对坐标的曲面积分的物理意义

好了，到第二类曲面积分了啊，在学第二类曲面积分的时候，你首先得知道他长什么样吧，他就长这个样。这个积分的定义，他是定义在哪的？他是定义在这个面上的， 这个面是一个马，他叫做什么面？他叫做有象分块光滑曲面，这个有象两个字就是有考究的了， 什么意思呢？也就是他的法项量是有指向的，那么这个指向无非也就是指向上方，指向下方，或者指向左方，指向右方，或者指向前方，或者指向后方， 无非就这几个方向吗？这个指向对于第二类曲面积分的计算而言，他是有考究的，我们以后再来研究 好了。这个被击函数 p、 q、 r 分别都是关于 xyz 的三元函数，关于 xyz 的关于 xyz 的三元函数 p， 后面这个微远的部分是 d y， d z， q， 后面的这个微远的部分是 d z， dx r， 后面的这个微远的部分是 d x， d y， 你首先得知道他长什么样吧。 好了，对于第二类曲面积分的定义而言，他是有一个物理背景的，叫做通量，或者叫做流量， 但是以通量和流量为背景来研究的。这个第二类曲面积分的定义，讲起来比较麻烦，我比较懒，所以这一部分内容你就了解一下就行了。考试的时候不会考你 定义的推倒的，考试的时候不会靠你定义的推倒的。这一部分的重点在于什么？这一部分的重点在于第二类曲面积分的计算。 第二类曲面积分的定义，他是一个极限吧。这个栏目的区域零栏目的是啥呢？是最大的？谁最大的呢？既然是曲面积分，那对谁进行分块了？对曲面进行分块了，那就是分块之后的所有小曲面块的，最大的那个是栏目的， 最大的都去鱼鳞了，那么是不是所有的小曲面块也就都去鱼鳞了呢？好了，当咱们去鱼鳞时， 把他们相加做和。这个极限如果存在的话，他就定义为第二类曲面积分好了。看一下这个极限部分是什么结构。是坯中指呈上小曲面块在歪 a、 o、 z 面上的有向投影的面积。是坯中指呈上小曲面块在 y、 o、 z 面上的有向投影的面积。 q 中指呈上小曲面块在 xoz 面上的有向投影的面积。加上二中指呈上小曲面块在 xoy 面上的有向投影的面积。 这里的他他他分别都是小曲面块在 yo 这面上 xoz 面上 xoy 面上的有效投影的面积。此部分的定义了解即可，了解即可。

啊，大家好，这次我们来看一下格林公司，高斯公司啊，表示什么意思？这个格林公司， 我们我们看到这个，这个是格林公式，这个呢表示一个变力变化的力哈，沿着一条闭合曲线啊，所做的弓， 那这个是一个面积分，那两者之间什么意思呢？我们看他这个这个一个变化的力，沿着这个闭合曲线做的工，他会等于对这个啊，对这个平面的这个这个封闭，封闭这个面积的这个面面积分 啊，这个不是曲面哈，这个就是 x o y 平面的一个啊，一个不规则，这个不不规则 图形。然后呢？我们可以这样想，哇，这，这不是沿着这条线做做工吗？我们可以想想象，他是把这个所做的工啊，平均分配到这个平面上， 也就说我们可以认为这个函数是一个密度，什么密度呢？是这个变化的力沿着这条曲线所做的弓的弓密度，弓的密度就是把做的弓除以这个面积吧，对吧？ 所以这个就是这个，这个函数呢，我们可以认为是这个意思，就是公的密度啊，面密度，公的面密度， 那是这个呢，我们看到这个格林公式啊，它其实它是每一个点哈，每一个点的这个功密度都能够求得出来， 因为 x y 可以是任意的呀，那怎么来理解每一个点的公公的密度呢？这个还是从这个无从小的这个含义来来来，来理解，这个代太 x 是一个无从小嘛， 那么无穷小，我们假设他是这么一个样子，他可以把一个点放放在里面，因为无穷小比零大，比零大嘛，又比任何数字要小啊，所以他可以放在任意相邻的两个点之间， 而且这个像篮子一样的这个东西啊，这个带台 x 就是五种小，这个篮子啊，他只能放一个点，如果假设他能够放，放进两个点的话，那因为两个点对于两个不同的数字啊，两个不同的数字他就有一个确定的数字表示的这个 差距，对吧？