梅涅劳斯定理为什么臭名昭著

这期讲一下梅聂劳斯定理，这个定理课本中是没有的，但是很可能会在压轴题或者自主招生中用到。如图所示，直线 d、 f 分别相交三角形 a、 b、 c 三条边，余点 d、 e、 f 就有转圈，比值乘积等于一， 这就是梅涅劳斯定理，我们看看怎么证明过。点 a 做 d， f 平行线交 b， d 于点 g。 在蓝色三角形中， f、 d 平行 a、 g 就由 a、 f、 b， f、 b 等于 g， d 比 d， b。 在绿色三角形中， d 一平行 a、 g 就有 c 一比 e， a 等于 c， d 比 d、 g。 把这两个笔值等式代换一下，就证明出梅涅劳斯定理。这个定理要怎 怎么记呢？你可以看成是一个转圈。笔直乘积等于一，主要涉及到六个点，其中三个顶点，三个焦点。转圈的时候，先从任意一个顶点开始，顶点焦点依次错开，最后回到开始的顶点。 比如从 b 这个顶点开始，顺时针转圈，下一个焦点就是点 f， 在下一个顶点是 a， 顶点焦点依次错开，就得到六个点的排序，根据这排序就得到梅涅劳斯定理的另一种写法， 你就会发现这两种写法是等价的。我们来看看怎么应用这个定理，如下图， bd 等于 cdae 比 de 等于一比二， af 等于四，求 ac 长度。用梅涅劳斯定理 就可以直接秒了。从顶点 a 开始，顺时针转圈，根据顶点焦点依次错开，排序好六个点，就可以得到梅涅劳斯定理的一种写法。 将对应的值和比值代入，就可以算出 f、 c 等于十六，则 a、 c 就等于 a， f 加 f， c 等于二十。

没念老师定理呢，他是我们课本上没有，绝大部分校内老师也不教，但是呢，他会在我们考试的压轴题或者说自主招生的题目里边会反复用到的一个定理，所以说呢，有很多学霸他都会偷偷的去学。我们来看一下这个定理描述的到底是什么？ 现在说呀，我们有一个任意的三角形， a、 b、 c， 然后呢我们在这个三角形的两个边上任意去选两个点，比如说点 e 和点 f， 然后呢过这两个点呢去做一条线， 这条线呢会与我们三角形的第三边的所在直线也有一个交点，我们将这个点称之为点计，那么这时候呢，我们就会有个结论，这个结论呢就是转圈比的乘积为一。 这个描述啊，其实有一点模棱两可，具体是什么呢？来我们来看一下。我们在这里面呢，选取三角形的 其中一个顶点作为起点，就比如说呢，我们选 a 作为我们的起点，然后呢选一个方向绕一圈，比如说呢，我们选择逆时针去绕一圈，绕圈的时候呢，我们这个过程啊，是顶点和焦点相互交替，这个是啥意思？我们刚才不是说了吗，我们选取 a 作为我们的起点， 然后呢我们的这条线与三角形三边的交点，我们的第一个交点呢，应该是点 f 吧，因为我们刚才说了逆时针去转，所以说呢，我们的 a 跟 f 就是我们所构成的第一条线段，然后呢在接着往后面走，我们从 f 出发，再往下面走的话呢，我们的下一个也应该是点 b， 所以说呢，我们的 f， b 是我们的第二条线， 好，接下来从 b 再次出发，我们去找下一个焦点，点 b 是顶点，下一个焦点应该是我们的点 g， 所以说呢， b g 是我们的下一条线，然后呢， 我们再从点 g 出发，接着往后面走，去找三角形的顶点，注意了，我们一定是焦点和顶点之间所构成的线段，所以说呢，点 g 和下一个顶点应该是点 c 所构成的 g c 这条线。 再者我们再往后呢，应该是从 c 往后面走，应该是我们的 c e， 然后呢，从 e 出发，最后呢，回到我们的点 a 转圈，我们转完了 比，我们也给他比出来了，最后乘积为一，指的就是呢，这里边我们乘完之后，最终结果是一，这就是我们的美女劳斯定理，那这个定理如何去用来看一道题目， 现在呢，他告诉我们啊，这个图里边有一个 b d 等于我们的 c d， 然后呢，我们现在还有一个 a e 比上我们这个 d， e 呢，是一比二，他现在说呢，延长我们的 b e 交 a c 与我们的点 f， 并且 a f 等于四，然后呢，让我们去求这个 a c 这个长度。 那如果说呢，我们直接去套用刚才的梅尼老师定理，我们去把这个三角形 a， d， c 看作我们的梅式三角形，而我们这个 b f 呢，看作我们刚才的那条梅式线，也就是那条交线。