邻补角和对顶角的定义

那么什么是零补角？我们同学们在之前的时候，我们学过余角和补角，我们知道如果两个角度，如果两个角加一块，它的合适九十度的话，那么这两个角就是互为余角的， 如果他们的和加一块等于一百八十度的话，他们两个就是互为补角，那么对这个零补角来说，那么他首先肯定是一个补角，但是同学们要注意 他有一个邻邻补角，那么从字面上来解释的话，应该是相邻的两个补角，我们来看一下他对应的定义。 临主角指的是有一条公共边，而另一条边是互为反向延长线。我们来简单画一个图，那比如说 这样的两个角，如果我们记这个是角一，这边这个是角二的话，我们会发现角一和角二，他们两个首先是互补的关系，因为这两个能组成一个平角， 那么角一和角二，他这两个角首先他有一条公共边，这条边是公共的，而这两个角另外一条边是互为反向延长线，一条在这边，一条在这边互为反向延长线，我们称这样的角是零补角， 有一条公共边，那么另一边是互为反向延长线。那么同学们要注意临补角他的一个定义。那么说完临补角，接下来我们看一下对顶角他的定义，对顶角是指由公共的顶点，另外两条边都是互为 为反向延长线，我们也画一个对应的草图，比如说这样的两个角，比如依然是角一和角二。对这两个点角来说，首先他们有一个公共的顶点，这个顶点是公共的， 那么这两个角他的两条边互向是互为反向延长线，那么对角一来说，这条边他的反向延长线就延长到这个位置，那么这条边延长到这个位置，两条边都是互为反向延长线的。 我们称这样的角它是一个对顶角，这是角一和角二。那么同学们看一下这个图，角一和角二他们两个是对顶角，那么这两个角在大小上有什么样的关系呢？我们来看一下这两个角， 从图上我们能感觉的出来，角一和角二应该是相等的，那么看着像是相等的，我们确实需要去证明一下，我们来看一下，比如说我们设这个角是 角三的话，那么从这个图上我们看角一和角三应该是互补的关系，也就是角一 加上角三应该等于一百八十度。从这个图上我们能看出来，那么角二和角三他俩也是一个互补关系，那么就是角二 加上角三也是等于一百八十度的。那么由这两个式子我们是不是能得出角一和角二是相等的关系？那么可以把第一个式子进行一个变形，就是角一等于一百八十度，减 减去角三，那么角二也一样，角二等于一百八十度减去角三，我们进行一个一项就可以了。 如果我们不看这个式子，我们还可以通过以前我们所学的一个定理来得出这个结论。我们知道角一和角三是互补的关系，角二和角三也是互补的关系，也就是说角三他的补点是角一， 他的补角也是角二，我们知道同角的补角是相等的，所以说我们得出一个定理就是对顶角相等，那么这个定理同学们需要记清楚，只要碰到对顶角，那么这两个角肯定是相等的， 那么这个定理说的是对顶角相等，那么同学们想一下，如果我们把这个话反过来说的话，那么两个相等的角，他们都是对顶角吗？如果两 两个角是相等的，他们是不是对顶角？那么我们来举个例子来看一下。比如说这样一个图，这两个角从图上我们都标的有都是四十度，那么两个角都是四十度，这两个角相等，他们两个是不是对顶角呢？ 是不是对顶角，我们只需要看他符不符合对顶角的定义就可以了。首先要有公共的顶点，那么这里边这两个角一看，我们就知道他两个角的顶点肯定不是公共的，没有公共的顶点，那么他们肯定就不是对顶角了， 而且另外的两条边又互为反向延长线，那么这个图来看，我们是不能得到这个反向延长线的，所以说相等的角不一定是对顶角，那么再给同学们举另外一个例子，那比如说这样 图，我们说中间这个线是这个大角的角平分线，那就有角一和角二相等，那么这个时候虽然说他们有公共的顶点，但是他的两条边不是互为反向延长线，所以说他也不是对顶角， 那么同学们要记住对顶角相等，但是反过来相等的角可就不一定是对顶角，这个我们需要注意， 那么这是关于林补角和对顶角它相应的概念，那么接下来我们看几个简单的例题，来看一下这个概念是如何来运用的，那么首先我们看一下第一题， 如图，角一 和角二是对顶角的是哪个？那么给我们四个选项，我们来看一下，就 a 选项来说，角一和角二他们有公共的顶点，这个没错，有公共顶点， 但是按照对顶角的定义来说，他的两条边应该是互为反向延长线，那么这个图来说，他们应该不是反向延长线，因为这条线他的 线在这边肯定不是反向延长线，所以说 a 选项肯定是错误的。那么再看 b 选项， b 选项同样也是有公共的顶点，而且有一条边刚好是反向延长线，但是我们注意对顶点指的是两条边都得是反向延长线， 那么这里边只有一条是另外一条不是，所以说 b 选项也是一个错误的选项，那么 c 选 选项由公共的顶点，一条边的反向延长线，另外一条边也是一个反向延长线，那么这个应该就是对顶角，符合他的定义。所以说 c 选项这个两个角是 对顶角。那么最后我们再看一下 d 选项，这两个角的话，也是有一条边是反向延长线，但是他没有公共的顶点，这里边有两个顶点，所以说他就不是对顶角， 那么对对顶角来说是比较容易判断的，只要我们找到公共的顶点，同时另外两条边是互为反向延长线，就能够找到这个对顶角，那么这个问题是比较简单的，我们再看另外一。