那我们知道这个 data x， 它是比任何一个数字，任何一个确定的数字都要小啊，所以这个 data x 它就是我们假设它可以放进这么一个点，那同样的 对于这个这个空间来说，我们可以啊弄出一个这样的立方体来，这个立方体呢，他只能放一个点， 这个立方体的周长也是也是这个无穷小。然后呢同样的也可以弄出二维空间里面的啊，一个无穷小来，无穷小的这个畸形，这个畸形里面呢，也只能放一个点， 所以呢，我们就可以认为他每一个点呐，这个每一个点的功密度都是那样的 一个无穷小组成的这个畸形，这个畸形他就是有一个面密度，对吧？我们就可以这样理解。 然后我们再看高斯公式，高斯公式这个就是这个体密度嘛，这个是流过曲面的流体的流量，这一边哈，这一边是对坐标的曲面曲面积分嘛？然后这个是体积分， 那我们就可以认为这个函数表示什么呢？每一个点在每一个点空间里面，每一个点的流量的 流量是多少？因为他是对体积的积分啊，也就说在这样这样一个无穷小的立方体里面，他有多少流量？然后把把所有的这个立方 体的流量加起来，就等于右边这一个流过，这个啊闭合，这个是闭合了哈，流过一个闭合曲面的流流，流体的流量，所以呢，这个就是 这个也不能说是啊，密度哈，他就是一个，他是，他其实就是留过每一个点的流量 啊，我们看这个，呃，这个不是流过封闭曲面的流体的流量吗？对吧？那空间每一个点他都有流量流过啊？ 所以这个函数呢？它就是一个密度的函，它，它它就是一个极限的概念，不是密度哈，我们看这个这个定义，这个 data v 七一零嘛，就是 data five， 在这个七一零的这个体积 里面啊，他这个有多少流量之笔？就是叫做善度啊，这个 在体积，其余无从小，这个就是一个无从小的体积啊，这不是立方体吗？都是他的边长，都是无从小啊，对不对？他的体积就是无从小了，而且是高阶无从小，对吧？所以这个我们啊，大概就可以这样理解，这个善读的意思啊， 善度，善度，他就是就是就是，这个就是这个表达词嘛，而且是每一个点在善度都求得出来。因为 x、 y、 z 是任意的呀， 所以这个这个就稍微总结一下就可以了。所以这个格林公司和高速公司分别是二维和三维空间上的密度积分，这个应该说是极限积分哈。

曲面微分， ds 等于这个公式，你知道做题时候你可以直接用，但他是怎么来的？咱在这有一个非严格推导过程 好了。 ds 是什么？ ds 是曲面的微分，那么在微积分微元法下对谁进行分隔呀？对曲面进行分隔，咱设置这么一个光滑的曲面 s， 对他进行分隔，分隔成好多块，拿出其中这一小块，咱就把它设成单他 s 好了，嘚他 s 也就约等于嘚他，嘚他也就是嘚他 s 在 xoy 面上投影的面积比上在这一小块上某点处的法项量与这周正半周夹角伽马的鱼线值的决定值， 他是怎么来的？咱在这有一个粗略的图饰，咱在显微镜下对这一小块进行 无限的放大，进行无限放大的过程，曲面也就接近于小平面了，那么这个接近的小平面其实也就是一个小切面，咱把这个小切面 不会画，没关系，你可以把它画成一个小线段吧，咱就用这个小线段来代表这个小切面。那么这个小切面也就约等于什么？约等于嘚他 s， 约等于嘚他 s， 咱为了严格起见，用的是约等于，用的是约等于。毕竟嘚他 s 他依然是一个小曲面啊， 不可能就直接写成等于吧。咱用约等于没有关系吧？把它挪到这来，画一个发型量，画一个与这周正方向平行的 项链，这个角度出装问题，等于这个角度，也就是这个角度，也是噶嘛，也是噶嘛，那么这个角度的余弦值也就等于这什么林边，这什么斜边，也就等于林边比斜边 好了。这个斜边其实是 ds， 咱用嘚他 s 来代替，那么原来的等于号也就变成了约等于号，也就是嘚他嘚他比上嘚他 s， 约等于 这个角度鱼先知的绝对值。为什么咱要加绝对值呢？因为他和他都是大于零的，所以你加上绝对值，保持这个狮子大于零这个东西就是这么来的。