告诉大家，哪一条线段的长度是线段 ab 长度的二倍？呃， c、 c、 e 线段的长度是 ab 线段的长度的两倍， 同意吗？同意。哎，谁看到了这位小老师刚才在画的时候他是怎么做的？先干什么？男孩，你说他要先把 ab 的 长度给定，圆规给测量出来，测量出来，然后呢？然后呢？再 在 c 中间接着画，嗯，那也就是这个针尖要跟哪个点对齐？要跟 d 点对齐，要跟 d 点对齐，你们同意吗？同意，就像这样，这样画是不是？哎，如果再这样这样画，那我想问一问，那现在 d、 e 的 长度和 ab 的 长度怎么样？ 一样也一样，一倍长，对不对？对，哎，你看看小圆规，就是这么厉害，很灵活，他将现在 ab 的 长度就这么量一量移下来， 一模一样的长度，对吧？对，就跟我们电脑课上有一个按键叫复制快捷键， 复制过以后是不是一样的？对，对哎，所以在数学里面，我们也可以说是圆规复制线段 ab， 然后把它黏贴在这条射线上，像这样一段一段的黏下去，我们就能画出现在 a、 b 的 无数倍，无数倍，三倍，四倍，五倍，甚至很多每复制一次， 它的长度都和 a、 b 一 样，哎，等长再复制一个， 等长再复制，等长，像这样接着复制下去，是不是就能画出很多？嗯，很好，现在同学们对尺规作图又有了新的认识，那接下来我们就要自己动手挑战高难度。刚才是一条线段， 那你猜下面我们要研究几条线的？两条，两条，请看。请你在这条直线上还是用尺规画一条线段，它的长度是线段 a 和线段 b 的 长度。和。你想一想，你要先干什么？ 圆规干什么？在干什么？开始找到下面试一试完成的同学请举手。 很好，非常棒。 好的，能不能把这个信封标上字母？对，从哪到哪标上字母。一个同学完成了。 嗯，好，那同学们同桌互相说一说，把这个字母表示出来。对， 好的， haha， 停啊，有一大部分同学都已经画好了，哪一个同学愿意上来当小老师？好女生，对，就是你。 你说曹老师做好吗？嗯，你来说，我会先，你到这边来说，我会先把我会先把，我会。先。把。这个 a 死了，然后就凉死了 啊。复制线段 a 是 吧？行，看好了，接下来再复制线段 b， 你 看多会说话。好的， 别慌别慌，再复制有没有问题要问他，有人要向你提问，请你说， 曹老师现在没有问你 a 和 b 的 长度到底是多少？是问你，你只要画出了线段 a 和线段 b 的 长度和，那你要告诉他长度和在哪，从哪到哪， 长度和在从 o 到 b， 那 这条线段就叫 o d， 线段 o d。 他 说的好不好？好，掌声送给他。 好，小朋友们，刚才你注意看他没有？他干了哪些事？先干什么了？在干什么了？谁刚才注意看了？你说他，他先测量了， 他先测量了线段 a 的 长度，然后平移到下面这个线段，然后呢？然后再测量了 线段 b 的 长度，也就是先复制了线段 a， 又复制了线段 b。 那 注意，在复制线段 b 的 时候要从哪开始复制？要从， 要从复制完的那个，那哪一个点开始？ c 要从 c 点开始。假如我还有第三段， 我要接着复制下去，我要从哪个点开始？从 d 点， d 点，非常好，这个感觉特别棒。是的，像这样，我们先复制线段 a， 再复制线段 b。 哎，一段接着一段，哎，我们就画出了线段 o d， 它的长度就是线段 a 和线段 b 的 和。那如果画线段 a 和线段 b 的 叉，你们会不会呢？会，这个问题就留同学们课后回去再画，好吗？好，那我们接着继续。 那现在请把你的小圆规放在桌角，回顾一下刚才我们的学习过程。对，咱们还要梳理一下， 刚才同学们在画线段的过程中，咱们认识了一个新工具。什么工具？圆规对圆规这两个角之间的距离 相相等，只要相等对不对？哎，保持不变，这样我们画出来的这条湖上的所有的点 跟针尖的距离形成的这条线，它的长度都是相相等，都是相等的。那接下来咱们不画了，咱们就用这个圆规新工具，咱们来找一找， 你能用圆规比一比，找出和一号线段等长的线段吗？