含参二次函数求参数取值范围

每天一题，让数学不再有难题。大家好，欢迎来到黄老师的数学课堂，今天我们继续来分享二零二一年杭州拱树区中考三模第二十二题的第三小问，题目是弱 在 x 大于零，小于等于一的范围内，至少存在一个 x 值使外大于零，求 m 的取值范围。那么这个 m 呢？是我们二次函数的解析式当中的一个参数，也就是一个除自变量以外的字母， 他要在零到一的范围以内呢，至少存在一个 x， 之是 y 大于零，其实就是讲在零到一这个范围内呢， 至少存在有这样一个点点的函数值， y 呢，他要大于零，但是对于这个二次函数来说，因为他含有参数 m， 所以导致我们对这个二次函 函数的图像呢不确定。那么我们如何来画一个含餐的二次函数图像呢？首先我们需要根据这几个方向来讨论，第一个开口方向，第二对称轴，第三看这个函数是否过定点。 那么对于这个函数来说， m 呢，是二十项系数，那么他的开口方向就需要分类讨论。而对称轴呢？我们第一第二想问，其实都有求，因为这个是用 m 的代数式表示的一个式子，也就是负二 a 分之 b 可以用 m 表示出来这个对称轴， 那么他会不会过定点呢？那么关于函参函数过定点的问题，我们之前的视频当中也有更新过，今天再讲一下，因为这个二次函数的解析式当中存在了参数 m， 使得这个解析式呢不确定。那么我们只需要将这个二次函数的解析式进行变形，如何变形呢？是不是只要使得这个式子与 m 无关就可以，所以我们只要将含 m 的所有式子合并到一起， 那么第一步的话，这里肯定要先拆括号， mx 平方加上二， x 减二， mx 再加 m 减二， 那么含 m 的相呢？很容易观察出来，有这么三项， mx 平方减二， mx 加 m， 所以我们将这三项呢合并到一起，并且把他们的 字母 m 呢提取出来，所以我们就可以得到这样一个式子。那么在这个过程当中，我们只是进行了一下变形， 并没有改变原来的这个二次函数的十字，所以还是相等的，只是去括号，然后重新结合了一下，把含 m 的这些 项呢全部合并到一起，这个括号里的这个式子等于零就可以了。因为当 x 平方减二， x 加一等于零时，那么你 m 无论取什么值时，都都不会影响这个函数此时经过的这个点的重坐标， 也就是当 x 平方减二， x 加一等于零，记记 x 等于多少呢？这是一个一元二次方程，我们也很容易观察出来，它实际上就是 x 减一，括号的平方 等于零，那么也就是 x 呢，是等于一的时候，他等于一的时候呢？我爱呢是等于多少呢？因为当 x 等于一时，也就是这一项等于 于零时呢？前面这和 m 有关的相都没有了，那么 x 等于一带入到这个解析式当中，此时的 y 呢，求出来是等于零的，等于二乘以一减二是等于零，所以的话 他过的定点是一逗号零。那么我这里简写一下啊，实际上的话，写完这个之后呢，我们可以写，所以 该二次函数呢，图像经过定点一零啊，他这个定点是这么求出来的，现在呢，我们知道了这个二次函数，他的图像呢，始终过定点一零， 而他题目呢，又要我们在零到一的范围内找一个这样子的 x 值，至少有一个，使得这个函数值呢大于零。那刚刚我也说了，那么开口方向呢，此时是不知道的，那么可以进行分类讨论。当 m 大于零时，很想 栏抛物线，此时呢，开口呢，是向上的，那对称轴是多少呢？我们在第一第二小问呢，其实都有表示过，那么负二 a 分之 b 呢，它是等于负的二 m 分之二减二 m 经过化减的话呢，是等于 m 减一除以 m， 哎，再分离一下，是一减 m 分之一，这个呢，我们是在一二小问都有，我们在这一问呢，可以写由一得，或者说由二得都可以。那么对称轴直线方程是 x 等于一减 m 分之一， 那么知道了这个以后，也就是现在对于 m 大于零的时候的开口方向对称，走直线方程还有过定点，我都知道了，所以呢，我可以把它大致的图像来画一下。那么经过一零 这个点，假如这个点是一零，那么这是原点，他的对称轴呢？此时呢，一减 m 分之一，根据 m 大于零，哎，他是小于一的，也就是此时的对称轴呢，应该是在一逗号零这个点的 左边，假如他的对正轴在这，那么他一定要经过这个点，开口又要向上，那如何才能保证他至少存在一个 x 是函数值大于零呢？那么图像呢，可以画一下， 假如我的图像是这样画的，经过一零这个点，这样是可以的，那么如果我的图像啊，因为他一定要经过这，假如到了这里，哎，我们会发现什么会发现这个时候呢？在零到一的范围内，他是不 存在 x， 使得他大于零的，是，那么如果这个点再往下，那更不行了，对吧？当然这个对称走啊，可能靠近一，也可能远离一，也可能到这边来，都没关系，那么我们始终会发现他要经过一零这个点 么一零这个点的右边才会大于零。所以对于在这个范围内，要使得函数值外大于零，也就是在 x 等于零的时候，如果你的函数值大于零了，那我就能保证至少存在一个 x 值，使得函数值大于零。而当你如果这个时候，此时刚刚好是在这里， 在这个圆点这里，那么这个时候呢，在这个区间之内， x 大于等于零，小于等于一的时候，他是不存在 x 的知识的，他大于零的，因为这个时候都是小于等于零，所以这是极限情况。那我们如果对称轴再往左移，那么你 还要经过这个的话，那你看我们就不行了，因为对称轴移到外轴的左侧来以后呢，他在零到一这个范围内的函数值的话，哎，如果你还是在这个下面，那也不行的。 所以呢，对于这个开口向上的这个二次函数，他对称轴又是在一零这个点左侧的话， 那么只要保证在 x 等于零的时候，他的函数值大于零，就能保证他至少存在一个 x 值，使得函数值大于零。