二次函数与一次函数求三角形面积

这个视频我们来看一道二次函数和一次函数连列，求所形成三角形面积的一个最大值的问题，那么这类问题呢，往往是我们二次函数学完之后啊，在这个综合题里面的，哎，一个重要的类型， 我们先来读题，哎，这里给了一个抛物线 y 等于负 x 方减二分之七， x 加二分之九，那么这个抛物线所有的信息我们目前都是已知的啊，说他与直线 y 等于二分之一， x 加 b a， 这里有一个小 b 我是不知道的， 交于 a 点 aa 点的坐标又是已知的一零啊，交在 ab 两个点上，那么此时啊，我们读完第一句话呢，其实就可以得到一些信息了，把点 a 带进去，我们是不是就可以得到小 b 的值，那这里呢，我们顺势就可以得到直线的表达式式， y 等于二分之一， x 减 二分之一。那接下来呢，我们再把抛物线和这个直线连臂，是不是就可以得到点臂的坐标了？那这里呢，我们可以得到点臂的坐标，是一个负五负。 好，先写在这里啊，现在他说点屁是直线 ab 上方的这个抛物线上的一个动点，好，表示一下过点屁做歪轴的平行线交直线 ab 与点 c， 那么这个 c 肯定也是在动了啊， 当三角形 a p b 面积最大的时候啊，求这个点 p 的坐标以及面积的啊，这个最大值。好，那现在来看一下 a b p 这个三角形 a 点 b 点是两个确定的点啊，点 p 呢，它是在动的，那么随着它在这块来回的动，这个三角形在变，面积肯定也是在变的啊。好，那么 要求他那个面积最大值呢？我们就可以先去把这个面积给他表示出来，然后呢啊，就用一个代数式表示出来，然后再去求，哎，看什么时候你这个代数式的值可以取得最大值，对吧？好，那现在就是要去表示这个三角形的面积了， 那么此时你看这个三角形，他没有说任意的哪一条边和坐标轴平行，所以呢，我们要进行一个分割，哎，把它分成有一条边和坐标轴平行这样的一个形式，那么图上天然的有平行于歪轴的这个线段 p c， 把 apb 分成了左边的一和右边的二这两部分啊，所以这块的三角形 apb， 它的面积呢，就可以表示成一和二这两个三角形的面积之和。那你现在来看一下一和二这两三角形面积，我们怎么表示来， 对于一来说呢？我们此时可以以 p c 为底，那么它的高应该是谁？是不是点 b 到 p c 这个直线之间的一个距离， 对吧？也就是这一段，那么这一段呢，我们可以用点的坐标来表示，哎，我就用这里的 p 点的横坐标减去 b 点的横坐标表示，对吧？那你继续再来看二，那么同样的二，我们依然是以 pc 为底，那你看一下他的高是谁？ 是不是点 a 到 p c 之间的这个距离，那么这个距离呢？我们用的是点 a 的横坐标减去点 p 的横坐标。 好，把这个式子来整理一下，就是二分之一乘以 p c， 再乘以来 x p 减 x b 加 x a 减 x p， 那最后甚至就是 x a 减 x b。 好， 这个式子非常的关键啊，对于这种动的三角形，我们再去求它面积最直的时候呢，往往最后用的其实就是这个式子。来，你看一下，二分之一，不用说， pc 是啥？ pc 是我把 abp 分割之后，这两个三角形的一个公共边，对吧？我现在把它作为底了，那么这个 pc 呢，我就叫做公共底。那你看 xa 减 xb 是啥？是不是左边右边这两点之间的一个横向距离？其实就是这两个三角形的高之和， 对吗？所以这个式子呢？啊，我把它叫做二分之一，乘以公共底，再乘一个高之和， ok， 好，一般呢，如果你熟做熟练的话，对于这个三角形，你就可以直接写到这一步了啊，中间这个推倒都可以不用写啊，你就可以直接到这一步。好，那么现在来看一下这一步 继续往下怎么去表示呢？那这里涉及到点屁和点 c 的坐标了，对不对？其实更严谨的说是点屁和点 c 的纵坐标，好，那这里呢，我们就去设一下点的坐标啊，点屁的横坐标设为小 t， 那么它的纵坐标就是负 p 方减二分之七， p 加二分之九， 那么对应的点 c 横坐标跟 p 的横坐标是相同的。