如果要让你画出你最讨厌的几何图形，我想这个红色的叉叉肯定是榜上有名吧。这个再常见不过的红色叉叉，却蕴含着两条直线基本的位置关系，那就是香蕉。 像这样两条直线只有一个公共点的情况，我们就称之为两条直线相交。 两条直线相交必然会形成四个角。今天我们要重点讲解的就是这四个角的两种特殊位置关系，平补角和对顶角。 首先我们来看零补角，在图中，像角一和角二这样相互挨着的角就是零补角，那我们如何科学的定义它呢？我们从角最重要的三要素，零点边角度出发分析。角一 和角二、角一和角二的顶点都是 o， 显然他们有公共的顶点。边的话，角一和角二有一条公共边 oc， 并且角一的另一条边 oa 的反向延长线恰好是角二的另一条边 ob， 反之，角二的边 ob 的反向延长线也是角一的边 oa。 再看角的大小，显然在角度上，角一和角二是互补的。 这里我们可以得到零补角的定义，两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为零补角。 通过定义，我们来判断一下下面图中的角一和角二是零补角吗？左图中角一和角二 虽然有一边互为反向延长线，但他们并没有公共边，所以该图中的角一和角二并不是零补角。 再来看右图，角一和角二虽然有公共棉 ob， 但是角一和角二的另一边并不互为反向延长线，所以这两个角也不是您补角。 需要注意的是，我们说的零补角是角之间的一种关系，所以一定是成对出现的。我们不能说角一是零补角，只能说角一和角二互为零补角。 我们再来看对顶角，像角一和角三、角二和角四这样阵风相对的角就是一对对顶角。 我们同样从顶点边、角度三要素来分析，我们来看角一和角三、 角一和角三的顶点都是 o， 显然他们也有公布的顶点边的话，角一的两边 oaoc 的延长线分别是角三的两边 ob 和 od， 角一和角二、角二和角三分别互为零补角。显然在角度上，角一和角三是相等的。这里我们可以得到对顶角的定义， 如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。 通过以上的观察，我们可以得到对顶角的性质，对顶角相等。通过定义我们来判断一下，下面图中的角一和角二是对顶角吗？左图中 角一和角二连公共点都没有，显然不是对零角。右图中角一和角二虽然有公共点 o， 但是他们的两边并不互为反向延长线，所以也不是对零角。 需要注意的是，和领补脚一样，对顶脚也是脚之间的一种关系，所以一定是成对出现的。 我们来总结一下，今天主要了解了两直线相交的定义及其所形成四个角的两种特殊位置关系，零补角和对顶角。一定要注意，零补角和对顶角是成对出现的，不能说单一的一个角是零补角或对顶角。

这个专题我们来看零补角与对顶角在相交线当中相对的两个角，你像角一跟角二，他俩呢，就是对顶角，还有呢，角三跟角四也是对顶角。不难发现呢，对顶角他有两个特征，一个呢就是有公共的顶点， 你看角一跟角二，公共的顶点有了，然后呢，就是两边呢，都是互为反向延长线的，角一跟角二的两边就互为反向延长线。当然角三跟角四也是具有这样的特征， 角一跟角二是对顶角，角三跟角四呢，也是对顶角。我们发现呢，在两条相间线当中会有几组对顶角呢？对，会有两组对顶角啊，这是对顶角的概念和识别。我们再来看一下零补角，就是在相间线当中相邻的这两个角，你像角一跟角三呀， 俩既相邻又互补，具体来说的话就是有公共边，而且呢，哎，互补，这样的两个角就是零补角，角一跟角三，他呢是零补角， 还有了吗？当然还有你像角一，他跟角四，哎，是不是也是既相邻又互补呀？他俩也是零不角，那再比如说角二，他跟角三也是零不角吧？还有角二，他跟角四是不是也是零不角呀？ 这样数一数的话，一共有多少组零补角呢？在两条相间线当中，我们发现呢，一共是有四组零补角啊，这是一组，这是一组，这是一组，这是一组。一共有四组的零补角，那它的特征呢，就是有一条公共边，而且呢，还互补， 或者说呢，有一条公共边，剩下的另外一条边呢，互为反向延长线。比如说角一跟角三有一条公共边吧，那么剩下的边的话，就是这条边跟这条边呢，正好是互为反向延长线。关于对等角呢，我们说一下它的性质，对等角是相等的，这个是很容易正的，为什么它相等呢？ 比如说角一跟角二，它为什么相呢？因为它都是角三的零补角呀啊，你看角一，它跟角三是互补的，角一加角三啊，就是一个平角，是一百八十度。再看一下角二加角三，角二角三呢，也是零补角，它俩也是互补的 啊。换句话说呢，林补角它是互补的一个特例，它除了互补这个特征之外呢，它还具有了有一组公共边啊这样的一种位置关系。 好，那我们来看一下，根据同角的补角相等，角一角二都是角三的补角，我们就可以得到什么角一跟角二就相等了，同角的补角相等， 角一等于角二，同理呢，角三他跟角四也是相等的，这个以后可以直接拿过来运用了，只要一看到是对顶角，那对顶角就一定是相等的，这就是对顶角重要的性质。最后呢，我们再来用一个图示来表达一下临补角和补角之间 关系。如果这个圈里面呢，是补角的话啊，互补两个角的核是一百八十度，我们就称之为是互补，其中一个就是另一个角的补角。那么我们再画一个更小的圈啊，里边的这个小圈里边，他呢就可以称之为是零补角。 所以我们会发现呢，林补角他一定是互补的一个特例，林补角一定是互补的，但是互补的角不一定都是林补角。好了，咱们赶快操练起来。例一说，下列个图中，角一与角二互为林补角的是谁？ 