赵爽外弦图证明过程

今天我们学习的是弦图法，也叫赵爽弦图是由三国时期的数学家赵爽首先发明的，弦图法最初的用途是用来证明股骨定理，感兴趣的同学可以自己证明一下。后来在发展的过程中发现弦图法还可以解决一些其他的集合问题，那么今天我们就来学习一下。 首先我们来记一下弦图法的结论。在正方形中，从顶点出发，画出四条相互垂直的线段，得到四个直角三角形和一个小的正方形。 那么首先这四个直角三角形是完全相等的，这个根据三角形的全等条件，可以很容易证明。第二个结论，我们设直角三角形的长直角边为 a， 短直角边为 b， 那么每一个直角三角形的面积就是 a 乘 b 除以二，中间小正方形的面积就是 a 减 b 括起来的平方。下面结合这 一道例题，我们来看一下显图法的具体应用。四边形 cdef 是正方形，四边形 abcd 是等腰梯形，它的上底是四厘米，下底是八厘米，求阴影三角形 ade 的面积。我们来看一下要求的阴影三角形，我们知道底边是四厘米， 然后我们做出他的高，如果能求出这个高的长度，那么我们就能求出他的面积了。刚才这个做高的过程是不是就是从正方向的顶点出发做垂线，这不就是显图法的做法吗？那么我们就继续按照显图法来构建辅助线， 这其中蓝色线段的长度都是相等的，我们能求出其中任何一条就能知道这个高的长度了。那么从图中来看，这个蓝色线段的长度还是不太好求我们再来看已知条件。四边形 a、 b、 c、 d 是一个等腰梯形，那么我们从上底的两个顶点 做垂线，根据等腰梯形的对称性，下底两端的这两段线段是相等的，他们的长度是八减四除以二等于二厘米。 然后我们再来看等腰梯形，这条右边的垂线跟我们弦突法的辅助线正好形成了一个长方形，所以我们就可以得出来，图中所有蓝色线段的长度都是相等的， 那么我们要求的阴影三角形的这个高就是二厘米，现在底边也知道了，高也知道了，那么阴影三角形的面积就等于四乘以二除以二等于四平方厘米， 这就是显图法的应用。下面来看另一道练习题，可以将你的答案写在评论区，我们下节课再讲，关注王老师学习新知识！

我是陈子老师，今天我们来完成重要不等式的图形证明，这时候我用的是九张算术里面的赵爽贤图来完成重要不等式的证明。通过对图形的认识，我们会对重要不等式的认识更加的具体生动。 好的，现在我们令这一个直角三角形边长分别为 ab， 那么根据勾股定理就可以得到斜边长度为更好， a 方加 b 方，从而得到正方形的面积是等于 a 方加 b 方的，而四个直角三角形的边，而四个直角三角形的面积之和就等于四乘于二分之一 ab。 岛屿二 ab， 可以发现中间有一个白色区域，这个白色区域的出现意味着什么呢？意味着正方形的面积是要大于四个直角三角形的面积之和的，那么他们的面积有没有可能是相等的呢？当然是可能的， 现在老师来增大一下 a 的长度，当我们不断的增大 a 向 b 靠近，当 a 等于 b 时，你可以发现中间的白色区域消失了，就意味着正方形的面积 a 方加 b 方等于四个直角三角形面积之和二 ab， 从而得到重要不等式的成立条件。当 a 等于 b 时， a 方加 b 方等于二 ab， 这就是用赵爽贤图来证明重要不等式，你都学会了吗？给我一个小心心哦！

