邻补角和对顶角的定义

在角一、角二、角三、角四中，角一和角三是对顶角相等，角二和角四是对顶角相等。那么角一和角二你认为它们有什么关系呢？ 答案是 b， 互补。我们发现角一和角二刚好形成一个平角，所以角一加角二一定等于一百八十度， 相加等于一百八十度是什么关系啊？互补吧。那像他俩这样的角，我们就叫他们零补角，零补角的这个补字就是因为他们互补的原因。我们同样也在几何画板里看看他们是不是一直都互补啊？ 怎么样，无论我怎么拖动这一条边，角一和角二的和总是一百八十度吧，那这一条边呢？也是一样 的，所以我们就有了零补角的性质。零补角互补，零补角的补字我们知道是怎么来的了，那零补角的零呢？ 那就是挨着的意思，那几何里怎么严谨的表达这个挨着呢？关键就是这条边。 o c， 它是角一和角二的公共边。 公共边之所以叫邻，就是因为他让蒋一和蒋二像邻居一样，只有一墙之隔，邻居有公共墙，邻不叫有公共边。除了公共边之外，还有这两条边是互为反向延长线的，也就是直观上看上去是一条直线。 这里有一个很有意思的题外画，零补角诞生的基础图形刚好就是补的右边，所以想不起来这个基础图，你看看补字就知道了。 因此我们有零补角的定义，就是有一条公共边，另外一条边护卫反向延长线的两个角叫零补角。除此之外呢，还有一个隐藏条件，就是公共顶点透露零补角的定义。我们就知道这样和这样的角都不是零补角，因为没有公共边嘛。 和对领奖一样，领补奖也是成对出现的。你认为叉子图中一共有几对领补奖呢？ 正确答案是四对叉字图里面每一个角有俩零部角，左边一个，右边一个，左邻右舍嘛。比如角一就是角二，角四的零部角，那角二就是角一角三的零部角， 一共算下来就有四对零补角，分别是下面这些 有关领补角的概念 和性质我们都清楚了，那么接下来我们就来看一道几何题，利用零五角的性质，结合上次我们学习的对定角性质，看看怎么利用这两条求角度的利器解决问题。 如图，直线 a、 b 和 c、 d 交于点 o， 射线 o m 平分，角 a、 o、 c。 若角 b、 o、 d 等于七十六度，则角 b、 o、 m 等于多少度？ 这一题选 c。 遇到几何题，我们要做第一件事儿，是先把已知条件在图上标出来， 告诉我们条件是 om 平分，角 a、 o、 c 平分，就是说这个角等于这个角，为了方便，我们就把它标成角一和角二，还告诉我们角 b、 o、 d 是七十六度，要求的是角 b、 o、 m， 也就是这个是我们的目标。明确了已知条件和目标，我们再跳出来整体观察这个图，两条直线 a、 b 和 c、 d 交于点 o， 实际上就是我们熟悉的基础图，叉子图。看到叉子图，我们脑中有一个条件反射，图上一定有对菱角和菱补角吧。 至于怎么用，我们就要根据要求的目标决定了。角 b、 o、 m 是一个大角，它有两个小角组成，也就是角 b o m 等于角 b o c 加上角一。 所以如果我们分别知道了角 b、 o、 c 和角一是多少，那么角 b o m 是不是也就知道了？那角 b、 o、 c 是什么呢？是角 b o d 的零补角吧。零补角互补，所以我们就有角 b o c 等于一百八十度，减去角 b o d 等于一百零四度，那么角一呢？角一等于角二吧，所以角一它等于二分之一个角 c o a。 而角 c o a 和角 b o d 是对顶角。对顶角怎么样啊？相等吧， 所以角 c o a 就等于角 b o d。 等于七十六度，而角一等于二分之一，角 c o a 就等于三十八度。所以呢，角 b o m 就等于角 b o、 c 加上角一，最后就等于一百四十二度。 在这一题中，我们把一个求角度的大目标角 b o m 拆成了两个小目标，角 b o、 c 和角 e 分别用零补角互补和对顶角相等的性质求出了它们的度数，达到了最后的目标。从解题过程中， 我们发现，对顶角相等和零补角互补在比较复杂的图形求角度的时候非常有用，他们就相当于给了你两个隐藏的已知条件。而一般在几个题中，已知条件当然是多多益善啦。 最后我们来总结一下这次的重点。一、零补角的定义是有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫零补角。除此之外，还有一个隐藏条件，就是公共顶点。 二、零补角互补，这是零补角的性质。在叉字图中，既有对顶角，又有零补角。在复杂图形中，对顶角相等和零补角互补是重要的隐藏条件。 和对顶角一样，零补角也是成对出现的叉子。图中每一个角都有两个零补角。