注意，不慌，先看观察一下，你觉得几号可能跟它一样， 看出来了吗？好，带着这个感觉，请你把研究单翻到反面，完成，想想，做做一开始。 ok， 好，请跟同学来说说看。好，请你说，你找到的是我，我，我找到的是三和五，那你是怎么找的呢？我就是可以用圆规 支支到一号线的，用圆规复制一号线段，嗯，然后呢？然后用一号线段的去将二号和二号线段比长了，长了，然后跟三号线比是一样 的，嗯，跟四号，跟四号线也长，跟五号也长，跟五号怎么样？一样一样长。嗯，跟六号呢？ 短了，短了。是的，曹老师做了一个这样的小记号，我们找出了三号和五号是一号线段的等长线段，对吗？对，对的，哎，你看一看，曹老师在最后这一组图上用这条大弧线 是不是也可以帮助我们找？那我们就把眼光聚焦到最后一幅图，请大家看这三条线段，还看这条大弧，哎，你能观察出 a 和 b 它们之间的长短关系吗？线段 b 和 c 呢？嗯，请你说， a 线段 a 比线段 b 长，是的，线段 b 比线段 c 长，同意吗？同意，哎，根据这两条信息，那你能不能推出 a 和 c 的 长短关系呢？ 好男孩，你说 a 比 c 长，为什么呢？哎，为什么 a 会比 c 长呢？女生，你说因为 a 比 b 长，嗯， 所以 a 比 b 长， b 又比 c 怎么样好， b 又比 c 长，所以说 a 肯定比 c 真好，掌声送过去，说的真好。是这样的， a 和 c 都去和 b 比，我们得到了 a 大 于 c， 它的长度好极了。那最后曹老师请大家回顾一下这节课我们学习的内容。 我们领到了一个任务，是在画线段的过程中对不对？对，咱们借助了什么工具？圆规？对感受了，只要定两点， 他的距离就怎么样？就定了，是不是啊？哎，我们在画线段的过程中， 同学们学会了用尺规做等长线段，同样我们还解决了比较复杂的数学问题。其实关于尺规作图在很早以前就有研究，让我们一起来听一听。你们知道吗？ 尺规作图就是规定只能用没有刻度的尺尺和圆规去作图。 在几千年前大禹治水时，就拿着规和矩丈量土地，规划山河规。

这两幅图呢，比昨天的那两幅图要稍微复杂一些，我们一个一个来看，先看第一幅图，好问，我们这里有几条线段，射线以及直线？先看线段，我们知道线段是有 两个短点的，所以说我们要找这些线上的点，对不对？好，这里呢有两条线，是吧？我们可以一条一条来看，这样不乱。先看横着的这条，这条线上有几个点？ 三个，三个，三个点，我们给他起个名字，分别叫 a 点， b 点， c 点，那这三点可以形成几条线段呢？三，怎么看出来的？可以先从 a 点开始一起说， abac 好， 然后 bc。 几条啊？三条是不是好，这条线找完了，再找斜着的这条线。斜着的这条线有几个点啊？斜着的这条线上有几个点， 也是三个点，对吧？我们给它起名叫 d， 这个叫 g， 好 吧？好，从 d 开始啊， d， d， d， e， d， e 几条也是三条加三，所以一共有几条线段？六条线段。接着我们来找射线，我们知道射线是有 一个断点的，所以我们第一步也要去找点，去找点的时候也要有序的去找。先看横着的这条线，经过这个点的射线有几条？哪两条？一个是往左无限延伸，一个是往右无限延伸。当你在看它是否无限延伸的时候，一定要看到头，你看这里是无限延伸的， 往右边到这里也是无限延伸的，所以经过这个点有几条射线，两条好记录下来。接着经过这个点有几条射线呢？来，可以往左边一条，右边一条。还有吗？ 没了，没了，这是什么？这是什么？这是不是啊？也是呀，哦，这是第三条，继续，那斜上方是不是也是可以的？这是第四条，所以经过这个点有几条垂线，加上四，好，继续来找。 经过这个点有一条，两条再加啊。好，来，接着我们来看斜着的这条线，这个点 来，一起说一条两条，看看他的头是不是无限延伸的，右边右上方是不是无限延伸的？是的，所以有两条，先记录下来。