怎么证相似三角形

一个视频学会三角形相似与全等什么是相似三角形？对应角相等对应编程比例的三角形叫做相似三角形。如何判定三角形相似呢？判定定理一， 两边对应成比例，且夹角相等。两个三角形相似，意思为两边一一对应，比如 a 对应 d， c 对应 f。 若两者比例相等且夹角相等，则两个三角形相似。 定理二，三边对应成比例，则两个三角形相似。三边一一对应且比例相等。即若 a 比 d 等于 b 比 e 等于 c、 b、 f， 则两个三角形相似。 定理三，两角对应相等，两个三角形相似，两个角对应相等，第三个角也对应相等。 判定条件只要两个角对应相等即可。比如角一等于角二，角三等于角四，则两个三角形相似。 定理四，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与圆三角形相似。这个定理可以直接用来判定三角形相似。若 d、 e 平行于三角形底边， 则所构成的黄色三角形与蓝色三角形相似。 当三角形为直角三角形时，斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似，比如斜边 b 比翼等于直边 c、 b、 f， 则两个直角三角形相似。 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等。对应编成比例 相似三角形周长的比等于相似比。相似三角 形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。下面我们再看看全等三角形。全等三角形为相似三角形的特例及相似比为一。 他的判定定理有，边边边定理、边角边定理、角边角定理、角角边定理、 hl 定理。

各位同学大家好，咱们接着学习相似三角形的判定啊，研究一下判定方法。咱们学会了一种判定方法，就是相似三角形判定的预备定理。预备定理的图形啊，分两种情况，那就是用平行线截三角形两边 有一条直线和三角形的一边平行结三角形两边，那么结出一个三角形和圆三角形相似，或者说这条直线结三角形两边的线条线 啊，切出三角形也和原三角形相似，那这条线呢，一定和三角形一边是平行的，那这是三角形相似判定的预备定理。今天呢，咱们接着学习判定两个三角形相似的其他的方法。那么我们类比判定全等的方法，来 研究判定相似的方法。那么判定全等的方法我们学过，有边边边、边角、边角边角角角边，还有 hl 啊，那就是斜边、直角边这样五种方法，那对 全掌三角形。咱们学过边边边的判定方法，那这个方法是三边对应相等的两个三角形全等，那么咱们类比 啊，画了这两个三角形，那这时啊，咱们没法啊，保证三边对应相等，那么我们如果能够保证三边对应成比例， 那就是说咱们如果啊具备这样的条件，就是 ab 比上他的对应边，第一， ab 比上他的对应边，第一 等于 ac 比上的对应边， ac 比上他的对应边是 df 啊，接着再等于必须比上他的对应边， 他的对应边是 ef， 那这就是三边对应成比例，那有这样的条件，我们就可以得到这两个三人相似啊，那就是因为三边对应成比例，然后得到结论就是三角形 abc 相似于三角形 bf 啊，那么这种相似啊，这个方法类似于边边边，那么他怎么正的，咱们就不证明了啊，同学看教材去研究怎么去证明， 那么接着咱们再看啊，类似于边角边，有没有类似的方法？边角边，我们说两个三角形如果具备着两边对应相当，夹角也对应相当啊， 我们学过啊，这个边角边是指的是两个三角形，如果有两边对应相当，而且这两边的夹角也对应相当，那么这两个三角形呢？那么类似于边角边，咱们看这两个三角形两边对应成比例， 那么咱们选两边啊， ab 比上第一等于等于这个 ac 啊，等于 ac 去比上这个，去比上这个 df 啊，那这就是两边对应成比例，然后再加上这个夹角，加上角 a 等于角 d， 那在这样条件下就能够得到这两个三生相似啊，那这是叛逆相似的另一个方法。那么怎么去书写结合同行，就是因为因为 两边对应成比例，那就是 ab 比上第一啊，比上他的对应边第一等于 ac 比上的对应边 ac 比上他这个对应边是这个 df 啊， ac 比 df， 然后呢，夹角夹角是角 a， 角 d 啊，角 a 等于角 d， 那再加上角 a 等于角 d， 这个条件， 角 a 等于角 d， 那就能够得到这两个三角形啊，是相似的，那么写， 所以三角形 a、 b、 c 相似于三角形 d、 f， 那在写相似，这是也是对应啊，点 a 和点 d 对应， b 和 c， b 和 e 对应，是吧？这个点 c 和点 f 对应都是对应的。 那么接着再看，咱们还学过全能的两个判断方法，是角边角和这个角角边，那么咱们观察这两个图形，如果具备两个角，比如说这个角 a 等于角 d， 脚臂等于脚翼，那具备这样的条件，这里边呢和边呢就可以无关，边长点短点都可以，都能保证这两个三相似，那就是说啊，类似于脚边脚 角角边，咱们得到只需两个角对应相当啊，那么这个证明方法也比较简单，这里老师也不证明了，那下面呢，就写上这个定理啊，几个图形写就是因为 两个角对一下呢，这里边咱们举的是啊，写的是角 a 等于角 d， 角 a 等于角 d， 然后呢角 b 等于角 e， 就能得到三角形 a、 b、 c 相似于三角形 d、 e、 f， 那么接着我们再看啊，再看这个判定全等的方法，是对于两个只要三角形来说有 h l h l 的方法，那咱们如果是还是这样画啊，这两个三角形，咱们就无法 把体线和 hl 这种方法对比啊，和斜边这边方方法对比，那所以说咱们下面研究的时候，是需要画两个直角三角形啊，再和这个斜边直角边这个方法对比，得到一个新的判定相似的方法，那下面呢，咱们把它变为， 那下面咱们把它变为什么变为直角三角形啊？变为两个直角三角形，变为两个之后， 太阳这里边啊，咱们坐高啊，这个垂柱比如说是 m 啊，这个垂柱比如说基围 n， 那这时咱们比如说选两个三角形啊，选两个三角形，咱比如说选左边 他这两个直角三角形，那么如果是全挡的话，是指的是两个直角三角形，如果具备斜边对应相当，还有一条直角边也对应相当，那么两个直角三角形前挡，那么大家观察三角形 a、 b， m 和三角形低音 这两个直角三角形。那现在啊，斜边和直角边的无法是对应相当的，那这里边需要对应成比例，那我们写一下啊，对应成比例， 那他的前提呢，需要是具备直角的条件是两个直角三角形，那就是角 amb 等于角 dne 等于九十度啊，角 a， m， b 等于角 d， n， e， 在直角条件下啊，都等于九 尺度的条件下。然后呢，具备斜边和直角边对应成比例，那么选斜边和一组啊，和和一对直角边，这里边咱们比如说选这个 am 和 dn 吧，那么斜边呢，咱们就写上啊，自然是 ab 比上第一， ab 比上第一，那直角边咱们选的是 am， 比上 dn， 当然咱们选这个 bm 和这个 en 也可以啊，这里面咱们选了 am 比上 dn 等于 a， m 这个车道边比常在对应这边啊，对应的这边是 dn， 那这样这两个车才行就能得到相似啊，所以我们就能够得到直角三角形啊。呃， 那么，呃，写的时候写二 t 啊，写二 t， 只要三行二二 t 三角形 abm 就相似于 二踢，二踢三角形是 a， 二踢三型是 d， e， n 啊，写上 d， e， n 啊，咱们得到了啊，这样一个判定的方法啊，咱们这个判定相似的方法叫做有斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似啊，那这是今天讲的这个第四个方法啊， 下面咱们回顾一下今天新学的判定相似的方法啊，那么第一个方法是三边对应成比例，两个三声相似。第二个方法是 由两边对应成比例，切这两边的夹角对应相等，这样两个三相似。第三个方法是只需有两个角，有两个角对应相等，这样两个三相似。第四个方法是 对于直角三角形来说，两个直角三角形如果有斜边和其中一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角相似啊，那这是今天新学的判断相似的四种方法，再加上咱们最初学的判定相似的一个方法，那就是判 判定两三相似的预备定理就是平行结结得的三角形与圆三角形相似，那这样咱们判定相似。咱们学了五种方法，那大家掌握好这五种方法，然后呢，根据其中的条件，选择适当的方法来证明两个三相似。 关于相似的这几个判定方法怎么应用接下来课程呢？老师给大家再举例子啊，再讲解怎么用这些相似的判定方法，听懂的同学点赞关注， 继续和老师学习相似三角形判定方法的应用，谢谢大家，再见！

大家好，今天我们继续来讲这个初三数学的相似三角形的性质和判定啊。嗯，然后先讲什么呢？这部分分成三个内容，第一个是定义和性质，第二个是判定定理。最后一部分呢，我会讲一下这个中考的一道比较复杂的大题吧，来看一下啊。 我先说一下三角形相似是平面结合中非常重要的内容，是中考数学中的重点考察的内容。近几年中考题呢，虽然是直接就是证明这个相似为结论的题目呢，他确实在减少很多地方直接考察相似就是不考察其他知识点的大题呢，几乎是没有了， 但是他在那个平面积和综合大体里头，在那个平面积和压轴大体里头，是作为解决大体的工具而出现的，所以他还是必不可少啊，应用非常广泛，跟这个全等三角形啊，平时随便性联系非常紧密。那好，咱就 我来讲第一部分吧，这个相似三角形的定义和性质。定义的话，先说一下什么叫相似图形，相似就是形状一样的图形，我们就把它叫做这个相似图形，然后这个相似多边形的话，延伸一下， 我们把形状相同，大小不一定相同啊，然后也可以相同，也可以不同。大小是这样的， 你如果说大小一样的话，全等全等是包含在相似里头的啊，如果两个图形相似的话，那么这两个图形有可能是相等的，但是反过来，如果两个图形他是全等的话，那么这两个图形一定相似，所以说大小的话可以相同，可以不同形状相同的两个图形，两个多边形就有相似多边形呗， 相似三角形的简单定义，也可以这么来说，形状相同的两个三角形叫做相似三角形。但是准确定义的话是这样来说的啊，多应角相 啊，对应编成比例的三角形叫做相似三角形，那最少的话，肯定得有两个才能叫相似了，对不对？然后相似三角形对应边的笔呢，叫做相似笔。一般来说，这个相似笔的话，我们一般用 k 来表示啊，当然别的也可以。什么意思啊，我先说一下啊。 嗯，比如说拿下边这两个三角形为例。首先我说一下相似的技法是什么样。全等的话大家都知道了，因为初二已经学过了三角形 abc， 如果说下边这俩图形全等的话，是用这样一个符号来记得，然后全等于三角形 d、 f， 但是下边这两个图形他不全等啊，那相似肯定有专门的符号，我说一下 相似呢，英文单词我现在大家都是知道的， s i m i l a 二相似吗？对不对？所以说用一个 s 躺着打 s 就行了。那下面这两个图形的话，我们这样来记 三角形谁三角形 abc 相似啊，原来是一个躺着的 s 就可以了。