好，同学们好，请坐。上学期我们从反开与折叠开始，了解了 b 曲图形和平面图形之间的关系。接着我们学习了平面图形中的基本元素，什么呀？ 线和角。那在线的过程中，我们重点研究了线断、设线、直线这四个元素，我们重点研究了谁呢？线，线断，线断，你来说线段 除了线段还有吗？还有角，还有角。好，那我们是如何研究的线段和角呢？以线段为例， 你说，嗯，我认为应该从定义和性质上的角度来研究它啊，那比如说性质，哪些性质呢？其实我们还学了它的表示对不对？对啊，那哪些性质呢？两点之间线段最短。嗯，还有没有同学能给他补充啊？你说。呃，还有他的终点，还有他的终点，嗯，还有没有呢？ 还可以测完它的长度，我们还研究了它的长度，对不对？好，你说。 呃，还，还研究了就是对它的表达方式，比如说就是线段 a b 表示法对不对也等于线段 b a。 啊，好，其实我们在研究了它的定义性质之后，我们还学习了如何去 应用他们解决一些实际问题。实际问题在性质的过程中，我们研究了他们的大小和差以及辈分关系，实际上就是研究了在变化的过程中，这些线段之间的不变的 量关系，对不对啊？那关于角呢？是不是也是这样的？嗯，所以我们研究一个几何对象应该按照什么样的顺序性研究啊？定，定，定，性质应用。 好，牛牛，那我们这一课要研究什么内容呢？让我们带着问题一起走进今天的课堂。首先大家观看看一个视频，这里是石油之城， 这里的马路很宽阔，这里有百湖之城的美称。 春天你可以在湖边放风筝，夏天垂钓，秋天赏枫叶，冬天是最有意思的，可以看雾凇，泡温泉， 还可以划弦。你猜到这是哪里了吗？这是哪里啊？大庆，祖国美丽的家乡大庆，对不对啊？对，在视频中出现了很多 漂亮的画面，老师选出了四幅图片啊，请大家观察图片中所体现的同一平面内两条不重合的直线有哪些位置关系？首先我们来观察好不好？ 嗯，那以上图片你都观察到了什么样的位置关系呢？ 啊？后边那个手势，嗯，你说，嗯，我发现了那个平行和香蕉，然后我上黑板给大家指一指。 我觉得第一幅图的这两个人，那个，这两个线，他们两个是相，那个垂平行的关系，然后第二幅图里面这个，这两条线是相交，然后，嗯，然后这两 这两条线是下面这个线的那个，嗯，他们他们三条线的关系是垂直，然后这三幅图这里是平行，然后这个线和这个线的关系是 垂直，然后下面的这个，下面的这两线是橡胶，然后第四幅图，嗯，这两线是橡胶。非常好，掌声鼓励一下，找个桥 老师注意啊，他刚才说这个位置，他是说什么关系？这两条线平行，但是我们要注意啊，在现实生活中，这个磕头机是有一侧粗一侧细的，所以他不是平行的关系，如果把他无限延伸之后，他应该在某一处相，在某一处相交了。啊，那他刚才还说这里应该是什么关系？ 垂直。那老师能问一下吗？你用什么来定义这个垂直呢？就如何判断他是不是垂直？老师，我就发现上面的两两个线跟下面那个一个线的关系就是他们两个就是成一个 直角，成九十度啊，就是垂直，可不可以？可以，非常好啊，好做。那在第四种图片中，这两条直线应该是什么关系？ 香蕉。哎，如果老师扩大这个角度数，改变这个角度时，把它变大，它还会是香蕉吗？是，如果把这个角变成九十度的话，它还是不是香蕉了？是，所以你们发现一个什么问题？举手说， 你说垂直也是香蕉，垂直也是特殊的香蕉，说的好不好？好，好，所以我们来总结一下啊， 在同一平面内，两条重复的直线到底有几种位置？关系有两种，一种是香蕉，一种是平行。那么这就是我们本章要研究的内容，相交线和平形线。来，今天我们来学习第一节。 好，请同学思考借鉴下一角的研究经验。接下来我们应该研究香蕉和平形的哪个内容呢？相定义，定义应该从定义开始研究。形好了，那你能给香蕉和平形下一个定义吗？ 也就是说你是如何判断它们是香蕉还是平行的？好，你来说，嗯，对， 我认为如果有共同焦点的就是相交，嗯，没有的就是平行，没有就是平行。说的好不好，好，他的关键点就是判断有没有什么焦点。哎，有没有焦点，看来其他同学有想补充的，是吗？嗯， 你说，我觉得在平行内还应该加上一个在同一平面内没有交点的两条直线才能是平行的关系，为什么要加同一平面内？因为就是如果是这样的话，他们不在同一个平面也永远不会有交点，但是他们并不是平行关系。上前面给大家面对着，大家比一下你的这个 什么情况下？就是这样的情况下，这两条直线，他的这种情况是这两条直线是永远不会有交点，但是他们不在一个同一个平面上。大家看他现在这个在不在这个同一平面上，在如果有一个，有一个平面的话，可不可以一起过？他们两个 可以可以。那你能再改变一下你的位置关系吗？ 调整一下。怎么调整一下就行。对，这样可不可以了？可以。这种情况下他们平行吗？ 不平行。他们有焦点吗？没有。他们在同一平面内吗？不在。说不在同一平面内，对，这种可以吗？非常好啊，掌声鼓励，勇敢向前表达。所以。