好，这个点 你会发现，哎，这个点我们在数这条线上点的时候已经数过了，所以我们要不要再数一遍？不要了啊，不要了，要不然就重复了。好，继续来看这个点，这是最后一个点，是吧？ 经过这个点的射线有几条？两条，一个是左下方无限延伸，一个是右上方无限延伸，所以再加两条。好，算一下一共几条？十二条 没问题吧？这是射线，稍微复杂一些，所以要细致的分析，冷静的思考。好。最后就是直线，那直线就比较简单了，因为直线的两岸是无限延伸的，我们可以看到，哎，这条线两岸无限延伸，这是一条，还有这条线两岸也是无限延伸，所以它也是一条直线，所以一共几条直线？ 两条直线。来看第二个图，这里有几条线段，那既然找线段，我们就要找这些线上的点，那哪些地方可以看作是点呢？这幅图和这幅图不一样，你看，这都给我们点好点了，这里可没有点，怎么办？ 哪些地方可以看作点，哎，两条线相交的地方，也就他们的交叉处可以看作是一个点，那这里可以看到一个点，这里还有一个。 那第一个，对，我们有几条线段是比较简单的线段，能看出来吧？一条，两条，三条，一共三条。好，接着射线。那我们就一个点一个点的来看， 经过这个点的射线有几条，我们就要看看从这个点发出去了几条线，而且这个线的尽头是不是无限延伸的，不要看到半路就觉得他是射线，有没有点堵着，他，能明白我意思吗？好，这条线来看来是不是无限延伸？是的， 右边无限延伸，右上方无限延伸，是不是？好，所以一共几条车线？三条，我在这记一下，这是这个点，再看这个点， 看他发出去了几条线，一条，两条，三条，但我要检查一下他是不是无限延伸的，是不是来这是不是？是好，右边是不是？是好，左上方？不是？不是，因为这里有一个点给他堵上了，他并没有无限延伸，是不是？所以只有几个？两个加二。好，最后最后就是这个点， 最后就是这里，是吧？好，看，他发出去了几条线，三条，是吧？一个一个来检查向右上方是不是？是的，左下方是不是？不是，你看这里堵上了，是不是？所以左下方不是射线，继续 斜下方也不是，这里也堵上了，所以只有这一条，是的，是不是？所以再加一，一共几条？ 六条，是不是？同意吧？同意，最后直线直线应该是很好看的，你就看他两段有没有无限延长。这里有三条线，先看这一条，两段检查 可不可以啊？可以，是吧？好，再看这一条，这条可以吗？可以吗？不可以。这头无限延伸了，这头无限延伸了吗？没有，所以他不是直线是吧？再看这一条线段有两个端点，是不是所以直线只有一条？

第一步，我们在圆规上啊，用圆规取出线段 a、 b 的 长度，两脚打开，跟刚才的方法一样。第二步，我们直接在空白的纸上 针尖的位置，我们给他点个点，给他写成 c 点，那么另外一只角是带有铅笔的一只角啊，可以在这里画一段弧，那么这段弧呀，可以任意取一点， 其中任意取一点，它与 c 点的距离，与 c 点之间的长度，它实际上都是一样的。 那么这一个第二种方法的话，它其实比第一种方法就少了一步，少了哪一步就是画射线的那一步，对不对？ 好，那同学们思考一下，为什么线段 c d， 线段 c e、 线段 c f， 它都等于线段 ab 的 长度呢？ 给同学们三十秒的时间去思考一下。 嗯，思考完，同学呢，你可以在屏幕前说一说， 为什么线段 c、 d 与线段 ab 的 长度是相等的， 哎，不错，应该是有同学思考到了，我们刚才取线段 a、 b 是 怎么取，它的长度是用圆规对不对？ 而圆规啊，它有一个特点，也就是它的两脚尖的距离呢，它实际上就是决定了它整个画圆过程当中一个张开的幅度，它是始终不变的。 因此这个圆规在画弧的过程当中啊，这个叫做弧。可能有同学不明白啊， 这个弧是什么意思呢？就是我们这个圆的一部分，其实大家都知道我们圆规是用来干什么的， 哎，我们圆规就是用来画圆的，而圆上的那些曲线其实就是弧。好，那么在整个过程当中呀，他画弧与我们的这一个 针尖所在的位置，这一段，这一段距离，这段长度，它都是一样长的，因此线段 c d 或者是线段 c e， 它都跟我们的 ab 的 长度是相等的，这个一定要明白啊。

