2024东城初三数学一模新定义

我们来看二零二四年北京市东城区中考一模数学试题第二十六题代数综合。在平面直角坐标 cxoy 中， m n 是抛物线上的任意两点，设抛物线的对称轴为直线 x 等于 t， 括一弱点二和一。在该抛物线上 求 t 的值，这是直角坐标系，我们看要求的是什么？求的是 t， 也就是对称轴所在的直线 t 等于什么？负的二 a 分之 b， 我们再看条件是什么？这个点在抛物线上，那就说明这个点 满足该抛物线，所以就把这个点带入到解析式当中，得到四 a 加二， b 加一等于一，所以我们一项就可以得到 四， a 加二， b 等于零，于是我们就可以得到 b 等于负二 a。 由于我们所求的负的二 a 分之 b， 那我们把这个带进去呢？结果化减过后就等于一，所以 对称轴的直线呢，就是 x 等于一， t 就等于一，这是第一位，我们看括号二，当 t 小于等于零时，对于 x 二大于二，都有 y 一小于 y 二，求 x 一的 取值范围。我们这里呢是一个横成立问题，也是对于 x 大于二的时候， y 一小于 y 二横成立。 那我们一起分析一下，我们假定 x 二在这个位置，那么它关于对称轴的对称的位置是不是距离？对称轴是 相等的距离，我们假定它在这个地方，这个怎么表示啊？ 由于它和它的终点是 t， 所以它们两个加起来除以二呢，就等于 t， 也就是它们两个的和等于二 t， 所以这个呢，就是二 t 减 x 二，我们画出它的大致图， 那当 x 取 x 二的时候，这个时候呢，他们两个关于对称轴对称的函数值是相等的，都等于 y 二。 从图像我们可以看出来，要满足 y 一要小于 y 二的话， 那 x 二能不能在这个点的左侧？能不能在这个点的右侧？不行，当他在 这个点的左侧和这个点的右侧的时候，它将会大于 y 二，所以要它小于 y 二横成立。所以呢， x e y 一呢，只能在这个范围内，在这 范围内呢，那就说明我们的 x 一只能在这个范围内，也就是我们得到一个关于他们的不等式，也就是 x 一要大于二 t 减 x 二小于 x r， 我们把这个不等式解出来即可。怎么解啊？我们把它化成一个不等式组，第一个就是左边， 第二个就是 x 一小于 x 二，它们两个组成不等式组，我们来解一下，我们看一式， 我们看这个式子。这个呢，由于我们知道 x 二是大于二的，所以我们先把 x 二呢给分离一下，也就是 二 t 减 x 一小于 x 二，也就是把 x 二呢单独的移到右边。由于他要小于 x 二要横成立，是不是他就要比 x 二的最小还小？ x 二的最小是多少？是二，但是它又不能等于二，所以我们只需要二 t 减 x 一小于等于二即可，它就横成立了。这时我们就消掉了一个 x 二，我们又要利用 t 的取值范围来求的 x 一的取值范围，我们怎么求？我们又把 t 给分离出来，所以二加 x 一是不是就大于等于二 t， 也就是把这个移到右边来，把不等号的方向呢变一下嘛。 那么这个就是二加 x 一大于等于二 t， 那它要大于等于二 t， 也就是二加 x 一大于等于二 t， 横乘力 t 小于等于零，那所以只需要 这一部分比他的最大还大。二 t 是小于等于零的，他的最大值是多少零，所以我们就只需要二加 x 一大于等于零， 我们就解的 x e 就大于等于负二了。我们为什么要这么去解？我们有一个思想，就是我们解不等式也相当于在不断的校园，最后我们把它转化为一个关于我们所要 求的这个 x 一的不等式，就是这个原因。好一个不等式我们解出来了，我们再看解这一个 x 一小于 x 二要横成立，由于 x 二是大于二的，那样它横成立是不是只需要 x 一小于等于二即可？ 所以他们联合起来取公共部分，就是 x 一大于等于负二小于等于正二，我们这就把 x 一的取值范围求出来了，你会了吗？

