平行四边形为啥不是轴对称图形

轴对称图形因其端庄典雅、稳重大方，在生活中广泛存在。简单的如正五边形， 临时都是走对阵。主席沿着某条直线折叠， 上下两部分能够完全重合，要走对阵呼吸。 为什么不少同学将平视更新看着走对称图形呢？这是 对平时变形动手实验操作体验缺失的原则。减下一个 沿对角片折叠， 两部分三角形不能完全重合。 沿命运挑对方选择 两部分三角形，也不能完全存款。 故意的让他们从何呢？ 只有部分重合，不能 做到完全重合。可见平时变形 不是走对阵突袭。动场操作理性，类似走对阵突袭。

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。你看这平行四边形，我画到这了啊，你看它就不是对称过去的没有就这么翻的，就是没有这么看这么看的，是不是一个图形的， 听明白了吗？没有翻一页看的啊，都是这么看和这么看是一个图形的中心对称图形。

hello， 大家好，很多同学图推对称体，年年做年年错，尤其是中心对称，永远靠瞎蒙，今天呢，我用最通俗的方法，两句话帮你彻底搞定公考所有的对称考点，零基础同学也能听懂。首先轴对称超级简单， 你就记住三个字，对折稳。图形中间画一条线，左右两边能完美重合，严丝合缝的叠在一起，就是轴对称。比如说我们如下的图例，爱心，我们去进行一个画轴对称 等。幺三角形以及字母 a 都是典型的轴对称图形，咱们可以去记忆一下。最难的呢也是中心对称，很多同学呢有点反应不过来，但是呢，不用你脑补，旋转考场的话，咱们直接卷子倒过来看，考场话直接和你把卷子倒过来看， 把图形旋转一百八十度倒过来，和原图长得一模一样，没有任何变化，这就是中心对称。中心对称，像我们下面 s 图形 z 以及平行四边形，都是典型的标准的中心对称。 这里呢，给大家讲一个公考最大的陷阱，就是我们的普通的高频的易错坑，普通的平行四边形，也就是我们如下的平行四边形，它不是轴对称，因为呢，它对折是合不上的，对折是根本合不上的，但它是中心对称图形绕中心点进行旋转倒过来是完全不变的。最后呢，我们来总结一个秒杀口诀，也就是我们的万能口诀， 对折重合。轴对称就是对折轴倒过来不变，倒转心围绕着中心倒转不变的就是中心对称。如果既有对称轴倒过来还不变，那就是双对称图形。满足两个条件以后公考所有对称的分组题啊，属性判断题直接秒杀咱们再也不丢分，典型的都要记下来。

数学考试遇到的对称图形，分不清数不对，对称轴，一分钟帮你理清楚！先记一句话，轴对称对称，两边能重合！第一类常见图形，长方形对折两条，横竖对折， 正方形对折四条，横竖加两条对角线，圆无数条过圆心的直线都是对称轴。平行四边形，普通的没有对称轴，千万别记错了！ 第二类属对称轴，三角形等边三角形三条，等腰三角形一条。随便画的三角形零条。 正多边形有几条，边，又有几条对称轴，正方形四条，正五边形五条，正六边形六条。 一个小窍门，对称轴一定过中心点画不出来，就是没有轴对称看重合，对称轴数边边。记住这两条，考试不丢分！我是石景山做教育的徐笑，期末悄悄变聪明！

下面，哎，这些图形中各有几条对称轴呢？那我们知道什么样的图形它才有对称轴对称图形，哎，必须是轴对称图形。那什么是轴对称图形呀？ 必须对折后两边能够怎么样完全重合的图形，他才是轴对称，那折痕所在的这条线就是他的对称轴，对称轴。所以接下来我们就可以通过折一折的方法来找出这些图形的 对称。好，那我们先来看第一幅图，认识吗？什么图形？正方形，它有几条对称轴呢？四条，哎，我们可以来折一折，一起来看这个正方形，我可以怎么折？上下对折，你们看， 上下对折之后，上边和下边这两部分能够完全重合，能不能完全重合？所以这条线就是他的对称轴一条了吧。哎，我们找到一条，还有吗？我们还可以左右对折， 两边也能够完全重合，所以这条线也是也是他的对称轴。还可以怎么对折？斜着，哎，斜着，沿着对角线 对折，仔细观察两部分有没有完全重合？有，所以这条线斜着的这条线也是它的 对称轴，那我这样斜着，这条线是它的对称轴，那这样斜着呢，也是它的对称轴。所以正方形它就有几条对称轴，四条条给它画出来， 我们画的时候要画成虚线、虚线，所以正方形一共就有四条，四条。接下来我们再来看长方形，它有几条对称折啊？两条，两条。我们来折一折，它可以 上下上下对折，哎，仔细观察，重合了没有？重合了，所以这条线就是它的对称折。还可以怎么对折？左右左右对折， 左边和右边能不能完全重合？所以这条线也是他的对称轴。还可以这么对折。 哎，我听到有同学说还可以斜着看，行不行？我们来操作一下，我们来折一下。那我们来看， 斜着对折之后，两部分能完全重合吗？不能。能不能完全重合？这两部分是不能完全重合。所以这条线是他的对称轴吗？是不是？不是？那同样的，我这样再斜着对折一下， 两边能不能完全重合？也不能，所以这条斜着的两条线都不是他的对称轴。那正方形，那长方形，他有几条对称轴啊？两条，他只有两条对称轴，一条是， 一条是只有这两条斜着的，不是他的对称轴。那么再来看第三幅图，这个是一个什么图形？平行四边形。那他有几条对称轴呢？ 没有没有，有没有？没有？刚才我在下面转的时候，有同学画出来了两条，他是这样画的，斜着画出了两条。这两条是他的对称轴吗？不是，是我们来折一下。哎，沿着他的对角线啊，我们来斜着折一下， 仔细观察。沿这条线对折后，这两部分完全重合了吗？那我们再来观察一下，被这条线分成了这两个三角形，你仔细观察一下，他们这两个三角形长得一样。不一样，虽然长得一样，但是沿这条线对折后 还没有完全重合。能不能重合？不能重合。我们知道只有对折后能够完全重合的才叫什么轴。对称图形，这条线也才是他的对称轴，他长得一样，但是他不能完全重合。所以这条斜着的线是他的对称轴吗？不是的。那这条线不是。那换着斜着这条线呢？ 也不是。那斜着这条线呢？是不是也不是？那这样的平行四边形，它有几条对称轴？没有？没有，有没有？没有，就是零条， 哎，这里要注意啊，这个比较容易出错。我们再来看第四幅图，它也是一个平行四边形，只不过它有一点特殊，每条边都一样。对了，仔细观察，你会发现它的这四条边长短是一样的。那像这样的平行四边形在后面啊，我们会学到它叫菱形。 那这样的图形，它有没有对称轴呢？有，有，在哪呢？我们来你比划一下在哪斜着 哦，斜着，沿着他的对角线，看能不能完成，能不能能，所以斜着的这条线就是他的。那只有这一条吗？还有另一条斜着的，这样斜着重合了没有？重合了，重合了没有。所以这个菱形中他就有几条对称轴，两条两条。 好，这是一般的平行四边形，它是没有对称轴的特殊的，哎，也就当它四条边都相等的。像这样的平行四边形，它是有两条对称轴的，我们把它画出来，哎，这两条斜着 没问题吧？好，接着我们再来看三角形，哎，我们重点来看一下啊，这也是刚才你在画的时候错的比较多的。先来看第一个三角形，你观察一下它的三条边 有什么特点，三条边都一样长。像这样的三角形啊，三条边都一样长的三角形，它叫等边三角形，顾名思义，等边三角形，那就是它的边怎么样相等都相等。 