全国乙卷数学出题人是谁

都说今年的全国乙卷难，咱们来看一道天空压轴题，看看它难度到底如何。这 a 属于零到一，若这个函数在零到正无穷上单调递增，求 a 的取值范围。看到函数的单调性，我们应该想到利用求导的方式解决单调性， 所以咱们先对函数求导， f 撇 x 等于 a 的 x 次方乘以烂以 a 加上 一加 a 的 x 次方乘以烂音一加 a。 要想让原函数在零到正无穷上横增， 只需要导函数在零到正无穷上横大于等于零，所以我们要研究 f 撇这个函数的最小值，只需要最小值大于等于零即可。那么要想研究导数的最小值， 我们需要知道这个倒数的单调性，那么这个倒数的单调性该如何去研究？我们先把 x 的部分合在一起，两边同时除以一加 a 的 x 次方，因为一加 a 的 x 次方永远是一个正数，所以这个不等号的方向是不需要改变的， 变完之后就变成了 a 比上一加 a 的 x 次方乘以滥引 a， 再加上滥引，一加 a 大于等于零，我们不妨把它设成一个新函数 j x 来看。这个函数 a 比上一加 a 是在零到一之间的一个数， 零到一之间的一个数作为底数，对应的指数函数就是一个单调递减的函数乘以烂以 a。 注意， a 是在零到一之间，所以烂以 a 是一， 一个负数，单调递减的函数乘以一个负数，就是单调递增。所以 j x 单调性咱们就知道了，是一个增函数，那么 j x 就应该大于 j 零， 而 j x 又要大于等于零，所以只需要让 j 零大于等于零即可把零带入这一部分是一，所以就得到了烂音 a 加上烂音 一加 a 大于等于零，整理一下变成烂印。 a 方加 a 大于等于零，也就是 a 方加 a 大于等于一解这个不等式，最后就得到了 a 大于等于二分之根号五减一小于一。全国以卷的天空压轴体难度到底如何自己来评判。

大家好，今天呢，我们来讲一讲二零二三年，也就是去年全国一卷的导函数压轴大题。这道题第三问，如果你知道用这个洛比达法则的话，很快就可以解决了，那么我们来看一下这道题。这道题的话，前两问非常简单， 我呢做了十分钟以内就完全解出来了，但是最后一问我承认花了二十多分钟时间啊。那我们先来看第一问吧，非常简单的一个问题。那么首先你把 fx 的解析，是因为它 a 已经等于负一了吗？这个地方就是加上负一了。然后呢， 你把这个一带入是不是 f e 此时非常简单，因为 f x 它是等于 x 分之一减一，再乘这个劳安 x 加一的。然后你把 f e 带入以后，一分之一再减一，这不就零吗？所以首先咱们可以得出来的是它的点是多少啊？其实这个点非常 简单吗？他这个切点坐标就是一道号零，那么光有点不行，还得有斜率，斜率好求吗？求导就行了，求导以后的话， f 撇一到函数在一处，那个指呢就是他的斜率，你看斜率是负的，老板二 点也有了斜略也有了电斜式方程吧， y 减零等于多少？等于负的 loner k 倍的 x 减去 x 零，那就是 x 减去一了， 嗯，然后呢，减零相当于不减嘛，所以最后直线方程就是它大。不过你最后呢，把这个负的老二把这个括号啊打开，那其实就是负的老二乘 x 是吧？ 然后再加上老文二就行了。这个还是非常简单的第一问。那么现在我们继续来看这个第二问啊。第二问的话说的是关于函数的对称性，这个新的函数我们继承 大 f 啊。其实所有的函数问题的话，首先应该考虑的是定义域，原来这个函数的定义域咱们就不多说了，我觉得还是很简单的，就是负一到零，在病上，零到真无穷。 为什么会有这样一个范围呢？首先就是 x 加一得大于零吧，这个就得出来 x 大于负一了，那其次你这个 x 作为分母的话，分母不能等于零，是不是？所以就原来这个函数定义也很好得， 那所有的函数问题，新的函数定义也得知道吧。新的函数定义怎么求啊？来，请问这两个圆圈里头他的范围一样吗？