好的各位同学啊，我们来看一下二零二四年东城区一模的啊，二十六题啊，在平面直角坐标系啊， x o y 中 m x 一 y 一 n x 二， y 二是抛物线， y 等于 a x 平方加 b， x 加一， a 大于零，上面的任意两个点啊，任意两点， 呃，一也扫过去，对吧？又是这种比较大小的题目啊，若点二一在抛物线上面，求 t 的值啊，那我们代入对吧。点二一代入呢，就是一等于四 a 啊，加二 b 加上一个一， 那带进去就是，呃，四 a 加二 b 等于零，对吧？等于零，那去掉一个，呃，那就是二 a 加 b 等于零，所以 b 呢，等于负二 a 啊，那么 t 等于什么呢？ t 是对称轴啊，负二 a 分之 b 啊，所以带进去就是啊，二 a 分之负 b， 那就是二 a 啊，等于一，二等于一，哎，第二问说， t 小于等于零啊， t 小于等于零时， t 小于等于零，是那么对称轴啊，是，呃，在 y 轴的左侧对吧？ t 小于等于零，对于 x 二大于二啊， x 二大于二， x 二大于二，都有外一小于外二啊，都有外一小于外二，呃，都有， 又是这种恒成力问题对吧？都有外一小于外二，那么开口向哪？开口向上对吧？开口向上，那么 x 二等于二十啊， 那我们的 t 是等于啊一对吗？啊，不， t 不是等于一啊。呃， t 小于等于零，那么 y 一小于 y 二，公式啊， y 一小 等于 y 二啊， y 一等于二，那么大家想啊，当 x 二等于二十，或者说当 x 等于二十啊，那就对称一下吧，明白。 呃，你的大于二的时候啊，是 y 二， y 二在哪呢？ y 二就在这个范围之内之上，对吧？之上。呃，这是 y 二啊， 这是 x 二。呃，这边是跟它 x 等于 t 对称的啊， x 等于 t 对称的， y 一呢，一定要小于 y 二，那你的 y 一呢？一定要在这个 x 一 y 一点啊， x 二 y 二点啊， 那说明了 x 二呢，要在 x 一呢，要在哪呢？要在 x 二和它的关于 t 对称的那个地方，我们把它叫做 x 三啊，要在这两个之间，这两个之间，我换个颜色画啊，蓝色的这个， 蓝色的这个部分，那我这样画哎，蓝色的这个部分，那么在两这两个之间啊，所以呢，当 x 二等于对等于，呃， x 二等于二十啊，根据对称性，对吧？我可以根据对称性啊 跟对称性，那么，呃，这个 x 三啊，加上一个 x 二，它俩的平均数呢？等于 t， 对吧？我跟关于你对称啊，那么根据对称性啊，这个时候把 x 三解出来， x 三等于二， t 减去 x 二， 那说明了，因为啊，由于什么呢？由于这个，呃，由于啊，我根据最新啊 x 三 x 三 y 二点啊， x 三 y 二啊，这样的啊， x 三 y 二， 由于什么呢？由于 y 一小于 v 二啊，所以我就一定要有你的 x 一呢？要在 x 三到什么之间呢？ x 三到这个 x 二之间。这里面其实隐含的一个条件， 对称轴是 x 等于 t 的时候， x 三在它的左边啊，在 x 二的左边，所以呢， x 一到 x 三到 x 二之间， x 三是什么呢？二 t 减去 x 二 啊，小于 x 一小于 x 二，对吧？那求 x 一的取值范围。那由于这个，呃，我看看啊， x 二是大于二， x 二大于二，那说明呢？二 t 减去 x 二， t 是小于等于零的，那说明呢？它是严格小于负二的，那么 x 一要小于 x 二啊，要大于二， t 减去 x 二，那说明呢， x 一的范围是在 负二到二之间，那么负二和二能不能取呢？我们只需要轻轻的验证一下。我们发现，当 x 一等于二的时候，二也依然小于 x 二，所以二是能取的。当 x 一等于负二的时候呢，负二是不是依然会小于二， t 减去 x 二啊？呃，会大于它，所以负二也是可以取啊，所以它应该范围就在负二到二之间 啊。这是我们的第一种做法啊。那么这个题呢，各位学我给大家多讲几种做法啊。第二种方法，呃， t 小于等于零时， 对吧？ x 一的范围是什么？ x 二的范围是大于二啊，大于二，然后呢？ y 一小于 y 二， y 小于二，这个时候抛物线啊，呃，你是 y 等于 a， x 平方加 b， x 加一， 哎，过去看。 呃，为什么这个题这么做会呃方便一些呢？其实最大的原因在于啊， t 小于等于零，对吧？ t 小于等于零啊。呃，最大的在于，这个里面的参数太多了。 ab， 我们不需要 ab， 因为这个题第二问跟 ab 关关联没有太大的关系啊， 那我其实只需要 a 大于零，开口向上，对吧？开口向上，我可以选择我这对称性啊，我根据对称性。那么离对称轴越近的点啊，离对称轴越近的点干什么？是不是离这个啊，就越小，对吧？ x e 离对称轴更近， 离 t 更近，对吧？那就 x 一到 t 的范围，距离 x 一减去 t 的绝对值小于 x 二减去 t 的绝对值。