长方形面积扩大和增加的区别

百分之九十学生都做错的题，你会吗？长方形的长是三十厘米，把它的宽增加了十二厘米之后，得到的长方形是圆长方形面积的四倍。求原来长方形的面积是多少？这道题目呢，我们一定要结合画图的方法，让小朋友更直观的去理解。 一个长方形的长是三十厘米，所以首先我们可以先画出一个长方形。 好，这个长方形画好了之后，把题目当中的数字标上去，长是三十厘米，那么我们就知道了，宽 就是旁边的这一条。那么现在我们要做一件事情是把它的宽增加十二厘米，所以我们沿着它的宽往下继续给它增加，同样右边的宽也需要增加。最后呢，我们再把这个图 型围起来，那么我们现在就得到了一个新的长方形。那么有的小朋友会理解为新的长方形是下面黑色的这一部分，但是新的长方形实际上是整个大长方形， 为什么呀？因为我们把它的宽延长了之后，那么原来的红色的这一条长呢？就没有了，它移到了下面，变成了黑色的这一条。所以整个图形才是我们得到的长方形，所以 整个图形才是我们的面积的四倍。那么我们可以把它标出来 是四倍啊，同时把增加的宽十二厘米我们也标上。那么我们 现在要求原来长方形的面积有两种方法，第一种求原来的宽，第二种 直接求一倍面积。 那么怎么做呢？第一种方法求原框。因为我们知道他们的面积是四倍，所以我们的这个宽当然也是整体的四倍，所以这个宽是 一倍，这个宽是三倍，所以我们用十二厘米除以三倍，这里求到的是 一倍的宽，也就是圆宽。然后再乘上他的长三十厘米，就可以求到答案了。 所以等于四厘米乘三十厘米，等于一百二十单位平方厘米。那么第二种方法怎么做呢？第二种方法我们可以先去求增加部分的面积，也就是用十二厘米直接乘三十厘米， 那么他得到的是增加部分的面积。那这一部分的面积我们刚刚讲过了，是三倍，所以我们用它去除，以总共的四倍减去原来的一倍，他对应的三倍啊，所以等于 三百六十除以三，同样等于一百二十平方厘米。

这题啊，学面积时难住了很多的孩子，我们一起来看一下，说一个长方形，长呢，增加了五米，宽不变， 面积呢，跟着增加了二十平方米，问宽是几米？那这题该咋做呀？在这里教你一招，谁不变你就牢牢的抓住谁。你看，本题中呀，说宽不变，那宽不变，你就抓着宽去抻长哎，把它向外扩展。 那么他说长增加了五米，我们就让他哎抻上他五米向外来，我们把呀抻长的样子画出来，假设 这里啊，就是我们向外伸展的长长增加的五米，那很显然，长一增加，宽饱 持不便时呢，面积也就更加跟着增加了二十平方米。我们对号入座，那这一部分红色延伸的面积就是 他所说的增加的二十平方米的面积了。那我们来看看，答案是不就出来了，当你画好了图， 其实答案就秒出了。你看，在这个增加了的长方形面积里，面积是二十，长是五，我可以马上公式反应用求出这个对应的宽，利用宽等于面积除以长，也就是列式为二十，除以五 口算四五二十。所以啊，我们这个小长方形中的宽呢，就是四米来，放眼望去，宽不变，这里是四，这里当然也就是四了，所以 我们原来长方形的宽也是四。用对了，方法是不是非常简单呢？以后啊，再遇到这种面积增加的问题啊，你就记住这一招，谁不变你就要抓住谁，向外伸展， 我向里延伸。关注我，我是刁老师，一个带你玩转数学的老师。

同学们好，今天我们一起来看一道三年级会遇到的扩背问题。正方形边长扩大两倍，周长扩大几倍？碰到这样的题，我们可以通过举例子的方法来说明，如果这个长方形，他原来他的边长是一的话， 那么他的周长是一乘四等于四，那么他的边长如果扩大两倍，也就是边长变成了二，那么他的周长是二乘 四等于八。那么同学们我们可以看一下，他的边长扩大了两倍，周长也扩大了两倍。 也就是说，如果正方形，他的边长扩大几倍，周长也扩大相应的倍数，那么他的面积会如何变化呢？还是这个例子，原来他的 边长是一，那么他的面积就是一乘一，得一边长扩大了两倍，变成二的面积就变成了四，也就是他的面积扩大了四倍。在这里老师总结一下，如果他的边长扩大两倍，周长扩大相应的倍数，面积扩大二乘二倍。 如果这里用一个 a 来表示的话，这个 a 可以是任意倍数，也就是正方形的边长扩大任意倍数，他的周长也跟着扩大相应的倍数， 那么他的面积就扩大两个 a 相乘这个倍数。那我们再来看长方形，长方形的长宽均扩大， 注意这个前提条件啊，都扩大两倍，周长如何变化？还是举例子的方法。假如说原来这个 正方形的长是二，宽是一，那么他的长宽均扩大两倍，那么他的 到后来长变成了四，宽变成了二。我们一起来看一看他的周长是如何变化的。原来他的周长是二加一的和乘二等于六， 那现在他的周长变成了四加二的和乘二，等于十二，那么从六到十二， 他的周长扩大了两倍，面积如何变化呢？还是二乘一 得二，原来的面积是二，现在四乘二得八，现在的面积变成了八，也就是他的面积扩大了四倍。那在这里老师再总结一下， 如果长方形的长宽都扩大 a 倍的话，那么他的周长也扩大 a 倍，面积扩大 a 乘 a 倍。