那像这样的三角形，它有几条对称轴呢？一条还是三条？几条一起来看？我可以 啊，这样对折一下，竖着这样对折一下，观察重合了没有？重合了，所以这条线是他的对称轴吧？是一条了，还有吗？我这样转一下，这样是不是更方便我们观察。还可以怎么对折？再让他左右对折， 看。重合了没有？所以这条线也是他的对称轴。还有吗？现在两条了，我再转一下，还可以，左右两边也能够完全重合，所以这样的三角形，他有几条对称轴？三条，三条对称轴，我们也给他画出来， 哎，从这个顶点出发，哎，向对边画一条线，哎，这样折过来还可以，从这个顶点还可以从这个顶点出发啊，这样折过来也是他的对称轴，所以等边三角形就有几条对称轴。大声告诉我，三角。 好，那我们再来看这个，那这个三角形你观察一下它的边有什么特点，它的三条边都相等吗？不相等，有两条边，有两条边，它只有什么？它只有两条边是相等的。那像这样的三角形，它也有自己的名字，叫等腰三角形。 我们有腰没有？有腰没有。摸摸你的腰是不是在这？我们的腰左边和右边一样？不一样，一样一样。那你来看这个图形，它的这条边和这条边是一样长，所以它就叫等腰。等腰三角形。能理解吗？ 下面这条边和上面两条边的长短可是不一样的啊。这样的三角形，它就是等腰三角形。那这样的三角形，它有几条对称轴呢？一条？一条，几条在哪？左右对折，左右对折，左右对折。观察 能不能完全重合？能，两边能够完全重合，所以这条线就是他的对称着。那还有没有先给他画出来，找到了一条，还有吗？没有。我能不能这样从这个顶点出发给他对折一下？不能，能不能呀？不能。你能想象出来吗？ 看重合了吗？没有，重合了，没有。那我这样对折，从这个顶点出发，是不是也不能重合呀？是，所以等腰三角形他只有一条一条。 接着我们再来看这个三角形，先来看他的三角边，他的三角边长短一样吗？对，他的三角边长短都不一样，他只是一般的三角形。那这样一般的三角形他有几条对称轴呢？一条有没有？ 哎，和这个是一样的，是不是一样的？知道有人说一条在哪呢？在竖着，对着下面。哦，竖着左右对折过去是吧？那我听你的啊。哎，我又听到了不同的声音。那到底这条线是不是呢？ 是不是？是不是？是不是？两边能完全重合吗？所以这条线是不是它对称轴？大声告诉我，不是，是不是。那我换一下，我从这个顶点出发就直，你猜是不是？是， 是不是。那我再换这个领领。是，是吗？不是，是不是？不是。哎，我不管怎么对折，他都两边都无法完全重合，所以他有没有对称轴？没有，那是几条零。 哎，老师小结一下，做题认真听。一般的三角形它是没有对称轴的，如果它是三条边都相等，也就是等边三角形的话，它有三条对称轴，等腰三角形的话，它只有一条对称轴，听明白了吗？好，最后我们来看圆形， 这个比较简单，四条，四条，只要经过这个中心点的直线，我任意画 都是他的，什么都是他的，都是他的。什么？我只要经过这个中心点啊？我不管怎么折，我这样折也好，我这样折也好， 或者我这样折，我只要经过这个中心点的直线都是他的什么？所以圆就有多少条？无数无数，听明白了吗？听明白。

平行四边形性质四个选项最容易踩的坑，你会怎么选？这个知识点呢？其实常考在我们的选择题当中，如果你满分一百二、三分，如果你考的是满分一百五，那就是五分，我们一起来看看这个五分怎么拿。最简单的第一个，他说若这里有一个平行四边形 a、 b、 c、 d， 它的对角线 a、 c 和 b、 d 交于一个点 o。 以下结论错误的是，我们读完之后没有给图怎么办？哎，自己动手丰衣足食是吧？那圆圆给大家画了一个平行四边形，看上去也挺标准的。这里 a、 b、 c、 d。 第一个，他说角 a、 b、 c， a、 b、 c， 是 不是这个角等于 a、 d、 c 对 吗？对的，因为我们平行四边形的性质就有对角是相等的，所以 a 选项正确。 第二个，我们来看 b 选项，他说 a、 b、 c、 d 一定是一个中心对称图形，对的，圆圆给你的补充性质里面就讲过，他旋转一百八仍能重合，所以我们的 b 选项也是对的。 c 选项他说 a、 o 垂直于 b、 d， 那 么我们现在先连一下对角线，这是 a、 c， 这是 b、 d。 如果我们得到了这一个是垂直的话，请问 bc 可以 等于 cd 吗？可以，因为我们知道平行四边形的它的对角线是互相平分的，所以我们可以得到 o、 b 是 等于 o、 d 的， 再加上这里是垂直，就让我们想到了中垂线的性质。垂直平分线上的点到线段两岸的距离是相等的，所以我们可以得到 bc 等于 cd， 那 么 c 选项也是对的。 d 选项他说平行四边形 a、 b、 c、 d 不 可能是一个轴对称图形，也就是说轴对称就是根据一条线可以翻折过来，那么我们平行四边形，当 c d 等于 a d 的 时候， 那你就根据 b、 d 这样翻过去，它其实是可以做到重合的，那也就是我们的菱形，虽然我们现在还没有讲到菱形，可是你要知道，当我们的 c d 等于 a d， 或者说刚才 c 选项当中垂直的时候， bc 等于 c d， 那 么他也是可以根据这条线重合在一起，所以他说不可能， 那么这个点是错的，当然你用排除法也能做明白，那现在这个性质你能够灵活的运用了吗？这道题我们正确的答案是选 d， 如果你听懂了，自己做一下辨识吧！如果视频对你有帮助，给媛媛点个赞！

大家好，这节课我们来讲第六章平行四边形。第二节平行四边形的判定。第一课时， 我们来回顾一下之前学过的平行四边形的性质，从四个方向来进行一下总结。首先是对称性，它是中心对称图形，对称中心呢是对角线的焦点。 边的方向有两个性质，一个是对边平行，一个是对边相等。角的方向呢，我们说也有两个性质，一个是对角相等，一种是邻角互补。对角线的方向是一个性质互相平分。 大家记住这四个维度啊，等到之后我们再学菱形，矩形，正方形，也是从这四个维度来进行分析它的性质的。 下面呢，我们来看一下这个问题。如图，我想要画出一个以线段 ab 和 ad 作为邻边的平行四边形，那么你有哪些想法？ 我们呢可以根据平行四边形的定义，分别画出 ab 还有 ad 的 平行线， 它们交在一点，这样的话，咱们就利用它的定义得到了这样的一个平行四边形了。哎，那么四边形 a、 b、 c、 d 就 一定是一个平行四边形， 那你还有其他的方法来画这个平行四边形吗？ 也就是说我刚才通过定义来证明了我画出的四边形。视频四边形要想用其他的方法，我就要了解还有什么方法可以说明一个四边形是 平行四边形的，比如说我们通过它的性质能够理解，也许可以通过两组对边分别相等，或者是一组对边平行，而且相等来完成这个画法。 所以今天呢，就让我们一起来进入探索平行四边形判定条件的一个学习。首先呢，我们先来探索平行四边形的第一个判定条件， 根据定义，两组对边分别平行的四边形肯定是平行四边形了。那么除此之外呢，我们还能够发现平行四边形的哪些个判定条件？ 比如说，我们能够发现两组对边分别相等的四边形，它可能是平行四边形， 也就是意味着如果一组对边相等，另一组对边也同时相等，那么这个四边形就非常有可能是平行四边形。 