2026山东数学中考 几何综合

预测一下今年的数学的命题方向，以及我们容易踩到坑，那么结合近几年的命题规律，帮大家做一个精准的预判，尤其是拆解一下最后压轴题，二十五题动点题的考法，以及那些我们特别容易丢分的丢分陷阱，大家有用的话可以点个赞收藏一下，咱直接进入正题， 这个三道压轴题，以及二十二题，二十三题这两道特殊的丢分题，大家一定要注意，今天我们就做精准的预测动点压轴题全卷的最难关卡。 首先说大家对半处的二十五题作为压轴大题，预测今年仍然会延续。几何图形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢？一般是做围绕着矩形的运动的核心风格，大概率双动点问题，那么背景呢，一般是做围绕着矩形的折叠展开， 那么考法一般是三问，具体第一问一般是比较基础，那么给平行或者垂直的条件，让大家求一下终点的时间， t 的 时间。那么第一个考点一定是非常简单的一个小知识点，如果你做错了，觉得挺难的，请马上调整方向， 他一定是考一个点。第二要求函数的关系表示是一般考面底，面底呢就是求高坐高，勇敢的去坐高，把高一坐问题，一般这个栏路虎就搞定了。 那么第三位一般是特殊图形的存在性，那么也可能是特殊的存在性，比如说平行了，搅拌线了，中垂线了，那么这是特殊时刻，那一般结合着折叠旋转来做，那么这里边有三个特别容易踩的坑，一定要记牢。 第一， t 的 定义， t 的 定义值领域，很多同学上来就练方程，他一般要忽略动点的运动范围，那么点 p 和点 q 是 不是无限运动，那么到终点是回反还是 前进还是停止？那么定义域一旦错了，各位，这个问题就白搭了，没法分类，而且呢会多解少解，一定会出问题。第二个是 分类讨论存在性的问题，直角三角形，两条三角形是吧？三三两两相等，这一定要全面，不要漏解。各位， 咱呢，这个坐标的表达有错误，用 t 表示线段时，特别是要注意涉及到翻折符号，很容易搞反，所以他建议一下，不管题目多么简单，都要用勾股定律或者相似来验证一遍，相互验证一下。 好，各位，我们再看一下这个第二十五题的一个进阶，那比如说是对值和模型的一个缩减，那么除了存在性的问题，第二十五题的第三外，还特别喜欢考对值，比如说对小值最短路径， 我们要立刻联想到两个模型，第一是将军野马模型，两点一线的最短路径，找对天点，各位垂直截取相等。第二呢就是胡不归模型， 那么如果出现系数的线段，譬如说是 pa 等于 pa 加上零点五 pb， 那 么基本上就是互补位的问题啊， 把系数转正转化为正中选值构造，这个直角就可以解决。各位好，另外如果动点在圆弧上运动，那么就是引圆问题。各位，这个省考一般喜欢这门考题，但是我们听到考的少，那么看到定弦定角，立刻想到圆， 对直往往出现在直径或者特殊的位置上。各位，这个一般的命题方向有要求，命题的标准也有要求。再看一下第三部分，我们讲一下这个选填题的压轴题，一般第十题了或者十五题了，那么这压轴题细节决定成败。 那么谈完了这个大题，选填题的压轴题还有两座小山。第九题啊压轴题，我们第十五题填空的压轴题，这两道题一样是九分的重灾区，那么如果是有难度或者是特别费时间怎么办？ 那么今天这个考核的方向，第九题，各位，选择压轴题，极大概率还是要考二次函数图像与系数 abc 的 关系， 那么题目一定会给一堆式子，譬如说是二 a 加 b 大 于零了，什么 a 加 c 小 于零了，什么 a b c 大 于零小于零了。各位应对技巧呢？各位，别硬算，看开口方向，对称轴的位置与 y 轴的交点叫注意哈，注意， 那么各位，我们解析关键的要式就是对称轴打开二次函数的要上，大家注意。第十五题前空一压轴题，我们听到卷，咱们一般考的是几何多解问题，给一个放大正方形或者三角形的一个图，判断四到五个小问号，各位 在各位，大家要避坑别硬推，用特殊指法或者极限思想，那么脑子里一定要有一个运动的图像，不要每一个题都要去解， 特别要注意前边的结论，一定是后边的条件要特别，如果你没有方向，如果是三到五四分钟没有方向，把这个题做一个标记，有可能这个题冷如虎，不要破坏了我们答题的情绪，要注意有做趋势，尤其是对一些 中考生或者是偏僻的学生一定要注意趋势，各位，那么还有一部分就是中档题的隐形限定，除了三道压轴题，那么一般是第二十二题，二十三题这两个中档题也隐藏着暗雷，那么第二十二题一般要注意这面的取之范围。利润问题里， 涨价不能让售价为负，销量不能为负，那么要注意这些生活的常识决定了这个取之范围定义的范围， 那么再看这个二十三题，几何证明的计算，那么重点关注浮线的添加，尤其要注重圆的综合题，今年要注意圆的综合题，我估计今年圆会出大题。各位天象堂判境经理，那么连半径什么隐藏的，这个纯境经理要注意啊各位， 那么再就是里边相关的，求这个是吧，求这个不规则图形的面积，为什么他不规则是因为他有弧，把这个圆的弧归水管的问题找出来就没有问题啊。各位好，各位，给大家三个考场的实景建立，讲多大家也听不明白，听不也记不住。第一个，时间分配， 前边的三道题，如果是你觉得特别费你的时间，那么这个地方要果断去设，做好标记，好，做好标记， 那么要注意这个该拿的分一定要拿到，这个不入分解析技巧，现在批卷阅卷跟以前不一样，以前是看答案，答案不对的话基本上要崩盘，要揪好多分，现在不了，现在是不不得分，要注意啊各位， 那么这重点题也是严格的按步骤来统分，要注意这个步骤的区分性。第三呢，心态要调整，各位，那么遇见一些新定义的题，那也不要慌，比如说是一些不大会的题也不要慌，那么题目长不代表难，审题的难度你得要有耐心读完你一定会做。 各位，今天的干货就到这里，大家记一下，这个口诀讲太多了各位，重点要看范围存在性要分类，填空要种，结果计算呢，要细心。好各位，大家要避开陷阱，拿下高分。好，加油！

来，朋友们给大家录制一下高新区二模的一个几何压轴题， 其中我们着重讲解第三问一，二问就简单对一下答案。我们第一问的答案是， c、 f 等于二百的 d、 j 所形成的角度数呢？是六十度。第二问，大小是否发生变化？不变化， c、 f 仍然是等于二百的 d、 j 加角仍为六十度。 好，我们来进入到第三问，他说如图三，当矩形 a， b， c， d 子边 a 得等于 ab 时，这句话翻译过来什么意思呢？是一个正方形点，一为直线， c， d 上溢于 dc 上一点， 他竟然说直线，那你看一下这个位置是 e 是 位于线段，所以说我们可能会发现 e 是 在两个位置， e 在 线段 c 的 上或延长线上，以 a 为边，在 a， e 的 右侧做正方形 a， e， f， g， h 为正方形 a， e、 f、 c 的 对称中心 连接得 h， 若 a 得的值是等于四，得 e 的 值是等于二，求得 h 的 求长度。好，我们来看一下这个题， 这地方既然我们知道它是一个正方形的特性体，在什么位置呢？正方形的特性，只要一连对角线，他们就会出现什么等腰值。你比如说我连一条 bc 的是一个等腰值，我再连接 a、 c 的， 那也说这个题目当中出现了四个等腰值。而且我还知道这地方是一个垂直，这每个角度都是四十五度，只要正方形的独特性。 好，我们来看一下他让我进行求解一下。 d、 h， d、 h 长度很显然是不能直接求的，他肯定是要利用到三角形的相似那，而且这道题特殊点告诉我了一个，他是正方形连接这条线连接 ac h。 好， 那老师连这条线你发现什么东西？我发现两个三角形的 相似。老师，你为什么能这么快？反是因为我是从正方形的独特性的角度进入手。那老师，这地方为什么是相似？首先来就是 ac 比上 ad 等于对二， h 间作为这个正方形的对角线的一个交点。那我就可以知道一个问题，就是说 a， e 等于二。 好，它是等于一个 a， e 比上 a， 这两边乘比例。那老师这个夹角相等怎么进正？这是一个角一， 这是一个角二，这是一个角三。我知道角一加角二，是不是这个地方是一个四十五度角三加角二， 这个地方是不是仍然也是四十五度？这就我给大家说的正方形的独特性。所以说我就可以推出角一实际上是等于角三，而两边成比例且夹角相等，实际上我是可以证明两三角形的相，三角形 a 是 相似于三角形 a 的。 由相似。我发现一个问题，所谓的求 d h， 那 我就发现了什么 c， e 比上 d h 的 比值，它实际上是 a， c 比 a 的 比值是跟二， 因此我求得 h 的 长度，我只需要去把 c 的 长度搞定就 ok 了。但是我们来看一下 c 的 长度等什么东西呢？ 而 c 的 长度好像是等什么？是等一个 c 的 长度减得 e 的 长度， c 的 长度知道吗？知道， a 的 长度是四，它是什么图形？正方形 a 的 等于 c 的， 所以说它是等于一个 c， d 减 d 减得 e 就等一个四减二这样。所以 d h 它是不是等于一个二分之勾？两倍的 c 就 等于二分之根二乘以二等于。这种情况下，实际上我是在解的是什么？在线段 c 的 上，那我现在思考一个问题，除了在线段 c 的 上，它能不能在 c 的 延长线上？也能，那它的图应该长什么样？我们随便画一下，我现在用黑笔念过来，随便找一点，比如说这个地方是一个 e， 好，我们来进行画，首先是以 a、 e 为直角边做的什么？做的是一个正方形，我们画一个正方形，这点是一个 h， 好， 这么多，我发现一个问题，我去连接什么？连接 a c 和 h， 好， 那这种，那我们来看一下 能不能得到一个三角形呢？然也是可以的，我可以得到三角形 a， c， e 是 相似于三角形什么呢？ a 的， 为什么 我们也可以看？首先我发现第一个问题，就是 a c 比上 a 的 还是这样，它是等什么东西？它是等一个 a e， b， a， 这样，好，这个角度是四十五度，这个角度是一个角，一，对不对？我们再来这个角度也是四十五度，对不对啊？ 此时我会发现一个神奇的东西，角 c、 a、 e， 它是等于什么角的 a， 因为它们都是等于四十五度，加同样一个角， 两边乘比例，且加个相等。所以说我们可以推出两个什么三角形是相似于三角形 a 的 a， 那 相似完之后，还是仍然按照之前那 c 比上的 h， 他实际上是等一个 a， 比上什么东西啊？比上一个对不对？好，来看啊？那此时我知道 a c 比上一个 a 的 值，他实际上是等一个， 那这样的情况下，还仍然推出来一个问题的 h 实际上是等于什么？二，那 c 的， 我们知道 c 的 值是几啊？是四得一的值是几啊？二，所以说我会发现它是等于一个 c 的 加的 e， 所以是等一个 c， e 乘以一个二分之二。答案是，所以为 或好。那么来看一下这整篇题干里面它是有什么需要我们总结的点，或有需要我们进行获得启发的点吗？如果说它这个题目一旦告诉我们是一个正方形，我脑投了什么东西啊？投的是 对角线，因为正方形的独特性体现在哪？体现在他一连对角线，他就会出现什么指连着一个对角线，一个等腰指啪，一连角的就四个，然后再加上大的是不是就好几个？所以说这才是正方形的一个独特线，拜拜。

好了，我们今天来看一看刚刚考完新鲜热乎还烫手的阆山卷， 阆山的二模呢，这个比罗庄要简单很多，这套试卷呢，不难，非常的不难，而且呢，与一模相比的话也比较简单，是吧，那么我们来看看这这些题吧，我们来看到底多难呢？到底多简单呢？ 呃，第一个选 c 也没毛病，第二个选 b， 第三个在第一象限，是吧？这里边平均数，你自己慢慢好算好了，这个是七七七，我记得这个呢，根号五一加根号五，所以呢，第五题选 a， 第六题，平行，这个角是三十度，那么这个角就是一百五十度，那这里边九十六十，所以是十五，这个是四十五吗？ 第七题，第七题，稍微有点难度，其其，第七题呢？你看不出来也不要紧，这个题呢，以前经常做这个，用的是相似三角形 a h e a h e 与谁呢？与三角形最大的这个 abc 啊，他说了这个是十二，这个是八，那我们舍 d k， 我 们舍它的边长啊，边长是 x， 好 了，那么这个就是 x， 对 不对？那这节也是 x， 那 这个也是 x， 所以呢， ak 的 长度是八减 x， 所以 我们利用它的里边的高的比值，也就是 ak 比上谁呢？两个的高就等于两个底边，是吧，那也就是 e h 比上谁呢？ bc 是 吧？那么所以在这里边 ak， ak 是 多少呢？是八减 x 是 吧？ ad 呢？是，是十八，那这个 e h 呢？ x， 这个呢？是十二， 所以呢，我们算出来这个 x 呢？长度啊，是四点八啊，这个八十啊，我们是四点八， 为了好算，那么在这里第第八题啊，第八题，这个题啊，这个题呢，你让这虽然表面上它是一个圆，但实际上它是一个正多边形的题，他也给八年级同学做，也能做的出来这个题， 那这个题呢？这里边每一个一二三四五六七八，这每一个小三角形都是全等的， 对不对？那我们就设好了，我们设每个小三角形的边长是根号二，哎，不是，是 x， 是 a 吧？是 a， 那 这个就是 a， 那 这个呢？就是根号二 a， 所以 我们就知道了，它的边长啊，它的边长是多少呢？是二加 二加根号二 a， 这个边长是二加根号二 a， 哎，而在这里边，他说半径为二，半径为二的话，那这节是二， 是吧？那这节是二，那所以呢，这个正方形的边长应该是两倍的根号二，也就是两倍的根号二，所以呢， a 就 等于二加根号二，那两倍的根号二分母油理化，那也就是底下是二，上面是二倍的根号二，乘以二减根号二，对不对？二二没有了，那就是两倍的根号二减二。 所以我们知道了 a 这玩意是两倍的根号二减二。他说阴影部分的面积，阴影这里边有四个， 每一个的小面积呢，是二分之一 a 方，这四个呢，是多少呢？是两倍的 a 方，那也就是两倍的乘以根号二，两倍的根号二减二的平方。所以呢，你最终结果这个题选 a， 具体的计算过程咱就不说了啊。 第九题呢？第九题，这个题啊，咱们用的最特殊的这个图，长得也很像，因为他，他说了不论如何变化点 c 始终在这上面，我们就让他最特殊的一点，我们就让这个 y， 我 们就令 ab， 他 就等于 y 等于负 x， 这个 ab 这条线呢，我们就让这个角是四十五度好了，那 y 等于负 x， 我 们把 y 等于负 x 带进去，得到什么呢？这节的长度啊，是这个点， a 是 根号三， 这节呢，也是根号三，根号三，根号三的话，所以我们得到了，哎，这个是根号六，那就是说他的边这个是根号六，对不对？然后呢，我们连接这个 是吧？连接这个有根据三线合一啊，乱七八糟的，那这个就是根号十八，也就是三倍的根号二，对不对？而这两个是垂直的，那这个角也是四十五度啊， 对不对？那么这个就是三，这个就是三，对不对？一？一根号二， 所以呢，这个的是九啊，对不对？三乘以三得九，这个的 k 是 九，第十题，第十题呢，他是一个，前三个是九，是七年级的题，七年级现在正在学不等式吗？ 第四问呢，它是已知函数的题，也是八年级的题，所以这个题呢，就非常的综合，没有涉及到真正初三的知识啊。咱们来先看第一个，像这种题目，在九在七年级的做的过程当中呢，我们一般采取两种方式，要么相加，要么相减，要么消餐。 然后呢，我们来看，他说当 k 等于一的时候，这个的解，我们先把这个，我们先把消餐了，呃，把餐消掉的话，消餐。 这个一呢，我们乘以三，对不对？得到三 x 加六 y 等于三 k 啊，三 x 加六 y 等于三 k 与底下这个二啊一相减，那就得到什么呢？ x 加几呢？ x 加二 y， 呃，加三 y， x 加三 y 等于一啊，对不对？消残了。 x 加三， y 等于一，这个 k 里边呢？ k 等于一的时候呢？ x 加二 y， 我 们也可以得到了， x 加二， y 也等于一， 所以在这里边啊，那我们可以得到 x 等于 y 等于零，对不对？这是第一步，消餐，你也可以直接上来，咱直接上来相减，对不对？要么相加，要么相减，我们直接二减 一，直接二减一，得到 x 加 y 等于多少呢？二 k 减一，是不是当 k 等于一的时候， x 加 y 也等于一，然后呢， x 加二， y 也等于一，所以呢，第一个是正确的。第二个， 存在实数是 x 加 y 等于零，我们算出来第一问相减，算出来， x 加 y 等于二， k 减一，二 k 减一等于零的时候， k 等于二分之一啊，所以第二个是正确的。 第三个，他说不论 k 取什么和值， x 加三 y 的 值始终不变。那我们刚才消餐了呀，消餐得到的是什么呢？ x 加三 y 永远等于一， k 与 k 的 取值无关，所以 正确。第四个，如果把方程组的每一个组的解，那我们经过了这个消参以后啊，我们得到这么一个式子，得到的是三。 x 加 y 等于一，那就是 y 等于 三分，负的三分之一， x 加上三分之一，我们把它写成一次函数的形式，这条函数呢，是往下走，往上平移的，是这样一条线，经过的是一、二、四项线，所以他已不可能落在第三项线。 所以呢，这个题选 dog， 那 第十题选 dog， 所以 选择题里边没有真正的难题啊，我觉得可能是第九题。第九题要要要，想不着利用特殊的点的做法，是不是因为这是一道选择题，我没有必要非得硬算， 那么这个题里边那肯定是假命题，填空题里边假命题，因为 c 可以 等于零吗？若 a 等于 b， 两边同时除以 c。 第十二题呢，要注意，这个题我们在做题练习的时候，肯定应该做吐了，是吧？ x 大 于负，三一定要有个，且 x 不 等于三，一定加上一个，且。 第十三题，十三题，他说 a、 d、 c， 那 我们就找一个角，和 a、 d、 c 相同，这是一个圆嘛？圆上呢？你看 a、 c 有 一个，是吧？ 这个是阿尔法的话，那这个也是阿尔法呀，对不对？所以呢？ tan t 角 a、 d、 c 啊，实际上也就是 tan t 的 谁呢？角 abc， 所以呢是二比一，这个不用多说了。第十四题，做圆，做圆，各种做，各种做，那我们通过这个呢，我们可以得到，哎，这个是五，这个是五， 这个是六，那我们各种做了以后呢？哎，这个也是五，是吧？在里边做了一个，哎，这个也是五，对不对？这个也是五，那么我们根据三线合一做点 d， 有 一个 f 吧，有一个 f， 那 么我们经过这个呢，我们可以得到，是吧？可以 得到，在这里边，那这个就是三，那这个就是四，是吧？三四五嘛，而这节的，而 a、 e 呢，等于五，所以这个是二二四，根号二十，也就是两倍的根号五， 是吧？