那么要看他具备两个特征，你像 a 选项，这个角一跟角二一看，他俩都不互补，连互补都不互补，那就肯定不是零补角了。虽然呢，角一跟角二呢，有一条公共边啊，相邻，但不互补，他就不是零补角。再看 b 选项一看，这个角一跟角二呢，啊，应该能够凑成一个平角 啊。虽然具备了互补，但是他有公共边吗？没有公共边称为上相邻啊。相邻呢，就是有公共边，说明呢， b 选项这个不对啊，邻补角啊，邻是相邻的意思，补呢，是互补的意思。 再看 c 选项，角一跟角二呢，一看就不是零不角，因为他俩不相零。他俩是什么角？他俩是对零角，对吧？那就是 d 选项符合题了。 d 选项呢，既相邻又互补，哎，这就是零不角。对零角一定是出现在两条相交线当中，而零不角呢，不一定啊，比如说我画一个这个， 那这两个角呢？我并没有画出来相交线啊，相交线的话，那胡须边画的长一些，我就画了这一边的这一条射线，此时呢，就可以看到这个角一跟这个角二，他俩呢，就可以叫做是零补角了啊。这个利益搞明白同学，欢迎敲个一。第二下来，说法正确的是， 第一项呢，互补的两个角是邻补角，这个显然是不正确的。互补不一定相邻啊啊，而邻补角必须既得相邻又得互补。 所以呢，我们刚才已经说了，邻补角他一定是互补的，但反过来，互补的角不一定是邻补角。比如说，我现在画的这个角一跟角二，他俩互补，他俩不相邻，也就说他缺少公共边，他就不行。 好，再来看 b 选项，相等的角必是对顶角，这个也不对，对顶角是相等的，但是呢，相等的角就不一定是对顶角了。我们随便画一个，你像这个角，他跟这个角，哎，我们画的这两个角呢，是相等的，他俩呢，根本就不是对顶角，对吧？什么是对顶角？在相交线当中，相对的两个角才是对顶角。 对顶角呢，一定是相等的，但是呢，相等的角未必都是对顶角。所以 b 选项错在这里， c 选项对顶角一定相等，这是真理啊，对顶角一定是相等的，你像这里的角一 一跟角二，他俩呢，都是这个角三的零补角，我们根据同角的补角相等，就可以得到对立角相等了。我们要知道，对立角相等他是怎么来的，他的妈妈是谁，就是同角的补角相等推出来的。所以，下列说法正确的就是 c 选项。 再来看 d 选项，若两个角不是对等角，则这两个角就不相等。不是对等角就没有资格相等了吗？当然不是的， 你像这两个角，我刚才画的他俩呢，就相等，但是呢，他俩照样不是对顶角啊，不是对顶角，照样可以相等。再比如说，老师呢，这里有一个大的三角板，其中呢，有一个角呢，是三十度， 你那里呢，有个小的直角，三角板里面呢，不影响。也有一个是三十度的角，这两个三十度的角肯定相等的呀。可是这两个角是对等角吗？不是，他俩不是对等角，但是呢，照样是相等的。这说明呢， d 选项呀，太武断了，不是对等， 他说不想等，那怎么可能呢，只有 c 选项是正确的。好，这个例二搞明白了，把这个概念变息变现下来的，欢迎敲个二， 我们再来看例三填空第一个，如图，直线 a、 b、 c、 d 相接于点 o 做射线 o、 e， 则图中临补角有多少？对？掌握两个特征，既相邻又互补。好，我们看这边的这个角一 啊，有没有他的零部角呢？有，你像这边这个角 boc。 好，我们按照顺序来数啊，别给他数丢了。角一，他呢，与角 boc， 那么角一还有没有零部角呢？有，他跟这个角 aod， 你看是不是也拼成了一个平角呀？所以呢，他俩也是啊， 那就是角一与角 aod。 好，这就是两对了。那我们再来看，再换一个位置，再看这个角，这个呢，是角二。角二 跟这个角是不是呀？哎，是啊，那就是角二与角 doe， 这也是零补角，他俩既相邻又互补。注意，零补角未必出现在相交线当中。可能呢，就是。哎，这样的， 这样的两个角，他俩既相邻有一条公共边，然后呢，用互补就可以称之为是零补角，他不像对等角，对等角的，必须是相交线当中相对的两个角。那我们看角二还有跟他是零补角的了吗？哎，从图上我们找不到了，我们再来看一个，换一个位置，换到这边来，角三，看看角三有没有零补角呢？有，像这边的这个角， 也就是说角三跟角 a o e 啊，角三与角 a o e， 再看看角三还有没有他的零补角呢？除了这个角 a o e。 没有了。再转一下，看这个角四，他的零补角是谁呢？角 b o c 还有吗？还有这边的角 a o d。 好，我们就这么来转一圈啊，他不容易给他数丢啊。角四，余角 b、 o、 c 还余角 a、 o、 d， 按照顺序规律去进行计数，再往后转的话，就转到这个角了。这个角呢，他跟角一咱们已经计数过了，角 aod 与角一，还有呢，角 aod 与角四，咱们也给他计过数了，再往后就转到角一这边来了。 这样看来的话，一共是几对啊？六对啊，按照规律，按照顺序去数，别给他数丢了。再来看第二个，如图二， a、 b、 c、 d 相交于点， o、 o、 e 是角 a、 o、 c 的平分线， 那说明 o、 e 呢？分出来两个相等的角，就是这边的角一跟这边的角二，他两个是相等的， o、 c 恰好平平，角 e、 o、 b， 那他就分出来两个相等的角，就是 角二跟这边的角三又是相等的。也就是说，根据角平分线的定义，得到了角一等于角二，还有呢，就是角二等于角三。哎，这三个角不就都相等了吗？