七桥问题一笔画解题技巧

今天我们来说一说七桥问题，也就是我们的一笔画是怎么来的呢？那相传在十八世纪初，福鲁士的哥尼斯堡有一条河穿过，河上有两座岛，有七座桥把这两个岛与河岸连接起来。大家经常吃完饭之后，在这个桥上岛上去散步。 那有一天就有一个人提出了这样一个问题，怎么样才能不重复，不遗漏的一次走完七座桥，最后回到出发点呢？大家想了很多的主意，但是没有一个人能够解答。 后来大数学家欧拉把它转化成一个我们今天都知道的几何问题，也就是咱们的一笔画问题了。那这个七巧问题到底能不能一笔画完成呢？ 欧拉把这里面的所有的岛浓缩成为一个点，所有的桥变成一条线，就形成了这样简单的点线图。后来他提出了欧拉路径，也就是我们现在一笔画的判断方法 法，如果是联通图，基点为零或者是二的，就肯定能够一笔画，显然显然这是一个联通图，不联通的图是什么样子的呢？比如说这样的里面跟外面断开的，我肯定是要把外面画完了以后，抬起笔才能画里面，所以这样的肯定就直接他不能够一笔画了。 那什么是基点？就是从点的地方去数线，线的数量为单数，那比如说这个地方有一二 三啊三条线，所以他是一个基点，中间这个位置有一、二三、四、五，所以他也是一个基点，右边这个点三条线 也是单数，所以他也是几点，下面的这个位置同样也是几点。这里四个都是几点，肯定是不能够一笔画成的，那我们还不由得提一提，如果从点出发线的数量为双数，比如说我在这个位置加一条线，四条线他都可以变成偶点。 因为这个徒步者提出的问题就是从一个地方出发，不重复的走完所有的桥，最后再回到出发点，在一笔画的里面，只有基点为零的时候，才能从原地出发，回到原地走完一次。如果基点为二，我们必须从一个基点出发，走到另外一个基点， 因此我们现在就要把它改造成积点为零的情况就可以了。那怎么改造呢？那我们就把它变成双数条线不就行了？我在上面这两条线之间加一条线， 下面两个点之间也加一条线，这样每个点出发他的线都是双数，所以现在就可以从一个地方出发，再回到这个最开始的点了。 那我们可以试着来走一走，比如说我们从最上面这个点出发，这是我们出发的地方，待会呢也要回到这个位置，在走的过程中，只要不要提前把这个图图形封 死，就是记得留回来的路，那就是一定可以成功的，他的走法是不唯一的。这就是今天的知识分享，觉得有用记得点赞、关注、收藏哦，我们下期见吧！

好，我们来举个例子啊，比如说大家看这样一个图形，一个口，他能不能一笔画显而易见呢？口，这个图形有一二三四四个点，这四个点呢，每个点的度数都是二，都是藕点，所以他有零个积点。 那既然有零个基点，它当然是可以一笔画的，而且从任何一个点出发，都可以形成一个欧大回路，因为它落笔和收笔是在同一个点的，对吧？你看我这么一画，这一个口就出来了，对不对？甚至这个图形啊，可以复杂一点，比如说啊，我可以这加一笔，这加一笔，这加一笔 加一笔，加完了，加了这么多笔，请问这个图形有几个几点？咱们看这个点是一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四一二三四。所有点都是藕点，他依然是零个几点。因 因此这个图形还是可以一笔画的，而且你从任意一个点出发都是可以的，他能够形成一个闭合的回路，我们称之为殴打回路，对吧？好，这是零个几点的情况。那么也有的一些图呢，他可能是有两个几点的，比如说大家看这样一张图， 我把底下去掉，上面保留。这样一张图有几个几点呢？上面呢，全都是偶点，而这个点有一二三度数为三，是个几点，这个点呢，一二三度数也为三，是个几点。所以呢，他有两个几点， a 点和 b 点，他有两个几点， 有两个基点的话，它是可以形成欧拉路径的，你就是从一个基点出发，经过一笔，然后画画画，画到另外一个基点就可以了，我们来试一试啊，哎哎，失败了啊，失败重来 重画啊，应该是这样这样这样这样这样这样这样。哎，你看我画完了，对不对？他确实是从 a 点出发到 b 点结束，成为一个一笔画的问题啊。好，咱们有一些图形呢，他就没有办法一笔画了，比如说我把上面也去掉，变成这个样子， 变成这个样子啊，现在有几个几点？你数一二三四，他有四个几点，对不对？ 