当 x 等于零时， 那么我们知道 y 是等于多少呢？ x 等于零，零零是否 m 减二？这个时候的 m 减二，只要保证它大于零，我们就能保证在这个范围内有这样子的 x 指使，指的它的外大于零，这个时候求出来呢， m 呢是大于二哦，那么前提呢是 m 大于零，现在我们求到呢， m 是要大于二，所以的话呢，综合这两个不等式的交集，我们知道此时只要满足 m 大于二就可以。对于第一种情况来说， m 是要大于二， 那我们来看一下第二种情况是否符合。第二种情况，当然就是开口向上的，当 m 小于零时， 还是经过这个定点，那我们这个抛物线的话，在画的时候呢？哎，一零这个点呢，还是得描出来，因为这个抛物线始终经过它，那这个时候的对称轴呢？因为 m 小于零， 这个一减 m 分之一，怎么样他就会大于一，也就是此时呢，开口向下的抛物线，他的对称轴呢，是在一零这个点的 右侧啊，他在右侧的话，对称轴是这样子的，而他又要经过这个点，所以你的图像不管怎么画他，哎，开口向下是不是只能这样？那我们会发现，这种情况下，你要经过一零，他的对称轴在这个一零的右边， 那么是不存在这样的 x 值，使得他的函数只能大于零，因为在这个点的左侧，他是外水 x 增大而增大的，你这个时候等于零呢，其他的肯定都小于零了，所以这种情况呢，是不符合提议的。 所以呢，中和一二两种情况，最终的话， m 的取值范围就是 m 大于二。那么对于这种题来说，我们在做的时候呢，一定要去结合他的图像，因为这个时候他是一个范围内，而不是某一个点，所以对于寒差二次函数的一些相关的性质我们要非常 熟悉。想那么在画这个图像当中又有一个非常重要的点，就是函参函数过定点的问题，我们要知道这个定点坐标如何来求确定好所过的定点，那么在结合他的开口方向和对称轴，就就能画出大致的图像。当然对于不同的题目， 可能分类讨论的对象不一样，有可能我们分类讨论的是开口，也有可能分类讨论的是对称轴。对于这道题来说呢，我们的开口方向需要分类讨论， 当开口方向讨论了以后呢，最成轴的位置呢，我们可以大致的估出来，因为 m 大于零的时候呢， a 他在这个一零的左侧，而小于零的时候呢在右侧，这样子的话，我们就比较明显的能观察出来是什么情况下才会存在这样满足条件的这个点时的外大于零。 好，今天这道题我们就分享到这里，如果听完黄老师的讲解，你觉得对自己有所帮助，可以给黄老师点个赞，加个关注，谢谢大家。

我们来看一下初三学员发来的一个关于二次函数的压轴题，那么这个题呢，是咱们之前啊给大家在解题宝典道中总结的这个二次函数范围最直的这样一个专题。来，咱们先看第一问 啊，点四斗三，在这个抛物线上，让我们求他的对称轴，这个呢很好算啊，我们直接带你去就可以，带你去的话呢，你比方说这是呃，四斗三，那就是三等于 a 乘四的平方是十六，然后加上 b 乘上一个四，再加三，对吧？最后我们可以求得 b 呢，等于的是负四 a， 然后利用对称轴是 x 等于负的二 a 分之 b， 那么我们可以轻松算得 对称轴等于二啊，所以这个呢就好说了啊，那么这样的话呢，我们整理一下，那么他的根据第一问，我们可以得到抛物线，他的解疑是可以化解为啊， ax 方，这个 b 是负四 a 是吧，减去四， ax 再加三， 那你看纸还有一个 a， 那相对来说就要简单一点了啊。那么我们再看第二问，说当 m 啊大于零啊，一直 m 大于零，当 x 在这样一个范围的时候，那么他对应的 y 的取值范围是这个，那咱们来求 a 和 m 的值， 那么像这个，这就属于啥呢？就是属于特别规范的一个叫范围最直的题目，那比较规范，因为他的题型特别的经典啊，就完全符合了我们 范围最直的这样一个特点，来大家看一下啊，你这个，嗯，简单画一下他的这个大概抛线啊，你看这不是 y 等于 ax 方，减去四 ax 加三吗？开口向上对称轴呢，是直线 x 等于二， 然后呢，他与 y 轴的焦点呢，是零斗三，所以大致画这样一个草图，然后呢，来看， m 大于零的话，那么二加 m 呢？肯定小于二，对吧？所以二加 m， 假如说在这边，那么二加二 m 呢，那肯定大于二，那就是在这边啊，咱们给他简单啊写一下啊， 你给他对照一下位置啊，这就是二减 m， 那么他的最小值，你看，你会发现他这个范围怎么样？这个范围把这个对称轴 或者叫他的顶点给包含进去了，对吧？所以在哪呢？他的最小值是不是就在这个顶点处取得最小值啊？ 对不对啊？在顶点处取得最小值啊，那么我们看，直接算就完事了，也就是当 x 等于二的时候啊， y 有最小值为负一， 对不对？那么我们直接带你去啊，完等于负一，然后呢，等于的是，哎，等于二，那就是四， a 减去， 嗯，等于二，减去八 a 啊，减去八 a 再加三，这是四， a 等于四，那么且得 a 等于一啊，这就完事了。所以这样的话呢，你看这个解疑时，我们又可以给他怎么样具体化了，对吧？那是 x 方减去四， x 加 三好了啊，这是第一个啊， a 的值我们求出来了，那么接下来看怎么求 m 呢？求 m 的话呢，你得利用这个最大值了，是吧？那最大值的话呢，你看啊，我们说这个 x 的取置范围是这一段 啊，是这段，那你说他的最大值是在这块取呢，还是在这块取呢？ 那我要这么画图的话，那肯定是在这边去，对吧？那我要这么画图呢，你看，我要这么画图呢，那就得在那左边去了， 所以怎么去判断啊，他到底是在哪啊？取最大值，这个大家就要啊，好好的利用一下我们这个抛物线的轴对称性，你来看一下啊，我们根据范围你会发现啊，这段距离是多少，是不是 m， 也就是二减 减二减 m 啊，等于 m， 然后右边这一段的距离呢，叫二加二 m 减去二，对吧？