平面与平面平行的解题技巧

大家好，欢迎大家来到张老师微课堂，今天我们来讲一下空间中平面和平面的位置关系。 那这个呢，相对来说简单一些啊，我们仍然是以正方体为例， 空间当中体面和皮面，在这方体当中我们很容易看出来他什么呀？啊？都有 对面的面，是不是啊？每个面都都能找到他对应对面的面，那这时候这两个面他没有公共部分，永远也碰不到一起， 那这样的叫做两个平面平行啊，这样叫两个平面平行，那面面 平行的判定呢？他实际上是要求两个平面内什么呀？如果是有一组相交直线和另外一个平面平行，那这个时候 这两个面就平行。那我们更重要的是要记住，我们生活当中有哪一些 是面面平行的，比如说正方体或长方体的什么呀？对面，然后还有呢？还有我们什么呀？圆柱体的上下底面， 忍住的上下底面，这些都是面面平行的啊，那有平行，那对应的就是面 相交，大家只要把课本打开，你就可以看到他是什么呀？这样子是不是两个孽相交在一起那只不过呢，课本打开来的后，他是什么呀？只有两个 面的什么呀？一半没有延伸出去，那我们叫两个半平面，那长得像课本打开的这样子的，我们叫他二面角，我们也用二面角来度量面面之间的夹角， 所以大家请看到什么样的二面角，你只要把书本打开来，那个就叫做二面角，那二面角的大小是可以从零度到一百 八十度，特别的当二美角打开来是九十度的时候呢，我们叫它两个平面垂直， 那这个怎么度量两个平面是否垂直呢？啊？我们 有个办法啊，就是去找二面角，可度量的平面角 就是在人上，他们公共的相交直线的人上啊，取点分别在两个半平面内画这个人的怎么样？垂线，然后呢去度量这两个什么呀？ 垂线的夹角就是二面角的大小，那这里我们仍然是以什么呀？这个正方体为例，正方体 左侧面 a、 d、 d， a， 我用绿色的这个画一下 跟底面啊，底面我用红色的来画一下吧， a、 b、 c、 d， 这两个平面 怎么样？他就是互相垂直的，就好像书本打开来玩以后，什么呀？啊？这个面垂直底面，那怎么说他垂直呢？在人上取一点 a， a， a 一垂直，这个人 a、 d， 是不是他们的人是 a d， 公共的边是 a d， 然后呢？ a、 b 也垂直 a d， 那 a a 和 a b 之间的这个夹角就是这个二面角的大小，那刚好这个夹角是九十度，所以我们就说他怎么样垂直， 当然面面垂直，除了这种度量方法以外啊，判断以外，他还有一种判法。判断方法是什么呀？是我们 先找到一条线和平面垂直，然后我们的这个面是穿过这条垂直直线的， 那这个时候穿过垂直直线的这个面就和原来的这个底面是垂直关系，这个就是由线面垂直得到线线垂直，他的判定。

线面推面面，如果要证明两个平面互相平行，我们首先可以证明线面平行，但是只证明一条线平行于这个平面是不够的。 比如说这两个平面，一个平面中的这条线平行于另外一个平面，但是呢，这两个平面是相交的， 要想证明阿尔法平行于贝塔，可以证明阿尔法内的两条相交直线都平行于另外一个平面。也就是说，我们可以先证明这条直线 a 平行于平面贝塔， 再证明 b 也平行于贝塔，并且 a 交 b 等于一点 p， 他们两个要相交 a 和 b 都 韩语平面阿尔法，这些条件共同能推出阿尔法平行于贝塔，这就是面面平行的判定。我们需要证明两组线面平行，然后还要说这两条直线相交。 我们来看一道题目，这里给了一个正方体点， m、 e、 f、 n 分别是这四条棱的终点， 要证明的是平面 m、 a、 n 平行于平面 e、 f、 d。 根据我们刚才讲的面面平行的判定，可以证明这个平面内的两条相交直线都平行于另外一个平面。 首先我们可以观察出来 m、 n 和 e、 f 非常像平行的情况。实际上 如果连接 b 一，第一会发现呢， m、 n 是左边这个三角形的中位线，而 e、 f 是右边这个三角形的中位线，所以他们两个都平行于 b 一第一，那么他们两个也就平行 线线平行，就可以推出线面平行。我们首先说辅助线连接 b 一第一， 因为 m、 n 分别为 a、 e、 b、 e、 a、 e、 d、 e 的终点，所以 m、 n 平行于 b， e、 d、 e。 又因为 e 和 f 又分别为 b、 e、 c， e 和 c， e， d， e 的终点， 所以推出 e f 也平行于 b。 一第一，于是 m n 平行于 e f。 因为 m n 不含于平面 e， f， d， 而 e f 呢，含于平面 e， f， d， 所以 m n 平行于平面 e， f， d。 这是我们之前所讲的线面平行的判定。 那么这样有一组线面平行了，还需要一组线面平行。假设我们选择 am， 会发现另外一个平面内很可能就是 df 和他平行。他们两个的平行呢？我们可以构造一个平行四边形， 也就是说连接 mf， 我们只需要证明 mf 平行且等于 ad， 就可以判定他是一个平行四边形。进一步得到 am 平行于 df， 因为底下这个四边形是一个正方形，并且在这个 正方形中，点 m 和点 f 是这一组对边的终点，所以我们就可以推出 m f 平行且等于 a， e， d， e。 又因为在这个正方体当中， a， e， d， e 平行切等于 a d。 这一组棱是平行且相等的，所以就可以用传递性得到 m f 平行切等于 a， d。 于是四边形 m f， d， a 为平行四边形， 所以另一组对边 am 平行于 df， 仍然是要写，因为 am 不含于平面 efd， 而 d f 含于平面 e， f， d， 所以可以得到 a m 平行于平面 e， f， d。 这样我们就有了 两组线面平行。接下来还要描述他们两个相交，也就是 m n 与 a m， 他们两个是相交于点 m 的， 并且 m n 和 a m 都含于平面 m a n。 于是就可以下结论，平面 m a n 平行于平面 e， f， d。 这就是我们用了刚才所讲的面面平行的判定，证明了两组线面平行，再写上一个香蕉，可以得到面面平行。每天一个知识点，跟袁老师系统学习高中数学。

各位同学大家好，我们现在开始上课。呃，我们这讲的内容呢是直线与平面，平面与平面相对关系的第二讲。 呃，前面我们讲了这个直线，那么直线与平面，那么他的这个平行，那么平面与平面的平行，以及平面与，呃两平面，两同一面垂直面，那么他的平行，那么他的投影有什么特点？ 有什么特点？那么这个呢？主要呢就是用到我们，呃，用到我们这个，呃 这个在在在在做，在做这个辅助投影面的时候，那么根据我们的需要，那么做这个辅助投影面的时候呢，那么和这个，呃和这个投影面平垂直，那么同时呢和另外一个平面平行， 那么这个呢？主要呢我们用到我们就要求这个实行的时候，那么我们可以这样来来来来来来求，那么来求。 呃，那么下面呢我们来看一下，那么两一般面，那么一般面平行，那么前面我们讲的两个投影面的垂直面相互平行，那么两个投影面垂直面相互平行呢？那么我们只要只要做，只要 因为两个投影面的垂直面，那么同一面的垂直面呢？他在他所垂直的投影面上投影呢都有积极性，那么同样的积极性，那么所以呢我们只要使得这两个机遇投影，这两个机遇投影，两个投影面的垂直面，他的积聚投影相互平行， 那么我们所做的这两个面，那么他就相互平行，这两个投影面的垂直面，那么就相互平行。那么上次我们也举了一个例子，那么我们为了求一个面， 那么他的实行也就是这个面呢，如果是同一面的垂直面，那么我们现在呢，那么设立一个，设立一个辅助同一面，而这个辅助同一面呢，那么和和这个同一面是垂直的，这个同一面呢也垂直，那么同时呢和这个平面的平行， 那么我们设立这样一个辅助投影面，辅助投影面，那么我们只要做出这个平面，在这个辅助投影面上的投影，那么就可以了，确定这个平面，哎，就可以那个做出，那么这个平面，那么他的实行，那么 他的事情，那么这个平面呢，也就是我们所做的这个辅助辅助，呃辅助投影面呢，那么只要他的这个辅助投影面，他的轴辅助投影轴，那么和这个投影面的垂直面，那么他的机具投影平行，那么我们就可以满足 这样一个要求，就可以拿去，也就是对于两个，两个投影面的垂直面，那么相互平行来说，我们只要使得他的两个继续投影相互平行就可以，那么对于两个一般面，那么来说，那么他两个相互平行， 那么一般面，当然一般面没有积蓄性，对不对？在投影面上的投影没有积蓄性，那么一般面上面这个直，这个直线的非常多，那么我们怎么样来判断这两个平面，这两个平面是不是相互平行呢？