当 嘚他嘚他去于零的时候，咱也就近似的把他看成一个点，咱也就不用某点这么一个概念了，也就是在此点处的法项量与这周正半周夹角 伽马的鱼线值的绝对值分之一。在场上嘚他嘚他，现在嘚他嘚他趋于零，他也就是一个微分了。把他设成 ds 好了，咱来说明一下 colsixama 等于什么？咱在学多元函数微分学的时候， 在曲面的显示方程下，也就是 z 等于 zxy 下所有点的单位法项量公式有在这好了， 记住一点，所有的单位项链的坐标都是角度的余线值。 再说一遍，所有的单位相量的坐标都是于先知。那么这个阿尔法是谁？是项链与 x 轴正半轴夹角 贝塔是什么？是项链与 y 轴正半轴夹角伽马是什么？是项链与这轴正半轴夹角。所有的单位项链的坐标都可以用这个鱼线织来表示，也就是与坐标正半轴夹角的鱼线织来表示。 那么扣三眼伽马的绝对值在这，你看一下等于什么？等于他乘上一加绝对值，把正 符号去掉了，等于他，对吧？所以 coat gama 绝对值分之一，也就等于他的倒数，等于他。 现在写成微分的型号，也就是 d s 嘚特嘚特在微分中也就写成了 d x 呈上 d y 了， 曲面的微分就这么粗略的推出来了，就这么粗略的推出来了，那么曲面的面积也就可以对他进行积分了。 积分就是微分的和积分就是微分的和，那面积就是谁的和， 面积就是面积的微分，和面积就是面积的微分和曲面面积也就是曲面微分的和 给他做和给他积分也就是一个二重积分。这个 dsydxy 也就是这个光滑曲面在 xoy 面上的投影，在这个投影区域上的二重积分。对，这个公式的二重积分也就等于这个曲面的面积。 好了。这两个公式你可以直接就用吧。啊，直接就用吧，肯定不会考你怎么推的。

对坐标的区面积分计算的常用思路与方法对坐标的区面积分的计算是一类非常非常重要的题型，对于该类问题的计算与验证思路可以考虑如下几个， 一、直接法对不同的对坐标的区面积分，分别采用一头二代三定号的直接法转换为二重积分来计算。当积分区面是与对应坐标的区面积分， 将适应类型的简单曲面时，将积分曲面描述为对应坐标变量的二元函数，然后通过一头二代三定号步骤来计算。也就是说，如果积分位包含两项 或三项的组合型区面积分时，要分别投影到不同坐标面上计算。值得注意的是，在计算前还可以考虑被其表达是定义在积分区面上与所计算积分相适应的，其背偶领 计算性质或轮换对称性来简化或转换积分模型。当然，如果积分区面不是对应类型的简单区面时，可以通过分割。如图中的两个区面不是简单的 xy 型区面分割为上下两个简单的区面，再利用积分对积分区面的可加性 转化为简单区面上的积分来计算。二、高斯公示法当积分区面为封闭区面，三个背积函数的偏倒数的和即散度比较简单时，可以考虑高斯公式转化为三重积分来计算。 当然，也可以通过添加辅助面的方式来构造高斯公式的条件，然后使用高斯公式来做。记得添加了辅助面时，最后要用三重积分的结果减去辅助面上的积分。当区面积分不包含某类坐标的区面积分时，对应的背积函数取为零。三、利用两类区 区面积分的关系利用两类区面积分的关系，将对坐标的区面积分转化为对面积的区面积分来做，尤其注意区面法向量的方向要取与区面的指向一致。四、将积分转换为不同变量的积分来做， 还是利用两类曲面积分的关系。在积分曲面仅仅为一种简单类型的曲面时，可以将其他类型的曲面积分转化为一种类型的曲面积分来计算。 股积分与区面无关。当被肌函数构成的相量的散度为零时，基于高斯公示还可以得到积分与区面无关的结论， 从而可以选择边界线相同、方向一致的简单曲面来计算曲面积分。其实，积分与曲面无关就是高斯公式应用的一个特殊结论及三重积分等于零的一个结果。以上就是对坐标的曲面积分问题常用的求解 思路，一般按照高司公示法、直接法两类区面积分之间的关系逐一尝试探索，直到问题解决。当然，实际求解时还得具体问题具体分析。但是不管使用哪种方法，一定要注意公示方法使用的前提条件，尤其是高斯公示的 封闭性、方向性和偏倒数的连续性条件，一个都不能少。以上思路与方法的详细应用与实力分析，可以结合微信公众号考研竞赛数学推送的相关推文或教材中的立体与练习题，仔细体会与理解。感谢收看！