那我们直接套结论，就应该是有 a e 比上我们的 e， d 乘以 d， b 比上 bc， 再乘以我们的 cf 比上 fa， 他应该是等于一的。然后呢，我们再把图当中的数据呢给他带进去，图当中告诉我们 ae 比上 de 是一个一比二呀，所以说呢，最开始有一个二分之一 好，然后呢，再乘以 d b 比上 b c， d b 比上 b c， 哎，你会发现刚好也是一个一比二的关系，所以说呢，中间还有一个二分之一，然后呢，再乘以我们的 c f 比上 f a f a 告诉我们是四了，那所以呢，就是乘以一个四分之 c f， 好吧，它是等于一的，那我们是不能够直接求出 来。 c f 的长度应该是等于十六的呀，单位是厘米， c f 是十六了， a f 是四了，所以说整个的 a c 的长应该是二十厘米。当然这是我们在逆时针绕圈的一个情况下， 我们其实还可以顺时针绕圈，就比如说从点 a 出发，顺时针的话呢，下一个点应该是我们的 a f， f 的下一个点呢，应该是我们的点 c， c 的下一个点呢，应该是我们的点 b。 注意了，我们一定是顶点和焦点相互交替，所以说呢，应该是乘以 c b 再比上我们的 b d， 然后呢，从 d 出发，再往后面走的话，应该是 d e ea 他们成钱之后呢，结果也是一。其实对比着你会发现，我们的这个式子和这个式子是完全一样的，所以呢，我们的每年老司定理一定要去注意一个东西啊，就是我们的转圈笔成绩为一，不管你是逆时针转还是顺时针转都是可以的，但是千万不要转错了。

来，今天咱们来补充一个非常实用的定理。梅聂劳斯定理，三角形 acd 被 bef 所结，分别于 acad 以及 cd 的延长线相交于 ef 和 b。 那么此时我们会得到一个非常重要的等式， ae 比上 e， c 乘以 c， b 比上 b， d 再乘以 d， f 比上 f， a 等于一。 在这个等式中，我们得到了三个比例式的乘积等于一。而这道题的问题问的是三角形 dbf 和三角形 abf 的面积的比。 注意来观察，三角形 dbf 和三角形 abf 是等高的，所以他们的面积比就是底的比，也就是说， 这两个面积的比就等于 df， b 上 a， f。 我们发现这个式子恰恰是我们这个等式中的一部分。也就是说，我们只要知道了 ae 和 eccb 和 bd 的比，这道题目咱们就搞定了。 体制条件中告诉我们， b， d 比上 c， d 是 m， b 一，这里是 m 份，这里就是一份。同样的， a， e 是一份，而 c， e 就是 n 份，所以我们知道 a， e 比上 e， c 就等于一比 n， 而 c， b 比上 b， d 就等于 m 加一比上 m， 再乘以 d， f 比上 f， a 等于一，所以 df 比上 f， a 就等于 m 加一分之 m， n 呀！那么美女劳斯定理大家学会了吗？下课！

大家好，这节课我将通过一道自主招生的题目来帮助大家理解什么是数学竞裁中的门念老师定理。实际上想要记忆这样的门念老师定理，只需要六个字就可以了，对吧？ 那么这道题是哪一年哪个学校的自主招生的题目呢？这我明确的告诉大家啊，这道题是中科大，应该是二零一五年的，他是已知 abc 的面积，然后来求中间这个 pq 二小三角形的面积，如果你不知道这个定律的话，求起来会特别的麻烦。 那好，咱们直接来看什么叫每年奥斯定理吧，他这个定理是这么说的，已知三角形 abc， 他这三边所在的直线啊，被红色的 l 所结，然后焦点分别是 d 点， e 点， f 点。 那么此时呢，就出现这样一个比值，乘比值，再乘比值等于一，这个比值啊，他这个里头呢，其实有些地方还是容易记忆的， c， a， 哎， a， b， b， c， 哎，这个是循环的，对吧？那继续来看， f， a， b， a， e 啊，这个记忆的话，很多同学很多老师吧，他是希望你通过这样的方式来记忆的，其实呢，杨老师只希望你记住六个字，你就记会了。 那么记这六个字的话，注意不就是部分的意思，全就是全部的意思，哎，部分，部分，全部，部分，部分。哎，那这句话究竟是什么意思呢？好说，这个像不像一个燕子的尾巴？同学们，像啊，小燕子吗？