相似于三角形 d、 f 好，这是相似的技法， 那么这个对应角相当，比如说一般来说我们会对应好的啊，按照定点顺序，角 a 和角 d 是对应的，角 b 呢？和角 e 是对应角 c 和角 f 是对应角， 那对应边乘比例还得满足什么？对应边乘比例的意思，他是应该这么写的。然后这个笔直呢，叫做 k， k 呢，一般叫做什么叫做相似笔啊， 当然你不用，可以用别的字母写也行啊，这个叫做相似笔，一定要记住是前头他的边比上后边的边，也就是说是左边的三角形比上右边的三角形，你千万不要倒过来了，倒过来就变成 k 分之一了。相似笔是左边这样一个三角形比上右边这个三角形，是这样规定的。那接下来我们继续讲啊，那相 三角形的性质有哪些呢？就以下这些定义里头，时间已经告诉你很多了，相似三角形对应角相等为对应边成比例，这个其实就是定义反过来说的啊。好，第一点是由定义得出来的， 那么来看这第二点，第二点的话也直观上认知也确实是这样的啊，如果两个三角形相似的话，那么他的对应的高什么呢？对应边上的高，对应边上的中线和对应角的角平行线的长度呢？都是等于相似比的，他这样的比值。但是第二点需要证明， 我单独拎出来。第二点需要证明的意思就是说，除了第二点啊，这个括号一，括号三，括号四都是可以直接用的，都是可以当成定理的。那面积比等于相似比的平方是怎么得来的？比如说啊，我们写 e， 因为这个三角形 abc 相似于三角形。第一呀， f 这个没问题吧，那相似的话，他这样的相似比，那看了啊， k 等于什么？ k 的话等于 ab， 对应边比上第一啊，这是相似比，那么他的面积比就左边这个三角形 abc， 我写上吧。 那闭上右边这个三角形 d f 面积之比的话，一定是等于 k 的平方啊， k 的平方为什么会这样？因为你对应底边的比值已经是 k 了吧。那对应高的比值还来一个 k？ k 成 k， 所以就有 k 的平方，你自己很容易推出来的啊。那我们还是说一下， 对于括号一，括号三，括号四，这三点确实可以直接用。怎么用？直接写出来，不就是右边这样一个图吗？对吧？好了，因为相似，所以说对面成比例直接写就行。因为相似，所以说面积之比就是相似比。直接写，因为相似，所以什么呀？所以说面积之比是相似比 k 的平方。 哦，原来是相似比的平方，这三点都是直接用的，因为所以。完了。那后边呢？第二点的话，对应的高 中线，角平线对应三线。嗯，咱们拿哪一个正呢？因为对应高线的话，他可以用面积法来正。那我们用一个比较普通的，我们来正一下这个中线吧。那怎么正呢？以致求正写证明两个字啊。这个角壁和角异角度相等吧。因为相似，所以角度肯定是相等的，这个是没有任何问题的，对不对？对应角相等，相似三角形。 那其次他对应边成比例的话， ab 和谁啊？ ab 和 d 也确实是成比例的。那再继续说，因为 b c 比上谁？ b c 比上 e f， 他是等于相似 bk， 这个没问题吧。那二分之一比上二分之一 f， 不也等于相似 bk？ 你说二分之一 bc 不就是 bm 的意思啊？ bm， 然后有了 bm 以后的 再来一个 e n。 好，那我知道了，其实很好写吗？根据我们刚刚整出来的好说看了啊， b a 比上谁？ b， a 比上 d， e a 一个是三角形 a， b m， 一个是三角形 d， e、 n， 这两个三角形里头角是相等的对应边，你看夹着这两个角的对应边是成比例的， 两组边对应成比例，且中间夹角相等，所以三角形相似。我们一会会讲到这样一个判断定律，那根据相似最后不就得出来了吗？所以说他是需要证明的，懂了吧？所以说三角形 a、 b 谁？ a， b， m 相似于三角形 d， e、 n。 那最后一点我们直接说，所以说 a m 比上 d、 n 的比值，他就是等于 a b 比上 d， e， 不就是原来相似三角形的相似比 k 吗？然后就正完了啊，就是这样来正的，我们继续往后来说啊。 嗯，来讲几道例题看第一道，第一道例题他这么说啊，在平四边形里头，这个 ab 是十啊，那当然 cd 也是十了，然后点 e 是中点， ab 是六，跟他好说，你这条边是六的话，中点呢？他不就只剩下三了吗？ 嗯，好了，十和三，然后他说什么呢？说哪两个三角形？一个是这个三角形 bfc， 一个是 dec 啊，这两个三角形是相似的，那相似的话，我们得找一下对应边对应角，那好说了，角必必须是对应角，你想想，为什么？因为这两个角相呢嘛，角比较低啊。 那这个 bc 的话，他是谁啊？ bc 的话他的长度当然是六了。然后问你 bf， 这好说吗？那既然因为三角形 cbf 是相似于三角形 cd 的，所以说 b、 f， 他的对应边是谁？你看嘛， bf 对应边当然是后边对应好点点顺序了。 bf 比上第一 等于多少啊？ b f 比上 d， 他是等于 bc 比上 cd 的。那最后你看我们不就求出来了吗？ b f 比上几啊？ b f 比上三等于六，比上十，所以说 bf 等于十分之十八，那不就是一点八，所以选四 d 就可以了啊。来看第二道例题， 第二道例题的话是这么说的，他是一道中号题啊，比较简单，两个三角形是相似的，并且告诉你这两个角，哪两个角啊？ 这两个角叉是相当的，然后他说呢，这个 ade 里头他怎么样？他的零边啊，夹着角叉的这样一个零边，他的边长分别是 d， e 等于四， a， e 等于五啊，然后他要说什么呢？接下来我用蓝笔来一标，其实你就会了， 看同学们，他说这个 bc 呢，是等于八的，然后问谁啊？然后问这样的，哎，这个 ab 的长度是多少？那好说，因为相似吧，所以对应边长比例吧，也就是说谁呢？也就是说你这个 ab b 上 a， 他一定是等于 b， c 比上 e、 d 的，然后把这些纸 b， c， e， d 都知道了啊，还有包括 a、 e， 那就剩下 a， b 不知道，你带入数字一算，所以说 a b， 最终他不就算出来了吗？他的长度呢，是正好等于十的，然后就算完了啊。我们看一下，答案， 果然是对的，来继续看啊，判定定理，判定定理的话，很多同学只记得三个，其实有四个，我跟你说一下，经常忘了哪个？咱经常忘了第一个，第一个是教材上就有的啊。 第一个定理，判断定理怎么说？他这么说的，平行于三角形的一边的直线和另外两条边相交所构成的三角形和原来的啊，这擦掉这个字和原来的三角形相似什么意思？画一个图你就知道了啊。看了啊，看我画的这样一个图， 这样来用啊，这就是判断定理啊。第一个，这是教材上有的原话， mn 平行于 bc， 由平行得相似直接写就行啊。其实他跟咱们上节课想讲的什么讲的平线等比例分析呢，是有关系的。所以说三角形 am n 他就相似于三角形 abc， 这可以直接用，这就是判定定理来看第二个啊， 第二个，第三个，第四个的话就是常见的这几个啦，你一般都会记得，第二个的话是两个角对应相，你两个内角都对应相同了，第三组内角肯定也相同，因为三角形的内角合适固定的一百八十度， 两个角两组角是不是相等了？比如说角 a、 角 b 和角 d、 角 e 分别是对应相等的，对不对？然后角 c 和角 f 肯定也相等，所以我们只需要两组内角，不需要三组，因为两组内角相等以后，第三组内角一定是相等的，这个好说，不多说了啊。第三个， 两组边对应成比例写，中间加有相当，这不就刚才我们证明那样一个中线就是成比例的时候对不对？成比例的时候用的边角边，这个类似的边角边，但是你不能写边角边啊。然后看第四个，三组边对应成比例，这个是最容易写的。三组边对应成比例什么意思啊？看右边这个图，因为 ab 比上第一 等于 ac， 比上 d f 等于 bc 比上 e f， 这个时间就是相似笔。 那既然三组边都对应这样成比例了，所以我说什么？所以说三角形 abc 相当于三角形 d f。 原来如此啊，就是这样用的。所以说判定定你记住了，一定是四个。不是说三个的啊，第一个尤其要记准了啊，平行是可以直接得出相似的。 我们还是练习几道例题。先看第一题，看起来图还是挺凌乱的，但是呢，不难看了啊，如图在正方形网格就是他的大小一样，正方形网格有六个三角形一二三、四五六啊，六个三角形，比如说一就是这样一个，然后二的话就是这样一个啊，你都能看出来， 然后他说呢，跟这个三角形一相似的是。哎呦，三角形一是谁呀？咱就不说一了啊，因为 一的话跟本身是重合了，除了一之外，跟他相似有谁？那现在我们观察一下三角形 abc 啊，他的三条边，我们一算就算出来了一 根号二，然后呢，他的第三条边，这个 bcbc 的话是根号五吗？一比二比根哦，一比根号二，比根号五啊，我只要符合这样的三门笔直就行了。这个呢，我一看就知道选比了，为什么你三条边都算出来，比如说我们拿这个谁呢？拿这个五来算一下 来，同学们告诉我，圈五他的三条边长是多少？三条边长分别是根号二、 二，还有一个是根号十吧，你比完以后，除一个根号二倍约分一下不就变成了一比根号二，比根号五啊，三组变对应成比例，你说相似不相似，所以说圈一和圈不是相似的，这个题直接选 b 就行。好了，我们继续讲第二个，第二个例题做 也简单。看好了，上边我们用的是哪个呀？用的是类似于，这个不能叫边边边是类似于啊三左边对应成比例得出来的。那第二题换了，他这么说， 读完题啊，你自己读一下题，读完题之后的话，他这么说的，他说呢，点屁必须在格点上，注意啊，点屁必须在格点上，什么叫格点？就是交叉的这些点，这些点才叫格点。你如果在这个空白部分，他就不叫格点上，必须是在格点上。 然后问这个格点点皮的坐标，那 abc 的话我们研究的很清楚了呀，他的笔质是什么？他是一个直角定角形斜边。哦，那我懂了呀， 一九十度二什么意思？就是说这个直角三角形，他夹着九十度直角的零边比直必须是一比二，也就是说三边比直必须是一比二，比跟号五为这样一个比值。那接下来还是好说的 啊，如果你以 ab 为斜边的话，你想一个问题，同学们，如果你以 ab 为斜边做一个直角三角形，让他的什么？你如果以 ab 为斜边，我们可以把这样的圆画出来， 因为 ab 为斜边的话，那 a p b 不就是九十度吗？对吧？ a p b 九十度，然后此时这个点 p， 你是可以发现点 p 是不在这个格点上的，所以不行。那必须怎么样？ a b 他就只能是直角边， 直角边还不能全等，是不是？比如说点 p 和点 c 重合收，不行，人家不能包括全等情况，人家输了全等出外，那完了，那只能是这样了，只能是这个 p a 比上 ab 等于二比一了，不能写一比二，你要一比二的话就全能了，不行吧。所以此时，哎，点皮出来了，这不就行吗？这个红色的三角形可以吧？所以说点皮的坐标有一个一到四那桶里 我非得这样画呀。那我把这个点 p 写到三的号四这个点上，可不可以？也可以吗？所以说的话是有两个一的号，四和三的号四没问题啊。来看第三道题， 第三道题的话是新疆中考一道题，难度不高，这么说他说，首先这个角 c 和这个角 e 呢？他是九十，你九十度的话，再加上这样的对等，你看是不是两组角，怎么样？两组角你看又用的是了两组角相等了。