肯定一样，因为他只有 f 这一层作用，所以 也就是说新的 x 分之一，它的范围也是负一到零，并上零到正无穷。那么新的定义域呢？也就是这个 x 的范 为呢？这个只需要画一个反比例函数的图像就可以马上得出来了，你看反比例函数 x 分之一，大家都会画它呢，双曲线位于第一象限和第三象限两个象限吧。双曲线嘛， 那么首先函数值大于零的部分啊，那第一象限所以都包含第一象限，咱们都得描粗，都得描黑是吧？然后呢，还有负一到零之间，首先负一这个特殊值，当 x 等于负一收，这个 y 等于负一空心啊，因为这个地方负一是不包含的， 负一到零之间到函数直位于负一到零之间，那不就是左边这一段我们都得描粗吗？你说是不是这个意思啊？所以接下来新的 x 的取值范围，也就是说新的函数这个定义域不就是负无穷到负一在并上第一相见的就是零到正无穷吗？那么求 求这个新的函数定义域有什么作用呢？你先求出来，也就是说，假如我们新构造的这样一个大 fx， 他是关于 x 等于 b 对称，你首先得要求他的定义域关于 x 等于 b 对称吧， 也就是说，负一和零中间这个值必须等于这个 b， 也就是说 b 是等于负二分之一的。如果说大 f 这个函数关于它对称的话，这个 b 只能等于负二分之一，这是根据定义域首先关于直线对称得出来的。 那么另外还有一条还得求 a 吧，小 a 还得求吧。假如大 f 关于谁，关于这样一个负二分之一对称，你看好了，负一向左平移一个单位是几啊？那就负二零向右平移一个单位是几啊？是一和负二合一的中间值， 其实也是负二分之一，也就是说，大 f 所对应的这两个函数值必须相等啊。这样的话，你看代入以后是不是就可以把 a 求出来了？你看小 a 小 b 求出来了， 但是当你求出来这个小 a 以后的话，你看啊， f 一等于它， f 二等于它，你这两个值相等，马上就把这个小 a 求出来了。呃，是等于二分之一的， 但是现在就可以写答话了吗？所以 a 等于二分之一， b 等于负二分之一，不能。为什么你这个 b 等于负二分之一，只能保证定义域 是对称的，你这个 a 等于二分之一，只能保证这两个点一 x 等于一和 x 等于负二，这两个点对称的。定义域对称了，这两个点对称就能说明所有的函数图像对称的不行。所以接下来很多同学这道题没有得分。 为什么没有得分？因为你没有检验，怎么检验？必须要求定义域内所有的 x 都满足什么哦？负二分之一加 x 和负二分之一加 x 这个方程的成立能清楚吧？事实上的话， 其实也相当于 f x 等于 f 二 b 减 x 这道题的话，其实就是负一减 x。 清楚了啊，只要满足这个方程就行，如何满足这个等号呀？那你做减法不就行了？ f x 减去 f， 负一减 x， 他俩相等，意味着最后这个减号等于零，等不等于零，你最后一算就得出来，他确实等于零，不就得出来对于定义域内任意的 x 都满足这样一个方程吗？你看你说二分之 x 再加上负一 减 x， 中间值是不是负二分之一？是，这不就表明了哦，任意的点就是函数图像上所有的点都是关于 b 等于负二分之一对称的，所以咱们检验完了才可以写清楚了吧。所以这个曲线，这个大 f x 这个函数 是关于 x 等于负二分之一对称的。综上，清楚了啊，必须检验 a 等于二分之一， b 等于负二分之一。这个第二题啊，有一定难度，但是还好，主要是第三问。这个第三问的话，大家注意一个问题， fx 存在极值， 而且是零到正无穷上。首先我们高中学的这样一些函数肯定是连续的，零到正无穷的，开区间是连续的，并且存在极值。哎，比如说这是 x 等于零，然后呢？ 一直往后边一直单调递增行吗？没有，没有极致啊。那从零这个地方一直单调极递减可以吗？没有极致。有同学说，老师，零这个地方难道不是极大值吗？