那么这两个平面是不是相互平行， 那么从几何学上说，也就是从几何学我们知道一个平面如果有两个相交的直线分别平行于另外 一个平面的两个相交的直线，那么这两个平面的是相平，我们知道那么两个相交的直线呢，就决定一个平面，决定一个平面，所以只要这个平面上面的两个相交的直线 和另外一个平面里面的相交直线平行，我们就说这两个平面是相互平行的， 相互平行，那么因为这两条相交的直线决定了这个平面，另外一个相交直线的决定了另外一个平面，那么这两条直线是两对直线，那么分别平行，那么我们就这两个直，这两个平面的是相互平行， 那么也就说呢，实际上我们这时候呢，那么就把两个平面平行的问题转换成了两对直线平行的，那么直线和直线平行， 那么他的投影有什么特性呢？他的投影有什么特点呢？前面讲两条直线在空间如果是平行的话，那么他的同面各个同面投影都是相互平行， 那么也就说我们只要判断这两对直线，那么他的同同面投影分别平行，那么我们就说这两对直线的是 分别平行的，而这两对直线的分别两对相交的直线呢，分别决定了两个平面，那么这两个这两个平面，那么他就是相互形象 相平，所以这个呢时候也就说我们判断一两个平面是不是相互平行，两个平面是不相平，我们只要判断这两个平面里面两个平面里面的两条相交直线是不是相互平， 那么现在我们看这个图，看这个图，那么也就这个图里面这个三角形 abc， 空间图形 abc 和 d e f， 那么这个是代表了 abc， 他的 h 面投影，他的背面投影这个代表了 d， 呃，叫 d e f， 那么这个平面他的 h 面投影和避免，那么从他这个外观上，也就是从他的投影图的外观上，我们看不出来这两条线是不是平行，这两个平面是不是平行， 但是呢我们在这个 de 上 def 这个上面，我们看能不能画出两条相交的直线 g f 和 gi， 那么分别平行于，分别平行于 abc 这条直线，这个平面上面的两条直线， 那么如果我们能找出这样两条直线来，那么我们就说这两个平面是平行的，那么现在我们来，我们来，我们来看，我们来看，那么也就是过这个上面，那么过这过这个祭点，也就是 gh g h 这个图，那么 g h， 那么过 g 点，我们做一个 g h， 那么 g h 呢？平行于 c c 撇，就是 g 撇 h 撇，那平行于 c 撇 a 撇平行于，那么然后呢我们做出这条直线，那么坐下， 坐下，那么坐下来之后呢也就说在在这个 d e f 上我们做了一条直线，那么他呢做出这样一条直线的这个技呢？在这 h 呢？在这，那么我们可以看出，那么我们看出这条直线他的他的位面投影， 那么这两条直线是相互平行的，这是我们刚才做的时候就有意让他平行，然后坐下来之后，那么我们这点是定的，然后我们求出这一点，那么求出这一点之后呢，我们看这条直线，这这条直线就是在这个记载平面 平面 d f e 那 def 上，那么我们看这个条直线呢？是不是， 是不是那么他的 h 面投影呢？也和这条直线 a c， 那么这条直线呢？ h 面 h， 呃这个 h 呃投影那么平行，那么从这上面我们看，那么他和 h 投影呢也是平行的， 那么我们就是说这条直线，那么 gh 这条直线，那么这直线是个一般位置直线的，那么当然 在在这个平面里面的一般位置的直径，那么他的 gh 那么适合这个平面里面的 ac 空间上 ac 这条直线呢，那么他是相互平行的 ac 这条直线相，那么现在同样我们过 g 点呢，那么再做一个 gi， 那么也是我们有意也有意识的，那么是是这条线呢做的那么和他平行， 然后呢我们下来，那么找出这个挨一撇，哎，做出挨一撇，然后找出这个挨， 那么我们来看把它连起来，那么看是不是和他这条线也平行，那么如果也平行的话，那么我们可以看出，那么这两条就是既挨这条直线和 cb 这条直线，那么他在空间 天呢也是平行，空间也是平行，那么也就是说呢在这里面呢我们可以看出这个平面里面的两条相交的直线，两条相交的直线，那么和和这两条这个平面里面的两条相交的直线是分别是平行的， 分别是平面，那么我们就说这两条两个平面呢是相互平行，那么这两个平面呢是相互平行， 所以呢我们只要呢能够在两个平面里面分别找出，分别找出两条相交的直线，那么相互平行， 项目平静，那么我们就可以决定，那么这个平面是是平行的， 那么下面呢我们就可以呢下面这个图呢，那么 就表示了过地点，也就让我们现在呢有一个有，有一个平面有这个平面放在这个位置，那么现在呢，我们要去过这个地点，那么做一个平面，那么做一个平面和刚才我们说说的这个平面平行， 那么过地点呢？那么只要我们做出过地点呢，只要做出两条相交的直线，那么相交的直线分别和这个平面里面两条相交的直线平行，那么就可以， 那么我们下面呢就介绍了，那么我们这样一个方法，也就是表示过地点做一个平面，那么做一个平面与 abc 这个平面平行的这个方法， 那么也就是说我们过地点呢，做一条直线，做一条直线，那么和这个平面里面的过地点做一条直 线，和平面里面的一条直线和这个平面里面那条直线平行，那么再过再做一条直线和平面这个这个平面里面的另外一条直线，另外一条相交的直线那么平行， 那么这两条相交的直线，那么说决定的这个平面，那么就和你这个原来的这刚才这个平面呢，那么他是平行的平行的，那么我们来看，那么我们过地点，那么做一条直线，第一， 第一，那么第一呢就是先做第一撇，第一，第一撇 e 撇，那么和这个 b 撇 c 撇平行， 那么他的 h 面投影呢？就是 d， 小 d 和小 e， 那么和这个小 b 和小 c 呢是平行的，那么我们就说这个 de 这条直线在空间上， 空间上是和 cb 这条直线的是平行的，和 cb 这条直线是平行的，那么然后呢我们过第一撇，过 d 点，那么过第一撇点呢？我们在做 d f， 那么 d f 呢？和这个 a d f d 撇 f 一撇呢？和这个 a 撇 c 撇呢？平行， 那么同样同时我们在做小 d， 小 f 和这个小 c， 哎，这个这个这个小 c， 小 a 能平行，能平行，那么我们可以看出，那么 d f 那么在空间上 df 呢？是和这个 ac 呢？是平行的， 平行的，那么也就是我们现在呢所做的一条两条相交的直线相两两条相交的直线，那么 e d 和这个 d f， e d 和 d， 那么分别呢？和这个平面里面的 ac， 哎，不，不能是 e d 和 d f 分别和这个平面 abc 这个平面里面的 bc 和 c a 这两个直线呢也是相交的，那也是相交的，那么现在呢也是我们所说的，那么有 那么我们所做的这个平面，那么所做的平面在哪呢？就是 def 那么所决定的这个平面，我们知道两条相交的直线决定一个平面， 那么这两条相交的直线就决定了平面，所以有 def 说决定了这个平面呢，那么就和说决定的平面呢，那么就是和这个和这个 abc 这个平面呢？和 abc 这个平面呢是平行的，和 abc 这个平面呢是相 相互平行的，我们是相互平行， 这个呢就是我们前面讲的如何来做，那么如何来做？那么你做一个，呃平面和另外一个平面呢？平行，那么就是一般位置的这个平面，一般位置平面， 那么下面呢我们来看，呃，这个直线与平面，平面与平面的垂直， 那么前面我们讲的是直线与平面，平面与平面的平行，那么下面我们来看一下，那么直线与平面，平面与平面的垂直， 那么首先呢我们来看一下，那么一一条直线与平面，那么他相互垂直，垂直，那么对于一个直 线来说，那么如何我们来确定，那么他和你这个平面是来来来来说如何说，那么这个平面这个条直线是不是和这个平面垂直呢？ 垂直呢？那么从几何意义？从几何学上我们知道，那么如果呢一个直线垂直于一个平面，如果这条直线那么垂直于这个平面，那么必然呢是垂直于平面里面，就是这个平面里面的两条相交的直线， 而不论这个直线是否是是否通过这两个相交直线的焦点，也就是只要知道只要我们能够确定这条直线呢，这条 ah 这条直线呢和 ab， ab， 呃，这个 bedc， 那么这个平面里面的两条相交的直线垂直，那么就可以了， 那么实际上也就是说呢，那么我们现在呢把一条直线垂直一个平面的问题，一条直线垂直一个平面的问题转换成什么了呢？一条直线是不是和两条相交的直线垂直的问题， 就我们实际上就把复杂问题往简单里面转化，就把直线垂直于平面的问题，那么 转变成直线和直线相交这个垂直的问题，也就是说呢，如果一条直线那么和一个平面垂直，就是一般位置的平面垂直，那么他只要垂直于这个平面里面两条相交的直 线，那么两条相交的直线就可以，两条相交的直线就可以。