那么这两个三角形我们就直接写了三角形 abc， 他就是相似于三角形 ad e 的。哦，原来如此啊，还是挺简单的。然后他问你 ad 等于多少？好说咱们标一下啊，这个是三，然后 bc 是四三四五，勾股数不就出来了吗？然后 ae 是二，哎呦，根据比值我们就算出来了。所以说 ad 斜边等于多少？等于二乘那个比值 三分之五，所以最后答案是三分之十嘛，横线上写这个三分之十就行了。那我们看一下答案哦，果然呢，我们做的这三道题都是对的，答案就是他。那继续往后啊。 第三点，讲一道中考真题，这个题的话是大题啊，有一定难度。倒角还是挺复杂的，两问第一问就已经有难度了，看， 他说的是在直角梯形中。首先呢，哪个是直角啊？角 b 角 a 是直角呗，上下这个边是平行，所以说是梯形啊，直角梯形。然后他说呀，说什么点意是底边上的一点。最关键的地方来了，这是一个折叠对称的问题。看了啊， 将三角形 abe 沿着直线 be 折叠点 a 落到了对角线 bd 上啊，注意点， a 落到了 bd 上啊，是这个意思，然后接下来什么呢？他说呀， 那延长 eg 之后点这个时间，你写上 a 片也是没有问题的。延长这个 ea 片之后跟这个 bc 这条边交易 f 啊，就这样一个图，那么接下来怎么证明证明呢啊？你想想，这个图中他给你数字了吗？就是说某一条线段长度吗？没有，一个数字都没有啊。 那如果说没有数字的话，强烈提示我们要证明这个全等呢。证明这样一个相似的话，我们就只能去倒角了，是对不对？两组内角，那就倒角啊。这个题就是看你怎么去倒角的，目的已经很明确了。那怎么倒角？我先用红笔倒一下角啊。 嗯，怎么标？图中这个九十度非常多，首先是直角跟角形，其次你折叠之后的话，这样的对应角是不是也是九十度啊？角，这和角也是对应角是吧？所以既然图中这个对应角就是九十度，特别多的话，我用圈和叉互余的关系来倒角。 哈喽，同学们，你千万别眨眼，一定要跟上了。来，这两个圈为啥相等？这两个圈本来就相等，因为全等吗？三角形 a b e 和三角形 a b e 啊。那行，那既然说全等的话，那根据呼吁关系，你这不是直角吗？角差，角差。哎，好说，这两个角差， 那我还要继续到了。那两倍的角差和角圈是什么关系啊？那两一个角圈和一个角差，那两个角圈和两个角差不就是互补？ 懂了，我根据互补关系来倒一下角，右边这样一个角也是角第一，这应该标什么？两个角互补的关系吗？两个角圈注意中间点个点啊，要不然你就区分不清楚，看成二十了。 那再根据平行哎，看一下这个位置，也就是说下边画圈这个位置为什么也能标这个两个圈啊？因为平行 上下这两个圈，这两个角他是什么角？是内搓脚相等，平行内搓脚相等段，当然是两个圈了，倒出来了，那再继续呗，再继续倒角就好说了。 看了同学们，这个是直角，肯定是没毛病的。所以说我下边这样一个角根据什么关系啊？根据后移的关系，一径九十度 减去两个圈没问题吧？好，也就是说下边这个角是九十度减去两个圈。哎呦，那接下来我一画你就知道是怎么回事了。看我的蓝笔啊。 来，同学们，请大家告诉我，角 ebf 他等于多少？等于九十度减两个圈，减两个圈你还得加上一个圈，所以说是九十度减一个圈没问题吧？倒出来了，还有谁呢？我还要倒一下，那 ebf 这个角倒出来了，接下来我再问一下， 这个角 b aj 这个角是多少度啊？哎，这个 b aj 在哪呢？我还是用蓝笔来标一下看好了。图中这蓝色的 b aj a 这个角，哎，这个角我就想问了，为什么他也是九十度？好说， 因为你是对称的吗？对称的话，你想一想，对应点点 a 和点这对应点连线和这个对称轴和这样一个折痕是垂直的吧，所以这不也倒出来了吗？哦，那我明白了，原来他也是等于九十度减去这个圈啊。角 eb f， 他就是等于角 b a j 的， 是不是倒出来一组角了？但是光一组角不行，得两组角，是不是第二组角？我们继续看啊？好了，现在已经到了一组角，那第二组角得怎么办呢？再看 ab 制啊，这 abc 这个角的话是多少是两个圈？哎呦，这个没问题，刚才这样一个三角形里头，他不也是两个圈好吗？ 所以说很简单啊，我们现在得出来了，刚才经过复杂的一些倒角，得出来这个角。首先角 abc， 他是等于角 b、 f、 e 的，因为他都等于两个圈吗？这是没有问题的，再加上刚刚我们倒出来的这个角 b、 a 制是等于角 fbe 的，这个是刚刚倒出来的，所以两组那角都已经相等了，你说三角形相似不相似？那肯定相似啊， abg 相似于三角形 bfb。 所以这道题的难度主要是在哪呢？主要是在倒角上这个括号一，我把详细过程给你展示一下，你看一眼就可以了啊，就这样来写这个过程啊，那我们继续来看什么呢？继续来看这个括号二， 宽二，你挣的是什么呀？他给长度了。宽二，他说这个 ab 呢是三， ab 呢是四。哎呀，那好说，你 四的话呢，我 bd 肯定是五了，这个好说呀，对吧，只要你要选里头，很容易算出来。这个 bd 呢，他是等于五的。勾三股四减五吗？ 那说完这些之后的话，大家要注意了。注意什么呢？他让你求的是必死的长度，什么时候呢？当四边形，当这样一个四边形，异地 cf 是平行四边平行四边形好说，平行了吧，你四 f 和这个异地本来就平行，你只需要让这个异地等于四， 那其实我是知道的，他让你求这个 b 四的长度，我把 b 四分成两部分，我第一步求谁？我先求这个 b f 的长度，没问题吧？ 我第二步呢，再求一下这个 cf 的长度，但是一看呢，你因为是平行字变形，这个 cf 肯定是怎么样的？这个 cf 肯定是等于第一的，所以相当于求这个第一，我们分别来求就行了。思路很明确吧，看第一点啊，这 bf 怎么去求啊？ 好球，你注意，折叠的时候，我们图中一开始啊，如果没有限制条件的话，其实就只有点 e 这样一个点，一个洞点，所以我们应该怎么样啊？我们应该假设这个 ae 的长度等于 x， 注意，假设 ae 的长度等于 x， 那 a 长度等于 x 的话， e 这长度也是 x。 图中我就直接标了啊。那根据直角，根据直角好说吗？因为角地是一个角，差是一个公共的角。那接下来其实就非常简单了，我们只需要干嘛？只需要写 这个三角形，谁？三角形？ dj？ e 是箱子与三角形 d a b 的。 嗯，然后接下来，那你就写呗，对应编成比例。这个是 x 啊，那既然是 x 的话，咱就写这个 x 和三谁呀？ ej 和这个三是互为对应边，所以我当然要比一下。那比完之后的话， 还有谁？还有这个 d e， 笔上这个 d b 也是有的，这个 d b 我就直接写成五了，那个 d e 怎么办呢？ d e 号说四减去 x， 那根据这样一个式的话，我就不信你算不出俺这个 x 了。 x 等于多少啊？很好算， x 算完之后的话，是等于这个二分之三的。好嘛，我已经算出这个二分之三来了， 但是我们这道题核心在于算谁呢？要算这个第一，那其实第二个一不小心就算完了啊，第一我就直接往后边写了，第一的话不就等于四减去 x 也就是 cf 吗？他是等于二分之五，好了，算出他来，但是大家别忘了，我们最终是不是还得求这个 bf 啊，现在就来讨论一下怎么求这个 bf。 哎呦，你别忘了啊，这个角是不是直角？这两个边互相互相垂直的话好说，我标两个三角形，看图中啊，一个是三角形异地坠，一个是三角形边，哎呦，这两个 三角形怎么样？他是相似的，那既然这两个三角为什么相似？直角不用说了吧，对，零的角差相当好，两组好，那得出来这个三角形 egd 相似于三角形 fjb 之后呢？我们是可以推出来谁的长度，我们是可以推出来这个 bf 的长度呢？上下比值你还比不出来啊， 为什么呢？这条边我们算出来是二分之三，那下边这条边也是能够算出来的，或者你标别的长度也可以。那看了啊，嗯，看这个 bg 的长度是多少啊？ bg 长度已经说出来了，你折叠之前是三，折叠之后也是三，然后，哦，三比二。原来上下这两个三角形他的相似笔是二比三啊， 根据二比三这样的比值，你肯定可以算出来这个 bf 他其实就是等于二分之五乘上那个二比三，对吧？二分之三最终等于四分之十五好吗？那两组边 是不是都算出来了？所以说最终的长度这个 bc 呢？此时他是等于 bf 加上 cf， 那其实就是四分之十五加上二分之五，那最终的话是等于四分之二十五的。然后这道题呢，就算完了。我们来看一下啊，详细过程呢，给你展示一下。过程是这样写的 好了，最终不就是四分之二数。果然我们的答案是正确的。所以这节课你学会相字三角形的判定，还有性质喇叭分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见。

每天半小时轻松学数学这节课咱们来接着学习相似三角形的判定方法。利用两角相等的两个三角形来判定三角形相似。好，先来看学习目标，第一个 探索这个定理，第二会利用两角来判定两个三角形相似。 好，那咱们来看一看，学校举办活动需要呢，三个内角分别是九十度、六十度、三十度，形状相同，大小不相同的三角直板若干个。小明手上的测量工具呢？只有一个两角器， 怎么样才能保证他们的形状是相同，大小是不相同的呢？ 嗯，你能不能替小明想想主意呢？通过本节课的学习，咱们就能明白了。 好，咱们来看一看。假如说画三角形 abc 和另外一个三角形 a 撇， b 撇 c 撇，画的时候呢，保证其中有两组角相等，比如说在这里边让角 a 和角 a 撇相等都等于四十度， 让角臂和角臂皮相等都等于五十五度，那这样的话，角 c 和角 c 皮肯定也是相等的。那咱们来看一看 测量 ab 的长， bc 的长，还有 ac 的长，以及 a 片 b 片的长， b 片 cp 的长，还有 a 片 cp 的长。测量以后看一看， ab 比上 apb 片是否等于 他们的对应边的笔呢？好，通过画三角形并测量，那么发现确实是等于他们的笔直。那根据三边对应成笔的两个影相，所以这两个影相似好，但是给咱们的条件是啥？看看给咱们的条件只有两组角相等，也就是说 给出两组角相等，咱们就可以得到相似，这只是咱们的一个猜测，那咱们来看一看怎么样去证明。如图所示，角 a 等于角 a 撇， 角 b 等于角 b 撇，证明三角形 abc 相似于三角形 a 片 b 片 cp。 那仿 照着前两节课咱们学的证明相似的方法，可以在 a 撇 b 撇上截取一条线段，使它等于 ab， 在这里边，咱们可以截取 a 撇的是 a 撇的的长等于 a。 好，那咱们知道角 a 撇和角 a 这是相等的， 咱们再做一条平行线以后，那所以角 a 撇第一和角 b 撇相等，而角 b 和角 b 撇相等，那所以在这里边角一和角 b 相等来看，三角形 abc 和三角形 ap 第一， 角 a 等于角 a 撇 a 撇 d 等于 ab， 角 b 等于角一，这是不是可以用角边角来 整俩三角形全等？又因为咱们做了平行线，所以三角形 a 片 d、 e 和三角形 a 片、 b 片 c 片相似，那他俩又全等，所以他三角形 abc 和三角形 a 片 b 片 cp 也是相似的。