浙江杭州中考数学几何压轴题

好，家里面有初二的学生一定要看一下这道题啊，这是我从试卷上截下来的题目，对吧？也是去年的杭州，其中试卷真题的题目二十二题啊，今年是杭州中考试卷改版了，对吧？现在从现在已经开始在二十四道题了， 就是因为我们明年的中考，今年这一届开始，就是我们的考试时间由一百分钟变成一百二十分钟，题目变难变多了。原来中考杭州中考是二十三道题，二十二题就是倒数第二道压轴题了，知道吧？ 那么现在我们就开从今天开始，现在变成二十二十四道题了啊，这去年的时间，所以说这道题就是第二道压轴题，很难的，不难，但是很重要的有点难。好，大家暂停读题，自己先试着做一做好，做完了，像我自己的老生的话，第一遍做这道 道题的话，很多同学都只是会第二道题，第第会第一问，但第二问就不会做了。这是一个几何题目，几何题目无非就是两类，求角度的，一个角多少度的，求线段长的，一个线段多少多多长的，对吧？ 好，我们一起看一下这道题吧。在 rt 三角形中，细节啊，角 a， c， b 等于九十度。好，这个角等于九十度的，标出来点倒为 a， c 上面一点， a， c 上面一点倒 b 倒平分圈起来 去标角一角二了，角一等于角二，然后脑子里马上去想，模型啊，角平分线模型，四大模型，垂两边呢？垂角平分线呢？我们笔基本上都有的，对吧？双平等腰模型第三个，然后第四个模型是节长不短，所有的角平分线就考这四个模型， 然后是倒 e 垂直 a b not a 垂直来了，看好了，角平分线，这不是第一个模型吗？所以是不是直接就是 b 倒 c 全等于三角形 b 倒 e 了呀？ 就是第一位要证明的，这个对不对？为什么呢？怎么证明呢？角一等于角二，这个角倒 e b 等于九十度，等于这个角 a c b， 然后再来一个公共边啊， 公共边，这叫什么？ a a s 判断全等，对， a s 判断全等啊。那么我们看第二问啊，当然还有条件，角一等于角二的第二问，他给了一个角，换个颜色，给了一个角， 这个角是八十度，让我们求这个角 a， 很多同学懵逼了，这怎么求呢？这个八十度的角离这个角 a 十万八千里， 我们直接去求，不好求的。我们想，如果说这是有个九十度，如果能把这个角求出来，是不是也挺好的，对吧？能求吗？不知道我们往下去推一推啊，角一等于角二，能推出来什么？角一等于角二，是不是能推出来这个 e c 等于一个倒计啊？ e c e g 是 e c e g 的一个导技，对吧？ 那同样的，我们知道刚才已经全等了，全等之后角一会等一个，哎呦，他已经角一角二了是吧？我们这个换一下三四好了啊，加我在这标一个角五。 那么尤伊德呀， 由一得全等吗？得到是不是角一等于角五的？角一等于角五之后，你看啊，这个边是不是在等于这个边呀？ 得 e 是等于个得 c 的，对吧？ 这两边相等，这两边相等的，你看啊，圈角边我们是不是又能得到全等了？ 所以啊，这叫什么 s a s 得，我简单写时间关系啊，得到的是三角形， 得意己 全等于三角形，得 c g， 黄色三角形等于黄色三角形，清楚吧？那所以啊，继续，所以 是不是能得到一个这下面也是一个等腰三角形啊，我们就会得到一个倒计是不是也是等 eg， 是不是应该等于这个边呢？所以倒计也是等于一个 g c 的 g e 等于 g c 吧，这一段等于这段，那上面是不是也是个等腰呀？好，那现在就好办了啊， 看，所以啊，还有一个 角六，角七，角六是不是等于角七呢？而且这两个角是不是能求出来的？是不是一百八十度，减去这个角 e g f 也就减去八十度，再除以二，对不对？ 他就等于五十度，能理解吗？角六角七是不是等于五十度了？这是一个平角吗？等于五十度之后啊， 所以角一等于角二等于角五，是吧？其实还等一个角倒 c g 的，知道等于多少 角一角二是不是就是一百八减九六除以二啊，不就一百八减五十除以二是不是等于六十五度啊？能理解吗？ 角一等于六十五度，角五是不是也是六十五度呀？ 八十推车，这两个和是一百除以二，这是五十，一百八减五十除以二，六十五度， 这个六十五，这个六十五合起来是不是一百三十度啊？所以说这个角是不是五十度啊？所以说这个角是不是四十度啊？当然，如果熟练的话，这个一百三直接减九十， 外角是不是等于四十度，我讲清楚了吗？哎，大家好好做一做题啊，这是一道压轴题知道吗？压轴大题是有点难的，毕竟人家十二分。

这道中考题难住了许多中等生。好，我们来看题，有这样一个圆，圆欧 ab 是他的直径点 c 在圆欧上，现在呢，将这一个圆沿直线 co 进行对折，点 b 落在圆欧上的点滴处 连接 c、 b、 c、 d a、 d c、 d， 角 a、 b 与点 e。 并且呢， a、 d 是等于 e、 d 的。让我们来求这一个角角 b 的度数，那既然要求角的度数，我们就可以到题目中通过几何性质去找到一个关于角 b 的等量关系，然后再通过解方程的方法来求出角 b 的度数。 我们设角 b 是等于 x 度的，那因为 oc 和 ob 都是这一个圆的半径，所以角 ocb 应该就是等于角 b 也等于 x 度的。再根据折叠的性质，这一个角角 dco， 它和角 bco 是一组对称角，所以说 说它的度数也等于 x， 那么这一个大角角 b、 c、 d 就是等于二 x 的。我们再来看角 d、 a、 b 就是这一个角，它和角 d、 c、 b 因为都是同一段弧弧 d、 b 所对的圆周角，因此角 d、 a、 b 的度数也是等于二 x 的。 而题目中又告诉我们 d、 a 是等于 d、 e 的，因此这一个角角 d、 e、 a 也是等于二 x 的，那么它的对顶角角 b、 e、 c 同样也是等于二 x 的 好，这样，在三角形 b、 e、 c 中，我们就可以利用三角形内角和列出一个关于 x 的方程，也就是 x 加上二 x， 再加上二 x， 等于一百八十度。