哈喽，大家好，我是考研数学冰冰老师，我们今天给大家讲解对坐标的区面积分的性质啊，或者也可以检验之为第二类区面积分的性质。 那么昨天我们已经反复强调过，第一呃第二类曲面积分，他在曲面片上的要求必须是有方向的啊，朝内朝外，朝 上朝下，朝左朝右等等有方向。第二就是被击函入 pq 二，再对应的有项区面片上一定是有界的，那么在整个这个第二行区面积分的背景里面，我们也有相应的呃计算性质。比方说我们 我们可以将某一个区面片 c 个码分解成 c 个么一和 c 个二，那么在这个背景里面，他其实也服从每个区面片上分别积分之后的和啊 啊，这个焕颜汁也属于曲面片的一个可拆分性，那么同样道理，大家可以想一想，我们丁的定积分有区间的拆分性质啊， 二重积分有区域的拆分性质，三重积分有空间体的拆分性质等等，所以整个积分来讲的话，我们都有拆分性质啊，当然了，前提一定是以易于简化求解啊来服务的。那么第二个就是方向性问题， 如果现在给我们一个 c 个码是一个有效区面，并且呢我的副 c 个码表示 c 个码相反的侧，那 么这个情况下，在呃相反侧的这个曲面片的积分，其实可以将这个方向的符号提至整个积分外部，也就相当于当一个 c 个码我想研究反向 积分的时候，可以把它转移成负的四个吗？正向方向啊，那么这两个其实是对等的，这两个是对等的啊，所以他在这个曲面片的方向上是可以呃继续化解的。比方说有一些曲面片给我们的是朝前， 那么我们添加符号之后就可以变成朝后，所以这个方向是可以替代的啊。那么道理很简单，是因为我呃单位发项链，呃 有上有下，那么只要垂直即可，所以这个方向我们做一个替代啊。那么重点是在这两行上，呃，接下来我们的计算里面呢，大部分处理的一个是曲面片的拆分， 一个定的是方向的化解，基本上在被阶函数 pq 二的资深上呃，很少有相应的这个简化求解。当然了，我们昨天也讲过，比方说，呃， dydz 指的是向外 oz 面投影，比如说 djdx 指的是向 xoz 上投影，比如说 dxdy 指的是向 xo 外面上投影，这个投影方式大家能够理解即可。我们明天再讲一讲计算，明天。

区面积分计算似乎挺常见的，我们今天花两分钟简单聊聊其中一个小点。我们知道区面积分分两类，第一类就是 ds， 第二类就是弟弟三兄弟， 当然了，他们并没有什么本质的区别。我们的问题经常是给定一个曲线 c， 求一个神头鬼脸的积分，看看我们平常是怎么算的。首先让 c 对灾求偏倒， 然后替换出现一个神笔根号，第一类化为第二类之后，有的时候还是不太好算，于是我们就用投影法将 dd 换成 dids 这样，然后就有这些类似股神的译语一样的公式。 这里最让我感到恐惧的就是那个像量中的一，这些东西实在不好记，更不用说算了，所以我今天推荐一种简单的理解方式。第一步，我们要改造一下曲面函数，我们不用 z 是塞的函数，而是 是平全的，看成三个量的函数为零。接下来的事情就是求全微分，这个很简单，得到了 f 对三个变量的偏倒数和 d 的等于零的式子。比如一个球面，我们很自然的就能求出三 d 和为零。 其实这个式子也就等价于两个项量垂直，因为后者是曲面的切平面上面的任意一个项量，所以前者是曲面某点的法项量，这个法项量的方向也很好确认，只需要观察各分量的正负就行了。 好的，假设现在我们轻松求出了权威分，那么接下来的事情就是两边除以 dexties， 也就是三个一个不落的除，也就是会得到这样一个形式上的式子。 然后我们翻转这三个式子并分别相等，一个神奇的式子就出来了，这只是一种记忆方式，最后一个等号其实就是前面上下平方和开根号而已。用这个 式子我们很容易能得到滴滴之间的替换关系，从形式上来看只是相互成而已。这个并不是什么稀奇的方法，只是一个简单的记忆方式，当你想瞬间换 diss 和滴滴的时候，就可以直接取权威分。当然代换之后的式子肯定是一样的，该怎么算就怎么算， 但是这样的记忆也许会直接和美观些。今天分享结束，谢谢大家。