学员勾股定理之后呢，大家对赵爽贤徒应该就非常的熟悉了啊，那么赵爽贤徒呢，在我们的这个试卷中呢，经常会以这个数学文化类的问题出现，那今天呢，我们就来看一个赵爽贤徒，他的一个应用啊， 来看用它如何去求这个线段长啊，或者呢也有可能会求这个面积啊。好，那先来看一下这个题， 这里呢，先给了一个赵爽贤图啊，那么这个图呢，大家都知道啊，它里面呢是有四个全等的直角三角形和中间这一个小正方形，然后把它拼接成了一个大的正方形。好，这里告诉了啊，小正方形的边长是三， 然后大正方形的边长呢是十五，问的是什么？一个直角三角形他的周长是多少？那你就来看这个直角 三角形，那你会发现啊，对于哎三角形 abc 来说，要求他的周长其实就是这里的 ab 加 bc 加 ac， 那么这里呢，我们不知道的是这一段长 ab 对吧，以及 bc 这一段唱，那么 bc 和 ad 这两段唱又是相等的啊，为什么呢？因为我们说了啊，这个三角形和这个三角形是全等的吗？ adbc 对应编好，所以说其实关键就是我要把这里的 ad 和 bc 给他求出来。 那这里呢，你可以利用我们当时通过这个赵爽贤图来推勾股钉里的那个思路，也就是说分别求出这四个三角形加中间这个正方形的面积和等于大的正方形的面积，去推列一个方程啊，那这里你把 bc 设为 x 对吧？ 除此之外，还可以怎么做呢？更简单的办法，直接利用 abc 这个直角三角形勾股垫底就可以解了，你来看一下，我把 bc 设为 x， 这里的 ad 也是一个 x 好了，直角边的平方和等于斜边的平方， 哎，我是不是就列了一个关于 x 的一个一元二次方程，所以接下来我们去解这个方程就行了，那这里我就直接把答案写出来了， x 一解出来是九， x 二呢是负十二啊，那显然这个负的我们要舍掉了，所以 最终呢，我们得到啊，这个 bc 的长就是一个九，那么要求的这个周长也就是三加九加九再加一个十五，由此我们就可以得到，这个周长呢是一个三十六啊，周长三十六。好，那么这道题我们就讲到这， 接下来依然给同学们留一道以赵爽娴图为背景的问题。那么这个题呢，要求的是这里大正方形面积和小正方形面积之比是多少，自己去做一下吧。

如果你听说过勾固定理，任意画一个直角三角形勾，先满足以下关系， 复制直角三角形，画一个边长 vc 的正方形，在三角形中，角一加角二等于九十度，放入正方形， 得到赵爽显图，又称外显图。中间四边形四个角都是直角，边长大减小等于 a 减 b， 所以中间四边形式正方形面积为 a 减 b 的平方三角形面积为二分之一 ab。 四个三角形和一个正方形加在一起， 正好等于大正方形， 完全平方公式展开画件替换 消去，看懂了吗？

古人如何验证勾股定理？东吴数学家赵爽的赵爽衔图。我们将四个直角三角形涂色组合，就构成了一个大正方形。标记三角形的三条边，可以得知小正方形的边长为 b 减 a， 那么大正方形的面积就等于小正方形加四个三角形的面积，也就是整理得出 c 的平方等于 a 的平方加 b 的平方。关注我，一起进步！

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勾三股四、弦五，大家知道对吧？弦指的是什么？斜边，斜边，对，所以斜边朝外，叫外弦。 呃，张亮，我说，我说，这个模型其实隐自于弦图，对吧？所以这幅图大家想，如果我把 df 延长出来，郭 c 再做一条垂线，其实他是什么？弦图，嗯，十块钱，嗯， 那行吧，那行，生病了，那行，不是三角形朝外吗？ 哦，因为有天开始分成了第一，最后一波同学说弦途是啥？这是内弦还是外弦？这外弦啊，外弦。为什么？为什么这叫外弦呢？他说这个内弦外 块钱怎么分？先说一下啊，什么叫闲图？我们小学里面应该确实确实不怎么会讲这个东西，除非你真的去研究这个图形里面有些额外的课程里面会讲啊，在哪个地方会正式讲东西呢？在那个勾股定理的证明里面会讲这个闲图，因为，呃，目前为止我们中国的学生 学购物定理最常见的考试性的东西。那个赵爽先涂，赵爽啊，就正完，就非常爽啊，叫赵爽，他是怎么正的呢？他就搞了两个就这样子的图。 这个弦呢？大家知道有一句话，你可能别的这些东西你都没听过，但是有句话是勾三鼓四、弦五，大家知道对吧？弦指的是什么？斜边，斜边，对，所以斜边朝外 叫外斜，斜边朝着外短，有的斜边会朝内，那就叫内斜。