写出来呢， x 也就是角 b 是等于三十六度的。 好，我们来看第二空，要求 b、 c 比上 a、 d 的比值。那这类问题呢，我们比较常用的解法就是把 b、 c 和 a 分别用含有同一个字母参数的代数式给他表达出来，然后在比的过程中把这一个字母参数给约去。首先，我们通过子母型相似和等弧对等角可以分别正的三角形 ceo 是相似于三角形 bec 的，以及三角形 bce 是相似于三角形 d ae 的， 那也就是说这三个三角形均为相似的关系。而又因为我们已知三角形 d、 a、 e 是一个等腰三角形，因此这三个三角形均为等腰三角形。 那么在等腰三角形 c、 e、 o 中，我们把 e、 c 设为 a， 那它的另一条腰 o c 应该也是等于 a 的，而 o、 c 刚好又是这一个圆 o 的半径，因此另一条半径 o b 也是等于 a 的。此时我们再把 e、 o 设为 x， 那么 b、 e 这一条线段的长度就应该是等于 x 加 上 a。 这样我们根据三角形 ceo 相似于三角形 bec 可以得到 ce 比上 eo 是等于 be 比上 ce 的，把它化为等级式，就是 ce 的平方等于 eo 乘以 be c， e 是等于 a 的， e、 o 是等于 x 的，而 b e 我们知道了是等于 x 加上 a 的。由此我们就可以得到一个关于 x 的并且含有字母参数 a 的一元二次方程。 再经过解方程，我们就可以用含有 a 的代数式把 x 的正值给表示出来，而 x 我们知道了它是等于 e、 o 的，因此 e、 o 的长度就等于二分之根号五减一，再乘以 a 好， eo 的长度我们有了，又因为 ao 也是圆 o 的半径，那也是等于 a 的。由此我们就可以求出 ae 的长度就等于 ao 减去 eo， 那也就是 a 减去二分之 根号五减一乘以 a 算出来呢，是等于二分之三减去根号五乘以 a。 好，我们再通过三角形 b， c， e 相似于三角形 d， a， e， 又可以把题目中 b， c 比上 a， d 的比值转化为 e， c 比上 a， e 的比值。 而 ec 我们知道了是等于 a 的。 ae 呢，又是等于二分之三减去根号五乘以 a 的。由此我们就可以得知， bc 比上 ad 就是等于 a 比上二分之三减去根号五乘以 a 算出来呢，是等于二分之三加上根号五的。

大家好，我们今天看一下这个二零二三年杭州中考真题填空压轴题，也就是最后一个填空题啊，这道题呢， 是一道几何题，主要是考察全等相似直角三角形的性质，包括运用勾股定理的 啊。这道题呢，其实在中考的时候，如果拿到这道题呢，其实是非常开心的啊，因为呢，在巩述区医模的时候呢，就考到了这种非常类似啊，相似度很高的，也是第十六题 啊，我们来看一下啊， a， b 等于 a， c， a， b 等于 c， 这是个等于三角形点， d， e， f 在这三条边上， b， f 呢，这个 b 点跟 b， f 跟 f 点啊，这个 b 点跟 f 点，关于这里直线对称啊，也就是说把这个 b 一倒，沿着倒一这样子翻折过来对应点， b 点的对应点就是 f 点啊，就说明这两个三角形是全等的。 而题目又告诉我们， b c 比 a， b 底比幺是等于 k， 若 a， d 等于 d f， a d 等于 d f， 好，这个题目呢，很容易得到啊，这个方则啊， you， 这个对称可知有对称可知，这个 b、 d 呢，是等于 d f 的，而这个 d、 f， 它又等于 a、 d 的啊 的 a， d， 实际上我们很容易得到这个三角形， a， b， f， 它就是二梯三角形啊，它就是二梯三的形。实际上这个题目呢，已经正果啊，在这里画一下啊， 这个是 m， 这个是 n， 这个是 p， 这个就是 q 啊，如果这个 n q 呢，等于 q， m 等于 p q 啊，那么我们就很容易得到这个三角形 p m， n， 它是二题三角形啊，这个常识我们要知道 啊，其实证明也简单，为什么说简单呢？因为这个，这个，这个，这三条线段相等，也就是说这里呢，有两个，呃，等腰三角形，我不妨设这个为 x， 那么这个呢？ x， 你是这个为 y， 那么这个呢，也是 y， 所以呢，我们就等到 x 加 x 加 y 再加 y， 等于一百八十度， 十一文就得到二二 x 加二 y， 一百八十一， x 加 y 就等于九十度啊，那也是叫 m m p 呢，是等于九十度，所以说它是二题三角形啊。这个证明实际上是比较简单的，也就是说啊，我们看到这句话啊， b、 e、 f 关于 d、 e 对称，那也就是说 b、 e、 d 这个三角形啊，与 f、 e、 d 这个三角形是全等三角形 啊，也就说 b、 d 呢，是等于 d、 f 的，再结合 a、 d 等于 d、 f， 所以这三条线段相等，所以我们快速或者是迅速做出判断，这个三角形 a、 b、 f 是二 t 三角形，所以我们赶紧的把这个 b、 f 连起来， 说明这个角是一个直角点， d 是 a、 b 的终点，哼，也就是说这个 d、 f 是斜中线啊，所以我们对这一块姿势呢，要非常熟悉，这是第一点，所以我们很快得到这第一个信息， a、 b、 b、 f 是二点三的型，所以说这个 b、 f 它是垂直 a、 c 的啊，由对称可值，这个 由对称可知，这个 b、 f 呢，是对应点，所以说啊，这个 b、 f 呢，它又全是 d、 e 了。哈哈，那这个时候我们就快速的做着判断， a、 c 是平行 d、 e 的 啊，且刚刚已经得到这个 d 是终点，所以这 e 点是终点，也就 d， e 是中微线啊， d、 e 是分为线，这个点我们刚刚证明了这是这条线是斜中线，所以这个点是终点。