是一二根号五的那个特殊三角形。第十五题，这个比较绕啊，但是我们可以猜，但是你大部分呢，你猜的话，也基本上猜到五十、六十上，我们来看这个题啊，这个题我们仔细观察，前三个我们观察了，哎，这个好像错了两个，他错了两个， 这个呢？错三个，这个错三个，我们观察了一下，乙和丙同学得到了分数是一样的，他们两个的分数是一样的，并且呢，他们这两个他的解是一样的，所以我们可以初步断定，这两个应该他们都做对了。哎，我们又一看呢，哎，这个，这个 不一样，其余的都一样，其余都有一个一样的，是吧？这俩一样，其余都有一样的，都有一样的。你看这俩，这俩，这俩，这俩都有一样的，只有这两个不同，那么我们就可以确定了，这两个题他做对了，而他做错了， 是吧？我们把它擦掉，我们重新捋。那所以呢，我们就可以断定了，第一题的第第二题的答案是差好， 第五题的答案也是差好。哎，是对号，是吧？因为他做对了，而这个，这个假同学呀，刚好错了，这两个刚好得了六十分，一共他错两个，所以其余的他全对啊，所以真正的正确答案是应该是这样， 这样差差差，对对，差，对差。我们来比较一下，底下这个和他有什么不同，这个错了，是吧？啊，上面都一样，这个一样，这个一样，这个一样。哎，这个也错了，这个一样，所以他错了两个，所以 他只能得六十分，是吧？第十五题，第十六题呢，就是答案吗？第十六题呢，根号三减两倍的根号三，也就是根号三减二。 这一个呢，我们经过化简，上面是什么呢？上面是二 a 减 a， a 加二 b， 底下是 a 加二 b 的 方，所以呢，最终结果是 a 加二 b 分 之一，那就是根号二分之一，所以最终结果是二分之根号二。 第十七题啊，这个尺规做图反啊。像这种大考，我觉得应该没有人不带圆规尺子吧？那，但是我没有圆规尺子，我就简单的一画，假设这里有个弧，然后呢，我可以先把这个画出来，然后在上面假装我有圆规尺子， 是吧？你比如说在这个里边，哎，我再画一个弧，画了 c、 d 的， 然后呢，我假装上面我自己也画了一个弧， 反正就这意思，有这四个弧，有这六个弧基本上就对了。那么这个点就是 e， 是 吧？连接 a e， 它让我们确定一下，它让我们确定一下 a， b， c， e 是 菱形。那么这个题本里边呢，有两有两个方法去做啊。 第一个方法呢，我们可以令这个什么呢？我们法一正全等，万能全等法算不出来就正全等全等，这个方法很 low， 但是很好用，它就是最不起眼的，我们吃饭里边那个大馒头，它不好吃，但是呢挺管饱，我们令这个啊，令 a、 c 与 b e 交于 o， 对 吧？由三线合一，这里边是不是有三线合一？因为角平行是吧？三角形呢？是等边三角形，三角合一的话，那么点 o 我 们就可以知道了， o a 等于 o c， 是 吧？ o a 等于 o c， 然后呢，我们就可以再通过平行呢？因为啊， ab 平行于 c e， 或者说乱七八糟的，不用平行也行，这个角是六十度，这个角是六十度，我们可以正得三角形 a、 o、 b 全等于三角形 c、 o、 e， 那 么所以我们可以得到 ab 平行且等于 c e， ab 平行且等于 c e， 又因为 ab 等于 bc， 那 么这个就是不就平行四边形，所以平行四边形，所以菱形。 那么我们来看第二个方法啊，第二个方法，第二个方法呢？我不想是政权等，那咱怎么办呢？我们利用什么呢？在我在这里边标上几个角啊，角一、角二和角三。因为在学菱形的时候，我们知道菱形的性质里边有一条是对角线互相 垂直且平分一组对角，但是在判定里边就没有这个判定里边只是说了对角线互相垂直的平行四边形，但是他没有说对角线平分一组对角的平行四边形。 我们通常利用的是什么呢？利用的是平行加平分的三等角。那么在这里边，既然平行，既然角一等于角二，然后呢， ab 又平行于 c e， 为啥呢？因为这个是六十度，这个是六十度，我就不写了。所以呢，我们可以得到角一等于角二等于角三，角二等于角三等角对等边。所以呢， bc 等于 c e， 对 不对？ bc 等于 c e 的 话，那所以 ab 平行且等于 c e， 那 也就是平行四边形，再加上一组邻边相等，所以呢？菱形。那这个题呢，你看，一点不难，这是一组邻边相等，所以呢？菱形。那这个题呢，你看，一点不难。这是八年级上册的八年级下册的一个小破题。 第十八题，这个题第一问。那第一问比较简单，因为这里边呢，他告诉我们了，这两个是平行的。因为呀， e f 平行于 c b， e f 平行于 c b c， 所以呢，角 c 等于角 a， e g 等于三十五度， 对不对？这个等于三十五度。那么他又说了，在这里边，这个 ef 是 十二点 g 呢，是他的对称轴，所以呢，因为 ef 等于十二点 g 对 称轴。所以呢， eg 等于多少呢？ eg 等于六，是不是六？那么根据，根据那个那个那个什么，所以呢，这个 a g 的 长度啊，就等于 ten 三十五度 乘以 e g 也就是多少呢？六乘以七啊，四点二，这个是四点二啊， 那么在这里，这是第一问出来了，然后第二问呢？第二问，我们先讲再说啊，先讲我们在这里做一个 e、 m、 f、 g、 h 都有了， h 也行， m 也可以，我们做 e、 h 了以后呢， 垂直于，那我们这很明显是一个矩形，对不对？所以呢，我们舍啊，先做垂直 啊，舍， e h 等于 g， b 等于 x， 那 么这个是 x 对 不对？这个是 x， 所以呢，我们就知道了， d h 等于谁呢？等于 x 除以 ten 啊，五十五度，是吧？ ten 五十五度， 然后呢，这个 c h 等于什么呢？ c h 等于 x 除以啊， tenent 三十五度， 所以呢，我们就得到了 x， tenent 三十五减去 x 除以 tenent 五十五等于零点等于八，是吧？那这个题里边这个做法，这是答案里边的给给的做法啊， 这个呢，那就是零点七， x 减去一点四，哎，分之 x 等于八，等号两边同时乘以零点四，那就是同时乘以零点一点四二， x 减 x 等于十一点四，十一点二，所以最终结果呢，就是十一点二加上四点二，约等于十五点二， 十五点四。但是我对这个题啊，有点，这个题我觉得是允许存在误差的，那为什么要存在误差呢？ 那么我们来看看这个题，我们可以通过这个，我们可以通过另外一种解法，因为这个角是三十五度，那么我觉得这个 d h 呢，是不是应该写成零点七 x， 对 不对？那根据这个的话，那么 c h 呢？那也就是一点四 x 在 这里边， 是不是？这是一点四，这是零点七，那么这个是八，那么这样做法的话，他就有点误差了，那为啥呢？零点八加上八，加上零点七， x 就 等于一点四 x， 这样做的话，他的答案呢？不大一样， 是吧？那么另外一个做法呢？又是什么呢？那又是另外一个，我们用这个零点八，我们不用一点四，我们仍然是 x 除以 零点七， x 加八还等于零点七，这样做的话又是另外一个答案，每一个答案呢都误差在零点一零点二左右上，所以这个题我觉得是 你只要会这个方法，我觉得最后这个答案到底是十十一点十一点二啊？还是十一整啊？还是十一点零几啊？十点几啊？这个东西我觉得误差在一点一二方面。监考老师一看到你这个的做法，你会这个题的话，我觉得问题应该不大，顶多给你扣个一分吧， 有答案用的是这种方法啊。好，我们来看第十九题，十九题的话，这个，这个直接，直接什么吧？说的快一点。那么所选题目，所选题目的总数量我们来看，概率是，概率是八，占了百分之二十，所以有四十个人，八除以百分之二十嘛？ 那 m 呢？数与代数有多少？十六个人，百分之二十，那四对不对？那就四十人，十六个人，是吧？十六除以四十吗？对吧？百分之四十。 第二个补全图和昨天罗庄那个不一样，昨天罗庄那个是是是，黢黑的，是黢黑一片，要涂阴影部分，在这个图形与几何占百分之三十，那就是多少呢？三四一十二 是吧？点点点点点点，虚线部分是吧？我画的太矮了，中间是空白的就行。最后一个呢，四道题目当中有三道题目与函数相关，一道题目与圆相关，那随机抽取两道题目进行研讨，那这个题呢，那 我们的第一第一道题取函数的和第一道题取圆的，如果第一道题取函数，那么 那么 h， 那 第一道题第二道题有可能是 h， 第二道题呢，这样的是吧？ 那这个呢也是 h h y， 那 这个呢也是 h h y， 那 如果第一道题取了圆的，第二道题你只能取函数题了，所以在这里边呢，我发现两个 h 的 二 h 的 有几个呢？一二三四五六，一共十二种啊，等于二分之一，所以它概率是二分之一。 第二十题，二十题，这个呀，我们看了一下，每过零点五都多了一点二， 每过一的时候呢，多了四点二点四，所以呢，这个是三点六，我们也可以看出来，甚至我们也看出来 s 一 等于多少呢？等于二点四 t， 是 吧？它是一个正比例函数。第二个呢，正比例函数的二点四 t 一 的时候是二点四，二点四大约在这个位置， 五的时候呢是五，五的时候呢是是十二，等于在这个我们连 啊，这样没毛病，是吧？然后呢，我们再来看看看这个下一个，下一个的时候呢，零点五的时候，零点五一的时候呢是二点零，我们找出来啊，一点五的时候呢是四点五， 这是一个平滑的曲线，对不对？二点二的时候呢是八，二点五的时候是十二点五，这是一个平滑的 曲线，是不是啊？很明显，这是一个正正比例函数，并且经过原点我们一眼也能看出来， s 二等于二 x 方，二 t 方啊，二 t 方 那么差好相等，那么就解出来就好了，二 t 方等于二点四 t， 是 吧？这个解出来呢？一点二，我记得应该是一点二， 那么第二个就比较抽象了，第二个呢，虽然他说了两种的总面积是四点二，那么每件的编织的面积是多少？问的是每件编织的面积是多少？每件的编编织的面积是，这个是个 s 呀， s 是 一个函数，我们要一般的，我们要舍自变量啊，所以呢，我们舍， 我们舍舍小原则的话，我们舍这个角的角边链，舍角边链的时间是 t 或者舍为 x 吧，舍为 x， 那 么平边的呢，就是 x 加二， 对不对？所以呢，我们就知道了， s 一 加 s 二，那就是每件每件平边是多少呢？是二点四乘以 x 加二，再乘以多少件呢？二百件加上呢？每个角边呢是二 x 平方乘以多少件呢？一百件，它的面积呢？是四二零零。这个题 你解的话，我们先把这个零划掉，那就是四点八 x 加九点六 加二， x 平方等于这这这这这这个四十二，对不对？然后呢，我们再等上两遍，同时除以二，同时除以二的话，那就是 x 平方加二点四 x， 这个过来是三十二点四， 对不对？三十二点四，再除以二的话是十六点二，对不对？十六点二，那么我们在配方 x 加一点二的平方， 对吧？等于多少呢？等号两边同时加上一点四四，一点四四十七点六，四十七点六四呢？应该我们像这种做法，我们可以测试的， 也就是这个，很明显是四点几，他是某个数的平方，是四点几的平方，那我们可以算这个，后边这个四点八的话，都接近五了，肯定不行，我觉得应该是四点二的平方，因为二二得四，这个四的平方里面只有二和八，最后末尾是四，反正要么是四点八，要么是四点二。我们试了一下，四点二， 所以呢， x 加一点二等于四点二，舍负了，所以 x， 我 们舍得解得 x 等于三。既然 x 等于三的话，所以每个角边啊，每个角边的面积呢？那么也就是平边吧，平边是二点四乘以 啊，三加二， x 加二等于十二平方分米，每个角边的是二 t 二 x 平方，也就是十八， 对不对？所以你自己写答就好了，这个题呢，也不难，也就是解方程的意思，那这个题要扣的话啊，扣点分吧。第二十一题，这种题啊， 这种定区间啊，动轴啊，这种定区间或者动区间，动轴的这种，哎，在这个里边，它不是动轴，它是定轴，动区间定轴，是吧？我们通过这个呢，我们可以硬算的话，我们算得这个 a， x 减一的平方减四，所以呢，我们就知道了， a， 这个是一负四， 是吧？点 a 的 如果交于点 a， 那 就是点 a 的 x 与 y 等于零的时候是多少啊？零的时候是 a 减四，这个是送的， 第一问是送的，第二问，如果三多少，零也在里边，求 a 的 坐标，那么解出来呢？三零在里边，我们把 a 等于三带进去，我们解得 a 等于一，所以呢，这个解去式是 y 等于 x， 平方减 二， x 减三，你也可以写成 x 平方， x 减一的平方减四这两种写法啊，因为这种写法呢，因为在后面的时候好算，对不对？ 所以呢，我们来看了这个题呢，我们要分情况讨论，因为它是一个定轴动区间，我们知道它是开口向上的，并且是这样的，是不是？哎，我画的这样一点，这个是对称轴， 这个是对称轴，有最小值，最小值是几呢？最小值我们知道是负四，那么第一种情况， 第一种写在哪里呢？写在这里吧。第一种情况，当这个区间，当这个 m 和 m 减二这条线段都在这里的时候，这个长度是二吗？对不对？ m 减二， m， 那 么最大值是什么呢？当 m 小 于一的时候，小于对称轴一的时候呢？此时啊， y m 减 y 的 最大值，实际上是 m 减二， 对不对？ y 的 最大值是 m 减二，也就是我们可以把它带到后边，这个比较简单， m 减二，再减一的平方减四，我们甚至可以把它算出来是 m 的 平方减六， m 加九，减四，加五， 是不是？那么 y 的 最小值是多少呢？最小值我们也可以把它算出来，最小值是在这里， m 的 时候，也就是 m 减一的平方减四，也就是 m 平方减二， m 啊，加三减三，是吧？减三， 对吧？那么此时最大值和最小值，我们把它相减，这个写不开了，在这吧，所以呢， m 平方减六， m 加五，减去括号里， m 平方减二， m 加减三，等于多少呢？最大值最小值二 m 等于二 m， 那 么我们给它算出来以后啊， m 等于多少呢？ m 等于三分之四，三分之四，但是它这个条件呢，是 m 减一，所以呢，不满足这个写不写的吧，直接舍也行，你可也可以写。不满足啊，不满足 m 小 于一，舍去。那第二种情况，第二种情况，我把这个这个擦了， 我们再便于理解。第二种情况呢，这条线段稍微向右平移一点，这条线段稍微向右这么一点点，但是这条线的中间啊，也就是 m 减一，也是第二种。第第二种情况，当 m 减一小于一，那在一的左边，但是呢，最右边这个 m 呀，还大于一的时候，也就是即 m 大 于一小于二的时候，我们再给他 加上点等号，等号，等号，因为无所谓了，是吧？等号给谁无所谓了，都写在中间吧。这种情况下，最大值是什么呢？ y 的 最大值仍然是这个，因为它离得远，仍然是 m 减二的时候， y 的 最大值仍然是 m 平方减六， m 加五，也就是 m 减二的时候，而此时的 y 的 最小值是多少呢？最小值是负四啊， 所以呢，这个题，一减，他们两个一相减等于二， m 你 自己减，减出来了， m 等于多少呢？减出来 m 等于四，加减根号七。 但是呢，由于 m 在 一和二之间呢，所以呢， m 就 等于四减根号七，因为我们知道根号其实二点几，四减二点几呢？是一点几，这个是合理的，是符合条件的。那第三种情况， 第三种情况，这条小线段又往右跑了。我们来看啊，这个题 又往右跑了，它的中间，这个是 m 减一，跑到了右边去，也就是第三种情况， m 减一大于一了，但是呢， m 减二还小于一，这个是最左边， m 减二还小于一啊，在这个区间里边，也就是 m 大 于二，小于三的时候， 最大值是谁呢？最大值 y 的 最大值就是 y， x 就 也就是谁呢？ x 等于 m 的 时候，也就是 x 等于 m 时，等于多少呢？ m 的 平方减四， m 减三减二， m 减三， 对吧？他的最小值呢？仍然是四，再减去四啊，减去负四等于二， m 你 自己算，这个里边算出来是什么？第三种情况算出来呢？我们经过配方法算出来以后呢？ m 等于二加减根号三， 二加减根号三，但是呢，我们来看的话，二加根号三是几呢？二加根号三大于三了，二减根号三呢？也小于二了，所以他们两个都不在这区间里，他们两个都要舍弃。那最后一种情况就是彻底这两这个小线段 啊，这个小线段太猖狂了，他跑了，跑到，跑到，跑到彻底跑到这边来了，也就是什么呢？第四种情况， m 减二，彻底大于一， 是不是啊？彻底大于一，那这个我们再等于三吧，等这个这个也行，那就是当 m 大 于一，也就是 m 大 于三的时候，我们这个等号给了中间。第三种情况啊，那么此时的情况最大值是谁呢？最大值就是这里， 是吧？也就是 m 的 时候，最小值是什么呢？最小值是 m 减二的时候，那么就反过来了， y， x 减去 y， 最小值就等于什么呢？就等于 m 平方减二， m 减三，就是 m 的 时候减去 m 的 平方。我们在前面已经写了，减六， x 减六， m 加五 啊，这个你把它算出来，这个算出来呢比较简单，这个因为 m 方 m 方都没有了解得 m 等于四， m 等于四，确实符合大于三，满足大于三，所以综上所述， m 等于四，或前面的那个四，四减根号七，我记得是四减根号七， 是吧？这个题呢？啊？第三问，第三问，有些同，对有些同学来说，你该放弃就放弃，咱不不要了，咱不要了啊。 然后呢，我们来看最这个圆的，这个还不算最后一题了，圆。第一问，第一问，这个呢，和昨天罗庄差不多，昨天罗庄给的条件是，这个是阿尔法， 呃，哎，不对，这个是阿尔法，这个是两倍，但是没有告诉我们垂直，需要我们正垂直，但是今天这个既然让我们正两倍，那不太简单了，有三种作，有太多这种做法了。第一种做法，因为这个垂直啊，那么连接 c e 的 话，咱们连接 c e 的 话， a c 就 等于 c e， 所以呢，这个阿尔法呀，阿尔法呀。二阿尔法，对不对？圆心角，圆周角嘛，这是第一种做法。第二种做法呢，你如果把这个忘了，说我忘了他们角之间的关系，我忘了怎么办呢？那你就同角的与角相等， 那你有同角的与角相等，是吧？这个是阿尔法，那这个是九十减阿尔法，那这个也是阿尔法，因为这个是垂直的，这个你总知道吧？这个是垂直，那这个就是二阿尔法，对不对？这个是二，因为是吧，等边对对对，乱七八糟的是吧？甚至啊，不，甚至了，就这样吧。 第二问，第二问呢？这个题相当的复杂，写的过程，写的这个表面看上去很简单，但是需要我们写很多个步骤，我们挨个来算，连接 d e 以后呢？很明显我们可以得到这个是垂直的，对不对？他说了 cos c a e 角 c a e， 我 们知道，那也就是这个角，也就是 c， a e 等于 cos， 我 不想写了，这个 咱们直接写，也就是谁呢？ d f 比上 d e 等于根号六，比三，而 d e 是 谁呢？ d e 是 四倍的根号六， 是不是啊？四倍的根号六，所以我们就可以得到 d f 等于八。另外一个，因为这个也是垂直角， e 也是 c e， d 也是垂直的，那么 d e 比上 d c 也等于三比根号六， 是吧？那么 d e 呢？跑到上面了，四倍的根号六，所以呢，我们又可以得到 d c 等于十二，那么我们就可以知道直径是十二，所以 o a 等于六， o f 等于二，甚至 ab 也等于十二， 对不对？我们再由勾股定律，由勾股定律算出来， a f 等于多少呢？ a 这个是二，这个是六，那这个就是四倍的根号二，是吧？ a f 等于四倍的根号二，所以呢，我们通过三角函数也行，通过相似也行， 那么我们就知道了，在这个里边，是吧？在这个里边呢，我们可以得到啊， ten ten 角 oaf 等于什么呢？ o f 比上四倍的根号二， af 等于 二，比四倍的根号二，对不对？那也就等于谁呢？那也是 b g 比上 ab 也等于 二，比上四倍的根号二，也就是啊， x b g 比上十二，是吧？你经过计算以后呢，我们可以得到 b g 等于三倍的根号二啊， b g 是 三倍的根号二。 这个题啊，你也可以用相似来解决，是吧？ a o f 与 abg 相似都可以，那最后一个，最后一个，实际上这个题呢，还给简化了， 以前的时候呢，在外地有一个题，这个题原题啊，他是有第四问的，那个第四问相当的复杂，还好还好啊，如果出了第四问的话，你就干瞪眼了， 那么第第一个呢？那这个他说了 ab 等于两倍的根号，这个是，这个是一一，那这个是根号二啊，是不是？所以呢，他试着根号二比一，那肯定是黄金比例的，对不对？ 那么第下一个它旋转了以后呢，刚好落在这上边，那我们知道这节是一，这节是根号二，这个又是垂直，那这个肯定是一啊，是吧？那所以呢，这个度数是四十五度线段 c、 n 撇的长度呢？那这节又是根号二，所以是根号二减一。前几位都是送的，我们来看最后一位， 最后一问答案当中给了两种方法，但是我们呢，平常都做的啊，我们一般都是以不变应万变。像这种题目在八年级的时候应该有一个印象，源自于什么呢？源自于， 呃，三垂直里边的婆罗婆婆怎么写？婆罗魔 极多，陀螺膜极多。这个你可以在网上搜一下这个模型，这个模型的原理是什么呢？原理就是假如说这个我们不知道它终点，我们要求正它的终点的话，我们都是向过这两个点，向这里边做垂直 啊， a， b， c， d， e， e， 用了 f 和 g 好 不好？那么在这里边的话，我们可以证得两个三角形全等，哪两个呢？三角形 c、 n、 f 全等于三角形 c 撇， c 撇， n 撇啊， g， 那么这两个三角形为什么全等呢？我们来看呢啊，首先垂直有了，垂直稳了，对不对？而且呢，这个等于这个有一条，有一条边也有了，我们再找一个角， 这个角一加上这个角二，它们两个是互余的，这个角三和这个角四也是互余的，对不对？角二又等于角三，因为等边嘛，对不对？等幺三也行，所以呢，角一等于角四，那么这个三角形是全等的对不对？也就是 a a s 是全等的，既然全等了以后，所以我们可以得到 n f 就 等于 n 撇 g， 对 吧？我们进而可以求得这两个三角形全等， 是吧？垂直，垂直对顶角，那么这个题就可以了呀。所以呢，总的来说的话，这套试卷并没有我们想象的那么难，也没有罗张卷那么难，那唯一可以扣分的就是一些计算量，那计算量的话，你如果写着写着你不敢往下写了，是吧？像这个你不敢往下写了，那没办法 是吧？像这个要分情况讨论，哪怕你分析分析出来几类，是吧？也也扣的分也不多。我觉得这道题的话，一百分以上就应该比较容易一些啊，比比罗庄要好，一百分以上，一百一以上都比较好，是吧？九十多分，好吧，到这啊。

今天我们学习的是几何变换之对称。今天讲平移对称吗？我们再讲一讲对称的处理。对称怎么玩呢？首先你要知道，我们刚才已经讲了，对称它本质上是给了全等 a、 b、 c。 关于 a、 c 对 称到 a、 b 撇 c 对 称的本质上是给了全等，那么全等，但凡看到全等一定要同步信息。 所以但凡看到对称，我要做的第一件事就是同步信息，比如说这有三，这也有三，这个 r 发角，这个 r 发角，这个求线段 x， 它也是 x， 这是对称的第一步，任何时候看到对称，你就要去同步信息，好，这是第一步啊。好，来。第二， b 和 b 撇是关于 a、 c 对 称的， 那么我连接 b、 b 撇对称点的连线是被折痕垂直平分的啊，是被对称成垂直平分的，所以我连对应点就可以得垂直平分，所以我应该连对应点。 b 和 b 撇是对应的，可以得垂直平分。这个对应点还有什么连法呢？我还可以 对称轴上的点，我去连 p b 和 p b 撇，它也都会相等，得到更多的等线等角，所以这就是连对应点，要么直接连得垂直平分，要么对称轴上的点去连对应点，这是对称的第二个操作连对应点。所以呢，以后啊，但凡看到对称两个字， 第一无脑的去同步信息，第二连对应点。好吧，第一无脑同步信息，第二连对应点。好，来，我们来看题感觉一下吧，看题感觉一下，那么同步信息一定要做好。什么？一定要做好标啊，你相等的量，你要把它标出来，好吧，首先要标啊， 他说这是四，这是六，那标一下对边嘛，这也是四嘛，这也是四。好，再来，沿着 a、 c 去折叠，沿着 a、 c 去折叠，那你要知道这个六，你看一，但凡看到折叠两个字，先同步，但凡看到折叠，养成习惯先同步，同步的动作就是标。信息嘛， 就标嘛，这条线段是六啊，那这条线段它也是六，这条线段是四啊，那这条线段它也是四。同时你会发现，这个角得到这个角，这个角贝塔翻折，得到这个角，贝塔同时不要忘了平四，一定要去标对面啊，这个角也是贝塔，对吧？然后呢，还有什么？ 还有他又说 b、 a、 c 等于两倍的角 d、 a、 c， 那 所以这个角是二。 r 法啊，这是 r 法，那这也是 r 法，就是你看，标完了以后，就是这个已知条件已经极度丰富了，标是你开始思考的前提。那么标完了以后呢？那你会发现我首先就看到什么呀？标完以后，那么 这个三角形就和这个三角形相似来，阿尔法角等于阿尔法角，贝塔角等于贝塔角，那么这个相似就可以帮助我们求得谁啊？由三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 d、 c， 我 就可以求得谁啊？ b、 e 就 出来了，它就是 ab 比上一个 a、 d 就 等于 b、 e 比上一个 d、 c， 对 吧？ ab 比 a、 d 就 等于 b、 e 比 d、 c。 好， 那接下来 ab 是 多少？ ab 是 四，比 a、 d 是 六，就等于 b、 e x 比上一个四，所以 x 就 等于多少。六分之十六就等于三分之八，所以 b、 e 就是 我们要求的，所以答案就是三分之八。结束。所以你会发现啊，这道题只要你把这个翻折的条件无脑的给它标全，然后呢，你要求 b、 e， 你 要求的这个线段往三角形里一放，你自己就看出来了，所以翻折同步信息标是多么的重要。 好了，这是我们通过一道题给大家强调一下标的意义来，接下来我们来还是上一道综合一点的题目， 那这个题说啥呢？说这是一个六十度的菱形，六十度的菱形，这都是二，这都是二，然后他把这个三角形翻折，得到这个三角形，哎，把这个三角形翻折，得到这个三角形。 a 落在 e， 刚好是 dc 的 终点，那这两条线都是一了， 对吧？这两条相同，都是一。好了，最后让我们求这个角阿尔法的正切值，那其实也就是求这个角阿尔法的正切值，因为翻折这两个角相等。我们刚才说了，翻折有两件事要干，第一叫同步信息，这里的同步信息，比如说这个六十度，这个六十度，这个阿尔法，这个阿尔法，然后呢， af 和 ef 相等， a、 g 和 g、 e 相等，对吧？这叫同步信息一、同步。二、同步信息完了以后，你会发现有一个最大的问题，现在这个阿尔法角不在什么三角形里，他不在直角三角形里，那这个时候我怎么样才能把这个阿尔法角放进直角三角形？最简单直接的方法就是连 a e， 我 一连 a e， 这就垂直平分，这是中点，这两条线段相等，就得到了直角阿尔法，就进到了直角三角形中，所以一定要连对应点，你看，这就是翻折的基本功。 当你看到了翻折，看到了这样的角度，你想把它放进直角三角形连对应点，那接下来我就是要求嘛，对不对？那我要求，我就比如说我就在这个三角形内，我就是要求这些线段长嘛？要求线段长 有一个很重要的条件，咱得把它用起来，哪个条件就是这个终点，这个终点大家会想到怎么用？结合六十度，你要想好六十度的菱形， 六十度的菱形它本质上是由两个什么三角形拼出来的，两个等边好不好？六十度的菱形，本质上你把 d、 b 一 连，它是两个等边三角形，对不对？好，相当于其实我是给了一个等边三角形的终点，我应该去干什么？ 三线合一嘛，对吧？三线合一嘛，所以我一定是连谁，一定是连 b 一， 连 b 一 就会三线合一，你会发现这个九十度，哎，那对面注意啊，平四一定要注意，不要，对面这个是九十度，那么这个也九十度，这两个角都是九十度， 同时这个是一，这是二，那这条线段就是根号三。好，那么现在我再回顾一下，我们要求什么呢？我要求这个角的正切值，我把它放到这个三角形里看，所以其实我是要求什么呢？其实我是要求 a、 h 和 h、 f 的， 而一旦我现在有了，这是根号三了，那么哪条线段其实已经可以求了？ a e 已经可以求了， a、 e 是 不可以放到这个大三角形中看，这是九十度，这是根号三，这是二，那么 a e 是 根号期， a e 是 根号期，那么 a h 就是 二分之根号期， 所以 ah 有 了，我现在只需要求 hf， 或者我求 af 都可以，那么 hf 和 af 我 可以求谁呢？ af 可以 求，为什么说 af 可以 求？因为 af 翻折得到 afe。 那 我只要设这条线段是 x 等量嘛，你就设嘛这条线段也是 x， 那 么 x 就 可以放进哪个三角形里去求了。因为这全长是二，那么这一段就是二减 x， 那 么这个三角形当中，咱就可以放进哪个三角形里去求 x 了。 就是 rt 三角形 b f e 中，我就可以勾股定截，就是 x 的 平方，就等于二减 x 的 平方，再加根号三的平方，那么 a f 就 出来了，这是硬算的办法。但是这道题其实还有巧算的办法，巧算怎么算呢？你看， 我们求一个求阿尔法的三角函数值，我们说求三角函数值，你可以硬算，也可以怎么样，也可以想办法看一看能不能换角来求，就是换一个更好的角度，去求它更好的位置的角度。 怎么换呢？这里面你观察一下，什么角特别多，直角特别多，这是九十度，这是九十度，这是九十度。这么多的九十度，那么直角多，我就可以看。什么 直角多，我就可以看互余吗？你看，又来了，你看同样的逻辑是不可以用在无数的地方，直角多，我就可以看互余。直角多看互余。怎么看呢？你看这个角是阿尔法，这是九十度，他的余角是贝塔， 对不对？再因为这个是九十度，那么这个角是贝塔，就会导致贝塔的余角是阿尔法，他跟谁互余？放到这个三角形当中， 它和这个角是互余的，所以这个角就是 r 法，这叫换角。我通过导互余，我把这个 r 法就换过来了，我求它的正切值就好了， 而它的正切值是多少，就是二比根号三，所以贪婪它 r 法就等于对边比邻边就等于二比根号三，所以答案就是三分之二倍根号三。结束。首先我给你讲第一种硬算的方法你是一定要会的， 而第二种方法你也不要觉得那么厉害多少。第二种方法最核心的就是你理解了很多底层的逻辑，当你看到很多九十度的时候，三个九十度的时候，你能够从之前学的知识当中迁移过来 很多垂直我就看乎于得等角，你把这个底层逻辑掌握清楚了，他不但可以帮助你解决三角函数，他甚至还可以在这帮助你求三角函数，这就是底层逻辑理解以后的价值， 而不是你背一个什么矩形十字架，几 b 几。你看，通过两道题，马哥都是有一些设计在里面的啊，这道题重点跟你讲什么？就是这道题重点就跟你讲同步， 你翻折叫同步信息，你同步信息，然后你把它标好了，这道题就结束了。这是比较简单基础的翻折问题，但是比较上难度的翻折问题，就需要你主动的去 连对应。通过两道题给你感受一下什么叫同步信息，什么叫连对应，现在对，这就是翻折的基本操作，而翻折是中考最最最最最最常考的几何压轴题，都快没有之一了好吧。而这两个操作是翻折的为二的两个操作，这个不光是做多， 关键是你在意什么，如果你学每个模型的时候，你都是在意它的结论，你做的再多也没有用， 如果你在意的是底层逻辑，你才能很好的去成长。所以千万不要觉得我刷很多题我是不是就能成长？不是这样的，很多小伙伴刷再多题都没有用，因为他在意的东西不对，就是关键你在意什么？ 你在意的东西错了一定是事倍功半。马哥是不是在反复在让你去感受为什么要重底层逻辑，为什么要重推导？为什么不要去在意结论？

中考数学如果想从一百三一百四的几何综合题的二次相似，一定要给他搞定，那各位可以先关注蔡老师，点赞收藏转发给自己孩子看一下。我来看下这一个， 这一个是一个典型的一个二次相似模型，那我们如何快速的在题目中找到二次相似呢？找两个对应角相等，一定要快速找出来哦！那这边有一个 emc 题目以及条件哦。我就简单列过 这三角形，这对应的角跟这对应角相等，这边呢，这两个角相等，所以这三角形跟这会相似哦。我相似笔给它写出来，然后下一步要快速写什么？把这些对应的线段快速写出来， m e 比上这个 n b 快 速写出来哦！等于 m c 等于这个 n c 等于 e c 比 b c 快速给它写出来，短时间内给它写出来，一定要列出来，三个都要写出来。题目可能只用到两个，可能三个都用到，所以一定要三个全部写出来，如果只用到两个，我们再给它打叉其中一个就可以了。 再来呢，还有一组就是这边这个这角相等，这个跟这角相等，所以这个大的钝角三角形跟这钝角三角形也相似。我们把它对应的一个线段 a m 比上 e n 快速写出来，同样的 a c 呢？比上 e c 再来呢？ m c 比上 n c， 哎，这两组我们再找一下他们之间有什么关联，你们我们很容易的就看到这个 m c 比上 n c， 这边也是什么 m c 比上 n c， 看到没有，哎，就给它关联起来了，所以这样子的话，解析思路快速就能搞定了。这次解二次项是一种非常好用的方法，当然这种题型，这道题目它是没有辅助线，来，我们来看下这种，那这种题型呢， 它这边可以快速的看到这个直角三角形一种模型，这里面有三组相似，这个大的， 这个小一点的，还有这个小的，好，这三个分别对应相似，对吧？三个三角形对应相似，然后呢，我们还少一个怎么办呢？哎，这边这一条是吧？这三角形你要想一下，这边可以辅助线做上来， 这边要做一条辅助线上来，是吧？那这时候呢？这个三角形跟这会怎么样？跟这会相似，那一次我们就两组相似，这边呢？ 这边有一组相似哦，有两组，对吧？然后相似笔给它列出来，这边相似也笔也列出来，再去找那些对应的关系，快速找到突破口哦。再来，比如说，哎，像这个，这是一次相似，这比较简单，这一个当然有些孩子也会卡住，我们这边要怎么做呢？这边做垂直， 这边也做垂直，这两个三角形也会相似啊，这两个三角形会相似，再比如说这一个，这个相对来说会比较复杂哦，这个题目我就不展开说了， 这边是做这一条下来，这边做下去，那很明显我们可以看到这个直角三角形跟这个肯定会相似，没错吧？ 然后呢？反过来呢？呃，说错了，这一个跟这个会相似啊，是这边还有呢，这一个直角三角形大的跟这个也会相似哦，两组相似，但是这个辅助线不好做，这道题目很很不好。想到这一点， 那更多大泉州小学、初中、高中升学之际，中考志愿填报，高考志愿填报，记得关注蔡老师！

如图，在 r t 三角形 a、 b、 c 当中，角 a、 c b 等于一个九十度，然后 a c 等于一角 a、 b、 c 等于一个三十度，是为了告诉你这个边是不等于根号三，这个边是不等于二，对吧？这个三十度我就先不标了啊，先标了 一比根号，三比二 o 为这个内部的一个点啊。连接了一下，现在我们已知这三个角都等于一百二十度角 a o， c， c o b 以及 b o a 啊，这三个角现在都等于八，那说明这个 o 点是不是已经是费麻点了啊？那现在要求我们的 o a 加 o b 加 o c 的 值为多少？ 那其实也就是那个最小值呗，对吧？这次他是换了个方式告诉你，他说我们这三个角已经等于一百二十度了啊，则点 o a 加 o b 加 o c 的 值是最小的，他现在非要一直求出来， 也说还一样，你画个等边，一连就完事。那现在的问题是，这次你打算以什么为边来构造等边呢？ 我觉得要是我，我就会以 a b， 因为你在这有个三十度，你构造个等边一个六十度，你明白正好出来了一个九十度吗？一会呢，我们就直接用勾股定律就解决了啊。所以这一次我们应该以 a、 b、 e 为边啊， 向他的右上方构造一个等边三角形，是吧？然后呢？然后那是个 m， 我 连接一下 c m， 呦，他还真画的准，他那个 o 点还就在我们这条线上， 那说明他这个一百二十度是精确作图法画的是吧？这个点我们啊，设为 m 的 话，我们最后这个的值是不就是我们 c m 的 长 o a， 换个 x 吧， 噔噔噔，写在这边吧，那边太挤，我们的 o a 加上 o b 加上一个 o c 的 值，它应该等于我们的 c m， 是 吧？等于我们这个 c m， 那 下边我还说了，这个地方就是一个勾股钉里就结束了的，原因是我们知道这个角是个三十度， 这个角是个六十度，所以我们的 b m 是 垂直于 bc 的， 那我们 c m 直接放到这个直角三角形是不好算，所以我选择的是以 ab 为边来构造一个等边三角形。那这个值大家就自己来呗。啊？它等于多少了呢？ 好的，给大家来一个互动体，这个应该是我们界里边最简单的一个啊，走着 就一个勾股定律啊。嗯， 好，来准备倒计时啊，三二一结束做的啊，差不多吧，这个勾定理应该其实一秒就算了，有两个直角边我们都知道， 对吧？这个是根号三，这个是不是个二，对吧？那我们的 c m， 它就应该等于一个根号下啊， 根号三的平方加上一个二的平方，根号三的平方是个三，二的平方是个四啊，三加四是不等于七，所以此时我们这个值，它就应该等于个根号七了。又。