那么我们在做这个头，在在投影图上面做平面的这个垂线的时候呢， 垂线的时候呢，那么我们就可以做出平面的正垂线和水平线作为我们这个面上的两个相交的直线，比如说在这个平面上，这个平面 平时那么有一条直线，那么他是一个正平线，那么有一条是水水平线，实际上正平线和水平线呢？那么有很多， 那也就是我们只要能做出我们一条所做的这这条垂线和他要求和他垂直，那么只要所做的要求的这条垂线和这个正定线垂直，同时呢和水平线垂直，那么这条直线呢就和这个平面垂直， 那么我们后面会讲我们为什么要用正平线，那么要用正水这个这个水平线呢？那么这个我们在后面做图呢，那么是有他的方便的，有有就是我们采用这两条线呢，那么是有采用这两条线的道理的 道理，也就是说我们可以做出平面的正平线和水平线作为面上的两条相交的直线，那么此时呢所做的这个垂线呢与正平线，那么他他的垂直， 正平线的垂直关系在在他的位同一面上呢那反应，那么垂直与水平线的垂直关系，垂线与垂水平线的垂直关系呢？在 h 同一面上里面那么有反应，因为我们知道前面我们讲过，那么如果一条直线，一条 线和和投影面的这个平行线，那么垂直的话， 一条一一一般位的直线和投影面的垂和投影面的平行线平行的垂直的话，那么他在这两条直线，那么在这条直线说平行的这个投影面上的投影呢，也保持直角 保持，像在这地方我们就用这个，因为我们现在所做的正平线，那么他就是和 h 同一面上垂直的， 那么水平线呢，就是和胃同一面垂直的，而不是正平线，是和胃同一面垂直的，水平线是和 h 同一面垂直的， 那么如果我所做的这条直线呢？和正平线，那么如果垂直的话，那么他这条直线，那么他在 h 和水平线垂垂垂直的话，那么这条直线和在 h 同一面的投影， 和你刚才所做的这个水正平这个水平线，那么他的 h 通音面上通用就是垂直的， 那么也就是这个垂直关系呢，在这个水平线或者正平线，他的，他说平行的投，这个投影面里面呢，都有反应，都有反应，所以我们就可以呢利用这样的这样的简便的关系，这种特殊的关系，那么来做这个投，来做这个垂直线， 来做实习，那么这个做图呢，那么就比较方便，也就比较简便，比较简。那么下面呢，我们来看这张图， 这张图，那么这张图呢，现在就是要求我们过 a 点，过 a 点做一条，做一个，那么和 abc， 呃，这和这个平面平面，那么呃 bcd e 平面， bcd 垂直的直线，那么垂直的直线垂直直线，那么大家可以看，那么我们首先呢，首先大家要看明白，这是一个 把这个投影图呢，要看明白，那么投影图要看明白，那么这是一个平面，他的 h 面投影，那么这是同样相应的这个平面的位面投影，也就是这个，这是决定了这个平面，也就是这个平面的 h 面投影和为面投影 危险投影。那么现在呢，我们有一点 a， 空间有一点 a， 那么这是用他的投影呢？ x 面投影呢是小 a， 位面投影呢是小 a 一品，那么小 a 一品，那么现在呢要求我们过 a 点，那么做一条直线和 bcde 这个平面垂直 垂直，那么我们现在呢要做做一个一条直线和这个平面垂直，我们只要做过这一条这一点，那么做一条直线和这个平面里面的两条相交的直线垂直就可以。 那么现在呢我们就把这两条相交的直线呢选定两条线，一条呢是正平线，一条是水平线， 那么我们首先来看一下，那么我们使得这条这个直线那么和正平线垂直， 正平线垂直，和正平线垂直呢？也就是说呢正平线，那么他就是和未同一面是平行的，也就是在未同一面上的投影， 那么这个这条我们所做的这条直线，那么他在未投影面上的同应该是和这个正平线，他的位面投影是垂直的，是垂直的。所以首先呢我们讲怎么样在这个面里面做 一个正平线，正平线，这是前面我们讲过，上两次上两奖励我们已经讲过了， 也就是我们过一点，比如过这一点，那么我们先做出一条正平线，说正平线呢就是他的 h 年投影和 oxo 是平行的 ox， 那么也就是我们先过地点，那么做一个水平线， 做一个水平，然后呢这条水平线，然后呢和这个 bc 呢有一个交点，那么记然后呢上去，上去之后我们确定啊 b 一撇点， b 一撇点，然后把它连起来，这条线呢就是 dg 这条线，那 dg 这条线，那么就是这个平面 平面里面的一条一条正平线，那么一条正平线也就是他是和蜜臀面是垂直，是平行的，蜜臀面垂直 平平，那么现在呢我们要做的这条直线呢和和这个这个正平线垂直，我们只要是过这一点，那么做一条线，那么和他垂直就可以，那么就满足这个空间，那么这条直线呢和这个和这个正平线的是垂直。这条线 那比如说这个长度呢，我们就定，这么就就定这么长度，然后他的位面，他的 hv 面投影，我们定下 h 面投影呢，那么在这条线上，那么他这个这个角度也就这个地方怎么来定呢？那么我们就要看第二个条件，使得这条直线呢他和水平线垂直， 水平线垂直水平，那么他水平线垂直往，首先呢那么要要把这个面里面的这个水平线做出来，那么水平线他的位面投影呢 和 oxo 是平行的，所以我们过 b 撇点，那么做一条水平线水平线，然后呢找出 f f 一撇点，然后下来，那么把这个这个 f 点找，然后把这条线找出来， 那么这个蓝的这条线，那么就是这个蓝的这条线，那么就是这个面内的一条水平线 面对这条，那么同样的我们需要需要使得这条直线呢和这个平面，和这个这个蓝的这条线，也就和这个 b f， 也就和这个水平线垂直，我们只要过这一点，他的 h 面 h 面投影，那么做一条线和这个 b f 小 b f 垂直，那么就可以， 那么这个垂直呢，那么这样方向是垂直的，然后呢这个 h h 呢在这个位置，那么 h 点呢？ 这个位置也有 h 点呢？必须必然呢是在这条线上面，然后呢我们我们呢，呃， 在这个反向这个延长线上，我们找出这一点，所以这个 ah， 那么这条直线 ah 这条直线，那么就是就是 bcd e 这个平面的垂线， 直线，为什么是呢？因为他垂直于这个平面里面的两条相交的直线， 这两条相交的直线就是我们一条正平线，一条水平线，一条正平线，比如说我们做图呢，那么就这样，那么做，做图这样做， 所以这个呢就是我们这个要做同一面的这个垂线呢，那么是呃 同一面的就是一个一般位置的平面，他的垂线垂线， 那么也就是说呢要过 a 点，我们做这个 a， 做这个平面 bcde 他的垂线，我们先做 bcede 上面的正平线 dg， 然后呢和水平线 bf， 他的这个两面投影，也就是这两个这两条线做出来，做出来，当然我们是通过这个投影图来实现了， 那么然后呢我们就做做过着点分别做，那么他的正平线和水平线的垂线， 那么这个呢这条线呢？那么我们就确定，我们就确定，也就是这个 ah 呢，就是我们所求的，那么 他的垂线垂线而垂足的位置呢？那么我们要确定呢，那么我们就要求出这条直线，那么和这个平面的这个焦点，那么我们才能够确定， 那么这条直线呢？你说现在现在看这条直线呢是一个一般位置线，这是一条一个一般位置的平面，所以呢我们要后面会讲到，那么如何求一般位置的直线和一般位置的平面，呃一般位置平面的焦点的方法，那么我们在后面会讲 讲，在这地方呢，那么我们呃只讲到如何，那么来求，那么如何来求，那么这个呃 如何来来来来去来做那么一个一般位置平面的这个垂线，一般位置平面的垂线， 那么下面呢，我们来看一个特例，那么特例也就是说呢，这个直线垂直与投影面的垂直面， 刚才我们讲的是直线垂直于头顶面，直线垂直于一般位置， 那么下面我们来那么直线垂直于投影面的垂直面，投影面的垂直面是一个特殊位置平头一面的垂直面呢？他在他所垂直的这个投影面上呢？投影呢是积聚成了一条直线，这是我们首先要想到的，要想到的， 那么当这个直线垂直与投影面的垂直线垂直面的时候，垂直面的时候，他必然是一条投影面的平行线， 那么他平行于该平面，说垂直的这个投影面，那么也就是说我们看那么这是一个投影面的垂直面 和 h 同一面是垂直的，那么现在呢，我们有一条直线和他垂直，和他垂直，那么这个时候大家看，那么我们是这条直线，那么这条直线呢，肯定是和他是平行的，肯定是他的，所以你先把这个几何关系搞清楚， 几何关系，那么几何关系搞清楚之后呢，那么我们就可以看出，那么因为这条直线和 h 同一面是垂直的垂直，所以他在 h 同一面上同一呢，一定是积聚成一条直线， 积聚成一条直线，积聚成了一条直线，而我们现在呢这条直线呢，这条直线呢，那么和这个平面呢是垂直的， 那么这条直线呢，在这个 h 投影面上，在这个投影面上投影的也是一条直线，而他呢在这个投影面上投影呢，也积聚成了一条直线， 那么现在我们看，那么这条直线呢，和这个平面是垂直，那么这个平这个直线呢，肯定和这条直平面里面的，那么比如他的水平线，那么是垂直的 垂直，那么这条水平线呢是垂直的，而我们这条直线呢，跟这个水平线肯定也是垂直的，所以呢他的投影，他的投影，他的投影，那么是继承一条直线和我们这条直线，那么他的投影呢，那么肯定是垂直的，是垂直的，所以呢， 所以呢，就是在这里面直线垂直于同一面，同一面的垂直面的时候，那他必然的是一条头一面的平行线， 那么平行于必然是同一面的平行于这个这个面，那么说垂直的这个头， 那么该这个投影面的这个面呢？