好，接下来我来演示用赵爽学徒来证明勾股定理的这个直观演示过程。 接下来摆在我桌面上面的这两个正方形是我任意剪出的。也就是说这两个正方形他们的边长 事先是没有设定好的，是我任意给出的。如果我们把这个大正方形把这个大正方形的边长设为 a 的话，那么这个大正方形它的面积显然就是 a 的平方。 如果我们把这个小正方形他的边长看的是 b 的话，那么显然这个小正方形他的面积就是 b 的平方。那么现在大家可以想象一下， 如果我们我们把这两个正方形慢慢的向中间靠拢的话，那么此时呈现出来的这个新的几何图形，它的面积就是 a 的平方加上 b 的平方。 实际上我们知道 a 的平方加上 b 的平方，它实际上就是勾股定理的左边。 接下来我们在大正方形、大正方形的这条边上 截取一条，从左侧截取一条线段，让他和小正方形的边长相等，从这个位置开始截好。接下来 我们从这个边，从这个位置沿着这条线剪出一个三角形。然后第二步再沿着这条线剪出一个三角形。 此时我们会得到两个小直角三角形。实际上我们知道这两个直角三角形他们是全等的，并且我们知道这条边这条边是 a， 这条边是 b。 当我们把这个三角形放在上方的位置，再把另外一个三角形放在右侧 时，我们会发现这五小块几何图形，他会被我们拼接成一个全新的正方形。 哎，这个正方形他的边长刚好就是我们之前剪下来的这个直角三角形的斜边。 哎。刚才我们得出的这个 a 的平方加上 b 的平方，他实验就是我们解下来的这个直角三角形，他的两条直角边的平方。哎。当我们拼接以后，我们会发现 这个新的正方形，它的面积就是刚好就是这个斜边的平方。从而我们就证明了勾股定理， a 的平方加上 b 的平方等于 c 的平方。

初中几何模型之勾股定理这一讲，我们一起来学习。赵爽贤徒难度星级三颗星 赵爽贤徒三国时期，吴国的数学家赵爽创制了这幅赵爽贤徒， 他用竖行结合的方式，最早完成了对勾股定理的证明。我们可以来看这个图，图中有四个全等的直角三角形， 那么我们根据正方形与直角三角形之间的等级关系。嗯，我们可以得出小的正方形这个白色正方形的面积，他是等于 大正方形的面积，减去四个直角三角形的面积啊。我们可以根据这个关系列出 b 减去 a 的平方，等于 c 的平方减去四倍的二分之一 ab， 那么化减可得 c 方等于 a 方加 b 方。这也就是大名鼎鼎的勾股定理。 我们来看赵爽贤徒对应的例题。第一题赵爽贤徒巧妙地利用了面积关系，证明了勾股定理，是我国数古代数学的骄傲。如图所示，赵爽贤徒是由 四个全能的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长，直角边边长为 a， 较短，直角边边长为 b。 若 a 加 b， 整体的平方等于二十一，那么大正方形的面积为十三，则小正方形的面积为。 我们来看简历说明根据这个图形的面积关系，我们依然可以得到小的正方形面积等于大的正方形面积，减去四个直角三角形的面积。 嗯，我们可以得到 a 减 b， 整体的平方等于。那么 a 减 b 呢？代表的就是小正方形的边长。 a 减 b 的平 平方等于 c 方减去四倍的二分之一 ab， 也就是四个直角三角形的面积。 c 方呢？我们代表大的正方形的面积。 那么这个试着等于十三减去二倍的 ab。 十三呢？也就是等于 c 方大正方形的面积减去二 ab。 二、 ab 代表的是四个直角三角形的面积。 我们将上面的柿子展开 a 减 b 的整体的平方。 嗯，把它展开，可以得到 a 方加 b 方减二 ab 等于十三减二 ab。 那么我们可以通 通过这个试试得到 a 方加 b 方等于十三。实为第一是由题得 a 减 b 整体的平方等于二十一啊。题题中的条件， 我们将这个式的展开，可以得到 a 方加 b 方加二 ab 等于二十一。又有 a 方加 b 方等于十三。也就是将一式带入二十，我们可以得到二 ab 等于八。 那么 a 减 b 整体的平方，它是等于 c 方减去 r、 a、 b 的。由我们最初的这个式的导出。 嗯，十三减八等于五。所以呢， a 减 b 整理的平方就等于五，也就是说 小正方形的面积，它是等于五的。那么这道题的答案为选项 c。 第二题二零二零年湖南娄底中考真题由四个直角边长分别为 ab 的直角、三角形围成的赵爽闲图如图所示， 根据大正方形的面积， c 方等于小正方形的面积。 a 减 b 整体的平方与四个直角三角形的面积。二、 ab 的和证明了勾股定理 a 方加 b 方等于 c 方。 还可以用来证明结论若 a 大于零， b 大于零，且 a 方加 b 方为定制，则当 a 控 b 十 ab 取得最大值。 我们来看，若 a 方加 b 方为定制，我们不妨设这个定制为 k。 嗯，我们第一步呢，想办法将 ab 表示出来， 那么因为 c 方等于 a 方加 b 方， a 方加 b 方为定制 k， 那我们的 c 方也等于 k。 有面积关系。可知四个直角三角形的面积是等于大正方形的面积，减去小正方形的面积。那么我们可以根据这个关系列出等式。 也就是说四乘以二分之一， ab 等于 c 方，减去 a 减 b 整体的平方等于 k， 减去 a 减 b 整体的平方。那么一项化减得 a， b 等于二分之 k 减 a 减 b 整体的平方。 这样我们就将 ab 表示出来。要使 ab 的值最大，那么折需是 a 减 b 整体的平方值最小。那么又因为 a 减 b 整体的平方是大于等于零的， 当 a 等于 b 时， a 减 b 取得最小值。所以呢，当 a 等于 b 时， ab 呢也取得了最大值。 那这个空我们要填等号。这就是这一讲的所有内容。下一讲我们继续讲关于勾股定理的其他数学模型，我们下一讲再见。