啊，或者过五个点呢，可以画多少条直线呢？想想。 好，其实你看啊，我们在画的过程中，那这里给你五个点，我们可以通过作图的方式来解决问题啊，好，那这样我们就画五个点，这 a、 b、 c、 d， 还有我们的 e， 是 吧？好，现在我们从点 e 出发，注意，好，你再去，你再画这个线的时候，你的这个直线啊，可以连接哪个点和哪个点，不是乱连的。比如你先连 a、 b 是 吧？再连 d、 c， 好 像很乱，是不是？所以这里就涉及到一个什么有序的思想。 好，也就说你看，比如说我从点 e 出发， 我是不是可以连到点 b， 这样得一条，对不对？好，点， a 出发连到点 c， 那 这个时候 a、 c 又是一条。好， a 到 d， 你 看 a、 d 又是一条，对不对？好，然后 a、 e、 a 还是一条，是吧？ 好，那这样子就得到了几条直线呢？是不是？四条，对吧？好，从 a 出发得到了四条。 好，那现在我们是不是可以从 b 出发来连，是不是啊？也不能说从 b 出发嘛，从 b 这个方向开始连，对不对？我们看一下 b， a 肯定是回去了，是吧？ 好，就是刚我们的 a、 b 是 不是？好，那这个时候只能是吧 b、 c。 注意，我们在在找这个直线的时候哈，你根据有序的，有序的这个思想，你从 a 开头，好，来找这个直线，找完以后你是不是从 b 开头来找，但是你找的这条直线不能和你原来数的以 a 开头的这个直线呢？ 啊，去重合，那这样你就数重了呀，对吧？所以现在哈，我们根据二十六个字母的顺序啊，你标好以后，你只需要往后接着数就行，比如 b 开头，那你就想想 b、 c， 是 吧？那就不要倒回去 b a 了，看到没有哈，想想 b、 c 这一条对不对？好，继续 b， d 是 吧？ 好，还有 b、 e， 你 看这样得到几条啦？是不是三条？好，所以以 b 开头有三条？ 好，那么以 c 开头呢？是不是到 c 啦？好，还倒回去吗？数 c， b， c a 吗？不，倒回去了，我们继续往后数，因为 c b 和 c a 已经以 a b 开头时候数过了，是不是？好，那接下来是 c d 好， c d 完了，是不是到 c e 了，是吧？这样也可以，对不对？ 好，好， c d 和 c e 是 吧？好，那这样是不是得到两条？ 再以 d 开头，是不是不倒回去的话，就只有 b、 e 了，对吧？那以 e 开头是不就没了？好，所以以 e 开头是一条，你看这里总共几条？ 五个点，四加三加二加一，好，等于多少呢？是不是等于十啊？十条是不是？好，如果是好过五个点，我们可以画好十条， 就是五个点中的每两个点来画哈，最多可以画十条直线。好，那么其实你如果去看，画三个点的这种和画五个点的这种画三个点的算是什么？二加一对不对？好，你就从比你的点数少一的那个数倒着加，一直加到减，加到一。也就是如果是 好，经过 n 个点的话， 你就从哪里开始倒着加，从 n 减一开始倒着加， 一直加到一，这样就把你啊，这么这么多个点中，每两个点最多可以画的直线总条数给算出来，看到没有？好，这个是我们的这里哈，来看射线。

这两幅图里面有几条线段，几条射线和几条直线，那我们要想做的准确啊，我们必须要搞清楚线段、射线与直线他们有什么相同的不同之处？我们得区分它是不是。那他们的相同之处是什么？都是直，直的，都是直，直的，都是直的。 那不同点呢？端点数。哦，端点的数量不一样，那线段有几个端点？有两个端点，两个端点。那既然他有两个端点的话，就说明他有头有尾，那就说明他可以测量。 那射线呢？他有几个断点？一个断点他只有一个断点，不可测量。一个断点的话，就说明他有头没尾，就说明他有一端是无限延伸的，所以他能不能测量？