哎， d、 e 又平行 a、 c， 所以说 b d 比 a， d 等于 b， e 比上 e、 c， 那这 这个一点也是终点好，到了这里，我们就要看这个长度啊，进行这个运算了。进行运算，这个 b、 c 比 a、 c 呢，它是等于 k 的， b c 比 a c 等于 k 的啊， a、 b 是一样的啊，比如说 a、 b、 k， 那么在这里我们不妨设呃 a、 b 等于一吧， 因为这里是已知比值，求比值，我们可以大胆的设分母为一，那么 b、 c 呢？就等于 k 啊， b、 c 等于 k， 这个是 e， 这个是 k。 好，我们在这里是求 c、 f， 求这一段比这一段。那这段哦， 现在就比较简单了，我们又知道 a、 b 呢，是等于 a、 c 的，是等于一的啊。题目要求 a、 c 线上的两条线段之比，这两条线段之和是一，所以我不妨设 c、 a、 f 吧， 等于 x， a、 f 等于 x， 那么 c、 f 就是一减 x， 所以我们在这里呢，利用勾股定理啊，那个 b、 f 的平方，实际上它是等于 a、 b 的平方， 减去 a、 f 的平方，当然他还等于 b、 c 的平方，减去 c、 f 的平方。 所以这个点我们只要用一个勾股定点啊，这个 b、 f 是这两个直角三角形，一个公共的直角边，我们利用勾股定点就可以 已建立 x 的方程，所以我们在这里代入啊， a、 b、 e 的平方就一减去 a、 f 的平方，就是 x 的平方，等于 b， c 的平方是 k 的平方，减去 c f， c， f 是 e 减 x 的平方。 好，那么这个时候我们就可以把这个方程呢解出来啊，所以这个是一减去 x 的平方，等于 k 的平方，减去一减二 x 就加上 x， 再减去 x 的平方，所以呢，我们在这里就可以解出来啊，这就等于把一移过来，那就是二 x 平方给小的，那把 k 方移过来， 就等于二 x， 所以我们这个时候就可以求出来，就等于二 减 k 的平方，再除以负压。好，题目是求 c f， 那所以这个 c f 比上 a f 就出来了啊， c f 呢， c f 是一减 x 了 啊，那就是它就等于一减去二分之 k 的平方，一减二分之 k 吧，那就是用一减 x 再除以 x， 它就等于 x 分之一，再减去一 x 分之一，也就是二减 k 的平方分之二， 再减去一。当然我们可以通过分呐，就等于二减 k 的平方分之 k 的平方。 这是这道题啊，难度呢，是有一丢丢的啊，难度是有一点的啊， 呃，平时呢，训练过这种题啊，所以说在中考的时候拿到这个题呢，我们呢啊，心里呢，并不会感到恐惧啊，这个题目的相似度，尤其是这一部分啊，得到 abf 跟公数区一模的那个第十六题是一模一样的 啊，那后面一问，那个接后面的这个关于计算呢啊，区域一模还要难一点啊，这道题呢，我们呢，只要建立这个 x 的这个方程就可以啊，连勾固定点就可以了。 好，那么这道题呢，就讲到这里。

大家好，今天我们开始分析二零二三年杭州市中考数学真题， 那么老师从去年的中考试卷当中选择了六道题目啊，分别是第十道，十六道，二十二十一、二十二和二十三题， 那么这六道题目他都有一定的难度，那么老师通过分析这六道题目呢？那么很好的了解去年杭州市中考的数学试卷的难易程度，那么今天我们是分析第十题一道选择题。 那么下面我们来看一下第二十四届国际数学家大会汇辉的设计机 处是一千七百多年前中国古代数学家赵爽的衔图，如图，在由四个全等的直角三角形啊，由四个全等的直角三角形和中间一个正方形 e、 f、 g、 h 拼成的大正方形 a、 b、 c、 d。 那么老师在这里画了一个图形， 然后在这个图形当中，它已知角 b a、 b、 f， a， b、 f 大于角 b a、 f， 同时它假设角 b a、 f， b， a， f 啊，这个角为阿尔法角 b， e、 f 啊， b e、 f， 这个角为贝的好，那么知道这两个角的之后，那么题目他已知正方形 e、 f、 g、 h， 也就是这个小的正方形与大的正方形的面积之比是一比 n， 并且 tender 的 alpha 等于 tender 的被打的平方，那么要我们求 n 的值好，这道题目呢，它是一个选择题，那么对这种选择题我们怎么做？我们可以来假设一下， 比如说这里他的比值是一比 n， 所以我们不妨直接假设啊，这个小的正方形的边长为一啊，面积为一，因为他这里是面积之比，所以我们不妨假设这个小的正方形的 面积为一，那么大的正方形的面积，它就是 n 了啊，因为这种假设对求答案是没有影响的哈，好，那么假设完之后，那么当然我们在这里就可以知道了， 既然小的正方形的边长面积是一的话，那么他的边长应该都是一了啊，所以这四条边他的长度都是一的，那么同样大的正方形的边长，那就应该是根号 n 啊，这些都是等于根号 n 的。 好，这个时候呢，我们再来假设一个问，假设一个未知数啊，为了方便我们假设 b f， 也就是这里的 b f 为 x， 由于这四个直角三角形是全等的啊，都是相同的，所以我们在这里也可以得出啊，得出其他的 一些边，他也是等于 x 啊，也就是我们还可以得出 c g 为 x 啊，以及 a e 为 x 啊，当然也可以得出 d h 为 x 啊。字母有了几个字母之后呢，我们再看到，看到这里面，我们知道 tender 的阿法，我们就可以表示出来了， tender 的阿法应该是等于 b f， 也就是等于 x 比上一加 x 啊， 这是 tangent 的阿尔法，那么 tangent 的杯呢，我们也可以表示出来，那它就应该是 b f x 比上 e f 的一，所以它应该也可以表示出来，那么表示出来之后，题目当中它是 tender 的 alpha， 等于 tender 的白打的平方，所以我们利用 这个等式啊，就可以得出这么一个等式了，也就是 x 比上一加 x， 应该是等于 x 的平方。