那么他的机距投影呢？与该垂该垂线就和他垂直的这条线，那么他的同面投影呢，那么是相互垂直， 是相互垂直，所以他是相互垂直的，相互垂直，所以这条线呢，那么就是表示了这个平面他的积蓄投影，那么这条线呢和他垂直，和他垂直，那么就表示这个条直线，那么在空间和这个平面是相互垂直的， 相互垂直。那么如图所示，那么 ab 呢？垂直于千匹千锤面 p， 千锤面 p， 那么必然呢他是平行，与 h 同一面，必必然平行 h， 那么 ab 呢？他的 h 同一面， 他的投影 h 投影面的投影小 ab 那么垂直与这个平面 p， 那么他的积极投影 ph 吹的，那么在投影图里面，在投影图我们做出做出那么一个这个呃， ph 垂直与水平线， 你说这这条线肯定和 h 同一面垂直， ab 这条线和 h 同一面是是平行的，那么他肯定是一条水平线，那么如果我们做出一个一个 ph 这个平面垂直于水平线 ab 的话 垂直于水平线 ab 的话，那么我们只要只要做出那么他的机遇投影垂直于这个水平线，那么他的他的这个水平投影小 ab， 也就是我们所做的，比如说 ab 这条直线，从这个这个投影图上我们可以看出 ab 这条直线，那么他是一个水平线，这个在这你应该依然就能够看出来了，那训练到现在应该是依然能看出，那么 ab 这条直线，那么这是 ab 这条直线的。 哎，这边投影，外面投影，那么从这个上面卫眼投影他这个水平线，我们就可以断定，那么他的他的这条直线 ab 这条直线他是一个水平线，他是一个水平线。那么现在呢？我们所做的这个 ph 这个平面呢？他的机遇投影和这个水平线呢？垂直 垂直，那么现在呢？我们就就可以看可以得到。那么这个这个平这条直线就是 ab 这条直线在空间呢，是和在空间呢？是和屁这个平面的是垂直的，是在空间呢， 和屁这个平面是垂直的， 那么同样的道理，那么我们呢？ 当这个正平线正平线 cd， 那么大家在这也是一样，你要首先要看出这是一个正平线，这是一个正平线，比如这是 cd 这条直线是一个正平线， 那么现在呢，我们做出这个他的位同 c 撇 d 撇，那么垂直于 q 位 q 位，那么这个平面也就是 c 的这个平面呢？他是一个什么？他是一个正平线，同时呢那么有合 q q 这个平面呢？那么是垂直的， 那么 q 这个平面是谁整的？这地方，这地方应该是一个 q 币，那么 q 币 q 位这个平面也就是 q 位呢是垂直的， q 位是垂直的，说这个里面呢，那么我们呃来看一下，也就是我们如何做做，如何做一个这个， 如何做一个，呃做一个平面，那么和我们的投影面的平行平行线，那么垂直同面的直 垂直，那么也就是我们只要做出他的这个这个这个投影面的这个积蓄投影，那么和我们投影面的这个实行投影，这个这个投影面的平行线的实行投影垂直，那么就可以 适应投影垂直就可以。那么下面呢，我们来看两个平面， 就是两个平面呢，这个呃两个平面，那么他相互垂直，两个平面相互垂直， 那么两个平面相互垂直呢？也就是如果一个平面通过另外一个平面，他的一根垂线，或者呢说一个平面平面上如果有一根直线，那么垂直于另外一个平面，那么这两个平面呢？那必然呢是相互垂直， 别人相互说，所以现在呢大家可以看，那么如果呢我要做一个平面和另外一个平面垂直，另外一个平面垂直，那么怎么样来办？怎么来？ 那么现在呢我们看那么一个平面，也也就说一个平面如果通过一条直线啊，这条直线呢 和另外一个平面垂直，那么这个这两个平面呢，那就垂直这两个，就所以呢现在如果我们要证明两个平面是不是垂直，实际上我们只要证明这条这个面里面的某一条直线是不是和这个平面垂直， 而如果要证明这条直线和这两个这个平面里面这两个这个平面是不是垂直，那么我们只要找出这条直线和这个平面里面的两条相交的直线垂直就可以，这样到最后也就是把面和面垂直问题转换成线和线垂直问题， 所以这个呢就是我们在在学习的时候，那么要把握这个这个这个这这种思路，这种思路，所以这个呢也就是我们要看，那么如果呢在这里面呢，我们看如果直接 a d 直线 a d， 那么垂直与直线 a d 垂直与平面 e f g e e f h g， 那么这个平面平面，那么如果三角形 abc 这个 ab， 那么通过通过 ad 这条直线，那么通过 ad ad 直角，那么则 abc， 也就说这个平面那么和这个平面呢是垂直的， 换言之换句话说，那么也就是三角形 abc 这个平面图形，那么这里面呢，如果有一条直线 ad， 那么这个 ad， 那么垂直于这个平面，那么垂直于这个平面垂直于这个平面，那么这两的这两个平面呢，那么是相互垂， 那么这两个平面这这里头也就说呢这个这是他的示意图，那么他的投影图呢？投影图呢，那么我们可以看出，那么这条这个平面里面的这条直线 ad， 那么从这个这个图上大家能看出什么？大家可以看一下能看出什么？ 那么从这个上面我们可以看出这个平面里面的有一条直线 a d a 一撇 d 一撇 小 a， 一撇小 a 小 d， 这是这个平面 abc 这个平面，那么他的里面的一条直线 a d， 那么他的头， 那么大家看一下他的投影，那么这个投影呢是垂直，他他的 h 面投影是垂直于这条线，就 fg， 那么这条直线的 h 面投影，而 fg 这个直线呢？从这个投 让我们可以看他的位面投影小水平是水平的，那么也就说他实际上是这个呃，这个这个平面里面的一条水平线， 那么也就说明我们的 ad 这条直线在空间上是垂直于这个平面平面里面的一条线就是 f f i 这条线， 那么同样的道理，那么我们可以看出 ad 这条直线呢，那么他也是垂直于这个平面里面的一条，这一条正平线 垂直一条正品，所以也就说 ad 这条直线呢，他是垂直于这个平面平面里面平面这个 e、 f、 h g 这个平面里面的平面里面的两条相交的直线相交的直线，所以这条直线这 平面和这个平面呢，也就是 abc 这个平面和 e f hg 这个平面呢？那么他是垂直的， 为什么垂直呢？因为 abc 这个平面里面呢有一条直线 a d 和 e f hg 这个平面呢是垂直的，是垂的，那么从这个投影图里面我们就可以看出这个，就可以看出这个呢，那么就是他是垂直的垂直， 那么下面呢我们来看一个例子，我们来来看一个例子，那么是求那么三角形 abc 对 h 的倾角以以及点 f 到 abc 的这个距离 到 abc 正确，那么也就是实际上我们要求的呢就是他一个这是一个一般位置的平面，大家看这是 是一个一般位置的平面，我们现在呢还有一个点，还有一个点，那么现在呢，我们就要求我求这个点到这个平面的距离，那么大家可以看一下，那么如果我我这个这个平面，那么这个平面呢和头一面垂直的话 垂直的话，那么我们就可以呢那么求助这垂直呢，那么他积聚，他在这个他所垂直的投影面上投影就积聚成一条直线了，那么这一点呢投影呢当然也是一个点，那么这一点到这个机遇投影之间的这个距离就是这个点到这个平面的这去， 那么所以我们现在呢就想想办法，能不能把这个直线，把这个平面平面转换成做出来的幅图，那么使得这条这个平面呢和我的这个同一面垂直，同时也就是我们 能不能设立一个辅助投影面，设立一个辅助投影面，那么使得呢我这个辅助投影面呢，既和这两个投影面里面的某一个投影面垂直，同时呢，那么又和这个同时呢又和这个我这个平面呢垂直。 那么刚才我们讲如果你要和这个我设立的这个一个新的这个同一面，那么如何呢？如果要和这两个这个同一面，同样这个这个平面垂直，那么我们只要和这个平面里面，只要和这个平面里面的一条线垂直就可以， 所以呢我们就是通过这样一个思路，我们先设立一个平面，设立一个一个辅助平面，那么和，比如和 h 同一面垂直，那么同时呢和 h 同一面里面，和，和这个 平面里面的，那么他的一条线在垂直，在垂直，和这一条线在垂直呢，那么实际上就是只要和这个这个一条线里面的这个水平，这这个平面里面的一个水平线垂直，就可以 和这条水平线垂直呢，那么我们只要使得我们所做的这个新的投影中，和这个 和这个，和这个，呃和这个水平线，他的水平投影垂直，那么就可以了， 就可以，所以呢我们就这样的来做，也就说根据我们这个投影的规律，那么投影我们可以呢？