而且我们又发现了一个秘密，这三个角拼成了一个平角啊，那这三个角的核是一百八十度，那就把一百八十度呢给他三等分就是了。三分之一乘以一百八十度， 那就可以得到是六十度。这三个角呢，都是六十度的角，在图上给它标一下，它让我们求的是什么？求的是角 a、 o、 d 的度数。角 a、 o、 d 在这边， 他的正好跟角三是对顶角。你看，在 a、 b、 c、 d 这一组相交线，相对的两个角，就是角 a、 o、 d 跟角三对顶角相等，角三是六十度，那么角 a、 o、 d 当然也就是六十度， 或者呢，由这样一个平角去掉这边的角一跟角二，去掉两个六十度，剩下的呢，他也一样是六十度。 好，我们再看第三个。如图三，长方形纸片， a、 b、 c、 d 沿 a、 e 折叠点地，落在长方形内部的点地撇处，若角 a、 e、 d。 撇等于六十八度，找到这个角 a、 e、 d。 撇就这个角，它呢是六十八度。像这种折叠角问题，要找到折叠前后的对应的那些角，那些对应角呢，都是相等的。 你像这个六十八度的角，是由哪个角折过来的？是由角 a、 e、 d 折过来的，说明这两个角是相等的角 a、 e、 d， 当然也就是六十八度。 再比如说，这边这个角折到了这边这个地方，他让我们求的是谁呢？让我们求的是角 a、 e、 d。 哎呦， a、 e、 d， 这不就求出来了吗？他就是由角 a、 e、 d。 片折过来的，跟他相等呗，因此呢，他也是六十八度。 那我们再增加一个问题，如果要是问角 c、 e、 d 撇儿的话，哎，这个角能求出来吗？当然能求出来，怎么来求呢？ 这个角求他的零补角就行了，因为呢，他跟他的零补角是互补的，可以由一百八十度去掉这两个六十八度呗，那就可以得到是四十四度啊。这样的话呢，我们又从里边的零补角之间的关系啊，给他整出来一些角度 好立三。搞明白的同学，欢迎敲个三立四。如图，直线 a、 b 相交角二等于三倍的角一。我们发现呢，角二跟角一之间的关系还隐藏了一个关系，就是他俩是零补角的关系，他俩互补， 再结合这个条件，就可以把角一跟角二的度数给它求出来，让我们求的是角三和角四的度数，角三呢是角一的对顶角，角四呢是角二的对顶角，因此呢，只要求出来角一角二，就可以利用对等角箱呢进行计算了。 好，那么这里呢，角一角二都是未知数，那我们有一个方法呢，就是啊，给他设未知数的形式，比如说我们就可以设那个较小的角一跟角 二，谁小呢？角二是角一的三倍，那显然角一小，我就设角一呢为 x 度吧，那则角二呢啊，它是等于三倍的角一，那也就等于三 x 度。 又因我们由图可知，这里角一跟角二是零补角，角一加角二，他就是一百八十度。这个要填理由的话呢，你要知道填什么理由，就是零补角的定义， 那所以就可以带进来，角一是 x 度，角二呢是三 x 度，那么 x 加三 x 就等于一百八十。好，我们列了一个这样的方程，列方程的时候可以不用带单位， 那减这个方程，这是四 x 等于一百八十，两边除以四，就可以求得 x 是多少度，是不是四十五呀？ x 是四十五的话，即我们就求得了角一，他们就是四十五度。那角二呢，他是三个四十五度，三 乘以四十五度。为啊，对一百三十五度，所以就可以得到角三，角三呢，他就等于角一是对顶角相等，这条性质可以直接搬过来用，因此呢，角三也是四十五度。 那么角四它等于谁？它等于它的对等角就是角二，而角二呢，是一百三十五度，这样的话，角四也是一百三十五度。那这道题涉及到的知识点，你像我们在这个地方邻补角互补这样一条性质，然后呢，对等角相等啊，这些性质都可以搬过来用。 好，再说一个口算的方法啊，口算的方法呢，就不用再写过程了，在这里啊，当然大题的时候我们要用这样的方法去写上过程。那你像他呢，是他的三倍， 那他占一份，他占三份，合到一起呢，这个平角就是四份，平角是四份的话，你将这个一百八十度给他除以四，这就是一份，而角一呢，就是一份，而角二呢啊，就是三份， 所以呢，就是四分之三乘以一百八十度，或者说呢，就在他的基础上乘以三份就是了，也就得到他。那么这边呢，这个就是四十五度，这边这个一算的话，就是一百三十五度。哎，这是直接利用算式的方法，没有勾到方程，也可以计算出来。好，这个例字咱们搞明白。同学，欢迎乔哥四。 例如如图一，图中共有几对不同的对顶角，数一下呗，这两条相交直线会产生两对，你像这个角一跟角二，哎，他俩是对顶角，剩下的另外一对呢，就是角三跟角四，这两个呢，是一对对顶角，这样的话，一共有几对？一共有两对不同的对顶角。 好，再来图二，图二的话，图中跟我们几个不同的对内讲呢，他比图一的基础上多了一条直线啊，就又来了一条 ef， 那很多同学就开始在上面数，数了一小会呢，就数晕了，再来数图三就更晕了啊，要么 你数多了，要么你数重复了，那如何才能做到不重不漏呢啊？那就是不用数的方法，用推理的方法，你看，这就是一个基本型，也就说每两条相交直线都会产生两对，那么对于图二来说呢，会有几组这样的基本型呢？或者说会有几组相交线呢？ 它一共就三条直线啊，一个是 a、 b 跟 c、 d 会产生这样的一组。好，我们写到这里来， a、 b 它呢与 c、 d 会产生一组相交线，还有吗？按照顺序来说，看看 a、 b 还可以和谁组合， a、 b 可以和 e、 f 组合， 又会产生一个基本型， a b 和 e、 f 产生。