四个极点是没有办法一笔画的，你可以试一试，无论如何你没有办法把这个图形啊一笔画出来，那这个呢？就是欧拉的一个结论。那我们说到这来，回头看一下这个哥尼斯堡七条问题吧。 托尼斯堡七条问题一共有四个点， a 点是有一二三四五，度数为五，所以他是个基点， c 点，一二三基点， b 点一二三基点， d 点一二三基点，他四个点全都是基点， 所以他的情况和他类似，能不能一笔画，不能一笔画，对不对？因此哥尼斯堡七条问题是无解的，这就是当时欧拉的一个结论啊。好，那么既然欧拉说这个问题不能一笔画，那他能够几笔画呢？我们可以把它往前引申一点。首先我要说这样的一个结论呢，就是说， 呃，一个图形，他的基点的个数，他的基点个数不是随意的，他的基点的个数是必为偶数的， 基点的个数必为偶数。因为你只要落笔，你就得提笔，如果落笔和提笔不在一块，就出现俩基点，如果落笔和提笔在一块，那就是一个偶点，没有基点，所以基点要出现就是两个两个出，因此他一定是偶数。我们假设这个偶数叫做二 k 吧， 啊？ k 是一个整数。然后我们就说，那么假如啊，不能一笔画，那么你可以几笔画呢？结论就是你可以 k k 笔画，你通过 k 笔可以画出。我举个例子啊，比如说，那你有几个几点呢？你有两个几点，那 k 就等于一，所以你就可以一笔画。如果你有四个几点，你需要几笔？你需要两笔。 比如说这个图形吧，我一笔画不了一二三四，画完了还少一条，对吧？我再加一笔，哎，我就可以把这个图形画出来了。哥尼斯堡题桥问题呢，他也是四个积点，对不对？所以我可以用两笔把它画出来，咱们看 这样画一个，这样画一个，这样画一个，哎，少一条线，我再画一条就够了，对不对？所以啊，哥尼斯堡七条问题，四个几点，他就可以用两笔把它画出来，那你说我就想一笔画怎么办？你可以往上面加路径，是吧？我们可以增加， 增加 k， 减一条线干什么呢？其实就是把 k 减一对积点消去，那 这个时候呢，你就只剩下两个基点了，只剩两个基点你就会出现什么，你就会出现欧拉路径，哎，就是一个不闭合的一笔画路径。比如说啊，你从这四个基点的情况，你把它增加一条线，变到这种情况，就增加上面这条线，这样一来，你本来是有四个基点的， 你增加完了一条线之后，你就只剩下这两个几点了，那这回你是不是就可以一笔画了？当然这个一笔画他不是封闭的，叫做欧拉路径，因为你这么干了之后，你消除了两个几点嘛？是不是？好，那么如果我还可以再怎么做呢？我还可以增加 k 条线 啊，在基点之间，我增加 k 条线，我再增一条，把底下这俩基点也划掉，就变成了第一个图了。这个时候你会发现他完全没有任何基点，那你就会出现什么，你就会出现哦啦，回路了。也就是说你完全可以从一条，从任何一个点出发，画完这个图之后又回到了这个点，对不对？

欢迎来到梧桐老师的数学思维课堂来看这道题。在普鲁士的歌尼斯堡，有一条河穿城而过，河上有两个岛，有一二三四五六七七座桥，将河岸和这两个岛连接了起来。 请问一个步行者怎样才能不重复不遗漏的一次走完这七座桥，最后回到出发点？这是历史上非常著名的歌尼斯堡七桥问题， 只不过我们现在看到的这个问题已经是简化版的了，因为当时的人们并没有这幅地图，所以啊，他们要想解决这个问题，就只能实际的去走一走。但其实这两个岛并不小，所以要把这七座桥都走一遍，还真得花点时间。 而且很显然，这七座桥之间的不同的走法并不少，所以很难逐一的去尝试。 因此呢，在很长的一段时间里边，都没有人能够解决这个问题，于是就有人写信去请教当时的天才数学 加欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡技巧之后，就开始认真的思考走法。只是欧拉并没有像其他人一样实际的去走一走，而是抽象出了一副这样 地图。只不过欧拉的地图更加的简单，因为欧兰发现河岸和岛的大小并不会影响对头发的分析，所以可以直接将河岸和岛都缩小成一个点，上边河岸左边的岛，下边河岸右边的岛。 把桥缩小成连接两点的一条线，上边和啊和左边的岛有两座桥，所以从这个点到这个点要画两条线。