好了，到第二类曲线积分了啊，第二类曲线积分定义他是有一个物理背景了，叫做便利眼曲线做工。什么意思呢？假设一个字典在此平面内受到力的影响，这个力他还是个向亮。什么是向亮呢？既有大小又有方向亮，并且这个力他是便利，也就是不同的点坐标所取到值不一样， 也就是坐标是关于点 sy 的函数 psy 和 qsy。 好了，此时此字典沿着弧段从 a 到 b 运动，所做的这个工也就叫做第二的曲线积分。 这是第二类曲线积分定义的一个物理展示做工。你学过高中的时候，当此例为横立的时候，也就是此例的坐标值横的母变。当制点沿直线段从 a 到 b 运动的时候，所做的功也就等于这两个项链的数量级 f 乘以 b。 咱以此为背景来研究一下 便利眼曲线做工微积分。有一个方法叫做微圆发，你可以对这个弧段 ab 进行分割，分割成好多段，拿出其中一小段，这一小段上所做的工也就约等于此段上某点所受到的力。呈上词点到词点直线段的项链， 也就是 f 中指呈上直线段项链数量机。请你自己整理一下此段所做的工艺，就约等于他。 好了， ab 段所做的工也就约等于什么？所有小胡段如此计算所做的工的和呗。 好了，约等于如此计算所做的公的盒。咱对这个式的取一个极限，令所有的小胡长最长的那个为喇嘛的。好了，最长的为喇嘛的令喇嘛的去零，最长的都去零了，是不是所有 也就去零了？如果此极限存在的话，那他也就表示此之点受此类影响，盐湖段从 a 到 b 上所做的功也就是第二类曲线积分了。好了，这个极限就是第二类曲线积分定义的一个物理展示。

大家好，这里我们一起来做一下这道曲面积分，这是对坐标的曲面积分。 基本曲面 sigma 是圆柱被平面再等于零，再等于三所结的，在第一挂线内的部分的前侧， ok， 我们稍微画一下啊， five three three 圆弧示意一下， ok， 那么显然这个曲面他只一个单前侧。那么为了能够更好的利用高速公式，我们需要做辅助面，就是说做这里 上面一个辅助面，下面一个辅助面，还有四个辅助面，对吧？所以我们添加辅助面。 第一个是 c 格码，一，是上面这个二十， z 等于三， x 的取值就满足平方和小于一，那它值在第一象限，所以 x 要大于等于零， y 也要大于等于零，取上册 sigma 二呢，就下面这个再等于零， sigma x， y 取值跟上面是一样的， 取下册 c 格码。三，就这个 x， o， j 面上的一部分就是 y 等于零， x 从零到一， j 从零到三去左侧 啊，是一个吗？四，就这个是一个吗？四，所以 x 等于零， 零下一等于 one， 下一等于一，零下一等于 z， 下一等于三，这个时候，呃，取后侧，这样的话，这四个曲面 和我们原来这个曲面则七个码啊，这四个曲面整合在一起是封闭，对吧？曲面， 而且取的是 white， 那么由告示公式他就可以利用告示公式我们就能得到 在这五个曲面围成的这五个曲面上的积分， x， d， y， d， z 加上 y， d， z， d， x 加上 c， d， x， d， y， 那就会等于在他们所围的区域 amiga 上的偏倒数和 积分。这三个偏倒数呢，分别是一，所以是三倍的在 omega 上的积分啊，就是三倍的 omega 的体积，那么这个体积是什么呢？我们看一下底面积是半径唯一的 圆的四分之一，高度是三，所以是四分之一，派减成 三，四分之九。哎，其中 个对 sig 嘛，一，我们单独求一下这个积分结果 啊，因为这个时候膝盖玩意表达是是 j 等于三，你把它带入这里面， j 等于三，所以它微分等于零， d j 等于零，那它就会等于三。 西格玛依 d f 一万，这就是西格玛依的面积，西格玛依是一个四分之一元，所以是四分之三。 判类似的，对于 c 杠二， x， d， y， d， z， 加上 y， d， z， d x， c， d， x， d， y， 这时候 z 是等于零的。带路啊，这是零，这也是零，哎，三个都是零，所以整体是零。类似的，对于西格马三，西格马四啊，积分结果都是零， 因此所求积分，所求的曲面积分 i 就要等于四分之九，派 减去四分之三 pa 等于四分之六，也就是二分之三 pa， 这就是这道题的减。