不可测量，不可测量，不可测量。 最后是直线，直线有没有断点，没有断点，他是零的。断点不可测量，不可测量，他是眉、眉头眉尾，所以他也不可测量。 好，搞清楚他们的一同之后，我们再来看题。先看第一幅图，这里有几条线段，线段有 两个端点，那你看看这条线上他有一些点是不是？而这些点我们就可以作为线段的端点，是吧？那线段有两个端点，那如果我以这个点为起点的话，有几条线段呢？我们先把这些点给他起个名字，行吗？这个叫 a 吧， b， a， b。 好 吧，那以 a 为起点的线段，我们来数一数，可以是 a， b， c， a， d 有 几个？三个，是吧？好，继续，我们还可以以 b， 以 b 为起点，是吧？ b， c， d， d， 所以 是两个。最后可以以 c 为起点，就是 c、 d 再加 e， 所以 一共是六个线段。那有几条射线呢？ 搞清楚，射线只有一个端点，我们以 a 作为射线的端点化以 a 点为端点的射线有几条？两条，哪两条？ a 点往右，往后从 a 点开始向左无限延伸，你看看这里是不是无限延伸啊？所以这是一条， 他左往左可以，往右呢？也可以。你看看最右侧，也是无限延伸。所以说以 a 点为端点的射线有两条，一条是向左，一条是向右，所以有两条， 对吧？那同样的道理，那以 b 点为断点，射线呢？也是向左无限延伸，向右也是无限延伸，也是两条。同样道理， c 也是两条， d 也是两条，所以是二乘四，等于几条？八条，是吧？好，最后来看直线，直线特点是 有一个端点，一个端点就没有端点，它的两端都是无限延伸的，那再涂上，很显然，你看，只有一条线是无限，左端和右端都是无限延伸的，对吧？很显然啊，左端无限延伸，右端也是无限延伸，所以有一条一条 没问题吧？好，再来看第二幅图，好像和第一幅图很像，我们也先把这些点给它取好名字， a、 b、 c、 d。 先来看线段，线段，如果以 a、 b 作为端点，有哪些线段？ a、 b、 a、 c、 a、 d 是 不一样，对，对吧？以 b 为起点， b、 c、 d， e、 c 位起点 b 一， 所以也是几条，也是六条。好，再来看射线，这一个是最容易出错的，所以现在要把眼睛给我睁大了。好，先来看 a 点，以 a 点为端点的射线有几条？一个。哎，怎么有一条了呢？又 是从这里向右无限延伸，对不对？一条，那向左呢？有没有啊？没有，所以以 a 点为端点的射线只有一条。记一下，一条，那以 b 为端点的射线呢？有同学可能认为是两条。老师，一个是往左，一个是往右， 往左的是四十度。看一看，往左，他无限延伸了吗？没有啊，没有，他走到这里就被 a 点给堵上了，他没法无限延伸了，是不是让我们来看看右边呢？哎，是不是无限延伸啊？嗯，是不是？所以说也是一条。那同样的道理， c 一 条，几条？一条，哪里手势 往往右右边无限延伸，左边可以吗？不可以。没有。你看看最左边被 a 堵上了，是吧？所以也是一条。一样地也是一条。所以一共几条射线？四条，四条射线。最后这里有几条直线呢？十九条直线的特点， 没有断点，两边都无限延长线。哎，我们来看看这里有没有两边都无限延长的线。这里无限延长了，再看看左边呢？有没有无限延长？没有，所以这里有没有直线？没有。没有直线，所以是零条直线。

hello， 亲爱的同学们，大家好，我是数学郭老师。今天我们开始学习三年级下册第一单元角第一节课我们要学习的内容是线段、射线和直线。 首先老师这里呈现了三个长方体的积木，那么大家看一看老师这里的三个长方体，咱们能够分别看到它的几个面呢？ 嗯，有的同学说，老师第一个长方体我看到了它的上面前面和右面，第二个也是，第三个也是。 看来每一个长方体在这里我们都能够看到它的三个面。那么是不是长方体就只有三个面呢？当然不是， 因为还有一些面是我们没有看到的，比如上面相对的面是下面，所以上面和下面就合成了两个面， 左边和右边又有两个面，前面和后面还有两个面，看来长方体一共合成了六个面。 