不是，因为零这个地方，人家画的是空心，人家画的是什么？开去减，那怎么办？ 所以，如如果他有这样一个类似这个点，不就是吉他值了吗？哦，清楚了，那 f 零这个点左边是不是单调递增的，右边是不是单调递减的？那左边所对应的图像？哦，清楚了，他所对应的导航数不就小于零吗？那 x， 哦，应该是大于零啊， 那 x 零的右侧呢？那所单调递减的话，对应的导函数就是小于零。那如果我们要画出 f、 p、 r、 x 的草图的话，这是 x 零吧。哦，就变成这个样子了呀。 x 零的右边导函数，它的草图是负的，是在 x o 以下的 x 零左边零到 x 零之间，它呢是单调底层。哦，我知道了，也就说这个位置得变号吧，当然也有可能是极小值啊。极小值的话，那我们如果要画这个 f 片的图像，其实也简单 啊，需要干嘛？哦，左边是负的，右边是正的，也行吧，那不就变成了 x 零左边是单调递减。 哦，然后 x 零右边呢？那不就变成了单调递增了吗？此时 x 零就是极小之点。清楚了，那你说这两个导函数，他究竟是什么意思啊？ x 零要么是这样的，要么这个导函数呢？是这样的，这两个都是导函数的草图啊。哦，我清楚了，他 不仅得保证导函数有零点在这个范围内，还得保证这个零点左右两边这个导函数的值必须是一正一负或者一负一正。我知道了，有零点，这个零点叫做什么点？叫做变号的零点，清楚了吧？ 那我们接下来分析一下就行了。看看清楚了啊，来看好了，因为他在零到正无穷上存在极致点，其实完全等价于导函数。在零到正无穷上存在变号的零点， 如果是不变号零点会有什么效果？比如说 u x 零这样一个不变号零点，左边的导函数和右边的导函数呢？都是怎么样的？都是正的，只有 x 零的位置导函数是等于零，那此时他永远单调递增啊，因为 f、 p、 r x 永远大于等于零， 此时符合要求吗？此时肯定是不符合要求，他在零到正宫球上一直单调递增，所以没有起直点，所以知道为什么要变号了吧。变号这俩字非常非常关键啊，很关键，那么接下来看好了，求导呗。求导， 让他等于零等于零，你别着急哈，等于零的话，因为我发现就是这个方程里头啊。等于零的这个方程里头， 他只有一个位置有 a 吧，其他位置还有参数 a 吗？没有参数 a 了，并且他求的就是 a 的范围，所以你为什么这个地方你不分离参数？知道为什么要分离参数吧，因为 不管是圆函数还是导函数，只有一个位置有小 a， 所以我们稍作整理啊。稍微整理一下这个方程等于 零的方程，我们把 a 单独拎到左边，然后呢，含 x 的这些部分呢？单独写到右边，这就是餐边分离了，所以接下来清楚了哈。左边的话，其实就是 y 等于 a， 当然随着 a 的变化，它是一条水平的线，可以往上平移，可以往下平移。右边呢？ 那右边你就理解成一个函数吗？清楚我的意思吧，只要 y 等于 a 跟右边这个 hx 跟右边这个曲线有焦点就行，因为是变号零点，所以必须是穿过去的焦点什么意思啊？比如说哈，右边 这个曲线我写成 hx。 假装啊，我也不知道假装他的。呃，其大值或者极小值。看清楚了啊，比如说有一个上线，比如说这个上线是四，有一个下线， 比如说这个下线是零。哦，我清楚了， y 等于 a， 必须正好穿过去才行。清楚了哈，那如果存在这种情况呢？ axx 长这个样子啊，这个点正好插过去了行吗？不行，这个不是穿过去， 必须是怎么样的？变号零点就意味着什么？意味着 x 轴穿过去了哦， y 等于 a， 这条水平线也必须正好穿过去的，不能擦过去，不能相切。清楚了啊，必须是穿过去的。 那好，接下来怎么办？不就是分析这个函数的单调性呀，或者值域这些东西吗？好了，接下来第二步分析。分析哪个函数？就刚刚这个函数吗？右边这个函数对吧？好，求到。 