从这个等式里面啊，我们就可以得到一个 关于 x 的这么一个方程，也就是 x 平方加 x 等于一，那么对于这个方程呢，我们没有需必要去把它解出来啊，因为解出来也到最后面应该也没有什么作用，这个时候呢，我们来看到一下， 那么有了这个方程之后，接下来我们该怎么办呢？好，接下来大家注意了，在这里面我们选择一个直角三角形，也就是我们选择了三直角三角形 b， c g 啊， 这个直角三角形里面，我们来观察一下，很明显，那么它应该是 b c 的平方，它是等于 c g 的平 方加上 b g 的平方，这样的话，我们就知道 b c 的平方它是等于 n 的，那么 n 就应该是等于一加 x 的平方，再加上 x 的平方 c g， 它的长度是 x， 那么我们将它展开之后啊，得到了二 x 平方加二， x 加一，那么从这里可以提出一个二之后啊，很容易算出它的结果是等于三的，所以这这道题目的答案应该是选 c 啊。老师在这里借用了一些啊，比较， 嗯，常用的，我们习惯常用的哈，因为他在这里，他假设的他的面积是 e n， 所以我们就干脆令他为 e 啊，那么他大的面积就是 n 了。当然如果是，你也可以假设其他的情， 比如说你可以假设小的正方形为 a， 那么大的正方形呢，它就是 an 了，那么其实在后面这个等算的时候呢，这个 a 它是可以相约去的哈，所以在这里呢，老师就干脆假设小正方形面积为一， 那么大的正方形当然就是 n 了，这样计算起来就比较方便一点。好，这是第一个，第二个呢，在这里我们动用了一个未知数 b f， 这样操作起来就比较方便。好，那么这道题目是去年杭州市中考数学的第十题啊，一道有关几何综合性题目，因为这里面涉及到三角函数，涉及到勾股定理啊，以及涉及到一些全等等等一些性的一些 内容，所以它应该是一个综合性比较强的题目哈，好，那么今天这一讲就分析到这里，如果喜欢老师的视频可以点击关注。好，谢谢大家。

中考二模数学这个压轴题最后一问呢？这位同学说他们学校应该是没有同学做出来的最后一问。那么可能有两个原因，这道题的话本身就挺难的，另外一个可能就是前头的题目也有难度，做完前头的题目已经剩不下多少时间了。那我们来看一下最后这个二十四题压轴题啊， 他说的是什么呢？他说的是看好了，在直角三角形 a、 b、 c 中，我重新把这个图画的更精确了一些啊， a、 b c 直角三角形， 然后它的长度是确定的，一个四一个六，那你可以顺便把它这样一个斜边求出来吗？ b c 斜边求出来应该是个二倍根号十三，你可以自己求一下啊。 那好，我们继续往后，然后呢，以 c v 圆心二倍根号二为半径呢？做了这样一个圆点， c 就是那个圆心点， d 是动点， 他终于有动点了。什么动点呢？是 a、 b 这条边上的动点，他没有特别标注，就是究竟包含不包含 a、 b 这两个端点，那我们默认就是包含 a、 b 这两个端点的啊。在这条线段上运动的点地， 然后怎么办？他说过点地分别做圆的两条切线，对吧？那么做切线的话，其实这道题大概率是要连接 c p 和 c q 的，我们一会再连接吧。啊，一会再连接，然后，啊，他又说什么了？ 他说看好了哈。连接完 pq 之后，他连了一下 pq， pq 是有一个终点 m 点的，注意，连接完 pq 这两个切点之后， m 点一定是终点，时时刻刻都是终点。 所以说在运动的过程中，点 d 是最主要是点 d 的运动引起了点 p， 点 q， 甚至呢引起了点 m， 这个 终点的运动能清楚吧？然后剩下的就不多说了啊， f 点和点 e 呢，分别是两个焦点，这都好说，那现在我们看了第一问，非常简单，他说的是 当这个角是五十度的时候，这条裂弧所对的角。他问这条裂弧的度数不就是所对的圆心角是多少度吗？那么第一问，我们快速过一下，就是连接一下 cp， 连接一下 cq 就行，那么连完之后，根据相切，这两个角肯定是直角。我们观察一下这样一个四边形 c p d q 在这样一个四边形中已经有多少度了？请告诉我。已经内角和这三百六十度已经有两个九十度了。所以说图中这个角 p d q 再加上角 p c q， 它肯定也是互补的关系，它是三百六十度减去两个九十度得出来的。那既然是互补 关系的话，其中一个是多少？是五十度啊？所以他所对的圆心角 p c q 不就是一百三十度吗？你就告诉他，这个猎狐所定的度数呢，是一百三十度，就是圆心角的度数啊。那么我们来看这个第二问。第二问的话，他说的是 当 c e 等于 c f， 也就是它是个等腰三角形， c e f 是一个小的等腰三角形的时候呢？求这种情况下 a d 的长度，其实 a d 长度的话，随着点 d 的运动，我们完全可以把它假设成 x 啊，究竟有什么用，一会就知道了。 那好，还是老规矩，连接一下 c p c q， 本来他就肯定是要连的，还有另外一个啊，我想连一下，连接 c m， 我写上吧，连接一下 c m， 再连接一下 d m， 这个时候的话，大家要注意一个问题啊， 这个很显然嘛，因为是等腰三角形，你看一个东西， c p 等于 c q， 因为它都等于半径，对吧？然后呢，根据三线合一，我这个 c m 呢，是垂直于 p q 的，没问题哈。那么再继续， 因为同样的道理啊，你根据切线长定理哦， d p 也是等于谁的？ d p 也是等于 d q 的呀，所以说，其实这个 d m 呢，也是垂直于 p q 的，也就是说这两个位置呢，这个位置是一个垂直，这也是一个垂直，这两个垂直加起来不就是一百八十度就贡献了吗？ 所以说这种情况下，它就是贡献的。