小 p 纵坐标呢，带到这里来，应该是二分之一， p 减去二分之一，好，现在来往这带二分之一乘以 pc， 应该是用 p 的纵坐标减去 c 的纵坐标啊，因为 p 永远在 c 的上方， 那么应该是负 p 方减二分之七， p 加二分之九，再减去一个二分之一， p 括号带上减二分之一，好，这是 p c， 好。再来看 x a 减 x b， a 的横坐标一， b 的横坐标负五，所以这里应该是一减负五，那么就是一个一加五。 好，接下来我们把这个式子啊给他整理一下，结果呢是负三倍的 p 加二括号的平方，再加一个二十七。好，你现在来看一下这个式子是啥意思呀？ 哎，我最后要求的这个面积是关于 p 的一个二次函数，而且这里 二次项系数负三是小于零的，也就说这个二次函数它是开口向下的，对不对？那么是不是意味着当我的 p， 哎，取得谁的时候，这里加二。所以应该是取得负二的时候啊，你的这个面积呢，是有一个最大值的， 最大值是谁呢？哎，就是后面的这个尾巴二十七，对吧？好，那么这里的最大的面积我们已经求出来了，是二十七，那人家还要点屁的坐标呢，点屁的坐标。好，来看一下，横坐标是负二，纵坐标呢，你给他带进去啊，就可以把纵坐标求出来了。那这里纵坐标啊，是一个二分之十五。 好，那这道题就讲完了，那其实对于这类问题呢，我们可以通过这四步去解决。第一步呢，就是设动点的坐标，哎，这里我们把 p 的坐标设出来了，顺便把 c 的坐标呢也表示出来了。第二步呢，就是分割来看一下， 做一个垂直于 x 轴或者平行于 y 轴的这样的一个竖直的线，把三角形分成左右两边啊。第二步，分割，分割完了之后，第三步呢，就是在这一块去表示这个三角形的面积，哎，在这一块啊 表示完了之后，你会发现他是关于 p 的一个二次函数。那么最后一步呢，就是根据这个二次函数来求你面积的一个最值啊，那么通过这四步呢？同学们就可以很好的把这类问题啊给他解决掉了。那这个视频我们就到这里下个视频，再见。

老师都不一定知道的方法，给出一个二次函数，与坐标轴交于 a、 b 两点，连接 a、 b、 p 点在直线上方的抛物线上运动，当三角形面积最大时，让我们求点 p 的坐标。这个题想直接求解非常麻烦， 但如果我们知道弓形三角形，那就完全不一样了。给出一个二次函数，再给出一个一次函数，二者相交。因为这个图形很像一个弓，所以我们把它叫弓形。在弓形上找一点连接两个端点， 那么这个三角形我们就把它叫做弓形三角形。如果弓形一个端点的横坐标是二，另一个端点的横坐标是六，那么当批点在哪的时候，弓形三角形的面积最大呢？ 其实很简单，我们只要把两个弓形端点的横坐标加起来除以二就可以了。一个横坐标是二，一个横坐标是六，相加除以二， 我们求出来等于四。也就是当批的横坐标为四的时候，弓形三角形的面积最大，给出一个二次函数，再给出一个一次函数，二者交于 a、 b 两点。 swordpap 是一个弓形三角形， 而我们知道整个公形的一个端点是一，一个端点是 b， 因为点在歪轴上，所以它的横坐标为零。 b 点的横坐标已经标注出来了，是四。把两个端点的横坐标相加除以二， 因此我们求出批的横坐标为二。那纵坐标怎么求呢？因为批点在二次函数上，把横坐标等于二。带入表达式中，我们求得纵坐标为六。搞定。

来二次函数中的面积最值问题，一直是初三同学们非常头疼的问题。如果这种题目出在了小题里面，今天我教你们一种非常快的秒杀方法， 告诉我们，抛物线 y 等于 x 方减三， x 减四，同时一条直线 y 等于 x 减三，这两个东东相交于 a 点和 b 点，而点 p 呢？首先在抛物线上运动， 同时又在直线 a、 b 的下方问。我们是，当 p a、 b 这个三角形的面积最大的时候，点 p 的坐标到底是多少？大家记住这种最值问题， 当 p a、 b 面积最大的时候，点 p 一定在 a、 b 中点所对应的这条与 i x 轴垂直的直线上。