注意看，在数学界，如果每个天才只能选用一条公式作为自我介绍，他们会选用哪一条呢？以下的公式全部都是我个人的选择，有朋友如果觉得有更具有代表性的公式，请写在评论区里。 好，首先我们有请牛顿和莱布尼兹一起登场，这是他们各自独立发现的微积分基本定理。他表明了求导数和求积分是一对逆运帅，相互之间可以无缝切换 为积分，从这之后成为现代数学里的一把加特林把人类千年遗留下来的各种曲线曲面问题在短短几十年里扫荡干净， 这条定理实在太过重要，所以他的第一发现人到底是谁这个问题也争吵了几十年，后来大家吵得头都晕了，就说，哎，算了算了，咱就把这条定理命名为牛顿莱布尼斯定理吧。你看，跟数学学科比 起来，历史学科确实就是要苟且很多啊，哈哈。接下来我们看到的是伯努力家族的第一位大咖雅格布。伯努力，这是他在接受了他弟弟的挑战，计算最速降线时得出的公式。这个公式告诉我们，在重力的作用下，物体移动最快的轨迹并不是直线，而是一条摆线。 不过之所以选用这个公式，并不是因为这个公式本身，而是雅格布在解决最速降线的时候所使用的变分法。这个变分法后来又进一步演化成了对于现代数学而言极为重要，而对于广大理工科学生而言， 这是噩梦一样的泛寒分析。雅格布还是现代该理论的创始人之一，不过如果只能选一个成果，变分法应该是最合适的选择。再接下来是数学界里罕见的喜剧大师，也是 雅格布伯努力的弟弟约翰伯努力。约翰伯努力发现了最重要的公式，应该叫约翰定律吧，或者怎么也得叫伯努力公式不对，偏偏就得叫诺比达法则。为啥呢？因为我们的约翰伯努力为了挣钱，把 把这个发现卖给了他的贵族学生诺比达。诺比达法则看上去非常的简单，他表示，在求数值计算中，如果遭遇不定式，可以用导数相除来替换。然而，这个看似简单的法则却是数学家征战连续统问题的开始。 有朋友可能会说了，约翰还一手缔造了流体力学，嗯，没错，不过类属于物理学领域了，所以呢，就不开裂在这里了。然而，如果真的要说约翰伯伯利一生中最最重要的成就， 那毫无疑问是他培养出了一个学生，而这个学生的名字就叫做欧拉。接下来是我们的落难天才地貌符，他发现了地貌符公式。 从我们后来者的眼光来看，地貌符公式里很明显已经暗含了欧拉公式的影子。他表明副品面上单位圆的密可以转换成旋转的频率， 复分析这个新的数学分支也几乎是呼之欲出。不过，丁茂福可能实在是太穷了，他并没有继续深入的研究下去。他没钱找老婆，沉迷于赌博，虽然输了钱，但却得出了中心极限定理，这就叫做赌场失意，情场失意，也只好就在数学上得意了。 接下来是泰勒和他的泰勒公式，这个公式在数值计算上有着极其重要的作用，他表明，无论多么复杂的连续函数，都能够在高阶导数的基础上表示为密集数， 从而得到一个非常方便的求职法门。比如，即使是在三百多年之后，现代计算机要计算某个角度的正余弦的具体数值，仍然是需要使用到。泰勒公式 是在很多文字介绍中都把泰勒说成是牛顿的学生。不过很遗憾，这并不是事实。众所周知，自打牛顿和莱布尼兹闹翻之后，欧洲学术就分裂成为大陆学派和海岛学派。在大陆学派中，莱布尼兹培养了约翰波动力，约翰波动力培养了欧拉，欧拉培养了拉格朗日等等等等。 所以有人就要问了，那你牛顿培养了谁呢？于是海岛学派老脸一红，说，嘿，你们别得意，我们牛顿不也培养了泰勒吗？