这样的话呢，咱们就可以正出来了。 好看，一看，得到三角形 a 片第一和三角形 a 片、 b 片 c 片相似，而且得到角 a 片第一等于角 b 片。 好，要因为已经是条件，脚臂和脚皮片相等，那所以他俩相当，根据脚边角的这俩三角形圈等，那所以这俩三角形就相似了。那这个步骤作为了解关键啥呢？关键咱们要学会运用就是啥意思呢？就是说题目中如果告诉咱们两个角 相等，两主角相等，那么咱们就可以得到两三相等。比如说在这边，如果知道角 a 等于角 a 片，角 b 等于角 b 片，那么咱们可以直接得结论，三角形 abc 相似于三角形 a 片 b 片 cpr 啊，咱们得到了这样一个重要的结论，两角分别相等的两个三角形相似啊！这是咱们学习判定三角形相似的另一种方法。根据两角相等，可以得到两个三角形相似。 好，那咱们来看，在三角形 abc 和三角形 def， 在这俩三角形之中加 a 等 等于四十度，角 b 等于八十度，那根据三角形内角和可以把角 c 算出来等于六十度， 角 e 等于八十度，嗯，和角 b 相等，角 f 等于六十度，哎，这样一算的话，角 b 和角 e 相等，角 c 和角 f 相等， 两组角分别相等的两个三角形相似，那所以三角形 apc 相似于三角形 d e、 f 好。这个题很简单，就是正两组角相等， 得到角 b 等于角一角 c 等于角 f， 所以三角形 abc 相对于三角形 def 好。练习。在申请 abc 和三角形 a 撇 b 撇 cp 中，如果角 a a 等于五十度，嗯，角 a 是五十度，角 b 是七十五度，角 a 撇是五十度，问角 c 撇是多少度的时候，他俩相，那很容易算出来。三年内，角和角 c 一百八减五十减七十五等于 他俩。现在一百二十五，一百二十五，一百八减一百二十五度，那所以只要 c 撇和 c 这俩角相等，他五十五度，那角 a 和角 a 角相等，角 c 和角 c 角相等，那这俩角形是不是就相似了呀？ 所以当角 c 撇等于五十五度的时候，这两三角形是相似的。好，这是这样的一个题目。好！立二。如图，再对 一个元欧之中，贤 ab 和贤 cd 相交于元欧内的一个点点 p， 求证 pa 乘 pb 等于 pc 乘 pb。 好，首先咱们预见成集式要给他转化为比例式，也就是证明 p a 比上 pd 就等于你看 ppc 乘 pd， 那在这里边，这是 pcpa 乘的是 pb， 所以呢，是 pb 转化为 pa 比上 p d， p a 比上 p d 等于 p c 比上 p b 等于 p c 比上 p b。 那中国战 这俩三角形相似的话，他是不就可以了呀？嗯，对，那大家看，这里边就是正 pac 和 pdb 相似的，好，看一下怎么样？正，他俩相似， 因为角 a 和角地，角 a 和角地都是胡 cb 所对的圆周角，咱们知道头胡所对的圆周角相等，那所以角 a 和角地相等。同样的， 角 c 和角 b 都守护 ad 所举的圆周角，所以角 c 和角 b 也相等。那在这两三角形中，两组角相等，所以这两三角形相符相似以后，就可以得到这一个比例。是，然后这个比例是转化为乘机式， 这样的话呢，就正出来了啊，这是这样的一个题目。 好，在这里边的话呢，咱们再来看一下结论，就是说，如果呢，在一个圆中两条弦香蕉， 那么弦上的线段 pa 乘以 pb， 就等于另外一条线上的 pc 乘以 pd。 好，那咱们来看下一题。 好，在这里边，如图，元欧的弦 abcd 交易点 p， 如果 pa 等于三， pb 等于八， pc 等于四，求 pp， 那根据刚才阶段是不是连接在这边，咱们连 连接 cb 和连接 ad 是不可以得到，咱俩三人相似，就可以得到 pa 乘 pb 等于 pc 乘 pd， 那所以四乘以 x 等于二十四， x 等于六，也就是 pd 的长等于六。 好，如果是两个直角三角形，那么怎么样判定俩直角三角形相似呢？好，那咱们来看一看。在直角三角形 abc 之中，角 c 九十度， a b 的长等于十， a、 c 的长等于八， a、 e 的长等于五。 好，在浙江三 abc 中，六八十。根据客户定律算出来， bc 等于六， ad 的长。在三角形 abe 与三角形 acb 之中， 角 a 和角 a 是相等的，直角和直角也相等，所以这俩三角形对很容易得到相似。而让求 ad 的 ad 比上 ac 就等于 a， ea 在这比上 a b 好，那所以 a d b 上 a c 等于 a e 以上 a b， 所以 a d 等于四。好，可以算出来， a d 的长等于四。 所以咱们在直角三角形判定直角三角形相似的时候，咱可以得到一个这样的定理， 一个锐角相等的俩直角三角形相似，前提条件是俩直角三角形，那俩直角三角形暗含的条件就是俩直角已经相等了，如果再有一组锐角相等，那肯定是相似的好，所以呢，有一个锐角型的俩直角三角形相似， 好，对于直角三角形，咱们正全等的时候，可以根据斜边直角边来正全等，那么仿照着全等咱们正相似的话，如果斜边与斜边，他们的笔直等于直角边与直角边的笔直，那么这样的两个直角 角色已经相似吗？好，那咱们来看一看。在直角三角形 abc 和直角三角形 appacpa 中已知， 好，这是直角三角形直到斜边的笔直等于一组直角边的笔直，求正，他俩相似，好。也就是说，如果斜边一组斜边和直角边分别对应成比例，那么这两三也相似，怎么样正呢？好，那咱们来看一看。 想要证明的其实也简单，以前咱们第一节课讲相判定相似的时候，咱们其实讲过，在这里边， 咱们只需要正 bc 和 b 撇， c 撇也是成比例的，等于这一个 abb 上 a 撇 b 撇的值就可以了。好，那咱们来看一看。想要正他，咱们可以先假设这个笔值等于 k， 那所以 ab 就等于 k， b 的 a 片， b 片 ac 就等于 kb 的 apc 片。那所以根据勾股定理，咱们可以得到 bc， 那这样的话， bcb 上 b 片黑片也是等于 k， 那他们的笔直都是 k， 所以这个笔直是相等的。 那三条边分别成比例的两个三角形相似，所以这俩三角形相似，也就是说咱们正出来啥呢？咱们证明出来了 两，嗯，斜边与直角边对应成鼻子的俩直角层进行相似。好，这是对于直角层进行相似的又一个证明方法。斜边与斜边的壁纸等于直角边与直角边的壁纸，这样呢， 两个直角三角形是相似的。好，那咱们来看这一个题目。一只在这里边角 acb， 角 acb 等于角 adc 啊，直角一直角 ad 的长是二， cd 的长是根号。二， 问 ab 多少的时候，他与他相比 abcacd， 他并没有写成相似符号。 那 abc 和 acd 相似有两种情况，第一种是角 a 和角 cad 是对应的，那三角形 abc 相似于三角形 acd。 第二种有可能是啥呢？在 这里边有可能是角 bac 与这个角 acd 是相似，那这时候三角形 abc 相似于三角形 cad。 根据这两种情况，咱们讨论 ab 的值，那第一种情况的话，咱们可以得到 ab 也比上 ac， 那 ac 就等于 acb 上 adab 以上 ac 等于 acbad， 而 ac 根据客户定理，这是二根号，二根号下四加二根号六， ac 是根号六可以求出来。同样的，第二种， abb 上 ca 就等于 acb 上 cd， 也可以求 出来 ab 的长。好。要注意讨论这两种情况，因为他写的时候并没有写他相似于他没有写这个符号。 好像第一种的话，咱们呢，可以得到 abc 和 acd 相似，定编成比例，解出来 ab 的值好。第二种情况， abc 和 cad 相似，也可以解得 ab 的值 好。这样的话呢，这两天也就相思了。好看练习题在直角三角形 abc 和直角三角形 a 片、 b 片、 c 片之中。好，那咱们简单的画啊，角 c 和角 c 片是九十度， 在这俩直角三角形之中，角 c 和角 c 皮是九十度，第一个角 a 三十五度， 角 b 皮五十五度，角 b 皮是五十五度，那角 a 皮九十减五十五，等于三十五度，角 a 等于角 a 皮俩在两个直角三角形中有一组锐角线的两层形相似，所以呢，他是否相似呢？他相似第二个， ac 是三， bc 是四， a 撇 c 撇是六， b 撇， c 撇是八， 那三比六是一比二，四比八也是一比二。说明 acb 上 a 撇 c 撇等于 bcb 上 b 撇 c 撇。而且夹角 c 与夹角 c 撇相等，可以根据两边成比例加一，相等的两个反应相似，所以 他们是相似的。第三， ab 等于十， ac 等于八，那 bc 等于六， a 撇 b 撇等于二十五， b 片 c 片等于十五。根据顾客定理，这是五乘五，五乘三，所以五乘四，这是二十。好，那咱们来看看他们的对应边，八比二十 等于除以四，二比五，十比二十五，除以二比五，六比十五除以三，二比五啊， 他们的笔直都相等，所以三边这个成笔李达成相似，这个呢，也是相似的啊，这是这样的，判定是否相似，要灵活的运用 好。看本节课的课后练习题目，第一个已知 ab 平行于第一啊，两条边平行，那很容易得到 abc 和 edc 很容易得到，这两层形象相似，这是一组好友知道角 afc 等于角 e， 角 afc 等于角一，那这有一组对顶角，所以三角形 acf 和三角形 dce 也是相似的， 那 dce 和 abc 相那所以 acf 和这里边的 abc 也是相似的，总共是三对相似的三角形。第二个 在三角形 abc 之中，角 c 等于角一，那这是对定角相等。 ad 比上 d e 三比五， ae 等于八，笔直三比五他八，所以他是三，他就等于五。 bd 的长等于四，求 cd 的长 好，根据角角判定两层相似是谁呢？是三角形 dca 相似于三角形 d， e、 b 求 dc 的长，那所以 dcb 上 de 就等于 da， 比上 dbda 比上 db 啊。带入 dc 比上五等于 da 是三，比上 dbb 上四可以， dc 就等于三五十五除以四，四分之十五。好，这是 dc 的长。 如图，点地在角 ab 在这个边 ab 上。问，哪俩角相等的时候， acd 和 abcacdabc acd 角 acdabc 角 abc， 说明这俩角相等的时候，俩三角形相似。 或者呢？谁呢？或者是角 adc 和角 acb 相等的时候，这俩三角形相似。好，这是得到这俩三角形相似好如图， 在直角上进行 abc 之中，角 abc 是九十度 bd 垂直 ace 点滴。如果 ab 等于六， a d 等于二，那根据勾股定理，六六三十六，三十六减四，三十二，三十二的话呢？根号三十二是四倍跟二求来 bd， 四倍跟号二，然后求 ac 的。那在这里边，三角形 abd 和三角形 acb 之中，角 a 和角 a， 公共角又是直角三角形，所以三角形 abd 相似于三角形 acb， 他不让求 ac 的吗？ ac 在这，那就是 abb 让 ac 等 ad 以上 ab， 也就是说 ab 的平方就等于 ad 乘以 ac。 