在0到2分之π上x和sinx哪个大

上个视频我们用 x 大于零，小于二分之派的时候，散 x 小于 x， 小于 tangent x， 进行放缩来比较他们的大小。今天我们来看另外一种构造方式。 如果把四分之一看成是 x 的话，那么 b 就等于抠散 x。 a 他可以写成一减三十二分之一，那么四分之一的平方是等于十六分之一的。 这里三十二分之一就是二分之一 x 方，所以这个可以构造成一减二分之一 x 方。熟悉泰勒的同学应该已经看出来我们是要构造 哪一个不等式了。这里是利用当 x 大于零时，扣三 x 大于一，减二分之一 x 方。我们这里还是给出他的证明， 构造一个 f x 等于把这边移向到左边，那就是扣三 x 加二分之一 x 方。再减一 x 大于零，对它求导， f x 导等于负，散 x 加 x。 由于在 x 大于零的范围内，三 x 是小于 x 的，所以 x 减去三 x， 它就大于零。于是 f x 在 零到正无穷上是单调递增的，所以 f x 大于 f 零。我们把零带入进去，等于扣三零加零减一， q 三零等于一，所以这里等于零。那么证明了 f x 大于零，我们就可以得到 q 三 x 大于一，减二分之一 x 方。所以 b 等于扣散四分之一大于一，减二分之一乘四分之一的平方， 就是三十二分之三十一等于 a。 这里我们就又得到了一个重要的放缩不等式。当 x 大于 零的时候， q 三 x 大于一，减二分之一 x 方。大家可以把这样两个放缩的不等式记住，对于在小题当中利用他们来得到不等关系是比较有帮助的。

同学们好，我是罗老师，今天咱们来看一下这道题， x 分之三应 x 的极限是什么？ 当 x 接近于无穷大的时候， x 分之三引 x 的极限是零。好，接下来咱们讲解一下这道题，也就是为什么 x 趋近于零的时候， x 分着三引 x， 他的这个极限等于一呢？好，咱们发现 x 接近于零的时候，三引 x 除以 x， 他其实呢就是一个啊，零比零形这样一个结构，所以 x 分之三引 x， 在 x 接近于零的时候，他的这个极限，咱们就可以写为 第一名 x 接近于零，三引 x 的导数除以 x 导数，那么也就为第一名 x 接近于零的时候，扣三引 x， 他的这个极限。你看， x 接近于零的时候，口三引 x， 它其实呢是接近于一的啊，因此咱们这个地方呢，就等于一啊，因此当 x 接近于零的时候， x 分之三引 x 极限，它是一是没有问题的。 好，咱们再来看 x 如果是趋近于无穷大的时候啊，那么 x 分着三引 x， 他为什么是等于零呢？首先我们知道 x 接近于无穷大，那这个三引 x 他还是一个 有界量，他的这个范围呢，仍然是负一到一之间，但是 x 接近于无穷大的时候， x 分之一呢，他就是无穷小量，也就是接近于零的。好，所以咱们这个极限呢，就可以给他看为 x 接近于无穷大时， x 分之三以 x， 可以写为 x 分之一乘以三以 x， 也就等于零啊，那这个呢，就是 x 接近于无穷大时， x 分之三以 x， 它的极限是零的原因。 好，最后来总结下这道题，那我们这道题要写对呢，我们需要掌握极限啊，求的一些方法以及我们常用的若必达法则能理解吧。好了，今天就到这儿，感谢大家，咱们下期再见。

这道题 x 位于零到二分之派的时候呢，我们学过这样一个不等式三因 x 小一等于 x。 然后我们来看三因，三因 x 肯定也是小一等于三因 x， 但这个等号不横等。我们两边带零到二分派积分，可以得到这样一个积分不等式。而零到二分之派三因 x 积分是一，所以 m 小一 n 呢？是这样一个式子，我们做一个变量替换，再用诱导攻势可以把它化解成这样一个结果。而 cosa x 在零到二分派是单调减的，所以 cosansax 应该是大于 cosax。 而右边这个积分也是一，可以得到 n 大一。答案选 a 选项。

有朋友分享了这样一道题目，当 x 属于开区间零到二分之派时，让你比较这两个函数的大小。 我们观察这个 tanging 的三英 x， 我们只要这个三英 x 大于四分之派，那么你这个 tanging 三英 x 就大于一， 但是你这三印贪军才是永远小于等于一的，对吧？通过这个观察，我们有理由做一个猜想。我们猜想 tangent 三印是大于三印 tangint 的，我这个猜想至少是部分成立的是吧？ 我在第一种情况，我限制 x 的范围是吧？我这个猜想在部分的 x 的去制，他一定是成立的。我让 x 大于 r x 三四分之派是吧？我把 r x 三竟然写成这个样子 啊。 x 三音，我让 x 大于二， x 三 e 四分之排，也就是 x 在这个范围里面的时候，那么此时这个三引 x 就大于四分之派对吧？四分之派小于三引， x 小于一两边 tangent 一小于 tangent， 三 e 小于弹指特意 是吧？那由这个观察猜想部分成立了吧？