求导的话，这个还是简单的哈，因为这个分子先撇分子的话很简单啊， x 加一，先撇他， 那就是 low n x 加一，然后呢，再加上 x 加一，再乘 x 分之一，这不就是一吗？然后再撇这个负 x 就负一，所以说这个分子求到就得他先撇分子啊， 然后再撇分母，再撇分母，不就是二倍的 x 再长整体这个样子吗？然后呢，你一化简很简单啊，这可以消掉一个 x， 这可以消掉一个 x， 下边就变成 x 三次方，最终整理一下就变成这个结果。那有同学就要问了，老师，你为什么偏偏要变成这个结果？因为变成这个结果之后，更容易分析他的正负。 首先我们 x 是大于零的啊，好，所以 x 三次方是正的，那既然 x 大于零的话，那 x 加一更加大于零，他也是正的。所以接下来我们是不是只需要讨论方块里头 这个函数，这个式子的正负俩，所以方块里头，那我们怎么办？你来个 five 就可以了。怎么研研究他的这个正负呢？嗯，先求导吧。嗯，先求导，求导完了之后的话，我们发现 哦，这是正的，因为 x 大于零，哎，这个也是正的，这个 x 方还是正的，所以啊，它这个，嗯，导函数 它是正的，导函数是正的，那不就意味着它肯定是大于零的吗？你说是不是这个道理啊，也就是说我这个 f i x 这个整体，它横大于零， 也就是说这是正的吧，没问题，方块是正的哦，分母是正的，他也是正的，三个正的，别忘了前头还有个负号呢，所以就是因为这个负号的存在，我们这个 h 片是小于零的，能理解这个意思吧。那接下来 h 片小于 为零，就意味着 h x 在零到正物球上单调递减，那单调递减的话意味着什么？你应该知道我的意思了，所以单调递减的话，我们只需要哦，求一下他，虽然这个地方没有定义，但是你可以这样啊， 看好了哈，这就是 h x 这个曲线这个解析式，当 x 等于零的时候呢，有一个很尴尬的地方， 不能等于零，所以要用洛比达法则吧，你可以让它趋近于零啊。你看，当 x 趋于零的时候，分母是趋近于零的， 然后整个分子也是，你不信代入哦，整个分子也是当 x 零的时候哦， low n e， 这不就零吗？零减零，整个分子和分母都是取决于零的，所以分子和分母应该同时再求到吧，零比零型的诺贝尔 法则。那分母求导的话很简单， r x， 那整个分子求导我一开始也说过了，就得 low n x 加一来，这是不是还是零啊？ 然后当 x 一零，这是不是还是零啊？零比零型或者无穷比无穷这样一个狮子呢？我们坚持继续用洛布达法则，分子分母同时求导来看好了， 现在分母求导得多少得二是个常数，分子求导得 x 加一分之一，因为此时的分母已经不是零了，没有零比零或者无穷比无穷了， 他呢？也不是了。所以当你把 x 等于零代入的时候，这不就是二分之一吗？清楚了吧？来。那么 x 趋近于正无穷的时候，我们是不是也要得呀？因为 h x 我们已经得出来是个单调递减的函数了。当 x 趋近于无穷的时 时候，我们给它变一变样子，就很容易看出来。首先，当 x 运营无穷的时候，这是 x 的一次式，这也是 x 一次式，它前头系数啊，都是一，所以一比一的话，这部分它的极限就是一。 那么这部分的极限呢？这部分极限其实就是零，无穷分之一几乎就是零了，就是零啊，对吧？他的极限是零，减去零嘛，就不用管他了。那我们是不是只需要研究现在画圈这一部分，他的极限是多少啊？ 这个极限好研究吗？我们学过对数增长是很慢的，他不可能有 x 增长快，他的增长比他高了整整好几阶， 是不是他是高阶的，他是低阶的，所以高阶分值。哦，我知道了，他就是零，清楚了吧？所以一乘零，再减去零，零减去零，你说最后结果是不是零？也就是说 我们这个 h x 草图如果要画的话，比如说这是 x 等于零啊，来一直要减，一直要减，一直要减，他最后可以无限的接近于谁，可以无限的接近于零，但是永远取不到零，他还是个单调递减的函数， 所以清楚了吗？