当然你也可以根据中垂线嘛，因为 d p 等于 d q， 然后呢，这个 c p 等于 c q， 所以说这个 c p 是谁的中垂线啊？是 p q 中垂线，中垂线的话，你这个中点 m 点肯定在这个中垂线上了啊。所以其实我们挣这么多，就是想说明图中的 c m d 这三个点他是怎么样的，他是在一条线上的，他是清楚了吧？好， 那正完这个贡献之后的话，大家就要求这个 ad 长度了， ad 长度好求吗？来吧，既然你这个地方是垂直的，来， 又因为这个 c e 等于 c f， 这是这道题特殊给的这样一个条件，所以说，根据三线合一的话，我们是不是可以得出来这样一条呢？ 也就是说哦，它不仅就这个 c m 不仅是高，它还是角平分线吧。所以呢，此时我们可以说 d c， 它是平分这样一个角 a c b 的，那如果遇到角 平分线，我们最常见的辅助线做法其实是什么？最常见的辅助线做法其实是做这个 d、 h 垂直于 b、 c， 这个是显而易见的，因为角一等于角二，所以角平分线上的点 到两个距离相等吧，到两边的距离相等，所以说我就把这个膏呢给做出来了。行，做完了，那么做完这个膏以后的话，这个不用多说啊，图中 这个 a、 d 显然是等于 d、 h 的，咱们假设它都等于 x， 这个可以吧？哦，这条长度也是 x， 那还有一个相似，我们就可以把这道题完全解决出来了。我问你一个问题，嗯，请你告诉我这个三角形 a、 b、 c 它的三边比值吗？我们刚才其实已经求过了四六二倍，根号十三，那我们消一下，其实就是二比三比根号十三这样 一个特殊的比值啊，那你说这个 a、 b、 c 和三角形 b、 h、 d 相似吗？相似啊，因为它有一个公共的角 b， 而且还有一个九十度。哦，我知道了，我们呢，根据三角形 b、 h、 d 相似于三角形谁啊？三角形 b、 a、 c， 它的三面比值我刚刚已经说过了，其实都是二比三比根号十三，根据这个比值肯定是可以求出来的。现在看好了， 既然你总长度 a、 b 等于四的话，下边这个斜边是不是四减去 x 啊？对啊，来清楚了吧， 四减 x 比上 x， 那不就是斜边长度根号十三，再比上比较长的这条边，比上这条长的边二倍，根号十三比上六，其实就是根号十三比上三这样一个比值啊。那么接下来我们根据这个比值的话，其实就完全可以把这个 x 求出来，详细的计算过程我就省略了啊，算完以后的话，应该是这个三倍根号十三减去九，应该是这个结果了。这是第二问，清楚了吧。第二问的话，综合利用的就是什么？一个是 啊，等腰三角形三线合一，对吧？我们得先说明他是贡献的，然后还有什么？然后还有角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，是吧？那好了，第三问， 第三问。第三问又包括两小问，所以说，其实这道题为什么很多同学做不出来？可能是前头花的时间很多， 然后我们最后一问，这个压轴题呢？又有两个小问，其中一共是四问，所以时间不够了啊。咱们看一下，第一个让你连接了，连接一下这个 c m 和 b m， 他最终问的 是这个 bm， 图中求求一下这个 bm 的最小值，如果存在的话，直接写出 bm 的值。其实后边还有啊，如果不存在，你也得说明理由，答案肯定是存在的嘛，对吧？一般这么问。那来吧，咱们先来说第一问哈，第一问，他写的乘法关系， 可是如果说我要写成笔直关系的话，这道题可能很快就会做出来了，哎，这不等价吗？这不就一回事吗？对不对？ adac， 哎，我知道了，其实他就想说明图中的你说这俩相似不相似啊？肯定相似，所以说圈一的话，咱们快速说一下， 因为三角形 c m e， 刚刚我们已经说过了这三条，这三个点是共一项的啊，现在就不用再正了，一样的。那继续来看， c m e 是相似 于三角形 cad 的，哎，为什么相似啊？首先角 c 这个位置是个公共角，哎，公共角直角，公共角角也是个直角，你说呢？两个角相等了，两组角相等，当然相似了，这个不用多说吧，既然相似，所以我们就可以写了呀， 这个 m e 的对应边显然就是 a d， 然后呢，这个 m c 的对应边显然就是 a c， 是不是我们写成乘法关系，所以不就相当于谁呀？相当于这个 a c 乘 m e 的长度，它是等于 m c 的长度，乘 a d 的，这不就正完了吗？完全一样的， 只不过他写的是乘法关系，我们写的是比值关系，他是相似。但是这个第一问中的相似，我想说的是哈，在我们最后一问这个圈里边还是有 用的。所以呢，说我们这个结论呢，先保留到这有啥用呢？有用看了哈，他说在点地运动的过程中，点地运动的过程中，这个 bm 是否存在最小值？这个时候的话，我们点 b 可以研究一下，他肯定是毫无疑问是个定点啊，就固定在这了。 m 点是不是个动点？他倒是个动点，但是他究竟有没有个轨迹呢？我们可以猜一下， m 点的运动轨迹，要么是直线，要么是圆，但是 这个地方谁这个角 c m e， 它是等于九十度点，九十度的话，我们猜一下 m 点的轨迹，它是在某一个圆上运动的， 在哪个？我们猜想在以 c e 为直径的圆上，但是你要这么猜想的话，你得先证明 c e 长度是个固定值，对吧？哦，那我知道了，所以哈， 这个题为什么相似有用？我们继续写这个相似。接下来的话，我要写另一组相似笔了，也就是图中我这个 c e 的长度，再比上这个 c d 的长度， 它是等于谁呢？是等于这个 c m 的长度比上 c a 的长度呢？有的人可能看不出来，那我直接写这样一个，呃，乘法关系吧，也就是说，图中这个 c， 呃， m 乘 c d 等于谁呢？ c m 的长度乘 c d 的长度是等于这个 c a 乘 c e 的。 有啥用呢？大有用处，我标一个东西，难道大家就没有看出来吗？