同比， 我们可以将其他的桥也画出来，此时会发 要求一个步行者怎样才能不重步不娱乐的一次走完七座桥，最后回到出发点，就 变成怎样才能不走重复路线的一笔？将这个地图画出来，并最后回到出发点，也就是变成了需要回到出发点的一笔画问题。就这样，欧拉通过数学建模，将哥尼斯堡七桥这个 实际问题抽象上了一个一笔画问题，从而成功的解决了，并由此开创了新的数学分支图论和拓补学， 感兴趣的小朋友们可以去进一步了解一下。接着我们就一起来分析一下这个图怎样才能不走重复路线的一笔画成。 小朋友们去试一试，就会发现无论怎样都不行。那这又是为什么呢？其实很简单，比如从这里出发，假设从这里走出去走一圈再回来，然后再出去，会发现，如 如果不走重复路线，还能再回来吗？显然不能了，因为一出一进需要两条线，而这个点只连了三条线，所以无论怎么走，在第二 二次走出去之后都回不来了。于是我们不难得到，因为起点和终点都在同一个位置，所以既是起点又是终点的这个位置必须要连双数条线， 只有每次走出去之后才能再走回来。观察一下图中的四个点，会发现这三个点各自都连了三条线， 这个点一共连了一二三四五五条线都连的是单数条线，所以没有任何一个点既是起点又是终点。 因此呢，这个图不能不走重复路线的一笔画成，并回到出发点。也就是说，在这个七桥问题中，一个步行者不能不重复，不遗漏的。一次走完七座桥，最后 后回到出发点，这道题是无解的，当然如果我们再进一步思考一下，又会发现，如 如果想要不走重复路线的一笔画成并回到出发点，除了既是起点又是终点的这个点要连双数条线以外，其他所有的点都需要连双数条线， 因为他们既不是起点又不是终点，而每经过他们一次都必然是一进一 出使用两条线。既然每经过他们一次都要用两条线，那么无论经过几次使用的线段，条数一定是双数条。 因此得到想要不走重复路线的一笔画出，并回到出发点，图中所有的点都必须连双 数条线。最后留给小朋友们一个小小的思考题，如果不用回到出发点，也就是说起点和终点可以不一样，这个图可以不走重复路线的一笔画出吗？

在上个视频中，你已经认识了基欧典，在这个视频里，咱再来讲讲他和一笔画的关系。那啥是一笔画呢？其实就是一笔画成，并且每条线都不能重复画 像，这些图形能一笔画成吗？这个能，这个也能。这个还能，那这个呢？ 哎，人和之间都没连在一起，显然没戏啊。看来能一笔画成的图形必须是连在一起的，也就是必须连通才行，所以不是联通的图形可以直接排除，比如这个笑脸就肯定没戏。 那所有联通的图形都能一笔画成吗？来看看这些联通的图，这个能一笔画成，这个也能。这个就不行了，因为这条线连画了两次，这个也不行。看来不是所有联通图都能一笔画成。 那能不能一笔画成跟啥有关呢？这就得看基欧点的个数了，分别来看看他们的基欧点吧。这些是能一笔画成的，这个有三个点，都是欧点，这个有十个点，也都是欧点，这个共三个点，一个欧点，两个基点， 还有这个共七个点，全是欧点。最后这个共五点，三个欧点，两个基点。 同学们能一笔画成的，要么全是藕点，要么有俩基点，也就是说基点个数为零个或者两个的图形才能一笔画成。 再看这边，不能一比划成了，这个有四个点，全是基点，这个共八个点，两个欧点，六个基点。看来基点数为四个或六个的图形就不能一比划成了。如果基点数更多呢？那就更没戏了。通过基欧点判断，你会了。那接下来我再加 这样具体的画法，先看零个几点的。从这个点出发可以一笔画成，从这个点出发也可以，这个点还可以，看来零个几点时，从任意点出发都行。那两个几点呢？从这个点出发可以从这个点出发，也可以 从这个点出发，哎，就不行了，看来当有两个起点时，必须从起点出发才能一笔画成。 好了，以上就是这个视频的全部内容，总的来说就三点，首先，不是联通的图形就一定不能一笔画成。 其次，联通途中只有零个或两个积点的才能一笔画成。另外，当零个积点时，从任意点出发都能一笔画成。当两个积点时，必须从积点出发才能一笔画成。你们要明白了吗？