哎，等于的是二 m， 很明显他要大于 m， 因为 m 是大于零的嘛， 对不对？所以呢，这里边我们利用呢抛物线的对称性啊，其实有一个性质是你离当开口向上的时候啊，也是 a 大一领，那么他离对称轴越远的话，那么他的值就会越大， 所以呢，根据图像啊，以及抛物线的性质，我们就可以知道，当 x 等于的是二加二 m 的时候啊，那么他取一个最大值是 y 等于三对，直接把这个数带入到我们球的啊，这个 具体的解析室里边来就可以了啊，这个呢，我就不带具体算了啊，可以求得 m 等于一啊，所以第二问来说，这是咱们特别经典，特别规范的一个二次函数范围，求最值的这样的一个题型。 那么至于第三问，咱们来看一下啊，他和第二问有点相似，但又不完全一样来看，那在二点条件下，他是否存在一个实数，嗯，让他 x 在这个范围的时候取之范围是他， 那么他俩唯一的区别是啥呢？大家来看一下啊，他俩唯一的区别就差在了一个等号，对不对？哎，就差在了这样一个等号这块你看看对吧？这就稍微有一点点哎，这种变形的 范围最直的问题，但是他也可以滚转成这样的题型，对吧？好了，那我们来看一下这个第三问啊，第三问的话，咱们还是借助他的抛物线解释啊， x 方减去四， x 加三， 现在的话，那你看，你要去确定 n 的值，那你得看这个 x 的取值范围在哪，对吧？之前呢，咱们给大家这个分了这么三种方式进行讨论啊，这就是分类讨论吗？对吧？第一个，那你要看一下他是否这个范围啊，是否包含了对称轴， 对不对？哎？是否包含了对称轴？你看刚才第二本，这个是不是就是啊，特别经典的把对称轴给包含进去了呀，对不对？所以最小值在哪呢？就在顶点处，对不对？而本题当中呢，你看，如果是他包含 这个对称轴的话，也就是你比方说这块呢是 n 减二，然后这边呢是 n， 那么在对应的啊，这样一段范围内的话，那么他所取得的 y 的，你看这是不包含的啊，不包含这个端点啊，不包含端点，所以这就是他的区别 啊。你看，如果第一问，也就是说对阵轴，这是二，对吧？也就是当这个二是大于 n 减二，小于 n 的时候啊，那么这种情况下呢，他的这个 y 的取置范围就应该是 y 大于等于谁， 对不对？哎？小于谁？你看这里边最小值就应该是在顶点处，对不对？而他这里边给的呢？你看，哎，就你别管他左边是什么啊，你就看这个符号，这块是一个大圆 号，没有包含等号，这就是他们的区别啊，你要是有等号的话，那就在这了，对吧？没有等号的话，说明什么？说明这种情况下就不成立，对吧？你要成立的话，那么这边肯定得是小于等于什么， 对不对？所以这种情况下呢，哎，我们就不用去讨论了，明白吧？啊？那么这种情况下不用讨论怎么办呢？我们要去啊，分另外两种情况讨论，你要看一下啊，对称轴，这不在这呢吗，对吧？啊？这是二， 那么第二种情况是啥呀？那就是当这个 n 小于二的时候，小于二，也就是 n 点在这边，然后 n 减二呢，在这边，他们两个啊，这一段所对应的那个抛物线啊，那么 他就在对称轴的左侧这一部分，是不是？哎，所以他是一个哎，整个下来向下就是递减的这样一个趋势，所以当 n 小于二的时候，那么相对应的这一块 x 等于 n， 是不是要取最小值？这边呢？取最大值，所以当 x 等于 n 的时候啊，这个 y 呢，就等多少了啊？对呢，最小值就是三， n 减三， 对不对啊？三减三，所以咱们给他带你去啊，带你去，那就是安防啊，抛线写这啊，是 x 方减去四， x 加三， 那么你给单去之后呢，是 n 方减去四， n 加三等于的是三， n 减三，然后解方程解得这个是 n 一等于 一， n 二呢，等于是六啊，那么这两个值，那很明显你 n 要小于二十岁，这个大家得舍去，对吧？那么至于这个 n 等一行不行，那么咱们来一会再来看，那为啥呢？你只是满足了其中的啊，一个小问， 对吧？一个条件就是 n 这块取一个最小值，那还得有一个最大值呢，对吧？最大值的话，那就是当 x 等于 n 减二的时候啊， y 有一个最大值，咱们带你去啊，那就是 n 减二的 平方，减去四倍的 n 减二，再加三，等于的是那个对举，最大值是三， n 加五啊，这个呢，就解得，那 n 一呢等于一， n 二呢等于十啊，这个我就提前算完了 啊，同学们，这个咱们节省时间啊，这个明显要舍去，对吧？所以他们两个怎么样？要就应该是，这是第第第二个啊，第二个条件就是你取最大值，对吧？他们两个得同时成立才行， 对不对？你同时成立的话，也就意味着 n 必须得去相同的指示，你看看对相同不相同啊， n 等于一，哎，完全是可以的， 对不对？所以呢，这个 n 等于已没毛病啊，符合题啊，所以算出来是一个了， 对不对？那么这个成立了，那么接下来我们看，你这是当 n 和 n 减二都在对称轴的左边，那么如果要是都在对称轴的右边呢？也就是你看啊，你看对称轴在这呢，对吧？哎，这是二，那么现在啊，我们给他取， 如果范围跑到哪来到这，然后这是 n 减二，这块呢，是 n， 那么对应的，哎，这是一个值，这块呢，又是一个值，对吧？哎，这是最大值，这是最小值，咱们要的是这一段， 嗯，对，那么第三种情况，那就应该是 x 等于 n 减二的时候，那么这个歪曲最小值是三， n 减三，那么你带入一下，那就 n 减二的平方带入解析室啊，等于 x 方减四， x 加三，你是减去四倍的啊，这个，这个 n 减二加三啊，让他等于三， n 减三，整理一下啊， n 方减四， n 加四，然后再减四， n 加八，再加三，减 减去三， n 加三啊，等于零，是不是？