所以呢，在这个范围里边，我们就有弹指特塞印 大于等于一，从而大于等于三，应的 啊。只要你这个 x 在这个范围，我这个猜想就成立，但只是部分成立对吧？那么你这个题目是要在整个这个零到二分之派的开区间上，所以我们还要考虑 其余的情况。也就是 x 属于零到阿克森四分之派的时候， 那么 x 属于他的时候，我仍然相信我这个猜想是成立的。那我现在就来想方设法去证明我这个猜想对吧？那怎么证明呢？我们 要证明贪政策，三眼大于三眼贪政策，那我就做差证明他大于零呗，是吧？这是很朴素的想法，很直接是吧？令 f 等于贪政策。 say 减一个 saying 弹句子。 好，我希望他大于零。 我猜想他大于零。那么用什么来保证我这个猜想成立啊，是吧？只要这个 f 单调增不就行了是吧？ 是吧？你注意零就是 f 零对吧？零就是 f 零，零就是 f 零 是吧？我只需要保证我这个 f 单调增我这个菜型就能成立。那么 f 单调增用什么保证啊？ f 单调增用 f 撇的大于零来保证是吧？ 所以下一步我们就想办法证明在零到阿尔克三也四分之派上这个 f 撇是大于零的。那么为此你就先得算 f 撇对吧？那就是求导。我们按部就班的来求导 f p x 求导弹紧他，求导 seg 给他平放， 里面三引三引，再取对 x 球的扣三引减去三引球打扣三引弹指特 看见他对 x， 求导 c 跟他平方，这是基本的求导对吧？好，那么切割一定要划线，三角函数里面 你遇到切割一定要划弦，正正割鱼割一定要划弦，那么切割划弦，然后你得同分对吧？分母有一个扣三印的平方，三印 扣三印的平方。 x 分子上有一个扣三印三次方， 减去 cosa and tangent 扣三眼平放三眼。 好，这是这个导数最终化减成这个样子，那导数大于零是吧？我们要证明导数大于零，导数大零，这个分母 五是大于零的，那么导数大于零就是分子大于零。好，我们继续往前退是吧？那么导数大于零就是这个扣三眼瘫着的 扣三的平方 c 小于扣三十三次方对吧？ 我这里不可能把扣三印三次方去展开，那样会太复杂对吧？那怎么办呢？我们两边开三次方对不对？那么他有什么保证？两边开三次方，那也就是说我这个扣三印弹着呢？ 扣三眼平方 三引对吧？开三次方，也就是三分之一次方开三次方小于扣三 x 是吧？我想办法对这个左边弄这个左边，把左边放大，适当的放大证明他小于扣三 x， 不过在此之前 是吧？这是一个相当于个三个成绩的三分之一次方，他是一个几何平均，我们希望用这个几何平均小于算数平均，这样会帮助我们缩放。不过你用之前你得说明这个 coce and 弹枕头是一个正的对吧？别的都是正的。 但是呢，你用这个几何平均小于算数平均之前，你需要说明这个 coce and 贪军的是正的，那么这个很好说明，我们说 coce in 贪军的是正的。那只需要说明这个 tangent 是小于二分之派就行对吧？那么 tangent 根据 x 的范围，它小于 tangent 的 arc 三于四分之派对吧？四分之派 它小于阿尔克三英四分之派，那么这个 tangent 可以用三英来表示是吧？为了配合里边的阿尔克三英是吧？ 那么他表示出来四分之派根号下一减四分之派的平方对吧？这是基本的这个三角变换 对吧？当你这个 t 是一个锐角的时候，那么贪震的 t 就是三应 t 触上根号下 一减三印方 t 对吧？那么二个三印和三印底消掉就是他，那么他弄出来化解一下，派底下是一个根号下的十六减派方对吧？十六减去派平方， 那么十六减派平方是大于四的，所以呢，他就是小于二分之派的。那么 tangent x 小于二分之派，那么你扣三应他 q 散，他就是大于零的对吧？因此呢，你这个三分之一次方里边的这三个成绩都是大于零的，因此呢，他就相当于三个数的几何平均，那么他就小于算数平均。所以呢，我们现在就用啊把这个。所以我这个 三次根号下 cosy in the tangent 扣三引平方的三引， 他几何平均小于等于算数平均，算数平均，那么就是三分之一的。 because i intended x 加上二倍的扣三元三印 是吧？那你坐到这，你看这个三分， 这是一个扣三印，扣三印特，然后呢，二倍的扣三印，三印。那么把三分之一乘进去，是三分之一和三分之二相加等于一对吧。扣三印的组合系数相加等于一。 扣三印。在零到二分之派上是一个上凸的函数，那我们就想到用这个凸函数来缩放我们这个不等式啊。所谓凸函数 就是这样一个函数上凸啊。 q 三的图像就大概是这个样子，你在这个图像上对吧，任意去两点连出一条弦，那么函数图像一定在弦的上方啊。利用 q 三 x 在零到二分之派上的这个上凸的性质，我们知道凸函数他有一个琴声不等式是吧？所以呢，他就小于等于 扣三印的，相当于把这个组合放到扣三印里边去，那么就变成了 tanjint x 加上二倍的塞油除以三 是吧。好，现在我们进行用了一系列缩放是吧？集合平均小于算数平均。然后呢，再利用这个对吧，观察这个组合系数相加等于一。