同学你好，这个视频我们来学习一下勾股定理之赵爽衔图。我国古代对勾股定理是如何证明的呢？ 左边这个图是弦图，他怎么来的呢？是赵双老先生找了四个一模一样的直角三角形拼成的，拼成的这个大的图形是一个正方形，而且里边的这个小的图形也是一个正方形。 那如何根据这个图证明出勾股定理的呢？哎，这段古文其实就是通过面积分析完成了勾股定理的证明。你来看大的正方形的面积，就可以看作由四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积得到的。 如果以直角三角形、短直角边设为 a， 长直角边设为 b， 斜边设 为 c 的话，那么就可以表示出直角三角形、小正方形和大正方形的面积啊。直角三角形二分之一的底乘高再乘以四小正方形面积就是看着 b 减 a， 长直角边剪短直角边就是小正方形的边长了。 b 减 a 的平方表示面积，那大正方形的面积呢？就是 c 的平方。那进一步把括号打开，合并同列项，就可以得到 a 方加 b 方，等于 c 方完成了勾股定理的证明，你听懂了吗？ 那赵老先生是如何想到用这种拼接方式得到勾股定理的呢？哎，我们来简单说一说，有两个正方形边长分别为 b 和 a， 那么他们的面积和就可以表示为 a 方加 b 方了。这个时候同步 在右边我们画一个图，一起来验证一下啊。我在左边这块以 b 减 a 这段看着这段的长度就是 b 大正方形的边长减去小正方形的边长， b 减 a， 构造出一个小正方形。 构造出小正方形以后，你注意这段的边长是不是可以表示为 a 啊？为什么呢？整个大边长是 b， 减去这段 b 减 a， 就剩了 a。 好注意，这个时候做一个切割，怎么切割呢？沿着小正方形的这条边向下做一个切割， 切割完了之后，看着我这形成了一个长方形，这个长方形长是 a， 宽是 b， 下边这也形成了一个长方形。这个长方形也很有意思，他的长看着这段可以怎么表示？ 其实就是 b， 为什么呢？因为这段是 a， 整个最大的这条边就是 b 加 a 啊，那 b 加 a 再减 a 不就是 b 啊？ 长是 b， 宽是 a， 所以这个长方形和这个长方形是一模一样的。把这两个长方形的对角线连接起来，长度呢？设为 c。 好了，接下来把外边的这两个直角三角形进行如下的变换，看着这个动态变换的过程，一拼，哎，就拼接成了。 拼接成了以后，我们得到的这个图形其实就是一个正方形了，那边长呢？就是原来的两个长方形的对角线，设为了 c， 那它的面积呢？就表示为 c 的平方，所以我们就验证了两个 正方形的面积和是 a 方加 b 方。重新拼接组合完之后，得到了一个正方形，面积是 c 方啊，那 a 方加 b 方，自然就等于 c 方，勾股定理就得以验证了，这就是赵爽老先生发现衔图的过程，最终完成了勾股定理的证明，你听懂了吗？ 白泥道，这有一个弦图，四个一模一样的直角造型，中间是小正方形，外边是大正方形，已知 a 乘 b， 也就是两条直角边的乘积是八，大正方形的面积还是到十二十五？求小正方形的边长。那这个怎么做呢？一定是面积分析法， 四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积，进一步可以根据方程去求解编程，你可以暂停视频试一试。 