每一个基本型都会有两对不同的对等角，那么还有了吗？ a、 b 已经跟其余的两条直线分别组合成了两个了，那么他俩啊，也会组合成啊， c、 d 跟 e、 f 又组合成一个基本， 这样的话呢，一共就有三组基本型，每一个基本型里面呢，都有两对，那么乘起来呗， 三个二，二三得六，所以呢，会有六对不同的对等角，不信的话，你可以去一一的数一数啊，容易数乱啊，要么数重复了，要么数少了的。再看第三个，如图三，图中共有几对不同的对等角，数的话，这个真容易数乱，我们还是用推理的方法比较聪明，一共就四条直线。 那么问题来了，就像我们数这种基本型，一共有多少组基本型也是一个问题啊，也得按照顺序来数，他一共就四条直线的话，标号号，这是第一条，第二条，第三条、第四条。 那么大家想一下，第一条它跟剩下的三条直线可以组成三组基本型，那么它就组合完了。第一条直线，也就是 a、 b 这条直线呢，靠 休息。那么第二条直线再跟剩下的还有两条直线可以组合成两个基本型。好，那么这个第二条也都跟其他的所有直线都组合完了，靠边休息。 那么在剩下的第三条直线呢？他跟剩下的只有一条了，那么三号线跟四号线的组合成一个基本型，这样的话，一共组合成了多少个基本型呢？三加二加一，一共是六个基本型， 那么每一个基本型都会产生两对不同的对内角，六乘以二百对，那就是十二对不同的对内角 好。第四个研究一到三小题中直线条数与对等角对数之间的关系，可知，若 n 条直线相交于一点，则可形成多少对不同的对等角。如果是 n 条的话，我们先找基本型，就按照这个顺序来数。一共要是四条的话，是从三开始加 啊，就阶梯式的降低三加二加一。那么如果要是 n 条的话，大家想一下，第一条直线，他就跟剩下的 n 减一条直线， 就相当于是握手一样啊，那就会产生 n 减一个基本型，这就是一个基本型，就是每两条相交线就叫做一个基本型，每两条相交线就会产生两对啊，这是第一条直线啊，他跟剩下的 n 减一条，因为总数是 n 条， 你拿出来一条，他跟剩下的不就是这些条吗？跟剩下几条，他就会组成几个基本型，然后靠边休息了。第二条直线呢，再跟剩下的 n 减二条直线，组成 n 减二个基本型， 那就依次加起来，看看一共有多少个基本型，再往下呢，就是 n 减三了，对吧？一直加呀加，加呀加，一直加，到后面越来越少，三二一，哎，一共就是这些个基本型，我们可以用 用数学家告诉小时候的方法，首尾相加法，这个手跟这个尾加起来，我们来看看他加起来是几啊，是不是 n 啊？好，两个数凑一个 n， 不信你再看。加完了之后靠边休息，再来新的手跟新的尾， 那么他俩加起来，哎，也是恩吧，两个数凑一个恩，那你看他俩加起来呢还是恩， 一共多少个数呢？这是从一二三一直到了 n 减去一，这总数呢，就是 n 减去一个数啊，总数是 n， 减一个数的话，两个凑一个 n， 那凑出来多少 n 呢？ 将它除以二，然后凑出来这些个根，因为两个凑一个嘛，这些个根那就是二分之 n 减一乘以 n。 大家对这个公式熟悉吧？是不是想到了握手模型啊，哎，握手模型，单循环，双循环比赛那个啊，忘了，同学可以关注咱们那个专题，那这样的话就 会产生这些个基本型，每一个基本型呢，会产生两对对顶角，那就给他乘上二，因为呢，产生两对嘛，乘以二的话，预约分。那这不就出现了吗？一共会有俄音乘以括号里，俄音减去一对不同的对顶角，这个规律咱们就整出来了。 另外呢，这里我们强调的是相交于一点，如果要不强调相交于一点，只要他每两条之线都相交， 只要是每两条直线都相交的话，也是一样的效果。还是用同样的思路去进行推导，答案都是一模一样的呀， 你可以暂停，充分思考，观察计算之后再继续。也可以拖车呀，前进后退，快速慢速，适合你的才是最灵活最聪明的视频学习方法。那么我们再追问一个问题，如果说啊临补缴的话呢，临补缴会有多少对呢？大家想一下，一个基本行里边的临 不角会有多少对？咱们就看这一个基本型，角一跟角四一对，角一跟角三两对了，角四跟角二三对了，角二跟角三四对了。我们发现呢，每一个基本型里面，零不角呢，是有四对的， 正好是对零角的二倍。如果要是问 n 条直线两两相交，不一定交易一点啊，只要是 n 条直线两两相交，那此时会产生的零不角的对数 是不是就是相应的对等角对数的二倍啊？那就将它乘以二，也就是二根括号里 n 减去一会，产生这些对不同的零补角。 数学啊，使人聪明就聪明，在这个地方就同样数数就可以看出来。哎，咱聪明不聪明了啊，不聪明的话，咱们就数的乱套了，那要是 聪明的话呢，咱们就数的非常的清晰。那像这种题呢，就锻炼咱们聪明程度的同学们，可以停下来把它想的越清晰了，我们就会大脑越发达。那么明白了之后呢，欢迎敲个五 好了。最后总结一下对顶角，掌握它的特征，相交线当中相对的两个角，有两个条件有公共顶点，两边呢均互为反向延长线。同时呢，对顶角是相等的，像角一等于角二，角三等于角四，可以直接搬过来用，填理由的话，就填这个对顶角相等。 那么零补角的话，就是既相邻有一条公共边，又互补，像角一角三角二角三角一角四角二角四。我们会发现呢，每一个基本型里面是有两对对顶角， 是有四对零补角。好，这些基本型掌握起来还要会数基本型，那么平面上 n 条直线会产生。