利用这个扣三印的凸上凸，把这个缩放到这一个地步啊，缩放到这一个地步，我们希望它小于扣三印 x 是吧？ 是吧？我们希望他小于扣三 x。 那最后一个小月号成不成立啊？那么最后一个小月号要想成立，我们知道扣三也是有这个单调性的嘛，对吧？扣三也是单调减的。 所以呢，最后一个小油耗要想成立他只需要啊，他只需要这个摊进去 x 加上两倍的塞印 x 除以三。最后一个小于号只需要他，对吧？啊，小于号 是大于零，大于 x 八是吧？他比他大，取一个扣三也就变小嘛，对吧？ 好，那么他就等驾于 tangent 加上二倍的三影 减去三 x 大于零对吧？好，现在我们就来证明 最后这个不等式是吧？最后这个不等式我们考虑另这个 jx 等于 tangent 加上阿尔卑的塞影 减三 x 是吧？我们希望它大于零，也就是大于 g 零吗，对吧？零就是 g 零。那么这件事情继续往前退，就是 j 单调增，这单调增就是这撇大于零对吧？好，那么算这撇， 算一下这撇，那么这撇这撇 x 等于弹进了球岛，谁跟他平放， 加上二倍的口塞 减三是吧，那么好，他整理一下切割化弦 分母有一个扣三印平方，分子上有一个一，要把一可以写成三印方加扣三印方， 扣三印方， 加上一个二倍的扣三与三防对吧？ 减去一个三倍的扣三眼平方 啊，减去个 三倍的扣三也平方，那么他化解一下是吧？有一个贪震他平方。 然后呢，可以提出一个二倍的扣三平方和分母上的扣三也平方，略掉消掉，那就是二倍的扣三也 x 减一对吧。那这个东西就是弹枕的平方， 加上一个四倍的三引平方，二分之 x 对吧？那他当然是大于零的了是吧？那好，我们现在往回去看 是吧。这一撇大于零，这单掉增，这单掉增，这个不等式就成立。这个不等式成立。也就是上面这个三分之 大于 x 三分之，这个大于 x， 也就是扣三应三分之。这个啊，也就是这个扣扣三应三分之，这个小于扣三也 x。 也就是最后这个小于号是成立的。 那么最后这个小于号成立。继续往上去回忆是吧。最后这个小于号成立。有扣三有三分的，这个小于扣三 x， 也就是三次根号下这三个乘起来小于扣三 x， 那也就是我的这个 f f 撇大于零吧，是吧？两边三次方，那你就是这个扣三十三次方减，这个大于零，也就是 f 撇大于零， f 撇大于零成立。也就是 f 单调增是吧？ f 单调增， f 单调增。那就是我一开一开始的这个 fx 就大于 f 零大于零是吧？ fx 就大于 f 零，也就是 fx 大于零嘛，对吧？ 所以我就得证了吧。所以这就是一个用函数的导数来研究函数单调性的问题是吧？我们最后再写一下。所以这个 f 撇 f 撇大于零，那么 f 单调增， f 单调增， fx 大于 f 零等于零。也就是 tangent set in 大于塞 in tangent 对吧？范围是什么呢？范围是 x 在这个零到阿克赛印四分之派 这个范围是吧？那你结合一是吧？这是二就得证。那你结合一，一和二结合起来，我们就有摊进他。 三引 x 大于三，引 弹紧弹 x 对吧？ x 在这个零到二分之派开区键里边都是成立的是吧？你把一二结合起来是吧？有 一和二我们就有就有它对吧？好，这就是一个用函数的导数研究这个单调性的一个题目，从而证明不等式啊，这里用到了 啊。适当的缩放用的这几何平均小于算数平均，用到了 q 三硬的一个凸性上凸的这么一个性质。好。感谢提供这个非常有意思题目的这个朋友再见。

好，各位高一的家长同学们，大家好，我们今天来证明一件东西，就是赛业 x 小于 x， 当 x 属于零到二分之派之间的时候， 那么对于这个东西的证明呢，只有学习过单位女儿的同学才会做出这种题目，所以大家要清楚，像这种正学三角函数值 和这个函数值之间比较，他一定利用的是单位员啊。那么这种题目怎么做呢？注意了，单位员呢，就是画一个这样的直角坐标系，以 ev 半径画一个圆。好，那么这样的话，既然都是跟 x 相关，那我们取一个弧度角叫 x 弧度， 那么根据弧度的概念，弧度概念是什么东西？ r 法是等于 l b r 的，在这里半径呢是等于一，因此这个 弧度和弧长是一样大的，所以说你的弧度是 x 度，那么弧长呢，就是 x， 所以这段弧代表的尺寸就是 x， 那我们这个这个是一三 a， x 是什么东西呢？一乘以三 a x 过这点做垂直，所以这个线段的长度就代表三 a x。 好，那么这个线段代表三叶 x， 这个壶壶茶代表 x， 两者的大小关系一目了然。因为首先从点到直线的距离垂线段最短，所以说 你我们应该有什么呢？这个线段比这个线段要小啊，也就把它叫做线段 a， 它叫做 ba， 是小于 b 的。 然后呢，再根据两点之间，再根据两点之间线段最短，那么这个 b 比这个弧长的 c 是要小的，因此 a 所代表的是三眼 x， 顺利的 小于 c 所代表的 x。 因此朋友们，当我们遇到了函数值与这个依次函数值相比较的时候，用到的一定是单位元，其他的方法除非大家学过导数以后这个地方会有一个新的概念，在此之前都只能采用这种方法。 ok， 好，我是齐老师，感谢大家关注。