十八世纪，位于东浦鲁市的哥尼斯堡城有一个美丽的公园， 这个公园有七座桥，四个小岛，这七座桥将小岛的两岸和岛屿连接起来，成了当地有名的散步之地。突然有一天，有个人在散步时提出了这样一个问题， 一个散步者怎样不重复不遗漏的走完这七座桥，最后再回到出发点呢？这个问题一提出，很多人对此产生了兴趣，纷纷 进行试验，成千上万的人，一次又一次的尝试，始终未能解决。上面讲的故事就是非常有名的哥尼斯堡的七巧问题， 那么这个问题到底有没有解呢？哥尼斯堡的七桥问题同时也引起了前来做访问的数学家欧拉的注意。欧拉并没有像其他人一样到七座桥上去散步， 他将把每一块陆地考虑成一个点，用 a、 b、 c、 d 四个字母代替连接两块陆地的桥，以线表示，也就是用七条线代替了七座桥。 这样七条问题便转换成了一支笔，在笔不离纸的情况下，从某一点出发，不重复、不遗漏的描完这七条线，再回到出发点的一笔画问题。就这样， 格尼斯堡的七条问题被欧拉改成了一个数学问题。但是这个问题的解决并不顺利， 欧拉日以业绩的苦苦研究，认真思考走法，但始终没能成功， 于是他怀疑七条问题也许是无解的。终于在一年后，欧拉成功的解决了这一问题， 当时他才二十九岁。那么欧拉最终的答案是什么？表示哥尼斯堡的七条问题是不可能实现的， 也就是哥尼斯堡的七条图不能进行一笔画，那么拉给出结论的依据是什么？什么样的图形可以一笔画呢？ 一七三六年欧拉在哥尼斯堡七巧的论文中明确指出，要使得一个图形可以一笔画，必须满足两个条件， 一、图形必须是连通的。二、图中的基点个数是零或者二。那么 什么是连通图？几点又是什么意思呢？下面我们通过图形来看一看吧。在一个图中，如果图中任意两点都有路径相连， 这个图就是联通图。比如我国国旗上的五角星都是联通图。在一个图形中， 一个点向外发出线的条数为基数，条就称为基点。一个点向外发出的线的条数为偶数，条就称为偶点。例如 这个类似于房子的图形中，有两个点向外发出的线的条数都是三，故这两个点是 基点。而另外一些点，他所发出的线数都是两条，故，这两些点称为偶点。有了欧拉的这个定理，哥尼斯堡的七条问题就很容易解决了。 显然，欧拉转换的哥尼斯堡几何图形是联通的，满足第一条。但是每个顶点向外发出的线都是基数条。 比如 a 点向外发出的是有三条线， b 点向外发出也是有三条线， c 点向外发出有五条线，而 d 点向外发出有三条线。所以 这个哥尼斯堡几何图形一共有四个基点，不满足第二条。因此，哥尼斯堡的七条问题无解。那么问题又来了，如果一个图形可以一笔画，应该从哪开始画？ 不能一笔画，又至少需要几笔呢？欧拉在阐述一笔画理论的时候，不仅解释了什么样的图形可以一笔画，还指出了可以一笔画的图形怎么画。 不能一笔画的图形至少需要几笔的问题。首先，只有偶点的联通图和有两个基点的联通图是可以一笔画的。凡是有偶点 组成的连通图，一定可以一笔画成，同时可以把任意偶点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。比如国旗上的五角星， 他只有 o 点，所以从任何一点出发都可以进行一笔画。 第二种，凡是只有两个基点的连通图，其余都为偶点，一定可以一笔画成。画时必须把其中的一个基点作为起点，另一个基点作为终点。 例如这个类似于房子的图形有两个基点，因此必须把其中的一个基点作为起点，另一个作为终点， 才能顺利完成一笔画。其他情况的图都不能进行一笔画， 基点数除以二便可算出此图至少需要几笔画成。 例如，哥尼斯堡的七巧问题里面有四个基点，因此该图要想完成，至少需要四除以二等于二 两笔才能完成。那么一笔画理论有什么用呢？欧拉的一笔画理论不仅解决了哥尼斯堡的七巧问题，他在迷宫平面图出入口的设计以及路线规划等。 下图是邮递员送快递的路线图，甲、乙两个邮递员去送信， 两人以同样的速度走遍所有街道。甲从 a 点出发，乙从 b 点出发，最后都回到邮局。 c 点， 如果要选择最短的路线，谁先回到邮局呢？从图中可以看出，这是一个联通图。图中通过问题分析我们可以看到， a 点出发有三条线， b 一点出发的线也是有三条， 所以图形中可以看出 a、 c 两点都是基点，而 b、 d、 e、 f 出发的线均为偶数条，故这四个点都是偶点，因此图形可以一笔画。