呃，知道正垂面，他的未面投影的 ox 轴的夹角呢？反应正垂面，那么他的正垂面对 h 头里面的称角，那么如果在 h 头面里面， 我们设立一个辅助投影面，卫衣垂直于三角形 abc， 那么做出三角形 abc 卫衣他的积蓄投影， 那么这个机具通用以心头与心头用轴的这个夹角，即为所求的这夹角，那么要使得卫衣垂直于 abc 这个平面，我们只要使得卫衣垂直于 abc 平面上面的一条直线，一条水平线， 那么所以我们首先呢，那么做出 abc 这里面的一个水平线， abc 这个平面里面的水平线，我们怎么做呢？前面已经我们做过好几个了，那么这地方呢，我们在复习，比如说过 a 撇，我们做一个水平线，然后呢交与 bcb 撇， c 撇与 d 撇点， 然后坐下来，那么坐下来，然后把它连起来，把它连起来，那么这个呢就是 ab 这条直线呢，就是 abc 这个平面里面的一个水平线， 那么我们设需要设立的一个新的投影面呢，新的投影面呢，那么只要和这条直线，那么他垂直，那么我们所设立的新的投影面就和 abc 这个平面是垂直的，所以我们在这面就可以判断我们设立的新的投影面 设立完之后，那么这个 abc 这个平面，在我们的新的投影面里面的投影呢，一定是积聚成了一条直线， 因为我们现在的这个这个这条直线，你说这个平面里面的一条直线和我们新的投影面，辅助投影面的，那么他是这个垂直的垂直，说 第二步呢，那么我们就是第二步呢，我们就是那么我们先把他的辅助投影呢，就是辅助投影轴，那么做出来，也就是我们确立了辅助投影面，然后我们根据根据他的 h 面投影和 v 面投影，把他的把他的把他的， 把他的位面，把他的这个辅助投影做出来。刚才我们讲这个辅助投影我们做出来之后呢一定是一条直线， 那么这个大家可以坐下，那么坐下一定是一条直线，因为我们这这个平面呢，因为 abc 这个平面呢和我们的卫衣呢是垂直的，所以他积聚成了一条直线， 咱们继续挣，那么积聚成一条直线呢，然后呢我们的同样把 f 点呢也向这上面做辅助投影，那么做辅助点，那么过 f 点呢？像这个 做垂线，那么做垂线，那么对对于卫衣和 h e 来说，对于卫衣和 h e 来说，那么我们的这个他和他要垂直，那么他一定呢是和卫衣呢是平行的， 和卫衣平行，所以过来之后和卫衣平行的，所以呢这条线那么过这一点，那么我们再回去，再回去，那么因为他对卫衣来说一定是平行，所以他肯定是平行于这个投影中是过一点，我们做这个，所以我们就可以定出这一点， 定出这一点，那么定出这一点来之后呢，然后我们上去上去上去之后呢，那么就可以定出这一点， 定出这个，那么定出这个这条线呢是在这，那么这段距离，那么这段距离，那么这段距离呢，那么和这段距离是行的，所以我们就可以定出这个， 也就是我们找出了他的距，他的这个距离，那么同时这个角度呢就是个二， 就是二，所以这个呢就是我们利用，利用刚才我们讲的那么投影面的垂垂直面就是过过一个，就是我们如何，那么如何来设立一个 辅助面辅助面，那么然后呢，那么使得这个辅助面呢和我们的这个头和我们的这一般位置平面垂直，和一般位置平面垂直，说是这样一个呃，一个一个问题， 所以这个呢，也就是说我们呃在这里面呢，主要的就是设立了一个设立的一个新的同一面辅助同语，作为我们的辅助同语，使得我们辅助 同一面的和这个一般位置平面垂直垂直，那么这样的话呢，那么他在这个一般位置上的，他在这个新的投影面，这个一般位置平面，在这个新的投影面上投影呢？就是基础上的一条直线，我们利用这个积聚性，那么积极性，那么来求，那么来求他的这个 这个这个距离，我们来求他的距离。好，呃，这节课呢，我们就讲到这，好，谢谢大家。

大家好，我是一样二高数学组江春晓。今天我们来学习一下平面与平面平行， 类似于研究直线与平面平行的判定。我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题。 根据平面与平面平行的定义可知，若两个平行平面，则他们没有公共点，所以一个平面内的任一条直线都与另一个平面没有公共点。 也就是说，如果两个平面平行，那么一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行。 我们来看一个思考题，如何判定一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面呢？ 来看两幅图，如下，左图 a 和 b 分别是巨型硬纸片的两条对边所在直线，他们都和桌面平行。那么硬纸片和桌面平行吗？ 显然不一定，当我们在转动巨型硬纸片的时候，会发现硬纸片与桌面可以平行，可以相交。 再看右图，西和地，分别是三角池相邻两边所在直线，他们都和桌面平行。那么当我们在转动三角池的时候，始终保持西和地与桌面平行，此时三角池与桌面也是始终平行。 显然，若一个平面内有两条平行直线都与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。但若把两条平行直线改成相交直线，则两个平面就会平行。下面我们来借助长方体说明一下这个问题。 如图，在平面 addpa 片内画一条与 aapa 平行的直线 ef， 显然 aa 片与 ef 都平行，与平面 d 系细片地片，但这两条平行直线所在的平面并不平行。 若平面 abcd 内两条香蕉直线 acbd 分别与平面 appa、 cpdpa 内两条香蕉直线 appabb、 pdp 平行，由直线与平面平行判定定力可知，这两条相交直线 acbd 都与平面 bapbpcpdp 平行，此时两个平面互相平行。由此我们可以得出平面与平面平行的判定定理。 如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言表示。 这里我们需要五个条件，从有线面平行推出面面平行。这个定力告诉我们可以有线面平行判定面面平行。 生活中，工人师傅将水平仪放在桌面上，交叉放着两次，如果水平仪的两次气泡都在中央，就能判定桌面 是水平的。我们再来看一个例题，在正方题中，如何证明 a、 b、 e、 d、 e 平行平面 b、 e、 b、 c、 d 因为是正方体，所以我们可以得到 d、 e、 c、 e 与 a、 e、 b 是平行的， a、 b 与 a、 e、 b 也是平行的，并且他们都是相等的，由此得到 d、 e、 c、 e 平行且等于 a、 b， 我们就得到了第一。 cba 为平行四边形，从而得到另一组对边 da 与 cb 是平行的，因此有线线平行推出线面平行，同理可正。第一 也是平行面 bcd 通过线面平行推出面面平行，我们就可以利用面面平行的判定定理得到两个面互相平行。大家学会了吗？今天我们就学到这里。

一、题，面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理是证明直线与直线平行的另一种常用的方法。定理，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。二、平面与平面平行的性质定理注意点， 一、两平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面，但这两个平面的所有直线并不一定相互平行，他们可能是平行直线，也可能是意面直线，但不可能是相交直线。 面面平行的性质定理的应用问题往往涉及 r 平行的判定、现面平行的判定与性质的综合运用。解题时要准确地找到解题的亲人点，灵活的运用相关定理来解决问题， 利用面面平行的性质证明线线平行。利用面面平行的性质定理判定两线平行的步骤是，一、先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条。二、判定这两个平面平行。 三、再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上。四、由定理得出结论，利益如图， l 已知四、棱锥 p， a、 b， c、 d 的底面 a、 d， c， d 未平行四边形 m、 n、 q 分别是棱 a、 b， p， c、 d， c 的终点。 