同学们大家好，欢迎大家来到徐老师课堂啊，今天这节课呢，我们接着来讲我们的比例尺的一应三。 我们首先来看一个问题，同学们把一个长三厘米，宽两厘米的长方形按二比一放大，得到一个新的长方形，这个新的长方形的长宽周长面积发生了怎样的变化？ 那么我们看到这样一个问题之后呢，同学们，我们首先去来分析一下这个问题，我们可以发现他不是我们所啊，前面两节课所讲过的一些比例词， 去画一个图啊，或者说求图上距离，它是一个具体的实际的问题，那么我们把它就看作是对于图形的放大缩小 问题，那图形的放大或者缩小在这个题目里面呢，我们是按照二比一来进行放大的 啊，为什么说二比一是放大，在这里面呢，就涉及到一个放大比例尺的问题了，那同学们首先我们要知道的是比例尺呢，其实他是有比值的啊，你比如说在这个题目里面，二比一，他的比值是二，二大于一，所以呢他就是一个放大的比例尺， 那同理，如果比例尺的比值小于一，那比如说我们来看一下缩小比例尺五个例子啊，比如说 啊，有一幅地图，他的比例尺呢是一比上一百，那么他的笔值呢，就是一百分之一，很明显一百分之一小于一，那所以从这里啊， 我们可以得出来，它是一个缩小比例尺啊，所以呢，我们分析了这么多以后，我们再来做这个题目就简单多了。那首先我们可以知道的是，它是按照二比一来进行放大的，那所以这个放大之后的长度 就是三乘二等于六厘米，放大之后的宽度 是二乘以二等于四厘米，那因此呢，我们说他 横和宽发生了一个怎么样的变化？我们就直接说啊，长是扩大两倍变成了六厘米，宽扩大两倍变成四厘米，那么周长呢？那首先呢，我们要知道的是长方形的周长公式是长加宽的和 乘二啊，就是二十厘米，那么原来的周长呢，是长加宽的和乘二是十厘米，所以我们看到二十除以十扩大了 两倍。那么我们用同样的方法和思路来分析一下我们的面积， 面积，现在的面积呢是六乘四等于二十四 平方厘米，原来的面积呢是三乘二等于六平方厘米，那么我们用二十四除以六等于四，因此呢，我们可以说面积是扩大了四倍，那么从这里呢，同学们我们还可以总结出 来一个小规律，什么规律呢？就是对于一个长方形，他的长宽周长，那再按照某一个笔放大或缩小的时候，他们的变化是相同的，那这一块的变化相同， 那么面积的变化我们要注意它是一个平方关系啊，也就是笔直的平方。好的同学们，我们讲完这个之后呢，我们再来练习一个问题， 我们来看这样一个问题，下列四幅图，第几幅图是左图按比例缩小的啊？请注意是缩小。那英子，同学们， 根据我们前面这个例题所讲的一些方法，请同学们自己来做这样一个问题，并且呢把答案写在我们的评论区。好的，欢迎同学们来到徐老师课堂， 那也欢迎同学们有问题的话来和徐老师进行一个讨论啊，也欢迎我们能够关注徐老师。 那么我们在以后的课堂上将要继续来讲解我们有关数学的一些知识来，希望我们的各位家长朋友把自己家的小朋友所在的年级告诉徐老师，那么徐老师可以去讲解对应的年级，比如说 三年级、四年级，五年级、六年级，初一、初二、初三的数学题目。好的同学们，我们今天这节课就先讲到这，同学们再见。