咱小学刚开始画简笔画的时候，哎，是不是个眼睛吗？啊，我画的像条鱼啊，燕子， 那燕子的尾巴的话，咱们数一定要记住了啊，如果你要用这个口诀，一定是从外向内去数，从燕子的尾巴开始数。部分，哎，部分，那不就是 cf 吗？部分比部分哎， f a 全部，从 a 点开始，全部 肯定是 a d 了，对吧？所以说乘 a d， 步步全部啊，又该部分了。部分，那就是 d b， d b 完事以后，那 b 点该到一点了吧？步步全部，哎，那最后呢？来一个 b 比上一 c 都是部分，你看 现在大家知道什么叫部分，什么叫全部了吧，懂了吧？啊，所以最终呢，结果等于一，长得一样不一样，跟这个结论长得一模一样吧，这就是不全部不，但是你要用这个口诀，用这个六字真言的话，一定要注意怎么去用。首先从燕子的尾巴开始数， 那么从另外一个方向其实也可以数，因为他逻辑上是对称的，那这个方向从点滴这个尾巴开始数啊，如果从点滴这个尾巴开始数的话，那就是 db， 你也写一下啊， db 比上 b a， 接下来该全了吧，不补全吗？那就是 ac 比上 cf 了，然后最后的话，那该 谁 f e 比上 e d， 那其实他也是等于 e 的。然后大家要记住，这两个呢，实际上都是每年劳斯电影里的结论啊，其实都是一样的啊， 然后第一个圈，就是说刚开始这个第一个电离头就这样一个圈啊，他指的是什么呢？他指的是 abc 被红色的直线所结，然后我后来隐身的这样一点结论的话，他是指的谁？指的是原来的三角形 a， f d， b 被谁所解啊？被这个 bc 所在的这条之间所解，实际上道理是完全一样的。那好了，口诀记住了梅尼老师定理的内容，也知道了，关键他怎么挣出来的，能不能用已知的出 初中或者高中的知识来证呢？能，而且都不用高中的知识，咱们用初中的箱子就可以。那好，你刚才不是说 abc 被谁的手结啊？被这条红色的呃直线所结，出现了交点点，地点易和点 f 吗？那现在我分别做高就行了。那过 a 点做高，过 c 点做高，过 b 点做高。做完高之后的话，你注意平行吧。这三条高吗？对吧？肯定是平行的，这个不用多说，平行出相似非常容易。那么平行出相似容易的话，现在咱们来证明一下啊。 那刚才这个结论是已知谁 a f 啊？我这样写吧，不补全。不不不， c f f a 乘 a d d b 再乘 b e c 等于一，那咱们转换了 c f 比上 f 等于哪条高，比上哪条高啊？哎呀， c f 比成 f a 这两个八字形的三角形 fhc 和 fd f， hc 和 fm a 就这两个三角形相似。那我们转换成高的比值，实际上也就是谁呢？也就是 h 比上 am 的比值了，转向成功了吧。那继续。那第二个比值，也就是 ad 比上 db 呢？ ad 比上 db 啊，这一段那不相当于谁和谁相似啊？相当于三角形 db n 和 dnm 相似吗？那相似的话，刚才是不是就是大的比上小的那个相似？比啊，那么就相当于谁大？ 三角形的 am 的对应边比上 b n 的对应边吗？你看又是一个相似。那最后最后这样一个笔直 b e 比上 e c， 他怎么转化？ b e 比上 e c 更好转化了。同学们看好了，我画的这两个直角三角形是否相似？相似啊，哪两个直角三角形啊？一个是直角三角形 ehc， 一个是 直角三角形 enb。 那两个三角形既然因为平行相似的话，所以你现在看这个 be 斜边比上 ce 斜边，那是不是就等于 b n 这条高比上 c 也是这条对应边啊？所以你看最后结果等于一吗？当然等于了，哎，分子分母消掉了，是不是啊？那剩下一了。哎，分子分母消掉了，剩下一了，那这个是不是 b n 啊？最后消掉了，所以就等于一，所以他正确方法非常简单，利用相似， 当然也有别的很多的证明方法，我就讲这一种比较快的方法了，是不是有的时候做一条平行线就行了。还有一些方法是利用这个正弦定理来的，我就不详细说了啊，有兴趣的同学你可以上去上网去查阅一下啊。 来看第四点，他其实还有逆定力，他这个定理正过来写的话，梅内劳斯定理指的是已知三角形 abc 被第三条边所结，然后产 成这样一个比之乘比之，乘比之等于一啊，这个呢是正定理，那逆定理的话是什么？