二零二六中考数学，想再提个三四十分的，这期视频请你务必看完。老师花三个月的时间梳理了全国各地过往五年的中考真题，总结出了以下七大必考题型，绝大概率就会出现在你今年的中考试卷上。 弹幕里打出你想冲刺的高中学校，我们直接开始先来看我们的第一个题型，关于科学计数法，这个在我们中考里面几乎是必考题型哈，比如说这道题，让我们把这个数据用科学计数法来进行表示。 对于这个题型呢，咱们比较容易出错的点呢，就是这个零数，不清楚他到底有多少个零，比如说他后面又加了一个 e， 那 他那他到底是多少呢？对不对？ 这里给大家教一个小方法哈，就是我们可以把这个亿，咱们可以先写出来，我们先写一下一亿是多少，我们把这个数据可以看成五六一零零零，然后再乘个一亿，那一亿的话我们来写哈，那就是 个十百千万，十万百万千万亿，你看我们这样写出来就不会出错了哈， 然后我们继续给他合并到一块，那直接把这个叉号和这个一消掉吗？你看直接对应的，这是我们最终得到的那个结果，然后我们现在想知道他用科学计数法来进行表示的话，那我们就从末尾，然后往前移， 这里是你看哈，一二三四五六七八九十十一，十二十三，他是不是需要往前挪十三位呢？所以就是五点六一乘十的十三次方，最终结果是什么？大家可以在弹幕里打一下，很明显就是我们的四 d 选项了呗，对不对？ 大家需要注意的哈，就容易出错的点呢，就在于他后面有多少个零，大家要要知道怎么去数哈。然后再往下看，再来看我们的第二题，他说为了打造清洁能源示范城市，某地投入资金用于安装充电桩，已知第一年投入资金是一千两百万， 预计第三年投入的资金是两千七百万，设第二，第三，这两年投入资金的年利率为 x， 那这个不就是典型的增长率问题吗？对吧？增长率问题，然后问我们可以列出的方程是什么？对于增长率问题的话，其实咱们对应的解析思路非常简单，你看就是如果 a 是 出矢量的话，那就是 a 乘个一加 x 括起来的 n 次方等于 b 嘛， 然后这个 n 的 话就是它增长了几次，然后这个 b 的 话就是它增长后的，然后这个 x 的 话就是它的增长率嘛。我们直接套这个公式就行了呀，对不对？现在呢，它告诉我们第三年 最终得到的是二七零零万元，那对应的那前面刚开始是啥呢？刚开始是幺二零零呀，对吧？幺二零零在乘括号里面，一加 x 括起来的 n 次方，现在增长了几次呢？从第一年到第二年，从第二年到第三年，很明显增长了两次呀，所以说这里是一加 x 括起来的平方， 那对应的就是我们的 a 选项了呀，对不对？大家看一下自己能不能做对，所以说大家会发现你看很多题型背后都是有对应的解析思路的，比如说增长率问题，咱们常见的就是用这个公式来进行求解哈，像我们这期视频呢，给大家讲的基本上都是中档题哈，因为你把基础题和中档题都能做对，以后， 即使你就能拿到百分之八十的分数了。比如说满分是一百二的话，即使你拿个九十多分是完全没有问题的哈，所以说大家一定要重视我们的基础题和中档题。 ok， 跟着老师再往下看，再来看我们的第三个题型，关于图像和实际问题。对于这种问题，咱们对应的解析思路非常简单，就是直接去看图像，把这个图像给他读出来。 看图像的时候，关键看什么呢？关键我们要去看拐点，拐点处是很重要的，比如说这道题，我们来看一下，他说小明家食堂，图书馆在一条直线上， 小明从家去食堂吃早餐，接着呢去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程，那我们就把这个过程在这个图上来标一下呗。他先从家去食堂吃早餐， 他这个外呢代表的是小明离家的距离嘛，所以刚开始的时候在这点，呃，在这个零的时候，他是在家，在家的，对不对？然后从家去食堂， 那就是往前走，走走走，走到这里的时候，他应该到了食堂了，因为每一个拐点都是很重要的，他去食堂吃早餐，你看这里的话，距离不变了，那说明这一段他肯定是正在吃早餐呀，对不对？那吃完早餐呢，接着去图书馆读报，所以说从这里开始再往上走， 他走的这一段呢，就是走到了图书馆呀，对不对？他往上走，又走到了图书馆，然后在图书馆，他在进行读报，所以说距离又就不变了，这段呢，他是在进行读报，对吧？读完以后，然后回家，所以说最终这一段他对应的就是在进行回家。 这个就是关于图像问题，咱们对应的一个解析思路，就是把它和实际问题，你看，把这个图像和实际问题结合到一块，把这个图像给给自己梳理清楚哈，然后我们继续往下看，他说，呃，根据图像，下列说法，错误的是哪个？ a 选项，小明吃早餐用了十七分钟， 吃早餐的话，那就是食堂这一段吗？八到二十五，二十五减八，很明显等于十七，没有问题。 b 选项，小明读报用了三十分钟，那图书馆进行读报吗？那图书馆从二十八到五十八，很明显经过了三十吗？对不对？三十分钟也没有问题。 看 c 选项，他说食堂到图书馆的距离是零点二千米，食堂的话，你看你要注意哈，他在这到这这段是从食堂去图书馆，对吧？然后他的你看离家的距离从零点六变成零点八，那很明显走了零点二公里嘛，所以 c 选项也没有问题。 再看四 d， 小 明从图书馆回家就是这段，他的速度是零点八千米每分钟每分钟。那我们来除一下哈，他对应的距离呢？是走了零点八千米，然后时间呢？五十八到六十八走了十分钟呀，所以他应该等于零点零八千米每分钟呀，对吧？所以四 d 是 错误的。这道题的答案就是四 d 选项了， 是咱们的第三个题型哈。然后我们继续往下看，再来看第四个题型，关于折叠问题，像这种折叠问题呢，他一般就是考察几何问题吗？对不对？这个在中考里面是非常重要的， 我们来给大家讲一下，对于折叠问题，他对应的答题思路非常简单，就是折叠前后边不变，角也不变，你必须要把这六个字记清楚哈。我们通过这道题来给大家讲一下， 它说如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为二，那我们来标一下呗，它的边长为二点， e 是 b、 c 的 一个中点，那对应的就是 b， e 就 等于 c、 e 了呗。一边读题一定要把条件标上哈，然后它连接了 d， e， 就是 你看把这条线连接起来， 将三角形 d， c、 e 沿着直线 d、 e 翻折到正方形 a、 b、 c、 c， d， c、 d 所在的平面内，也就是你看把 d、 c、 c、 c、 d， 你 看这个三角形，它翻折以后得到的三角形是 d、 f、 e 吗？ 那它既然是进行了翻折，进行了折叠嘛？所以说我们就利用咱们的解析思路，边不变，角不变，我们立马可以得到 d、 f 是 等于二的，对吧？就是一边读题，要把这些条件全部标上哈， 然后我们还知道什么呢？我们还知道 c、 e 等于一，那对应的 e、 f 也等于一啊，对不对？我们全部来给大家标一下吧，这个时候 b， e 等于 c， e 等于 e， f 等于一，所以说这个时候你会发现一个新的条件，就是这个 e、 f 和这个 b、 e 竟然是相等的， 这里说不定后面可能会会用到哈，所以说咱们这里可以额外注意一下。然后现在边的话，我们说的差不多了，再来看角角的话，因为 c 这里是直角，所以说对应的 f 这里也是垂直的嘛，对不对？然后对应的上上面这两个角相等，下面这两个角也相等，我们先把这些条件标出来哈， 然后再往下看，他说延长 d f 交 a b 于点 g， 你 看这里有一个 g 点，他说角 a d j 和角 d a j 相交于点 h d h 的 话，是这条线，那对应的这两个小角是相等的嘛，对吧？我们标成蓝色吧，对应的这两个小角是相等的， 然后呢， a h 在 这里，那对应的这两个小角也是相等的，这里的 a h 和这个 d h 它是角平分线，这个条件也非常特殊，我们先把这里圈出来，我们一会再来讲这个条件应该怎么去用哈，因为你像涉及到两个角平分线了，那我们肯定要去想角平分线有什么性质嘛？对不对？ 咱们现在先不管哈，我们先按照前面推的这些边长，我们来看一下，它现在要求的是角 dgh 的 面积，那你看 dgh 在 这里， dgh 要求这个三角形面积的话，那我们现在肯定想求一下边的长度嘛，或者说尽可能的把边的长度求解出来，那这个时候我们来看一下哈， 在这个三角形里面，我们知道 d f 是 二，但是我们不知道 d j 的 长度呀，所以说现在问题在于如何去求这个 j f 的 长度呢？我们可以设它为 x 呀，对不对？咱们来求一下这个边长嘛，那这个时候 j f 是 x 的 话，对应的我们还可以得到什么条件呢？那你就来想， 你有没有发现这个 b e 和 e f 是 相等的，然后这个 j f 和这个 g b 看起来也也有点相等呢， 因为你看这个东西，它看起来是不是长得很像一个风筝，它看起来是非常对称的呀，对不对？大家来看一下这个图形长得是不是特别对称？对于那种特别对称的类似，你看类似这种图形，咱们对应的解析思路非常简单， 就是我们把这种不规则的多边形，我们可以通过连辅助线给它变成两个三角形，然后我们利用全等三角形来进行求解呀， 这是几何里面常见的一个解体思路，大家刚才没有想到的，你可以去记一下哈。就是我们看到对称图形的话，给大家来写一下，就是我们看到对称图形的话，我们可以通过，怎么呢？我们可以通过 给他做对称轴，把对称轴做出来嘛，对称对称轴做出来以后，左右两边肯定是完全一样的嘛，所以说我就可以得到全等的一个图形了，然后大概率得到的这个全等呢？还是全等三角形。比如说这个时候，你看我们把这一连接起来，这一很明显是它的对称轴呀，对不对？ 这个是我们肉眼看出来的，我们觉得他应该这样对称。然后接下来我们来给大家验证一下，首先我们这个时候知道 be 是 等于 ef 的， 对不对？然后呢，我们还知道 j e 是 等于 j e 的， 然后除此之外，我们还知道角 b 这里一定是直角，然后 f 这里也一定是直角， 因为 d f e 是 九十度，所以 g f e 肯定也就是九十度了嘛，对吧？然后角 b 这里的话就是正方形的一个角嘛，所以肯定是九十度，所以说再来一个角 b 等于角 f， 这不就是 h l 定律嘛，对不对？根据 h l 定律，我们就可以推出全等了，那得到全等以后，我们就得到 g b 也是等于 x 的， 大家能理解吗？ 这个是非常关键的一个条件哈，我们再来给大家总结一下，这一步是怎么想到的，就是我们看到对称图形以后，我们就可以通过做做对称轴，然后得到全能的图形，这个思路大家一定要去记一下哈，在几何里面非常重要。 然后我们再往下看，知道 g b 是 x 以后，那么 aj 就是 二减 x 了，对吧？然后这个 a d 正好是二，然后这个 d j 呢？是二加 x， 哎，很明显这里可以进行勾股定律啊，因为我们设 x 的 目的。给大家来总结一下， 我们设 x 的 目的不就是为了得到方程吗？对不对？通过方程来求解 x 呀，那一般怎么列方程呢？如果说一道题目里面直角比较多，那么我们大概率是通过勾股定律来列方程的，所以说在这道题目里面，很明显我们可以放到直角三角形 d a j 里面吗？对吧？那这个时候我们来给大家求解一下哈， 我们列勾股定律就可以得到二的平方呢？是四再加上二减 x 括起来的平方，就等于二加 x 括起来的平方。我们来化解一下，四加四再减四 x， 再加 x 方，就等于四加四 x 再加 x 方嘛。 左右两边 x 方消掉了，然后四和四消掉了，就可以得到四等于八 x， 所以 x 等于二分之一。 那既然 x 等于二分之一，那对应的我是不是就可以求出 d j 的 长度了呢？对吧？ d j 的 长度就是二加二分之一，就是二分之五，然后 a j 的 长度我也就能求出来了，二减二分之一呢，就是二分之三，然后 a d 这里就是二，对吧？现在我想求三角形 d j、 h 的 面积，那我需要知道高是多少，对吧？ 那我们这个时候给大家再来做一个高，你看过底 h 往这里做一条垂线，是是呃，是有一条高的，对吧？那这个时候这个高怎么去求呢？大家来想一下，我们如何去求这个高 h 的 长度呢？ 那你就看一下，在这道题目里面什么条件没有用上呢？什么条件没有用上？很明显角平分线没有用上呀，对不对？那角平分线有什么性质呢？大家来想看到角平分线，我们就要去想角平分线模型，这个是跟大家讲过的哈。 角平分线模型是啥呢？大家有没有学过角平分线，这里有一个模型叫做垂两边， 大家还记不记得有有一个模型叫做垂两边，也就是比如说现在这里有一个角 a d j， 然后 d h 是 角平分线，那么过点 h 向两个边做垂线，得到的垂线是相等的，大家来看一下是不是可以得到这个条件？所以说这个三角形 a、 d h， 它的高也是小 h， 跟我们做的这个三角形 d h、 j 的 高是相等的，对吧？然后我们现在知道 a h 也是角平分线，那我是不是同样可以过点 h 向这里做一条垂线呢？它是不是也等于这个高小 h 呢？对吧？ 所以说你会发现我们把这个三角形 d、 a、 j 分 成的三个小三角形， a、 h、 d、 a、 h、 j 以及 d h、 j， 这三个小三角形的高是相等的，并且它们的底边我们都知道，然后这个大三角形 a、 d、 j 的 面积我们也能求，所以说你能不能求出高的长度是多少？很明显是可以去求的呀，对不对？我们这个时候就利用加减法，我们用加法， 你看哈，大三角形的面积就是三个小三角形的面积和我们来写一下 s， 三角形 a、 d、 j 的 面积是不是就等于三角形 a、 h、 d 的 面积，再加上三角形 a、 h、 j 的 面积，再加上三角形 d、 h、 j 的 面积呢？对吧？那这个大三角形的面积呢？就是， 呃，二乘二分之三，再乘二分之一，那直接就是二分之三了嘛，它就等于二分之一，乘底边是二，再乘高 h， 再加上 a、 h、 j 的 话，就是二分之一，乘二分之三，再乘 h， 再加上二分之一，乘二分之五，再乘 h， 这个时候我们把二分之一 h 提出来，剩下的就是二加二分之三，再加二分之五，我们继续化简，它就等于二分之一 h， 再乘个二分之八十四嘛，然后二加四是六呀，所以它就等于三 h。 现在呢， 三 h 等于二分之三，所以 h 等于啥呢？ h 就 等于二分之三，再除个三就等于二分之一啊。那你看，我们把 h 求解出来了，然后再来求面积，二分之一乘底边二分之五，再乘高二分之一，那最终结果不就是八分之五了吗？答案选什么？很明显就是我们的 a 选项了吗？ 所以说基于这道题，我们来给大家总结一下，你会发现这道题他考察了很多个知识点，我们最后再来给大家总结一下哈。首先第一个点就是我们看到对称图形以后，我们要想到你去做对称轴，这样可以得到全等的图形，这是大家需要注意的第一个点。 然后第二个点呢，就是我们设 x 以后，我们的目的是列方程，那怎么列方程？如果一个图形里面直角比较多，那你就可以试着去用一下勾股哈， 这个是常见的解析思路。然后第三个点就是碰到角平分线的时候，就要去想我们讲过的角平分线模型，然后最经典的就是垂两边这个模型，也就是角平分线上的点到线段两端的距离相等， 这大家需要注意的啊。然后最后再补充一个，就是这个折叠问题吗？折叠问题的话，咱们对应的解析思路就是边不变角不变。所以说你看简单的一道题，我们给大家总结出了四个模型，四个解析思路，这个是非常重要的哈， 所以说大家会发现一个点，就是所有数学题的本质都是解析模型以及解析思路，所以说你学数学，你想提分的话，就应该对着解析模型和解析思路去学。但是为什么现在很多同学你上课听懂了，但是一道做题就没思路了， 又或者说这道错题你明明也改正了，但是下次换个形式，换个条件你又就不会做了呢？本质就是因为没有人去给你总结这些解析模型以及解析方法。你 像去年我在中考前提了三四十分的那个同学，他就是有一本笔记，里面记的就是密密麻麻的解析模型和解析思路，那大家如果说你现在还是成绩总是提不上去，并且你想在中考前再提个三四十分的话，你可以通过这里加我 老师，我来教你如何去按题型学习，如何去总结不同题型。对的，这些模型老师全部总结出来了，老师来教你不同板块应该如何去学哈。所有想跟着老师去学这些解析模型以及解析思路，你想在中考前快速提分的话， 那你就抓紧去添加老师就可以了哈，因为现在离中考时间真的不多了。 ok， 那 我们继续往下看，再来看我们第五个题型，关于一元二次方程的实数根。这道题看起来非常简单，但是呢，非常易错， 大家可以先在弹幕里打一下你的答案是什么？这道题就是一道典型的易错题，老师放到这里就是为了提醒大家，你们中考一定会出易错题，现在遇到现在跟着老师做一下这道题，中考的时候就千万不要再出错了哈，你错一道题，你扣个三四三四分或者扣个五分，那也太亏了吧。 我们来看一下这道题，他说如果关于 x 的 这个一元二次方程有两个不相等的时数根，问我们 k 的 取值范围是多少？ 那看到两个不相等的实数根，那我们自然快速就可以想到，单调应该大于零呀，对不对？是不是应该限制这个条件，但是只限制这个条件够吗？大家可以在弹幕里打一下，除了限制单调大于零，我还需要限制别的条件吗？ 大家可以打出来哈，很明显是需要限制的，为啥呢？因为这道题典型的你看二次向，这里含参呀， 它是一元二次方程，它已经跟你规定好了，那你既然是一元二次方程，那你必须让这一项的系数不为零呀，所以说我需要限制。一减 k 不 等于零，这是这道题的一个易错点哈，所以说我们来求解一下， 等于它大于零呢，就可以得到二十五，再减去四乘个一减 k， 再乘个五十大于零的，也就是二十五减去二十，再加二十， k 大 于零， 也就是五加二十 k 大 于零，二十 k 大 于负，五 k 大 于负四分之一。然后这个求解出来呢，是 k 不 等于一，所以说这个取值范围呢，就是 k 大 于负四分之一，并且 k 不 等于一。这是我们第五题的一个答案， 大家看一下刚才自己有没有踩坑呢？ ok， 我 们再往下看，再来看第六个题型，统计问题，考试中考里面的必考大题。关于统计，我们通过这道题来给大家总结一下他对应的答题思路是什么哈？像统计问题的话，我们必须拿到满分哈，因为这个是比较简单的。 这道题是这么说的，他说某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了这个什么什么相结合的教学方式，这些都没啥用嘛。然后一段时间后，为了检验学生对此教学模式的反馈情况， 教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就你最喜欢的化学实验是什么进行了问卷调查， 选项为常考的五个实验。