你的孩子会发散思维吗？看这道题就能检测出来，已知一个长方形的长和宽分别增加两厘米，面积就增加了二十四平方厘米。求原来长方形的周长。我们现在图上来画一下，看这道题讲的到底是什么意思。 现在可以很清晰的看到增加的面积是一个这样的阴影部分，我们再把它细分一下，它可以分成两个长方形和一个边长为两厘米的正方形。为了方便，我们暂时叫他们一号、二号和三号，也就是说 一号、二号、三号的面积之和为二十四平方厘米。本题要求的是原来长方形的周长，长方形的周长等于长加宽的和再乘二。所以很多人首先就会想到要把原来的长和宽分别都求出来，但是大家仔细分析之后会发现，本题的长和宽分别是多少是 根本求不出来的。这个时候会发散思维的孩子就会这么想了。求长和宽的目的是什么？是为了把长和宽加起来，那如果我们能直接找到长加宽的和，不是更简单更直接吗？ 我们现在还是要把这个二十四平方厘米给利用上。现在阴影部分的这二十四平方厘米是一个不规则的图形，如果我们能想办法把这二十四平方厘米的图形变成一个规则图形，也许就能突破了。由于三号这里是一个正方形，所以我们可以这么操作，把一号图形挪到三号的旁边。 现在一号、二号和三号组成了一个大的长方形，这个大长方形的面积就是二十四平方厘米，宽是两厘米，这样我们就能够求出大长方形的长，用二十四除以二等于十二厘米。现在我们再来看一下这个十二厘米的长包含了哪些东西。这一段是原来长方 形的长，也就是 a， 这一段是原来长方形的宽，也就是 b 中间还有一个两厘米。那这样我们用十二减二，就得到了 a 加 b 的和了，也就是十厘米。而原来长方形的周长呢，是等于 a 加 b 的和再乘二的，所以原来长方形的周长等于二十厘米。

长方形的长增加三米，面积增加十二平方米，宽减少两米，面积减少十四平方米。嗯，则圆。长方形的面积是多少？ 我们要想求出原来长方形的面积，就需要知道原来长方形的长和宽，对吧？好，我们先来复习一下长方形和正方形的周长和面积公式，好吧，好，首先先来看一下长方形的啊， 长方形它的周长等于什么？长加宽乘以二，由此我们能够得到长方形的长长等于周长除以二 减宽，对不对？那么长方形的宽呢？就等于周长除以二减长，对吧？嗯，对。那么长方形的面积是等于什么？ 长乘以宽，由此我们能够得到长方形的长等于面积除以宽，长方形的宽等于面积除以长，对吧？那么对于正方形而言， 他的周长就等于二，边长乘以四，嗯，对吧？那么由此我们就能得推出呢，他的边长等于什么？ 面积除以四等于面积除以四，对吧？嗯，正方形的面积呢？等于 边查乘以边查，对吧？这里需要我们对一到二十这二十个数字的平方记得非常清楚，你已经背过了啊。嗯， 好，我们根据公式再来看一下。啊。好，长方形的长增加三米，面积增加 十二平方米。有我们刚才的公式，我们能够求出宽就等于十二十二，所以三等于四。你的四米是什么？ 我们求出的宽宽同理，宽减少两米，面积减少十四平方米，我们就能求出他的长十四，十四除以二等于七米。 好，那么由此我们就能够求出长方形的面积就等于啊，长城以宽 十八就等于二十八平方米啊，单位可以写 汉字，也可以写符号。嗯，久一点。需要注意的，如果刚开始写符号，就符号要一直写到底，如果刚开始写汉字，那么也要一写到底，懂了吧？懂了。