然后呢，大家看一下啊，所以有些题呢，你必须得是从头到尾去体验一下这个计算过程，要不然的话很多同学一看麻烦就不想算了啊。 这是减去八 n 减三是减去十一 n 啊，这是四加八十二，十二加六十八啊，加上十八等于零， 那你看一看呀，这个十一对吧，就不好算了。这里边我们可以给他因式分解，就是 n 减二乘上一个 n 减九等于零，所以呢，一个等于二，一个等于九， 那这里边很明显这个，嗯，他得是大于二的，对不对？那就把这个舍去啊，我们，嗯，他暂时是成立的，对吧？这只是针对最小值，那么我来看他的最大值啊，然后我先把这块先 先擦掉了啊，行，就是你就直接算就行了啊，这个呢，是一个是 n 等于九啊， n 二呢等于二，这个就是舍去的，是吧？然后第二种呢，就是当 x 等于 n 的时候，那么 y 就应该取最大值是三加五 啊，那么我们来看一下你的代入，那就是 n 方减去四 n 再加三等于最大至三 n 加五，嗯，解一下啊， n 方减去这个这个这个 对，减去七，恩啊，然后呢，再减去一个二啊等于零，哎，你发现这个问题是啥？他明显的是啥？虽然有解啊有解，但是呢，他不是一个整数解发现没有，你一是分解也分解不了，所以咱们只能用公式去算， 或者你用配方去算。所以他不是一个整数啊，不是一个整数的话呢，怎么办呢？你看一下啊，或者你去算一下，咱们快速算一下吧啊， n 方减去七， n 配方加上他的一半是那个二分之七，是吧？二分之七，那就是四分之四十九，减去四分之四十九，再减二等于零，也是 n 减二分之七过号的平方，然后等多少呢？ 这是四分之四十九再加八，对吧？等于四分之五十七，那你发现他肯开出来之后怎么样？他肯定是带根号的，无论你是说 n 一还是 n 二啊，他都是带根号的，对吧？就是二分之七加多少啊？二分之七减多少， 你会把他跟这块有有相同的值吗？没有，对吧？那么没有的话，也是你他可以成立，或者是他可以成立，但是他俩不能够同时成立，对不对啊？不能同时成立，所以这样的话，这个啊，情况就无解了， 明白吧？哎，这种情况下就无解，所以这样的话呢，我们讨论完了三种这个所有的情况之后，发现只有刚才第二种情况，这个 n 等于一是符合条件的 能理解吧，所以呢，最后啊，这个结果呢就是，嗯，等于一了，好吧，所以大家啊，一定要注意，咱们按照这种叫范围求最值的题的时候，就是两种方法啊，两种题型，一就是这种解析式确定了，然后 范围不固定，左右移动范围。第二呢，那就是啥呢？当你的解析是不确定，但是范围确定的时候，那怎么样左右平移他的函数图像，明白了吧？就大家对于这种题型啊，要多去练习一下，好吧。

这个视频我们一起来看一道含参数的二次函数或定点问题。这个题我给大家带来了三种方法， 已知抛物线 y 等于 x 的平方加 k， x 减二， k 经过一个定点，让我们求该定点的坐标。我们先来看第一种方法， 我们看到此时二次函数解析式中有 k， 而且 k 的曲子是不确定的，但是不管你 k 取什么样的值，他都会始终经过一个定点，所以我们第一种方法可以取特殊值， 我们给 k 取两个不同的值，就得到两个不同的抛物线。接下来我们连令这两个抛物线去解方程， 就会得到两个抛物线的焦点，此时这两个抛物线的焦点就是这一个定点。 我们不妨取 k 等于一和 k 等于负一。接下来我们分别把这两条抛物线列出来。 当 k 等于一的时候，抛物线的减去式为， y 等于 x 的平方加 x 及二。 当 k 等于负一的时候，电影的抛物线减去式应该为 y 等于 x， 平方加 x 加二。 接下来我们连列方程组求这两个抛物线的交点，我们让 x 平方加 x 减二等于 x， 平方减 x 加二去减 x， 我们解得 x 等于二，所以这个方程组我们可以解得 x 等于二。 然后把二带入随便一个抛物线解决式中，都可以求出 y 等于四，所以该定点的坐标就为二等于四。 接下来我们来看第二种方法，第二种方法是我们要想办法让 k 失去影响力，我们看 k 怎么样就可以失去影响力呀？ 我们首先把这个抛物线中含有 k 的式子给它进行整理，我们看到 k， x 和负二 k 都含有 k， 所以我们可以合并同类项，提个 k， 得到 x 的平方加 x 几二倍的 k， 那怎么样就可以让 k 失去影响力呢？我们让 k 前面的系数为零，此时你无论 h 和值后面仍然都为零，对这个式子没有任何的影响。所以我们当 x 等于二的时候， h 是不起作用的， 那 x 等于二，我们代进去去算这个为零。我们可以知道四十 y 等于四，所以该定点的坐标仍然为二，得毫四。接下来我们看第三种的方法，变换组圆。 首先我给大家介绍一下什么叫变化组元，把关于 x 和 y 的一个式子给它整理化成 m， x 等于 y 的这个形式。接下来我们只要 x 等于零，同时 y 也等于零，你在这个式子里头无 无论你 m 取何止，我们都会经过一个定点零，逗号零，这种方法，我们把它称之为变化组元。接下来我们用这个方法对这个题进行计算。首先我们先去对原来这个式子进行整理， 我们要把组元换成 k， 所以我们先对还有 k 的式子进行和 k 同对象 等于 x， 平方加 x 减二，括起来乘以 k。 接下来我们整理成这一个形式，把还有 x 和 k 的放在左边， y 放在右边， 会得到这样一个式子。那我们发现，根据刚才这样的一个题中，我们只是应该让 x 减二等于零，同时让 y 减 x 的平方也等于。 这样的话，你无论 k 曲何止，它都跟 k 的曲子没有任何关系。 我们可以解得 x 等于二， y 等于四，所以该定点坐标仍然为二十多号四，大家分析比较一下，看哪个方法更容易掌握。