让我们来尝试地证明这一个结论，我们来看一下哈。已知如图，在四边形 a、 b、 c d 中， a b 等于 c d， a d 等于 c b， 咱们来证明一下，这是个平行四边形， 要想证明它是平行四边形，咱们就得往它的定义上去判定，也就是两组对边分别平行。所以呢，我是想利用两组对边相等来得到平行， 要想正平行，它肯定跟角有关，哎，只有得到同位角相等，同旁内角互补，咱们才能够说明对边是平行的。 而给我们边相等，我们最直接的就是能够得全等的问题，有全等了，有角相等，有角相等，有平行，这是我们的一个基本思路。那要想正全等的话，咱肯定要连辅助线，因为这里面没有三角形嘛，所以来我们看一下 证明的过程，我可以将 b、 d 连接起来，这样的话就出现了两对内错角，哎，现在不知道相等的我们要正全等后，内错角相等是不就可以正平行了。来看一下，这两个三角形当中，条件都是具备的， 三边都相等，因为已知条件就告诉了两组对边相等了，中间又出现了一个公共边，所以这俩三角形就全等，全等后角一就和角二相。 写错了， sorry， 这里边角一就和角三相等，角二就和角四相等。哎，这个位置写的有点问题啊， 那角一跟角三相等，咱自然就能得到 a、 b 平行 c、 d。 角二和角四相等，咱自然就能得到 a、 d 平行 b、 c。 这刚好满足了我平行四边形的定义，所以咱们就能下结论，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 那也就是意味着如果两组对边分别相等，那么这个四边形肯定是平行四边形，因为它的使用频率也挺高的。所以呢，今后再遇到两组对边相等的时候，就不需要你去证明了，咱就直接把它 归一，那为一个判定定理了，你就可以直接使用了，我们把它叫做平行四边形的判定定理一，两组对边分别相等的四边形是平行四边形几何语言，我们来试着写一下， 因为 ab 平行 cd， 并且 ad 啊， ab 等于 cd， 并且 ad 等于 bc， 翻译过来就是两组对边分别相等下结论。那么四边形 abcd 就是 平行四边形， 这个就是我们判定定理一以及它的几何语言。下面我们对应着看你的练习。四边形 a、 b、 c、 d。 如果 a、 b 得 c、 d， bc 得 a d 满足两组对边分别相等， 所以它是平行四边形，角 b 得一百一十度是平行四边形性质就可以用了，那么角 d 肯定也是一百一，他问的是角 a 为多少度，那角 a 和角 b 是 邻补角， 不是邻补角，同旁内角啊，同旁内角互补，所以呢，角 a 就是 七十度啊，角 a 就是 七十度，这里边既用到了判定，也用到了性质。 下面我们来看第二个探求哈平行四边形的第二个判定定律， 取四根气木条，其中的两根长度相等，另两根长度也相等。那么能否在平面内把这四根木条首尾顺次连接，搭成个平行四边形？说出你的理由，跟同伴进行交流，那咱们尝试一下哈， 如果我将两根长度相等的木条作为对边，我刚好发现，哎，这就是一个平行四边形。根据我们刚刚所讲过的，两组对边都相等，那么它肯定是一个平行四边形。 那有些同学说，老师，那我不让他做对边，我让他两个相等长度做邻边，哎，结果我们同学就有可能变成这样的一个图形，他很明显不是平行四边形，这个图形呢，他长得有点像风筝的形状，咱们也管他叫征型啊， 它不是平行边形。我们就发现哈，这个相等的对边呢，这个对边的话，一方面它不相等，另一方面呢，它也不平行。那么我们就猜想，如果有一组对边相等了，并且也平行， 根据第一个图形的感知，咱们感觉它应该也是一个平行四边形。那么我们如何来证明这个结论？下面我们来看一下， 证明一组对边又平行又相等，这样的四边形是平行四边形。咱们先把已知条件来写一下，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中 给出已知条件，左右平行，左右还相等。然后呢，让咱们来证明这是个平行四边形。 要想正他是平行四边形，现在咱们就有俩依据了。第一个依据就是他的定义，两组对边分别平行，那咱们就想办法，正两都平行， 那他已经给了左右平行了，所以我们的目标就是正上下平行。想正平行就要正角相等，那还得考虑到全等的问题 啊，只要全等了，角相等就平行了，这是第一个思路，第二个思路，我们刚刚又学了一个判定条件，叫做两组对边分别相等，所以我给可以考虑正两组对边分别相等， 现在已经有左对边相等了，那么如果咱们再能证明上下对边相等就可以了，所以目标就转化成了正 a、 d 等于 bc。 想正线段相等，还是考虑全等，就要连接 a、 c 构造全等，进而证明上下相等。哎，都行。那现在呢，咱们用第二种方法来尝试着证明一下。我们来看一下啊， 刚才说了，我想证 bc 等于 ad， 我 就需要连接 ac 构造全等三角形 连接 ac， 将角一和角二标注，因为角一跟角二，这不是刚好左右平行的，那你错角吗？哎，因为左右平行，所以角一得角二，再找其他条件，又因为 ab 跟 cd 是 相等的，告诉的 还有一个公共边， a、 c 得 c， 所以 这俩三角形全等，那咱们全等的目的是为了得到上下两边相等，所以这个四边形就是平行四边形了。 根据我们刚刚证明出来的第一个判定条件来的两组对边分别相等， 那么我们就会发现一个问题，如果一个四边形中告诉了咱们有一组对边相等，并且他俩还平行，咱们也能证明出这是一个平行四边形， 那么今后再用的时候，我们就可以直接拿出来用了，就不用再证明了，也就是说已经把它变成了一个定力了。我们一起来总结一下这个定力。 平行四边形的判定定律二，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 那么在大题的书写过程当中，我们的几何语言是这样描述的，因为 ab 平行 cd， 并且 ab 等于 cd， 所以 四边形 abcd 就是 平行四边形。 当然我们也可以用上下两个对边相等又平行都行啊，只要找到一组对边平行且相等就可以了。

老师，平行四边形不是轴对称图形，为什么他就是轴对称图形呢？你测量一下，你看看这个四边形他有什么特点？ 老师，我发现这个平行四边形的边长都一样，四条边都相等，对，是吧？是 好，四条边都相等的，这叫菱形，他是特殊的平行四边形。好，大家来看老师手中的这个平行四边形，那么怎么判断他是不是折对折对称图形呢？我们可以采用对折的方法，对吧？我们先采用对角对折，如果能够完全重合，他就是折对称图，轴对称图形，对吧？来看， 哦，发现对折之后不能完全重合，对吧？那么这个对角我们再试一下，发现对折之后也是不能完全重合，对吧？我们在 连中线中间的线对折，发现对折之后呢，也不能重合，是吧？所以平行四边形呢？不是折对称图形。那么我们再来看菱形，菱形呢？刚才说了，我们量根据测量知道菱形他的四条边都相等，是吧？他是一个特殊的平行四边形， 那么他对折之后，我们看一下能不能重合，沿对角线对折方向重合，对吧？咱这条对角线对折重合，所以菱形他是轴对称图形，他有两条对称轴，分别是 他的对角线所在的直线，是吧？那么有同学会说了，老师，我们不是说是平四边形不是轴对称图形吗？为什么？呃，这个菱形他是特殊的平行四边形，他也是平行四边形，所以平行四边形到底是不是轴对称图形？那么老 给到老师给大家举个简单的意思，那么三角形当中呢？只有等腰三角形和等边三角形是折对性图形，那么我们能不能说三角形就是折对性图形呢？不可以，对吧？所以同样的道理，平四边形不是 不是轴对称图形，而菱形它是轴对称图形，你学会了吗？关注老师，让你天天学会！