好，时间差不多了，先来对一下答案，答案是三，怎么得出来的呢？我们把已知条件标一下， 长直角边是 a， 短直角边是 b， 能不能表示出中间小正方形的边长啊？就是 a 减 b， 所以 a 减 b 就是我们要求的目标值了，那这个值如何去求啊？我们可以根据已知的 ab 还有 a 减 b 分别表示出面积。 我们知道二分之一的 ab 乘以四，四个直角三角形的面积加上小正方形的面积， a 减 b 的平方就等于大正方形的面积二十五啊，那 ab 你还知道等于八，那代入就可以了吗？来，我们目标要求 a 减 b， 不能直接求，但是求出了 a 减 b 的平方等于九啊，谁的平方等于九？按道理 a 减 b 应该等于正负 三，因为这是一个实际问题，求的是边长，所以 a 减 b 直取正的这个三就得出小正方形的边长是三，你听懂了吗？百年二道，请你暂停视频试一试这道题。 好，时间差不多了，我们来讲解一下，先对下答案，答案是六，你做对了吗？怎么得出来的呢？一点一点分析啊！题目中告诉了我们， a、 b 大正方形的边长是十， 小正方形的边长 e、 f 是二，请问这两个正方形的边长告诉你了，你能求什么？是不是求面积？那知道大正方形的面积就是十的平方一百，小正方形的面积二的平方四。那进一步又可以推出什么？ 四个直角造型的面积和就可以求了吧。哎，就是一百减四等于九十六。好了，那这个时候我们 们要求短直角边 a、 h 的长啊，那知道四个直角三角形的面积，那不妨可以把短直角边和长直角边分别设出来，设为 a 和 b， 那四个直角三角形的面积就可以列 a 和 b 的式子去表示，二分之一的 a 乘以四等于九十六， 简单化解一下，二倍的 ab 等于九十六。好，那知道这一个式子，我就想去求 a 短直角边的长度， ah 能求出来吗？求不出来啊，所以我们进一步需要挖掘已知条件就是 a 和 b 还有没有别的关系。 当然有了， a、 b 还有这个大的 a、 b 斜边是不是构成了一个直角三角形啊？直角三角形三边满足勾固定理啊， a 方加 b 方等一百，那这个问题其实就转换成了，我知道 a 方加 b 方 和 a 乘 b， 要求 a、 b 各自的值，好不好做呢？还是挺好做的。 二、 a b， a 方加 b 方。联想什么完全平方公式吧。很明显啊， a 加 b 括号整体的平方就等于 a 方加 b 方加二， a， b 等于一百九十六啊，直接代入具体的数值。 好，那我把 a 加 b 开方开出来，其实就是十四，因为是实际问题啊，所以肯定取正的十四啊，负十四肯定自然不考虑了。那现在呢？题目中 a 加 b 的关系是十四， 你其实还知道 b 和 a 差的关系，也知道啊，小正方形的边长是二，就是长直角边剪短直角边推出来了，那进一步 a 加 b 和 b 减 a 都知道构成了 方程组，求解方程组得出 a b 具体的值，那最终我们就可以得出短直角边 a h 的长就是六。那这道题你做对了吗？ 最后总结一下啊，关于赵爽衔图去证明勾股定理核心还是面积的分析思路，四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，就等于大正方形面积。其中有一点啊，你需要记住， 中间小正方形的面积的边长是怎么表示的呢？就是直角三角形的长直角边减去短直角边表示出来的。那这个视频就到这里，你学会了吗？