平面 c， m， n 与平面 pad 交于 p。 求证，一、平面 m、 n、 q 平面 pad。 二、 m， n p。 证明，一、连接 m q， n、 q。 因为 n、 q 分别是 p、 c、 d、 c 的 终点，所以 n q、 p d。 因为 n、 q 不在平面 pad 内， p， d 在平面 pad 内，所以 n、 q 平面 pad。 因为 m 是 a、 b 的终点四边形 a、 b、 c、 d 是平行四边形， 所以 m、 q、 s。 又因为 m q 不在平面 pad 内，而在平面 pad 内，所以 m q 平面 pad， 又因为 mono 等于 q， 所以平面 m n q 平面 pad。 二，因为平面 m n q 平面 pad， 且平面 pack 平面 m n q 等于 m n 平面 pack 平 面拍的等于 p， 所以 m m p 二面面平行与线面平行探究指导两平面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行可转化为线线平行，所以 要注意化规与转化思想的运用。两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，证明线面平行往往转化为证明面面平行， 因此两个平面平行的判定和性质定理为证明空间平行关系提供了转化的路径。关注我，一起决胜二零二三年高考数学。

好，大家好啊，我们来看一下，这次我们看一下这个平面的一般方程啊，在前面那个视频里面的这个点平面的点发式方程，他是这样写的，那么我们把这个 x 零 y 零这个零挪到一起，那这个就是一个常数了， 所写成这个样，这个样子啊，这个就是平面的一般方程，这个法项量就是 a、 b、 c， 那对于这个一般方程来说呢，我们先考虑一下这个 d 等于零的情况， d 等于零的情况，那是肯定是过坐标远点嘛，对吧？那第二种情况呢，就是 a 等于零， d 等于零，我们先看 a 等于零， d 等于零的这种情况，那么 a 等于零， d 等于零，那就只剩下 b， y 加 c， j 等于零，那我们知道这个就是 y、 o 这平面的一条直线，并且直这条直线呐，过远点，对吧？那那那这个，那这个，那这个怎么会成为一个平面的？ 我们还看第二种情况，低不等于零，低不等于零，那就是那就是也是也是 yoz 平面的一条直线，但是这条直线呢，没有过圆点，那我们看一下这两种情况怎么形成的平面呢？ 我们看假设这个是 y、 o、 z 平面的一条直线，它这个没有过过圆点，没有过圆点，那么这个怎么形成的平面？它其实就是因为我们这个直 这个方程里面只有 b， y 加 c， z 加 d 等于零嘛？那个 x 不存在， x 不存在，那就意味着什么呢？意味着这个 x 的这个值啊，它可以重复无穷 变到正无穷。所以这个平面呢，他就是就是顺着这个 x 轴的方向，这个平行 x 轴的方向一直这样延伸，也可以向纸面内延伸，就是像 x 轴的两头无限延伸过去，平行于 x 轴，这个是没有过远点的情况啊， 那如果这个是过远点的一条直线呢？那就把 x 轴包括在里面的这个平面，就是比如这条线，对吧？那就包括这个这个 x 轴在里面一直一直无限延伸， 他就是这样形成的平面， x 不在这里面，因为这是三三维空间，不等于 x 不要，反而是意味着 x 怎么样可以从负无穷到正无穷，那类似的可以讨论情，讨论其他情形。那 a 等于零， b 等于零呢？ a 等于零， b 等于零，那就是这是一个，那就是这是一个常数，对吧？这是一个常数， 这是一个长度，就相当于这样的一条直线，那这条直线啊，就顺着 x、 o、 y 平面，就以平行 x、 o、 y 平面的啊方式啊，延伸就是按照这个直线啊，一条一条直线这样构成平面， 就是这个这构成的这个平面呢，是平行 x、 o、 y 这个平面的。然后我们看个例子，假设这个平面呢， x 也 x、 y 这三个轴角位，这三个点 啊，就三个点，然后求这个平面方程，然后我们把这个方啊，一般方程写出来，把这三个点带进去，然后就可以把这个，把这个数字，把这个未知数啊求出来 啊。那你那因为是啊，这带进去只有三个方程吗？他有四个未知数，所，所以这个这个地，我们就这个三个，三个 啊，法项量啊，法项量坐标都以这个地来表示，那那就写成这个样子了，然后把它带进去以后啊，这个地呢，其实就消掉了，对吧？这个地消掉了，消掉了就剩下这个，这个，这个 啊，这个方程，这个这个方程呢？就是平面的节记式方程，这个 a 呢就是在 x 轴上的结局，这个 y 就是 y 轴结，这就是这轴结局。 这个洁具是平面的方程，这个那个图形很容易看到哈，这个就是在三个坐标轴他都有一个洁具。

面面平行的判定定理，平行，如果通过定义会比较痛苦，那证明两个平面没有公共点， 那我们一样要想象能不能升为，或者叫为面和面平行，目前为止学的已经是维度最高的，没办法再试，那只能叫为。我们要去证明线与面的平行。 那好了，问题来了，要证明的这条线是哪里的线呢？肯定是其中一个平面的一条直线，那么就是想，如果证明其中平面的一条直线平行于另外一个平面，那能不能说明这两个平面就平行啊？ 看下是不可以的。我给同学找一个返利，要证明两平面平行，那他的返利就是两平面相交，那有可能阿法这个平面内有条直线和贝塔这个平面平行，但是阿法这个平面和贝塔这个平 是香蕉的，那说明一条直线不够，那一条直线不够，两条够不够呢？发现没有两条也是不够，那三条呢？我告诉同学们，哪怕是无数多条都不够， 那怎么办呢？两条不够，我们就考虑到一个平面内两条相交的直线，如果两条相交的和这个平面都平行了，那这两个平面是否就平行啊？ 大家可以拿平面或者硬纸板和笔来摆一摆，就会发现这两条直线如果是相交的平行，非塔平面的话，那这两个平面必然是平行的。好文字圆一个平面内的两条相交很重要啊， 这线与另外一个平面平行，则这两个平面平行。图形语符号语言怎么写呢？ a 在阿法内， b 在阿法内，这两个是相交的。那 a 平行于贝塔， b 平行于贝塔，那就可以推出阿法和贝 雷塔是平行的，掌握这个定理，无需私信应对，根据图像看图说话，当然记住他的超经典的返利 这个法律，也就说明这两条直线必须相交，这个是超级重要的条件，不能少。

平面平行利息的平衡方程。各作用线都在同一平面内，且相互平行的利息称为平面平行利息，它是平面任意利息的一种特殊情况， 所有分泌在某一轴上的投影为零。因此平面平行利息的独立方程数目只有两个， 他的主方程也就是 c 个码 fy 等于零， c 个码 mof 等于零。 同样的，根据主方程，我们可以推导出他的二句式， c 个码 m， a， f 等于零， c 个码 mb， f 等于。 但值得注意的是， ab 两点的连线不能与各力平行，否则两个方程彼此不独立。 其实我们在工作当中基本上只会用到他的主方层一例一句这种表达形式。下面我们按照一个实力来讲解一下。 立体五，汽车起重机重 p 一等于二十千扭，重心在 c 点平衡块 b 重 p 二等于二十千扭，尺寸如处所示， 求保证汽车起动机安全工作的最大起调重量 p 三 max 及前后轮间的最小距离 xmin。 对于图中的所示个例都是互相平行的，所以这是一个平面平行利息的平衡状态，我们就可以应用平面平行平衡利息的方程去求解。 图中共有重力 p 一、重力 p 二载合 p 三、反约束力 fd、 反约束力 fe 共计五格力。 保证汽车起重机安全工作需要考虑以下两种平衡状态，一、空载时，起重机不能绕后轮 e 向后翻倒，也就是我这个图所画的这种状态。 此时的平衡状态下，在和 p 三等于零，反约束力 fd 等于零， 只剩下了 p 一、 p 二和 fe 这三个例。 我们将这三个力向一点简化，由于 f e 通过一点，所以他对这一点是没有距的，也可以排除掉，只剩下了这两个力。 p 一、 p 二， 我们看一下， p 一相对于一点，转动方向是逆时针的，所以他是一个正直，他的这一个利弊就等于 x 减去一点五米。 我们看一下 p 二对于一点的转动方向是顺时针的，所以他是一个负值，他的利弊 是两米，所以我们就列出了他的平衡发动式。 p 一乘以括号内 x， m 减一点五，括号减去 p 二乘以二等于零， 我们将已知数字带入，就得到了结果。 xm 等于七十，除以二十等于三点五。 我们再来看一下第二种状态，载重时，起重机不能绕前轮 d 向前翻倒，也就是这个途中所示的这种状态。此时平衡状态 p 三是最大值， r， f e 等于零。 