咱们不需要关注这个实验是什么，我们只需要知道有 a、 b、 c、 d、 e 五个条件就可以了，每个学生只能选一项调查结果，绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图。这道题核心它就在考这两个图。我们来给大家讲一下， 对于条形统计图和扇形统计图，他们俩应该如何结合到一块去进行，求解一些数据哈，那这个时候问题已经很清晰了，就是调查一下你最喜欢哪个实验嘛，对吧？那我们直接来看统计图，条形是这样子的，扇形是这样子的，那我们先不看这道题考什么，我们先来求解一下， 在这个图里面大家来看哈，我们，我们知道这里的 a 是 不知道的，然后右边这里呢？ b 这里给了一个百分之三十，那么这道题的解题关键一定在百分之三十这里， 因为条形统计图和扇形统计图他们之间是有关联的，他这里对应的是六十人，然后他占的比例是百分之三十。通过这两个数据，我们就可以求出总人数了，因为总人数乘什么呢？乘他占的比例就等于 某一项他的一个人数。比如说在这道题目里面，我们设总人数是 m 吧，那你看 m 乘个百分之三十就等于六十除以三十吗？对吧？ 所以说他之间是有这样的一个逻辑的哈，那就是六十除个零点三，那就是六百除三就等于二百了吗？所以现在知道总人数是两百人了。第一小问，让我们去求 a 的 值是多少，那你就用两百减去二十，减去六十，减去三十，再减去四十不就行了吗？求出是五十， 然后让我们去求 e 所对的扇形圆心角的度数是多少，那我肯定需要知道 e 它占的比例是百分之几嘛，对不对？怎么去求呢？那就用四十你看，因为 e 的 人数是四十哈，那就用四十除总人数两百，然后呢，等于五分之一啊， 所以说我们知道它占的比例是五分之一了嘛，然后所有你看，总共圆周角是三百六十度，所以说这里填的，呃，这个空填的就是七十二了。 然后再来看第二小问，让我们根据调查结果，估计该校九年级八百名学生中有多少人最喜欢的实验室这个四 d， 那 我们来看一下哈，四 d 的 话，他是三十人，那我们要求一下比例呀，那就是三十除以两百了呗，对吧？这个就是喜欢四 d 这个选项的大概的一个比例，然后他现在说一共有八百名学生，那你再乘个八百不就行了吗？对吧？ 然后这里算出来呢，是等于一百二十人的，所以说有一百二十人最喜欢的实验室这个 st 哈，这大家需要注意的统计问题的话，就妥妥的送分题，大家能理解清楚条形统计图和扇形统计图它们之间的一个对应关系就可以了哈。 ok， 最后呢，我们再来看一道第七题，圆综合问题，也是大题里面的必考题型，我们来看一下它说如图，已知圆 o 的 直径为 ab 值，直径在这里。 读到这里以后，你应该立马想到这个角 c， 这里是直角哈，因为直径所对的圆周角是九十度。我们应该一边读题一边往外推条件，然后点 c 在 圆周上， a、 d 呢，是垂直于 c、 d 的， a、 c 是 角 d、 a、 b 的 一个平分线，就是这两个角相等， 那这个时候根据我们推出的条件，大家可以得到什么？你看角 d 等于角 c， 角 d， a、 c 等于角 c、 a、 b， 那 不立马可以得到相似吗？对吧？也就是三角形 d a、 c， 它是相似于三角形 c、 a、 b 的， 这个条件我们应该立马想到哈，数学题就是一边读题一边往外推条件的一个过程，就跟解谜一样，特别有意思哈。 然后第一小问呢，他让我们求证直线 c、 d 是 圆 o 的 切线，证明切线问题。咱们对应的解析思路非常固定，就是连切点，然后呢，正垂直对不对？你看 键切线，我们就要连切点，然后就要正正垂直哈，如果说他直接告诉你是切，直接告诉你是切线的话，那你可以直接得垂直，但是这道题呢，因为他是让让你求正切线的嘛，所以说我们这里写的是正垂直哈，那对应的我们肯定是把 c、 o 连接起来，连接起来以后，我们需要证明这个角 d、 c、 o 是 等于九十度的，怎么去证呢？大家来想一下，利用我们已知条件来推一推，我现在是不是知道这个角加这个角等于九十度，把这个标成点，把这个标成叉的话，我现在是不是可以知道点加叉是等于九十度的，对吧？然后你再去利用题里给的条件呀， a、 c 是 角平分线呀，所以说这个角，你看角 c、 a、 o 是 不是就等于角 d、 a、 c 呢？对不对？然后 o、 a 是 不是又等于 o、 c 呢？ 因为它是一个等腰三角形呀，半径相等呀，所以这个角是不是也可以变成一个点呢？对不对？那你看这个角 d、 c、 u 不 就变成点加叉了吗？然后点加叉一定是等于九十度的呀，因为这个在这个三角形 d、 a、 c 里面，你看点加叉等于九十度呀，对不对？这里老师是通过一个 你看形象的点和叉来带大家梳理它们不同角之间的关系哈，大家要自己去写过程，你就转转一下它们之间的一个相等的一个关系就可以了。然后我们再来看第二小问，他说如果 c、 d 等于三， a、 d 等于五，让我们去求圆 o 的 直径，求 ab 的 长度吗？ 那这个时候也很简单，我们可以先把 a、 c 求解出来，它就等于根号下二十五加九，那不就是根号下三十四吗？ 对吧？然后我们又知道它是相似的，那我们直接来列呗，对不对？你看 a、 d 比上 a、 c， 是 不是就等于 a、 c 比上 a、 b 呢？所以对应的五比根号三十四，是不是就等于根号三十四比上 a、 b 呢？所以 a、 b 它就等于三十四除以五呀，五分之三十四，我们就快速求解出来了， 就是我们第二小问对应的最终的一个结果，大家看一下自己有没有算对？ ok， 那 以上就是咱们这期视频的全部内容了，那跟着老师学会这几个题型呢？其实只是你中考前提分的第一步， 因为咱们数学本质说白了就是一个又一个的题型，以及一个又一个的模型呀，对不对？咱们现在光跟着老师学的这七个题型肯定是远远不够的哈。如果说你想在中考前快速再提个三四十分的话，你本质应该快速的把你的方法改进过来， 你应该用学题型的思路去学数学，那大家如果说你现在想在中考前快速提个三四十分，但是你的方法一直不知道怎么改进，不知道怎么学才能快速提分的话， 那么你可以通过这里加我，大家加到老师以后呢，你也可以把你的成绩发给我，老师也可以帮大家在中考前做一次成绩分析，老师来帮你拆解一下，你现在到底是因为什么卡着你提不了分，因为老师我自己是从不及格提到很多次满分的，所以说老师对于数学的提分是非常有经验的哈。 老师往年代的学生呢，大家都在中考前都是可以很快速的提个几十分是没有太大问题的，那如果说你也想复课，像这些同学的一些提分奇迹的话，那你们尽快去添加老师就可以了， 当然老师的时间也是有限的，所以说如果你不是迫切的想提分的话，你就不要来添加老师了哈，把老师的时间留给那些真的想在中考前再冲刺一把，再提个三四十分的同学哈。 ok， 那 以上就是我们这期视频的全部内容了，老师接下来呢，会给大家继续更新我们中考必考的一些高频题型以及对应的解析思路哈，大家千万别忘了三连加关注，我们下期再见，大家拜拜！

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

今天我们学习的是几何变换之旋转，那接下来我们来把几何变换的下，因为旋转啊，旋转我们分什么旋转？我们分全等的旋转就是一般旋转，一般旋转就是全等旋转和什么呢？和相似旋转，一般转和相似转。首先我们来讲一讲用旋转 怎么用旋转，比如说我把一个三角形 abc 绕着点 a 转到 a、 b 片、 c 片， 比如说我把 a、 b、 c 转到 a、 b 片、 c 片来。我们来想一想，转过来以后首先会有什么？首先会有全等嘛？所以咱就先同步信息嘛。 你比如说这有 a， 那 这也是 a， 这是 b， 那 这也是 b， 这是 c， 那 这也是 c， 所以 转完后先同步信息。这有一个，比如说，呃，一百二十度角，那么这个角也一百二十度。所以 用旋转的第一啊，你要用旋转，第一就是同步，这个跟翻折是完全一样的。第二转你是不是得关心它的旋转角吧？这里面哪些角是旋转角？旋转角是对应边与对应边的夹角， a 和 a 的 夹角是旋转角，旋转角是 r 法， 那么这个 b 和 b 的 夹角也是旋转角，那么旋转角都是相等的，转过的角度一定是一样的，这也是 r 法。所以看旋转角、旋转角、旋转角都相等， 他一定都相等，然后再来，哎，你会发现 a 转到 a 了，这里就会出现什么三角形，这里就会出现等腰三角形。等腰三角形肯定是非常好的三角形， b 等于 b 了，那么连接 c、 c 片也会出现等腰三角形。 等腰三角形是非常好的，这而且是以旋转角为顶角的等腰三角形，这样的等腰三角形往往会是题目的考点，越特殊越考你，所以第三，别忘了看等腰，这就是用旋转，还是那句话，不要去想着去硬记下来，你要去想 旋转本身就是全等，全等就要同步信息，转过去的角度都一样，那你肯定得把都一样的这个旋转角看一下，最后旋转一定会出现等腰等腰三角形看一看，这就是如何通过旋转去挖掘已知条件。那么接下来我们来感受一下啊，什么时候我们可以造旋转呢？哎，你比如说看 这有一个线段三来，我如果再给这来一条线段三， 我说我现在想造个旋转，把这个 abc 转一下，我一定是把这个 abc 转到谁和谁重合，这是一个三角形，这是一个另外的已知信息，那我转肯定要怎么样？要让这转完以后的三角形跟其他的已知信息发生关联吗？那我转完以后一定是把这个 ab 转到 ad， 对吧？然后呢，那你会发现这个 c 就 转到 c 撇，那么 a c 就 转到 a c 撇，所以这个三角形就转上来了，这叫共点等线造旋转。你看原本有 a、 b 等于 a、 d 共着点， a 等着线段，那么我就可以造旋转，我就可以把这个三角形转上来。 哎，转上来这个 a、 d、 c 撇就全等于 abc， 这就是旋转的本质，它其实就是会给你再放一条线段三啊，否则你怎么办？你随便转啊，转完以后跟已知条件没有什么用 啊，没有什么关联，那么为了转完以后跟已知条件有关联，所以共点等线我就转。那么转完以后可以干什么？可以同步信息，可以挖掘更多的已知条件，可以转化已知所求，比如说我要求他不好，求我转过来求他，对吧？这条线段是五不好用，那我转过来用这条线段，所以转实现的结果就是 条件的转化，那么我们往往给你的条件不会这么简单粗暴啊，它往往是给你一个这样的。很多时候你会看到等腰三角形或者四边形，比如说 b、 a、 d、 c， 我 告诉你 b、 a 等于 bc， 那 么这就是一个。首先你要理解，这就是一个共点等线四边形，共点等线四边形我就可以赚，赚谁呢？兄弟们？ 你转一定是转一个三角形，对不对？你一定是绕着这个共点转一个含有等线的三角形，那你就可以转这个三角形，或者转底下这个三角形，对不对？好吧，那么转怎么转呢？我就是把这个三角形绕着点 b 转到等线重合转下来， 把这个三角形绕着点 b， 转到等线重合 a 转到 c， 哎，整个转下来，一旦转完以后，那么接下来我是不是就可以用旋转？用旋转就是我刚才说的那几件事了。所以最后盘一下，首先为啥要转？就是要转化， 你转的时候一定会觉得什么这些线段不好用，比如说这个线段三不好用，比如说这个线段问号不好用，就是已知条件不好用，你要转化你就转，为啥转？那么转的条件是什么呢？你要有共点等线你才能转，没有共点等线你往哪转？对不对？你看这出现了共点等线，我就可以转，转的条件 看，这是为啥？想要转，那是有啥条件可以转好再来转谁？你转的这个东西就是为了转化的，所以首先你得包含等线，因为我转完后等线重合， 然后你转的这个东西一定会包含已知所求，因为我要转化的就是已知所求，所以转的这个三角形一定是包含等线、已知所求的三角形。最后怎么转？咋转 啊？共点为中心啊？共点为中心，转至等线重合，什么意思？以这个共点为中心，转到这两条等线重合就转完了，这就是旋转的从 为啥转到转的条件，到转谁，到最后怎么转？那么转完以后怎么用它呢？转完以后的使用就跟我们刚才讲的一样了。第一看旋转角，这两个角都是旋转角，就是咋用旋转？你看旋转角同步信息，你比如说这个角是 theta， 这个角也是 theta， 这条线段是三，这条线段也是三，那么这条边它就等于这条边。第三步，连 b d 得等腰，对吧？所以呢，你转完以后，对于共点等线旋转的使用就是你自己造的共点等线的旋转和原本的人家给你一组旋转是完全没有差别的，你只要造完了旋转，那么旋转的使用就是旋转角同步信息，看等 腰。好了，来我们看题吧，这个角四十五度，这个角四十五度，这个角四十五度，这就是一个等腰直角三角形，那么 d b 就 等于 d c 了， 对吧？好，告诉我们，这条线段是八，这条线段是六。最后要求这个问号的长，要求这条蓝线的长。来吧，兄弟们，首先你就会发现，在目前的这幅图下，你要求问号难受不难受？你会发现，目前这幅图下，你要求问号，这两个四十五度都被拆开了，这所有的条件感觉都用不起来， 目前这条线段你是一定会难受的，所以难受就想转化，转化就要赚，为啥赚？我要转化，那么接下来赚谁呢？赚的条件有没有？有没有赚的条件？我们说要赚就得有共点等线，这里有没有共点等线？显然有，我有 d b 等于 dc， 这里显然有共点等线， d、 b 等 等于 dc， 哎，那我就可以转，对吧？有共点等线我就可以转，那么转谁呢？包含已知所求的三角形，对吧？首先它共点等线转，你肯定得包含这两条线段， 对吧？你要转的那个三角形，得包含等线，包含已知包含所求，那是哪个三角形？就是三角形 a、 b、 d 嘛？包含等线已知所求。看 等线，已知所求，那就是这个三角形，我要转的就是这个三角形。最后怎么转？这个紫色三角形绕着谁转？肯定是以共点为中心嘛，共点为中心，转到等线重合嘛？转至等线重合嘛？共点为中心，那么 d 就是 旋转中心嘛。转到等线重合，就是转到 dc， 转到 db， 对 吧？ dc 转到 db 转到九十度，那么 da 是 不也要九十度往上转， da 是 不也要九十度往上转，对吧？啊？ da 转到 da 撇 啊，对吧？然后呢，那你会发现这个阴影三角形就转到这个阴影三角形，这就是转的过程， dc 转到 dc 撇，那么 da 也要转九十度，转到 d、 a 撇，最后把这两个点一连就转完了。转完以后长这样好，转完以后我们怎么办呢啊？转完以后他就回到了，我们就已经构造完成了，构造完成了，我们就回到了什么， 我们就回到了他，就是一个标标准准的旋转问题了。就是三角形 d、 a、 c 转到三角形 d、 e、 b， 那 么 该干什么？该干什么干什么。第一，看旋转角，旋转角多少度？旋转角九十度。第二，同步信息可以同步，谁可以同步？这个线段是八，这个线段也是八。 第三，看等腰，连谁就得等腰了。我连个 a e， 是 不是得等腰了？得等腰，这是八，这是八，这就是一个等腰直角三角形，等腰直角三角形，这就是八倍的根号二，这个角四十五度，这个角四十五度。 得到这一系列条件以后，最终我求谁呢？原本求的是 a c， 那 我就可以求 b e， 你 看现在这个 b e 能不能求 b e， 放哪个三角形里？求，放 a b e 里求就行了。这是四十五度，这也是四十五度，那这就是一个大大的九十度，所以这是一个直角三角形。 那么对于这个直角三角形来说，这条线段是六，这条线段是八倍，根号二。哎，你就可以勾股定律算出来，这就是二倍的根号下四十一结束。所以你会发现 旋转最大的好处是帮助我们什么？帮助我们转化了信息吗？这个线段挪到这来，这个八挪上去。本来要求 ac 不好求挪到这来，最后挪到这来，放进直角三角形就求了。 好，来，这题共点等，现在都给你怼脸上了。他说 ap 是 在 bc 上的一个动点，他把 e p 绕点 e 转六十度转到 ef， 最后让我们求 af 的 最小值，你看目前这个感觉还是很难求 af 的 最小值，对吧？目前的这个条件，这是四，这是八，这是六十度。这个 af 感觉什么条件都没有，所以我想干什么，我就赚这个 af 就 行了嘛，对不对？哎，因为这个是等线，这个是所求线，这个是已知线。 所以呢，首先我们有啥？为啥要转？要转化，目前的这个位置肯定都不好转化。第二，转的条件，共点等线，共点等线，怼脸上有的。第三，转，谁包含等线？已知所求的三角形。等线，已知所求三角形，不就这个三角形吗？对吧？然后呢，怎么转？ 共点为中心转到等线重合，就把这个三角形整个转下来，旋转角多少度，兄弟们，转多少度下来，转个六十度下来就完了吗？你看这个 e f 转到 e p 转六十度，这个 e a 转到 e a 撇，这也是六十度。转六十度下来以后，那现在我就要求 a 撇 f， 你 看，原本我求他的最值，现在变成求 a 撇 f 的 最值， 求 a 撇 f 的 最值。来同步一下信息，这条线段是四，这条线段也是四，好，来求 a 撇 p 的 最值。那你说 a 撇 p 什么时候最小？ 你这个时候要分析一下，请问 a 撇是定点还是动点？ a 撇显然是定点吗？为什么？显然定点长度是定的，夹角是定的， a 撇显然是定点，而 p 在 b c 上动一个定点到一个定直线上动点的最小值，垂线段最短。所以最终我要求的就是 a 撇 p 撇 来 a 撇 p 撇怎么求？做高嘛？做高嘛，你会发现 a 撇 p 撇在一个什么图形里梯形非常好。为啥是梯形？这个角是六十度，这个角是六十度，所以这两条上底和下底是平行的， 所以呢，这就是一个梯形，一个梯形我要求他的高，坐高就好了，坐个高，这是八，这是四，这是四倍根号三，所以 a 撇 p 撇就等于四倍根号三，打完收工就这么简单。 所以你理解一下这个逻辑，这个点太飘了，太飘了，我给它转回来， 因为有共点等线，咱就可以给他转回来，转化一下，一旦往下一转，这个事太简单了，求一个定点到动点的最小值，垂线的最短，然后梯形做高。 你看有没有发现，你哪怕就跟马哥听了这么短短的几道题，很多逻辑都是高度复用的很多逻辑都是高度复用的。连什么梯形做高，特殊角做垂线， 其实初中阶段的绝大多数逻辑都是高度赋用的。你为什么不会？就是因为你每次没有在意这些东西，就是你做所有题目的唯一的收获是什么？ 不是收获。这道题是怎么解的？是通过这道题收获可以赋用的逻辑。包括来我给你讲的共点等线造旋转。你看，你要特别懂为啥转， 你要知道为啥转，你不能光看人家转了对不对？你得想清楚为啥转，你得还得想清楚转的条件是啥，你得有共点等线吗？然后呢，你还得想清楚我怎么去确定转谁呢？