什么叫平行四边形？哎，首先他得是个四边形，对吧？什么叫四边形？四边形的概念是什么？由四条边组成，由四条边组成。那你看我这样画一个行不行？四条边组成的，这是四边形吗？不是，手尾相接。手尾相接。好，我让他接起来 行吗？他还有什么要求不能在同一条直线上？对，你就像咱在学三角形的时候，三角形的概念是不是说不要在同一条 直线上，由三条线段去首尾相接组成的图形叫三角形？那么类比到四边形当中，就是不在同一条直线上的四条线段首尾相接组成的图形叫做四边形。那么平行四边形比四边形多了俩字，平行。这个是不是也叫四边形啊？ 它是平行四边形吗？不是。也就说我们平行四边形要在四边形的基础上再加一个要求，就是要平行。那要谁来平 行呢？哎，对边两组，对边分别平行，像这样的两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形。一般哈，你像这个这个平行四边形，我们记作平行四边形 a、 b、 c、 d。 然后你在写的时候，一个是去画一个小的平行四边形的符号，这个符号是小平行四边形。再一个，你在写这四个字母的时候，它有顺序的要求， 你要么是顺时针去写 a、 b、 c、 d， 要么是逆时针写 a、 b、 c、 d。 不 能说 a、 d、 b、 c。 这么去写，你必须要按顺序转着圈写，这是他书写上的一个小要求。再一个，他读的时候就读作可以四边形 a、 b、 c、 d。 一定要注意这个问题。 然后再一个，我们将它不相邻的两个点之间连线，比如说 b 和 d 的 这条连线叫做它的对角线。

同学们好，我是乔老师，今天我们接着讲解八下平行四边形的第三节平行四边形的判定。一好，首先来看一下这节课的学习目标，第一， 经历平行四边形判定定律的猜想与证明的过程，体会类比思想及探索图形判定的一般思路。 第二，掌握平行四边形的三个判定定理，根据不同的条件，灵活的选择适当的判定定理进行推理论证。好，首先我们复复习一下上节课我们前面学的内容， 所以我们前面学了平行四边形的定义还有什么作用？梁柱对面分为平行四边形叫平行四边形，这个定义其实就是我们平行四边形的一个判定。用定义直接来判定一个平行四边形是不是平行四边形。比如图， 如果一个一般的平行四边形，如果 ab 平行 cd ad ad 平行 bc， 那 么我们就能说明这个 abcd 是 平行四边形。好，除了两种对边分为平行 之外，平行四边形还有哪些性质？从别的角度讲，还有什么？两种对边分别相等对不对？从角来看，平行四边角对角相等，对角线性质有啥？ 平行四边形、对角形互相平分，那么平行四边形的上面的三条三条性质的命名题各是什么呢？反过来，两种对边分别相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形。平行四边形、对角形互相平分的四边形是平行四边形。那么我们得到的这些匿名题是不是成，是否成立呢？这节课我们一起来探讨一下。 首先看第一个，如图，将两长短，两长两短的四根木棍用钉子搅合在一起，做成一个平行四边形， 使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它的形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？ 答案是的。那么我们来证明一下，已知在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于 c， d， a、 d 等于 b、 c， 求证四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那么这个时候我们求证它的平行四边形其实在证明什么？其实就是想办法证明这个 a、 d 平行 bc 同时 ab 平行 cd， 也就证明两组对角分别平行， 那么证明两种对面分别平行。我们证明平行线，我们就要去找什么角相的对不对？那么平行线被第三条直接锁结，我们去证明它的角相的或者角互补。 在这道题目里面合起来我们需要个啥？做一个辅助线，你要做辅助线，我们连接 ac 或者连接 b、 d 连接 ac， 或者连接 b、 d， 我 们把它变变成什么？要分割成两个三角形， 我们连接 ac， 连接 ac， 那 么然后我们去证明这个 a、 c、 d 和 abc 全等。为什么要证明全等？因为我们要证明角相等嘛， 证明角相等的话呢？我们在通过全等就能证明对应角相等嘛？如果这两三角形全等了，然后这个角角 b、 a、 c 和角 c、 a、 d 是 对应角，所以它们俩相等，它们俩相等呢，就能得到 ab 平行 cd， 同时我们还能他们全等他，我们还同时还能得等得到角 d， a、 c 全等于角 b、 c、 a， 那 么有这两个角相等，我们就能得到 a、 d 平行 bc， 那 那么这俩三角形全等吗？它的条件够够吗？条件我们来解看一下， 他说呢， a、 d 是 等于 bc 的 一条边相等，又告诉 ab 是 等于 cd 的 两条边相等， ac 是 公共边，显然它们俩是什么平行的。 那么这道题就那么这个问题就得到了证明，然后看一下过程。那么连接 a、 c， 因为 ab 等于 cd， a， d 等于 bc， 所以呢，三角形 abc 全等于三角形 c， d， a， 所以就得到角 b， a， c 等于角 d， d， c a 角 a， c， b 等于角 c， a， d， 所以 就得到了 a、 b 平行 d， c， a， d 平行 bc， 所以 四边形 a， b， c、 d 是 平行四边形。那么所以这就是我们的平行四边形的判定方法。一两组对比，分别相等的平行四边形是平行四边形。用数学语言来表达的话呢，就是在四边形 abcd 中呢， 因为 ab 等于 cd， ac 等于 b、 d， 所以 四边形 abcd 是 平行四边形。例一， 如图，在直角三角形 m o， n 中，直角三角形 m o， n， 就 这个三角形 m o， n 中角 m o， n 等于九十度，这个角等于九十度。求证四边形 p o， n， m 是 个平行四边形，这个是不是平行四边形 对不对？那好了，那么他现在告诉我们啥？他现在告诉我们说这个三角形从图上给到的数据 m o， n 三边的三边呢？ m o 是 四， o， n 是 x 减五，这个 m 加别人 x 减三，又告诉他是直角。那这个这个题目关键是我们要先把这个 x 先求出来，看是等等于多少，对不对？那怎么求呢？这给到一个直角，这显然是想让你用啥，想让你用勾股定律吧， 对不对？