在平面内有 n 条直线两两相交，那么会形成多少对对顶角和多少对零补角呢？我们先来看两条直线相交的情况，如果是两条线相交的话，角一角三是一对对顶角，角二角四呢，又是一对对顶角，所以对顶角就是能够形成两对。 而零补角呢，角一角二是一对角二角三是一对角，三角四是一对角，一角四又是一对，那这样的话就一共是四对。也就是说，每两条直线相交，都会形成两对对顶角和四对零补角。 所以当有三条直线在平面内两两相交的时候，那么 l 一与 l 二会产生两对对顶和四对零补。 那么 l 一与 l 三呢，也是会产生两对对顶四对零补。而 l 二与 l 三也是一样的两对对顶四对零补。所以如果是三条直线两两相交，那么对顶角的数量应该是 六对，而零补角的数量就应该是十二对了。所以说，三条直线两两相交所产生的对顶角和零补角的对数 与这三条直线的焦点数量无关。也就是无论我这三条直线是像这样相交于一个点，还是像这样一共有三个焦点，所产生的对顶角的数量和临补角的数量都是六对 和十二对。当有四条直线在同一平面内两两相交的时候， l 一与 l 二、 l 一与 l 三、 l 一与 l 四以及 l 二、 l 三、 l 二、 l 四。还有最后一个就是 l 三与 l 四相交， 都会各自形成两对对顶角和四对零补角。这四条直线两两相交，会有一加二 加三，一共有六种不同的组合方式，也就是四条直线相交所形成的对顶角的数量就是六乘以二等于十二对， 而对顶角的对数就是六乘以四等于二十四对。那么如果是 n 条直线在同一平 平面内两两相交的话，我们从这 n 条直线当中任意选出两条来，他就会有一加二加三，一直加到 n 减一种不同的组合方式。那么这个和其实就是我们之前所算出来的那个最多的 焦点的那个数量是二分之 n 倍的 n 减一，我们只需要让这个二分之 n 倍的 n 减一乘以二，就是对顶角的数量乘以四就是零补角的数量。所以当有 n 条直线的时候， 最顶角应该是 n 倍的 n 减一对，而零补角就是二 n 倍倍的 n 减一对。

在角一、角二、角三、角四中，角一和角三是对顶角相等，角二和角四是对顶角相等。那么角一和角二你认为它们有什么关系呢？ 答案是 b， 互补。我们发现角一和角二刚好形成一个平角，所以角一加角二一定等于一百八十度， 相加等于一百八十度是什么关系啊？互补吧。那像他俩这样的角，我们就叫他们零补角，零补角的这个补字就是因为他们互补的原因。我们同样也在几何画板里看看他们是不是一直都互补啊？ 怎么样，无论我怎么拖动这一条边，角一和角二的和总是一百八十度吧，那这一条边呢？也是一样 的，所以我们就有了零补角的性质。零补角互补，零补角的补字我们知道是怎么来的了，那零补角的零呢？ 那就是挨着的意思，那几何里怎么严谨的表达这个挨着呢？关键就是这条边。 o c， 它是角一和角二的公共边。 公共边之所以叫邻，就是因为他让蒋一和蒋二像邻居一样，只有一墙之隔，邻居有公共墙，邻不叫有公共边。除了公共边之外，还有这两条边是互为反向延长线的，也就是直观上看上去是一条直线。 这里有一个很有意思的题外画，零补角诞生的基础图形刚好就是补的右边，所以想不起来这个基础图，你看看补字就知道了。 因此我们有零补角的定义，就是有一条公共边，另外一条边护卫反向延长线的两个角叫零补角。除此之外呢，还有一个隐藏条件，就是公共顶点透露零补角的定义。我们就知道这样和这样的角都不是零补角，因为没有公共边嘛。 和对领奖一样，领补奖也是成对出现的。你认为叉子图中一共有几对领补奖呢？ 正确答案是四对叉字图里面每一个角有俩零部角，左边一个，右边一个，左邻右舍嘛。比如角一就是角二，角四的零部角，那角二就是角一角三的零部角， 一共算下来就有四对零补角，分别是下面这些 有关领补角的概念 和性质我们都清楚了，那么接下来我们就来看一道几何题，利用零五角的性质，结合上次我们学习的对定角性质，看看怎么利用这两条求角度的利器解决问题。 如图，直线 a、 b 和 c、 d 交于点 o， 射线 o m 平分，角 a、 o、 c。 若角 b、 o、 d 等于七十六度，则角 b、 o、 m 等于多少度？ 这一题选 c。 遇到几何题，我们要做第一件事儿，是先把已知条件在图上标出来， 告诉我们条件是 om 平分，角 a、 o、 c 平分，就是说这个角等于这个角，为了方便，我们就把它标成角一和角二，还告诉我们角 b、 o、 d 是七十六度，要求的是角 b、 o、 m， 也就是这个是我们的目标。明确了已知条件和目标，我们再跳出来整体观察这个图，两条直线 a、 b 和 c、 d 交于点 o， 实际上就是我们熟悉的基础图，叉子图。看到叉子图，我们脑中有一个条件反射，图上一定有对菱角和菱补角吧。 至于怎么用，我们就要根据要求的目标决定了。角 b、 o、 m 是一个大角，它有两个小角组成，也就是角 b o m 等于角 b o c 加上角一。 所以如果我们分别知道了角 b、 o、 c 和角一是多少，那么角 b o m 是不是也就知道了？那角 b、 o、 c 是什么呢？是角 b o d 的零补角吧。零补角互补，所以我们就有角 b o c 等于一百八十度，减去角 b o d 等于一百零四度，那么角一呢？角一等于角二吧，所以角一它等于二分之一个角 c o a。 而角 c o a 和角 b o d 是对顶角。