所以我们说长方体呀，应该一共有六个面，并不是我们看到的只是三个面。好，那么接下来我们想一想，能不能找到长方体的上面和前面来说一说它们相交的地方在哪里？ 我们来看第一个长方体，它的上面和前面嘿相交到了一条边。 第二个图形呢，它的上面和前面也相交到了一条边。第三个图形也是 他的上面和前面也相交到了一个边。看来这三个积木，他的上面和前面他们相交的地方都是一条边。老师在这里把这条边用红色的线来标注， 那么大家想一想，这条边他属不属于上面那个面的一条边？ 嗯，当然属于，因为这条边本来就是上面的那条边的一个一那个面的一条边吧，所以这两个面相交的地方，他既是上面的一条边，同时他也是前面的一条边。 接下来我们再来看，那么能不能在长方体当中任意的找一个面来指一指这个面它有几条边，比如说第一个图形长方体，我们来看一看这个长方体，它有几条边， 几条边，哎，上面它有几条边，四条非常好，上面有四条边，那么老师在在这里先着重描出其中一条边， 我从第二个图形的前面注意，第二个图形前面一共也是四条边。郭老师在这里呀也是重点描出一条边来， 红红的边。那么大家仔细观察郭老师描出来的这两条边有没有什么共同点， 有没有什么共同点哦？有同学发现了，老师他都是直的，非常好，他呀都是直直的，看到的都是直直的。再仔细观察，他其实是我们二年级学过的线段， 因为他都有 a 在 边边上，其实相当于他有两个点， 只不过这两个点因为要画其他边给隐藏起来了，但是我们单独拿出来的时候，这两个点仍然存在。所以这两个长方体它的共同点有两个，第一它都是直直的，第二它呀都有两个点， 那么围成这个长方体一个面的每条边，这样的一条边，我们又称之，为什么称之为线段， 所以这里的这两条边我们可以看成线段，那么线段它应该用什么样的形式表示呢？这里我们开了两个点，我们把这两个点分别记作点 a 和点 b， 那 么 a 点和 b 点分别就是这条线段的端点。 哦，看来一个一条线段，首先它得有两个端点，并且呀，这两个端点所中间夹的这条线必须是直直的， 于是我们就知道了哦，线段有两个端点，并且是直直的，那么这样的一条线段我们应该怎么表示呢？我们可以用 线段 a b 或线段 b a 来表示，因为我们这里已经标注了两个端点， 那如果没有标注端点，比如说它就只写了一个小字母小 a， 那 么我们就可以把它记作线段小 a。 这样的话，我们就知道了，线段是这样表示的，如果它标注了两个端点，那么我们就读它线段 a b， 如果只是读了标了一个小字母 a， 那 么我们就读作它为线段小 a。 接下来呀，同学们可以试着在你的纸上任意画两个点，然后拿直尺连起来你的这条这两个点，这样的话，我们是不是就画出来了一条线段， 然后可以测量一下你的线段的长度。 下面是郭老师画出来的，郭老师在尺子上从零刻度线画到了五，那么大家一定能够看到郭老师画了一条五厘米长的线段， 那么有的同学可能是八厘米长的，有的可同学可能是四厘米长的。因为我们只是任意画两个点，并没有规定这两个点非得离得多远或者离得多近， 所以就有了我们画出来的线段，嘿，有的长，有的短，于是我们就找到了线段呀，有一个特征，它是有长的，也有短的， 对了，有长也有短，那么大家在想线段还有什么特征 哦？有同学想到了，老师刚刚不是讲了吗，线段首先得是直的，并且要有两个端点，非常好，两个端点是直直的，这是我们的第一个 特征。并且呀，我们刚刚还讲了，线段有长短，可以量出长度，所以这个就是我们课本第三页最下面的那部分。 课本第二页最下面的那部分。线段的特征有哪些？我们在这里就综合成了两个特征，一和二， 学了线段。接下来郭老师把线段隐藏在了图当中，我看看你是否还能找到 下面图当中呀？我有 a b 两个点，我连接 a b 两点呢，有三条线，那么大家想一想，在这三条线当中，当中，哪一条是最短的？ 