各位家长，各位同学大家好，我是数学姜老师，你孩子身边的私人辅导老师。黑板上的这道题目，不要说我们的孩子了，好多家长呢，都没有思路，今天的姜老师和大家一起来研究一下这道题的做法。来看题，一个长方形，如果长增加两米， 宽增加五米，那么面积增加六十平方米，这时恰好成为了一个正方形。求原来长方形的面积是多少平方米？ 那来看这个图，这是原来的长方形，他的长增加两米，宽增加五米，那么增加了六十。哎，那这一部分 不规则图形的面积就是多少呀？六十题目你能听懂吗？然后组成了一个新的谁呀？长方形，那么这个题求原来的面积怎么算呢？ 好多同学老师，我们老师跟我说过，当我们给他增加的时候，其实增加的这一部分可以分成几部分呀？三部分来，哎，我们把这条线干嘛呀？延长，这条线也 延长，那非常容易，我们可以计算出我们这一部分的面积，对吗？分个块啊，这是第一块，这是第二块，这是第三块，各位同学能看懂吗？我们现在能不能把第三块的 面积算出来啊？是可以的，因为第三块的宽是两米，他的长是五米，所以第三块的面积写在这里啊， 等于谁呀？二乘五等于十，什么？哎，平方米， 哎，到这狗同学都有思路，但是后边就没办法了，我说老师，后边我想来想去没有办法了，这两块也不相等啊，还没办法算，到底应该怎么办呢？注意关键的点位在哪啊？在这里， 这时候恰好成为了一个正方形。高同学，正方形的 特点是什么？正方形的特点是边长相等，对吗？那我们把边长找到画出来画一下啊，这条边 大家能看到吗？这是不是正方形的边长？来看这和我们的这条边 是怎么样的？相等的梗诀能不能听懂？当他们相等的时候来看，我们可以把第一块和第三块，因为这条边是相等的，对吗？来，可以把它画到下边来， 高同学，能看懂吗？然后这里是谁呀？哎，这是我们的第一块，这是我们的第三块，高同学，能不能看懂？那考虑一下，我们放到这里之后，最下边的 来这里看这个长方形，各位同学，你能知道他的面积是多少吗？ 你知道吗？来看第一块，第二块，第三块，这里还有一个第三块，那 把这些加到一起是多少呢？就是它的面积，我们是第一块加上第二块，再加第三块，再加第三块，其中一加二加三， 这等于多少呀？六十，你看是不是增加的，再加一个三，三是谁呀？十，这里是十，各位同学能不能看懂啊？那加到一起呢？六十加十等于七十什么呀？ 哎，平方米，老同学，能看懂吗？这一步看懂的，给老师打个一，当我们这一部分计算的是七十的话，那你告诉我他的这个宽，这里是多少呀？ 从这到这五米，从这到这，我们挪过来的，这是几啊？两米，所以它的宽就是谁啊？哎，七米用七十除以括号，五加二， 这是他的宽，等于十米，你告诉我十米是什么？十米就是这个正方形的，谁呀？长这里是十米，来，能看懂的。给老师打个一，当这里是十米的时候，想一想 这条线是不是也是十米啊？十米减两米，是不是原来的长， 对吧？十减二，这是原来的长，再乘这一部分呢？哎，这一部分呢？是什么？也是十。那告诉我这宽是多少？ 十减五等于宽，乘以十减五等 于八，乘五等于四十平方米。高同学，这道题目的思路你听懂了吗？关注蒋老师，每天分享更多的解题技巧！

这个视频我们说说图形的放大与缩小，这有一张很可爱的照片，我想把照片放大，你觉得这几张放大的照片，哪张效果最好？没错，第三张照片最好，因为其他两张的照片都变形了， 只有这张不仅把照片放大，还没有变形。为什么只有第三张照片没变形呢？我们借助方格图来看一看，原图长是六厘米，宽是四厘米，图三长是十二厘米，宽是八厘米。 比较数据，我们发现图三的长是原图的两倍，宽也是原图的两倍。 那我们就可以说图三和原图长的比是二比一，宽的比也是二比一。把图形的每条边放大到原来 来的两倍，也就是图三是原图按二比一放大后得到的图。我们看二比一，这个比，比的前线表示的是放大后的长方形的长或宽，比的后线表示的是原来的长方形的长或宽。 为什么图一和图二会变形呢？我们也借助方格图来看一看，你有什么发现？ 对了，图一和图二的长和框与原图相比，没有扩大相同的倍数，所以变形了。我们再看图三和原图相比，什么变了，什么没变呢？ 图形放大以后，形状没变，但是图形的大小变了，不变的，除了长和宽的比还是三比二以外，四个角也没有变，还是九十度。变大的是周长与面积。我们来算一算原图的 收长，六加四的和乘二等于十，乘二等于二十厘米。原图的面积为六乘四等于二十四平方厘米。 图三的周长是十二加八的和乘二等于二十，乘二等于四十厘米。图三的面积是十二乘八等于九十六平方厘米。 图三与原图的周长比为四十比二十等于二比一。面积之比为九十六比二十四等于四比一。我们知道图三是原图按二比一的比例放大以后得到的图，图三的周长是原图的两倍，面积是原图的四倍。 那如果将原图按二比一缩小，会发生什么变化呢？因为是按照二比一的比例缩小，所以缩小以后的长应该是原图的 二分之一，也就是六乘二分之一等于三厘米。缩小以后的宽也应该是原图的二分之一，是四乘二分之一等于二厘米。直到了缩小以后，图形的长和宽就能画出这个图形了。 我们看图形缩小以后的形状没有变，只是图形的大小变了。图四的周长是三加二的，和乘二等于五乘二等于十厘米， 面积是三乘二等于六平方厘米。原图周长与图四周长之比为二，十比十等于二比一。原图的面积与图四的面积之比为二十四比六等于四比一。 图四是原图按照二比一的比例缩小以后的图，图四的周长是原图的二分之一，面积是原图的四分之一。所以放大 和缩小以后的图形与原来的图形相比，大小变了，但是形状没有变，而且各条边的长度变化都符合指定的比，如果形状变了，那说明各条边的长度变化不符合指定的比。好了，赶快做几道题试试吧！