那我们有了这个不等式之后，我给它平放一下 x 一的平方减去二倍的 t x 一，这样一个 t 方小于 x 二的平方减去 去二 t x 二加上一个 t 方，然后把 t 方去掉，那么挪到一边来动啊， x 一减去 x 二的平方减去二 t x 一加上二 t x 二小于零，所以前面两个是 x 一减去 x 二，乘上 x 一加上 x 二， 提一个二 t 出来，变成 x 一减去 x 二啊，小于零，所以什么呢？ x 一减去 x 二， 括减 i 啊。剩下一个 x 一加上 x 二，减去一个二 t 啊，一个二 t， 那 x 一和 x 二啊，呃，那你的范围对吧？第一个，你需要比较这两个的范围啊，这，这，这叫小于零，对吧？小于零 啊，小于零。那么小于零，那我们来看看啊。第一个啊，呃，你的 x 一和啊 x 二是什么关系？首先，如果 x 一还比 x 二大了啊，你由于对称轴是小于零的，由于你的对称轴是小于零的， x 对称轴在它的左侧， 所以是不是一人可面可以看出来， x 一必然小于 x 二，那 x 一减去 x 二呢，就小于零啊，那说明呢？你让这个式子小于零，说明呢？ x 一加上 x 二减二， t 呢要大于零啊，大于零，那这是第一个成立，第一个式子就成立了，对吧？啊，这是这两个式子要同时成立啊， 我是小丽，那我要求的是谁的范围呢？求的是 x 一的范围，所以第一个啊，求的是 x 二的范围啊，我看一眼啊，就是范围啊，求 x 一的范围， x 二是大于二的，那第一个呢？是 x 一小于 x 二啊。第二个范围是什么呢？ x 一要 大于二， t 减去 x 二，所以构图看到了吗？其实写到这的时候，大家就直接可以写答案，为什么？因为其实我们刚刚上一步写，写出来这个式子是不是跟他是一样的呀？二 t 减去 x 二小于 x 一小于 x 二啊，所以也可以做出来不二小于等于 t 小于等于二。 后面的，呃，负二小于等于 x 一啊，小于等于小于等于 x 一小于等于二啊，这个内容是后面的步骤就一样了啊，后面的步骤一样，所以，呃，我们通通过两种解法，对吧？可以去啊，同样把这个题做出来，大家可以看到第一种做法是什么呢？我就根据对置信， 哎，第二种做法呢？我通过简单的计算啊，我就用开口向上，我离对阵容越近，那对阵越近，那就是绝对值吗？对吧？绝对值表示去解决对值方程啊。那么经常有 同学问我，这一步是什么？这一步就是平方啊，平方，因为很简单，因为 a 小于 b 啊，你 a 方减去 b 方， a a 方一定小于 b 方啊， ok， 呃，哎，绝对值啊，绝对值，这个你需要是证的啊，你需要是证的两个证数啊，可以可以，这么做比较，因为它是绝对值啊， okay， 所以，呃，这个题讲到这儿啊，这个都有啊，很成立问题，呃，是一个今年常考的类型。

我们来看二零二四年北京市东城区中考一模数学试题第二十七题几何综合。在 rt 三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于 ac， 这个三角形是等腰直角三角形，点 d、 e 是 b、 c 边上的点 d、 e 等于二分之一 b、 c 连接 a、 d 过 d 做 a、 d 的垂线，过 e 做 b、 c 的垂线， 两回线交于点 f 连接 a、 f 交 b、 c 于点 g。 括号一、如图，当点 d 和点 b 重合的时候， 直接写出 d、 a、 f 和 b、 a、 c 的数量关系， 就是这个角和 b、 a、 c 的数量关系，这个直接就能看出来，当他重合的时候，这个三角形也是等腰直角三角形，所以这个角四十五度就等于角 b、 a、 c 的二分之一。有同学就会有疑问， 这么简单的题为什么要出？实际上他是为我们后面奠定 一个数量的基础，也就是说，你在解决后面问题的时候，要关注到角 d、 a、 f， 它是等于二分之一倍的角 b、 a、 c 的括号二， 如图，当点 d 和与点 b 不重合，点 d 在点 e 的左侧的时候补全图形。好，我们来补全一下。图形连接 a、 d 过点 d 做 a、 d 的垂线，过点 e 做 b、 c 的垂线，两垂线交于点 f， 连接 a、 f 交 b、 c 于 g， 图形我们就不全了。 我们看第二问，角 d、 a、 f 和 b、 a、 c 在一当中的数量关系成立吗？