此时利息中剩下了 p 一、 p 二、 p 三和 fd 这四个例，我们向一点 d 去减化。由于 fd 通过举行点 d， 所以他对这一个举行是没有利的。 因此我们将重力 p 一，重力 p 二载合 p 三向地点简化，列出例句。平衡的方程式。 我们看一下 p 三，它相对于地点是逆时针转动的，所以它的值是正值，它的离地是四米。 p 一相对于地点 是顺时针转动的，他的利弊是一点五米。 p 二相对于地点是顺时针转动的，所以他也是一个负值，他的利弊等于 x 加两米。 由此我们列出了他的方程。 p 三 max 乘以四减去 p 一乘以一点五，减去 p 二乘以括号内 x 加二，括号等于零。 我们将以上的数值带入，就得到了 p 三 max 等于一百四，除以四等于三十五。 我们来总结一下平面利息，平面任意利息的平衡方程表达为二零一距， 也就是 x 轴上的合力为零， y 轴上的合力为零，对一点 o 的力距合力为零。 他有两种特殊的情况，第一是平面会焦力细，在这种情况下，所有力会焦于一点， 对于这个硅胶点，所有的力都没有锯，他的这一个平衡方程表示为 x 轴上的合力为零， y 轴上的合力为零，也就是二力状态。另外一种特殊情况是平面平行利息， 这种状态下所有力对某一轴的投影为零，所以他的平衡方程 表达为在外轴上的合力为零，对一点欧的合力距为零，也就是表达成了一例一句这种形式。在平面会交利息的 情况下，还有一种比较特殊的情况存在，也就是三例交汇这种状态。 在三例交汇状态下，我们可以用一个比较简单的公式去求解他，也就是下面这一个公式， f 一除以三，二法等于 f， 二除以三，贝塔等于 f， 三除以三伽马， 这是三例交汇中的一种比值关系，我们可以用这一个简化公式，更加方便快捷的求出这三个例。

面平行面是指平行于某一头影面与其他两个头影面垂直的平面。三、水平面、正平面、侧平面。头影面的平行面有三种，水平面是指平行于 h 面与 v w 面垂直的平面。 正平面是指平行于 v 面与 h w 面垂直的平面。侧平面是指平行于 w 面与 h v 面垂直的平面。 水平面的投影特性一、水平投影反映实行 二正面投影积聚为一直线且平行于 o x 轴。三、侧面投影积聚为一直线 且平行于 o y w 轴 正平面的投影特性一、正面投影反应实行二、水平投影积聚为 e 直线且平行于 o x 轴。三、侧面投影积距为 e 直线且平行于 o c 轴 侧平面的投影特性 一、侧面投影反应实行二正面投影积聚为一直线且平行于 o c 轴。三、水平投影积聚为一直线且平行于 o、 y、 h。 九、 投影面平行面的投影特性一、在所平行的投影面上的投影反映实形二、其他两面投影均积聚成一条直线且平行于相应的投影轴。 四、牵垂面、正垂面、侧垂面投影面。垂直面是指垂直于某一投影面与其他两个投影面倾斜的平面。 牵垂面是指垂直于 h 面与 v w 面倾斜的平面。正垂面是指垂直于 v 面与 h w 面倾斜的平面。侧垂面是指垂直于 w 面与 h v 面 倾斜的平面。千锤面的投影特性一、水平投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，并反映对 v、 w 面的倾角。 batter gamma 二、正面投影和侧面投影均为圆形的类似型且面积缩小。 正锤面的投影特性一、正面投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，并反映对 h w 面的倾角 alpha gamma。 二、水平投影和侧面投影均为圆形的类似型，且面积缩小。侧垂面的投影 特性一、侧面投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，并反映对 h v 面的倾角 alpha bad。 二、正面投影和水平投影均为圆形的类似型，且面积缩小。 可归纳出投影面垂直面的投影特性为，一，在所垂直的投影面上的投影积聚成一条与投影轴倾斜的直线，它与投影轴的夹角分别反映该平面与另外两个投影面的真实倾角。 二、其他两头影面上的投影均为原空间图形的类似型，且面积缩小。 五、一般位置平面是指与三个投影面都倾斜的平面。一般位置平面对三个投影 面都倾斜，所以它的三面投影均为空间图形的类似型，不反映时形，也不反映该平面与三个投影面的倾角 alphabet gamma。 因此，一般位置平面的投影特性为三个投影均为面积缩小的类似形。

立即即可，现在我们看传奇讲的第二十二讲，这讲的内容是立即集合的面面平行面面平行在正面题当中出现，也属于中等难度题，接下来我们来看一下关于面面平行的一些知识点。 首先呢，我们来看一下在空间当中，两个平面有哪些位置关系，如图所示，当这两个平面没有交点的时候，我们发现他们的位置关系很特殊，那什么平行？第二个，两个平面相交，那么相交交点构成的图形必然是一条直线，所以啊，我们就可以总结出两个平面在空间里面要么平行，要么相交，但是除去重合的情况， 那平行该怎么表示呢？阿尔法平行于贝塔，就这样表示公共点的个数。两个平面平行，很显然这两个平面是没有公共点的，那么公共点就为零个。第二种情况，面跟面相交，那就是阿尔法交贝塔于直线 l， 阿尔法交贝塔等于 l， 比如某一条线 l 交阿尔法于点 e， 就是 l， 这种的 l 交 阿尔法等于点 a， 这就是一条线跟一个平面相交，那么他们的公共点有多少个呀？无数多个，无数多个点，他们的交点构成了一条直线，对吧？一条直线上肯定有无数多个点，这个平面是可以无限的延伸的啊，我们只能够用有限的几何图形来表示我们无限大的面，所以这是我们面跟面的位置关系，那么我们重点来看平行。 首先我们还是来看到关于平面与平面平行的判定定点，我们来看一下如果一个平面里面的两条相交直线，注意这里有一个关键词，相交， 不是说任意两条都可以，而是要怎么样相交。一个平面里面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面就平行。那就这样子，假如在平面阿尔法里面有 ab 两条直线， ab 两条直线，而且还要怎么样？还要相交 ab 相交与点 a， 然后 a 跟 b 要同时平行于平面杯塔，那么这个时候我们就能够说明平面阿尔法是平行平面杯塔的。所以啊，那么这一个过程 这样来书写， a b 包含于 r 法 a 交 b 与点 a， 直线 a 交直线 b 与点 a， 然后 a 要平行于平面北塔， b 也要平行于 a 塔，那么这个时候我们就能够推出平面 r 法平行于平面北塔。 那这其实就是什么线面平行来推出我们的面面平行，那么线面平行啊，其实就是我们的线线平行，所以面面平行只需要找几侧两次，什么找两条，也就是找我们的两次线面平行，就可以证明出我们的面面平行了，两次线面平行。 所以啊，这个就是我们的关于线面平行的判定力。那么接下来我们看一下平面平行他有哪些性质， 那我刚刚说了面面平行的判定秘密，那我们再来思考一下，如果两个平面平行的话，那么其中一个平面里面的任何一条直线都平行于另外一个平面，哎，你来看一下，假如我们已经知道了平面阿尔法跟平面北塔是平行的，那么在平面阿尔法里面 任意一条直线跟平面贝塔可不可能有交点？答案是不可能有交点，那既然他跟这个平面贝塔没有交点，那所以是不是就可以推出这一个 直线？ a 是平行于贝塔的，所以如果阿尔法平行于贝塔，阿尔法包 a 包含于平面阿尔法则 a 平行于贝塔，这个就是我们的面面平行，来推出我们的线面平行，有的时候在证明当中也可能遇到，那所以啊，有了这些结论之后，我们接下来在立即当中一起来巩固一下这些知识点， 这种呢，性质二哈，性质二不是我们常考点，可以了解一下，性质是要描述的，如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行 就是阿尔法平面，阿尔法平面背法，然后第三个平面嘎巴跟这两个平面相交的话，他们的交线互相平行，你想啊，这个交线在嘎巴里面，这个交线也在嘎巴里面， a 在嘎巴平面内， b 在嘎巴平面内，那 a 跟 b 又同时又分别在平面阿尔法和平面北塔里面， a 跟 b 不可能相交噻， 所以 a 跟 b 只能是平行的，那么这结论就是阿尔法平行，北塔阿尔法交杯交，伽马与 a， 非塔交伽马与 b， 则 a 平行，那这还是我们的面面平行，推出我们的线线平行用的不是特别的多，在我们单招考上东，那么接下来我们一起来通过例题来对我们的知识点进行一个巩固。