韩参函数问题很多同学搞不明白，尤其是韩参函数中这种交的问题，基本上一做一个错，为什么呢？因为你们没有找准方法，你不会画图。我们看下这道题目， 若抛物线 y 等 x 方减四 m， x 加四 m 方加四 m 减一与直线 y 等于 x 加一，有两个不同的焦点， 且这两个焦点在抛物线对称轴的同侧。问， m 的曲子范围是多少？很多同学看到 有两个不同的焦点，嗨起来了，老师，我学过连列令灯塔大于零啊，很爽的把它解出来之后发现，老师，哎，这个 怎么办？怎么样才能保证焦点在八号线对称轴的同侧呢？哎，又搞一堆乱七八糟的事，往里面算，就把这算蒙掉了对不对？这种题目你先不要着急弄灯哈，你先想 从图像上来看，怎么样才能保证他既有两个不同的焦点，并且 你这两个教练还得在抛物线堆成同侧呢。那么既然他的图像咱得画个图对不对？ 一次函数 y 等于 x i 这个图很好画，我们现在比较关注的是二次函数的图样怎么画 啊？我们要想画图，必须拿到一些已有信息，所以我们观察他的简易事，发现他前面是一个完全平方公式，所以可以写成 x 减二 m， 然后整体平方加三 m 减一，这是 x 方。虽然我不能画一个非常精准的，但是可以画一个大体上的一个图像，开口向上， 对阵轴是直线 x 等于 o m 好下来画一常用图像 y 等 x 加一，从左往右成上升趋势。那我现在想了，怎么画才能保证你两个交点在抛物前对阵轴的同侧呢？首先想了这两个交点能不能同时在左侧？ 不可以，你比如说你这么画不可能同时在左侧的，只能同时在哪里同时在右侧啊？我这个画的不大好，应该这么画， 图上的问题这么画对吧？这样的话，哎，两个焦点同时在右侧，那我怎么样才能保证，对吧？我能够把他们的焦点画在右侧呢？你 只需要保证你这个 y 等于 x 加一啊，在这个点的下方，图像在那个下方就行了。也就是说，当你 x 等于 om 的时候，你二次的 y 要大于你一次的 y。 听明白我意思吗？就二次函数 x 等于二 m 的时候，你的 y 要比一次函数里面 x 等于二 m 的时候要 y 要大，这样的话，你这个图像就可以画在这个点的下方，那么你在这里的自然会有两个交点的右侧，所以 x 等于二 m 的时候， 二参数的 y 等于多少？把它往里面一带，就等于三 m 减一，而一参数的 y 等于多少呢？就是二 m 加一，所以就是三 m 减一，要大于二 m 加一，一下像 m 要大于二就解除了， 就这么简单。所以对于韩餐的函数焦点问题，不妨去写嘚他先想想看图像里面怎么去实现他，然后根据这个图像去找这个不等式该如何去列进行求解即可。

首先我们一起来看一下，嗯，单调韩餐这一块，单调韩餐这一块其实更为主要的是为大家讲解分段函数的一个单调韩餐， 分段函数单价韩餐其实在我们的一个平时的考试中是考比较多的，作为出题人的一个心理，我们可能就是说你越容易错什么，我们就越容易考什么。而分段函数之所以容易错的一个很重要的原因就是大多数的同学他错误的地方几乎都是一样的。 比如说啊，类似这一道题啊， f x 呢，嗯，是一个分段函数，它在 r 上呢，是一个减函数，则实数范围啊，实数 a 的一个范围。 那么对于分段函数单调含餐理论知识，他要求什么呢？要求啊两个部分，第一个是考虑个段的单调性 好，然后接下来就是一个很重要的一个易错点，就是考虑分界处的大小关系 啊。那么如果说你遇到了分段函数单调韩餐，然后当你看到他的那一瞬间，脑子里面其实就想了这两句话的话，那相对来说，其实 这种题于你而言问题就不大了。比如说类似，它其实是一个比较简单的分段函数单调含餐的问题，它有两段，第一段呢是零到正无穷，第二段呢是负无穷到零。我们可以看到零到正无穷这一块的图像，它本身就是一个单调地 剪的一个依次函数图像啊，依次函数单调性自然而然，他应该是取决于他的这一个依次最高次，对吧？所以说我们就不需要太过于管他 好。然后呢，就是我们的这一个另一个啊，负重到零这一段，负重到零这一段，首先呢，它是一个二次函数，开口向上，自然而然二次函数结合开口的话，单调性 去看的时候，我们应该是看他的一个对称轴的位置好，然后你要在负重到零上都要单调递减的话，那自然而然对称轴二分之 a 和零的大小关系其实就出来了，我们需要我们的对称轴二分之 a 要大于 等于零数都可以，也就是如图所示 啊，就可以了。好，那两个分段确定好了以后啊，第一个分段是一个一次，本身就已经单减了，所以不太需要管。第二个分段是一个二次，他的单调性是取决于我们的对称轴和我们的这一个。嗯，区间端点的啊，我们已经管好了。那么两个 分段的单调性搞好了以后呢，我们主要就是观察端点处，自然而然如图所示，像这样的图形，他就是个单减的图形，而更巧的是，如果他们能够刚刚好对接上，是不是也应该是一个单减的图形 好，那么其实还有一种情况，就是我左边的这个二次函数在零处的这一个值，他是比我们啊右边的这个依次函数在零处的这个值是要大的， 那很明显你可以看到啊，最后这个图像就充分说明了为什么我要去比较分界处的一个大小，因为有这样一种图，就有这样的一种情况的存在啊。 如果说这种情况存在的话，虽然说是在各自的这一个小区间里面是单调递减的，但如果你把它连到一起， 你就无法说他是在 r 上单调递减的，因此你是不允许最后一种图像的情况存在的，所以我为了去描述上面两种情况，我需要去比较单端点值，也就分界处的一个大小关系，自然而然也就是 好，我们把零带入到我们的左边这个分段就是零的平方，减零加一。