两分钟教你解决七下第一张重难点，由直线相交构造的对顶角和邻补角的技术问题。首先我们看到第一题， 图一是由两条直线相交构造出了一个非常基础的叉字形，那这个叉字形能构造出多少组对顶角呢？首先我们看到角一和角二一组，角三和角四一组， 所以说一个叉字型是可以得到两组对零角，那有多少组零补角呢？我们可以看到角一，角四一组，角四和角二一组，角二又和角三一组，最后角三和角一又是一组，所以说我们可以得到四组零补角， 这样第一个问题就解决了，我们也得到了解决这类问题的关键。那我们看到第二题，现在是三条直线相交，这三条直线分别是 a、 b， c、 d 和 e、 f， 那 这三条直线相交能构造出多少组对零角和零补角？我们只需要去找他们能够构造出的叉字型的个数即可。首先我们可以看 a、 b 和 c、 d 是 可以构成一个叉字型， a、 b 和 e、 f 能够构成一个叉字型， c、 d 和 e、 f 也能构造出一组叉字型，所以说我们一共可以得到二加一等于 三个叉字型。由第一小问我们可以知道一个叉字型会有两组对顶角和四组零补角，那我们只需要将三乘以二就能得到六对对顶角，将三乘以四就可以得到十二对零补角。第二问解决好，难度升级。我们看到第三一问，现在是有四条直线相交，它们分别是 ab、 c、 d， e、 f 和 g、 h， 那 他们能构造出多少个叉字型呢？我们看 a、 b、 c、 d 一个， a， b， e， f 一个 a， b， g， h 一个，一共是三个 c， d 开始， c， d， e， f， c， d， g， h 两个 e， f 和 g h 一个，一共是六个叉字型， 那将六乘以二，就可以得到对顶角的总数。将六乘以四，就可以得到零补角的总数。第三问解决。接下来我们就要总结他们的一般规律了，如果有 n 条直线交于一点，那可以得到多少组？对顶角和零补角一样的，我们只需要去找他们能构造出的叉字形的个数。假设这 n 条直线分别是 l 一、 l 二、 l 三，一直到 l n， 那么从 l 一 出发， l 一 l 二构成一个 l 一 l 三一个一直往后数数到 l n， 这应该是 n 减一个差字型。再从 l 二出发， l 二 l 三一个 l 二 l 四一个一直往后数数到 l 二 l n， 一 共是 n 减二个， 依次往后加加三加二，一直加到一，这里就变成了一个累加求和的问题。累加求和只需要将首项加上尾项 乘以它的项数，最后再除以二即可。我们得到二分之 n 乘以 n 减一个差字型， 那将它乘以二，就可以得到对零角的组数。将它乘以四，就可以得到零补角的组数。第四问解决。最后我们把它进行实际应用。若一百条直线相交于一点，那我们只需要将这个一百带入上面得到的式子即可，也就是一百乘以一百减一 等于九千九百对，这个就是对顶角的数量。再拿二乘以一百乘以一百减一，等于幺九八零零对，这就是我们零补角的对数。所以问题解决，你听懂了吗？

今天我们来看一个初中经典的两线四角模型，两线相交呢，会出现两组对零角，四组零补角。那三线相交呢？很多孩子就开始硬数了，数着数着就数乱了，其实压根不用你硬数，只需要数焦点个数就行了。我们先来看一个焦点的情况，当我像图一这种只有一个焦点的时候，会出现角，一角三角二角四， 两组对零角。好，多少组零补角呢？一和二，二和三，三和四，一和四，总共有四组零补角。好，那其实啊，每出现一个焦点，我们就会出现一个两线四角模型，所以三线相交，在这里有几个焦点？总共是有一、二三有三个焦点，三个焦点，我们会有多少组？那就是三乘以二组， 对吧？对零角好，多少组零补角呢？那就是三乘以四组 零补角。这个公式多线相交，交点个数为 n， 那 么就会出现二乘以 n 组对顶角，四乘以 n 组零补角。下次再也不用硬数了，我们直接数交点个数就行了。下一期我们讲一讲七年级经典的必考题目，三线八角模型，关注北大牙姐数学起飞！