嗯，有同学一定会脱口而出，老师，中间的那条是最短的。那么你是否能给中间的这条线取一个名字，它可以叫什么？ 哦？聪明的你一定能够说它叫线段，为什么？因为它这里有两个端点，中间还是直直的线，是不是满足我们线段的特征？是的，所以中间的这条它叫做线段， 所以我们可以说它是线段 a b。 那 么上面的那条呢？对了，它可以有一个名字，它叫折线，那么下面这个就可以叫它曲线。 这样的话，我们就把这里的三条线都有了名字，折线 a b， 线段 a b， 曲线 a b。 那 么大家想一想，哪一条最短？嗯，中间这条，这条最短。如果给你个方法让你验证，你该怎么验证？ 聪明的你一定会说，老师，你试着把那条折线和曲线拉直，肯定都比中间的那条线段要长， 为什么？因为中间的那条线段那已经是最长了，不能再往长拉了，而折线和曲线可以继续拉长， 对吧？于是我们就得到了一个结论，我们说 a b 两点之间的这三条连线当中，谁是最短的？ 中间那条？中间那条是谁线段，所以我们就说 a、 b 两点之间的所有连线当中线段最短， 那么既然是线段最短，那么我们就把线段 a b 的 长度就可以看成是 a 点和 b 点这两点之间的距离。 哎，这里的距离注意和我们生活当中的距离不一样，比如说 这是你家，这是你的学校，我们大部分同学从家到学校可能需要走哎弯一点的路到学校了。但是在我们数学当中的距离是指他的什么？直直的距离， 所以在这里要想知道 a 点和 b 点的距离，我们必须说是直的，也就只能是谁线段，所以线段 a b 的 长度才是 a 点和 b 点两点之间的距离。 那么接下来大家试着可以拿尺子量一量这个图当中 a 点和 b 点之间的距离是几厘米。 好到这里呀，我们线段的特征就讲完了，接下来我们需要在线段的基础之上继续来拓展延伸来看。

我亲爱的同学们，今天呀，我们要学习第一节课，线段、射线和直线。 比如说我们画了一条线，很多小朋友可能在口头上就表达出有线段，有直线，但是呢，我们无法清晰地知道这个概念。那今天呢， 我们第一节课就是要捋清楚这三大概念哈，线段是啥意思呀？就是画一条线，然后两端是有端点的，像这样的，我们把它叫作为线段。那直线呢，就是画一条线和两端可以无限延长的，像这样的就叫作为直线。 那射线呢，就是只有一个短点哎，另外一端可以无限延长，像这样子的就叫作为射线，这是三大点哈，那我们就以 各本的例题一起来感知一下吧。先来看，请小朋友们摸一摸长方体积木上的上面和前面，注意，这写了一个体字。那这个时候我们要分清楚长方形和长方体。 长方形呢，就是你画一个平面的图形，它只有这一面叫作为长方形。那长方体呢？你观察一下，是不是立体图形呀？它有多个面， biu biu biu， 还有后面以及下面左面，像这样的多面的，我们把它叫作为长方体，那这个也是，这个也是长方体。那如果我画一个正正方方的一个形状，请小朋友们观察一下， 像这样的形状，形状又是什么体呢？是不是像一个正方形呀？那它就叫作为正方体。正方体的特征就是回回回，每一个面都相等啊，那我们具体要学的时候是到六年啊，五年级下册的时候会学到。 那我们继续往下看，指一指它们相交的地方。我们刚刚讲摸一摸这个上面和前面，那上面就是这个前面，上面在这个地方，前面在这个地方， 那相交的地方，嘿嘿嘿，不是有一条长长的红色的线吗？那这个线两端都有端点的，我们把它叫作为线段。 那我们再来看一下，在这个长方体积木上任意找一个面，指出这个面的各条边，那来看。 比如说这个面是不是这个也是它的边，这个也是它的边，这个也是它的边呀？我们发现每一个面都有几条线段哟，是不是一条两条、三条、四条呀？嘿，那你看这个面一条、两条、三条四条，对不对？ 那我们再来看围成长方形一个面的每条边都是线段，就刚刚讲过的啊，那这个线段可以用下面的图形来表示， 点 a， 点 b， 就是 它的两个端点，就是这个图呗。