根据一笔画的 规律，只有从 a 点或者 c 点出发才能不重复的走遍每条路，而甲、乙速度一样，甲从 a 点出发走的路线是最短的， 因此只有从 a 点出发的假邮递员才能先回到邮局。好了，我们今天的内容就讲到这里，大家一起来总结一下吧。 我们学习了一笔画定理，一个图形可以一笔画必须满足两个条件，一、图形是联通的，二、图中基点的个数为零。或者二 一笔画的规律。如果只有偶点的连通图画时，可以把任意偶点作为起点，最终一定能以这个点为重。 终点如果有两个基点的联通，图化时必须把其中一个基点作为起点，另一个基点作为终点。 其他情况的图都不能一笔画，且至少需要积点数除以二便可完成。通过本节课的学习，大家还可以发现，数学来源于生活， 最终又应用于生活，希望大家今后能用学到的数学知识解决生活中的实际问题。本节课到此结束，谢谢大家好！

你要是一笔能画出这个形状红包，我一拿去随便花， 这样都行，我的啦，哈哈哈，这太厉害了。

这样的图能一笔画吗？这样呢，我现在再给你画一个，我现在画一个物品，杂一点的行吗？哈哈哈，救命啊，回去想吧。七条问题是十八世纪古典数学的问题之一， 在哥尼寺堡的一个公园里，有七座桥，把河两岸和中间两个岛连接着起来，但是欧拉呢？把它简化了，画出来一个这样的简化图。看清楚了，刚才在河里边这个是 a 点， 这个是笔点，也就是两个岛屿，这边是一个按，这边是另外一个按 abcd 这四个点，那么桥呢？有七座，看看是不是一二三四五六七七座桥。好，现在这个图能不能一笔画出来呢？欧拉说不可以， 为什么？就是因为像这样的焦点有三根线，三是基数吧，这样的焦点有五根线相交，五也是基数吧，三五七这样基数点存在就是基数点，不能超过两个， 超过两个你就画不出来了。那这里技术点有四个也画不出来了，所以七条问题不能一笔画，也就是一个邮差，不能七座条，每个条直走一次，从哪里出发之后回到这里。一笔画的问题。不可能， 这个可能吗？技术点只有两个可能啊，从技术点出发，必须从技术点出发啊。画一下， 哎，是不是画出来了，那个是怎么也画不出来的，你不相信试试看。好，你现在要考别人一笔画的问题，你就可以自己画一个图形，你要让他画不出来，你就有基数点，就要要超过两个，你让他画不出来，基数点可以一个也可以两个，知道了吧，去考考人家吧。

各位朋友们大家好，今天我们来讲一个三年级两级分化非常严重的一个指示点，叫做一笔画。 那什么叫脸型的话非常严重呢？就是好的同学学的非常好啊，不好的同学呢，是真不好，可能一道题都做不对。 那要想说好一笔画，我们要学习两个支点，第一个支点叫做不抬笔可以画出来的图形叫做联通图，那么相反，不抬笔不能画出来的图形，那叫做非联通图， 这是一个指点。第二个指点，基点和藕点，基点，从一点引出基数条线段，这个点叫做基点，这里面有一个强调啊，就是这个字读基，在数学，数学里面读基。医生，藕点，那顾名思义就是从一点引出 出偶数条线段，叫做偶点。好了，学习好这两个支点以后啊，我们就可以看下面这道题了。第一，填空与总结，他给了四个图形，对吧？让你找他的基点数，偶点数和可否运化， 那么下面老师就教大家如何去找这个基点和偶点，很多同学就错在这，有同学他不会找，还有一些同学他找错了，所以这些题一笔画的问题就做不对。那我们来看一下什么叫做基点数， 那么要想找到基点和偶点，那么同学们记住，必须要把这个图形里面所有的点都要找一遍。那我们来看这个点，这个点，从这一点引出基数条线段，是引出偶数条线段呢？我们来查一查， 哎，左下一个，右下一个，对吧？哎，应该是两条，所以他不是几点啊，不是几点，那么他应该属于偶点，对吧？偶点我们就不用，不用画圈，对吧？就摆在这就可以了，那么这个点呢？应该也是偶点，对吧？ 领出了两条线段，那同样呢，第三个点也是偶点，所以这道题基点数是零个，没有，那么就是零，偶点数呢？是三个， 然后可否一笔画？那这个时候同学们没有别的办法，就只能去描一下，看他能不能一笔画。哎，三角形可以一笔画出来，所以他应该是可以一笔画的， 所以这是第一个图形。我们来看第二图，第二个图形，同样的要把每一个点都找一遍啊，每一个点都找一遍。那么首先来看上面这个点啊，上面这个点他演出了 三条线段，对吧？啊？