这个圈一先放到这啊，很有作用，很有用哎，这是个直角三角形吧，没有问题啊，这是根据切线得出来的。然后呢，这个地方 因为中垂线，我们刚才第二文括号已经得出来了吧。垂直，你看，直角三角形中出现了斜边上的高，对不对？直角三角形出现了斜边上的高。其实你马上应该想到的这个定理就是摄影定理啊，我们根据摄影定理的话，肯定是从点 c 出发的，这样一个摄影定理， 在图中哦， c p 的平方一定是等于谁的，等于这个 c m 乘 c d 的啊，这就是试用定理啊。我们对比一下圈一和圈二， c m cd 都有 cmcd， 那么根据等号的传递性，我们就可以得出来， cp 的平方其实就是半径的平方，对吧？半径是二倍根号二，它是一个圈子的值，等于几？等于 ca 乘 ce 啊，来，其实就是谁二倍根号二的平方，这个半径平方我直接写了啊， 等于八，然后 c a 是几？ c a 乘 c e， 天呐， a c 长度是六啊，原来 c e 它等于六分之八，等于三分之四，是个固定值啊，清楚了吗？那么接下来，哎，见证奇迹的时刻到了，我们只需要关注两个条件，看好了哈， 既然你这个角 c m e 永远等于九十度，所以到这的话，我们就可以下结论，点 m 再以 c e 为直径的圆上运动了吧，是吧？那么此时这个圆心的话，就咱就写为点 g 吧。嗯， 然后呢，这个半径直径的话，是等于 c 一的长度是等于三分之四，那么半径不就是三分之二吗？那我们把这个圆画出来，可以吧？那就画出来了呀，那接下来我们根据三面关系嘛，在 b m， 至于这样一个三角形中，我们两边之和大于第三边，两边之差小于第三边啊，所以就是 b g 的长度减去 m g 的长度， b g 是多少？这个勾股定理是很好算的，你看，在这样一个红色的三角形 b a g 中， 其中一条边是四，不用说了，另外一条边呢，它是总长度六，再减去半径三分之二，六减三分之二，这其实就是三分之十六啊， 所以我们等于勾股定律算出来啊，四的平方加上三分之十六的平方， 再减去这个 m g 就是半径吧，三分之二。最后我们算出来，三分之十八等于六啊，这道题它的最小值就是六了，所以清楚了吗？大家在分析这个问题的时候，其实怎样能够更快做出来呢？ 咱还是一开始我们发现点 b 是个什么点？是个定点，但是 m 点是个动点， m 点是个动点的话，遇到这种最值问题，大概率这个动点是有轨迹可循的，这个轨迹你猜想是直线还是圆，肯定往圆的位置去猜想为什么？因为 c m e， 它是一个九十度。如果你能够想到我们需要先证明 c e 是多少是一个定值的话，那么这道题很快就可以做出来了。但是很多同学想不到为什么 c e 是个定值啊， 而且中间还套用了一下试用定理。所以这道题最后一问，难度真的是有的，如果在规定的十五分钟时间内你能做出来就已经非常厉害了啊！

今天咱讲一道二零二二年浙江杭州的一道中考填空压轴体，已知三角形 abc 内结于半径为一的元，欧 角 bac 等于 catca 是锐角。求三角形 abc 面积的最大值为多少？ 好多同学一看是求对峙问题的，感觉就有点难，那咱一起看一下这道题到底难还是不难。三角形 abcbc 是确定的，我们知道在圆中 直径是最长的线段，所以说要想求 bc 边上的高的最大值，因为 bc 确定了它的面积 只和底和高有关地确定了，那么高最大的时候，那么它的面积就是最大，而直径是圆中最长的线段。所以只要我们过圆心做垂直于 bc 的线段 就行。这样的胶原欧仪 a 片 教 bc 于 m 点，然后把这个哦， 我们把三角形 a 撇 b 和 a 撇 c 连起来，这个时候的三角形才是面积最大的三角形。 根据圆心角和圆周角之间的关系，我们连接欧 b 和 oc。 因为铜弦所对的圆周角是圆心角的一半， 圆周角 bacbac 是 cat， 那么 bapc 也是 cat， 那所以角 boc 就是二倍的 cat， 这是我们得到的第一个结论， 角 boc 就等于二倍的角 bapc， 也就是 bac 等于二倍的 cat。 又因为 om 是垂直于 bc 的，我们做的就是垂线段 啊。根据垂径定理，那么 bm 就等于 cm 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的胡，咱现在就是平分这条弦就行。既然是平分的，那很显然他又垂直又平分，所以 om 就是 bc 的中垂线，所以 ob 就 等于 oc 啊！垂直平纹线上任意点到线段的两个端点的距离相等， ob 等于 oc， 所以三角形 obc 就是等幺三角形，等幺三角形三线合一，所以 om 就是 三角形 obc 的角平纹线。所以我们现在就可以得到第二个结论，角 bom 就等于塞他，因为他等于他搅平温线啊，把他分开了，平均分成了两份。 又因为啊，这是塞他的 om 比上 o b 等于 cosine sitter sit 的余钱值， 所以 om 就等于非他的余弦值乘。 obob 是半径是一，所以就等于非他的余弦值。 om 求出来了，那现在呢，咱就可以求 map 了啊，这就是最长的高。 mapa 就等于 c， 它的余弦值 加上 oa 撇， oa 撇是半径是一， 现在高。知道了，咱看一下底 以呢先求 bm， bm， 因为 bm 比商 ob 就等于非他的正弦值， 所以 bm 就等于 c， 他的正弦值乘 obob 是一半径，所以就等于 c， 他的正弦直， 而 om 是中线， m 是终点，所以 bc 就等于二倍的 bm， 也就是二倍的非他的正弦指。 现在我们就可以求 三角形 abc 的最大值了。三角形 abc 的最大值就是三角形 apc 的值就等于二分之一底层高。 d 是 bc， 所以乘以二倍的。 随他的正弦指乘以高是 apaapm 就是括号里边 c， 他的一弦指加一，二分之一和二约去，所以就等于 c， 他的正弦指乘以括号里边 c， 他的一弦指加一的。和。同学们，友友们，你们会了吗？