好， ab 是六六三十六等于 ad， 二乘以 ac， 所以 ac 等于十八，然后求 bcac 求出来了， ab 求出来了 bc， 根据客户定理，可不可以求出来呀？对，好，这是六乘一，这是六乘三一 三，他是二倍更好，所以是六乘二倍更好，二十二倍更好。二，好。另外咱们来补充一个摄影定理，什么呢？就是说在这样 的直角线已经 abc 之中，如果 bd 垂直于 ac， 那么咱们可以得到几个结论，第一个 ab 的平方就等于 ad 乘以 ac。 第二个结论， cb 的平方就等于 cd 乘以 ca 好。第三个结论， db 的平方就等于 da 乘以 dc。 好，还有一个结论是啥呢？是 ba 乘 bc 等于 ac 乘 bd， 这是根据等面积法，其中这摄影定理，这是前三个，这三个有什么规律可以记吗？好，咱们来看在这个三角形 abc 之中， 顶点的个数，除了这个直角顶点点 b 的这个直角顶点外，其他的是没有点 a、 点 d 和点 c。 啊。好，那咱们来看一点， a 为端点的线段有几条？有一条线段 ab 有一条线段 ad， 有一条线段 ac。 那这个摄影定理是啥呢？是 ab 的平方等于 ad 乘以 ac， 同样的，以 d 为端点的线段由 dbdadc， 那么是 db 的平方，等于 da 乘以 dc。 还有以点 c 为断点的线段有 cbcd 和 ca。 那在这里边是 cb 的平方，等于 cd 乘以 ca。 关于摄影定理，是在选择题或填 疼痛体质中可以直接运用的，就是求起来比较简便。如果是在解答体制中，你可以怎么办呢？可以利用俩三角形相似得到分别利用三角形 abd 和三角形 acb 相似，或者三角形 cab 相似， 以及三角形 abd 和三角形 bcd 相似。正，这三组三角形相似，可以分别得到这三个。摄影定义 好额头。在三角形 bc 中，已知 d e 平行于 b c， d e 平行， b c 一直平行， e f 平行， abe f 平行两个平行。求证 adebsaadefc， 那这俩角这是啥？同一角，他俩是？嗯相等的。哦，那 等外好在这边因为 ef 和 ab 平行，所以这俩角也是相等的。那在三角形 ade 和三角形 efc 中，两组角分别定相等，所以两三角形相似 好，这是利用角角相似，可以很容易得到两三角形相似好。第六题，三角形 abc 的高， ad 和 b， 说明 ad 和 b e 都是三角形的高， 给了九十度求证， a f b f a f b f 等于 e f b f d 等于 e f b f d， 那也就是正啥呢？在这里边，这俩角又相等，那也就是正三角形 fbd 和三角形 fag， 这俩三角形相似，而这俩三角形都是直角，三角形又有一对对顶角相等，那所以这俩三角形是不是很容易得到相似呀？对， 好，或者呢，你利用这俩角相等也行，这俩角分别都是角， c 的与角，根据同角的与角相等，也可以得到角角相似。好的，在这里边，咱们首先得到 俩九十度，然后角 afe 和角 bfd 相等，那所以这两根相似。相似以后对应变成比例，那就可以得到这个结论了。好，题目也很简单。好，下一个题，角一角二角三相等。求证 abc adeabcadabc 和 ad 动角一加这个角，也就是角 bac， 角三加这个角，也就是角 bae， 那角一和角三相等，所以同时加上公共的角，角 bac 和角 dae 相等，角 bac 和角 dae 相等， 这是可以正出来这样一个角相等，那再正一组角相等的话，这两三角就相似了。再正哪一组相等呢？你看 aoe 和 doc， 它是构成一个蝴蝶模型呀，那这俩角肯定是相等的。具体的证明方法，咱们可以用角四等于角二加角 c， 所以角 c 是角四减角二。角一，角四呢，又等于 角一加角三，所以角一是角四减，角三角二角三相等，那所以角一和角谁也相等。好，所以这俩三角形 abc 和三角形 ad 一两组内角分别相等的两三角形相似，所以得到这俩三角形相似。 好，这是咱们本节课所学的一个主要的内容。利用两角分别相等的两三角形相似，又讲了直角三角形的相似的判定。有一组锐角相等的俩直角三角形相似，斜边和直角边分别对应相等， 对应成比例的两个嘴角三角形相似。咱们又拓展了摄影定理。好，那咱们这节课就上到这里，下一节课再见。

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师。今天我们来学习相似三角形的判定。第一课时 还是先来看一下本节课的学习目标。第一，我们要理解平行线分线段成比例定理。第二，平行于三角形一边的直线与其他两边或者延长线相交所构成的三角形与圆三角形相似。 我们相似三角形的判定是分几个课时来进行的，今天我们主要学习这个平行线分线段成比例定理，以及相似三角形其中的一个判定方法。 好，我们先来复习一下我们前面所讲的两个三角形相似。我们知道对应角相等，对应边乘比， 那我们就说三角形 a、 b、 c 与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇相似，相似比相等。我们记住三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 好，那我们来看一下对应角相等什么意思？我们来看我们的角 a 和我们的角 a 片，他俩是对应角，那角 b 和角 b 片他俩是对应角，角 c 和角 c 片他俩是对应角，那相等的话，我们就说 角 a 等于角 a 片，角 b 等于角 b 片，角 c 等于角 c 片。好，那我们就说对应角相等，对应边成比例。那就是我们看 ab 和我们的 a 片、 b 片是对应边， ac 和我们的 a 片、 c 片 是对应边，那 bc 和我们的 b 片、 c 片是对应边，他们对应边是成比例的。也就是说 ab 比上 a 片 b 片就等于我们的 ac 比上 a 片、 c 片就等于我们的 bc 比上 b 片、 c 片，那我们根据定义满足了对应角相等，满足了对应边乘比例，他们都等于咱们的 相似比 k， 那我们就说这个三角形 a、 b、 c 和三角形 a 片 b 片相似。好，其实我们根据定义来的， 那我们相似，我们用符号就是这个躺着的这个 s 来表示读作相似于，好，他跟我们区区别，在我们之前学习的全等符号少了一个这个等号，我们知道 三角形全等是两个图形完全一样，能够重合，那现在他少了这个等号，只剩下了这个躺着的 s， 我们把它叫做读作相似雨。 我们的线段每个对应的线段不能够完全相等重合了，而是成一定的比例。那只有一种情况，当我们的 k 他等于一的时候， 那就证明我们每个线段的相似比他是一，那就线段和线段是相等的。当只有当相似比等于一的时候，这种特殊情况我们才说这两个三角形全等。 好，那我们来想一想，我们在判定两个三角形全等的时候，存在着简便的判定方法，对吧？我们并没有说三角形那三个角都相等，而且三个角都相等的时候，我们才说他全等 啊。那我们来判定三角形相似的时候，是不是也存在着简便的判定方法呢？就是我们如果说三角形相似，我们是不是非要说这三组对应角相等，这三个边都成比例，我们才能去说他相似呢？哎，那我们来探究一下。 好，我们先来学习一个平行线分线段成比例。好，什么意思？我们来看 如图，小方格的边长都是一，我们有三条直线 a， b、 c， 他们是分别平行的， 那交 m n 与 a 一， a 二， a 三， b 一， b 二 b 三，那么你能发现现在两直线 a b 上结得的线段有什么关系吗？结得的线段就是我们的什么 a 一 a 二、 b 一 b 二、 a 二 a 三，以及我们的 b 二 b 三。哎，那我们来看一下我们这个都是小方格，它的边长都是一，证明这是 正方形。哎，那我们开看一下我们 a 一 a 二这一段，我们可以当做是一个小直角三角形的斜边。哎，那我们来看一下 a 一 a 二这一段，就是我们的一的平方加一的平方开根号，也就是根号二。 哎，那同理，我们来看 b 一 b 二，我们也能够经过计算，它也是根号二，好，那我们来看一下我们的 a 二 a 三，好，我们同理，我们构造直角三角形，我们发现两直角边分别是一二三四好，这个是四好，一 一二三四好，这个也是四好。那我们经过计算，我们可以算出来，我们的 a 二 a 三就是四倍根号二。同理，我们来看一下我们的 b 二 b 三， 好， b 二 b 三，我们看我们这条直角边是四，哎，这条直角边也是四，那我们经过计算，我们算出来 b 二 b 三，它也是四倍根号二。好，那我们就发现我们截的的这个线段啊，他们是成比例的， 也就是说我们 a 一根号二比上我们的 a 二 a 三比四位根号二，它就等于我们的 b 一 b 二比上我们的 b 二 b 三，好，现在我们已经计算出来了， a 一 a 二 b 一 b 二，它俩长度是相等的， a 二 a 三和 b 二 b 三啊，它俩长度也是相等的，那我们来看， 那拿 a 一 a 二比上 a 二 a 三，就是根号二，比四倍根号二，那就是四分之一。哎，右边 b 一 b 二比上 b 二 b 三，同理也是四分之一。那我们再拿 a 一 a 二比上整个的 a 一 a 三，那就是根号二，比上五倍根号二，那就是五分之一。 那如果我们拿 b 一 b 二比上整个的 b 一 b 三，那也是根号二，比上五倍根号二，等于五分之一，那就那我们就得出来了，我们这个截得的这个线段啊，他们是成比例的，那现在我们来把它总结一下， 平行线分线段成比例，平行线把这个线段啊分的这个线段是成比例的。我们看三条平行线及两条直线所得的 对应线段笔相等。好，我们来看刚才我们 a、 b、 c， 对吧？是三条平行线，好截两条直线，我们刚才说这个是 m， 这个是 n， 对吧？好，这个 a 一、 a 二 a 三 b 一 b 二 b 三，分别是那个平行线与结线的这个交点。 好所得的对应线段的笔相。好，那刚才我们也经过计算了，我们这一节，对吧？等于根号二，这一节等于四倍根号二，同理这边这一节也是根号二，这一节也是四倍根号二，对吧？经过我们刚才的计算好，那我们用符号语言我们怎么表示 三条平行线？也就是第一个，如果 a 平行于 b 平行于 c， 那就是三条平行线。好节奏的对应线段。比相等，那我们就拿 a 一比上 a 二 a 三，就拿这一节儿 比上这一节，就等于我们这一节比上这一节。好，那我们再来拿 a 二 a 三，再倒过来比 a 一 a 二，这是我们拿下面的这一节，反过来比上面这一节，那也就等于我下面的这一节 b 二 b 三，反过来比上我们的 b 一 b 二好，这就是 好，我们还可以拿 a 一 a 二比上整个的这个 a 一 a 三好，那我们就， 我们刚才就就说了，这个就一倍根号二，比上我们五倍根号二，对吧？好，那也就等于我们右边的 b 一 b 二比上我们整个的 b 一 b 三，拿单个比整体好，那我们上面的能单个比整体？我们下面的这个 a 二 a 三 比上 a 一 a 三，我们就拿下面这一节比上整个整体，那也就等于我们 b 二 b 三比上我们的 整个整体好，那就得出来了，我们平行线分线段是成比例的，用符号语言，我们就这样表示。 