好，他要大于，大于是可以的，比如说是第一个图，或者是大于等于啊，然后 把零带入到我们右边这个分段的依次函数当中。好，那么由此算出来答案才是我们最终的一个答案，那么这就是我们分段函数的一个 单调含餐的处理技巧。再一次强调就是先考虑各自的单调性，就是各自分段上单调性，比如说稍微提一下第二小问，第二小问如果去做的话，他整个要求的是在 r 上是一个增函数，那我就先要去考虑啊，他各自 这两个函数在所给的小区间里面啊，要先单针好，确定好了以后，我再去保证我们的这个端点处，也能够让整个图像在 r 上呈现出一个单针的情况，就比较他们的大小关系就可以了，所以就是这一个端点啊，是他的易错点。 那接下来我们来看看，就是分式函数单调含餐，其实分式函数单调含餐这一块，它主要就是啊，就是处理它的一个核心就是 画图啊，画图啊，我们不仅是画分式函数的图像，其实我们也会去画类似于像这样的 x 加上 x 分之 a 的这种啊，对勾函数啊，或者是与是与它类似的一种函数的图像啊，都可都可以去大概的把它画出来。好，我们在这个地方也是挑两个例子来讲一讲。首先我们可以先看到我们的这个例五的第一小题， 例如的第一小题，他说 f x 这个图像，当然他强调了 a 是大于零的。注意，做题的时候，我们要去关注题目的一些小细节。然后呢， f x 在一到 正五穷上单调 d 减，求 a 的一个取值范围，那么它是一个典型的分式函数，依次除以依次的类型，那么依次除以依次的函数，我们要去画图的话，那其实就是一个分离系数， x 减 a 加 a， 然后除以 x 减 a， 那么就等于一加上 x 减 a 分之 a， 那么可以看到这一个依次除以依次的 函数，当我们分离系数以后，它应该是由 y 等于 x 分之 a 这样的一个反比例函数平移得到。那如何平移呢？左右平移 a 个单位，左右到底是右还是左？ 好，这个时候题目的小条件就特别重要了。根据题目的小条件，我可以看到 a 是大于零的， a 大于零，那么由此我们一定是左加右减，是不是又移 x 单位，把它画出来 好，完了以后又移 a 个单位了，以后呢，再往上移一个单位，如图所示。好，接下来呢，由于 a 大于零，那很明显，本身 x 的 x 分之 a 这个反比例函数，在它 原始为啊原始的时候啊，原始位置的时候，他就应该是在一三象限，所以说他的图像大概长得这样子， 平移以后， ok， 那么可以看到哦，原来要使 f x 啊，现在 f x 的图已经被我画出来了嘛。那么要要使 f x 在一到正无穷的这个圈上是单减的，那 a 的趋势范围很明显啊，一到正无穷这个区间，它应该是在 a 的 对右侧，那自然而然，一大于 a 的情况肯定是可以的，对吧？那能不能等呢？ 啊？可以注意这里的这个小细节，就他可以取到一，因为如果当 a 等于一了，我们可以把它放在这，他明显也是在一到正午从这个开区间上单减的，所以没有任何问题， 因此最终 a 的取值范围就是一到正无穷的全啊，前开后不，前 b 后开，然后答案就出来了，那同理，有兴趣的同学可以去完成一下第二小问，他是一个类似的题目， 那接下来我们来看一下第三小问。第三小问我刚才提到了就是对勾函数，但是啊，在他所给的这一个 a 的范围下面，他其实不是。对 对于这样一个形式的函数而言，他一定要是在 a 大于零的情况下才是对勾函数，那么自然而然，当 a 大于零是对勾函数的这一个前提，从你的嘴里说出来了以后，或者 在你的心里想出来了以后，你就应该知道，这道题他应该是要进行一个分类讨论的。是的，所以说第一种情况，当 a 大于零， a 大于零，图像很好画啊，你不需要去管他是怎么画的，在高一阶段， 有些时候不需要那么的严密，你只要去，你只需要去绘画他的草图就行，并且标记他的一个关键点，我们可以看到，当 a 大于零的时候，对勾函数啊，在 x 轴的正半轴，他的图像如图所示，那么他的最低点应该是根号 a， 那么他要在一到二上单调，注意，单调这个词一读出来，你的脑子里面就应该要问自己，哎，到底是单增还是单减呢？所以因此这应该有两种情况，第一种情况就是根号 a， 他是要小于等于二的，那么此十一到二这个区间大， 删掉 d 减好，要么就是根号 a， 哦，写反了，根号 a 大于等于二， 不好意思啊。第一种情况就是根号 a 大于等于二，那么这种情况一到二上就单调递减，那么或者是啊，或者是一 啊，就是根号一是大于等于根号 a 的，那此时一到二这个区间函数单调 d 增， ok， 不好，所以这是第一种情况，算出来就可以了。当然注意，算出来以后，一定要结合前面这个 a 大于零，也就是说这里算出来应该是 a 大于等于四，或者是 a 大于零小于等于一， ok， 好，那么第二个情况就是 a 等于零的时候， a 等于零的时候，我们可以看到 此时 f x， 它就是 x 这样的一个正比例函数，它单调 d 增在 r 上，因此一定是一到二单调的，所以满足提议。然后第三种情况就是 a 小于零的时候，注意 a 小于零的时候，这个手这个地方我要稍稍提一下单调性的一个判断方法， 我们之前不是提到单调性的判断方法分成三种吗？第一种呢，就是我们的这一个定义法，定义法它主要是在高一阶段适用于大题当中。然后第二个方法就是图像，图像呢，它主要是适用于分段函数啊，我写一下， 或者是分式函数啊，如果说我遇到他们了，我要去知道他单调性，在不写过程的情况下，我可以用画图的方式来做。然后第三种就是结论法，那结论法也是四种选 甜的，比如这个地方，如果说我们不写过程，要去判断 x 加上 x 分之 a 在 a 小于零首的一个单调性的话，那我采用的就是结论法，为什么呢？ x 单调递增， a 小于零的时候， x 分之 a 在它所对应的区间里面啊，也是单增的，因此整个单增。 那因此这种情况下我可以看到啊，一到二他一定是在他定义域里面的，那么作为定义域的一个子级区间，他一定是单调递增的，所以也是满足情况的。那么中上我们最后答案就是 a 小于等于一或 a 大于等于四就出来了，那么这就是分式函数当中的一种特例，而这种特例其实就体现了一系列的类似于二次除以一次或者一次除以二次的分式函数的除 处理技巧。因为刚才所说的这两种分式函数处理进行处理，他可以通过分离系数的方式转换成这样的一个对勾型啊， 所以我这里说的是对勾型，我就没有说他是一个对勾函数了啊，他的形状是对勾型的样子，对勾函数的样子，但他不一定是个对勾，取决于他上面参数的一个正负性。

大家好，我们来看这道题，这道题呢是含餐的二次函数在给定的区间上的坠子问题，他首先给了这样一个二次函数，里面有参数 a， 然后呢让我们讨论在零到一上的最大值和最小值，因为 a 取不同值的时候，他是不同的函数，然后相应的这个坠子呢，也是不一样的，所以我们这个呢，肯定是要对 a 进行讨论的。 那么在讨论的时候呢，当然由于二次函数的对称，呃，对称轴和开口方向决定了他的单调性，这里已经知道是开口向上的了 好，然后我们就要先看他的对称轴啊，对称轴呢，答案其实就是 x 等于二分锥，这个很简单，代公式就行了，那我们知道对称轴是 x 等于 二分之一，然后在讨论的时候呢，比如我们如果讨论最小字的话，其实相对比较简单的，我们只需要讨论对正轴和区间零一的关系就行了。比如我们来先来写最小字 好，退小字的时候，就首先，呃，第一种情况好，我们可以说是 a 小于等于零的时候， 因为我们知道这个开口向上的抛物线，他在对称的左边是递减的，右边是递增的，所以如果 a 小于等于零的时候呢，那么二分之 a 也小于等于零， 那么这个对称头在区间的左边，也就意味着区间在对称头的右边，也就是说在对称的右边，他当然是单调递增的，也就是说 fx 在零到一上是单调， 也就是 f 好，最最小值的话就是 f 零了， f 零等于一就为最小值 好，这是第一种情况。然后第二种情况如果考验我们这个，接下来这个二分之 a 如果在对在这个区间的右边就要大于等于一了，所以我们如果按照这个大小算下来写的话，就首先是大于零，好，他这个等于一的时候是二吗？所以就大于零小于二的时候， 此时二分之一也是大于零，并且是小一的好，那我们知道他这个对称轴的范围之后呢？然后就可以知道对称轴刚好在这个区间内了，而我们知道开口向上的抛物线 好，对乘轴处是函数的最少值，所以如果对乘轴在区间内了，所以我们就知道 f 二分之 a 就为最小值。当我们这个可以带入到上面这个式子里面，就是四分之 a 方减去二分之一方，再加一就是一，减去四分之 a 方为看出在零到一上的最小值 啊。然后第三种情况呢，当然就是 a 大于等于二了，因为 a 大于等于二的时候呢，二分之 a 就大于等于一。 好，二分之一大于等于一的时候，那我们就知道对称轴在区间的右边，也就是区间在对称轴的左边好，对称轴的左边大概是单调递减的，也就是说 fx 在零到一上 是单挑地点的，那单挑地点，所以最早值呢？啊，就是 f 一了。好， f 一，我们带到这个式子里面，就是一加一是二，然后二 二减去 a 就为函数在零到一上的最小值。好，这样的话，我们这里这个最小值的情况就全部讨论结束了，然后我们再看最大值， 好，如果讨论最大值，那这个时候我们可以想一下，的确，如果像刚才这样讨论的话， a 小 a 等于零，他是单调递增好，那我们知道四在 f 零是最小的，那相应的 f 一就是最大的字了哦， a 大于等于二的时候，那他在零到一张单加递减，那 f 一是最小值，而 f 零呢，就是最大的字，这两个的确是没问题的，但是 中间这个如果 a 大于零小于二的时候，这一层轴在区间内，那到底哪一个是因为 f 二分之一是最小值吗？到底 f 零是最大值还是 f 一是最大值，我们是 不知道的，所以这个最大值的讨论呢，我们是不能够再按照这个对正轴在区间的左边，在区间内和在区间右边，不能按照这个逻辑来讨论了，因为他这个最大值要么就是 f 零，要么就是 f 一， 而中间的一个临界的条件呢，就是他是 f 零和 f 一是相等的，我们可以想一下，什么时候 f 零等 f 一呢？因为我们知道他这个呃，如果 f 零等 f 一的时候，其实对乘轴就在他这个区间的终点，所以我们可以先看一下 好，他这个区间终点好为二分之一，所以也就是如果被称作二分之一等于二分之一的时候，那么他这个呃区间终点刚好 是对正轴，那么 f 零就等于 f 一都是最大值。好，那如果区间终点好和二分之一不相等，那这个就是要么查 f 零，要么查 f 一，我们具体再写一下。好，还，既然知道这个临界的条件是 a 等于一了，所以我们还是按照这个 从小到大的顺序来去讨论好。如果 a 小一，那这个时候我们就知道 二分之 a 是小于二分之一的，也就是说对称轴在区间终点的左边，对称轴在区间终点的左边，那么 这里这个右边的边界也就是一这个边界就离对正轴的距离更远一些啊，我们可以写上右靠近这右端点好，一好，这里 离对称走啊，是更远的 好，所以我们就知道，因为离的越远，他这个函数就越大嘛。好，所以我们就知道 f 一好，就我们刚才算的是二点 a 为最大的 好，然后第二种情况，如果 a 等于一的时候，这个时候呢，二分之一等于一好，这个对称头刚好是曲线的终点 好，二分之一等于二分之一好，这种呢，刚好是曲线的重点，所以此时呢是 f 零等于 f 一，此时 f 一其实也是一了，对吧？