我们用购物定例，用四的平方加上 x 减五括号的平方，就等于 x 减三括号的平方，对不对？然后能求出来 x， 然后再把 x 带带过来，带到这个 边上面来看它的对边是不是相等吧，从而就判断，从而就可以判断这个四边形 p、 o、 n、 m 是 不是平行四边形。好看下过程，在直角三角形 m、 o 中有固定的可以得到 x 减五括号的平方，加四的平方就等于 x 减三括号的平方， 那么解得呢？ x 等于八，然后再把八带到，分别带到那个两条边上面去，三条边上面去，分别得到是 pm、 pm， 那这个就等于三 o、 n 我 们得到的是三，然后 m、 n 得到的是 五，那显然我们发现了对边相等，所以就能判定这个四边形是平行四边形。我们来看一下例二，看一下例二。如图，在三角形 abc 中，分别以 a、 b、 a、 c、 b、 c 为的边， 在 bc 的 同侧做等边三角形， a、 b、 d 等边三角形， a、 c、 e 等边三角形。 b、 c、 f 是 说明四边形 d、 a、 e、 f 是 平行四边形。好，那么这个图像图，图形呢？看起来相对有点复杂，那我们先把题一起搞清楚， 他说原来这个 a、 b、 c、 a、 b、 c 分 别这个 a、 b、 c 三边呢？去做等边三角形，在 a、 b、 c、 中， b、 c 同侧，那么这是 a、 d、 b 是 一个等边三角形， a、 c、 e 是 一个等边三角形， b、 f、 c 呢，也是等边三角形。那等边三角形它有，它有什么那个性质？三边相等，每个内角度是多少？六十度，那么我们的目标是证明谁啊？目标是证明 d、 a、 e、 f， 也就是我们这证明这个 d、 a、 f 就是我这圈起来的这个这四条线段组成的这个识别行，证明他是什么平行识别行，而证明他是平行识别行。我们在前面学过的这个判判定方法，一个是定义法，一个是我们刚刚学的一个判定定律。 第一个是两组对边分为平行，我们刚才学的判定建立是两组对边分为相等，平行的话，去直接找角不好正角不好证明，不好证明。我们看一下证明这个对边相等吧。 对边相等的话呢，从图上我们能看到啥？能看到这个 d、 f 和 a 一， 想证明 d、 f 等于 a 一， 我们再来看 a 一 又等于啥？ a、 c、 e 是 个等边三角形， a、 e 呢？又等于是不等于 a、 c， 对 不对？那么也等于啥？也等于 c、 e， 也就是说，我证明，我只要让 d、 f 能证明这个和什么？和 a、 e、 a、 c、 c、 e 中的任何一条线段相等， 就能就能证明，就就能证明什么呀？ d、 f 就 等于 a 一， 那直接和 a 一 正的有空呢？为什么？因为 d、 f 所在三角形是 d、 f、 b 这个三角形和 a、 c 一 这个三角形明显不是全等三角形。所以呢，我们不妨去证明 d、 f 等于和 a、 c 相等。 和 a、 c 和 a、 c 的 话呢，我们从图上能看到这个 d、 f、 c 和 a、 c、 b 这个三角形看起来是全等的三角形，是不是那条件够不够呢？条件我们来看一下。首先 b、 c 等于这个 b、 f， 对 吧？因为这是等边三角形嘛，同时呢， 这个 a、 b 又等于 b、 d 已经有两 b 了，那这假角我们就看 c、 b、 a 这个角和 d、 b、 f 这个角，那是不是相等呢？能不能证明它们俩相等呢？ 也是可以的，因为啥？因为我们发现这个 c、 b、 a 加上这个角 abf 是 六十度， d、 b、 f 加上角 a、 b、 f 呢，也是六十度，是不是就相当于是六十度减去的公共角，所以这两个角怎么样 就相等，也就相当于原来这个 c、 b、 f 这个角和 a、 b、 d 这个角是相等的，他们俩同时减去公共角，那么剩下的这个差也是相等的，是不是这利用了什么？利用这个等式的性质，那么这样的话呢，他们俩就全等，他们俩全等就能证明什么，就能证就能得到 d， f 就 等于 ac， 就能证明 df 等于 ac， ac 呢，又等于 a 一， 所以就证明了 df 就 等于什么 a 一。 同理，我们也能证明什么 a、 d 就 等于什么 e、 f， 所以 就能说明它是一个平行四边形。好看这过程。因为 abd 和 fbc 都是等边三角形，所以我们把这条件对不对，把条件写出来，所以呢，就得到了 ddf 就 等于 abc。 又因为呢， b、 d 等于 b， a、 b、 f 等于 b、 c， 所以呢，我们这两三角形全等，进而就得到了 a、 c 等于 d， f 等于 a、 e， 同理，可得 可得呢，三角形 a、 b、 c 和 e、 f、 c 也是什么全等的，这样就能得到 a、 b 等于 e， f 等于 a、 d， 这样的话呢，两组对边分别相等，所以它就是平行四边形。那么在这道题目里面，我们要特别注意，我们在要学会怎么样学会去转化，当直接没有办法证明的时候呢，我们通过它的 再找他线段的一个，再找其他的一个转化，转化成另外和另外条线段相等，来证明好看一下正方形的析，如图， a、 d 垂直 a c， b c 垂直 a、 c， 那 就是 ab 垂直 a c， bc 也垂直 a、 c， 那 那就说明什么呀？ 就这个内错角相等了，就说明这个 bc 和 ad 怎么样？ bc 和 ad 是 平行的对不对？并且呢，又告诉说 ab 等于 cd， 又告诉这个边呢，和这个边又是什么样， 又是相等的对不对？那么求证四边形 abcd 是 平行四边形，那在这个里面的话，世上我们发现呢，因为这是两个直角三角形，它告诉我们斜边相等，另外一条直角边呢，又是一个公共边， 所以利用我们直角三角形的全等的斜边直角边，直接可以判定这两个三角形就是 a、 b、 c 这个三角形和 c、 a、 d 这个三角形呢，它们俩是全等的， 那进而就能得到了 a、 d 就 等于 b、 c， 那 么两组对边分别相等，所以就平行四边形，那么在在直角三角形 a、 b、 c、 d 中，斜边相等，直角边相等，所以这两直角三角形就全等， 那这样得到了 bc 就 等于 d a， 又因为呢 ab 等于 cd， 所以 这就是平行四边形。好，那我们来看一下下一个探究。那么如图，将两长两短的四根细木条用钉子绞合在一起，做成一个四边形，使角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 那 么这个时候它是一个平行四边形吗？ 同样的也是，那么我们可以通过怎么样连接对角线连接对角线，或者呢，可以直接用四边形的什么四边形的内角和的定力对不对？内角和定力很容易就能证明。菱边菱角什么是互补的？ 有菱角互补的话呢，就能证明他们怎么样，他们的对边是相互平行的，从而能证明什么呀？这是一个平行四边形，那这个题还能怎么做呢？还能怎么做？还能这么做的话，我们也还可以怎么样？还可以我们尝试的用什么 尝试的？用这个全能看是能不能证明我们连接 b、 d， 连接 b、 d， 连接完 b、 d 之后呢？那这有一个角是吧？一个公共边， 对不对？那能不能去这个证明这两个三角形全呢？