好，那我们看来看一下推论平行于三角形一边的直线接其他两边或两边的延长线所得的对应线端成比例。 什么意思？我们来看这个三角形 a b c， 我们有一条直线，第一是平行，是平行于第三边的 好，平行于第三边就是平行我们的 bc 截其他两边 ab 和 ac 啊，分别于 d， 那现在我们来看一下所得的对应线段乘比例，那就相当于是我们 ad 比上 bd 就等于我们的 ae 比上 c， 那 反过来， bd 比上我们的 ad， 也就等于我们的 ce 比上我们的 ae， 那我们拿 ad 比上整个的 ab， 那也就等于我们的 ae 就比上我们整个的 ac 好，那我们拿 bd 比上整个的 ab， 也就相当于拿 ce 比上整个的 ac 好。老师画的就是，嗯，比较多啊，因为我们这是第一次新课讲解，所以我要把它讲的仔细一些啊，每个线段的笔我都要比到位。 好，来看第二幅图，那平行于三角形一边的直线，比如说我们这个 d， 对吧？平行于 bc 那截其他两边的延长线，我们知道 ab 和 ac 啊，在这那截他的两个延长线与 d 所得的对应线段成比例。好，我们来看， 也就是我们的 ad 比上我们的 ac， 就等于我们的 ae 比上我们的 ab 好，那倒过来，我们的 ac 比上我们的 ad， 就等于我们的 ab 比上我们的 ae， 那拿 a d 这整个整体比上我们的 c d， 那就等于我们的 a e 比上整个的整体 b e 好，那拿 a c 比上整个的 c d， 那也就等于我们的 a e 比上整个的 b 好。这就是我们平行线分线段成比例的推论。平行于三角形一边的直线接其他两边所得的这个线段啊，是成比例的。 把平行于三角形一边的直线接其他两边的这个延长线，所得的对应线段也是成比例的，我们需要区分一下啊，我们这边 是他这个对应线段啊，我们是 ad 比上 ac 等于我们的 ae 比上 ae 啊，好，那我们来看判定两个三角形相似的方法。 哎，那我们来看这个题，他说如图 d e 平行 b c， 那三角形 a b c 与三角形 a d e 有什么关系？请说明理由。 好，那我们来看一下这两个三角形 abc 和三角形 ade 啊，从形状来看是相同的好，那我们就大概得到他们是相似， 那我们来进行说明。好，因为 d e 是平行于 b、 c 的。我们来看一下，在这两个三角形中，角 a 是等于角 a， 这是一个公共角，那我们又知道 d e 平行于 b c， 我们就能够得到我们的角 a， d e 和我们的角 b 是相等的角 ad 等于我们的角 c。 好，这是两直线平行同位角相等。好，那我们知道 d、 e 又平行于 bc， 就是我们刚才说的平行于三角形一边的 直线接其他两边所得的线段。成比例，所以说我们就能得到我们 ab 比上我们整个的 ab， 就等于我们 ae 比上整个的 ac。 好，那现在我们只要。 好，那现在我们已经得到了三个对应角是相等的，两组对应边是成比例的。好，那现在我们只要能得到我们的 d e 比上 b、 c 跟咱们这个，跟咱们这个 a、 d 比上 a b， a e 比上 a c， 啊，他这个相似比是相等的，那我们就能说明根据 d、 e， 我们就能说明这两个三角形是相似的了。 好，那接下来我们需要做一个辅助线，我们过地做 d e、 d f 平行于 a c 交 b c 于 d f。 好，那我现在先把这个屏幕简单清一下。 好，现在 d、 e 是和 a、 c 相平行的，那现在我们就能够得到我们这个 a、 b 比上我们整个的这个 a、 b， 就等于我们这个 c f 比上我们整个的这个 b、 f。 好，这是我们因为我们就是相当于是 d f 平行于这个三角形的一边，它截其他两边的这个线段啊，成比例。好，那我们就得到了。那我们又知道 d e 和 c f 是平行的，然后 d、 f 又和这个 c、 e 是平行的，对吧？这个是题目中 你知道这个是我们做出来的那两组对边分别平行我们这个四边形， d f、 c、 e 就是平行四边形，平行四边形，那我们就能得到我们的 d、 e 是等于 c、 f 的，那我们就可以把 c、 f 做一个， 那我们就可以把 c、 f 做一个等量代换，那 d、 e 就等于 c、 f， 那现在我们就得到了咱们 a、 b 比上 a、 b 就等于这个 d、 e 比上 b、 c 好。其实就相当于是我们把这个啊换成了咱们 a、 b 比上 a、 b 就等于 d、 e 比上 b、 c 好，那我们一看就知道 a、 d 比上 a、 b 又等于 a、 e 比上 a、 c， 那现在他们仨 b、 d 好，那现在他们三组对应边都是成 b、 d 的，所以说我们就能够说他们俩是三角形， a、 d、 e 相似于 三角形 a、 b、 c 好，根据定义，三组对应角相等，三组对应边成比例。好，那现在我们学习判定两个三角形相似的一种方法。 平行于三角形一边的直线与其他两边或延长线相交，所得的三角形与圆三角形相似。什么意思？我们来看一下这个三角形 a、 b、 c， 那有一个直线。第一是平行于咱们这个 bc 这个边的，那与其他的两边相交，相交到了 d， 那所得的这个三角形 ade 就和原来的这个三角形 abc， 他俩是相似的。 好，这个也是刚才我们刚进行证明的那两个三角形相似，对吧？这就是 是我们的一个 a 字型啊，我们看长得特别像一个 a 字型。好，那我们要知道对应线段是 a、 d 比上 b、 d 就等于 a、 e 比上 c、 e， 那反过来 b、 d 比上 a、 d 就等于 c， e 比上 a、 e， 那我拿 a、 b 比上整个的 a、 b 就等于 c， a、 e 比上整个的 a、 c， 那我拿 b、 d 比上整个的 a、 b， 也就是 c e 比上整个的 a c 好，那这是我们的 a 字型好，这个是我们的 x 型，我们看它就相当于是平行于三角形一边的直线，这个 d 交其他两边的延长线，比如这个 o c 和这个 o e， 比如这个 o c 和 o b， 它俩的延长线啊，一直延到了这这边。好，那教它俩延长线所得的这个三角形，也就是 d、 o、 e 就和原来的这个三角形 obc 好，就是我们上面这个三角形和下面这个三角形啊，对着他俩是相似的。好，这个时候我们明确一下，相似啊，相似对应切断，他是这个那个 od， 他比上咱们的 oc， 就等于这个 oe 比上咱们这个 ob 好，他俩是啊，就在一条线上的啊，他们俩是这样去比的，嗯，跟咱们这个啊做一个区分。好的，同理，对吧？我们拿 od 比成 oc， 就等于我们的 oe 比上 ob， 那反过来，我们 oc 比上我们的 od， 就等于我们的 bo 比上我们的 oe， 那我们拿 do 比上整个的 dc， 也就是 eo 比上整个的 be 好，那我们反过来那个 co 比上整个的 cd， 那就是 bo 比上整个的 b 好，这个你只要明确咱们的对应线段比是哪一段就可以了。好，那咱们这个啊，你可以当做定理使用。我们平行于三角形一边的直线与其他两边或延长线相交，我们所得的三角形与圆三角形相似，就是我们一个是 a 字型，一个是 x 型， 得到这个 a、 d、 e 和三角形 a、 b、 c 是相似的，得到上面这个三角形 d、 o、 e 啊，和下面这个三角形啊， c、 o、 b 啊，它俩是相似的。好，这个我们可以直接当做定义来用。 好，我们来做一个小结。第一个我们主要学习了平行线，对吧？把那几个线段啊，分线段，分的线段怎么样呢？分的线段成比例。好，这是一个定理及其他的推论。好，那第二个就是判定三角形的一个方法啊，这第二个好，判定三角形的一个方法，平行于三角形一边的直线与其 他两边或延长线相交，我们所构成的那个三角形与原来的三角形相似。啊，这个我们可以直接去用。好，那咱们今天的课程就上到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。

同学们好，今天我们继续学习相似三角形的判定。首先我们想一下相似多边形，它的特征是什么呀？嗯，对应角相等，对应边成比例。那怎么判定两个多边形相似呢？ 你只需要哎，把它角对应相等，边对应成比例相等，那么这两个多边形叫相似，那什么叫相似比呢？嗯，我们说如果两个三角形相似，它对应边成比例，那这个边成比例就叫相似比。 好，第四个问题，相似多边形中最简单的就是相似三角形，那如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形 相似吗？是的，那我们还有其他办法来判定两个三角形相似吗？好的，这节课我们来理解相似三角形的概念，并会用证明和计算 体会用相似符号这个全等符号，把等号给去掉，就称之为相似。 嗯，相似表示相似三角形之间的边角对应关系。掌握平行线分线段成比例的记住事实，然后记起他的推论。会用平行线判定两个三角形相似，并进行证明和计算。 首先我们看平行线分线段成比例，那我们看图， l 三、 l 四、 l 五，他们是平行的直线， l、 e 和 l 二分这 l 三、 l 四、 l 五分别于 a、 b、 c 和 d、 e、 f 这几个点。那同学们想一下， a、 b 比上 b、 c 和 d、 e 比上 e、 f， 它们是否相等呢？ 还有，如果把 l 五向上平移或向下平移再来度量，那它们还对应成比例吗？ 好，所以我们说如果它是平行的，那必然猜想一下， a、 b 和 b、 c 它们对应乘比例肯定是等于 d、 e 比上 e、 f， 那换句话说， b、 c 比上 a， b 比上 b、 c， 如果它的对应成比， 它的值改变了，也就是你移动它的大小改变了，那它 d、 e 和 e、 f 是不是也要改变？嗯，也要跟着改变。 所以我们猜想的是，如果 l 三、 l 四和 l 五它们是平行的，那么它们对应的边 a、 b 比上 b、 c 比等于个 d， e 比上 e、 f， 它们是不是 永久成立的呀？嗯，也就是横等的，对不对？你不管怎么移动，他们是不是横等的好，所以说，那我们想一想，除了这个 a、 b 和 b、 c 乘比例等于 d、 e 比上 e、 f， 那还有没有其他边是对应乘比例并且相等的呢？嗯，我们想一下，如果说 b、 c 比上 a、 b 好，我从这块 b、 c 比上 a、 b 是不是等于 e、 f 比上 d e 啊？嗯，是的，还有呢？ a、 b 比上 a、 c 是不是等于 d， e 比上 d、 f 还有吗？ b、 c 比上 a、 c 是不是等于 f 比上 d、 f 等等等等。也就是说，通过这些 平行线段，嗯，并且直线平分这个平行线段，我们会发现他对应的边都是成比例并且相等的。好，那我们归纳总结一下， 一般来说，我们有平行线分线段成比例的基本事实是什么呢？两条直线啊，比如说两条直线，我们可以 定义为 l 一和 l 二被一组平行线所结， a、 b、 c， 这叫平行线，所以它所得的对应线段是不是成比例呢？