好，大家好，我是成哥啊，来讲一道初二上上学期期中考试的小压轴题，选择题第十题啊，选择题的最难的一道题了，这道题有点难啊，这道题是什么？是矩形哲理，大家可以暂停读题啊，读完了 能做出来吗？会做吗？这道题啊，他，他是要考勾股定理的，但他难在哪？他难在折叠了。 折叠这个东西啊，是前面五年六年杭州中考的第十六题，今年考了平行四边形的折叠二三年，二二年考了圆的折叠，然后前面四年连着考了四年的矩形折叠，对吧？ 那本质上折叠又是什么呢？折叠是轴对称，折叠只是说只是一种形式，它本质上在考的是轴对称图形。一张 一张，很容易被大家忽略的啊，章节啊，知识念。那么我们看题啊，来做题， 举行 abc 的点 e 在 ab 边上， b 一等于二，好标上二。做题时候，一边读题一边标标条件， bc 等于三，好标上， 然后将三角形 c b， e， c b 沿着 c e 翻折，点 b 落在点 g 处，那这段不就也等于二了吗？我自己推出来的，加一个括号。那么 c g 是不是等于三呀？等于 c b 的， 而且对应角也要相等的。注意了啊，角 b 还等于这个角 c g， e 九十度，我也给它标上了。另外很多同学不会标的一点是什么？我会标上对应角相等，还有一个隐藏的条件， 非常非常重要的。看好了啊，这个角一是等于角二的，知道吧，你们做不出来这道题的原因就是因为你们这个这组项目的角没用上，是不是对应角啊，翻折过去了吗？这个角，角一等于角二的， 然后往下面坐啊，他让我们干嘛？让我们求线段 f g 的长，哎，懵逼了，这怎么求呢？求线段 f g 的长。 我们去分析问题啊，就像我们做圆的题目一样，初三的题目啊，初三初二的学生还没学是吧？圆的题目怎么办？求角度，求前端，就角度的角，后角求前端的，哎，然后吹吹一内里正二得五等等这些， 那么初二你们没有学过那么乱七八糟的球线的长度，到目前为止，本学期你们只学了一个球线段的方法，什么呢 东西啊，求线段有什么？有什么？有什么？有什么？有什么定理啊？勾股定理对吧？你们不就学了一个勾股定理吗？ 勾三股四减五嘛，两只要边的平方和等于斜边的平方，你们只学了这一个方法，求线的长度。所以说我们求线的这个 f g 这个长度啊， 你就要想办法把它放到直角三角形中啊，那么观察会不会发会发现这个 fe， 这个线段长度啊，是不是只在这个 fgc 这个三角形中啊？而且他刚好是不是一个直角三角形，对吧？直角刚才九十度，我标上了， 那现在怎么办？勾股定理要有知道两个边求第三个边的，现在我们只知道这一定要一条边，这个边不知道的呀，这个边也不知道，太麻烦了。我们设这个要求， 这个边先是个 x， 可以吧？如果说我们做了一些勾股定理的应用题了，比方说起杆上面挂绳子，绳子比起杆高一米对吧？一根竹子也好，树也好，从中间折断了， 我们求这个竖高的，求断的地方到地面的高度的，我们都怎么做呢？我们是这种应用题，都是只知道 三角形中的直角，三角形中的一个边，但另外两个边是有关系的，他们都能用同一个字母 x 来表示。 那么这道题也是一样的，我们如果能把 fc 也用 x 来表示购物电影不也可以吗？ x 平方加三的平方等于 fc 的平方，对吧？那这道题怎么做呢？这道题里面就接下来我们就用 x 来表示 fc 怎么表示呢？特别重要的一个模型，角平分线模型对吧？作为我的老生，那暑假上过课的笔记本上都已经有了。角平分线有四大模型，且复习下垂。两边的角一等于角二 啊，直接吹角平面的，往往这边延长就行了。角一等于角二，吹两边的角平面线的，往另一边都吹直。第三个是什么？最重要？最重要的不能说最重要的都很重要。双平等腰是吧？ 上面这个 l 一平行，下面这 l 二的平行。角二等于角三的角一又等于角三，所以说这是个等腰三角形。双平等腰 平分加平行构造等腰三角形吗？那这个题其实就是的，为什么看好了啊？角一等于角二的，这是一个矩形啊，矩形对别是不是平行的？所以这个角二是不是等于这个角？我标一个角三 对吧？角一等于角二，角二等于角三。那现在是不是双平等腰了，又平行了？所以这段长度 f g 的长度是不是等于个 f c？ 角一等于角三呀？那 f c 等于多少？ f e 等于个 s 加二吧，这是不是 s 加二？ 这样会做了吗？我不讲了好吧，直接购物地理 x 平方加三的平方等于 x 加二的平方，一解就行了。好，下课。

每年浙江省各市的中考题特点就是几何压轴题啊，往往难度非常大，但真正的难题考的从来不是模型套路，而是解题思路。我们来看看二三年浙江绍兴的压轴题，最后一问，看你能不能找到四两拨千斤的方法。 题目给了一个平行四边形 a、 b、 c、 d 告诉我们， a、 b 边的长度是十二 a、 d 边的长度是十 角 b， 它的正切是五分之四。然后在 a、 b 边上取一个动点 p， 接着将点 c 和点 d 同时绕着点屁做逆时针九十度的旋转，得到两个新的点 c 撇和 d 撇。这两个心点和点 a 组成一个三角形 ac 撇 d 撇。当这个三角形是直角三角形时，让我们求线段 bp 的长度。题目的条件呢，看起来很绕， p 点本身就是一个动点，同时 它又作为旋转的中心，所以得到的 c 撇和 d 撇一定随着 p 点的运动而运动。这让我们觉得就连想象三角形 a、 c 撇、 d 撇的位置和姿态都很困难。那有没有什么办法能把场景简化一下？ 虽然 c 撇和 d 撇都在动，但他们是从点 c 和点 d 旋转得到的， c 和 d 都是定点，所以我们可以让 c 撇和 d 撇绕着点 p 反过来做顺时针九十度的旋转，两个点就会回到点 c 和点 d 的位置。 