大家好，欢迎收看数学王子退学营，我是魏老师。我们接着来看两千零五年全国高考数学湖北卷第九题啊。这个题 如果用学生的方法挺简单的啊，塞短一长选一长是不是你看选项 abcdabc 都是比较短的那低，但是很多同学不敢选低的啊，因为我们常规做题的话，一般很少答案是低选项的。 我们具体来看一下吧。啊，若 x 大领小要会去拍，则二 x 与三倍的 cs 大小关系是怎样的？你碰到这个题，我们首先想到的是不是就是一个塑形结合的思想啊，而且这个题用塑形结合来解是最简单的， 直观明了啊。但是一定要注意啊，我们用竖型结合解题的时候，一定要保证你的图形要尽量准确啊， 你的图形一定要尽量准确，不然的话很容易误导我们的啊。尽量准确这是很关键的一点，因为我们的规矩就是从图形出发的吗？ 所以这要注意啊。所以我们就把这个图 y 等于三倍的 cx 画一下啊，当 x 等于二分之拍的时候，是不是有最大值？你这个外等于三三倍的 cs 啊。那这个图像有了，然后我们再画外等于二 x 图片就行了。 因为我们的思路就是在同一个直角坐标系中把这两个函数的图像画出来吗？你看这是外一等于二 x， 然后你这边设为万二等于三倍的四 x 就可以了。看他们图像的情况吧，你这万二是不是已经有了？主要画外一，你外一是二 x， 当 x 等于二分之拍的时候，你外一是不是等于拍？拍是三点一四 比赛大一点对吧？然后我们稍微画一下就可以了，你看这个时候就很清晰哎，稍微直哎，还可以啊。那这个时候你看是不是就出来了 对吧？你看你就知道他俩是有交点的，但零到二分之拍这个范围内是有交点的，那也就是说他俩是啊，有可能他大，也有可能他大的，对吧？看图像吗？ 那假如我们这边知道对应的这边是 x 零啊，把它对应下来是 x 零是不是？那我就知道当 x 大于零小于 x 零的时候，你看谁大谁在上面啊，是不是三倍的 cx 大于二 x 啊， 对吧？那当 x 等于 x 零的时候，他俩是不是就相等啊？所以就是三倍的 cx 等于二 x。 那当 x 零小于 x 小于二分之拍的时候，那你就会发现 谁在上面了，二 x 是不是在上面了，所以三倍的 cx 小圆 x 对吧？你看根据图形是最简单的。所以这道题答案那它的大小关系就与 x 取值有关系啊，对吧？这是塑形结合的思想啊。咱们再看我们还可以怎样？ 还可以构造函数，利用函数的代列性来做题啊。那么构造函数也有两种构造的方法，因为你是二 x 和三倍的 cs， 在零到二分之拍这个范围内是不是都是正的？ 我们可以做商，也可以做做差，通常我们是做差的啊，所以我们就设 fx 等于二 f， 减去三倍的 cx 对吧？然后我们对他进行求导啊，求导之后就变成了二减去三倍的扣 cx， 我们让他等于零是不是？那么我们就让他 啊，这这个点为 x 零吧。因为如果用三角函数的话，你应该是这样的啊， x 等于啊，可扣 c 三分之二，我们就让它等于 x 零啊，就是这个导函数等于零的点，这个值 几十点啊，我们把它视为 x 零，这个清楚吧。那你看啊，当 x 大于零，小于 x 零的时候， 注意啊，因为你 x 越小，你这边扣 c 就越大，要注意啊，扣 c 就越大， 所以你的导数此时是小于零的，那导数小于零，那你的圆还数呢，是不是在叫地解呀，是不是在叫地解的啊，也就说这个时候你的 fx 是不是小于 f 零的呀，那你的 f 零是零啊， 是不是？所以这个时候啊，你就会发现了，二 x 小于三倍的 cx 是不是？那同理啊，我们但是这个 x 零这个东西啊，这个东西不是他等于零的，所以啊，不是不是这个还说等于零的 x 不是这个方向等于零的根啊，这个要注意，是倒还是等于零的根，这边是一个极致点，明白吧，我们只知道它的大小关系啊。 然后同样的道理，当 x 零小于 x 小于二分之拍的时候，你的导函数是带领的，那么你的函数是不是在掉地增啊，是不是在掉地增啊，那这个时候你接着往下走就可以了啊， 主要是你那个用一下这个构造函数的思想啊，构造函数的思想，如果是解答题的话，你需要细致分析一下的啊， 需要细致分析一下的，你这边就出现一个反三角函数啊，要注意一下。 ok， 这个题我们就讲到这里，谢谢大家收看，我们下期再见。