都有哪些对应线段成比例呢？ 嗯，这个我们一定要掌握住啊，在最今后的学习当中也会用到。就是说平行线 a、 b、 c 分线段，这个 l 一和 l 二成比例的基本事实是，如果直线 l 一和 l 二被平一足平行线 a、 b、 c 平分的话， 那他所得的对应线段都是成比例的，那用几何语言怎么来表示啊？你比如说 a、 a 二比上 a 二、 a 三，是不是等于 b、 b 二比上 b 二、 b 三啊？或者说 a、 l、 b 上 a 一、 a 三是不是等于 b 一、 b 二比上 b 一、 b 三，那一，或是 a 二、 a 三比上 a 一、 a 二等于 b 二、 b 三比上 b 一、 b 二。或者是 a 二、 a 三比上 a 一、 a 三 b 是等于 b 二、 b 三比上 b 一、 b 三，等等等等。 也就是说平行线分线段成比例的事实就是说所有的线段对应成比例，我们一定要清楚都是哪些叫对应线段， 怎样成比例呢？嗯，这个图形结合就是说我们的这个语句和我们的图形一定要结合起来进行理解。好，接下来我们看你对应线段是什么呀？嗯，刚刚我们说了，只要你两个直线是 被他一组平行线平分，什么叫对应线段啊？嗯，他所夹的这个中间的线段就叫对应线段。你比如说我现在 a、 b、 c， 他分了这条直线 l、 e， 那它对应的线段和 a、 b、 c 分直线 l 二对应的线段就称之为我们所说的啊。对应线段。 那对应线段成比例哪些表现形式啊？刚刚咱们已经说了，所有的这些都是可以的，嗯，都是可以用来表示成为所得的对应线段成比例。好，理解了这个问题，我们继续往下看。 乳图 l 三、 l 四、 l 五，它们是平行的，那我们既然知道了这个直线 l 一和 l 二 如果被这一组平行线平分，那他所有的这些对应边就成比例。那么问题来了，如果我把 l 一或者 l 二进行平移，就说我随意的平移，我向左向右都是可以的，那么他是否对应的线短还是成比例呢？ 嗯，是的，只要你是被一组平行线所平分，那么他对应的线段必成比例。好，那同学们继续往下看。 那根据上面的所学的知识，那我们知道了，这样的肯定是对应成比例。那如图二，我如果把这两个线段相交于某一点 a， 那么他对应的线段还是成比例吗？依据是什么？嗯，依据当然是他了， 是不是线段对应成比例的事实就能得出来，他也是对应成比例。好，接下来我们继续往下看。那如果说我是这样的图形呢？是否也是对应成比例呢？是的， 好，所以我们说平行于三角形一边的直线加其他两边，或者是啊两边的延长线所得的对应线段都是成比例的。 你比如说这个图形，我们可以知道 a d 比上 d， b 等于 a， e 比上 e， c， 它是成立的。或者是 a， d 比上 a， b 等于 a， e 比上 a， c， 它也是成立的。等等等等。那异活式我是这种交叉型的呢？嗯，它也是对应成比例。比如说 a， e 比上 a， c， 是不是等于 a， d 比上 a， b 呀？啊，异活是 a， e 比上 e， c 等于 a， d 比上 b， d， 是不是？好，所有的这些都是对应成比例，它都是成立的。那接下来咱们做几道题来进行巩固。 三角形 a、 b、 c， d， e 是平行于 b， c， a， c 是四， a， b 是三， e， c 是一。那让你求 a d 和 b， d 是多少呢？嗯，刚刚我们所学的是， 如果 d、 e 平行于 b、 c， 那么对应边乘比例。那么看到题目中的已知条件，我们很显然能得出什么？ a， d、 b 商 a， b 是不是等于 a， e， b 商 a、 c 啊？ 嗯，那我们已知条件当中 a、 b 知道了。嗯，把已知条件画出来， a、 e 是多少呢？嗯， e、 c 是一， a、 c 是四， a， e 是三，其实也算是已知条件， a、 c 是几啊？四，那所以我们能得出 a、 d、 a、 d 的值，值到了，那同学们看 a、 b 又是啊三， a、 d 又知道了，所以 d、 b 不就等于 a、 b 减去 a、 d 吗？嗯，那答案不就求出来了吗？好，具体过程大家看一下。 好，接着我们看相似三角形的判定定理。那如果在这个三角形当中， d、 e 是平行于 b、 c 的，那问， a、 d、 e 是不是平？呃，是不是和这个 a、 b、 c 这个大三 角形，他每个角都相等呢？是的，为什么？因为角 a 是公共角，然后 d 是平行于 bc， 所以两直线平行，什么？同位角相等吗？所以说这三个三角形是，这两个三角形都是角，都是相等的。 好，那我们分别度量一下 a、 d、 e 和 a、 b、 c 的边长，你会发现它的边长是对应成比例了吗？是的， 接下来我们再来看 a、 d、 e 和 a、 b、 c 有什么关系呢？嗯，它们是相似的，那如果平行于 d、 e， 那它们的结论还成立吗？啊，不管你怎么平行，只要你 d、 e 是平行于 b、 c， 它永远都是成立的，对吧？ 好，那我们再继续看。那如果说我要证明这个 a、 d、 e 相似于这个 a、 b、 c 大的这个三角形，那我怎么去证明呢？ 好，接下来咱们一起来证明一下这两个三角形相似。首先看 a、 d、 e 和 a、 b， c， d e 平行于 b c。 根据前面我们所说的，如果说直线被一组平行线所结，那么它的边角对应成比例，所以我们得到 a、 d， b 上 a b 是不是等于 a e 比上 a、 c 啊？那我们又说了，如果两个三角形相似，它必然要正的，是对应的角是 相等的，并且边是对应成比例，对不对？那好，那我们角刚刚已经说了，根据我们的平行同位角相等，这两个三角形当中的角都是相等的。好，角相等 主要是来正边乘比例，我们只能得到 ad 比上 ab 等于 a 比上 ac， 那怎么再来正另一条边 d、 e 和 b c 也对应成比例呢？嗯，这个我们知道，利用前边的啊，一组平行线，直线截的一组平行线对应成比例，我们能得出这个结论。那这个呢？ 好，同学们观察 d e 和 b c， 我不知道，那我过一点做一个平行线， e、 f 平 形于 b d 可以吗？此刻你会发现，又根据我们前边所说的，直线被一组平行线所结，他的，嗯，对应边成比例是怎样的呢？ 嗯，我们得到 a e， b 上 a、 c。 同学们看， a e， b 上 a c 是不是就等于 b f， b 上 b c 呀？我对应边乘比例 好了， b f 我现在做的平行线，它实际上就是个平行四边形， b f、 e、 d， 所以呢， b、 f 是不是就等于 d e 啊？ 是的，所以我们得到，其实 a e 比上 a c 就等于 d， e 比上 d c， 所以这块我们就证明了。好，那我们角相等扁 对应成比例，所以这两个三角形不就相似了吗？嗯，这就是我们如何证明两个三角形相似问题，具体过程大家整理一下即可。 好，接下来我们引入定理，就是平行于三角形一边的直线和其他两边相交，就刚刚的那个图形所构成的三角形就与圆三角形相似。 嗯，如果用语言来表示，就是 d e 平行于 b、 c， 所以三角形 a、 d、 e 就相似于三角形 a、 b、 c。 不管是 a 型的或叉型的，它都是成立的。接下来我们看，如果说我们你看过地点 来，同学们一起看一下。比如说这个三角形是 a、 b、 c， 刚刚我们是在 a、 b 边过一个 d， 所以使 d e 平行于 b、 c， 那如果说 a、 d、 e 平相似于啊，过 d 点于 a、 c 平行的话，那同学们看，不管你是跟哪个边平行，他的正法都是一样的，对不对？好，相交于 b、 c， 那与低于两点，那是不是也是一模一样的？ 嗯，都是一样的，都是根据直线被一组平行线所结，对应边成比例，然后进行证明 两个三角形相似。你要想证明它相似，必然要证明它的角是相等的，边是对应成比例的即可。好，接下来做道题。嗯，看一下中考题啊，其实中。

我们来看相似三角形的判定定理三，他说三边对应成比例，那么这两个三角形相似，也就是说在这两个三角形中， a、 b 比上 a 一撇， b 一撇等于 a， c 比上 a 一撇， c 一撇等于 b， c 比上 b 一撇， c 撇，这就是三边对应成比例，那么就会得到这两个三角形相似了， 他三边可以类比全等三角形的判定里边的边边边，也就是 sss。 我们现在来看一下这个定理是怎么证明出来的。 第一步还是去在大三角形上截一个小三角形出来，截的时候我去截取 ab 两撇等于 a 一撇， b 一撇， a c 两撇等于 a 一撇 c 一撇。好了，因为题目说这条边比上这条边等于这条边比上这条边， 其实就是在说这条边比上这条边等于这条边比上这条边， 对不对？其实就是就是这一个步骤啊，就是这一个步骤，那么这边比这边等于这边比这边显然就得到了 b 撇、 b 两撇、 c 两撇和 b、 c 的平行，对不对？得到了这个平行之后，根据前面的预备定理，因为平行所以相似， 于是我就得到了结出来的这个小三角形和这个大三角形他们是相似的。那我最重要证明的是这个三角形跟这个三角形相似，我只要正到这个三角形跟这个三角形全等就可以了。好，接下来这两个三角形的全等。 首先我们发现，因为结的边相等，所以这条边等于这条边，这条边等于这条边，因为这里边不涉及到角度，所以呢，我应该想办法去找到第三条边，就是这个 b 两撇， c 两撇和 b 一撇是一撇，如果也相等，那么根据边边边这两个三角形就圈在那这个地方，一样的，根据前边的这个所学的比例线段里边的知识， 这个这条边比上这条边会等于这条边比上这条边，他也等于这条边比上这条边， 然后他也等于这条边比上这条边。因为对应成比例嘛，就是刚才的这些笔直，其实全都是一个定制 k， 对不对？所以这条边比上这条长边，等于这条边比上这条片长边，他们的笔直都是这个 k， 对不对？所以呢，你就会发现这两条边长度相等，其实就是这样一个式子，传递过来之后，你发现这边 bc 和 bc 相等，那么这个 b 两 pc 两撇和下面的第一撇 c 一撇就会相等，那这两条边也相等，这两个三角形自然就会全等，全等之后这个三角形就会和这个大三角形相似，好得正。

初二数学相似三角形的六种判定方法相似三角形呢，是我们初中数学学习中常见的一个知识点，经常会在我们的大题当中出现，那么我们如何才能够判断两个三角形是相似三角形呢？ 今天啊，老师就给大家带来了相似三角形判定的六种方法笔记，快快记起来喽！第一种，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即两角对应相等，两个三角形相似。 第二个，如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的甲角相等，那么这两个三角形相似，即两对应边成比例，且甲角相等，两三角形相似。第三，如果两个三角形的三组对应边分别成比例，那么这两个三角形相似，即 三边对应成比例，两三角形相似。第四，两个三角形三边对应平行，则两三角形相似，即三边对应平行，两三角形相似。第五个，如果一个直角三角形，他的斜边和他的直角边与另一个直角三角形的斜边与直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形呢，就是相似的，即斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。 那么以上六种呢，都是相似三角形的判断方法。依据题中给出的不同条件，我们可以选择不同的判定方法来判定两个三角形是相似的。 如果题目中给出的直接条件不足以判定两个三角形相似，我们就需要从已知条件中推论出二级推论来满足我们的判定条件，进而解除答案哦！