呃，很可惜，牛顿和泰勒并没有直接的师生关系， 而且据史料记载，牛顿当老师的教书风格那是相当的拉垮，也许是因为他炒股亏了钱。哎，牛顿啊，你至少没来我大 a 股啊，有啥大不了的呢？接下来是我们的天选之子，莱奥纳多，欧拉代表公式也不用多说了，自然是我们的上帝公式。 不过呢，欧拉在数学上的成就实在太多。这么说吧，一九零八年，瑞士政府委托瑞士科学院整理出版欧拉全集。那瑞士科学院到底什么时候才整理好呢？二零二二年，嗯，你没有看错，光是整理欧拉著作就花掉了一百多年。 我在朋友讨论的时候，经常听到有人问，欧拉全集中文版到底什么时候出来啊？哎，我自己也在苦苦等待这套书的出版啊，然而这套书共有七十四卷，这个翻译工作量可不是一般的工程啊，所以慢慢等吧。哎， 关于欧拉的成就，还有一点不得不提。受到叶卡杰利纳女王的约起，欧拉去圣彼得堡做了十四年的数学教授，从而在俄罗斯的土地上播下了数学的种子。在一百多年之后，这粒种子结出了惊艳绝伦的花朵，那就是在二十世纪雄聚一方的莫斯科学派。应该说，从牛顿 到莱布尼兹开创微积分，直到集大成者欧拉，这一时期的数学家们都在忙着把微积分应用到各个学术领域里面去，而微积分本身的严谨性基本上被完全忽视了。比如无穷小到底是什么？极限到底是什么？收敛到底是什么？ 到底什么才叫做连续？等等等等，这一系列至关重要的问题，居然没有人想过要去认真回答。不过早期大师们不去回答这个问题也挺好，因为这些问题即将让后来者开启一个波澜壮阔的连续统大时代， 而这个时代将从拉格朗日开始。所以，下一期视频让我们从拉格朗日开始，继续回顾大师之路。感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注，谢谢大家！拜拜！

此题用高速公式的一个关键是你要补上一个面啊，补上这么一个底面，补上这么一个底面，这个底面在哪？在 xo y 面上。好了，代表什么？代表 z 等于零，并且他的范围就是这么一个圆。补好的，这个面发向量必须指向下侧，因 你要用高速公式的话，你需要保持什么？保持这个分块光滑的臂曲面发向亮统一的都指向外侧。 既然题目中给出了上面这个旋转跑面发向量指向外侧了，指向上侧了啊，说的是指向上侧了，他是指向外的吗？ 他是指向外面的吧。那么你补好的这个只能指向下侧，你才能保证这个分块光滑的臂曲面的发向量指向外侧。好了，保持指向外侧。取这么一个苗 指向下侧。现在补充曲面，这等于零， s 方加 y 方小于一取下侧，那么就对他俩相加所形成的那个闭合的曲面上的第二类曲面积分， 用告诉方式就行了。好了，这个曲面补好了，补好了，当然了，这个是你补的，你最后还要把它剪下去， 现在让什么几个码零取下侧，你针对这个直接用高速公式就行了。现在整个这个分块光滑的壁曲面的发向量是指向外侧的，所以你用高速公式的时候怎么的？这是正好，这是正好。对他求道，对 s 求道，对塔里的外求道， 对塔里。这球导致是零。我提了一个三，现在怎么呢？三重积分了，你可以用注坐标了，因为被击函数和这个欧米伽里头都有 s 往下摆放。用注坐标的话， 投影在哪了？投影在 xoy 面上的，投影在这个面上的。好了，那么挂线特别好挂 c 特范围是从零到二派转了一圈吗？二二的范围是半径零到一， 然后这个范围呢？穿线从哪个面到哪个面？从这等于零到上面这个面，上面这个面给了一减去 s 方减外方。 好了，放到注左标下， s 方加 y 方等于什么？等于 r 方啊。挂线就挂什么，一减去 s 方减 y 方，也就是一减去 r 方。现在这个注坐标特别好算，你直接算出来吧，等于二分之派。现在你是算 的是这个崩块光滑的 b 曲面上的第二类曲面积分，这是你补好的，你还要把它剪下去，那么你要怎么的？你要算一下他的第二类曲面积分， 然后把这个结果剪下去啊，好了，算一下他的第二列曲面积分。现在怎么呢？他是取向下侧的，你把它投影在 xoy 面上的话，你要怎么的？你要取符号，你要取符号， 因为发下量取向下侧，取向下侧与这轴的夹角大于九十度。