对顶角怎么样啊？相等吧， 所以角 c o a 就等于角 b o d。 等于七十六度，而角一等于二分之一，角 c o a 就等于三十八度。所以呢，角 b o m 就等于角 b o、 c 加上角一，最后就等于一百四十二度。 在这一题中，我们把一个求角度的大目标角 b o m 拆成了两个小目标，角 b o、 c 和角 e 分别用零补角互补和对顶角相等的性质求出了它们的度数，达到了最后的目标。从解题过程中， 我们发现，对顶角相等和零补角互补在比较复杂的图形求角度的时候非常有用，他们就相当于给了你两个隐藏的已知条件。而一般在几个题中，已知条件当然是多多益善啦。 最后我们来总结一下这次的重点。一、零补角的定义是有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫零补角。除此之外，还有一个隐藏条件，就是公共顶点。 二、零补角互补，这是零补角的性质。在叉字图中，既有对顶角，又有零补角。在复杂图形中，对顶角相等和零补角互补是重要的隐藏条件。 和对顶角一样，零补角也是成对出现的叉子。图中每一个角都有两个零补角。

这个视频我来给你讲讲香蕉线。是的，木有苹果，只有香蕉。那什么是香蕉呢？像这样这样，还有这样这种长得像叉叉的，也就是相互交叉的线，就叫香蕉线。换句话说，就是有公共点的两条直线就是香蕉线了，这个公共点叫焦点， 两直线相交可以形成四个角，咱管这四个角，分别叫一、二、三、四。你看角一加角二，恰好可以形成一个平角，也就是他们俩互补，而且他俩有一条公共边，也就是相邻的。像角一和角二这种既相邻又互补的，咱以后叫他们邻补角。 注意，相邻且互补，这俩条件必须同时满足，要是只满足一个，比如这种只互补不相邻的，或者这种只相邻不互补的，杀无赦。像补脚一样， 零补角也是成对出现的。你可以说角一和角二互为零补角，也可以说角一是角二的零补角。那么问题来了，角一的零补角只有角二吗？我这么问，你当然知道答案是否定的了。 嗯呐，你看角一，还有个邻居是角四，而且这俩角也可以拼成平角，他俩是互补的。既然这一对也满足既相邻又互补的条件，那他俩肯定也是邻补角。 判断零补角很简单，先看有没有公共边，再看另一边是否贡献就好了。练好了这招，咱再来找找。涂上其他的零补角， 不难发现，角四和角三相邻又互补，这一段是邻补角，角二和角三也既相邻又互补，也是邻补角。怎么看来，两条线相交形成的四个角中，有四对邻补角，邻居状态的 角咱说完了，那不是邻居的呢？比如角二和角四，从位置上说，角二的两条边反向延长一下，就是角四的两条边。以后啊，咱管这种角的顶点重合，两边互为反向延长线的两个角角对顶角。 注意判断两角是不是对顶角，只需要反向延长其中一个角的两边，然后看看是不是另一个角的两条边就好了。像这几个伪装的，呵呵，这个只顶上了两边，并不是反向延长的关系，而这个连顶都没顶上，杀无赦。 同样的，对顶角也是成对出现，你可以说角二和角四互为对顶角，也可以说角二是角四的对顶角。在这个图中，除了角二和角四之外，剩余的俩角，角一和角三也是一对对顶角，然后就木有然后了对顶角，就这两对 清除了对顶角的位置关系，那他俩在大小上有啥关系呢？很明显，角二和角四都是角三的零补角。根据同角的补角相等这一原则，角二和角四相等。类似的，角一和角三都是角四的零补角，所以角一和角三也相等。 其实所有的对顶角都具有这个性质，这叫对顶角相等。概念都讲完了，带着这两句真言林补角互补，对顶角相等，为师来带你干掉角度计算， 已知直线 a b 和直线 c、 d 交于点 o o m 平分角 a o d， 在这做 o e p 出角一和角二，并且使角一等于二倍角二，这样图就画好了。题目说角 a、 o c 是三十度，那这个角就是三十度。题目让球 角 m o d 这个角，还有角 d o e 这个角的度数，他俩是要求的角。赶紧回到图上找找答案，这是三十度，他的零部角就是这个角，显然是一百八减三十度，得一百五十度。 om 是角分线，这俩角相等，都是一百五十度的一半，也就是七十五度了。啊哈，一不小心作出来了，第一个空搞定了，咱再来看第二个角， doe 是这个角，看到角一是两倍的角二， 你不妨把角一换成二倍角二。机智的你发现，只要知道角二或者这个大角的度数就可以了。哎，这两条线相交，那这两个角就是对顶角，对顶角相等，也就是说，这个大角等于三十度。这么看来，这俩角一共是三十度，那 就是三角二，得三十度呗。一个就是十度，所以这个角是十度，这个角是二十度。就这样，第二个空也做完了。 题目都做完了，快点来总结一下，像这样有公共边，并且另外两边贡献的一对角是零补角，零补角是互补的，像这样有公共顶点，并且角的两边互为反向延长线的一对角是对顶角，对顶角是相等的。 牢记这两句真言，你在角度计算中就可以所向披靡了。为师这就讲完了，还不快退下，多刷些题目！