相似三角形是中考数学当中的 c 位考点，却是很多初中生的心头痛，尤其是各种各样的相似模型， 让很多同学欲哭无泪。今天小杨老师给大家总结了相似三角形的常考模型之平行相似和共角相似。第一个平行相似里面分为两种， a 字形相似和八字形相似，他们都共同拥有的特点是平行。来，请看第一幅图， d、 e 平行于 bc， 我立刻就会有三角形 ade 和三角形 abc 是相似的，从而我们就可以利用相似比 得到一些线段之比。第二个八字形相似，一样的 a、 b 平行于 c、 d， 咱们就会知道三角形 a、 b、 e 相似于三角形 d、 c、 e。 那平行相似的一个作用是什么呢？构造，很多时候我们不知道如何去构造相似，那我就可以通过添加平行线来构造相似，这是第一个。 第二个共角相似。共角相似里面一共分为三种，第一种是反 a 型相似，哎，什么意思？你看三角形 ade 和三角形 ace， 他们共同拥有一个角角 a， 但是它和刚刚的 a 字形象是不一样， d、 e 和 b、 c 不平行，但是它有角一等于角二， 所以我们三角形 a、 d、 e 就和三角形 a、 c、 b 是相似的。而反 a 型相似的话，我可以得到 a、 d 比上 a、 c 等于 a， e 比上 a、 b， 那交叉相乘一下， 就会有 a、 d 乘以 a， b 等于 a， e 乘以 a、 c， 这是第一个，第二个反八形相似，哎，其实和刚刚的八字形的话也是有一点像的。你看，如果我在这里有角一等于角二，大家仔细看 d、 b、 o 和三角形 e、 c、 o 啊，它们两个是相似的，因为角一等于角二，再加上对顶角相等，那相似完了之后，你就能够得到很多条件了， 可以得到一些线段之笔。当然在这个图形当中，我们还可以得到其他的相似啊，我都给大家罗列出来了，大家可以拿一个笔记本都把它记下来。第三个就是非常非常非常重要的啊，重要的事情要说三遍，非常非常非常字母型相似， 子母型相似为什么说它重要？同学们到初三之后你就会发现子母型和圆结合的特别特别的多。子母型相似的特点就是他不仅会有共同的一个角，还会拥有一个共同的边， a、 c， 你看角一等于角二，角一等于角 a， 那三角形数就相似。那相似之后呢？咱们就会有 a c 比上 a b 等于 a， d 比上 a c， 交叉相乘一下就能够得到 ac 的平方等于 ad 乘以 ab， 这个结论非常重要，同学们一定要记下来啊， 这就是中考数学当中常考的前两种，那还有手拉手相似和一线三等教的相似，那就下一期再见喽！

嗨，同学们好，我是艾瑞克老师，我们学习了三角形相似的四个判定定理。那么对于特殊的三角形，直角三角形，判断两个直角三角形是否相似，除了这四个定理，是否还有更简便的方法呢？ 根据相似三角形的判定定理，三、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， 那在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中，如果 a、 b 比上 a 撇、 b 撇等于 a、 c 比上 a 撇、 c 撇， 角 a 等于角 a 撇等于九十度，那么直角三角形 abc 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇啊 c 撇。所以呢，对于直角三角 角形，可以去掉角 a 等于角 a 撇等于九十度这个条件。记，在直角三角形 abc 和直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中， 如果 ab 比上 a 撇、 b 撇等于 a、 c 比上 a 撇、 c 撇，那么直角三角形 a、 b、 c 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。记，两组直角边成比例的两个直角三角形相似。 根据相似三角形的判定定理，四、两角分别相等的两个三角形相似， 那在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中，如果角 a 等于角 a 一撇，角 b 等于角 b 一撇，那么直角三角 abc 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。对于直角三角形来说，也可以去掉角 a 等于角 a 撇等于九十度这个条件。 记，在直角三角形 abc 和直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇中，如果角 b 等于角 b 撇，那么直角三角形 abc 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 记，一个锐角相等的两个直角三角形相似。我们再来思考一个问题，斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 在直角三角形 a、 b、 c 和直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，中角 c 等于九十度角 c、 a 撇等于九十度 a、 b、 b 商 a 撇、 b 撇等于 a、 c、 b 商 a 撇 c 撇。求证直角三角形 a、 b、 c 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 要想证明直角三角形 a、 b、 c 相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，那根据已知条件，只需要证明 b、 c 比上 b 撇， c 撇等于 ab 比上 a 撇， b 撇等于 a、 c 比上 a 撇 c 撇。 我们设呢， ab 比上 a 撇， b 撇等于 ac 比上 a 撇、 c 撇等于一个常数 k 可以推出呢？ a、 b 等于 k 乘以 a 撇 b 撇， a、 c 等于 k 乘以 a 撇、 c 撇。 那在直角三角形 abc 中，根据勾股定理， bc 就等于根号下 ab 的平方减去 ac 的平方，等 等于根号下 k 方乘以 a 撇、 b 撇的平方，再减去 k 方乘以 a 撇、 c 撇的平方化减呢，等于 k 乘以根号下 a 撇、 b 撇的平方减去 a 撇、 c 撇的平方， 那 b、 c、 b 上 b 撇、 c 撇就等于 k。 再加上呢，已知 a、 b、 b 上 a 撇 b 撇等于 a、 c、 b 上 a 撇、 c 撇等于 k， 可以推出呢？ b、 c、 b 商 b 撇 c 撇等于 a、 b、 b 商 a 撇、 b 撇等于 a、 c、 b 商 a 撇、 c 撇。 由相似三角形的判定定理二，那直角三角形 abc 就相似于直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇， 系斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。最后呢，我们来看一下常见的三种相似三角形的模型。 第一种呢，叫平行线型，如果 d、 e 平行于 bc， 那可以推出呢？ a、 d 比上 a， b 等于 a e 比上 a c 等于 d， e 比上 b c。 三角形 a b、 c 相似于三角形 a d、 e。 第二种类型呢，叫做旋转型。如果角一等于角二，角三等于角四，可以推出呢？ a、 d、 b 上 a， b 等于 a e b 商 a c 等于 d e b 商 b c。 三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a d、 e。 第三种类型呢，叫做斜角形，如图一和图二。如果角 aed 等于角 acb 等于九十度，那么三角形 abc 相似于三角形 ade。 如图三和图四。如果呢角 ace 等于角 abc， 那么三角形 abc 相似于三角形 ace。

好的，学习原来如此简单，欢迎来到小明哥的课堂啊，我们今天讲的是相似三角形的证明题， 你的解题思路好，相信大家学习相似三角形的时候都非常非常懵。好，这个相似三角形也特别 难，证明题都比较麻烦好，特别是后面会学习到动点的时候。那我们一般中考的话，相似三角形题型一般都是跟动点问题联系在一起的，我们这一系列的内容呢，就会涉及到相似三角形，一次相似问题，两次相似问题好，条件转换问题，还有动点问题， 那围绕着这个四个模块进行讲解，那我们一般解题思路是这样子的，我们需要从结论出发，然后确定需要证明的三角形是哪一个，然后找我们相似的条件好，又先找到两角对应枪等，然后最后就是证明了。理论是这样子，但是实际操 操作怎样来操作呢？好，我们举个例子啊，比如说我们相似的时候，他不可能告诉你啊，我要求哪两个三角形相似对不对？大多数情况下两种式子，一个是比例式，他比他等于他比他对不对好？还有一种就是什么乘机式子好，那他乘 他等于他乘他。拿到这两个狮子是不是看起来很萌，都不知道要求什么好？所以我们就要检查这些边好，比如说 ef 五 f c e f 是这条边， fc 是不是这条边，那他所对应的三角形是不是应该是这个三角形？然后 bf， bf 是哪条边，是不是这条边？好，然后 af f 是这条边对不对？好，那我们对应的三角形就是应该这一条，所以我们很有可能就是证明这个三角形跟这个三角形相似， 这个就是我们比例，是我们应该去怎么找的内容。比如说我们是乘机的式子啊， b d 乘 cn 等于 bn 乘 c 一是等于多少？好，这个 奇奇怪怪的对不对？好，所以我们要把沉积式化成比例式好，之前讲的我们把它一部分移过去，就会变成分母，好，一部分移过来，然后就变成分母。好，这个式子是不是可以得到滴滴？ 一比上 b m 就会等于 c， 一比上 c n， 这个时候我们再检查这个式子里 bdbn， 那 bd 是不是这条， bm 是这条，所以我们是不是要找这个三角形好？然后我们 c 一是这条边， cncn 是这条边，很有可能就是 找这个三角形好，那要证明他们两个相等的话，是不是很有可能证明这两个三角形他们相似？好，下面我们用具体的题目来求证一下。