我们看一下他还有个角币等于角币是没有什么没有用到的，对不对？角币等于角币没有用到，那我们角币和角币怎么怎么利用？角币和角币怎么利用？我们就现在呢，有一个角 和它的对应比在在想方法证明一个角，这个角和这个角怎么样相等就可以了，对不对？但是 这个好像不怎么好好证明，所以用全等来说的话呢，不怎么好证明不是一个好的这个思路，所以还是用这个， 这个识别行内角和，然后呢来证明这个，这个是比较好的一个思路。好，那么这就得到了我们的判定方法。二、两组对角分别相等的识别形式。平行识别形用数数学语言就是 在四角，在四边形 a、 b、 c、 d 中呢，如果角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 那 么四边形 a、 b、 c、 d 就是 平行四边形。好看下第三， 如图四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 平行 dc， 这个这个边和这个边是平行的， 那么角 b 四角一角 b 是 五十五度，这个是五十五度，角一角一是八十五度，这里是八十五度， 角二呢是四十度，这个是四十度，然后呢求角的度，那就用三角形，内角和嘛，一百八十度，减去这个一百二十五，那这这这个度数呢？好容易求出来，是不是？所以呢，我们得到这里就是五十五度，对不对？这里是五十五度。 那么第二个求证，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，他还有条就是 a、 b 平行 c、 d、 a、 b 平行 c、 d， 说明什么？说明角二和这儿这个角相等，所以这儿角是多少？是不是也是四十度？ 那这儿角四十度的话，是根据内角和，我们就能求出这儿角是多少，是不是八十五度，是不是？这样，我们就推推导出来角 d、 a、 b 和角 d、 c、 b 呢？就相等， 那这个这种对角相等，角 b 和角 d 相等，所以它就是什么平行四边形，对吧？看一下过程，第一个五十五度对不对？第二个，因为平行得到角二等于角 c、 a、 b， 再根据什么 角 d、 a、 b 等于角一加角二，那那个呢？等于什么？他这个是用的什么？这个是用的内角和，是吧？内角和就不需要用内角和，用用刚才的方法就可以，对不对？反正你目目标想证明 d、 a、 b 等于什么， d、 c、 b 对 不对？ 好，那最后呢，又有这个，呃，角 b 等于角 d， 所以呢，他就是平行四边形。好，中位。先练习判断下列四边形是否为平行四边形。首先呢，这是一百一，这里一百一，这里七十， 用四边形的角和三百六十度，那这是二百二、二百九，那二百九、三百六减二百九，这个也是多少？这个也是七十度，所以呢，这个是平行四边形， 对吧？好，那这个呢？这个来判断一下，那这只告诉这个是一百二，这个是六十，那所以呢，说明这个 ab 和 cd 是 什么平行的，是吧？平行对不对？ ab 和 b， 那 个 b， dc 的 平行，那这个平行之后呢？你这个角 d 不 一定是一百二，是不是我们得不到角 d 是 一百二，这个结论对不对？ 所以呢，这个呢，不一定是，不一定是，不一定是。第二个能判定四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形的条件，角 a、 角 b、 角 c、 角 d 的 比值为， 那我们说了要对角相等吗？那就让它对应的比相等就好了吗？那 a 和 c 的 比值，角 b 和角 d 的 比值，如果是一致的，就说明它是什么平行四边形吧， 那这里面应该是什么？应该是选 d 嘛，对不对？这都是三，后边都是二，对吧？好，他就三。如图，将两根细木条 a、 c、 b、 d 的 中点重合，用小钉搅合在一起， 用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形， a、 b、 c、 d 转动两个木条四边形 a、 b、 c、 d 一定是个平行四边形吗？好，那么我们来证明一下， 这其实就告诉了我们对角线互相平分，让我们去证明它是不是一个平行四边形。那么因为这边告诉了对角线互相平分，所以我们很容易拿 a 组这个三角形能能证明它平行，比如说 a、 o、 d 和 b、 o、 c 显然是全等的嘛，因为 o、 b 等于 o d， a o 等于 o c， 又这有个对顶角 b、 角 b， 很 容易能证明 a、 d 等于什么 b、 c 嘛，对不对？同理也能证明 a、 b 等于什么 c、 d 嘛？那所以它就是一个什么？ 就是一个平行四边形，对不对？那么这样就得到了我们判定方法。三、对角线互相平分的四边形是平行四边形。那数学语言，因为 a、 o 等于 o， c， o、 b 等于 o、 d， 那 所以四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。当然咱应该有个前提，就是 对角线 a、 c 和 b、 d 相交于什么 o 点，要写的完整点 a、 c 与什么 b、 d 相交于 o 点，相交于 o 点。我们这个补充完整一点应该这样写，因为在四边形 a、 b、 c 中， a、 b、 c、 d 中，因为 a、 c 与 b、 d 相交于 o 点，且 a、 o 等于 o， c， o、 b 等于 o、 d， 所以 四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。好，例四，看一下这个题目，如图，平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 b、 a、 c 相交于 o 点 ef 分 别是 a、 c 上的底，没有说中底扔在 o、 a、 o、 c 上的任意底，那么并且呢，他满足什么？ a、 e 等于 c、 f， 我 觉得这个这一点呢，和这一点呢，是什么相等的？那么问 这个识别型 b、 f、 d 一， 是不是平行识别型？就是问里面这个 b、 f、 d 一， 那显然这个里里面呢，这个 o、 b 是 等于 o、 d 的 吧？ 我们只要能证明 o、 e 等于 o、 f 就 可以了， o、 e 和 o、 f 也也也很容易证明，因为原来 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， o、 a 是 等于 oc 的， 又加上 a、 e 又等于 c、 f， 所以 很容易能证明 o、 e 就 等于什么 o、 f， 所以呢，它就是个平行四边形。对，然后呢，又因为它等于它，所以我们能得到什么？ o、 e 等于 o、 f， 所以呢，又因为 b、 o 等于 d o， 所以呢，这个四边形就是什么平行四边形，好针对性练习，根据下列条件，不能判定四边形， a、 b、 c、 d 是 平行四边形式，不能判定四边形为平行四边形式。两组对边分别相等，这个是可以的。两条对角形互相平分，这是可以的。 两条对角线相等，不一定两种对边分别平行，这是定义谁？