这个视频带大家一起来证明一下，潘建的 x 为什么大于 x， 大于 six？ 首先我们要画一个单位元，然后假如有一个角为 x， 他的中边与我们的单位员相交于点， p 过点 p 做 x 轴的垂线，假如垂足为 bx， 轴与单位原相交的点为点 a 过 a 点做这一个 x 中边的垂线，垂足假如为 m 点，那么这个呢，就是利用我们的三角函数线，很显然啊，我们都知道了是 三角形 opb， 三角形 oma 都是直角三角形，那么所以在直角三角形当中啊，很显然， 我们的赛营 x 就等于在三角形 opb 当中，赛营 x 就等于我们的 pb 比上 op， 而这个元是单位元，单位元，那么他的半径就等于一，所以说这一个长度最终化减出来，就等于我们的 pb 比上一，也就是等于我们的 pb 就是我们的三元 x， 而我们的 tend x 呢， 我们需要把它放在我们的三角形 oma 当中去， oma 当中去 tiendx 等于我们的对比零， 对比零就等于我们的 am 比上 oa， 而 oa 又等于，所以啊，这一个式子化减下来就等于我们的 am。 所以说，我们可以知道 的是，在这一个元当中，三年 x 就等于我们 pb 这条线段的长度，而 tinjinx 就等于我们的 am 这段长度。那么很显然啊，我们可以得出的是，在这个三角形当中，很显然我们的 am 是大于 pb 的，对吧？所以说我们的 tinjinx 大于三 x 的。 那么在图当中呢，我们要去观察一条线，那就是 xx 等于谁？根据我们弧度制的定义，弧度制的定义就是我们的弧长与半径的笔直就是我们的弧度制，所以啊，在这个图当中，那么我们的 x 就很显然是等于我们的 pa 这段弧长比上我们的半径 r， 而我们的 r 等于一，所以它就等于我们的 pa 这一段弧长。那么很显然我们要晓得的就是，为什么摊件的 x 要大于我们的 xx 呢？要大于我们的三 x， 那我们现在思考一下，摊件 x 也就需要证明我们的 am 是大于 pa 的， 我们现在需要证明的是 am 这条线是大于 pa 这个弧长，那么要证明 am 这条线大于 pa 这个弧长。所以我们需要看两个图形，第一个图形就是我们的 rt， 三角形 oma 以及我们的这个扇形 扇形 opa， 从图当中我们不难观察的出啊，三角形 oam 和扇形 opb 的面积谁大谁小，那么很显然就是我们的 s 三角形 oma 肯定是大于我们的扇形 opa， 因为这里多出了这一块，对吧？所以说这个是我们需要去把三角形 oma 和扇形 opa 的面积给表出来，很显然我们就知道了，三角形 oma 的面积等于我们的二分之一倍 am 的线段长度再乘以我们 oa 的长度，那么上一些的面积呢，是等于我们的二分之一倍 l r 的，那所以说这个 地方又变成我们的二分之一倍 am 乘以一，这个扇形的面积等于我们的二分之一倍 l 等于 pa 这段弧长二等于好多一， 那么既然他是大于他的，对吧？那么他大于他，那给我们约个分二分之一，二分之一约掉，这，所以最终得出的结论就是我们的 am 大于 pa 这一段弧长 am 大于 pa 这段故障，那么所以也就可以推出的就是我们的探见他 x 是大于 x 的，所以我们就可以推出的是我们的探见 x 大于 x。 那么很显然呀，这一个曲线 pa 这一段弧长，它很显然是大于 pb 这条垂线的长度的，所以我们的 x 就大于我们的三 x。 那么综上我们就证明出了贪健的 x 是大于 x， 大于 赛英 x。 那么这个结论啊，同学们一定要掌握在我们的后面的学习过程当中，可以直接拿出来用。

当你看到这道题目的时候，是不是很开心？这不就是等价无穷小替换吗？直接秒的一亿到这里。恭喜你，你做错了，这个是大家在使用等价无穷小的时候容易犯的经典错误。无穷小指的是当 x 区域 x 零时， f x 也要趋于零，并不是 x 区于零的任何式子都是无穷小。因此提到无穷小，要说明自变量的趋势，比较两个无穷小是否为等价无穷小，也要在同一自变量趋势下。正确的做法是 think 分之一。虽然在 x 区于零时 期限不足，但他是一个有界函数，所以这道题是无穷小乘以有界。这道题的灵，你学会了吗？快按你专升本的朋友来学习！

今天我们来给大家讲一下如何能够更加深入地理解三 e x 和 low e 一加 x 的泰勒展开，很多人都知道三 e x 小于等于 x， low e 加 x 小于等于 x， 都知道这两个式，但是如果别人让你比较三一零点一和捞一一点一，对吧？如果你对这个公式理解的不是特别深刻，你就容易做错，你看我们怎么样去理解这个式子呢？ 当 x 取零点一，零点三，零点零三零点八取这样式子时候呢？我们 x 带进去之后，大家注意到这个是一个很大的数，这个也是一个很大的数， 当三次方或者平方之后呢，他就变得很小了。你要注意到减去的这个二分之 x 平方，其实是比减去的六分之 x 三次方都要大许多的，他是要大一个数量级的，对不对？那大一个数量级，那就证明 x x 是相同的，你捡的东西要大，那也就是说三 x 要大于捞音加 x， 对吧？那我们也可以结合我们的图像来看，大家来看这个图像中呢，你会发现，当 x 小于一点五之后呢，我们的 三 e x， 它都是比捞 e 加 x 要大的，对吧？所以呢，你下次就能够直接判断了，它应该是大于大于，大于大于轻松搞定。