引出了三条线段，所以他应该是基点啊，那么就把它画成一个圆圈，作为一个突出标记，那同样的，这个一，这个点引出了两条线段，他不是的是五点，中间这个点引出了三条线段，所以他是几点，那么我们画一个圈，表示他是几点？ 同样的，右边这个点是藕点，所以基点的个数是两个，藕点的个数是两个，那么能不能一笔画，还是我们的老办法，对不对？这个时候我们没有学总结，所以只能让同学们自己去描一遍， 那么这个图形也非常的好描，对吧？哎，描一遍完全可以一笔画出来，所以他应该是可以一笔画的，这是第二个图形，第三个图形，那还是老规矩，对吧？把所有的点都找一遍，然后确定几点偶点 和是否一笔画，那么这个我就不再重复了，他的基点个数有两个，偶点个数有三个，图已经标出来了，同学们可以去自己找一找，那么可否给你画呢？我们也可以，怎么样？ 哎，画一下对吧？自己描一下，看可不可以一笔描出来，哎，答案也是可以的。那么最后一个图形，大家看， 最后这个图形老师已经把他的积点数描出来了，对不对？圈出来了，他一共有六本积点，一个偶点， 那能不能一笔画呢？这个图形是不可以一笔画的，同学们如果不信的话，可以下去自己去描一遍，可以吧？好了，那么讲完这四个图形之后啊，我们就可以给大家结论了啊，是否可以一笔画，也就是说一笔画的条件。那么首先有两点啊，第一点必须满足是连 图也说你不抬笔就可以画出来的图形，才能叫做联通图，对吧？第二个知识点叫做基点的个数是零个或两个，你才可以画，如果你要几点，个数是六个的话，那么你是不能一笔画出来的， 所以这个结论是最终得出来的最重要的一条结论能否硬化，我们以后就不用描了，就看他是否满足这两个条件就可以了。 好了，同学们，一笔画，我们就讲到这，大家点赞收藏，我是王老师，咱们下个视频见，下课。

大家好啊，这里有一道题目啊，叫一笔跨层。那么写这条题目之前呢，我们先玩一个游戏，这个游戏也叫一笔跨层。 我很少玩这个游戏，但是呢每次玩呢都可以。呃，很快就可以得到结论。嗯，你比如说 如果别人我还可以变一个魔术啊，如果别人直接给我这个东西的话呢，我就可以直接玩，很快就可以 玩出啊那个答案来，甚至我蒙着眼啊，都可以玩出这个答案来 啊，很快啊。好，我们回答这个题目啊，那是不是所有的一笔跨成啊都可以，就是 玩成功了，手机里面的是可以，所以手机里面呢这个游戏是有缺陷的，我觉得这不不全面。嗯，所以，但是呢，我还是建议大家可以玩一下这个一笔画成的游戏， 这个游戏当中有四分之一呢是关于数学的，这些是可以玩的。一位邮递员送信能不能不走重复的路线，将这九封信送到那， 呃，我试了很多遍都是不可以的，我的直觉告诉我是不能的，不能重复的步骤，呃，这个走重复路线那，呃，我，我为了说明这个问题，我 利用数学的一个跨简的方法啊，把这个看出是一个点，把第二也跨成一个点，就是从这里走到这里，从这里走到这里 啊，那个第三的话呢，可以携带到啊，又把这条路的话呢变成一条线啊，把这个点，第四呢变成一个点，把第五呢也变成一个点， 然后把这条路呢其实就变成一条线，第六呢其实就在这同样的道理，第七第八第九 就把这条路变成一条线。那么这个图可不可以一笔画成呢？我们无论从这里出发啊，还是从这里出发啊，还是 从这里出发，嗯，都不行，一定会走重复的，所以这条题目是不行的啊。好，我们再来下一题， 这个是我的直觉，哎，以及啊，假设法是可以告诉我们答案，以及这条题目，两个蚂蚁分别从 p 点和 m 点 出发，那么从 m 点出发啊， m 点出发好像要走重复的路。从 p 点出发的话呢，很明显他是可以 一笔画成的啊，可以一笔画成，所以的话呢，批就是答案。批用的时间，从批点出发的蚂蚁的是最快的，因为他不走重复的路，而 m 点的跨呢，一定要走一段重复的路，所以批点用的时间最少。那有没有方法可以解释？ 我的直觉是对的呢？接下来我提出啊，二年级一笔跨程读这个题目，其实他有一例啊，在那个一七三九年，大概我出生之前，我现在三十几岁了，出生以前的两百多岁啊， 两百多年前啊，有一个年轻的小伙子，二十九岁，他呢，写了一篇论文，叫做哥尼斯堡七桥的。呃，论文， 那么这个论文的作者是谁？来，大家可以猜一下。对，没错，是欧拉欧拉，基本上数学里面有一半的公式都是他写的。