当你把右边这个 h x 都画出来了，这不就 h x， 然后呢，左边这个 a 清楚了吧？左边这个 a 你穿过去必须是正好穿过去的啊。编号零点等于有穿过去的焦点， y 等于 a， 左边这个函数值不用多说，这个空心点呢，就是零。逗号，二分之一在这呢。哦，所以 a 的范围是多少？所以说 a 的范围不就是大于零，但是得小于二分之一吗？那最终参数 a 的范围就求出来了，应该没问题了吧。 最后我们总结一下，尤其是这个第三问，这个第二问的话，我们可以根据什么？可以根据定义域的对称性，先把闭合一求出来，然后再检验，一定不要忘记检验。那么第三问，我们总结一下， 当方程或者说不等式中只含有一个参数的时候，我们首先考虑分离参数，你看 他原函数只有一个位置有 a， 八求完导以后也是只有一个位置有 a， 所以我们考虑把 a 单独写到左边。右边呢，是含有 x， 非常复杂的一个式子，讨论右边就可以了是不是？那么第二点要注意的是这道题啊， fx 在某一方面有极致点，它等价于导函数有变号，零点，这个变号很重要，你说对不对？清楚了啊。分享课堂知识，感受书学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

各位同学大家好，今天呢，我们来精解一下二零二一年全国以卷的文科事例。好，我们看 下呢。第二十三题啊。第二三题呢，是一个绝对值函数啊， fx 等于 x 减一的绝对值，加上 x 减加三的绝对值。 大家注意啊，一旦遇上绝对值，我们一个最主流的方法就是零点分段法。就是呢，让两个绝对值分别得零，找到他的零点。第一个，当 a 等于一时，求这个不等式 fx 大于等于六的剪辑。 第二个弱 fx 大于负 a， 求 a 的取值范围。这个呢，我们用的就是反客为主的方法。好，第一步注意啊，单 a 等于 一时，那么这个 fx 大于等于六呢，就等于这个式子了。所以注意 我们呢，给他进行零点分段是吧，零点分段。那么当 x 小于等于负三的时候，就变成这个不等式，解得 x 小于等于负四。注意啊，你还要把 x 小于等于负四跟 x 小于等于负三取交集 对吧？哎，交集确实是 x 小于等于负四，那么中间的这这一块啊，中间的当 x 大于负三小于一的时候，不等式变成这个样子。那么你解吧，解不出来，因为你这个 x 消掉了，变成四大于等于六。这怎么可能呢？荒谬是吧，是 x， x 属于空隙，当 x 大于等于一的时候，就这部分，那么这个不等式就变成这个了。解得 x 大于等于二，注意又得大于等于二，又得大于等于一。所以怎么样大于等于二就可以了。所以中上呢，这两个取一个并极 解题，就是小于等于负四，或者大于等于二。好了。好。第二问，若 fx 呢？大于负 a， 也就是我们只需要怎么样呢，让 fx 的最小值大于负 a 就行。那么大家注意啊，其实啊，我们说这 我们初中如果学过的话啊，这个最小值呢，应该在负三到 a 之间取得啊，我们把那叫平底锅模型是吧，在这呢，我们直接用啊，这个绝对值的三 三角不等式就可以了是吧，就大于等于这两个相减的绝对值。好，那就等于什么呢？ a 加三的绝对值。那 等号什么时候取得呢？当且紧当这两个数怎么样？一号或者至少有一个为零。什么叫一号或者至少有一个为零呢？就是相乘小于等于零吧，这个时候等号成立 好，所以他最小值就是 a 加三的绝对值。那么 a 加三的绝对值大于负 a 啊，就得到了 a 加三小于 a， 或者 a 加三大于负 a。 综合的解出来就解出来了，这个 a 是大于负的二分之三的。所以大家注意啊，像这种绝对值的不等式的问题，在我们初中阶段实际上就训练了很多了。所以初中阶段呢，刻意的去做一些 比较难的题啊，甚至一些个竞赛的问题，那么对后面是大有弊益的。好，那么这道题我们就给大家讲到这里。