额，要填符号，转化至二重积分的时候填一个符号啊，填一个符号，现在只留他，只留他，因为怎么呢？由面垂定理 这个四个马铃，它是既垂直于 yo 这面，又垂直于 xo 这面，对吧？既垂直于 y o 这面，又垂直于 xo 这面，所以他和他直接就等于零了，不用算，留一个，他转化成二重积分，这写成他的投影 s 方加 y 方小于等于一，留一个符号。因为发现 指向下侧与这种正方向的夹角大于九十度了，所以留一个符号，算出来，他就是算一下面积，算一下这个底部圆的面积 算完了就是复派好了，你要把这个复派减下去，谁减去复派？你算的刚开始的这个结果也是第一步，这个结果二分之派减去复派， 所以这个结果就算出来了，补好了这个面的，补好的这个面的结果是复派就减复派，把复派减下去就等于三分之二派。

第一类曲面积分的普通计算，就三步。第一步，求出几个码的投影区域，咱投影在哪个面上，就求地沙沙 投影在 xoy 面上就求投影 dx， y 十一个码在 xoy 面上的投影，这是第一步。第二步，把这等于 zxy 带进去。第三步，求 dsds， 等于根号下一，加上 z， x 撇方，加上 z， y 撇方，这是一个公式。下一个视频我们来推它。这就三步，就三步，第一步，求投影，第二步，带进去。第三步，求 ds。 看一下这道题吧，就三步吗？第一步，求投影，看一下这是什么面，他是个注意面，并且这个范围给你了，零到一， 那么投影是一个什么？投影是一个圆，那么这个圆的半径是多少？是一啊，截面半径最大的这个面为半径呗，半径是一。好了， dxy 头出来了，是在 xy 面上的， 以圆点为圆，心以一为半径的一个圆，这是第一步，求 dxy。 第二步，带进去，把这等于谁带进去？根号向 x 方加外放，带进去好了，这一方等于 x 方加外放。 第三步，求 ds， 求 ds， 要求两个偏倒，对这里的 x 球偏倒，对这里的歪球偏倒。求完了，分别平方加到这里，换到这里。就这三步，转化成了二重积分，转化成了二重积分。第一类，曲面积分的普通计算，也就是同 通过这三步把它转化成二重积分。给你留一个作业吧。请你求出 c 个码为 y 等于 y， x， z 投影在 xoz 面与十一个码为 x 等于 x， y， z 投影在 y， o， z 面上的公式。

第一类曲面积分的定义，它也是在一个物理层面上来解释的，叫做变密度曲面的质量。假设有这么一个曲面，这个曲面上每一个点的密度都不一样，展设这个密度为变量， f、 x、 y、 z 代表什么？代表在每一点处的密度都不一样，设成了一个函数，设成了一个变量。好了，你要研究这个曲面的质量的话，微积分有微圆法，你可以对他进行分割，分割成好多块，拿出其中这么一小块，咱就拿出这一小块吧，这一小块的质量再设成 m i， 那么对于这一小块的 质量也就约等于什么？约等于这一小块上某一个点处的面密度乘上这一小块的面积，约等于咱用的是约，等于，因为你取的这个密度是某一点处的密度而已，那么整个一大块也就等于什么？ 约等于什么啊？咱用的是约等于约等于每一小块，如此求质量作和呗，约等于他，咱现在来对这个式子取一个极限，咱令栏目大，等于这个面积里最大的那一块，也就是所有小块面积里最大的那一块，射程是栏目的 蓝的区域零，那么最大的都区域零了，是不是所有的也就都区域零了呢？啊？好了，如果对他取这么一个极限，令栏目的区域零， 那么这个极限如果存在的话，他也就代表什么，他也就代表这个变密度曲面的质量了，那么这个约等于号就变成等于号了，也就有什么有 m 等于 这个极限了， m 等于这个极限了。好了，对于这个极限，咱就把它叫做 第一类曲面积分定义，第一类曲面积分定义也就结束出来，从物理层面上结束出来了便密度曲面的质量。咱写作什么？写作这个便密度函数在曲面习个马上的积分， 等于这个极限，这个极限算出来也就是这个便密度曲面的质量。