如果成立，请证明不成立，请说明理由。也就是说，我们刚才的数量关系是 d、 a、 f 等于角 b、 a、 c 的一半二分之一倍的它，那也就是说这个角 d、 a、 f 是一个 四十五度的角 a、 d 和 d、 f 垂直，也就是说三角形 a、 d、 f 也是一个等腰直角三角形，我们怎么证明呢？我们过点 a 做 b、 c 的垂线， 垂足尾 p， 我们就构造一对，使得 a、 d 和 d、 f 他们所在的三角形全等。我们来证明一下，三角形 a、 d、 p 和三角形 d、 f、 e 是否全等？ 因为我们做垂线了过后， d、 e 和 a、 p 都等于二分之一 b、 c， 因为 a、 p 嘛，它是等于直角三角形斜边中线，所以它等于斜边一半。 这个第一呢，是已知条件，等于二分之一 bc， 所以这两个直角三角形一边相等，还有一个直角，这也直角，这两个角加起来九十度，他们两个加起来也九十度，所以 同角的与角相等，所以这两个角就相等了。这两个三角形呢，就全等了。全等了过后，我们就可以得到 这里的 a、 d 等于 d、 f， 所以这个叫 d， a、 f 仍然等于四十五度，也就是他仍然等于 二分之一倍的角 d、 a、 c。 那这个又为我们的第三问奠定什么样的证明基础呢？我们再来看一看， 在二的条件下，直接用等式表示 b、 d、 d、 g、 c、 g 的数量关系， b、 d、 d、 g 击碎他们在同一条直线上，要找出他们的数量关系，我们怎么处理？有同学看起来相等吗？是这样吗？不一定。所以呢，我们看上一问括号二对，我们有什么样的 提示呢？我们想要找出这三条线段的数量关系， 我们就来看一看 b、 d、 d、 g、 c、 g 他们是否能够转化到同一个三角形或者是直角三角形当中去。我们转化一下， 由于三角形 a、 b、 c 它是一个等腰直角三角形，而我们要转化的过程当中呢，需要哪些几何变换？平移、对称旋转？而此题 这个 a、 b 等于 a、 c， 给我们的旋转创造了条件，所以也就是我们把 a、 b 旋转到了 a、 c 这个位置，那么同时 a、 d 呢，也跟着旋转九十度，再连接 c， 这时我们就可以证明 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 h 全等，这个全等呢有什么作用啊？第一，我们把 b、 d 转化到了这个位置，我们把这个 角 b 转化到这个位置，由于角 b 等于四十五度，角 a、 c、 b 也等于四十五度，所以我们又得到了一个直角，也就是 s、 c、 g 是一个直角，我们要考察的这个数量关系，这个 c、 g 呢，在这个位置， 如果我们在连接 g、 h 的话，那如果 g、 h 等于 d、 g 的话，这个三角形的三边就是 d、 d， c、 g 和 d、 g 围成的一个直角三角形，那么他们就存在一个勾股关系。现在的问题是， 那么到底第一季和 g、 h 相等吗？好，我们一起来成品一下，我们在这里写的是主要的步骤，详细的步骤呢，你们自己去写一下，这个是我们做图的过程， 这两个三角形全等， a、 c、 h 全等于三角形 a、 d、 b， 于是呢我们就有 h、 c 就等于 b、 d 了，那这个三角形 a、 c、 h 和 b、 a、 d 都等于四十五度，所以 h、 c、 g 呢，就是一个直角三角形，那此时的 h、 c 就等于 b、 d， 我们的 c、 g 呢，就是在这个位置不动我们的 d、 g， 它和 h、 g 如果相等的话，他们三个关系就明确了。刚才括号二的时候，我们证明了 a、 d、 p 和 d、 e、 f 是全等的， 也就是说这个 a， d 和 d， f 相等，也就是这个角 d， a， f 呢，就等于四十五度， 也就是说这两个角加起来也等于四十五度。由于它是旋转过去的，所以我们就可以得到 g， g， a， 所以这两个角呢，都等于四十五度。又由于这两边相等，再加上公共边，所以这两 点的三角形就全等了。他们全等了过后，就有 d， g 等于 s， g， 所以我们把 b， d， d， g， c， g 都分别转化给了三角形 c， h， c， g 这一个三角形的三边，所以它们三边就存在一个勾股关系，也就是 d， g 的平方等于 b， d 的平方加 c， g 的平方，你会了吗？