那我转 既然要转化已知所求，那我肯定得转一个包含已知所求的三角线，你得把这都想明白，最后咋转？共点为旋转中心，你共点等线不就是为了让共点旋转中心转到等线重合吗？ 所以你得把这些不光是要把这些方法记住，更要理解方法背后为什么是这样的逻辑？你懂了，这些逻辑你用起来才能得心应手。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似处理、等量和比例。前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似对于等量和比例的处理。全等相似它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子啊，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下，比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了，那现在呢？我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好，这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线，那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在 两条等线不挨着，离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了啊。那么不同三角形哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法， 所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是阿尔法，这是阿尔法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它。你会发现，我就由原本的一组等量， 通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置，这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理， 这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形构造全等。好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊，那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例。线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似 相似比为一比二的相似，那同样呢，这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，它的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是 r 发角，这是 r 发角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法 把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。 哎，虽然他是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是他的底层逻辑还是，当你看到了比例线段，我得想办法把他扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多， 对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还还会有什么？还会有等角吗？比如说，哎，我这有一个 r 发角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 发角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想， 处理等角离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线吗？你想，已经有一组等角了，这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角，那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度，是不是就造成了这两个三角形相似？ 那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系等线等角比例线段的处理，最底层，最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊，这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里。 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道他原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字在这里特别特别的重要，放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形，造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形，放 是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合，把它们往三角形里去放。好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的，好了，来，我们来看题好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先它告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，他不像。如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全等， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了，正全等。 但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈 r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上，这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行，我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等。 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等正不了，为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢，都相等，等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等，已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等，因为我给这儿造了一个等幺，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c e。 结束好，整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些，这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目，给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线、这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去，造全等，这才是核心啊，这才是核心。 怎么想到的？就是这么想到的。好，来下一个。在讲这个题之前呢，因为这里出现了一个二倍角的处理。二倍角的处理，首先我们要明确啊， 二倍角是没有用的，二倍角和二倍的比例线段还不一样，二倍的比例线段我还可以造相似，二倍角没有用，二倍角在任何地方都没有用。我拿到二倍角唯一的想法就是通过二倍角导出什么东西。等角只有等角才有用。兄弟们，无论是等角在同一个三角形就会出现等腰，还是在不同三角形的等角就可以造相似， 只有等角才有用，二倍角没有用。那如果我在一个角是阿尔法，这个角是二阿尔法， 我怎么样把二倍角转化成等角呢？你可以非常简单粗暴的来，我直接做这个二倍角的。什么？我直接做二倍角的角分线， 一旦做了二倍角的角分线，那么你会发现这两个角都是 r 法，这是不就出现等角了？底下这组等角构成等腰三角形，上面这组等角我还可以去找相似，你看， 等角才有用。二倍角是没有用的，所以第一种方法就是直接造角分线，做二倍角的角分线。哎，这个是最简单粗暴的，这是一种方法，那我还可以怎么做呢？那我还可以直接给这个 r 法给他怎么样？给他对称下来， 那么这个角是不是就是阿尔法了？这个角阿尔法和原本的这个角阿尔法是不是就构成等角了？那么这两个等角我是不是也可以想办法去阿尔法等于我造一个阿尔法等于阿尔法是不是也可以搞事情了？所以第二种情况，我直接 阿尔法去做对称，哎，这都是非常粗暴的方法，哎，我直接阿尔法做个对称，这是两个，要么我凑阿尔法和阿尔法相等，要么凑阿尔法和阿尔法相等。 好了，那么还有一种第三种就是等腰处理二倍角，这是一个相对来说比较巧妙的办法。为什么等腰可以处理二倍角？来，我们来看一下啊。 等腰三角形两个底角是 r 法，那么二倍角会出现在哪里？外角就是二倍角，你随便沿一个顶角的外角出来，这个角是这两个角和，这就是二 r 法。 所以等腰三角形内天然包含着一个二倍角关系，我们就可以利用这个二倍角关系去处理这种二倍角问题。那怎么具体怎么处理呢？你看，我还是给你画一幅这个图，假设他给了你一个 r 法角，给了你一个二 r 法角，那我就造等腰就行了。 看好了，这个等腰怎么造？这个等腰怎么造？这是 a， 这是 b 啊，这是 c， 我 怎么造？ 造个等腰处理二倍角怎么造？第一种想法，我延长 bc， 延长 bc， 我 以 ab 为腰，造一个等腰三角形， 看，这是圈，这是圈，我来一个 b m 等于 b a 这上，这样是不是就造出来一个等腰三角形？一旦造出来等腰三角形之后，那你会发现这两个角都是什么？都是几个 r 法，哎，我就做 b m 等于 b a， 这两个角是不都是一个阿尔法？好了，那你会发现原本阿尔法和阿尔法没有用，但是现在这个阿尔法和这个阿尔法，这俩这俩你就可以看出反应相似了，这个阿尔法和这个阿尔法就构成。哎，这两条线段也等腰了， 神奇不神奇？我拿了一堆等角，你看，原本是一个阿尔法二倍关系，但是由于造等腰，我还是这幅图，咱们来画一下，我还是这幅图， 这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 r 法，这是二 r 法。我刚不是把这个 ab 往外往外挪，挪到外面去，我可以造个等腰，我还可以在里面来一个等腰。看好了，我来一个 ab 片等于 ab， ab 片等于 ab， 这两条线段相等，就是做 ab 片等于 ab。 好，这样的话呢，那你会问，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法？首先这有一个等腰三角形，同时这个角是阿尔法，看这个三角形，这是阿尔法，那这个角是什么？这个是不是就是阿尔法减阿尔法，那它也是阿尔法， 好嘛，你会发现，我通过做一个 ab 片等于 ab， 这出现一个等腰三角形，出现了一个二 r 法，等于二 r， 同时呢，因为它是这个三角形的外角，二 r 法减 r 法得到它是 r 法，又得到了这两个圈相等，你看，我就得到了两组等角，最终还是把一个二倍角关系转化成了两组等角关系。 哎，也就是说，这个等腰三角形，我可以以 ab 为腰，往内做，都是 ok 的， 都可以利用等腰三角形出现二倍角关系。 那么到这呢，我们就盘点清楚了，其实初中阶段你想要处理二倍角，基本上也就是这三个方法了，要么做角分线，要么做对称，要么通过等腰的二倍角去处理。好吧， 来吧，兄弟们，咱们来看题了，来看看这个题，这下你再看看这个应该怎么去处理。当你看到这个题以后呢？你第一个要处理的条件肯定是什么？二倍角换等角。来，我们来看一下 b， d 比 c， d 是 一比三， b， d 比 c， d 一 比三，那我设这条线段是 a， 这条线段是三 a， 这是基础习惯啊，基础习惯有比例，你就设 d、 f、 b、 ac 一 比六，那我就设 d， f 是 x， ac 就是 六个 x， 这一小节是 x， 这一小节就是六个 x。 好 吧，然后呢？又有一个二倍角，阿尔法等于阿尔法啊，好，又有一个垂直。最后问我们什么的 a、 d 和 d、 f 的 比，也就是说我最终就是要表示线段 a、 d， 用 x 表示一下线段 a、 d 就 结束了。 那你会发现，我们刚才已经说了，比例线段你还有可能直接用，但是背角关系你是没有办法直接用的。由于背角关系没办法直接用，所以我上来第一步一定是先处理这个背角，那么这个背角关系我的处理，我刚才说了，我要么给他做对称， 要么我给他做角分线，要么我利用等腰来处理。大家想一想，我是做对称做角分线，还是利用等腰来处理？好，我们来分析一下啊，这个分析几度重要啊？我们来想第一件事，我做角分线，你看美不美？ 为啥不美？能不能说出来？为啥不美？因为你把这个比例关系三 a 干掉了嘛？干完了以后你还得不到这两边，左右两边到底是几比几，能理解吧？已知条件是不是割了两段肯定不美嘛，对不对？好，来，角分线废掉了，那我做对称，我给这再来一个 r 角，你看美不美？比如说我把这个弄出来， 我给这再来一个阿尔法角，造成这两个阿尔法相等，你看美不美？好像也不美。为啥不美？这边是把条件干废了，你，你往这边做，与人家所有的条件都没有建立起联系，有没有发现你唯一就搞了个阿尔法，我做一条辅助线， 我说要尽可能跟这些已知的已知的关系建立联系，没有用。哎，为什么没有用呢？就是他把我已知条件没有调动起来。好了。来，既然前两个都不美，那我就造等腰，我以谁为要造个等腰就把这个阿尔法处理掉了， 我是不是以这个六 x 为等腰？我给上面我把这条线延长出去，延长出去后，我给这再来一个六 x， 那 么这一下，这是不是就出现了一个等腰三角形，这下美不美？ 这种做法至少相对于前两种做法，我是不是一边处理了？这个角是 r 法，这个角是 r 法，我是不是一边造出了一个 r 法角？同时呢，这个六 x 我 已有的条件也被我盘活了， 他是不是调动了更多的已知条件？所以在这三个方法里面，肯定这个方法相对来说是最美的，这个美了。接下来呢，你看嘛，我，那我造出来等角，我就得有用啊，我这个 r 法角和这个 r 法角相等， 咋个用法？咋用呢？刚才咋说的？等角是不是就只能造全等或者相思嘛？对不对？那你看 这个 r 法角造全等相似的核心是你要把这些 r 法角是不是放进三角形？你看这个 r 法角可以放进哪个三角形最美？放进这，人家这不是还有个直角呢吗？对吧？你让这个 r 法角和这个直角组合一下，它是不是就进入到了一个直角三角形内，对吧？看这是不是就有了一个直角三角形？ 好了？来，这有一个阿尔法，这有一个直角，这有一个阿尔法。我如果想让这两个阿尔法进入到相似三角形，那很简单了，我只需要 b 往这再做一个垂线，我是不是就造成了这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似？ 哎，那这组阿尔法是不是就造成了相似？我通过这个阿尔法等于阿尔法。哎，我造 直角三角形相似好，那么相似以后最好要有什么才能有用？我现在红的、蓝的相似，以后最好要有什么这个相似才能有用相似比。但是目前这两个这个红的和这个蓝的有没有相似比，他是不是既没有自己比，也没有相似比， 对吧？哎，所以我在观察啊，目前没有比的关系，我在观察，你会发现这一个直角，这有一个直角，这底下是不是又出现了一个八字相似， 而这个八字相似，它是不是有相似比的，它相似比是不是一比三？所以同时你不但造了一个直角三角形相似，你还有一个八字相似， 这个相似比是一比三相似比是一比三。来，由于这个相似比一比三，那么 d h 这一段是不是首先可以表示了？ d h 这一段就是三分之 x 相似比一比三吗？看这一比三，这是一比三，这是三分之 x， 同时我通过这组相似还可以得到谁和谁的比， b h 和 c f 的 比， b h 和 c f 的 比是不是也是一比三？这个时候我就可以设它是 b， 那 么它就是三 b， 一 旦它是 b， 它是三 b 什么就出来了。原本的这两个直角三角形的相似比，是不是就是 b 比三 b 这个直角三角形的相似比就是一比三。 那我们利用这个一比三可以拿来干什么呢？你会发现，我最终要 a d 和 d f 的 比，现在是不是就差一个 a h， 而 a h 是 不是既可以放到这个红色三角形，又可以跟这个蓝色三角形建立联系？所以我用这个相似比就已经可以列比例关系了，列哪两条线段的比来一比三，就等于哪两条线段比 a h e f。 看 a h， a h 是 不是就是我们要最终要求的那条线段了？ ef 是 不是这一段里面既包含 a h， 剩下都用 x 表示了？那我就来就等于 a h 比 ef， 而 a h 又等于多少呢？ a h 就是 a h， 对 吧？ ef 是 什么呢？ a h 比 ef， ef 是 六 x， 再加 a h， 再加三分之四 x， 一比三就等于 a h 比上一个，这是六 x， 再加上这三分之二十二 x， 再加 a h， 这 a h 不 就解出来了吗？就是三倍的 a h 就 等于三分之二十二 x， 再加 a h， 那 么两个 a h 就 等于三分之二十二 x， a h 就 等于三分之十一 x， 对吧？好了，这一段是三分之十一 x， 那 到这问题已经结束了，那我最后要的是 df 比 ad， 那 么 df 不 就是 x 吗？它就等于 x 比上一个 a d， a d 是 三分之十一 x， 再加三分之 x。 好 了，那么三分之十一 x， 再加三分之 x 就是 四， x 就是 x 比四 x 就是 一比四。结束 到这整个问题结束，来吧，兄弟们，其实没有那么复杂，每一步都是非常强的逻辑啊，难度不小，但是每一步都是讲道理的，没有任何一步天马行空的，这里面没有神来之笔啊，没有任何一点点的神来之笔。我们重新再盘一遍，这里面最精髓的是什么呢？来重新盘一遍啊！ 最精髓的是来一开始先盘条件，盘条件，他说这个是 a， 这个是三 a， 这个是 x， 这个是六 x， 这是 r 法，这是二 r 法。 让我们求 ad 比 df， 那 就是用 ad， 用 x 表示 ad。 好 吧，那么一开始呢，我们去想了想，就是条件有哪些条件？有两类 条件，第一类条件是比例线段，第二类条件是二倍角。那我们要知道比例线段是可以直接用的，为啥说比例线段是可以直接用的？比例线段可以直接用，因为比例线段放到相似就行了，但是二倍角是必须先处理， 而二倍角在处理的过程当中，我们有什么想法呢？我们选择了一下二倍角的处理，刚才已经讲了，要么做角分线，要么做对称，要么做等腰。我们会发现角分线或者对称没有办法盘活其他的移植条件，所以我就用等腰处理了二倍角。为什么说等腰处理二倍角呢？因为等腰处理二倍角， 处理了二倍角的同时，这个六 x 也被我们换了位置，这是第一步，前面的分析极度重要，就是你看马哥在给你讲什么，马哥在给你讲你拿到这些条件，你的底层思维是什么，对吧？我并不是说给你这讲，这道题有什么大招，有什么秒杀没有的， 讲的是最底层的逻辑，这就是这两年中考最常见的趋势，绝对没有任何飘逸的操作，它都是很常规的操作，但是呢， 你要知道拿到条件应该怎么去想。好了，这是第一等腰处理二倍角，第二等腰处理二倍角，就是为了得到等角，当我得到了，我现在有阿尔法，等于阿尔法，怎么去用造相似？ 造相似的核心是要放进合适的三角形，这个时候我观察一下这个阿尔法和这个九十度，已经可以放进这个大的直角三角形了， 那么这个阿尔法我只需要再做一个垂线，就可以造成这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似，对吧？阿尔法造相似，造了一个直角三角形的相似，这就是等角。怎么用等角造相似？你看这个东西就是我们之前讲的什么东西， 是不是就是我在这给你画的这个图来感受一下，是不是就是这个？看，这有一个阿尔法，这有一个九十度，当这也有一个阿尔法，我再做一个九十度，造成这两个三角形相似，是不是就是这个图给你扔进了那个梯里？我造完这个相似以后，我发现没有相似笔，这相似我就要找相似笔，但是没有相似笔，没有相似笔怎么办？这个时候去观察 你在这做垂线的同时，这底下又有一个新的八字。第三，用八字，这个八字帮我们得到什么呢？首先这个是 x， 那 么这一段就变成了三分之 x， 因为它的相似比已知。 再来这个是 b， 这个是三 b， 这样我就得到了这个三角形，这个三角形直角三角形的相似比，就是红色和蓝色直角三角形相似比，一比三。 而通过这个一比三，我就可以干什么？就可以列比例了吗？我相造出来相似就是为了列比例，这个时候我观察一下，我最终要的就是 a h， 那 么 a h 和谁，和这个 e f 的 比 就等于一比三。好， a h 是 多少？ a h 是 我们要求的，而 e f 就是 a h， 再加六 x， 再加三分之四 x， 就等于一比三。通过这里我就求得了 a h 就 等于三分之十一 x， 你 把这个 a h 求完带进去就可以得到答案，一比四。所以核心点就是三个。第一个一定要想到二倍角，必须先处理二倍角，不先处理你角度没有用。 接下来呢？等角我想办法造相似，没有比例关系，再观察，这还有八字，得到比例关系。最后列比例式，这里面大家想一想，有没有任何一步是神来之笔，天马行空，没有的，非常讲逻辑的， 对吧？这些逻辑都是可以拆解，可以附用到其他题目里面的客复用逻辑，没有任何套路。这道题是特别符合这两年中考的命题方向的，他没有什么模型，没有什么套路，没有说是你背个什么东西，没背个什么大招能解决，考的都是非常底层的操作，看的就是你的几何基本功， 这基本上放一道中考填空压轴没有一点问题啊，或者放一个大题压轴的第二问也没有一点问题啊。好了，来，我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的压轴，填空压轴。好，来，我们来分析下这个题啊， 这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f、 d 和 c e 始终相等，然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等，相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，共线最小， 这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让它首尾顺次相接，让它共线最小。但是呢，你会发现，目前啊， 目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 cf， 我 就让 cf 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 cf 和 ae 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等，得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几，我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 是吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑？这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再感感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 所以 要把它延长出来，延长出来这个二等于这个二，同时这个角阿尔法等于这个角阿尔法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候这个一撇，这个点 一撇，是不是 c 一 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c 一 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似，因为有平行，有平行想相似吗？求 c 一 撇，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说 这是不是就是一个来，我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了，那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩。如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义。 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置，怎么样换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是 r， 这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c、 f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个 r， 那 么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个题里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑。好了，来吧，兄弟们， 这是我们用等线去构造全等，这是二零二四年的一遍的题。来，我们再看一道。哎，如果是比例线短的来， 人家要两倍的 cd， 那 这次得造什么了？要两倍的 cd， 咱这次是不得造相似了。来，这道题的底层逻辑跟刚才那道题还是一模一样。好了，我们来感受一下。首先它要 b e 加两倍的 cd， 加两倍的 cd， 那 我是不是得让 b e 和两倍的 cd 首尾顺次相接，所以我得造 相似去得一个二 c、 d 与 b e 首尾相接没问题吧？这道题肯定就是个目的，我的核心目的就是造一个相似，得一个二倍的 c、 d 与 b、 e 首尾相接。最关键最关键的是，为什么这道题我可以非常确认它一定是造相似呢？因为人家还给了一个，这是 a， 这是二 a， 那么怎么去造这个相似？利用一比二的这个比例关系，人家给了你比例线段，是不是就利用这个比例线段去造相似？那我要造一个三角形，和哪个三角形相似呢？造相似。第一个问题，和谁相似？造三角形与谁相似？ 造哪个三角形的相似？三角形，我一定是造 a、 c、 d 的 三角，因为我要造二倍的 c、 d 吗？那就是 cd 放三角形里吗？ 看 cd 放三角形， cd 肯定是结合这个 a， 哎，那我肯定是放进这个三角形，那我就是要造一个三角形，与这个紫色三角形相似，这就是目标。好，那这个造相似其实也很简单了，我给你往出画一下，你会发现这个 cd， 这个 cd 在 一个什么样的三角形内，这是直角， 然后呢，这是 c、 d 啊？这是 a， 这是四。好，现在我又有一个二 a， 我 又有一个二 a， 又有一个二 a， 二 a， 那 我这边肯定得是几得是八吧，对吧？然后呢，这，这，这就是二 c、 d 就 出来了。来，这就是造相似的基础图，只不过我要把这个基础图塞回去啊，这是二 a 啊，不是二啊。二 a， 好，那咱就造就行了吗？来，那我是不是首先得过这个点？ c， 来一个直角吧，来一个直角吧。然后呢，我让这条边等于几，我让这条边等于八，是不是就出来了， 对不对？看二 a 直角八，二 a， 直角八就出来了，所以我给这来一个八，给这来一个垂直。好了，这个时候我连接 ef， 那 你会发现这两个三角形就相似。相似比就是 a 比二 a 就是 一比二，那么这个是 c、 d， 这就是二 c、 d e、 f 就是 二 c、 d， 这就是这道题最关键一步，这个这一步完成了，就结束了，这是二 c、 d， 这是 b e， 对 不对？好了，那接下来我要找 b e 加二 c、 d 的 最小值连谁结束？我是不是连个 b、 f 就 结束了吗？我让这两条线段共线，是不是连 b、 f 就 结束了，对吧？所以这个 b、 e 加二 c、 d 的 最小值就是 b、 f， 那 么这道题让我们求这个最小值，求就是求 b、 f， 你可以自己画一下试试。你最终要让蓝线和黄线首尾顺次相接，如果你过这做垂直，你这个黄线跑这了，就跟他没有首尾顺次相接了，明白了吗？你给自己一画你就知道了。好了， 那最后一步，那我如果想求这个 b、 f 怎么办呢？我怎么样才能求这个 b、 f 呢？勾股定律怎么勾股定律？那我是不得想到用到这个二，用到这个八，还得用到这个四，怎么办？我过谁做个谁的垂线就行了，我延长 f c， 我 延长 f c 过 b 做一个垂线是不就欧了， 对吧？过臂做一个垂线，那你会发现这个线段是二，那因为这都是九十度，这是一个矩形，这是四，这是四，这是二，这是二。好了，你在这个大三角形 b、 h、 f 当中，这是四，这条边是十，你就可以求出来二五根号下二十九，这就是二倍根号下二十九。结束，所以最后答案就等于二倍根号下二十九。 好，那么这道题最关键的想法，我们来复盘一下，还是一样的，我要这个 b e 加二 c、 d， 那 我最终就要 b e 加二 c d， b e 和二 c、 d 首尾数字相接，所以我得照相似得到二 c、 d 与 b e 首尾相接。 怎么造相似？利用人家给的这个一比二关系，利用这个一比二关系，我把这个 c、 d 放进这个三角形，一条边是 a， 一 条边是四直角，那么这是二 a， 这条边是八直角，这就是二 c d。 二 c、 d 一 旦出来，后面就没有难度了。你看，马哥讲了四道完全不一样的题，但是用的底层逻辑，你现在品一品 用的底层逻辑有没有超出一开始给你画的这一啊？你现在再回过头来再看，是不是都没有？ 所以呢，其实我们就是最用最基本的给你等线，你就想办法造全等啊。给你比例关系，你需要比例关系，你就造相似。如果单纯给你等角呢？单纯给你等角，你再找等角，把它们结合在一起，放进三角形内，这就是最基础的相似和全等的底层应用思想。 就是你不需要你。比如说像我们刚才讲到倒数第二道题，有的地方叫逆等线，倒数第一道题叫做什么？加权逆等线。我嘞个娘呀，你要是那么去学，你不疯掉了？来一个结论，你就得背一个题型，那你得背多少题型？你学数学是靠背题型出来的吗？不是这样的，我们要理解怎么得到的那些做法，而不是去记，去背那些做法， 这就是我们学习数学的追求。好吧，行了，那我们今天就讲到这了啊，今天我们讲了什么呢？我们讲了如何利用全等相似去处理等量和比例，这是最核心、最核心、最底层、最底层的逻辑，后面所有的全等相似的东西都是由这个东西来的，好吧？

前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似，对于等量和比例的处理。全等相似，它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下。比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了， 那现在呢，我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好， 这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线， 那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在两条等线不挨着离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了 啊。那么不同三角形，哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法，所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是 r 法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它，你会发现，我就由原本的一组等量，通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置， 这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理，这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形，勾到全等。 好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊。那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例，线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似， 相似比为一比二的相似，那同样呢？这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来。好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就是你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，他的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是阿尔法角，这是阿尔法角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到，这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。哎，虽然它是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是它的底层逻辑还是当你看到了比例线段，我得想办法把它扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？ 就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多，对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形，就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还会有什么？还会有等角吗？