今天给大家讲解一道北京大学自主招生原题，大家可以来挑战一下。已知这个 x 是一个弧度角啊， x 属于零到二分之派，照证明三眼 x 小于 x， 小于摊那条 x。 同学们看到这个的话，该怎么想呢？有 x， 有三 x， 还有他人的 x， 我们想到了三角函数线，对于老师画这个图，这是个单位圆，这个呢是 x， 根据弧度值的定义，因为是单位圆的话，那这个弧长 pa 就是 x， 而根据三角函数线，三角 x 呢就是 mp 的长， 而弹弹 x 就是 at 的长。所以说我们就转化为去证明 mp 要小于弧， pa 要小于 at， 只要证明这三段长 长度的大小关系就可以了。那这个该怎么挣呢？直接挣是特别不好挣的，我们用面积来挣。根据这个图我们一定可以得出 这个 s 三角形 opa 的面积一定小于 s， 扇形 opa 的面积一定小于 s 三角形 offit 的面积。我们再看看 s 三角形 opa 该怎么求？我们把 o a 当成比，那高，肯定是 mp， 说他应该是二分之一的 o a， 再乘以 m p， 而这个扇形，我们知道扇形的面积是二分之一 l l， 而 l 就是壶 p a r 呢就是 o a， 所以他写成二分之一的 o a， 再乘以壶 p a o a t 的面积的话，应该是二分之一 o a， 再乘以 a t， 我们把二分之一欧一约掉，直接就挣出这三段线段的长度了，同学们你学会了吗？

好了，说回咱之前那个问题啊， limit 狗区域零， sunny 狗比成狗等于一，它是对的还是不对呢？其实它是对的，因为什么呢？你平时见到的是什么？你平时见到的是 limit s 区域零， sunnys 比上 s 等于一， 现在你把这里的 s 全换成狗，他自然不也是对子吗？并且这里头已经告诉你了，这个狗是区域零，但不等于零的啊。 但是你平时常见的不是他啊，你常见的是类美，他比如说 x 区域零，这只是其中之一， x 还可以趋于其他的，比如说区域无穷，比如说区域一，比如说区域二之类的啊， 然后三人狗比成狗，并且这个狗是无穷小。好了，现在如果在 x 区零这过程中，也就是 x 不断的接近于零，但不等于零的这个极限过程中，狗也是不断的接近于零，但不等于零的，则直接写成他等于一，这是没有问题的。 比如说雷美特 x 区零散以散以 x 比上散以 x， 他等于一，这是没有问题的，因为在这个 x 不断的接近于零，但不等于零这个极限过程中，散以 x 也是不断的接近于零，但是不等于零的，所以直接写成他等于一。但是对于后面这个啊，对于后面这个例子，你来看一下 类美塔 x 区域零啊，这个极限过程就是 x 不断的靠近于零，但是不等于零了啊。看一下这个赛呀， s 乘上赛呀， s 分之一比 以上， s 乘上三呀 s 分之一，这个极限结果他就是不存在的。因为什么呢？你取这么些点，你令这些点设成一个数列， xn 等于 n 派分之一，当 s 区于零时， xn 是区于零的， 那么 n 就是在趋于无穷的，则怎么呢？则这些点是位于这个无限的被压缩的右邻域内的，这是没有问题的，并且把 xn 带到这 这个分母的函数啊，形成了什么？ x n 呈上善意 sn 分之一，他就可以写成 n 派呈上善意 n 派。他是零， 你不要看他，你看他这是实实在在的零啊！零乘任何数都等于零啊，这是实实在在的零，则怎么呢？ 则在这些点处会形成分母为零点，分母为零点，这个函数不存在，与函数极限定义矛盾了。定义要求的是在某空心领域内处处有定义，而你找不到， 因为他怎么的？就算你把这个空心领域无限的压缩，你总能在这个领域中找到这些点，使得什么？使得这个函数的分母为零，与函数极限定义矛盾了，则怎么的？既然与他定义矛盾了，则这个极限是不存在的。好了， 此时狗是等于 x 乘上三 s 分之一的 x 趋于零时，狗会不断的等于零，而不是趋于零，但不等于零，则怎么呢？不能说成狗趋于零，但不等于零。 如果你见到了勒美他赛运狗比成狗，你必须要看这个狗是否趋于零，但不等于零。 如果一旦像之前这个例子一样，他会不断等于零了，则这个结果应该就是不存在的了啊。对于无穷小量等价代换表扩展的时候， 我们见过这个狗区零散运狗等价与狗狗捡，散运狗等价于六分之狗立方，这个是对的，也是超级好用的，特别实用的。 因为怎么的呢？因为他已经告诉你了呀，他告诉你了什么狗去领，但狗不等于零了，所以这些都是适用的，对于表里的其他的问题，你也可以这么扩展的。