也就是说，我们可以先找到 a、 b 的中点，然后做一条垂线，这条垂线与抛线的焦点就是当 p a、 b 面积最大的时候，点 p 的坐标，也就是说 p 和 a、 b 中点的横坐标一定相等。 图克来求 p 和 a、 b 中点的横坐标这个事不太复杂，咱直接把抛物线和直线连立就好了。 x 方减去三， x 再减四，是等于 x 减三的，也就是说 x 方减去四， x 再减一等于零。那这个东东的两个 不就是 a 和 b 两点的横坐标吗？那我们就自然能有伟达定理，知道 x 一加 x 二了， x 一加上 x 二，不就等于负的 a 分之 b， 那就是四。此时我们也就知道了 a、 b 终点的横坐标，二分之 x 一加 x 二，那不就等于二吗？也就是说，点批的横坐标啊，他一定是二。把这个二带进抛线的方程明显就是负六。这道题目咱就做完了，具体怎么证明这件事，大家下来可以尝试一下小哥。

二次函数中的面积比问题是一种常见的压轴题型，那么对于这类问题的话，是有固定方法去解决的。我们看一下这道题目， 第一问的解析式呢，帮大家做出来了， y 等于负的二分之一， x 方加二分之三， x 加二，并且可以得到 a、 b、 c 三点的坐标。我们直接看第二问点 p 是该函数在第一象限内图像上的一个动点， 连接 b c， p c 设直线 p b 交线段 a c 与点 d。 三角形 p c、 d 的面积为 s 一，三角形 b、 c、 d 的面积为 s 二，求 s 一比 s 二的最大值。首先这个 s 一比 s 十二呢，是一个做题的标记，所有的三角形之间的面积比，最终一定要转化成线段之比，最常见的转化方式有三种， 同高面积比是底边之比，同底面积比是高之比，相似面积比是相似比的平方。所以我们看一下 pcd 和 bcd 的关系，可以看作同高 过 c 向 b p 做垂线就是他的高，所以你这个面积比就是底边之比， s 一比上一个 s 二就是 p d， 比上一个什么 b d， 那你求的是这个的最大值对不对？那么 p d 比 b d 怎么比的？大家注意了啊，前面的视频我们给大家讲过，倾斜线段是怎么画斜为直的，靠的呢？是三角函数， 那么我们现在所看到的呢，他是倾斜线段笔直的形式，但是本站还是倾斜线段，我们还是要化斜为直的，那我们这个时候靠的是什么呢？靠的是相似，因为你是两条线段之笔对不对？ 那么就想来在图中能不能找到，或者说能不能容易构造出来一组相似，使得 p d 与 b、 d 变成这一组相似的什么对应边？ 那这个里面比较容易构造什么呢？就是八字形相似，因为你从 p d 跟 b、 d 的位置来看， 特别像一个八字形内部的一个交叉，对不对？那么八字形相似属于什么平行相似？所以我们应该啊，在 p d 跟 b、 d 的上下方做一组平行线啊， b、 d 的话，我们就可以直接用 b a， 那么我直接可以过 p 点 做一个 b a 的什么平行线啊？我们接下来给大家做一条这个线，比如说我过 p 做一个 p h 与 a、 c 啊，交于 h 点，那此时大家想三角形 d p h 与三角形 d、 b、 a 数八字形相似，你的 p d 比上 b d 就等于 p h 比上 a、 b， 所以这个问题就变成了 p h、 b 上 a、 b 的最大值， a b 是固定的，是四，就等于四分之一 p h 的一个最大值。那你想想看，你是不是只要让 p h 取取得最大就行了，对不对？而 p h 又是什么？ p h 又是一条水平线的长度，我们水平线也好，还是竖直线也好？我们说过他的一个最大值肯定是用代数法配方去求的， 那么又需要设什么点坐标？所以这个时候我们可以把 p 点坐标设出来。哎，横坐标设什么小 t 纵坐标呢？带到解析式里面负的 二分之一 t 方，再加上一个二分之三 t， 再加上一个二。好，有了 p 点的这样的一个坐标之后，我们去看一下怎么去搞定 h 点坐标呢？首先我们 h 点的纵坐标就出来了，因为你的 p h 是一条水平线，所以 h 点的纵一标和 p 点的纵一标 要是相等的，就等于负的二分之一， t 方加二分之三 t 再加二。