那么这个题目的话呢，困扰了人们几百年， 就是从哪里出发都可以啊，从这里出发的，这里是一个岛，这里是一个岛，你要怎么样一笔就可以全部走完啊，一 通过一条线路就可以把所有的桥都走完，发现是不能的。但是人们啊，一直被这个题目所困惑，那现在我们可以化解一下，把这个档呢看成是一个点， 一个点把这个，因为这里是档吗？这里是档，可以走这条路去这个啊，这里是按嘛？从这个按走到这条这个档，从这个按走到这个档，从这个按走到这条档都可以。 所以的话呢，我给这里一个点，给那个按一个点，通过电阻桥，通过那个铁匠桥，通过这个木桥 是可以去到另外一个呃，那个岛的，而岛与岛之间呢又可以相通啊，同样的道理呢， 这里又来了，呃，一个岸啊，两条桥要一直去到这个通过高桥去到那个 密桥的那个岛。那么这个图可不可以一笔跨成呢？很明显跟刚刚的两前两道题目都是一样，我们，哎发现了是不能走完的。通过假设法啊，总有一段啊，从这里出发啊， 总有一段是走不完的。那么啊，我的直觉告告诉我啊，如果是手机的节目的话呢，我们从基础点 出发，基本上眯着眼睛都可以走啊，乱走都可以走，走成功。但是呢，实际上有很多的题目一笔画成题目是不能完成的，而且我们要说明他不能完成，我们用假设法 是很疑惑，要试很多遍，那有没有什么方法可以让我们证明我们的直觉呢？就是通过，呃，基数点啊，有三两个基数点以上的那个就是不能化成，也就是说比如说这个是节点，然后你 一条线有一条分期，两条分期，三个分期，当这样的点存在超过两个以上，两个是可以的，两个以上的是不能一笔画成的。那为了证明这个东西的话， 我现在来啊列个表给大家看一下， 这个列表法的话呢，其实是数学的归纳法，他可以帮我们处理很多啊，很多很多问题， 尽量画大一点，我们给他一个 编号，从这里开始还可以定五四三二一。好，这个 一二三四五六呢？哎，就是用来我们分析的，用的是代表，什么意思呢？是 代表啊，你有很多个节点，每个节点呢？是有多少个分期啊？是有多少个分期？这里也可以快的挂线 啊，什么意思呢？有多少个分期？比如说你这个点是有一个分期的，我写在照啊，这个点是有两个分期的，我写在照。这个点有三个分期的，我写在照啊，然后统计一下他， 看一下能不能发现一些问题，然后呢我们选嗯，这个十二个图来做分析，一 二三四五七八九 十十一十二，尽量多一点位置。对，要分析的图比较多， 数学需要耐心啊，因为有很多的结论啊，都可以冲过这个图来得到一切关键 啊。第一个图呢是一个圈圈，这个圈圈呢，我们可不可一笔画成呢？答案可以，那他有没有节点呢？我们也可以假设他有，也可以假设他没有， 所以啊，假设他没有节点的话呢啊，他就全部为零，他都没有节点了，更加不会有那个分歧啊。啊，然后 第二个图有点像那个寸字啊，那么他的节点有多少个呢？一个节点，这个算不算呢？这个不算吧啊？一个节点两个节点，三个节点四个节点 啊，因为这个肯定是好像是一条，其实展开就是一条线，所以我不算啊，一二三四有四个节点，那么这四个节点的话呢，他每一个节点都是有四个问题，一二三四一二三四一， 一二三四，一二三四都是有四个分期，所以这四个节点都有四个分期，这里是分期，分期啊，这边呢就是图 跟编号好，我们所以其他的话只能是零了。我们看一下第三个图，第三个图的话呢， 跟我们刚刚啊做的这个题目啊，送九封信的这个题目是一样的，就是一个填字，那么这个其实也可以不不作为一个节点啊，刚刚题目当中是作为一个节点， 其可以不作为一个节，这个一个节点两个节点，三个节点，四个节点，五个节点就可以了啊，你也可以把这些也算上，也是可以的 啊。一二三四五有五个节点，其中啊有四个，一二三四有四个节点，都是三个分歧的。一二三一二三一二三一二三有四， 四个节点都是三个分期的。那中间这个呢？一二三四，中间那个节点是有四个分期的啊，总共有五个节点，其他为零。 我们再看一下第四个图，一个菱形啊 连着，那么这里有多少个节点呢？一个节点两个节点，嗯，这里可以展开一条线，我就不算了，那就是有两个节点，两个节点的话呢，他有多少分期？一二三四这里也是四个，一二三四有四个，分，两个节点有四个分期的， 其他为零。