与此同时，我们让点 a 也绕着 p 点做顺时针九十度的旋转得到的点称为 a 撇，然后连接 a 撇 c 和 a 撇 d 得到三角形 a 撇 c、 d。 这个三角形的三个顶点分别是从 a 点 c 撇点和 d 撇点绕着 p 点顺时针转九十度得到的，所以形成的三角形 a 撇 c、 d 也是从三角形 a、 c 撇 d 撇转过来的，那么旋转是不改变图形的大小和形状的。本来我们要看上面这个三角形，这样我们就可以把上面这个三角形是直角三角形的条件转化成 a 撇 c、 d 是直角三角形， 而 a 撇 c、 d 中只有 a 撇一个动点，另外两个点 c 和 d 都是定点，题目条件就大大简化了。另外题目条件没有指定哪个点是直角顶点，所以这里还要做分类讨论。 我们先考虑点 c 是直角顶点，这个时候有 a 撇 c、 d 等于九十度，所以 a 撇点呢，一定在经过点 c， 并且和 c、 d 垂直的直线上，而且 c、 d 和对边 a、 b 平行，所以这条直线和 a、 b 也是垂直的关系。又因为 a 撇 p 是从 a、 p 旋转九十度得到的，所以 a 撇 p 和 a、 b 也是垂直的关系，这样我们就能判断出这个垂 为足的位置就是 p 点。只要 a 点绕着 p 点旋转后得到的 a 撇点没有和 c 点重合在一起，那这里就确实能够形成直角三角形 a 撇 c、 d， 我们来看一下，这时候 b、 p 线段的长度可以放在这个直角三角形 b、 p、 c 中，因为 b、 c 的长度和 a、 d 相等条件告诉我们 a、 d 的长度是十，所以 b、 c 长度也是十， 然后由角 b 的正弦是五分之四，我们很容易求出现在 p、 c 的长度是八，以及 b、 p 的长度是六，再由 a、 b 的长度是十二减去 b、 p 的六，就得到 a、 p 的长度也等于六，这和 p、 c 长度不相等，所以从 a 点旋转过来得到的 a 皮儿点 不会和 c 点重合，这是符合题目条件的。这样我们就求出了第一个 b p 的长等于六。好，然后再看第二种情况，如果点 d 是直角顶点， a 撇 d c 等于九十度，这个 这时候 ap 点就要在经过点地并且和 cd 垂直的直线上。但因为 p 点的运动范围只在 ab 这条边上，这个过程中 a 点绕着 p 点旋转九十度得到的 ap 点是不可能落在这条直线上的， 我们找不出符合条件的 b p 的长度。再看第三种情况， a 撇点是直角顶点，这个时候有 c， a 撇 d 等于九十度，那我们可以画出以 c、 d 为直径的圆，由直径对直角， a 撇点一定在这个圆周上。 我们先简单验证一下， a 平点的不可能出现在直径 c、 d 的右侧，因为刚才我们已经求出了两条平行线， c、 d 和 a、 b 之间的距离等于八。 如果 a 撇在 c、 d 的右侧，那么从它向 a、 b 引垂，线段就是现在点 p 的位置，这个时候 a 撇 p 线段的长度就一定大于八了。而且从图中呢，我 我们也很容易看出，要想旋转后的 a 平点落在圆周上，那点屁的位置一定不能低于刚才我们求出的第一种情况下的屁点，也就是他一定要位于这段线段上。 而刚才呢，我们已经求出这段线段的长度是六，所以在这段线段上再取一个 p 点，然后让 a p 绕着它做九十度的旋转，得到 a 撇点，那么 a 撇 p 的长度一定是小于六的， 这就和刚才我们得到的 a 撇 p 的长度大于八互相矛盾了。这样我们就得出结论， a 撇点是不可能在直径 c、 d 右侧的， 于是我们在左侧的半圆上点出一个 a 撇点，然后为了找 p 点的位置，我们过 a 向 a b 引垂线段垂足，就是点 p， 由旋转的关系 a p 转到 a 撇 p， 这两条线段长度相等。我们现在要来求 b p 的长度。为了用 好 a 撇在圆周上这个条件，我们可以点出圆心，也就是取出 c、 d 的终点 o， 然后连接半径 o a 撇，因为 c、 d 是圆的直径， 他和对边 ab 长度相等，他们的长度都是十二，所以半径的长度等于六。然后再看一下我们要求的 bp 线段，他和 ap 线段一起拼成了长度为十二的 ab 线段，所以我们可以改去找 ap 线段的长度。而 ap 呢，又转到了 ap p， 我们也可以求 app 的长度， 因为 a 撇 p 和 a b 垂直，它可以看成是两条平行线间距离的一部分。我们把 p a 撇延长出来， 它和对边 c、 d 一定是垂直的。我们设垂足为点 q， 那么 p q 这条垂线段的长度就和 p c 相等，它的长度也是八。我们现在看一下这个直角三角形 a p q o， 看看能不能借助勾股定 里，把 a 撇 p 的长度求出来。我们设 a 撇 p 的长度是 x， 那么和它相等的 a p 长度也是 x。 垂线段的另一部分 a 撇 q 长度就是八减 x。 然后看这两个 p 点之间的线段，可以用整条 a、 b 线段，长度是十二，减去下面的六，再减上面的 x， 得到这条线段的长度是六减 x， 而且这里有一个矩形，矩形的对边长度相等，所以对边 c q 的长度也是六减 x， 再用 o c 这条半径，它的长度是六减去 c q 的六减 x， 我们就能得到 o q 的长度也是 x。 于是在这个直角三角形里，斜边的长度我们求出来了。两条直角边都用 x 表示出来。勾股定理我们就可以解 x 的值。 我们把式子列一下两条直角边的平方和等于斜边六的平方，写出 x 的两个值是四加减根号二。然后我们要找的 b p 线段的长度是用 a b 十二减去 x 求出这个时候的 b p 也是两个值，分别是八加减根二。 经过验证，这两个值也都是合理的减。所以最后的答案有三个，分别是六和八加减跟二。