那关键是怎么去求 hd 呢？横坐标呢？我们得看到 hd 是在什么 ac 上面的，所以我们要去求 ac 的解析式。我们可以看一下啊， ac 的解析式， y 等于负的二分之一， x 加二。我们检验一下啊，零的时候是二，四的时候是零，没问题，那么这边就等于负的二分之一 x 再加二。 所以 x h 的那种，我们可以两侧把二给他消掉，两侧在同时乘上一个，乘上一个负二，对不对？我们看一下啊，同乘负二 没问题，负二，那就是这个是负的 often 替方乘负二，替方乘 负二减三 t。 好，那么这样的话，我的 h 点的函数标，还有我的 p 点的函数标就都有了。那接下来我的 ph 的表达是怎么写呢？大家看一下， ph 的话，谁在右侧呀？ p 点在右侧，所以拿 t 再减的， h 的减 t 方再减三 t 就等于负 t 方减二 t 提一下，负的里面是 t 方加上二 t， 然后呢，加一，再减一，负的 t 加一的平方再加一。所以 p h 的最大值等多少？ a， 你的 p h 的最大值就等于一。 好， p h 的最大值等于一的话，那你回来看一下他的最大值等于多少，是不是就等于四分之一，所以 s 一比 s 二的最大值就是四分之一。 大家注意了啊，面积笔问题是怎么做的啊？核心是要转换成线段之笔，正常靠的是什么啊？就是同高同理或相似。另外这个里面 二次函数里面出现了倾斜线上的笔直，怎么化线为直呢？啊？如果是倾斜线的笔直，常见的是构造平行相似，要么八字，要么 a 字，具体看题目的条件即可。

同学们大家好，我们来看一下这道题。如图，直线 ab 与 x 交一点 c， 与 y 轴交一点 b， 点 a 一斗三，这是它的坐标点， b 的坐标是零斗二， 连接 ao。 第一问，求直线 ab 的解析式，第二问，求三角形 aoc 的面积。现在我们就一起来解答这道题目。 第一问，求直线 ab 的解析式。我们呢可以采用待定系数法， 这个方法呢，大家应该是十分熟悉，它分为四个步骤， 第一步就是射，我们可以射直线 a， b 的解析式 为 y 等于 k， x 加 p。 第二步就是带路， 我们可以把这个 ab 两个点的坐标啊带入我们所设的这个解析师当中，把 a 啊一豆三点 b 的坐标零豆二，带入直线 y 等于 k， x 加 b 中 得到关于 k， b 的二元一次方程组。首先把 a 一斗三，带入 y 等于 k， x 加 b 当中得到 k 加 b 等于三， 再把零豆二带入其中，得到 b 等于二。第三步，解这个关于 k b 的二元一次方程组。 记得 b 等于二，再把 b 等于二呢，带入 k 加 b 等于三当中就得 k 等于 一。第四步，还原， 也就是把 k b 呢带入 y 等于 k， x 加 b 当中，得到这个直线 a， b 的解析式。所以 把 k 等于 b 等于二，带入 y 等于 kx 加 b 中得 y 等于 x 加，所以直线 a， b 的 解析式为， y 等于 x 加。呃，这是低温的完整的解答过程。好，下面呢，我们再来看第二问， 求三角形 aoc 的面积。我们来观察一下图形三角形 aoc 的面积的话，我们可以以 oc 为底， 过点 a 做 oc 边上的高，你所做 ad 垂直于这个 x， 手交 x 走一点 d， 我们写一下辅助线， 过点 a 做 a d 垂直 x 轴 与点 d， 那么 a d 呢，就是 o c 边上的高，所以三角形 a， o c 的面积呢，可以表示为二分之一乘以 o c， 再乘以 a d， 那么 a d 是等于多少呢？因为点 a 的坐标是一斗三， 所以 a d 的长度呢，就是这个点 a 重坐标的绝对值，也就是等于三。再来求这个 oc 的长度， 要求 oc 的长度的话，我们首先要求出这个点 c 的坐标，然后把 y 等于零，因为点 c 的众多标志点哈，所以把 y 等于零带入这个直线 y 等于 x 加二，当中 y 等于 x 加二，中得顶等于 x 加二， 所以接的 x 等于负二，所以呢，点 c 的坐标是负二。