n 条直线两两相交，会产生多少组对顶角和菱补角呢？我们可以先研究两条直线， 两条直线呢，会产生两组对顶角，分别是这两组，那零补角呢？我们可以从平角的角度去找零补角，一二三四啊，这四组零补角，这找全了。 好，我们再研究三条直线两两相交的情况啊。这时候呢，我们就不必要再这样数了呀， 因为每有一个焦点都会产生这样的两组对定角和零五角。于是呢，三条直线，我们只需要找焦点的个数，刚刚是一个焦点，现在是三个焦点，那么分别是二乘三和四乘三，我把这个三呢写成一加二，就是写成他 产生的样式。哎，这时候我们是多了两个焦点，同理，这个零补角的就是四层括号一加二，我们新多了两个焦点，没有一个焦点就产生四组零补角，于是呢，三条直线的研究清楚了，再来看四条直线的。 哎，这时候我们就知道了啊，原来只要找这个焦点告诉就 ok。 那么四条直线呢，新产生的三个焦点，也就是说他和前面三条直线有焦点，于是啊，对菱角就是二层括号，一加二加三，得到十二组。 您不讲了，就是把这个二换成四，得到二十四组。同理，在研究五条六条都是一样的操作。那么到 n 条了， 我们就归纳出了这个计算方法呀， n 条直线的时候，新加的一条直线和前面的 n 减一条直线呢，产生 n 减一个焦点，于是呢，对顶角的构数就是从 一一直加到 n 减一，当然了，这是焦点个数，然后再乘以每个焦点有两组对顶角，每个交点了有四组零补角， 于是呢就是二层括号什么什么，然后四层括号最后呢？我们通过这个求和公式去算最后的结果啊。

学习零补缴非常简单，只要跟着他的名字走就行了。零和补在角一、角二、角三、角四中，角一和角三是对顶角相等，角二和角四是对顶角相等。那么角一和角二你认为他们有什么关系呢？答案是 b 互补。 我们发现角一和角二刚好形成一个平角，所以角一加角二一定等于一百八十度。相加等于一百八十度是什么关系啊？互补吧。那像他俩这样的角，我们就叫他们零补角。零补角的这个补字就是因为他们互补的原因。 我们同样也带几盒花板里，看看他们是不是一直都互补啊？ 怎么样，无论我怎么拖动这一条边，脚一和脚二的河总是一百 八十度吧，那这一条边呢？也是一样的，所以我们就有了零补角的性质。零补角互补， 零补角的补字我们知道是怎么来的了，那零补角的零呢？零嘛，就是挨着的意思，那几何里怎么严谨的表达这个挨着呢？关键就是这条边。 oc， 他是角一和角二的公共边。 公共边之所以叫邻，就是因为他让角一和角二像邻居一样，只有一墙之隔，邻居有公共墙，邻部角有公共边。 除了公共边之外，还有这两条边是互为反向延长线的，也就是直观上看上去是一条直线。 这里有一个很有意思的题外化，零部角诞生的基础图形刚好就是补的右边， 所以想不起来这个基础图，你看看补字就知道了。因此我们有零补角的定义，就是有一条空空边，另外一条边互为反向延长线的两个角叫零补角。 除此之外呢，还有一个隐藏条件，就是公共顶点扣住零补角的定义。我们就知道这样和这样的角都不是零补角，因为没有公共编码，和对顶角一样，零补角也是成对出现的。你认为叉子图中一共有几对零补角呢？ 正确答案是四对。叉子图里面每一个角有俩零步角，左边一个，右边一个，左零右射嘛，比如角一就是角二，角四的零步角，那角二就是角一角三的零步角。一共算下来就有四对零步角，分别是下面这些， 直线 ab 和 cd 交于点 o， 射线 om 平分角 aoc 弱角 bod 等于七十六度，则角 bom 等于多少度？ 这一题选 c。 遇到几何题，我们要做第一件事儿，是先把已知条件在图上标出来，告诉我们条件是 om 评分，角 aoc 评分，就是说这个角等于这个角，为了方便，我们就把它标成角一和角二， 还告诉我们角 bod 是七十六度，要求的是角 bom， 也就是这个是我们的目标。 明确的已知条件和目标。我们再跳出来整体观察这个图，两条直线 ab 和 cd 交易点 o， 实际上就是我们熟悉的基础图。叉子图。 看到叉子，从我们脑中有一个条件反射图上一定有对零角和零补角吧，至于怎么用，我们就要根据要求的目标决定了。角 bom 是一个大角，他有两个小角组成，也就是角 bom 等于角 boc 加上角一。 所以如果我们分别知道了角 boc 和角一是多少，那么角 bom 是不是也就知道了？ 那叫 boc 是什么呢？是叫 bod 的零补角吧，零补角互补，所以我们就有角 boc 等于一百八十度，减去角 bod 等于一百零四度。 那么角一呢？角一等于角二吧，所以角一他等于二分之一个，角 coa， 而角 角 cua 和角 bod 是对顶角。对顶角怎么样啊？相等吧，所以角 coa 就等于角 bod 等于七十六度，而角一等于二分之一角 coa 就等于三十八度， 所以呢，角 bom 就等于角 boc， 加上角一，最后就等于一百四十二度。 在这一题中，我们把一个求角度的大目标角 bom 拆成了两个小目标，角 boc 和角一分别用零补角互补和对顶角相等的性质求出了他们的度数，达到了最后的目标。 从解题过程中我们发现，对顶角相等和零补角互补在比较复杂的图形求角度的时候非常有用，他们就相当于给了你两个隐藏的已知条件，而一般在几个题中，已知条件当然是多多益善。 最后我们来总结一下这次的重点。一，零补角的定义是有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫零补角。除此之外，还有一个隐藏条件，就是公共顶点 二、零补角互补，这是零补角的性质，在叉子图中，既有对顶角又有零补角。在复杂图形中，对顶角相等和零补角互补是重要的隐藏条件。 和对顶角一样，零补角也是成对出现的。叉子图中每一个角都有两个零补角。