这节课来讲一下三个函数的图像和性质。首先我们要绘画一个 y 等于三 ex 的图，先把这个图画出来， 来标下这个地方的脸，这个地方是牌，这个地方是二牌，这个图必须要背的到，那是二分之牌，中间那个是二分之三牌，最好这边再画一个过来，那个地方是副牌， 负了二分。好，这个图画起之后，他一定会问所有人都会问你几个问题，第一个，他的定义与是多少？你看他的定义往左边可以无穷去，往右边可以无穷去定义与上海。第二个，他会问你直语是多少词语最高，也就是朋友高度最高的一届， 最爱的负义要被那些说子女都是负义到一线，那么第三的高度肯定是你的单调性，我们先解决，为了解决他单调正确点吗？单调正确，你看从哪块的单调是真的，我们发现你看他从那点，这些都是真的好，我们都可以写的出他的一个范围了。那个是小于等于，你看这个二分之拍的 大于等于负二分之派的时候，那都是他的证据键，但实际他的证据有很多，不止这么一个的吗？来这个也是，那你都要去看一下，这个和刚才那个隔了好远，隔了好远那个当成脑壳吗？你看这两个隔好远，这个地方是二分之五排，二分之二分之排是隔了二排这么远的，记到写隔好远，循环一次，那么两边都加上二排的整数倍 开拍加加号点好圆的加号那个的整数呗。二开拍，那么这个单调正确都出来了，好，他还会问其他类似的题，比如说他的对称走 对身走，对身走，哪些地方是对身走啊？你会发现，你看沿着那条线对折左右能够重横，两边都不线的哈，沿到那条线对折左右也可以重横，当然你从那些地方对折是不行的。那么我们就先写那根嘛，你看 a k 是等于， a k 是等于二分之牌，那个地方 大家对称走，当然也是有二分之三排也是对称走，那二分之三排高，二分之排给了好远呢，给了拍那么远，那就加上拍的整数呗。开拍，开数据整数啊，那些开数据整数就行了。同样的道理，第五个他们问题的对称 中心。什么是对称中心呢？对称中心的是按到哪个点不放，旋转一百八可以重合。比如说你按到这个点不放，你旋转一百八十度，你会发现整个图形是重合的，按到这个点不放，旋转一百八也是重合，那你按到那个点呢？这个点是不行的，按到这个点点，那个叫波风啊，旋转一百八都可以转成包固，肯定是不对的根源，你现在图形都不重合，所以你要重合那个点，你做的少的你， 你那那个点也行啊，那个点离这个点离好远。你看这三道题都是这样，离好远，你会发现离拍远，离二拍，离开个拍远都行。这个地方再加上这个拍，实际上写出来对准中心都是这个样子，这个就行了。那么这个基本图回来之后，我们用这个基本图来解决下面的一些题，来看一下这个题是大于等于 来，首先画三眼的图三，三眼的图画在哪？最高那点是一噻，既他要大于等于二分之一，说明比找到二分之一那条线比二分之要高的就是那段，那段是可以的，那，那那段也是可以的。那问题是那代的坐标是好多三线，好多都是二分之三线，三十多的二分之一。然后那段是 你看看那个地方的牌都是一百八十度，你走到那个走了三十度，那个往这边走也要少三十度。再说那个地方都是一百五，到那个又到公司的时候，你都可以这样用对称的解决。三十到一百五都是可以的，就是五分之排到六分之五排都行，五分之排到六分之五排，他只需要喊你找零到二排里面找那 选比就行了。如果他没有给你规定那个，那就是两边同时加上好酒循环一次二开拍，循环一次二开拍，那都是所有的答案。好，再看第三题， 他要求他的最大字，最小字，其实上不管你三人的肚皮里面有好大三人最大字，那大坨，我红坨坨那坨小于等于正义，大于等于负义。就是刚才那个子女噻。然后前头有个负二百乘个负二，负二百那个红坨坨小于等于，你算一下那边的二大于等于负二，然后再加个耶，加个耶，加个耶， 所有都是负一到三，负一到三，看一下，负一到三，最小是负一，最大是三。搞定了第四题，有哪个最第四题求他，你要求他，你要求他的对称。走，我先把录屏里面那头想象成一个二发嘛。我先去求出三赢 二法的对称轴来看一下三样二法的对称轴，三样二法对称轴，二法等于二分之百加可排就是对称轴，二分之排加可排，二分之排加可排。二法就是对称轴，但实际上二法是等于二法，又是等于二分之一，也可是加上三分之牌呢。那么我都可以把 x 接出来噻， 一个来二分之外减三分之六分之牌，再亏了两倍。 ax 接出来就得三分之牌，加上二开牌的地方开确定去三分之牌 科举一，那就是三分之七排。嗯，暂时暂时没得这个答案的，所以说选择就行了。好，除了这种题，还可以把 abcd 四个答案往里面带入。既然他是对身做了代定期，要么筛选去到最大等于正业，要么去到最小副业，你看哪一个能够达到这个效果，那就选哪个选项也是对的，那样会更简单一些。好，第五题，你看筛选，他被加了个绝对值，那么 我们整体加，绝对是是下翻上。好，整体加绝对下翻上，你看都把那个翻上来，那个翻上来，那下面都没得了，下面没得了，他要的是刚才那个地方是拍噻，那个地方是副拍噻，他要的是负二分之拍，都是折的， 这点之间呢，就是这个造型，那都该选谁？你看这个都搞定了。好，然后我们来看一下那个这个题，这个题也是利用他图像形式的题，哪个和山形他的焦点过说，首先画出山形的图， 本来三一的图是这样的，最高区域最爱去副业，而那个 x 那个呢，是那个思维的 x 的对数，他一定要经过哪个点呢？经过 x 取四， y 取一的时候看到没？ x 取四， y 取一那个点，那那个地方的牌三点结，那个得二排，五点结，那个得三排九点结，九点几都接近于死了，说明他一定要经过那个点，经过那个点， 我罗哥的函数他是这样的单调地震的，哎，你看，那么他是这样下来，你会发现几个焦点吗？一个、两个、三个，所以说确实。