逗，你 既然点 c 的坐标是负二，逗零的话，那么 oc 的长度就是这个点 c 横坐标的 结对折，所以 oc 就等于二。所以三角形 a， o c 的面积等于二分之一，乘以 o， c， 再乘以 a， d， 也就等于二分之一乘以二，再乘以三，等于三。 所以呢，这道题目啊，他并不难，是一道基础题，关键就是掌控这个待定系数法， 求这个直线 ab 的解析式。然后呢，再求出点 c 的坐标和 oc 边上的高 ad， 然后再根据三角形面积公式 求三角形 lc 的面积即可。好，这道填补呢，就讲到这里，我们下次见。

二、传述压轴存在三角形面积三字诀，方法简单实用，建议点赞收藏，反复观看，请一定要看到最后，一直有精妙的总结等着你，我们看神奇的三字诀怎样通杀同类型经典问题， 三角形 ppc 面积最大。一、做千锤过动点向横轴做千锤交对边写出四点坐标。二表距离，动交重叉求垂距，双地横插求横距，算出两个距离。 三列解析，三角面积套距离带入化简得解析，特别注意自变量取值范围。四、求最直，求得顶点横坐标带入范围验存在终得答案。精妙总结请带走，关注我，简单的方法让人如此着迷！

这个图呀，他可以在这，也可以在这，是吧？那么我就画在这， ok， 然后呢？他说的是与 x 交易必点，这就是必点啊，这是 y 的一个 x 加的标准，是吧？然后反比的还是图像，反比的还是图像，那就有意思了， 就就就这样画一个好不好？我那边要不要画？这里也可以画一个画出来吧，要不然不公平是吧？嗯，要公平， 差不多就行了。要求高，要求就是表示那个意思，他们的焦点是 b 吧。啊，然后呢？与反比那个他的焦点是 a， a 是 a m， 那么一般情况是在 b e 下写，所以说这个下面这个画里边画是吧？那么这是 a 点吧？ e， 我们将这个 a 点，它符合一次函数，那么就得到了 m 等于一加 n， 是吧，是不是？然后他要求的是哪三角形啊？三角形 a o b， 我让你画大，是不是能看出三角形的呀，是不是这个意思？哇，你能看出来啊，你好厉害。三角形 ao 是不是这个三角形的感觉？ tsro s 三角形的 aob 乘以二二二分之一乘以底是什么？ 这个三角形的底啊，底和高你不知道吗？那底呢？我再说一下，底是什么？你用字母表示字母。现代，比如说这个现代，这是 a， 这是 b， 这叫现代。 ab 保镖乘以 m， 是吧。联盟 b 点的坐标是什么？ b 点坐标，它是与 x 相交的，那么 b 点的什么坐标为零， y 为零，数据它等于零，等于 x 加灯啊，那么 x 等于多少？就是它的乘坐标吧。那坐标是啥？ 我靠，零等于 s 加 n， s， 对吗？是不是就把 n 移向过来了？ 明白 no o b twirl 脑梗的意思，因为这个，嗯，我画的是这样的，我如果画到这呢？我如画这呢，这就得跑这来。所以说这个叫什么？二分之一啊？ n 的这 是不是等于多少？也就是说 n 的绝对是乘以 m 往上等于嘛？滚，我们刚才还有一个， m 是不是等于一加 n 呢？好了， 我把 m 代入进去， n 的绝对是乘以一加 n 等于二。我们两个情况， n 大于零，是，是吧？那么 n 加上 n 的方等于二，二把零落 n 方加 n 减二等于零，用什么方法解？ 怎么了？一乘以二吗？一乘以二吗？非常好 发等于这种非常犯理是吧？啊？非常怕是吧？那还等着 n 等于是发，因为他要打语音，所以呢， n 等于一不能等于发，是吧？这是第一个打语的情况是吧？ n 等于一，那 m 等于多， 这第一个情况我们要不要看这个情况？要，要看按小一点的时候得到什么。负 n 乘以一加 n 等于二八，负 n 减 n 方等于二八，也就是说 n 方加 n 加二等于零八五减。知道为什么减八， b 方减 c， c， b 方是一减 c， c 就减八等于七的乘以五减，所以说大一点吧，算了吧。