看到第一，如果在两个平面内分别有一条直线， 在两个平面内分别条直线啊，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是，所以这道题要读清楚啊，这里是有两个平面的吧，在两个平面内分别有一条直线，就好像你这是两个平面，两个平面里面呢，分别有一条直线，这两条直线关系是互相平行的，让我们来判断这两个平面的位置关系， 那所以我们来思考一下，那根据题干的意思，我们可以做出两个图形的情景。第一个，如果阿尔法跟贝塔是平行的时候， a 在阿尔法里面， b 在贝塔里面， a 跟 b 平行啊，阿尔法跟贝塔是平行，所以第一种关系平行是有可能的。第二，我们来看一下， 当阿尔法跟贝塔相交的时候，你看在阿尔法里面的直线， a 在贝塔平面里面的 b， a 跟 b 也平行啊，但是阿尔法跟贝塔是这样的，是相交的， 由于在我们的空间当中啊，两个平面的位置关系只有可能是我们的平行跟相交，所以啊，这个位置关系一定是平行或者相交，那么不能够判断他只是平行或者相交啊，这是我们的第一，所以答案选择 c 栏， 接下来我们来看一下。第二，如图，在正常题， abc 大 abc 大 a 一 b 一 c 大一当中 m、 e、 f、 n 分别为 a 一 b 一 b 一 c 一 c 一大一大一 a 一的终点。好了，我们看到终点啊，我说了，我们看到终点，我们就要立马想到我们的注入一些，我们在读题的时候啊， 我们看到终点，脑袋里面叫想到中位线，至于用不用的，到我们后面再来接着看就可以了，所以他要让我们证明的是，平面 m an 平行于平面 ef 大 b 面面平行，对吧？那所以面面平行，我们就要去找 好在其中一个平面里面的两条相交直线同时平行于另一个平面，那这个时候我们来思考一下找不找得到 就是。很显然我们思考了之后，哎，如果我连接大一比，如果我连接到大一比之后，很显然 m 是三角形 a 一 b 一大一的中位线 m n 该平行于 b 一大一，同时 e f 又是三角形 b 一 c 一大一的中位线，那 e f 是不是该平行于 b 一大一？所以我们可以得出的是， m n 平行于 e f， 那 m n 平行于 f， 那 m n 该不该平行于平面？ e f 大 b m n 就平于平面。 同时我们又来思考一下，还有没有直线是平行的，还找不找的到直线平行，所以我们已经找到一条了，这个我们来观察一下啊， 这时候 mn 是平行于平面的第一个结合，是吧？我们都知道中位线 mn 平行于大 eb， 然后 e f 又平行于 b 大臂，所以这个时候我们就会推出 m a 是平行于平面一 f 大臂的。所以那么接下来看一下，我们如果再连接， 再连接 m f， 之后再连接 m f， 之后再连接 m f， 连接了 mf， 我们发现啊， a 大是不是平行且等于 m f a 大平行且等于我们的 mf， 那所以啊，四边形 a 大 m f 是我们的平行四边形，是吧？ a 大平行等于 a 大， a 大平行起等于 m f， 所以 a 大 m f 就是我们的平行四边形 am am f 大平四边形，那他是平行四边形，所以我们的 am 是不是平行于大 f 啊？ am 平行于大 f， am 包含于不包含于平面？ b 大 f e 第一个，那就是我们证明出了 am 平行于平面， am 平行于平面 e f w am 平行平面 e f e f 大 b， 是因为 am 平行于大 f， am 平行大 f， 所以 am 平行平面也大 a m 平行大 f， 是因为我们可以证明出 a 大 fm 是平行四边形， a 大平行且等于 mf。 第二个条件， mn 平行于平面 ef 大臂 m n。 脾气里面也发明，这是不是有两条线呀？同时要交代清楚啊， am 和我们的 m a， 他都是包含于平面 m a n 的， 包含于我们的皮面 mn， 而且这两条线是相交直线， am 交 mn 于点。 你看这四个条件， am 平行于 ef 大臂， mn 平行于 ef 大臂 ammn 包含于平面 m a n， 然后 am 交 m 与点 m。 所以有了这四个条件之后，我们才能够推出平面， 才能够推出平面 m a n。 现在我要强调一下，题干当中说的是 m a， 我们叫写成 mm， 不要写成什么 am a， 哈，尽量不要写成这样子，所以我们可以推出平面 m 平行于平面 e f 大臂，就证明出来了。那所以我们发现啊，要证明面面平行，其实就是在线面平行的基础上多挣了一次线面平，是吧？ 所以这道题他的证明过程就是如此。所以我们一定要体现出这四个步骤啊，这四个步骤我们可以写一个这样的步骤，看起来是比较清晰的，一目了然的这种的。第二。

大家好，欢迎大家来到张老师微课堂，今天我们来讲一下平面的基本性质。 首先我们先说一下什么是平面，平面这概念呢，是一个原始概念，是人们在生产生活当中怎么样总结出来的啊？说是平的，无限延展的啊，没有厚度的这么一个啊。数学概念， 那在平面当中呢？我们的基本性质主要是几个公里？首先第一个，我们怎么判断直线在平面上呢？ 我们说如果一条直线上面有两个点在平面内，那么这条直线 就在皮面内。回忆一下，我们生活当中是不是经常要在墙壁上钉那个，呃，一钩是不是钉一排？那个钩子钉一排这样钩子是吧？ 玉石当精彩者，那这个时候你就看我最少要钉几个钉子才够 这两个吧，你如果指定一个钉子，他怎么样？会滑动是不是？哎，最少要钉两个钉子啊，才能把一个平稳的钉在墙壁上，这个就是公里一的 啊，现实当中的生活当中的表示，那功利是我们在生产生活当中总结出来的啊，是一个 普遍的真理，所以公理不能拿来被证明，只能是我们生产生活当中总结出来的，他是普遍的真理啊。所以说不要问我老师说这个怎么证明啊，这没得证明啊， 那这个是公里一，怎么判断？直线在平面内？第二个怎么判断确定一个平面？那公里二 过不在同一直线上的三个点，尤且只有一个平面 啊。这个呢，我们生活当中也很很多这样例子，我们曾经就考过一个考题，说这里有一辆自行车 啊，自行车啊，这可以变自行车，然后呢，自行车如果只有两个轮子，他是没办法站稳的，所以要在后轮这边有一个。什么样叫撑？这是为什么？ 这是有一年的什么呀？学考的这真题啊。那这个什么呀，很明显就是怎么样过不在统一直线上的三个点啊，确定一个平面 啊？鱼食类似。类似的什么呀？还有什么呀？三脚架是不是啊？也是啊，三个脚他才能站稳，这里也是你看两个点，然后再加第三个点才能稳住。 那公里二呢？他有三个推论啊，分别是直线和 直线外一点确定一个平面，那他呢？很明显是由公里二推倒过来的，是吧？不在同一直线上的三个点确定一个平面，那我把其中两个点给他连接起来，是不是就是一条直线加直线外一点 啊，能够确定一个平面呢？那到时候考试他就这样问，你说啊，门啊，我们大家这个门， 门啊，为什么啊？能够用个什么呀？我们这个门锁就能够把门锁住呢 啊？固定住呢，是不是把门关上锁住呢？那这个就是怎么样直线加 直线外一点确定一个平米啊？那同样的，当我们怎么样 把这三个点其中两个连成一个直线，然后呢，再把连另外两个给他连起来，就变成了。什么呀？两条相交直线，所以呢，两条相交直线也确定一个平面， 这个我在我们后面证明面面平行的时候啊，会有用到。那第三个呢？就是什么呀？两条平行直线确定一个平面，是吧？那在这里，在这里，这样子 啊，所以我们说平移四边形是最标准的。什么呀？平面图形，我们平面画平面的时候，餐餐就 用一个什么呀？平化一个平行四边形来简单的表示这个平面，这个平面基本性之二，他的三个推论。 那这个呢？常常会在什么呀？选择题当中会考。大家啊，那最后一个推论呢？是什么呀？是如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他有且只有一条过该点的公共直线。 这个话很长啊，但是呢，老师呢，把它翻译成大家能通能懂得比较通俗的语言啊，这句话很长，他数学的描述非常严密，但是严密有 的时候就不方便我们理解。老师把它换成通俗的话，就是什么呀？就是两个皮面香蕉 啊，两个平面相交，那公共部分是什么？哦？是应该有一个交线，是不是？所以这个公里三就是告诉你两个平面相交啊，公共部分是一条直线，这条直线叫交线， 那这个就公里三。那这三个公里理解以后我们后面去讲 啊，那个线面面面啊，线线位置关系的时候，遇到一些名词解释，大家才会能够理解。