专治各种邪乎笔大小。很多情况下呢，同学们构造不出来函数，那我们就需要呢对这些函数值呢进行估算。前面给大家讲过一的零点一，一的零点二，那现在又来一个三零点一对吧。那 b 和 c 的大小很显然一目了然。 a 跟 b 如何比较呢？我们持续可以直接用三 ex 的三阶展开，把它展开成三 ex 约等于 x 减去六分之一 x 三次方。那我们把零点一带入这个式子呢，也就是说三亿零点一呢，它约等于零点零九九八。那同样道理呢，零点三除以派。这个很显然，你直接用派约等于三点一四去除一除对吧？那就是零点零 九五五。那很显然， a 应该是大于 b， 大于 c。 那至于原理是什么呢？大家不要着急，接着往后看。那感受一下三页 x 在零处的态度。展开一阶的时候，也就是大家熟悉的 x 大于三页 x 三阶的时候，也就是今天老师讲的我们通常比大小 用的 x 减去六分之 x 三次方。那再往后呢，你会发现随着接触的增大，对吧？那也就是说呢，我们用一个密函数呢，完美的代替了我们的三印函数。

大家好，我是姜锋老师，本期视频呢，我们来看一下函数培优三角函数的比大角啊，那这道题是群里面看到的啊，也是比较经典的一道题。那涉及到一个比较重要的三角不等式啊，就是三 x 小于 x， 小于添减 x， 这个 x 有范围是零到二分之派。 我们先来看一下这个图像啊，这个蓝色的是天减 x 的图像啊，这里零啊，这是二分之派这条线， 这是 x， 红色的是 x 啊，这个这条绿绿色的是三 x 啊，很明显，这条这条线在这条线上方，这条线在这条线下方， 也就是说，如果你有倒数的知识，你会知道，这条线恰好就是他和他的公公切线啊，在这个方向上啊，在零处的切线， 就是说添减 x， 它的导数，在零处的导数就是一啊，就是一，那那三 x 呢？在零处导数它也是一啊，也是，这其实就是种缺陷，放松， 一个在切线上方，一个在切线下方，对吧？啊，这个就有用啊，在这个题里面，那我们来看看这个要怎么用。首先我们比较一下 b 和 c 啊，都是三角函数，对吧？那 b 和 c 怎么跟这个产生关系呢？ 呃，只要把它什么，比如说 b 给它除以，或者这样来， 口算三分之一，三倍的算三分之一，你只要是同时除以三倍的口算 三分之一， 那这个就变成了三分之一，这个呢，变成了天井三分之一， 所以呢，根据我们这个不等式，对吧？ x 要小于天减 x 啊，你看，你只要看这个 x 是不是在零到二分之派里面，那么现在另 x 等于三分之一，在这里 零 x 等于三分之一，对吧？啊？三分之一是不是零到二分之派呢？没问题，对吧？没问题啊，所以算三分之一就小于啊。不，三分之一就直接就小于啊， 所以三分之一直接就小于天井三分之一，也就是把它画出来，就是 就是，可算三分之一就小于三倍的算三分之一啊，所以 b 是小于 c， b 小于 c， 那么现在看跟 a 和 b 怎么比啊？ a 和 b 对吧？ a 和 b 怎么比？那么你就要想，哎，这个是八分之十七，怎么去化成跟三分之一有关的，对吧？它其实有好多画法，对不？对 啊？三分之一啊，你你可以看成一一减去十八分之一，对吧？一减十八分之一，那如果一种话，你可以是一一减去什么六分之一乘以三分之一，但是这样的变得，变得你要构造一个函数，什么一一减去六分之一？ x 和这个扩散 x 进行比大小， 好，这个时候基基本上你得用倒倒数才能去出这样构造函数倒数，对吧？但是我们 如果说从高一的角度啊，这个可以不这样去做，对吧？你可以用别的构造方法，对吧？ 等于多少呢？啊？联想到这个三分之一和六分之一，对吧？它是个背角关系，所以你看能不能往六分之一上凑，对吧？六分之一上凑， 所以呢？呃，想到是这样的啊，把它凑成这样乘以两倍，对吧？二乘以六分之一的平方，那这不就是是八分之一吗？好，由于六分之一， 由于什么？ san 六分之一，一定是什么比六分之一什么小，对吧？还有个 san x 小于这个吧，那么 sand 六分之一一定是小六分之一的，对不对？所以呢， 他这个一定会小于什么？我们把它放缩一下，二乘以什么三六分之一的平方，对吧？就两边平方一下，对吧？ 减掉六分之一平方可减的更大，所以如果把它变小一点，他就就变大，对不对？变大啊？好，这个恰恰可以用利用这个三角函数的公式，对吧？啊？我们三角函数有个公式， 口算二 f 等于三个啊，口算 f， 减去三 f 方，然后呢，给它变形一下， 这个口算 f， 变成一减去算 f， 对吧？然后再减去算 f。 啊，这个要很熟啊，这一减去两倍的算 f 方，对吧？所以这个刚好就是等于什么口算两倍的六分之一，三分 之一。好，这样我们就得到了 a， 是小 b 啊，这个构构造确实比较巧妙啊。也才，要不然你就得导数，对不对？用这个导数去求导啊，比较麻烦啊。好的，那这个题我们就分享到这里啊，拜拜。