逆定理就是已知比之等于一，结合这样一个图形，那他能够推出来的是 df， 是贡献的，这 就证明相当的简单。这我就不详细说了，有时间的话我下节课吧，等有时间我再讲一下这个逆定理，还有逆定理的应用。这节课我们主要来记梅尼奥斯定理。那这个定理怎么用呢？我们就来看一下中科大的这道自主高自主招生考试的题目。已知三角形面积为一，然后其中他这个边上呢， 点 d， 点 e， 点 f， 都是对应的三种分点啊，你比如说 a e 变成为一的话， c e 就是二了，这理解我的意思吧。嗯，都是这三种分点， 那既然都是三等分点的话，现在连接对应的线段，那交点分别是中间有交点了啊，点 p， 点 q， 点 r， 都在三角形 abc 内部，他就让你求出现这样一个小三角形的面积。 这个呢，其实还好说，大家看好了，我标一个。嗯，请大家直接告诉我 abd 的面积等于多少？好说呀， 因为你这个点 d 的话，是左比右是二倍的 a， 比上一倍的 acd 等于一，对吧？二比一吗？那所以面积之比的话，就被这样一个线段分成了二比一。那不就是啊，三分之二乘上原来的三角形 abc 的面积吗？因为 abc 的面积就等于一，所以就是三分之二， 什么意思呢？也就是说现在啊，这个红色部分呢，已经是三分之二了。那接下来的话，我希望大家求哪一部分呢？我换一种颜色吧，换一种颜色， 记住啊， ab 的面积是三分之二，那接下来我想求一下，想要让大家帮助我求一下这部分的面积，他是多少？也就是个 apb， apb 想求 apb 的面积，关键是知道点 p 是 ab 上的几种分点，对吧？比如说点 p， ap 的长度比上 bd 的长度啊， pd 的长度，那相当于 x 比上 y， 那接下来就太简单了，面积比 p a 不也就好求了吗？关键是点 p 究竟是 ab 上的几等分点，那具体怎么来求呢？燕尾定理吗？其实不能叫燕尾定理，咱们现在应该叫做梅念劳斯定理了，更专业一些啊，不是梅赛德斯，是梅念劳斯定理。 明年劳斯定理的话，谁被谁所结啊，你看，哎，是不是这样？哎，是不是这样？有没有燕子尾巴，有没有明年劳斯啊？有，明年劳斯。那咱们现在直接用这样一个明年劳斯定理不就可以了吗？行吧。啊，那好，现在我直接用 啊。直接用的话，关键是你求的是点 p， 是他的节能文点。那从哪一个方向开始绕呢啊？我从这样一个点 a 的方向开始绕啊，你试一下就可以了， a 不补全部不 a， e 比 e， c 比上啊， c， b 比上 bd， 然后再乘这个 db 啊， dp 比上 pa 不补全不补误吗？等于一，这个你你直接带就行了，因为接下来的内容真的真的太简单了，我详细就不多说了啊，对吧，那 最终结果我们求完以后，这个 d p 比上 p a 呢？它的长度之比是四比三的，那太简单了，什么意思啊？你刚才说四比三，也就是说 ab 的长度等于四倍的 x 啊，三倍的 x 啊，写反了，然后 pd 的长度等于四倍的 x， 那也就是说原来 三分之二这样一个红色的面积，那分成了七份上半部分，这个 bpa 占了其中的三份七分之三吗？所以现在我们就可以说三角形 apb 的面积等于多少啊？你看七分之三乘三分之二等于七分之二吧，同理可得。什么同理 可得？这样一个三角形 acr， 他也是等于七分之二的啊，再继续，同理可得。这个三角形啊， bcq 他也是等于七分之二。那好，既然 他剩下的这三块，你看这三块七分之二。哎，七分之二，七分之二。哦，这个意思啊。所以呢，你最终用总面积一三角形 p q r 等于总面积一，减去三个七分之二就可以了，最终结果呢，等于七分之一，那么这道题就算完了。分享课堂知识，感恩数学之美，我是杨帆老师，下期再见。