他们都等于一，都为 最大值好，然后第三种情况，当然就是 a 大一了， a 大一的时候，二分之一呢，就大于二分之一 啊，二分之一大于二分之一，那么对称轴就在区间中点的右边，所以呢，此时左边界离对称轴的距离是更远的，那么好，该写一下，就是左左端点啊，零好，离对称轴的距离 啊，这个是更远的，那么所以我们就知道是 f 零好， f 零当然是等于考 f 零是等于一的好， f 零等于一，这里呢，他呃是 在零到一上的最大值好，这样的话，最大值的情况我们就讨论清楚了。当然对于最大值这个中间这个 a 等于一的时候呢，由于他是 f 零等于 f 一，其实都是最大值，所以你 并到上面 a 小一上，也就是小于等于一的时候，把他们合并到一块，或者说并到下面这个 a 大一上，大于等于一的时候，合并到一块其实都行 啊，这样的话他这个最大值几小时我们就都讨论清楚了。好，这个韩餐的二次函数在一个定区间。 好，他上面的最大值或者反过来说，如果是二乘函数是没参数的，如果这个区间是变的， 其实这个讨论的依据也是差不多，对吧？就如果开口向上，我们在讨论最小值的时候，这个依据就是看对称轴和区间的关系，对吧？在区间左边，在区间内，在区间右边。 好，然后最大值呢，就是看他这个区间的终点和对称值的关系，就如果刚好是区间的终点的话，那这个时候我们就可以知道是，呃，两个边界初始相等的都是最大值，如果 他这个对称轴在区间中点的左边，那么就右边离的更远，所以右边的端点值就是 f 一是最大值啊，如果他这个对称轴在区间终点的右边，那就是左端点离的更远，所以呢，左边的左端点出的这个值就是最大值。 好，这是我们这个，呃，这样的最大只小时讨论的依据，他们的依据呢，还是不太一样的啊，可以注意注意总结一下。

这个视频我们来看一道二次函数这块非常经典的一类题目啊，就是根据二次函数图像上两点的纵坐标的一个大小，来判断它横坐标里面含参的这个参数的取值范围的一个问题啊，那么这道题我们一起来做一下啊， 那这里告诉了说抛物线 y 等于负二分之一， x 方加 x 啊，这个抛物线完全给到我们了啊，他的什么信息我们都知道，说他怎么了，哎，经过了 a 这个点和 b 这个点，来看一下这两个点， 他们的横坐标三 n 加四二减一，哎，横坐标里面含有 n 这个参数，那么纵坐标呢？用 y 一和 y 二来表示啊，说这两个点，如果他在抛物线对称轴的两侧，并且 y 一大于 y 二，还让我们直接写出这个 n 的一个取值范围。好，那么拿到这道题之后啊，我们应该怎么去思考？首先我们是不是要根据抛物线的表达式来把抛物线的对称轴给他找到？ 好，那么这里呢，我们可以得到它的对称轴呢，就是应该是这个直线 x 等于负的二， a 分之 b 啊，也就是一个一 对吧。好，那么再结合 a 是负的二分之一小于零，所以此时我们可以简单的画出这个抛物线的草图，开口向下啊，并且对称轴 x 等于一。那么接下来你来想一下，他说这两个点在抛物线对称轴的两侧， 那么肯定是一左一右了，那到底谁在左，谁在右，这是不是需要我们去分类讨论啊？ 所以说这道题的关键点呢？哎，就是要分类讨论哎，你比如说 a 左 b 右是个什么情况？那么另外就是 a 右 b 左，哎，又是一个什么情况？好，首先我们来看 a 左 b 右， 那你想想， a 在左边， b 在右边，并且满足 a 的纵坐标大于 b 的纵坐标，那是不是意味着哎 a， 比如说在这，哎，我的 b 就应该在这， 那么你根据这样的一个条件来限制他俩的一个横坐标的取值，首先满足 a 左 b u 是不是应该要让三 n 加四要 小于一嘛，对吧？它应该在左边，同时我要让这个二 n 减一要大于一，这满足了 a 左 b o， 然后呢， a 的纵坐标比 b 的纵坐标大，那应该是 a 离对称轴越近，对吧？也就是说，哎，我的 a 的横坐标 三 n 加四，距离对称轴的距离，那么我们用对称轴一减去三 n 加四，这个距离应该要小于哎， b 这个点到对称轴的距离，也就是说用二 n 减一，哎，再减去一个一， 这个就是第一种情况下啊，我们的 a b 两点，它的横坐标应该满足的三个条件，接下来你只要去解这个不等式组就行了啊。 好，那么同学们可以自己去解一下啊。这里解出来，哎，这种条件下呢，是无解的，哎，没有这样的一个 n。 好，那么接下来我们来看一下第二种情况， a 右 b 组，那有了第 一种情况，第二种情况就好写了啊。首先是不是三加四呢？我们要满足他是大于一的，保证他在右边。二 n 减一呢，是小于一的，保证 b 在左边。那么这种情况啊，你来想一下， a 在右边，他距离对称轴是不是要比 b 在左边，距离对称轴更近一些啊？差不多就是绿笔标的这样的一个位置关系，那么此时这里我们应该满足的是 三 n 加四，哎， a 的横坐标减一，他到对称轴的距离应该是要小于一，减去 b 的横坐标二 n 减一的， 对吧？然后你把这个不等式组给他解一下，那么我们这里解出来 n 呢，是大于负一，小于负的五分之一。好了，那么你综上两种情况，最终得到 n 的取值范围，哎，就是一个。这好， 最后简单的总结一下这道题呢，两个关键点，一个啊，你要根据 ab 的一个位置关系得到，应该要分类讨论两种情况。那么第二个关键点就是在每种情况下呢，你要根据这种情况下 ab 这两点满足的位置关系， 进而得到它的横坐标应该满足的一个具体的代数条件，然后再去求解 n 的一个范围。那么这个视频我们就讲到这里，下个视频再见。