注意，我们在表示这个线段的时候，两头的这个端点要用大写字母 来表示哈。如果用小写字母，你要写在中间，那怎么进行读呢？我们用上面的线段可以记作为线段 a b， 也可以说成线段 b a， 当然也可以 说成线段小写的 a 哈。注意三种表示方法，如果写在两头的用大写字母，如果你想写在中间的，就用小写字母，这个是一个细节点呦。再往下看， 任意画两个点，用直尺连接这两个点，画一条线段，那这个不就是在二年级的时候也学过吗？要你画一条线段，就拿出尺子， 都说要画三厘米，你就从零标个点再到三标个点，再连起来，这个就是线段为三厘米的，对吧？那我们会发现啥呀？是不是这个线段可以 测量呀？它可以量出具体的，对吧？像我刚刚啊，穿插了，我说直线是两头一直无限延长，那直线你无法量呀， 一直在 biu， biu 一 直在延长，无法测量。这个是直线啊，那刚刚我们讲的是线段 再一次巩固哦，线段是直直的，有两个端点。嗯，学过，线段有长短，是可以测量的。嗯，学过，那我们接下来再来看一下线段的特征，哎，看一下啊， 下途中连接 a、 b 两条的三条线，哪一条是最短的呢？来看一看，最短，你看 从 a 到 b， 可以 这样子，嘿嘿嘿嘿，也可以弯弯，弯弯，也可以 biu 一 直过去，我们会发现哪一条线是最短的？是不是这条线最短呀？我们通过测量会发现这条线是最短的。 那 ab 两点之间什么是最短？是不是线段最短？你看，刚好这条线是为线段。那有些小朋友说，老师， 那这上面也是线段，线段，线段呀，但是你上面是不是经过了这又下来一条线，又下来一条线，又下来一条线，那多条线段组成了呀，对吧？所以以后在考试的时候，人家问你， 请问哪条线最短？你一定要选择两点之间，刚好就是这之间啊，你不能说你到这之间，一到这之间就不行啊，两点之间线段最短，这个就是 a、 b 两点间的距离哈， 量一量上面 a、 b 两点之间的距离是多少？那这个呢，我们刚刚说了，具体要同学们在后期自己 测量啊。我们继续往下学概念。现在呀，把线段的一端无限延长，你看，原来从 a 到 b 是 这延长，比如有一只延长，我说了有一边在延长的，我们把它叫做什么呀？ 叫作为射线，那这个就叫作为射线 l， 因为我标了一个字母 l， 哈。 那再来看，如果把两头进行你延我延，那我们叫做什么呀？叫做直线 l， 因为它是两头延长。那我们总结一下，射线和直线有什么特点呀？ 观察一下，射线，刚刚讲了是只有一个短点，一头在无限延长。直 线有断点吗？他两头的都在延长呀，是不？你看那有些小朋友说，老师，这不是断点吗？拜托，这个是线段的，直线都是在延长的，那我们如果画直线的话，你不能再两头给他加短点了啊，因为他是无限延长， 无法测量，因为它一直在延长，延长，延长，再延长，所以直线没有端点，它是无限长的。那现在请小朋友们总结一下线段射线，直线有什么相同和不同的呢？我先来说哈，相同点就是直直的，对吧？ 那不同点呢？线段它有两个端点是可以测量的，可以量出来。那射线呢？只有一个端点，另外一头在无限延长，就这一头哈，无限延长，只有一个端点， 那直线呢？是不是两头都在无限延长呀？那他就没有断点，这个就是今天要所学的课堂内容哈。那现在我们一起来做一个例题感知一下吧。 第一小问，用一枚图钉把一根硬纸条钉在木板上，硬纸条能转动吗？肯定可以，你这钉一个可能掉下来，也可以往上走，对吧？那如果钉了两条还能动吗？肯定不行的呀，你钉死了，两头都钉在这个，你再怎么也摇不了了呀，是不？ 这个就是一个考点。那我们再来看一下，过一点可以画多少条直线呀？你过一点你拿出尺子，嘿嘿嘿嘿嘿，都可以，对吧？就是无数条直线。 那过两点呢？你如果过了两点是不是只能画一条直线呀？这个也是一个必考点哟。再来看看第四题走哪条路最近呢？是不是直接 从熊猫管到长臂圆管哈，就两点之间线段最短。好，今天的课，拜。