有很多同学呢，看到这类型的题目就无从下手，今天老师教你一招，轻松搞定。首先呢，咱们看一下题目当中让你求的是什么？一个笔直，所以呢，以后看到笔就给老师想相似，还有呢，终点， 那么看到终点之后想什么呢？我想你一定猜出来了，全等对吧？既有相似又有全等，那我们再来看已知点， j 是 a c 的终点，那么你的 c j 和 a j 呢，是相等的， 你想既有全等又有相似怎么办呢？哎，我可以做一个 c p， 让他和 a d 呢是平行的，那么这样你就会发现哦，内错角是相等的，对顶角是相等的，所以一段全等有啦。那你的 a e 呢，是不就转化到了 c p 这个位置上？ 题目当中让你求 d e 比 a e， 那我们只要知道 d e 比上 c p 是多少，是不就 ok 啦？哦，原来 c p 和 d e 呢，你还做的是平行，那题目当中又告诉你， c d 等于两倍的 c f， 那你会发现 c f 比上 c d 是一比二，那么 c f 比上 f d 呢，就是一比三，那我们的 c p 再比上一个 d e 呢？哎，是不是也是一比三呢？其中 c p 是和 a e 呢是相等的，那我们的 d e 比上 a e 不就是三吗？ 那么这道题呢，我们也可以用没念劳斯丁力量去做，感兴趣的同学呢，可以试试。还想听什么评论区告诉老师下课！

来，我们看今天这道中考必考题，我们来看题，看三角形 acd， g 是 ac 的终点， 同时我们就知道了 cd 是 fc 的二倍，那我就说 fc 是一份， cd 是两份，我们要问的是什么呢？是 de 和 ae 的比。 这道题目在初中阶段如果用相似来做的话特别麻烦，可能你要做上一二三四五六七八条辅助线才能解决问题。但是今天咱们讲一个稍微有一点点超纲但是能秒杀他的方法，叫做煤孽劳斯定理 民警，劳资定点。内容是什么呢？大家来看。当一个三角形 acd 被一条线所结，这条线和其两边及一边的延长线都有焦点的时候，他就能用了，那么他的内容 是什么呢？ ag 比上 gc 乘以 c， f 比上 fd， 再乘以 de 比上 ea 的值等于一。咱们来写一下，那么 ag 比上 gc 乘以 cf 比 fd 再乘以 第一，比上 ea 等于一。这个式子知道里头大家仔细来看， aj bgc 不就是一吗？而 cf 是一份， fd 是三份，不就是一比三吗？ 再写上我们要的这个式子，大家就会发现我们所要求的 d e 和 e a 的比就是三。那么这道题用敏捷劳资定理就这么简单学会了吧，下课！

当时那个学生没有意思，那学生在线上说由偷批定理可知呀，然后做了，做完最后就写一行字。老师，你想知道这个定义吗？哈哈 哈哈哈，我不知道。不给他分啊你当然你了，很高兴了。后来那个学生是世越军赛物理竞赛就拿下去了，然后然后去了军赛。 然后因为我看到他写这句话的时候想起来我小时候干过这事。然后我就说应该给你叫梅艳嗷司定名。有人有人怎么知道，我怎么不知道。梅艳嗷司定名的名字改了。后来我就习惯于选写下了这个 英文就写上汉字的人太少了，写上这个维朗字母。但我上学我记得初二这个考数学竞赛的时候，有一次有个 需要一个定义，但我忘了。我记英文名字记不住了。什么不断翻译的什么没念劳斯对吧？还有书上写着翻着没耐劳斯什么的。其实我在卷子上写有一个著名的名。哈哈哈 哈哈哈哈。这样写呢两点好处，第一，第一，说明这个题我是会做的对吧？第二，这么著名的老师你们都不知道吗？哈哈哈。

来，如果这道题目你还在用相似的方法解决的话，这个视频你一定要看完，告诉我们三角形 a、 b、 c 中 a、 d 比上 c， d 是三比四，同时告诉我们 e 是 b、 d 的终点，让我们求的是 b、 f 和 f、 c 的 b。 这道题目咱们用的是前面视频讲过的梅聂劳斯定理，可以直接秒杀。我们先找到基础三角形三角形 bcd， 咱们把它描出来，我们可以认为是 aef 与 bcd 的三边或者三边的延长线分 分别交于 a、 e 和 f 点，那么所对应的比例是， d， e， b 上 e， b 乘以 b， f， b 上 f， c 再乘以 c， a， a 比上 a、 d， 他们的成绩是一。咱们把这个式子写出来就是 d， e 比上 b， e 乘以 b， f 比上 f， c 再乘以 c， a， b 上 a、 d， 结果一定是一呀！ 那么这几个柿子咱们直接带直就好了。我既然知道了意识， b、 d 的终点， d 和 b 一一定相等，这里就是一， 而我们要求的就是 bf 比上 fc。 最后再来看，注意， ca 所对应的应该是七份，而 ad 所对应的应该是三份，在这里是七比三，那么成绩一共是一， 所以我们得到了最终的结果， bf 比上 fc 等于七分之三。这道题目咱们就解完了，大家学会了吧，下课！