比如说， 哎，我这有一个 r 法角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 法角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想，处理等角，离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线嘛，你想，已经有一组等角了， 这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角。那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度是不是就造成了这两个三角形相似？那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形，就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系，等线等角比例线段的处理，最底层、最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊。这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里， 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道它原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字，在这里特别特别的重要？放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形， 放是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合？把它们往三角形里去放好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的。好了，来，我们来看题，好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先他告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，它不像，如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全的， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了， 正全等。但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈， r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形， 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看，如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行。我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等， 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形，是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等，正不了。为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢？都相等。等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等。已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等？因为我给这造了一个等腰，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c、 e。 结束好整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等。对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去造全等，这才是核心啊，这才是核心。怎么想到的？就是这么想到的。

在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八点一，在 ab 边上点 f 在 对角线 ac 上，并且 e f 和 b d 是 平行的， 点 g 在 bc 边上，并且 g f 和 e f 是 垂直的。然后让我们求线段 e、 g 的 最小值是多少？ 好，这道题是一位山东的同学发来的，他说他们二魔全军覆没了。那今天兔哥就带大家来拆解一下这道题， 可以看到他的条件还是非常简单的，只有一个平行加一个垂直。那我们就要思考了，平行会产生什么样的结果呢？ 是不是可以知道角 b、 e、 f 是 一个定角啊？很简单，因为它和角 a、 b、 d 是 互补的，而角 a、 b、 d 是 一个定角，所以它也就是一个定角了。 好，那垂直又会产生什么样的结果呢？是不是可以知道 b e、 f、 g 和角 e、 b g 是 对角互补的嘛？ 好，那现在外界圆已经画出来了，再来求一奇的最小值，是不是就变成了一个求圆内弦长最小值的问题啊？那这个问题我是不是跟你们讲过呀？我们通常会把它转换成求半径的最小值， 所以我们取出一奇的中点 o， 然后再连接 obf 还有 bf， 这个时候一奇是等于二倍 of 的。 好。接着，因为角 b g、 f 和角 b e、 f 是 对角互补的，所以角 b g、 f 也等于二法，它也是一个定角，那么它的圆心角 bo f 是 不是也是一个定角啊？ 而又因为这一个三角形是一个等腰三角形，现在它的顶角又是一个定角，所以求半径最小值的问题又可以转换成求 b、 f 的 最小值了。 我知道这一步肯定有同学理解不了，不要着急，我们过 o 点向 b f 做一个垂线就行了， 然后根据等腰三线合一，或者你用垂进定力也可以，反正这两个小角都是等于 r 法的，并且 h 点是 b f 的 中点， 那这个时候二倍的 o f 就 等于二倍的 f h 除以三眼法了，而二倍的 f h 又是等于 b f 的， 所以现在你们看明白了吗？ 好，那接下来是不是就没什么大问题了呀？自然是当 b f 和 a c 垂直的时候才能取到最小值了， 这个时候 b f 的 长度我们可以用等面积法来求，而塞耳法的值我们也是知道的。最后把它们俩带入计算就行了，算出来一级的最小值应该是六，你学会了吗？

二零二六年青岛中考数学我来给你们扒一扒三大压轴题的命题陷阱。首先说最让人犯错的第二十五题，动点压轴题， 它是全卷的最难关卡，但不是无限可期。这类题目大概率是双动点围绕矩形、菱形、正方形的平移、旋转、折叠展开分三问。第一问很基础，要是觉得这都困难啊，要赶紧调整自己的学习思路。第二问一般是让我们求一个函数表达式， 但是别怕，面积，核心就是要做高，勇敢的做高，就能够突破这一个问题上产生的困惑。 第三问是特殊图形或者曲线的存在性问题，像平行、小平行线、中垂线这种特殊的时刻，通常结合折叠、旋转。这里有三个坑，我们要避，一个是 t 的 定域，别忽略动点的运动范围，同时要分类讨论， 可能会出现漏洞。最后，坐标表示要涉及到翻折千万标高反符号，用勾股定律或者相似验证之后才保险。 再看选填压轴题，第九题和第十五题是纠纷重灾区。第九题通常考察二次函数的图像与函数关系，别硬算，要看开口对准轴 与外周焦点。第十五题通常考察的是几何题的多解，不要硬推，用特殊值或者极限思想，脑子里边要有运动的图像，前面的结论是后面条件的关键信息，如果三到五分钟没有思路，就坐标记跳过影，影响我们后边的答题节奏。 还有二十三题、二十四题的中档题，常有一些隐藏陷阱。第二十三题，利润问题要注意，销售，销量不能为负。第二十四题，二次函数的应用题一定要注意计算，前两问，绝对不能丢分。第三问，多数情况会考察二次函数与一函数的连累修剪问题， 但有的时候会结合具体题目进行改动，目标是一百一十分的同学，这些题目啊，绝对不能丢分。 最后给大家三个考场的使用建议，第一个是时间分配，选填尽量控制在三十五到四十分钟，不要超过四十分钟， 目标是一百一十分同学，最后一个大题，最后一个压轴题的第三问，可以战略性的放弃，把这个时间用来检查前面卡盒和做标注的题目，确保做过的题目要全对。 第二个步骤得分。现在的阅阅卷是步步得分，哪怕不会写对步骤也能拿到分数。所以说这个题目如果我们发现可能做不太出来，该写的步骤分也一定要写出来，该拿的步骤分也要拿到手。 第三个是考前的心态调整，遇到新定义或者长题啊，我们不要慌张，题目长不代表难，耐心读完我们一定是能做的，要记住口诀，看汉文分存在填结果，细计算，避陷阱，拿高分， 这就是我们中考数学题分的关键。

下面我们看一下淮阴二模的填空压轴题啊。第十五题，如图，直角三角形 a、 c 的 长度三根三， b、 c 的 长度是四，这两个长度是不变的， 然后 b p 的 长度是一啊，所以说呢， p 是 一个动点啊，那个以 b 为圆心， e 为半径的圆上运动，嗯，就这个 p 是 这样的啊，然后连接 a p， c， p、 o 是 三角形 a c、 p 内的一点连接，求这个的最小值， 这不就在三角形当中找一点到三个顶点的距离之和最短的问题吗？所以这个题目就是一个费马点问题，是吧？大名鼎鼎的业余数学家费马提出的，在三角形内部找一个点 到三个顶点距离之和最短，那这个点呢？我们就称为叫费马点，是因为他提出了这个问题，后来他又解决了他 啊，我们在初二的时候平移和旋转当中学过这个支点，所以我们的总体思想就是要想求他们三个和的最小值，就是把这个放射状的三条线段，想办法把它首尾相接 接起来，然后它的起点和终点是两个定点，利用两点之间线段最短来解决啊。而且费马已经给出了非常好的办法，就是旋转六十度， 比如说就是这个三角形啊，向下旋转六十度，向下旋转六十度之后呢，这个三角形绕点 c 旋转六十度，然后就变成这个样子，那转六十度的等腰， 那就是等边一连接，那这个边就和 o c 相等，然后这个边就和 o p 相等，那这样的话，三条边就首尾顺次相接了，两点之间线最短，直接连接 ap 思路就是这样的思路。我们看一下在这个题当中，这个思路是不是可以的啊？下面旋转一下这个图形， 旋转三角形， o c p， 因为点 p 是 一个动点，所以我们可以直接一起旋转这个四边形， o c b p 啊，我们一起旋转一下，它绕点 c， 旋转角是六十度，顺时针方向 画一下旋转之后的图形。 好了，这就是旋转之后的图形啊，那这个点就是 o 撇 啊，这个点呢，就是 p 撇，而这个点就是 b 撇啊， o 和 o 撇是对应点， p p 撇， b b 撇分别是对应点啊，所以下面连接 o o 撇。 那因为旋转角六十度， c o 和 c o 撇相等，含有六十度的等腰，就是一个等边三角形，所以 o o 撇就等于 o c o p 等于 o 撇 p 撇，所以三条边 o c 加 o a 再加 o p， 就 转化成了 o a 加 o o 撇，再加 o p 撇，所以就变成了这三条线段之和最短的问题 啊，因为屁撇是一个动点，屁撇是怎么运动呢？因为 b 撇，屁撇，它的总长永远是一，所以，呃，它就是以 b 撇为圆，心以一为半径的圆，这个圆，我们换一下这个圆 大题，它的轨迹就是这个样子啊，为什么呢？因为这个 b 撇是一个固定点 啊，因为 b 也是一定点，这个长度是定值，旋转过来，所以这个长度也是固定的，这个点 b 撇也是个定值啊，所以下面呢，那什么时候？嗯，这三条线段之合最短呢？ 现在就变成了这个，它的中点是一个动点，在这个圆上运动，所以我们发现直接连接 ab 撇就是穿心线啊，所以这个线的长度就是什么时候最短呢？连接 ab 撇，然后当点 p 落在这个位置的时候， 就达到了三条线段之合的最小值啊，剩下的就是求这个长度就是了，哎，这个长度是一，所以只需要求出 ab 撇的长度，嗯， ab 撇的长度呢？怎么办呢？这个是三根三， bc 是 四， 所以 b 撇 c 也是四，这个角度是旋转了六十度角，这个角度是九十度，所以九十度加六十度一百五十度，这里有特殊角啊，因为要求长度呢，肯定勾股定力啊，所以延长， 然后连接过点 b 撇做垂直， 假设这个点是点 d 吧，那这个角的度数就是三十度，这条边长度是四啊，三十度的直角三角形，所以 b 撇 d 就是 二，这个长度是二根三， 所以在这个三角形当中，勾股定律 a、 d 长度就是二根三加三根三，一共是五根三 d， b 撇是二，所以总长。勾股定律就是五根三的平方加上 二的平方开方，算出来根号下应该是七十九 啊，然后根号七十九，求出了 ab 撇的总长，然后减去它的半径，所以最小值就是根号七十九减一。 好了，这个题目原来就是一个费马点问题，只不过这个费马点问题有一点小小的变化，就是它的中点是一个动点 啊，变成了啊，元外一点与元上的所有点的连线中，元外一点与元上所有点连线中，谁最短的问题，所以就是穿心线啊，一箭穿心， 这样用勾定你来解决就行了，因为有特殊角。好了，这个题目这样我们就分享到这里。

大家好，新的一天又开始了，离中考的脚步越来越近了。嗯，呃，今天我们来讲的这个题目呢，是一个叫阿士元 这个例五，如图，在三角形 abc 中，角 abc 等于九十度， ab 等于两倍的 bc 等于六啊，我们可以标注一下这个信息，九十度，然后 ab 等于六， 同时呢，等于两倍的 bc， 两倍的 bc， bc 就是 三， b 的 等于一点 p， 在 以 b 为圆心，三为半径的圆上，则 a p 加六倍的 p 的 最小值。 这个题你拿过来一看，六倍的 p 的。 我们之前说过，这种带系数的线段，要把它转化成没有系数的线段进行转换 啊。你看，如果看这里的话，这里是一，这里是六，刚好是一个六比一。如果你把它转换成不带系数的线段的话，可以就是从这里去转换一下，但是 点 p 是 在这个位置啊，他就在这个圆上运动，一般来说，我们要转移到在他的近心就是这一边啊，去看 才可以啊，不能在这边，这边的话就不好去转换。把屁转移到这边来了之后，我们可以连接一下。呃，这是 b p 啊，把它转换到这边来， 连接一下之后，我们要构造三角形啊，相似三角形。嗯，很明显。这里你看，如果再把 a p 连接一下， 连接了之后我们要从这边找啊，它的半径就是三， 你看这里是一，好像用不上。嗯，这个题呢，有点特殊，它应该怎么去用呢？你看，三和六的关系之比是二比一，比二， 一比二，但是这里是个六的关系，所以说可以这里要进行一个小小的转化啊，就是把这个，呃，不能说是一比六的关系，要进行一下转换，可以提取一下啊，假如说我们要是提取一个二的话， 是不是变成了二分之一 a p 加上三倍的 p 的， 要进行一下转换，不能说它是什么条件，你就用什么条件去做，有的时候这个题目啊，它不能完全的去体现出来啊，要进行一个小小的转换，你看成了两倍的二分之一 a p 加上三倍的 p 的， 那这你看三倍的 p 的， 这里就可以进行好好的去转换了哈，你看这个半径是三啊，一般在转换的时候要找到这个长的那个长度是它的呃，三倍的关系，这里是三，我们可以延长 b c 啊，假如说到这里吧，啊，用这个 c e 延长 b c 到 e 是 c， e 等于六，这样的话，这个 b e 就是 九啊， b e 等于九，然后半径是三，哎，三比九就是一比三的关系，哎，刚好这个 b 的是一，如果我们连接 p 的， 再连接一下这个 p e， 这样的话，这个 b 的 比上 b p 就是 一比三，而这个 b p 比上 b e 也是一比三，这样的话，三角形 p b 的 就相似于三角形， 嗯， p b 的 就是 e b p 啊，就是两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，相似了之后，这个 p 的 比上 p e 就等于一比三啊，然后 p e 就 等于三倍的 p 的， 这样就把这个带系数的线段转化成了 p e， 这是一步啊，再转换一下这个二分之一 a p 啊，你看在这个，在这这一边三角形 a p b 里边，这个三比六是一比二。好，我们在 a b 上截取 啊， b f 等于二分之三，然后再连接 f p， 你看这个二分之三比三是是一比二，这个三比六也是一比二，所以说三角形啊，这个 p f b p f b 就 相似于三角形啊。 a p b 它们之间的关系就是一比二，就等于 p f 比上 pa， 这样的话，嗯，这样的话，这个 p f 就 等于二分之一 pa 啊，所以说就又把这个带系数的线段又转换成 p f 了啊，实际上就是它两条线段之合，就等于 p f 加 pe， 就是 p f 加上 pe， 两点之间线段最短，所以说我们把 fe 给连接一下， 连接一下 f 一 之后，当点 p 在 这里的时候啊，这个线段之和就最短，最短之后在直角三角形 f b e 当中，这里是二分之三，这里是六加三十九啊。所以说这个 e f 就等于根号下二分之三块的平方，加上九的平方，就等于根号下四分之九，加上八十一。嗯，八十一是四分之 一，四得四四八，三十二就等于根号下四分之三百三十三，就等于二分之根号下三百三十三，九百四十三，三百三十三。然后呢，前面还有一个两倍啊，不要忘了乘以二啊， 然后再乘以两倍的话，就是根号下三百三十三啊，所以说这个题的最小值就是根号下三百三十三。 呃，这，这里这个题呢，是用了两步三角函数啊，我们看看还能不能再化简。一般在这化简这种根号的时候啊，要么除以四，要么除以九，去看看他能不能被整除啊。三百三十三的话，只能去除以 一，看这个数是个基数，我们就要除以九，如果是偶数的话，就除以四啊，九的话就是三九二十七， 六十三，七九，六十三，哎，刚好可以整除，然后三再一开放，他就等于三倍的根号下三十七， 这才是那个最终结果。记得这个根号要进行化减，要么除以四，要么除以九，这样的话看看他能不能整除，不能整除的就是最简了，能整除就可以再继续化减。 这个题呢稍微有点难度，要进行这个线段的这个转换，这是转换了两步，大家可以看一下。