这个呢？选什么？选 c？ 如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 与 b、 d 相交于 o 点， a、 c 是 八，就是对对角线，这个这一条，这个是八， 然后呢， b、 d 是 十， b、 d 是 十。那么问 a、 o、 b、 o 的 封闭等于多少？那 a、 o、 b、 o 那 封闭不就等于它的一半吗？就等于说四和五吗？对不对？四和五。 那么问四、 b， 当 a、 a、 o、 a、 o 和 b、 o 等于什么时，四边形 a、 b、 c 平行四边形，不说对吗？它对角形互相平分吗？就四和五的时候吗？对吧？ 好，我们来看来看一下第第三题，如图， a、 c 是 平行四边形 a、 b、 c、 d 的 一条对角线，这个它是告诉我们这个四边形是 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那么 b、 m 垂直 a、 c、 b、 m 垂直 a、 c， 然后 d、 m 垂直， d， m 也垂直， a、 c， d， m 也垂直 a、 c， 那 么 数四边形。求证，四边形 b、 m、 d、 n 是 平行四边形，这个是是它平行四边形吗？平行四边形。那么说说你的理由，那肯定是肯定是平行四边形， 那就我们就要去证明它，证明到，我们先分析一下我们前面学学到的四边形，证明两个对边分别平行， 两种对边封闭平行。这个倒是 d、 n 和什么 d， n 和 dm 倒是确实是平行的，因为它都垂直于同一直线嘛，对不对？所以它们俩是平行的，但是这个 d m 和 b n 想证明平行呢，有点困难，不好证明，是吧？ 那么如果想用两种对边分别相等，能不能证明呢？两种对边分别相等的话呢？也是这个 d n 和 b m 这个相等的比较好证明，因为很容易能证明这个三角形和这个三角形是全等的， 但是呢， b n 和 d m 的 相等呢，也不好证明，那么所以我们就想到了第三个方法，那是不对角线更好证明一点呢？所以我们不妨呢把 b d 先连接起来，连接起来的话呢，交于 o 点。那这个时候呢，首先 o b 等于 o d 了嘛？ 那只要我们能证明什么？ o n 等于 o m 就 可以了，对不对？ o n 等于 o m， 那 要证明 o n 等于 o m， 又知道这个平行四边形 a o 又等于 o c， 所以 我们只需要证明什么？只需要证明这个 a n 等于 c n 就 可以了。而 a n 等于 c n 很好证明，因为这两个三角形很容易能证明全等，这个问题就解决了，我们接着往下看， 连接了之后呢，那所以呢，因为这个垂直，所以我们就得到两个角是九十度，对不对？然后呢，又因为是平行四边形，所以我们就得到了 o b 等于什么？ o a 等于 oc， 并且 ad 呢？等于啥？ ad 呢？等于 bc 是 吧？对边相等 ad 且平行于 bc。 那 由此呢，因为平行，所以我就能得到了 这个角角 d， a， c 就 等于角 b c a 是 不是比或者 b c， m 都可以？那么这样的话呢，三两个三角形的那个条件就够了， a， d， m 和这个 a， d， m 和 c， b， n， a， d， n 和 c， b， m 就 全等了。条件呢，是什么样？ 角角角边对不对？角角边。然后呢，再根据什么样？我们前面说的这样的话，就能证明 a， n 等于什么 c， m 了吗？然后用又因为 a o 等于 oc， 读一解就得到了 o， n 就 等于 o m， 哎，又又因为原来的这个 o， b 等于 o d， 所以呢，四边形 b， m， d， n 就是 平行四边形。好打表检测看第一个判断，有一组对比平行的四边形是平行四边形，好打表检测看第一个判断，有一组对比平行的四边形。不对， 不对，横线是错的。比如梯形，梯形就是有一组对边是平行的。第二，有两条边相等，并且另外两条边也相等的四边形，四边形是一定是平行四边形，不对，必须是两组对边，这个分别相等 来对比分一下，这也是错的。第三，对角线互相平分的四边形是平行四边形，就是对的。对角线互相平分，一条对角线平分，另一条对角线的四边形是平行四边形。不对，必须要互相平分才可以。 有一组对角相等且一组对边平行的四边形，这个是对的，一组对角相等，另一组对边平行。那这个我们可以能证明是什么，能证明它平行四边形。那么这个的话呢？课后同学们可以把这个第五题我们去尝试证明一下。好，第二个，如图， 四边形 a， b， c、 d。 对 角线交于 o 点，下列拿住条件不能判定四边形 a， b， c， d 是 平行四边形， o， a 等于 o， c， o， b 等于 o， d， 这个 a 显然是可以的，就是对角线互相怎么样，也就互相平分吧。没问题。 a、 b 等于 c、 d， a、 o 等于 c o， a、 b 等于 c d， a、 o 等于 c o， 这个不行，这个判断不了，我觉得 b 不 行。你看 a、 b 等于 c、 d 对 边和 a、 d 等于 bc， 两组对边分为平行，这个是 ok 的。 第三个角 b、 a、 d 等于角 b、 c、 d、 b、 a、 d、 b， a、 d 等于角 b、 c、 d。 然后又知道什么 a、 b 平行 bc， a、 b 平行 b， 这就是我们刚才说的是吧？ 一组对角相等，一一组对边平行，对不对？那这个我们来证明一下啊，因为他们俩平行，你看他们俩平行，他们俩平行的话呢，就说明这个角，什么这个角？ bcd 这个角 bcd 加这个角 什么角？ cba 就 等于多少一百八十度，他，他们俩互补，对不对？是吧？ bcd 就 这个角加这个角是一百八， 又因为呢？这两个角相等，谁就能又又又得到啥？是不是这个角加这个角也等于多少一百八？是不是就说明了 a、 d 和 bc 平行，那是不是就变成了两种比例分位平行，所以这个也是可以的， 所以 d、 四也是可以，所以这里面 b 是 不可以的，对吧？好，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，若 a、 b 平行 c、 d， a、 d 平行 bc， 那 么它是平行四边形。 如果角 a 角 b 角 c 角角的比是 a， 这个这个也是可以的。对，对角，是吧？对角相等吧，这个也是，也也能说明它平行四边形。第三个，如果 a、 d 等于六， ab 等于四，那么 bc 和 cd 分 别等于什么时？四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。 那就对边相等嘛，往上填就可以了嘛，让 b、 c 和谁啊？ b、 c 和 a、 d 相等嘛？ c、 d 和 c、 d 和这个 a、 b 相等就可以了嘛？好，我们看一下这个第四题，如图， 五边形 a、 b、 c、 d、 e 是 正五边形，连接 b、 d、 c、 e 教育 p 点求证。四边形 a、 b、 p、 e 是 平行四边形，就证明这个 a、 b、 p、 e 是 平行四边形。 