这边是代表分期数啊。然后我们看一下第五个图，第五个图呢是一个圈圈啊， 为了证明我们的直觉，夸的时间也是过多的，那也是这样的。好，这里第五个图呢有多少个节点呢？一个节点两个节点，很明显这两个节点啊，都是类类似的，同样都有多少个节？一二三四 一一二三四。有四个分期，有两个节点，四个分期。那么这四个点呢？右边的这四个点呢？有多少分期？都是三个分期，所以可以写零零零。 我们看一下第六个图，第六个图呢是一个五角形，第六个数是一个五角形，那么这些就不算了，因为展开是一条直线，一个分节点，两个节点，三个节点，四个 节点，五个节点。有五个节点，那么五个节点基本上都是四个分期的。我们数一下，一二三四一二三四一 二三四一二三四一二三四。对，没错，那其他的话呢？只能是您了。我们再看一下第七个啊，第七个的话呢，是很出名的一个图啊，我教六年级的时候呢，经常用这个图来锻炼同年享能力。 那他这个节点的话，一二三四五六，有六个节点，六个节点呢？呃，可能都是一样啊，有多少有多少分期？一二三四一二三四一二三四一二三四一二三四一二三四。对，有六个节点，都是 四个分期的。嗯，那个啊，对，这应该写在这把其他的我也给你。 好，我们看一下第八个图，第八个图像一个鼓啊，像一个鼓，也有点像刚刚的格力士 格力 spa 技巧原理，这个图刚刚的话呢，我就画到八，然后，哎，按照前面的方法如法炮制， 那么就可以写到那个第十二。那我还在下面的话呢，加一点点，就是大家可以试一下哪些图是可以一笔画成的，其中这个我写错了，应该是可以的，因为我画那个图的时候呢？哎，我重新画一下， 画的不是着急，所以呢就画错了。啊。那这个图的话呢，应该是这样子， 看得清。应该啊，还可以，没问题啊，一个节点，两个节点，三个节点，四个节点，五个节点，六个节点，七个节点。我们在这里 这组数据的话要稍微改一下。啊，这组这个才是啊，把这组数据稍稍改一下。嗯， 但其中这五个节点的话呢，都是有四个分期的，一二三四一二三四一二三四，一二三四一二。

今天老师给大家讲一类一笔画的问题，应该怎么做？判断下面图形可不可以一笔画？很多同学在判断能否一笔画的时候呢，都是用尝试，如果他试出来可以一笔画了就能一笔画，试不出来就不能。实际上啊，这种办法很不科学，有可能是能一笔画的，你并没有试出来。所以 今天老师教给大家怎么样准确的判断一个图形能否一笔画。那我们来判断一个图形是否一笔画的时候呢？先做这样一个事啊，这个图形中会有很多点， 咱们把图形中的很多点啊，分成两类，一类叫基点，一类叫偶点。那我们举个例子，什么叫基点呢？像这种点有三条线跟他连着，有基数条线跟他连着的点呢，我们叫做基点啊，基点 有偶数条线跟他连着的点呢，就叫偶点。那 什么样的图形可以一笔画呢？只有两种图形可以一笔画。第一种没有几点的图形，全是偶点的，是可以一笔画的。第二种呢，有两个几点的图形是可以一笔画的，而且这两种有一个区别，没有几点的图形呢，从任意一点出发，都可以 有两个基点的图形，这两个基点，一个是起点，一个是终点。 好，那我们来看三道题，我们把这个一笔画问题变成了找基欧点的问题，不要再去尝试了。我们看第一个 这个中字啊，这里一条线跟他连着几点，这里呢，四条线连着偶点，偶点， 欧点，欧点欧点，这里又是个极点。好说明这个图中啊有两个极点，咱们看一下，两个极点是可以一笔画的，一个做起点，一个做中点，我们试一下啊，从这里出发，哎， 好像是可以笔画的，对不对？好看。第二题，这个田字，田字里也有一些点啊，这个点是两条线连着，是偶点，所以这四个都是偶点，对不对？这里呢？跟着老师举个例子， 三条线跟他连着，所以他是基点，那这里，这里，这里，这里四个基点啊，不行，没法一笔画。 好，咱们再看第三个，这个五环啊，这个五环，这五环里面所有的点都长成这个样子的啊，咱们仔细看，所有的点都是这个样子，所以我们看一个点就够了，这一个 点，一条线，两条线，三条线，四条线跟他连着，所以他是偶点，所以五环里面所有的点都是偶点。那零个几点， 所以他是可以一笔画的，从任意一点出发都可以。好，再遇见一笔画问题，我们就变成找基点和偶点的问题，再也不会出错了。