好，我们首先来看一下，分析一下我们现在学到的方法有两种，对边分别相等，对角线怎么样？ 两组对角分别相等，对角线互相平分对不对？怎么四个方法了，对不对？那么看这个题目里面用什么方法？首先两种对边分为平行，这个不好证明，这个两种对边分别相等，到时候能证明 a 等于 c 一， 这个 b、 p 等于 p 也能证明，但是想证明这个 a、 b 等于 b、 p 的 话呢，就有点困难，有点困难， 所以两组对边分别相等也不是个好办法。对角线呢，对角线的话呢，现在没有连起来应该也不行，那么就尝试用对角相等，两组对角分别相等的方向来证明一下， 因为这是一个特殊的五边形，是个正五边形。正五边形的话，我们知道呢，五个角的都是什么样？五个内角都是相等的， 那都等于多少度？根据我们以前学过的这个多边形的内角和公式的话呢，我们能知道他应该是等于一百零八度，一百零八度， 一百零八度，那么每个内角是一百零八度，那么这样的话，又因为每个边相等，在这个三角形，在 c、 d、 e 的 三角形里面，因为 c、 d、 e 是 个等腰三角形，那个角 c、 d、 e 呢？又是多少？一百零八，所以我很容易能能觉得这两个角多少， 这两个角就分别等于多少三十六度，对不对？那这俩角三十六度，那这个这个角和这角也是多少？也是三十六度，所以我们就好容易能知道呢，这个角呢，其实也是多少， 这个角也是一百零八度，那所以这个角呢，也是多少？一百零八度，所以角 b、 p、 e 呢，就和角 a 就 相等了。又因为呢，这个角 c、 b、 d 和角 c、 e、 d 呢，都是多少？都是三十六度，所以里面这个角 ab p 和 a 一 p 呢，也是什么也是相等的，因为它们都是用一百零八度减去多少三十六度，对不对？好了，那么这就是我们一个这道题的一个解答过程。利用两组对角分别 相等，那我们来证明它的平行四边形的正五边形内角和 n 减二乘一百八除以五，对不对？每个角三十六度，这样的话呢， 就这么的平行四边形，好图，五不图已知， e、 f、 g、 h 分 别是平行四平行四边形 abcd 的 边上的点，首先告诉这个大的平行四边形，平行四边形告诉点且满足 a， e 等于 c g， a， e 等于 c g， 然后呢， b， f 等于 d h， e， f 等于 d a， 那 么然后让我们求证这个四角形 e、 f、 g、 h 里边这个是什么？是平行四边形，因为平行四边形对边相等，对边相等， 对应相等，那么你说 a、 d 和等于什么？ bc， a， d 等于 bc， 那 么又因为呢，这个 b、 f 又等于 d h， 所以 我们就能得到了这个 a、 h， 就 和谁说 c、 f 是 相等的，那这样的话呢， 等于 c a， h 等于 c f， c， g 又等于 a， e， 那 么假角对角、平行于对角，又是相等的边角边，所以你就能证明这个三角形 a， e， h 和三角形 c， g， f 这两三角形就是什么全等的，全等的话呢，对一边就怎么样相等，同理也可以证明什么， 这个三角形 d， h， g 和三角形 b， f， e 也是吧，全等的，所以能证明对比也相等就等于什么 g， h 就 等于 e、 f， 所以呢，这个里边，这个这个四边形就是什么平行四边形。好，再来看下例六， 如图， abcd 相交于 o 点 ac 平行 d， db， ac 和 db 是 平行的，这个边和这个边是平行的， a， o 等于 b， o， a， o 等于 b o 这个边和这个边是相等的。好，然后呢， e、 f 分 别是 o， c 和 o d 的 中点， e， f 分 别是 o， c 和 o d 的 中点， o， c 和 o d 的 中点。然后呢，求证第一个 a， o， c 三角形 a， o， c 和三角形 b， o， d 全等，这个全等，它因为有平行 ac 平行 bc， 所以呢，我们恒恒易能证明什么？这个角 c 就 等于什么角 d 角 c 等于角 d。 然后呢，又有什么？又告诉这个里面有一个 a， o 等于 o， b， 对 不对？这又有个对零角， 是吧？那这样的话，我们就能用角角边就能证明它们全等，对不对？第一问就解决了第二问，证明四边形 a， f b e a f b e， 这个是平行四边形。 刚才已经证明了什么？证明了这个三角形 a， o， c 全等于三角形 d， o， b。 所以呢，这样话就能证，就能证明出来什么，就能就能说明是这个 o， d 就 等于谁， o， d 就 等于 o c 吗？ 又因为 e 呢是 o， c 和 o d 的 中点，那所以就就有这个 o f 就 等于什么 o e， 那 这样的话呢，对角线互相平分，所以它里面这个就是平行四边形。第一个，第一问，我们很容易证明是角角边，对不对？第二问呢，因为全等得到对 c o 的 o d， 又因为它的中点，所以知道 e o 等于 o f， 所以 这样的话呢，根据对角形互相平分，我们就能知道这个识别形 a、 f， b， e 呢是平行识别形。好。第七题，如图， ab 等于 ab 等于 dc 等于 ef， 这三条边相等的， 然后呢， a、 d 又等于 b， c， a d 又等于 b c， 那 所以这个这个平行四边形呢？ d， e 又等于什么？ c、 f， 那 这就说明这个也是平行四边形，对不对？都是平行四边形， 那么这样的话，平行四平行的话呢，我们就能知道呢，这个 a、 d 和 b c 平行， d， e 和 c f 平行，那么 ab， dc 和 ef 呢？互相平行，对吧？刚才说了，这笔过程我已经说过了，我们这就看一下这个就可以了。好，再来看一下第八题， 学校买了四棵树，准备栽在这个花园里，已经栽了三棵，如图所示，那么现在学校希望呢，这四棵树呢，组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？ 应该栽在哪里啊？那么这个的话呢，三角形，一个是三角形，我们要要怎么去构造一个平行四边形？那如果我以 a、 b 为它的一个对角线，那么我们过 a 点呢？做什么？做 b、 c 的 平行线对不对？然后过 b 点呢？做什么？ ac 的 平行线，这样加到一个点，那这样的话呢，我们就知道了，这棵树可以种到这个点上面来， a 一 点， 这是这是一种种种法。那还可以呢，如果我们是以 a、 c 为对角线呢？ 是不是过 a 点做什么？也是做这个 b、 c 的 平行线，过 c 点呢？做 ab 的 平行线，对不对？那么这个时候呢，我们就可以在 a 二对不对？ a 二第三个以它为对角线 做一个，那么应该有可以中的三个位置，就是 a 一、 a 二和 a 三。好，我们小杰梳理一下，这节课我们学习了平行四边形的判定方法，定义，定义本身就是一种判定方法，就是梁柱对边分为平行四边形，就叫平行四边形了。 判定一两组对边分别相等的识别形，对吧？判定二两组对角分别相等的识别形是平行识别形。判定三对角形互相平分的识别形是平行识别形。好，我们这节课就讲到这里，我们下节课再见。